31. MEZINÁRODNÍ KONFERENCE
HISTORIE MATEMATIKY Velké MeziĜíþí, 18. až 22. 8. 2010
Praha
2010 1
Recenzovali: J. BeþváĜ, M. BeþváĜová, M. Hykšová
Tato publikace byla vytištČna díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky.
Všechna práva vyhrazena. Tato publikace ani žádná její þást nesmí být reprodukována nebo šíĜena v žádné formČ, elektronické nebo mechanické, vþetnČ fotokopií, bez písemného souhlasu vydavatele. © J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (ed.), 2010 © MATFYZPRESS, vydavatelství Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze, 2010
ISBN 978-80-7378-128-6
2
Vážené kolegynČ, vážení kolegové,
pĜedkládáme vám sborník obsahující texty tĜí vyzvaných pĜednášek, texty delších a kratších sdČlení, které byly pĜihlášeny na 31. mezinárodní konferenci Historie matematiky. Všechny pĜíspČvky byly graficky a typograficky sjednoceny, nČkteré byly upraveny i jazykovČ. ZaĜazen byl též program konference a seznam všech úþastníkĤ, kteĜí se pĜihlásili do 15. þervna 2010. Sborník vznikl díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky, finanþní pomoci Katedry didaktiky matematiky MFF UK a Ústavu aplikované matematiky FD ýVUT. V úvodu sborníku pĜipomínáme Štefana Schwabika (1941–2009) a Ivana Saxla (1936–2009), vynikající matematiky, pedagogy a školitele, dobré a nezapomenutelné pĜátele, pravidelné úþastníky konferencí Historie matematiky, pĜíznivce matematiky, její historie i vyuþování. OtištČná fotografie Š. Schwabika je z kolekce, kterou poĜídil M. Tvrdý z MÚ AV ýR, fotografie I. Saxla je dílem Š. Schwabika. V první þásti sborníku jsou otištČny texty hlavních pĜednášek, o nČž byli požádáni zkušení pĜednášející, kteĜí se vČnují matematice, dČjinám matematiky, souvislostem matematiky s ostatními sférami lidské þinnosti, výchovČ doktorandĤ, Ĝízení a organizaci vČdecké práce a mnoha dalším aktivitám. Ve druhé þásti sborníku jsou publikovány pĜíspČvky jednotlivých úþastníkĤ. Konference není monotematicky zamČĜena, snažili jsme se poskytnout dostateþný prostor k aktivním vystoupením, diskusím a neformálním setkáním všem pĜihlášeným, tj. matematikĤm, historikĤm matematiky, uþitelĤm vysokých i stĜedních škol, doktorandĤm oboru Obecné otázky matematiky a informatiky i všem dalším zájemcĤm o matematiku a její historii. PĜíspČvky všech doktorandĤ recenzovali jejich školitelé, peþlivČ je prošli a doporuþili k otištČní. Program letošní konference je pomČrnČ pestrý. VČĜíme, že každý najde Ĝadu témat, která ho zaujmou a potČší, že objeví nové kolegy, pĜátele a spolupracovníky, získá inspiraci, Ĝadu podnČtĤ, motivaci i povzbuzení ke své další odborné práci a ke svému studiu. PodrobnČjší informace o letošní konferenci i o všech pĜedchozích konferencích a letních školách lze najít na adrese http://www.fd.cvut.cz/personal/becvamar/konference/hlavnindex.html.
Martina BeþváĜová, JindĜich BeþváĜ V Praze, v þervnu 2010
3
Štefan Schwabik (1941–2009) Vzpomínáme a dČkujeme.
4
Ivan Saxl (1936–2009) Vzpomínáme a dČkujeme.
5
SEZNAM ÚýASTNÍKģ
Balková Lubomíra Baštinec Jaromír Bálintová Anna Bártlová Tereza BeþváĜ JindĜich BeþváĜová Martina Benediktová Marie BĜinda Karel ýižmár Ján Fabian František Halas ZdenČk Hykš OldĜich Hykšová Magdalena Chmelíková Vlasta Chocholová Michaela Kalousová Anna Klouda Karel KotĤlek Jan KĜápek Milan Kvasz Ladislav Kvaszová Milena Lengyelfalusy Tomáš
Melcer Martin Mitrengová Dana Moravec Luboš Otavová Miroslava Pazourek Karel Pelikán David Pogoda Zdzisław Sklenáriková Zita Slavík Antonín Smýkalová Radka Starosta ŠtČpán Surynková Petra Sýkorová Irena ŠtČpánová Martina Trkovská Dana Ulrychová Eva Václavíková Zuzana Veselý JiĜí Vízek Lukáš WiĊsław Witold Zahradník Jan Zichová Jitka
6
SEZNAM PěEDNÁŠEK
I. Vyzvané pĜednášky Kvasz L.: Jazyk matematiky ako predmet historického výskumu Veselý J.: Poznámky k historii funkcionálních rovnic WiĊsław W.: Matematyka na zemiach polski v epoce OĞwiecenia
II. Konferenþní vystoupení (25 minut) Balková L.: Paul ErdĘs a jeho oblíbené problémy Ramseyovy teorie Bálintová A.: Sudoku a história magických štvorcov Bártlová T.: EulerĤv-MaclaurinĤv sumaþní vzorec BeþváĜ J., BeþváĜová M.: Metodika nČkterých prací z historie matematiky BeþváĜová M.: 111 let od pĜíchodu Karla Zahradníka do Brna Benediktová M.: Al-Chvárizmího Aritmetický a Algebraický traktát ýižmár J.: Dielo Karla Zahradníka (geometrické práce) Fabian F.: Kdo je autorem axiomatiky podmínČných pravdČpodobností? Hykšová M.: Bruno de Finetti (1906–1985) a filosofie pravdČpodobnosti Chmelíková V.: MénČ známí uþitelé deskriptivní geometrie Chocholová M.: Matematické aplikace v díle Wilhelma Matzky Kalousová A.: ZobecnČní Buffonovy úlohy o jehle KotĤlek J.: Problémy Diracovy rovnice 1928–1933 KĜápek M.: Zapomenuté práce Otakara BorĤvky Melcer M.: Eduard ýech a jeho stĜedoškolské uþebnice Moravec L.: Jakub Filip Kulik v Olomouci, Štýrském Hradci a Praze Otavová M.: Ladislav Jandera a pČstování poþetní zdatnosti na pražské universitČ Pazourek K.: TĜi roky vČzím v dČlitelnosti Pelikán D.: Gottfried Wilhelm Leibniz: Univerzální Ĝeþ Pogoda Z.: Kazimierz ĩorawski and the Cracow mathematical school Slavík A.: O ĜetČzovce a hyperbolických funkcích Smýkalová R.: Trigonometrie v EvropČ 15. – 17. století Surynková P.: Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umČní Sýkorová I.: Rukopis Bakhšhálí ŠtČpánová M.: Poþátky teorie matic u nás, obzvláštČ Weyrova teorie Trkovská D.: Od shodnosti k transformacím Ulrychová E.: Základní uþební texty z matematiky na VŠE Praha v letech 1954–2009 Václavíková Z.: Historické výpoþetní pomĤcky a netradiþní metody aritmetických výpoþtĤ Zahradník J.: Maturitní zkoušky z matematiky na pĜelomu 19. a 20. století a na zaþátku 21. století Zichová J.: Lineární model v díle dánského statistika T. N. Thieleho
7
ODBORNÝ PROGRAM KONFERENCE StĜeda 18. 8. 2010
Dopolední program 10:00–12:00 Zahájení Plenární pĜednáška: J. Veselý: Poznámky k historii funkcionálních rovnic
Odpolední program 14:00–15:30 Konferenþní vystoupení: Z. Václavíková: Historické výpoþetní pomĤcky a netradiþní metody aritmetických výpoþtĤ M. Benediktová: Al-Chvárizmího Aritmetický a Algebraický traktát Z. Pogoda: Kazimierz ĩorawski and the Cracow mathematical school
Odpolední program 16:00–18:00 Konferenþní vystoupení: M. BeþváĜová: 111 let od pĜíchodu Karla Zahradníka do Brna J. ýižmár: Dielo Karla Zahradníka (geometrické práce) L. Balková: Paul ErdĘs a jeho oblíbené problémy Ramseyovy teorie ýtvrtek 19. 8. 2010
Dopolední program 8:30–10:00 Plenární pĜednáška: W. WiĊsław: Matematyka na zemiach polski v epoce OĞwiecenia Dopolední program 10:30–12:00 Konferenþní vystoupení: M. Chocholová: Matematické aplikace v díle Wilhelma Matzky L. Moravec: Jakub Filip Kulik v Olomouci, Štýrském Hradci a Praze M. Otavová: Ladislav Jandera a pČstování poþetní zdatnosti na pražské universitČ Odpolední program 14:00–15:30 Konferenþní vystoupení: J. BeþváĜ, M. BeþváĜová: Metodika nČkterých prací z historie matematiky M. Melcer: Eduard ýech a jeho stĜedoškolské uþebnice Odpolední program 16:00–18:00 Konferenþní vystoupení: K. Pazourek: TĜi roky vČzím v dČlitelnosti A. Bálintová: Sudoku a história magických štvorcov I. Sýkorová: Rukopis Bakhšhálí
8
Pátek 20. 8. 2010
Dopolední program 8:30–10:00 Plenární pĜednáška: L. Kvasz: Jazyk matematiky ako predmet historického výskumu Dopolední program 10:30–12:00 Konferenþní vystoupení: V. Chmelíková: MénČ známí uþitelé deskriptivní geometrie J. Zahradník: Maturitní zkoušky z matematiky na pĜelomu 19. a 20. století a na zaþátku 21. století E. Ulrychová: Základní uþební texty z matematiky na VŠE Praha v letech 1954–2009 Veþerní posezení 20:00
Sobota 21. 8. 2010
Dopolední program 8:30–10:00 Konferenþní vystoupení: M. Hykšová: Bruno de Finetti (1906–1985) a filosofie pravdČpodobnosti J. Zichová: Lineární model v díle dánského statistika T. N. Thieleho F. Fabian: Kdo je autorem axiomatiky podmínČných pravdČpodobností? Dopolední program 10:30–12:00 Konferenþní vystoupení: D. Trkovská: Od shodnosti k transformacím T. Bártlová: EulerĤv-MaclaurinĤv sumaþní vzorec A. Slavík: O ĜetČzovce a hyperbolických funkcích Odpolední program 14:00–15:30 Konferenþní vystoupení: P. Surynková: Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umČní J. KotĤlek: Problémy Diracovy rovnice 1928–1933 R. Smýkalová: Trigonometrie v EvropČ 15. – 17. století Odpolední program 16:00–18:00 Diskuse o historii matematiky, doktorském studiu a práci
9
NedČle 22. 8. 2010
Dopolední program 8:30–10:00 Konferenþní vystoupení: M. ŠtČpánová: Poþátky teorie matic u nás, obzvláštČ Weyrova teorie M. KĜápek: Zapomenuté práce Otakara BorĤvky A. Kalousová: ZobecnČní Buffonovy úlohy o jehle
Dopolední program 10:30–12:00 D. Pelikán: Gottfried Wilhelm Leibniz: Univerzální Ĝeþ ZávČreþná diskuse Zakonþení
10
VYZVANÉ PěEDNÁŠKY
11
12
JAZYK MATEMATIKY AKO PREDMET HISTORICKÉHO VÝSKUMU LADISLAV KVASZ Abstract: In the paper different aspects of the changes of language that occurred during the long history of mathematics are discussed. Several parameters of language, such as its logical, expressive, methodological, integrative, explanatory and metaphorical power are introduced and are used to characterize the linguistic innovations in mathematics.
0 Úvod V matematike je pomerne þastý jav, že výsledky tvoriace vrchol matematickej tvorby géniov minulosti, ktoré boli výsledkom systematického úsilia mnohých generácií, dnes predstavujú pre priemerného vysokoškolského študenta matematiky nenároþné cviþenie. Napríklad asi 20 kvadratúr a kubatúr, ktoré tvoria vrchol Archimedovho celoživotného snaženia, dnešný vysokoškolák zvládne behom niekoĐkých málo hodín v rámci kurzu matematickej analýzy viacerých premenných. Podobne odvodenie gravitaþného zákona z Keplerových zákonov, ktoré predstavuje jeden z kĐúþových výsledkov Newtonových Princípií, a ktoré Newtonovi prinieslo obdiv súþasníkov, je dnes nie moc nároþným cviþením z klasickej mechaniky. Táto skutoþnosĢ nie je dokladom rastu intelektuálnych schopností v dejinách. Svedþí skôr o zdokonaĐovaní kalkulatívnych nástrojov ktoré máme k dispozícii. Tieto nástroje sú dnes omnoho silnejšie a všestrannejšie než nástroje, pomocou ktorých získavali svoje výsledky Archimedes þi Newton. Podobným, rovnako rozšíreným javom je skutoþnosĢ, že dnes i priemerný študent dokáže nájsĢ chyby v argumentoch matematikov minulosti, ktoré títo matematici ani ich súþasníci nevideli. Eulerove pokusy sþítaĢ oscilujúce rady dnes vyvolávajú u mnohých matematikov úsmev, podobne ako Newtonove pokusy zdôvodniĢ infinitezimálny poþet. Ani v tomto prípade asi nemáme do þinenia s nárastom kritickosti myslenia (i keć kultúra kritickosti pri písaní matematických textov asi vzrástla), ale skôr ide o to, že sa zdokonalili reprezentaþné nástroje, pomocou ktorých je omnoho Đahšie nájsĢ príklady a protipríklady rôznych matematických tvrdení. Ako kalkulatívne, tak aj reprezentaþné nástroje majú jazykový charakter. Sú to nástroje, pomocou ktorých dokážeme Đahko a bezpeþne viesĢ argumentáciu tam, kde matematici minulosti postupovali po kĐukatých a nebezpeþných chodníkoch, rovnako ako vieme Đahko a efektívne skonštruovaĢ príklady a protipríklady tam, kde ich naši predkovia hĐadali v neprehĐadných húštinách. Preto pri výklade dejín matematiky si na tejto prednáške nebudeme všímaĢ ani tak výsledky, ktoré matematici daného obdobia dosiahli, ale pokúsime sa nájsĢ jazykové nástroje, pomocou ktorých svoje výsledky získavali, formulovali a zdôvodĖovali. Algebra þi analytická geometria pre nás nebudú v prvom rade teórie, teda súbory definícií, tvrdení a dôkazov, tradiþne radených do danej disciplíny. Algebra þi analytická geometria budú pre nás poznaním, získaným pomocou urþitého jazykového nástroja. Pritom sa budeme snažiĢ tieto jazykové nástroje þo najpresnejšie opísaĢ. Budeme sa snažiĢ urþiĢ ich vlastnosti, ktoré nazveme potenciality, a ktorých nárast je príznaþný pre vývoj matematiky. Rozlíšime šesĢ potencialít:1 1. logickú silu, ktorá ukazuje ako zložité formuly možno v danom jazyku dokázaĢ
13
2. expresívnu silu, ktorá ukazuje, þo nového, þo sa v predošlých štádiách vymykalo vyjadreniu, teraz jazyk umožĖuje vyjadriĢ 3. metodickú silu, ktorá ukazuje, aké metódy umožĖuje jazyk zaviesĢ tam, kde na predošlom štádiu existoval iba súbor nesúrodých trikov 4. integratívnu silu, ktorá ukazuje, ako nový jazyk umožĖuje vidieĢ jednotu a poriadok tam, kde sa na báze predošlého jazyka ukazovali len navzájom nesúvisiace prípady 5. explanatorickú silu, ktorá ukazuje, ako nový jazyk umožĖuje vysvetliĢ zlyhania jazyka, ktoré boli na predošlom štádiu nepochopiteĐné 6. metaforickú silu, ktorá ukazuje, ako jazyk umožĖuje nájsĢ vo vzdialených a zdanlivo nesúvisiacich oblastiach analógie pojmov a vzĢahov disciplíny, v rámci ktorej sa nový jazyk zrodil Dúfam, že tento zoznam naplnil pojem „potenciality jazyka matematiky“ konkrétnym obsahom a zdôvodnil použitie tak nezvyklého termínu. Každá z týchto vlastností odkrýva jednu dimenziu, v ktorej jazyk matematiky obohacuje naše možnosti nieþo vyjadriĢ. Preto je prirodzené nazvaĢ ich potencialitami jazyka matematiky. Nárast každej potenciality budeme ilustrovaĢ na prechodoch od (Egyptskej) elementárnej aritmetiky, cez (Grécku) syntetickú geometriu a (rano novovekú) algebru po analytickú geometriu, priþom budeme voliĢ problémy, na riešení ktorých bude nárast príslušnej potenciality najlepšie viditeĐný. Samozrejme, dajú sa zvoliĢ aj iné príklady, ktoré môžu byĢ vhodnejšie.
1 Logická sila Ako prvú budem ilustrovaĢ logickú silu jazyka, priþom ukážem, ako sa táto sila v danom úseku dejín matematiky menila. 1.1
Elementárna aritmetika – overenie jedineþného tvrdenia
ýísla neumožĖujú explicitne vyjadriĢ všeobecnosĢ. Ako typické tvrdenia elementárnej aritmetiky možno vziaĢ napríklad: 135 + 37 = 172
alebo
24× 19 > 456.
2
Sú to jedineþné tvrdenia. Jazyk elementárnej aritmetiky obsahuje pravidlá, ktoré pomocou manipulácie so znakmi umožĖujú takéto tvrdenia overiĢ. V dejinách je to prvý systém, umožĖujúci na báze explicitných pravidiel manipulácie so symbolmi, rozhodnúĢ o pravdivosti nejakého tvrdenia. Aj keć sú to zatiaĐ len jedineþné tvrdenia, význam tohto objavu je nesmierny. Tieto pravidlá sú totiž formálne, teda intersubjektívne, explicitné a preto nauþiteĐné a prístupné kontrole. Treba zdôrazniĢ, že tento jazyk sa zásadne odlišuje od toho, þo sa jazykom aritmetiky dnes bežne rozumie, tým, že neobsahuje premenné. To, že jazyk aritmetiky neobsahoval premenné viedlo EgypĢanov k nutnosti formulovaĢ všetky úlohy s konkrétnymi þíselnými hodnotami. Zoberme ako ilustráciu príklad z Moskovského papyrusu (Kolman 1961, s. 41; resp. Vymazalová 2006, s. 82): „Spôsob výpoþtu pyramídy nemajúcej vrchol. Ak máš danú pyramídu bez vrcholu vysokú 6 (lakĢov), s dolnou hranou 4 (lakte) a hornou 2, umocni 4 na druhú, dostaneš 16, zdvojnásob 4, dostaneš 8, umocni 2 na druhú, dostaneš 4, (1) pripoþítaj týchto 16 (2) k týmto 8 a 4 (3) dostaneš 28, vypoþítaj (4) 1/3 zo 6, dostaneš 2, poþítaj
14
(5) s 28 dvakrát, dostávaš 56, (6) hĐa: je to skutoþne 56. Našiel si správne.“ Poþtár postupne berie þísla figurujúce v zadaní a robí s nimi rôzne úpravy, až napokon dostane to, þo hĐadá. Pomocou konkrétneho výpoþtu takto ukazuje všeobecný postup riešenia, ktorý sa v jazyku nedá vyjadriĢ. Jazyk elementárnej aritmetiky bol teda prvým jazykom, ktorý umožĖoval riešiĢ problémy pomocou manipulácie so symbolmi. Jeho logická sila sa obmedzuje na odvodenie jedineþných tvrdení. 1.2
Syntetická geometria – dôkaz všeobecného tvrdenia
Ikonický jazyk geometrie bol prvým jazykom umožĖujúcim dokázaĢ všeobecné tvrdenia. Je toho schopný vćaka tomu, že obsahuje zaujímavú inováciu − úseþku neurþitej dĎžky − ktorá je vlastne predchodcom pojmu neznámej. Keć napríklad chceme dokázaĢ, že súþet dvoch párnych þísel je þíslo párne, tak si párne þíslo znázorníme ako obdĎžnik, ktorého výška je rovná dvom, ale ktorého šírka ostane neurþitá. Dôkaz sa potom zakladá na nahliadnutí skutoþnosti, že spojením dvoch obdĎžnikov s výškou dva vznikne opäĢ obdĎžnik s výškou rovnou dva. Kećže sme v našej úvahe pracovali s obdĎžnikmi, ktorých šírka ostala poþas celej úvahy neurþitá, dokázali sme tvrdenie pre ĐubovoĐné dva obdĎžniky, a teda vlastne pre dve ĐubovoĐné párne þísla. Toto ukazuje zásadnú logickú prevahu jazyka geometrie nad jazykom elementárnej aritmetiky. Tu sa ukazuje jeden zaujímavý aspekt, ktorý podporuje výklad geometrických obrázkov ako výrazov jazyka. Keć v spomenutom dôkaze nakreslíme príslušný obdĎžnik, tak ho samozrejme musíme nakresliĢ s konkrétnymi stranami. Preto to, þo je nakreslené na papieri, neobsahuje úseþku neurþitej dĎžky; všetky nakreslené úseþky sú presne také dlhé, ako dlhé sme ich nakreslili. Ale keć tieto úseþky používame v dôkaze, tak s ich dĎžkami pracujeme, akoby boli neurþité. Teda idea neznámej sa v matematike objavuje najprv v implicitnej podobe − ako konštanta (konkrétna úseþka), s ktorou pracujeme ako s neznámou (t.j. ako s úseþkou neurþitej dĎžky). 1.3
Algebra – dôkaz modálneho tvrdenia
Jazyk algebry prináša ako základnú inováciu explicitný symbol pre premennú. V jazyku geometrie bola idea premennej prítomná iba implicitne, ako úseþka neurþitej dĎžky. Na tom sa zakladala schopnosĢ jazyka geometrie dokázaĢ všeobecné tvrdenie. Kećže jazyk algebry má premennú prítomnú v explicitnom tvare, aj on je schopný dokázaĢ všeobecné tvrdenia. Dokáže však viac. Zoberme vzorec pre riešenie kvadratickej rovnice
x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
(1)
Parametre a, b, c dávajú tomuto vzorcu všeobecnosĢ analogickú tej, ktorú dáva úseþka neurþitej dĎžky geometrickým dôkazom. Avšak okrem jednotlivých písmen, ktoré hrajú analogickú úlohu ako úseþka neurþitej dĎžky vzorec vyjadruje aj poradie krokov výpoþtu. Takto sa postup stáva vyjadriteĐným v jazyku. To je zásadná zmena. Keć si spomenieme na výpoþet pyramídy nemajúcej vrchol, môžeme si uvedomiĢ, že jednotlivé zložky, z ktorých v priebehu výpoþtu vzniká výsledný objem, strácajú svoju identitu, a výsledkom je þíslo, na ktorom niet ani stopy po tom ako vzniklo. Naproti tomu v geometrii sa jednotlivé prvky konštrukcie nestrácajú, ale tvoria trvalú súþasĢ výsledného obrázka. ýo sa však stráca je poradie krokov konštrukcie. Preto je nutné ku geometrickým konštrukciám dodaĢ komentár v prirodzenom jazyku, nazývaný zápis konštrukcie, v ktorom je zachytená postupnosĢ krokov, pomocou ktorých bol obrázok 15
vytvorený. Zápisy konštrukcie, ktorými stredoškolskí profesori trápia žiakov, nie sú ani tak rozmarom pedagógov, ako dôsledkom nedokonalosti jazyka geometrie. Zápis poradia krokov konštrukcie je komentár v prirodzenom jazyku, a teda sa odohráva mimo jazyka geometrie. A táto postupnosĢ krokov je v algebre zabudovaná do jazyka. K algebraickej formule netreba dodávaĢ „zápis výpoþtu“ analogický zápisu geometrickej konštrukcie. Nie je to potrebné, lebo vzorec postupnosĢ krokov výpoþtu priamo vyjadruje.3 SchopnosĢ explicitne vyjadriĢ poradie krokov výpoþtu umožĖuje jazyku algebry dokázaĢ modálne predikáty, ako napríklad neriešiteĐnosĢ rovnice piateho stupĖa, ktorú dokázali Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel a Evariste Galois zaþiatkom 19. storoþia. Zo základnej vety algebry vieme, že každá rovnica piateho stupĖa má päĢ koreĖov. V tom nie je problém. Problém je, že tieto riešenia nie je možné vyjadriĢ prostriedkami algebry. Teda v prípade neriešiteĐnosti všeobecnej rovnice piateho stupĖa riešenia existujú ako body komplexnej roviny, ale jazyk algebry nie je schopný tieto body explicitne vyjadriĢ. Jazyk algebry si je však tohto svojho nedostatku plne vedomý, vie ho dokonca dokázaĢ. V tom je jeho prevaha nad jazykmi aritmetiky a syntetickej geometrie. Preto práve dôkazy neriešiteĐnosti sú najlepšou ilustráciou logickej sily jazyka algebry. V jazyku aritmetiky alebo syntetickej geometrie nemáme prostriedky, ktoré by umožnili vyjadriĢ, že nejaká úloha je neriešiteĐná. V geometrii sa neriešiteĐnosĢ iba ukazuje napríklad tým, že sa napriek systematickému úsiliu nedarí nájsĢ konštrukciu trisekcie uhla þi duplicity kocky. NeriešiteĐnosĢ je pre geometriu predikát, ktorý sa dá vyjadriĢ iba v prirodzenom jazyku. Jazyk algebry, na rozdiel od geometrie, umožĖuje neriešiteĐnosĢ explicitne vyjadriĢ. Otázka riešiteĐnosti je z pohĐadu algebry otázkou vyjadriteĐnosti urþitej veliþiny v požadovanom tvare, þo sa dá technicky uchopiĢ pomocou pojmu poĐa. Dôkazy neriešiteĐnosti majú potom spravidla tvar argumentácie, že daný prvok nie je možné vyjadriĢ v požadovanom tvare, teda že daný prvok nepatrí do urþitého poĐa. Takúto stavbu mal Gaussov dôkaz nemožnosti konštrukcie pravidelného sedemuholníka, a Galoisov dôkaz neriešiteĐnosti rovnice piateho stupĖa. 1.4
Analytická geometria – dôkaz existenþného tvrdenia
Carl Friedrich Gauss vo svojej doktorskej dizertácii Demonstratio nova Theorematis omnem Functionem algebraicam rationalem integram unis Variabilis in Factores reales primi et secundi Gradus resolvi posse z roku 1799 použil pri dôkaze základnej vety algebry rovinu ako geometrickú reprezentáciu komplexných þísel. Základná veta algebry tvrdí, že pre každý polynóm f(x) existuje bod α tejto roviny, pre ktorý je f(α) = 0. ýíslo nula na pravej strane je len z historických dôvodov. V algebre je zvykom polynóm upraviĢ tak, že sa všetky þleny presunú na Đavú stranu a na pravej strane ostane nula. V princípe by tam mohlo stáĢ ĐubovoĐné iné komplexné þíslo. Základná veta algebry vlastne hovorí, že polynóm zadáva surjektívne zobrazenie komplexnej roviny. Preto táto veta nie je þisto algebraickým tvrdením. Algebra slúži na vymedzenie polynomických funkcií, ale vlastnosĢ, ktorá sa o týchto funkciách v základnej vete algebry tvrdí, je skôr geometrická (þi topologická). Gauss podal štyri dôkazy základnej vety algebry. Prvý z nich vo svojej doktorskej dizertácii. Tento dôkaz bol analytický, zakladal sa na vlastnostiach komplexných funkcií. O 16 rokov neskôr podal ćalší dôkaz, ktorý sa neopieral o geometriu komplexnej roviny, ale bol vedený algebraickými prostriedkami, pomocou teórie symetrických polynómov. Tento dôkaz je podstatne dlhší a nároþnejší. Elementárny dôkaz základnej vety algebry možno nájsĢ v (Courant a Robbins 1941, s. 269–271). Základná veta algebry je existenþné tvrdenie, ktoré možno považovaĢ za vzor radu podobných tvrdení pre diferenciálne rovnice, integrálne rovnice a pre úlohy variaþného poþtu. Pri takýchto tvrdeniach je rozhodujúca jednak existencia urþitého formalizmu, prostriedkami ktorého
16
sa opisuje objekt, ktorého existencia sa má dokázaĢ. Druhou súþasĢou existenþných dôkazov je urþitý priestor, v rámci ktorého sa ukáže existencia príslušného objektu. Daný priestor má spravidla vlastnosĢ urþitej úplnosti, uzavretosti, spojitosti þi kompaktnosti. Zdá sa, že analytická geometria bola prvou teóriou, ktorá obsahovala obe zložky úspešného existenþného dôkazu. Jednak to bol algebraický formalizmus, v rámci ktorého je možné formulovaĢ algebraické rovnice, a potom komplexná rovina, teda geometrické kontinuum, ktorého body sú spojené s algebraickým formalizmom pomocou súradnicovej sústavy. Po tom, ako v 19. storoþí došlo k aritmetizácii analýzy, geometrické existenþné dôkazy už nie sú považované za dostatoþne striktné. Napriek tomu sa zdá, že jazyk analytickej geometrie bol prvým jazykom, ktorý vôbec umožĖoval dokázaĢ nieþo takého ako existenþné tvrdenie pre širokú triedu úloh.
2 Expresívna sila Ako druhú potencialitu budem ilustrovaĢ expresívnu silu jazyka, priþom rovnako ako v predošlom prípade, aj teraz prejdem štyrmi zvolenými jazykmi. 2.1
Elementárna aritmetika – schopnosĢ vyjadriĢ ĐubovoĐne veĐké þíslo
Jazyk elementárnej aritmetiky umožĖuje vyjadriĢ ĐubovoĐne veĐké prirodzené þíslo. Dnes sa to môže zdaĢ málo, lebo sme zvyknutí na záporné, iracionálne a komplexné þísla, preto prirodzené þísla nám pripadajú ako obmedzený systém, v ktorom nemožno slobodne odþítaĢ, deliĢ, ani odmocĖovaĢ. Keć si však odmyslíme výdobytky neskoršieho vývoja, možno sa nám podarí precítiĢ fascináciu, ktorú musel pociĢovaĢ egyptský (babylonský, indický, þínsky) poþtár, keć si uvedomil, že pomocou þísel možno všetko spoþítaĢ. Rhindov papyrus zaþína slovami: „Pravidlá pre preniknutie do vecí, pre poznanie všetkého þo je, všetkých záhad, ..., všetkého skrytého“ (Vymazalová 2006, s. 102). Tento pocit je základom „byrokratického univerzalizmu“, podĐa ktorého všetko možno spoþítaĢ, zaznaþiĢ do výkazov a vziaĢ do evidencie. Byrokratické plánovanie bolo jedným z najväþších objavov egyptskej (babylonskej, indickej a þínskej) civilizácie. UniverzálnosĢ byrokracie sa zakladá na expresívnej sile jazyka aritmetiky. Zvyšky prvotnej fascinácie poþítaním možno vidieĢ v mýtoch, v ich záĐube vo veĐkých þíslach, ćalej v Kabale a u pytagorejcov. Archimedov spis O poþte piesoþných zĚn asi najlepšie ilustruje expresívnu silu jazyka elementárnej aritmetiky. Ukazuje, že þíselný systém umožĖuje odhadnúĢ dokonca aj poþet zrniek piesku vo vesmíre: „Sú takí, kráĐ Gelon, ktorí si myslia, že poþet zĚn piesku je nekoneþne veĐký; priþom pieskom myslím nie len ten, ktorý sa nachádza okolo Syrakúz a na zvyšku Sicílie, ale aj ten, ktorý sa nachádza v každej oblasti þi už obývanej alebo nie. A sú takí, ktorí bez toho, aby ho považovali za nekoneþné, si myslia, že nemožno vysloviĢ þíslo, ktoré je dostatoþne veĐké, aby presiahlo ich množstvo. A je tiež jasné, že tí, þo hlásajú tento názor, keby si predstavili masu tvorenú pieskom tak veĐkú ako masa Zeme, vrátane všetkých jej morí a dutín Zeme vyplnenú do výšky najvyšších hôr, boli by mnohonásobne viac vzdialení od uznania, že nemožno vyjadriĢ žiadne þíslo, ktoré presahuje množstvo zrniek piesku takto vzatých. Ale ja sa pokúsim ukázaĢ vám, pomocou geometrických dôkazov, ktoré budete schopný sledovaĢ, že, þísla mnou vytvorené a dané v práci, ktorú som poslal Zeuxippovi, niektoré presahujú nielen masu piesku rovnako veĐkú ako Zem vyplnenú opísaným spôsobom, ale aj masu rovnú veĐkosti univerza. ... Tvrdím, že dokonca aj keby bola vytvorená sféra z piesku tak veĐká, ako veĐká je podĐa Architasových predpokladov sféra stálic, tak ešte stále dokážem, že z þísel menovaných v Princípoch niektoré presiahnu svojou veĐkosĢou poþet zrniek piesku v práve opísanej sfére...“ (Heath 1921, s. 81–85).
17
Samozrejme, geometrické dôkazy, pomocou ktorých Archimedes dokazuje, že je možné vytvoriĢ þíslo, ktoré je väþšie ako poþet zĚn v celom univerze, nepatria do aritmetiky. Ale samotný fakt, že tak obrovské þíslo existuje, ilustruje expresívnu silu jazyka elementárnej aritmetiky. Egyptskí þi Babylonskí poþtári síce podobné tvrdenia, ilustrujúce expresívnu silu jazyka aritmetiky, nevedeli dokázaĢ, ale vedeli, že všetko možno poþítaĢ. 2.2
Syntetická geometria – schopnosĢ vyjadriĢ ĐubovoĐnú kvadratickú iracionalitu
Jazyk syntetickej geometrie umožĖuje prekonaĢ problémy spojené s nesúmerateĐnosĢou. Pre jazyk aritmetiky predstavuje nesúmerateĐnosĢ závažný problém, ktorý ukazuje, že je nemožné pomer strany a uhloprieþky štvorca vyjadriĢ pomocou (prirodzených) þísel. Naproti tomu pre jazyk geometrie neznamená nesúmerateĐnosĢ žiadnu prekážku. S úseþkami môžeme robiĢ geometrické konštrukcie, bez ohĐadu na to, þi sú zhodou okolností súmerateĐné alebo nie. Vidíme, že jazyk syntetickej geometrie má expresívnu prevahu nad jazykom elementárnej aritmetiky. Pomer dĎžok nesúmerateĐných úseþiek nie je možné vyjadriĢ ako pomer celých þísel. Napriek tomu jazyk geometrie umožĖuje takéto pomery porovnávaĢ. Za týmto úþelom vznikla Eudoxova teória proporcií. Uvedená je v V. knihe Základov a zakladá sa na nasledovnej definícii: „Hovoríme, že veliþiny stoja v rovnakom pomere, prvá k druhej ako tretia ku štvrtej, keć pri ĐubovoĐnom vynásobení rovnaké násobky prvej a tretej oproti rovnakým násobkom druhej a štvrtej, vzaté v pároch sú alebo naraz väþšie alebo naraz rovné alebo naraz menšie.“ (Euklides V., def. 5) Táto definícia umožĖuje porovnaĢ nesúmerateĐné veliþiny, a ukázaĢ, že napríklad obsahy dvoch kruhov sú „jeden k druhému ako štvorce nad ich priemermi“ (Euklides XII, 2). Obsah kruhu a obsah štvorca nad jeho priemerom sú (ako dnes vieme) nesúmerateĐné veliþiny, ale napriek tomu jazyk geometrie umožĖuje dokázaĢ konštantnosĢ ich pomeru. To ukazuje prevahu expresívnej sily jazyka syntetickej geometrie nad expresívnou silou jazyka elementárnej aritmetiky. Elementárna aritmetika o pomeroch nesúmerateĐných veliþín nevie niþ povedaĢ. 2.3
Algebra – schopnosĢ vyjadriĢ ĐubovoĐné þíslo vzniklé radikálovými rozšíreniami
Oproti geometrickému jazyku, ktorý má neznámu v tvare úseþky neurþitej dĎžky, jej druhú mocninu v tvare štvorca s neurþitou stranou a tretiu mocninu v tvare kocky s neurþitou hranou, jazyk algebry umožĖuje slobodne tvoriĢ mocniny vyšších rádov. Terminológia, pomocou ktorej matematici 15. storoþia tieto nové mocniny vytvárali, bola poznaþená geometrickými analógiami, keć tretiu mocninu neznámej nazývali cubus a oznaþovali ju písmenom c. Niþ však nebránilo formálne pokraþovaĢ aj za tretiu mocninu, za ktorú Euklida nepustil priestor. Neznámu nazývali res a oznaþovali písmenom r, jej druhú mocninu nazývali censo a oznaþovali z. Pre štvrtú mocninu písali zz (censo di censo), pre piatu rzz, pre šiestu zzz a tak ćalej. Takto jazyk algebry umožĖuje prekroþiĢ medze, ktoré geometrii ukladá priestor a slobodne tvoriĢ mocniny ĐubovoĐného stupĖa. Tieto výrazy síce nevieme názorne interpretovaĢ, nevieme, þo si máme pod sedemnástou mocninou neznámej predstaviĢ, ale to nie je podstatné. Jazyk algebry obsahuje formálne pravidlá, ktoré umožĖujú s týmito výrazmi narábaĢ s rovnakou istotou, s akou Euklides narábal s prvou þi druhou mocninou neznámej. Vćaka týmto inováciám sa podarilo nájsĢ riešenie rovnice tretieho stupĖa. Je to prvý výsledok európskej matematiky, ktorý prekraþuje antické dediþstvo. Publikoval ho roku 1545 v knihe Ars Magna Sive de Regulis Algebraicis taliansky matematik Girolamo 3 Cardano. Riešenie rovnice x = bx + c, zapísané v dnešnej symbolike má tvar 18
2
x=3
3
2
c c §c· §b· §c· §b· + ¨ ¸ −¨ ¸ +3 − ¨ ¸ −¨ ¸ 2 2 ©2¹ ©3¹ ©2¹ ©3¹
3
(2)
Cardano nikdy takýto vzorec nenapísal. (Podrobnosti objavu, ako aj pôvodnú Cardanovu formuláciu možno nájsĢ napríklad v (Kvasz 2008). Na takéto formuly bolo treba þakaĢ ešte jedno storoþie. Tak þi onak, uvedený výsledok dal algebraikom sebavedomie, vćaka ktorému sa postupne emancipovali spod podruþia geometrie. Algebraická symbolika umožĖuje riešiĢ problémy, ktoré geometrický jazyk neumožĖuje ani len sformulovaĢ. 2.4
Analytická geometria – schopnosĢ vyjadriĢ ĐubovoĐnú algebraickú krivku
Analytická geometria priniesla nový spôsob vytvárania geometrického tvaru. Útvar je konštruovaný bod po bode pomocou súradníc urþených pomocou algebraického vzĢahu. To je nieþo zásadne iné ako u Euklida. Euklides vytváral útvar z úseþiek a oblúkov kružníc. Euklidovská konštrukcia je konštrukciou pomocou kružidla a pravítka. Euklides má akési „mechanické“ formy, ktoré umiestĖuje na papier. Naproti tomu Descartes rozbil každý útvar na body a vynáša ho bod po bode: „Ak budeme braĢ postupne nekoneþný poþet rôznych hodnôt pre úseþku y, dostávame nekoneþný poþet hodnôt pre úseþku x, a preto nekoneþný poþet bodov takých ako C, pomocou ktorých možno nakresliĢ požadovanú krivku“ (Descartes 1637, s. 319). Descartovi sa takto odkryl omnoho bohatší svet geometrických tvarov, než ako bol svet Euklidov. Keć sa pozrieme z hĐadiska analytickej geometrie na geometriu syntetickú, možno povedaĢ, že až na zopár výnimiek (ako Hippiasova kvadratrix, Archimédova špirála, Nikomédova konchoida alebo Dioklova cissoida (Heath 1921, s. 226, 230, 238 a 264)) sa celá syntetická geometria toþí okolo kvadratických kriviek (kriviek, ktorých rovnice sú dané polynómom druhého stupĖa). Svet analytickej geometrie obsahuje neporovnateĐne väþšie množstvo objektov, než svet euklidovský. Každý významnejší matematik 17. storoþia prišiel s príkladom novej krivky. Staþí spomenúĢ Descartov list, Bernoulliho lemniskátu, Pascalovu ulitu alebo tiež kardiódu, astroidu þi strofoidu. Analytická geometria vlastne naplno využíva bohatstvo, ktoré ponúka algebra. Staþí vziaĢ polynóm, vhodne zvoliĢ koeficienty a pred nami sa odkrýva tvar, aký Euklides nepoznal. Pri výklade algebry sme spomenuli, že hlavná prednosĢ formuly oproti obrázku syntetickej geometrie je, že formula je schopná vyjadriĢ poradie jednotlivých krokov výpoþtu. To sa plne využíva pri konštrukcii krivky. Jednotlivé body krivky sa vynášajú tak, že sa vypoþíta hodnota polynómu pre príslušnú hodnotu argumentu. Tu sa formula používa rovnakým spôsobom ako v algebre: ako vzĢah urþujúci hodnotu urþitej veliþiny. Pre skonštruovanie krivky však potrebujeme ísĢ za hranice algebry a vyniesĢ jej body vedĐa seba. Potrebujeme uskutoþniĢ nekoneþný poþet konštrukcií (ako píše Descartes). V priebehu tohto nekoneþného procesu vynášania bodov sa vynorí tvar. Žiaden z jednotlivých bodov tvar nezadáva. Až keć sú všetky body vynesené, vynára sa tvar krivky. Tvar krivky tak nevyjadruje vzĢah medzi neznámymi x a y (na tomto vzĢahu je založená logická sila jazyka algebry); tvar krivky odkrýva vzájomnú závislosĢ medzi premennými x a y. Descartes ešte nemal pojem funkcie, ten prinesie až Leibniz pri budovaní jazyka diferenciálneho a integrálneho poþtu. Ale pojem závislosti premenných je rozhodujúcim krokom smerom k pojmu funkcie. Pripomína pojem úseþky neurþitej dĎžky. Podobne ako bola úseþka neurþitej dĎžky predchodcom pojmu neznámej, je pojem závislosti premenných predchodcom pojmu funkcie. ZávislosĢ premenných ešte nie je funkcia, podobne ako úseþka neurþitej dĎžky nie je neznáma. V oboch prípadoch sú to prvky ikonického a nie symbolického jazyka.
19
3 Metodická sila Ako tretiu potencialitu budem ilustrovaĢ metodickú silu jazyka. 3.1
Elementárna aritmetika – metóda chybného predpokladu
O jazyku elementárnej aritmetiky možno povedaĢ, že je nemetodický. Je príliš konkrétny na to, aby v Ėom bolo možné sformulovaĢ nejaký všeobecnejší postup þi metódu na riešenie širšej triedy problémov. Dochované texty to potvrdzujú – sú to zbierky konkrétnych riešených príkladov bez akýchkoĐvek metodických rád þi návodov.4 3.2
Syntetická geometria – konštruktívno-deduktívna metóda
Syntetická geometria prináša pozoruhodnú metódu, ktorú použil Euklides v Základoch. Jej výklad možno nájsĢ v komentári Thomasa Heatha (Euclid I, s. 129– 131). Dôkaz urþitej propozície þi riešenie urþitého problému pozostáva z piatich krokov. Prvým je prótasis (προτασις), t.j. vyslovenie tvrdenia vo všeobecnom tvare. Napríklad Propozícia 8 Knihy IV znie: „Do daného štvorca vpísaĢ kruh.“ Druhým krokom je ekthesis (εκθεσις), t.j. preformulovanie tvrdenia do konkrétneho tvaru, v ktorom sa zavedie oznaþenie: „Nech ABCD je daný štvorec, teda požaduje sa vpísaĢ kruh do daného štvorca ABCD.“ Ekthesis je sprevádzaná náþrtom, ku ktorému sa oznaþenie vzĢahuje a v ktorom jasne vyznaþí, þo je dané. Po ekthesis nasleduje þasto diorismós (διορισμος) t.j. upresnenie, v rámci ktorého sa vyjasní, za akých podmienok má úloha vôbec zmysel. Tretím krokom je kataskeyé (κατασκευη), t.j. konštrukcia, pri ktorej sa prvky dané v ekthesis postupne dopĎĖajú aby sa vytvoril objekt vyžadovaný v úlohe. Štvrtým krokom je apódeiksis (αποδειξις), t.j. samotný dôkaz v užšom zmysle. Ide o to, že ani pri þisto dôkazových úlohách dôkaz spravidla nemôže nastúpiĢ hneć po ekthesis, lebo útvar, ktorý vystupuje v tvrdení je nutné doplniĢ o pomocné prvky (rôzne body, úseþky a oblúky kružníc), ktoré v zadaní nevystupujú, ale o ktoré sa opiera argumentácia dôkazu. Jednou z najkrajších ilustrácií takéhoto doplnenia je Euklidov dôkaz Pytagorovej vety. Až po tom, ako Euklides spustil výšku na preponu trojuholníka a rozdelil tak štvorec nad preponou na dva obdĎžniky, bolo možné dokázaĢ, že obsah jedného obdĎžnika je zhodný s obsahom štvorca nad jednou odvesnou, a obsah druhého obdĎžnika je zhodný s obsahom štvorca nad druhou odvesnou. U Euklida apódeiksis nasleduje až po skonþení kataskeyé, þo znamená, že je jasne oddelená konštrukþná þasĢ od dôkazu, ktorý je þisto logickou argumentáciou. Závereþným piatym krokom je sympérasma (συμπερασμα), t.j. záver, spoþívajúci v návrate ku všeobecnému diskurzu, ktorý sme opustili v ekthesis, kedy sme všeobecné tvrdenie nahradili konkrétnym prípadom. Sympérasma spoþíva v zopakovaní tvrdenia („Preto v danom štvorci bol vpísaný kruh.“). Vidíme, že euklidovský dôkaz kombinuje analytické kroky so syntetickými. 3.3
Algebra – analytická metóda
Euklidovská geometria je zbierkou nesúvisiacich konštrukþných trikov. Mnohé úlohy vyžadujú dômyselné pomocné konštrukcie, ktoré dávajú široký priestor pre predvádzanie duchaplnosti. Ich zapamätanie je však zbytoþné, lebo ćalšia úloha vyžaduje úplne iný trik. Preto síce iným spôsobom ako egyptské poþty, ale aj geometria je nároþná na pamäĢ. Nemusíme sa bifĐovaĢ postupy typu „spôsob výpoþtu pyramídy nemajúcej vrchol“, ako poþtári, staþí si zapamätaĢ triky rôznych konštrukcií. Ale aj týchto trikov je veĐa. Algebra umožĖuje záplavu konštrukþných trikov redukovaĢ a izolované postupy spojiĢ do
20
univerzálnej analytickej metódy. Je toho schopná vćaka myšlienke, pochádzajúcej od Francoisa Vièta, ktorý v knihe In Artem Analyticam Isagoge (Viète 1591) zavádza na oznaþenie veliþín dva druhy premenných: jeden druh pre neznáme, druhý pre parametre úlohy. Pôvodná Viètova konvencia (používaĢ na oznaþenie neznámych veĐké samohlásky A, E, I, O, U a na oznaþenie parametrov veĐké spoluhlásky B, C, D, F, G) sa neujala a dnes používame Descartovu konvenciu, ktorá pre neznáme používa malé písmená z konca abecedy (x, y, z, v, w) a pre parametre malé písmená zo zaþiatku abecedy (a, b, c, d, e). Napriek tomu, že sa nezachovala konkrétna podoba Viètovej symboliky, jeho idea zaviesĢ dva typy premenných bola prvoradého významu. Vćaka nej sme schopní vyjadriĢ urþitý matematický problém vo všeobecnom tvare (keć namiesto konkrétnych hodnôt parametrov zapíšeme aj parametre pomocou písmen) a potom pomocou algebraických úprav hĐadaĢ jeho všeobecné riešenie v tvare vzorca. Príkladmi takýchto všeobecných vzorcov sú vzĢahy (1) a (2) vyjadrujúce riešenie rovníc druhého a tretieho stupĖa. Keć máme vyriešiĢ nejakú konkrétnu rovnicu, nemusíme celý postup opakovaĢ, ale staþí dosadiĢ do vzorca konkrétne hodnoty parametrov. Vzorec tak vyjadruje v tvare jedinej formuly nekoneþný poþet konkrétnych postupov. Vćaka Viètovmu vynálezu algebra získava jednotu metód, aká bola v syntetickej geometrii nemysliteĐná. Viète si bol vedomý významu svojho objavu. Novú metódu nazval analytickým umením. Viètova metóda sa stala modelom pre ćalšie disciplíny. Analytická metóda prešla postupne z algebry cez geometriu (Descartes 1637), matematickú analýzu nekoneþne malých (Euler 1748), mechaniku (Lagrange 1788), teóriu vedenia tepla (Fourier 1822) až do logiky (Boole 1847). Univerzálna metóda ukazuje prednosĢ algebry pred geometriou. Euklidovská geometria žiadne univerzálne metódy nepozná, je zbierkou trikov, z ktorých každý sa hodí len na zopár príbuzných problémov. 3.4
Analytická geometria – metóda redukcie
Descartova Geometria je rozdelená do troch kníh. Prvá má názov „Problémy, ktorých konštrukcia vyžaduje iba rovné þiary a kružnice“ a otvára sa tvrdením: „Každý problém geometrie možno Đahko redukovaĢ na tvar, v ktorom znalosĢ dĎžok urþitých úseþiek postaþuje pre jeho konštrukciu“. Descartes ukazuje, že problémy, ktoré možno skonštruovaĢ pomocou kružidla a pravítka, sú ekvivalentné konštrukcii koreĖov rovníc druhého stupĖa. Jadrom tejto þasti Geometrie je všeobecná stratégia na riešenie všetkých geometrických problémov. Možno ju rozdeliĢ na tri kroky: pomenovanie, vypísanie rovníc a konštrukcia. V prvom kroku predpokladáme, že problém už bol vyriešený a dáme mená všetkým úseþkám, ktoré sú potrebné pri jeho riešení. V druhom kroku, ignorujúc rozdiel medzi známymi a neznámymi úseþkami, nájdeme vzĢahy medzi ich dĎžkami, a zapíšeme ich pomocou rovníc. Tretí krok spoþíva v geometrickej konštrukcii koreĖov rovnice. Descartes uzatvára túto þasĢ tvrdením, že všetky problémy klasickej geometrie možno vyriešiĢ uvedenou metódou. Analytická geometria umožĖuje redukovaĢ geometrické problémy na algebru. Aby sme si ilustrovali silu tejto redukcie, uvedieme úlohu zostrojiĢ pravidelný päĢuholník. „Zaþnime s desaĢuholníkom. Predpokladajme, že pravidelný desaĢuholník je vpísaný do jednotkového kruhu a oznaþme dĎžku jeho strany x. Kećže uhol o o ASB je 36 , a zvyšné dva uhly sú rovnaké, sú oba rovné 72 . Preto prerušovaná þiara, ktorá rozpoĐuje uhol SAB, delí trojuholník na dva rovnoramenné trojuholníky (plynie to z veĐkosti uhlov). Preto prerušovaná þiara rozdelí polomer SB na dve úseþky dlhé x a 1 − x. Z podobnosti trojuholníka SAB s menším z trojuholníkov vieme, že 1/x = x/(1 − x), teda x2 + x − 1 = 0. Kladné riešenie tejto rovnice je x = ( 5 − 1) / 2 .“ (Courant a Robbins 1941, s. 122)
21
– A x S
x
B
Túto úseþku vieme Đahko zostrojiĢ. 5 je uhloprieþka obdĎžnika so stranami 2 a 1. Odþítame od nej úseþku dĎžky 1 a výslednú úseþku rozpolíme. Keć takto získanú dĎžku zoberieme do kružidla a zaþneme nanášaĢ na obvod jednotkovej kružnice, priþom si budeme všímaĢ iba každý druhý bod, dostaneme vrcholy pravidelného päĢuholníka. Tu vidíme výhodu metódy redukcie. Úlohu konštruovaĢ pravidelný päĢuholník previedla na úlohu skonštruovaĢ úseþku urþitej dĎžky, presne ako hovorí Descartes. Konštrukþná geometria bola nároþná, lebo na konštrukciu každého útvaru si bolo treba pamätaĢ špeciálny postup. V analytickej geometrii sa nekonštruujú útvary. Individuálne urþenia útvaru sa zapíšu do tvaru algebraických rovníc a tie sa všeobecnými metódami algebry vyriešia. Konštruujú sa potom iba riešenia rovníc, þo sú úseþky urþenej dĎžky. Napríklad namiesto konštrukcie pravidelného desaĢuholníka sme dostali úlohu zostrojiĢ úseþku s dĎžkou ( 5 − 1) / 2 . Na konštrukciu úseþiek existujú štandardné metódy. Poznáme postup ako sa konštruuje súþet, súþin, rozdiel, podiel a druhá odmocnina úseþky danej dĎžky. A to je všetko, þo si z geometrie potrebujeme pamätaĢ.5 Keć sa z hĐadiska analytickej geometrie pozrieme na syntetickú geometriu, tak tam, kde bola pôvodne iba neprehĐadná spleĢ konštrukþných trikov, sa zaþína þrtaĢ systém. Už si nepotrebujeme pamätaĢ triky – metóda redukcie umožĖuje riešiĢ každý problém štandardným postupom. Nezaujíma ju elegancia riešenia. Je možné, že klasickí geometri dokázali zostrojiĢ päĢuholník s menším poþtom krokov, ako treba pri postupe uvedenom vyššie. Výhoda uvedenej konštrukcie spoþíva v tom, že nijako nesúvisí s päĢuholníkom. V prípade ĐubovoĐného iného útvaru bude postup v hlavných rysoch rovnaký − zmení sa iba rovnica, ktorej koreĖ budeme konštruovaĢ. Celková schéma však ostane nezmenená. Tá schéma sa zakladá na poznaní, že v geometrii pod zjavným povrchom, na ktorom sa zakladajú triky geometrov, leží vrstva vzĢahov, vćaka ktorým sú tieto triky vôbec možné. Je potrebné zmocniĢ sa tejto hlbšej algebraickej úrovne problému a v nej hĐadaĢ riešenie. Vždy sa možno Đahko vrátiĢ späĢ, ku zjavnému povrchu. Takto analytická geometria odhaĐuje hlbšiu jednotu, ktorá sa skrýva za zdanlivou rôznorodosĢou geometrických úloh. Všetky úlohy spoþívajú v zostrojení úseþiek, ktorých dĎžka je zadaná nepriamo, pomocou vzĢahov k iným úseþkám, a tieto vzĢahy majú tvar algebraických rovníc. To je všetko. Preto metodickú silu jazyka analytickej geometrie budeme charakterizovaĢ jeho schopnosĢou zjednotiĢ postupy syntetickej geometrie.
4 Integratívna sila Štvrtou potencialitou je integratívna sila jazyka. 4.1
Elementárna aritmetika – jazyk je neintegratívny
Možno konštatovaĢ, že jazyk elementárnej aritmetiky je neintegratívny, neumožĖuje vytvoriĢ jednotiaci pohĐad. Tento aspekt nachádza potvrdenie v dochovaných textoch,
22
ktoré sú zbierkami riešených príkladov bez pokusu o nejaký jednotiaci pohĐad. Ak sa na papyruse vyskytuje nejaké usporiadanie úloh, toto usporiadanie je dané obsahom (osobitne sa uvádzajú úlohy na výpoþet polí, úlohy na výpoþet daní, úlohy na výpoþet násypov, úlohy na výpoþet kanálov). Teda jednotiaci princíp do problematiky nevnáša jazyk, ale pramení z toho, þoho sa príslušné úlohy týkajú. 4.2
Syntetická geometria – jednota Euklidových Základov
Najlepšou ilustráciou integratívnej sily jazyka syntetickej geometrie sú Euklidove Základy, ktoré spájajú do jedného celku teóriu þísel, planimetriu, stereometriu a teóriu proporcií (þo je antický ekvivalent teórie reálnych þísel). Dnes prevláda názor, že Euklidove Základy sú len sþasti originálnym výtvorom Euklida. Mnohé partie Euklides prebral z diel, ktoré sa nedochovali. Teóriu proporcií, uvedenú v V. knihe Základov, pravdepodobne prebral od Eudoxa. Od Eudoxa pochádza aj metóda exhaustácie, uvedená v XII. knihe. Klasifikáciu iracionalít v X. knihe Euklides prebral od Theaiteta a teóriu þísel, obsiahnutú v VII.–IX. knihe, od Archyta z Tarentu. Euklidovým originálnym výkonom je teória Platónskych telies v XIII. knihe, ktorá tvorí vrchol celého diela. Vidíme, že Základy sú kompilátom, obsahujúcim myšlienky významných matematikov. Napriek tomu tvoria jednotný celok, ktorý þitateĐa upúta svojou systematickou výstavbou a vzájomnou prepojenosĢou jednotlivých tvrdení. A túto jednotu výstavby Základom prepožiþiava práve jazyk syntetickej geometrie. Jednota Euklidových Základov je tak vyjadrením integratívnej sily jazyka syntetickej geometrie. 4.3
Algebra – jednota Bourbakiho matematiky
Pokus o podobnú syntézu v súþasnej matematike, akú pre antickú matematiku tvoria Euklidove Základy, uskutoþnila v druhej tretine 20-teho storoþia skupina francúzskych matematikov, publikujúcich pod pseudonymom Nicolas Bourbaki. Bourbakiho dielo je fascinujúce a zaslúžene si získalo obdiv a uznanie. Jednota, ktorú v matematike Bourbaki nachádza, je štrukturálna jednota, ktorá ilustruje integratívnu silu jazyka algebry. 4.4
Analytická geometria – ???
Nie je Đahké nájsĢ ilustráciu integratívnej sily jazyka analytickej geometrie.6 Možno by touto jednotou mohla byĢ jednota, ktorú do matematiky vnáša teória kategórií.
5 Explanatorická sila Ako piatu potencialitu budem ilustrovaĢ explanatorickú silu jazyka. 5.1
Elementárna aritmetika – jazyk je neexplanatorický
Jazyk elementárnej aritmetiky je neexplanatorický. Dochované texty obsahujú praktické návody bez akéhokoĐvek vysvetĐovania. Túto þrtu jazyka aritmetiky si všimli aj historici. Jeremy Gray píše v súvislosti s Egyptskou a Babylonskou matematikou o „protireþivých a neexplanatorických výsledkoch“ (Gray 1979, s. 3). Je to pochopiteĐné. Ak jazyk nie je schopný vyjadriĢ všeobecnosĢ, nie je v Ėom možné vysvetĐovaĢ ale iba ukazovaĢ. 5.2
Syntetická geometria – schopnosĢ vysvetliĢ neriešiteĐnosĢ niektorých úloh Z pohĐadu elementárnej aritmetiky je nepochopiteĐné, preþo úloha x + y = 10, x·y = 40
23
nemá riešenie. Jazyk syntetickej geometrie dokáže vysvetliĢ túto zvláštnu skutoþnosĢ: „Výhodu prechodu ku geometrii môžeme ilustrovaĢ nárastom explanatorickej sily. Zrejme neexistujú þísla x a y, ktorých súþet je 10 a súþin 40, a babylonskí pisári sa vyhli diskusii takýchto otázok. Teraz však môžeme nahliadnuĢ, preþo také þísla neexistujú. V jazyku prikladania plôch máme za úlohu priložiĢ obdĎžnik s obsahom 40 na úseþku dĎžky 10 so zvyškom v tvare štvorca.
C
x
y
x a
Obsah x y veĐkého obdĎžnika C sa mení s x (a preto aj s y) a je najväþší vtedy, keć obdĎžnik má tvar štvorca. V tomto prípade x = y = a/2, a obsah je a2/4. Preto daný problém môžeme vyriešiĢ iba za predpokladu, že a2/4 bude väþšie než daný obsah C. V našom príklade 100/4 = 25 nie je väþšie ako 40, preto žiadne riešenie nemôže existovaĢ. Diskusia možnosti nájsĢ riešenie je obsiahnutá v Euklidovi (Kniha VI, Prop. 27) bezprostredne pred riešením príslušného problému“ (Gray 1979, s. 24).
Vidíme, že jazyk geometrie dokáže vysvetliĢ neexistenciu riešenia urþitej úlohy, þo bolo z þisto aritmetického hĐadiska nepochopiteĐné. Pritom tento konkrétny príklad nárastu explanatorickej sily jazyka si všimli aj historici matematiky. 5.3
Algebra – schopnosĢ vysvetliĢ neriešiteĐnosĢ trisekcie uhla
Jazyk algebry umožĖuje vysvetliĢ, preþo sú tri antické problémy (trisekcia uhla, duplicita kocky a konštrukcia pravidelného sedemuholníka) neriešiteĐné pomocou kružidla a pravítka. V rámci syntetickej geometrie je nepochopiteĐné, preþo sa tak prirodzene formulované úlohy nedarí vyriešiĢ. Jazyk algebry to umožĖuje pochopiĢ, lebo dokáže charakterizovaĢ súbor všetkých úloh, ktoré sú riešiteĐné pomocou euklidovských konštrukcií. Sú to úlohy, v ktorých sa vyskytujú iba také úseþky, ktorých dĎžky sú buć racionálne þísla, alebo ich možno z racionálnych þísel dostaĢ použitím koneþného poþtu operácií druhej odmocniny. Na dôkaz toho, že uvedené tri úlohy sú prostriedkami euklidovskej geometrie neriešiteĐné, staþí ukázaĢ, že pri ich riešení nevyhnutne vzniknú úseþky, ktorých dĎžky nemajú uvedený tvar (Courant a Robins 1941, s. 120–140; Stewart 1989, s. 50–60). V jazyku geometrie neriešiteĐnosĢ nie je možné ani len vyjadriĢ, nieto vysvetliĢ. Naproti tomu jazyk algebry umožĖuje príþinu neriešiteĐnosti spomenutých úloh pochopiĢ. Kružidlo a pravítko umožĖujú totiž vytvoriĢ len úseþky, ktorých dĎžky sú z algebraického hĐadiska veĐmi špeciálneho tvaru. Jazyk algebry má teda explanatorickú prevahu nad jazykom syntetickej geometrie. 5.4
Analytická geometria – schopnosĢ vysvetliĢ casus irreducibilis
Analytická geometria umožĖuje pochopiĢ, preþo algebraické vzorce niekedy zlyhávajú. Myšlienka pochádza od Newtona. Musíme si uvedomiĢ, že riešiĢ algebraickú rovnicu znamená hĐadaĢ prieseþníky krivky, zodpovedajúcej príslušnému polynómu, s osou x. Keby algebraické vzorce fungovali univerzálne, t.j. pri všetkých hodnotách koeficientov by mali riešenie, znamenalo by to, že všetky krivky musia preĢaĢ os x. To je však nemožné. Nie je Ģažké nájsĢ polynóm, ktorého graf os x nepretína. Preto musí
24
existovaĢ možnosĢ, kedy vzorce zlyhajú a táto možnosĢ zodpovedá neexistencii prieseþníka. Nie je Ģažké nahliadnuĢ, že je to práve vtedy, keć sa pod odmocninou objavia záporné þísla. Napríklad vzorec
x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
pre riešenie rovnice ax2 + bx + c = 0 prestáva fungovaĢ keć je þíslo b2 − 4ac záporné. To nastáva vtedy, keć parabola, daná rovnicou y = ax2 + bx + c, nepretne os x. Zlyhanie algebraických vzorcov nie je teda prejavom nešikovnosti algebraikov. Práve naopak, kećže algebraické rovnice vyjadrujú priebeh kriviek, vzorce na ich riešenie musia niekedy zlyhaĢ, aby dopriali krivkám potrebnú slobodu. Zlyhanie vzorcov, ktoré z hĐadiska algebry mohlo pôsobiĢ ako nedostatok, ním v skutoþnosti nie je. Nie je to ani nejaký výnimoþný jav, ale ide o systematický rys algebraických formúl. Jazyk analytickej geometrie teda umožĖuje pochopiĢ zlyhanie jazyka algebry, ktoré bolo z algebraického hĐadiska záhadou.7 Máme tu do þinenia s þímsi podobným, ako keć syntetická geometria umožnila vysvetliĢ neriešiteĐnosĢ niektorých aritmetických úloh. V oboch prípadoch geometrický jazyk odhalil netušené bohatstvo možných situácií a vyþlenil tie, ktoré sú zodpovedné za zlyhanie symbolického jazyka. Preto tieto vysvetlenia nie sú prejavom duchaplnosti konkrétnych matematikov. Skôr ilustrujú explanatorickú silu jazyka.
6 Metaforická sila Ako poslednú potencialitu budem ilustrovaĢ metaforickú silu jazyka. 6.1
Elementárna aritmetika – hudobné ladenie
Metaforická sila urþitého jazyka môže byĢ ako pozitívna, kedy metafory otvárajú prístup k uchopeniu novej oblasti javov, tak negatívna, kedy nás metafory systematicky uvádzajú do omylu. Pozitívnou ilustráciou metaforickej sily jazyka elementárnej aritmetiky je pytagorejská teória þíselnej harmónie. Na zvuku, ako ho bezprostredne vnímame, niet niþoho, þo by pripomínalo þísla. Napriek tomu Pytagoras rozpracoval teóriu hudobnej harmónie, ktorá v hrubých rysoch platí podnes, a ktorá bola neskôr zdôvodnená teóriou kmitania kontinua a poznatkami fyziológie sluchu. Ako príklad negatívnej metafory možno vziaĢ inteligenþné testy, ktoré tvoria jednu z posledných bášt pytagorejskej þíselnej mystiky. Na rozdiel od pytagorejcov dnes už neveríme, že by þísla mohli meraĢ spravodlivosĢ. Z neznámych príþin však v prípade inteligencie v silu þísel stále veríme. 6.2
Syntetická geometria – zlatý rez vo výtvarnom umení; Spinozova etika
Ako ilustráciu metaforickej sily jazyka syntetickej geometrie možno uviesĢ teóriu zlatého rezu vo výtvarnom umení a celkovú renesanþnú snahu redukovaĢ estetiku výtvarných diel na geometriu. Samozrejme, príklad hudobnej harmónie zvádza, ale na rozdiel od vlastných kmitov tekutiny vo vnútornom uchu, ktoré poskytujú vysvetlenie toho, preþo niektoré frekvencie vnímame ako harmonické, v oblasti vizuálneho vnímania nemáme žiadne analogické vysvetlenie, preþo by urþité pomery mali súvisieĢ s pocitom krásy. Preto nemožno povedaĢ, þi snahy o vybudovanie geometrickej teórie výtvarnej harmónie sú pozitívnou alebo negatívnou ilustráciou metaforickej sily jazyka syntetickej geometrie. Ešte pozoruhodnejším príkladom metaforickej sily jazyka syntetickej geometrie je Spinozov spis Etika. OpäĢ niet dôvodu, preþo by štruktúra Euklidových Základov mala maĢ nieþo spoloþné s etikou. Preto aj tu ide o použitie þisto metaforické. Na druhej strane 25
Spinozov spis je fascinujúce dielo, svedþiace o metaforickej sile geometrického jazyka. 6.3
Algebra – Quesneho ekonómia, Parkinsonove zákony
Ako ilustráciu metaforickej sily jazyka algebry možno vziaĢ vieru moderných ekonómov a riadiacich pracovníkov v „objektivitu“ algebraických vzorcov. Zdá sa, že v tomto prípade, podobne ako v prípade aritmetiky, má metaforická sila kladný aj záporný pól. Ako kladnú ilustráciu metaforickej sily jazyka algebry možno vziaĢ Tableau économique Francoisa Quesneya z roku 1758, v ktorom vytvoril model hospodárstva, pomocou ktorého sa snažil ukázaĢ dôsledky zásahov do ekonómie. Model zachytáva sieĢ tokov v ekonómii a umožĖuje sledovaĢ dôsledky rôznych zásahov. V zásade predstavuje veĐkú sústavu rovníc (Quesnay ju znázornil graficky) a je tak svojou povahou algebraický. Na negatívne aspekty metaforickej sily jazyka algebry v ekonómii vtipne a výstižne upozornil C. Northcote Parkinson vo svojej knihe Parkinsonov zákon (Parkinson 1962). V tejto práci formuloval dôležitý zákon, udávajúci oþakávaný prírastok úradníkov v centrálnom úrade: x=
2k m + l , n
kde k je poþet úradníkov, ktorí usilujú o povýšenie prijímaním podriadených, l je rozdiel medzi vekom pri nástupe a pri odchode do penzie, m predstavuje poþet hodín venovaných na vybavovanie zápisníc a n je poþet skutoþne vybavených písomností; x udáva poþet každoroþne požadovaných nových úradníkov. Samozrejme, tento príklad je žart, ale podobné vzorce vyjadrujúce „kvalitu“ vedeckej publikácie už žartom nie sú. 6.4
Analytická geometria – ???
