Skripta do matematiky k maturitě 31 – 60
IgMen igmen.wz.cz
2008
Obsah 31
Exponenciální funkce, exponencionální rovnice...............................................................................4 31.1 Exponenciální funkce.....................................................................................................................4 31.2 Exponenciální rovnice....................................................................................................................5 32 Logaritmické funkce, logaritmus, vlastnosti.....................................................................................7 32.1 Logaritmické funkce......................................................................................................................7 32.2 Logaritmus.....................................................................................................................................8 33 Logaritmické rovnice.........................................................................................................................10 34 Vektor, operace s vektory..................................................................................................................12 34.1 Soustava souřadnic, souřadnice bodů...........................................................................................12 34.2 Vzdálenost dvou bodů..................................................................................................................13 34.3 Střed úsečky.................................................................................................................................15 34.4 Vektory.........................................................................................................................................16 34.5 Lineární závislost a nezávislost vektorů.......................................................................................18 34.6 Úhel dvou vektorů........................................................................................................................19 34.7 Skalární součin vektorů................................................................................................................20 34.8 Vektorový součin dvou vektorů...................................................................................................20 35 Analytická geometrie – přímky v rovině a prostoru.......................................................................22 35.1 V rovině........................................................................................................................................22 35.2 V prostoru.....................................................................................................................................26 36 Analytická geometrie – roviny..........................................................................................................27 37 Analytická geometrie – vzájemná poloha přímky a roviny, dvou rovin.......................................30 37.1 Vzájemná poloha přímky a roviny...............................................................................................30 37.2 Vzájemná poloha dvou rovin.......................................................................................................31 38 Analytická geometrie – vzájemná poloha dvou přímek v rovině a prostoru...............................32 38.1 V rovině........................................................................................................................................32 38.2 V prostoru.....................................................................................................................................33 39 Analytická geometrie – metrické úlohy metodou souřadnic..........................................................35 39.1 Odchylky......................................................................................................................................35 39.2 Vzdálenosti...................................................................................................................................37 40 Analytická geometrie kuželoseček – kružnice.................................................................................39 41 Analytická geometrie kuželoseček – elipsa......................................................................................41 42 Analytická geometrie kuželoseček – hyperbola...............................................................................43 43 Analytická geometrie kuželoseček – parabola.................................................................................45 44 Analytická geometrie – vzájemná poloha kuželosečky a přímky..................................................47 44.1 Vzájemná poloha kuželosečky a přímky......................................................................................47 44.2 Tečny kuželoseček.......................................................................................................................47 45 Limita a spojitost funkce...................................................................................................................50 45.1 Diferenciální počet – okolí bodu..................................................................................................50 45.2 Limita funkce...............................................................................................................................50 46 Derivace funkce..................................................................................................................................53 47 Fyzikální a geometrický význam derivace.......................................................................................56 47.1 Geometrický význam derivace.....................................................................................................56 47.2 Fyzikální význam derivace...........................................................................................................56 48 Vyšetřování průběhu funkce.............................................................................................................58 49 Aplikace extrémů funkcí v úlohách..................................................................................................62 50 Neurčitý integrál – metody integrace...............................................................................................66 50.1 Neurčitý integrál – primitivní funkce...........................................................................................66 50.2 Metody integrace..........................................................................................................................67 51 Určitý integrál – užití.........................................................................................................................70 51.1 Určitý integrál..............................................................................................................................70
51.2 Užití určitého integrálu.................................................................................................................70 Posloupnost – vlastnosti, limita posloupnosti..................................................................................73 52.1 Posloupnosti.................................................................................................................................73 52.2 Limita posloupnosti......................................................................................................................74 53 Aritmetická posloupnost...................................................................................................................75 54 Geometrická posloupnost..................................................................................................................76 55 Nekonečná geometrická řada............................................................................................................77 56 Variace, permutace, kombinace.......................................................................................................78 56.1 Faktoriál čísla...............................................................................................................................78 56.2 Kombinatorika..............................................................................................................................78 57 Kombinační číslo – vlastnosti, rovnice s kombinačními čísly........................................................82 57.1 Kombinační číslo..........................................................................................................................82 57.2 Pascalův trojúhelník.....................................................................................................................83 57.3 Binomická věta.............................................................................................................................83 58 Pravděpodobnost................................................................................................................................84 58.1 Náhodné pokusy...........................................................................................................................84 58.2 Pravděpodobnost náhodného jevu................................................................................................84 58.3 Statistická pravděpodobnost.........................................................................................................85 58.4 Podmíněná pravděpodobnost a pravděpodobnost průniku...........................................................85 58.5 Pravděpodobnost sjednocení........................................................................................................86 58.6 Binomické rozdělení pravděpodobnost (Bernoulliho schéma, nezávislé pokusy).......................86 59 Statistika.............................................................................................................................................87 59.1 Grafické znázornění rozdělení četností........................................................................................88 59.2 Charakteristika polohy.................................................................................................................89 59.3 Charakteristika variability............................................................................................................90 60 Důkazy v matematice.........................................................................................................................92 60.1 Logická výstavba matematiky......................................................................................................92 60.2 Důkazy matematických vět..........................................................................................................92 52
31
Exponenciální funkce, exponencionální rovnice
31.1
Exponenciální funkce
Každá funkce na množině R daná výrazem y=a x , kde a je základ mocniny a0, a≠1 . Graf funkce.........exponenciála Základní grafy: 0a1
D f =R H f =〈 0 ; ∞ ani sudá, ani lichá klesající prostá omezená zdola ani maximum, ani minimum inverzní k funkci logaritmické
a1
D f =R H f =〈 0 ; ∞ ani sudá, ani lichá rostoucí prostá omezená zdola ani maximum, ani minimum inverzní k funkci logaritmické
Přirozená exponenciální funkce: y=e x e ...........Eulerovo číslo e≃2,72 Inverzní funkce........funkce, jejíž graf je ke grafu dané funkce souměrný podle osy 1. a 3. kvadrantu f : y=axb x−b −1 f : x=ayb ⇒ y = (funkce inverzní) a
4 / 95
IgMen
Př.:
x 01 – 1=0 ; y 01=−2 x 01=1 x 022=0 ; ; y 02=−0,5 x 02=−2
y 1=0,3 x −1 – 2⇒ y 1=0,3 x ; 1
1
y 2=3 x 2 – 0,5 ⇒ y 2 =3 x 2
31.2
2
Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu.
Základní rovnice a f x=a g x , kde levá i pravá strana mají stejný základ mocniny a0, a≠1 se řeší porovnáním exponentů. Rovnice typu a f x=b g x , kde levá a pravá strana nemají stejný základ mocniny a0, a≠1,b0, b≠1 se řeší pomocí logaritmů f x ⋅log a=g x⋅logb . Složitější exponenciální rovnice se převádějí na jeden z výše uvedených tvarů. Př.: 5 x =625 5 x =54
x=4
2x −5
3
3 5 3 5
5 = 3 2x −5 3 = 5
−3
2x−5=−3 2x=−35 2x=2 x=1
1 25 = 5 2x −x 5 =5 x
2
2
2x=−x 2 x 22x=0 x x 2=0 x 1=0
5 / 95
x
x 22=0 x 2 =−2
IgMen
2−3x
1 =5 x 3 33x− 2=5x log 33x− 2=log 5x 3x−2log 3=x log 5 3x log 3−2 log 3=x log 5 x log 33−x log 5=2 log 3 2 x log 27−log 5=log 3 log 9 x= log 27−log5 x≃1,3
21 8 21 2x 212 x 2−12 x 23= 8 21 x 2 20,58= 8 21 x 2 ⋅10,5= 8 x 2 ⋅21 21 = 2 8 21 8 21 2 2 1 2 x= = ⋅ = = 21 8 21 8 4 2 2 x =2−2 2 x12 x−12 x3=
x=−2
22x⋅5x −22x−1⋅5 x1=−600 2x x 2x −1 x 1 2 ⋅5 −2 ⋅2 ⋅5 ⋅5 =−600 1 2x x 2 ⋅5 ⋅ 1− ⋅5 =−600 2 5 2x x 2 2 ⋅5 ⋅ − =−600 2 2 3 2 2x⋅5 x⋅ − =−600 2 600 2 2x⋅5 x = 3 2 2 2x x 2 ⋅5 =600⋅ 3 1200 2x x 2 ⋅5 = 3 x x 4 ⋅5 =400 20 x =20 2
x=2
1 x 1 x ⋅2 ⋅4 =9 ∣⋅4 4 2 4 x 4 x ⋅2 ⋅4 =36 4 2 2 x 2⋅2 x⋅2 x =36 2⋅2 x 2 x −36=0 2 x= y 2y 2 y−36=0 2
−1± 1−4⋅2⋅−36 −1± 289 = = 2⋅2 4 −117 16 = =4 −1±17 4 4 = = 4 −1−17 18 =− =−4,5 4 4 y 12=
y1=4 x 2 =4 x 2 2 =2 1
1
x 1=2
6 / 95
y 2=−4,5 x 2 =−4,5 x log 2 =log −4,5 2
2
nemá smysl
IgMen
32
Logaritmické funkce, logaritmus, vlastnosti
32.1
Logaritmické funkce
Logaritmická funkce o základu a je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y=a x , kde a je libovolné kladné číslo různé od 1. Logaritmická funkce je dána výrazem y=log a x . Graf funkce.........logaritmická křivka Základní grafy: 0a1
D f =0 ; ∞ H f =R ani sudá, ani lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum inverzní k funkci exponenciální
a1
D f =0 ; ∞ H f =R ani sudá, ani lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum inverzní k funkci exponenciální
Přirozená exponenciální funkce: y=ln a x e ...........Eulerovo číslo e≃2,72
7 / 95
IgMen
Př.:
x 01 4=0 ; y 01=−1 x 01=−4 −x 022=0 y 2=−log 5 −x 22 ⇒ y 2=−log 5 −x 2 ; ; y 02=0 x 02 =2 y 3=log∣x 3∣⇒ y 3=log∣x3∣ ; x 03=0 ; y 03 =0 y 1=log 2 x1 4 – 1⇒ y 1=log 2 x 1 ;
32.2
Logaritmus Logaritmus je číslo, na které se musí umocnit základ, aby vzniklo logaritmované číslo. log a r=v ⇔ av =r
log a a=1 log a 1=0
log a log b a= c log c b
log a rs =log a r log a s r log a =log a r – log a s s a ∈ R −{1}; r ∈ R ; s∈R
log a s r =r⋅log a s a ∈ R −{1}; r ∈ R ; s∈R
8 / 95
IgMen
Typy logaritmů: dekadický logaritmus........ log 10 a=log a přirozený logaritmus........ log e a=ln a e ...........Eulerovo číslo e≃2,72
Př.: log 3 x=4 4 x=3 x =81
1 =−3 27 1 1 −3 −3 a = = 3 =3 27 3 log a
1 log x= log a2 log b 2
log 2 2 2=log 2 2 2= 4 8 =log 2log 2log 2= 4
1 2
1
log x=log a log b 2 log x=log alog b2 log x=log a b 2
1
8
1
=log 2 2 log 2 4 log 2 8 = 1 1 1 7 = log 2 log 2 log 2= log 2 2 4 8 8
x= a b 2 log
log
xy =log xy – log z=log xlog y – log z z
3
a b
=log 2
b a2
2 a 3 b −log 2 = b a
3
x=
1 2
2 3
a a a a =log −log 3 2 =log 1 −log 2 = b b b2 b3
1
2
1
2
2
= log a 2 −log b 2 − log a 3 −log b 3 = 1 2
log x=2 logab – 3 loga−b log x=log ab2 – log a−b3 ab2 log x=log a−b 3
1 2
2 3
2 3
=log a −logb −log a logb = 1 1 2 2 = log a− log b− log a logb= 2 2 3 3 3 3 4 4 = log a− log b− log a log b= 6 6 6 6 1 1 =− log a log b 6 6
ab2 a−b3
5x 2⋅ y =log 5x 2⋅ y – log y 3= 3 y =log 5log x 2 log y−log y 3=
log
1
=log 52 log x log y 2 −3 log y= 1 6 =log 52 log x log y− log y= 2 2 5 =log 52 log x − log y 2
9 / 95
IgMen
33
Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice jsou rovnice, které mají neznámou jako logaritmovaný výraz nebo se neznámá vyskytuje jako základ logaritmu.
Do řešení logaritmických rovnic patří kromě podmínky také zkouška.
Př.: 5 log x3 log x5 = – 2 ∣⋅3 log x−4 3 log x – 4 3 log x – 4 5 log x33 log x – 4 log x53 log x – 4 = – 2 3 log x −4 3 log x – 4 3 log x – 4 5 log x3=log x5−2 3log x – 4 5 log x3=log x5 – 6 log x8 5 log x3=−5 log x13 10 log x=10 10 log x= 10 log x=1 x=10
10 / 95
podmínky: x0 3 log x – 4≠0 3 log x≠4 4 log x= 3 4
x=10 3
zkouška: 5 log x3 log x5 = –2 3 log x – 4 3 log x – 4 5 log103 log 105 = –2 3 log10 – 4 3 log10 – 4 53 15 = –2 3–4 3–4 8 6 − =− – 2 1 1 −8=−6−2 −8=−8
IgMen
log x2 – log x−1=2 – log 4 x2 log =log 100 – log 4 x−1 x2 100 log =log x−1 4 x2 log =log 25 x −1 x2 =25 ∣⋅ x−1 x−1 x2 x−1 =25 x−1 x−1 x2=25x−25 27=24x 27 =x 24 9 =x 8
podmínky: x20 x−10 x−2 x1 x1 zkouška: log x2 – log x−1=2 – log 4 9 9 log 2 −log −1 =2−log 4 8 8 9 16 9 8 log −log − =2−log 4 8 8 8 8 25 1 log −log =log100−log 4 8 8 25 8 100 log =log 1 4 8 25 8 log ⋅ =log 25 8 1 log 25=log 25
log 2 x2 log x – 3=0 log x22 log x – 3=0
podmínky: x0
log x= y
zkouška: log 2 x 12 log x 1 – 3=0 log 2 102 log10 – 3=0 122−3=0 12−3=0 0=0
y 22x – 3=0 −2± 2 2 – 4⋅1⋅−3 −2± 412 y 12= = = 2⋅1 2 −24 2 = =1 −2± 16 −2±4 2 2 = = = 2 2 −2−4 6 =− =−3 2 2 y 1=1
y 2=−3
log x 1=1 x1=10
log x 2=−3 x 2 =0,001
log 2 x 22 log x 2−3=0 2 log 0,0012 log0,001−3=0 −322⋅−3−3=0 9−6−3=0 0=0
11 / 95
IgMen
34
Vektor, operace s vektory
34.1
Soustava souřadnic, souřadnice bodů
Kartézská soustava souřadnic (ortonormální soustava souřadnic) – je to taková soustava souřadnic, která má všechny osy navzájem kolmé a na všech osách jsou jednotky stejné délky. Dělí se podle počtu os: • přímka – jednorozměrný prostor E 1− A[ x A ] • rovina – dvojrozměrný prostor E 2− A[ x A ; y A ]
• prostor – trojrozměrný prostor E 3− A[ x A ; y A ; z A ]
Př.: A1 [1] A2 [4] A3 [−2] A1 [1 ; 2] A2 [2 ;−3] A3 [−2 ; 1,5]
12 / 95
IgMen
A1 [2 ; 4 ; 4] A2 [2 ;−3 ; 1,5] A3 [−2 ; 1,5 ;−1]
34.2
Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost bodů A, B je rovna velikosti úsečky ∣AB∣ .
