ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B – A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé, že pro každý bod X p existuje právě jedno reálné číslo t nenulové tak, že X A t u . Na obrázku vpravo jsou jako příklad vyobrazeny dva konkrétní body X1 a X2, které jsou ve vyjádření X A t u příslušné číslům t1 = 2, 1 t2 = . 2 Pro každé t R existuje právě jeden X p a naopak pro každý bod X p existuje právě jedno reálné číslo t R tak, že X A t u .
Přímka p je tedy jednoznačně určena bodem A a vektorem u. Nechť A= [x1; y1], u = (u1; u2), t R. Rovnici X A t u můžeme rozepsat po souřadnicích takto: x = x1 + tu1 y = y1 + tu2 Tyto rovnice nazýváme parametrické vyjádření přímky v rovině (PVP). Každé hodnotě parametru t odpovídá právě jeden bod přímky p a obráceně každému bodu přímky odpovídá právě jedna hodnota parametru t. Vektor u nazýváme směrový vektor přímky. Stejně tak může být směrový vektor přímky p i libovolný nenulový násobek vektoru u . Každá přímka je tedy jednoznačně určena svým libovolným bodem a libovolným směrovým vektorem. Př. 1. Napište parametrické vyjádření přímky procházející body A = [5; 2], B = [9; 4]. Řešení: Přímka je určena svým libovolným bodem a směrovým vektorem. Bod už máme (dokonce dva), vektor určíme jako rozdíl bodů A a B v libovolném pořadí. u = B – A → u1 = 9 – 5 = 4 u2 = 4 – 2 = 2 u = (4; 2)
Můžeme tedy psát:
x = 5 + 4t y = 2 + 2t
Pozn. Pro parametrické vyjádření přímky jsme mohli použít i bod B a libovolný nenulový násobek vektoru u. Existuje nekonečně mnoho parametrických rovnic této přímky v rovině! Například: x = 9 + 4t y = 4 + 2t
nebo
x = 9 + 2t (se směrovým vektorem 0,5u) y=4+t
atd.
Otázka: Co se stane, dosadíme-li do parametrických rovnic přímky za parametr t nějaké reálné číslo? Odpověď: Dostaneme jeden konkrétní bod ležící na přímce p. Např. zvolíme t = 4 → x = 5 4 4 21 y = 2 2 4 10 Pro parametr t = 4 jsme dostali bod X přímky p o souřadnicích [21; 10].
Obecná rovnice přímky v rovině Každá přímka v rovině 0xy se dá vyjádřit rovnicí ax + by + c = 0, kde alespoň jedno z čísel a,b je nenulové. Tuto rovnici nazýváme obecná rovnice přímky v rovině. Vektor o souřadnicích (a; b) zveme normálový vektor přímky a značíme n. Normálový vektor přímky je kolmý ke směrovému vektoru přímky u, platí tedy: n u 0 (viz AG 01). Př. 2. Napište obecnou rovnici přímky, která je vyjádřena parametricky:
x=3+t y = 2 – 5t
Řešení: Abychom mohli psát obecnou rovnici přímky, potřebujeme se zbavit parametru t, ten jak vidno v obecné rovnici přímky nefiguruje. První rovnici tedy násobíme číslem 5 a poté obě rovnice sečteme. 5x = 15 + 5t y = 2 – 5t 5x + y = 17
→
5x + y – 17 = 0
Obecná rovnice přímky má tvar 5x + y – 17 = 0. Pozn. Mohli jsme postupovat i jinak. Z parametrických rovnic přímky plyne, že přímka prochází bodem A = [3; 2] a její směrový vektor u má souřadnice (1; –5). Normálový vektor n přímky je kolmý k vektoru u, musí tedy platit n u 0 . Skalární součin rozepíšeme:
a u1 b u 2 0 a 5b 0
Dosadíme hodnoty vektoru u. Zvolíme např. b = 1 a dopočítáme souřadnici a.
a=5 Dostali jsme normálový vektor n = (5; 1). Obecná rovnice tedy vypadá takto: 5x + y + c = 0. Zbývá dopočítat koeficient c. Ten vypočítáme po dosazení souřadnic bodu A do rovnice, neboť bod A leží na přímce a jeho souřadnice tak musí vyhovovat její rovnici.