Pre metaforickú silu jazyka analytickej geometrie sa mi zatiaĐ nepodarilo nájsĢ vhodnú ilustráciu.
7 Zhrnutie Na príklade štyroch historických vrstiev matematiky, predstavovaných elementárnou aritmetikou, syntetickou geometriou, algebrou a analytickou geometriou som sa pokúsil ilustrovaĢ nárast ich logickej, expresívnej, metodickej, explanatorickej, integratívnej a metaforickej sily. Dúfam, že sa podarilo ukázaĢ, že týchto šesĢ potencialít jazyka objektívne existuje a ich analýza predstavuje legitímny predmet historického výskumu. Poznámky 1 – V knihe (Kvasz 2008) sú uvedené iba štyri potenciality. Nutnos Ģ doplniĢ dve ćalšie (metodickú a metaforickú silu) som si uvedomil až pri práci na systematickom výklade potencialít jazyka matematiky v (Kvasz 2010). 2 − V Grundlagen der Arithmetik Frege uvádza ako príklad aritmetického tvrdenia vzĢah 135 664 + 37 863 = 173 527 (Frege 1884, s. 17). Tento príklad ukazuje, že jazyk elementárnej aritmetiky sa zakladá na formálnych pravidlách manipulácie so symbolmi. 3 − Je dôležité si uvedomiĢ, že algebra dokáže explicitne vyjadriĢ postup vćaka tomu, že má implicitný pojem funkcie (alebo ako píše Frege, matematici „dospeli ku skúmaniu jednotlivých funkcií, avšak ešte bez toho, že by v matematickom zmysle použili toto slovo
26
a že by chápali jeho význam“). Je to práve odlíšenie funkcie a argumentu, ktoré umožĖuje zo vzorca vyþítaĢ poradie, v akom jednotlivé operácie po sebe nasledujú. 4 – To, že jazyk elementárnej aritmetiky neumožĖuje explicitne sformulovaĢ žiadnu metódu, neznamená, že príklady riešené napríklad v Rhindovom papyruse neobsahujú urþitú implicitnú metódu, ktorá nie je vyjadrená, ale sa iba ukazuje. Nájdenie implicitnej jednoty postupov použitých pri riešení urþitej skupiny matematických úloh je zaujímavý problém. Podobne, ako si matematici starovekého Egypta a Babylónu museli by Ģ aspoĖ do urþitej miery vedomí všeobecnosti svojich postupov (teda toho, že keć sa konkrétne þísla nahradia inými, postupovaĢ možno rovnako), aj keć túto všeobecnosĢ nedokázali explicitne vyjadriĢ, je možné, že ich postupy majú aj istú metodickú jednotu. Treba si však uvedomiĢ, že takáto implicitná jednota nie je prejavom metodickej sily jazyka, ale práve naopak, vzniká ako kompenzácia jeho nemetodickosti. 5 – Musím sa ospravedlniĢ, ale neodolal som pokušeniu a ako ilustráciu som zvolil príklad, ktorý je elegantný, a kvôli tomu zastiera pointu. Pri konštrukcii pravidelného päĢuholníka som totiž použili trik – jeho nahradenie desaĢuholníkom. Keby sme to neurobili, dostali by sme podobnú rovnicu, iba by to trvalo o nieþo dlhšie. Podstatné tu však nie je, ako rýchle dostaneme rovnicu. Podstatná je skuto þnosĢ, že následná konštrukcia je už triviálna. Všetku prácu sme presunuli na plecia algebry. Algebra nás od rovníc priviedla ku koreĖom. Nám ostáva už len zostrojiĢ koreĖ, þo je triviálne. 6 – V (Kvasz 2008) som metódu redukcie uviedol ako ilustráciu integratívnej sily jazyka analytickej geometrie. Keć som neskôr dospel k presvedþeniu, že existujú dve ćalšie potenciality (metodická a metaforická sila) zdalo sa mi vhodnejšie metódu redukcie vziaĢ za ilustráciu metodickej a nie integratívnej sily jazyka. 7 – Treba dodaĢ, že s Cardanovým casus irreducibilis to nie je tak jednoduché. Polynóm tretieho stupĖa, ktorý Cardano skúmal, má tri reálne korene. Máme teda do þinenia s jemnejším problémom. Vzorec pre riešenia rovnice tretieho stupĖa vyjadruje reálne korene ako kombinácie komplexných veliþín. To však niþ nemení na skutoþnosti, že reprezentácia polynómov pomocou kriviek umožĖuje porozumieĢ javom, ktoré pri algebraickom prístupe pôsobia tajuplne. Literatúra [1] BeþváĜ J., BeþváĜová M., Vymazalová H.: Matematika ve starovČku, Egypt a Mezopotámie. Prometheus, Praha, 2003. [2] Boole G.: The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge, 1847. [3] Courant R. Robbins H. (1941): What's mathematics? Oxford UP, New York, 1978. [4] Descartes R. (1637): Geometrija. In: Rassuždenie o metode. IzdateĐstvo Akademii Nauk CCCP, 1953, str. 299–408. [5] Euclid: The Thirteen Books of the Elements. Translated by Sir Thomas L. Heath, Dover, New York, 1956. [6] Euler L.: Introductio in analysin infinitorum. Bousquet, Lausannae, 1748. [7] Fourier J.: Théorie Analytique de la Chaleur. Paris, 1822. [8] Frege G. (1884): Základy aritmetiky. Logicko-matematické skúmanie pojmu þísla. Preložil P. Balko, Veda, Bratislava, 2001.
27
[9] Frege G. (1891): Funktion und Begriff. In: Frege, G.: Funktion, Begriff, Bedeutung. Vandenhoec & Ruprecht, Göttingen 1989, str. 17–39. [10] Gray J.: Ideas of Space Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic. Clarendon Press, Oxford, 1979. [11] Heath T. (1921): A History of Greek Mathematics. Dover, New York, 1981. [12] Klein J. (1934): Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. MIT Press, 1968. [13] Kolman A. (1961): DČjiny matematiky ve starovČku. Academie, Praha, 1968. [14] Kvasz L.: History of Geometry and the Development of the Form of its Language. Synthese 1998, 141–186. [15] Kvasz L. : Gramatika zmeny. Chronos, Bratislava, 1999. [16] Kvasz L.: Changes of Language in the Development of Mathematics. Philosophia Mathematica 2000, 47–83. [17] Kvasz L.: History of Algebra and the Development of the Form of its Language. Philosophia Mathematica 2006, str. 287–317. [18] Kvasz L.: Patterns of Change, Linguistic Innovations in the Development of Classical Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2008. [19] Kvasz L.: Náþrt potencialít jazyka matematiky. In: Kvasniþka V. (ed.) Kognice a umČlý život, 2010. [20] Lagrange J. L. (1788): Mécanique Analytique. Paris. Ruský preklad V. S. Gochmana, GITTL, Moskva, 1950. [21] Parkinson C. N. (1962): Parkinsonov zákon, VydavateĐstvo Politickej Literatúry, Bratislava, 1966. [22] Piper N. (Hrsg. 1996): Die grossen Oekonomen. Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart, 1996. [23] Stewart I.: Galois theory. Chapman and Hall, London, 1989. [24] Viéte F. (1591): Introduction to the Analytical Art. In: Klein, 1934, str. 313–353. [25] Vymazalová H.: Staroegyptská matematika, Hieratické matematické texty. ýeský egyptologický ústav, Praha, 2006.
Poćakovanie Príspevok je súþasĢou grantového projektu VEGA 1/0453/09 Vedecká racionalita, jej historické predpoklady a filozofické medze. Adresa Prof. RNDr. Ladislav Kvasz, Dr. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy v Praze M.D. Rettigové 4 116 39 Praha 1
28
POZNÁMKY K HISTORII FUNKCIONÁLNÍCH ROVNIC
Abstract: The contribution is devoted to the origins and the development of the theory of functional equations, especially in the 19th and 20th century. It shows how functional equations assisted the development of mathematics in general (Gamma function, Cauchy functional equations, convexity, harmonic functions etc.). Special attention is given to elementary considerations on the real line and to the role which functional equations could play at the secondary school curricula.
1 Úvod 1.1 Současný stav. Náhledem do databáze MathSciNet zjistíme, že funkcionální rovnice (dále jen FR) se v několika posledních desetiletích těšily velkému a vzrůstajícímu zájmu. Není divu, neboť nacházejí aplikace v mnoha disciplínách, a jak je zmíněno v monografii [23], výsledky se objevují tak rychle, že je obtížné je i v obsáhlé monografii zachytit (srv. s klasickými publikacemi [1], [2] nebo s nedávno vyšlou knihou [20]). Uvnitř matematiky FR úzce souvisejí s teorií pravděpodobnosti a s teorií grup nebo teorií dynamických systémů a vně matematiky jsou intenzívně využívány v ekonomii, v teorii informace, v biologii a fyzice. Jednotlivé speciální výsledky lze nalézt prakticky ve všech odvětvích matematiky a nezanedbatelný je i jejich didaktický potenciál, neboť umožňují jednotný přístup k zavádění elementárních transcendentních funkcí a jsou prakticky nepřeberným zdrojem úloh pro zájmové matematické soutěže.1 1.2 Z čeho vyjdeme. Exaktní definice FR není příliš jednoduchá. Lze k ní přistoupit např. takto: Definujme člen pomocí podmínek: (a) nezávisle proměnné x1 , x2 , . . . , xm jsou členy, (b) je-li f funkce n proměnných a t1 , t2 , . . . , tn jsou členy, pak je f (t1 , t2 , . . . , tn ) také člen, (c) žádné jiné členy, které se netvoří pomocí (a), (b) neexistují. Relace t1 = t2 , kde členy t1 , t2 obsahují alespoň jednu neznámou funkci a konečný počet nezávisle proměnných, je funkcionální rovnice. Přitom je třeba vymezit obor funkcí, v rámci kterého řešení hledáme. Nebudeme však tuto definici rozebírat; zvolíme obvyklý postup a spokojíme se s příklady FR (srv. [2]). 2 Velice blízko modernímu pojetí řešení FR se dostal již Charles Babbage, který 15. června 1815 prezentoval v Královské londýnské společnosti (The Royal Society of London) své úvahy o přímých a inverzních výpočtech. Rozlišoval dva 1 Základní poučení o FR na velmi dostupné úrovni nalezne čtenář např. v [32] a [34], hlubší poznatky v monografiích [2], [3], [20] a [23]. Zajímavým úlohám je věnována knížka [33]. 2 Formální definice funkcionální rovnice se objevuje až ve 20. století, i když se s nimi již po několik století pracovalo.
29
různé přístupy: buď lze k dané funkci f hledat vztahy, kterým vyhovuje, nebo k (daným) vztahům hledat funkce, které jim vyhovují. Demonstroval to na hledání speciálních zobrazení (involucí) a řešil mnoho dalších zajímavých funkcionálních rovnic. Na základě prezentovaných výsledků práce se stal uznávaným matematikem, který byl ceněn zejména pro nové přístupy a studium nové problematiky. 3 Přejděme však ke konkrétním jednoduchým příkladům. Řešit funkcionální rovnici nebo jejich soustavu znamená nalézt všechny funkce s daným definičním oborem, které splňují rovnice, v nichž vystupují jejich hodnoty. Tak např. máme určit všechny posloupnosti reálných čísel {ak }∞ k=0 , pro něž platí ak =
ak−1 + ak+1 , 2
k = 1, 2, 3, . . . ,
(1)
tj. jejichž každý člen je aritmetickým průměrem členů sousedních, nebo všechny reálné funkce f definované na množině všech reálných čísel R takové, že f (x + y) = f (x) · f (y) ,
x, y ∈ R .
(2)
V případě (1) se jedná vlastně o soustavu spočetně mnoha rovnic, kterým mají vyhovovat členy hledané posloupnosti, v případě (2) je těchto rovnic ještě podstatně více. Velmi snadno nahlédneme, že každá aritmetická posloupnost bude řešením (1) a zkušenější čtenář kromě zřejmých řešení f ≡ 0 a f ≡ 1 rovnice (2) uhodne, že jejím řešením je i exponenciální funkce f (x) = ex , x ∈ R. Situaci lze dnes přirovnat k axiomatice: hledané objekty (posloupnosti, funkce) popisujeme jejich vlastnostmi (axiomy). Tento přístup je podstatně starší a užíval se dříve, než se vytváření teorií z daných axiomů stalo v matematice základním nástrojem. Přitom podstatně ovlivnil vývoj matematiky, což budeme ilustrovat na vybraných ukázkách. 1.3 Trocha rané historie. S posloupnostmi pracovali již matematici ve starověku. Připomeňme, že Archimedes v souvislosti s kvadraturou parabolické úseče v podstatě sečetl geometrickou řadu, jejíž členy byly vždy geometrickým průměrem sousedních členů. Jeho metoda komprese aplikovaná na výpočet přibližné hodnoty čísla π užívá posloupností rekurentní povahy: při zdvojnásobování počtu stran pravidelných n-úhelníků vepisovaných a opisovaných kružnici se velikosti stran počítají pomocí velikostí stran z předchozího kroku. 4 Vzorci (1) lze posunem indexů a úpravou dát tvar rekurence ak = 2ak−1 − ak−2 , 3
k = 2, 3, . . . .
(1’)
(1791−1871) přišel jako první s myšlenkou sestrojit programovatelný počítač, který však nikdy nedokončil. V r. 1991 byl podle jeho zachovaných plánů sestaven plně funkční počítací stroj, a to jen za použití prostředků dostupných v 19. století. Tak bylo prokázáno, že by byl jeho stroj už tehdy funkční. Babbage je dnes spíše znám jako vynálezce počítače. 4 Vynikající výsledky, k nimž dospěl (287−212 před n. l.), jsou všeobecně známé. Poměrně podrobný popis jeho výpočtů hodnoty π lze nalézt v [12] nebo v Úvodu k [36].
30
Dříve nežli se rekurencemi budeme zabývat obecněji, připomeňme ještě jeden velmi známý příklad. Ve Fibonacciho posloupnosti {Fk }∞ k=1 pocházející ze 13. století jsou prvé dva členy rovny 1 a další jsou vždy součtem dvou členů bezprostředně předcházejících. Je tedy Fk = Fk−1 + Fk−2 ,
k = 3, 4, . . . ,
F1 = F2 = 1 .
(3)
F0 = 0 , F1 = 1 ;
(3’)
a
Definujme F0 = 0 a zaměňme (3) za (3’) Fk = Fk−1 + Fk−2 ,
k = 2, 3, . . . ,
a
smysl úpravy je v tom, že vlastně vhodně dodefinujeme F0 a pracujeme s posloupností {Fk }∞ k=0 . Čísla Fk jsou Fibonacciho čísla. Vzorec pro k-tý člen posloupnosti {Fk } se nazývá Binetův vzorec a začátečníky obvykle překvapí jeho tvar Fk =
(1 +
5)k − (1 − 2k 5
k 5)
.
(4)
Ještě před Binetem odvodil tento vzorec de Moivre 5 a položil tak základ důležité metodě vytvořujících funkcí. Ukázal totiž, že pokud označíme součet mocninné řady s koeficienty Fk F (z) =
∞
Fk z k ,
je
k=0
F (z) =
z ; 1 − z − z2
jednoduchými úpravami lze pak dospět k (4). Blíže viz [35]. My budeme postupovat jiným způsobem. 1.4 Jednoduché lineární rekurence. Nalezení posloupnosti popsané jednoduchými lineárními rekurencemi není složité. Vztah ak = α1 ak−1 + α2 ak−2 + · · · + αd ak−d
(5)
je tzv. homogenní lineární rekurence s konstantními koeficienty α1 , . . . , αd řádu d. Budeme hledat posloupnost, která jí vyhovuje, ve tvaru {xk }. Po dosazení, vydělení xk−d (předpokládáme x = 0, nulová posloupnost je triviálním řešením) a úpravě dostaneme charakteristickou rovnici xd − α1 xd−1 − α2 xd−2 − · · · − αd = 0 , 5
(1180−1240) známý jako Fibonacci sepsal r. 1202 knihu Liber Abaci, v níž popsal úlohu o růstu králičí populace vedoucí na zkoumání posloupnosti popsané pomocí (3). (1667−1754) dokázal vzorec (4) r. 1718. V 19. století jej znovu odvodil (1786−1856). Pokud jej známe, lze jej francouzský matematik snadno dokázat matematickou indukcí. Fibonacciho čísla však znali již indičtí učenci (asi 600−800), (před r. 1135) a (kolem r. 1150).
31
kde αd = 0. Podle základní věty algebry má tato rovnice v komplexním oboru C celkem d kořenů (je d ≥ 1). Označíme-li je ξ1 , . . . , ξd a jsou-li reálné a různé, pak z linearity (5) plyne, že také každá posloupnost tvaru {ak } = {c1 ξ1k + c2 ξ2k + · · · + cd ξdk } je řešením (5). Každé takové řešení závisí na d konstantách c1 , c2 , . . . , cd , které se eventuálně určí pomocí předepsaných hodnot a0 , a1 , . . . , ad−1 . Pokud čtenáři připomíná tento postup řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, není to náhoda. Teorie i metody řešení jsou podobné a jsou zde i hlubší souvislosti. Poznamenejme ještě, že i případ vícenásobných reálných kořenů charakteristické rovnice je podobný: je-li ξr jejím n-násobným kořenem, vyhovují rekurenci (5) ještě posloupnosti {kξrk }, {k 2 ξrk }, . . . , {k d−1 ξrk }. Podrobnější zkoumání nebudeme provádět, pro zvládnutí ilustrativních příkladů nám to postačí. Vraťme se k Fibonacciho posloupnosti popsané vzorcem (3’). Položme ak = xk ; dostáváme tak rovnici xk = xk−1 + xk−2 ,
resp.
x2 = x + 1 .
Poslední rovnice má za kořeny čísla ξ1 = (1 + 5)/2 a ξ2 = (1 − 5)/2 = 1/ξ1 . Číslo ξ1 se obvykle nazývá zlatý řez. Odtud dostáváme, že rekurenci v (3’) řeší i posloupnost c1 ξ1k + c2 ξ2k položíme F0 = c1 +c2 = 0, s libovolně zvolenými koeficienty c1 , c2 ∈ R. Jestliže nyní F1 = c1 ξ1 + c2 ξ2 = 1, snadno určíme c1 = −c2 = 1/ 5 = 1/(ξ1 − ξ2 ). Odtud dostaneme Binetův vzorec (1 + 5)k − (1 − 5)k (ξ1 )k − (ξ2 )k Fk = , = ξ1 − ξ2 2k 5 který ukazuje jednu z mnoha překvapivých souvislostí zlatého řezu s něčím, co je zdánlivě velice odlehlé. Aplikujeme-li popsaný postup na rekurenci (1’), dospějeme podobným způsobem ke kvadratické rovnici x2 − 2x + 1 = 0 s dvojnásobným kořenem ξ = 1. Posloupnost, která je obecným řešením (1’), má tvar c1 ξ k + c2 kξ k . Položíme-li nyní a0 = a, a1 = b, pak dostáváme c1 = a, c2 = b − a, a tedy při d := b − a i známý vzorec ak = a + kd ,
k = 0, 1, 2, . . .
32
Povšimněme si, že tato aritmetická posloupnost je restrikcí lineární funkce f (t) = a + td, t ∈ R, na množinu N0 = N ∪ {0} a že restrikce f na množinu všech celých čísel Z vyhovuje také rekurenci (1’).
2 Další vývoj 2.1 Druhý pohled do historie. Obraťme se ke složitějším případům. Jako jeden z prvních příkladů užití funkcionálních rovnic se zpravidla uvádí speciální popis lineární funkce: Funkce f je lineární na intervalu I, jestliže pro každou trojici navzájem různých bodů x, y, z ∈ I, je y−x f (y) − f (x) = . z−y f (z) − f (y)
(6)
V elementárních učebnicích se užívá k definici lineární funkce vztah f (x) = ax + b .
(7)
Vztah (6) umožňuje dosazením funkce g za f rozhodnout (alespoň teoreticky – uvažovaných trojic je nekonečně mnoho), zda je funkce f lineární na I či nikoli. Na (7) můžeme pohlížet jako na řešení funkcionální rovnice (6), pokud ovšem je a = 0. 6 Připomeňme na tomto místě jinou formu (6): Jednoduchou úpravou dostaneme z (6) f (y) − f (x) f (z) − f (y) = ; (6’) y−x z−y k tomuto vztahu a k podobnému vztahu (znamení = nahradíme ≤) se později ještě vrátíme. Rovnice (1) říká, že hodnota členu posloupnosti v bodě k je průměrem hodnot jejích členů v bodech od k stejně vzdálených (platí to nejen pro ty „nejbližší ). Zkoumejme nyní reálnou funkci reálné proměnné s analogickou vlastností: f
x + y 2
=
f (x) + f (y) , 2
x, y ∈ R .
(7)
Zřejmě platí (upravujeme pouze rovnost, obory platnosti jsou zřejmé) pro číslo a := f (0) x f (x) + f (0) f (x) + a f = = , 2 2 2 6 Tuto definici linearity použil (1323−1382) v díle Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum z r. 1352. Oresme studoval jako stipendista od r. 1348 v Paříži, tedy v období, kdy morová nákaza děsila celou Evropu a kdy na její následky zemřela asi třetina jejích obyvatel. Studia teologie dokončil r. 1356 a krátce nato se stal představeným (grandmaˆıtre) Navarrské koleje v Paříži. Od r. 1377 byl biskupem v Lisieux. Byl všestranným učencem, kanovníkem Karla V. a jeho poradcem. Patrně je možné ho označit za nejvýznamnějšího evropského matematika 14. století. Byl Descartovým předchůdcem v zavádění souřadnic – s tím souvisí i jeho popis přímek s nenulovou směrnicí. Patrně nejlepší přehled jeho matematických výsledků přináší [22].
33
a odtud dostaneme s využitím (7) x + y f (x + y) + a f (x) + f (y) = =f , 2 2 2 neboli f (x + y) = f (x) + f (y) − a . Je-li nyní g(x) = f (x)−a, vyhovuje tato funkce tzv. Cauchyho funkcionální rovnici g(x + y) = g(x) + g(y) ,
x, y ∈ R .
(8)
Její řešení se nazývají aditivní funkce. Pro řešení rovnice (7) se někdy užívá název 1 2 -lineární funkce. Cauchyho funkcionální rovnice jsou vlastně čtyři (srv. [2]) a jsou tvaru f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y) , kde na místě znaků ∗ a ◦ stojí znaky pro základní operace v R, tj. „+ nebo „ · ; obory, na nichž se tyto rovnice obvykle řeší, se liší. Věnujme pozornost nejprve rovnici z (8) 7 : f (x + y) = f (x) + f (y) , x, y ∈ R . (A) Zřejmě je f (2x) = f (x + x) = 2f (x) a matematickou indukcí obdobně dostaneme f (nx) = nf (x) pro všechna x ∈ R a všechna n ∈ N. Pro x = m/n je nx = m1, z čehož plyne nf (x) = mf (1), a tedy m f (x) = f (1) = xf (1) . (9) n Využitím rovností f (0) = 0 a 0 = f (x) = f (x) − f (−x) dostaneme z (9) rovnost f (r) = rf (1) pro všechna r ∈ Q. Jestliže budeme jako Cauchy předpokládat, že f je spojitým řešením (A) na R, pak odtud limitním přechodem pro rk → x, rk ∈ Q, dostaneme f (x) = f (x · 1) = f ( lim rk ) · 1 = lim rk f (1) = xf (1) , k→∞
k→∞
což již dává f (x) = xf (1), x ∈ R. Poměrně podrobný předchozí postup ilustruje, jakým způsobem se funkcionální rovnice tohoto typu řeší. 8 Snadno také nahléd7
Tuto rovnici zkoumali již r. 1791 (1752−1833) a r. 1809 (1777−1855), ale teprve Cauchyho vyšetřování v [8] z r. 1821 je z dnešních měřítek přesnosti dostatečně uspokojivé. Legendre však již r. 1791 znal všechna spojitá řešení Cauchyho rovnic. 8 Popišme stručně další vývoj poznatků o (A). (1842−1917) r. 1875 ukázal, že lineární funkce tvaru f (x) = xf (1), x ∈ R, jsou jedinými řešeními (A) spojitými alespoň v jednom bodě. O něco později, r. 1880 dokázal, že stačí předpokládat existenci intervalu (0, δ) s libovolným δ > 0, na němž je f (x) > 0, x ∈ (0, δ). R. 1901 dokázal (1853−1936) (a později nezávisle i jiní), že k linearitě řešení (A) stačí jeho omezenost na libovolném intervalu. (1878−1973) dokázal r. 1913, že k tomu stačí před(1893−1986) pokládat jeho měřitelnost a konečně r. 1929 ukázal, že stačí např. jeho majorizace nebo minorizace měřitelnou funkcí na množině kladné (1877−1954) exisLebesgueovy míry. Naproti tomu již r. 1905 dokázal tenci nespojitých řešení rovnice (A) pomocí konstrukce tzv. Hamelovy báze R nad Q; tato řešení jsou však patologická, jejich graf je hustý v R2 a nejsou ani shora, ani zdola omezená na jakémkoli (nedegenerovaném) intervalu I ⊂ R. Podrobnější informaci nalezne čtenář např. v [3].
34
neme, že každé řešení FR (7) obdržíme z vhodného řešení FR (8) přičtením konstantní funkce. Obraťme pozornost k jiné Cauchyho rovnici. Jedním ze spojitých netriviálních řešení FR f (xy) = f (x) + f (y) , x, y ∈ (0, ∞) , (L) je i přirozený logaritmus 9 , který se často zavádí jako to řešení f rovnice (L), pro něž je f (x) f (x − 1) f (1) = lim = lim = 1. x→1 x − 1 x→ 0 x Na tomto místě je vhodné si uvědomit, že řešení FR velmi záleží na oboru, na němž rovnici řešíme. Budeme-li řešit rovnici z (11), avšak pro případ x, y ∈ R, pak pro libovolné x ∈ R bude platit po dosazení y = 0 f (0) = f (x) + f (0) , a tak v tomto případě dostáváme jako jediné pouze triviální řešení f ≡ 0. Odstraníme-li bod 0, tj. budeme-li rovnici z (11) řešit pro x, y ∈ R \ {0}, snadno ověříme, že jejím řešením je např. funkce log |x|. Podobně jediným řešením f rovnice f (x + y) = f (x) · f (y) ,
x, y ∈ R ,
(E)
které vyhovuje podmínce f (x) − 1 f (x) − 1 = lim = 1, x→0 x − 0 x→0 x
f (0) = lim
(10)
je (přirozená) exponenciála. Popišme její zavedení pomocí (E) trochu podrobněji, neboť není bez zajímavosti i pro případné využití na střední škole. Řešeními rovnice (E) jsou zřejmě konstantní funkce f ≡ 0 a f ≡ 1. Je-li f nenulové řešení (E), existuje alespoň jedno x0 ∈ R, pro něž je f (x0 ) = 0. Potom z rovnosti f (x0 ) = f (x0 + 0) = f (x0 )f (0) plyne f (0) = 1, a tedy každé nenulové řešení rovnice (E) nabývá v bodě 0 hodnoty 1. Dále platí pro každé x ∈ R f (x) = f
x 2
+
x x 2 = f ≥ 0, 2 2
což znamená, že všechna řešení (E) jsou nezáporné funkce. Protože dále je 1 = f (0) = f (x − x) = f (x) · f (−x) ,
(11)
9 Tuto rovnici již implicitně studoval (1584−1667) v práci Opus Geometricum quadraturae circuli et sectionum coni. Toto dílo, v němž se pracuje geometrickými prostředky, má cca 1250 stran a logaritmu se dotýká studiem vlastností „plochy pod hyperbolou.
35
−1 vyhovují nenulová řešení rovnice (E) vztahu f (−x) = f (x) a jsou dokonce všude kladná. Konečně ze vztahů f (2x) = f (x + x) = (f (x))2 , f ((n + 1)x) = f (nx + x) = (f (x))n · f (x) = (f (x))n+1 , dostáváme pomocí matematické indukce f (nx) = (f (x))n pro všechna x ∈ R a všechna n ∈ N. Snadno nahlédneme, že uvedené vlastnosti patří k základním vlastnostem exponenciálních funkcí. Až dosud jsme vůbec nevyužili podmínku (10). Ta má velmi závažné důsledky, k jejich získání však potřebujeme některé základní poznatky z diferenciálního počtu. Každá funkce vyhovující funkcionální rovnici (E) a podmínce (10) má derivace všech řádů, je spojitá, rostoucí a konvexní na R a zobrazuje R na interval (0, ∞). Platí pro ni f = f . Ukažme odkud to plyne. 10 Již víme, že f (0) = 1. Snadno spočteme derivaci funkce f ve všech ostatních bodech x ∈ R : f (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) f (x) · (f (h) − 1) f (h) − 1 = lim = f (x) lim = f (x) . h→0 h→0 h h h
Je tedy f = f > 0, resp. f (n) = f > 0 pro všechna n ∈ N. 11 Speciálně odtud plyne, že f je rostoucí na R, a je tedy f > 1 na (0, ∞) a f < 1 na (−∞, 0). Zderivujme funkci g(x) = f (x) − (x + 1), x ∈ R. Zřejmě je g (x) = f (x) − 1 = f (x) − 1 , takže g (x) < 0 pro x ∈ (−∞, 0) a g (x) > 0 pro x ∈ (0, ∞). Jelikož je g(0) = 0, nabývá g v bodě 0 minima a platí f (x) ≥ x + 1 pro všechna x ∈ R. Dále podle tvrzení o limitě funkcí a nerovnostech platí lim f (x) ≥ lim (x + 1) = ∞ ,
x→∞
x→∞
a s ohledem na (11) je limx→−∞ f (x) = 0. Jelikož je f rostoucí spojitá funkce na R, má tzv. Darbouxovu vlastnost (nabývání mezihodnot). Odtud plyne pro obor hodnot Rf funkce f rovnost Rf = (0, ∞). 10
Poznamenejme, že při hledání diferencovatelného řešení (A) bychom snadno dospěli k rovnici f (x + y) = f (x), ze které plyne, že f je periodická funkce, jejíž periodou je každé y ∈ R a je tedy konstantní. 11 Současně jsme dokázali, že každé řešení rovnice (E), vyhovující podmínce (10), vyhovuje diferenciální rovnici y − y = 0.
36
Je samozřejmě příliš optimistické předpokládat, že by v době vzniku tohoto textu bylo možno probrat na střední škole základní infinitesimální techniky – pokud ano, pak jen na úrovni kalkulu. Podmínku (10) však lze nahradit podmínkou jednodušší. Platí totiž tvrzení: Pro každou funkci f vyhovující funkcionální rovnici (E) jsou všechny tři následující podmínky ekvivalentní: 1 + x ≤ f (x) ≤ (1 − x)−1 pro všechna x ∈ R, x < 1 , f (x) ≥ x + 1 pro všechna x ∈ R , f (x) − 1 = 1. x→0 x lim
A tak, kromě elementárních výpočtů, které dokazují základní vlastnosti exponenciály, lze předložit žákům střední školy pravdivé a srozumitelné tvrzení: exponenciála je jedinou funkcí f vyhovující funkcionální rovnici (E), pro niž platí f (x) ≥ x+1 pro všechna x ∈ R. Poznamenejme ještě, že Cauchyho rovnice byly využity např. při důkazu platnosti binomického rozvoje 12 ∞ α k (1 + x) = k x . α
k=0
2.2 Další transcendentní funkce. K zavedení goniometrických funkcí pomocí FR existuje řada cest. 13 Tak např. užití rovnice f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) ,
x, y ∈ R ,
(12)
sahá až k d’Alembertovi. 14 Pokud se předpokládá existence druhé derivace f funkce f , je řešení poměrně jednoduché. Viz např. [32]. Velmi často se užívá k zavedení základních goniometrických funkcí součtových (rozdílových) vzorců pro funkce sin a cos, které chápeme jako funkcionální rovnice na R: f (x ± y) = f (x)f (y) ∓ g(x)g(y) ,
x, y ∈ R ,
g(x ± y) = g(x)g(y) ± f (x)f (y) ,
x, y ∈ R .
12
Použil je tak již (1707−1783), a dále r. 1797 (1765−1843), r. 1821 (1789−1857), a konečně ve známém (1802−1829). V soudobém pojetí je užit takový přístup memoiru z r. 1826 v [39]. 13 Přístup k zavádění elementárních transcendentních funkcí „přes FR použil (1843–1904) již r. 1886. Pokusil jsem se takový přístup zpopularizovat v článku [37]. 14 (1717−1783) studoval tuto rovnici již r. 1750 a pak r. 1769. (1781−1840) a r. 1821 Rovnicí se rovněž zabývali r. 1804 a r. 1811 Cauchy. Ten také dokázal, že jediná netriviální spojitá řešení rovnice mají tvar f (x) = cos ax a f (x) = cosh ax.
37
Z těchto rovnic dvojice „rozdílových vzorců tvoří jednoduchou soustavu FR, která spolu s podmínkou g (x) = lim
x→0
g(x) − 0 g(x) = lim =1 x→0 x−0 x
(13)
umožňuje pohodlný přístup k současnému zavedení goniometrických funkcí cos a sin. Ten má nezanedbatelnou výhodu v tom, že na střední škole se právě z těchto vzorců obvykle odvozují všechny ostatní užitečné vzorce pro tyto funkce a není třeba je proto znovu dokazovat. Viz [36]. 15 Nyní se vrátíme zpět do 18. století, v němž začíná historie funkce gama. Situaci si přiblížíme příkladem: v rovnosti 1+2+3+···+n =
n(n + 1) 2
má levá strana smysl pro přirozená n, avšak pravá strana pro každé n ∈ R. Vzorec nám umožňuje interpolovat a dosazením do pravé strany odpovědět např. na poněkud pošetilou otázku, kolik je takový součet „do 5,25 . Pro násobení studoval podobnou otázku po „rozumném rozšíření faktoriálů Euler. 16 Dospěl k řešení pomocí nekonečných součinů, a tak v podstatě již téměř získal vyjádření Γ -funkce. Odvodil vzorec
1
n! =
(− log x)n dx ,
0
který po substituci a posunutí dává obvyklé integrální vyjádření
Γ (x) :=
∞
exp(−t) tx−1 dx ,
0
x ∈ (0, ∞) .
Položme otázku, v čem je toto řešení interpolačního problému výjimečné. Takto definovaná Γ -funkce vyhovuje funkcionální rovnici f (x + 1) = x f (x) ,
x ∈ (0, ∞) ,
(14)
a také podmínce f (1) = 1 .
(15)
15 To, že rozdílové vzorce jsou tím „nejsilnějším párem, dokázal již r. 1919 (1880−1975). Později v letech 1939−1944 bylo několika matematiky nezávisle dokázáno, že k zavedení obou funkcí stačí jediná z těchto čtyř rovnic (rozdílová formule pro kosinus) a že žádná (1891−2002) pochází idea z ostatních tří FR tuto vlastnost nemá. Od využít k jejímu řešení již známé řešení d’Alembertovy rovnice. Viz [2]. 16 Tento interpolační problém předložil Eulerovi pozdější sekretář Petrohradské akademie (1690−1764). Euler nalezl jeho řešení v letech 1729–1930; bylo publikováno v r. 1738. Autorem dnešního vyjádření včetně označení „gama-funkce symbolem Γ a názvů Eulerův integrál prvního a druhého druhu je Legendre. O Eulerově přístupu pojednává [24].
38
Takových funkcí, které vyhovují (14) a (15), je však stále mnoho. Nepomohou ani další dodatečně požadované vlastnosti jako konvexita či existence spojitých derivací všech řádů na intervalu (0, ∞). Problém je složitější, než se zdá. 17 Existuje však jediná funkce vyhovující (14) a (15), jejíž logaritmus je konvexní, a tou je právě funkce Γ 18 . Speciální roli v důkazu této tzv. Bohr-Mollerup-Artinovy věty hraje vyjádření Γ -funkce tzv. Gaussovým součinem nx n! , n→∞ x(x + 1) · · · (x + n)
Γ (x) = lim
x ∈ (0, ∞) ,
a charakteristika konvexity funkce pomocí funkcionálních nerovností. Jimi se nyní budeme zabývat.
3 Funkcionální nerovnosti 3.1 Konvexita. Přítomnost funkcionálních rovnic a nerovnic v běžných definicích si často ani neuvědomujeme. Existuje-li a ∈ R \ {0} tak, že je f (x ± a) = f (x) ,
x ∈ R,
je f periodická na R s periodou a. Je-li I interval a f (y) − f (x) ≥ 0, y−x
x, y ∈ I , x < y ,
je funkce f neklesající na I. Je-li I interval a jestliže je f (z) − f (y) f (y) − f (x) ≤ , y−x z−y
x, y, z ∈ I , x < y < z ,
(16)
je funkce f konvexní na I. 19 Přestože se jedná o běžně užívané definice, rozebereme tu poslední, protože u konvexity je možných definic více, a některé jsou patrně i frekventovanější. Po roznásobení a úpravě dostaneme f (y) (z − y) + (y − x) ≤ f (x)(z − y) + f (z)(y − x) , 17 Již Euler dokázal, že Γ -funkce je transcendentní. Ukazuje se, že je však „transcendentnější než běžné elementární transcendentní funkce : R. 1887 (1859−1937) dokázal, že Γ není ani řešením žádné algebraické diferenciální rovnice. 18 Toto tvrzení r. 1922 dokázali v podstatě (tvrzení neformulovali) dánští matematici (1887−1925) a (1872−1937). Jejich důkaz r. 1931 významně (1898−1962) v [5]. Funkce Γ se dá poměrně jednoduše rozšířit na zjednodušil C \ {0, −1, −2, . . . }. Podobně lze v tomto oboru jednoznačně určit funkci Γ pomocí podmínek (14) a (15). Je nutno předpokládat, že funkce splňuje (14) v C+ := {z ∈ C ; Re z > 0}, je zde holomorfní a je omezená na pásu {z ∈ C ; 1 ≤ Re z < 2}. Toto tvrzení pochází od (1910−2001) a je z let 1938 až 1939. 19 Tato podmínka má velmi hezkou „sečnovou interpretaci. Viz např. [36].
39
neboli f (y) ≤ f (x)
y−x z−y + f (z) . z−x z−x
Položíme-li nyní α = (z−y)/(z−x), je (1−α) = (y−x)(z−x), a snadno dostaneme nejprve z−y z−y y − x y−x f (y) = f x ≤ f (x) +z + f (z) , z−x z−x z−x z−x a po dosazení za α známou nerovnost f (αx + (1 − α)z) ≤ αf (x) + (1 − α)f (z) .
(17)
Je zřejmé, že pokud bod y proběhne interval (x, z), pak α nabude všech hodnot z intervalu (0, 1). Ponecháme čtenáři k uvážení, že se lze jednoduše „vrátit od (17) k (16) a že jsme tak obdrželi jinou možnou (ekvivalentní) definici: Funkce f definovaná na intervalu I ⊂ R je konvexní na I, jestliže pro každé dva body x, z ∈ I a každé α ∈ (0, 1) platí (17). Jednoduchá geometrická interpretace podmínky (17) znamená, že sečna grafu funkce f procházející body [ x, f (x) ] a [ z, f (z) ], x < z, leží „mezi body x a z nad grafem funkce f . Snadno nahlédneme, že vynechání podmínky x < z nám umožní zabývat se pouze hodnotami α ∈ (0, 1/2 ]. Množina řešení (17) se tím nezmění, protože faktor (1 − α) nabude všech hodnot z intervalu [ 1/2 , 1). Připomeňme, že množina M ⊂ Rm se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva body x, y ∈ M a každé α ∈ (0, 1/2 ] leží všechny body z tvaru z = α x + (1 − α) y v M . Jinak řečeno, konvexní množina obsahuje s každými dvěma body celou úsečku, která je spojuje. V R jsou konvexními množinami právě všechny intervaly, v R2 jsou konvexními množinami např. všechny uzavřené kruhy či čtverce. Odstraníme-li z konvexní množiny R2 např. libovolnou úsečku, výsledná množina již nebude konvexní. 20 Nyní můžeme definovat konvexitu funkce obecněji v Rm : Funkce f je konvexní na konvexní množině G ⊂ Rm , jestliže pro každé dva body x, y ∈ G a každé α ∈ (0, 1/2 ] je f (α x + (1 − α) z) ≤ αf (x) + (1 − α)f (z) . (17’) Snadno nahlédneme, že (17) a (17’) pro interval I ⊂ R splývají. Načrtneme-li obrázek, zjistíme z názoru, že funkce f definovaná na intervalu [ 0, 1 ] tak, že položíme f (0) = f (1) = 1 a f (t) = 0, t ∈ (0, 1), je konvexní na [ 0, 1 ], ale není v krajních bodech intervalu spojitá. To se však nemůže stát, jestliže je konvexní funkce definována na otevřeném intervalu I. 20
Konvexita množin a funkcí úzce souvisí (konvexní funkce má konvexní „nadgraf a obráceně funkce s touto vlastností jsou konvexní. Na vágní úrovni se konvexitou zabýval již Archimedes. (1864−1909). Zásadními poznatky k ní Za jejím moderním pojetím stojí (1884−1943) a (1887−1956). Na počátku 20. století se přispěli (1859−1925), na jehož počest je užíván název J-konvexní konvexitou zabýval i funkce.
40
3.2 J-konvexita. Jestliže v (17’) zafixujeme α = 1/2, dostaneme definici konvexity v Jensenově smyslu 21 : Funkce je J-konvexní na intervalu I ⊂ R, jestliže je 1 1 1 1 f x + z ≤ f (x) + f (z) . (18) 2 2 2 2 Porovnáním (7) a (18) nahlédneme, že J-konvexní funkce jsou zobecněním funkcí, které jsme již zkoumali, a že každá aditivní funkce je též J-konvexní. Pokud obdobným způsobem zavedeme také funkce J-konkávní, jsou lineární funkce a aditivní funkce současně J-konvexní i J-konkávní. Podle chování aditivních funkcí můžeme očekávat, že např. spojité J-konvexní funkce budou konvexní. Všimneme si proto výsledků, které jsou z této oblasti známy. Dříve však uvedeme ještě jednu definici. Jestliže zvolíme pevně α ∈ (0, 1/2 ] a budeme požadovat, aby funkce f vyhovovala nerovnosti (17) pro každé dva body x, y z intervalu I a toto pevně zvolené α, dostaneme definici α-konvexní funkce na I. Budou výsledky pro α-konvexní funkce obdobné jako pro aditivní a J-konvexní funkce? Již poměrně dávno bylo dokázáno, že spojité α-lineární, resp. α-konvexní funkce jsou lineární, resp. konvexní. Přibližme alespoň částečně elementární metody, které se k důkazu těchto vlastností používají. Je-li funkce f α-lineární a f (0) = 0, je aditivní. To plyne z této úvahy: x x y y f (x + y) = f α + (1 − α) = αf + (1 − α)f = α 1−α α 1−α y x + (1 − α) f (0) + α f (0) + (1 − α) f = = αf α 1−α x y = f (x) + f (y) . = f α + (1 − α) 0 + f α 0 + (1 − α) α 1−α Funkce f − f (0) je α-lineární, je-li f α-lineární. Odtud a z předchozí úvahy plyne aditivita α-lineární funkce. Již víme, že spojité aditivní funkce jsou lineární (jsou β-lineární pro všechna racionální β ∈ (0, 1/2 ]), takže tím jsme důkaz dokončili. O obecných α-lineárních funkcích a postačujících podmínkách pro jejich spojitost bychom mohli uvést výčet jednotlivých vylepšování postačujících podmínek jako u aditivních funkcí 22 . Zároveň poznamenejme, že pro každé pevně zvolené α ∈ (0, 1/2 ] existují nespojitá řešení funkcionální rovnice f (αx + (1 − α)z) = αf (x) + (1 − α)f (z) ,
x, y ∈ R .
(19)
Zajímavější jsou z tohoto hlediska poznatky o α-konvexních funkcích. Uvedeme podrobněji pouze rozdíly v chování s tím, že každá α-lineární funkce je také zároveň α-konvexní. Tak např. nespojité aditivní funkce zkonstruované Hamelem r. 1905 21
Z hlediska funkcionálních nerovností to znamená značnou redukci množiny nerovností, kterými se zabýváme. Je proto přirozenou otázkou, zda se tím množina řešení nezvětší. 22 Podobal by se značně již dříve uvedené poznámce o spojitosti aditivních funkcí, neboť často studium těchto funkcí probíhalo současně.
41
jsou J-konvexní a jejich restrikce na interval I ⊂ R jsou J-konvexní (a zároveň J-konkávní) na I. Viz [15]. Obdobné konstrukce nespojitých α-konvexních funkcí (případně s dodatečnými vlastnostmi) lze nalézt v literatuře. Viz [10]. Jako ukázku vlastností funkcí tohoto typu ocitujme tvrzení z [10], str. 117 : Pro libovolně zvolené α ∈ (0, 1/2 ] existuje na Rm , m ∈ N, α-konvexní (která není α-lineární !) shora neomezená funkce, která je buď zdola omezená, nebo zdola neomezená. Není těžké si rozmyslet, že graf takové funkce na R již nemusí být hustý v R2 . Zajímavé je také následující tvrzení: Je-li G ⊂ Rm konvexní otevřená množina a zvolíme-li pevně α ∈ (0, 1/2 ], pak funkce f α-lineární na G je lineární, je-li jistá velmi komplikovaná množina dosti velká, tj. existují-li a, b ∈ R, a < b tak, že je λ ∗ { x ∈ G ; f (x) ≤ a } ∪ { x ∈ G ; f (x) ≥ b } > 0 , (20) kde λ ∗ je vnitřní Lebesgueova míra, která je zde užita vzhledem k neměřitelnosti nespojitých α-lineárních funkcí na G.
4 Harmonické funkce 4.1 Základní vlastnosti. Vraťme se k rovnici (7) nebo až k rovnici (1). Obě vyjadřují hodnotu funkce v nějakém bodě x definičního oboru jako aritmetický průměr jejích hodnot v bodech, které jsou v R od bodu x stejně vzdáleny. Při zobecňování do prostorů Rm , m > 1, vyplňují tyto body sféry se středem v bodě x a je jich nekonečně mnoho. Budeme se zabývat pouze případem m = 2 a užívat označení z = [ x, y ], i když řadu úvah lze bez obtíží provádět v prostoru Rm , m ∈ N. Spojitou funkci v R2 lze integrovat na každé kružnici vzhledem k „normalizované délce oblouku a zkoumat tak spojité funkce, pro něž je
1 f (z) = L(f ; z, r) := f (t) dλ(t) . (21) 2πr Zde je r poloměr uvažované kružnice a faktor 1/(2πr) délkovou míru normalizuje. Podobně lze pracovat i s obsahovými průměry a zkoumat (spojité či obecnější) funkce, pro které je
1 f (z) = A(f ; z, r) := 2 f (u) dμ(u) , (21’) πr kde μ je Lebesgueova dvourozměrná míra na kruhu B(z, r) := {u ∈ R2 ; dist(z, u) < r} ; faktor 1/(πr 2 ) má opět normalizační charakter. Funkce spojité na R2 , které vyhovují podmínce (21) nebo (21’) pro každé z ∈ R2 a každé r > 0, se nazývají harmonické funkce. Je známo, že tyto funkce lze charakterizovat nejen jako funkce s vlastností průměru (21) či (21’), ale též jako spojitá řešení tzv. Laplaceovy diferenciální rovnice ∂2 ∂2 Lf (z) := (22) + 2 f (z) = 0 . 2 ∂x ∂y
42
Rovnost (22) říká, že součet druhých parciálních derivací funkce f je v každém bodě z ∈ R2 roven 0. 23 Čtenář by si měl uvědomit, že v R se tato rovnice redukuje na jednoduchou diferenciální rovnici y = 0 a že tudy vede i jednoduchá cesta ke zobecnění do prostorů vyšší dimenze (stejně tak lze lehce zobecňovat do vyšší dimenze přes „průměrové vlastnosti (21) nebo (21’)). V prostoru R2 jsou však harmonickými funkcemi nejen funkce lineární, ale i mnoho dalších, např. funkce f1 (z) = ex cos y nebo f2 (z) = ex sin y, které jsou reálnou a imaginární částí funkce ez , z ∈ C. Je přirozené vyšetřovat harmonické funkce na oblasti G, což je otevřená souvislá množina. Podmínky (21) nebo (21’) se pak uvažují pouze pro ta r > 0, pro něž je {u ∈ Rm ; dist(z, u) ≤ r} ⊂ G . Tato r jsou pro dané z ∈ G přípustná. Systém všech funkcí harmonických na G budeme značit H(G). Vlastnosti, které se pro lineární funkce v R jeví jako zřejmé, nejsou zdaleka zřejmé pro harmonické funkce na G ⊂ R2 . Tak např. harmonická nekonstantní funkce na oblasti G nemůže nabývat svého maxima či minima v žádném bodě z G. Toto tvrzení se obvykle nazývá princip maxima. Viz např. [17]. V R je taková funkce rostoucí či klesající v otevřeném intervalu a tvrzení je tedy triviální. Nyní se vrátíme k dalším poznatkům pro případ m = 1. 4.2 Ještě o průměrech. Připomeňme, že spojitá funkce na otevřeném intervalu I je lineární, jestliže pro všechna x ∈ I a všechna přípustná r je (srovnejte se (7)) f (x) =
f (x − r) + f (x + r) . 2
(23)
Dokonce stačí, je-li tato podmínka v každém bodě x ∈ I splněna pro přípustná r = ρk , k ∈ N, pro něž pro každé ε > 0 posloupnost {ρk } (závisící na x !) obsahuje rl < ε. Bude však analogické tvrzení platit v případě, že podmínku průměru analogickou k (21) nebo (21’) budeme mít v každém bodě x k dispozici jen pro jeden či dva přípustné poloměry r ? Nežli se začneme touto otázkou zabývat, uvědomme si, že chceme svázat „lokální a „globální podmínky pro chování funkce. K ověření podmínky (22) v bodě z stačí znát f na jakémkoli okolí z, ve druhém případě jsme vázáni na okolí odpovídající přípustnému(-ým) poloměrům pro z. Technicky to znamená řešit otázku, zda další zmenšení „počtu rovnic povede k ekvivalentním výsledkům. Již jednoduchá pozorování ukazují, že např. funkce 23 Tuto diferenciální rovnici studovali v různých souvislostech již r. 1752 Euler a v letech (1736−1813). Později pak mj. 1760 až 1761 (1749−1827), po kterém je operátor L a celá rovnice v (22) pojmenována. Harmonické funkce, kte(Lord ) (1824−1907) a rým dali toto jméno r. 1879 (1831−1901), se velmi často objevují ve fyzice při popisu stacionárních jevů. Označení ‘harmonické funkce’ se nejprve užívalo jen pro polynomy a kolem r. 1900 se začalo užívat v dnešním pojetí. Vlastnost průměru spojitých řešení Laplaceovy rovnice jako první patrně dokázal r. 1840 (1882−1945). Podrobnosti lze Gauss a to, že je charakterizuje, dokázal r. 1905 nalézt v [31].
43
f (x) = dist(x, N), x ∈ R, nebo funkce g(x) = cos πx, x ∈ R, mají vzhledem ke své periodicitě vlastnost (23) pro všechna r, která jsou přirozenými čísly, a přesto nejsou lineární na R. Pro druhou funkci, ač je nekonečněkrát diferencovatelná, neexistuje žádný interval, na kterém by byla lineární. Problém byl vyřešen v r. 1958. 24 Bylo dokázáno, že pro m ≥ 2 dva poloměry stačí, pokud jejich podíl neleží ve výjimečné množině. Popis této výjimečné množiny je obecně komplikovaný, nás však zajímá jen jednorozměrný případ. Tam touto výjimečnou množinou je množina všech kladných racionálních čísel. To také vysvětluje, proč v uvedeném příkladu existují nelineární spojitá řešení systému FR. Poznamenejme ještě, že Hamelův příklad nespojitých aditivních funkcí ukazuje, že pokud nepředpokládáme spojitost funkce f , existují funkce, které v každém bodě x ∈ (a, b) vyhovují rovnici (23) pro všechna přípustná r > 0 a přesto nejsou lineární. Obraťme se k nyní k „ jednoprůměrovým větám. Nechť je ke každému bodu x z oblasti G ∈ R2 přiřazeno jedno přípustné r =: δ(x). Tážeme se, zda rovnosti f (x) = L(f, x, δ(x)) ,
x ∈ G,
(24)
f (x) = A(f, x, δ(x)) ,
x ∈ G,
(24’)
nebo rovnosti
zaručují, např. za předpokladu spojitosti funkce f , že funkce f je harmonická na G. Nás bude opět nejvíce zajímat případ m = 1, ale bez zajímavosti není obecnější informace pro vyšší dimenzi. I když byl problém patrně znám již dříve, explicitně formulován byl r. 1968. Ve sbírce úloh [27] ho John Edensor Littlewood (1885–1977) popsal takto: . . . Je-li w spojitá na uzávěru D omezené oblasti D, a je-li „jednoprůměrová, tj. je v každém bodě rovna svému průměru přes kružnici opsanou tomuto bodu a ležící spolu se svým vnitřkem v D, pak je w harmonická v D (Kellogg, [21]). Jestliže je w omezená, můžeme připustit i konečný počet výjimečných bodů na hranici. . . . Tak vzniká otázka : Je-li w spojitá na omezené D a má jednoprůměrovou vlastnost, je již w harmonická ? Domnívám se, že odpověď je NE, i když by D byl kruh. Je to obtížný problém, neboť taková funkce závislá pouze na r to být nemůže a nespojitost v jediném bodě hranice to vylučuje také (což eliminuje jeden z přirozených přístupů). . . . Poznamenávám, že kladná odpověď je slabší v případě integrace přes kruh, odpovídající záporná odpověď je příslušně silnější. Poslední poznámka je jednoduchým důsledkem elementární věty o střední hodnotě : Pokud pro spojitou funkci h platí v nějakém bodě z rovnost h(z) = A(h, z, r0 ) pro nějaké r0 > 0, pak existuje 0 < r < r0 , pro něž h(z) = L(h, z, r). Na řešení tohoto obtížného problému se čekalo čtvrt století. Dnes jsou známy např. případy, kdy δ-harmonicita s „plošnými průměry (A(f, z, δ(z)) = f (z)) 24
Výsledky, pocházející od (1903−1968) z [11], byly po jistou dobu považovány za kuriozitu. Viz [40]. Srovnejte též s [13].
44
spolu s jistými dodatečnými podmínkami zaručují harmonicitu f . Na druhé straně se potvrdila Littlewoodova domněnka, že pouze „sférická průměrová vlastnost (f (z) = L(f, z, δ(z)) i při spojitosti f harmonicitu nezaručuje. 25 Nás však zajímá v této souvislosti pouze jednodimenzionální případ. 4.3 Dirichletova úloha. Nežli postoupíme dále, připomeňme tzv. Dirichletovu úlohu. Ta spočívá pro danou omezenou oblast G v R2 v určení spojité funkce na uzávěru G oblasti G tak, aby na hranici ∂G splývala s předem danou spojitou funkcí g a aby její zúžení na G leželo v H(G). U oblastí s jednoduchou hranicí (např. hladkou) je to vždy možné. V R je situace obzvlášť jednoduchá. Oblastí G je interval a jeho hranicí je množina jeho koncových bodů. Pokud předepíšeme hodnotu funkce g v těchto bodech, je řešením Dirichletovy úlohy pro G lineární funkce, která nabývá v koncových bodech G těchže hodnot jako g. V souvislosti s příklady uvedenými ve spojitosti s Delsartovým výsledkem by se mohlo zdát, že by existence nelineárních funkcí mohla spočívat v neomezenosti oboru či s tím, že δ je uvnitř vyšetřovaného intervalu „velmi malá . Začněme s omezeným intervalem (a, b). Přiřaďme každému x ∈ (a, b) číslo rx , pro něž je a < x − rx < x < x + rx < b. Tážeme se, zda existuje spojitá funkce f a (kladná) funkce rx , x ∈ (a, b), taková, že f (x − rx ) + f (x + rx ) , x ∈ (a, b) , (25) 2 není lineární funkce. Pokud nepřidáme další podmínku, je odpověď kladná a nepomůže ani dodatečný předpoklad omezenosti funkce. f 26 f (x) =
Je-li F primitivní funkce k f na (a, b), tj. F = f , a jestliže (25) nahradíme vztahem F (x + rx ) − F (x − rx ) f (x) = , x ∈ (a, b) , (25’) 2rx a předpokládáme, že existují obě jednostranné konečné limity limx→b− F (x) a limx→a+ F (x), pak je již f nutně lineární funkce. Viz opět [19]. Na pravé straně v (25’) je jednorozměrný analog průměru v (21’) a toto tvrzení má ještě starší kořeny. 27 Klíčovou roli v něm hraje následující již dříve zmíněný princip maxima. 25
K částečným výsledkům přispěla celá plejáda matematiků, řešení podali r. 1994 (*1940) a (*1955), kteří dokázali, že existuje spojitá (dokonce nekonečně krát differencovatelná) funkce f na otevřeném jednotkovém kruhu v R2 s průměrovou funkcí δ(z), 0 < δ(z) < 1 − z, která vyhovuje podmínce L(f, z, δ(z)) = f (z) a která není harmonická. Obecnějšímu problému, kdy jsou δ-harmonické funkce zároveň již harmonické, se věnovali v celé sérii článků, jejichž výsledky se nebudeme zabývat. 26 Tento výsledek pochází z r. 1954. Viz [19]. Odpovídající ’zigzag’ protipříklad je popsán i v monogragii [9] z r. 1966, kde je připisován M. Schiffmanovi. Kniha [9] je anglickým překladem podstatně přepracovaného vydání díla, které vyšlo v Die Grundlehren der mathematische Wissenschaften. Poznamenejme, že 1. díl této části vyšel r. 1924 a 2. díl r. 1937; jako autor se u přepracovaného 2. dílu někdy uvádí Richard Courant. 27 Již r. 1909 (1883−1917) dokázal, že měřitelná funkce f splňující v oblasti G podmínku průměru typu (21) pro všechna přípustná r splňuje i podmínku typu (21’) pro všechna přípustná r a je tedy spojitá a harmonická.
45
Je-li f spojitá na uzávěru G omezené oblasti G ⊂ Rm , kde m = 1 nebo m = 2, a δ-harmonická v G, nabývá svého maxima na hranici ∂G. Přibližme si základní myšlenku důkazu. Množina, na níž funkce f nabývá maxima, je uzavřená. Pokud by celá ležela v G, obsahovala by bod z0 , ve kterém by vzdálenost dist(z0 , ∂G) nabývala svého kladného minima. Odtud se odvodí spor, neboť stejné hodnoty by musela vzhledem k podmínce průměru nabývat f i v nějakém bodě se vzdáleností od hranice ještě menší. To se např. v R využije tak, že od f odečteme lineární funkci g, která v krajních bodech G nabývá stejných hodnot jako f . Protože rozdíl f − g je rovněž spojitá δ-harmonická funkce, na kterou můžeme aplikovat princip maxima, dostaneme odsud již snadno f −g = 0. Stojí za to si povšimnout, že celou úvahu lze snadno provést pro průměry typu (21) nebo (21’) a také převést i do prostorů vyšší dimenze. 28 Je ještě jeden důvod, pro který jsme podnikli malou exkurzi do teorie harmonických funkcí. Jestliže zvolíme pevně n ∈ N a budeme se zabývat v rovině R2 jednoduchými FR, budou přirozenými kandidáty na vyšetřování funkce f , které budou v každém bodě z ∈ R2 aritmetickým průměrem hodnot funkce f ve vrcholech všech pravidelných n-úhelníků se středem z. Je známo, že řešeními takového systému FR jsou harmonické polynomy ve dvou proměnných. Jako jeden z jednodušších výsledků uvedeme tento: Jestliže je v R2 spojitá funkce f v každém bodě z ∈ R2 průměrem hodnot ve vrcholech každého čtverce se středem z a se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami, pak je f harmonickým polynomem stupně nejvýše čtvrtého. Viz [4]. 29 4.3 Závěrečná poznámka. Předchozí text je jenom výřezem z historie funkcionálních rovnic. Vědomě jsme tak pominuli mnoho souvisejících výsledků a zájemce odkazujeme na citované monografie [2] a [20]. Tak např. v souvislosti s řešením diferenciálních rovnic studoval Euler tzv. homogenní funkce. Je-li dáno γ ∈ R, pak rovnice f (t x, t y) = tγ f (x, y) ,
x, y, t ∈ (0, ∞)
(26)
se nazývá Eulerovou rovnicí a funkce, které jí vyhovují, nazýváme homogenními funkcemi stupně γ. Jsou to tedy např. funkce x+y 2
(γ = 1) ,
x y
(γ = 0) ,
28
x2 + 4y 2 − 2xy
(γ = 2) .
Tvrzení, které jsme dokázali, pochází z r. 1909 od (1860−1940). Viz (1875−1932). Od něj též pochází [38]. R. 1912 Volterrův důkaz zjednodušil důkazový princip, postavený na triku „nejbližšího bodu. Poznamenejme ještě, že na postupném průměrování, kde fk (z) = A(fk−1 , z, δ(z)), f0 = f , lze založit metody k řešení Dirichletovy úlohy. (1875−1941) to dokázal v r. 1912 pro δ(z) = dist(z, ∂G). Za funkci f0 zvolíme libovolné spojité rozšíření funkce g spojité na ∂G „dovnitř, tj. spojitou funkci na G, a pak řešením Dirichletovy úlohy pro omezenou oblast G a podmínku g je f := limk→∞ fk . Viz [25]. 29 Stačí předpokládat daleko méně než globální spojitost, např. omezenost řešení na množině kladné dvourozměrné míry. Pomocí aditivních funkcí je popsána i celá struktura nespojitých řešení systému FR a jsou řešeny i případy průměrů obecnější povahy (případ pravidelných n-úhelníků).
46
Vzniká otázka, zda lze popsat všechny homomogenní funkce pro daný stupeň γ. Pro řešení tohoto problému položme t = x−1 a dostaneme z (26) rovnici y . f (x, y) = xγ f 1, x Odtud vidíme, že existuje vzájemná jednoznačná korespondence mezi funkcemi g, definovanými na intervalu (0, ∞) a homogenními funkcemi, kterou popisuje vztah x f (x, y) = xk g . y Uvažujme nyní obecnější rovnici f (tx, ty) = h(t) · f (x, y) ,
x, y, t ∈ (0, ∞) .
(27)
Položme f ((tu) x, (tu) y) = h(t) · f (t(ux), t(uy)) ,
x, y, t, u ∈ (0, ∞) ,
a upravujme f ((tu) x, (tu) y) = h(tu) · f (x, y) , f (t(ux), t(uy)) = h(t) · f (ux, uy) = h(t) h(u) · f (x, y) . Z nalezeného vztahu je patrno, že h vyhovuje zbývající Cauchyho rovnici (té, kterou jsme v předchozím textu zcela pominuli) : h(tu) = h(t) · h(u),
t, u ∈ (0, ∞) .
Není bez zajímavosti (viz [20]), že pro všechna n ∈ N jsou s Cauchyho rovnicí ekvivalentní FR f (x + y) n = f (x) + f (y) n . Avšak mnohem zajímavější jsou pro nás FR, které zobecňují Cauchyho rovnice. 30 f (x + y) = g(x) + h(y) , f (x + y) = g(x) · h(y) , f (x · y) = g(x) · h(y) , f (x · y) = g(x) + h(y) ,
x, y ∈ R , x, y ∈ R , x, y ∈ (0, ∞) , x, y ∈ (0, ∞) .
Tyto rovnice lze chytrým jednoduchým trikem redukovat na Cauchyho rovnice. Ukažme to velice stručně na příkladu rovnice (A). 30 Tyto rovnice studoval r. 1903 (1874−1914), kterému je věnována jedna z publikací edice Dějiny matematiky (viz [7]). Tento svazek vyšel i v anglické verzi. V něm čtenář nalezne řadu dalších informací.
47
V rovnici f (x + y) = g(x) + h(y) ,
x, y ∈ R ,
(28)
položme f (t) = ϕ(t) + a + b ,
g(t) = ϕ(t) + a ,
h(t) = ϕ(t) + b ,
takže dostaneme rovnost (ϕ(x + y) + a + b) = (ϕ(x) + a) + (ϕ(y) + b) . Odtud vidíme, že ϕ vyhovuje Cauchyho rovnici (A) pro aditivní funkce. Například pro spojité funkce f , g, h, dostaneme ϕ(t) = ϕ(1) t a f (t) = ϕ(1) t + a + b ,
g(t) = ϕ(1) t + a ,
h(t) = ϕ(1) t + b ,
kde f (0) = a + b, g(0) = a a h(0) = b. Bez širších souvislostí by se mohly jevit některé popisované problémy jako příliš elementární a samoúčelné. Některé se zrodily přímo ve vícerozměrné verzi a my jsme je pouze zúžili na jednorozměrný případ. Doufám, že se mi uvedenými jednoduchými příklady podařilo čtenáře přesvědčit, že FR tvoří elegantní partii matematiky s mnoha užitečnými souvislostmi a že tato partie nepostrádá kromě elegance i jistou krásu. Literatura [1]
Aczél J. : Ein Blick auf Funktionalgleichungen und ihre Anwendungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1962.
[2]
Aczél J. : Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, New York and London, 1966.
[3]
Aczél J. : On history, applications and theory of functional equations, Functional Equations: History, Applications and Theory, D. Reidel, Dordrecht – Boston – Lancaster, 1984.
[4]
Aczél J., Haruki H., McKiernan M. A., Sakovič G. N. : General and regular solutions of functional equations characterizing harmonic polynomials, Aequationes Mathematicae 1 (1968), 37–53.
[5]
Artin E. : Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig – Berlin, 1931.
[6]
Beckenbach E. F. : Convex functions, Bulletin of the American Mathematical Society 54 (1948), 439–460.
[7]
Bečvář J., Slavík, A. (ed.) : Jan Vilém Pexider 1874–1914, Dějiny matematiky 5, Prometheus, Praha, 1997 (anglická verze : History of Mathematics 38, Matfyzpress, Prague, 2009).
[8]
Cauchy L. A. : Course d’analyse de l’École Royal Polytechnique, Paris, 1821.
[9]
Courant R., Hilbert D. : Mathematical methods of Physics, vol. II, Interscience Pub., New York, 1966.
48
[10]
Deák E. : Über konvexe und interne Funktionen, sowie eine gemeinsame Verallgemeinerung von beiden, Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae Sectio Mathematica 5 (1962), 109–154.