Vzdálenost na přímce:
∣AB∣=∣x A− x B∣=∣x B− x A∣
13 / 95
IgMen
Vzdálenost v rovině: ∣AB∣=∣x A− x B∣ ∣CD∣=∣ yC − y D∣ EFG je pravoúhlý ∣EF∣2=∣EG∣2∣FG∣2 2 2 2 ∣EF∣ =∣x E −x F∣ ∣ y E − y F∣ ∣EF∣2= x F −x E 2 y F − y E 2 ∣EF∣= x F − x E 2 y F − y E 2
Vzdálenost v prostoru: ∣AB∣= x A −x B 2 y A− y B2 z A− z B 2
Př.: Jaká je vzdálenost mezi danými body? A=[−2]; B=[7] ∣AB∣=∣x A −x B∣=∣−2−7∣=∣−9∣=9 A=[−1 ;−1]; B=[11 ;−6] ∣AB∣= x B −x A2 y B− y A2= [11−−1] 2[−6−−1]2= 1112−612 =
= 122−52= 14425= 169=13
A=[−1 ;5 ; 1] ; B=[1 ; 1 ;−2] 2 2 2 2 2 2 ∣AB∣= x B −x A y B− y A z B −z A = [1−−1] [1−5] [−2−1] =
= 112 −42−32= 22−42−32= 4169= 29
14 / 95
IgMen
34.3
Střed úsečky x A x B 2 y A y B yS = 2 z Az B z S= 2 xS =
Souřadnice středu úsečky jsou aritmetickým průměrem souřadnic obou krajních bodů.
S=
AB ⇒ 2
Př.: Jaké souřadnice mají středy daných úseček? A=[−2]; B=[7] x x −27 5 xS = A B = = 2 2 2 5 S= 2
[]
A=[−1 ;−1]; B=[11 ;−6] x x −111 10 xS = A B = = =5 2 2 2 y A y B −1−6 −1−6 7 yS = = = =− 2 2 2 2 7 S= 5 ;− 2
[
]
A=[−1 ;5 ; 1] ; B=[1 ; 1 ;−2] x x −11 0 xS = A B = = =0 2 2 2 y A y B 51 6 yS = = = =3 2 2 2 z A z B 1−2 1−2 1 z S= = = =− 2 2 2 2 1 S= 0 ; 3 ;− 2
[
]
15 / 95
IgMen
34.4
Vektory Vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček téže velikosti.
Orientovaná úsečka AB A...........počáteční bod B...........koncový bod Nulová orientovaná úsečka – úsečka, u které počáteční a koncový bod splývají. Rovnoběžnost orientovaných úseček: souhlasně rovnoběžné orientované úsečky koncové body náleží téže polorovině
splývající rovnoběžné orientované úsečky nesouhlasně rovnoběžné orientované úsečky koncové body nenáleží téže polorovině
Velikost orientované úsečky AB
∣ AB∣=∣AB∣ Vektor – množina všech orientovaných úseček, které mají stejný směr a velikost.
Označení vektoru AB
AB=u
Souřadnice vektoru: A=[ x A ; y A ; z A ]; B=[ x B ; y B ; z B ] x u =x B – x A y u= y B – y A z u =z B – z A u = x u ; y u ; z u
16 / 95
IgMen
Př.: Jaké souřadnice má vektor daný dvěma body? A=[3 ; 2 ]; B=[7 ; 10] x u =x B – x A=7−3=4 y u= y B – y A=10−2=8 u =4 ; 8
Velikost vektoru: ∣ u∣=∣ AB∣=∣AB∣ ∣ u∣= x 2u y 2u z 2u Operace s vektory: rovnost vektorů
opačný vektor
u = x u ; y u ; z u ; v = x v ; y v ; z v x u= x v y u= y v u =v ⇔ z u= z v AB= u BA=−u opačný vektor má stejnou velikost a je nesouhlasně rovnoběžný u = x u ; y u ; z u ;−v =−x u ;− y u ;−z u u −u =0
násobení konstantou
u = x u ; y u ; z u ; v = x v ; y v ; z v x u=k⋅x v y u=k⋅y v u =k⋅v ⇔ z u=k⋅z v
sčítání vektorů
u = x u ; y u ; z u v = x v ; y v ; z v w u v = x w = x u x y y w= y u y y z w =z u z y w = x w ; y w ; z w
rozdíl vektorů
u = x u ; y u ; z u v = x v ; y v ; z v w u − v = x w = x u− x y y w= y u − y y z w =z u −z y w = x w ; y w ; z w
17 / 95
IgMen
Př.: u =−2 ; 3; v = 4 ; 5 w u v = x w = x u x v =−24=2 y w = y u y v =35=8 w =2 ; 8
34.5
w u −v = x w = x u−x v =−2−4=−6 y w = y u − y v =3−5=−2 w =−6 ;−2
Lineární závislost a nezávislost vektorů
u , v jsou lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru. Dva vektory u =k⋅v ; k ∈ R u , v , w Tři vektory jsou lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit ve tvaru: w v ; k , l ∈R . Vektor w u a v . =k⋅u l⋅ se pak nazývá lineární kombinací vektorů
Př.: u =2 ;−1 ; 0 ; v =4 ;−2 ; 0
u =k⋅v x u =k⋅x v ⇒ 2=4k ⇒ k =
1 2
y u=k⋅y u ⇒−1=−2k ⇒ k = z u =k⋅z u ⇒ 0=0k ⇒ k =
1 2
1 2
1 u = v 2 vektory jsou lineárně závislé
k =2 l=−3 −4=k 2l −4=22⋅−3 −4=2−6 −4=−4
7=2k−l 7=2⋅2−−3 7=43 7=7
3=3kl 3=3⋅2−3 3=6−3 3=3
w =2 u – 3 v vektory jsou lineárně závislé
18 / 95
IgMen
u =1 ; 2 ; 3 ; v =2 ;−1 ; 1 ; w =−4 ; 7 ; 3
w v =k⋅u l⋅ x w =k⋅x ul⋅x v ⇒−4=k 2l k =−4−2l y w =k⋅y ul⋅y v ⇒ 7=2k−l 7=2−4−2l −l 7=−8−4l−l 7=−8−5l 5l=−8−7 5l=−15 l =−3 z w =k⋅z u l⋅z v ⇒3=3k1 3=3 −4−2ll 3=−12−6ll 3=−12−5l 5l=−12−3 5l=−15 l=−3 k =−4−2l=−4−2⋅−3=−46=2 7=2k −l 3=3kl 7=2k−−3 3=3k−3 7=2k3 33=3k 7−3=2k 6=3k 4=2k 2=k 2=k
34.6
Úhel dvou vektorů
u , v =0° souhlasně rovnoběžné vektory............. ∢ v =180 ° nesouhlasně rovnoběžné vektory......... ∢ u , v rovině v prostoru
x ⋅x y ⋅y u⋅v cos = = u v u v ∣ u∣⋅∣v∣ ∣ u∣⋅∣v∣ cos =
x ⋅x y ⋅y z ⋅z ⋅v u = u v u v u v ∣ u∣⋅∣v∣ ∣ u∣⋅∣ v∣
Př.: u =−2 ; 1 ; 2 ; v =−2 ;−2 ;1 ∣ u∣= x 2u y 2u z 2u= −221222= 414= 9=3 ∣v∣= x 2v y 2v z 2v = −22 −221 2= 441= 9=3 x ⋅x y ⋅y z ⋅z −2⋅−21⋅−22⋅1 4−22 4 u⋅v cos = = u v u v u v= = = ∣ u∣⋅∣v∣ ∣ u∣⋅∣ v∣ 3⋅3 9 9 =63° 36 ' 44 ' '
19 / 95
IgMen
34.7
Skalární součin vektorů
na přímce
u⋅v =x u⋅x v
v rovině
u⋅v =x u⋅x v y u⋅y v
v prostoru
u ⋅v =x u⋅x v y u⋅y v z u⋅z v
Je-li výsledek skalárního součinu vektorů nulový, pak jsou vektory na sebe kolmé. Př.: Jakou velikost má y v ? u =1 ;−2 ; 3 ; v =4 ; y v ;−2 ; u⋅v =−2
u⋅ v =x u⋅x v y u⋅y v z u⋅z v −2=1⋅4−2⋅y v 3⋅−2 −2=4−2y v −6 −2=−2−2y v 2y v =−22 2y v =0 y v =0
34.8
Vektorový součin dvou vektorů
Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce je nulový vektor. u a v neležících na jedné přímce je vektor w Vektorový součin dvou vektorů , který má tyto vlastnosti: u a v je kolmý k vektorům • vektor w se dá určit pravidlem pravé ruky • směr vektoru w ∣ w ∣=∣ u ∣ ⋅ ∣ v ∣ ⋅sin • vew w= u ×v u = x u ; y u ; z u v = x v ; y v ; z v w u ×v = yu yv
zu zv
xu xv
yu yv
x w = y u⋅z v – z u⋅y v y w =z u⋅x v – x u⋅z v z w =x u⋅y v – y u⋅x v w = x w ; y w ; z w
20 / 95
IgMen
Př.: u =1 ; 3 ;−1 ; v =2 ; 4 ; 5 w u ×v = 3 −1 1 3 4 5 2 4 x w = y u⋅z v – z u⋅y v =3⋅5−−1⋅4=154=19 y w =z u⋅x v – x u⋅z v =−1⋅2−1⋅5=−2−5=−7 z w =x u⋅y v – y u⋅x v =1⋅4−3⋅2=4−6=−2 w = x w ; y w ; z w =19 ;−7 ;−2
w u ×v = w =−19 ; 7 ; 2
21 / 95
IgMen
35 35.1
Analytická geometrie – přímky v rovině a prostoru V rovině p q u n
.....přímka ......úsek ......směrový vektor přímky ......normálový vektor přímky
A=[ x A ; y A ] B=[ x B ; y B ] X =[ x ; y ] u = AB= x B −x A ; y B − y A= x u ; y u n = x n ; y n = y u ;−x u =−y u ; x u
Parametrické rovnice přímky: AX ∥ u AX =t⋅u X − A=t⋅ u X = At⋅ u
t .......parametr, t ∈ R
x= x Ax u t y= y A y u t
22 / 95
IgMen
Př.: Jaké jsou parametrické rovnice přímky p, je-li dán bod A a směrový vektor ver u ? A=[1 ;−2]; ver u=−2 ; 3 x= x A x u t=1−2 t=1−2t y= y A y u t=−23t
Jaké souřadnice mají body B ležící na dané přímce, je-li parametr t roven 0 ; 1 ;−2 ; t 1=0 x 1=x A x u t=1−2t 1=1−2⋅0=1 y 1= y A y u t=−23t 1=−23⋅0=−2 B1=[1 ;−2] t 2=1 x 2=1−2t 2=1−2⋅1=−1 y 2=−23t 2 =−23⋅1=1 B2 =[−1 ;1]
1 ? 2
t 3=−2 x 3=1−2t 3=1−2⋅−2=14=5 y 3=−23t 3=−23⋅−2=−2−6=−8 B3=[5 ;−8] t 4=
1 2
1 x 4 =1−2t 4=1−2⋅ =1−1=0 2 1 4 3 1 y 4=−23t 4=−23⋅ =− =− 2 2 2 2 1 B 4=[0 ;− ] 2
Náleží body M a N přímce p? M =[5 ; 3] ; N =[−15,5 ; 0] x=−53t p: y=72t M =[5 ; 3] x=−53t y=72t 5=−53t 3=72t 55=3t 3−7=2t 10=3t −4=2t 10 =t 3 −2=t M∉p
N =[−15,5 ; 0] x=−53t y=72t −15,5=−53t 0=72t −15,55=3t −7=2t −10,5=3t −3,5=t −3,5=t −3,5=t N∈p
23 / 95
IgMen
Obecná rovnice přímky: axbyc=0 n =a ; b ............normálový vektor přímky je nenulový vektor, který je k dané přímce kolmý
n ? Př.: Jaká je obecná rovnice přímky p, je-li dán bod A a normálový vektor A=[−1 ; 2]; n=3 ; 2 axbyc=0 3x2yc=0 3⋅−12⋅2c=0 −34c=0 1c=0 c=−1 3x2y−1=0
Směrnicový tvar přímky: y=kxq yB– yA .........směrnice přímky x B− x A q ..................................úsek – bod, ve kterém protíná přímka osu x k =tg =
Př.: Jaký je směrnicový tvar přímky p, jsou-li dány bod A a B? A=[0 ; 0 ]; B=[1 ; 3] yB – yA 3 –0 3 = = = 3⇒ =60 ° x B – x A 1−0 1 A=[0 ; 0 ]⇒ q=0
k =tg =
y= 3 x0= 3 x
24 / 95
IgMen
Převody rovnic přímek: u = x u ; y u n = x n ; y n = y u ;−x u =−y u ; x u u⋅ n =x u⋅x n y u⋅y n=x u⋅y u − y u⋅x u =−x u⋅y u y u⋅x u=0
parametrická obecná x=x Ax u t y= y A y u t A=[ x A ; y A ]=[a ; b] u = x u ; y u ⇒ n = y u ;−x u =−y u ; x u = x n ; y n axbyc=0
obecná parametrická axbyc=0 A=[a ; b]=[ x A ; y A ] n = x n ; y n ⇒u= y n ;−x n =− y n ; x n= y u ; x u x =x Ax u t y= y A y u t
obecná směrnicová axbyc=0 by=−ax−c −ax−c y= b a c y=− x− b b y=kxq
Př.: Jaké jsou ostatní rovnice přímky −2x3y−1=0 ? parametrické rovnice n =−2 ; 3⇒ u=3 ; 2=−3 ;−2 A: volba: x=1 −2⋅13y−1=0 y=1 A=[1 ; 1] x=13t y=12t
směrnicový tvar 3y=2x1 2x1 y= 3 2 1 y= x 3 3
25 / 95
IgMen
35.2
V prostoru
Parametrické rovnice přímky: X =Au⋅t x= x A x u t y= y A y u t z =z Az u t
Př.: Jakou rovnici má přímka, je-li dána body A a B? A=[3 ;−2 ; 5] ; B=[4 ; 2 ;−2] u = AB=4−3 ; 22 ;−2−5=1 ; 4 ;−7 x=3t y=−24t z =5−7t Leží dané body na přímce?
