ˇ ˇ ´IPRAVOU A VYUZIT ˇ ´IM ZKUSENOSTI S PR ˚ DO MATEMATIKY II PRACOVN´ICH LISTU
Petra Schreiberov´ a, Petr Voln´ y ˇ - Technick´a univerzita Ostrava VSB
Abstrakt: V letoˇsn´ım roce na Katedˇre matematiky a deskriptivn´ı geometrie prob´ıh´a ˇ 1103/2013 Vytvoˇren´ı tvorba pracovn´ıch list˚ u do matematiky v r´amci projektu FRVS ” e-learningov´ ych kurz˚ u s multimedi´aln´ımi studijn´ımi materi´aly pro matematick´e pˇredmˇety na vybran´ ych fakult´ach Vysok´e ˇskoly b´an ˇsk´e - Technick´e univerzity Ostrava“. Prezentujeme naˇse zkuˇsenosti s tvorbou a zaˇrazen´ım pracovn´ıch list˚ u do v´ yuky. Kl´ıˇ cov´ a slova: GeoGebra, Gnuplot, pracovn´ı listy, matematika.
Experiences with preparation and use of worksheets to Mathematics II Abstract: Worksheets to Mathematics II are being created at the Department of Matheˇ 1103/2013 in this year. We matics and Descriptive Geometry within the project FRVS present our experience with the creation and inclusion of worksheets in teaching. Key words: GeoGebra, Gnuplot, worksheets, mathematics. Studium na technick´e univerzitˇe je obecnˇe n´aroˇcn´e, pˇredevˇs´ım studenti kombinovan´eho studia se bez jist´e formy samostudia neobejdou. Nav´ıc, motivace student˚ u ke studiu matematiky je pomˇernˇe n´ızk´a a jejich znalosti matematiky jsou vˇetˇsinou limitovan´e. Naˇs´ı snahou je reagovat tak´e na v´ yvoj v oblasti informaˇcn´ıch technologi´ı (netbooky, smartphony, tablety, atd.). Vˇetˇsina student˚ u neˇcte klasick´e knihy, nelze tedy oˇcek´avat, ˇze budou ˇc´ıst skripta, pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ı odbornou literaturu. Abychom student˚ um kombinovan´eho studia studium matematiky usnadnili, rozhodli jsme se vytvoˇrit sady pracovn´ıch list˚ u, aplikac´ı a komentovan´ ych vide´ı, kter´e pokryj´ı obsah ˇ z´akladn´ıch kurz˚ u z matematiky v r´amci prvn´ıch roˇcn´ık˚ u na jednotliv´ ych fakult´ach VSBTUO s t´ım, ˇze tyto materi´aly budou pouˇziteln´e i pro studenty prezenˇcn´ı formy studia. ˇ 1103/2013. Autoˇri dˇekuj´ı za podporu sv´emu pracoviˇsti a projektu FRVS
337
Budou pˇripraveny pracovn´ı listy shrnuj´ıc´ı teorii kurzu Matematika I (diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e, line´arn´ı algebra, analytick´a geometrie v prostoru) a kurzu Matematika II (integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e, diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı dvou promˇenn´ ych, obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice) doplnˇen´e o sady ˇreˇsen´ ych a neˇreˇsen´ ych u ´loh, aplikac´ı a komentovan´ ych vide´ı. Poˇc´ıt´a se, ˇze vˇsechny takto pˇripraven´e materi´aly budou student˚ um a samozˇrejmˇe i naˇsim koleg˚ um k dispozici v r´amci webov´ ych str´anek naˇs´ı katedry. Na tvorbˇe pracovn´ıch list˚ u se pod´ıl´ı (kromˇe autor˚ u pˇr´ıspˇevku) n´asleduj´ıc´ı kolegov´e: M. Bobkov´a, D. Dlouh´a, R. Hamˇr´ıkov´a, Z. Mor´avkov´a a R. Pal´aˇcek. Pro pracovn´ı listy byl vytvoˇren jednotn´ y latexovsk´ y styl. Sazba textu prob´ıh´a v prostˇred´ı Miktexu v. 2.9.
Obr´azek 1: http://www.miktex.org/ Pro tvorbu 2d grafiky jsme pouˇz´ıvali GeoGebru a tak´e Gnuplot (volnˇe pˇr´ıstupn´ y vizualizaˇcn´ı software). GeoGebra je velmi efektivn´ı n´astroj pro matematiku a deskriptivn´ı geometrii. Je velmi snadno pouˇziteln´a a m´a celkem intuitivn´ı ovl´ad´an´ı. Nen´ı c´ılem tohoto pˇr´ıspˇevku podat u ´pln´ y popis GeoGebry. R´adi bychom pouze zm´ınili moˇznost exportu grafick´eho n´avrhu pˇr´ımo do LATEXu. GeoGebra vygeneruje k´od, kter´ y lze pˇr´ımo pouˇz´ıt ve zdrojov´em souboru. Situace ovˇsem nen´ı u ´plnˇe ide´aln´ı, nicm´enˇe lze si snadno vygenerovan´ y k´od individ´alnˇe upravit.