[11]
Delsarte J. : Note sur une propriété nouvelle des fonctions harmoniques, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris 246 (1958), 1358–1360.
[12]
Edwards C. H. : The historical development of the calculus, Springer, New York, 1979.
[13]
Flatto L. : The converse of Gauss’s theorem for harmonic functions, Journal of Differential Equations 1 (1965), 483–490.
[14]
Green J. W., Gustin W. : Quasiconvex sets, Canadian Journal of Mathematics 2 (1950), 489–507.
[15]
Hamel G. : Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichungen f (x + y) = f (x) + f (y), Mathematische Annalen 60 (1905), 459–462.
[16]
Hansen W. : Littlewood’s one-circle problem, revisited, Expositiones Mathematicae 26 (2008), 365–374.
[17]
Helms L. L. : Introduction to potential theory, Wiley-Interscience, New York – London, 1969.
[18]
Huckemann F. : On the ‘one circle’ problem for harmonic functions, Journal of the London Mathematical Society (2) 29 (1954), 491–497.
[19]
Jensen J. J. W. V. : Sur les fonctions convexws et les inégalités entre les valeurs moyennes, Acta Mathematica 30 (1905), 175–191.
[20]
Kannappan P. : Functional equations and inequalities with applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York, 2009.
[21]
Kellogg O. D. : Converses of Gauss’s theorem on the arithmetic mean, Transactions of the American Mathematical Society 36 (1934), 227–242.
[22]
Kirschner S. : Nicole Oresme, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/archives/fall2009/entries/nicole-oresme/, 2009, Fall 2009.
[23]
Kuczma M. : An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, Cauchy’s Equation and Jensen’s Inequality, P. W. N, Uniwersytet Slaski, Warszawa – Kraków – Katowice, 1985.
[24]
Laugwitz D., Rodewald B. : Auf Eulers Spuren zur Gammafunktion, Mathematische Semesterberichte 33 (1986), 201–212.
[25]
Lebesgue H. : Sur le probl` eme de Dirichlet, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris 154 (1912), 335–337.
[26]
Levi E. E. : Sopra una proprieta caratteristica delle funzioni armoniche, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma), Ser. 5, 181 (1909), 10–15.
[27]
Littlewood J. E. : Some problems in real and complex analysis, D. C. Heath and Co. Raytheon Education Co., Lexington, Massachusetts, 1968.
[28]
Matkowski J., Rätz J. : Convex functions with respect to an arbitrary mean. General inequalities, 7 (Oberwolfach, 1995), Internat. Ser. Numer. Math., vol. 123, Birkhäuser, Basel, 1997, 249–258.
[29]
Matkowski J. : Generalized convex functions and a solution of a problem of Zs. Páles, Publicationes Mathematicae Debrecen 73 (2008), no. 3-4, 421–460.
[30]
Netuka I. : Harmonické funkce a věty o průměru, Časopis pro pěstování matematiky 100 (1975), 391–409.
49
[31]
Netuka I., Veselý J. : Mean Value Property and Harmonic Functions, Classical and Modern Potential Theory and Applications, NATO ASI Series, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994, 359–398.
[32]
Neuman F. : Funkcionální rovnice, SNTL, Praha, 1986.
[33]
Small C. G. : Functional equations and how to solve them, Problem Books in Mathematics, Springer, New York, 2007.
[34]
Smítal J. : O funkciách a funkcionálnych rovniciach, Alfa, Bratislava, 1984.
[35]
Trojovský P., Veselý J. : Vytvořující funkce, Pokroky matematiky fyziky a astronomie 45 (2000), 7–35.
[36]
Veselý J. : Základy matematické analýzy (ve dvou dílech), Matfyzpress, Praha, 2004 a 2009.
[37]
Veselý J. : Existuje královská cesta k exponenciále a logaritmu ?, Učitel matematiky 4 (1996), 65–80 (č. 2) a 129–145 (č. 3).
[38]
Volterra V. : Alcune osservazioni sopra proprietà atte ad individuare una funzione, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma), Ser. 5, 18 (1909), 263–266.
[39]
Walter W. : Analysis, Springer-Lehrbuch, Springer, Berlin, 1992.
[40]
Zalcman L. : Offbeat integral geometry, American Mathematical Monthly 87 (1980), 161–175.
Adresa Doc. RNDr. Jiří Veselý, CSc. Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 – Karlín e-mail:
[email protected]ff.cuni.cz
50
MATEMATYKA NA ZIEMIACH POLSKI W EPOCE OĝWIECENIA WITOLD WIĉSŁAW Abstract: We are going to present the state and development of mathematical sciences on Polish territories in the years 1740–1832, i.e. in the time of Enlightenment in Poland. After a cassation of Jesuits in 1773, the Commission of National Education – a first Ministry of Education in the World – had organized a new educational system in Poland, based on new programs, new teachers and new textbooks in Polish. Reforms of education in schools and universities are to be discussed, including the most important, reform of the Commission of National Education (KEN), based on Educational Laws (1783). Reforms of KEN implied higher level of mathematics in Poland, in particular in the Main Schools (Cracow and Vilna). After decline of Poland in 1795, Polish Universities in Cracow and in Vilna still were working. New parts of mathematics had appeared in university programs. Warsaw University was founded in the year 1816, closed after November uprising in 1831. Polish mathematicians started to publish their papers in international journals. Owing to the high level of education, including mathematics, started by the Commission of National Education, Polish nation saved his identity during 123 years of the slavery.
0 WstĊp Stan matematyki w I połowie XVIII nie przedstawiał siĊ najlepiej. W szkołach nauczano matematyki w bardzo ograniczonym zakresie. Nacisk kładziono raczej na przedmioty humanistyczne, w tym naukĊ łaciny. Kolegia jezuickie, a tych była wiĊkszoĞü, matematykĊ traktowały w sposób elastyczny, stosownie do zaleceĔ w przepisach Ratio Studiorum (1599), normujących funkcjonowanie tych szkół. Podobne rzecz siĊ miała na uniwersytetach, w Akademii Krakowskiej i Akademii Jezuickiej w Wilnie. Kasata zakonu jezuitów w roku 1773 wymusiła koniecznoĞü przeprowadzenia reform szkolnictwa. Zreorganizowano je w sposób jednolity w skali całego kraju, przeprowadzając reformĊ całego szkolnictwa, w tym uniwersytetów. Wprowadzono pierwsze w Ğwiecie ministerstwo edukacji zwane Komisją Edukacji Narodowej (w skrócie: KEN). Kierowało ono całym szkolnictwem w oparciu o UstawĊ Edukacyjną z roku 1783. W oparciu o UstawĊ wprowadzono jednolite programy nauczania, dostosowując do nich odpowiednie podrĊczniki, na które ogłoszono konkursy. Nauczanie miało siĊ odbywaü po polsku, a sprawami programów i podrĊczników miała siĊ zajmowaü specjalna agenda, Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych, kierowane przez ksiĊdza Grzegorza Piramowicza. Reformie poddano teĪ uniwersytety. Niestety, skuteczne reformy przerwał ostatecznie upadek paĔstwa polskiego wraz z trzecim rozbiorem w 1795 roku. Jednak zmiany w nauczaniu pozostały, nie zmienili ich zaborcy w początkowym okresie. Rosja i Prusy, wzorując siĊ na modelu KEN, przeprowadziły podobne reformy do polskich. DziĊki aktywnoĞci Jana ĝniadeckiego, zarówno na Sejmie rozbiorowym w Grodnie (1793), jak i póĨniej, w wyniku wizyty w Wiedniu u cesarza Austrii (1797), zaborcy nie zlikwidowali polskich uniwersytetw, gwarantując ich istnienie poprzez zabezpieczenie odpowiednich kwot na ich egzystencjĊ. Po rozbiorach oba uniwersytety, po krótkim zastoju na przełomie XVIII i XIX wieku, funkcjonowały nie najgorzej. DziĊki odpowiedniej polityce rektora Uniwersytetu WileĔskiego, Jana
51
ĝniadeckiego (w latach 1807–1815), Cesarski Uniwersytet WileĔski stał siĊ czołowym uniwersytetem Rosji aĪ do jego likwidacji w 1832 roku. Reformy i system edukacji w Polsce okazał siĊ byü na tyle trwałym i skutecznym, Īe jeszcze w latach trzydziestych XIX wieku na obrzeĪach dawnej Rzeczpospolitej (Witebsk, Połock, Kamieniec Podolski, Krzemieniec itd.) funkcjonowały polskie szkoły, nauczające po polsku, z polskich podrĊczników, czĊsto w oparciu o ksiąĪki elementarne, tzn. w oparciu o podrĊczniki zatwierdzone i wydane przez Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych, albo w oparciu o inne ksiąĪki polskojĊzyczne. Poziom obu uniwersytetów, w Krakowie i w Wilnie, nie odbiegał w tym czasie, ani w zakresie programów nauczania, ani teĪ w zakresie oferty dla studiujących, od innych uniwersytetów w Europie Ğrodkowej (Dorpat, Królewiec, Berlin, Praga), niekiedy znacznie przewyĪszając reprezentowany tam poziom. Na naszych uniwersytetach brakowało jednak twórczo pracujących matematyków, którzy czasami (choü nie tak czĊsto, jak dziĞ) trafiali siĊ na innych uczelniach. Po prostu w tamtych czasach profesor miał nauczaü matematyki, a nie tworzyü ją. Twórcami bywali tylko nieliczni. System szkolnictwa KEN z pewnoĞcią dopomógł Polakom w utrzymaniu toĪsamoĞci narodowej przez cały okres zaborów, tzn. aĪ do odzyskania niepodległoĞci po I wojnie Ğwiatowej, tzn. do 1918 roku. W omawianym okresu polskie uniwersytety funkcjonowały pod róĪnymi nazwami. Uniwersytet w Krakowie funkcjonował wtedy jako: 1. Akademia Krakowska (Academia Cracoviensis) do 1773 roku; 2. Szkoła Główna Koronna (1773–1797); 3. Universität Krakau (1797–1809); 4. Uniwersytet JagielloĔski (1809–1830 i póĨniej). Natomiast w tym okresie Uniwersytet WileĔski funkcjonował jako: 1. Akademia WileĔska (Academia Vilnensi Societatis Jesu) do 1773 roku; 2. Szkoła Główna Litewska (1773–1797); 3. Cesarski Uniwersytet WileĔski (1797–1832). W 1816 roku powstał Królewski Uniwersytet Warszawski, który istniał do roku 1831. Został zlikwidowany przez władze rosyjskie po powstaniu listopadowym.
1 Lata 1701–1773 1.1
Szkolnictwo
W tym okresie wiĊkszoĞü szkół (Ğrednich) to były szkoły prowadzone przez jezuitów (66), pijarów (tylko 19) i kilka nielicznych innych szkół (kolonie akademickie czy teĪ szkoły bazylianów). Zakres nauczania matematyki sprowadzał siĊ do elementarnej arytmetyki i fragmentów geometrii elementarnej wg Elementów Euklidesa lub innego dzieła, wzorowanego na Euklidesie.
52
1.1.1
Pijarzy. Collegium Nobilium Stanisława Konarskiego
Pijarzy rozpoczĊli swoją działalnoĞü w Polsce w wieku XVII. Pierwsze kolegium pijarów powstało w Warszawie w roku 1643 z inicjatywy króla Władysława IV. Stanisław Konarski, pijar, po czteroletnich studiach w Rzymie, w latach 1725–1729, zapoznawszy siĊ z systemem nauczania w szkołach zgromadzenia pijarów, postanowił po powrocie do kraju załoĪyü szkołĊ, nauczanie w której chciał oprzeü na najlepszych wzorach zagranicznych. SzkołĊ taką otworzył w Warszawie, w roku 1740. Nazwał ją Collegium Nobilium. Wkrótce model kształcenia młodzieĪy szlacheckiej, wzorowany na szkole Konarskiego i zreformowanym programie nauczania, przejmą jezuici, organizując liczne Collegia Nobilia w całej Rzeczpospolitej. W modelu kształcenia Konarskiego duĪy nacisk połoĪony był na nauki Ğcisłe. Pijarzy przejawiali bardzo duĪą aktywnoĞü w zakresie nauk Ğcisłych. Zachowało siĊ wiele dokumentów związanych z nauczaniem matematyki w szkołach pijarskich po załoĪeniu Collegium Nobilium. W drugiej połowie XVIII wieku, a w szczególnoĞci w okresie reform KEN, pijarzy wydali wiele bardzo dobrych podrĊczników matematyki. CzĊĞü z nich funkcjonowała póĨniej równolegle z podrĊcznikami matematyki Lhuiliera. Niektóre z nich były pod wzglĊdem dydaktycznym wartoĞciowsze od ksiąĪek Lhuiliera, a przede wszystkim od Algebry Lhuiliera, która z wielu wzglĊdów nie była najodpowiedniejszym podrĊcznikiem tego przedmiotu. JuĪ w roku 1742 ukazał siĊ drukiem podrĊcznik matematyki (Jan Kies albo Kiesius, Institutiones Mathematicae). KsiąĪka zawiera wykład arytmetyki, geometrii i szeĞü tablic. Zapewne był to pierwszy podrĊcznik matematyki w Collegium Nobilium Konarskiego. NowoĞcią jest wprowadzenie systemu dwójkowego i czwórkowego. CzĊĞü arytmetyczna zawiera elementy algebry, a wiĊc symbolikĊ literową, proporcje i równania stopnia 1 i 2, przykłady równaĔ liniowych i formalne róĪniczkowanie wielomianów (De Methodo Differentiarum). Zakres geometrii nie odbiega od przyjĊtego w XVIII wieku. Jest to kompendium podstawowych pojĊü planimetrii i stereometrii i trygonometrii płaskiej. W ksiąĪce są piĊkne tablice ryte w miedzi, przedstawiające siatki wieloĞcianów i innych brył. Początkowy program matematyki w Collegium Nobilium moĪna odtworzyü z popisu w roku 1754. Wykłady były jeszcze po łacinie. Wzorowane były na ksiąĪkach Christiana Wolffa, których liczne wydania były w uĪyciu w Europie w XVIII wieku. Rok póĨniej, Bernard Siruü wydał w Rzymie, w roku 1755, zbiór kilku prostych zadaĔ z analizy matematycznej. Jest to pierwszy tekst poĞwiĊcony analizie matematycznej, wydany przez Polaka. Jednak po powrocie do Polski, juĪ jako profesor Szkoły Głównej Litewskiej, nie zajmował siĊ matematyką. Czego naprawdĊ uczono z matematyki w Collegium Nobilium Konarskiego, moĪna dowiedzieü siĊ z rĊkopisów Józefa Mniszecha z lat 1755, 1757 i 1759. Wykładowcą matematyki w latach 1757–1759 był WiĞniowski. Jego wykłady Elementa Philosophiae spisane w trzech tomach przez Mniszecha, obejmowały elementy logiki, elementy astronomii w ujĊciu kopernikaĔskim, elementy mechaniki, optyki itd. W zakres wykładu matematyki wchodziły tradycyjne elementy arytmetyki z początkami algebry (zapis dziesiĊtny, działania na liczbach, symbolika literowa, najprostsze równania, wyciąganie
53
pierwiastków stopnia dwa i trzy), a z geometrii (Compendium Geometriae) podstawowe pojĊcia i twierdzenia planimetrii wraz z elementami stereometrii, obejmującymi bryły obrotowe, przekroje stoĪkowe i podstawowe formuły na obliczanie powierzchni i objĊtoĞci brył. Przytoczony zakres wykładu jest zbliĪony do programu wykładu matematyki Bartscha w Akademii WileĔskiej (1707/1708) z tą jednak róĪnicą, Īe w Collegium Nobilium brakło elementów geometrii analitycznej. Nową jakoĞü stanowią pijarskie podrĊczniki, przede wszystkim arytmetyki i algebry, wydawane w latach siedemdziesiątych XVIII stulecia: Arytmetyka Skaradkiewicza (1766), Geometrya Bystrzyckiego (1769), Nauka Matematyczna Marquarta (1772), Algebra WĊgleĔskiego (1775), Geometrya Skaradkiewicza (1776), Algebra Ustrzyckiego (1778), Jeometrya praktyczna Zaborowskiego (1786), wreszcie Arytmetyka Bielskiego (1793). Na osobną uwagĊ zasługuje Arytmetyka prostacka Sirucia (1777), czyli podrĊcznik arytmetyki dla analfabetów. PodrĊczniki algebry Ustrzyckiego i WĊgleĔskiego, po nieznacznym rozszerzeniu, mogłyby Ğmiało konkurowaü z Algebrą Lhuiliera. Zresztą w raportach wizytatorów KEN moĪna odnaleĨü informacje wskazujące na to, Īe podrĊczniki pijarów były czĊsto w uĪyciu, mimo ustawowego obowiązku posługiwania siĊ ksiąĪkami elementarnymi, tzn. podrĊcznikami wydanymi przez KEN. Szczególnie duĪym powodzeniem cieszyła siĊ Geometrya praktyczna Zaborowskiego. Była po prostu łatwiejsza od ksiąĪek Lhuiliera. Na zakoĔczenie warto odnotowaü, Īe Collegium Nobilium Konarskiego była pierwszą szkołą w Polsce, w której do programu nauczania włączono elementarną algebrĊ. 1.1.2
Szkoła Rycerska
SzkołĊ Rycerską, zwaną teĪ Korpusem Kadetów, utworzył król Stanisław August Poniatowski w roku 1765, lokując ją w Warszawie. Celem było nie tylko kształcenie kadry oficerskiej, lecz takĪe przygotowywanie urzĊdników do słuĪby paĔstwowej. Szkoła przetrwała do roku 1794. Komendantem Szkoły był ksiąĪĊ Adam Czartoryski, który jednak czĊsto spĊdzał wiele czasu poza Warszawą. Korpus zaplanowany był na dwustu słuchaczy. Jednak ich liczba nigdy nie przekroczyła osiemdziesiĊciu. Oprócz słuchaczy stacjonarnych byli kaĪdego roku słuchacze dochodzący z kwater w Warszawie, nie odnotowani w oficjalnych dokumentach Korpusu. Do takich słuchaczy naleĪał np. Karol Hube, syn Michała. Szkoła została zamkniĊta po trzecim rozbiorze. Odegrała ona waĪną rolĊ w historii Polski. Jednym z jej wychowanków był Tadeusz KoĞciuszko. WĞród kadry wykładającej matematykĊ były osoby wybitne. Do takich naleĪeli Christian Pfleiderer1 i Michał Hube. Mniej wybitnym wykładowcą matematyki był Józef 1
Christian Pfleiderer (1736–1821) był od samego początku (tzn. od roku 1775) członkiem Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych aĪ do wyjazdu z Polski, tzn. do roku 1782. Uczestniczył aktywnie w pracach Towarzystwa, recenzując nadesłane prospekty podrĊczników z matematyki i fizyki. Ponadto brał udział w pracach nad ostatecznymi wersjami wszystkich podrĊczników Lhuiliera i ksiąĪki Hubego z fizyki. Na 237 (26. XI 1781) posiedzeniu Towarzystwa powołano zespół w składzie: GawroĔski, Hołłowczyc i Pfleiderer do czytania Algebry Lhuiliera i Fizyki Hubego. Na 248 posiedzeniu Towarzystwa, w dniu 19 lutego 1782, Phleiderer poĪegnał siĊ z Komisją przed wyjazdem na uniwersytet w Tybindze (Tübingen), na którym do koĔca Īycia był profesorem matematyki i fizyki. Jego miejsce w Towarzystwie zajął Simon Lhuilier, którego podrĊczniki zostały juĪ wczeĞniej zatwierdzone lub wydrukowane. Jako matematyk Pfleiderer zajmował siĊ głównie Elementami Euklidesa. (vide: Deduction der Euclidischen Definitionen 2, 3, 5, 7 des V. Buchs der
54
ŁĊski, który wykładał matematykĊ w Korpusie Kadetów w ostatnich latach jego istnienia. Christian Pfleiderer był profesorem matematyki i fizyki w Szkole Rycerskiej w latach 1766–1782, a w latach 1772–1782 dyrektorem generalnym nauk. Michał Hube był profesorem matematyki w Korpusie i nastĊpcą Pfleiderera na stanowisku dyrektora generalnego nauk w latach 1782–1794. Józef ŁĊski był wychowankiem Pfleiderera. ŁĊski wykładał matematykĊ w Korpusie w latach 1789–1794, tzn. aĪ do jej zamkniĊcia. PoniewaĪ czĊĞü szkolenia i musztra odbywały siĊ w jĊzyku niemieckim, w tym teĪ jĊzyku przygotowano podrĊcznik matematyki. DwujĊzyczny tekst przygotował pijar, ks. de Brochwic Jelinek, prefekt warszawskiego Collegium Nobilium. WstĊp do ksiąĪki podpisany jest przez Kaufmana, o którym niczego nie wiadomo. Nowo powstałe szkoły, Collegium Nobilium Konarskiego i Szkoła Rycerska, pod patronatem króla Stanisława Augusta Poniatowskiego, stworzyły pewien wyłom w starym systemie szkolnictwa polskiego. Stanowiły wzór reform, ale na pełną reformĊ edukacji trzeba było jeszcze poczekaü.
1.2
Uniwersytety
1.2.1
Matematyka w Akademii Krakowskiej przed okresem reform KEN
Niewiele zachowało siĊ dokumentów Ğwiadczących o stanie matematyki w Akademii Krakowskiej przed okresem reform Komisji Edukacji Narodowej, a w szczególnoĞci przed wizytą Hugona Kołłątaja. O stanie Akademii Krakowskiej pisał Hugo Kołłątaj:2 24. SZKOŁA GŁÓWNA KRAKOWSKA
Nie bĊdziemy tu wspominaü, do jakiego stopnia sławy doszła niegdyĞ Szkoła Główna Krakowska w Polszcze i Europie. Te chwalebne dla nauk i umiejĊtnoĞci nie mogą naleĪeü do naszych dziejów. Biorąc ich epokĊ od roku 1750 i rozbierając uwagą czasy ostatnie, przyznaü z Īalem potrzeba, Īe ta sławna niegdyĞ całej Polski szkoła w bardzo lichym znajdowała siĊ stanie. [...] i dalej (loc. cit., s. 58): 26. CO DO UMIEJĉTNOĝCI [...] Matematyka szła przecieĪ lepiej. Algebry wprawdzie nie mieszczono jeszcze
miĊdzy matematyczne nauki, w geometryi jednak trzymano siĊ analisim veterum. Systema Kopernika, choü był uczniem i członkiem tej szkoły, nie było przyjĊte ani w astronomii, ani w fizyce, i nie moĪna siĊ temu dziwiü, bo astronomia nie miała obserwatoryjum, a fizyka zatrudniała siĊ metafizycznymi kwestyjami. Najznakomitszą osobą w matematycznej szkole był Regius astrologus; do niego naleĪał rząd nad tą szkołą, aprobacyja kalendarzów z ich prognostykami, które miały wziĊtoĞü miĊdzy domatorami i gospodarzami. [...]
Elemente, Archiv der reinen und angewandten Mathematik herausgegeben von Carl Friedrich Hindenburg, Heft 7, 1798; Die Scholien zu Buch II der Elemente Euclid’s, Academische Schriften., Stuttgart, 1826). 2 Hugo Kołłątaj, Stan oĞwiecenia w Polsce w ostatnich latach panowania Augusta III (1750-1764). [Reprint: Ossolineum, Wrocław, 1953.]
55
Podstawą materialnego bytu Akademii były stare fundacje i przywileje królewskie na druk kalendarzy. Przywilej taki otrzymała Akademia Krakowska od Augusta II w roku 1714. WczeĞniej takie przywileje otrzymywały osoby prywatne, np. matematyk toruĔski i gdaĔski, Paweł Pater w roku 1703. W oparciu o przywilej wydany Akademii Krakowskiej, Kostkowski wydawał kalendarze w Krakowie.3 Zysk z kalendarzy wspomagał czĊĞciowo AkademiĊ. Stosownie do dokumentu fundacyjnego Akademii Krakowskiej,4 profesorowie prawa mieli otrzymywaü 280 grzywien, a profesorowie filozofii 50 grzywien (!) z Īup wielickich, jednak przez stulecia Akademia tych pieniĊdzy nie potrafiła wyegzekwowaü. W cytowanym dokumencie opisana została sytuacja profesorów matematyki. Kołłątaj (loc. cit.) jako waĪną postaü na Wydziale Filozoficznym Akademii Krakowskiej wymienia Marcina ĝwiątkowskiego. W istniejącej sytuacji finansowej rozwój nauki, a nawet przetrwanie poszczególnych dyscyplin naukowych na uniwersytecie było bardzo utrudnione. Tym niemniej odbywały siĊ róĪne imprezy naukowe, uzyskiwano stopnie naukowe itd. PrzeĞledĨmy na przykładzie wybranych dokumentów, jak to wyglądało w praktyce. Jakub Niegowiecki w oparciu o Almagest Ptolemeusza i korzystając z traktatu Archimedesa O sferze i walcu twierdził, Īe wykonalna jest nie tylko kwadratura koła, ale Īe moĪna skonstruowaü bok kwadratu, którego objĊtoĞü jest równa objĊtoĞci danej kuli, tzn. przestrzenny analogon kwadratury koła. W roku 1759 odnotowano wykłady matematyki Michała Mrugaczewskiego i Adama Jagielskiego5 z 1767. O próbie reform mówiono juĪ w roku 1767. Indeks dysput akademickich z roku 1767 nie wymienia Īadnych tematów z czystej matematyki. Po hasłem Ex Mathesi odnajdujemy jedynie pytania szczegółowe z astronomii, dotyczące układu słonecznego. Z przytoczonych przykładów wynika, ze aktywnoĞü naukowa matematyków w Akademii Krakowskiej w XVIII stuleciu, przed pierwszymi reformami akademii, była bardzo ograniczona. W tych czasach nie było, co prawda, wymogu pracy twórczej, a nawet bywało to Ĩle widziane. Tym niemniej, było gorzej, niĪ Ĩle. Zachował siĊ spis profesorów z roku 1774 i opis sytuacji uczelni w tymĪe roku. Na Wydziale Filozoficznym było niewiele wykładów. Oto lista: Facultas Philosophica cum suis Praelectionibus. Magistri Collegiati. [...] M. Adamus Jagielski Phiae Dr & Regius Matheseos Pr, Geometra Juratus, praeligit Trigonometriam Planam & Sphericam horâ 8vâ in Lectorio Ptolomaei. 3
Jerzy Grzegorz Kostkowski, Kalendarz polski i ruski, Kraków 1710. Na rok PaĔski 1716. Przywilej królewski wystawiony był imiennie na Kostkowskiego: Augustus II, Dei gratia rex Poloniae [...] clarissimi magistri Georgii Gregorii Kostowski, artium liberalium et philosophiae doctoris Collegae Minoris, ordinarii et privilegiati mathematici Nostri imprimere [...]. 4 Kazimierza Wielkiego Dyplom ZałoĪenia Uniwersytetu, 1364, dnia 12 maja, w Krakowie (w: Alamanach Jubileuszowy Uniwersytetu JagielloĔskiego z Kalendarzem na lata 1900 i 1901). 5 AUJ rks 1, s. 700: Cursus Mathematicus Michaeli Mrugaczewski 1759. s. 856: Convocatio 3tio Anno DĔi 1766. die 5. Februarii celebrata est convocatio Universitatis et extradita 3tio. ad deferendum Consilium de extraneo Algebraista, modoque Adamus Jagielski Phil. Dr Matheseos Professor Collego Minor.
56
M. Josephus Szabel Phiae Dr & Matheseos Pr, Geometra Juratus, praeligit Geographiam Theoreticam horâ 7mâ matutina in Lectorio Ptolomaei. M. Franciscus Matawowski Phiae Dr, Matheseos Pr, Geometra Juratus, praeligit Philosophiam Eclecticam horâ 8vâ in Lectorio Aristotelis. M. Andreas Znaczekski Phiae Dr, Matheseos Pr, praeligit Geometriam Theoreticam horâ 2dâ in Lectorio Ptolomaei. M. Nepomuceni Gaworski Phiae Dr, Matheseos Pr, Geometra Juratus, praeligit Architecturam Militarem et Civilem horâ 1mâ in Lectorio Ptolomaei. Professores Extranei Cracoviae Legentes. M. Josephus Meyzel Phiae Dr, Matheseos Pr, praeligit Hydrostaticam horâ 4tâ in Lectorio Ptolomaei [...] M. Sebastianus Czaputowicz Phiae Dr & Pr, praeligit Arithmeticam Vulgarem in integris et fractis horâ 1mâ in Lectorio Aristotelis. M. Stanislaus Kruszynski Phiae Dr, Matheseos Pr, praeligit Tabulas Cassini supputandorum motuum Caelestium, horâ 4tâ in Lectorio Aristotelis. [...]
VV. Philosophiae Baccalaurei. V. Antonius Muszynski [...] V. Felix Radwanski [...] V. Joannes Sniadecki [...] V. Johannes Selbierakowski. [...] Pierwsi trzej bakałarze związani bĊdą z Akademia przez wiele lat, RadwaĔski odegra waĪną rolĊ w historii tego uniwersytetu, a ĝniadecki w historii obu szkół głównych. Spróbujmy teraz oceniü poziom nauczania matematyki. W Bibliotece JagielloĔskiej zachował siĊ rĊkopis matematyczny z XVIII wieku, zapewne z pierwszej jego połowy. PoniewaĪ nie ma proweniencji tego dokumentu, wiĊc moĪna podejrzewaü, Īe rĊkopis ten zawsze był w Akademii Krakowskiej. RĊkopis składa siĊ z 19 zeszytów i zawiera elementy matematyki i obszerny wykład fizyki (239 s.). Notatki prowadzone były przez kilka lat i niektóre hasła powtarzają siĊ. Classis 1ma Scientiarum Mathematicarum: Arithmetica, Geometria, Trigonometriam et Algebram Complectens PARS 1ma ARITHMETICA, Caput 1mum. De 5 Speciebus Numerorum. (s. 1–16) In Physicam (s. 1–239) Classis 1ma Scientiarum Mathematicarum: Tractatus 1mus Arithmeticae Decimali Correspondens (24 s.) Tractatus II Geoemetriae Theoricae repondens (23 k.) Classis 1ma Scientiarum Mathematicarum: De Speciebus Numerorum Integram (14 k.) De Numeris Fractis Classis 1ma Scientiarum Mathematicarum: Pars 2 Geometria (8 s.) D.O.M. In Analysin Speciosam Caput 1mum. Preliminaria Algebrae: Algebra est Arithmetica Literalis Caput 2m. De Algorithmis seu suis operationibus Calculi Litteralis.
57
WyłoĪona jest krótko (10 s.) elementarna arytmetyka, w tym działania na liczbach w systemie dziesiĊtnym (De Logistica Decimali). Dołączona jest tabliczka mnoĪenia 9×9 (Abacus Pythagoricus) i ułamki (De Numeris Fractis). Ponadto omówione jest potĊgowanie i pierwiastkowanie liczb (pierwiastki stopnia 2 i 3),oraz proporcje. Wykład geometrii zawiera informacje o trójkątach prosto– i krzywoliniowych, o gnomonie i najprostsze konstrukcje geometryczne (połowienie kąta, konstrukcja trójkąta o danych bokach); ponadto mierzenie wysokoĞci i twierdzenie Pitagorasa. W czĊĞci algebraicznej wprowadzona jest symbolika algebraiczna, w tym symbole nierównoĞci (< , >), wzór dwumienny dla kwadratu i szeĞcianu, działania na wielomianach, najprostsze ułamki i zapis potĊg, np. a3. Taki materiał mógłby z powodzeniem byü wykładany w II połowie XVII wieku. Nauczanie matematyki w Akademii Krakowskiej w 1774 roku obejmowało: In Ima Classe. Arithmetica (Logistica. Decimalis). Geometria Theorica. Trigonometria (Plana. Sphaerica). Algebra. In 2da Classe. Mechanica, Statica, Hydrostatica, Aerometria, Hydraulica. In 3tia Classe. Optica, Perspectiva, Catoptrica, Dioptrica, Astronomia (Sphaerica, Theoretica). In 4ta Classe. Geographia, Hydrographia, Chronologia, Gnomonica. Architectura (Militaris, Civilis). Cztery lata póĨniej, w czasie wizytacji Hugona Kołłątaja, zakres nauk matematycznych nie uległ zmianie. Szkolnictwo znajdowało siĊ w kryzysie i wymagało pilnych reform. O tym okresie Kołłątaj tak pisał: Matematyka w tej Akademii znaü, Īe niegdyĞ dobrze ułoĪona była. KóĪda jej czĊĞü jeszcze ma swoją osobną lekcją, a co w innych akademiach bardzo trudno. Arytmetyka, algebra,6 geometria, geografia, astronomia, mechanika, hydraulika, architektury obydwie i pierrobolika porządnie co półroczne wszystkie dawane bywają z jakimkolwiek dla aplikujących siĊ poĪytkiem, ale dla niedostatku instrumentów i obserwatorium, jako teĪ, Īe Īadna nadgroda do tej umiejĊtnoĞci akademików nie wiąĪe, pochodzi stąd, Īe akademicy mniej uĪytecznych chwytają siĊ czĊĞci, a czĊsto zamiast matematyków przestają na tem, Īe siĊ kalendarznikami stają albo w geometrii praktycznej najwiĊcej üwiczą siĊ. [...] W roku 1776, Kołłątaj planował zmiany w wykładzie nauk Ğcisłych, w tym matematyki. W jego notatkach z 1776 roku czytamy m. in.: Matematyka dziĞ w Akademii na cztery dzieli siĊ klassy, y czterech ma Professorów [po czym przytacza program z 1774 roku]. [...] Podział ten iest dobry, utrzymaü go naleĪy, oprócz Īe z Czwartey Klassy ArchitekturĊ Cywilną odesłaü moĪna do piĊknych sztuk. Nad te cztery Lekcye iest ieszcze w Akademii Geometria Praktyczna; y tĊ zachowaü naleĪy, a dla poĪytku rzemiosł, przystałoby, aby Lekcya Mechaniki co ĝwiĊto dawana była w iĊzyku Polskim. Takowa Mechanika powinna bydĨ obfita w róĪne poĪyteczne
6
Tu Kołłątaj siĊ pomylił: algebry, choüby w szczątkowej postaci, jeszcze nie wykładano.
58
modele, y Professor przychylaü siĊ do tych experymentów, ktore w zaĪyciu byłyby nayłatwieysze, a w wykonaniu nayproĞcieysze. Potrzebne takĪe iest iak naywygodnieysze Obserwatorium, ktoreby słuĪyło nie tylko dla układania Experymentów Matematycznych, ale takĪe dla praktyki Uczniów. Takowe Obserwatorium trzeba wystawiü, y dobremi insrumentami podług myĞli Matematyki opatrzyü. NaukĊ o Chandlu [!] iako zasadzaiącą siĊ na proporcyach y Arytmetyce, do Matematyki przyłączam. Professor tey nauki powinien znaü Kombierstwo, Chandel Zagraniczny, Stan Chandlu Kraiowego y Reprodukcją Kraiową. [...] Nie lepiej wygląda ksiąĪkowa wersja wykładu matematyki w Akademii Krakowskiej. DwujĊzyczny (polsko-łaciĔski) podrĊcznik arytmetyki Dla Młodzi uczącey siĊ W AKADEMII KRAKOWSKIEY moĪna porównaü pod wzglĊdem treĞci i jĊzyka tylko z gorszymi podrĊcznikami arytmetyki z XVII wieku. Tekst składa siĊ z pytaĔ i odpowiedzi w rodzaju: WiĊkszoĞü polskich terminów zaczerpniĊto z Geometry Polskiego Stanisława Solskiego (Zabawa XIV): cyfra to zero; jednoü to jedynka; mnoĪąca to czynnik itd. KsiąĪkĊ napisano zapewne znacznie wczeĞniej, ale ukazała siĊ w pierwszym roku reform. Jak widaü, reforma Akademii Krakowskiej nie przełoĪyła siĊ od razu na programy i zakres wykładów, bo nie mogła siĊ przełoĪyü. Na nienajlepszy stan nauk matematycznych wskazuje teĪ brak prywatnych wykładów z matematyki. Tradycją uniwersytetów europejskich, zapoczątkowaną w Getyndze w XVIII wieku, były tzw. wykłady prywatne. Odbywały siĊ one odpłatnie dla zainteresowanych studentów i były corocznie ogłaszane. Wykłady prywatne dały początek seminariom naukowym. W roku 1774 nie było wykładów prywatnych z nauk matematycznych. MoĪna przypuszczaü, Īe we wczeĞniejszych latach było podobnie. Mimo zapowiedzianych reform, w dalszym ciągu wykładano matematykĊ według kanonu z początku XVIII wieku. Wykład czĊĞci matematycznej oparty jest na Ĩródłach z XVII wieku i wczeĞniejszych. Wynika to stąd, Īe brak jakiejkolwiek symboliki algebraicznej, formuły matematyczne wyraĪane są słownie. Definicje funkcji trygonometrycznych są takie jak u Bartłomieja Pitiscusa z koĔca XVI wieku, mimo, Īe od czasów Newtona posługiwano siĊ wyraĪeniami analitycznymi. Standardowe zagadnienia to podział figur płaskich lub na prostsze figury o równych polach i analogiczne zagadnienie w przestrzeni: konstruowanie brył o objĊtoĞci równej innym danym bryłom poprzez róĪne konstrukcje przybliĪone. Konstrukcje takie są tylko opisane, bez jakiegokolwiek uzasadnienia, czy teĪ obliczeĔ. Po przeanalizowaniu całego tekstu moĪna odnieĞü wraĪenie, Īe wykładowca dysponował notatkami z wykładu matematyki z XVII wieku i odtwarzał je wiernie na wykładach, co było kanonem od powstania Akademii Krakowskiej. Taki sposób wykładu był przyjĊty na wszystkich uniwersytetach w Europie aĪ do XVIII stulecia. Wykłady Jagielskiego poĞwiĊcone są w duĪej czĊĞci tematom, które dziĞ juĪ nie naleĪą do matematyki (astronomia, fizyka, architektura). Wykład tego materiału jest równieĪ bardzo archaiczny jak na koniec XVIII wieku. Wkrótce jednak poprawi siĊ sytuacja na Akademii Krakowskiej, przemianowanej na SzkołĊ Główną Koronną. Okres reform przyniesie
59
istotną poprawĊ sytuacji. Jednak nie uda siĊ w pełni nadrobiü zaległoĞci w stosunku do nauki Ğwiatowej. Nie było zresztą takich priorytetów. 1.2.2
Matematyka w Akademii WileĔskiej przed okresem reform KEN
Praktycznie jedynym Ĩródłem informacji o zakresie nauczania w dawnych uniwersytetach są zachowane podrĊczniki, rĊkopisy (notatki i konspekty wykładów) i publikowane przez uczelnie programy wykładów (Układy Lekcyi). Sytuacja polityczna w Polsce w pierwszej połowie XVIII stulecia nie sprzyjała rozwojowi nauki. Przez ziemie Rzeczypospolitej, szczególnie północne, przetaczała siĊ Wojna Pólnocna, miĊdzy Polską, Rosją i Szwecją, z róĪnym natĊĪeniem, przez około trzydzieĞci lat. Stan Akademii WileĔskiej nie przedstawiał siĊ najlepiej. Ale i ten ostatni sąd nie jest w pełni prawdziwy. Interesujących informacji na temat matematyki w Akademii WileĔskiej dostarcza rĊkopis z 1707 roku, starannie napisany, z licznymi piĊknymi rysunkami. Jego autorem jest Jakub Bartsch [Barszcz], który w tym czasie wykładał matematykĊ w Akademii WileĔskiej. Tekst podzielony jest na krótkie numerowane ustĊpy. Zgodnie z ówczesnym kanonem studiów na wydziale filozoficznym (bo tam wykładano matematykĊ), program oprócz matematyki obejmował takĪe dyscypliny, które dziĞ funkcjonują juĪ samodzielnie. Wykłady matematyki w Akademii WileĔskiej w roku akademickim 1707/1708 obejmowały arytmetykĊ z elementami algebry i geometriĊ. Program ten, obejmując mierzenie długoĞci, powierzchni i objĊtoĞci, z zastosowaniami trygonometrii płaskiej i uĪyciem logarytmów, nie odbiega od obowiązującego wówczas kanonu wykładu matematyki na uniwersytetach. CzĊĞü arytmetyczna i algebraiczna wykładu zawiera arytmetykĊ liczb całkowitych i wymiernych, działania na liczbach niewymiernych (wyraĪenia pierwiastnikowe), rozwiązywanie równaĔ liniowych, układów takich równaĔ (2× 2) i równaĔ kwadratowych. Ponadto w tekĞcie wystĊpują zadania prowadzące do równaĔ diofantycznych stopnia 1, których rozwiązania podane są w postaci parametrycznej. Na koniec anonimowy autor rĊkopisu formułuje podstawowe twierdzenia trygonometrii w postaci równoĞci algebraicznych i rozwiązuje wzorcowe zadania z geometrii analitycznej. Np. zadania w ustĊpach 86 i 88 (Caput 3tium, Problemata Indeterminata) są niemal identyczne z zadaniami V i VI w ksiąĪce Newtona Arithmetica Universalis (1707), s. 104–106 wydania z roku 1720). RównieĪ rozwiązania cytowane przez Bartscha bardzo przypominają rozwiązania podane przez Newtona. Z duĪym wiĊc prawdopodobieĔstwem Jakub Bartsch znał podrĊcznik Newtona, bo mógł go znaü: ksiąĪka Newtona jest do dziĞ w Bibliotece Uniwersytetu WileĔskiego. Wynika stąd, Īe poziom wykładów matematyki w roku 1707/1708 w Wilnie nie odbiegał od standardów europejskich. KsiąĪka Jakuba Nakcyanowicza7 jest wolnym przekładem, a właĞciwie streszczeniem dzieła Christiana Wolffa dokonanym przez Nakcyanowicza. SłuĪyła ona zapewne jako podrĊcznik akademicki w Wilnie. Znane są jej dwa wydania: z 1759 i 1761 roku. Wtedy jeszcze łacina była jĊzykiem nauki i zapewne dlatego Nakcyanowicz przygotował tekst łaciĔski. Wykład Nakcyanowicza obejmuje arytmetykĊ, elementy geometrii (planimetria i stereometria), oraz trygonometriĊ płaską. Arytmetyka napisana jest precyzyjnie 7
JACOBUS NAKCYANOWICZ, PRAELECTIONES MATHEMATICAE EX WOLFIANIS ELEMENTIS ADORNATAE [...] TOMUS PRIMUS Qui commentationem de Methodo Mathematica Arithmeticam, Geometriam, Trigonometriam Planam & Analysim complectitur. Vilnae. Typis S. R. M. Academicis. Annô 1759.
60
i staranie, zawiera definicje i twierdzenia, m. in. definicje liczb niewymiernych, pierwszych, liczb złoĪonych i wzglĊdnie pierwszych. WłasnoĞci liczb sformułowane są w postaci dziewiĊciu aksjomatów, dotyczących własnoĞci równoĞci i nierównoĞci, np. Aksjomat III: A = B implikuje A + C = B + C. Aksjomat IV: A > B + C implikuje A > B i A > C [wszystkie liczby są dodatnie] Aksjomat V: A > B pociąga A + C > B + C. Aksjomat VIII: A = B implikuje AC = BC. W ksiąĪce wyłoĪone są logarytmy, ułamki dziesiĊtne i szeĞüdziesiątkowe, oraz liczne algorytmy (Arithmetica calculatoria). Brak zadaĔ zrekompensowany jest przykładami numerycznymi ilustrującymi wprowadzone algorytmy. Geometria wyłoĪona jest ĞciĞle według Euklidesa, ale wykład geometrii i tygonometrii zawiera juĪ elementy symboliki algebraicznej, wówczas jeszcze niechĊtnie stosowanej w podrĊcznikach. Zakres materiału przypomina program w rĊkopisie Bartscha z 1707 roku. Z powyĪszego wynika, Īe stan nauczania matematyki na Litwie w XVIII i pierwszych trzydziestu latach XIX wieku nie był taki zły, jak moĪna by sądziü. RównieĪ poziom nauczania uniwersyteckiego nie odbiegał od poziomu nauczania w Akademii Krakowskiej. Wykład matematyki w Akademii WileĔskiej, jak o tym Ğwiadczą programy wykładów, których z braku miejsca nie bĊdĊ omawiaü szczegółowo, obejmował doĞü duĪy program odpowiadający temu, czego nauczano na innych uniwersytetach europejskich. W przeciwieĔstwie jednak do nich, w Akademii WileĔskiej nie prowadzono Īadnych badaĔ naukowych w zakresie matematyki. Doktoraty i inne awanse oparte były na kompilacjach z klasyków, głównie z Euklidesa, Apolloniusza, czy teĪ Arystotelesa i były, w istocie pozbawione jakiejkolwiek wartoĞci naukowej. Co prawda w Wilnie profesorem został Bernard Siruü, autor pierwszego polskiego tekstu z zadaniami z analizy matematycznej, wydanego po łacinie w 1755 roku w Rzymie, ale w Wilnie otrzymał katedrĊ prawa kanonicznego, które wykładał przez wiele lat, nie angaĪując siĊ w wykłady matematyki. Szczegółowy opis sytuacji w naukach Ğcisłych w Akademii WileĔskiej podaje Piechnik.8 PróbĊ reform podjĊto w połowie XVIII wieku, wysyłając kolejnych uczonych na studia do Pragi. Jezuiccy matematycy z Wilna utrzymywali Ğcisłe kontakty z Akademią w Pradze. Ze zrozumiałych wzglĊdów matematycy wileĔscy nie jeĨdzili na studia do Krakowa, bowiem niemal od początku powstania Akademii WileĔskiej jej kontakty z Akademią Krakowską były doĞü chłodne. PamiĊtano w Wilnie, Īe to właĞnie działalnoĞü Jana BroĪka w XVII stuleciu nie tylko uniemoĪliwiła jezuitom przejĊcie wpływów w Akademii Krakowskiej, ale nawet doprowadziła do zamkniĊcia Kolegium Jezuickiego w Krakowie, aspirującego do rangi akademii. W połowie XVIII wieku młodzi, uzdolnieni matematycznie jezuici byli wysyłani z Wilna na dwuletnie studia do Pragi, do Józefa Steplinga. Tomasz ĩebrowski (1714–1758) przebywał w Pradze w latach 1750–1752, podejmując pod kierunkiem Steplinga studia astronomiczne i matematyczne. Podobnie, Kazimierz Naruszewicz (1730–1803) odbył studia u Steplinga w latach 1754–1756. W tym samym okresie przebywał w Pradze Marcin Poczobut (1728–1810), zwany Odlanickim, studiując u Steplinga matematykĊ i grekĊ. Wybuch wojny siedmioletniej w 1756 roku i niebezpieczeĔstwo oblĊĪenia Pragi zmusiły Poczobuta do powrotu do Wilna. 8
Ludwik Piechnik SJ, Odrodzenie Akademii WileĔskiej 1730-1993, Rzym 1990. Apud „Institutum Historicum Societatis Jesu”.
61
Kontakty z Akademią Jezuicką w Pradze zaowocowały wprowadzeniem najnowszych osiągniĊü matematyki do programów uniwersyteckich. W 1753 roku zaczĊto po raz pierwszy wykładaü w Akademii WileĔskiej elementy analizy matematycznej,9 w bardzo ograniczonym zakresie. W XVIII stuleciu odnajdujemy w Wilnie nastĊpujących matematyków jezuitów: Thomas ĩebrowski wymieniony jest pod datą 16. XI 1752 jako professor matheseos. Jacobus Nakcyanowicz wymieniony jest 10. X 1759 roku jako professor mathematicae, a 15. X 1773 jako professor theologiae. Josephus Powilewicz wymieniony jest 10. XI 1759 jako professor logices, a w 1771 odnotowany jest jako philosophiae doctor. Casimirus Naruszewicz (1730– 1803) odnotowany jest 3. XI 1764 roku jako professor mechanicae, a rok póĨniej, 12. XII 1765 jako thypographiae praeses, tzn. jako prefekt drukarni, coĞ wiĊcej niĪ dyrektor wydawnictwa uniwersyteckiego, gdyĪ w zakres jego obowiązków wchodziła równieĪ cenzura. Był on rektorem Collegium Nobilium S. J. w Wilnie w latach 1769–1773, a od roku 1767 sekretarzem prowincji jezuitów. Martinus Poczbut (1728–1810) odnotowany jest 3. XI 1764 roku jako professor astronomii, a trzy lata póĨniej, 17. XI 1767 jako professor astronomiae, Regiique observatori ac thypographiae praeses, tzn. administrator Drukarni Akademickiej. Benedictus Dobszewicz (albo: Doboszewicz) odnotowany jest 14. X 1755 jako professor arithmeticae et geometriae, dziesiĊü lat póĨniej, 12. XII 1765 roku jako professor Theologiae. Kasata zakonu zastała go 15. X 1773 na stanowisku prorektora (procancellarius Academiae). Franciscus Narwoysz, odnotowany jest 9. XI 1769 jako professor matheseos, a 15. X 1773 jako professor philosophiae. Po kasacie zakonu nadal był profesorem Uniwersytetu WileĔskiego i pisał najdłuĪsze i najbardziej szczegółowe konspekty swoich wykładów z analizy matematycznej, wzorowanych niemal dosłownie na Newtonie. Ksiądz Josephus Mickiewicz, stryj Adama Mickiewicza, odnotowany jest 15. X 1773 w Laureae Academicae jako auditor theologiae. PóĨniej wykładał jednak przez wiele lat fizykĊ; ponadto kierował Uniwersytetem WileĔskim (choü formalnie nie był rektorem) w roku 1794 i w roku akademickim1806/1807, a w XIX wieku był przez kilkanaĞcie lat dziekanem Oddziału Nauk Fizycznych i Matematycznych na Cesarskim Uniwersytecie WileĔskim, jak wtedy mówiono. Oto spis wykładowców matematyki w Akademii WileĔskiej: Jakub Bartsch (1699–1701, 1707–1710); Aleksander Sokolski (1701–1704); Stanisław Witakowski (1704–1705); Jan Narbutowicz (1705–1710, 1711–1712); Aleksander Kulesza (1711–1720); Maciej Karwacki (1720–1731); Jerzy Fursewicz (1731–1733); Marcin Bystrzycki (1733–1737, 1750–1751); Mikołaj SiemieĔski (1737– 1738); Józef Moroz (1738–1739); Kazimierz Schultz (1739–1743); Krzysztof Rzepnicki (1743–1748); Stanisław Jurewicz (1742–1746); Kazimierz Hołowka (1749–1750); Józef PaĪowski (1751–1752); Tomasz ĩebrowski (1752–1758); Benedykt Dobszewicz (1754– 1757); Jakub Nakcyanowicz (1759–1760); Joannes Rossignol (1761–1763); Joannes Fleuret (1761–1762); Kazimierz Naruszewicz (1763–1767); Tadeusz Jodłowski (1766– 1767, 1770–1771); Ludwik Roszkowski (1767–1768, 1771–1772); Franciszek Narwoysz (1766–1770, 1772–1773); Tadeusz Jurewicz (1768–1769); Józef Kirkiełło (1769–1770); Michał Sienicki (1770–1772); Onufry Dylewski (1770–1771); Andrzej Strzecki (1771– 1773); Antoni Kode (1770–1773); Ignacy Suchorski (1773–1774). Po niektórych z nich pozostały rĊkopisy. Wiadomo teĪ, co wykładali niektórzy z nich. Np. Kulesza wykładał 9
Vide: SPECIMEN MATHEMATICUM Ex Arithmetica, Geometria, Trigonometria & Algebra. In quo, à Religioso Societatis JESU Matheseos Auditore infra exposita Quaesita, Theoremata, Problemmata definientur, Demonstrabantur, Resolventur, Praeside R. P. THOMA ZEBROWSKI Societatis JESU, AA. LL. et Philosophiae Doctore, Actuali Matheseos Professore. EXHIBEBITUR. In Aula Academica Universitatis Vilnensis Societatis JESU. Annô MDCCLIII.Mense Juliô, Die 27.
62
w roku 1715 geografiĊ matematyczną i gnomonikĊ. Karwacki wykładał w roku 1721 arytmetykĊ, geometriĊ i krzywe stoĪkowe, gnomonikĊ, wyznaczanie współrzĊdnych geograficznych. W 1727 doszła do tego geodezja, stereometria, chronologia z elementami astronomii. Wykład stereometrii zawierał m. in. dowód twierdzenia Archimedesa o objĊtoĞci kuli. 1.2.3
PodrĊczniki akademickie
W wieku XVIII było juĪ wiele podrĊczników matematyki na poziomie akademickim. Wyjątkowym jednak powodzeniem cieszyły siĊ ksiąĪki filozofa Christiana Wolffa, oryginalnie wydawane po niemiecku. MoĪna domniemywaü, Īe pomysł przetłumaczenia odpowiednich tomów dzieła Christiana Freyherrna von Wolffa, Der Anfangs=Gründe aller Mathematischen Wissenschaften, z któregoĞ kolejnego wydania tej ksiąĪki (pierwsze było w 1710 roku) został podsuniĊty Nakcyanowiczowi przez jego zakonnych zwierzchników. KsiąĪka składa siĊ z dwóch czĊĞci: Elementa Arithmeticae. (151 s.); Elementa Geometriae. (310 s.+ tabl. I–XVI). Nie wiadomo, czy wydana została trzecia czĊĞü poĞwiĊcona analizie. CzĊĞü druga jest typowym wówczas wykładem geometrii Euklidesa, z naciskiem na zadania o zamianie figur jednego rodzaju na inne o tym samym polu (Caput VI. De figurarum dimensione, additione, subtractione, multiplicatione, commutatione, divisione). Trygonometria wyłoĪona została tak, jak to zrobił Bartolomeus Pitiscus z Zielonej Góry na początku XVII wieku (funkcje sinus rectus, sinus versus, tangens, secans definiowane są w ustalonym kole jako odpowiednio zdefiniowane odcinki). KaĪdą z nich koĔczą THEOREMATA et PROBLEMATA, podstawowe fakty dotyczące tych tematów, wraz z zadaniami w formie problemów, uzupełniających podstawowy tekst. Tekst moĪna traktowaü jako konspekt z matematyki wykładanej w Akademii WileĔskiej. Po krótkim omówieniu przykładów liczb niewymiernych, zebrane są najprostsze fakty z algebry, w tym ogólny wzór dwumienny Newtona i informacjĊ o liczbach zespolonych. NastĊpnie autorzy cytują najwaĪniejsze twierdzenia planimetrii i stereometrii, wraz z trygonometrią w ujĊciu z XVI wieku (Bartolomeus Pitiscus). W czĊĞci II zebrane są najprostsze fakty z analizy matematycznej, w ujĊciu róĪniczek, tzn. w duchu Leibniza. Tekst jest bardzo ubogi, ale moĪna na tej podstawie odtworzyü program wykładu matematyki. AkademiĊ WileĔską S. J. zasiliło w 1761 roku dwóch matematyków francuskich: Jean Fleuret i Jean Rossignol, sprowadzonych przez rektora Hasłowskiego na katedrĊ fizyki doĞwiadczalnej. Obaj po dwóch latach wyjechali z Polski. Pierwszy podobno został misjonarzem w Chinach, a drugi wyjechał na południe Europy nie mogąc znieĞü surowego klimatu Wilna. Rossignol zostawił w rĊkopisie podrĊcznik trygonometrii datowany na 1763 rok. Jest to tekst poĞwiĊcony planimetrii i trygonometrii płaskiej, logarytmom i ich zastosowaniom, a koĔczy zapowiedziany w tytule wykład trygonometrii sferycznej. Do tekstu dołączony jest dodatek Questiones Arithmeticae, quae Analytica Methodo facillime solvunt, uti videbit (15 s.), zawierający elementarny wstĊp do algebry, w tym 20 łatwych zadaĔ prowadzących do równaĔ liniowych, m. in. zadania dotyczące handlu. Do tekstu Rossignola dołączony jest dodatek o ogrodnictwie. Na koĔcu czytamy: Finitum. Anno 1763. Mense Junio 28. w Czarnobylu.
63
2 Reformy Komisji Edukacji Narodowej (1773–1795) 2.1
Szkolnictwo. Komisja Edukacji Narodowej
Kasacja zakonu jezuitów z dnia 21. VII 1773 postawiła PolskĊ przed niebezpieczeĔstwem, Īe zaniknie nauczanie w kraju. Z drugiej strony pojawiała siĊ nieoczekiwanie szansa na zreorganizowanie szkolnictwa w kraju według nowych koncepcji. Decyzją sejmu z dnia 24. X 1773 roku ustanowiona została Kommissyya Edukacyi Narodowey Korony Polskiey i W. Ks. Litewskiego. Główne cele, które stanĊły przed KEN, to: przejĊcie szkół pojezuickich wraz z ich strukturą organizacyjną i materialną; zorganizowanie nowego, zreformowanego systemu edukacji w Polsce; wreszcie praktyczne przygotowanie tego systemu poprzez odpowiedni system prawny, przygotowanie kadry nauczycielskiej i administracyjnej, oraz odpowiednich programów szkolnych i dostosowanych do nich podrĊczników. NaleĪy sobie uĞwiadomiü, Īe KEN była, w istocie, pierwszym ministerstwem edukacji. System szkolnictwa miał kształt piramidy: szkołom głównym (uniwersytetom) podlegały szkoły niĪszego szczebla, aĪ na szkołach parafialnych koĔcząc. ZaleĪnoĞü szkół była hierarchiczna: szkoły główne typowały wizytatorów do kontroli szkół niĪszego szczebla. Natomiast same były wizytowane przez osoby wytypowane przez KEN. Sprawozdania z wizytacji były przekazywane do KEN, gdzie w oparciu o nie podejmowano odpowiednie decyzje. Jak wynika z raportów posiedzeĔ KEN, głównym tematem posiedzeĔ były sprawy finansowe – dotacje dla szkół, trudnoĞci z przejmowaniem szkół pojezuickich, katedry uniwersyteckie (np. powołanie katedry chirurgii w Akademii WileĔskiej), pensje profesorów i nauczycieli, których nobilitowała Ustawa Edukacyjna w roku 1783, nazywając ich profesorami, ale teĪ takie drobne sprawy, jak zmniejszenie wymiaru godzin dla konkretnego nauczyciela z powodu złego stanu zdrowia, zgoda na prowadzenie przez niego zajĊü w innej klasie (profesor przypisany był do konkretnej klasy), czy teĪ zgoda na prowadzenie pensji (o taką zgodĊ prosił de Virion z Poznania). Podejmowano teĪ i inne decyzje. Na 91 posiedzeniu KEN (19. X 1774) postanowiono, Īe w szkołach dysydenckich, z któremi teraz z przydanym przez Kommissyą funduszem, szkoły katolickie w niektórych miejscach złączone byü mają: rektor jeden katolik, a drugi dysydent równej powagi i władzy uĪywaü napotem bĊdą.[...] Niewiele póĨniej, 11. XI 1774, KEN postanowiła: 3) Decydowali koĞciół i Kollegium w Łucku w województwie WołyĔskim odstąpiü kapitule Łuckiej, z temi kondycjami, Īe najprzód szkoły wygodne wymurowaü i dla profesorów wygodnego mieszkania na zawsze intra moenia collegii taĪ kapituła pozwoliü obowiązana bĊdzie; powtóre, Īe biskup Łucki najskuteczniej przyłoĪyü siĊ zechce do ustanowienia szkół parafialnych w swojej diecezyi. [...] NiezaleĪnie od spraw bieĪących prowadzone były prace władz przygotowujące przyszłą reformĊ. Rok póĨniej gotowy był juĪ projekt reformy. W okresie reform KEN podjĊto próbĊ zreformowania Szkoły Rycerskiej. Inicjatywa króla spowodowała zmianĊ programów nauczania w Korpusie Kadetów. Komendant Szkoły, ksiąĪĊ Adam Czartoryski, sfinansował kilkuletni pobyt kapitana artylerii Józefa Jakubowskiego, profesora Korpusu, we Francji, w celu odpowiedniego przygotowania go do przetłumaczenia podrĊcznika Bézouta dla francuskich szkół wojskowych na jĊzyk polski. Czterotomowe dzieło Bézouta przetłumaczył Józef Jakubowski. Wydano je
64
w roku 1781.10 Polską terminologiĊ uzgadniał Jakubowski z Towarzystwem do Ksiąg Elementarnych.11 Trudno powiedzieü, w jakim stopniu korzystano z tej ksiąĪki w Szkole Rycerskiej – brak odpowiednich dokumentów. Biorąc jednak pod uwagĊ, Īe matematykĊ wykładał wtedy Michał Hube, moĪna byü niemal pewnym, Īe z ksiąĪki tej korzystał. 2.1.1
Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych
W 1775 KEN utworzyła nowy organ – Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych. Kierował nim ksiądz Grzegorz Piramowicz. Początkowo Towarzystwo miało przygotowaü reformĊ podrĊczników; z czasem doszły do tego dalsze funkcje organizacyjne, przygotowanie odpowiednich projektów ustaw i przepisów, reforma uniwersytetów, nadzór nad wszystkimi szkołami, wyposaĪenie szkół w pomoce naukowe. Cały ciĊĪar pracy nad reformą szkolnictwa spadł na Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych. To ono, w całym okresie swojej działalnoĞci (1773–1794) odbyło aĪ 641 wielogodzinnych posiedzeĔ, na których m. in. ustalano programy poszczególnych przedmiotów, zatwierdzano podrĊczniki szkolne, które wygrały konkurs, dyskutowano i decydowano o polskiej terminologii naukowej, jakiej naleĪało uĪyü w tych podrĊcznikach. 2.1.2
PodrĊczniki Lhuiliera dla Szkół Narodowych
Simon Antoine Jean Lhuilier (1750–1840) był nauczycielem matematyki w Genewie. W 1877 wygrał konkurs na podrĊcznik arytmetyki, ogłoszony wczeĞniej przez Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych. Przybył do Polski, gdzie był nauczycielem i bibliotekarzem na dworze ksiĊcia Adama Czartoryskiego, w latach 1777–1788. Od 1795 był profesorem uniwersytetu w Genewie. Jego osiągniĊcia naukowe skupiały siĊ wokół geometrii i analizy matematycznej. W jednej z prac uogólnił wyniki A. J. Lexella dotyczące polygonometrii, tzn. mierzenia wielokątów. DziĞ wyniki te bardzo łatwo 10 Étienne Bézout, Nauka Matematyki. do uĪycia Artyleryi Francuzkjey napisana przez P. Bezout Towarzysza Akademij Nauk, i Marynarskiéy etc. a dla poĪytku pospolitego, osobliwiéy dla Korpusu Artyleryi Narodowey na Polski iĊzyk przełozona z Roskazu i Nakładém Jego Krolewskiey MCI. Pana Naszego Miłosciwego do druku podana. [Tłum. Józef Jakubowski z dzieła: Étienne Bézout, Cours de mathematiques a l’usage du corps royale de l’artillerie, 1770. wyd. I.] Tom Pierwszy Zawiéraiący w sobie Fundamenta Arytmetyki i Jeometryi. W Warszawie. w Drukarni XX. Missyonarzow. R. P. M.DCC.LXXXI. Tom Drugi Zawiéraiący w sobie AlgebrĊ, i przystósówanie Algebry do Jeometryi. W Warszawie. w Drukarni XX. Missyonarzow. R. P. M.DCC.LXXXI. Tom Trzeci Zawiéraiący w sobie Fundamenta powszechne Mechaniki i Hidrostatyki; poprzédzone Rachunkami słuĪącémi za wstĊp do Nauk Fizyczno-Matematycznych. w Warszawie w Drukarni XX. Missyonarzow. R. P. M.DCC.LXXXII. Tom Czwarty Zawiéraiący w sobie Przystósówanie zasád powszechnych Mechaniki, do róĪnych przypadków Ruchu i Równowagi. w Warszawie w Drukarni XX. Missyonarzow. R. P. M.DCC.LXXXII. 11 We wstĊpie do dzieła Bézouta Jakubowski pisał: Ja w tłómaczeniu, starałem siĊ przywiĊzówaü siĊ nietak do słow, iako raczéy do wyraĪenia mysli Autora, w sposób, ile moĪnoĞci prosty, iasny, i krótki. W przełoĪeniu wyrazów właĞciwych tèy Nauce, stósówałém siĊ do słów, upowaĪnionych wyborém PrzeĞw. Kommissyi Edukacyinèy: na których mi zaĞ zbywało, pozwoliłèm sobie przełoĪyü ie podług rozumiènia własnego, z tym warunkiém, Īe ie gotów iestém poprawiü, iak wyidą dalsze dziéła téyĪe PrzeĞw. Kommissyi, podług którey ustaw, usiłowałém takĪe, zachowaü siĊ i w Pisowni (Orthographia). JeĪeli zaĞ, (iak mam przyczynĊ obawiaü siĊ), uchybiłém w niektórych miéyscach, fundamentów niespracowanego Autora Grammatyki dla szkół Narodowych, Łaskawy czytelnik niechay to przebaczyü raczy, czĊĞcią memu początkowèmu w téy miérze przedsiĊwziĊciu, czĊĞcią Drukarni.
