5.2.10
Vzdálenost rovin
Předpoklady: 5209 Kdy má cenu uvažovat o vzdálenosti dvou rovin? Pouze, když jsou rovnoběžné, jinak se protínají. Př. 1:
Navrhni definici vzdálenosti dvou rovnoběžných rovin.
Za vzdálenost dvou rovnoběžných rovin považujeme vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Př. 2:
Je dána standardní krychle ABCDEFGH, AB = a = 4 cm . Urči vzdálenost rovin: a) ABC a EFG d) AFH a BDG
b) ABC a EFSCG
a) vzdálenost rovin ABC a EFG H G
E
roviny ABC a EFG jsou navzájem rovnoběžné, obě jsou vodorovné ⇒ svislý směr je kolmý na obě. Zvolíme například bod E ⇒ jeho kolmým průmětem do roviny ABC je bod A, pro délku úsečky AE platí: AE = a = 4 cm .
F
D
A
C
B
b) vzdálenost rovin ABC a EFSCG H G
E
roviny ABC a EFSCG nejsou rovnoběžné a nemá smysl uvažovat o jejich vzdálenosti
F SCG
SHD
D
A
c) ADS BF a S AE FG
C
B
c) vzdálenost rovin ADS BF a S AE FG
1
H
G
E
Obě roviny jsou rovnoběžné a kolmé na přední stěnu. Vzdálenost můžeme vypočítat například pomocí bodu S AE .
F SCG
SHD SAE
SBF
D
C
P A B Jeho kolmý průmět leží také v přední stěně, nakreslíme si přední stěnu (čtverec ABEF) a z něj příklad vypočteme: E F Potřebujeme zjistit délku úsečky AS BF , například z trojúhelníku ABS BF .
a 2
AS BF = AB + BS BF 2
SAE
SBF a 2
a 2
AS BF = a 2 + 2
P a A B Doplníme vzdálenost do obrázku. E F 5 a a 2 2 SAE a 2
5 a 2
P A
a
Dosadíme: S AE P = a
2
AS BF =
2
a = a + 2
2
2
a2 5 2 = a 4 4
5 a 2
Můžeme využít podobnosti trojúhelníků APS AE a S BF BA . S AE P
=
AB
SBF
S AE A
a 2
S AE P = S AE A
B 5 5 = 4⋅ cm = 1, 79 cm 5 5
d) vzdálenost rovin AFH a BDG
2
AS BF
⇒ S AE P = S AE A AB AS BF
=
a 2
AB AS BF
a a 2 a 5 = = =a 2 5 5 5 5 a 2
H
G
Příklad nejsnáze vyřešíme v rovině ACE, která je kolmá k oběma rovinám a tak bude vždy obsahovat bod z jedné roviny i jeho kolmý průmět do roviny druhé.
SEG E
F P D
C SAC
A
B a 2 SEG
E
Potřebujeme určit délku úsečky AS EG (například z pravoúhlého trojúhelníku AES EG ):
G
AS EG = EA + ES EG 2
a P
A
a 2 2
E
a
3 a 2
SAC
C
a 2 SEG
G
AS EG
a
Dosadíme: PS AC = a
2
a AS AC P . S AC S EG
SAC
a 2 = a + 2 2
Využijeme podobnost trojúhelníků AS EG S AC =
PS AC AS AC
PS AC = AS AC
a 2 2
2
2 3 2 AS EG = a 2 + a 2 = a 2 4 2 3 AS EG = a . 2
P
A
2
C
PS AC = a
⇒ PS AC = AS AC
S AC S EG AS EG
=
a 2 2
S AC S EG AS EG
a a
3 2
2 2 a 3 = =a 3 2 3 3
3 3 =4 cm = 2,31cm 3 3
Pedagogická poznámka: V bodě b) studenti často píší, že vzdálenost rovin je nulová. Snažím se jim vysvětlit, že není rozumné u nerovnoběžných rovin tvrdit, že mají nulovou vzdálenost, když vzdálenosti různých bodů jedné z rovin od druhé roviny jsou zcela různé. V bodě c) studenti často zapomenou na to, že vzdálenost musí zjišťovat pomocí kolmice a určí jako vzdálenost rovin délku úsečky S AE A . Proto píšu na tabuli, že 2 cm nejsou správný výsledek.
3
Pokud studentům ukážete prostorový obrázek první části řešení bodu d), nakreslí někteří správně obdélník ACGE i s průsečnicemi obou rovin, ale bod, s jehož pomocí zjišťují vzdálenost obou rovin nakreslí doprostřed (případně na úhlopříčku) a nedokáží pak v obrázku najít žádné použitelné trojúhelníky. Je potřeba jim zdůraznit, že mohou vybrat libovolný bod jedné z rovin a musí si proto zvolit tak, aby řešení bylo co nejjednodušší (pak jsou body na stranách obdélníku jasnou volbou).
Pedagogická poznámka: Následující příklad obsahuje trochu neobvyklý (i když často velice účinný) krok – použití pohledu z jiné strany. Pokud studenti nestíhají přerušuji práci na předchozích příkladech, abychom si alespoň začátek příkladu s nakreslením obou obrázků stihli a studenti zjistili, že není nutné kreslit pokaždé všechny obrázky ze stejného pohledu. Př. 3:
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = a = 4 cm , SV = v = 5cm . Urči vzdálenost rovin ABV a S BC SCV S AD .