338
Obr´azek 2: http://www.geogebra.org/ Gnuplot byl pouˇzit pˇredevˇs´ım pro zpracov´an´ı 3d grafiky, v pˇr´ıpadˇe funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych a tak´e nˇekter´ ych apliakc´ı integr´aln´ıho poˇctu (objem a obsah pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıch tˇeles) je vhodn´e student˚ um vizualizovat plochy reprezentuj´ıc´ı grafy funkc´ı.
Obr´azek 3: http://www.gnuplot.info/ Gnuplot lze pˇr´ımo propojit s LATEXem a pˇri kompilaci zdrojov´eho souboru je moˇzn´e nechat Gnuplot vygenerovat data pro kˇrivky (grafy studovan´ ych funkc´ı), kter´a pot´e LATEX internˇe zpracuje a zobraz´ı. To vˇse se pˇritom dˇeje na pozad´ı. Nyn´ı n´asleduje sada pracovn´ıch list˚ u do Matematiky II t´ ykaj´ıc´ı se vrstevnicov´eho grafu funkc´ı dvou promˇenn´ ych. Jedn´a se o uk´azku listu obsahuj´ıc´ıho teorii, d´ale je prezentov´an list s ˇreˇsenou u ´lohou a tak´e list obsahuj´ıc´ı neˇreˇsenou u ´lohu.
339
Matematika II - listy k pˇrednáškám
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
ˇ Ry enných, graf 2.2 - Funkce dvou promˇ 2.1.2
Video teorie ˇ Rešený video pˇríklad
ˇ Rešené pˇríklady: 14 Pˇríklady: 42, 43
Graf funkce dvou promˇenných
Definice 2.1.2: Grafem funkce dvou promˇenných rozumíme množinu G f = {[ x, y, z = f ( x, y)] | [ x, y] ∈ D f }. Poznámka: • Množina G f je podmnožinou v R3 , G f ⊂ R3 . Nejˇcastˇeji budeme pracovat s funkcemi, jejichž grafy jsou nˇejaké dvojrozmˇerné plochy v prostoru. • Nakreslit graf funkce dvou promˇenných tzv. „v ruce“ je pomˇernˇe obtížné, a cˇ asto to v˚ubec není možné. Jednou z možností, kterou máme k dispozici, je využít pr˚useˇcnice grafu zadané funkce se souˇradnicovými rovinami, pˇredevším s p˚udorysnou rovinou. • K vizualizaci graf˚u se používá výpoˇcetní technika, existuje rˇada komerˇcních i volnˇe šiˇritelných program˚u (Gnuplot, Maple, Matematika, Matlab, Wolfram atd.). • Grafem funkce tˇrí promˇenných je plocha v R4 , tzv. nadplocha. Nelze ji ovšem graficky znázornit. Na obrázku se nachází turistická mapa okolí Vysoké školy báˇnské - Technické univerzity Ostrava.
ˇ Definice 2.1.3: Rezy grafu funkce z = f ( x, y) rovinami rovnobˇežnými s p˚udorysnou rovinou se nazývají vrstvnice. Vrstevnicovým grafem rozumíme pr˚umˇety vrstevnic do p˚udorysné roviny z = 0.
Zdroj: http://mapy.cz/#!x=18.151648&y=49.832078&z=14&l=16.
Vrstevnice je množina bod˚u se stejnou funkˇcní hodnotou. S vrstevnicemi se m˚užeme setkat pˇredevším na turistických mapách, kde vrstevnice (obvykle šedé kˇrivky) reprezentují množiny bod˚u se stejnou nadmoˇrskou výškou.
Obr´azek 4: Pracovn´ı list - teorie
Matematika II - rˇ ešené pˇríklady
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
14 - Vrstevnicový graf 14.
Poznámky
5x Zadání Naleznˇete vrstevnicový graf funkce z = 2 . x + y2 + 1 ˇ Rešení
ˇ Rešený video pˇríklad
Video teorie
Dosadíme do zadané funkce z = k, kde k ∈ R, tedy k=
5x x 2 + y2 + 1
x 2 + y2 + 1 =
⇒
5x k
⇒
x2 −
5x 5x jsme doplnili na úplný cˇ tverec, x2 − = k k Nyní je tˇreba diskutovat konkrétní hodnoty k.