65
uzyskaü stosując liczby zespolone, ale w tamtych czasach były daleko niebanalne. W innej pracy podjął jedną z wielu prób uĞciĞlenia podstaw analizy matematycznej, wtedy jeszcze bardzo mało precyzyjnej. Znany jest teĪ wzór Lhuiliera w trygonometrii sferycznej. Jednak najwiĊkszym osiągniĊciem naukowym Lhuiliera jest uogólnienie wzoru Eulera dla wieloĞcianów: jeĪeli W jest wieloĞcianem jednospójnym (tzn. bez "dziur"), H liczbą jego Ğcian, S liczbą wierzchołków, A liczbą krawĊdzi, to, jak zauwaĪył Euler w roku 1750: H + S – A = 2. OtóĪ Lhuilier zauwaĪył w roku 1812, Īe wzór ten prawdziwy jest tylko dla wieloĞcianów rodzaju zero. Natomiast dla wieloĞcianów rodzaju n (tzn. mających n "dziur") H + S – A = 2 – 2n. Liczba ta nazywana jest dziĞ charakterystyką Eulera wieloĞcianu W. Argumenty Lhuiliera nie są jeszcze pełnym dowodem, ale spostrzeĪenie było bardzo waĪne. Lhuilier wiele teĪ publikował w czasopiĞmie Annales de Mathematiques pures et appliques na początku XIX wieku. W oparciu o przyjĊte zasady Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych ogłosiło konkurs na ksiąĪki elementarne. Wszystkie konkursy na podrĊczniki matematyki wygrał w kolejnych latach Simon Lhuilier. Jego podrĊczniki stały siĊ podstawą nauczania matematyki w zreformowanej szkole polskiej. Były to ksiąĪki:
SIMON LHUILIER – PODRĉCZNIKI DLA SZKÓŁ NARODOWYCH: [1] Arytmetyka dla Szkół Narodowych, w Warszawie, w Drukarni Nadworney J. K. Mci. Roku 1778. [tłum. X. Andrzej GawroĔski] (9 wydaĔ 1781–1799) Cena Zł. 1. Gro. 5. [2] Geometryá dlá Szkół Národowych. CzĊĞü I. W Krakowie 1780 Roku. [tłum. X. Andrzej GawroĔski] (wyd. II, 1785) Cena Zł. 3. [3] Geometryá dlá Szkół Národowych. CzĊĞü II. W Drukarni Nadwornéy J. K. Mci. Roku 1781. (wyd. II, 1785) Cena Zł. 1 i gro. 3 sreb. [4] Algiebra dla Szkół Narodowych. Piérwszy raz wydaná. Roku 1782. W Marywilu u Michała Grölla. Tłumaczył X. Andrzej GawroĔski, Kanonik Krakowski, Lektor J. K. Mci. Nieoprawná Zł. 6. Prócz podrĊczników Lhuiliera do kanonu nauczania matematyki w polskich szkołach włączono ksiąĪkĊ: [5] IGNACY ZABOROWSKI, Logarytmy dlá Szkół Narodowych. Piérwszy ráz wydané. W Warszawie Roku 1787. 2.2
Reformy Uniwersytetów
ReformĊ Akademii Krakowskiej, przemianowanej na SzkołĊ Główną Koronną, stosownie do Ustawy Edukacyjnej z 1783 roku, przeprowadzał Hugo Kołłątaj, oddelegowany do Krakowa przez KEN. ĝciĞle z nim współpracowali: Jan ĝniadecki, profesor matematyki wyĪszej i astronomii i Jan JaĞkiewicz, profesor fizyki, wszyscy bardzo młodzi, w wieku poniĪej 30 lat. Po kilku latach reformy uległy zahamowaniu, w związku z przymusowym wyjazdem Kołłataja z Krakowa. Upadek paĔstwa w 1795 roku uniemoĪliwił dokoĔczenie reform Szkoły Głównej Koronnej. SzkołĊ Główną Litewską zreformował Marcin Poczobut, wybitny astronom, wieloletni rektor tego uniwersytetu. NiechĊü do reform KEN spowodowała, Īe
66
przebiegały one w Wilnie wolniej i mniej skutecznie niĪ w Krakowie. W okresie reform KEN, matematyka w Wilnie nieco podupadła. Dopiero za rządów rektora Jana ĝniadeckiego (1807–1815) przywrócona zastała rola matematyki i nauk Ğcisłych na Uniwersytecie WileĔskim, juĪ pod rządami Rosji. NajwaĪniejsza jednak sprawa, to próba odpowiedzi na pytanie, dlaczego tak słabo rozwijano nowe działy matematyki, dlaczego nie było prac twórczych? Odpowiedzią jest przyjĊty model nauczania uniwersyteckiego w okresie reform KEN. Na próby ponawiane przez Jana ĝniadeckiego, aby rozwijaü matematykĊ wyĪszą w Szkole Głównej Koronnej, odpowiadał prezes KEN, prymas Michał Poniatowski, wyjaĞniając w listach do niego, Īe przede wszystkim potrzebni są absolwenci uniwersytetu w Īyciu codziennym.12 Trzeba wiĊc najpierw wykształciü pewną liczbĊ specjalistów. Potem dopiero bĊdzie moĪna pomyĞleü o wykładach matematyki wyĪszej dla wąskiego grona studentów. Co prawda w innych sprawach dotyczących matematyki (np. utworzenie nowych katedr matematyki, przyjmowanie nowych profesorów) Michał Poniatowski, kierujący wówczas KEN, zdawał siĊ całkowicie na trzydziestolatka, Jana ĝniadeckiego. Jednak co do pryncypiów prymas był nieugiĊty. To jeszcze nie czas na przygotowywanie absolwentów do pracy twórczej. PaĔstwu Polskiemu potrzebni są praktycy, dobrzy fachowcy. W sposób zupełnie nie zamierzony poplecznikiem prymasa stał siĊ ksiądz Andrzej TrzciĔski, profesor fizyki, który zamiast studiowaü fizykĊ za granicą, zgodnie z zaleceniem KEN, studiował medycynĊ. Po powrocie drukował paszkwile na matematykĊ i ĝniadeckiego, oĞmieszając i wyszydzając matematykĊ jako narzĊdzie fizyki. Jego wykłady fizyki były tak niekompetentne, Īe usiłowano pozbawiü go katedry. Postawa TrzciĔskiego moĪe Ğwiadczyü o oporze czĊĞci kadry uniwersytetu przeciwko jakimkolwiek zmianom starego systemu. Punkt widzenia podobny do reprezentowanego przez prymasa Poniatowskiego przyjĊto od roku 1803 na rosyjskim z urzĊdu, a w praktyce polskim (kadra, studenci, jĊzyk wykładowy) Cesarskim Uniwersytecie WileĔskim. JeĪeli Uniwersytet Krakowski nastawiony był na kształcenie nauczycieli i kadry potrzebnej w gospodarce, to Uniwersytet WileĔski kładł główny nacisk na to ostatnie. Kształcenie nauczycieli nie było tam zbytnio rozwijane. Widaü wiĊc, Īe nie było Īadnych racjonalnych przesłanek, aby rozwijaü najnowsze działy matematyki. Była juĪ odpowiednio przygotowana do tego kadra. Zarówno w czasach KEN, jak i póĨniej, wysyłano pracowników nauki na studia zagraniczne, czĊsto wieloletnie. Jednak po powrocie uczeni ci zobowiązani byli do realizowania przyjĊtych programów nauczania róĪnych przedmiotów, zaliczanych wówczas do matematyki. Na studiowanie nowych działów matematyki, a tym bardziej na ich rozwijanie, nie było ani czasu, ani oczekiwania. W omawianym okresie w zasadzie nie było Īadnej aktywnoĞci naukowej na uniwersytetach. Poziom i zakres nauczania matematyki uniwersyteckiej był bardzo róĪny, choü nie było tak Ĩle, jak piszĊ niektórzy. Stopniowa poprawa nastĊpowała w okresie reform Kołłątaja, jĊzyk polski stał siĊ jĊzykiem wykładowym. Od lat 12
Trzeba pamiĊtaü, Īe wobec braku wyspecjalizowanych uczelni, uniwersytet kształcił zarówno budowniczych, architektów, inĪynierów jak i lekarzy. Dlatego studia na wydziałach filozoficznych (a póĨniej na oddziałach fizyczno-matematycznych, jak je wtedy nazywano) obejmowały nie tylko Elementy Euklidesa, StoĪkowe Apolloniusza, elementy arytmetyki, lecz takĪe astronomiĊ, mechanikĊ, statykĊ, hydraulikĊ, architekturĊ cywilną i militarną, gnomonikĊ itp. Np. na Uniwersytecie WileĔskim duĪa frekwencja na wykładach matematyki była zapewniona przez studentów medycyny i studentów chirurgii (to były dwa odrĊbne kierunki studiów w XIX wieku), którzy w programach studiów mieli wykłady matematyki.
67
siedemdziesiątych osiemnastego wieku stopniowo wchodzą do nauczania elementy matematyki wyĪszej, tzn. geometria analityczna płaszczyzny, podstawowe pojĊcia analizy matematycznej w ujĊciu bardzo archaicznym, czĊsto niemal dosłownie według Newtona (Narwojsz), elementy trygonometrii płaskiej i sferycznej, ze wzglĊdu na potrzeby astronomii i kartografii, oraz elementarny wstĊp do algebry, tzn. podstawowe własnoĞci wielomianów jednej i wielu zmiennych. RównieĪ na doĞü dobrym poziomie stał wykład mechaniki, uĪywający całego dostĊpnego aparatu matematycznego. Co najciekawsze, pierwsze próby wykładania analizy matematycznej odnajdujemy w niektórych gimnazjach zakonnych, i to wczeĞniej, niĪ na uniwersytetach. WaĪną rolĊ odegrała ksiąĪka Jana ĝniadeckiego, pierwszy w jĊzyku polskim podrĊcznik akademicki algebry i geometrii analitycznej.13 Gdyby nie był napisany po polsku, niewątpliwie odegrałby waĪną rolĊ w nauczaniu uniwersyteckim w Europie. Reformy KEN, na ogół udane ujednolicenie zakresu i programu nauczania, w tym takĪe matematyki, w doĞü krótkim czasie dały zastĊpy młodych ludzi lepiej, niĪ poprzednio przygotowanych do słuchania wykładów z matematyki wyĪszej. JednakĪe tragiczne wydarzenia polityczne w bardzo widoczny sposób wpłynĊły na stan Szkół Głównych i na cały zreformowany system szkolnictwa. 2.2.1
Szkoła Główna Koronna (Kraków)
PoniĪej przedstawione jest krótkie omówienie wykładów matematyki w Szkole Głównej Koronnej w latach 1781–1793. Wykłady z nauk matematycznych w latach 1781–1793 Jan Kanty KrusiĔski, Filozofii Doktór, Matematyki elementarney publiczny Professor, Szkół Koronnych Jeneralny Wizytatór: po zakoĔczonym z Algiebry Traktacie o Funkcyach i Zrównaniach przestĊpnych, z początkiem nowego roku 1792, zacznie od naypierwszych początków Kurs matematyki początkowey, maiąc traktowaü w tym roku szkolnym ArtymetykĊ teoretyczną, ArytmetykĊ praktyczną i Jeometryą teoretyczną 1787/88, 1791/92, 1792/93, algebra [wg ĝniadeckiego] 1788/89, 1790/91, 1792/93, Trygonometrya 1790/91, 1792/93, Elementy Euklidesa, DATA, niektóre podania z Archimedesa 1792/93. Felix RadwaĔski, Filozofii DOKTOR, Matematyki początkowéy PROFESSOR, GEOMETRA przysiĊgły: algebra [wg J. ĝniadeckiego] 1782/83, 1785/86, mechanika praktyczna dla rzemieĞlników 1782/83, 1790/91, 1791/92, 1792/93, początki Jeometryi Euklidesa, do których przyda célnieysze z Archimedesa Podania o kuli, ostrokrĊgu i wałku [w zastĊpstwie J. K. rusiĔskiego]. Trygonometrya płaska 1783/84, 1785/86, 1786/87, Kurs Matematyki początkowey 1783/84, 1786/87, Mechaniki i Hidrauliki Professór publiczny, Kurs Mechaniki (statyka) 1791/92, 1792/93, Hidrodynamika 1792/93, Hidraulika 1788/89, 1791/92, 1792/93.
13 Jan ĝniadecki, Rachunku algebraicznego TEORYA Przystósowaná do Geometryi Linii Krzywych [...] TOM PIERWSZY Zawieraiący AlgebrĊ na dwie czĊĞci podzieloną. [...] TOM II. w którym siĊ przez zrównaniá nieoznaczoné tłómaczą własnoĞci LINII i POWIERZCHNI KRZYWYCH. W Krakowie W Drukarni Szkoły Głównéy Koronnéy Roku 1783.
68
Jan ĝniadecki, Filozofii Doktor, Matematyki wyĪszey i Astronomii publiczny Professor, Szkoły Głównéy Sekrétárz, ciągnąc Kurs Matematyki wyĪszey zacznie Rachunek integralny, gdzie wyłoĪywszy ogólné sposoby cáłkowaniá zrównáĔ miĊdzy dwiema i wiĊcéy iloĞciami odmiénnémi, uĪycie tego Rachunku okaĪe w tłumaczéniu Praw biegu, a szczególniéy w teoryi Attrakcyi ciáł Niebieskich wszystkie Prawa biegu w Planetach i kometach obserwacyą stwierdzone, ze zrównaĔ dyfferencyalnych drugiego porządku wydobywaiąc. Przyda do tego Rachunek odmiennoĞci przystósowaney do zagadnieĔ fizycznych 1785/86, 1790/91, 1791/92, algebra [wg własnej ksiąĪki] 1786/87, 1787/88, 1788/89, 1790/91, 1791/92, KOLLEGIUM FIZYCZNEGO PREZES, Kurs Matematyki WyĪszey 1791/92, Trygonometrya Sferyczna [w wykładzie astronomii] 1791/92, Kurs Matematyki początkowey (Arytmetyka, Początki Euklidesa, fragmenty z dzieł Archimedesa) 1787/1788, Początki Rachunku Dyfferencyalnego i Integralnego 1783/84, 1792/93. Z powyĪszego zestawienia widaü, Īe KrusiĔski wykładał cyklicznie matematykĊ elementarną (arytmetyka, geometria, trygonometria płaska, algebra), RadwaĔski głównie mechanikĊ i jej elementy, oraz mechanikĊ dla rzemieĞlników (w niedziele), a ĝniadecki wykłady przypisane do jego katedr, tzn. matematykĊ wyĪszą i astronomiĊ wraz z niezbĊdnymi dodatkami z matematyki (geometria analityczna i trygonometria sferyczna). Wiadomo teĪ, na czym oparty był jego wykład analizy. W jednym z dokumentów14 czytamy: JAN CHRZCICIEL SNIADECKI Filozofii DOKTOR, Matematyki wyĪszéy y Astronomii PROFESSOR: w Poniedziałki, Srzody y Piątki od w pół do trzeciey do czwártey tłómaczyü bĊdzie Geometryą wyĪszą, która całą teoryą linii krzywych Algebraicznych y przestĊpnych z natury zrównáĔ wydobytą zamknie. Przydá do téy sposób wyraĪaniá w zrównaniach zwierzchni płaskich y krzywych, maiący słuĪyü uczącym siĊ za pomoc do Mechaniki wyĪszéy. Co zakoĔczywszy przystąpi do wykładania początków rachunku differencyalnego, z XiąĪki JMü Pana Cousin Sławnégo akademii UmieiĊtnoĞci Geometry. TenĪe sam dawaü bĊdzie począwszy od Trygonometryi Sferycznéy, gdzie Skutki Biegów Niebieskich wyciągnioné z Obserwacyi przywodziü bĊdą do ZrównaĔ Algebraicznych, aby Słuchaiący tém łatwiéy związki skutków niebieskich y wzaiemną początków Geometryi, z Obserwacyami zgodĊ za pomocą rachunku obiĊli. [...] WyjaĞnia to, dlaczego nie zachowały siĊ notatki ĝniadeckiego z wykładów analizy. Byü moĪe takich notatek w ogóle nie było, a jego wykład oparty był, jak pisze, na ksiąĪce Cousina.15 Tłumaczy to teĪ, dlaczego ĝniadecki planował napisaü dalsze tomy Rachunku Algebraicznego Teoryi ... (1783). Potrzebny był podrĊcznik analizy matematycznej w jĊzyku polskim. Do koĔca Īycia ĝniadeckim próbował zmobilizowaü siĊ do tej pracy, ale nie zdąĪył.
14
PRÆLECTIONES AKADEMICÆ QUÆ IN PEINCIPE REGNI SCHOLA à Ima Octobris Anni 1782. ad diem ultimam Junij 1783. publice tradentur. 15 Jacques Antoine Joseph Cousin, Leçons de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral, Paris 1777. Od 1779 roku ĝniadecki był w ParyĪu, gdzie poznał m. in. Cousina. Zapewne miał własny egzemplarz tej ksiąĪki. Mógł teĪ korzystaü z egzemplarza, który jest do dziĞ w Bibliotece JagielloĔskiej.
69
2.2.2 Szkoła Główna Litewska (Wilno) 12. X 1781 Podkanclerzy Litewski Joachim Chreptowicz włączył AkademiĊ WileĔską do systemu reform KEN. Jest to formalna data powstania Szkoły Głównej Litewskiej. PoniĪej przytaczam listĊ wykładów z matematyki, publikowaną na początku kaĪdego roku akademickiego. W latach 1794/95 i 1795–96 nie było wykładów w Szkole Głównej Litewskiej.
Wykłady z nauk matematycznych w latach 1781–1794 X. Tadeusz Kundzicz Nauk Wyzwolonych y Filozofii Doktor, Koadjutor Proboszcz Koscioła S. Tróycy, Collegii Physici V. Sekretarz, zastĊpuiący mieysce Nauczyciela Matematyki stosowaney: mechanika 1781/82, 1783/84, 1784/85, 1785/86, 1786/87, 1788/89, (publiczny i ordynaryyny Matematyki stosowaney Professor) 1788/89, statyka 1789/90, 1790/91, 1791/92, 1792/93, (publiczny i ordynaryyny Matematyki Professor) Traktat o Sekcyach Konicznych, Traktaty o Rachunkach Differencyalnych i Integralnych, Traktat Dynamiki 1793/94. Józef Mickiewicz Nauk Wyzwolonych y Filozofii Doktor, Fizyki Teoretyczney i Experimentalney Professor: mechanika, hydrostatyka, elektrycznoĞü (cyklicznie) 1783/84, 1784/85, 1785/86, 1786/87, 1788/89, 1789/90, 1790/91, 1791/92, 1792/93, 1793/94, arytmetyka, geometrya i mechanika dla rzemieĞlników (w niedziele i ĞwiĊta) 1784/85, 1788/89, 1791/92. Franciszek Milikont Narwoysz SwiĊtey Teologii Doktor, Matematyk J. K. Mci, Pleban Sokoldzki, publiczny wyĪszey Matematyki Professor: analiza matematyczna (wg Methodus fluxionum Newtona) 1783/84, 1786/87, 1788/89, 1789/90, (wg Eulera Introductio in Analysin Infinitorum) 1793/94, algebra i geometria analityczna (wg Newtona Arithmetica Universalis) 1783/84, 1784/85, 1785/86, 1786/87, 1788/89, 1792/93, 1793/94, teorya linii krzywych (wg Newtona; w tym opis linii trzeciego stopnia) 1785/86, 1790/91. Ignacy Reszka [...] publiczny Astronomii Professor: astronomia 1798/99. Bernard Siruü16 Prawa Cywilnego Doktor, publiczny Prawa Rzymskiego Professor [...] tłumaczyü przed siĊ bierze Ustawy Justyniana [...] 1781/82. Andrzey Strzecki S. Theologii Doctor, Collegii Physici Prezydent, Astronom J. K. Mci y Astronomii publiczny Professor: astronomia (z trygonometrią sferyczną) 1781/82, 1783/84, 1784/85, 1788/89, 1789/90, 1790/91, 1791/92, 1793/94. Mikołay Tomaszewski Nauk Wyzwolonych y Filozofii Doktor, Vice Professor Matem: i Sekretarz Coll: Physici: bĊdzie dawał lekcye Matematyki początkowey dla tych, którzy nie doĞü w niey üwiczeni, ze szkoł mnieyszych na lekcye przychodzą Akademickie 1788/89, 1789/90, 1790/91, 1791/92. 16
To nie pomyłka. Pijara Sirucia cytujĊ tu dlatego, Īe z wykształcenia był matematykiem: studia ukoĔczył w Rzymie, publikując tam po łacinie zbiór zadaĔ z analizy matematycznej (1755). Był on równieĪ autorem ksiąĪeczki Arytmetyka prostacka z 1777 roku, podrĊcznika arytmetyki dla analfabetów. Niestety, w Wilnie nie wykładał matematyki.
70
3 Lata 1795–1832 3.1
Szkolnictwo
Zarówno Prusy, jak Rosja, przejĊły w znacznym stopniu model KEN. W Rosji nie tylko model reform był wzorowany na polskiej Ustawie Edukacyjnej, ale równieĪ realizacja była w duĪym stopniu w wykonaniu Polaków. KsiąĪĊ Adam Jerzy Czartoryski (syn Kazimierza) był w roku 1803 ministrem spraw zagranicznych Rosji, potem współorganizował nowy system edukacji w Rosji, oparty na szeĞciu uniwersytetach, jako Szkołach Głównych (uniwersytety w Dorpacie, Wilnie, Petersburgu, Moskwie, Charkowie i Kazaniu, pierwszy z niemieckim jĊzykiem wykładowym, drugi z jĊzykiem polskim, pozostałe rosyjskojĊzyczne). Uniwersytety kierowały podlegającymi im okrĊgami szkolnymi. Zapewne z wymienionych powodów podrĊczniki Lhuilliera słuĪyły w WileĔskim okrĊgu szkolnym do lat dwudziestych XIX wieku, a wiĊc niemal pół wieku, a nawet miały nowe wydania. Pod pozostałymi zaborami doĞü szybko wyeliminowano podrĊczniki bĊdące wczeĞniej w uĪyciu. 3.2
Uniwersytety
JeĪeli stan matematyki w okresie reform KEN, przed ostatnim rozbiorem, moĪna w przybliĪeniu uznaü za porównywalny w obu szkołach głównych, to w piĊtnastoleciu 1815–1830 matematyka w Wilnie rozwijała siĊ prĊĪniej. Oferta dydaktyczna z matematyki i pokrewnych dziedzin była w Wilnie znacznie bogatsza niĪ w innych uniwersytetach tego regionu. Zarówno uniwersytet w Królewcu, jak i uniwersytet w Dorpacie, miały w tym czasie bardzo ubogą ofertĊ z matematyki. Na kaĪdym z tych uniwersytetów było dwóch, okresowo trzech matematyków, którzy musieli obsłuĪyü cały proces dydaktyczny. RównieĪ w Krakowie oferta w zakresie nauczania matematyki była uboĪsza, niĪ w Wilnie. Dopiero Karol Hube zaczyna odbudowywaü po roku 1815 poziom i zakres wykładów matematyki w Krakowie. W Warszawie, w roku 1820, powstaje uczelnia wojskowa, Szkoła Aplikacyjna Artylerii i InĪynierii. Musi ona, z powodu braku kadry wykładowców, dzieliü siĊ nimi z Uniwersytetem Warszawskim. Jest kilka ambitnych prób w zakresie wykładów i prób zaznajomienia siĊ z najnowszą matematyką, ale koĔczy je likwidacja obu uczelni wraz z całym systemem szkolnictwa niĪszego szczebla. Wiek XIX przynosi nowoczesny wykład analizy matematycznej, na wszystkich trzech uniwersytetach (Kraków, Warszawa, Wilno) wzorowany na dziełach matematyków francuskich, czĊsto dosłownie według Lagrange’a czy teĪ Lacroix. 3.2.1
Uniwersytet Krakowski
W 1794 roku wojska pruskie zajĊły Kraków, a po ich wycofaniu wkroczyły wojska austriackie. Kraków był pod okupacją austriacką do roku 1809, kiedy to znalazł siĊ w granicach KsiĊstwa Warszawskiego (do roku 1815). Przez krótki okres po rozbiorach Uniwersytet Krakowski był niemieckojĊzyczny. W czasie KsiĊstwa Warszawskiego i Królestwa Polskiego znów z polskim jĊzykiem wykładowym. W okresie 1815–1846
71
Wolne Miasto Kraków było stolicą Rzeczpospolitej Krakowskiej, znajdującą siĊ pod kontrolą Austrii, Prus i Rosji. PoniĪej przedstawiony jest wyciąg z Prospektów Lekcyy. Obok nazwiska wymienione są nazwy wykładanych przedmiotów, bez rozróĪnienia poszczególnych działów, a w nawiasie rok akademicki, w którym odbywał siĊ dany wykład.
Kazimierz Brzuchalski, matematyka elementarna 1810/11, 1811/12. Karol Hube, wstĊp do matematyki (algebra, analiza nieoznaczona, trygonometria) 1812/13, 1814/15, 1815/16, 1816/17, rachunek róĪniczkowy i całkowy z zastosowaniami w fizyce i mechanice 1814/15, 1815/16, 1816/17, 1818/19, 1819/20, 1828/29, 1829/30, 1830/31, 1831/32, teoria równaĔ, trygonometria sferyczna i geometria analityczna 1817/18, 1818/19, 1819/20, 1820/21, 1821/22, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31, 1831/32, analiza algebraiczna, trygonometria sferyczna i geometria analityczna z teorią powierzchni drugiego stopnia według Hachette 1820/21, 1821/22, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31, 1831/32, analiza skoĔczona (analysis finitorum) 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, astronomia teoretyczna i praktyczna 1824/25. Józef ŁĊski, sporządzanie map geograficznych z pomocą rzutu stereograficznego 1814/15, 1815/16, 1816/17, 1817/18, 1818/19, 1819/20, 1820/21, 1821/22, 1822/23, astronomia 1816/17, 1818/19, 1819/20, 1820/21, 1821/22, 1822/23. Filip Menciszewski, geometria wykreĞlna 1814/15, mechanika i hydraulika 1814/15. Józef Tomaszewski, geometria wykreĞlna 1815/16. Franciszek Sapalski, geometria wykreĞlna 1816/17, 1817/18, 1818/19, 1819/20, 1820/21, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1829/30, 1831/32, mechanika i hydraulika 1816/17, 1817/18, 1818/19, 1820/21, 1821/22, 1822/23, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31, 1831/32, algebra i trygonometria 1817/18, gnomonika 1819/20, 1821/22, architektura i mechanika praktyczna 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31, 1831/32. Augustyn Frączkiewicz, matematyka niĪsza 1817/18. Franciszek Szopowicz, matematyka elementarna (arytmetyka, algebra, geometria elementarna z praktyką według Lacroix) 1818/19, 1819/20, 1820/21, 1821/22, 1822/23, 1823/24, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31, 1831/32, algebra i traktat o przekrojach stoĪkowych 1824/25, 1825/26, 1826/27. Roman Markiewicz, elementy matematyki 1820/21. Feliks RadwaĔski, mechanika i hydraulika 1820/21, 1821/22, 1829/30, architektura 1830/31.
72
Wincenty Karczewski, astronomia 1823/24, 1824/25. Maximilian Weisse, astronomia 1825/26, 1826/27, 1829/30, 1830/31. 3.2.2
Cesarski Uniwersytet WileĔski
Spisy planowanych wykładów na Uniwersytecie WileĔskim w latach 1800–1831 dostarczają bogatej informacji o zakresie i róĪnorodnoĞci wykładanych przedmiotów. PoniĪej przedstawiony jest wyciąg z tych Prospektów Lekcyy. Obok nazwiska wymienione są nazwy wykładanych przedmiotów, bez rozróĪnienia poszczególnych działów, a w nawiasie rok akademicki, w którym odbywał siĊ dany wykład. X. Tadeusz Kundzicz, Nauk Wyzwolonych i Filozofii Doktor, Prałat, Kanclerz WileĔski, Kanonik Inflantski, Publiczny Ordynaryyny Matematyki Stosowaney Professor: mechanika, hydrostatyka, mechanika cieczy 1797/98, 1798/99, 1800/01, 1801/02, 1802/03. X. Józef Mickiewicz, Nauk Wyzwolonych i Filozofii Doktor, Kanonik SmoleĔski, Proboszcz Wiszniewski, Fizyki Teoryczney i Experimentalney Professor: fizyka (cykl trzyletni) 1797/98, 1798/99, 1800/01, 1801/02, 1802/03. Franciszek Milikont Narwoysz, Nauk Wyzwolonych, Filozofii i ĝwiĊtey Teologii Doktor, Matematyk bywszy Królewski, Jeden z dwónastu Towarzystwa umieiĊtnoĞci Włoskiego, Kanonik SmoleĔski, Publiczny i Zwyczayny czystey Matematyki wyĪszey i rachunku wysokiego Professor: analiza matematyczna (wg Newtona Methodus fluxionum) 1797/98, 1798/99, 1800/01, 1801/02, 1802/03, 1805/06, 1807/08, 1808/09; algebra (wg Newtona Arithmetica Universalis) 1797/98, 1798/99. Ignacy Reszka, Nauk Wyzwolonych i Filozofii Doktor, Publiczny Astronomii Profesor, astronomia (z trygonometrią sferyczną) 1797/98, 1798/99, 1800/01, 1802/03, 1805/06, 1807/08, 1808/09. Karol Christian Langsdorf, Professor Matematyki Stosowaney w Imperatorskim Uniwersytecie WileĔskim, algebra 1804/05, mechanika, hydrodynamika i technologia 1804/05, 1805/06. [wykładał po łacinie] Michał Szulc, Filoz: Doktor, Architektury Cywilney i Militarney Publicz: zwyczay: Profes: architektura cywilna i militarna 1805/06, 1807/08, 1808/09, 1810/11, 1811/12. Stefan Stubielewicz, Filoz: Doktor obrany Professor Fizyki: fizyka 1805/06, 1807/08, 1808/09, 1810/11, 1811/12, 1812/13, 1813/14. Zachariasz Niemczewski, Filoz: Doktor, Uniwersytetu Adjunkt: wstĊp do matematyki 1805/06, analiza matematyczna 1810/11, 1811/12, 1812/13, 1813/14, 1814/15, 1815/16, 1816/17, 1817/18, 1818/19, 1819/20. Michał Kado, Doktor Filozofii, Uniwersytetu Adjunkt: kartografia 1805/06, 1807/08, 1808/09.
73
Tomasz ĩycki, Filoz. Doktor, Matematyki Professor Extraordynaryyny: matematyka elementarna (arytmetyka, planimetria, trygonometria płaska) 1797/98, 1798/99, 1801/1802, 1807/08, algebra z geometrią (wg ksiąĪki Jana ĝniadeckiego) 1797/98, 1798/99, 1808/09, 1810/11, 1811/12, 1812/13, 1813/14, 1814/15, 1815/16. Cezary KamieĔski, Filoz. Doktor, Adjunkt Uniwersytetu: astronomia z trygonometria sferyczną 1810/11, 1811/12, 1812/13, 1813/14. Kaietan Krassowski, Fil. Doktor: fizyka 1814/15, 1816/17, 1817/18, 1818/19, 1820/21, rolnictwo 1821/22. Felix DrzewiĔski, Fil. Doktor: mineralogia 1814/15, 1815/16, 1816/17, 1819/20, fizyka 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31. Wincenty Karczewski, Filoz. Magister: astronomia 1814/15, 1815/16, 1816/17, 1817/18. Ignacy Horodecki, Fil. Doktor, Radca Nad., Adjunkt Uniwersytetu: mineralogia 1817/18, 1818/19, 1820/21, 1821/22, 1822/23, 1823/24. Antoni Wyrwicz, Fil. Doktor: algebra (wg Jana ĝniadeckiego) 1817/18, 1818/19, 1824/25, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31; astronomia i trygonometria sferyczna (wg Jana ĝniadeckiego) 1820/21, 1823/24, analiza 1824/25, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31. Piotr SławiĔski, Fil. Doktor: astronomia i trygonometria sferyczna (wg Jana ĝniadeckiego) 1818/19, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1826/27, 18 27/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31. Michał Pełka-PoliĔski, Fil. Doktor, Akad. Florenc. Członek, Matematyki Prof.: algebra wyĪsza (wg Jana ĝniadeckiego) 1819/20, 1820/21, 1821/22, 1822/23, 1823/24, mechanika 1824/24, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31, geometria analityczna 1824/25, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31, geodezja wyĪsza 1820/21. Karol PodczaszyĔski, Magister Filozofii: architektura 1820/21, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31. Józef Twardowski, Fil. Doktor: algebra z geometrią analityczną 1822/23 (nigdy nie miał wykładów). Michał Oczapowski, Ekonomia 1822/23, 1824/25, 1827/28, 1829/30, 1830/31, rolnictwo 1823/24, 1828/29. Walerian Górski, Fil. Doktor: mechanika 22/23, mechanika praktyczna 1823/24, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31. Hipolit Rumbowicz, Fil. Magister: geometria wykreĞlna 1824/25, 1827/28, 1829/30, 1830/31.
74
Antoni Szahin, Fil. Magister: geodezja 1824/25, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31. Zygmunt Rewkowski, Fil. Magister: rachunek prawdopodobieĔstwa 1830/31. Tomasz ĩycki, Nauk Wyzwolonych y Filozofii Doktor, Matematyki wyĪszey ViceProfessor: matematyka elementarna 1798/99. 3.2.3
Królewski Uniwersytet Warszawski
W roku 1815 powstaje w Warszawie nowy uniwersytet, trzeci polski uniwersytet w Ğrodkowej Europie. Od początku istnienia aĪ do jego zamkniĊcia w 1831 roku Uniwersytet Warszawski borykał siĊ z ogromnymi problemami kadrowymi, szczególnie na Wydziale Fizyczno–Matematycznym. Nie zdołano jeszcze w tak krótkim czasie ugruntowaü poziomu i zakresu nauczania matematyki, gdy wiatr historii zgasił słaby jeszcze płomieĔ nauki, w tym matematyki. Na początku planowano w Warszawie trzy katedry: katedrĊ matematyki czystej, katedrĊ matematyki stosowanej i katedrĊ astronomii oraz osobny profesor do geometrii wykreĞlnej. Wykłady na Królewskim Uniwersytecie Warszawskim obejmowały: Franciszek ArmiĔski, rachunek całkowy 1817/18, algebra wyĪsza 1820/21. Antoni Dąbrowski, matematyka elementarna 1817/18, algebra wyĪsza i geometria analityczna 1817/18, 1818/19, 1819/20, 1821/22, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, rachunek róĪniczkowy 1817/18, 1818/19, rachunek róĪniczkowy i całkowy 1819/20, 1821/22, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, rachunek róĪniczkowy, całkowy i wariacyjny 1820/21. Kajetan GarbiĔski, Geometria wykreĞlna 1825/26, matematyka elementarna 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, geometria analityczna 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, 1830/31. Adryan KrzyĪanowski, algebra wyĪsza 1821/22, 1822/23, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, 1828/29, 1829/30, mechanika analityczna 1821/22, 1822/23, 1823/24, 1824/25, 1825/26, 1826/27, 1827/28, rachunek losów 1824/25, rachunek róĪniczkowy i całkowy 1826/27, 1827/28, matematyka elementarna 1828/29, 1829/30, 1830/31. Rafał Skolimowski,17 algebra wyĪsza 1819/20, mechanika analityczna 1819/20, 1820/21, geometria analityczna 1820/21. Augustyn Frączkiewicz, algebra wyĪsza 1828/29, 1829/30, 1830/31, rachunek róĪniczkowy i całkowy 1828/29, 1829/30, 1830/31.
17
Rafał Skolimowski przeszedł w roku 1820 do nowo powstałej Szkoły Wojskowej Aplikacyjnej.
75
Bibliografia [1] Witold WiĊsław: Matematyka polska epoki OĞwiecenia. Fraszka Edukacyjna, Warszawa, 2007, stron 360.
Adresa Prof. Witold WiĊsław Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny Plac Grunwaldzki 2/4 50-384 Wrocław e-mail:
[email protected]
76
KONFERENýNÍ VYSTOUPENÍ
77
78
PAUL ERDėS A JEHO OBLÍBENÉ PROBLÉMY Z RAMSEYOVY TEORIE ďUBOMÍRA BALKOVÁ Abstract: Paul ErdĘs was one of the most prolific mathematicians who have ever lived. He is an author or co-author of about 1500 papers in the fields of Combinatorics, Number Theory, and Graph Theory. It is well-known that ErdĘs loved prime numbers. Here, we focus also on his interest in the so-called Ramsey theory – a discipline he invented and enriched with many results.
1 Zázraþné dítČ 1.1
BertrandĤv postulát
Již od útlého dČtství vČdČl Paul ErdĘs (26. 3. 1913, BudapešĢ – 20. 9. 1996, Varšava), že bude matematikem. PĜátele své matky bavil tím, že z hlavy podle jejich data narození poþítal, kolik vteĜin jsou na svČtČ. Když mu bylo deset let, otec mu ukázal EuklidĤv dĤkaz tvrzení, že prvoþísel je nekoneþnČ mnoho. Paul ErdĘs byl okouzlen. PrávČ hledání elegantních dĤkazĤ se stalo smyslem jeho života. P. ErdĘs tvrdil, že BĤh má v rukou Knihu, ve které jsou jen ty nejhezþí dĤkazy. Opravdoví matematici jsou ti, jejichž dĤkazy se podobají tČm z Knihy. Pro jeho spolupracovníky bylo nejvČtší pochvalou, když P. ErdĘs ohodnotil jejich dĤkaz slovy: „It’s straight from the Book.“ Poprvé okouzlil P. ErdĘs maćarské matematické kruhy jako 18-letý. Jeho jednoduchý dĤkaz Bertrandova postulátu, že mezi každým pĜirozeným þíslem a jeho dvojnásobkem leží prvoþíslo, zdaleka pĜedþil ýebyševĤv dĤkaz z roku 1850.
2 Ramseyova teorie 2.1
Problém s happy-endem
Maćarští matematici se scházeli ve 30. letech pravidelnČ u sochy Anonyma, kronikáĜe 12. století, zaþalo se jim proto pĜezdívat Anonymous Group. ýlenkou skupiny se stala i nadaná Esther Kleinová a pĜišla s Ĝešením následujícího problému: „Kolik bodĤ, z nichž žádné tĜi neleží v pĜímce, je tĜeba zadat, aby nČkteré þtyĜi z nich tvoĜily vrcholy konvexního þtyĜúhelníku?” Problém kroužek matematikĤ zaujal a zanedlouho vyrukovali s hypotézou, že 2n–2+1 bodĤ garantuje, že mezi nimi najdeme vrcholy konvexního núhelníku. Dosud není hypotéza dokázána, ale hned po nČkolika týdnech našel GyĘrgy Szekeres poþet bodĤ postaþující pro existenci konvexního n-úhelníku. Tím si získal ruku Esther a tehdy Paul ErdĘs nazval úlohu Happy End Problem a tak také vstoupila do povČdomí matematikĤ. GyĘrgy Szekeres mČl štČstí, že Paul ErdĘs nemČl zájem o ženy, protože vzápČtí podstatnČ Szekeresovu postaþující podmínku vylepšil. Šlo o první ErdĘsĤv výsledek z Ramseyovy teorie – oblasti matematiky, jejímž byl prĤkopníkem a již obohatil nesþetnými výsledky. 2.2
Problém spoleþenský
Rok po Ĝešení problému s happy-endem odjíždí P. ErdĘs na studia do Anglie. Antisemitské Maćarsko pro nČj není bezpeþné. Stýská se mu ale po domovČ, je totiž velmi silnČ poután ke své matce, která se o nČj bude starat a doprovázet jej na 79
nekoneþných cestách po celý život. Podle slov Bély Bollabáse: „Od roku 1934 spí Paul ErdĘs jen výjimeþnČ sedm dní ve stejné posteli.” ÚtČchu mu pĜináší intenzívní práce. VČnuje se i nadále RamseyovČ teorii, která – zjednodušenČ Ĝeþeno – hledá minimální poþet prvkĤ, jež garantují nČjakou vlastnost. Klasickým pĜíkladem je Party Problem: „Jaký je nejmenší možný poþet hostĤ na narozeninové oslavČ, má-li být zajištČno, že mezi nimi existuje trojice, kde každý zná každého, nebo existuje trojice, kde nikdo nezná nikoho?” Správná odpovČć je 6 osob. Pokud požadujeme stejnou vlastnost po þtveĜicích, pak je minimální poþet lidí 18. Pro pČtice už se pouze ví, že minimální poþet hostĤ je nČkde mezi 43 a 49 a pro šestice mezi 102 a 165. ZobecnČní problému vedlo k zavedení Ramseyových þísel, jejichž vlastnosti P. ErdĘs s oblibou studoval a pĜi té pĜíležitosti vyvinul metodu pravdČpodobnostního dĤkazu, která má dnes velký význam v teoretické informatice pĜi snižování výpoþetní nároþnosti algoritmĤ. Další matematické výsledky P. ErdĘse, ale i jeho život a jeho svérázná osobnost jsou výbornČ popsány v [1], [2] a [3].
3 Odpoþinek až v hrobČ 3.1
ErdĘsovo þíslo
P. ErdĘs zĤstal aktivním matematikem až do své smrti v 83 letech. Na rady pĜátel, aby zvolnil, odpovídal: „Na odpoþinek je þas v hrobČ.“ Na svém kontČ má však nejen nepoþítanČ vlastních výsledkĤ a elegantních dĤkazĤ, ale náleží mu ještČ další obrovská zásluha. PĜi svých cestách po svČtČ neþekanČ klepal na dveĜe svých kolegĤ, aby jim sdČlil: „Má mysl je otevĜená,“ a pustil se s nimi do práce na nČkterém z problémĤ, které šil svým kolegĤm pĜímo na míru. Že mČl opravdu mnoho spolupracovníkĤ, potvrzuje poþet þlánkĤ, které z této spolupráce vzešly. P. ErdĘs jich má na kontČ 1475 s více než 500 spoluautory. Není divu, že na jeho poþest bylo definováno ErdĘsovo þíslo [4]: P. ErdĘs sám má þíslo 0, ti, kdo s ním napsali þlánek, mají þíslo 1, ti, kdo publikovali þlánek s nČjakým spoluautorem P. ErdĘse, mají þíslo 2 atd. Existuje odhad, že 90 procent aktivních matematikĤ má ErdĘsovo þíslo menší než 8. Literatura [1] Csicsery G.–P.: N Is a Number: A Portrait of Paul ErdĘs. DVD, Springer, Berlin, 1999. [2] Hoffman P. : The Man Who Loved Only Numbers. The Story of Paul ErdĘs and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York, 1998. [3] Schechter B..: My brain is open: The mathematical journeys of Paul ErdĘs. Simon & Schuster, New York, 2000. [4] The ErdĘs Number Project [online]. Poslední revize 30. dubna 2010 [cit. 5. 6. 2010] http://www.oakland.edu/enp/ Adresa Ing. ďubomíra Balková, Ph.D. Katedra matematiky Fakulta jaderná a fyzikálnČ inženýrská ýeské vysoké uþení technické Trojanova ulice 13 120 00 Praha 2 e-mail:
[email protected]
80
SUDOKU A HISTÓRIA MAGICKÝCH ŠTVORCOV ANNA BÁLINTOVÁ, R. TROJÁýKOVÁ Abstract: The game Sudoku – named as Rubik cube of the XXIst century – is very popular in mass media. The classical Sudoku is a magic Latin square. At Middle age Arab people were the first who gave some their mathematical applications. We will follow evolution of the magic square from this time up to now.
1 Úvod 1.1 Súþastný stav História magických štvorcov je veĐmi bohatá a pestrá – samozrejme – već od pradávna priĢahovali Đudstvo svojou zvláštnou magickou silou. Oficiálne ich história zaþína v X. storoþí, keć boli po prvýkrát študované ako matematický objekt. Existuje obrovské množstvo ich modifikácií. V súþasnosti ich najpopulárnejšiu verziou je hra Sudoku, nazývaná tiež Rubikovou kockou XXI. storoþia. Táto mimoriadne populárna hra bola zaregistrovaná v Japonsku pod ochrannou znaþkou vydavateĐstva Nikoli Corporation Oltd. Z tejto krajiny pochádza aj jej názov, v japonþine Su znamená þíslo a Doku jediné. Svetovým fenoménom sa však stala zásluhou Novozélanćana Wayna Goulda. Tohto advokáta na dôchodku veĐmi zaujala kombinatorické hra, na ktorú náhodne natrafil pri svojom pobyte v krajine vychádzajúceho slnka. No a opäĢ sa potvrdilo, ako je osudové maĢ v správnu chvíĐu, na správnom mieste ten správny nápad. Vytvoril poþítaþový program, ktorý generuje automaticky mriežky Sudoku a ponúkol ho americkým novinám The Times – a tak zaþala ich triumfálna cesta okolo sveta prostredníctvom médií. Je symbolické, že práve tam, kde voĐakedy vznikla. Jej uznávaným autorom z roku 1979 je totiž práve Ameriþan Howard Garns. Je o Ėom známe, že bol inšpirovaný jednak magickými štvorcami všeobecne, a jednak konkrétnym problémom, ktorý riešil v 18. storoþí uznávaný švajþiarsky matematik Leonhard Euler – tzv. problém 36 dôstojníkov. V anglofónnej oblasti je hra Sudoku známa ako Nomber Place. PripomeĖme si pre úplnosĢ princíp klasického Sudoku: cieĐom je vyplniĢ danú štvorcovú tabuĐku postupnosĢou navzájom rôznych prirodzených þísiel (prípadne písmen alebo iných symbolov). Každé z nich sa nachádza práve jedenkrát v každom riadku, stĎpci a v každom þiastoþnom štvorci. Vo väþšine prípadov sú použité þíslice od 1–9, skúmaný štvorec je typu 9×9 a þiastoþné štvorce sú typu 3×3. NiekoĐko prvkov postupnosti je k dispozícií priamo v zadaní, štvorcovú tabuĐku treba skompletizovaĢ. Zanechajme však Sudoku a sústrećme sa na magické štvorce Tento názov sa v bežnej reþi používa pre špeciálne druhy štvorcových schém, ale treba si uvedomiĢ, že v prípade Sudoku ide vlastne o latinské, magické štvorce. Nie je neužitoþné pripomenúĢ si ich definície i keć sú þasto opakované v literatúre [2], [3]. Magický štvorec rádu n – je chápaný ako štvorcová tabuĐka, v ktorej sú umiestnené þísla 1, 2, ..., n2 tak, aby súþet þísel v každom riadku, stĎpci a oboch diagonálach bol rovnaký. Toto þíslo sa nazýva konštanta magického štvorca a je rovná (n3+n)/2. Latinský štvorec rádu n je chápaný ak štvorcová tabuĐka, v ktorej sú umiestnené þísla 1, 2, ..., n
81
tak, aby v každom riadku a stĎpci boli navzájom rôzne þísla. Niekedy je výhodnejšie použiĢ þísla 0, 1, 2, ..., n–1.
Príklad latinského štvorca rádu 3 vytvoreného z prvkov 0, 1, 2
Príklad magického štvorca rádu 3 vytvoreného z prvkov 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1
0
2
4
3
8
2
1
0
9
5
1
0
2
1
2
7
6
1.2 Východzie poznatky Prv než budeme sledovaĢ históriu magických štvorcov, pripomeĖme si aspoĖ niekoĐko prvkov z jej „predhistórie“. Notoricky známa legenda, spojená s magickým zoskupením prvkov na pancieri korytnaþky, známeho ako Diagram od rieky Lo (ýína niekoĐko storoþí pred naším letopoþtom). Prvý známy manuálne vyrobený exemplár – þíslice sú reprezentované geometrickými útvarmi (ýína 300 rokov p. n. l.). Prvý známy exemplár zostavený z þíslic, ktorým sa zvykneme hovoriĢ, arabské pochádza z Indie. Môžeme teda konštatovaĢ, ako mnohokrát predtým, že pravdepodobne pôvod týchto fascinujúcich útvarov je v ćalekých východných kultúrach. Je všeobecne známe, že staré kultúry prikladali þíslam magický význam. Ako už bolo spomenuté v predchádzajúcej þasti, história ako vedecká disciplína, uznáva magické štvorce poþnúc X. storoþím. V tomto období boli totiž po prvýkrát definované ako matematické pojmy a nie ako dovtedy mystické. O tento kĐúþový moment sa zaslúžili arabskí matematici, ktorí požívali oznaþenie Harmonické usporiadanie þísiel. Písomné zdroje z tohto obdobia sú veĐmi rôznorodé. Niektoré obsahujú informácie o základných vlastnostiach magických štvorcoch, iné uvádzajú návody na ich konštrukciu. V súþasnosti sú už k dispozícii preklady najstarších známych písomných dokumentov, ktoré umožĖujú zrekonštruovaĢ ich vznik a vývoj. Vezmime do úvahy aj niekoĐko neskorších zdrojov, ktoré síce nepriniesli nové originálne výsledky, ale zdokonalili tie predchádzajúce. Uvećme z nich niekoĐko pozoruhodných, v chronologickom usporiadaní: 1. Kniha o harmonickom usporiadaní prvkov vo štvorci, autor Abu´l-Wafa al Buzani (940–997/998). Je jedným z dvoch najstarších písomných dokumentov, popisuje veĐmi jasne všeobecné princípy konštrukcií, ale naproti tomu nevysvetĐuje priamo použiteĐné konkrétne metódy. ýitateĐ získa teoretické vedomosti, ale nie praktický návod. 2. Encyklopédia publikovaná v Bagdade okolo r. 983, autor Rasa ´il Ihkwan al-Safa. Nájdeme v nej prvé magické štvorce rádu 5 a 6. 3. Ćalším zdrojom je druhá kapitola z knihy Komentár k Aritmetike od Nikomaka, autor Ali b.Ahmad al-Antaki (zomrel r. 987). Komentár sa týka diela Úvod do aritmetiky, ktoré sa venuje partii matematiky dnes známej ako teória þísiel. Tento
82
4.
5.
6.
7.
8.
spis, i keć neohromí svojou originalitou, je zaujímavý kvôli historickým informáciám z daného obdobia. Je zaujímavé aj tým, že zohralo dôležitú úlohu v procese prenosu gréckych znalostí zo Strednej Europy do islamského sveta. Zvláštnym prípadom je Abu Ishaq al-Zarkali, ktorý žil v XI. storoþí v moslimskom Španielsku. Je autorom viacerých astronomických objavov nesúcich aj jeho meno. Pochádza od neho príspevok k tematike, v ktorom nájdeme 7 príkladov štvorcov rádu 3 až 9. Sú pridružené k 7 planétam, ako bolo v tom þase zvykom. I keć sú uvedené bez toho, že by bola vysvetlená ich konštrukcia, pre nás majú význam v tom, že potvrdzujú znalosĢ magických štvorcoch v Španielsku v XI. storoþí. Abu Hatim Muzafar Asfizani (Perzia), bol skôr astronóm a mechanik ako matematik. Svoju reputáciu ohĐadne skúmanej tematiky si získal hlavne vysokými didaktickým schopnosĢami. I keć bez teoretického zdôvodnenia, vysvetĐuje praktické metódy mimoriadne jasne, þo ich robí prístupnými širokému okruhu þitateĐov. Byzantínec Manuel Moschopoulos (spis z r. 1300) – dlho mu bolo pripisované otcovstvo niektorých konštrukþných metód. Štúdium starých arabských textov však prispelo k záveru, že v jeho prípade išlo o pokus znovu zostrojiĢ konštrukcie známe už predtým v islamskom svete v X. alebo XI. storoþí. Abd al – Wahbab ibn Ibrahim Zanjani (Perzia), stred XIII. storoþia. Je autorom síce malého, ale súdiac podĐa množstva zachovalých kópií, veĐmi známeho spisu. Hlavná pozornosĢ je venovaná praktickej stránke, a síce ako vyplniĢ magické štvorce 3. a 4. rádu. EgypĢan Muhamad Ghabramallisi vydal okolo oku 1600 mimoriadne obšírne dielo o konštrukciách magických štvorcov. Obsahuje všetky dovtedy známe metódy a na viac veĐa cenných historických informácií, ktoré chýbali. Autor pojednáva aj o iných magických útvaroch, ako sú napríklad magické kružnice alebo magické štvorce s „dierami“ (necháva sa prázdne políþko, þasto stredové).
Väþšina originálnych textov bola preložená relatívne nedávno. Sú obsiahnuté v obšírnom diele, ktorého autorom je súþasný švajþiarsky matematik a historik Jacques Sesiano [4]. Prvé štúdie v Európe sa objavujú v rukopisoch zo XIV. storoþia a následne sú spojené s tak prestížnymi menami ako Cardano, Fermat, Euler, Franklin. Avšak v „modernej Európe“, všeobecné konštrukþné metódy magických štvorcov pochádzajúce z arabských krajín, zostali nepovšimnuté až do XX. storoþia.
2 Nové výsledky 2.1 I keć sa latinské – magické štvorce tešia veĐkej pozornosti, súborného diela o nich sme sa doþkali len relatívne nedávno [2]. Situáciu vystihol popredný slovenský matematik, Juraj Bosák, v komentári k tomuto dielu: Kniha predstavuje prvý pokus o monografiu v latinských štvorcoch. Vyše dvestoroþné þakanie na súborné spracovanie tematiky je pravdepodobne dôsledkom faktu, že seriózny záujem matematikov o túto partiu bol podmienený len pomerne nedávno v súvislosti s objavením hlbších vzĢahov
83
k iným disciplínam (algebra, geometria, štatistika, teória kódovania), toĐko citát. ýo je veĐmi cenné, kniha obsahuje aj súpis otvorených problémov v tejto oblasti. 2.2 Niektorých vedcov tematika magických štvorcov zaujala natoĐko, že jej venovali temer celoživotnú pozornosĢ. Taký je aj prípad, už spomínaného autora J. Sesiana, ktorého dlhoroþné bádanie vyústilo vydaním monografie: Carrés magiques dans les pays islamiques [4]. Kniha je vyvrcholením jeho štvrĢstoroþného bádania vo svete magických štvorcov. Predstavuje zjednotenie množstva þlánkov a štúdií, ktoré poþas 25 rokov publikoval. Je jeho Opus Magnum na tému magických štvorcov, ako uvádza Max Lejbovicz, vo svojom mimoriadne priaznivom komentári k prvému vydaniu knihy v roku 2004. Vydanie vyvolalo veĐký ohlas a aj ostatné komentáre nešetrili superlatívmi. Ukážkou z knihy je magický útvar predstavený na obrázku 1.
:
Obrázok 1 Zostáva dúfaĢ, že toto dielo bude sprístupnené aj naším þitateĐom a doþkáme sa jeho slovenského alebo þeského prekladu. 2.3 ýo sa týka samotných konštrukcií, boli zostrojené tzv. multi-magické štvorce.V júni roku 2001 dokonca prvý známy penta-magický štvorec rozmerov 1024×1024, autori: André Viricel a Christian Boyer. Títo dvaja francúzski matematici ohlásili mesiac predtým, teda v máji 2001, aj skonštruovanie prvého tetra-magického štvorca rozmerov 512×512. Ale ako sa ukázalo neskôr, nebol ani prvým ba dokonca ani najmenším. Dodatoþne sa zistilo, že už v roku 1983 skonštruoval Charles Devimeux tetra-magický štvorec o rozmeroch 256×256. Ich prvenstvo ohĐadne penta-magického štvorca však zostalo neohrozené. Na obrázku þ. 2 sú zobrazené 4 rohy tohto historického exempláru. Pozrime sa teraz na jeho vlastnosti: 1. Každé z þísel od 0 po 1048575 sa nachádza vo štvorci práve jedenkrát.
84
2. Súþet þísiel v každom riadku, stĎpci a oboch diagonálach je rovnaký, teda štvorec je magický a magický súþet S1 = 536870400. 3. Súþet štvorcov prvkov v každom riadku, stĎpci a oboch diagonálach je rovnaký a magický súþet S2 = 375299432076800. 4. Súþet tretích mocnín prvkov v každom riadku, stĎpci a oboch diagonálach je rovnaký, teda štvorec je tri -magický a magický súþet S3 = 295147342229667840000. 5. Súþet štvrtých mocnín prvkov v každom riadku, stĎpci a oboch diagonálach je rovnaký, teda štvorec je tetra-magický a magický súþet S4 = 247587417561640996243120640. 6. Súþet piatych mocnín prvkov v každom riadku, stĎpci a oboch diagonálach je rovnaký, teda štvorec je penta-magický a magický súþet S5 = 216345083469423421693932062720000.
0
733632
419712
…
628863
314943
1048575
866545
395569
745329
…
303246
653006
182030
685538
82978
791138
…
257437
965597
363037
…
…
…
…
…
…
…
685597
83933
790941
…
257634
964642
362978
867086
395982
744590
…
303985
652593
181489
1023
733759
418943
…
629632
314816
1047552
Obrázok 2 Tento matematický výsledok zaujal natoĐko, že bol dokonca zaznamenaný do Guinnensovej knihy rekordov pod titulom Objavenie prvého známeho penta-magického štvorca. O pár rokov neskôr nasledovalo vylepšenie oboch spomínaných multimagických štvorcov. Jún 2003: penta-magický štvorec rozmerov 729×729, Li Wen, ýína. Február 2004: tetra-magický štvorec rozmerov 243×243, Pen Fegchu, ýína.
85
Konštrukcie týchto zložitých útvarov sú dosiahnuté pomocou poþítaþovej techniky – pochopiteĐne, manuálna konštrukcia je temer nepredstaviteĐná. 2.4 Zaþiatok tretieho tisícroþia bol sprevádzaný stále narastajúcou popularitou hry Sudoku. Roky 2005 a 2006 spustili hotové „sudokové tsunami“. Zašlo to až tak ćaleko, že od roku 2006 sú v tejto organizovaná majstrovstvá sveta: 2006 – India, 2007 – ýeská republika (Praha), 2008 – India, 2009 – Slovensko (Žilina). Neþudo, že popularita je tak obrovská. Netreba maĢ špeciálne vedomosti – þíslice v riadkoch, stĎpcoch a štvorþekoch sú zrozumiteĐné všade na svete.
3. Záver O latinských, magických štvorcoch existuje pomerne veĐké množstvo štúdií s rôznym zameraním. CieĐom tohto príspevku bolo upozorniĢ okrem iného na moment, keć zo sveta mystiky vstúpili do sveta vedy. Stali sa tak jedným z troch hlavných fenoménov, ktorými arabskí matematici prispeli k rozvoju matematiky. Venovanie sa kombinatorickým hrám je dôležitejšie, ako si možno uvedomujeme. Predstavujú istý druh intelektuálnej gymnastiky a na ich dôležitosĢ nás upozorní aj citát jedného z najväþších géniov XX. storoþia Alberta Einsteina: Zdá sa, že podstatnou þrtou intelektuálneho myslenia je kombinatorická hra. Literatúra [1] Dénes J., Kedwell A. D.: Latin squares and their applications. Academias, Kiadó, Budapest, 1974. [2] Kopský V.: Neobvyklé štvorce. VTM þíslo 10/1987. [3] Semanišinova I., Trenkler M.: O nadprirodzenej korytnaþke, magických štvorcoch a kockách. Obzory matematiky, fyziky a informatiky 4/2000(29), 21–34. [4] Sesiano J.: Carrés magiques dans les pays islamiques. Presses polytechniques universitaires romandes, CH–1015, Lausanne, 2004.
Adresa RNDr. Anna Bálintová, CSc. Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université de Monastir Avenue de l' Environnement 5019 Monastir Tunisie e-mail:
[email protected]
86
EULERģV-MACLAURINģV SUMAýNÍ VZOREC TEREZA BÁRTLOVÁ Abstract: The aim of this paper is to explore the history of the Euler-Maclaurin summation formula, its applications and related concepts such as the Bernoulli numbers. It contains a sketch of Euler’s original derivation of the summation formula.
1 Úvod EulerĤv-MaclaurinĤv sumaþní vzorec byl objeven už v první polovinČ 30. let 18. století a i dnes je þasto využíván v mnoha matematických oborech. Popisuje vztah mezi sþítáním funkþních hodnot nČjaké funkce f a jejím integrálem: m ( −1) B 1 j f (k ) = ³ f ( x)dx + ( f (b) − f (a − 1) ) + ¦ f ( j −1) (b) − f ( j −1) (a − 1) + Rm , ¦ 2 j! k =a j =2 a −1 b
j
b
(
)
kde a, b jsou celá þísla, m je pĜirozené þíslo, f je funkce definovaná na intervalu [a − 1, b] , kde má spojité derivace až do Ĝádu m a Bi jsou Bernoulliho þísla. Zbytek Rm je dán rovnicí
Rm =
(−1) m −1 m!
b
~
³B
m
( x) f ( m ) ( x)dx,
a −1
~ kde Bm je funkce, která vznikne z Bernoulliho polynomu Bm na intervalu [0, 1] tak, že jej periodicky dodefinujeme na celé reálné ose. Jak uvádí Pengelley v þlánku [5], kouzlo Eulerova-Maclaurinova sumaþního vzorce spoþívá pĜedevším v tom, že zachycuje jemné rozdíly mezi sumou a integrálem a umožĖuje nám tak Ĝešit pomČrnČ složité pĜíklady pouze jako jeho jednoduchou aplikaci.
2 Objevitelé sumaþního vzorce Sumaþní vzorec byl objeven dvČma matematiky, Leonhardem Eulerem a Colinem Maclaurinem. Leonhard Euler se v roce 1730 snažil pokoĜit basilejský problém, tedy urþit ∞ π2 1 pĜesnou hodnotu souþtu ¦ 2 . Byl tehdy pĜesvČdþený, že hodnota tohoto souþtu je , 6 n =1 n ale chtČl svĤj výsledek ovČĜit ještČ numericky. V roce 1735 se mu to podaĜilo. Euler objevil sumaþní vzorec, pomocí kterého vyjádĜil souþet pĜevrácených druhých mocnin na prvních dvacet desetinných míst. Ve své knize, kterou vydal o dvacet let pozdČji a nazval ji Institutiones Calculi Differentialis, se zamČĜuje právČ na vztahy mezi diferenciálním poþtem a nekoneþnými Ĝadami. Poprvé zde uvádí tvar sumaþního vzorce a ve dvou kapitolách této knihy se vČnuje odvození sumaþního vzorce, jeho nesþetným aplikacím, ale také Bernoulliho þíslĤm (viz þlánek [5]).
87
Zhruba ve stejné dobČ objevil sumaþní vzorec zcela nezávisle na Leonhardu Eulerovi také Colin Maclaurin. Oba matematici odvodili sumaþní vzorec v podstatČ stejným zpĤsobem, ale i pĜesto že jsou pozorování obou mužĤ velmi podobná, jsou na sobČ navzájem nezávislá. MaclaurinĤv pĜístup je o trochu více geometrický, než EulerĤv. Colin Maclaurin své výsledky publikoval roku 1742 v knize A Treatise of Fluxions. Maclaurin se své práci odvolával na geometrické metody starovČkých ěekĤ a na Archimédovu metodu (viz þlánek [2]). Ani Euler, ani Maclaurin ve svém tvaru sumaþního vzorce nespecifikovali tvar zbytku.
3 Bernoulliho þísla a Bernoulliho polynomy Bernoulliho þísla byla objevena Jacobem Bernoullim pĜed rokem 1695 (viz þlánek [6]). Bernoulli našel vzorec pro souþet mocnin pĜirozených þísel
1 c +1 1 c c c ⋅ (c − 1) ⋅ (c − 2) n + n + B2 n c −1 + B4 n c −3 + 1 2 2 2 3 4 c + ⋅ ⋅ k =1 c ⋅ (c − 1) ⋅ (c − 2) ⋅ (c − 3) ⋅ (c − 4) + B6 n c − 5 + 2⋅3⋅ 4 ⋅5⋅6 n
S c ( n) = ¦ k c =
a odhalil pravidlo, kterým se Ĝídí koeficienty Bi . Tyto konstanty dnes nazýváme Bernoulliho þísly a definujeme je rekurentním pĜedpisem: B0 = 1, Bm−1 = −
1 m−2 § m · ¦ ¨ ¸ Bk . m k =0 ¨© k ¸¹
Podle pĜedchozího pĜedpisu si mĤže vyjádĜit nČkolik prvních hodnot Bernoulliho þísel: 1 1 1 1 B0 = 1, B1 = − , B2 = , B3 = 0, B4 = − , B5 = 0, B6 = , ... 2 6 30 42
Bernoulliho polynomy jsou definovány pĜedpisem m § m· Bm ( x) = ¦ ¨¨ ¸¸ Bk x m − k . k =0 © k ¹
4 EulerĤv dĤkaz sumaþního vzorce ZamČĜíme-li se na EulerĤv postup, kterým dospČl k sumaþnímu vzorci, je nutno poukázat i na nČkteré nedostatky v jeho dĤkazu (viz kniha [3] a þlánek [5]). Nejprve budeme uvažovat souþty S = F (1) + F (2) + F (3) + F (4) + + F (n), s = F (0) + F (1) + F (2) + F (3) + + F (n − 1),
pĜiþemž F je libovolná primitivní funkce k funkci f.
88
Vypoþítáme rozdíl mezi S − s pomocí Taylorovy Ĝady F ( x) = F ( x0 ) + ( x − x0 ) F ′( x0 ) +
( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) 3 F ′′( x0 ) + F ′′′( x0 ) + , 2! 3!
pĜiþemž dosadíme za x = k − 1, x0 = k : 1 1 F ′′(k ) − F ′′′(k ) + , 2! 3! F ′(k ) F ′′(k ) F ′′′(k ) F (k ) − F (k − 1) = − + − . 1! 2! 3!
F (k − 1) = F (k ) − F ′(k ) +
Odtud pak vyplývá, že rozdíl S − s mĤžeme vyjádĜit ve tvaru n 1 n 1 n 1 n F (n) − F (0) = ¦ F ′(k ) − ¦ F ′′(k ) + ¦ F (3) (k ) − ¦ F ( 4 ) (k ) + . 2! k =1 3! k =1 4! k =1 k =1 Nyní využijeme toho, že F ′ = f n
n
k =1
0
1
n
1
n
1
n
¦ f (k ) = ³ f ( x)dx + 2!¦ f ′(k ) − 3! ¦ f ′′(k ) + 4! ¦ f k =1
k =1
k =1
( 3)
(k ) − . (1)
Rovnice (1) platí pro libovolnou funkci, nejen pro funkci f . MĤžeme tedy místo f psát f ′, f ′′ atd. Tím dostaneme rovnice tvaru: n 1 n 1 n 1 n f (i ) (k ) = f ( i −1) (n) − f ( i −1) (0) + ¦ f (i +1) (k ) − ¦ f (i + 2 ) (k ) + ¦ f ( i +3) (k ) − , ¦ 2! k =1 3! k =1 4! k =1 k =1 kde i ≥ 1 . Pomocí získaných vztahĤ odstraníme sumy na pravé stranČ rovnice (1) a dostaneme n
n
k =1
0
¦ f (k ) = ³ f ( x)dx − α ( f (n) − f (0)) + β ( f ′(n) − f ′(0)) −
(2)
− γ ( f ′′(n) − f ′′(0) ) + δ ( f ′′′(n) − f ′′′(0) ) − ,
kde α , β , γ , δ , jsou jistá þísla. V následujícím postupu ukážeme, jak Euler našel jejich hodnoty. Jestliže ve vztahu (2) postupnČ nahradíme funkci f jejími derivacemi f ′, f ′′, f ′′′ atd., získáme n
n
k =1
0
¦ f (k ) = ³ f ( x)dx − α ( f (n) − f (0)) + β ( f ′(n) − f ′(0)) − 1 n 1 α − ¦ f ′(k ) = − ( f (n) − f (0) ) + ( f ′(n) − f ′(0) ) − 2! k =1 2! 2! 1 n 1 ¦ f ′′(k ) = 3! ( f ′(n) − f ′(0)) − 3! k =1 89
UvČdomme si, že souþet levých stran rovnic je roven integrálu
³
Ĕ
0
f ( x)dx podle
rovnice (1). Rovnice tedy seþteme a po úpravČ dostaneme 1· α 1· § § 0 = ¨ − α − ¸( f (n) − f (0) ) + ¨ β + + ¸( f ′(n) − f ′(0) ) + , 2¹ 2! 3! ¹ © ©
odkud plynou vztahy pro hledané koeficienty α , β , γ , δ ,
α+
α 1 β α 1 1 = 0, β + + = 0, γ + + + = 0, (3) 2! 2! 3! 2! 3! 4!
VyĜešením tČchto rovnic zjistíme, že
α=
B B1 B B , β = 2 , γ = 3 , δ = 4 , 1! 2! 3! 4!
Nyní známe jednotlivé koeficienty α , β , γ , δ , , vrátíme se tedy zpČt k naší rovnici (2) a koeficienty do ní dosadíme n n B B f (k ) = ³ f ( x)dx − 1 ( f (n) − f (0) ) + 2 ( f ′(n) − f ′(0) ) − ¦ 1 ! 2! k =1 0 −
(
)
B3 ( f ′′(n) − f ′′(0) ) + B4 f (3) (n) − f (3) (0) − 3! 4!
Euler pracoval s nekoneþným souþtem na pravé stranČ rovnosti. Tato Eulerova úvaha byla však chybná, protože Ĝada mĤže být divergentní. Proto také dnešní tvar Eulerova-Maclaurinova sumaþního vzorce obsahuje pouze koneþné souþty. Euler postupoval pĜi dokazování sumaþního vzorce þistČ analyticky. Maclaurin se naopak ve svém dĤkazu opíral pĜedevším o geometrické souvislosti a velmi þasto se odvolával na obrázek znázorĖující danou situaci. ObČ odvození sumaþního vzorce, jak podle Maclaurina tak podle Eulera, využívají rozvoje do Taylorovy Ĝady. Zásadní odlišnost obou dĤkazĤ je v použití matematického notace – Euler používal leibnizovskou notaci, na kterou jsme dnes zvyklí, zatímco Maclaurin používal newtonovskou notaci, tzn. „fluxe” a „fluenty”. PĜehledné srovnání obou dĤkazĤ poskytuje þlánek [4].