5 3 2 c 0 → c = –17 Obecná rovnice přímky má tvar 5x + y – 17 = 0.
Př. 3. Teď otočíme příklad 2. Máme obecnou rovnici přímky 5x + y – 17 = 0 a chceme najít její parametrické vyjádření. Řešení: Normálový vektor n = (5; 1) → směrový vektor přímky u má souřadnice například (–1; 5), neboť jistě platí: 5 1 1 5 0 . Teď potřebujeme zjistit souřadnice libovolného bodu ležícího na přímce. To provedeme jednoduše. Víme-li, že přímka není rovnoběžná s žádnou osou souřadnicového systému 0xy (směrové vektory souřadnicových os x a y jsou po řadě (1; 0) a (0, 1)), můžeme za některou z proměnných (např. x) dosadit konkrétní číslo a dopočítat y. Volíme tedy: x = 1 → 5 1 y 17 0 y = 17 – 5 = 12 Dostali jsme bod X = [1; 12]. Parametrické vyjádření přímky tedy vypadá takto: x = 1 – t y = 12 + 5t Nepanikařte, že je toto PVP jiné jak u příkladu 2. Každá přímka má přeci nekonečně mnoho parametrických vyjádření! Pro zajímavost si ukážeme, které hodnotě parametru t bude v tomto parametrickém vyjádření příslušet bod A = [3; 2] (který v PVP u příkladu 2 přísluší pochopitelně parametru t = 0). 3=1–t 2 = 12 + 5t
→ t = –2 → t = –2
Bod A přísluší v tomto parametrickém vyjádření přímky hodnotě t = –2. Směrnicový tvar rovnice přímky Máme-li přímku danou rovnicí ax + by + c = 0, tak pokud b ≠ 0 (tj. přímka není rovnoběžná se souřadnicovou osou y), můžeme její rovnici psát ve směrnicovém tvaru: a c y x b b a c který se obvykle zapisuje ve tvaru y = kx + q, kde k , q . b b
Číslo q udává posunutí přímky po ose y. Jaký význam má však konstanta k ? Zvolíme-li na přímce bod A = [x0; y0], dostaneme pro x0 ≠ 0 z rovnice y = kx + q :
k
y0 q x0
Je-li φ úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou x, je k = tg φ. Číslo k = tg φ se nazývá směrnice přímky, úhel φ nazýváme směrový úhel přímky. Pro ilustraci přikládám obrázek.
y0 – q
→
tg
y0 q x0
x0
Př. 4. Je dána přímka p: x = –2 + 4t ; y = 5t. Určete její směrový úhel a průsečíky se souřadnicovými osami. Řešení: Přímka je zadána parametricky. Najdeme její obecnou rovnici (OR), tu vyjádříme ve směrnicovém tvaru a pak určíme pomocí směrnice přímky k směrový úhel přímky φ. Průsečíky přímky se souřadnicovými vypočítáme nakonec. směrový úhel přímky = (4; 5) → normálový vektor = (5; –4) známý bod přímky = [–2; 0]. OR: 5x – 4y + c = 0 5 2 4 0 c 0
Dosadíme bod [–2; 0]. c = 10
OR:
Z této rovnice vyjádříme neznámou y.
5x – 4y + 10 = 0
4y = 5x + 10 5 5 y x 4 2
→
k
5 tg 4
→ φ = cca 51°20´
Směrový úhel přímky je přibližně 51°20´. Pro průsečík přímky s osou x platí: Px = [?; 0]. Abychom určili první souřadnici tohoto průsečíku, dosadíme do obecné rovnice přímky y = 0. 5x – 4y + 10 = 0 5x + 10 = 0 x = –2 Vyšel nám pochopitelně bod [–2; 0]. To bylo zřejmé už od samého začátku. Pro průsečík přímky s osou y platí: Py = [0; ?]. Postupujeme analogicky jako u průsečíku Px, jen bude asi výhodnější použít směrnicový tvar rovnice přímky.