p: x=5−2t A=[7 ;−7 ; 6] y=−34t B=[ 0 ; 0 ; 0] z =2−4t C =[ 2 ;−2 ; 8] x A=5−2t A y A=−34t A 7=5−2t A −7=−34t A 2t A =5−7 −73=4t A 2t A=−2 −4=4t A t A =−1 −1=t A A∈ p
z A=2−4t A 6=2−4t A 4t A=26 4t A=−4 t A=−1
x B=5−2t B 0=5−2t B 2t B=5 5 t B= 2 B∉ p
y B =−34t B 0=−34t B 3=4t B 3 =t 4 B
x C =5−2t C y C =−34t C 2=5−2t C −2=−34t C 2t C =5−2 −23=4t C 2t C =3 1=4t C 3 1 t C= =t 2 4 C C∉p
26 / 95
z B=2−4t B 0=2−4t B 4t B=2 1 t B= 2 z C =2−4t C 8=2−4t C 4t C =2−8 4t C =−6 3 t C =− 2
IgMen
36
Analytická geometrie – roviny ..........rovina u , v ......směrové vektory roviny n ...........normálový vektor roviny A=[ x A ; y A ; z A] B=[ x B ; y B ; z B ] C=[ x C ; y C ; z C ] X =[ x ; y ; z ] u = AB= x B −x A ; y B − y A ; z B −z A = xu ; y u ; z u AC = x C − x A ; y C − y A ; z C −z A = x v ; y v ; z v v = n = x n ; y n ; z n
Parametrické rovnice roviny: AX =k⋅ u l⋅ v X −A=t⋅us⋅v X =At⋅us⋅v x= x A x u tx v s y= y A y u t y v s z =z Az u tz v s
Př.: Jakou rovnici má rovina, je-li dána body A, B a C? A=[0 ;0 ;4 ]; B=[3 ;2 ;−1]; C =[0 ; 5 ; 2] u = AB=3−0 ; 2−0 ;−1−4=3 ; 2 ;−5 v = AC =0−0 ; 5−0 ; 2−4=0 ; 5 ;−2 x=03t0s=3t y=02t 5s=2t 5s z =4−5t−2s
27 / 95
IgMen
Obecná rovnice roviny: axbycz d =0 n =a ; b ; c ... normálový vektor roviny je nenulový vektor, který je k dané rovině kolmý a je tedy kolmý ke směrovým vektorům dané roviny
Př.: n ? Jakou rovnici má rovina, je-li dána bodem A a normálovým vektorem A=[2 ; 2 ; 5]; n=3 ; 2 ;−1 3x2y− zd =0 3⋅22⋅2 – 5d =0 64−5d =0 5d =0 d =−5
3x2y− z−5=0
Zvláštní případy obecné rovnice: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
d =0 z =0 x=0, d =0 y=0, z =0 y=0, z =0, d =0 x=0, y=0
rovina prochází počátkem rovina je rovnoběžná s osou z rovina obsahuje osu x rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou yz rovina yz rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou xy
28 / 95
3x−2y− z=0 3x−2y−10=0 y−3x=0 2x3=0 x=0 z −1,5=0
IgMen
Převod parametrických rovnic na rovnici obecnou: n = u ×v
Př.: Jakou má rovina obecnou rovnici, je-li dána rovnicemi parametrickými? x=3−2t3s y=1t−2s z =3−4ts A=[3 ; 1 ; 3]; u=−2 ; 1 ;−4 ; v =3 ;−2 ; 1
n = u ×v x n = y u⋅z v – z u⋅y v =1⋅1−−4⋅−2=1−8=−7 y n= z u⋅x v – xu⋅z v =−4⋅3−−2⋅1=−12−−2=−122=−10 z n =x u⋅y v – y u⋅x v =−2⋅−2−1⋅3=4−3=1 n =−7 ;−10 ; 1 −7x−10y zd =0 −7⋅3 – 10⋅13d =0 −21−103d =0 −28d =0 d =28 −7x−10y z28=0
29 / 95
IgMen
37 Analytická geometrie – vzájemná poloha přímky a roviny, dvou rovin 37.1
Vzájemná poloha přímky a roviny
p .....přímka ......rovina rovnoběžné up⋅n =0 splývající p⊂ A∈ p A∈
různoběžné up⋅n ≠0 různé p⊄ A∈ p A∉ průsečík P – z parametrické rovnice přímky p se dosadí do rovnice roviny vyjádří se parametr t p parametr se dosadí zpět do parametrických rovnic přímky p a vyjdou souřadnice průsečíku P
Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny?
p:
x p=t p y p =1−t p z p=3−2t p
p:
x p=2t p y p =32t p z p=1−t p
:
3x5y−z −2=0
:
x−2yz −5=0
up =1 ;−1 ;−2 ; np=3 ; 5 ;−1 up⋅np=1⋅3−1⋅5−2⋅−1= =3−52=0 rovnoběžné A=[0 ; 1 ; 3] 3⋅05⋅1 – 3 – 2=0 5−3−2=0 0=0 A∈ splývající
up =1 ; 2 ;−1 ; np =1 ;−2 ; 1 up⋅np=1⋅12⋅−2−1⋅1= =1−4−1=−4 různoběžné
x−2yz−5=0 2t p −232t p 1−t p−5=0 2t p−6−4t p 1−t p−5=0 −8−4t p=0 −8=4t p −2=t p x=2t p =2−2=2−2=0 y=32t p=32⋅−2=3−4=−1 z =1−t p=1−−2=12=3 P=[0 ;−1 ; 3]
30 / 95
IgMen
37.2
Vzájemná poloha dvou rovin
, ......rovina rovnoběžné n=k⋅n splývající jedna obecná rovnice roviny je násobkem druhé obecné rovnice roviny
různoběžné n≠k⋅n
různé jedna obecná rovnice roviny není násobkem druhé obecné rovnice roviny
průsečnice p – přímka, jejíž směrový vektor up se vypočítá vektorovým součinem normálových vektorů n a n rovin a směrový vektor up přímky p se dosadí do obecných rovnic rovin a vypočítají se souřadnice bodu A tak, že se dosadí do jedné ze souřadnic libovolné číslo (např. x=0 ) a zbylé souřadnice se dopočítají jako soustava dvou rovnic o dvou neznámých z bodu A a směrového vektoru up přímky p lze vytvořit parametrické rovnice průsečnice p
Př.: Jaká je vzájemná poloha dvou rovin? : 3x y – 5z −12=0 : 2x 6z −3=0
: 3x 7yz 4=0 : 9x 21y 3z 12=0
n=3 ; 1 ;−5; n =2 ; 0 ;−3 n≠k⋅n různoběžné
n=3 ; 7 ; 1 ; n =9 ; 21 ; 3 1 n≠ ⋅n 3 rovnoběžné 9x 21y 3z 12=0 3⋅3x 7y z 4=0 splývající
up =n × n x p= y ⋅z −z ⋅y =1⋅6−−5⋅0=6−0=6 y p =z ⋅x −x ⋅z =−5⋅2−3⋅6= =−10−18=−28 z p=x ⋅y − y ⋅x =3⋅0−1⋅2=0−2=−2 up =6 ;−28 ;−2 x=0
p:
1 2⋅06z−3=6z−3 ⇒6z=3 ⇒ z= 2 5 524 27 3⋅0 y−5z−12= y−5z−12⇒ y=5z12= 12= = 2 2 2 27 1 A= 0 ; ; 2 2
[
]
31 / 95
x p=6t p 27 y p = −28t p 2 1 z p= −2t p 2
IgMen
38 Analytická geometrie – vzájemná poloha dvou přímek v rovině a prostoru 38.1
V rovině
p , q ..........přímky up , uq ........směrové vektory přímek p a q np , nq ........normálové vektory přímek p a q
rovnoběžné up =k⋅uq ; np =k⋅nq splývající jedna obecná rovnice přímky je násobkem druhé obecné rovnice přímky
různoběžné up ≠k⋅uq ; np ≠k⋅nq
různé jedna obecná rovnice přímky není násobkem průsečík P – bod, ve kterém se přímky p a q druhé obecné rovnice protínají – vypočítá se převedením rovnic přímek p a q na parametrické rovnice, u kterých se porovnají přímky x-ové a y-ové části, z nichž vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých – parametry t a s, poté se jeden z těchto parametrů dosadí do parametrických rovnic přímky (t do p nebo s do q) a vypočítá se průsečík P
Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny?
p:
x p=13t y p =2−t
q:
x q =2−4s y q=1s
up =3 ;−1; uq =−4 ; 1 up ≠k⋅uq různoběžné x p =x q 13t=2−4s 3t4s=2−1 3t4s=1
y p= y q 2−t=1s 2−1=ts ts=1
p: q:
3x p 2y p – 1=0 −6x q−4y q 2=0
np=3 ; 2 ; nq=−6 ;−4 1 np=− nq 2 rovnoběžné −6x q −4y q2=0 −2⋅3x q2yq −1=0 splývající
3t 4s=1 ts=1⇒ t=1−s 31−s 4s=1 3−3s4s=1 s=1−3 s=−2
t=1−s t=1−−2 t=12 t=3
x p=13t=13⋅3=19=10 y p =2−t=2−3=−1 P=[10 ;−1] P:
32 / 95
IgMen
38.2
V prostoru
p , q ..........přímky up , uq ........směrové vektory přímek p a q np , nq ........normálové vektory přímek p a q rovnoběžné up =k⋅uq ; np=k⋅nq splývající A∈ p A∈q
nerovnoběžné up ≠k⋅uq ; np ≠k⋅nq různé A∈ p A∉q
různoběžné P existuje
mimoběžné P neexistuje
průsečík P – bod, ve kterém se přímky p a q protínají – vypočítá se z parametrických rovnic přímek p a q, u kterých se porovnají x-ové, y-ové a z-ové části, z nichž vzniknou dvě rovnice o dvou neznámých – parametry t a s, poté se jeden z těchto parametrů dosadí do parametrických rovnic přímky (t do p nebo s do q) a vypočítá se průsečík P
Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a roviny? p:
x p=−13t y p =3t z p=2t
q:
x q =−4948s y q=−3737s y q=4s
3t−48s=−48 3⋅2s−48s=−48 6s−48=−48 −42s=−48 48 s= 42 8 s= 7
np=3 ; 1 ; 2 ; nq=48 ; 37 ; 4 np≠k⋅nq nerovnoběžné x p=x q −13t=−4948s 3t−48s=−48
y p= y q 3t=−3737s t−37s=−40
t−37s=−40 2s−37s=−40 −35s=−40 40 s= 35 8 s= 7
P:
8 x q =−4948s=−4948⋅ = 7 384 −343384 41 =−49 = = 7 7 7 8 y q=−3737s=−3737⋅ = 7 296 −343296 47 =−37 = =− 7 7 7 8 32 z q =4s=4⋅ = 7 7 41 47 32 P= ;− ; 7 7 7
z p=z q 2t=4s t=2s
[
33 / 95
]
IgMen
p:
x p=13t y p =2−t z p=32t
q:
x q =3−6s y q=12s z q =−1−4s
np=3 ;−1 ; 2 ; nq=−6 ; 2 ;−4 1 np= nq 2 rovnoběžné A in p ; A=[1;2;3]
1 3 1 y q=12s ⇒ 2=12s ⇒1=2s ⇒ s= 2 z q =−1−4s ⇒ 3=−1−4s ⇒ 4s=−4 ⇒ s=−1 různé x q =3−6s ⇒1=3−6s ⇒ 6s=2⇒ s=
34 / 95
IgMen
39 39.1
Analytická geometrie – metrické úlohy metodou souřadnic Odchylky
Dvě přímky v rovině: Odchylka ∈ 〈 0 ° ; 90 ° 〉 dvou přímek ze směrových (normálových) vektorů up , uq np , nq se vypočítá podle vzorce: ∣up⋅uq∣ ∣np⋅nq∣ cos = = ∣up∣⋅∣uq∣ ∣np∣⋅∣nq∣
Př.: p: q:
2x−3y3=0 5x− y−10=0
np=2 ;−3 ; nq=5 ;−1
∣np⋅nq∣=∣2⋅5−3⋅−1∣=∣103∣=∣13∣=13
cos =
∣np∣= 2 2−32= 49= 13 ∣nq∣= 5 2−12= 251= 26
=
∣np⋅nq∣ 13 13 = = = ∣np∣⋅∣nq∣ 13⋅ 26 13⋅13⋅ 2
13 1 2 = ⋅ 2 ocver 2= ⇒ =45 ° 2 13 2 2
Dvě přímky v prostoru:
cos =
∣up⋅uq∣ ∣up∣⋅∣uq∣
cos =
∣np⋅nq∣ ∣np∣⋅∣nq∣
Dvě roviny v prostoru:
35 / 95
IgMen
Přímka a rovina:
∣up⋅n∣ ∣up∣⋅∣n∣
cos =
=90 °−
Př.: p:
x=1t y=−4t z =−3t up =1 ;−4 ;1
q:
x=2s y=−2−2s z =−s
p:
uq=2 ;−2 ;−1
x=1t y=−4t z =−3t
:
2x−2y−z1=0 n=2 ;−2 ;−1
up =1 ;−4 ;1
∣up⋅uq∣=∣1⋅2−4⋅−21⋅−1∣=
∣up⋅n∣=∣1⋅2−4⋅−21⋅−1∣=
=∣28−1∣=∣9∣=9 ∣up∣= 12−4212 = 1161= = 18= 9⋅ 2=3 2 ∣uq∣= 22 −22−12= 441= = 9=3
=∣28−1∣=∣9∣=9 ∣up∣= 12−4212= 1161= = 18= 9⋅ 2=3 2 ∣n∣= 2 2−22−12 = 441= = 9=3
cos =
∣up⋅uq∣ 9 9 1 2 = = = ⋅ = ∣up∣⋅∣uq∣ 3 2⋅3 9 2 2 2
2 = ⇒ =45° 2
∣up⋅n∣ 9 9 1 2 = = = ⋅ = u ⋅ n 3 2⋅3 9 2 2 2 ∣ p∣ ∣ ∣
cos =
2 = ⇒ =45° 2 =90 °−=90 °−45° =45 °
36 / 95
IgMen
39.2
Vzdálenosti
Bod a přímka v rovině: p : axbyc=0 A=[ x A ; y A ]
v=
∣ax A by A c∣ ∣np∣
Bod a přímka v prostoru: x= x A x u t X =[ x X ; y X ; z X ] y= y A y u t z =z Az u t Vypočítat obecnou rovnici roviny , která je kolmá k přímce p a obsahuje bod X: up = x u ; y u ; z u =a ; b ; c ax X by X cz X d =0⇒ d : axbycz d =0 Vypočítat souřadnice bodu P, který je průsečíkem přímky p s rovinou : a x A x u t b y A y u t c z Az u td =0 ⇒t P: x p=x Ax u t y p = yA yu t z p=z A z u t P=[ x p ; y p ; z p ] Vzdálenost bodu a přímky: v =∣ XP∣ p:
Bod a rovina: p : axby czd =0 A=[ x A ; y A ; y A ]
∣ax Aby Acz Ad ∣ ∣np∣
v=
Př.: p : 3x−4y5=0 A=[−1 ;1]
∣ax Aby Ac∣ ∣3⋅−1−4⋅15∣ ∣−3−45∣ ∣−2∣ 2 = 2 = = = 916 25 5 ∣np∣ 3 −42
v=
37 / 95
IgMen
p:
x=3t y=52t z =−t
X =[0 ; 2 ; 3]
up =1 ; 2 ;−1 ax X by X cz X d =0 : 1⋅02⋅2−1⋅3d =0 04−3d =0 1d =0 d =−1 x2y−z−1=0 P:
a x A x u tb y A y u t c z A z u td =0 3t 252t−−t −1=0 3t104tt−1=0 6t 12=0 6t =−12 t=−2 x p=x Ax u t=3t=3−2=3−2=1 y p = y A y u t=52t=52⋅−2=5−4=1 z p=z A z u t=−t=−−2=2 P=[ x p ; y p ; z p ]=[1 ; 1 ; 2]
XP= x p−x X ; y p− y X ; z p−z X =1−0 ; 1−2 ; 2−3=1 ;−1 ;−1 v=∣ XP∣= 12−12−12= 111= 3
38 / 95
IgMen
40
Analytická geometrie kuželoseček – kružnice Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost r. r =∣XS∣ ..........poloměr kružnice S=[m ;n] ......střed kružnice X =[ x ; y ] ......bod ležící na kružnici x 2 y 2=r 2 .....středová rovnice kružnice se středem v bodě S=[0 ; 0] x−m2 y−n2=r 2 ... středová rovnice kružnice se středem v bodě S=[m ; n] x 2 y 2axby c=0 ... obecná rovnice kružnice
Poloha bodů na kružnici dané středovou rovnicí: x 2 y 2=r 2 ..........bod leží na kružnici x 2 y 2r 2 ..........bod leží uvnitř kružnice 2 2 2 x y r ..........bod leží vně kružnice Toto platí i pro kružnice dané středovou rovnicí x−m2 y−n2=r 2 Převod rovnic: středová obecná x−m2 y−n2=r 2 x 2−2xmm2 y 2−2ynn2 =r 2 x 2−2xmm 2 y 2−2ynn 2−r 2=0 2 x 2 y 2−2xm n2 – r 2 =0 −2yn m a
b
x 2 y 2axby c=0
c
obecná středová x 2 y 2axby c=0 x 2ax y 2by c=0 výrazy x 2ax a y 2by se doplní na vzorec typu A2 2ABB2= A B2 2 x−m y−n2−r 2 =0 x−m2 y−n2=r 2
39 / 95
IgMen
Př.: Jaká je středová rovnice kružnice? S=[0 ; 0] ; X =[−3 ; 2] x 2 y 2=r 2 −3222=r 2 94=r 2 13=r 2 x 2 y 2=13
Jaká bude středová a obecná rovnice kružnice? S=[1 ;−2]; r =3 x−m2 y−n2=r 2 x−12 y 22=9 x 2−2x1 y 24y4=9 x 2−2x1 y 24y4−9=0 x 2 y 2−2x4y14−9=0 x 2 y 2−2x4y−4=0
Jakou polohu mají dané body vzhledem ke kružnici? S=[0 ; 0] ; r =2 x 2 y 2=r 2 ⇒ x 2 y 2=4 A=[4 ; 3] 4 232 =4 169=4 254
B=[1 ; 1] 1212 =4 11=4 24
C =[2 ; 0] 2 20 2=4 40=4 4=4
Jaká bude středová rovnice kružnice? x 2 y 28x – 10y – 75=0 x 28x y 2 – 10y – 75=0 x 28x16 – 16 y 2 – 10y25−25−75=0 x162 y−52−116=0 x162 y−52=116 Jaká bude středová rovnice kružnice? x 2 y 2−2x4y7=0 x 2−2x y 24y7=0 x 2−2x1−1 y 24y4−47=0 x−12 y 222=0 x−12 y 22=−2 r 2≠−2 x 2 y 2−2x4y7=0 není rovnice kružnice
40 / 95
IgMen
41
Analytická geometrie kuželoseček – elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou stálých bodů F 1 , F 2 (ohnisek) stálý součet vzdáleností, který je větší, než vzdálenost těchto bodů (2e).