5 Aplikace Eulerova-Maclaurinova sumaþního vzorce Oba objevitelé vČnovali také velkou pozornost poþítání konkrétních pĜíkladĤ pomocí sumaþního vzorce. Euler jej napĜ. použil na funkci f ( x) = x m −1 a odvodil tak vzorec pro souþet mocnin pĜirozených þísel 1m + 2 m + 3 m + 4 m + + n m , ke kterému již dĜíve bez dĤkazu dospČl Bernoulli. EulerĤv-MaclaurinĤv sumaþní vzorec je také mocným nástrojem na výpoþet þásteþných souþtĤ harmonické Ĝady
90
Hn = 1+
1 1 1 1 + + + n 2 3 4
a s ní spojené Eulerovy konstanty γ . Dosadíme-li do sumaþního vzorce funkci f ( x) =
1 , x
dostaneme pĜibližný vzorec pro þásteþné souþty harmonické Ĝady m
(−1) j B j
j =1
j
H n = ln n + γ + ¦
⋅
1 . nj
Pomocí Eulerova-Maclaurinova sumaþního vzorce mĤžeme také získat pĜesnou hodnotu souþtu pĜevrácených mocnin pĜirozených þísel ∞
1
¦n n =1
2k
= 1+
1 1 1 1 + 2k + 2k + + 2k , 2k 2 3 4 n
nebo nalézt pĜibližnou hodnotu þísla π . Aplikujeme-li EulerĤv-MaclaurinĤv sumaþní vzorec na funkci dostaneme vztah pro pĜibližný výpoþet souþtu
f ( x) = ln x ,
ln 2 + ln 3 + ln 4 + ln 5 + ln n = ln n!.
Z nČj pak mĤžeme odvodit známý StirlingĤv vzorec pro aproximaci faktoriálu k! ≈
2π k k k . ek
6 ZávČr Zájemce o dĤkaz Eulerova-Maclaurinova sumaþního vzorce a jeho aplikace odkazuji na bakaláĜskou práci [1], kterou jsem sepsala pod vedením RNDr. Antonína Slavíka, Ph.D.
Literatura [1] Bártlová T.: EulerĤv-MaclaurinĤv sumaþní vzorec a jeho aplikace. BakaláĜská práce, MFF UK, Praha, 2010. [2] Grabiner J.: Was Newton's Calculus a Dead End? The Continental Influence of Maclaurin's Treatise of Fluxions. The American Mathematical Monthly 104(1997), 393–410. [3] Hairer E., Wanner G.: Analysis by Its History, Springer, 2008. [4] Mills S.: The Independent Derivations by Leonhard Euler and Colin MacLaurin of the Euler-MacLaurin Summation Formula. Archive for History of Exact Sciences 33(1985), 1–13.
91
[5] Pengelley D. J.: Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula. In Robert Bradley and Ed Sandifer (eds.), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society, 2003. [6] Porubský Š.: Matyáš Lerch’s book „Bernoulli polynoms“. Acta historiae rerum naturalium necnon technicarum 7(2003), 119–141.
Adresa Tereza Bártlová Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected]
92
METODIKA NċKTERÝCH PRACÍ Z HISTORIE MATEMATIKY JINDěICH BEýVÁě, MARTINA BEýVÁěOVÁ Abstract: The main aim of the paper is to give an overview of methodical concepts, methods, tools and processes which can be used for writing monographs on the life and work of some mathematician or monographs analysing the historical development of some mathematical discipline.
1
Úvod
Tento pĜíspČvek volnČ navazuje na pĜedchozí þlánky Práce historika matematiky [1] a Interpretace matematických výsledkĤ našich pĜedkĤ [2], které byly otištČny ve sbornících pĜedchozích dvou konferencí. I jeho cílem je metodická pomoc zaþínajícím badatelĤm, zejména doktorandĤm oboru Obecné otázky matematiky (a informatiky). Doufáme, že mĤže být užiteþný pĜi sepisování prací, které budou buć zcela, nebo alespoĖ zþásti vČnovány následujícím dvČma tématĤm: •
Život a dílo nČjakého matematika (práce zpracovaná v duchu monografií edice DČjiny matematiky).
•
Vývoj nČjaké matematické disciplíny, širší þi užší odborné problematiky, problému nebo okruhu problémĤ apod., v urþitém, více nebo ménČ dlouhém þasovém období.1
Druhé téma se pĜitom témČĜ jistČ objeví (a mnohdy i vícekrát) v komplexních biografiích vČnovaných osobnostem. Je totiž nezbytné, aby byly pĜi zpracování života a díla konkrétního matematika podrobnČ popsány a zhodnoceny právČ jeho matematické výsledky. Metodické poznámky k prvnímu tématu vycházejí z bohatých zkušeností získávaných postupnČ od osmdesátých let 20. století pĜi zpracovávání monografií vČnovaných Eduardu Weyrovi, Janu Vilému Pexiderovi, Františku Josefu Studniþkovi, Karlu Rychlíkovi, Vladimíru KoĜínkovi a Ladislavu Svante Riegrovi, které vyšly v edici DČjiny matematiky (svazky 2, 5, 10, 22, 27, 36, 38), Josefu Smolíkovi [5], pĜi sepisování monografií vČnovaných zakladatelĤm Jednoty þeských mathematikĤ, pĜekladatelĤm Eukleidových ZákladĤ, þeské matematické komunitČ a þeským koĜenĤm bulharské matematiky, resp. pĜi pĜípravČ monografie o Emilu Weyrovi a jeho studijním pobytu v Itálii nebo pĜi práci na Jarníkových matematických zápiscích z univerzity v Göttingen (edice DČjiny matematiky, svazky 13, 20, 28, 34, 40, 43). Poznamenejme, že do celkového vývoje našeho matematicko-historického bádání tĜí uplynulých desetiletí byla aktivita související s tvorbou biografických monografií zaĜazena v pomČrnČ obsáhlé stati Historie matematiky již potĜicáté! [3]. Poznámky ke druhému tématu jsou shromáždČny na základČ poznatkĤ získaných pĜi sepisování celé Ĝady prací o vývoji matematiky, zejména monografií Matematika ve stĜedovČké EvropČ, Matematika ve starovČku – Egypt a Mezopotámie, Z historie lineární algebry, ale i þlánkĤ Algebra v 16. a 17. století, Hrdinský vČk Ĝecké matematiky I, II 1
ObČ témata jsou formulována pro matematiku. Metodické úvahy, které následují, však mají v ĜadČ smČrĤ univerzální platnost. Mohou být užiteþné i pĜi sepisování Ĝady prací týkajících se dČjin vČdy obecnČ.
93
(edice DČjiny matematiky, svazky 19, 23, 35, resp. svazky 12, 1 a 7) a pĜi vedení nČkolika doktorských disertaþních prací, které byly zamČĜeny hlavnČ na životy a díla þeských matematikĤ. Základní a zcela obecný metodický pokyn. Rozvažte, jakou práci chcete sepsat a co má být jejím cílem. PeþlivČ si prohlédnČte vČtší poþet publikací podobného charakteru, naše i zahraniþní, kriticky je zhodnoĢte, rozhodnČte, co je pro vás inspirativní, pouþte se ze struktury tČchto prací. PeþlivČ naþrtnČte osnovu svého pĜipravovaného spisu, dobĜe promyslete postup prací, abyste pracovali efektivnČ, spolehlivČ a pĜesnČ, abyste se zbyteþnČ nevraceli k materiálĤm, které jste již jednou prošli, prostudovali a zpracovali. Pro zaþáteþníka je to pomČrnČ tČžký úkol; þím lépe a preciznČji si však tuto etapu promyslí, pĜipraví a zvládne, tím lépe a rychleji se mu bude studovat a zejména psát. MateriálĤ, které lze využít k takovéto základní inspiraci, je celá Ĝada. Již jsme zmínili edici DČjiny matematiky, která je velmi úzce spjata s doktorským studiem oboru Obecné otázky matematiky (a informatiky).2 SoustĜećuje témČĜ dvacetileté zkušenosti naší práce v dČjinách matematiky. Více než þtyĜicet svazkĤ této edice mĤže být velkou inspirací pro další autory, a to jak po stránce obsahové, tak po stránce metodické. Existuje však Ĝada dalších monografií, studií, þlánkĤ, þi dokonce popularizaþních prací, z nichž mĤžeme þerpat poznatky nejrĤznČjšího charakteru, metodické a inspiraþní podnČty. PĜipomeĖme napĜ. edici Osobnosti, kterou pĜipravuje Nadace Universitas Masarykiana, z níž nám budou jistČ nejbližší knihy Otakar BorĤvka [12], Kurt Gödel [13] þi Vladimír Úlehla [16], dále publikace vČnované M. Zlámalovi [10], V. Jarníkovi [14], V. Dolejškovi [17] a G. Choquetovi [11] nebo tzv. bílé knihy vydávané v osmdesátých letech minulého století Jednotou þeskoslovenských matematikĤ a fyzikĤ (Bolzano, Einstein, Hronec, Záviška atd.), edici Portréty vydávanou nakladatelstvím Orbis (napĜ. Newton) apod. Pojetí tČchto knih se však výraznČ odlišuje od koncepce komplexních monografií edice DČjiny matematiky. Urþitou inspiraci mohou poskytnout i jednotlivé svazky edice Velké postavy vČdeckého nebe, které vydalo v nedávné dobČ nakladatelství Prometheus. Jejich charakter je však pĜedevším popularizaþní. ZmiĖme ještČ slovenskou edici Svet vedy, v níž se objevily knihy vČnované Š. Schwarzovi a J. Hroncovi. Rozsáhlou edicí, v níž vyšla Ĝada kvalitních titulĤ vČnovaných svČtovým vČdcĤm, byla Serija Nauþno-bibliografiþeskaja literatura vydávaná sovČtským nakladatelstvím Nauka. Z dnešní mladé generace však již rusky þte málokdo. VĜele doporuþit lze i edici Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner (Gauss, Newton, Lobaþevski, Wiener, Klein, Euler, Stevin, Cantor, Eukleides, Ries atd.). Z dalších zahraniþních publikací je možno pĜipomenout monografie z edice Vita mathematica (Nevanlinna, Grassmann, Eukleides, Galois, Bessel, Wiener, Berkeley, Riemann atd.). Inspiraci týkající se vývoje matematiky jako takové je rozumné hledat jednak v encyklopediích, vČtších uþebnicích, obecných a speciálních monografiích vČnovaných matematice (nebo pĜíslušné užší disciplínČ) a její historii, jednak v þasopiseckých þláncích. Z þasopisĤ lze doporuþit zejména Archive for History of Exact Sciences, Archives internationales d’histoire des sciences, Historia mathematica, ISIS, Istorikomatematiþeskie issledovanija, Bollettino di storia delle scienze matematiche, N.T.M., Annals of Science atd. – více viz [1]. V edici DČjiny matematiky vyšlo nČkolik svazkĤ
2
O vzniku a vývoji této edice, charakteru jejích svazkĤ atd. viz [4].
94
(kromČ již výše uvedených), které zcela spadají do druhého výše vymezeného tématu; pĜipomeĖme tyto tituly: P. Šarmanová, Š. Schwabik: Malý prĤvodce historií integrálu, P. Šišma: Teorie grafĤ 1736–1963, K. Maþák: Poþátky poþtu pravdČpodobnosti, J. BeþváĜ, E. Fuchs (ed.): Matematika v 16. a 17. století, K. Lepka: Historie Fermatových koeficientĤ, K. Maþák: Vývoj teorie pravdČpodobnosti v þeských zemích do roku 1938, A. Slavík: Product Integration, its History and Applications, L. Lomtatidze: Historický vývoj pojmu kĜivka, V. Chmelíková: Zlatý Ĝez nejen v matematice (svazky 6, 8, 9, 12, 14, 26, 29, 30, 39). NČkolik rozsáhlejších þlánkĤ týkajících se vývoje urþité problematiky je otištČno ve sbornících této edice (Š. Schwabik; M. Hykšová, J. Šimša, I. Saxl, A. Slavík; H. Durnová, Š. Bilová; V. Svobodová; J. ýižmár, I. Saxl a L. Ilucová, D. Trkovská, svazky 3, 24, 25, 32, 33). Vysoce uznávaná je rozsáhlá nČmecká edice vČnovaná historii exaktních a pĜírodních vČd a osobnostem svČtové vČdy, která vychází pod názvem Algorismus. Studien zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften; v souþasné dobČ má témČĜ osmdesát svazkĤ. Vydává ji Menso Folkerts, svČtovČ uznávaný historik vČdy. Z hlediska metodiky je vhodné odkázat þtenáĜe na zajímavou knížku Umberta Eca (*1932), italského literárního teoretika, estetika a spisovatele, nazvanou Jak napsat diplomovou práci [9], v níž jsou diskutovány þetné zkušenosti týkající se zadávání a sepisování diplomových prací; mnohé z nich lze rovnČž úspČšnČ využít pĜi práci na disertacích z dČjin matematiky. Velmi cenné myšlenky a podnČty pro studium vývoje vČdy (a tedy i matematiky) jsou v nedávno vydané knize Daniela Špeldy PromČny historiografie vČdy [15].
2
Monografie vČnované osobnostem
Cílem první þásti tohoto þlánku je shromáždČní nejdĤležitČjších metodických pokynĤ pro pĜípravu komplexnČ pojatých biografických monografií v duchu výše uvedených svazkĤ edice DČjiny matematiky. Tvorba takovýchto monografií podrobnČ mapujících životy a díla významných þeských matematikĤ, kteĜí ovlivnili vývoj matematického bádání v þeských zemích, nČkterými svými výsledky se zaĜadili do svČtové matematiky a výrazným zpĤsobem zasáhli do trendĤ ve vyuþování matematice na našich stĜedních i vysokých školách, byla zapoþata na MFF UK již v osmdesátých letech 20. století. Širším cílem tČchto monografií je mapování rozvoje vČdecké práce v matematice, vývoje vyuþování matematice a obecnČji života þeské matematické komunity ve druhé polovinČ 19. století a v první polovinČ 20. století (sjednocující monografií je práce [8]). PrávČ k tomuto cíli smČĜuje pomČrnČ obsáhlé studium veškeré vČdecké, odborné, pedagogické a organizaþní práce vybraných výrazných osobností – matematikĤ, vþetnČ podrobného poznání jejich životních osudĤ, jejich snah a dalších aktivit. Mnohé práce publikované v edici DČjiny matematiky navíc dobĜe ukazují, že lze napsat nejen odbornou, ale v ĜadČ partií i pomČrnČ þtivou práci.3 Monografie vČnovaná zvolené osobnosti X by se mČla skládat z následujících vČtších celkĤ, které vytvoĜí její základní, rámcovou strukturu:
3
Mnohé þlánky vČnované významným osobnostem bývají þasto sepisovány pomČrnČ narychlo, nČkdy z povinnosti jako jubilejní þlánky þi nekrology. Bohužel se stává, že jsou jen pĜepisovány a mírnČ modernizovány dĜívČjší texty. Staré chyby a nedopatĜení jsou tak mnohdy pĜenášeny do nových þlánkĤ, nČkteré skuteþnosti zĤstávají deformovány, jiné zatemnČny. Jen málokdy je provedena hlubší analýza, byĢ jen nČkteré dílþí odborné problematiky. Širší faktografie nejsou vytváĜeny vĤbec.
95
1. 2. 3. 4. 5.
Životní osudy. VČdecká a odborná þinnost. Faktografické pĜílohy. Obrazová pĜíloha. Resumé.
Faktografické pĜílohy by mČly obsahovat (pokud možno) úplný seznam prací zvolené osoby X (monografií, uþebnic, vČdeckých a odborných prací, metodických a popularizaþních þlánkĤ, nepublikovaných rukopisĤ atd.) doplnČný pĜesnými odkazy na referativní þasopisy, na publikované recenze, na webové stránky, kde jsou tyto práce vystaveny apod., soupis všech publikovaných recenzí (pĜípadnČ i nepublikovaných posudkĤ) napsaných osobou X, pĜehled pedagogické þinnosti, seznam vedených a posuzovaných doktorských prací, seznam dochované korespondence s uvedením míst jejího uložení apod.4 PĜi vyhledávání informací a údajĤ pro faktografické pĜílohy v archivech a knihovnách je nutno postupovat systematicky, velmi peþlivČ a vyvinout maximální snahu o úplnost. Tato partie by mČla být zpracovávána pĜednostnČ, neboĢ shromažćuje materiál, z nČhož se bude vycházet pĜi sepisování ostatních kapitol pĜipravované práce – životní osudy, popis a hodnocení vČdecké, odborné, pedagogické a veškeré další þinnosti zvolené osoby X. BČhem celé doby, po níž na tématu pracujeme, je tĜeba informace pro faktografické pĜílohy soustavnČ doplĖovat. Cílem této þásti práce je totiž podat co nejúplnČjší pĜehled všech aktivit osoby X. V matematických kruzích nebývá zvykem sestavovat podrobnou faktografii ve výše uvedeném smyslu; vČtšinou se vystaþí se soupisem publikací (mnohdy neúplným), který nČkdy dokonce zcela chybí. Prakticky nikdy nebývá sepsán pĜehled pedagogického pĤsobení, soupis vedených a oponovaných doktorských disertaþních prací, pĜehled dochované korespondence apod. Faktografie jsou v matematických kruzích málo cenČné, neboĢ jejich sestavení nevyžaduje matematickou erudici. VytvoĜení podrobné faktografie je þasovČ nároþné, neboĢ je tĜeba shromáždit, zpracovat a analyzovat rozsáhlý, rĤznorodý a pomČrnČ bohatý materiál. Lze ji však pozdČji dobĜe využít k následnému komplexnímu hodnocení zkoumané osobnosti, neboĢ máme k dispozici podrobný pĜehled všech jejích aktivit (vČdeckých, odborných, pedagogických a dalších). K danému þasovému okamžiku pak je možno snadno zjistit, na jakých tématech osoba X pracovala, co, kde a v jakém rozsahu vyuþovala, zda a jak souviselo zamČĜení vČdecké práce s výukou, zda a kdy byly výsledky vČdecké práce prezentovány na konferencích, semináĜích atd. Lze pomČrnČ lehce usoudit, zda byla nebo nebyla zpracovávána moderní problematika, zda bylo rozpracováno souþasnČ více rĤzných témat apod. Dále lze zjistit, jaké doktorské práce osoba X zadávala, oponovala, zda výsledky doktorandĤ využívala, nebo zda naopak doktorandi rozvíjeli myšlenky svého uþitele. Lze také vnímat charakter veškerých aktivit osoby X; zda pĜevažovala vČdecká þi pedagogická þinnost, jak vypadala její širší spoleþenská, politická, národnostní a kulturní aktivita, zda se do odborných aktivit promítaly rodinné þi spoleþenské problémy apod. Podrobnou faktografii je možno využít i pĜi hlubším studiu dílþího problému zdánlivČ nesouvisejícího se studovanou osobností.
4
Je pochopitelné, že se faktografické pĜílohy rĤzných osob mohou znaþnČ lišit svým rozsahem i charakterem – souvisí to s odlišným zamČĜením práce a aktivit jednotlivých osobností a s množstvím dochovaných materiálĤ.
96
Sestavujeme-li seznam publikací, vycházíme, máme-li štČstí, z dĜíve publikovaného soupisu prací v nekrologu nebo jubilejním þlánku; ten provČĜujeme, doplĖujeme a upĜesĖujeme. Pokud nemáme k dispozici starší soupis prací, opíráme se pĜi prvním pátrání o údaje v biografických a bibliografických slovnících, o referativní þasopisy, o jejich elektronické verze, v nichž je zabudován systém vyhledávání. Další informace þerpáme z katalogĤ a databází knihoven, výroþních zpráv stĜedních škol, spolkĤ a spoleþností. Tato práce nČkdy pĜedstavuje pĜímo detektivní pátrání. Zejména tehdy, rozhodneme-li se vyhledávat i þlánky publikované v denním tisku nebo v popularizaþních þasopisech. Pak je tĜeba se obrnit trpČlivostí; nejprve vytipovat hlavní þi regionální periodika, v nichž by mohly být takové þlánky vytištČny, a pak prolistovat stovky a tisíce stránek s nadČjí na pozitivní výsledek. ýlánky, které takto objevíme, však mohou objasnit popularizaþní, ale i politické, sociální þi kulturní aktivity a názory zkoumané osobnosti. PodobnČ sestavujeme soupis recenzí. Sepisujeme-li seznam pedagogického pĤsobení a pĜehled oponovaných doktorských prací, je tĜeba peþlivČ projít seznamy pĜednášek na pĜíslušné univerzitČ, resp. technice, nČkdy katalogy posluchaþĤ, knihy rigoros, archivní fondy jednotlivých škol (posudky na doktorské práce, archivované práce, zápisy ze zasedání profesorských sborĤ apod.), výroþní zprávy stĜedních škol, školní kroniky apod. PotĜebné informace však mĤžeme najít i v nekrologu, v osobních pamČtech nebo v pamČtech þi vzpomínkách kolegĤ, žákĤ, pĜátel apod. Situace s korespondencí je komplikovanČjší. NejþastČji zaþínáme pátrat v osobní pozĤstalosti, která mĤže být v soukromém vlastnictví nebo v archivu þi nČkolika archivech. Další korespondence þasto bývá – pokud vĤbec existuje – rozptýlena na nejrĤznČjších místech ve fondech rodinných pĜíslušníkĤ, kolegĤ, žákĤ, pĜátel, spolkĤ, organizací apod. NČkdy se podaĜí vyhledat nebo objevit vČtší soubor dopisĤ; ten je pak cenným materiálem hlavnČ pro biografickou þást monografie. Velmi þasto je však objem zachované korespondence nepatrný. Faktografické pĜílohy nejsou jen samoúþelným prodloužením monografie; stojí na poþátku seriózního hodnocení života a díla osoby X. Opomineme-li sestavení kvalitní faktografie, zbavujeme se tak možnosti získat kompletní obraz. Obrazové pĜílohy výraznČ dokreslují atmosféru doby. Mohou obsahovat podobizny þi fotografie osoby X, její rodiny, kopie zajímavých archivních materiálĤ (vysvČdþení, zápisy v matrikách a v katalozích studentĤ, korespondence, rukopisy apod.), titulní listy uþebnic þi nejvýznamnČjších prací. Autor pĜipravované práce by mČl pamatovat na obrazové pĜílohy bČhem celé doby, kterou vČnuje danému tématu, a poĜizovat si kvalitní kopie þi fotografie všech materiálĤ, které by mohl pro obrazovou pĜílohu použít. MČl by je tedy shromažćovat souþasnČ s informacemi pro faktografické pĜílohy. Obsah obrazových pĜíloh výraznČ závisí na materiálech, které se dochovaly a podaĜilo se je najít, a rovnČž na typu osoby X. PĜílohy se tedy mohou podstatnČ lišit od jedné monografie ke druhé. Autor by mČl ve své práci uvést soupis všech obrazových pĜíloh s udáním místa uložení originálĤ. PĜi shromažćování a pĜípravČ obrazové pĜílohy je tĜeba využívat nejmodernČjší technologie (kopírování, skenování, fotografování, poþítaþové zpracovávání obrázkĤ apod.). Viz napĜ. [18]. Informace pro faktografické pĜílohy a materiály pro obrazové pĜílohy je nutno vyhledávat v knihovnách a archivech, mnohé mohou být i v soukromém vlastnictví. Ze získaných materiálĤ je tĜeba pozornČ a peþlivČ þerpat veškeré informace pro kapitolu o životních osudech osoby X a prĤbČžnČ je tĜídit, poĜádat, analyzovat, vyhodnocovat 97
a soustavnČ kompletovat. PĜi sestavování seznamu publikací osoby X je zapotĜebí vyhledat pokud možno veškeré publikace, upĜesnit jejich citace a pĜípadnČ si poĜizovat kopie tČch, s nimiž budeme muset pozdČji intenzivnČ pracovat. Dále je užiteþné shromažćovat nejrĤznČjší bibliografické odkazy, primární i sekundární literaturu vztahující se ke zpracovávanému tématu. Veškeré shromáždČné poznatky je tĜeba utĜídit ještČ pĜed zaþátkem práce na dva hlavní tematické celky, které jsou vČnovány jednak životu osoby X, jednak jeho vČdeckým, odborným, pedagogickým, organizaþním a spoleþenským aktivitám, a tyto dva celky dále podrobnČji tematicky nebo þasovČ rozdČlit a pĜipravit pro další zpracovávání. Velmi dĤležité je zaznamenávat si i veškeré negativní výsledky bádání (napĜ. které materiály byly prostudovány bez jakéhokoli výsledku). První kapitola mĤže být nazvána Životní osudy osoby X. Podrobné zpracování bČhu života osoby X je nutno sepsat na základČ informací þerpaných z materiálĤ, které byly vyhledány v archivech, knihovnách, pĜípadnČ získány od pĜíbuzných, známých apod. NČkdy je tĜeba nahlédnout v pĜíslušném archivu do fondĤ stĜedních þi vysokých škol, vyhledat nejrĤznČjší materiály a pamČti kolegĤ, souþasníkĤ, rodinných pĜíslušníkĤ apod. Životní osudy je vhodné uvádČt v souvislostech s vČdeckou, odbornou i pedagogickou aktivitou osoby X; tomu výraznČ napomáhá již zpracovaný seznam publikací, pĜehled pedagogické þinnosti a další faktografické pĜílohy. Je zajímavé upozornit na to, v jaké životní situaci napsala osoba X své nejdĤležitČjší práce, zda byly spjaty s jejím tehdejším pedagogickým pĤsobením (základní a výbČrová výuka) apod. Obsáhlou partii VČdecká a odborná þinnost osoby X je mnohdy vhodné tematicky rozþlenit. Podle charakteru veškerých aktivit osoby X lze v jednotlivých kapitolách, pĜípadnČ podkapitolách, vČnovat pozornost vČdecké práci, tj. pĤvodním matematickým výsledkĤm (tuto partii lze dále þlenit podle oborĤ, disciplín, problémĤ apod.), další odborné þinnosti (redakþní práce, recenze, posudky, projekty, patenty apod.), uþebnicím (pro vysoké školy, stĜední školy apod.), pedagogickým aktivitám (role pĜednášejícího, uþitele, inspektora, zkušebního komisaĜe, školitele, oponenta diplomových, doktorských þi disertaþních prací apod.), organizaþním a spoleþenským aktivitám (role ve vČdeckých komunitách), popularizaþním aktivitám apod. PĜi zpracovávání této partie je tĜeba opČt vyjít z úplného seznamu publikací osoby X, roztĜídit veškeré práce podle jejich typu a obsahu do jednotlivých kategorií (vČdecké práce, uþebnice, práce didaktické, metodické, vzdČlávací, popularizaþní apod.), postupnČ charakterizovat jejich obsah, zhodnotit je z hlediska doby, v níž vznikly, ale i z hlediska souþasnosti, zaĜadit je do kontextu vývoje v našem regionu, v EvropČ, pĜípadnČ ve svČtČ. V pasážích vČnovaných ostatním aktivitám by mČly být popsány ty þinnosti, které není možno pĜirozeným zpĤsobem chápat jako odbornou práci v matematice a které nestaþí pĜipomenout pouze v biografické þásti publikace. Metodice zpracovávání a hodnocení vČdecké práce se budeme vČnovat v další þásti tohoto þlánku. Biografické monografie by mČly být uzavĜeny pomČrnČ obsažným cizojazyþným resumé (vČtšinou anglickým), které bude struþnČ, ale výstižnČ charakterizovat obsah jednotlivých þástí knihy. PĤvodnČ jsme se domnívali, že práce vČnované þeským matematikĤm více þi ménČ regionálního charakteru nemohou být pro zahraniþí zajímavé. ěada našich zkušeností s prezentacemi nČkterých knih na mezinárodním poli však v poslední dobČ pĜispČla k zásadní zmČnČ našich názorĤ. Zahraniþní badatelé totiž mají pĜekvapivČ velký zájem nejen o témata našich prací, ale i o metodiku, která v nich byla použita. I z tohoto dĤvodu bylo o biografických monografiích edice DČjiny matematiky referováno v zahraniþí (viz napĜ. [6], [7]). Poznamenejme ještČ, že se v poslední dobČ
98
pozornost (v evropském i svČtovém mČĜítku) výraznČ pĜesunuje od postav svČtového významu, které vyboþují natolik, že vĤbec necharakterizují svoji dobu (napĜ. Descartes, Kepler, Grassmann apod.), k vČdcĤm národního þi regionálního významu (napĜ. Caramuel5). ZdĤraznČme ještČ, že se úhly pohledu a hodnocení osoby X obvykle mČní již za jejího života, další názory se pak objevují v následujících desetiletích þi stoletích. V monografii je nutno podrobnČ popsat a analyzovat pĜíþiny takovýchto zmČn hodnocení v souvislosti s dalším vývojem vČdy, s postupnými zmČnami chápání vČdecké, odborné i pedagogické práce, s promČnou spoleþenské atmosféry, pĜípadnČ i v souvislosti s novČ objevenými materiály apod. DĜívČjší hodnocení je nutno upĜesnit, opravit, nebo zcela zmČnit, nalézt další aspekty jednotlivých aktivit osoby X, jiné úhly pohledu apod. Prezentovaná stanoviska je tĜeba peþlivČ zdĤvodnit, podložit je pádnými argumenty, objevenými archivními prameny, nalezenými souvislostmi, vČdeckými pracemi žákĤ, následovníkĤ apod. Takto koncipované biografické monografie pĜinášejí pomČrnČ pĜesný pohled na životní osudy a dílo jednotlivce, navozují však i Ĝadu dalších otázek. Komplexní pojetí monografie (zejména rozsáhlé, podrobné a peþlivČ sestavené faktografické pĜílohy) umožĖují dalším badatelĤm hledat nové interpretace, nové pohledy, napĜ. v rámci celkového hodnocení vČdecké práce ve zvolené disciplínČ, v daném období, v daném regionu apod.
3
Práce vČnované vývoji matematiky
Pro sepisování podrobného pojednání o vývoji nČjaké matematické disciplíny, aĢ už se jedná o širší þi užší téma (které mĤže, ale nemusí být souþástí biografické monografie), je tĜeba mít urþité matematické znalosti. Pokud chybí, je nutno je bČhem práce na tématu naþerpat studiem pĜíslušných partií vhodných uþebnic nebo monografií. Takovéto studium nelze odkládat, musí se s ním zaþít hned na samém poþátku celé práce. Co nejdĜíve je tĜeba se seznámit se základními matematickými pojmy a výsledky, ty jsou totiž nutným pĜedpokladem hlubšího pochopení daného tématu. Poznamenejme, že historik matematiky nemusí studované problematice rozumČt do všech detailĤ, nemusí (a mnohdy ani nemĤže) znát dĤkazy matematických tvrzení, které spadají do oblastí, o nichž svou práci píše.6 Musí však chápat celkový smysl dané teorie, význam jejích výsledkĤ, musí vnímat širší souvislosti, vztah k jiným disciplínám atd. PĜi hodnocení odborných aktivit zvolené osobnosti je nejtČžší partií právČ þást vČnovaná jejím matematickým výsledkĤm. Situace je velmi þasto znaþnČ komplikovaná tím, že matematika je dnes podstatnČ odlišná od matematiky doby více nebo ménČ vzdálené. NČkteré matematické disciplíny více þi ménČ odumĜely, dnes se již nepČstují, jiné se naopak bouĜlivČ rozvíjejí, mnohé oblasti matematiky se nČkolikrát zcela zásadnČ modernizovaly, pĜetvoĜily a zobecnily, byly pĜeformulovány do moderní Ĝeþi, která se výraznČ liší od té starší, v níž se musíme orientovat. PĜi sepisování stati o vývoji matematických výsledkĤ a myšlenek je zcela nezbytné se vyrovnat s postupnými zmČnami a promČnami pojmĤ, termínĤ a symbolĤ, 5 V Ĝíjnu roku 2006 se v Praze a Hradci Králové konala velká konference u pĜíležitosti 400. výroþí narození Juana Caramuela z Lobkovic (1606–1682). 6 NejkĜiklavČjšími pĜíklady jsou zejména rozsáhlý dĤkaz Feitovy-Thompsonovy vČty o Ĝešitelnosti každé koneþné grupy lichého Ĝádu, dĤkaz Velké Fermatovy vČty, dĤkaz tvrzení o þtyĜech barvách, dĤkazy spadající do teorie popisu jednoduchých grup atd.
99
s pĜeklady, interpretacemi a modernizacemi starších výsledkĤ atd. (viz [2]). Matematické výsledky doby minulé je tĜeba pochopit v kontextu tehdejší matematiky, vyložit je v pojmech a symbolech dnešní matematiky, ukázat jejich pĤvodní i souþasný význam. Vhodným poþátkem k získávání potĜebného matematického povČdomí o daném tématu mĤže být studium vybraných hesel v moderním matematickém slovníku nebo encyklopedii; pak lze pĜejít ke starším slovníkĤm a encyklopediím (pokud takové jsou) z doby vzniku výsledkĤ, jimiž se zabýváme. Velmi užiteþnou službu též poskytnou staré uþebnice nebo monografie, které se danou problematikou zabývají.7 V nich se seznámíme s pojmy i tvrzeními, s nimiž se setkáváme pĜi studiu pĤvodních prací. SouþasnČ je nezbytné seznámit se v hrubých rysech s vývojem pĜíslušné oblasti, pokud je popsán v nČjaké vČtší monografii z dČjin matematiky. Po takovémto širším seznámení s tématem je vhodné vyhledat þasopisecké þlánky, které o vývoji této problematiky podrobnČji pojednávají. Všechny tyto prameny jsou tzv. sekundární. Pro první seznámení s tématem jsou však užiteþné. Musíme je studovat s porozumČním, i zde se vyplatí peþlivost a dĤslednost. Po této pĜípravČ je možno se pustit do vlastního studia souboru prací (ten tvoĜí tzv. primární zdroje neboli primární prameny), které jsou vlastním tématem naší práce. ÚspČšnČ lze pĜitom využít referativní þasopisy, resp. odpovídající elektronické databáze, v nichž jsou þasto struþnČ popsány hlavní výsledky a nČkdy též ukázány souvislosti s dalšími pracemi. SouþasnČ je tĜeba se seznámit se stavem studované disciplíny na poþátku þasového intervalu, kterým se budeme zabývat (výsledky pĜedchĤdcĤ), neboĢ je nutno objevit, co nového pĜinesl soubor prací, kterým se zabýváme. Ve stejném smyslu je zapotĜebí se vČnovat pracím souþasníkĤ i následovníkĤ; je dĤležité ukázat, na které myšlenky a výsledky zkoumaného souboru prací bylo navazováno a v jakém smyslu, zda úspČšnČ þi neúspČšnČ, které výsledky byly nosné a které nikoli. Ke zjišĢování návaznosti jednotlivých prací je nČkdy možno vytČžit užiteþné informace z jejich úvodĤ a závČrĤ, a zejména z citované literatury.8 HovoĜíme o zaĜazení do celkového kontextu vývoje. Souvislosti a návaznosti jednotlivých prací lze velmi dobĜe znázornit na tzv. grafu. Jednotlivé práce oþíslujeme, resp. oznaþíme nČjakými symboly a vyznaþíme na papíĜe zhruba tak, aby starší práce byly (ve vrstvách) vždy nad novČjšími. Šipkami lze naznaþit, která práce na kterou navazuje, þárkovanými, resp. þerchovanými þarami, pĜípadnČ vlnovkami lze naznaþovat jiné vztahy. Získaný graf lze postupnČ doplĖovat o další práce a další souvislosti. RĤznými barvami lze znázorĖovat þlánky, uþebnice, monografie apod.; barvy lze však úspČšnČ využívat i dalšími zpĤsoby. Souvislé komponenty vytvoĜeného grafu budou pĜedstavovat práce, které spolu nČjak souvisejí, izolované body naopak práce, které jsou zcela singulární. Zpracování získaných informací v grafu je názorné a silnČ inspirující. PĜemýšlení nad takovýmto grafem nás þasto motivuje k zajímavým úvahám o vývoji dané problematiky, pĜicházející nápady je nutno velmi peþlivČ a zodpovČdnČ provČĜovat, abychom neprezentovali lehkomyslné nepodložené fantazie, þi pĜímo omyly. Je tĜeba se nauþit klást rozumné otázky a pokoušet se hledat odpovČdi. Poznamenejme ještČ, že základní myšlenky pracovní metody je možno vypozorovat pĜi studiu obdobnČ koncipovaných prací, pĜi sledování práce zkušenČjších kolegĤ; dotvoĜit si ji však musí každý sám podle své nátury, podle svého pracovního naladČní.
7
ýetné zdroje pro naši práci jsou uvedeny v [1]. Ve starší literatuĜe bývala užitá literatura citována v poznámkách pod þarou, v ještČ starší se vČtšinou necitovalo vĤbec nebo jen velmi málo, obvykle však nepĜesnČ a neúplnČ. 8
100
PĜi sepisování pojednání o vývoji urþité disciplíny, resp. podrobného hodnocení významu nČjakého souboru prací je nezbytné zachovávat kritický pĜístup, získané informace peþlivČ provČĜovat a porovnávat (obþas se setkáváme i se zcela protichĤdnými informacemi), intenzivnČ dohledávat další a další hodnocení, odlišovat podstatné a nepodstatné, snažit se o nové pohledy, nalézat zajímavé souvislosti, objevovat návaznosti prací, výstižnČ popisovat vývoj pojmĤ a výsledkĤ, zrod problémĤ a historii jejich Ĝešení atd. Poznamenejme, že kvalitní práce z jakéhokoli oboru, tedy i z dČjin matematiky, musí obsahovat správné a netriviální pĤvodní výsledky, musí prokazovat znaþný intelektuální vklad, musí být napsána kultivovanČ, musí být jasnČ vidČt, že do ní bylo vloženo nezanedbatelné množství práce. Musí být doplnČna odpovídajícím seznamem literatury, který obsahuje všechny tituly, jež byly pĜi sepisování práce použity, a žádné jiné. Kvalita práce, poctivý a seriózní postup se velmi þasto pozná právČ podle seznamu publikací – zda nechybí nČkteré ze základních dČl, která mČla být využita, zda jsou citace kompletní, zda jsou ĜádnČ a správnČ v textu uvedeny všechny dĤležité odkazy.
4
ZávČr
Historie matematiky je výraznČ mezioborovou disciplínou. Práce v tomto oboru totiž vyžaduje jak dobré porozumČní matematice a její historii, tak široké znalosti z obecné historie, z pomocných vČd historických, z historie vyuþování matematice, ale velmi þasto i z astronomie, fyziky apod. Kvalitní pojednání z historie matematiky umožĖují nejen soustavné a hlubší poznávání vývoje matematiky, které je užiteþné pro široké vidČní vztahĤ a souvislostí, ale dávají i Ĝadu podnČtĤ pro vlastní matematické bádání. Myšlenky vynikajících matematikĤ doby minulé mohou být totiž dnes v novém kontextu znovu využity, mohou inspirovat souþasné tvĤrþí matematiky k novým smČrĤm výzkumu. Dobrá znalost vývoje matematiky pĜináší též þetné možnosti popularizace matematiky a poskytuje pestré a nápadité motivace pro výuku matematiky na stĜedních i vysokých školách. Literatura [1] BeþváĜ J., BeþváĜová M.: Práce historika matematiky. 29. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké MeziĜíþí, 22. 8. – 26. 8. 2008, Matfyzpress, Praha, 2008, 73–90. [2] BeþváĜ J.: Interpretace matematických výsledkĤ našich pĜedkĤ. 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíþko, 21. 8. – 25. 8. 2009, Matfyzpress, Praha, 2009, 59–86. [3] BeþváĜ J.: Historie matematiky již potĜicáté! 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíþko, 21. 8. – 25. 8. 2009, Matfyzpress, Praha, 2009, 9–17. [4] BeþváĜ J.: Edice DČjiny matematiky. Sjezdový sborník, Jednota þeských matematikĤ a fyzikĤ, LáznČ Bohdaneþ, 2010, 95–103. [5] BeþváĜová M.: Josef Smolík (1832–1915). Nakladatelství ýVUT, Praha, 2007, 254 stran, xxiii stran obrazových pĜíloh. [6] BeþváĜová M.: Czech Project in History of Mathematics (Biographical Monographs. Evaluation of Scientific and Pedagogical Work). N. T. M. 12(2004), 40–48.
101
[7] BeþváĜová M.: Biographical Monographs – Evaluation of Scientific and Pedagogical Work. In Zigman P. (Hg.): Die biographische Spur in der Kultur- und Wissenschaftsgeschichte, Verlag IKS Garamond, Jena, 2006, 65–76. [8] BeþváĜová M.: ýeská matematická komunita v letech 1848 až 1918. Edice DČjiny matematiky, svazek þ. 34, Matfyzpress, Praha, 2008, 355 stran. [9] Eco U.: Jak napsat diplomovou práci. Votobia, Olomouc, 1997, 276 stran. [10] FrancĤ J. (ed.): Miloš Zlámal. Zakladatel matematické teorie metody koneþných prvkĤ. Vysoké uþení technické v BrnČ, Nakladatelství VUTIUM, Brno, 2006, 125 stran. [11] Lukeš J., Netuka I., Veselý J. (ed.): Professor Gustave Choquet. Doctor Universitatis Carolinae Honoris Causa Creatus. Matfyzpress, Praha, 2002, 139 stran. [12] Malina J. (ed.): Otakar BorĤvka. Nadace Universitas Masarykiana – Edice osobnosti, Nakladatelství Granos Plus, Brno, 1996, 240 stran. [13] Malina J., Novotný J. (ed.): Kurt Gödel. Nadace Universitas Masarykiana – Edice Osobnosti, Nakladatelství Georgetown, Brno, Nakladatelství a vydavatelství Nauma, Brno, 1996, 268 stran. [14] Novák B. (ed.): Life and Work of VojtČch Jarník. 1897–1970. Society of Czech Mathematicians and Physicists, Prometheus, Prague, 1999, 199 stran. [15] Špelda D.: PromČny historiografie vČdy. Filosofia, Praha, 2009, 343 stran. [16] Úlehla I.: Vladimír Úlehla. Nadace Universitas Masarykiana – Edice Osobnosti, Nakladatelství Albert, Boskovice, Nakladatelství Jota, Brno, Nakladatelství Svoboda, Praha, 1994, 222 stran. [17] TČšínská E., Dolejšek Z., Heyrovský M., Rotter M. (ed.): Fyzik Václav Dolejšek (1895–1945). Matfyzpress, Praha, 2005, 288 stran. [18] Otakar BorĤvka. 10. 5. 1899 – 22. 7. 1995. Spoleþnost Otakara BorĤvky, Brno, 1999, iii + 54 stran + 14 obrazových pĜíloh. PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR 409/08/0012 Karel Zahradník (1848–1916) a specifického vysokoškolského výzkumu Doktorské studium oboru M8 – decentralizovaný rozvojový projekt Ĝešený v roce 2010 na MFF UK. Adresa Doc. RNDr. JindĜich BeþváĜ, CSc. Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected] Doc. RNDr. Martina BeþváĜová, Ph.D. Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní, ýeské vysoké uþení technické Na Florenci 25 110 00 Praha 1 e-mail:
[email protected]
102
111 LET OD PěÍCHODU KARLA ZAHRADNÍKA DO BRNA MARTINA BEýVÁěOVÁ Abstract: The main aim of this paper is to inform the reader about Karel Zahradník and his work in mathematics and his contributions to other fields in the Czech lands, Moravia and Croatia. This paper is based on documents about Zahradník’s life and work that are preserved in archives and libraries in Prague, Brno, Zámrsk and Litomyšl in the Czech Republic, as well as in Zagreb, Croatia. Some information was gathered from family memoirs and the memoirs of Zahradník’s colleagues and friends.
1 Studium Karel Zahradník se narodil 16. dubna 1848 v Litomyšli v rodinČ mČšĢana.1 V letech 1860 až 1868 studoval na piaristickém gymnáziu v Litomyšli. Po maturitČ odešel do Prahy; v letech 1868 až 1870 navštČvoval na pražské polytechnice pĜedevším pĜednášky z matematiky a deskriptivní geometrie (F. J. Studniþka, F. Tilšer). Roku 1870 pĜešel na pražskou univerzitu, kde se jeho zájem soustĜedil na matematiku, fyziku a astronomii (profesoĜi H. J. K. Durège, W. Matzka, E. Mach, F. Lippich, K. Hornstein). Studia ukonþil v roce 1874, kdy získal doktorát z filozofie. Protože ho lákalo uþitelské povolání, složil zkoušky uþitelské zpĤsobilosti, které ho opravĖovaly k výuce matematiky a fyziky na stĜedních školách. JeštČ jako univerzitní student získal místo asistenta matematiky na þeské technice v Praze, které zastával až do roku 1875. V roce 1874 byl jmenován suplujícím profesorem matematiky na I. reálném vyšším gymnasiu v Praze; vyuþoval zde až do roku 1876. TýdnČ míval 15 až 18 hodin; navíc spravoval fyzikální kabinet a sbírku fyzikálních pomĤcek a pĜístrojĤ.
2 Chorvatské pĤsobení Roku 1876 odešel do ZáhĜebu na Mudroslovnij fakultet novČ zĜízené univerzity Františka Josefa I. (založena 1874).2 Až do roku 1890 zde byl jediným vysokoškolským profesorem matematiky, který uþil chorvatsky algebru, diferenciální a integrální poþet, analytickou, syntetickou a projektivní geometrii, teorii þísel, pravdČpodobnost a komplexní analýzu.3 TýdnČ míval 5 až 8 hodin pĜednášek. ZamČĜil se pĜedevším na výchovu budoucích stĜedoškolských uþitelĤ.4 Po pĜíchodu do ZáhĜebu sestavil první
1
O jeho životním osudu a osudech þlenĤ jeho rodiny bylo referováno na 25. konferenci Historie matematiky, Velké MeziĜíþí 2004. Viz též [1], [3] až [6], [10]. O vzniku a vývoji záhĜebské univerzity viz napĜ. Sveuþilište u Zagrebu. Spomenica prirodoslovnomatematiþkog fakulteta 1874–1974. Prilikom stogodišnjice organiziranog znanstvenog i nastavnog rada iz prirodnih i matematiþkih znanosti. Matematiþki odjel sepsal M. Vuþkiü, Izdao Prirodoslovno-matematiþki fakultet Sveuþilišta u Zagrebu uz pomoü Republiþkog savjeta za nauþni rad, Zagreb, 1974. 3 Teprve v roce 1891 byla výuka matematiky na záhĜebské univerzitČ personálnČ posílena. Od tohoto roku D. Segen (první ZahradníkĤv doktorand) zaþal pĜednášet geometrii a o þtyĜi roky pozdČji ZahradníkĤv žák V. Variüak zaþal pĜednášet matematickou analýzu. 4 Od roku 1892 byl þlenem státní zkušební komise pro kandidáty uþitelství na stĜedních školách s chorvatským vyuþovacím jazykem. 2
103
matematická kurikula, pravidla pro dílþí i závČreþné zkoušky. Dohlížel na zkoušky uþitelské zpĤsobilosti pro všechny aprobace s matematikou na stĜedních školách s chorvatským vyuþovacím jazykem. PĜi všech tČchto aktivitách byl inspirován prací svého uþitele a pĜítele Františka Josefa Studniþky, jehož považoval za svĤj vzor. S urþitým þasovým zpoždČním rozvíjel v ZáhĜebu obdobné aktivity jako F. J. Studniþka v Praze. V letech 1883/1884 a 1892/1893 byl dČkanem filozofické fakulty, v letech 1896 až 1899 Ĝeditelem univerzitního matematického ústavu. Od roku 1886 stál v þele „matematického semináĜe“, který zĜídil pro talentované studenty; zde vznikaly první odborné práce chorvatských matematikĤ. V roce 1893 založil „matematickou sbírku“, která obsahovala nejrĤznČjší matematické pomĤcky a modely. BČhem více než dvacetiletého pĤsobení v ZáhĜebu vychoval první generaci chorvatských stĜedoškolských a vysokoškolských profesorĤ (napĜ. D. Segen, V. Variüak), vedl první chorvatské doktorandy, sepsal první chorvatské uþebnice matematiky a odborné práce,5 výraznČ také ovlivnil chorvatskou terminologii v geometrii a algebĜe. V sedmdesátých letech pĜekládal své menší þasopisecké práce do chorvatštiny, pozdČji v tomto jazyce uveĜejĖoval pĤvodní práce a sepisoval stĜedoškolské i vysokoškolské uþebnice. V roce 1878 vydal v ZáhĜebu malou knížeþku nazvanou O determinantih drugoga i treüega stupnja. Za porabu viših srednjih uþilišta,6 kterou o rok pozdČji pĜeložil do þeštiny a vydal v Praze pod názvem Prvé poþátky nauky o determinantech. Pro vyšší stĜední školy.7 Vznikla z jeho pĜednášek, jež mČl ve školním roce 1876/1877 pro zaþínající univerzitní studenty. Pro þeské studenty sepsal uþebnici Analytická geometrie v rovinČ, která však nebyla v ýechách kladnČ pĜijata a nedostalo se jí velkého rozšíĜení.8 Oblíbenou se naopak stala jeho sbírka úloh Geometrijska vježbenica za više razrede srednjih uþilišta, kterou sepsal v 90. letech 19. století s Davidem Segenem.9 Na konci 19. století ještČ vyšly jeho chorvatské litografované vysokoškolské pĜednášky O determinantima. Predavanja u zimskom semestru godine 1897/810 a O plohama i o krivuljama u prostoru. Predavanje u ljetnom semestru godine 1898.11 Byly to jedny z prvních chorvatských vysokoškolských uþebnic matematiky. Pro studenty þeské brnČnské techniky na poþátku 20. století upravil a vydal své chorvatské pĜednášky z analytické geometrie, teorie determinantĤ a matematické analýzy.12 Jeho zásluhou vyšly v chorvatštinČ Kapesní logarithmické tabulky
5
Více viz [3] a Kuüan Ž.: 120 godina nastave prirodoslovlja i matematike na Sveuþilištu u Zagrebu, 21. travnja 1876 – 21. travnja 1996, Spomenica PMF, Sveuþilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematiþki fakultet, Zagreb, 1996. 6 Zagreb, 1878, 39 stran. 7 Praha, 1879, 48 stran. 8 Praha, 1883, 142 stran. 9 Geometrijska vježbenica za više razrede srednjih uþilišta. Svazek I., Planimetrija i stereometrija. Svazek II., Trigonometrija i analitiþna geometrija. Svazek I., Zagreb, 1896, 105 stran; 2. vydání, Zagreb, 1905, 119 stran; 3. vydání, Zagreb, 2003, 119 stran; Svazek II., Zagreb, 1899, 146 stran. V roce 1904 byla sbírka pĜeložena V. N. Ikonomovem do bulharštiny. 10 Zagreb, 1898, 112 stran. 11 Zagreb, 1898, 152 stran. 12 Nejprve byla publikována Analytická geometrie v rovinČ. PĜednášky z vyšší mathematiky I. bČh, Brno, 1903– 1904, 198 stran, pak byly otištČny uþební texty O determinantech. PĜednášky z vyšší mathematiky I. bČh, þást úvodní, Brno, 1903–1904, 62 stran, PĜednášky o integraci differenciálních rovnic obyþejných. Letní semestr 1904, Brno, 1904, 174 stran, a nakonec O plochách druhého stupnČ. Z pĜednášek v zimním pololetí 1910/1 na c. k. þeské vysoké škole technické v BrnČ, Brno, 1911, 151 stran.
104
F. J. Studniþky. Na konci sedmdesátých let 19. století zaþal do chorvatštiny pĜekládat Studniþkovu stĜedoškolskou uþebnici Algebra pro vyšší tĜídy stĜedních škol,13 jejíž vydání však chorvatská vláda nepovolila.14 Karel Zahradník položil základy chorvatské matematiky a výraznČ pĜispČl k rozvoji chorvatské matematické komunity. AktivnČ se zapojil do práce matematickopĜírodovČdecké sekce chorvatské akademie vČd, v níž konal odborné i popularizaþní pĜednášky a publikoval práce. Zásadním zpĤsobem ovlivnil i rozvoj matematické þásti þasopisu Rad Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti u Zagrebu.15 Zatímco v Chorvatsku je jeho práce dodnes oceĖována a jeho jméno je stále živé,16 v ýechách je neprávem opomíjen, aþkoliv po celý život spolupracoval s Jednotou þeských mathematikĤ.17
3 PĤsobení na c. k. þeské vysoké škole technické v BrnČ V roce 1899 se Karel Zahradník vrátil do vlasti. Jeho návrat souvisel se vznikem nové þeské techniky v BrnČ, ale také s osobní životní krizí (v ZáhĜebu mu v prĤbČhu nČkolika málo let zemĜela manželka i obČ dospČlé dČti).18 V roce 1899 se stal prvním rektorem brnČnské þeské techniky. Spolu s J. Sobotkou, J. J. Jahnem a H. Schwaigrem vytvoĜil první profesorský sbor této školy a nemalou mČrou pĜispČl k jejímu zdárnému uvedení v život i k jejímu dalšímu rozvoji. V rektorském kĜesle stanul i v roce 1900/1901. V roce 1908 císaĜ František Josef I. povolil þeské technice v BrnČ otevĜít nový studijní obor nazvaný kulturní inženýrství, který zahájil výuku od školního roku 1909/1910. Ve školním roce 1910/1911 byl Karel Zahradník jeho dČkanem a v následujícím roce prodČkanem.19 Od prvních dnĤ se s nesmírným úsilím pustil do budování nejenom celé þeské techniky, ale také jejího prvního matematického ústavu, který byl založen roku 1899, organizace matematické knihovny, do tvorby nových uþebních osnov a uþebních textĤ. KompletnČ musel zmČnit styl výuky, neboĢ již nepĜipravoval budoucí uþitele þi odborné matematiky, ale budoucí inženýry. Po vzoru þeské techniky v Praze a nČmecké techniky v BrnČ zavedl dvouletý cyklus základních matematických pĜednášek. TýdnČ míval 6 až 8
13 První vydání je z roku 1877, druhé z roku 1879. V letech 1878 a 1879 vydal F. J. Studniþka i nČmecké verze této uþebnice. 14 Viz Zahradníkovy dopisy uložené ve fondu „F. J. Studniþka“ v Literárním archivu Památníku národního písemnictví v Praze. Viz též BeþváĜová-NČmcová M.: František Josef Studniþka (1836–1903), edice DČjiny matematiky, svazek þ. 10, Prometheus, Praha, 1998. 15 V letech 1878 až 1899 uveĜejnil Karel Zahradník v Radu více než 25 rozsáhlých studií. Bez zajímavosti jistČ není ani to, že do roku 1885 byl jediným autorem matematických prací otiskovaných v tomto periodiku. Z prvních 21 matematických prací uveĜejnČných v tomto þasopisu je 20 z pera þeského autora a ze 43 prací otištČných do roku 1898 jich 30 bylo napsáno þeskými autory. Jednalo se o rozsáhlé Zahradníkovy þlánky a studie a o drobnČjší pĜíspČvky þeských autorĤ J. S. VanČþka, A. Strnada, F. J. Studniþky a E. Doležala, které K. Zahradník pro spolupráci získal, a jejichž práce doporuþil k otištČní. 16 Jeho portrét byl na diplomech, které udČlovalo chorvatské ministerstvo kultury a sportu nejlepším ĜešitelĤm matematické olympiády v roce 2000. 17 O pĤsobení Karla Zahradníka v ZáhĜebu viz BeþváĜová M.: Czech Mathematicians and Their Role in the Development of National Mathematics in the Balkans, str. 9–31. In BeþváĜová M., Binder Ch. (eds.): Mathematics in the Austrian-Hungarian Empire, Edition History of Mathematics, Volume 41, Matfyzpress, Prague, 2010. 18 Viz též [1], [3] až [5]. 19 O vzniku a vývoji þeské techniky v BrnČ viz FranČk O.: DČjiny ýeské vysoké školy technické v BrnČ do roku 1945 (1. díl), Tiskárna Rudého práva, Vysoké uþení technické v BrnČ, Brno, 1965.
105
hodin pĜednášek a cviþení. Od školního roku 1904/1905 byl þlenem zkušební komise pro první státní zkoušky studentĤ stavebního a strojního inženýrství, od školního roku 1906/1907 þlenem obdobné komise pro zemČmČĜiþe, od roku 1909/1910 þlenem obdobné komise pro studenty kulturního inženýrství a od následujícího školního roku zasedal u prvních státních zkoušek všech odborĤ kromČ chemie. MČl možnost sledovat rozvoj þeské brnČnské techniky v jejích prvních patnácti letech. Musel si jistČ plnČ uvČdomovat, že dílo, u jehož zrodu stál, se neobyþejnČ zdaĜilo, neboĢ v roce 1899 škola zaþínala s 53 studenty jednoho oboru v pronajatých prostorách a v roce 1916 v sedmi oborech studovalo více než 500 studentĤ v nových objektech techniky na VeveĜí. Váženým þlenem profesorského sboru zĤstal až do smrti. ZemĜel 23. dubna 1916 na zápal plic. Pro své brnČnské studenty uveĜejnil dvČ uþebnice O determinantech20 a Analytická geometrie, I. díl, Geometrie bodu, pĜímky a kuželoseþek.21 Vzhledem k tomu, že je psal pro techniky, snažil se o jasný, struþný, názorný a maximálnČ srozumitelný styl výkladu.
4 OcenČní práce Dne 7. února 1902 získal Karel Zahradník titul „dvorního rady“, což bylo uznávané ocenČní udČlované v rakousko-uherské monarchii osobnostem, jež se zasloužily o rozvoj školství, vČdy, kultury apod.22 Roku 1906 byl za své zásluhy o rozvoj brnČnského školství jmenován þestným obþanem Králova Pole (dnes souþást Brna). O dva roky pozdČji obdržel za zásluhy o rozvoj školství a vČdy pomČrnČ vysoké státní vyznamenání – Ĝád Františka Josefa ve stupni komandér (neboli komtur).23
5 Spolkové aktivity Karel Zahradník stál pĜi zrodu Jednoty þeských mathematikĤ; od roku 1868 byl totiž þlenem Spolku pro volné pĜednášky z mathematiky a fysiky a v roce 1869 se podílel na jeho pĜemČnČ v Jednotu.24 PĜispČl k tomu, že Jednota roku 1870 vydala tzv. První zprávu25 a od roku 1872 zaþala vydávat své odborné periodikum ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky. Po návratu do vlasti se aktivnČ zapojil do budování brnČnského odboru Jednoty, v jehož þele stál od roku 1913.26 V dobČ svého pĤsobení v ZáhĜebu znaþnČ pĜispČl k rozvoji chorvatské matematiky. Od roku 1879 zaþal jako mimoĜádný þlen spolupracovat s Jihoslovanskou akademií vČd
20
J. Barviþ, Brno, 1905, 50 stran. A. Píša, Brno, 1907, 184 stran. 22 Karel Zahradník byl prvním profesorem þeské brnČnské techniky, který obdržel toto ocenČní. 23 ěád byl založen dne 2. prosince 1849 císaĜem Františkem Josefem I. jako odmČna za obþanské zásluhy o stát a panovnický dĤm. S jeho udČlením nebylo spojeno povýšení do šlechtického stavu. PĤvodnČ mČl tĜi základní stupnČ: velkokĜíž, komandér (neboli komtur) a rytíĜ. V roce 1869 byl pĜidán další stupeĖ nazvaný komandér s hvČzdou (tj. komtur s hvČzdou), který byl vĜazen mezi stupnČ velkokĜíž a komandér, roku 1901 pak ještČ stupeĖ dĤstojník, který byl vĜazen mezi stupeĖ komandér a rytíĜ. ěád byl osmihranný, karmínovČ smaltovaný, vykrojený zlatý kĜíž ozdobený dvouhlavým orlem umístČným mezi rameny kĜíže a nesoucím v zobáku ĜetČz, mezi jehož þlánky bylo heslo VIRIBUS UNITIS, na malém bílém štítku na líci nápis F. J. a na rubu letopoþet 1849. Komandérský (komturský) kĜíž se nosil na þervené náhrdelní stuze. Podrobnosti o udČlování Ĝádu lze najít na adrese http://www.franzferdinad.cz/cz/Cisarske-a-kralovske-vojsko/Rady-a-dekorace. 24 Viz [2] a též Houdek V.: DČjepis jednoty þeských mathematikĤ v Praze, Praha, 1872. 25 První zpráva Jednoty þeských mathematikĤ, Jednota þeských mathematikĤ, Praha, 1870, 87 stran. Spolueditorem zprávy byl M. Neumann. 26 O Zahradníkových spolkových aktivitách viz [1] až [3], [5], [6] až [10]. 21
106
a umČní, jejímž Ĝádným þlenem se stal roku 1882. Jeho zásluhou se nejlepší þeští matematici stali pĜespolními þleny této spoleþnosti, a tak byla navázána velmi úspČšná spolupráce. V letech 1891 až 1899 byl Ĝeditelem matematicko-pĜírodovČdecké sekce a velmi výraznČ ovlivĖoval publikaþní i pĜednáškové aktivity chorvatské akademie vČd.27 Díky svým odborným publikacím byl zvolen pĜespolním þlenem Královské þeské spoleþnosti nauk v Praze, dopisujícím þlenem ýeské akademie vČd císaĜe Františka Josefa I. pro vČdy, slovesnost a umČní, Královské srbské akademie vČd v BČlehradu, Circolo matematico di Palermo a Deutsche Mathematiker-Vereinigung. V letech 1900 až 1907 byl þlenem zemské školní rady pro markrabství Moravské.28 Karel Zahradník kromČ výuky, povinností s ní spojených a odborné práce vyvíjel Ĝadu aktivit, které podporovaly chudé talentované studenty v BrnČ. Od roku 1899 byl pĜedsedou a þestným þlenem Spolku k podporování chudých studentĤ. Zasloužil se o to, že „Cyrillo-MethodČjská záložna“ v BrnČ spolku vČnovala roþních 1000 korun a dalších 1000 korun na vyplácení pČti roþních stipendií. Byl také aktivním þlenem výboru PodpĤrného spolku Hlávka, který v roce 1899 založil Josef Hlávka, þeský architekt a mecenáš vČdy, umČní a studentĤ. V následujícím roce byl jmenován þestným þlenem Akademického þtenáĜského spolku Zora; jeho þinností se sice pĜíliš neúþastnil, ale vČnoval mnoho knih jeho þítárnČ. O osm let pozdČji se stal þlenem Spolku Kaunicových studentských kolejí. Když roku 1909 v BrnČ 35 jihoslovanských studentĤ založilo spolek Akademsko udruženje Jugoslavija sdružující Chorvaty, Srby a Slovince, byl Karel Zahradník spolu s profesorem Michalem Ursínym zvolen jeho þestným þlenem, neboĢ oba pomáhali JihoslovanĤm pĜi jejich studiu v BrnČ.
6 Publikaþní výsledky Karel Zahradník je autorem témČĜ stovky odborných i popularizaþních prací, vysokoškolských i stĜedoškolských uþebnic, které vycházely v nČmeckém, þeském, chorvatském a francouzském jazyce.29 Následující tabulka pĜehlednČ zachycuje jeho odborné publikaþní aktivity: Jazyk nČmecký þeský chorvatský francouzský
Poþet prací 39 36 20 1
První práce 1873 1872 1877 1899
Jeho práce zasahují do algebry (determinanty, logaritmy), matematické analýzy (základy infinitezimálního poþtu, diferenciální rovnice) a geometrie (analytická,
27 Ljetopis Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti 2(1877–1887), Zagreb, 1887, a 3(1888) až 14(1899), Zagreb, 1888 až 1899. 28 O Zahradníkových spolkových aktivitách viz [3] a [8]. 29 Sepsal 7 uþebnic a monografií, 82 odborných þlánkĤ a 14 metodicko-didaktických pĜíspČvkĤ. PĜeložil monografii G. Bellavitise nazvanou Methoda equipollencí þili rovnic geometrických (Praha, JýM, 1874). ýlánky uveĜejĖoval v þasopisech: Zprávy ze zasedání Královské þeské spoleþnosti nauk, Archiv der Mathematik und Physik, Sitzungsberichte der kaiser. Akademie der Wissenschaften in Wien, VČstník Královské þeské spoleþnosti nauk, ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky, Archiv mathematiky a fysiky, Rad Jugoslovanske akademije znanosti i umjetnosti, Nastavni vjestnik a Nouvelles annales de mathématiques. První práci publikoval roku 1872, poslední roku 1912.
107
syntetická, projektivní a algebraická geometrie, problematika vyuþování geometrie na stĜedních školách).30 Hlavním oborem jeho odborné práce byla analytická, algebraická a syntetická geometrie. V dobČ svého pĤsobení v Praze a pĜedevším pak v ZáhĜebu se vČnoval zejména teorii racionálních kĜivek a algebraických kĜivek tĜetího a þtvrtého stupnČ, k jejichž studiu používal analytické metody založené na hledání nejjednoduššího parametrického vyjádĜení (kĜivky vyjadĜoval napĜíklad jako obálky pĜímek, které mají definovánu pevnou vzdálenost od poþátku souĜadnic a svírají pevný úhel s osou x). Studoval také speciální vlastnosti rovinných kĜivek, zejména jejich transformace a involuce, a vlastnosti kuželoseþek a množin bodĤ daných vlastností odvozených z kuželoseþek. Jeho velmi oblíbeným tématem byly vlastnosti speciálních kĜivek (kisoida, kardioida, strofoida, lemniskáta a DescartĤv list). V ĜadČ þlánkĤ popisoval tzv. trojiny bodĤ, tj. množiny bodĤ daných vlastností neboli speciální trojice bodĤ ležících na kuželoseþkách nebo algebraických kĜivkách tĜetího a þtvrtého stupnČ a splĖující pĜedem zvolené netriviální podmínky. Dalšími oblastmi, které pĜitahovaly jeho pozornost, byly základy diferenciálního poþtu a jejich jednoduché aplikace v analytické geometrii kĜivek a ploch a základy analytické a elementární geometrie (viz jeho práce vČnované kvadraturám, základĤm trigonometrie, PythagorovČ þi PappovČ vČtČ). V dobČ svého pĤsobení v BrnČ sepsal více než patnáct þlánkĤ, v nichž pojednal o svých oblíbených tématech – trojiny bodĤ a jejich vlastnosti, speciální kĜivky (cisoidála, fokála a DescartĤv list), algebraické kĜivky tĜetího a þtvrtého stupnČ, biracionální transformace kubik, diferenciální rovnice a elementární geometrie.31
7 Výchova talentĤ Karel Zahradník mČl i jako vysokoškolský profesor v ZáhĜebu zájem o kvalitní výuku matematiky na stĜedních školách. UvČdomoval si, že talentované studenty je nutné podchytit již v mládí, jejich nadání podporovat a rozvíjet. Proto od poþátku sedmdesátých let 19. století až do prvního dvacetiletí 20. století psal metodické, didaktické a popularizaþní práce vČnované elementární, analytické a syntetické geometrii, trigonometrii a základĤm matematické analýzy. Jeho þlánky obvykle obsahovaly rĤzné zajímavé pohledy na elementární matematické poznatky, drobná vylepšení a zjednodušení dĤkazĤ, netradiþní motivaþní pĜíklady, rĤzné aplikace determinantĤ a diferenciálního poþtu v analytické geometrii. Sepisoval je pro talentované studenty a uþitele, aby je motivoval k dalšímu studiu a pĜedevším aby poukázal na neobvyklé souvislosti. PĜíspČvky mnohdy mČly dvČ i tĜi jazykové verze (þeskou a chorvatskou, þeskou a nČmeckou, resp. þeskou, nČmeckou a chorvatskou), které se od sebe vČtšinou témČĜ nelišily. Je zajímavé, že texty psané pro studenty neobsahovaly úplná, detailní odvození þi dĤkazy, ale jen pĜedpoklady, náznaky postupu a výsledky. Odvození, dĤkazy, výpoþty, konstrukce þi náþrtky ponechávaly þtenáĜĤm. Byly proto nároþnČjší než þlánky jeho kolegĤ, neboĢ vyžadovaly nemalou samostatnou práci þtenáĜe. Na ukázku Zahradníkova postupu uvećme dva zajímavé þlánky. Roku 1878 uveĜejnil v ýasopisu pro pČstování mathematiky a fysiky krátký þlánek nazvaný
30 31
NejnovČjší seznam Zahradníkových prací je uveĜejnČn v [3]. PodrobnČjší hodnocení Zahradníkových odborných prací lze najít v publikacích [1], [3] a [8].