5 5 x 4 2 5 y 2 y
Za x volíme 0.
Vyšel nám bod 0 ;
5 . 2
Pro ilustraci přikládám opět jeden skromný obrázek.
Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Máme 2 přímky:
p: a1x + b1y + c1 = 0 q: a2x + b2y + c2 = 0
Jejich normálové vektory jsou po řadě n1 = (a1; b1), n2 = (a2; b2). Jsou-li násobky, tj. existuje-li nenulové reálné číslo k tak, že n2 = kn1, pak jsou přímky p, q rovnoběžné. Mají–li navíc přímky p, q aspoň jeden společný bod, pak jsou logicky totožné (tzn. c2 = kc1). Nejsou-li vektory n1 = (a1; b1), n2 = (a2; b2) násobky, přímky jsou různoběžné a protínají se v jednom bodě, který zveme jejich průsečíkem. Př. 5. Určete vzájemnou polohu přímek p, q. p: 2x – 3y + 5 = 0
q: x + y – 2 = 0
Řešení: n p = (2; – 3) n q = (1; 1)
Je vidět, že žádný z těchto dvou vektorů není násobkem toho druhého. To znamená, že přímky p, q jsou různoběžné a existuje jejich průsečík P. Ten najdeme, když vyřešíme soustavu rovnic přímek p, q: 2x – 3y = –5 x+y=2 2x – 3y = –5 3x + 3y = 6 5x = 1 → x = x+y=2 →
1 5
1 +y=2 5
Druhou souřadnici dopočítáme např. z druhé rovnice. →
y=
9 5
1 9 Přímky p a q jsou různoběžné, jejich průsečík je bod o souřadnicích ; . 5 5 Př. 6. Určete vzájemnou polohu přímek a, b. a:
x = 1 + 3t y = 2 + 4t
b:
x = 2 + 6s y = 4 + 8s
Řešení: Nejdříve vypíšeme směrové vektory obou přímek. Budou-li násobky, přímky jsou rovnoběžné. s a = (3; 4) s b = (6; 8) → s b = 2s a, tedy přímky jsou rovnoběžné. Jsou totožné nebo různé? Přímka a obsahuje bod A = [1; 2]. Jsou-li přímky totožné, musí bod A ležet i na přímce b. Jeho souřadnice tedy dosadíme do parametrických rovnic přímky b. 1 1 = 2 + 6s → s = 6 1 2 = 4 + 8s → s = 4 Parametr s vyšel pokaždé různý, bod A tedy neleží na přímce b (každý bod přímky přísluší právě jednomu parametru a naopak) a přímky jsou rovnoběžné různé. Odchylka dvou přímek Máme-li dvě různoběžné přímky, můžeme spočítat jejich odchylku, za kterou budeme považovat vždy ten úhel sevřený oběma přímkami, který je z intervalu 0;90 . Odchylka φ dvou přímek s normálovými, resp. směrovými vektory u, v (opravdu je to jedno, ale nekombinovat normálové a směrové!!) se vypočítá podle vzorce: u1v1 u 2 v 2 cos u v
Pozn. Vzorec se od podobného vzorce, jenž řeší úhel dvou vektorů, liší pouze absolutní hodnotou ve svém čitateli, jelikož úhel dvou vektorů může být větší než 90°, ale úhel dvou přímek nikoli. Bude-li skalární součin vektorů u, v (čitatel zlomku) roven 0 (tedy cos φ = 0), pak jsou přímky kolmé. Vzdálenost bodu od přímky (dvou rovnoběžných přímek) Máme-li dánu přímku p: ax + by + c = 0 a bod M = [x0; y0], který na ní neleží, pak vzdálenost bodu M od přímky p je rovna vzdálenosti bodu M od paty kolmice vedené z bodu M k přímce p. Pěkné, že? Vzdálenost bodu M = [x0; y0] od přímky p: ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce: v( M ; p )
ax 0 by 0 c a2 b2
Úlohu na výpočet vzdálenosti dvou rovnoběžných přímek převedeme na úlohu pro výpočet vzdálenosti jedné z přímek od libovolného bodu druhé přímky (viz obrázek).