Výraz x2 −
5x + y2 + 1 = 0 k
x−
5 2k
2
−
⇒
x−
5 2k
Teorie: 2 Pˇríklady: 42, 43
2
+ y2 −
25 + 1 = 0. 4k2
Seznam pˇríkaz˚u pro Gnuplot:
25 . 4k2
5x 1. Pro k = 0 (ˇrez grafu funkce z s p˚udorysnou rovinou) dostáváme 0 = 2 ⇒ x = 0, vrstevnicí je osa y. x + y2 + 1 2 5 25 2 2. Pro k 6= 0 dostáváme x − + y = 2 − 1. Vrstevnicemi budou kružnice pouze v pˇrípadˇe, kdy pravá strana rovnice 2k 4k bude vˇetší než 0, 25 25 25 5 5 5 −1 > 0 ⇒ > 1 ⇒ 25 > 4k2 ⇒ k2 < ⇒ |k| < ⇒ k ∈ − , 0 ∪ 0, 4 2 2 2 4k2 4k2 5 3. Pro k = ± platí ( x ∓ 1)2 + y2 = 0. Jedná se o dvˇe singulární kružnice (body). Vrstevnicemi jsou dva body, [1, 0] a [−1, 0]. 2 2.5 2 k=0 3
1 0 1 −4 −3 −2 −1 −1
−2 −3 −4
5 2 5 k=± 4 5 k=± 6 5 k=± 8
k=±
2
2
3
z
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
3 2 1 0 -1 -2 -3
-4 -3 -2 -1 4 3 0 y 2 1 1 2 0 -1 3 -2 -3 x -4 4
Obr´azek 5: Pracovn´ı list - ˇreˇsen´a u ´loha
340
Hledáme pr˚uniky grafu funkce s rovinami rovnobˇežnými s p˚udorysnou rovinou, tj. dosazujeme z = k, k ∈ R. ˇ Císlo k je možné volit libovolnˇe. Ovšem m˚uže se stát, že pˇri nevhodné volbˇe se plochy neprotnou.
set view 62,210; set view equal xy set iso 50; set samp 50 set xrange [-4:4]; set yrange [-4:4] set ztics 1; set pm3d set contour both set cntrparam levels discrete 0, 2.485, -2.485, 1.25, -1.25, .83, -.83, .625, -.625 set style increment user set style line 1 lc rgb ’black’ lw 2 set style line 2 lc rgb ’red’ set style line 3 lc rgb ’red’ set style line 4 lc rgb ’yellow’ set style line 5 lc rgb ’yellow’ set style line 6 lc rgb ’green’ set style line 7 lc rgb ’green’ set style line 8 lc rgb ’cyan’ set style line 9 lc rgb ’cyan’ set style line 10 lc rgb ’magenta’ set grid; unset surf; unset key set xlabel "x" set ylabel "y" set zlabel "z" splot 5*x/(x**2+y**2+1)
Matematika II - pracovní listy
Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava
43 - Vrstevnicový graf 43.
Tahák
Zadání Rozhodnˇete, který vrstevnicový graf odpovídá funkci z = x2 y2 . ˇ Rešení
①
y=
Video teorie
√
k ,k>0 x
ˇ Rešený video pˇríklad
②
0
ˇ Teorie: 2 Rešené pˇríklady: 14 y=−
√
k ,k>0 x
0
Hledáme pr˚uniky grafu funkce s rovinami rovnobˇežnými s p˚udorysnou rovinou, tj. dosazujeme z = k, k ∈ R. ˇ Císlo k je možné volit libovolnˇe. Ovšem m˚uže se stát, že pˇri nevhodné volbˇe se plochy neprotnou, pr˚unik bude prázdný. V pˇrípadˇe, že pr˚unik je neprázdný, jedná se o prostorovou kˇrivku, kterou promítneme do p˚udorysné roviny.
③
k k k k k
=0 =1 =9 = 25 = 49
0
Obr´azek 6: Pracovn´ı list - neˇreˇsen´a u ´loha V´ ystupem je interaktivn´ı pdf, kter´e obsahuje hypertextov´e odkazy pomoc´ı nichˇz lze jednoduˇse pˇrech´azet mezi jednotliv´ ymi t´ematicky si odpov´ıdaj´ıc´ımi listy. V listech se tak´e nach´az´ı odkazy na komentovan´a videa, kter´a se po kliknut´ı na dan´ y odkaz otevˇrou (v takov´em pˇr´ıpadˇe je ale vyˇzadov´ano pˇripojen´ı na internet, protoˇze videa se nach´azej´ı na naˇsem serveru). Neˇreˇsen´a sada u ´loh do Matematiky II byla pouˇzita v r´amci v´ yuky na Fakultˇe stavebn´ı ˇ a na Fakultˇe strojn´ı, VSB-TUO v minul´em semestru (letn´ı semestr 2012/2013). V z´avˇeru semestru studenti vyplnili dotazn´ık, ve kter´em zhodnotili pracovn´ı listy a jejich zapojen´ı do v´ yuky. Anketa byla vyhodnocena zvl´aˇst’ pro dva statistick´e vzorky dle jednotliv´ ych fakult. Matematika II, pracovn´ı listy do cviˇ cen´ı Hodnocen´ı: 1-urˇcitˇe ano, 5-urˇcitˇe ne Fakulta:
1. 2. 3. 4. 5. 6.