108
PĜíspČvek k trigonometrii,32 který v témže roce vyšel v nezmČnČné nČmecké verzi v þasopisu Archiv der Mathematik und Physik v oddílu Miscellen pod názvem Beitrag zur Trigonometrie.33 Elementárním zpĤsobem dokázal tĜi základní vČty rovinné trigonometrie (souþet vnitĜních úhlĤ v trojúhelníku, sinová vČta a kosinová vČta). Vyšel ze soustavy b cos γ + c cos β = a, c cos α + a cos γ = b, a cos β + b cos α = c, kterou získal tak, že vyjádĜil souþet prĤmČtĤ dvou stran trojúhelníku ABC do strany tĜetí. Nejprve ji chápal jako homogenní soustavu tĜí lineárních rovnic pro tĜi neznámé a, b, c, tj. za neznámé považoval délky stran. Podmínku existence netriviálního Ĝešení vyjádĜil pomocí determinantu matice soustavy a užitím elementárních goniometrických úprav dokázal, že souþet vnitĜních úhlĤ v trojúhelníku je roven 180o. Pak eliminoval jednu stranu a jí protilehlý úhel, eliminaþní podmínku napsal opČt pomocí determinantu a jeho jednoduchou úpravou odvodil sinovou vČtu. V poslední þásti þlánku eliminací dvou úhlĤ obdržel vztah mezi zbývajícím úhlem a stranami, které jej svírají, tj. dokázal kosinovou vČtu.
ProblémĤm z matematické analýzy vČnoval Karel Zahradník pouze okrajovou pozornost, neboĢ se jeho zájem koncentroval spíše na syntetickou a algebraickou geometrii, zejména na geometrii kĜivek a ploch, ale pĜesto vytvoĜil nČkolik pČkných pĜíkladĤ. Roku 1876 uveĜejnil v þasopisu Archiv für Mathematik und Physik v oddílu Miscellen zajímavou a inspirativní úlohu nazvanou Eine Quadratur,34 která mČla toto znČní: In den Hippokrateschen Halbmond soll der grösste Kreis eingeschrieben werden. Welches ist der Ort seines Mittelpunktes, wenn sich der Scheitel des gegebenen rechtwinkligen Dreiecks auf der Peripherie des ihm umgeschriebenen Kreises bewegt.35
32
ýPMF 7(1878), str. 245–248. AMP 62(1878), str. 330–332. 34 AMP 59(1876), str. 448. 35 Zadání úlohy lze pĜeložit takto: Do Hippokratova mČsíþku má být vepsána nejvČtší kružnice. Jaké je geometrické místo jejích stĜedĤ, když se vrchol daného pravoúhlého trojúhelníku pohybuje po obvodu opsané kružnice. 33
109
V polárních souĜadnicích uvedl rovnici prĤvodiþe kĜivky, který popisoval polohu výše zmínČného stĜedu r=
a (cos ϕ + sin ϕ + 1) , 2
kde a je polomČr kružnice k opsané danému pravoúhlému trojúhelníku ABC. Odvození uvedené rovnice není nároþné. Z výše uvedeného obrázku vyplývá, že prĤmČr FE hledané kružnice m vepsané do Hippokratova mČsíþku vypoþteme takto: SD + DE − SF = a cos ϕ + a sin ϕ − a .
PolomČr kružnice m vepsané do Hippokratova mČsíþku je RF =
a cos ϕ + a sin ϕ − a , 2
a tudíž prĤvodiþ bodu R je r = SF + FR =
a (cos ϕ + sin ϕ + 1) . 2
ýtvrtina hledané kĜivky je znázornČna na následujícím obrázku.
Poznamenejme, že odvození rovnice prĤvodiþe je hezké a podnČtné cviþení ze stĜedoškolské matematiky a je dobĜe srozumitelné i pro studenty. Ve druhé þásti þlánku podle známého Leibnizova vzorce ϕ
S=
1 2 2 r dϕ 2 ϕ³1
poþítal Karel Zahradník obsah plochy ohraniþené kĜivkou r = f(ij) a prĤvodiþi r1 = f(ij1) a r2 = f(ij2). Aniž by uvedl jednotlivé kroky výpoþtu, zapsal výsledek integrace: S=
a (π + 5) . 2
110
Ve tĜetí þásti þlánku napsal: Die Fläche der Curve zerfällt in zwei Teile, in einen rationalen und einen irrationalen Teil. Schreiben wir in den festen Kreis ein Quadrat ein und dem Quadrat wieder ein Quadrat ein, dessen Seiten die Diagonalenhälften des grösseren halbiren werden, und beschreiben aus dem gemeinschaftlichen Mittelpunkte einen Kreis, dessen Radius gleich ist der Seite des kleineren Quadrats, so ist die Summe dieser drei Flächen gleich der Fäche der Curve.36
Z jeho popisu vyplývá, že mČl na mysli situaci znázornČnou na výše uvedeném obrázku, tedy 2 2 2 a2 (π + 5) = 4a + a + πa , S= 2 2 2 2 neboli obsah útvaru omezeného výše popsanou kĜivkou je roven souþtu obsahu þtverce a 2 ABCD o stranČ a 2 , obsahu þtverce EFGH o stranČ a obsahu kruhu k2 2 a 2 o polomČru . 2 Literatura [1] BeþváĜová M.: ýeská matematická komunita v letech 1848–1918. Edice DČjiny matematiky, svazek þ. 34, Ústav aplikované matematiky FD ýVUT, Matfyzpress, Praha, 2008.
36
Volný pĜeklad zní: Obsah plochy ohraniþené kĜivkou se rozpadne na dvČ þásti, na racionální þást a iracionální þást. Vepíšeme-li do pevné kružnice þtverec a þtverci opČt þtverec, jehož strany pĤlí diagonály vČtšího þtverce, opíšeme-li ze stĜedu þtverce kružnici, jejíž polomČr je roven stranČ menšího þtverce, je souþet obsahĤ tČchto tĜí ploch roven obsahu plochy ohraniþené kĜivkou.
111
[2] BeþváĜová M.: Z historie Jednoty (1862–1869). Edice DČjiny matematiky, svazek þ. 13, Prometheus, Praha, 1999. [3] BeþváĜová M.: Život i djelo Karela Zahradníka, str. 9–36. In Mardešiü S. (ed.): Karel Zahradník (1848–1916), Hrvatska akademija znanosti i umjetnosti. Spomenica preminulim akademicima, svezak 134, Zagreb, 2007. [4] BeþváĜová M.: Život a dílo matematika Karla Zahradníka (1848–1916), str. 111–112. In Proceedings of the 22nd World Congress of the Czechoslovak Society of Arts and Sciences, Univerzita Palackého, Olomouc, 2004. [5] BeþváĜová M.: Life and Work of Karel Zahradník (1848–1916), str. 276–283. In Motlíþek T., Rechcígl M. (eds.): Proceedings of “Moravia from the World Perspective”, 22nd World Congress of the Czechoslovak Society of Arts and Sciences, 2. díl, Repronis, Ostrava, 2006. [6] Havel V.: Profesor dr. Karel Zahradník. Glasnik matematiky 8(1973), str. 335–337. [7] KošĢál R.: Vznik a vývoj poboþky JýMF v BrnČ (K padesátiletému trvání). JýMF, Praha, 1968. [8] Lerch M.: Karel Zahradník. Almanach ýeské akademie vČd a umČní 27(1917), str.132– 142. [9] Nachtikal F.: Slavnostní schĤze brnČnského odboru Jednoty þeských mathematikĤ a fysikĤ na poþest památky prof. Dra. Karla Zahradníka. ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky 46(1917), str. 375–376. [10] VojtČch J.: Karel Zahradník. ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky 46(1917), str. 289–304.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR 409/08/0012 Karel Zahradník (1848–1916).
Adresa Doc. RNDr. Martina BeþváĜová, Ph.D. Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ýVUT v Praze Na Florenci 25 110 00 Praha 1 e-mail:
[email protected]
112
AL-CHVÁRIZMÍHO ARITMETICKÝ A ALGEBRAICKÝ TRAKTÁT MARIE BENEDIKTOVÁ VċTROVCOVÁ Abstract: Al-Khwarizmi’s books Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabal (The Book of Aljabr and Almuqabala) and Al-Kitab al-jam wa-t-tafriq bi-hisab al-Hind (a source for Dixit Algorizmi) stand on the origin of mathematics of calculations, arithmetics and algebra. In 2009, there became the first Czech translation of this book with commentary by Petr VopČnka. In the 2nd edition (2010), there are two new additional texts. The purpose of this contribution is an introduction to this sources books with pointing out origins of arabic mathematics of calculations and touch of Indian and Greek mathematics.
1 Aritmetický traktát 1.1
Úvod
Al-Chvárizmího Aritmetický traktát je arabským uvedením do svČta indického poþítání s þísly nejvČtšími, ale i nejmenšími, jak se uvádí v preambuli. Jde však o þísla, která, aþ se zdají na první pohled do té doby dostupnými prostĜedky neuchopitelná, mohou se ukazovat ve všech svých plnostech. Cílem traktátu je ukázat, jak tato velká (nebo velmi malá) þísla pojmout a pracovat s nimi i v praktickém životČ. Jedná se tedy o uþebnici poþítání ve dvou þíselných soustavách – desítkové pro þísla kladná celá a šedesátkové pro zlomky (rozumČjme indické), o uþebnici aritmetického kalkulu. Užívá pĜitom þíselných poziþních soustav, které byly v Mezopotámii (viz [4])1 dlouho zakoĜenČné, pĜesto se pĜi svém psaní odvolává výhradnČ na Indy. Vrcholem traktátu je poþítání se zlomky o libovolném základČ (nejspíše vlastní al-Chvárizmího práce). PĤvodní arabský text se nedochoval a není ani znám jeho vlastní název.2 Vycházíme proto z latinského textu þasto oznaþovaného jako Algoritmi de numero Indorum (Kniha o indickém poþítání). Nejedná se však o pĜesný pĜeklad, ale spíše o výklad alChvárizmího poþinu soudobými prostĜedky (používání Ĝímských þíslic, chybČjící arabské figury i vlastní výpoþty), proto je v druhém þeském vydání al-Chvárizmího Aritmetického a algebraického traktátu zaĜazen i pokus o rekonstrukci pĤvodního arabského textu ([2]). V prvním vydání [3] tento text chybí, je zde jen þeský pĜeklad poĜízený z vydání [1]. ýeská vydání jsou poĜízena pĜekladem z ruštiny [1]. PĜeklad z latiny do ruštiny vznikl na základČ rukopisu uloženého v knihovnČ University of Cambridge. Srovnání navazujících pozdČjších al-Chvárizmímu podobných traktátĤ Algorithmi de numero indium a Liber Algorismi de pratica arismetrice, vydaných souhrnnČ v ěímČ roku 1857, najdeme v [11]. Poznamenejme (a pĜipomeĖme), že Aritmetický traktát stojí na poþátku historie algoritmu a vlastní slovo algoritmus pochází z latinizované podoby al-Chvárizmího jména Algorizmi. Úvodní pasáže traktátu latinského vydání totiž zaþínají slovy „Dixit
1
Al-Chvárizmí pracoval na svých traktátech v Bagdádu v DomČ moudrosti (Bajt al hikma) na dvoĜe chálifa al Mamúna – [15], str. 20, a [14], str. 156. 2 Al-Chvárizmího arabsky psaný spis se patrnČ jmenoval al-Kitab al-džam c wa-l-tafrígh bi-hisáb al-Hind, tj. kniha o sþítání a odþítání podle indického poþtu.
113
Algorizmi“ – Algorizmi pravil. Aritmetický traktát je pramenným textem základĤ evropské vzdČlanosti. Metodicky jsou oba traktáty psány tak, aby téma bylo vyloženo nejprve velmi struþnČ v obecném pojednání. Následuje nČkolik názorných pĜíkladĤ, které se snaží postihnout všechny pĜípady, které mohou nastat. Samy pĜíklady vlastnČ popisují algoritmus, jak poþítat. Vždy postupuje názornČ, od jednoduššího ke složitČjšímu. O metodČ, kterou alChvárizmí otevírá nového svČt matematiky kalkulací, se mĤžeme podrobnČji doþíst v [12]. 1.2
Obsah
Al-Chvárizmí nejprve pĜedstaví východoarabskou i západoarabskou podobu þíslic. Aby ale þíslice nebyly pouhými symboly pro nic, hledá podstatu þísel, kterou opírá o þíslo jedna. A podstatu jednotky velice peþlivČ uchopuje, pĜesto pro nČj ještČ není plnohodnotným þíslem.3 „Každé þíslo je složené z jednotek. […] Jednotka je základ každého þísla a leží vnČ þísel. […] Ona urþuje každé þíslo. VnČ þísel je proto, že je urþena sama sebou. […] Ostatní þísla se bez jednotky nemohou vykytovat. […] Tedy þíslo není nic jiného, než soubor jednotek.“4 Dodejme, že ohlednČ ustanovení jednotky se alChvárizmí odvolává na svĤj dĜívČjší Algebraický traktát, nicménČ zde je s výkladem preciznČjší. ýísla, která následují, jsou vyþíslována potenciálnČ do nekoneþna. Ovšem zacházení s nimi pomocí poziþní desítkové soustavy, pĜevzaté od IndĤ, se jevilo v té dobČ jako revoluþní. Nula jako þíslo není uvažována vĤbec. Pro vyjádĜení nuly v poziþním systému užívá symbol kroužku. Postavení, které má jednotka, se nule ještČ zdaleka nedostává. Z dnešního pohledu jsou nula i jednotka z hlediska aritmetiky velmi významnými entitami – jsou to konstanty algebraického kalkulu.5 Al-Chvárizmího pĜevzatý zápis poziþnČ sledoval sémantiku þísel (kolik jednotek, desítek, tisícĤ, desítek tisícĤ, stovek tisícĤ, tisícĤ tisícĤ, …, tisícĤ tisícĤ tisícĤ, …). PĜi þtení latinského pĜekladu psaného pomocí Ĝímských þísel nám pĜipadá, že se smČšuje psaní þísel s jejich výkladem. V pĤvodním textu nejspíš tyto (Ĝímské) þíslice nebyly, protože se nejprve pojednává o zavedení pojmĤ jednotlivých þísel (sémantiku), a teprve poté jde o psaní þísel pomocí znakĤ (syntax). ěímská þísla/þíslice jsou tedy þasto zkratkou pro slovní zápis þísel, jak mohl být v arabském originále. Al-Chvárizmí pĜebírá od IndĤ devČt znakĤ pro jedniþku až þíslo devČt, pro vyjádĜení prázdné pozice (Ĝádu) má kroužek. ZpĤsobem zápisu do poziþní desítkové soustav, který se dodnes uþí na zaþátku výuky matematiky, mohl uchopit velká þísla velmi rychle a snadno. Na rozdíl od dnešní zvyklosti þísla psal zprava doleva. KonkrétnČ zápis 325 je velmi efektivní zkratkou za vyjádĜení 5 jednotek, 2 desítky a 3 stovky (ve stejném smyslu jako 5 jablek, 2 hrušky a 3 švestky). ZpĤsob zapisování þísel je uzavĜen sémantikou ĜádĤ v pĜíkladu zápisu þísla 1 180 703 051 492 863 ([5], str. 117–118). Tímto se dokládá, že zámČrem al-Chvárizmího bylo uchopit a mít možnost pracovat s do té doby neuchopitelnými velkými þísly
3
Aþkoli dČlá al-Chvárizmí velký rozdíl mezi podstatou jednotky a þísla, dovolím si psát o jednotce jako o þíslu, protože pĜi zápisu pomocí þíslic a vlastním poþítání s ní jako s þíslem pracuje. Al-Chvárizmí zastává pozici nastolenou Ĝeckou matematiku, pro kterou þíslo jedna ještČ þíslem není (viz Servítova poznámka v [13], str. 103, doprovázející výmČry VII. knihy Eukleidových ZákladĤ). Ani pro Isidora ze Sevilly ještČ jedniþka není þíslem – viz [10], str. 283. 4 Srov. Eukleides: „Jednotka jest, dle níž každé vČci se Ĝíká jedna. ýíslo pak jest množství složené z jednotek.“ [13], str. 103. 5 Petr VopČnka dokonce v [15], str. 65–76, uvádí popis arabského algebraického kalkulu (pouze s konstantou 1), který upravuje na indický (algebraický kalkul) pĜidáním konstant 0 a –1.
114
jako s þísly bČžnými. Algoritmy, které následují, pĜedznamenávají písemné poþítání, které nejspíše Indové provádČli zpamČti. Následuje pojednání o tom, jak tato velká þísla sþítat a odþítat – dnešními slovy tedy písemnČ sþítat a odþítat. VýbČr pĜíkladĤ pro metodu je ale pozoruhodný: nejprve odeþítá polovinu þísla, jehož všechny Ĝády jsou sudé (dnešní symbolikou 6422 – 3211 = 3211), což dokládá velký význam zacházení a práci s polovinou a fakt (dnešní symbolikou) 1 – 1/2 = 1/2. Tato polovina je pĜitom ideální, dosažená však nikoliv konstrukcí, ale kalkulem. Druhý pĜíklad dokládá, jak pozice v zápisu fungují (dnešní naší symbolikou 1144 –144 = 1000). TĜetí pĜíklad v latinském pĜekladu chybí, jednalo se zĜejmČ o odþítání s pĜechodem pĜes desítku. Petr VopČnka v komentáĜi uvádí 952 – 874 = 78. Pokraþuje pĤlení a zdvojení þísla. PĜedpokládá se pĜitom znalost pĤlení sudého þísla (rozpĤlení osmi, šesti, þtyĜ a dvou) a pĜi pĤlení lichého þísla se jednotka pĤlí na 30/60 (30 minut). Text se pĜímo vČnuje až pĤlení þísel vČtších než 10, pĜiþemž dČlení Ĝádu Ĝeší pomocí kroužku a þísla 5. Dvojnásobek þísla provádíme od vyššího Ĝádu k nižšímu. Po dvojnásobku následuje pouþení o násobení libovolných þísel, þímž se rozšiĜuje pojednání z Algebraického traktátu. Zde je však popsán postup, jak (písemnČ) násobit v desítkové poziþní soustavČ od vyšších ĜádĤ k nižším (pĜíklad má 2326 Â 214 = 497764). Pro doklad správnosti postupu (ne o pravdivosti názoru) se dodává devítková zkouška (srv. [15], str. 34, a [2], str. 124–125). Al-Chvárizmí dodává i algoritmus pro dČlení (v oboru kladných pĜirozených þísel). V þeském pĜekladu latinského vydání v [3] je však velmi ledabylé. V [2], str. 97–102, je dČlení rozvedeno do algoritmické podoby, jakou dosud al-Chvárizmí používá. V [1], str. 165–167, je i další komentáĜ. Pokud se al-Chvárizmí vČnuje zlomkĤm, je si sice vČdom, že mohou mít rĤzné základy, pĜesto z tradice mezopotamské zaþíná nejprve zlomky indickými, které jsou založeny na šedesáti. Je si zároveĖ vČdom potenciálnČ nekoneþného množství zlomkĤ ve smyslu reciprocity potenciálnČ nekoneþného množství þísel (kladných pĜirozených). Se zlomky založenými na šedesáti zachází stejnČ elegantnČ jako s þísly kladnými pĜirozenými. Z dnešního pohledu s nimi zachází zpĤsobem, jakým se vyuþuje práce s úhlovou mírou. Používá pro to šedesátkovou soustavu zapisovanou pomocí þísel vyjádĜených v desítkové poziþní soustavČ. Jednotlivé Ĝády následující jednotky smČrem k nižším pak jsou minuty, sekundy, tercie, kvarty, kvinty, sexty, atd. Samotné poþítání se zlomky pĜedstavuje násobení a dČlení. Nejprve násobí zlomky celým þíslem (þi stupni), pak následuje násobení zlomkĤ (vlastních i nevlastních) mezi sebou. PodobnČ jako s velkými þísly je potĜeba i zde dávat pozor na Ĝády a pro prázdný Ĝád užívat kroužek. PĜi dČlení þísel, z nich jedno je necelé, je dĤležité umČt pĜevádČt þísla do stejných ĜádĤ (až na úroveĖ toho nejnižšího). Teprve až po násobení a dČlení provádí sþítání, odþítání a zdvojení þísla (opČt od nejvyššího Ĝádu k nejnižšímu, jak bČžnČ poþítáme z pamČti). Aritmetický traktát je v þeském vydání [2] i [3] uzavĜen prací se zlomky o jiných základech. Slibované pojednání o odmocĖování chybí. Možná ani souþástí pĤvodního textu nebylo, protože bylo odvoditelné z algebry a almukabaly (obsažených v Algebraickém traktátu). PozdČjší aritmetické traktáty ho ale bČžnČ uvádČly (srv. [8], str. 98–125), nikoli ve tvaru výpoþtu þi algoritmu, ale pouze se slovním popisem.
115
2 Algebraický traktát 2.1
Úvod
Algebraický traktát je text starší, Aritmetický traktát pĜedurþuje, ale zároveĖ i doprovází. MĤžeme se na nČj dívat jako na praktickou pĜíruþku, jak s þísly zacházet „pĜi dČlení majetkĤ, v záležitostech soudních, v obchodČ, pĜi uzavírání smluv a také pĜi vymČĜování pĤdy, vedení kanálĤ, ve stavitelství a pĜi nejrĤznČjších jiných pracích”. ([2], str. 165). Zachoval se nám v arabštinČ jako Al-Kitáb al-muchtasar fí hisáb al-džebr wa-lmuqábala, v latinském pĜekladu jako Liber algebrae et almucabalae continens demontrationes aequationum regularum Algebrae (Robert z Chesteru). Al-džebr znamená pĜenos odþítaných výrazĤ z jedné strany rovnice na druhou tak, abychom nahradili odþítání pĜiþítáním. Al-muqábala je krácení. Pro Evropu se naukou algebry a almukabaly rozumČla nauka o (algebraických) rovnicích druhého i vyšších stupĖĤ o jedné, ale i více neznámých. V samotném Algebraickém traktátu se však setkáváme se studiem rovnic kvadratických s kladnými pĜirozenými koeficienty (místy na jejich místČ i racionálními þísly), Ĝešenými v oboru kladných celých þísel. Cílem bylo þasto získat kvadrát nikoli koĜen. Kvadratické rovnice, na které se nejþastČji odkazuje, však nebyly jedinou souþástí tohoto traktátu. To, že Algebraický traktát byl pĜedstupnČm pro Aritmetický traktát, svČdþí praktické oddíly – o algebraickém násobení þísel a zvČtšování a zmenšování. StejnČ tak mĤžeme pohlížet i na hledání koĜene jako na jednu z možností, jak ve speciálních pĜípadech odmocĖovat.6 Poznamenejme, že podobnČ jako slovo algoritmus (algorithmus, argorismus, algorismus, alchorismus) má pĤvod ve jménu arabského uþence (po zpĤsobu Algorizmiho), pojem algebra znaþí zpĤsob práce s rovnicemi, al-džebr a al-muqábaly. 2.2
Obsah
Jak jsme se zmínili u Aritmetického traktátu Algebraický traktát jednotku rovnČž Ĝeší, ne však tak dĤkladnČ. Všechna þísla jsou sestavena z jednotek a jednotka je pĜítomna v každém þísle. Jednotky jsou þísla vČtší než jedna do deseti. ýísla rozdČluje do tĜí druhĤ: koĜen (v dnešním smyslu x), kvadrát (dnes x2) a þíslo (dirhemu, dnes c, d, atd.), které se nevztahuje ani ke koĜenu, ani ke kvadrátu. AlChvárizmí rozlišuje v šesti oddílech (vlastnČ šesti pĜípadech) úlohy vedoucí na Ĝešení toho, þemu dnes Ĝíkáme kvadratické rovnice. K popisu práce s tímto matematickým jevem zde budeme užívat velkou zkratku – dnešní znaþení a dnešní pojmy rovnice, neznámé, koeficient, umocĖování, odmocĖování, atd., ale i zápis þísel v desítkové poziþní soustavČ, z dĤvodu snazšího porozumČní.7
6
OdmocĖování totiž v Aritmetickém traktátu je pĜedznamenáno, ne však v nejstarších pĜekladech-výkladech vysvČtleno. Domníváme se tedy, že se al-Chvárizmí odvolával na Algebraický traktát. Uvećme zde znČní Prvního oddílu Algebraického traktátu v þeském pĜekladu ([5], str. 140), kde se pojem rovnice, natož kvadratické, nevyskytuje: „Co se týþe kvadrátĤ rovných koĜenĤm; to pokud napĜíklad Ĝekneš: Kvadrát je roven pČti svým koĜenĤm, potom je koĜen kvadrátu pČt a kvadrát dvacet pČt, což je rovno pČti jeho koĜenĤm. Pokud Ĝekneš: TĜetina kvadrátu je rovna þtyĜem koĜenĤm, potom celý kvadrát je roven dvanácti koĜenĤm, to znamená, že je roven sto þtyĜiceti þtyĜem a jeho koĜen dvanácti. Pokud napĜíklad Ĝekneš: PČt kvadrátĤ je rovno deseti koĜenĤm, pak jeden kvadrát je roven dvČma koĜenĤm, koĜen kvadrátu je dva a kvadrát þtyĜi. Tímto zpĤsobem, aĢ je kvadrátĤ mnoho þi málo, pĜevede se vše na jeden kvadrát a stejnČ se pracuje s jim rovnými koĜeny, které se pĜevedou tak, jako se pĜevedl kvadrát.“ 7
116
1. oddíl Ĝeší rovnice tvaru ax2 = bx. Po úpravČ x2 = (b/a)x, a odtud x = b/a. Tyto úpravy jsou zcela vpoĜádku, nezapomeĖme, že pracujeme v oboru kladných pĜirozených þísel. Jedná se tedy o krácení. PĜíklady k tomu podává x2 = 5x, 1/3x2 = 4x a 5x2 = 10x. 2. oddíl se vČnuje odmocĖování ax2 = b, kde b/a je ve tvaru druhé mocniny nČjakého kladného pĜirozeného þísla. Doprovodné pĜíklady: x2 = 9, 5x2 = 80 a 1/2x2 = 18. 3. oddíl umocĖuje: najít kvadrát koĜenu rovnice bx = c. PĜíklady: x = 3, 4x = 20, 1/2x = 10. 4. oddíl se zabývá rovnicí tvaru x2 + bx = c s Ĝešením x = ¥((b/2)2+c) – b/2. Doprovodné pĜíklady: x2 + 10x = 39, 2x2 + 10x =4 8 (nejprve krátíme dvČma) a 1/2x2 + 5x = 28. 5. oddíl probírá rovnici tvaru ax2 + c = bx. V pĜíkladu x2 + 21 = 10x al-Chvárizmí neopomene si povšimnout, že vychází dva rĤzné kladné pĜirozené koĜeny x1 = 3 a x2 = 7. RovnČž zde provádí i rozbor poþtu Ĝešení kvadratické rovnice vþetnČ pĜípadu, kdy rovnice nemá žádné, dvČ þi jedno Ĝešení. Jedno Ĝešení pĜitom ještČ neznamená nutnČ zdvojený koĜen, protože poþítáme v oboru kladných pĜirozených þísel. 6. oddíl završuje rovnicí typu bx + c = ax2. PĜíklad pro tento typ rovnice uvádí 3x + 4 = x2. První tĜi oddíly jsou z hlediska arabského algebraického kalkulu zcela neproblematické, zbylé tĜi vyžadují dĤkaz. Ty jsou provádČny pĜevodem na geometrii Eukleidových ZákladĤ. Poznamenejme, že téže dobČ, kdy píše al-Chvárizmí svá pojednání, v DomČ moudrosti pĤsobí první pĜekladatel Eukleidových ZákladĤ Ibn Júsuf ibn Matar al-Hajjáj (al-Hadždžádž) a jejich komentátor al-cAbbás ibn Sacíd al-Džauhárí.8 O tČchto pracech al-Chvárizmí témČĜ jistČ vČdČl, ale v textu se na Eukleida pĜímo neodkazuje, Základy pouze ve svých dĤkazech užívá, obzvláštČ II. knihu. Úseþky þi plošné útvary zde figurují jen jako pomĤcka lepší názornosti. To, o co jde, jsou þísla. Vlastní algebraický dĤkaz ve smyslu propojení geometrie a algebry, jak známe od Descarta, to ještČ ale není. NicménČ geometrie se ukazuje zde v úplnČ novém svČtle – jako užitá, aplikovaná matematika. Po Ĝešení kvadratických rovnic následuje oddíl o násobení – v naší matematice o úpravČ algebraických výrazĤ typu (a ± x) Â (b ± x). VýznamnČ zde pĜitom vystupuje þíslo deset. PĜíklady (zapsané v naší dnešní notaci) (10 + 1) Â (10 + 2), (10 – 1) Â (10 – 1), (10 + 2) Â (10 – 1) propojují algebru s aritmetikou. Následují pĜíklady ryze algebraického typu (10 – x) Â 10, (10 + x) Â (10 + x), (10 – x) Â (10 – x). Velmi zajímavý je pĜíklad se zlomky (1 – 1/6) Â (1 – 1/6), který Ĝeší algebraicky, ale i aritmeticky. Oddíl o násobení alChvárizmí zakonþuje úpravou algebraických výrazĤ typu (10 – x) Â (10 + x), (10 – x) Â x, (10 + 1/2x) Â (1/2 – 5x) a (10 + x) Â (x – 10) = (x + 10) Â (x – 10). Je zĜejmé, že tato pasáž Algebraického traktátu podává návod na násobení dvouciferných þísel. Ten má oporu v Ĝecké geometrii a svou povahou, aþkoli by mČla spíše spadat pod Aritmetický traktát, má opodstatnČné místo zde, nevyžaduje totiž užití desítkové poziþní soustavy. Další postĜeh, který je nutno zmínit, je ten, že nejspíše ještČ v této dobČ nebyla zĜejmá komutativnost násobení a sþítání. Oddíl o zvČtšování a zmenšování se vČnuje dvČma jevĤm – jednak poþítání s odmocninami a jednak poþítání s polynomy. Dokládají to tvrzení o úpravách výrazĤ s odmocninami:
8
Viz [14], str. 156, þi [6], str. 40.
117
„koĜen ze dvou set bez deseti pĜiþtený ke dvaceti bez koĜenu ze dvou set je deset“ ,9 tj. (¥(200) – 10) + (20 – ¥(200)) = 10; „koĜen ze dvou set bez deseti, odeþtený od dvaceti bez koĜenu ze dvou set je tĜicet bez dvou koĜenĤ ze dvou set a dva koĜeny ze dvou set je koĜen z osmi set“,10 tj. (20 – ¥(200)) – (¥(200) – 10) = 30 – 2¥(200), kde 2¥(200) = ¥(800). Následují dvČ tvrzení o úpravách kvadratických polynomĤ: (100 + x2 – 20x) + (50 + 10x – 2x2) = 150 – x2 – 10x a (100 + x2 – 20x) – (50 + 10x – 2x2) = 50 – 3x2 – 30x. K tČmto tvrzením je pozdČji ve spise pĜiloženo vysvČtlení podle obrázku, tedy pomocí Eukleidovy geometrie. Dalšími poþetními úkony s odmocninami jsou násobení koĜenu kvadrátu, polovina koĜenu kvadrátu, podíl koĜenĤ (podíl odmocnin), násobení koĜenĤ mezi sebou (násobení odmocnin) a násobení rĤzných násobkĤ rĤzných koĜenĤ mezi sebou (napĜ. 2¥9 Â 3¥4). Oddíl o šesti úlohách doprovází typovými pĜíklady s podrobným vysvČtlením prvních šest oddílĤ, rozebírajících možnosti pĜi Ĝešení kvadratické rovnice v oboru kladných pĜirozených þísel. Oddíl o rozliþných úlohách je již sbírkou Ĝešených úloh ke stejné problematice. NČkteré z nich jsou i praktického rázu a dnešními slovy je mĤžeme oznaþit za slovní úlohy na kvadratické rovnice. Oddíl o obchodování se zabývá výkladem a poþítáním s trojþlenkou (pĜímou a nepĜímou úmČrou): „VČz, že dČlení se lidí o nČco, stejnČ jako nákup i prodej, výmČna i nájem a jiné mají co do þinČní se þtvero þísly, stanovenými tázajícím a to s mírou, cenou, množstvím a hodnotou. ýíslo, odpovídající míĜe, stojí proti þíslu odpovídajícímu hodnotČ a þíslo odpovídající cenČ proti þíslu odpovídajícímu množství. Z tČchto þtyĜ þísel jsou vždy tĜi známé a jedno je neznámé a o nČm hovoĜící Ĝíká „kolik“ a táže se tázající.“11 Tento oddíl al-Chvárizmí doporuþuje užívat v otázkách obchodování, výmČny, objemu nebo váhy. U tohoto oddílu konþí pĜeklad Algebraického traktátu Robertem z Chesteru. V þeském vydání [2] i [3] je ještČ oddíl o mČĜení, ve kterém se podle Donalda E. Knutha [12], str. 3-4 porovnává Mishnat ha-Middot, sepsaný židovským rabínem Nehemjanem, a al-Chvárizmího Algebraickým traktátem: Oddíl o mČĜení propojuje geometrii s algebrou a uvádí do arabského svČta Archimedovy výsledky z oblasti ploch rovinných i prostorových geometrických útvarĤ. Al-Chvárizmí nejprve zavádí plošné míry pĜes plochu þtverce. Jednotkovou plochu sice zavádí jako násobek stran obrazce se stejnými stranami a úhly (tj. obecnČ jako plochu pravidelného polygonu), uvažuje však o þtverci. Od plochy þtverce je naopak schopen odvodit délku strany jako koĜen (odmocninu) plochy. Dále uvádí vztah pro obsah trojúhelníku pomocí výšky a poloviny základny, pro obsah kosoþtverce pomocí souþinu úhlopĜíþek. Vlastnosti kruhu a jeho þástí jsou zde rozvedeny peþlivČji. Obvod kruhu Ĝeší jako Archimedes pĜes 3 1/7násobek prĤmČru (tj. pomocí násobku 3,142857), pro astronomy pĜes 62832násobek prĤmČru dČlený 20000 (tj. z dnešního pohledu pĜesnČjším násobkem 3,1416). Z obvodu dostane prĤmČr obráceným postupem. Plochu kruhu poþítá z prĤmČru a obvodu. RovnČž se zabývá mírami kruhové výseþe pomocí míry oblouku a délky tČtivy. Následují tvrzení o objemu prostorových tČles pomocí plochy podstavy a jejich výšky. NČkterá z nich al-Chvárizmí pĜebírá i od Eukleida.12
9
Viz [2], str. 128. Viz [2], str. 128. 11 Viz [2], str. 178. 12 Tvrzení „Co se týþe jehlanu trojúhelného, þtvercového a kruhového, mají tu vlastnost, že souþin tČtivy plochy jejich podstavy s výškou je objem.“ pĜebírá z XII. knihy Eukleidových ZákladĤ. Viz [2], str. 182. 10
118
Al-Chvárizmí uvádí Pythagorovu vČtu o rovnosti souþtu þtvercĤ sestrojených nad odvČsnami se þtvercem sestrojeným nad pĜeponou. Ovšem ve znČní více algebraickém: „Každý pravoúhlý trojúhelník má tu vlastnost, jestliže vynásobíš obČ kratší strany samy sebou, pak souþet tČchto souþinĤ je roven souþinu nejdelší strany samy se sebou.“13 RovnČž dĤkaz je jiný, než jaký známe od Eukleida.14 Dále rozlišuje pČt þtyĜúhelníkĤ – þtverec, obdélník, kosoþtverec, kosodélník a obecný þtyĜúhelník. Pro nČ uvádí na názorných pĜíkladech vztahy pro výpoþet jejich plochy. „Co se týþe ostatních þtyĜúhelníkĤ, definování jejich plochy se pĜevádí na pravidla výpoþtu ploch trojúhelníkĤ s pomocí úhlopĜíþek.“15 RozdČlení trojúhelníkĤ a výpoþtu jejich plochy vČnuje dosti pozornosti. Rozlišuje trojúhelníky pravoúhlé, ostroúhlé a tupoúhlé. Trojúhelníky mezi sebou porovnává podle jejich obsahu ve vztahu k PythagorovČ vČtČ (ostroúhlé trojúhelníky mají souþet kvadrátĤ kratších stran vČtší než kvadrát nejdelší strany, u tupoúhlých trojúhelníkĤ je to naopak). U ostroúhlých trojúhelníkĤ uvádí i vlastnosti pro rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník. Obsah tupoúhlého trojúhelníka máme provádČt pomocí výšky spuštČné na nejdelší stranu (aby pata výšky nebyla vnČ trojúhelníku). V posledních závČreþných pĜíkladech al-Chvárizmí Ĝeší výpoþet objemu komolého jehlanu se þtvercovou podstavou (s poznámkou pro kruhovou podstavu) a výpoþet délky þtverce vepsaného do rovnoramenného trojúhelníku (výpoþet velikosti pozemku).
3 ZávČr Al-Chvárizmího traktáty dokázaly pĜivést do Evropy novou aritmetiku, založenou na indické matematice kalkulací s velkými þísly, a algebru okoĜenČnou Ĝeckou matematikou geometrického názoru. Jsou velmi dĤležitým svČdectvím vývoje matematiky a pĜichází s naprosto novým pĜelomovým zpĤsobem uvažováním o matematice. Nová aritmetika pĜedstavuje znalost indického aritmetického kalkulu, který dokáže velmi rychle pĜedpovČdČt výsledek poþítání s velkými þísly. PĜi znalosti algebraického kalkulu bylo možné pouhou kalkulací se znaky pĜedpovČdČt Ĝešení složité úlohy. K jejich vzájemnému plnohodnotnému propojení s geometrií, o kterou se algebraický kalkul opíral, dochází až s nástupem doby Reného Descarta:16 Díky algebĜe tak mĤžeme navrhnout geometrickou konstrukci a dále otevĜít geometrii (algebraických) objektĤ, které antika nemohla uchopit. Literatura [1] Al-Chorezmi M. Ibn M.: Matematiþeskje traktaty. Izdavatel’stvo „FAN“ Uzbeckoj SSR, Taškent, 1983. [2] Al-Chvárizmí: Aritmetický a algebraický traktát. 2. vydání, OPS, Nymburk, 2009. [3] Al Chvárizmí: Aritmetický a algebraický traktát. 1. vydání, OPS, Nymburk, 2008. [4] BeþváĜ J., BeþváĜová M., Vymazalová H.: Matematika ve starovČku. Egypt a Mezopotámie. DČjiny matematiky 23, Prometheus, Praha, 2003.
13
„V pravoúhlých trojúhelnících þtverec na stranČ proti úhlu pravému ležící rovná se þtvercĤm na stranách pravý úhel svírajících.“ Srov. [13], str. 24, pĜíp. [9], str. 79. Viz [13], str. 24, [9], str. 79. 15 Viz [2], str. 185. 16 „Všechny úlohy geometrie lze snadno pĜevést na takové termy, k jejich sestrojení staþí znát pouze délky nČkterých úseþek.“ – René Descartés: La Géométrie, Paris 1637. Citováno dle [2], str. 77. 14
119
[5] BeþváĜ J. a kol.: Matematika ve stĜedovČké EvropČ. DČjiny matematiky 19, Prometheus, Praha, 2001. [6] BeþváĜová M.: Eukleidovy Základy, jejich vydání a pĜeklady. DČjiny matematiky 20, Prometheus, Praha, 2002. [7] Benediktová VČtrovcová M.: Pokus o rekonstrukci obsahu pĤvodního arabského Aritmetického traktátu. In: al-Chvárizmí: Aritmetický a algebraický traktát, OPS, Nymburk, 2009 (2. vydání), 7–83. [8] Cristannus de Prachaticz: Algorismus prosaycus. Základy aritmetiky. Fontes Latini Bohemorum 3, OIKOYMENH, Praha, 1999. [9] Eukleides: Základy I.–IV. OPS Nymburk, 2008. [10] Isidor ze Sevilly: Etymologiae I.–III. Etymologie I.–III. OIKOYMENH, Praha, 2000. [11] Karpinski L. C.: Two Twelfth Century Algorisms. Isis 3(1921), 396–413. [12] Knuth D. E.: Algorithms in Modern Mathematics and Computer Science. Report No. STAN-CS-80-786. Department of Computer Science, Standford University, 1980. [13] Servít F.: Eukleidovy Základy. Jednota þeských matematikĤ a fysikĤ, Praha, 1907. [14] Šišma P.: Arabská matematika. In: BeþváĜ, J. et al. kol.: Matematika ve stĜedovČké EvropČ. DČjiny matematiky 19, Prometheus, Praha, 2001. [15] VopČnka P.: Pojednání o prvních krocích matematiky kalkulací. In: al-Chvárizmí: Aritmetický a algebraický traktát, OPS, Nymburk, 2009 (2. vydání), 85–109.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky.
Adresa Mgr. Marie Benediktová VČtrovcová Katedra filosofie Fakulta filozofická Západoþeská univerzita v Plzni Sedláþkova 19 306 14 PlzeĖ e-mail:
[email protected]
120
DIELO KARLA ZAHRADNÍKA (GEOMETRICKÉ PRÁCE) JÁN ýIŽMÁR
Abstract: This paper describes main topics and characteristic outline of the scientific work of Karel Zahradník, the founder of the Croatian university mathematical education and one of the first members of Czech geometrical school. His papers are devoted almost exclusively to the theory of plane algebraic curves, particularly to the theory of both conic sections and some classes of curves deduced from them.
1 Úvod Vedecké dielo Karla Zahradníka (1848–1916), zakladateĐa chorvátskeho univerzitného matematického vzdelávania a príslušníka prvej generácie þeskej geometrickej školy, je podstatnou þasĢou svojho objemu venované geometrickej tematike, a to temer výluþne teórii rovinných algebrických kriviek, z veĐkej þasti teórii kužeĐoseþiek a teórii kriviek odvodených z kužeĐoseþiek, ako aj niektorým novým pohĐadom na známe krivky antického obdobia a matematiky 16.–18. storoþia a urþitým zovšeobecneniam týchto kriviek. Zaþiatky Zahradníkovej publikaþnej þinnosti spadajú do obdobia, keć sa v strednej Európe, špeciálne v nemecky hovoriacich krajinách a v ýechách zaþala v geometrii viditeĐne ustaĐovaĢ koncepcia tzv. novšej geometrie (neuere Geometrie), þo z retrospektívy znamená projektívnu geometriu s výraznou prevahou syntetickej metódy v skúmaní objektov projektívneho priestoru reprezentovaného rozšíreným euklidovským priestorom ako temer jediným a výluþným modelom. V þeskom prostredí k vytvoreniu tejto koncepcie zaiste výdatne prispelo aj pôsobenie Wilhelma Fiedlera (1832–1912) v rokoch 1864–1867 na nemeckej technike v Prahe. W. Fiedler bol vynikajúcim predstaviteĐom a propagátorom tohto smeru projektívnej geometrie, pre ktorý výdatným zdrojom motivácie a nesmierne rozĐahlou oblasĢou aplikácie bola deskriptívna geometria s jej konjunktúrou tvorby zobrazovacích metód a štúdia hlavných geometrických objektov, ktorými boli teoreticky zaujímavé a aplikaþne dôležité krivky a plochy. Toto zameranie si v stredoeurópskej a osobitne v rakúskej a þeskej deskriptívnej geometrii udržiavalo dominantné postavenie až do 30. rokov 20. storoþia, þo je zreteĐne zjavné z monografickej a uþebnicovej tvorby tohto obdobia. Významnými reprezentantmi tohto spojenia deskriptívnej a projektívnej geometrie boli v þeskom prostredí o. i. Karel Pelz, Jan Sobotka a František KadeĜávek, ktorý s urþitým historickým oneskorením fakticky uzatváral onú epochu. Klasickou cestou sa spomedzi prvých tvorcov þeskej geometrickej školy vydal Emil Weyr (1848–1894), ktorý rozvíjal rýdzo projektívnogeometrickú líniu hlavne syntetickou metódou v duchu tradície rozpracovanej najmä J. Steinerom a M. Chaslesom. Nepodlieha pochybnosti, že tak ako K. Pelz aj Em. Weyr bol vo svojom vedeckom smerovaní silno ovplyvnený W. Fiedlerom. Vo Fiedlerovom celoživotnom diele sú pomerne vyvážene zastúpené a rozvíjané obe hlavné línie rozvoja projektívnej geometrie – línia syntetická i línia analytickogeometrická. Pre druhú koncepciu mal v nemecky hovoriacom prostredí neoceniteĐný význam Fiedlerov preklad a úprava monografie G. Salmona o analytickej
121
geometrii. K osobitostiam þeskej geometrickej školy patrí výrazná dominancia poþtu prác opierajúcich sa o syntetickú metódu. Medzi neveĐký poþet tých autorov, ktorí väþšinu svojich vedeckých a odborných výsledkov dosahovali prevažne analytickou metódou, patril K. Zahradník. Od zaþiatkov jeho publikaþnej þinnosti r. 1872 to bola hlavne teória rovinných algebrických kriviek, zaþínajúca sa analytickým spracúvaním špeciálnych typov racionálnych kriviek, ktorá cez riešenie poþetných problémov o objektoch zviazaných s kužeĐoseþkami až po niektoré drobnejšie problémy elementárnej povahy pútala Zahradníkovu pozornosĢ až do posledného obdobia jeho života. Jednotiacou þrtou Zahradníkových vedeckých, odborných i metodických prác je zruþné, obratné a vysoko produktívne používanie analytickej metódy vhodne doplnené menším rozsahom syntetických úvah v pasážach všeobecne prístupných a zrozumiteĐných dobovému okruhu priemerne vysokoškolsky vzdelaných þitateĐov-matematikov. Výber námetov i variabilita metód a prostriedkov Zahradníkových prác sú výrazne monotematické, þo výstižne charakterizoval už Matyáš Lerch ([1]).
2 Prelimináriá Zo 114 položiek úplného zoznamu publikácií K. Zahradníka, vypracovaného M. BeþváĜovou ([1]), 90 položiek zaznamenáva publikácie priamo späté s geometriou. Z toho poþtu približne 67 možno oznaþiĢ za pôvodné práce, hoci niekoĐko z nich je v identickom alebo temer identickom znení publikovaných v dvoch a v niektorých prípadoch dokonca v troch jazykoch – v þeštine, nemþine a chorvátþine. Taktiež originalita prác je rozdielna – kolíše od drobných doplnení a poznámok k známym vetám až po zovšeobecĖujúce výsledky o niektorých triedach rovinných algebrických kriviek. Pre orientáciu þitateĐa je potrebné uviesĢ niekoĐko poznámok o charaktere ambientnej roviny geometrických objektov skúmaných Zahradníkom, ako aj o metódach a prostriedkoch, pomocou ktorých toto skúmanie prebiehalo. Výluþným typom roviny, s ktorým K. Zahradník pracoval, bola reálna euklidovská rovina doplnená množinou nevlastných bodov všetkých priamok euklidovskej roviny; množina všetkých takých bodov tvorila nevlastnú priamku, ktorou doplnená euklidovská rovina sa nazývala rozšírenou euklidovskou rovinou. Incidenþná štruktúra tejto roviny bola izomorfná s incidenþnou štruktúrou projektívnej roviny a tento model projektívnej roviny bol po desaĢroþia temer výluþným reprezentantom projektívnej roviny. (Vysokoškolskí uþitelia z radov absolventov uþiteĐského štúdia matematiky a deskriptívnej geometrie v I. (medzivojnovej) ýeskoslovenskej republike ho používali vo výuþbe projektívnej geometrie ako hlavný model ešte v 60. rokoch 20. storoþia.) KonfúznosĢ tohto modelu spoþívala v tendencii využívaĢ metrické vlastnosti jeho vlastnej þasti (t. j. euklidovskej roviny) na štúdium projektívnych objektov, a v následnom zahmlenom chápaní vzĢahu metrických a projektívnych vlastností a invariantov. Bez preháĖania možno konštatovaĢ, že K. Zahradník (ako väþšina jeho súþasníkov) neprekonal chápanie projektívnej roviny v koncepcii, v akej ju prezentoval napr. J. Steiner v rozsiahlej práci Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises [Konštrukcie realizované pomocou priamky a pevnej kružnice, 1833]. Pritom bola už dostatoþne dlhý þas k dispozícii koncepcia projektívnej geometrie zbavená metriky a založená na rýdzo incidenþnom základe harmonickosti, predstavená Christianom von Staudtom (1798–1867) v jeho knihe Geometrie der Lage [Geometria polohy, 1847] ([2]). V rozšírenej euklidovskej rovine sa spravidla používala pravouhlá alebo kosouhlá karteziánska sústava súradníc so všetkými jej možnosĢami využiĢ nehomogénne súradnice na analytickú reprezentáciu metrických objektov a metrických vlastností vlastnej þasti tejto roviny. To, samozrejme, zase vyluþovalo možnosĢ rovnocenne formulovaĢ projektívne 122
vlastnosti vlastných a nevlastných prvkov používaného modelu roviny. Prostriedkom, ktorý umožĖoval zrovnoprávnenie vlastných a nevlastných prvkov, ako aj použitie duality medzi množinami všetkých bodov a všetkých priamok projektívnej roviny, bolo používanie homogénnych súradníc, exaktne prezentovaných napr. Juliusom Plückerom (1801–1868) v jeho diele Theorie der algebraischen Curven (Teória algebrických kriviek, 1839) ([2]). K. Zahradník používal homogénne súradnice ojedinele, i keć ich metódu nepochybne ovládal: na vyjadrovanie metrických a podobnostných vlastností – a hlavne o tie v Zahradníkových prácach ide – sú homogénne súradnice nevhodné. Používanie nehomogénnych reálnych súradníc na charakterizáciu urþitých množín daných alebo hĐadaných bodov þi priamok v niektorých situáciách, keć tieto množiny boli definované algebrickými rovnicami medzi súradnicami predmetných bodov alebo priamok, prinášalo vágne výsledky spôsobené faktom, že korene vyskytujúcich sa algebrických rovníc (s reálnymi koeficientmi) boli imaginárne. Dobové východisko spoþívalo v deklarácii bodov alebo priamok s týmito súradnicami za imaginárne body, resp. priamky, jednoducho doplnené k existujúcim reálnym bodom, resp. priamkam (t. j. k bodom a priamkam, ktorých všetky súradnice boli reálne) rozšírenej euklidovskej roviny bez vyjasnenia zmeny štruktúry, ktorú akceptácia imaginárnych objektov prináša. (Všeobecne známym príkladom imaginárnych bodov sú kružnicové body (chybne nazývané kruhovými) v rozšírenej euklidovskej rovine doplnenej imaginárnymi prvkami: sú to body doplnenej nevlastnej priamky, ktorých zodpovedajúce súradnice sú združené komplexné þísla formálne vyhovujúce rovnici každej kružnice euklidovskej roviny.) Zahradníkova doba nedospela k explicitnému pochopeniu zástoja algebrickej štruktúry, tvoriacej základĖu analytickej definície ambientného priestoru, ani k pojmu aritmeticko-algebricko-geometrickej komplexifikácie tohto priestoru. (Tento proces sa nemohol uskutoþniĢ z objektívnych historických príþin: teória algebrických štruktúr bola v štádiu zrodu a jej geometrické aspekty boli predmetom výskumu vo vzdialenej budúcnosti.) Ani Kleinov grupový princíp klasifikácie geometrií naþrtnutý r. 1872 v Erlangenskom programe nemohol z rozliþných – väþšinou objektívnych – príþin aktuálne vstúpiĢ do komplexného diania v geometrii vedeckého prostredia, v ktorom žil, pôsobil a vedecky pracoval K. Zahradník.
3 Geometrické práce K. Zahradníka Zo 67 publikovaných geometrických prác, ktoré možno oznaþiĢ za samostatné a v istej miere originálne, po vynechaní duplicitných þlánkov, prác menšieho významu a menšej originality, ako aj þlánkov výrazne metodického zamerania zostáva približne 45 – 48 prác, ktoré výstižne charakterizujú geometrické vedecko-odborné dielo K. Zahradníka. PodĐa vecného tematického kritéria a detailnejšieho zamerania na partikulárne témy možno ich rozdeliĢ do týchto skupín: 1. Teória kužeĐoseþiek a. Vlastnosti kužeĐoseþiek – 7 prác b. Množiny bodov na kužeĐoseþkách a bodové korešpondencie – 6 prác 2. Krivky odvodené pomocou kužeĐoseþiek – 3 práce 3. Špeciálne krivky – 8 prác 4. Všeobecnejšia teória niektorých typov algebrických kriviek a. Typy kriviek a ich vlastnosti – 11 prác b. Korešpondencie v sústavách bodov na krivkách – 4 práce c. Transformácie a všeobecnejšie korešpondencie – 2 práce 5. Rôzne – 6 prác
123
Úplný zoznam publikácií K. Zahradníka, podrobná analýza väþšiny prác uvedených piatich skupín a ich zhodnotenie budú okrem súvisiacej tematiky o živote a diele K. Zahradníka predmetom kompletnej monografie M. BeþváĜovej ([1]). Tento príspevok, rešpektujúc zameranie letnej školy histórie matematiky a všeobecné pokyny organizátorov, sa orientuje na výber typických reprezentatívnych prác jednotlivých skupín, ich obsahový opis a struþnú charakteristiku. Základný obraz o obsahu a kvalitách Zahradníkovho vedeckoodborného diela bude možné touto prezentáciou nadobudnúĢ, pretože väþšina prác v urþitej skupine má rovnakú alebo veĐmi podobnú schému a rozdiely medzi prácami sú založené skôr na konkrétnej povahe sledovaných objektov a na rôznych modifikáciách globálnej témy. 3.1
Teória kužeĐoseþiek
a) Vo väþšine prác tejto skupiny sa K. Zahradník zaoberá formulovaním a dokazovaním – s veĐkou prevahou analytickou metódou – tých vlastností regulárnych kužeĐoseþiek, ktoré sa neuvádzajú v prvoplánových kurzoch analytickej geometrie kužeĐoseþiek. Napr. v práci Prilog teoriji þunjosjeþica [Príspevok k teórii kužeĐoseþiek] (Rad Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti 131(1897), 63–71), v jej þeskej verzii PĜíspČvek k theorii kuželoseþek (ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky 28(1899), 37–45) a v nemeckej verzii Zur Kegelschnittlehre [K teórii kužeĐoseþiek] (Archiv der Mathematik und Physik 17(1899), 89– 96) ukazuje netriviálnu syntetickú konštrukciu dotyþníc regulárnej kužeĐoseþky a správnosĢ konštrukcie potvrdzuje analytickým výpoþtom. Predpísaním urþitých projektívnych alebo metrických vlastností pre hĐadané množiny bodov a vyhĐadaním týchto množín analytickou metódou získava ćalšie krivky vyšších stupĖov. Na odvodenie vlastností elipsy používa aj perspektívnu afinitu (bez tohto pomenovania) medzi kružnicou a elipsou. Zahradníkove okruhy problematiky a metódy jej riešenia názorne a extrémne detailne demonštruje rozsiahla dvojdielna práca Teorija parabole na temelju racinalnoga parametra [Teória paraboly na základe racionálneho parametra] (Rad Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti 64(1882), 105–152; 72(1885), 145–154). K. Zahradník v práci rozvíja tradiþnú líniu projektívnej teórie paraboly s plným využívaním euklidovskej metriky vo vlastnej þasti rozšírenej euklidovskej roviny, zaoberá sa metrickými vlastnosĢami trojuholníkov opísaných parabole a vpísaných do paraboly, skúma vzĢah kružnice a paraboly, vlastnosti štvoruholníka vpísaného do paraboly, harmonickosĢ a ekvianharmonickosĢ, oskulaþné kružnice, normály, evolútu, trojuholník normál, úpätnicu, obsahy trojuholníkov a štvoruholníkov súvisiacich nejakým spôsobom s parabolou, ćalšie objekty asociované s parabolou, bodové a dotyþnicové involúcie na parabole, kužeĐoseþky a najmä paraboly odvodené rôznymi spôsobmi od paraboly. Záber siaha od elementárnogeometrického prístupu cez projektívnogeometrické studium až po diferenciálnogeometrické skúmanie, pravda, bez exaktného diferenciálnogeometrického aparátu. b) PäĢ zo šiestich prác tejto skupiny je venovaných jednej téme, a to bodovej (3, 3)korešpondencii, ktorú na regulárnej kužeĐoseþke v rozšírenej euklidovskej rovine tvoria tieto objekty: ĐubovoĐný bod ako spoloþný bod troch oskulaþných kružníc, ktoré majú tento bod za oskulaþný, a trojica bodov, ktoré sú štvrtými spoloþnými bodmi kužeĐoseþky s uvedenými tromi oskulaþnými kružnicami. Obrátene, každým vlastným bodom kužeĐoseþky prechádzajú tri oskulaþné kružnice, ktorých body oskulácie ležia separovane vždy s daným bodom na jednej kružnici z tejto trojice; tak je každému bodu kružnice priradená trojica oskulaþných bodov kružnice. Pri voĐbe bodu kužeĐoseþky racionálnym parametrom sú parametre bodov priradenej trojice urþené ako korene istej kubickej rovnice. Toto priradenie trojice bodov
124
kužeĐoseþky k jednému bodu, ku ktorému existuje v zmysle korešpondencie priradenie inverzné tej istej definiþnej vlastnosti, nazýva Zahradník v duchu dobových kánonov kubickou involúciou. Opisuje ju v práci Vlastnosti jistých trojin oskulaþních na kuželoseþce (Archiv mathematiky a fysiky 2(1878), 227–235), v jej mierne modifikovanom nemeckom preklade Osculationstripel am Kegelschnitte [Oskulaþné trojice na kužeĐoseþke] (Archiv der Mathematik und Physik 69(1883), 419–426), v rozsiahlej dvojdielnej štúdii Prilog k teoriji kubiþne involucije na þunjoseku [Príspevok k teórii kubickej involúcie na kužeĐoseþke] (Rad Jugoslavenske akademije znatnosti i umjetnosti 92(1888), 73–101; 95(1889), 1–23) a vracia sa k nej v práci Einige Eigenschaften der Oskulationstripel am Kegelschnitte [Niektoré vlastnosti oskulaþných trojíc na kužeĐoseþke] (VČstník Královské þeské spoleþnosti nauk V, 1910, 6 strán) a v jej þeskom preklade NČkteré vlastnosti oskulaþních trojin na kuželoseþce (ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky 41(1912), 519–523). V zmysle dnešného chápania pojmov a terminológie, keć sa involúciou nazýva cyklické projektívne zobrazenie stupĖa 2, by sa opísané priradenie nazvalo 0-rozmernou algebrickou korešpondenciou stupĖa (3, 3). 3.2
Krivky odvodené pomocou kužeĐoseþiek
V práci O místČ bodu, jehož tČtiva styku má pro danou kuželoseþku stálou délku (ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky 6(1877), 139–142) K. Zahradník vyšetruje obálku všetkých priamok euklidovskej roviny, ktoré pretínajú danú kužeĐoseþku v tetivách konštantnej dĎžky. ZisĢuje, že obálkou je krivka 4. stupĖa. Ćalej sa zaoberá zväzkom takýchto kriviek – jednoparametrickou sústavou, pre ktorú parametrom je dĎžka uvedenej tetivy. V práci O nekih krivuljah izvedenih iz sjeka þunja [O niektorých krivkách odvodených od kužeĐoseþky] (Rad Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti 40(1877), 166–171) a v jej þeskom preklade O nČkterých kĜivkách z kuželoseþky odvozených (ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky 7(1878), 168–173) vyšetruje množinu všetkých bodov v rovine kuželoseþky, ktoré s dotykovými bodmi dotyþníc prechádzajúcich daným bodom ku kužeĐoseþke tvoria trojuholník konštantného obsahu. HĐadaná množina bodov je krivka 6. stupĖa, pre ktorú sa ćalej hĐadajú singularity a podmienky rozložiteĐnosti. 3.3
Špeciálne krivky
Tri kratšie þlánky z raného obdobia Zahradníkovej vedeckej tvorby (1877) sa zaoberajú drobnejšími problémami, ktoré sa v miernych obmenách vyskytujú v rôznych Zahradníkových prácach poþas celého jeho aktívneho pôsobenia. Prvým problémom je hĐadanie množiny všetkých bodov v euklidovskej rovine, ktoré s dotykovými bodmi dotyþníc prechádzajúcich bodom k cisoide tvoria trojuholníky konštantného obsahu. HĐadanou množinou je krivka 5. stupĖa. Rovnako formulovaná úloha pre kardioidu vedie ku krivke 8. stupĖa. Tretia úloha sa opäĢ týka kardioidy a spoþíva v hĐadaní množiny vrcholov dotykových trojuholníkov rôznych od dotykových bodov, keć Ģažisko týchto trojuholníkov prebieha urþitou krivkou. Ak je touto krivkou algebrická (rovinná) krivka stupĖa n, hĐadaná krivka je algebrickou rovinnou krivkou stupĖa 4n. V þlánku Geometrijske opazke [Geometrické poznámky] (Rad Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti 75(1885), 211–220) sú vyšetrované niektoré konchoidy vytvárané pohybom bodu zviazaného s kružnicou pohybujúcou sa po pevnej kružnici. PodĐa schémy
125
þasto opakujúcej sa aj v iných prácach sú predmetom výskumu aj metrické charakteristiky (dĎžka a obsah) niekoĐkých sprievodných útvarov. V práci Contribution a la théorie des cubiques cuspidales [Príspevok k teórii kuspidálnych kubík] (Nouvelles annales de mathématiques, 3. série, 181(1899), 381–407) K. Zahradník vyšetruje štandardným postupom analytickými metódami tematiku obvyklú pre racionálnu rovinnú krivku tretieho stupĖa a tretej triedy biracionálne ekvivalentnú s priamkou. Osobitnú pozornosĢ venuje projektívnemu zobrazeniu dvoch sústav priamok asociovaných urþitým spôsobom vzhĐadom na krivku. V þlánku Einige Bemerkungen zu den zirkularen Zissoidalen als Fusspunktkurven [NiekoĐko poznámok k cirkulárnym cisoidálam ako úpätniciam] (VČstník Královské þeské spoleþnosti nauk III, 1909, 8 strán) sa Zahradník zaoberá niekoĐkými konštrukciami viazanými na racionálnu cirkulárnu kubiku, ktorú možno považovaĢ za cisoidálu generovanú regulárnou kužeĐoseþkou a priamkou. Ukazuje, že tieto kubiky možno vytvoriĢ ako úpätnicové krivky paraboly. Uvádza podrobnú tabuĐku, v ktorej je zachytené, ako od voĐby základných charakteristík paraboly závisí konštrukcia jej úpätnicovej krivky na jednej strane a konštrukcia týchto kriviek ako cisoidálnych kriviek na druhej strane. Posledná práca tejto skupiny Zur Theorie der Fokale [K teórii fokály] (VČstník ýeské královské spoleþnosti nauk IV, 1911, 16 strán) je venovaná štandardnej metrickej a projektívnej problematike fokály ako rovinnej algebrickej krivky. (Fokála je množina všetkých ohnísk všetkých kužeĐoseþiek zväzku.) 3.4
Všeobecnejšia teória niektorých typov algebrických kriviek
Ústrednou témou temer všetkých prác tejto skupiny je teória racionálnych rovinných algebrických kriviek tretieho stupĖa. Sú to unikurzálne kubiky s jedným dvojnásobným bodom, ktoré sú biracionálne ekvivalentné s priamkou, þo v tomto prípade znamená – kećže rozmer krivky sa rovná 1 – že okrem koneþného poþtu bodov existuje vyjadrenie súradníc každého bodu krivky pomocou racionálnych funkcií jedného reálneho parametra oznaþujúceho nehomogénnu súradnicu urþitého bodu priamky (to je zobrazenie priamky na kubiku), a obrátene, temer ku každému bodu krivky existuje racionálna funkcia nehomogénnych súradníc x, y bodu, ktorej hodnota ako reálny parameter je súradnicou urþitého bodu priamky v lokálnej sústave súradníc na priamke. „JednoparametrickosĢ“ ireducibilnej kubiky s jedným dvojnásobným bodom vyplýva z faktov, že a) ireducibilná kubika nemôže maĢ viac singulárnych bodov než jeden dvojnásobný a b) každá priamka incidujúca s dvojnásobným bodom kubiky pretína kubiku – okrem koneþného poþtu prípadov – v jedinom ćalšom bode. Z týchto faktov s prihliadnutím na druh dvojnásobného bodu (þi ide o uzlový bod alebo o bod vratu) vyplývajú podĐa Plückerových vzorcov závery pre triedu krivky, þo je pre danú krivku maximálny možný poþet jej dotyþníc incidujúcich s jedným bodom. Touto tematikou sa K. Zahradník zaoberal od prvých rokov svojej vedeckej þinnosti (prvá publikácia r. 1873) temer do posledných rokov svojich publikaþných aktivít (posledná publikácia r. 1908). Okrem základných geometrických vlastností kriviek þasto skúmal také otázky, akými sú incidencia koneþného poþtu bodov kubiky s algebrickou krivkou stupĖa n, oskulácia, vlastnosti normál a evolút, útvary odvodené od dotyþníc, otázky dĎžok a obsahov útvarov pridružených ku krivke, korešpondencia sústav bodov na krivke atć. Formuláciu problémov a riešenia mnohostranne približuje napr. trojdielna štúdia Rationale ebene Curven 126
der dritter Ordnung [Racionálne rovinné krivky tretieho rádu] (Archiv der Mathematik und Physik 56(1874), 134–152; 58(1876), 23–36; 61(1877), 1–18). Všeobecné metódy a teoretické výsledky sú neraz konkretizované na špeciálnych krivkách, akými sú napr. cisoida, strofoida, Descartov list. Zaujímavý zjednocujúci pohĐad na niektoré známe krivky prináša obšírny þlánok Einheitliche Erzeugung der bekannten rationalen Kurven dritter Ordnung als Zissoidalen [Jednotný výtvor známych racionálnych kriviek tretieho rádu ako cisoidál] (VČstník Královské þeské spoleþnosti nauk XXX, 1906, 19 strán). Príklon k všeobecnejším projektívnym metódam prináša práca Konstruktion der rationalen Kurven dritter und vierter Ordnung, respektive Klasse vermittels der kollinear incidenten Elemente [Konštrukcie racionálnych kriviek tretieho a štvrtého rádu, resp. triedy, prostredníctvom kolineárne incidentných prvkov] (Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien 117(1908), 1167–1190). Temer monografický charakter má rozsiahla dvojdielna práca O krivuljah u ravnini [O rovinných krivkách] (Rad Jugoslavenske akademije znanosti i umjetnosti 64(1882), 1–65; 75(1885), 79–180), kde je syntézou diferenciálnogeometrických a v menšej miere projektívnych prostriedkov prezentovaná teória rovinných algebrických i transcendentných kriviek s množstvom detailne vypracovaných príkladov. Práce v þastiach b) a c) reprezentujú projektívnogeometrické prístupy k tradiþnej problematike projektívnej geometrie v oblasti rovinných algebrických kriviek. 3.5
Rôzne
Tematicky rozptýlené práce tejto skupiny sú väþšinou venované hlbšiemu skúmaniu elementárnogeometrických problémov s výsledkami, ktoré neboli v dobe vzniku známe a ani dnes nepatria do obsahu základnej teórie. Hodnotný je v niektorých smeroch ich metodický prínos. ýlánok Ein geometrischer Lehrsatz [O istej geometrickej vete] (Archiv für Mathematik und Physik 56(1874), 11–15) opisuje situácie, pri ktorých isté viazané pohyby vrcholov trojuholníka majú za následok pohyb Ģažiska trojuholníka po racionálnej krivke tretieho stupĖa; za zovšeobecnených podmienok pohybu opisuje Ģažisko krivku štvrtého stupĖa. ýasĢ základnej formulácie vety bola známa už Pappovi. V práci Ueber einige Winkel- und Längenrelationen am Dreiecke [O istých vzĢahoch uhlov a dĎžok v trojuholníku] (Archiv für Mathematik und Physik, 2. Reihe, 6(1888), 415– 423) K. Zahradník skúma dotykové konfigurácie dvoch kružníc a tetivy jednej z týchto kružníc, opisuje krivky, ktorými prebiehajú isté body pri urþitých pohyboch základných útvarov a odvodzuje numericky pomerne komplikované vzĢahy týkajúce sa veĐkostí uhlov, dĎžok niektorých charakteristík vyskytujúcich sa trojuholníkov a obsahov týchto trojuholníkov v závislosti od lineárnych charakteristík. ýlánok je hlavne demonštráciou Zahradníkovho spoĐahlivého ovládania analytickej metódy a vhĐadu do geometrických vzĢahov. Z hĐadiska neskorších teoretických výskumov a výsledkov je zaujímavý þlánok Cissoidalcurven [Cisoidálne krivky] (Archiv für Mathematik und Physik 56(1874), 8–10), v ktorom je uvedená zovšeobecnená konštrukcia podĐa vzoru konštrukcie Dioklovej cisoidy. Kružnica Dioklovej konštrukcie je nahradená ĐubovoĐnou regulárnou kužeĐoseþkou a dotyþnica kružnice ĐubovoĐnou priamkou. V þlánku sú zreteĐné zárodky neskoršej rozvetvenej teórie cisoidálnych kriviek a racionálnych kriviek tretieho stupĖa.