V
V
SCV
SDV SCV
D
A
C
SAD
D
SBC B SBC C Z obrázku vidíme, že obě roviny jsou rovnoběžné (mají rovnoběžné průsečnice s rovinami podstavy a s rovinou BCV) ⇒ má smysl hovořit o jejich vzdálenosti, kterou určíme pomocí průsečnic s rovinou S AB SCDV (je kolmá k oběma rovinám). Nakreslíme si trojúhelník S AB SCDV a v něm průsečnice obou rovin:
A B Situace je z tohoto pohledu nečitelná ⇒ nakreslíme si obrázek tak, abychom místo hrany AB viděli přímo hranu BC.
4
•
V
rovina ABV se s rovinou S AB SCDV protíná v přímce S ABV
•
rovina S BC SCV S AD se s rovinou
S AB SCDV protíná v přímce YA ⇒ vzdálenost obou rovin můžeme určit například pomocí bodů SP z podobnosti trojúhelníků SPS AB a SSCDV .
Y v P SAB
SCD
S a
V
Délku strany SCDV určíme z trojúhelníka
SSCDV pomocí Pythagorovy věty: a SCDV = SV + SSCD = v + 2 2 2 2 a 4v + a 2 SCDV = v 2 + = 4 4 2
v
2
SCDV =
2
2
2
4v 2 + a 2 2
SCD a 2 Dopíšeme zjištěnou délku do obrázku: V Z podobnosti trojúhelníků SS AB P a SSCDV . S
PS
a2 + 4v 2 2
a2 + 4v 2 2
S AB S
=
SV SCDV
PS = S AB S
Y
⇒ PS = S AB S
SV SCDV
=
v PS =
P SAB
a 2
2 a 2 + 4v 2
=
SCDV
v a + 4v 2 2 av 2
a 2 + 4v 2
SCD
S a
Dosadíme: PS =
2av
a 2
SV
av a 2 + 4v 2
=
4⋅5 4 2 + 4 ⋅ 52
cm = 1,86 cm
Pedagogická poznámka: Následující příklad je poměrně obtížný ve své početní fázi, kdy je nutné poměrně zdlouhavě počítat délky úseček.
5
Př. 4:
Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD, AB = a = 6cm . Urči vzdálenost rovin ABC a
S BC S AC SCD .
D
Z obrázku vidíme, že obě roviny jsou rovnoběžné (mají rovnoběžné průsečnice s rovinami podstavy a s rovinou ACD) ⇒ má smysl hovořit o jejich vzdálenosti, kterou určíme pomocí průsečnic s rovinou S AB CD (je kolmá k oběma rovinám).
SCD
SAC
A SAB
C
SBC B
Nakreslíme si trojúhelník S AB CD a v něm průsečnice obou rovin: D • rovina ABD se s rovinou S AB CD protíná v přímce S AB D
•
rovina S BC S AC SCD se s rovinou
S AB CD protíná v přímce SSCD ⇒ vzdálenost obou rovin můžeme určit například pomocí bodů SP z podobnosti trojúhelníků SPS AB a DD0 S AB .
SCD a P SAB
D0
C
S D
Délku výšky S AB D určíme z pravoúhlého trojúhelníka S AB BD : 2 2 2 a S AB D = BD − S AB B = a 2 − 2 2 2 2 4a − a 3a 2 S AB D = = 4 4 a 3 S AB D = 2
a
a 2
SAB A B a Dopíšeme zjištěnou délku do obrázku:
6
2
D
a 3 , protože trojúhelník S AB CD je 4 rovnoramenný. Pokud chceme použít podobnost trojúhelníků SPS AB
Platí: S AB S =
a 3 2
a DD0 S AB musíme určit výšku DD0 . Použijeme vzorec pro obsah trojúhelníka: av bv S = a = b ⇒ a ⋅ va = b ⋅ vb 2 2 ⇒ musíme určit výšku v trojúhelníku na stranu DC
SCD a
P SAB
a 3 D0 4 D
C
S
Délku výšky S AB SCD určíme z pravoúhlého trojúhelníka S AB CSCD : 2
a 3 a 2 S AB SCD = S AB C − CSCD = − 2 2 3a a 2 2a 2 a 2 2 S AB SCD = − = = 4 4 4 2 a 2 S AB SCD = = a 2 2 2
a SCD
a 3 2
a 2 a 3 2
SAB Vypočteme výšku: D
a 3 2
2
C ava bvb b ⋅ vb = ⇒ a ⋅ va = b ⋅ vb ⇒ va = 2 2 a Dosadíme: 2 a ⋅ a DC ⋅ S S b ⋅ vb AB DC 2 =a 2 va = = = a S ABC 3 3 a 2 S=
SCD a
P
2
a 2 2
SAB
C D0 a 3 2 Doplníme výšku do původního obrázku a dopočteme vzdálenost rovin:
7
D
Z podobnosti trojúhelníků SPS AB a DD0 S AB . PS S AB S
a 3 2
a 2
a 3 D0 4
SCD
Dosadíme: PS =
Př. 5:
S
S AB D
⇒ PS = S AB S
2 DD a 3 3 PS = S AB S 0 = S AB D 4 3 a 2 a⋅2 3 2 a 6 PS = = 4⋅3 6
P SAB
D0 D
a
a
3
=
C
a 6 6⋅ 6 = cm = 2, 45 cm 6 6
Petáková: strana 93/cvičení 28 b)
Shrnutí:
8
D0 D S AB D