S=[m ; n] ....střed elipsy F 1 , F 2 .........ohniska elipsy X =[ x ; y ] ....bod ležící na elipse A , B .............hlavní vrcholy elipsy C , D ............vedlejší vrcholy elipsy přímka F 1 F 2 ... hlavní osa elipsy vedlejší osa elipsy ... přímka, která je kolmá na hlavní osu elipsy a prochází středem S a=∣AS∣=∣BS∣ ..........velikost hlavní poloosy elipsy b=∣CS∣=∣DS∣ ..........velikost vedlejší poloosy elipsy e=∣F 1 S∣=∣F 2 S∣ ......výstřednost (excentricita) elipsy
a 2=b2c 2
Středové rovnice elipsy: hlavní osa je rovnoběžná s osou x S=[0 ; 0] x2 y2 =1 a2 b2
Obecná rovnice elipsy: x 2 y 2axby c=0 A0 ; B0 ; A≠B
hlavní osa je rovnoběžná s osou y
S=[m ; n] x−m2 y −n2 =1 a2 b2
S=[0 ; 0] x2 y2 =1 b2 a2
S=[m ; n] x−m2 y −n2 =1 b2 a2
Poloha bodů na kružnici dané středovou rovnicí: x2 y2 =1 ......bod leží na elipse a2 b2 x2 y2 1 ......bod leží uvnitř elipsy a2 b2 2 2 x y 2 1 ......bod leží vně elipsy 2 a b x−m2 y −n2 =1 Toto platí i pro elipsy dané středovou rovnicí a2 b2
Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice.
41 / 95
IgMen
Př.: Jaká je středová rovnice elipsy? a=3 ; b=5 ; S =[0 ; 0]
Jaká je obecná rovnice elipsy? 2 2 y− 2 x 2 =1 4
x2 y2 =1 b2 a2 x2 y2 =1 52 3 2 x2 y 2 =1 25 9
2
x 2 y− 2 =1 2
∣⋅4 4 2 2 4 y− 2 4 x 2 =4 4 2 2 4 x 2 y− 2 =4 4 x 2 2 2 x2 y 2−2 2 y2 =4 2 2 4 x 8 2 x8 y −2 2 y2−4=0 2 2 4x y 8 2 x – 2 2 y6=0 2 2 4x y 8 2 x – 2 2 y=−6
Jaké jsou středová rovnice elipsy, velikost a, b, e a souřadnice S, F1, F2, A, B, C a D? 2
2
4x 9y −8x−36y4=0 2
2
4x −8x9y −36y4=0 2 2 4 x −2x9 y −4y4=0 4 x 2−2x1 – 1⋅49 y 2−4y4−4⋅94=0 4 x−129 y−22−4−364=0 2 2 4 x−1 9 y−2 =36 ∣: 36 4 x−12 9 y−22 36 = 36 36 36 x−12 y−22 =1 9 4
S=[m ; n ]=[1 ; 2] 2 a =9⇒ a=3 2 b =4 ⇒ b=2 a 2=b2e 2 ⇒ e= a 2 – b 2= 9−4= 5
F 1=[m−e ; n]=[ 1− 5 ; 2 ] F 2=[ me ; n ]=[ 1 5 ; 2 ] A=[m−a ;n]=[−2 ; 2 ] B=[me ; n]=[ 4 ; 2 ] C=[m ; nb]=[ 1 ; 4 ] D=[m ; n−b ]=[ 1 ; 0 ]
42 / 95
IgMen
42
Analytická geometrie kuželoseček – hyperbola Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od bodů F 1 , F 2 (ohnisek) je rovna kladné konstantě. S=[m ; n] ....střed hyperboly F 1 , F 2 .........ohniska hyperboly A , B ........hlavní vrcholy hyperboly přímka F 1 F 2 ... hlavní osa hyperboly vedlejší osa hyperboly … přímka, která je kolmá na hlavní osu a prochází středem S
a=∣AS∣=∣BS∣ ..........velikost hlavní poloosy hyperboly e=∣F 1 S∣=∣F 2 S∣ ......výstřednost (excentricita) hyperboly b= e 2−a 2 ...............velikost vedlejší poloosy hyperboly
e 2=a 2b 2
Středové rovnice hyperboly: hlavní osa je rovnoběžná s osou x
S=[0 ;0] 2 2 x y − =1 2 2 a b
hlavní osa je rovnoběžná s osou y
S=[m ; n] x−m2 y −n2 − =1 a2 b2
asymptoty hyperboly b y−n=± x−m a
S=[0 ; 0] 2 2 x y − 2 2 =1 b a
S=[m ; n] x−m2 y−n2 − =1 b2 a2
asymptoty hyperboly a y−n=± x−m b
Obecná rovnice hyperboly: x 2 y 2axby c=0 Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice.
43 / 95
IgMen
Př.: Jaká je středová rovnice hyperboly? a=12 ; e=20 ; S =[2 ; 4] b= e 2 – a 2= 202−12 2= 400−144= = 256=16 x−m2 y−n2 =1 b2 a2 x−22 y−42 − =1 162 12 2 x−22 y−42 − =1 256 144 −
Jaká je obecná rovnice hyperboly? x32 y22 − =1 9 9 x32 y22 =1 ∣⋅9 9 9 9 x32 9 y22 − =1⋅9 9 9 − x32 y22=9 − x 26x9 y 24y4 −9=0 −x 2−6x−9 y 24y4−9=0 −x 2 y 2−6x4y−94−9=0 −x 2 y 2−6x4y−14=0 ∣⋅−1 x 2− y 26x−4y14=0 −
Jaké jsou středová rovnice hyperboly, velikost a, b, e a souřadnice S, F1, F2, A a B? 4x 2−9y2 18y−45=0 4x 2−9 y 2−2y−45=0 4x 2−9 y 2−2y19−45=0 4x 2−9 y−12−36=0 4x 2−9 y−12=36 ∣: 36 4x 2 9 y −12 36 – = 36 36 36 2 2 y−1 x – =1 9 4
S=[m ; n]=[0 ; 1] a 2=9⇒ a=3 b 2=4 ⇒ b=2 e 2=a 2b 2 ⇒ e= a 2b 2= 94= 13 F 1=[m−a ; n]=[−3 ; 1] F 2=[ ma ; n ]=[3 ; 1] A=[m−e ; n]=[− 13 ; 1] B=[me ; n]=[ 13 ; 1]
44 / 95
IgMen
43
Analytická geometrie kuželoseček – parabola Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od bodu F a od dané přímky d, F ∈d .
F V d o
......ohnisko paraboly ......vrchol paraboly (střed FD) .......řídící přímka paraboly .......osa paraboly F ∈o , o⊥ d
p=∣FD∣ … parametr paraboly (vzdálenost ohniska od řídicí přímky)
Vrcholové rovnice paraboly: osa paraboly je rovnoběžná s osou x
osa paraboly je rovnoběžná s osou y
V =[0 ;0 ] kladná poloosa y 2=2px
V =[0 ;0 ] záporná poloosa y 2=−2px
V =[0 ;0 ] kladná poloosa y 2=2py
V =[0 ;0 ] záporná poloosa y 2=−2py
V =[m ; n] kladná poloosa y−n2=2p x−m
V =[ m ; n] záporná poloosa y−n2=−2p x−m
V =[m ; n] kladná poloosa x−m2=2p y−n
V =[m ; n] záporná poloosa x−m2=−2p y−n
Obecné rovnice paraboly: osa paraboly je rovnoběžná s osou x y 2axbyc=0 a≠0
osa paraboly je rovnoběžná s osou y y 2axbyc=0 b≠0
Převod rovnic se provádí v podstatě stejně, jako u kružnice.
45 / 95
IgMen
Př.: Jaké bude mít daná parabola souřadnice ohniska, vrcholu, parametr a rovnici řídící přímky? y 2=6x ⇒ o∥x ; V =[0 ; 0 ] 2
2
y =6x ; y =2px 2p=6 ⇒ p=3
[ ] [ ]
1 1 3 3 ∣VF∣= ⋅p= ⋅3= ⇒ F = ; 0 2 2 2 2 1 1 3 3 ∣DV∣= ⋅p= ⋅3= ⇒ F = − ;0 2 2 2 2 3 d : x =− 2
Jaká bude rovnice paraboly, která prochází bodem A a má osu rovnoběžnou s osou y? V =[−2 ; 1]; A=[0 ; 3]; o∥ y x−m2=2p y−n xm2=2p y−1 022=2p 3−1 2 2=2p⋅2 4=4p 1= p x22 =2⋅1 y−1 x22 =2 y−1
Jaká bude rovnice paraboly? V =[0 ; 0 ]; F =[0 ;−2]⇒ x 2=−2py 1 1 ∣VF∣= ⋅p ⇒ 2= ⋅p⇒ 2⋅2= p ⇒ 4= p 2 2 2 2 x =−2⋅4y⇒ x =−8y
Jaká bude vrcholová rovnice paraboly? 2x 2−6x−10y−3=0 2 x 2−3x −10y−3=0 9 9 2 x 2−3x – −10y−3=0 4 4 9 9 2 x 2−3x −2⋅ −10y−3=0 4 4
3 2 3 2 x− 2 3 2 x− 2 3 2 x− 2
46 / 95
18 −10y−3=0 4 2 9 6 − −10y− =0 2 2 2 15 −10y− =0 2 2 15 =10y ∣: 2 2 15 2 3 2 x− =5y 2 2
2 x−
2
−
2
3 15 1 x− =5y ⋅ 2 2 2 2 3 15 x− =5y 2 4 2 3 3 x− =5 y 2 4
IgMen
44
Analytická geometrie – vzájemná poloha kuželosečky a přímky
44.1
Vzájemná poloha kuželosečky a přímky
kružnice elipsa 2 2 2 x2 y2 p : y=kx q k : x y =r p : y=kx q e: =1 řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: a2 b2 2 řešení sečna řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: 1 řešení tečna 2 řešení sečna 0 řešení vnější přímka 1 řešení tečna 0 řešení vnější přímka hyperbola
parabola x y př : y=kxq pa : y 2=2px p : y=kx q h: – =1 2 2 řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: a b 2 řešení sečna řešení soustavy dvou rovnic – kvadratická rovnice: 1 řešení tečna 2 řešení sečna 0 řešení vnější přímka 1 řešení tečna řešení soustavy dvou rovnic – lineární rovnice: 0 řešení vnější přímka rovnoběžka s osou paraboly řešení soustavy dvou rovnic – lineární rovnice: 1 řešení rovnoběžka s asymptotou 0 řešení asymptota 2
44.2
2
Tečny kuželoseček rovnice tečny v bodě T =[ x T ; y T ]
rovnice kuželosečky kružnice
elipsa
x 2 y 2=r 2
x⋅x T y⋅y T =r 2
x−m2 y−n2=r 2
x−m x T −m y −n y T −n=r 2
x 2 y 2axby c=0
a b x⋅x T y⋅y T xx T y y T c=0 2 2
x2 y2 =1 a2 b2
x⋅x T
x−m2 y−n2 =1 2 2 a b
x−m x T −m y−n y T −n 2 =r a2 b2
x2 y2 2 =1 2 b a
x⋅x T
x−m2 y−n2 =1 b2 a2
x−m x T −m y−n y T −n 2 =r b2 a2
x 2 y 2axby c=0
a b x⋅x T y⋅y T xx T y y T c=0 2 2
a2
2
b
47 / 95
y⋅y T b2
y⋅y T a2
=1
=1
IgMen
hyperbola
x y − 2 =1 2 a b
x⋅x T
x−m2 y −n2 − =1 a2 b2
x−m x T −m y−n y T −n 2 − =r a2 b2
2
2
2
parabola
a
2
−
x y 2 =1 2 b a
−
−
x−m2 y−n2 =1 b2 a2
−
2
−
x⋅x T b
2
y⋅y T b
2
=1
y⋅y T a2
=1
x−m x T −m y−n y T −n 2 =r b2 a2
x 2 y 2axby c=0
a b x⋅x T y⋅y T xx T y y T c=0 2 2
y 2=±2px
y⋅y T =± p xx T
y−n2=±2p x−m
y−n y T −n=± p x x T −2m
x 2=±2py
x⋅x T =± p y y T
x−m2=±2p y−n
x−m x T −m=± p y y T −2n
y 2axbyc=0
a b y⋅y T xx T y yT c=0 2 2
x 2axbyc=0
a b x⋅xT x xT y y T c=0 2 2
Př.: Jaká je vzájemná poloha přímky a paraboly? 7y−30 př : 3x−7y30=0 ⇒ x= 3 2 pa : y =9x y 2=9x 7y−30 2 y =9⋅ 3 97y−30 y 2= 3 y 2=3 7y−30 y 2=21y−90 y 2−21y90=0 21± 212−4⋅1⋅90 = 2⋅1 21± 441−360 21± 81 = = = 2 2 219 30 = =15 21±9 2 2 = = 2 21−9 12 = =6 2 2
Jaká je vzájemná poloha přímky a paraboly? př : y−3=0 ⇒ y=3 pa : y 2=−4x y 2=−4x 32=−4x 9=−4x ∣: −4 9 − =x 4 Vyšla lineární rovnice přímka je rovnoběžná 9 s osou paraboly a protíná jí v bodě M = − ; 3 4
[
]
y 1,2=
7⋅15 – 30 =25 3 7⋅6 – 30 x 2=6⇒ y 2= =4 3 Přímka je sečna a protíná parabolu v bodech M 1=[25 ; 15] a M 2=[4 ; 6 ] x 1=15 ⇒ y 1=
48 / 95
IgMen
Jaká je vzájemná poloha přímky a elipsy? p: x=t y=10t e: 8x 220y 2=160 8x 220y 2=160 8x 220 10t 2=160 8x 220 10020tt 2 =160 2 2 8x 2000400t20t −160=0 28t 2400t1860=0 −400± 4002−4⋅28⋅1840 t 1,2= = 2⋅28 −400± 160000−206080 = = 56 −400± −46080 = 56 vnější přímka
Jaká bude rovnice tečny? x−32 y−22 =1 ; T =[2 ; 1] 16 4 x−3 x T – 3 y−2 y T – 2 =1 16 4 x−3 2 – 3 y−21 – 2 =1 16 4 x−3−1 y −2−1 =1 16 4 x−3 y−2 − − =1 ∣⋅16 16 4 − x−3−4 y−2=16 −x3−4y8=16 −4y11= x16 −4y=x16−11 −4y=x5 ∣:−4 x 5 y=− – 4 4
49 / 95
IgMen
45 45.1
Limita a spojitost funkce Diferenciální počet – okolí bodu okolí bodu a je množina všech bodů x, jejichž vzdálenost od bodu a je menší než .