127
4 Záver Geometrické práce Karla Zahradníka, ktoré tvoria podstatnú þasĢ jeho vedeckého a odborného diela, zaujímajú osobitné postavenie v tvorbe prvej generácie þeskej geometrickej školy. V protiklade s prevládajúcou dominanciou syntetickej metódy ide u Zahradníka o jednoznaþnú prevahu analytickej metódy, ktorou sa dosahovala jasnosĢ a presnosĢ výsledkov, nie vždy dosiahnuteĐná pri používaní syntetických prostriedkov. Napriek povrchnému zdaniu, že voĐba Zahradníkových tém a problémov nesiahala do náležitých výšok teórie, jeho prechod od jednoduchého zovšeobecnenia Dioklovej cisoidy cez cisoidálne krivky až po teoretické spracovanie racionálnych kriviek 3. stupĖa zaradil K. Zahradníka k európskej vedeckej garnitúre slušnej úrovne a po zásluhe mu mal zaistiĢ aj þestné miesto v zozname tvorcov þeskej geometrickej školy a þeských matematikov 19. storoþia. Ak sa tak doteraz nestalo v zaslúženej miere, je úlohou súþasnej historiografie matematiky tento dlh splatiĢ. Literatúra [1] BeþváĜová M.: Karel Zahradník. Matfyzpress, Praha, 2011. Pripravovaná monografia. [2] Kolmogorov A. N., Juškeviþ A. P.: Matematika XIX veka. Nauka, Moskva, 1981.
Adresa Prof. RNDr. Ján ýižmár, PhD. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Trnavská univerzita Priemyselná ul. þ. 4 P.O. BOX 9 918 43 Trnava Slovenská republika e-mail:
[email protected],
[email protected]
128
KDO JE AUTOREM AXIOMATIKY PODMÍNċNÝCH PRAVDċPODOBNOSTÍ? FRANTIŠEK FABIAN Abstract: The development of probability theory and mathematical statistics was enabled by introducing axioms of probability which are connected with the famous names such as A. N. Kolmogorov (1933). His approach was later enlarged to the concept of the axioms of conditional probability in some works by Alfred Rényi (1954, 1955, 1956). Nevertheless, a Czech author Otomar Pankraz published an article presenting the same conclusions as Rényi in 1939. We would like to remember this fact as an important confirmation of the high level of Czech probability theory before the second world war.
1 Úvod Teorie pravdČpodobnosti a matematická statistika se bČhem svého vývoje vypracovaly jak po teoretické tak aplikaþní stránce na pĜední místo pozornosti v rámci matematických oborĤ. Je tedy pĜirozené, že jejich postupnému rozvoji je vČnována stále vČtší pozornost i z hlediska historického, a to nejen z pĜínosĤ autorĤ zahraniþních (napĜ. [1], [2]), ale i þeských ([3], [5], [12], [13], [15]). Vysoce hodnotím zapojení pracovníkĤ Katedry pravdČpodobnosti a matematické statistiky MFF UK v Praze do þinností historické povahy, zejména pĜipomínání osobností zahraniþních v naší zemi ne zcela známých (napĜ. [14], [17]) þi domácích, které neprávem upadly v zapomenutí ([16]). Tento pĜíspČvek inspirovaný uvedenými snahami si klade za cíl vzpomenout zásluh jednoho ze zapomenutých þeských badatelĤ na poli teorie pravdČpodobnosti. Otomar Pankraz byl struþnČ zmínČn v textu [3] , nyní se na jeho osobu a pĜínos podíváme podrobnČji.
2 Axiomatika teorie pravdČpodobnosti Výchozím pojmem teorie pravdČpodobnosti a matematické statistiky respektive dalších navazujících matematických disiplín je pravdČpodobnost, která sama o sobČ má i z historického hlediska svérázné postavení. V rámci matematiky získala špiþkový význam formulováním axiomatiky spojované se jmény významných svČtových matematikĤ, zejména A. N. Kolmogorova (viz [4]). PĜestože KolmogorovĤv pĜístup bezpochyby zahájil novou etapu ve vývoji teorie pravdČpodobnosti, objevily se problémy, jejichž Ĝešení nebylo možno beze zbytku zvládnout. Byla proto otevĜena cesta k dalšímu rozšíĜení Kolmogorovovy teorie. Jako možné východisko se ukázala myšlenka formulovat axiomatický pĜístup pro tzv. podmínČnou pravdČpodobnost jako základní výchozí pojem. Jestliže 0 P(A ) 1 je funkce definující pravdČpodobnost nastání náhodného jevu A, symbolem P(A|B) znaþíme pravdČpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B, jako funkci dvou náhodných jevĤ. Po matematické stránce je zpracování uvedené problematiky publikováno v uþebnici teorie pravdČpodobnosti A. Rényiho [9] z roku 1972. Autor se zabýval tímto pĜístupem již v padesátých letech ([6], [7], [8]). Zajímavá je také 129
Rényiho poznámka v tom smyslu, že idea takového rozšíĜení pochází od A. N. Kolmogorova, který však žádné práce v tomto smČru nepublikoval.
3 PĜínos O. Pankraze PĜed Ĝadou let zaujal moji pozornost rozsáhlý þlánek [10] otištČný v Rozpravách Jednoty pro vČdy pojistné, jehož autorem byl doc. Dr. Otomar Pankraz. PĜipomeĖme nejprve základní fakta o jeho životČ a profesní kariéĜe. Narodil se 25. 3. 1903 v Nových Dvorech u Písku. V letech 1914–1918 studoval na klasickém gymnáziu v Písku, v letech 1919 až 1923 absolvoval vyšší státní prĤmyslovou školu v Praze a poté vystudoval formou mimoĜádného studia na PĜírodovČdecké fakultČ Karlovy univerzity matematiku a fyziku. V roce 1931 byl promován doktorem pĜírodních vČd. Nad rámec rigorózních zkoušek složil na PĜF UK zkoušku z pojistné matematiky a matematické statistiky, pĜiþemž již pĜedtím byl zamČstnán na pozici pojistného matematika ve Všeobecném penzijním ústavu v Praze. Aby mohl vČdecky pracovat, nastupuje od kvČtna 1931 na místo asistenta na II. ústavu matematiky Vysoké školy strojního a elektrotechnického inženýrství ýVUT, kde setrval až do uzavĜení þeských vysokých škol v roce 1939. V listopadu 1935 se habilitoval pro obor pojistná matematika a matematická statistika na KarlovČ univerzitČ, v bĜeznu 1938 se habilitoval pro obor matematika na ýVUT. Pedagogicky pĤsobil na UK v letech 1936 až 1939 a na ýVUT ve školním roce 1938/1939. Ve své odborné práci se vČnoval pojistné matematice a matematické statistice, pozdČji matematické analýze a logice. Publikoval Ĝadu vČdeckých þlánkĤ, napĜíklad v ýasopise pro pČstování mathematiky a fysiky, zmiĖme [11], pĜipravoval knihu Matematická logika s použitím na fysikální a hospodáĜské myšlení, která ale nikdy nevyšla. Po uzavĜení þeských vysokých škol odmítl ministerstvem školství nabízenou možnost zamČstnání stĜedoškolského uþitele. Svou pracovní situaci nevyĜešil bČhem celé války, nČkolikrát neúspČšnČ žádal o pĜidČlení k pražské HospodáĜské správČ vysokých škol, pro kterou byl nakonec povČĜen inventarizací pĜístrojĤ a sbírek þeské techniky v Praze. Válka zásadnČ ovlivnila jeho osud, neboĢ za své postoje bČhem ní byl v roce 1946 odsouzen k pČti letĤm tČžkého žaláĜe. ZemĜel v Praze 12. prosince 1976. Další údaje o jeho životní dráze lze najít v internetovém zdroji [18]. PĜi prvním setkání s þlánkem [10] jsem si závažnost jeho obsahu po historické stránce neuvČdomoval. Teprve po seznámení s texty A. Rényiho jsem si uvČdomil jeho dalekosáhlý význam jak po stránce obsahové tak pĜedevším historické. O vysoké matematické úrovni pĜístupu O. Pankraze svČdþí názvy nČkterých kapitol jeho þlánku, které mají bezprostĜední souvislost s naším tématem:
-
NČkteré teoreticko-množinové pojmy. Isomorfismus. Axiomy Kolmogorovovy a jejich kritika. ÚplnČjší axiomatický systém poþtu pravdČpodobnosti.
Oba autoĜi, O. Pankraz i A. Rényi, v podstatČ Ĝeší otázku, zda pravdČpodobnost je definitoricky množinová funkce jednoho þi dvou argumentĤ. Docházejí ke stejnému závČru, ovšem O. Pankraz o Ĝadu let dĜíve. Je tedy zĜejmé, komu patĜí priorita
130
uvedeného zamČĜení. Necitování ze strany A. Rényiho patrnČ souvisí s neznalostí existence þeské publikace nejen v oné dobČ, ale v podstatČ dodnes. Jde pĜitom o významné rozšíĜení axiomatiky pravdČpodobnosti a je pro nás, ýeskou republiku, podstatné, že je zemí pĤvodu jeho autora. Mimo jiné uvedená priorita dokumentuje i vysokou úroveĖ teorie pravdČpodobnosti jako pĜední disciplíny matematiky v té dobČ na þeském území.
Literatura [1] Hald A.: A History of Probability and Statistics and their Applications before 1750. Wiley, New York, 1990. [2] Hald A.: A History of Mathematical Statistics. From 1750 to 1930. Wiley, New York, 1998. [3] Hykšová M.: PĜíspČvek þeských matematikĤ k teorii pravdČpodobnosti. Sborník 27. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2006, 30–31. [4] Kolmogorov N. A.: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Julius Springer, Berlin, 1933. [5] Maþák K.: Vývoj teorie pravdČpodobnosti v þeských zemích do roku 1938. DČjiny matematiky, svazek 26, Ústav pro soudobé dČjiny AV ýR, Praha, 2005. [6] Rényi A.: Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bericht über die Tagung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1954, 7–15. [7] Rényi A.: On a new axiomatic theory of probability. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 6(1955), 285–335. [8] Rényi A.: On conditional probability spaces generated by a dimensionally ordered set of measures. Teor. Verojatn. Prim. 1(1956), 61–71. [9] Rényi A.: Teorie pravdČpodobnosti. Academia, Praha, 1972. [10] Pankraz O.: O axiomech poþtu pravdČpodobnosti. Rozpravy Jednoty pro vČdy pojistné 19(1939), 38–70. [11] Pankraz O.: O pojmu pravdČpodobnosti. ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky 69(1940), D73–81, D161–165. [12] Závodský P.: Vývoj statistické teorie na území ýeskoslovenska do roku 1848. Federální statistický úĜad, Praha, 1992. [13] Zichová J.: Daniel Bernoulli a metoda maximální vČrohodnosti. Informaþní bulletin ýeské statistické spoleþnosti 3(1992), 1–5. [14] Zichová J.: Co možná nevíte o rodinČ BernoulliĤ. Informace Matematické vČdecké sekce JýMF 38(1992), 41–44. [15] Zichová J.: Teorie pravdČpodobnosti a rukopisný spor. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 49(2004), 95–103. [16] Zichová J.: Josef Erben a jeho pĜínos pro pražskou statistiku v 19. století. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 54(2009), 57–71.
131
[17] Zichová J.: Thorvald Nicolai Thiele – dánský statistik a aktuár. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 55(2010), 30–42. [18] Otomar Pankraz. www.math.muni.cz/~sisma/pankraz.pdf [cit. 28. 5. 2010] Adresa Prof. Ing. František Fabian, CSc. V Olšinách 2012/126 100 00 Praha 10
132
BRUNO DE FINETTI (1906–1985) A FILOSOFIE PRAVDċPODOBNOSTI MAGDALENA HYKŠOVÁ Abstract: The contribution commemorates the Italian mathematician and statistician Bruno de Finetti who died 25 years ago. The main stress is put on his philosophical conception of probability: Finetti promoted its subjective interpretation that identifies probability with the degree of personal belief in the occurance of a given event. The asset of this approach to didactics of mathematics is stressed, too.
1 Bruno de Finetti Bruno de Finetti se narodil 13. þervna 1906 v rakouském Innsbrucku. Otec Gualtiero byl inženýr pĤvodem z Terstu, který v Innsbrucku pracoval jako železniþní konstruktér. Po jeho náhlé smrti v roce 1912 se rodina pĜestČhovala do rodného mČsta Brunovy matky, italského Trenta. Zde Bruno navštČvoval základní školu a gymnázium. Protože mČl pokraþovat v rodinné inženýrské tradici, nastoupil v roce 1923 na polytechniku v MilánČ. Ve tĜetím roþníku však pĜestoupil na novČ založenou milánskou univerzitu, na níž bylo možné studovat matematiku; studia zakonþil v roce 1927 úspČšnou obhajobou disertaþní práce z oblasti afinní geometrie. Po absolutoriu Finetti nastoupil do statistického úĜadu Instituto Centrale di Statistica (ISTAT) v ěímČ, v roce 1930 se navíc habilitoval pro matematickou analýzu na Ĝímské univerzitČ, kde pak pĜednášel jako soukromý docent. V roce 1931 odešel do Terstu, kde do roku 1946 pracoval jako pojistný matematik pro pojišĢovnu Generali. KromČ toho uþil matematickou analýzu, finanþní a pojistnou matematiku a poþet pravdČpodobnosti na univerzitČ v Terstu a dva roky také v PadovČ. V roce 1946 byl jmenován Ĝádným profesorem finanþní matematiky a statistiky na univerzitČ v Terstu, v roce 1954 získal profesuru na univerzitČ v ěímČ, kde pĤsobil až do svého odchodu na odpoþinek v roce 1976. Bruno de Finetti zemĜel 20. þervence 1985 v ěímČ. VČdecky byl Finetti aktivní v celé ĜadČ oborĤ: v matematické analýze, ekonomii, teorii rozhodování, hodnocení rizika, výpoþetní technice a finanþní a pojistné matematice. NejvýznamnČjší jsou však jeho práce z oblasti teorie pravdČpodobnosti a matematické statistiky; z nich se v tomto pĜíspČvku zamČĜíme na práce týkající se samotných základĤ pravdČpodobnosti.
2 Filosofie pravdČpodobnosti Finetti poukazoval na problémy rĤzných pĜístupĤ k pravdČpodobnosti a jediné východisko vidČl v dĤsledném subjektivismu. Jak sám pozdČji uvedl ve svých pĜednáškách [5], na tuto myšlenku jej pĜivedla þetba Czuberovy knihy [1], která zaþíná diskusí rĤzných pĜístupĤ k pravdČpodobnosti. Své nové základy pravdČpodobnosti Finetti popsal v pĜednášce na Mezinárodním sjezdu matematikĤ v Bologni v roce 1928, která byla publikována o þtyĜi roky pozdČji [4], a dále pak napĜíklad v pojednáních [2] a [3]. Z dalších prací1 zde uvećme již jen posmrtnČ vydanou knihu [5], která zachycuje, jak Finetti pohlížel na
Práce vznikla za podpory grantu GAýR 401/09/1850. 1
Úplný seznam publikací týkajících se filosofie pravdČpodobnosti lze nalézt napĜíklad v [7].
133
teorii pravdČpodobnosti ke konci svého života. Dnes je Finetti všeobecnČ uznáván jako jeden ze zakladatelĤ subjektivní interpretace, která pravdČpodobnost ztotožĖuje s mírou osobního pĜesvČdþení o výskytu urþitého jevu þi o platnosti urþité hypotézy. Druhým uznávaným zakladatelem je Frank Plumpton Ramsey (1903–1930), jehož pojednání [8] vyšlo posmrtnČ v roce 1930. Finetti a Ramsey své práce vytvoĜili nezávisle na sobČ, bohužel však také nezávisle na pojednáních [10] a [11] Václava Šimerky (1819–1887), v nichž je podrobnČ rozebírána myšlenka využití poþtu pravdČpodobnosti k vyjádĜení rĤzných stupĖĤ pĜesvČdþení. Na druhou stranu je tĜeba dodat, že Finetti nechápal svou teorii jako interpretaci pravdČpodobnosti, ale jako její jedinou smysluplnou definici. 2.1
Kritika jiných než subjektivních pĜístupĤ k teorii pravdČpodobnosti
Klasickou definici, podle níž je pravdČpodobnost urþitého jevu podílem poþtu pĜíznivých a všech možných, „stejnČ pravdČpodobných” pĜípadĤ, Finetti kritizuje ze stejného dĤvodu jako Ĝada matematikĤ pĜed ním i po nČm: jedná se o definici kruhem, která je založená na pojmu „stejnČ pravdČpodobný” nebo „stejnČ možný”, jehož nezávislá definice není nikde dána. Finetti kritizuje i þetnostní definici, podle níž je pravdČpodobnost limitou relativní þetnosti výskytu daného jevu v opakovaných pokusech splĖujících urþité podmínky. Myšlenku nekoneþné posloupnosti pokusĤ Finetti považuje za nesmyslnou: vynecháme-li v posloupnosti libovolný koneþný poþet þlenĤ, její limita se nezmČní. My jsme však opakováním pokusu schopni zjistit právČ jen tyto „zbyteþné” þleny, protože náš život i celý vesmír trvá jen koneþnČ dlouho. Navíc nás þasto zajímá pravdČpodobnost nČjakého konkrétního neopakovatelného jevu. V pozdČjších pracích Finetti kritizuje mimo jiné také Kolmogorovovu axiomatickou definici [6]. Uvažuje napĜíklad vČtu: Kolega, jehož oþekávám, pravdČpodobnČ pĜijde. Jak ji pĜeložit do jazyka teorie množin? Máme hovoĜit o „množinČ všech možných svČtĤ“ a rozlišovat svČty, v nichž kolega dorazí, od tČch, ve kterých nedorazí? NČco podobného Finetti považuje za absurdní komplikaci. 2.2
Subjektivismus
Finetti byl pĜesvČdþen, že nemá smysl se ptát, jaká je pravdČpodobnost urþitého jevu sama o sobČ – pravdČpodobnost má podle nČj pouze subjektivní význam a vždy závisí na osobČ, která ji udává, a na jejích znalostech. Ve svých pracích používá následující terminologii. Jevem rozumí kategorické tvrzení, které lze ovČĜit, ale o nČmž zatím nevíme, zda je pravdivé nebo nepravdivé (napĜíklad skuteþnost, že dnešní expres z Milána dorazí se zpoždČním mezi 30 a 35 minutami, nikoli tvrzení obecné, týkající se napĜíklad všech tratí nebo všech dnĤ). Pro názornost Finetti rovnČž používá vyjádĜení, že daný jev „nastal“ þi „nenastal“. Pro jevy E ′ , E ′′ uvažuje obvyklé logické operace; jevy E ′ , E ′′ nazývá nesluþitelnými právČ tehdy, když je jev E ′ ∧ E ′′ nemožný. | E | znaþí pravdivostní hodnotu jevu E, tj. | E |= 1 , resp. | E |= 0 , je-li jev E pravdivý, resp. nepravdivý. 2.3
Koherentní sázky
Ke stanovení pravdČpodobnosti P( E ) = p , kterou daná osoba pĜiĜazuje jevu E, Finetti ve svých prvních pracích navrhl využít princip spravedlivé sázky: osoba je postavena do pozice bookmakera a je vyzvána, aby stanovila kurz sázky p jako þástku, kterou musí sázející zaplatit, aby v pĜípadČ, že nastane jev E, dostal 1 Kþ. Je však upozornČna na to, že musí pĜijmout jakoukoli sázku S, a to kladnou i zápornou (sama tedy mĤže být postavena do role sázejícího). Jestliže jev E nenastane, bude zisk sázejícího Z (¬E ) = − pS , jestliže nastane, získá Z ( E ) = (1 − p ) S . Celkem lze psát: Z = (| E | − p ) S . Pro n jevĤ E1 , E 2 , , E n je zisk lineární kombinací Z = (| E1 | − p1) S1 + (| E2 | − p2 ) S 2 + + (| En | − pn ) S n . V pojed-
134
nání [2] se poprvé objevuje požadavek, aby pĜiĜazení pravdČpodobností bylo koherentní: nesmí se stát, že by byl zisk Z vždy kladný, bez ohledu na to, jaký jev nastane. Kdyby tomu tak bylo, mČl by sázející zajištČnou výhru, aĢ se stane cokoli. DĤsledky této koherence jsou mimoĜádnČ zajímavé z hlediska didaktiky matematiky; kromČ toho, že je pro danou osobu nejvýhodnČjší stanovit p zcela upĜímnČ, z koherence plynou základní axiomy teorie pravdČpodobnosti. 1. Pro každý jev E musí být P (E ) jediné reálné þíslo splĖující 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 . Kdyby bylo p < 0 (resp. p > 1 ), byl by pro libovolné S > 0 (resp. S < 0 ) zisk sázejícího v každém pĜípadČ kladný. Kdyby byly pro jeden jev stanoveny dvČ rĤzné hodnoty p′ > p′′ , pak by sázející mohl uzavĜít dvČ sázky, (| E | − p′) S ′ a (| E | − p′′) S ′′ , s celkovým ziskem Z ( E ) = (1 − p′) S ′ + (1 − p′′) S ′′ = − p′S ′ − p′′S ′′ + S ′ + S ′′ , Z (∼ E ) = − p′S ′ − p′′S ′′ . Pro S ′′ > 0 , S ′ = − S ′′ < 0 by pak platilo: Z ( E ) = ( p′ − p′′) S ′′ > 0 , Z (∼ E ) = ( p′ − p′′) S ′′ > 0 , což opČt odporuje požadavku koherence. 2. Pro jistý jev E platí P( E ) = 1 , pro nemožný jev je P( E ) = 0 . Pro jistý jev je Z = (| E | − p ) S = (1 − p) S . Pro p < 1 by staþilo zvolit libovolné S > 0 a zisk by byl vždy kladný, což odporuje koherenci. Pro nemožný jev je Z = − pS ; pro p > 0 by staþilo zvolit libovolné S < 0 a zisk by byl opČt vždy kladný. 3. Aditivita: pro libovolné nesluþitelné jevy E1 , E 2 platí: P( E1 ∨ E2 ) = P( E1) + P ( E2 ) . Oznaþme P( E1 ) = p , P( E2 ) = q , P( E1 ∨ E2 ) = r a uvažujme tĜi sázky s celkovým ziskem Z = (| E1 | − p ) S + (| E2 | −q ) S + (| E1 ∨ E2 | − (1 − r ) S ). Zisk v jednotlivých možných pĜípadech je po úpravČ roven Z ( E1 ∧ ¬E2 ) = Z (¬E1 ∧ E2 ) = Z (¬E1 ∧ ¬E2 ) = (r − p − q) S . Pro p + q < r (resp. p + q > r ) by sázející volbou S > 0 (resp. S < 0 ) docílil za každé situace kladného zisku, proto musí být p + q = r .
V pojednání [2] Finetti rovnČž uvažoval alternativní definici pravdČpodobnosti, založenou na kvalitativní relaci „pravdČpodobný alespoĖ jako“. V 60. a 70. letech 20. století se pak pĜiklonil k definici založené na penalizaci: dotyþné osoby se zeptáme, jakou pravdČpodobnost p pĜisuzuje jevu E, pĜiþemž ji upozorníme, že jí budou udČleny urþité trestné body závisející na uvedené odpovČdi a na tom, zda jev E nastane þi nikoli. Nejjednodušší je tzv. Brierovo skóre, které se používá k hodnocení úspČšnosti pĜedpovČdi poþasí a které stanoví penalizaci ( p − | E |) 2 . V knize [5] Finetti objasĖuje pomocí jednoduché mechanické pĜedstavy, proþ je dotázaná osoba nucena udat hodnotu pravdČpodobnosti p, kterou si skuteþnČ myslí: Uvažujme dvČ kuliþky o hmotnostech p a 1 − p , zavČšené na opaþných koncích tyþe konstantní hustoty. StĜední hodnota penalizace je v pĜípadČ, že daná osoba udá pravdČpodobnost q, rovna p (q − 1) 2 + (1 − p )q 2 ; v mechanickém modelu tento výraz vyjadĜuje moment setrvaþnosti soustavy vzhledem k bodu Q.
135
Minimalizace oþekávané penalizace tedy odpovídá nalezení bodu, vzhledem k nČmuž je moment setrvaþnosti soustavy minimální. Jak je známo ze Steinerovy vČty, jedná se právČ o tČžištČ; jinde je moment setrvaþnosti vČtší o ( p − q) 2 . Stejný výsledek lze odvodit i algebraicky, uvedená fyzikální pĜedstava je však velmi názorná a jednoduchá.
3 ZávČr Pojednání, která Finetti publikoval ve tĜicátých letech, bohužel zĤstala dlouho témČĜ nepovšimnutá; do širšího povČdomí se dostala až díky knize [9] L. J. Savage a pozdČji také díky pĜekladĤm do angliþtiny. Cílem tohoto pĜíspČvku bylo struþnČ naznaþit základní myšlenky subjektivismu, který Finetti považoval za jediný akceptovatelný pĜístup k pravdČpodobnosti. Zájemci o celou tuto teorii mohou nahlédnout napĜíklad do knihy [5]. Literatura [1] Czuber E.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. Teubner, Leipzig, 1903 [3. vyd. 1914]. [2] Finetti de B.: Sul significato soggettivo della probabilità. Fundamenta Mathematicae 17(1931), 298–329 [anglický pĜeklad: On the Subjective Meaning of Probability. In: Monari P., Cocchi D. (eds.): Bruno de Finetti: Probabilità e induzione (Induction and Probability). CLUEB, Bologna, 1992, 291–321]. [3] Finetti de B.: Probabilismo. Saggio critico sulla teoria della probabilità e sul valore della scienza. Logos, Napoli, 1931 [anglický pĜeklad: Probabilism. A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science. Erkenntnis 31(1989), 169–223]. [4] Finetti de B.: Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio. In: Zanichelli N. (ed.): Atti del Congresso Internazionale dei Matematici Bologna 6, Bologna, 1932, 179–190. [5] Finetti de B. (Mura A, ed.): Philosophical Lectures on Probability. Synthese Library 340, Springer, 2008 [pĜepracovaná anglická verze knihy Filosofia della probabilità. Il Saggiatore, Milano, 1995; anglický pĜeklad: H. Hosni]. [6] Kolmogorov A. N.: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin, 1933. [7] Plato von J.: Creating Modern Probability. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. [8] Ramsey F. P.: Truth and Probability. In: Braithwaite R. (ed.): The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays, Kegan Paul, London, 1931, 156–198. [9] Savage L. J.: The Foundations of Statistics. Wiley, New York, 1954. [10] Šimerka V.: Síla pĜesvČdþení. ýPMF 11(1882), 75 –111. [11] Šimerka V.: Die Kraft der Überzeugung. In: Sitzungsberichte der Philos.-Historischen Classe der Kaiserlichen Akad. der Wiss. 104(1883), 511–571.
Adresa RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ýVUT Na Florenci 25 110 00 Praha 1 e-mail:
[email protected]
136
MÉNċ ZNÁMÍ UýITELÉ DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE VLASTA CHMELÍKOVÁ Abstract: The aim of this article is to point out some descriptive geometry teachers at secondary schools who are not known for writing textbooks on descriptive geometry or teaching at polytechnic schools or universities but they contributed to the progress of descriptive geometry by teaching it and they are authors of interesting original treatises in this area which were published in the annual reports of secondary schools.
1 Úvod 1.1
Osobnosti þeské deskriptivní geometrie
Deskriptivní geometrie zaznamenala v našich zemích ve druhé polovinČ devatenáctého století velký rozvoj, který pĜetrvával ještČ v první polovinČ století dvacátého. Zasloužila se o to Ĝada osobností, jejichž jména jsou þasto více þi ménČ spjata s pražskou polytechnikou.1 Za všechny jmenujme napĜíklad Rudolfa Skuherského,2 Františka Tilšera,3 Vincence Jarolímka,4 BedĜicha Procházku,5 Karla Pelze,6 Jana Sobotku,7 Josefa Kounovského,8 Josefa Klímu9 nebo Františka KadeĜávka10. Známe je jako významné profesory a autory rozšíĜených stĜedoškolských a vysokoškolských
1
Pražská polytechnika mČla v jednotlivých obdobích rĤzné názvy; v letech 1806 až 1840 se tato škola jmenovala Královské ýeské Stavovské UþilištČ Technické v Praze, v letech 1840 až 1847 Technické ýeské Stavovské UþilištČ v Praze, v letech 1847 až 1848 ýeské Stavovské Polytechnické UþilištČ v Praze, v letech 1848 až 1861 ýeský Stavovský Polytechnický Ústav v Praze, v letech 1861 až 1864 Královský ýeský Polytechnický Zemský Ústav v Praze, v letech 1864 až 1869 Polytechnický Ústav Království ýeského, v letech 1869 až 1875 ýeský Polytechnický Ústav Království ýeského, v letech 1875 až 1879 C. k. ýeský Polytechnický Ústav Království ýeského, v letech 1879 až 1918 C. k. ýeská Vysoká Škola Technická v Praze, v letech 1918 až 1920 ýeská Vysoká Škola Technická, od roku 1920 do souþasnosti nese název ýeské Vysoké Uþení Technické (ýVUT). V roce 1869 došlo navíc k rozdČlení pražské polytechniky na þeskou a nČmeckou (viz [2], str. 27). 2 Rudolf Skuherský (23. 4. 1828 – 9. 10. 1863), první profesor deskriptivní geometrie na pražské polytechnice. 3 František Tilšer (12. 7. 1825 – 5. 2. 1913), nástupce prof. Skuherského na pražské polytechnice (pozdČji þeské technice v Praze). 4 Vincenc (ýenČk) Jarolímek (25. 6. 1846 – 14. 12. 1921), nejprve uþitel, Ĝeditel reálek, pozdČji profesor deskriptivní geometrie na þeské technice v Praze. 5 BedĜich Procházka (4. 7. 1855 – 3. 1. 1934), nejprve uþitel reálek, pozdČji profesor deskriptivní geometrie na þeské technice v BrnČ a na þeské technice v Praze (pozdČji ýVUT). 6 Karel Pelz (2. 10. 1845 – 16. 6. 1908), asistent na nČmecké technice v Praze, profesor deskriptivní geometrie na technice ve Štýrském Hradci, pozdČji na þeské technice v Praze. 7 Jan Sobotka (2. 9. 1862 – 10. 5. 1931), profesor deskriptivní geometrie na technice ve Vídní, první profesor deskriptivní geometrie na þeské technice v BrnČ, profesor matematiky na Filosofické fakultČ KarloFerdinandovy univerzity, pozdČji na PĜírodovČdecké fakultČ Univerzity Karlovy. 8 Josef Kounovský (25. 8. 1878 – 22. 12. 1949), uþitel þeské reálky v Praze na Novém MČstČ, pozdČji profesor deskriptivní geometrie na ýVUT. 9 Josef Klíma (8. 3. 1887 – 30. 9. 1943), asistent prof. Procházky na þeské technice v Praze, uþitel reálek, profesor deskriptivní geometrie na þeské technice v BrnČ. 10 František KadeĜávek (26. 6. 1885 – 9. 2. 1961), profesor deskriptivní geometrie na þeské technice v Praze (pozdČji ýVUT).
137
uþebnic. Vedle nich však pĤsobili mnozí další, jejichž jména se citují podstatnČ ménČ nebo v jiných souvislostech než s deskriptivní geometrií. ýeskou deskriptivní geometrii výraznČ obohatili mnozí uþitelé stĜedních škol, pĜedevším reálek, na kterých se deskriptiva vyuþovala ve velké míĜe. Tito uþitelé mČli ve svém oboru úctyhodné znalosti. Vedle pedagogické þinnosti sepisovali odborné statČ, které publikovali zpravidla ve výroþních zprávách stĜedních škol, nČkteĜí i v dalších periodikách (jako byl napĜ. ýasopis pro pČstování mathematiky a fysiky,11 Archiv mathematiky a fysiky,12 Zprávy Královské þeské Spoleþnosti nauk aj.) a mnohdy cizojazyþnČ. 1.2
Historie reálek13
Za první reálnou školu na území habsburské monarchie (jejíž souþástí byly i ýechy a Morava) lze považovat reálnou obchodní akademii (Real-Handlung-Akademie) ve Vídni zĜízenou již roku 1770, tedy za vlády Marie Terezie. K dalšímu rozvoji reálného školství došlo za vlády Františka I, mČl na nČm nemalou zásluhu František Josef Gerstner.14 Reálky v té dobČ hrály roli obchodních škol nebo sloužily jako pĜípravné kursy ke studiu polytechniky. První takovou reálkou u nás byla reálka v BrnČ (zĜízena roku 1811). Výrazným zlomem ve vývoji reálného školství v našich zemích byla Exner-Bonitzova reforma (1849), v jejímž rámci vyšel Nástin organisace gymnasií a reálek v Rakousku (Entwurf der Organization der Gymnasien und Realschulen in Oesterreich). Reálky byly ustanoveny jako šestileté stĜední školy (nižší reálka – 3 roky, vyšší reálka – 3 roky). První reálkou tohoto typu byla reálka pražská (s þeským jazykem vyuþovacím15). Povinná maturitní zkouška byla na reálkách zavedena roku 1869. SouþasnČ došlo k rozšíĜení reálek na školy sedmitĜídní (nižší reálka – 4 roky, vyšší reálka – 3 roky). V roce 1875 byla ministerským výnosem schválena uþebná osnova pro þeské reálky. Dle ní má reálka poskytovati žactvu vyšší obecné vzdČlání zvláštČ na základČ nauk matematicko-pĜírodovČdeckých a pĜipravovati je pro vyšší odborné ústavy (techniku, lesnickou, horní akademii aj.) (viz [13], str. 139). Poslední vČtší úpravou stĜedních škol pĜed vznikem ýeskoslovenské republiky byla Marchetova reforma (1908), v jejímž rámci byla uzákonČna reformní reálná gymnázia a souþasnČ se reálná gymnázia vznikající již od šedesátých let 19. století mohla stát státními. Výnosem ministra kultu a vyuþování Lva Thuna ze dne 16. záĜí 1849 bylo ĜeditelĤm rakouských stĜedních škol uloženo, aby na konci každého školního roku podávali zemské školní radČ podrobnou výroþní zprávu o vnČjším i vnitĜním stavu školy a redigovali 11
Vydávala Jednota þeských mathematikĤ od roku 1872. Vydávala Jednota þeských mathematikĤ od roku 1875, vyšly však pouze dva svazky, v roce 1878 bylo vydávání zastaveno. 13 Více o vzniku a historii reálek viz [5], [12]. [13]. 14 František Josef Gerstner (23. 2. 1756 – 25. 6. 1832), profesor vyšší matematiky na Karlo-FerdinandovČ universitČ, profesor hydrauliky a mechaniky na Královském þeském stavovském uþilišti technickém v Praze. 15 NČkteré pĜedmČty byly vyuþovány v þeštinČ, nČkteré zpoþátku ještČ v nČmþinČ. Až roku 1866 byl vydán zemský zákon, podle kterého byly reálky v Praze, Kutné HoĜe, Písku, Litomyšli, Plzni a Pardubicích ustanoveny jako školy výhradnČ þeské. 12
138
tištČnou zprávu výroþní, skládající se vždy z vČdecké rozpravy, nČkterým þlenem sboru uþitelského sepsané, a ze zpráv školních (viz [3], str. 5). PrávČ tyto vČdecké rozpravy byly pĜíležitostí pro vyuþující stĜedních škol k publikaci jejich odborné práce.
2 Reálka Karlín16 2.1
VojtČch Smolík
VojtČch Smolík se narodil 13. dubna 1849 ve Studené (plzeĖský kraj). NavštČvoval hlavní školu v Praze na Starém MČstČ, poté zde dva roky pokraþoval ve studiu na nižší reálce, tĜetí rok dokonþil na c. k. nČmecké reálce v Praze, kde pokraþoval ve studiích na reálce vyšší. V letech 1860 až 1864 studoval na polytechnice v Praze. Po celou dobu byl výborným studentem. Po studiích spolupracoval dva roky na tvorbČ stavebních plánĤ pro dráhu císaĜe Františka Josefa. Od 1. kvČtna 1866 pĤsobil ve školství, nejprve uþil na nČmecké vyšší reálce v Praze, od roku 1874 na reálce v KarlínČ, kde se roku 1876 stal skuteþným uþitelem. ZemĜel 9. þervna 1899 v Praze na následky zápalu plic.17
Obr. 1: PrĤmČty þar kĜivosti na hyperboloidu
16
Reálka v KarlínČ byla založena roku 1874 nejprve jako soukromá þtyĜletá (nižší) reálka. Prvním Ĝeditelem byl zvolen BartolomČj Pavlíþek (1938–1918). V roce 1876 bylo ministerstvem povoleno reálku postupnČ rozšíĜit na sedmiletou. Status „státní“ získala roku 1883, obec Karlín však nadále spravovala budovu a pĜispívala na pomĤcky a vybavení školy [7]. Reálku navštČvovali studenti z velkého okolí, jejich poþet do pĜelomu 19. a 20. století neustále stoupal (podle [12] mČla v roce 1900 témČĜ 500 studentĤ), teprve na poþátku 20. století se poþet studentĤ snížil v dĤsledku otevĜení dalších reálek v blízkém okolí (Praha Vinohrady, Praha Žižkov). Ze známých geometrĤ na této reálce pĤsobili napĜíklad Josef Pithardt (1874–1955), František Šanda (1831–1893), Vincenc (ýenČk) Jarolímek nebo BedĜich Procházka. 17 Více o životČ VojtČcha Smolíka viz [4].
139
V roce 1877 vyšla ve výroþní zprávČ karlínské reálky Smolíkova práce O þárách kĜivosti na hyperboloidu o jednom povrchu a hyperbolickém paraboloidu [10] (obr. 1, 2). Autor v ní pĜináší zajímavé Ĝešení, jak sestrojit kolmé prĤmČty (pĤdorys a nárys) jednodílného trojosého hyperboloidu a hyperbolického paraboloidu. Jeho Ĝešení je založeno na vČtČ DupinovČ.18 Dále volí vhodné plochy, které seþou hyperboloid (resp. hyperbolický paraboloid) a metodami analytické geometrie vypoþítává prĤseþné kĜivky a jejich kolmé prĤmČty do pĤdorysny a nárysny. Pro hyperboloid tak odvodí, že kolmými prĤmČty þar kĜivosti do pĤdorysny jsou elipsy a þásti hyperbol, do nárysny þásti elips a þásti hyperbol. U hyperbolického paraboloidu získává v obou pĜípadech paraboly. V závČru þlánku se V. Smolík zmiĖuje o práci C. F. A. Leroye,19 který se zabýval stejným problémem, avšak jeho postupy jsou (oproti Smolíkovým) znaþnČ složitČjší.
Obr. 2: PrĤmČty þar kĜivosti na hyperbolickém paraboloidu
18
Charles Dupin (1784–1873), francouzský matematik a inženýr. ZnČní Dupinovy vČty: Mají-li tĜi soustavy ploch takovou vlastnost, že plochy soustavy jedné plochy dvou ostatních pravoúhelnČ sekou, jest každá prĤseþná þára þarou kĜivosti ploch, kterýmž pĜináleží (viz [10], str. 3). 19 Traité de géométrie descriptive (Paris, 1834); autor Charles Francois Antoine Leroy (1780–1854).
140
2.2
František Machovec
František Machovec se narodil 24. prosince 1855 ve LnáĜích (okres Blatno). Ve svém rodišti navštČvoval obecnou školu, od roku 1866 studoval reálku v Písku, kde koncem školního roku 1871/1872 maturoval s vyznamenáním. Poté pokraþoval ve studiích na þeské polytechnice v Praze. Ve školním roce 1875/1876 pĤsobil jako asistent geometrie na vyšší reálce v Kutné HoĜe, další rok jako pomocný uþitel na reálném a vyšším gymnáziu v Klatovech, kde roku 1877 složil zkoušku uþitelské zpĤsobilosti z matematiky a deskriptivní geometrie pro vyšší školy reálné s prospČchem výborným. Od roku 1878 pĤsobil na reálce v KarlínČ, nejprve jako provizorní, o rok pozdČji již jako skuteþný uþitel. Kolegy i studenty byl hodnocen jako þlovČk umírnČný, vážný a pĜísný, avšak laskavý. BČhem svého pedagogického pĤsobení psal posudky na uþebnice, uvádČl zkušebné kandidáty do praxe (za tuto þinnost získal od ministerstva kultu a vyuþování pochvalný dekret) a v neposlední ĜadČ se vČnoval vČdecké þinnosti. Dnes je znám pĜedevším jako autor stĜedoškolských uþebnic matematiky.20 Ve školním roce 1885/1886 získal dovolenou pro studijní pobyt na univerzitČ ve Štrasburku, kde navštČvoval pĜednášky prof. Dr. Theodora Reye21 vČnované novČjší geometrii. Tento pobyt ovlivnil zamČĜení Machovcovy vČdecké práce v oblasti geometrie; po návratu se vČnoval pĜedevším pĜímkové geometrii. Ve školním roce 1891/1892 F. Machovec suploval pĜednášky z deskriptivní geometrie na þeské technice v Praze za ne- Obr. 3: ýást obrazové tabule k práci „O úloze Apollonicmocného profesora Františka ké v descriptivní geometrii“ Tilšera. MČl je suplovat i v dalším školním roce, avšak onemocnČl zánČtem srdeþních blan (endokarditidou) a na následky nemoci 8. Ĝíjna 1892 zemĜel.22 20
Algebra pro vyšší tĜídy škol stĜedních (1886, zvlášĢ vydání pro reálky a pro gymnázia), Aritmetika pro nižší tĜídy gymnasií (1886, spoluautor Václav Starý). C. T. Reye (1838–1919), nČmecký fyzik a geometr, autor klasického díla Geometrie der Lage (Hannover, 1866–1868). 22 Více o životČ Františka Machovce viz [17]. 21
141
František Machovec byl publikaþnČ velmi þinný. Vedle již zmínČných uþebnic publikoval témČĜ 40 prací, vČtšinu z nich v ýasopisu pro pČstování mathematiky a fysiky, dále v Archivu mathematiky a fysiky, ve výroþních zprávách stĜedních škol, ve Zprávách Královské þeské Spoleþnosti nauk, v Rozpravách ýeské akademie a v þasopisu Monatshefte für Mathematik und Physik. VČtšinou se zabýval vlastnostmi ploch a kuželoseþek. Je také autorem publikace Zobrazování teþen a stĜedĤ kĜivosti kĜivek na základČ nové methody (1883); základní myšlenkou jeho „nové metody“ je Ĝešení planimetrických úloh pomocí deskriptivní geometrie. Tato idea sice v jeho dobČ zcela nová nebyla, avšak F. Machovec, jak sám v pĜedmluvČ k této knize uvádí, použil nČkteré zcela nové postupy. Roku 1879 F. Machovec publikoval ve výroþní zprávČ karlínské reálky práci O úloze Apollonické v descriptivní geometrii [6] (obr. 3). Metodami deskriptivní geometrie v ní Ĝeší jednu z Apolloniových úloh, konkrétnČ úlohu „sestrojit kružnici, která se dotýká tĜí daných kružnic“. Stejným problémem se dĜíve zabývala celá Ĝada osobností, F. Machovec však uvádí, že jeho postupy (a jsou hned tĜi) jsou zcela nové. Všechna jeho Ĝešení se zakládají na pĜevedení této rovinné úlohy do prostoru. První dva postupy vycházejí z myšlenky považovat tĜi dané kružnice k, kƍ, kƍƍ za Ĝídící kĜivky tĜí shodných pĜímých kuželových ploch K, Kƍ, Kƍƍ. Hledá se þtvrtá kuželová plocha, která má s každou z ploch K, Kƍ, Kƍƍ spoleþnou právČ jednu pĜímku. TĜetí zpĤsob využívá kulové plochy, na jejímž povrchu jsou kružnice shodné s kružnicemi k, kƍ, kƍƍ, a stereografické projekce. 2.3
Václav TluþhoĜ
Václav TluþhoĜ se narodil 22. záĜí 1858 v Pardubicích. V letech 1870 až 1876 zde vystudoval reálku a pokraþoval ve studiích na c. k. vysoké škole technické ve Vídni, kde se pĜipravoval na dráhu stĜedoškolského uþitele. Aproboval z matematiky a deskriptivní geometrie s vyuþovací Ĝeþí þeskou. Jako asistent nebo suplent pĤsobil v letech 1885 až 1897 na reálkách v Pardubicích, JiþínČ, KarlínČ a Plzni, na reálném gymnáziu v KolínČ a na státní prĤmyslové škole v Praze. Od þervence 1897 zastával funkci Ĝeditele reálky v Kostelci nad Orlicí. Od 1. záĜí 1909 pĤsobil jako Ĝeditel reálky v KarlínČ, vedle toho od roku 1910 pĜevzal vedení pokraþovací školy prĤmyslové tamtéž. ZemĜel 15. prosince 1914.23 V. TluþhoĜ byl výborným Ĝeditelem i uþitelem, pĜitom si našel þas i na vČdeckou þinnost; dokladem je jeho devČt odborných studií, které vyšly ve výroþních zprávách stĜedních škol (Kolín, PlzeĖ, Kostelec nad Orlicí, Karlín) nebo v ýasopiu pro pČstování mathematiky a fysiky. Jeho práce se vČnují, stejnČ jako Machovcovy, kuželoseþkám a plochám, pĜedevším pak plochám druhého stupnČ. V roce 1914 uveĜejnil V. TluþhoĜ ve výroþní zprávČ karlínské reálky práci Sestrojení teþen bodem ke kuželoseþce a prĤseþíkĤ pĜímky s kuželoseþkou [14] (obr. 4). ObČ konstrukce Ĝeší metodami projektivní geometrie. Vychází z toho, že libovolnou kuželoseþku lze zadat lineárními podmínkami a následnČ ji pĜevést na kuželoseþku urþenou dvČma teþnami s body dotyku a další teþnou (nebo bodem). PĜi dalších
23
Více o životČ Václava TluþhoĜe viz [16].
142
Obr. 4: ýást obrazové tabule k práci „Sestrojení teþen bodem ke kuželoseþce a prĤseþíkĤ pĜímky s kuželoseþkou“ konstrukcích využívá Pascalovu vČtu.24 Úlohu „sestrojit teþnu z bodu ke kuželoseþce“ popisuje jak pro pĜípad vlastního bodu, tak pro pĜípad bodu nevlastního (tedy konstrukce teþny v daném smČru).
Obr. 5: Reálka Karlín
24
PrĤseþíky tĜí dvojic protČjších stran šestiúhelníka vepsaného kuželoseþce leží v jedné pĜímce.
143
3 Reálka Pardubice25 3.1
Antonín Barborka
Antonín Barborka se narodil 7. ledna 1835 v Horažćovicích. V letech 1850 až 1855 studoval þeskou reálku na Novém MČstČ v Praze, poté pražskou polytechniku. Od roku 1860 uþil na téže reálce v Praze, na které studoval, a od roku 1863 na reálce v Pardubicích, kde byl i þlenem mČstského zastupitelstva. Je také autorem regulaþního plánu Pardubic.26 ZemĜel 14. dubna 1891 tamtéž [9]. Ve výroþní zprávČ pardubické reálky za školní rok 1866/1867 je zveĜejnČn BarborkĤv þlánek Perspektiva, její vývoj historický a nynČjší stanovisko [1], který struþnČ nastiĖuje historický vývoj perspektivy od dob starovČkého ěecka a ěíma pĜes období rozkvČtu perspektivy v dobách renesance až po souþasnost. Vývoj perspektivy pĜiþítá A. Barborka pĜirozenému pudu umČlcĤ. V þlánku vyjmenovává jednotlivé osobnosti a upozorĖuje na spisy vČnované perspektivČ. RovnČž projevuje lítost nad nedostatkem þesky psané literatury v tomto oboru, svou krátkou statí se snaží tuto mezeru alespoĖ þásteþnČ zaplnit. ZmiĖuje, že snad první, byĢ struþnČ podané zprávy o perspektivČ v þeském jazyce jsou v uþebnici Zobrazující mČĜictví pro vyšší reální školy (1862/3) Dominika Ryšavého. Z našich autorĤ dále vyzdvihuje spis Františka Tilšera System der technischmalerischen Perspektive (1865–1867).
Obr. 6: Reálka Pardubice
25
Vyšší reálka byla v Pardubicích otevĜena v roce 1863 (pĜedtím zde byla již od roku 1854 reálka nižší). Jejím prvním Ĝeditelem byl Jan Chmelík (1821–1895). Pod státní správu pĜešla v roce 1879. Ze známých matematikĤ a geometrĤ vyuþujících na této reálce mĤžeme jmenovat napĜíklad BedĜicha Procházku, Josefa Smolíka (1832– 1915) nebo Václava Laviþku (1846–1911). Pardubická reálka patĜila k vČtším školám svého druhu, již v roce 1870 ji navštČvovalo pĜes 300 studentĤ a jejich poþet nadále stoupal – v roce 1910 pĜesáhl již 450 (podle [12]). Více o historii pardubické reálky viz [9]. 26 Podle tohoto regulaþního plánu vypracovaného roku 1882 vznikla výstavba þásti Pardubic, více viz [15].
144
4 ýeská reálka v Praze na Novém MČstČ27 4.1
Dominik Ryšavý
Dominik Ryšavý se narodil 12. Ĝíjna 1830 v Bítovanech na Chrudimsku. Od roku 1842 navštČvoval nČmeckou hlavní školu v Poliþce, roku 1845 pĜešel do Prahy na hlavní školu malostranskou, kde zĤstal další dva roky. V letech 1847 až 1851 studoval na pražské polytechnice. Od roku 1853 pĤsobil na þeské reálce v Praze na Novém MČstČ, kde se roku 1860 stal Ĝádným uþitelem a setrval zde (vyjma let 1869 až 1883, kdy pracoval ve funkci dozorce obecných škol) až do smrti. ZemĜel 26. záĜí 1890 v Praze.28 K jeho zásluhám patĜí velký podíl na poþátcích þeské výuky deskriptivní geometrie a tvorbČ þeské terminologie. Vedle uþebnic rýsování pro 1. a 2. tĜídu nižší reálky29 je autorem první þesky psané stĜedoškolské uþebnice deskriptivní geometrie nazvané Zobrazující mČĜictví pro vyšší reální školy (1862–1863).
Obr. 7: ýást obrazové tabule k práci „O rejsování krystalĤ“ Ve výroþní zprávČ þeské reálky pražské z roku 1858 je zveĜejnČn Ryšavého þlánek O rejsování krystalĤ [8] (obr. 7). Autor se v nČm snaží podat názorný návod ke zhotovení
27
ýeská reálka v Praze na Novém MČstČ byla založena již v roce 1849 (byla to tehdy první þeská reálka vĤbec). Je známá také jako „reálka v Jeþné“, školní budova v Jeþné ulici však byla postavena až v letech 1873 až 1875. Do té doby reálka sídlila v Panské ulici. Jejím prvním Ĝeditelem byl jmenován Josef Wenzig (1807–1875). Ze známých geometrĤ, kteĜí zde vyuþovali, mĤžeme uvést napĜíklad Vincence (ýeĖka) Jarolímka, Antonína Suchardu (1854–1907) nebo Josefa Kounovského. Reálka patĜila k nejvČtším v našich zemích, v letech 1870 až 1910 poþet jejích studentĤ neklesl pod 500 a poþátkem 20. století dokonce pĜesáhl 600 (podle [12]).Více o historii þeské reálky v Praze na Novém MČstČ viz [11]. 28 Více o životČ Dominika Ryšavého viz [18]. 29 Základové mČĜictví a kreslení pro 1. tĜídu nižších realních škol (1867), MČĜictví a rýsování pro 2. tĜídu nižších realních škol (1868).
145
rysĤ rĤzných krystalĤ založený na zákonech zobrazujícího mČĜictví (deskriptivní geometrie), které studenti ze stĜední školy znají. Popisuje v podstatČ jen konstrukce os krystalĤ, protože po správném sestrojení os je již jejich dorýsování snadné. Uvádí þtyĜi odlišné situace, které mohou pro osy krystalĤ nastat, a sice: tĜi osy krystalu jsou navzájem kolmé; dvČ osy jsou na sebe kolmé a tĜetí je k jedné z nich šikmá; tĜi osy jsou k sobČ navzájem naklonČné; tĜi osy leží v prĤmČrech šestiúhelníka a þtvrtá je na nČ kolmá. Tomuto rozložení os skuteþnČ odpovídají jednotlivé soustavy krystalĤ vyskytujících se v pĜírodČ. Autor þlánek rozdČlil do dvou þástí, v první popisuje zpĤsob, jak zobrazit prĤmČty os v kolmém promítání. Postup údajnČ uvádí podle jistého Neumanna.30 Ve druhé þásti ukazuje jiný, vlastní pĜístup, a sice zobrazení os v kosoúhlém promítání. Tento postup se jeví výraznČ snadnČjší a názornČjší, než zobrazení pravoúhlé.
Obr. 8: Reálka v Praze Jeþné ulici
5 ZávČr 5.1
PĜínos uþitelĤ reálek
Uþitelé pĤsobící na þeských reálkách se podíleli na rozvoji þeské vČdy, v tomto pĜípadČ deskriptivní geometrie. Osobnosti zde vybrané jsou jen malým zlomkem všech
30
Celé jméno autora ani název spisu není v Ryšavého práci citován.
146
þeských pedagogĤ pĤsobících na reálkách ve druhé polovinČ devatenáctého století a na poþátku století dvacátého. Ve výroþních zprávách vyšlo nespoþet odborných prací, které prokazují vysokou úroveĖ jejich autorĤ. Svým obsahem zpravidla výraznČ pĜevyšují úroveĖ uþiva na stĜední škole, þasto reflektují nové poznatky a nezĜídka (jako je tomu tĜeba v pracích Františka Machovce) také nové poznatky pĜinášejí.
Literatura [1] Barborka A.: Perspektiva, její vývoj historický a nynČjší stanovisko. Roþní zpráva veĜejné mČstské þeské vyšší školy realné v Pardubicích pro rok 1866–67, Nákladem vlastním, Pardubice, 1867, 1–2. [2] BeþváĜová M.: ýeská matematická komunita v letech 1848 až 1918. Edice DČjiny matematiky, svazek þ. 34, Matfyzpress, Praha, 2008. [3] Hlaváþek A.: Výroþní zprávy stĜedních škol 1820–1950. Literární archív Památníku národního písemnictví, Praha, 1971. [4] Hofman A.: Za zesnulým professorem VojtČchem Smolíkem. Dvacátá pátá roþní zpráva c. k. þeské vyšší realky Karlínské za školní rok 1898–99, M. Knapp, Praha-Karlín, 1899, 100–103. [5] Kádner O.: Vývoj a dnešní soustava školství. I., II. díl. Sfinx, Praha, 1929, 1931. [6] Machovec F.: O úloze Apollonické v descriptivní geometrii. Pátá roþní zpráva obecní vyšší realní školy þeské v KarlínČ za školní rok 1879, Nákladem vlastním, Karlín, 1879, 3–20, 1 obrazová tabule. [7] Nedoma J.: Karlínská reálka za prvních 25 let svého trvání. Dvacátá pátá roþní zpráva c. k. þeské vyšší realky Karlínské za školní rok 1898–99, M. Knapp, Praha-Karlín, 1899, 3–47. [8] Ryšavý D.: O rejsování krystalĤ. Sedmá roþní zpráva c. k. þeské vyšší reálné školy v Praze za školní rok 1858, C. k. školní knihtiskárny v Praze, Praha, 1858, 12–20, 3 obrazové tabule. [9] SakaĜ J.: DČjiny pardubských škol. Jubilejní výroþní zpráva c. k. státní reálky v Pardubicích, 1863–1913, J. Otto & RĤžiþka, Pardubice, 1913. [10] Smolík V.: O þárách kĜivosti na hyperboloidu o jednom povrchu a hyperbolickém paraboloidu. TĜetí roþní zpráva obecní vyšší realní školy þeské v KarlínČ za školní rok 1877, Nákladem vlastním, Karlín, 1877, 3–9, 3 obrazové tabule. [11] Vávra J.: DČjiny první þeské reálky pražské, 1. þást. Výroþní zpráva c. k. þeské reálky na Novém MČstČ (v Jeþné ulici) za školní rok 1901–1902, B. Stýblo, Praha, 1902, 3−11. [12] Šafránek J.: Školy þeské. Obraz jejich vývoje a osudĤ. II. Matice þeská, Praha, 1918. [13] Šafránek J.: Za þeskou osvČtu. J. Otto, Praha, 1898.
147
[14] TluþhoĜ V.: Sestrojení teþen bodem ke kuželoseþce a prĤseþíkĤ pĜímky s kuželoseþkou. Patnáctá výroþní zpráva c. k. þeské vyšší reálky v KarlínČ za školní rok 1913–14, M. Knapp, Karlín, 1914, 3–10, 1 obrazová tabule. [15] Tomáš M.: Vývoj a souþasné problémy vnitĜní prostorové struktury mČsta Pardubice. Diplomová práce, Univerzita Palackého v Olomouci, PĜírodovČdecká fakulta, Olomouc, 2008. [16] Vosyka V.: Za zesnulým Ĝeditelem Václavem TluþhoĜem. Šestnáctá výroþní zpráva c. k. þeské vyšší reálky v KarlínČ za školní rok 1914–1915, Al. Brož, Praha, 1915, 3–7. [17] ZemĜel professor František Machovec (nekrolog). Devatenáctá výroþní zpráva c. k. þeské vyšší realky Karlínské za školní rok 1893, M. Knapp, Karlín, 1893, 30–34. [18] ZemĜel professor Dominik Ryšavý (nekrolog). Výroþní zpráva c. k. þeské realky pražské za školní rok 1891, B. Stýblo, Praha, 1891, 25–28.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky a v rámci projektu Specifického vysokoškolského výzkumu 2010-261 315.
Adresa Mgr. Vlasta Chmelíková Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected]
148
MATEMATICKÉ APLIKACE V DÍLE WILHELMA MATZKY MICHAELA CHOCHOLOVÁ Abstract: W. Matzka (1798–1891) was an important mathematician and university professor in the Czech countries in the middle of the 19th century. His main interest was algebra, analysis and elementary geometry; however he paid attention to many applications of mathematics as well. In this article, there are presented especially his works on chronology, astronomy and geodesy to demonstrate the broad-spectrum of his interests.
1 Životní dráha Wilhelma Matzky Wilhelm Matzka se narodil dne 4. listopadu 1798 v LitobratĜicích na jižní MoravČ, studoval na gymnáziu v ChomutovČ (1809–1817) a na filozofické fakultČ v Praze (1817– 1819). Poté vstoupil do rakouské armády, kde sloužil nejprve jako bombardýr, poté jako (vrchní) ohnČstrĤjce a nakonec jako poruþík vídeĖského sboru bombardýrĤ, bezmála osmnáct let (až do roku 1837). Roku 1837 byl jmenován Ĝádným profesorem elementární matematiky na filozofické škole v TarnovČ, kde pĤsobil až do roku 1849. Roku 1843 složil na univerzitČ v Olomouci rigorózní zkoušky z obecné historie a obecné filozofie a stal se doktorem svobodných umČní a filozofie. Roku 1849 se vrátil do Prahy, kde byl jmenován Ĝádným profesorem elementární matematiky a praktické geometrie na polytechnice. Již o rok pozdČji byl povolán jako Ĝádný profesor matematiky s nČmeckou vyuþovací Ĝeþí na pražskou univerzitu, kde pĜednášel až do roku 1871. Jako univerzitní profesor byl þlenem zkušební komise gymnaziálního uþitelského úĜadu pro pĜedmČt matematika a opakovanČ byl dČkanem a prodČkanem profesorského sboru filozofické fakulty. Roku 1850 se stal Ĝádným þlenem Královské þeské spoleþnosti nauk. V témže roce byl císaĜem Františkem Josefem I. vyznamenán zlatou medailí Literis et artibus (VČdy a umČní). Jako ocenČní dlouholetých pedagogických a vČdeckých aktivit mu byl udČlen þestný titul císaĜského rady (der Ehrentitel eines kaiserlichen Rathes, 1869) a pozdČji i þestný titul vládního rady (der Ehrentitel eines Regierungsrathes, 1873). W. Matzka zemĜel dne 9. þervna 1891 v úctyhodném vČku nedožitých 93 let; byl pochován na Olšanském hĜbitovČ.1
1
Podrobné informace o životČ W. Matzky, jeho pedagogickém pĤsobení a vČdecké þinnosti viz Chocholová M.: Wilhelm Matzka and his Position in the Austro-Hungarian Mathematics, in BeþváĜová M., Binder Ch. (eds.): Mathematics in the Austrian-Hungarian Empire, History of Mathematics, volume 41, Matfyzpress, Prague, 2010, str. 81–92, a Chocholová M.: Prague University Professor Wilhelm Matzka, in Šafránková J., PavlĤ J. (ed.): WDS 07 Proceedings of Contributed Papers, Part I, Matfyzpress, Praha, 2008, str. 241–245.
149
2 VČdecké zájmy BČhem více než šedesátileté vČdecké þinnosti uveĜejnil W. Matzka 69 prací. Vydal je nČmecky jako pojednání v odborných þasopisech nebo samostatnČ jako monografie, uþebnice, historické, metodické a popularizaþní práce.2 Velkou þást prací vČnoval matematice a fyzice. V matematice se zabýval zejména otázkami základĤ geometrie a trigonometrie. Zlákala ho však i moderní témata: komplexní þísla, determinanty a logaritmy.3 Jeho práce se vyznaþují srozumitelným zpracováním matematických témat, prohloubením a rozšíĜením výkladu a zavedením originálních aplikací. Ve své dobČ byly známy ostatním matematikĤm a pro Ĝadu z nich se staly inspirací. Citace, hodnocení a ocenČní nČkterých jeho dČl nacházíme v odborné literatuĜe do dnešní doby. KromČ matematických a fyzikálních prací se MatzkĤv zájem upínal k ĜadČ dalších témat. Publikoval také odborná pojednání o chronologii, astronomii, geodézii þi hudbČ. Jeho zámČrem bylo zmínČné vČdy, obecnČ nebo v nČkterých speciálních þástech, vyložit na matematickém základČ. Bei den Bestimmungen von Ereignissen und Handlungen wird die Angabe der Zeit und des Ortes gefordert, wann und wo sie entweder bereits geschehen sind, oder gegenwärtig geschehen oder erst noch geschehen sollen. Darum werden die Chronologie und Geographie, als Zeit- und Erdkunde, schon längst treffend die beiden Augen der Weltgeschichte genannt. Andererseits dient allen Wissenschaften, deren Objecte Größe besitzen, die Mathematik, als Größen- und Zahlenlehre, nicht blos zur Begründung, sondern auch zur Ausbildung und Vervollkommnung. Daher dürfte es wohl nicht unverdienstlich sein, auch die Chronologie, als eine der nützlichsten und schwierigsten Hilfswissenschaften der Weltgeschichte und Urkundenlehre (Diplomatik), so weit als möglich, durch die Lehren der höheren Arithmetik (théorie des nombres) zu begründen und zu vereinfachen. ([16], str. V) 2
Matzkovy práce jsou otištČny v þasopisech: Abhandlungen der königlichen böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, Annalen der Physik und Chemie, Annalen der Wiener Sternwarte, Archiv für Mathematik und Physik, Astronomische Nachrichten, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Sitzungsberichte der königlichen böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Z jeho þinnosti se dochovalo rovnČž 7 rukopisĤ uložených v Národní knihovnČ ýeské republiky a v knihovnČ vídeĖské univerzity (Universitätsbibliothek Wien). 3 Podrobný rozbor a hodnocení Matzkových prací o komplexních þíslech a determinantech viz Chocholová M.: Wilhelm Matzka (1798–1891) and his Algebraical Works, in Barbin E., Stehlíková N., Tzanakis C. (ed.): History and Epistemology in Mathematics Education, Proceedings of the 5th European Summer University, Vydavatelský servis, PlzeĖ, 2008, str. 845–853, a Chocholová M.: Wilhelm Matzka (1798–1891) a historie komplexních þísel, in Doležalová J. (ed.): Sborník 17. roþníku semináĜe Moderní matematické metody v inženýrství (3μ 2008), Ediþní stĜedisko Vysoké školy báĖské – Technická univerzita Ostrava, Ostrava, 2008, str. 79–83. O logaritmech publikoval W. Matzka tĜi odborná pojednání, Beiträge zur höheren Lehre von den Logarithmen, Archiv der Mathematik und Physik 15(1850), 121–196 + 1 tabulka, Ein kritischer Nachtrag zur Geschichte der Erfindung der Logarithmen, Archiv der Mathematik und Physik 34(1860), 341–354 + 1 tabulka, Ein Beitrag zur systemmässigen Abhandlung der natürlichen Logarithmen in der Algebra, im Geiste Nepper’s und Euler’s, Sitzungsberichte der königlichen böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften 1878, 206–235, a obsáhlou uþebnici nazvanou Elementarlehre von den Logarithmen auf einen neuen, verständlicheren und umfassenderen Begriff vieler Hilfszahlen gegründet, blos die Kenntniß der gewöhnlichsten Zifferrechnungen vorausetzend, ohne Algebra gemeinfaßlich zergliedert. Vorzugsweise bestimmt zur Verbreitung dieser im Zifferrechnen so vielseitig nützlichen Lehre im Kreise der praktischen Rechner, in Untergymnasien, Gewerbsund Bürgerschulen (Prag, 1850, 128 stran), urþenou zejména pro studenty nižších gymnázií a nižších reálných škol.