Př. 7. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných přímek a, b. a: b:
3x – 4y + 8 = 0 – 6x + 8y – 6 = 0
Řešení: Nejdříve se přesvědčíme, že jsou přímky a, b skutečně rovnoběžné. Co když si z nás někdo střílí a chce po vás určit vzdálenost dvou různoběžek? Ta pochopitelně neexistuje. Směrové, resp. normálové vektory přímek a, b musí být násobky. n a = (3; –4) n b = (–6; 8) → n b = –2n a Tedy přímky a, b jsou skutečně rovnoběžné a lze určit jejich vzdálenost. K tomu budeme potřebovat libovolný bod přímky b, označme jej třeba M. Má-li bod M = [x0; y0] ležet na přímce b, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky b. – 6x0 + 8y0 – 6 = 0 – 6 + 8y0 – 6 = 0 8y0 = 12 y0 = 1,5
Za x0 volíme např. 1. Určili jsme bod M b ; M = [1; 1,5].
Nyní přikročíme k výpočtu vzdálenosti bodu M (a tedy celé přímky b) od přímky a.
v( M ; a)
ax 0 by 0 c 2
2
3 1 4 1,5 8
a b 3 2 4 Vzdálenost přímek a, b je rovna 1.
2
5 25
1
Pozn. Kdyby vyšla vzdálenost rovna 0, znamenalo by to a = b.
Př. 8. Určete odchylku přímek a, b. a: 2x – y + 5 = 0 b: x = 5 + 4t ; y = 1 – 2t Řešení: K určení odchylky dvou přímek potřebujeme znát jejich normálové nebo směrové vektory. n a = (2; –1) → s a = (1; 2) s b = (4; –2) Odchylku budeme tedy počítat pomocí směrových vektorů obou přímek podle známého vzorce: u1v1 u 2 v 2 , kde u a v jsou směrové vektory přímek a, b. cos u v Dosadíme jejich souřadnice a dostáváme: cos
1 4 2 2 12 2 2 4 2 2
2
0
Jestliže cos φ = 0, pak φ = 90° a přímky a, b jsou navzájem kolmé. Na závěr si je ještě nakreslíme. Použiju k tomu můj oblíbený MatMat.exe, takže je třeba nejdřív obě rovnice převést do směrnicového tvaru (čili vyjádřit je jako předpis lineární funkce). a: 2x – y + 5 = 0 → b: x = 5 + 4t y = 1 – 2t
→
y = 2x + 5 x = 5 + 4t 2y = 2 – 4t
→ x + 2y – 7 = 0
→
y
x 7 2 2
Př. 9. Je dán obdélník ABCD, |AB| = 5 cm, |AD| = 3 cm. Dále je dán bod X AD tak, že |DX| : |AX| = 1:2. Vypočítejte odchylku přímek BX a AC. Řešení: Jeden by řekl, že je to typická úloha z planimetrie, nicméně výpočet užitím metod AG bude mnohem lepší volbou. Pro tyto potřeby je však potřeba umístit obdélník ABCD do souřadnicového systému. Například takto:
V tomto souřadnicovém systému platí: X = [0; 0], A = [0 ; –2], B = [5; –2], C = [5; 1]. Směrový vektor přímky AC = C – A = (5; 3), směrový vektor přímky XB = B – X = (5; –2). Odchylku přímek AC a BX vypočítáme podle vzorce: u1v1 u 2 v 2 cos u v
cos
5 5 3 2 2
5 2 3 2 5 2 2 5246´
19 34 29
Odchylka přímek AC a BX 5246´ .
19 986