Způsoby zápisu: x=〈 a− ; a〉 a− xa ∣x−a∣
45.2
Limita funkce Funkce y= f x je definována v okolí bodu a. Říká se, že funkce y= f x má v bodě a limitu L, jestliže ke každému -okolí bodu L existuje takové -okolí bodu a, že pro každé x z -okolí bodu a leží jeho funkční hodnota f x v -okolí bodu L. lim f x= L⇔ ∀ ∈R ∃∈ R ; ∀ x ∈a− ; a⇒ x a
⇒ f x∈ L− ; L
Limita a spojitost funkce: Funkce y= f x je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a definována a má limitu rovnu funkční hodnotě. Pravidla pro počítání s limitami: lim f x= L ; lim g x =K x a
lim [ f x ±g x ]=lim f x ±lim g x =L±K x a
x a
x a
lim [ f x ⋅g x ]=lim f x ⋅lim g x =L⋅K x a
lim f x a
x a
lim f x
1 =0 x ∞ x 1 lim =0 x−∞ x sin x lim =1 x x 0 x lim =1 x 0 sin x lim
x a
x a
x L x= x a = ; g x≠0 , K ≠0 g lim g x K x a
lim c⋅ f x =c⋅lim f x=c⋅L ; c ∈ R x a
x a
50 / 95
IgMen
Nevlastní limity ve vlastních bodech: Říká se, že funkce f x má v bodě a limitu ∞ právě tehdy, když ke každému reálnému číslu K existuje takové -okolí bodu a, že pro všechna x z okolí bodu a platí, že f x K .
Vlastní limity v nevlastních bodech:
Nevlastní limity v nevlastních bodech:
51 / 95
IgMen
Jednostranné limity: 1 x 1 lim =∃ x 0 x 1 lim =−∞ x 0 x 1 lim =∞ x 0 x y=
−
Př.: x 2 −3 22−3 4−3 1 = = = x4 6 6 x 2 x4 2x33x2 −5x x 2x 23x−5 2x 23x−5 2⋅0 23⋅0−5 00−5 5 lim =lim =lim = = =− =−1 5x 5x 5 5 5 5 x0 x 0 x 0 2 tt1 t t t −1 −1 −1 1 lim = lim = lim = = = = 2 3⋅−1−1 3⋅−2 −6 6 x−1 3 t −1 x −1 3t−1t1 x −1 3 t−1 lim
lim x
4
cos x−sin x cos x −sin x cos x−sin x 1 = lim =lim =lim = 2 2 cos 2x cos x −sin x cos x−sin x cos xsin x cos xsin x x x x 4
4
4
1 2 2 = = = ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
1
2
lim
x 3
[
x x−12 = 2 2x −x−15
]
−1−7 −8 = =−4 −1± 1−4⋅1⋅−12 −1± 148 −1± 49 −1±7 2 x 1,2 = = = = = 2 2⋅1 2 2 2 −17 6 = =3 2 2 = = 1−11 −10 = =−2,5 1± 1−4⋅1⋅−15 1± 1120 1± 121 1±11 4 4 x1,2 = = = = = 2⋅2 4 4 4 111 12 = =3 4 4 lim
x 3
x4 x−3 x4 x4 34 7 7 =lim =lim = ⋅35= = 2 x2,5 x−3 x 3 2 x2,5 x 3 2x5 2 65 11
52 / 95
IgMen
46
Derivace funkce Nechť je dána funkce y= f x . Jestliže v bodě x 0 lim f x − f x 0 existuje limita x x , pak se říká, x−x 0 že funkce y= f x má v bodě x 0 derivaci rovnu této limitě. 0
Geometrický význam derivace – směrnice tečny v daném bodě y=kxq . Značení derivace funkce y= f x : df x df y ' = f ' x= = dx dx Derivace elementárních funkcí: y=c y=x y=x n y ´ x−n y=x a y=a x y=e x
y ' =0 y ' =1 y ' =nx n−1 y ' =−nx n−1 y ' =ax a−1 y ' =a x ln x
y=log a x
y' =
y=ln x
y=sin x y=cos x y=tg x
y=cotg x
y ' =e
c ∈R x∈R x∈R x ∈ R−{0}; x≠0 ; n∈N ; n≥1 x0 ;a ∈R−{0} x ∈ R ; a0 ; a≠1 x∈R
x
1 x ln a 1 y' = x y ' =cos x y ' =−sin x 1 y' = 2 cos x 1 y ' =− 2 sin x
x0 ; a0 ; a≠1 x0
x∈R x∈R x≠2k 1
; k ∈Z 2
x≠k⋅ ; k ∈Z
Pravidla pro počítání s derivacemi: násobení konstantou
c⋅f x ' =c⋅f ' x
součet a rozdíl
f x ± g x '= f ' x± g ' x
součin
f x =u ; g x =v u⋅v '=u '⋅vu⋅v '
podíl
f x =u ; g x =v u u '⋅v u⋅v ' '= v v2
53 / 95
IgMen
Př.: 1 1 −1 −1−1 −2 y= =x ⇒ y ' =−1x =−x =− 2 ; x≠0 x x 1
1
1
3
2
3
3
3
1 −1 1 − 1 − 1 1 1 x x x y=3 x =x 3 ⇒ y '= x 3 = x 3 3 = x 3 = ⋅ 2 = 3 2⋅3 = 3 3 = ; x≠0 3 3 3 3 3 x x 3 x 3x x
y=
6 – 5=6x−3−5 3 x
y ' =6⋅−3 x
−3−1
−4
−0=−18x =−
18 ; x≠0 4 x
sin xcos x sin x – cos x cos x−sin x sin x−cos x−sin xcos x cos xsin x y' = = sin x−cos x 2 cos x⋅sin x−cos2 x−sin 2 xsin x⋅cos x −sin x⋅cos x sin2 xcos 2 xcos x⋅sin x = = sin x−cos x2 cos x⋅sin x−cos 2 x−sin 2 x sin x⋅cos x−sin x⋅cos x−sin 2 x−cos 2 x−cos x⋅sin x = = sin x−cos x2 −2 cos2 x−2 sin2 x = = 2 sin x−cos x y=
Derivace složené funkce: y= f [ g x] g x=v y= f v y ' = f ' v⋅v '
Př.: y=sin 3x−1 y ' =cos 3x−1⋅3−0=3 cos 3x−1 y=ln 2x4 1 2 2 1 y' = ⋅20= = = ; x≠−2 2x4 2x4 2 x2 x2
54 / 95
IgMen
Derivace funkce dané implicitně: Př.: x 2 xy y 2=0 2x y xy ' 2yy ' =0 xy '2yy ' =−2x− y y ' x2y =−2x− y −2x− y y' = ; x≠−2y x2y
x 2 y 2 – 5=0 2x2yy '−0=0 2yy ' =−2x 2x y ' =− 2y x y ' =− ; y ≠0 y
y 2 – 2x=0 2yy '−4=0 2yy ' =4 4 y'= 2y 2 y ' = ; y≠0 y
Logaritmická derivace: Př.: 1
y=x x 1 x
ln y=ln x 1 ln y= ln x x ln x ln y= x 1 ⋅x – ln x⋅1 1 x ⋅y '= 2 y x 1 1−ln x ⋅y '= y x2 1−ln x y' = ⋅y 2 x 1 1−ln x x y' = ⋅x ; x0 x2
y=x sin x ln y=ln xsin x ln y=sin x⋅ln x 1 1 ⋅y '=cos x⋅ln xsin x y x sin x y ' = cos x⋅ln x ⋅y x sin x sin x y ' = cos x⋅ln x ⋅x ; x0 x
55 / 95
IgMen
47 47.1
Fyzikální a geometrický význam derivace Geometrický význam derivace y ' =lim
x x 0
f x − f x 0 y − y0 = lim x−x 0 x x x −x 0 0
Derivace v bodě x 0 je směrnicí tečny v daném bodě. y ' x 0=k =tg t:
y− y 0=k x−x 0 T =[ x 0 ; y 0 ]
Př.: k: y=x 2 −2x T =[1 ; yT ] yT :
y T =x 2−2x=12−2⋅1=1−2=−1 T =[1 ;−1]
k:
y=x 2 – 2x y ' =2x−2 y ' x T =2⋅1−2=2−2=0=k
t:
y− y 0=k x− x 0 y−−1=0⋅ x−1 y1=0 y=−1
47.2
Fyzikální význam derivace
ds =s ' dt dv zrychlení........ a= =v ' dt
rychlost.......... v=
56 / 95
IgMen
Př.: m=10 kg ; t=5s ; E k =? 1 2 2 s=1t t ; E k = mv 2 v =s '=012t=12⋅5=11 m/s 1 10⋅121 1210 2 E k = ⋅10⋅11 = = =605 J 2 2 2
t=10 s ; v=? 3 s=2t −3 v =s '=2⋅3t 2−0=6⋅102 =6⋅100=600 m/ s v =0 m/ s ; t=? 1 s= t 4 – 4t 3 16t 2 4 1 3 2 3 2 2 v =s '= ⋅4t – 4⋅3t 16⋅2 t =t −12t 32t=t t −12t 32 4 2 0=t t −12t32 t 1=0
124 16 = =8 12± −122 – 4⋅1⋅32 12± 144−128 12± 16 12±4 2 t 2,3= = = = = 2 2⋅1 2 2 2 12−4 8 = =4 2 2 t 1=0 s ; t 2 =8 s ; t 3=4 s
57 / 95
IgMen
48
Vyšetřování průběhu funkce
Při vyšetřování průběhu funkce se používá následující postup: 1.
Určení definičního oboru D f , průsečíků s osami a spojitosti funkce. D f … definiční obor – všechna x, pro která má daná funkce smysl
2.
Určení sudosti, lichosti funkce. sudost........ f −x= f x ........funkce je souměrná podle osy y lichost........ f −x=− f x ......funkce je souměrná podle počátku soustavy souřadnic
3.
Určení stacionárních bodů – bodů podezřelých z extrému. y ' =0
4.
Určení rostoucích, klesajících intervalů funkcí zjištěných pomocí stacionárních bodů. jakýkoli bod z intervalu se dosadí do y ' : y ' 0 .........rostoucí y ' 0 .........klesající
5.
Určení lokálních extrémů podle velikosti y ' ve stacionárních bodech. y ' ' x s0 .........ve stacionárním bodě je lokální minimum y ' ' x s0 .........ve stacionárním bodě je lokální maximum
6.
Určení inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. inflexní bod..................bod, ve kterém se funkce mění z konvexní na konkávní nebo naopak y ' '=0 konvexní funkce........... y ' '0
konkávní funkce........... y ' '0
7.
Určení asymptot funkce. a) asymptoty rovnoběžné s osou y lim f x=∞ , pak přímka x= x je asymptota 0 x x x 0 … bod nespojitosti b) asymptoty rovnoběžné s osou x lim f x =a , pak přímka y=a je asymptota x ∞ c) asymptoty směrnicového typu y=kxq f x =∞ , platí k =lim f x a q=lim [ f x−kx ] za podmínky, že lim x ∞ x ∞ x x ∞ 0
8.
Načrtnutí grafu funkce do soustavy souřadnic s využitím zjištěných vlastností.
58 / 95
IgMen
Př.: y=
1.
x 2−2x1 2 1 x
D f =R průsečík s osou x: y=0 x 2−2x1 =0 1x 2 x 2−2x1=0 2± 2 2 – 4⋅1⋅1 2± 4−4 2±0 x 1,2= = = =1 2⋅1 2 2 P 1=[1 ; 0 ] průsečík s osou y: x=0 02 −2⋅01 0−01 y= = =1 10 102 P 2=[0 ; 1] funkce je spojitá
2.
−x 2−2 −x1 −12⋅x 21x1 x 22x1 f −x= = = 2 2 2 2 1−x 1−1 ⋅x 1x f −x≠ f x f −x≠− f x
3.
2x−201 x 2− x 2−2x102x 2x−21 x 2−2x x 2−2x1 = = 2 2 2 2 1x 1 x 3 2 3 2 2 2 2x2x −2−2x −2x 4x −2x 2x −2 2 x −1 = = = 2 2 2 2 2 2 1x 1x 1 x y ' =0 y' =
2 x 2−1 =0 2 2 1x 2 x 2−1=0 x 2 – 1=0 x 2=1 x 1,2=±1
−12 −2−11 121 4 = = =2 2 11 2 1−1 S 1=[−1 ; 2] 12 – 2⋅11 1−21 0 yS = = = =0 11 2 11 2 S 2=[1 ; 0] yS = 1
2
59 / 95
IgMen
4.
−∞ ;−1 2−22−1 2 2 1−2 2 4−1 y'= 2 14 6 y' = 25 y '0 rostoucí
y' =
y'
−1 ; 1
1 ; ∞
20 2−1 2 2 10 2 0−1 y'= 2 10 −2 y' = 1 y '=−2 y '0 klesající
y' =
22 2−1 2 2 12 2 4−1 y '= 2 14 6 y '= 25 y '0 rostoucí
y' =
5.
2x 2−2 2 2 1x 4x−01x 2 2−2x 2−2⋅21 x 202x 4x 1 x 22−2x 2−2⋅4x 1x 2 y ' '= =¿ = 1x 2 4 1x 24 1 x 2[4x 1 x 2−4x 2x 2−2] 4x 1 x 2−4x 2x 2−2 4x4x3−8x 38x 12x−4x3 = = = = = 2 4 2 3 2 3 2 3 1x 1x 1 x 1 x 4x 3− x 2 = 2 3 1 x 4 −13−−12 −4 3−1 −8 8 y ' ' −1= = = 3 =− =−10 ⇒ lokální maximum 2 3 3 8 1−1 11 2 2 4⋅1 3−1 4 3−1 8 8 y ' ' 1= = = 3 = =10 ⇒ lokální minimum 2 3 3 1−1 11 2 8
6.
y ' ' =0 4x 3−x 2 =0 1 x 23 4x 3−x 2 =0 x 1=0 3−x 22 =0
y' =
3=x 22 ±3=x 2
y' '
−∞ ;− 3 − 3 ; 0 2 4 −23−−2 4 −13−−12 y' '= y ' ' = 1−22 3 1−12 3 −83−4 −4 3−1 y ' '= y' '= 2 14 112 8 −8 y ' '= y''= 25 4 y ' ' 0 y ' ' 0 konvexní funkce konkávní funkce
60 / 95
0 ; 3 4⋅13−12 y ' '= 112 3 4 3−1 y' '= 112 8 y ' '= 4 y ' '0 konvexní funkce
3 ; ∞ 4⋅2 3−2 2 y' '= 122 3 83−4 y' '= 142 −8 y ' '= 25 y ' ' 0 konkávní funkce
IgMen
7.
y=
x 2−2x1 2 1 x
1 x 2 2x 1 2 1 − 2 2 1− 2 2 2 2 2 4 x 1−00 x −2x1 x −2x1 x x x x lim =lim ⋅ =lim =lim = =1 2 2 2 1 x∞ 1 01 x ∞ x ∞ x ∞ 1 x 1x 1 x 1 2 2 2 2 x x x x rovnice asymptoty je y=1
8.
61 / 95
IgMen
49
Aplikace extrémů funkcí v úlohách
Využití derivací při řešení slovních úloh.