ˇ Jsem: M/Z
Byly pracovn´ı listy pˇr´ınosn´e pro Vaˇse studium? Byla form´aln´ı str´anka (zad´an´ı u ´lohy, tah´ak, pracovn´ı prostor) pracovn´ıch list˚ u vyhovuj´ıc´ı? Byl poˇcet u ´loh dostaˇcuj´ıc´ı? Vyhovovalo v´am tempo v´ yuky? Povaˇzujete n´aroˇcnost u ´loh v pracovn´ıch listech za dostaˇcuj´ıc´ı? Pomohly V´am pracovn´ı listy k lepˇs´ımu pochopen´ı l´atky?
341
1 2 3 4 5
7. 8. 9.
Doporuˇcil/a byste pracovn´ı listy ostatn´ım student˚ um? Byla pro V´as pˇr´ıtomnost tah´aku v pracovn´ıch listech pˇr´ınosn´a? V´aˇs koment´aˇr k pracovn´ım list˚ um
1 2 3 4 5
Co se t´ yˇce zhodnocen´ı pouˇzit´ı pracovn´ıch list˚ u ve v´ yuce Matematiky II, pr´ace na cviˇcen´ı byla efektivnˇejˇs´ı, stihlo se procviˇcit v´ıce l´atky. Doˇslo k lepˇs´ımu zapojen´ı student˚ u do v´ yuky. Nˇekteˇr´ı studenti pro pr´aci s pracovn´ımi listy pouˇz´ıvali tablety. Tah´ak, kter´ y obsahuje kaˇzd´ y pracovn´ı list s neˇreˇsenou u ´lohou, se student˚ um jevil jako velmi pˇr´ınosn´ y. Z´avˇerem bychom r´adi prezentovali nˇekter´e zaj´ımav´e koment´aˇre k pracovn´ım list˚ um ze strany student˚ u a zpracov´an´ı ankety.
Obr´azek 7: Anketa - Fakulta stavebn´ı
Obr´azek 8: Anketa - Fakulta strojn´ı
342
Koment´aˇre: chyb´ı v´ ysledky k u ´loh´am, zvetˇsit pracovn´ı prostor, pˇr´ınos do v´ yuky, finanˇcn´ı n´aroˇcnost (tisk), pˇr´ıtomnost tah´aku velice v´ıt´ana, fajne, pracovn´ı listy jsem poskytla i sv´e kamar´adce, atd. A co d´al? Poˇc´ıt´a se v pˇr´ıˇst´ı sez´onˇe s vyuˇzit´ım teorie a ˇreˇsen´ ych u ´loh v r´amci pˇredn´aˇsky z Matematiky II. Pˇripravuj´ı se komentovan´a videa, jejich prim´arn´ım u ´ˇcelem je jejich pouˇzit´ı pro samostudium kombinovan´ ych student˚ u, a soubor testov´ ych u ´loh a ot´azek. Cel´ y bal´ık bude doplnˇen aplikaˇcn´ımi u ´lohami. Literatura: ˇ – [1] P. Kreml, J. Vlˇcek, P. Voln´ y, J. Krˇcek, J. Pol´aˇcek: Matematika II, Skriptum, VSB TU Ostrava, 2007, ISBN 978-80-248-1316-5. [2] P. Schreiberov´a, P. Voln´ y: Worksheets for Mathematics, Sborn´ık semin´aˇre Modern´ı matematick´e metody v inˇzen´ yrstv´ı, 2013, v tisku. [3] http://www.geogebra.org [4] http://www.gnuplot.info/ [5] http://www.miktex.org [6] http://mdg.vsb.cz/ [7] http://www.studopory.vsb.cz
Petra Schreiberov´a ˇ - Technick´a univerzita Ostrava Katedra matematiky a deskriptivn´ı geometrie, VSB 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba
[email protected] Petr Voln´ y ˇ - Technick´a univerzita Ostrava Katedra matematiky a deskriptivn´ı geometrie, VSB 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba
[email protected]
343