Př.: V rovině jsou dány body A=[0 ;3] a B=[4 ; 5] . Jaké musí mít bod M souřadnice, aby ležel na ose x a součet ∣AM∣∣BM ∣ byl minimální? M ∈x ⇒ M =[ x ; 0] y=∣AM ∣∣BM ∣ ∣AM∣= x A−x M 2 y A − y M 2
∣BM ∣= x B− x M 2 y B− y M 2
y= 0− x23−02 4− x25−02= x 232 4−x 2 52= 1
1
= x 2 9 16−8xx 225= x 2 9 41−8xx 2 = x 29 2 41−8x x 2 2 Derivace funkce: 1 1 − − 1 1 y ' = x 29 2⋅2x0 x 2−8x41 2⋅2x−80= 2 2 1 1 − − 2 x−4 2x 2 1 2 x 2 = x 9 x −8x41 2⋅2 x−4 = = 1 1 2 2 − 2 2 2 2 x 9 2 x −8x41 x x−4 = 2 2 x 9 x −8x41 Určení stacionárních bodů: y ' =0 x x−4 2 =0 2 x 9 x −8x41 x x−4 =− 2 ∣2 2 x 9 x −8x41 x2 x−42 2 =−1 2 2 x 29 x 2 −8x41 x2 x 2−8x16 = x 29 x 2 −8x41 x 2 x 2−8x41= x 2−8x16 x 2 9 x 4 −8x341x 2=x 49x 2−8x 3−72x−16x 2144 4 3 2 4 2 3 2 x −8x 41x −x −9x 8x 72x16x −144=0 16x 272x – 144=0 ∣: 4
62 / 95
IgMen
2x 29x−18=0 −9−15 24 =− =−6 −9± 9 2−4⋅2⋅−18 −9± 81144 −9± 225 −9±15 4 x 1,2= = = = = 4 2⋅2 4 4 4 −915 6 3 = = 4 4 2 3 x 1=−6 ; x 2 = 2 Druhá derivace funkce – důkaz minima: −
1
−
1
y ' =x x 29 2 x−4 x 2−8x41 2 1 3 1 − − − 1 2 2 2 2 2 y ' '=1⋅ x 9 x⋅ − x 9 ⋅2x01−0 x −8x41 2 2 3 − 1 x−4⋅ − x 2−8x41 2⋅2x−80= 2 3 3 − − x −42x−8 2 1 2x2 2 1 2 2 = − ⋅ x 9 − ⋅ x −8x41 = 1 1 2 2 2 2 2 2 x 9 x −8x41 2 2 x−4 x−4 1 x 1 = 2 − 2 − = 2 3 x 9 x 9 x −8x41 2 x 2−8x413 2 2 1 x 1 x−4 = 2 − 2 − = x 9 x 9⋅ x 2 9 x 2−8x41 x 2−8x41⋅ x 2−8x41 x 29− x 2 x 2−8x41− x−42 = 2 = x 9⋅ x 29 x 2−8x41⋅ x 2−8x41 x 29−x 2 x 2 −8x41− x 2 −8x16 = 2 = x 9⋅ x 29 x 2−8x41⋅ x 2−8x41 9 x 2−8x41−x 2 8x−16 = 2 = x 9⋅ x 29 x 2−8x41⋅ x 2−8x41 9 25 = 2 2 = 2 x 9⋅ x 9 x −8x41⋅ x 2−8x41
y ' '0 pro každé x ⇒ x 1,2 jsou lokální minima
63 / 95
IgMen
Určení velikosti funkčních hodnot stacionárních bodů: y= x 2 9 41−8xx 2
2
2
3 3 3 9 36 164 48 9 45 125 = 9 41−8x = – = = 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 9 25 3 5 3 5 8 = ⋅ 5 ⋅ 5= ⋅5 ⋅ 5= 5 = 5⋅ =4 5 4 4 2 2 2 2 2 2 2 y −6=−6 9 41−8⋅−6−6 = 369 414836= 45 125= = 9⋅5 25⋅ 5=3 55 5= 5 35=8 5 y
[ ]
Minimálního součtu nabývá funkce v bodě M =
3 ;0 2
Jaké budou rozměry rotačního válce o maximálním objemu vepsaného do koule o poloměru R? objem válce....... V =r 2⋅v 4 3 objem koule....... V = R 3 Vztah mezi poloměrem válce a poloměrem koule: 2 v 2 2 r =R – 2
Funkce pro objem válce: v2 v3 2 2 V = R − v= R ⋅v − 4 4
64 / 95
IgMen
Určení extrémních hodnot z první derivace: R=konst. v3 V = R2⋅v− 4 3 v2 3 2 2 2 V ' = R ⋅1− = R – v 4 4 3 2 2 V ' =0 ⇒ R – v =0 4 3 2 2 R – v =0 ∣: 4 3 R2= v 2 4 4 2 2 R =v 3 4 2 4 3 23 v= R = ⋅ R= R 3 3 3 3
Určení poloměru podstavy válce:
2
2 3 R 2 v 3 2 3 1 2 3 2 2 33 2 2 2 r= R − = R− = R2− R⋅ = R2− R = R2− R = 2 2 3 2 6 62
= R2 −
4⋅3 2 12 3R2 R2 2R 2 2 3 6 R = R 2 − R 2= − = = ⋅ ⋅R= ⋅R 36 36 3 3 3 3 3 3
Důkaz extrému pomocí druhé derivace: 3 2 2 V ' = R – v 4 3 6 3 V ' ' =0− ⋅2v=− v=− v 4 4 2 2 3 3 2 3 63 3 V '' R =− ⋅ R=− R=− R 6 2 6 12 2 2 3 V '' R 0 6 jedná se o lokální minimum
65 / 95
IgMen
50
Neurčitý integrál – metody integrace
50.1
Neurčitý integrál – primitivní funkce Je dána funkce f definována na intervalu a , b . Říká se, že funkce F je primitivní funkcí f na intervalu a , b , jestliže platí: F ' x= f x ; ∀ x ∈ a , b . Libovolná primitivní funkce F k funkci f na intervalu a , b se nazývá neurčitý integrál funkce f a označuje se ∫ f x dx=F xc .
Neurčité integrály elementárních funkcí: y=x
x n1 n1 y=cx x n1 y= n1
n
y=c y=x
n
y=x −1=
x ∈R ;n∈ N
y=
1 x
x ∈R ;c ∈ R x0 ;n∈ R ; n≠−1
y=ln∣x∣
x≠0
y=sin x y=cos x
y=−cos x y=sin x
y=tg x
y=−ln∣cos x∣
y=cotg x y=e x
y=ln∣sin x∣
x ∈R x ∈R 2k1 x≠ 2 x≠k x ∈R
y=a x
y=ln x 1 y= cos 2 x 1 y=− 2 sin x
y=e x ax y= ln a y=x ln x−1 y=tg x
y=cotg x
x0 ;a0 x0 2k1 x≠ 2 x≠k
Pravidla pro počítání s integrály: násobení konstantou součet a rozdíl integrál lineární funkce
∫ c⋅ f x dx=c⋅∫ f x dx ∫ [ f x± g x ] dx=∫ f x dx±∫ g x dx ∫ f ax b dx=
F axb c a
66 / 95
IgMen
Př.: x5 ∫ x dx= 5 c 4
8
5 3
8
x3 3 3 x dx= x dx= c=x 3⋅ c= 3 8 ∫ ∫ 8 8 8 3 −3 1 x 1 −4 dx= x dx= c=− 3 c ∫ x4 ∫ −3 3x 3
5
∫ x 2−x dx= x 2 − x ∫ x x x
5 2
=
dx=∫
x2
x
1 x − 1 2 x2
−
1
dx=∫ x 2⋅x 2 −x⋅x
−
1 2
dx=∫ x −x dx= 3 2
1 2
3 2
x x 2 5 2 3 − c= x − x c 5 3 5 3 2 2
2x e x 2−1 e x −1 e x 1 e −1 dx= dx= ∫ e x – 1 ∫ e x −1 ∫ e x −1 dx=∫ e x 1 dx=e x xc ∫ 2−6 dx=2−6 xc
50.2
Metody integrace
Substituční metoda: f x ⋅' x dx = ∫ t
dt
[
]
t= x = f t dt ∫ dt=' x dx
Př.:
[ ] 1− x=t
6
∫ 1−x 5 dx = −dx=dt =∫ t 5 −1 dt=−∫ t 5 dt=− t6 c=− 16 1−x 6c dx =−dt
[ ]
3 e x −1=t 1 2 x dt t 2 3 2 x x 3 =∫ e t x =∫ dt =∫ t 2 dt= c= t c= e −1 c ∫ e x e x −1 dx= e dx=dt 3 3 3 dt e dx= x 2 e
[ ]
ln x=t 2 2 ln x 1 ∫ x dx=∫ ln x x dx= 1x dx =dt =∫ t 1x ⋅x dt=∫ t dt= t2 c= ln2 x c dx= x dt
67 / 95
IgMen
[
]
cos x=t = ∫ sin5 x dx=∫ sin x⋅sin 4 x dx=∫ sin x⋅sin 2 x2 dx=∫ sin x⋅1−cos 2 x2 dx= −sin x dx=dt dt dx=− sin x dt 2 2 2 4 2 4 =∫ sin x⋅1−t ⋅−1 =−∫ 1−t dt=−∫ 1−2t t dt= sin x 3 5 t t t 3 t5 cos3 x cos 5 x =− t−2 c−t2 − c=−cos x 2 − c 3 5 3 5 3 5
[
]
cos x=t sin x sin x dt 1 dx= −sin x dx =dt =∫ ⋅−1 =−∫ dt=−ln∣t∣c=−ln∣cos x∣c ∫ tg x dx=∫ cos x dt t sin x t dx=− sin x
[ ]
3x−2=t dt 1 1 1 =∫ cos t = ∫ cos t dt= sin tc= sin3x−2c ∫ cos 3x−2 dx= 3 dx=dt dt 3 3 3 3 dx= 3
[ ]
8x 327=t 1 2 2 2 8⋅3x dx=dt 2 − x x dt 1 1 1 1 1 1 t3 3 2 = = ⋅ = dt= dt = t dt= ⋅ c= ∫3 3 ∫ ∫ 2 24 ∫ 24x dx=dt ∫ 3 2 24 24 1 24x 2 24 3 t 2 t 8x 272 3 dt t 3 dx= 24x 2 1 3 3 13 = ⋅3 3 tc= 8x 327c= 8x 327c 24 24 8
[ ] [ ] [ ]
−2x1=t 1 1 1 at a−2x1 =∫ a t⋅ − dt=− ∫ a t dt=− ⋅ c=− c ∫ a 2x−1 dx=∫ a−2x1 dx= −2 dx=dt dt 2 2 2 ln a 2 ln a dx=− 2 1
1− x 2=t 3x 3x 1 dt 1 3 3 1 3 3 dx= −2x dx=dt =∫ ⋅ − =− ∫ dt=− ∫ dt =− ln∣t∣c=− ln∣1−x 2∣c ∫ 1−x 2 t 2 x 2 t 2 t 2 2 dt dx=− 2x sin x=t dt =∫ cos x⋅e t =∫ e t dt=e t c=e sin x c ∫ cos x⋅e sin x dx= cos x dx=dt dt cos x dx= cos x
[ ]
sin x =t ∫ sin 2 x⋅cos3 x dx=∫ sin2 x⋅cos 2 x⋅cos x dx=∫ sin 2 x⋅1−sin 2 x⋅cos x dx= cos x dxdt=dt = dx= cos x 3 5 3 5 dt t t sin x sin x 2 2 2 2 2 4 =∫ t ⋅1−t ⋅cos x =∫ t ⋅1−t dt=∫ t −t dt= − c= − c cos x 3 5 3 5
68 / 95
IgMen
[ ]
sin x=t dt =∫ 1−t 2 ⋅cos x = ∫ cos 3 x dx =∫ cos2 x⋅cos x dx=∫ 1−sin 2 x⋅cos x dx= cos x dx=dt dt cos x dx= cos x 3 3 t sin x =∫ 1−t 2 dt=t− c=sin x− c 3 3
[ ]
e 2x1=t 2x e e2x dx=dt = e ⋅ dt = 1 dt=ln∣t∣c=ln∣e 2x 1∣c dx= ∫ e 2x1 ∫ t e 2x ∫ t dt dx= 2x e 2x
Metoda „per partes“:
∫ u ' v dx =uv – ∫ uv ' dx ∫ uv ' dx=uv – ∫ u ' v dx Př.:
[
∫ x⋅e x dx=
]
u= x v ' =e x =x⋅e x −∫ 1⋅e x = x⋅e x −∫ e x =x⋅e x −e x c=e x x−1c u '=1 v=∫ e x dx=e x
[
]
u=x v ' =sin x =−x⋅cos x−∫ 1⋅−cos x dx=−x⋅cos x ∫ cos x dx= u ' =1 v=∫ sin x dx=−cos x =−x⋅cos xsin xc
∫ x⋅sin x dx=
[
∫ x⋅cos 3x dx =
u=x
v ' =cos 3x
[ ]
]
3x=t = dt 1 1 1 u ' =1 v=∫ cos 3x dx= 3 dx=dt =∫ cos t = ∫ cos t dt = sin tc= sin 3xc dt 3 3 3 3 dx= 3
[ ]
3x=t x 1 x 1 x 1 dt 3 = sin 3x−∫ 1⋅ sin 3x dx= sin 3x− ∫ sin 3x dx= dx=dt = sin 3x− ∫ sin t = 3 3 3 3 dt 3 3 3 dx= 3 x 1 x 1 x 1 = sin 3x− ∫ sin t dt= sin 3x− cos tc= sin 3x− cos 3xc 3 9 3 9 3 9
69 / 95
IgMen
51
Určitý integrál – užití
51.1
Určitý integrál
Nechť je funkce y= f x spojitá v intervalu 〈 a ; b〉 . b
b
Newton–Lebnitzova formule: I =∫ f x dx=[ F x ] a=F b−F a a
Př.: 2
2
]
[
x3 x2 2 3 22 −13 −12 ∫ x −x5 dx= 3 − 2 5x = 3 − 2 5⋅2 − 3 − 2 5⋅−1 = −1 −1 8 4 −1 1 8 1 1 16−12602330 99 33 = − 10− −−5= −210 5= = = 3 2 3 2 3 3 2 6 6 2 2
2
[
] [
2
2
]
2 2 ∫ x−sin x dx= x2 −−cos x = x2 cos x = 0 0 0
=
2 2 2 0 cos − cos 0 = 2 2 2
2 1 2 ⋅ 0 −01= −1 4 2 8
51.2
Užití určitého integrálu
Výpočet obsahu plochy ohraničené křivkami:
b
b
S=∫ f x dx
S=∫ [ f x − g x ] dx
a
a
b
S=−∫ f x dx a
b
c
S=S 1S 2=∫ [ f x− g x ]dx∫ [ g x − f x ]dx a
g
70 / 95
IgMen
Postup výpočtu: 1. 2. 3.
načrtnutí grafů funkcí do soustavy souřadnic a určení obrazce, jehož plocha se má vypočítat určení horní a dolní meze integrálu jako x-ových souřadnic průsečíků funkcí omezujících plochu sestavení funkce f x do určitého integrálu (funkce je dána rozdílem horní a dolní funkce omezujících plochu) výpočet určitého integrálu
4.
Př.: 3 Jaký bude obsah obrazce ohraničeného křivkami y=sin x ; y=cos x a x=− ? 4 y=sin x y=cos x y= y sin x=cos x x= k 4 meze: 3 4
3
3 ; 4 4
∫ sin x−cos x dx=[−cos x−sin x ]4 = −cos 3 ocer 4 −sin 4
4
3 − −cos −sin = 4 4 4
3 3 2 2 2 2 2 =−cos −sin cos sin = − =2 = 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2
Výpočet objemu tělesa rotujícího kolem osy x:
b
b
V =⋅∫ [ f 2 x −g 2 x ] dx
V =⋅∫ f x dx 2
a
a
Postup výpočtu: 1. 2. 3. 4.
načrtnutí grafů funkcí do soustavy souřadnic a určení obrazce rotujícího kolem osy x určení horní a dolní meze integrálu jako x-ových souřadnic průsečíků funkcí omezujících plochu sestavení funkcí určujících nalezený obrazec (je-li obrazec tvořen několika funkcemi, rozděluje se pak na několik jednodušších těles tvořených jednou funkcí) určení objemu vzniklého tělesa jako rozdílu objemů těles vzniklých rotací horní a dolní křivky ohraničující obrazec
71 / 95
IgMen
Př.: Jaký bude objem tělesa, které vznikne rotací obrazce kolem osy x ohraničeného křivkami y=2x a y=2x2 ? y=2x 2 y=2x y= y 2x=2x2 2x 2 1= 2x 1= x meze: 0 ; 1
1
1
1
[
]
x3 x5 V =⋅∫ [ 2x −2x ] dx=⋅∫ [ 4x −4x ] dx=⋅ 4 −4 = 3 5 0 0 0 2
[
=⋅ 4
3
2 2
5
2
3
5
1 1 0 0 −4 − 4 −4 3 5 3 5
] =⋅
4
4 4 20−12 8 − −0−0 = = 3 5 15 15
Výpočet délky oblouku rovinné křivky:
b
s=∫ 1 y ' 2 dx a
72 / 95
IgMen
52
Posloupnost – vlastnosti, limita posloupnosti
52.1
Posloupnosti Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel N se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel n≤n 0 , kde n 0 je pevně dané číslo z množiny N, se nazývá konečná posloupnost.
Typy zadání posloupností: 1. 2.
3.
výčtem prvků 2 ;5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; 23 ; ... vzorcem pro n-tý člen a n=3n−1 ; n∈N {3x−1}∞n−1 rekurentně – je zadán jeden člen posloupnosti (většinou první) a předpis, jak se z předcházejícího členu dostane následující a 1=2 ; a n1=a n3
Př.:
3 ; 4 ; 5 ; 6 ;7 ; 8 ; ... 2 ; 6 ;12 ;20 ;... 1 2 3 4 ; ; ; ;... 2 3 4 5
a n=n2 a n=n n1 n a n= n1
a 1=3 ; a n1=a n1 a 1=2 ; a n1=a n2n2 1 n a 1= ; a n1= 2 a n n2
Graf posloupnosti: Př.:
73 / 95
IgMen
Vlastnosti posloupností: rostoucí
a n1a n ; n∈ N
klesající
a n1a n ; n∈ N
neklesající
a n1≥a n ; n∈ N
nerostoucí
a n1≤a n ; n∈ N
shora omezená
existuje takové reálné číslo h, že a n≤h ; n∈N
zdola omezená
existuje takové reálné číslo d, že a n≥d ; n ∈ N
omezená
je omezená shora i zdola
52.2
Limita posloupnosti Říká se, že posloupnost {a n }∞n−1 je konvergentní, právě když existuje reálné číslo a takové, že platí: lim a n= L⇔ ∀ L 0 ∃n 0∈N ; n∞
∀ n≥n0 : a n ∈ L− ; L Posloupnosti, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní.
Věty: 1. 2. 3.
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. a n=a a lim bn =b . Nechť posloupnosti {a n }∞n−1 a {bn }∞n−1 mají limity lim n∞ n∞ lim a n±b n=lim a n±lim b n=a±b n∞
n∞
n ∞
lim a n⋅bn =lim a n⋅lim bn=a⋅b n∞
n ∞
n ∞
lim c⋅a n=c⋅lim a n=c⋅a ; c∈R n ∞
lim
n∞
n ∞
lim a n
an n ∞ a = = ; bn ≠0 ,b≠0 bn lim bn b n ∞
4.
Každá geometrická posloupnost {a n }∞n−1 pro jejíž kvocient platí, že ∣q∣1 ; q∈−1 ;1 má limitu rovnu 0. 1 lim =0 n ∞ n
Př.: ∞
{} 5 n
lim
n∞
n−1
5 1 1 =lim 5⋅ =5⋅lim =5⋅0=0 n n ∞ n n ∞ n
74 / 95
IgMen
53
Aritmetická posloupnost Posloupnost {a n }∞n−1 se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo d, že pro všechna přirozená čísla n platí: a n1=a nd .
a n=a 1 n−1 d a r =a s r−s d n s n= a 1a n 2 d .......diference aritmetické posloupnosti s n ......součet prvních n-členů posloupnosti
Př.: Jaké hodnoty bude mít prvních 6 členů aritmetické posloupnosti? a 1=−1 ; d =3 a 1=−1 a 2=−12−1⋅3=−13=2 a 3=−13−1⋅3=−16=5 a 4 =−14−1⋅3=−19=8 a 5=−15−1⋅3=−112=11 a 6=−16−1⋅3=−115=14
Jaký bude 1. člen a diference posloupnosti? a 2a 6=32 a 4 a 5=36 a 1d a 15d=32 a 13da 14d=36 2a 16d =32⇒ a 1=
32−6d =16−3d 2
2a 17d =36 2 16−3d 7d=36 32−6d7d=36 d =36−32 d =4 a 1=16−3⋅4=16−12=4
75 / 95
IgMen
54
Geometrická posloupnost
Posloupnost {a n }∞n−1 se nazývá geometrická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo q, že pro všechna přirozená čísla n platí: a n1=a n⋅q .
a n=a 1⋅q n−1 a r =a s⋅q r− s q n−1 s n=a 1⋅ q−1 q .......kvocient geometrické posloupnosti s n ......součet prvních n-členů posloupnosti
Př.: Jaké hodnoty bude mít prvních 5 členů geometrické posloupnosti? 1 a 1=−4 ; q= 2 a 1=−4
1 2 1 a 3=−4⋅ 2 1 a 4 =−4⋅ 2 1 a 5=−4⋅ 2 a 2=−4⋅
2−1
1
1 2 3−1 1 =−4⋅ 2 4−1 1 =−4⋅ 2 5−1 1 =−4 ⋅ 2 =−4⋅
1 4 =−4⋅ =− =−2 2 2 2 1 4 =−4⋅ =− =−1 4 4 3 1 4 1 =−4⋅ =− =− 8 8 2 4 1 4 1 =−4⋅ =− =− 16 16 4
76 / 95
IgMen
55
Nekonečná geometrická řada
Nechť je dána posloupnost {a n }∞n−1 . Výraz, který obsahuje její členy a má tvar a 1a2 a 3... se nazývá nekonečná řada. Členy a 1 , a 2 , a3 ,... se nazývají členy nekonečné řady. Jestliže je daná posloupnost geometrická, pak se příslušná řada nazývá nekonečná geometrická řada: a 1a1⋅qa1⋅q2 a 1⋅q 3... Nekonečná geometrická řada je konvergentní právě tehdy, jestliže ∣q∣1 . V opačném případě je řada divergentní. Je-li nekonečná geometrická řada konvergentní, a pak lze sečíst a součet je dán vztahem s= 1 . 1−q
Př.: Jestliže je daná geometrická řada konvergentní, jaký bude její součet? 1 1 1 1 ... 2 4 8
1 a2 2 1 a 2=a1⋅q ⇒ q= = = ⇒ q ∈−1 ; 1 a1 1 2 daná geometrická řada je konvergentní a 1 1 2 s= 1 = = =1⋅ =2 1−q 1 1 1 1− 2 2 ∞
∑ −1n n−1
a2 1 = =−1⇒ q∈−1 ;1 a1 −1 daná geometrická řada je divergentní a 2=a 1⋅q ⇒ q=
77 / 95
IgMen
56 56.1
Variace, permutace, kombinace Faktoriál čísla n!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅...⋅ n−2⋅n−1⋅n
Př.: 2!=1⋅2=2 3!=1⋅2⋅3=2!⋅3=6 4!=1⋅2⋅3⋅4=2!⋅3⋅4=3!⋅4=6 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=2!⋅3⋅4⋅5=3!⋅4⋅5=4!⋅5=6 1 1 1⋅4−1 3 3 1 1 − = = = = = 3! 4! 4! 4! 4⋅3⋅2! 4⋅2! 8 8! 8⋅7⋅6⋅5! 8⋅7⋅6 8⋅7⋅6 = = = =8⋅7=56 5!⋅3! 5!⋅3! 3! 6 n! n! = =1 n n−1! n! 2n1! 2n1⋅2n⋅ 2n−1! = =2n 2n1 2n−1! 2n−1!
56.2
Kombinatorika
Variace bez opakování: Variace k-té třídy z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. n! V k n= n−k ! Permutace bez opakování: Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto prvků bez opakování. n! n! n! P n=V n n= = = =n! n−n! 0! 1 Kombinace bez opakování: Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvíce jednou. n! C k n= n = k ! n−k ! k
78 / 95
IgMen
Př.: Kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat: a) trojici políček b) trojici políček neležících v témže sloupci c) trojici políček neležících v témže sloupci ani v téže řadě d) trojici políček, která nejsou všechna téže barvy 64! 64! = =41664 3!64−3! 3!⋅61! 8! 8! 8⋅C 3 8=8⋅ =8⋅ =8⋅56=448 b) 3!8−3! 3!⋅5! existuje 448 trojic políček, která leží v témže sloupci 41664−448=41216 8! 8! 2⋅8⋅C 3 8=16⋅ =16⋅ =16⋅56=896 c) 3!8−3! 3!⋅5! existuje 896 trojic políček, která neleží v témže sloupci ani v téže řadě 41664−896=40768 32! 32! 2⋅C 3 32=2⋅ =2⋅ =2⋅4960=9920 d) 3!32−3! 3!⋅29! existuje 9920 trojic políček, která jsou všechna bílá nebo všechna černá 41664−9920=31744
a)
C 3 8⋅8=C 3 64=
Kolika způsoby je možno ze 7 mužů a 4 žen vybrat 6-člennou skupinu, v níž jsou právě 2 ženy? 7! 4! 7! 4! 7! C 4 7⋅C 2 4= ⋅ = ⋅ = =210 4!7−4! 2! 4−2! 4!3! 2!2! 3!⋅2!⋅2!
K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici barvy bílá, červená, zelená, modrá a žlutá. a) Kolik vlajek se může z těchto barev sestavit? b) Kolik vlajek sestavených z těchto barev má modrý pruh uprostřed? Záleží na pořadí barev. 5! 5! V 3 5= = =60 a) 5−3! 2! b) S modrým pruhem uprostřed se vybírá pouze ze 4 barev pro dva pruhy. 4! 4! V 2 4= = =12 4−2! 2!
Kolik různých přirozených čísel lze sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, jestliže se cifry v čísle neopakují? P 5=5!=120
79 / 95
IgMen
Variace bez opakování: Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. V ' k n=n k Permutace bez opakování: Permutace s opakováním z n prvků je k-tice uspořádaná z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou. k 1k 2k 3...k n ! P ' k 1 ; k 2 ; k 3 ; ... k n = k 1!⋅k 2!⋅k 3!⋅...⋅k n! Kombinace bez opakování: Kombinace k-té třídy z n prvků s opakování je každá neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. nk −1! C ' k n= nk −1 = k !n−1! k
Př.: Kolik přirozených čtyřciferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? a) Kolik z nich bude sudých? b) Kolik z nich bude lichých? V ' 4 7=7 4=2401 a) Sudá čísla mohou mít na konci pouze 2, 4 a 6, takže se počítají možnosti jen pro první 3 místa a výsledný počet se násobí 3. 3⋅V ' 3 7=3⋅7 3=1029 b) Lichá čísla mohou mít na konci pouze 1, 3, 5 a 7, takže se počítají možnosti jen pro první 3 místa a výsledný počet se násobí 4. 4⋅V ' 3 7=4⋅73=1372
80 / 95
IgMen
Kolik přirozených pěticiferných čísel lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li být v každém z nich číslo 5: a) 3-krát b) nejvýše 3-krát c) alespoň 3-krát 32! 5! = =10 3!⋅2! 3!⋅2! 32! 5! 3x ... 5 , 2x ...7 ⇒ P ' 3 ; 2= = =10 b) 3!⋅2! 3!⋅2! 23! 5! 2x ...5 ,3x ... 7⇒ P ' 3 ; 2= = =10 2!⋅3! 2!⋅3! 14! 5! 1x ... 5 , 4x ...7 ⇒ P ' 1 ; 4= = =5 1!⋅4! 1!⋅4! 05! 5! 0x ... 5 ,5x ... 7 ⇒ P ' 0 ; 5= = =1 0!⋅5! 0!⋅5! Čísel lze sestavit 26 (součet všech výsledných hodnot). 32! 5! 3x ... 5 , 2x ...7 ⇒ P ' 3 ; 2= = =10 c) 3!⋅2! 3!⋅2! 41! 5! 4x ...5 ,1x ...7 ⇒ P ' 4 ; 1= = =5 4!⋅1! 4!⋅1! 50! 5! 5x ... 5 , 0x ... 7 ⇒ P ' 5 ; 0= = =1 5!⋅0! 5!⋅0! Čísel lze sestavit 16 (součet všech výsledných hodnot). a)
3x ... 5 , 2x ...7 ⇒ P ' 3 ; 2=
Jaký je počet kvádrů, jejichž velikosti hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti? 12! 12! C ' 3 10= 103−1 = 12 = = =220 3!10−1! 3!⋅9! 3 3
81 / 95
IgMen
57
Kombinační číslo – vlastnosti, rovnice s kombinačními čísly
57.1
Kombinační číslo n! nk= k!n−k !
Vlastnosti a hodnoty kombinačních čísel:
n1=n 00=1
nn=1 nk=n−kn
n0=1 nkk 1n = n1 k 1
Př.:
6263=73 123128=129128=139 5045045=50465045=5146=515 4164074034=41640333440=4164134=41353441=4235=427
82 / 95
IgMen
57.2
Pascalův trojúhelník
1. řádek
n=0
2. řádek
n=1
3. řádek
n=2
4. řádek
n=3
k 1 . řádek
57.3
00
1
10 11 20 21 22 03 31 32 33
1 1 1 2 1 1 3 3 1
k0 k1 k2 ... k −1k kk
n=k
Binomická věta
n n 0 n −1 1 n −2 2 1 n−1 0 n ab = n ⋅a ⋅b n ⋅a ⋅b n ⋅a ⋅b ... n ⋅a ⋅b n ⋅a ⋅b 0 1 2 n−1 n
Př.:
4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 ab = 4 ⋅a ⋅b 4 ⋅a ⋅b 4 ⋅a ⋅b 4 ⋅a ⋅b 4 ⋅a ⋅b = 0 1 2 3 4 =1⋅a 4⋅1=4⋅a 3⋅b16⋅a 2⋅b 24⋅a 1⋅b 31⋅1⋅b 4=a 4 4a 3 b6a 2 b 24ab3b 4
7 7 0 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1−m = 7 ⋅1 ⋅−m 7 ⋅1 ⋅−m 7 ⋅1 ⋅−m 7 ⋅1 ⋅−m 7 ⋅1 ⋅−m 7 ⋅1 ⋅−m 0 1 2 3 4 5 7 ⋅11⋅−m6 7 ⋅10⋅−m7=1⋅1⋅17⋅1⋅−m21⋅1⋅m2 35⋅1⋅−m3 35⋅1⋅m4 6 7 5 21⋅1⋅−m 7⋅1⋅m61⋅1⋅−m7 =1−7m21m 2 −35m 335m 4−21m 5 7m 6−m7
83 / 95
IgMen
58
Pravděpodobnost
58.1
Náhodné pokusy
Výsledky náhodných pokusů závisí nejen na předepsaných podmínkách, ale také na náhodě. Množina možných výsledků pokusů: Předpokládá se, že u každého náhodného pokusu je možno předem určit všechny možné výsledky, které se navzájem vylučují (nastane jeden, nemůže nastat druhý) a že jeden z nich nastane vždy.
Náhodné jevy: Jev je podmnožinou množiny možných výsledků pokusů. Náhodný jev – výsledek náhodného pokusu Elementární jev – výsledek pokusu, který nelze v dané situaci dále rozdělit Nemožný jev ∅ – jev, který nikdy nenastane Jistý jev – jev, který nastane vždy Vztahy mezi jevy: ∈ A
výsledek je příznivý jevu A
A⊂ B
jev A je podjevem jevu B
A= B
jevy A a B jsou si rovny A= B⇔ A⊂B∧B⊂A
A∪ B
nastává právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A, B a nazývá se sjednocení jevů A, B
A∩ B
nastává právě tehdy, nastanou-li oba jevy A, B – průnik jevů A, B
A∩ B=∅
jevy A, B se navzájem vylučují (neslučitelné, disjunktní jevy)
A'
nastává, jestliže jev A nenastane (jev opačný k jevu A – doplňkový)
58.2
Pravděpodobnost náhodného jevu
Pokud jde o takový náhodný pokus, u něhož jsou výsledky stejně možné, je jich konečný počet a vzájemně se vylučují, potom se číselná hodnota pravděpodobnosti jevu A určí podle m vzorce P A= , kde m je počet všech příznivých výsledků jevu A a n je počet n všech možných výsledků. Př.: V loterii je 5000 losů, z nichž 100 je vítězných. Jaká je pravděpodobnost, že zakoupený los je vítězný? P A=
100 1 = =0,02⇒ 2 5000 50
84 / 95
IgMen
58.3
Statistická pravděpodobnost
Je založena na relativní četnosti. Relativní četnost p A - podíl počtu pokusů, ve kterých jev A nastal a celkového počtu provedených pokusů. n A p A= n n A .......absolutní četnost n .............počet náhodných pokusů
Př.: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet roven 5? Existují 4 příznivé možnosti, kdy 2 kostky dají součet 5. Počet všech možných výsledků se určí použitím variace s opakováním. 4 4 4 1 p A= = = = ⇒11 V ' 2 6 62 36 9
58.4
Podmíněná pravděpodobnost a pravděpodobnost průniku
Dva jevy jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho jevu nezávisí na nastoupení jevu druhého. P A=P A/ B P B=P B / A n A∩ B P A∩B P A/ B= = n B P B n A∩ B P A∩B P B / A= = n A P A Pravděpodobnost průniku: závislé jevy.............. P A∩B=P A⋅P B/ A=P B⋅P A/ B nezávislé jevy.......... P A∩B=P A⋅P B
Př.: 4 1 = . Je-li tažená karta eso a 32 8 3 vytáhne-li hráč další kartu, pak pravděpodobnost, že tažená karta je opět eso je P B / A= . 31 Vytáhne-li hráč z uvedeného balíčku karet dvě karty, pak pravděpodobnost, že to budou dvě esa je 1 3 P=P A⋅P B / A= ⋅ =0,012⇒ 1,2 . 8 31
Pravděpodobnost, že hráč vytáhne z balíčku 32 karet eso je P A=
85 / 95
IgMen
58.5
Pravděpodobnost sjednocení
A, B – disjunktní jevy P A∪B=P AP B A, B – nejsou disjunktní jevy P A∪B=P AP B−P A∩B Př.: A – na kostce padne sudé číslo B – na kostce padne liché číslo Jevy se navzájem vylučují. 3 1 P A= = 1 1 6 2 P A∪B=P AP B= =1 3 1 2 2 P B= = 6 2 A – na kostce padne sudé číslo B – na kostce padne číslo 6 Jevy se navzájem nevylučují, protože 6 je sudé číslo. 3 1 P A= = 1 1 1 1 6 2 P A∪B=P AP B−P A∩B= − = 1 2 6 6 2 P B= 6
58.6
Binomické rozdělení pravděpodobnost (Bernoulliho schéma, nezávislé pokusy)
Náhodné pokusy jsou považovány za nezávislé, jestliže pravděpodobnost výsledku kteréhokoli pokusu nezávisí na výsledcích ostatních pokusů. Bernoulliho vzorec: n P( x ) = ⋅ p x ⋅ q n − x x
P A= p ......jev nastane P A =q .......jev nenastane n ...................počet pokusů x ...................počet pokusů, při kterých jev nastane
Př.: Jaká je pravděpodobnost, že při opakování 5 hodů hrací kostkou za sebou padne šestka právě třikrát? 1 Protože pravděpodobnost jevu A: „padne šestka“ je stále stejná: p= , může se dosadit do 6 3 5−3 1 5 1 25 Bernoulliho vzorce n=5 , k =3: P 3= 5 ⋅ ⋅ =10⋅ ⋅ =0,03215 . 3 6 6 216 36
86 / 95
IgMen
59
Statistika
Statistika zkoumá společenské, přírodní a technické jevy vždy na dostatečně velkém souboru případů (hledá ty vlastnosti, které se projevují teprve v souboru případů, ne jednotlivě). Statistický soubor – množina osob, věcí, událostí, časových období apod. Jeho prvky nazýváme statistické jednotky. Rozsah statistického souboru (n) – počet jednotek v souboru. Statistické jednotky se vždy vyšetřují z hlediska zvoleného znaku. U každé jednotky se zjišťují a zaznamenávají hodnoty znaku (hodnoty znaku jsou navzájem neslučitelné). Znaky: kvantitativní – jejich hodnoty se liší číselnou velikostí (výška postavy) kvalitativní Tabulka rozdělení četnosti: Četnost hodnoty znaku ni – udává, kolikrát se hodnota znaku vyskytuje v celém souboru n Relativní četnost – i n Př.: Tabulka známek ze čtvrtletní práce. n 1=6 n 2=7 n 3=3 n 4=1 n 5=0
známka četnost – n i relativní četnost 1 6 0,3529 2 7 0,4118 3 3 0,1765 4 1 0,0588 5 0 0,0000 celkově 17 1,0000
Znaky se také mohou zadat pomocí intervalů. Potom se jako konkrétní údaj pro další výpočty berou středy jednotlivých intervalů. Vhodný počet intervalů určuje Sturgesovo pravidlo: k =13,3 log n Př.: Tabulka udávající výšku postavy. výška
četnost – n i
střed intervalu 173 – 177 178 – 182 183 – 187 188 – 192 celkově
175 180 185 190
87 / 95
5 6 3 3 17
IgMen
59.1
Grafické znázornění rozdělení četností
Spojnicový diagram (polygon četností): Získává se spojením bodů, jejichž 1. souřadnice je hodnota znaku a 2. souřadnice je odpovídající četnost.
Sloupkový diagram (histogram): Používá se nejčastěji, jsou-li hodnoty znaku zadány pomocí intervalů. Tyto intervaly tvoří základny sloupků a četnosti udávají výšku.
Kruhový diagram: Znázorňuje se jím rozdělení četnosti kvalitativního znaku, kde různým hodnotám znaku odpovídají kruhové výseče, jejichž plošné obsahy jsou úměrné četnostem.
88 / 95
IgMen
59.2
Charakteristika polohy
Nejstručnější informace o daném souboru. Udává jediné číslo, které charakterizuje polohu znaku na číselné ose. Aritmetický průměr x : vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
prostý tvar n
r
∑ xi
x =
x 1 x 2x 3... x n i =1 = n n
∑ x i⋅ni
x =
x 1⋅n1x 2⋅n2 x 3⋅n 3...x r⋅nr i=1 = n n
Harmonický průměr xh : Používá se, jsou-li hodnoty znaku nerovnoměrně rozloženy kolem aritmetického průměru, nebo když jsou hodnoty extrémně nízké či vysoké. Harmonický průměr z nenulových hodnot statistického souboru je definován jako podíl rozsahu souboru a součtu převrácených hodnot znaků. vážený tvar prostý tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností) xh=
n
xh =
n
∑ x1 i=1
n r
n
∑ xi
i
i=1
i
Geometrický průměr xg : prostý tvar
vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
xg =n x 1⋅x 2⋅x 3⋅...⋅x n
xg = x n1 ⋅x n2 ⋅x n3 ⋅...⋅x nr
n
1
2
3
r
Modus znaku mod x : Je to hodnota znaku x s největší četností. Medián znaku med x : Je to prostřední hodnota znaku, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti. n je liché číslo ⇒ med x= x n1 2
n je sudé číslo ⇒ med x=
x n x n 2
2
1
2
89 / 95
IgMen
59.3
Charakteristika variability
Průměrná čtvercová odchylka od aritmetického průměru – rozptyl s 2x : vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
prostý tvar n
r
∑ x i−x
s 2x = i=1
∑ x i− x 2⋅n i
2
s 2x = i=1
n
n
Průměrná absolutní odchylka d : prostý tvar
vážený tvar (pro soubor, který je zadán tabulkou rozdělení četností)
n
r
∑∣x i− x∣
d = i =1
∑∣x i− x∣⋅ni
d = i =1
n
n
Směrodatná odchylka s x : s x = s 2x Variační koeficient v x : Je to podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru a používá se pro srovnání variability dvou nebo více souborů v různých měřících jednotkách nebo v různých úrovních. sx v x= x Variační rozpětí R: Doplňková charakteristika variability. R= x max −x min
90 / 95
IgMen
Př.: Při měření výšky 100 stromků byly zjištěny tyto hodnoty: 130, 132, 137, 139, 139, 139, 142, 143, 146, 146, 147, 147, 148, 149, 150, 150, 150, 153, 153, 156, 157, 158, 159, 159, 159, 159, 162, 162, 164, 166, 166, 166, 167, 169, 169, 169, 169, 170, 170, 171, 172, 172, 172, 173, 173, 174, 175, 176, 176, 176, 177, 177, 178, 179, 180, 180, 181, 181, 181, 182, 183, 184, 184, 185, 186, 187, 187, 187, 190, 192, 192, 193, 194, 194, 194, 195, 195, 195, 196, 197, 198, 198, 200, 201, 201, 201, 202, 202, 203, 204, 206, 206, 209, 209, 209, 214, 216, 219, 219, 219. n=100 k =13,3 log100=7,6≃8 výška ≈ xi
relativní četnost
ni
x i – x
∣x i −x∣
x i− x 2
128−139≈133,5
6
0,06
-42,84
42,84
1 835,27
140−151≈145,5
11
0,11
-30,84
30,84
951,11
152−163≈157,5
11
0,11
-18,84
18,84
354,95
164−175≈169,5
19
0,19
-6,84
6,84
46,79
176−187≈181,5
21
0,21
5,16
5,16
26,63
188−199≈193,5
14
0,14
17,16
17,16
294,47
200−211≈205,5
13
0,13
29,16
29,16
850,31
212−223≈217,5
5
0,05
41,16
41,16
1 694,15
r
∑ x i⋅ni
i=1 =176,34 x = 100 mod x =181,5 x x 181,5181,5 med x = 50 51 = =181,5 2 2 r
∑ x i− x 2⋅n i
s 2x = i=1
100
=504,74
r
∑∣x i− x∣⋅ni
d = i =1
=18,67 100 s x = s 2x = 504,74=22,47 s 22,47 v x= x = =0,1274 x 176,34 x max =223 x min =128 R= x max – x min =223−128=95
91 / 95
IgMen
60
Důkazy v matematice
60.1
Logická výstavba matematiky
Axiomy (postuláty) – výchozí matematické výroky, které se prohlásí za pravdivé bez dokazování. Definice – zavádí nové matematické pojmy pomocí pojmů již definovaných. Věta: Pravdivý matematický výrok, který se dá odvodit pomocí logiky na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět. tvar věty: P ⇒ T P ..........předpoklad T ..........tvrzení obměněná věta........ ¬T ⇒¬P obrácená věta.......... T ⇒ P (nemusí být vždy větou) negace věty.............. P∧¬T Kvantifikátory:
∀ ....obecný kvantifikátor ∃ ....existenční kvantifikátor
60.2
Při negaci věty se ∀ mění na ∃ a naopak.
Důkazy matematických vět
Přímý důkaz:
P⇒T D!
P ⇒T 1 ; T 1 ⇒T 2 ;T 2drarrow T 3 ; ... T n−1 ⇒ T n ; T n ⇒T
∀ – výrok 1. 2. 3.
nalézt výrok A, který platí dokázat A ⇒V platí výrok V
92 / 95
IgMen
Př.: Úkolem je dokázat, že platí následující výroky. Pro všechna n∈N platí, že výraz n 32n je dělitelný 3. Všechna přirozená čísla mohou být rozdělena do tří skupin: 3k ; 3k1 ; 3k2 . n=3k n 32n=3k 32⋅3k=27k 36k=3 9k3 2k n=3k1 n 32n=3k132⋅3k1=27k 327k 29k 16k2= =27k 327k 215k3=39k 39k 2 3k1 n=3k2 n 32n=3k232⋅3k2=27k 354k 2 36k86k 4= =27k 3 54k 242k12=3 9k 318k 214k4 Součin dvou za sebou jdoucích čísel je dělitelný 2. Součin dvou za sebou jdoucích čísel: n n1 Všechna přirozená čísla mohou být rozdělena do dvou skupin: 2k ; 2k1 . 2 2 n=2k n n1=2k 2k 1=4k 2k=22k k n n1= 2k1 2k11=2k12k 2= n=2k 1 =4k 24k 2k2=4k 26k 2=2 2k 23k1
Nepřímý důkaz: Místo věty v podmínkovém tvaru P ⇒ T se přímo dokáže věta obměněná.
Př.: Úkolem je nepřímo dokázat, že platí následující výroky. Jestliže n 21 je dělitelné 5, pak n není dělitelné 5. Věta obměněná: Jestliže n je dělitelné 5, pak n 21 není dělitelné 5. 2 2 2 2 n=5k n 1=5k 1=25k 1=55k 1 výraz není dělitelný 5 Jestliže n 2 je sudé, pak n je sudé. Věta obměněná: Jestliže n je liché, pak n 2 je liché. n=2k 1 n 2=2k12=4k 24k1=22k 2 2k 1 výraz je lichý
93 / 95
IgMen
Důkaz sporem: Předpokládá se, že daná věta P ⇒ T neplatí, a tudíž platí její negace: ¬ P ⇒T = P∧¬T . P∧¬T =Z 1 ; Z 1 ⇒ Z 2 ; ... Z n ⇒ Z
Př.: Pro všechna kladná reálná čísla a ,b platí:
ab ≥ ab 2
Negace věty: Pro všechna kladná reálná čísla a ,b platí:
ab ab 2
ab ab ∣2 2 ab2 ab ∣⋅4 4 ab24ab a 22abb24ab a 22abb2 – 4ab0 a 2−2abb20 a−b20 toto není pravda – spor
Důkaz matematickou indukcí: ∀ n∈ N a : V n I. základ indukce
Věta se dokáže pro první nejmenší prvek dané množiny N a .
II. indukční krok
Indukční předpoklad – předpokládá se, že věta platí pro přirozené číslo k. Pomocí tohoto indukčního předpokladu se dokáže, že věta platí i pro číslo k 1 .
závěr
Platí-li věta pro nejmenší přirozené číslo a, pak se ve druhém kroku volí k =a a dokáže se, že to platí i pro k 1 . Opakováním 2. kroku se dokáže, že to platí pro každé n z množiny N a .
94 / 95
IgMen
Př.: 2
2
2
2
∀ n∈ N : 1 2 3 ...n =
I.
II.
n=1 n n1 2n1 12= 6 1⋅11 2⋅11 2 1= 6 1⋅2⋅3 1= 6 6 1= 6 1=1 předpoklad: n=k 122232...k 2=
D!
n n12n 1 6
k k 1 2k1 6
n=k1
k 1 k22k3 6 k k 12k1 k 1k 22k3 k 12= 6 6 2 k k 12k16 k 1 k 1k 22k3 = 6 6 k 1 k 1 ⋅[ k 2k16 k 1]= ⋅k 22k3 6 6 k 1 k 1 2 ⋅ 2k k 6k6= ⋅ k 22k 3 6 6 k 1 k 1 ⋅ 2k 27k6= ⋅k 22k3 6 6
12223 2...k 2k 12=
[
−7−1 8 =− =−2 −7± 7 2−4⋅2⋅6 −7± 49−48 −7± 1 −7±1 4 k 1,2= = = = = 4 2⋅2 4 4 4 −71 6 3 =− =− 4 4 2 k 1 k 1 ⋅2 k −k 1 k −k 2 = ⋅ k 22k3 6 6 k 1 3 k 1 ⋅k 2⋅2 k = ⋅ k22k3 6 2 6 k 1 k 1 ⋅k 2⋅2k3= ⋅ k22k3 6 6
]
95 / 95
IgMen