150
3 Chronologie 3.1
Krátký úvod do chronologie
DČjiny lidské spoleþnosti se odehrávají v prostoru a þase. Již od nejstarších dob se lidé pokoušejí þas pochopit, filozofové vysvČtlit a pĜírodovČdci podat jeho obecnou definici. Komplikovanost celé záležitosti vystihuje výpovČć sv. Augustina (ca. 354 až 430): Vím, co je to þas, ale když se mne nČkdo zeptá, nedovedu mu to Ĝíci. PĜedstavy o þase, jeho pojetí a dČlení se v rĤzných kulturách, epochách, náboženstvích i spoleþenských vrstvách odlišovaly. V prĤbČhu dČjin se jako samostatná vČdecká disciplína rozvinula chronologie – nauka o þase.4 V rĤzných obdobích se chronologie orientovala na Ĝešení rozliþných problémĤ. Mezi nejvýznaþnČjší patĜily stanovení pĜesného data kĜesĢanských (pohyblivých) svátkĤ (zvláštČ Velikonoc), snahy o opravu kalendáĜe (vyvrcholily roku 1582 gregoriánskou reformou), synchronizace dat událostí nejstarších období dČjin, nalezení obecných metod k pĜevádČní dat mezi rĤznými kalendáĜi apod. Ve snaze po objektivním poznání þasu nezávislém na jeho morálním a náboženském významu zasáhli do chronologie rovnČž matematikové. Jmenujme napĜ. Isaaca Newtona (1643–1727), Carla Friedricha Gausse (1777–1855) [3] þi Augusta De Morgana (1806– 1871), kteĜí svým zájmem inspirovali i nČkteré další matematiky; z nich zejména W. Matzka pĜispČl do chronologie pĤvodními výsledky. Den Impuls zur höheren arithmetischen Behandlung der Zeitrechnung gab der geniale deutsche Mathematiker Herr Hofrath Gauß durch seine … Berechnung des Datums des christlichen und jüdischen Osterfestes [3]. Sie veranlaßte mehrere, zum Theil berühmte Mathematiker, wie Delambre, Cisa de Crésy, Cavaliere de Ciccolini, Tittel u. a., entweder die Gaußischen Rechnung zu beweisen, oder Fragen der Zeitrechnung ähnlich zu bearbeiten. ([16], str. VI) 3.2
Chronologie v MatzkovČ díle
První z Matzkových odborných pojednání vyšlo pod názvem Analytische Auflösung dreier Aufgaben der Calendarographie [14] v roce 1828 v þasopise Journal für die reine und angewandte Mathematik a bylo vČnováno chronologii. W. Matzka v nČm pĜedložil Ĝešení tĜí praktických úloh inspirovaných juliánským a gregoriánským kalendáĜem. Aby ukázal matematickou podstatu chronologie, užil algebraické vzorce, objasnil jejich význam, odvodil rĤzné souvislosti a získané výsledky aplikoval na Ĝešení konkrétních pĜíkladĤ, þímž zdĤraznil praktickou použitelnost vyloženého tématu a srozumitelnČ naznaþil zpĤsob jeho využití v praxi. Pro lepší pĜedstavu o obsahu pojednání [14] a jako ukázku algebraického zpĤsobu Ĝešení chronologických úloh prezentujme jeden z Matzkových pĜíkladĤ: 4
Spolu s paleografií (nauka o písmu), diplomatikou (nauka o úĜedních písemnostech), heraldikou (nauka o znacích, vyznamenáních a Ĝádech), numismatikou (nauka o platidlech) apod. tvoĜí chronologie komplex tzv. pomocných vČd historických. Chronologie je nauka o mČĜení þasu, jeho zpĤsobech a prostĜedcích k tomu používaných … Matematická (astronomická) chronologie využívá poznatkĤ astronomie a jiných pĜíbuzných vČd, sleduje pohyby nebeských tČles, … a stanoví na jejich základČ objektivní jednotky mČĜení þasu. Technická (historická) chronologie studuje zpĤsoby mČĜení þasu a jejich vývoj u rĤzných národĤ, respektive v jednotlivých kulturních okruzích. ([2], str. 24) Více o vývoji chronologie, jejích metodách a významných osobnostech viz [2].
151
Die katholische Kirche feiert das Schutzengelfest stets an demjenigen Sonntage, welcher der nächste an dem 1. September ist; man fragt nun: in welchen Jahren unseres Jahrhunderts fällt dieses Fest auf den 1. September selbst? ([14], str. 341) Roky, v nichž mČl katolický svátek Sv. AndČlĤ strážných (Schutzengelfest) v 19. století pĜipadnout na nedČli 1. záĜí, je možno urþit z následujícího vzorce: N = 100 S + 28ϑ + 4 ⋅
(
)
3h + 4 L + 4b +b, 7 r
kde N pĜedstavuje daný rok nČjaké éry, S je poþet celých stovek obsažených v N a pro h v gregoriánském kalendáĜi platí:
§ 2⋅ h=¨ ¨ ©
()
S +1· 4 r ¸ . 7 ¸
¹r
V obecném vyjádĜení daný svátek odpovídá nedČli 28 +
( )
( )
L+5 L+5 − 3 srpna. záĜí nebo 7 R 7 R
Má-li pĜipadnout právČ na 1. záĜí, pak L = 6 . Pro L rovnČž obecnČ platí:
PĜiþemž výraz
()
()
§ h + 2⋅ L=¨ ¨ ©
( ) ( ) ·¸
n n + 4⋅ N 7 r 4 r , kde n = . 7 100 ¸ r ¹R
( )
A pĜedstavuje zbytek po dČlení a speciálnČ, je-li m r
()
A = 0 , je pak m r
A = m . Za b , ϑ se vezmou postupnČ hodnoty 0, 1, 2 a 3. m R
Jsou tedy N = 18 ∗ ∗ , S = 18 , L = 6 a h po dosazení do pĜíslušného vzorce:
()
§ 2 ⋅ 18 + 1 · 4 r ¸ = h=¨ ¨ 7 ¸ ¹r ©
(
)
2⋅ 2 +1 §5· = ¨ ¸ = 5. 7 r © 7 ¹r
NáslednČ pro konkrétnČ zvolené hodnoty b = 3 , ϑ = 2 získáme: N = 100 ⋅ 18 + 28 ⋅ 2 + 4 ⋅
(
)
3⋅5 + 4⋅6 + 4⋅3 § 51 · + 3 = 1859 + 4 ⋅ ¨ ¸ = 1867 . 7 © 7 ¹r r
152
Postupným dosazením hodnot 0, 1, 2 a 3 za b a ϑ dostaneme (po vylouþení let 20. století) Ĝadu þtrnácti let, 1805, 1811, 1816, 1822, 1833, 1839, 1844, 1850, 1861, 1867, 1872, 1878, 1889, 1895, ve kterých svátek Sv. AndČlĤ strážných odpovídá pĜesnČ nedČli 1. záĜí.5 Vrcholem Matzkovy odborné þinnosti v oblasti chronologie je obsáhlá (543 stran) monografie Die Chronologie in ihrem ganzen Umfange, mit vorzüglicher Rücksicht auf ihre Anwendung in der Astronomie, Weltgeschichte und Urkundenlehre, nebst einem Vorschlage zu einer streng wissenschaftlich geregelten Zeitrechnung; durch höhere Arithmetik begründet und erläutert [16], kterou publikoval v roce 1844 ve Vídni.6 V úvodní þásti nazvané Vorbegriffe zur Chronologie (témČĜ 60 stran) vyložil základní pojmy a vČty vyšší aritmetiky (kongruence a dČlitelnost v plné obecnosti, funkce, Ĝady apod.), jež v chronologii nacházejí þetná uplatnČní. Tento pĜehled sepsal tak obecnČ a podrobnČ, že mohl být používán rovnČž jako dodatek k uþebnicím vyšší algebry. Hlavní téma historické chronologie rozdČlil W. Matzka do dvou þástí. V þásti Allgemeine Chronologie dĤkladnČ vysvČtlil pĜedmČt chronologie, zavedl odborné pojmy, objasnil vČty a používané metody. Vypracoval zásady pro vyrovnání obþanského roku se stĜedním astronomickým a uvedl pĜevody dat. V þásti Besondere Chronologie velmi podrobnČ pojednal o kĜesĢanském datování, pĜiþemž vČnoval zvláštní pozornost stanovení pĜesných dat kĜesĢanských (pohyblivých) svátkĤ. Vše podložil a zdĤvodnil pomocí matematických vzorcĤ vyvozených v úvodu a tím ukázal, že vyšší matematika je základem chronologie. Poté v podobném duchu popsal ještČ Ĝímský, egyptský, babylónský, Ĝecký, židovský, arabský, perský a francouzský republikánský „letopoþet“, tj. dataci, kalendáĜ a mČĜení þasu. Ve zvláštním dodatku podal návrh na úpravu našeho kalendáĜe. Vyložené metody (s matematickým základem) mČly pomoci pĜedevším práci historikĤ a astronomĤ. V závČru monografie [16] uvedl pomocné tabulky, aritmetická schémata a vzorce umožĖující pĜesné a rychlé urþení dat kĜesĢanských svátkĤ. Rozsah Matzkovy Chronologie [16] a pĜedevším její pĜísnČ logické zpracování na základČ teorie þísel byly a do dnešního dne jsou bezpochyby obdivuhodné. Nároþnost díla, množství matematiky a logických operací, jej však uþinily pro historiky pĜíliš nároþným a obtížnČ srozumitelným. V tomto smyslu se o nČm vyjadĜuje též [2] (str. 41) a [25]. Die Arbeiten von Gauss über die Osterberechnung regten mehrfach die Mathematiker zur Beschäftigung auch mit der technischen Chronologie an; das bedeutendste der einschlagenden Werke ist das von W. Matzka, Die Chronologie in ihrem ganzen Umfange, Wien 1844. So gelehrt und geistreich indessen auch dieses Buch ist, so wird die Mehrzahl der Historiker doch vorziehen, die erforderlichen Berechnungen auf einfachere und bequemere, wenn auch weniger wissenschaftliche Weise auszuführen. ([25], str. 4)
5
Ze zadání a Ĝešení pĜíkladu je evidentní, že byl katolický svátek Sv. AndČlĤ strážných (Schutzengelfest) v 19. století pohyblivým svátkem, který pĜipadal na první nedČli po 1. záĜí. V dnešní dobČ ho katolická církev slaví pravidelnČ 2. Ĝíjna. 6 W. Matzka tuto práci vČnoval svému bývalému univerzitnímu uþiteli Franzi Ignaci Cassianovi Hallaschkovi (1780–1874). Dem hochwürdigsten Herrn Fr. Ser. Cassian Hallaschka, … in tiefster Ehrerbietung und mit der Pietät eines ehemaligen Schülers. ([16], str. III)
153
Poznamenejme, že na poþátku roku 2010 byla po více než 160 letech Matzkova rozsáhlá monografie [16] opČtovnČ vydána, což jednoznaþnČ dokazuje její význam a úroveĖ.
154
Uvećme nyní pro dokreslení Matzkova matematického pĜístupu k chronologii úryvek z dodatku monografie [16], který uvádí pĜepoþet mezi „historickým“ a kĜesĢanským letopoþtem ([16], str. 505–506).
Zájem o aritmetické zkoumání otázek kĜesĢanského kalendáĜe si W. Matzka zachoval i v pozdČjším vČku. Poþátkem osmdesátých let 19. století navázal na výsledky obsáhlé monografie [16] prací Zur christlichen Zeitrechnung und für deren Verbesserung [21] vydanou v Abhandlungen der königlichen böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (75 stran).
155
V její první þásti se pokusil o zjednodušení výpoþtu významných dat kĜesĢanského roku (napĜ. stanovení data Velikonoc). Ve druhé þásti nazvané Erforschung, Entwurf und Vorschlag einer universellen rationalen Zeitrechnung vyšel z „obecných“ a astronomických znalostí roþního cyklu a podal návrh na vylepšené uspoĜádání obþanského roku (Ĝízeného podle gregoriánského kalendáĜe). Matzkovy úvahy hodnotí [27] z dnešního pohledu takto: Der böhmische Mathematiker Wilhelm Matzka schlug 1880 [21], also lange nach der Gregorianischen Reform, einen Kalender mit einer Zyklus-Dauer von 62 Jahren vor. Darin sind 15 Schalttage enthalten. Nach 7 oder 6 olympischen Schalt-Perioden á 4 Jahre wird erst nach dem 5. Jahr erneut geschaltet. Dann folgt der zweite Teil des Zyklus mit 6 oder 7 olympischen Schalt-Perioden und erneuter Schalt-Verzögerung bis zum Ende des Zyklus’. Das Matzka-Jahr ist 365,241936 Tage lang, ist also ein zu kurzes Kalender-Jahr. Man müsste nach ca. 3.795 Jahren einen zusätzlichen Schalt-Tag einfügen. ([27], str. 11)
Dnes až na výjimky celosvČtovČ používaný gregoriánský kalendáĜ, zavedený v roce 1582 papežem ěehoĜem XIII., zajistil (témČĜ dokonale) soulad kalendáĜního roku s astronomickou skuteþností. Již od dob jeho zavedení se pĜíležitostnČ objevovaly návrhy na další vylepšení. VČtšinou se však zabývaly detaily, jež v celkovém pohledu nedosahovaly požadované obecnosti a pĜesnosti. MatzkĤv cyklus se neujal, pĜestože z úvodu a závČru jeho práce [21] je zĜejmé jeho pĜesvČdþení o uplatnČní pĜedložených výsledkĤ. PĜipomeĖme, že poskytoval tu výhodu, že by poþátek jara pĜipadal pravidelnČ (dlouhou dobu) na stejný bĜeznový den v týdnu. NeĜešil však dostateþnČ problém rozdČlení pĜestupných let.7
3.3
Chronologie v díle Matzkových souþasníkĤ
W. Matzka byl prvním autorem, který v þasopisu Journal für die reine und angewandte Mathematik uveĜejnil odborný þlánek o chronologii (viz [14]). V následujících letech se v þasopisu objevilo nČkolik dalších statí pojednávajících o tomto tématu, jež se odkazovaly na práce C. F. Gausse [3], W. Matzky þi výsledky nČkterých (známých) astronomĤ a historikĤ. Uvećme napĜíklad práce G. H. F. Nesselmanna Beiträge zur Chronologie [22] a F. Pipera Zur Kirchenrechnung [24], které popisovaly základní chronologické úlohy (stanovení data Velikonoc, stanovení poþátku arabského þi židovského letopoþtu a jejich vztah ke kĜesĢanskému letopoþtu apod.). Z velké þásti využívaly metody a výsledky jiných autorĤ; zavedením pomocných tabulek a použitím jednoduchých matematických vzorcĤ (bez jejich odvození) se snažily o zjednodušení a zpĜístupnČní tématu.
V prĤbČhu devatenáctého století vycházely þetné práce vztahující se k chronologii, které byly více þi ménČ provázány s matematikou. Odlišovaly se nejen rozsahem, ale i zamČĜením a zpĤsobem zpracování. Velká þást z nich byla psána zejména pro potĜeby historikĤ; aĢ už se zámČrem podat souhrnný pohled na dČjiny lidstva, nebo podrobnČ popsat konkrétní historické období. Jiná se pokoušela chronologii vystavČt na vČdeckém základČ nebo ji naopak populárnČ zprostĜedkovat a ukázat její užití v bČžném obþanském životČ. Vedle dvoudílného, velmi hodnotného díla L. Idelera Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie [11] zmiĖme ještČ podnČtné práce F. J. D. Aragoa Astronomie populaire (4. díl) [1], J. F. Kulika Der tausendjährige 7
Reformou gregoriánského kalendáĜe se ve stejné dobČ jako W. Matzka (viz [21]) zabýval též nČmecký astronom Johann Heinrich von Mädler (1794–1874) v þlánku Die Kalender-Reform (Deutsche Naturforscher, 40(1865), str. 81). Podrobné zhodnocení a analýza Mädlerových myšlenek viz [27].
156
Kalender [12], F. Rühla Chronologie des Mittelalters und der Neuzeit [25] nebo B. M. Lerscha Einleitung in die Chronologie oder Zeitrechnung verschiedener Völker und Zeiten [13].
4 Astronomie 4.1
Krátký úvod do astronomie
Astronomie, jedna z nejstarších vČd, byla již od svých poþátkĤ velmi úzce spjata s praktickými potĜebami. Astronomické poznatky mČly vždy velký význam, aĢ se jednalo o problémy spojené se zemČdČlstvím, urþováním þasu þi s navigací, zámoĜskými plavbami a objevy. V prvních obdobích vývoje astronomie nešlo ještČ o vČdu v dnešním slova smyslu, nýbrž spíše o neuspĜádané dílþí poznatky získávané pozorováním oblohy, tedy pohybĤ Slunce, MČsíce a hvČzd. Poþátky vČdecké astronomie lze klást do období starého ěecka. ěeþtí astronomové se nespokojovali jen s pouhým zaznamenáváním a pĜedpovídáním periodicky se opakujících astronomických jevĤ, ale snažili se je vysvČtlit. Z vrcholných prací pĜipomeĖme Aristarchovo (asi 320 až 250 pĜ. n. l.) dílo O velikosti a vzdálenosti Slunce a MČsíce, ArchimédĤv (asi 287 až 212 pĜ. n. l.) spis O poþtu pískovém þi Ptolemaiovo (asi 85 až 165) stČžejní dílo Almagest. Byli to pak významní vČdci 16. a 17. století, Mikuláš Koperník (1473–1543), Tycho Brahe (1546–1601), Galileo Galilei (1564–1642) a Johannes Kepler (1571–1630), kteĜí vytvoĜili moderní pohled na sluneþní soustavu a položili základy dnešní vČdecké astronomii. Po Ĝadu století byla astronomie velkou výzvou též pro matematiky a fyziky, neboĢ v ní mohli aplikovat a zúroþit své odborné znalosti. Jmenujme napĜ. Isaaca Newtona (1643–1727), Leonharda Eulera (1707–1783) a Carla Friedricha Gausse (1777– 1855). V dnešní dobČ se astronomie definuje jako vČda o vesmíru, zabývající se vznikem, vývojem, stavbou, rozložením, pohybem a vzájemným pĤsobením vesmírných tČles a jejich soustav. Zahrnuje celou Ĝadu speciálních témat, problémĤ, oborĤ a objektĤ zájmu, využívá poznatky pĜíbuzných pĜírodních vČd (zejména matematiky a fyziky).8 4.2
Astronomie v MatzkovČ díle
MatzkĤv zájem o astronomickou problematiku dokládají dva kratší odborné þlánky [17] a [20] a jeden dochovaný rukopis [18]. Rukopis nadepsaný Tafel der Zeitgleichungen oder der Zeit-Intervalle zwischen wahren und mittleren Mittage für den Wiener Meridian [18] je datován rokem 1828.9 Ve þtyĜech dvoustránkových tabulkách W. Matzka uvedl koeficienty þasové rovnice pro každý den roku v rozmezí let 1828 až 1872 (tabulky se opakují ve þtyĜletém cyklu, podle pĜestupného roku). Tyto koeficienty slouží k vyrovnání rozdílu mezi pravým (tj. astronomickým) a stĜedním (tj. civilním) sluneþním þasem, který vyvolává obČh ZemČ
8 9
O historii a vývoji astronomie podrobnČ viz [23] a [26]. Rukopis je uložen v knihovnČ vídeĖské univerzity (Universitätsbibliothek Wien).
157
po eliptické dráze a její sklon vzhledem k rovníku.10 Použití tabulek W. Matzka vysvČtlil na Ĝešených pĜíkladech. Uvećme na ukázku jeden z Ĝešených pĜíkladĤ vþetnČ pĜíslušné tabulky. Steht jedoch vor der Zeitgleichung das Zeichen –, so muß man die nebenstehende Zahl von Minuten und Sekunden von dem, was die Sonnenuhr zeigt, abziehen, oder um eben so viel geht die Sonnenuhr in Hinsicht auf die mittlere Uhr zu früh. So z.B. am 10. November 1830 also nach Tafel III ist die Zeitgleichung –15M 54S, gibt nun die Sonnenuhr 10 Uhr, 45 Min. so ziehe ich hiervon 15 Min. 54 Sek. ab, und erhalte 10 Uhr, 29M 6S, oder eine richtige Räderuhr soll 10 Uhr 29 Minuten zeigen; weiset jedoch eine Uhr zu eben dieser Zeit statt 10 … 26 … so wird sie, um 3 Minuten zu früh gehen.
10
MČĜení pravého sluneþního þasu je možno provádČt sluneþními hodinami. O konstrukci sluneþních hodin viz PĜíhoda P.: Sluneþní hodiny, Štefánikova hvČzdárna hl. m. Prahy, Praha, 1970, Schumacher H.: Sonnenuhren, Eine Anleitung für Handwerk und Liebhaber, Gestaltung, Konstruktion, Ausführung, D. W. Callwey, München, 1973.
158
V pojednání Über die Bestimmung jener Puncte der Erdoberfläche, welche eine gegebene Mondesfinsterniss sehen [20] uveĜejnČném v roce 1829 v þasopisu Annalen der k. k. Sternwarte in Wien se W. Matzka zabýval stanovením þástí zemského povrchu, na nichž je pozorovatelné probíhající zatmČní MČsíce.11 DĤvtipným zavedením vhodných promČnných pro astronomické veliþiny podal matematické Ĝešení tohoto problému, doplnil jej slovním výkladem a aplikoval na reálnou situaci zatmČní MČsíce dne 12. záĜí 1829. Výsledky zobrazil do pĜehledné tabulky a (pĜi pĜedstavČ glóbu) výþtem konkrétních míst na pevninČ znázornil hraniþní linie pro zaþátek a konec zatmČní plným stínem a polostínem. V roce 1846 W. Matzka publikoval v þasopisu Astronomische Nachrichten kratší þlánek pod názvem Einige Gedanken über Sonnenuhren [17]. Nejprve vysvČtlil konstrukci sluneþních hodin a princip jejich fungování, pak vyzdvihl nČkteré jejich vlastnosti a poukázal na možnosti jejich užití.12 4.3
Astronomie v díle Matzkových souþasníkĤ
V první polovinČ 19. století se systematickému astronomickému výzkumu vČnoval jen malý okruh lidí, jenž byl obvykle úzce spjatý s hvČzdárnou, a tak zamČĜení práce znaþnČ záviselo na vedoucí osobnosti. PĜíležitostnČ se astronomickými problémy zabývali i nČkteĜí další odborníci, mezi nimi také profesoĜi pĜíbuzných oborĤ na univerzitách, technikách a stĜedních školách. V kontextu Matzkovy práce je vhodné pĜipomenout pĜíspČvky Johanna Augusta Grunerta (1797–1872), profesora matematiky na univerzitČ v Greifswaldu a vydavatele þasopisu Archiv der Mathematik und Physik, Ueber Aristarch’s Methode, die Entfernung der Sonne von der Erde zu bestimmen [8], v nČmž v moderní matematické symbolice zprostĜedkoval a dále rozvinul Aristarchovu metodu urþení vzdálenosti Slunce a ZemČ, a Ueber die Berechnung der Parallaxen [10], ve kterém pojednal o zpĤsobech mČĜení paralaxy.13
5 Geodézie 5.1
Krátký úvod do geodézie
Geodézie je vČdní obor zabývající se zkoumáním tvaru, rozmČru a fyzikálních vlastností zemského povrchu a jeho þástí. Její historický pĤvod je spojen s potĜebou rozdČlovat, definovat a dokumentovat hranice území státĤ, mČst þi majetku soukromých osob. V prĤbČhu þasu kartografie a navigace kladly stále vyšší nároky na pĜesnost mČĜicích i zobrazovacích postupĤ. Zejména užití matematických, geometrických a fyzikálních metod mČĜení a výpoþtĤ poskytuje geodézii pĜesné a spolehlivé výsledky.14
11
ZatmČní MČsíce je astronomický jev, pĜi kterém je MČsíc zastínČn planetou Zemí. Dochází k nČmu pĜi úplĖku, pokud se Slunce, ZemČ a MČsíc ocitnou v jedné pĜímce, což nastává pĜibližnČ dvakrát až tĜikrát do roka. 12 Sluneþní hodiny udávají pravý sluneþní þas a jsou nejrozšíĜenČjším typem tzv. elementárních þasomČrných pĜístrojĤ. Sluncem ozaĜovaný pĜedmČt vrhá stín, podle jehož aktuální pozice lze urþit þas. Astronomicky a matematicky je urþování þasu odvozeno z rotace ZemČ kolem své osy a rotace ZemČ kolem Slunce. 13 Paralaxa oznaþuje úhel, který svírají pĜímky vedené ze dvou rĤzných míst v prostoru k pozorovanému bodu. V astronomii se mČĜení paralaxy používá zejména pro stanovení vzdáleností vesmírných tČles. 14 O historii geodézie více viz Pudr J.: DČjiny geodézie a kartografie, SNTL, Praha, 1959.
159
W. Matzka se zajímal pĜedevším o tzv. nižší geodézii, která se zabývá podrobným polohopisným a výškopisným mČĜením, mČĜickými metodami, konstrukcí a popisem užívaných mČĜících pĜístrojĤ a pomĤcek; obecnČ tedy zpĤsoby mČĜení, poþítání a zobrazování namČĜených hodnot. 5.2
Geodézie v MatzkovČ díle
V roce 1849 otiskl þasopis Archiv der Mathematik und Physik dvČ Matzkova pojednání [15] a [19] týkající se nižší geodézie. V práci Berechnung der Fehler der Horizontalwinkel bei geneigter Ebene des Messtisches oder des Horizontalkreises am Winkelmesser [15] se W. Matzka zabýval stanovením velikosti chyby horizontálního úhlu, resp. nejvyšší možné chyby zpĤsobené odchýlením roviny mČĜického stolu od horizontální roviny. Nejprve definoval základní veliþiny (odchylku ε , horizontální úhel α , chybu horizontálního úhlu Δα , výškový úhel h atd.) a poté diskutoval podmínky pro parametry ε , h, α v závislosti na Δα .
Dále ukázal nČkolik zpĤsobĤ výpoþtu chyby horizontálního úhlu Δα . A to pomocí vzorcĤ u cos α tg Δα = , u = sin ε tg h − sin vε sin α , 1 + u sin α nebo tg Δα = (v + 1) tg
ε 2
1 sin ε 1 + 8n 2 + 1 2 , v= , n= 2 sin h
tg h,
nebo využitím rozvoje Ĝad. Uvedené metody aplikoval na Ĝešení nČkolika praktických pĜíkladĤ, a tak problematiku ještČ dĤkladnČji vysvČtlil.
Na závČr uvedl v pĜehledné tabulce hodnoty udávající pro zadanou odchylku mČĜického stolu ε a výškový úhel h , velikost horizontálního úhlu α a nejvČtší možnou chybu horizontálního úhlu Δα , což urychlovalo výpoþty v ĜadČ speciálních mČĜení a zejména jejich dalším zpracování.
160
W. Matzka se cítil pobouĜen skuteþností, že mnozí zemČmČĜiþi pĜi geodetickém zkoumání používali zastaralé nástroje, zpĤsoby mČĜení a výpoþtĤ a nekriticky dĤvČĜovali takto získaným nepĜesným výsledkĤm. Bez váhání své rozhoĜþení vepsal do úvodu druhé práce o geodézii Ueber trigonometrische Höhenmessung [19] a pĜedsevzal si pĜispČt k jejímu rozvoji moderním matematickým aparátem (zejména užitím logaritmĤ, goniometrických funkcí a rozvojĤ Ĝad). ... Denn es kann einen besonnenen Mathematiker nur zum Lächeln bewegen, wenn er die Lobpreisungen der Uebereinstimmung mancher barometrischen Höhenmessung mit einer oft noch alten und mittels mangelhafter Instrumente oder Methoden ausgeführten trigonometrischen liest, nachdem man doch, unbekümmert um das Wieweitsicher des Endergebnisses, beiderlei Formeln durch allerhand Weglassungen von sogenannten unmerklich kleinen Grössen zu beliebten Filigranformeln zugeschnitten hat, um auch wissenschaftlichen Dilettanten, wie wenig sie auch von Logarithmen und Goniometrie verstehen mögen, das Vergnügen zu verschaffen, derlei Höhenberechnungen vornehmen und mit ihren Resultaten prunken zu können. Viel Schuld an der Sucht, diese Höhenformeln so zuzustutzen, hat das Vorurtheil der meisten praktischen Mathematiker, die gesuchte Grösse selbst aus einem einzigen geschlossenen Ausdrucke sämmtlicher Rechnungsangaben zu berechnen ... ([19], str. 1–2) Ve dvou þástech práce [19] pojednal o trigonometrickém mČĜení výšek na krátkých a dlouhých vzdálenostech. Uvedl nejen základní pojmy (základna, výškový rozdíl, odchylka horizontu atd.), obecnČ platné vČty a vztahy, ale diskutoval také Ĝadu speciálních pĜípadĤ v závislosti na poloze základny a ukázal možnosti jejich Ĝešení. Vše podložil odvozenými matematickými vzorci a doplnil grafickými schématy. Odkázal rovnČž na nČkteré práce a výsledky jiných matematikĤ.15 PĜedvećme nyní Ĝešení jedné z uvedených úloh ([19], str. 9–10, tab. I., obr. 7).
15 V pojednání [19] se W. Matzka odkazuje pĜedevším na následující díla: Netto F. W.: Handbuch der gesammten Vermessungskunde, die neuesten Erfindungen und Entdeckungen in derselben zugleich enthaltend; oder vollständige Anleitung zur Meßkunst, für Offiziere, Forstbediente, Bergleute und Feldmesser, Berlin, 1825, Crelle A. L.: Handbuch des Feldmessens und Nivellirens in den gewöhnlichen Fällen, Berlin, 1826. Cituje také Gaussovy, Laplaceovy a Delambreovy výsledky.
161
5.3
Geodézie v díle Matzkových souþasníkĤ
Matematické zpracování geodetických úloh zaujímalo v þasopisu Archiv der Mathematik und Physik ve þtyĜicátých a padesátých letech 19. století vedle aritmetiky, geometrie, astronomie a fyziky stálé místo. KromČ výše popsaných Matzkových prací ([15] a [19]) byly otištČny þetné pĜíspČvky J. A. Grunerta (napĜ. [7] a [9]) a Christiana Ludwiga Gerlinga (1788–1864), profesora matematiky na univerzitČ v Marburgu (napĜ. [4], [5] a [6]), které pĜinášely matematická Ĝešení speciálních a aktuálních geodetických problémĤ, nabízely postupy vedoucí ke zpĜesnČní výpoþtĤ a kompenzaci chyb namČĜených hodnot.
162
6 ZávČr Wilhelm Matzka plodnČ využil matematické znalosti v chronologii, astronomii a geodézii. Vhodnými aplikacemi Ĝešil praktické a speciální úlohy tČchto oborĤ. Budoval je na matematických tvrzeních, zpĜesĖoval používané metody, rozšiĜoval jejich teoretické základy a vnášel kritický pohled na získané výsledky. Literatura [1] Arago F. J. D.: Astronomie populaire. Tome quatrième, Paris, 1857, 854 stran. [2] Bláhová M.: Historická chronologie. Libri, Praha, 2001, 948 stran. [3] Gauss C. F.: Berechnung des Osterfestes. Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmls-Kunde 2, August 1800, 121–130. [4] Gerling Ch. L.: Lehrsätze und Formeln aus der analytischen Geometrie und mathematischen Geographie, welche in der practischen Geometrie zur Anwendung kommen. Archiv der Mathematik und Physik 5(1844), 58–77 + 1 tabulka. [5] Gerling Ch. L.: Nachträge zur Ausgleichungs-Rechnung. Archiv der Mathematik und Physik 6(1845), 141–146. [6] Gerling Ch. L.: Ueber die Genauigkeit der Ketten-Messungen. Archiv der Mathematik und Physik 6(1845), 375–379. [7] Grunert J. A.: Das Pothenot’sche Problem, in erweiterter Gestalt; nebst Bemerkungen über seine Anwendung in der Geodäsie. Archiv der Mathematik und Physik 1(1841), 238–248. [8] Grunert J. A.: Ueber Aristarch’s Methode, die Entfernung der Sonne von der Erde zu bestimmen. Archiv der Mathematik und Physik 5(1844), 401–412. [9] Grunert J. A.: Ueber das Rückwärtseinschneiden mit dem Messtische oder das Problem der drei Punkte. Archiv der Mathematik und Physik 13(1849), 345–364 + 1 tabulka. [10] Grunert J. A.: Ueber die Berechnung der Parallaxen. Archiv der Mathematik und Physik 3(1843), 337–382. [11] Ideler L.: Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie. Erster und zweiter Band, Berlin, 1825 und 1826, 583 stran + 668 stran. [12] Kulik J. P.: Der tausendjährige Kalender, Ein nützliches Handbuch für Historiographen, Diplomatiker, Archivare, Richter, Advokaten, Landgeistliche, und überhaupt für jene, welche die in den alten Manuskripten, Geschichtbüchern, und Urkunden vorkommenden chronologischen Daten zu bestimmen haben. Prag, 1831, 217 stran. [13] Lersch B. M.: Einleitung in die Chronologie oder Zeitrechnung verschiedener Völker und Zeiten nebst christlichem und jüdischem Festkalender. Aachen, 1889, 179 stran. [14] Matzka W.: Analytische Auflösung dreier Aufgaben der Callendarographie. Journal für die reine und angewandte Mathematik 3(1828), 337–346. [15] Matzka W.: Berechnung der Fehler der Horizontalwinkel bei geneigter Ebene des Messtisches oder des Horizontalkreises am Winkelmesser. Archiv der Mathematik und Physik 13(1849), 113–137 + 1 tabulka.
163
[16] Matzka W.: Die Chronologie in ihrem ganzen Umfange, mit vorzüglicher Rücksicht auf ihre Anwendung in der Astronomie, Weltgeschichte und Urkundenlehre, nebst einem Vorschlage zu einer streng wissenschaftlich geregelten Zeitrechnung; durch höhere Arithmetik begründet und erläutert. Fr. Bech’schen Universtiäts-Buchhandlung, Wien, 1844, VIII + 543 stran; 2. vydání, Nabu Press, 2010. [17] Matzka W.: Einige Gedanken über Sonnenuhren. Astronomische Nachrichten 23(1846), sloupec 153–158. [18] Matzka W.: Tafeln der Zeitgleichung oder der Zeit-Intervalle zwischen dem wahren und mittleren Mittage für den Wiener Meridian. Wien, 1828, 15 stran (rukopis). [19] Matzka W.: Ueber trigonometrische Höhenmessung. Archiv der Mathematik und Physik 12(1849), 1–39 + 1 tabulka. [20] Matzka W.: Über die Bestimmung jener Puncte der Erdoberfläche, welche eine gegebene Mondesfinsterniss sehen. Annalen der k. k. Sternwarte in Wien 9(1829), 22–24. [21] Matzka W.: Zur christlichen Zeitrechnung und für deren Verbesserung. Abhandlungen der königlichen böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, VI. Folge, 10(1879– 1880), Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe Nr. 5, 75 stran. [22] Nesselmann G. H. F.: Beiträge zur Chronologie. Journal für die reine und angewandte Mathematik 26(1843), 32–80. [23] Pannekoek A.: A History of Astronomy. New York, Dover Publications, 1989, 498 stran. [24] Piper F.: Zur Kirchenrechnung, Formel und Tafeln. Journal für die reine und angewandte Mathematik 22(1841), 97–104. [25] Rühl F.: Chronologie des Mittelalters und der Neuzeit. Berlin, 1897, 312 stran. [26] Štekl V., Krtiþka J.: Historie astronomie. Masarykova univerzita, PĜírodovČdecká fakulta, Brno, 2008, 143 stran. [27] Wetzel S.: Alternativen zum Gregorianischen Kalender. Deutsche Gesellschaft für Chronometrie – Mitteilung Nr. 114, 2008, 10–16.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky a v rámci projektu Specifického vysokoškolského výzkumu 2010-261 315.
Adresa Mgr. Michaela Chocholová Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta UK Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected]
164
ZOBECNċNÍ BUFFONOVY ÚLOHY O JEHLE ANNA KALOUSOVÁ Abstract: The Buffon needle problem is one of the best–known problems of the geometric probability. We show some generalizations of this problem made by Buffon and Laplace.
1 Úvod Úloha o jehle, kterou formuloval a vyĜešil Georges-Louis Leclerc (1707–1788), pozdČjší hrabČ de Buffon, je základní úlohou geometrické pravdČpodobnosti. Poprvé se objevila v roce 1733 v pojednání Solutions de problèmes sur le jeu du franc-carreau (záznam o þtení tohoto pojednání ve francouzské Akademii vČd najdeme v [3]). RozšíĜení z roku 1736 se sice nezachovalo, ale v roce 1777 bylo spolu s dalšími matematickými texty zahrnuto do [2]. Buffon zde navíc Ĝešil úlohu, kde je jehla házena na þtvercovou síĢ, nevyĜešil ji ale správnČ. V roce 1812 uvedl v [6] úlohu o jehle Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), aniž by zmínil jejího autora. UdČlal další zobecnČní, místo þtvercové uvažoval obdélníkovou síĢ a úlohu správnČ vyĜešil. Další zobecnČní se týkala tvaru pĜedmČtu, který byl házen na síĢ rovnobČžek. V roce 1857 byla publikována uþebnice integrálního poþtu [7] Isaaca Todhuntera (1820–1884). Najdeme zde úlohu, kde je na síĢ rovnobČžek házena elipsa nebo þtverec, ve 2. vydání z roku 1862 pak libovolná uzavĜená konvexní kĜivka bez singulárních bodĤ. Podobný výsledek zveĜejnil v roce 1860 také Joseph-Émile Barbier (1839–1889) v þlánku [1]. Více o tomto tématu je v [4] a [5]. V [7] je také úloha, ve které je na síĢ ekvidistantních rovnobČžek házena tyþka, jejíž délka je r-násobkem vzdálenosti mezi rovnobČžkami a hledá se pravdČpodobnost, že protne r rovnobČžek. To je poprvé, kdy obrazec mohl protnout více než jednu rovnobČžku.
2 Úloha o jehle 2.1
Základní úloha
PĜipomeĖme nejprve základní úlohu, jak je formulována v [1]: PĜedpokládám, že v místnosti, jejíž podlaha je jednoduše rozdČlena rovnobČžnými spárami, je do vzduchu hozena tyþka & že jeden z hráþĤ sází, že tyþka neprotne žádnou rovnobČžku na podlaze, & že druhý naproti tomu sází, že tyþka nČkteré z nich protne; ptáme se na šance tČchto dvou hráþĤ. Hru je možné hrát na šachovnici s jehlou na šití nebo se špendlíkem bez hlaviþky.1 Nejsou zde uvedeny další pĜedpoklady, totiž že vzdálenost mezi spárami je stejná a délka tyþky je nejvýše rovna této vzdálenosti. Buffon hledá pomČr mezi délkou tyþky a vzdáleností spár (šíĜkou prken), aby hra byla spravedlivá, tedy aby šance obou hráþĤ byly stejné. To se trochu liší od toho, jak bývá úloha formulována dnes, kdy se hledá pravdČpodobnost, že tyþka protne nČjakou spáru.
1
Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé par des joints parallèles, on jette en l'air une baguette, & que l'un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune de ces parallèles du parquet, & que l'autre au contraire parie que la baguette croisera quelques-unes de ces parallèles; on demande le sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeux sur un damier avec une aiguille à coudre ou une épingle sans tête.
165
Uvedeme zde pĤvodní Buffonovo Ĝešení, protože je dále využívá i pĜi Ĝešení úlohy o jehle na þtvercové síti. Situace je znázornČna na obrázku, který je kopií obrázku z [2]. Buffon nejprve zvolí na dvou sousedních rovnobČžkách body A,B a C,D tak, aby tvoĜily obdélník. Jedna strana obdélníka je rovna vzdálenosti rovnobČžek (oznaþí ji 2a), druhou oznaþí f. Délka tyþky je oznaþena 2b a v obdélníku ABDC jsou vedeny ve vzdálenosti b rovnobČžky se stranami AB a CD. Symbolem c je oznaþena þtvrtina kružnice s polomČrem b, tedy c=bÂʌ»2. Buffon uvažuje jen (horní) polovinu obdélníka ABDC, v dolní polovinČ je situace (díky symetrii) stejná. Je zĜejmé, že pokud stĜed tyþky padne do obdélníka abdc, nemĤže tyþka protnout žádnou rovnobČžku. Tomu odpovídá hodnota fÂ(a-b)Âc. Pokud stĜed tyþky padne do zbylé þásti, mĤže tyþka rovnobČžku protnout a také neprotnout. NapĜíklad když stĜed tyþky padne do bodu İ, odpovídá oblouk ijG tČm pĜípadĤm, kdy tyþka protne pĜímku AB a oblouk GH pĜípadĤm, kdy tyþka pĜímku neprotne. Potom Buffon oznaþí symbolem y oblouk ijG. Oznaþíme-li x x vzdálenost bodu İ od pĜímky AB, je vlastnČ y = b ⋅ arccos . PĜípadĤm, kdy jehla protne b pĜímku AB, potom odpovídá f ⋅ ³ y dx, pĜípadĤm, kdy pĜímku AB neprotne, odpovídá f ⋅ (bc − ³ y dx ). Integraþní meze Buffon neuvádí, je ale zĜejmé, že dolní mez je 0 a horní je b. PĜiþteme-li dĜíve vypoþtenou hodnotu fÂ(a-b)Âc, získáme pro pĜípady, kdy tyþka neprotne žádnou pĜímku, hodnotu f ⋅ ( a − b) ⋅ c + f ⋅ (bc − ³ y dx ) = f ( ac − ³ y dx ). Mají-li být
šance
hráþĤ
³ y dx = ac − ³ y dx a tedy
stejné,
musí
platit
ac = 2 ³ y dx. Protože
f ⋅ ³ y dx = f (ac − ³ y dx ),
³ y dx = b , 2
neboli
dospívá Buffon k závČru, že
má-li být hra spravedlivá, musí být tyþka o nČco delší než ¾ vzdálenosti mezi rovnobČžkami (pĜesný výsledek je b = 2.2
π
4
⋅ a ).
Buffonovo rozšíĜení na þtvercovou síĢ
V další þásti Buffon tuto úlohu rozšiĜuje. Tyþka je házena na podlahu, která je vydláždČna þtvercovými dlaždicemi. Máme tedy dva na sebe kolmé systémy ekvidistantních rovnobČžek, jejich vzdálenost je opČt oznaþena 2a. Délka tyþky je 2b a c je þtvrtina kružnice o polomČru b. Uvažujme jednu takovou dlaždici. Vepíšeme do ní þtverec, jehož strany jsou od stran dlaždice vzdáleny o b. Buffon vyšetĜuje jen jednu þtvrtinu dlaždice (þtverce). Je opČt zĜejmé, že to (díky symetrii) staþí. Pokud stĜed tyþky padne do tmavČ vybarvené þásti þtverce, tyþka žádnou rovnobČžku neprotne. Tomu odpovídá hodnota cÂ(a-b)2. Pokud stĜed tyþky padne do zbylé þásti, jejíž obsah je b(2a-b), tyþka nČkterou rovnobČžku protnout mĤže, ale také nemusí. Buffon poþítá hodnotu, která odpovídá pĜípadĤm, kdy tyþka protne nČkterou rovnobČžku,
166
stejnČ jako v pĜedchozí úloze; vyjde mu (2a − b) ³ y dx. Tato hodnota ovšem není správná. Lze ji použít pouze v pĜípadech, kdy stĜed tyþky padne do bílých þástí a mĤže protnout pouze svislou nebo pouze vodorovnou pĜímku. Ve svČtle šedém þtverci ale mĤže tyþka protnout pĜímku vodorovnou i svislou. Urþité poloze stĜedu tyþky (na obrázku bod İ) tak mohou odpovídat dva oblouky (na obrázku ijG a ȥH), pĜípadnČ celá þtvrtkružnice. PodobnČ jako v pĜedchozí úloze pak Buffon porovnává šance obou hráþĤ a dospČje k závČru, že hra je spravedlivá, když délka tyþky je pĜibližnČ rovna polovinČ vzdálenosti mezi rovnobČžkami. 2.3
Laplaceovo rozšíĜení na obdélníkovou síĢ
Pierre-Simon de Laplace pĜedstavuje úlohu o jehle i její zobecnČní ve tvaru, který používáme v dnešní dobČ, a také pĜesnČ formuluje všechny pĜedpoklady. V základní úloze uvažuje rovinu rozdČlenou ekvidistantními rovnobČžkami ve vzdálenosti a, na niž π
je házen velmi úzký válec délky 2ra. PĜíznivé jevy mají míru 2 ⋅ 4 ³ 2 r cos ϕ dϕ =8r, 0
všechny jevy pak a ⋅ 2π . PravdČpodobnost, že válec protne nČjakou rovnobČžku, je 8r 4r = . V zobecnČní Laplace uvažuje dva systémy na sebe kolmých ekvidistantních 2aπ aπ rovnobČžek; vzdálenost vodorovných je a, svislých b, obČ hodnoty jsou vČtší nebo rovny délce úzkého válce oznaþené 2r. Uvažujme jeden takový obdélník a narýsujme uvnitĜ nČho rovnobČžky s jeho stranami ve vzdálenosti r. Tím vznikne menší obdélník se stranami ( a − 2 r ) a (b − 2 r ) , dva malé obdélníky se stranami ( a − 2 r ) a r, další dva se stranami (b − 2r ) a r a þtyĜi þtverce se stranou r. Jestliže padne stĜed válce do menšího obdélníka (bílý), nemĤže válec protnout žádnou rovnobČžku. Když stĜed padne do jednoho z malých (svČtle šedých) obdélníkĤ, dá se míra pĜíznivých jevĤ spoþítat podobnČ jako v základní úloze, je rovna 2 ⋅ ( a − 2r ) ⋅ 4r = 8r ( a − 2 r ), pĜíp. 2 ⋅ (b − 2 r ) ⋅ 4 r = 8r (b − 2 r ). Zbývají þtyĜi malé þtverce. V nich máme tmavČ šedČ vybarvené þtvrtiny kruhĤ o polomČru r. Pokud stĜed válce padne do tohoto þtvrtkruhu, válec musí protnout aspoĖ jednu (vodorovnou nebo svislou) π r2 π 2r 2 ⋅ 2π = . Pokud stĜed válce padne pĜímku. V jednom þtverci mají tyto jevy míru 4 2 do zbylé (nevybarvené) þásti tohoto þtverce, válec mĤže protnout jednu pĜímku (svislou nebo vodorovnou), ale také žádnou pĜímku protnout nemusí. Oznaþme S místo dopadu stĜedu válce, x jeho vzdálenost od svislé rovnobČžky a y jeho vzdálenost od vodorovné rovnobČžky. Otáþejme válcem kolem jeho stĜedu a oznaþme ij, resp. ij' maximální odchylku od svislého, pĜíp. vodorovného smČru, pro kterou válec protne vodorovnou, pĜíp. svislou pĜímku. PĜíznivé jevy pak mají míru 4 ³ (ϕ + ϕ ' ) dx dy , kde x nabývá hodnot od 0 do r a y od
Protože je x = r ⋅ cos ϕ ' a 4r
2
y = r ⋅ cos ϕ , dostaneme po substituci
³³ (ϕ + ϕ ' ) dϕ dϕ 'sin ϕ sin ϕ '
167
r 2 − x 2 do r.
(Laplace). Úhel ij nabývá hodnot od 0
do ʌ/2, úhel ij' hodnot od 0 do (ʌ/2-ij), po integraci dostaneme
1 2 r (12 − π 2 ). V celém 2
1 2 π 2r 2 r (12 − π 2 ) + = 6r 2 a v celém obdélníku míru 2 2 8r ( a − 2r + b − 2r ) + 4 ⋅ 6r 2 = 8(a + b) r − 8r 2 . Možných jevĤ je 2π ⋅ ab, pravdČpodobnost, že
þtverci tedy mají pĜíznivé jevy míru
8( a + b) r − 8r 2 4( a + b) r − 4 r 2 = . Uvedený LaplaceĤv 2π ab abπ postup je ponČkud komplikovaný. Mnohem jednodušší zpĤsob výpoþtu je uveden v [8]. Oznaþme a vzdálenost mezi vodorovnými a b mezi svislými rovnobČžkami, 2r délku tyþky, která je menší než a i b. NechĢ tyþka svírá se svislými pĜímkami úhel ș. Potom tyþka neprotne žádnou pĜímku právČ tehdy, když její stĜed padne do šedČ b − 2 r sin θ vybarveného obdélníku se stranami a a − 2r cos θ . Aby tyþka protnula nČkterou rovnobČžku, musí její stĜed padnout do oblasti vnČ šedého obdélníka, která má plochu ab − ( a − 2r cos θ )(b − 2 r sin θ ) , tedy
válec protne nČkterou pĜímku, je
2 r ( a sin θ + b cos θ ) − 4r 2 sin θ cos θ .
protne, je
³ (2r(a sin θ + b cosθ ) − 4r ³ ab dθ
PravdČpodobnost, že tyþka nČjakou rovnobČžku 2
sin θ cos θ ) dθ
=
4 r ( a + b) − 4 r 2 . abπ
Literatura [1] Barbier J.-É.: Note sur problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert. Journal de mathématiques pures et appliquées 5(1860), 273–287. [2] Buffon G.-L. Leclerc de: Essai d’arithmétique morale. Histoire naturelle, générale et particulière, servant de suite à l’Histoire naturelle de l’Homme, Supplément, tome IV., Imprimerie Royale, Paris, 1777, 46–148. [3] Fontenelle B. le B. de: Histoire de l’Académie royale des sciences, en 1733. Imprimerie Royale, Paris, 1735, 43–45. [4] Kalousová A.: Joseph-Émile Barbier a stereologie v 19. století. Inf. Bull. ýeské stat. spol. 1(2009), 10–18. [5] Kalousová A. The origins of the geometric probability in England. In Šafránková J., PavlĤ J. (ed.): WDS 2008 – Proceedings of Contributed Papers, part I, Matfyzpress, Praha, 2008, 7–12. [6] Laplace P.-S. de: Théorie analytique des probabilités. Imprimerie Royale, Paris, 1812. [7] Todhunter I.: Treatise on the integral calculus and its applications with numerous examples. MacMilan and Co., Cambridge and London, 1857. [8] Todhunter I.: History of the mathematical theory of probability from the time of Pascal to that of Lagrange. MacMilan and Co., Cambridge and London, 1865.
Adresa RNDr. Anna Kalousová. Katedra matematiky FEL ýVUT, Technická 2, 166 27 Praha 6 e-mail:
[email protected]
168
PROBLÉMY DIRACOVY ROVNICE 1928–1933 JAN KOTģLEK Abstract: Dirac’s electron theory is considered to be one of the highlights of inter-war mathematical physics. The historical depiction of its genesis is often distorted by taking a starry-eyed point of view of much later recollections. The idealized picture of heroic Dirac achievements are closely inspected and history of problems with negative energies and its interpretation by hole theory is put straight. Ve vČtšinČ studií o DiracovČ rovnici je historický obraz zkreslen pohledem pĜes rĤžové brýle mnohem pozdČjších vzpomínek a rozhovorĤ.1 Dobové prameny však jasnČ ukazují, že Dirac musel za svou relativistickou teorii elektronu tvrdČ bojovat. Související problém negativních energií se mu nedaĜilo vyĜešit témČĜ dva roky a i poté navrženou teorii elektronových dČr musel vzhledem k ostré kritice upravit. NejpalþivČjší problémy se však na pĜelomu let 1932–33 vyjasnily a Diracovi byla udČlena Nobelova cena. Punc jednoho z nejvČtších úspČchĤ meziváleþné matematické fyziky získala jeho teorie až v poslední dobČ.
1 Prameny a literatura Pro studium rané historie Diracovy rovnice máme k dispozici celou Ĝadu pramenĤ, zejména Diracovy þlánky,2 korespondenci,3 pĜednášky, vzpomínky, napĜ. [9], [10], [11], nebo rozhovory, napĜ. [1], [2]. Tyto prameny jsou ale v drtivé vČtšinČ sekundární. Ani Diracovy práce nelze považovat za primární pramen a citovat je bez kritiky a souvislostí.4 Téma Diracovy rovnice nepatĜí v literatuĜe mezi opomíjené. Existují dvČ velmi obsáhlé Diracovy biografie,5 nČkolik tematických studií6 a také Ĝada þlánkĤ v ‚oslavných‘ Diracových sbornících.7 Historický obraz je bohužel velmi þasto kontaminován nekritickým citováním vzpomínek ze 60.–70. let.8 Tyto práce jsou tak více þi ménČ popisem heroických výkonĤ
1
Zejména Mehra nebo Pais, viz níže poznámky 7, 9 a 11, ale místy i jinak výborné monografie [12], [15]. PĜedevším [5], [6] a [8]. Kompletní edicí Diracových prací z daného období do roku 1948 je [3]. 3 Diracova korespondence je uložena v The Paul A. M. Dirac Collection, Florida State University, USA. PrĤvodce fondem je dostupný online: http://www.lib.fsu.edu/find/dlc/findingaids/FTaSUdirach.html. Dále je velmi dĤležitá edice korespondence Wolfganga Pauliho, Diracova nejvČtšího vČdeckého oponenta, viz [4]. 4 „Relying on the end product will only distort the historical reconstruction towards an inductivist and too logical pattern,“ [14], s. 53. 5 Kragh [15] se soustĜedí na vČdeckou þást Diracova života, kdežto Farmelova práce [12] se zabývá spíše jeho soukromým a ‚vnitĜním‘ životem, leží na pomezí mezi historickou studií a psychologickým románem. 6 Mezi nimi vynikají [14], šíĜí svého zábČru a dĤrazem na kritiku, a [16] psaná z pohledu dnešního stavu bádání v kvantové teorii. 7 Aspects of Quantum Theory (1972) a The Physicist’s Conception of Nature (1973) k jeho sedmdesátinám; Reminiscences about a great physicist: Paul Adrien Maurice Dirac (1987) plánovaný k osmdesátinám, ale vydaný až posmrtnČ; Tributes to Paul Dirac (1987) s pĜednáškami ze vzpomínkové slavnosti v roce 1985; Paul Dirac, the man and his work (1998) ze slavnosti k umístČní Diracovy pamČtní plakety ve Westminster Abbey v roce 1995; Proceedings of the Dirac Centennial Symposium (2002) ke stému výroþí Diracova narození. 8 Viz rozhovory vedené T. Kuhnem a kol. na zaþátku 60. let [1], [2]. Digitalizovaný transkript rozhovoru s Diracem je v [1]. Vzpomínky tvoĜí velkou þást jeho pozdČjší publikaþní þinnosti, srov. bibliografii v [3]. 2
169
hlavního hrdiny, Paula Diraca.9 Pokud je v jeho vzpomínkách nČjaká nesrovnalost, dá se podle tČchto autorĤ vČtšinou nČjak vysvČtlit nebo alespoĖ omluvit. Kragh sice upozorĖuje, že „recollections of events forty years back in time are likely to contain distortions and inaccuracies,“ [14], s. 53, ale problém leží hloubČji. Vzpomínky se také liší podle zámČru, se kterým jsou vyprávČny. V Diracových pĜednáškách vČnovaných historii kvantové mechaniky (pĜevážnČ ze 70. let) lze tyto zámČry þasto dešifrovat. Tím se jejich spolehlivost dostává do zcela jiného svČtla, než jak k nim bylo ve studovaném pĜípadČ pĜistupováno.10 Dirac mČl zĜejmČ neobyþejné charisma, neboĢ vzpomínky jeho kolegĤ podstatnČ pĜispČly k rĤstu Diracova mýtu.11 Ten se utváĜel postupnČ, nejpozdČji od druhé svČtové války, ale možná již od 30. let. Dnes je Dirac považován za jednoho z nejvČtších fyzikĤ a Diracova rovnice za jeden z vrcholĤ fyziky 20. století. Ve své dobČ to však byl jen jeden z mnoha objevĤ, souþasníci na nČm vČtšinou nevidČli nic úžasného ani neodolatelného.12 Oþ jsou dobové reakce stĜízlivČjší a kritiþtČjší, o to pompéznČjší jsou pozdČjší komentáĜe. Výrazy jako magie, sen, þi zázrak se objevují až od 60. let.13
2 Diracova kariéra Diracovo dČtství a mládí bylo, zdá se, poznamenáno pĜísnou otcovskou výchovou. Psychologicky citlivý rozbor podal nedávno Farmelo [12], který ale sám dodává, že si líþením nemĤžeme být zcela jisti.14 Na druhou stranu by to vysvČtlovalo nejen mnohé z Diracovy povahy a chování, ale také jeho zpĤsob práce. V letech 1918–21 vystudoval v Bristolu elektrotechniku (jako nejlepší ve tĜídČ), za další dva roky vystudoval matematiku na Bristolské universitČ a v srpnu 1923 byl pĜijat k doktorskému studiu v Cambridge. Na rozdíl od Wernera Heisenberga, jen o necelý rok staršího, neprokázal svou genialitu již bČhem doktorského studia: „His contributions were interesting, but not remarkably so, and not of striking originality,“ [15], s. 12. Pomalejší zaþátek Diracovy kariéry by se snad dal pĜipsat malé sebedĤvČĜe zapĜíþinČné tvrdou výchovou bez pochval a odmČn. Diracova doba však mČla teprve pĜijít, byl ve správnou dobu na správném místČ: doktorát dokonþoval v roce 1925, kdy zaþala ‚kvantová revoluce‘, jeden ze tĜí nejvČtších mezníkĤ ve fyzice 20. století.15 Po doktorské promoci v þervnu 1926 strávil Dirac rok v Kodani a Göttingen a po návratu do Cambridge v listopadu 1927 byl zvolen þlenem St. John’s College. Formulace relativistické rovnice pro jeden volný elektron na pĜelomu let 1927–28 mu pak pĜinesla
9
Zejména Pais A.: Playing with equations, the Dirac way. In Kursunoglu B. N., Wigner E. P. (ed.): Reminiscences about a great physicist: Paul Adrien Maurice Dirac, CUP, Cambridge, 1987, 93–116. Pais navíc pĜebírá Diracovy vzpomínky bez jakékoliv kritiky. Tzv. heroické pojetí historie kvantové teorie kritizoval již Forman v [13], obecnČji a úplnČji k heroickému pojetí vČdy viz Applebyová J., Huntová L., Jacobová M.: Jak Ĝíkat pravdu o dČjinách. CDK, Brno, 2002. 10 Lehkovážný pĜístup ke vzpomínkám kritizoval (ovšem v jiných souvislostech) napĜ. Forman, viz [13]. 11 „These works, written by scientists who knew Dirac personally, express physicists’ homage to a great colleague,“ [15], s. ix. Tím trpí také rozsáhlý šestidílný výtvor Mehra J., Rechenberg H.: The Historical Development of Quantum Theory. Springer, 1982. K Diracovi viz zejména díl 4. Srov. kritickou recenzi [13]. 12 Je tĜeba si uvČdomit, že v roce 1928 ještČ všichni prožívali opravdovou ‚kvantovou revoluci‘ odstartovanou roku 1925 Wernerem Heisenbergem. 13 Viz napĜíklad [2], citováno zde v poznámce 24 níže. 14 MĤžeme se totiž opĜít jen o Diracovy vzpomínky, jimž ale dobové prameny neposkytují oporu. 15 Tento zvrat v DiracovČ životČ podrobnČ popsal Kragh, [15], kapitola 2, Discovery of Quantum Mechanics.
170
opravdovou slávu.16 Roku 1930 napsal a vydal jednu z prvních a vĤbec nejvlivnČjších uþebnic kvantové mechaniky, The Principles of Quantum Mechanics [7] a byl zvolen þlenem Royal Society of London (v 28 letech). Roku 1932 se stal Lukasiánským profesorem matematiky a natrvalo se usídlil v Cambridge. O rok pozdČji, v 31 letech, získal Nobelovu cenu.
3 Diracova rovnice The Quantum Theory of the Electron [5] je DiracĤv pravdČpodobnČ nejlepší, jistČ však nejslavnČjší þlánek. Jelikož elegantní odvození Diracovy rovnice ze základních principĤ kvantové mechaniky a speciální teorie relativity je notoricky známé,17 vČnujeme se zde pouze otázce Diracových motivací a následným komplikacím, zejména problému negativních energií a jeho Ĝešení. 3.1
Motivace
Dodnes nepanuje shoda v tom, jaké byly vlastnČ Diracovy zámČry. On sám se o tom vyjádĜil nČkolikrát, jednotlivé verze si však odporují. Jeho pĜíhoda se váže ke konverzaci s Nielsem Bohrem. Na jeho otázku, na þem zrovna pracuje, odpovČdČl Dirac, že se snaží nalézt uspokojivou relativistickou elektronu. Bohr se prý podivil, protože podle nČj tento problém již vyĜešili Klein a Gordon. Dále se jednotlivé verze podstatnČ liší: 1963: „I remember it disturbed me quite a lot that Bohr was so satisfied with it because of the negative probabilities that it led to.“18 1974: „I was quite taken aback. It rather surprised me that such an emminent physicist as Bohr should be satisfied with the Klein–Gordon equation and I started to explain why I was not satisfied with it. But just then the lecture started and I was never able to finish it.“ [10], s. XXXII-8. 1977: „I didn’t have time to explain my objections fully to Bohr on that occasion, but I could see where his opinions lay, and that was the opinion of most physicists of that time, perhaps all of them.“19 1978: „It rather opened my eyes to the fact that so many physicists were quite complacent with a theory which involved a radical departure from the basic laws of QM, and they did not feel the necessity of keeping to these basic laws.“20 PĜíbČh je další z Diracových pozdních historek. Má jej ukázat jako proroka, který pĜedvídá vývoj kvantové teorie dokonce lépe než samotný Bohr. Kragh historku pĜijímá za pravdivou, pĜestože pĜiznává, že „Dirac’s accounts of the event are not entirely consistent.“21 Kloním se k názoru, že Dirac chtČl formulovat relativistickou rovnici pro
16 Jeho první velké objevy (zavedení Poissonových závorek, teorie poruch a tzv. Fermiho–Diracova statistika) byly publikovány pouhý mČsíc po konkurentech (Born–Jordan–Heisenberg, Heisenberg a Fermi). To mĤže být také jeden z dĤvodĤ proþ nejradČji pracoval sám a hlavnČ proþ se nechtČl dČlit o své know-how. 17 Diracovo pĤvodní odvození je minimalistické, viz [5], ale podrobnČjší verzi obsahuje každá dobrá uþebnice relativistické kvantové mechaniky. Výbornou moderní monografii napsal Thaller B.: The Dirac equation. Springer, Berlin–Heidelberg, 1992. Ryze historický komentáĜ viz [14], kapitola 6. 18 [1]. Kragh však ukázal, že problém negativního rozdČlení pravdČpodobnosti se objevuje až mnohem pozdČji, viz [14], s. 64. 19 [11], s. 10. Mimochodem, Dirac dobĜe vČdČl, že si i jiní fyzikové snažili vylepšit nebo nahradit Kleinovu– Gordonovu rovnici, srov. napĜ. dopis J. Kudara Diracovi z 21. 12. 1926, citovaný v [15], s. 54. 20 Dirac P. A. M.: Directions in Physics: lectures delivered during a visit to Australia and New Zealand August/September 1975. Wiley, New York, 1978. Citováno podle [15], s. 57. 21 [15], pozn. 23 ke s. 56. Kupodivu mu nejvíce vadí rozpor mezi [1], kde tvrdí, že se rozhovor udál u Bohra v Kodani a pozdČjším tvrzením, že to bylo na Solvayské konferenci v Bruselu.
171
kvantovou þástici. Zahrnutí spinu bylo cílem druhotným, který byl pĜidán do programu až pĜi Ĝešení sestavených podmínek. Z Diracovy relativisticky invariantní rovnice vyplývá správný magnetický moment elektronu, vysvČtluje tedy pĤvod spinu. Rychle se ukázalo, že také správnČ reprodukuje jemnou strukturu vodíkového spektra. Jeden problém pĤvodní Kleinovy–Gordonovy teorie však zĤstal nevyĜešen, každému jejímu Ĝešení totiž pĜísluší ještČ další Ĝešení s negativní energií. Nakonec, Dirac to sám pĜiznal.22 3.2
Reakce na Diracovu teorii: prvotní uznání a následná kritika
Z dobové korespondence lze vyþíst velmi kladné bezprostĜední pĜijetí Diracovy práce.23 PozdČjší vzpomínky na reakce jsou však až nekriticky oslavné. V roce 1928 to bylo prosté kolegiální uznání, kdežto od 60. let šlo o vzdání holdu legendČ kvantové fyziky.24 Dirac pozdČji zlehþoval svĤj úspČch tvrzením, že na Ĝešení pĜišel „by playing around with mathematics,”25 ale Pais to povýšil na DiracĤv obecný zpĤsob práce, viz. poznámka 9. V polovinČ roku 1928 se situace obrátila. V þervnu Dirac pĜednášel na Heisenbergovo pozvání o své teorii v Lipsku (18.–23. þervna 1928). NepodaĜilo se mu však rychle vyĜešit problém negativních energií, což jeho hostitele velmi zklamalo.26 Dirac si byl problému vČdom již pĜi psaní þlánku [5], ale odsunul jeho Ĝešení na pozdČji. NejdĜíve jej totiž ve srovnání s úspČchem své teorie nepovažoval za natolik závažný.27 Na konci roku 1928 se situace ještČ zhoršila. Oskar Klein ukázal, že i v jednoduchém pĜípadČ pohybu elektronu proti potenciálové bariéĜe dává Diracova rovnice absurdní výsledky, známé jako KleinĤv paradox. 3.3
Hole theory – teorie elektronových dČr
Dirac se s problémem negativních energií dlouho trápil. VČtšinou se nezdĤrazĖuje, že mu trvalo témČĜ dva roky, než v prosinci 1929 pĜišel s pokusem o Ĝešení bohužel jen formou fyzikální interpretace.28 Je zjevné, že to bylo východisko z nouze, ale k formulaci chytĜe použil Pauliho vyluþovací princip, tedy teorii svého nevČtšího kritika a oponenta.29
22 „One gets over the difficulty on the classical theory by arbitrarily excluding those solutions that have a negative [energy] W. One cannot do this on the quantum theory,…“ [5], s. 612. 23 „Dirac has got a new system of wave equations which does the whole spinning electron correctly, Thomas correction, relativity and all,“ Darwin Paulimu, 11. 1. 1928, [4], díl I., s. 424; „I admire your last work about the spin in the highest degree,“ Heisenberg Diracovi, 13. 2. 1928, citováno podle [15], s. 62. 24 NapĜ. Leon Rosenfeld se roku 1963 vyjádĜil, že odvození spinu „was regarded as a miracle. […] It was regarded really as an absolute wonder,“ [2]. 25 Jde o další prĤpovídku pozdČjšího data, poprvé se objevuje v roce 1963, viz [1]. 26 „I am much more unhappy about the question of the relativistic formulation and about the inconsistency of the Dirac theory. Dirac was here and gave a very fine lecture about his ingenious theory. But he has no more of an idea than we do about how to get rid of the difficulty e → −e ,“ Heisenberg Bohrovi, 23.7. 1928, citovaný podle [15], s. 66. 27 „The resulting theory is therefore still only an approximation, but it appears to be good enough,“ [5], s. 612. 28 „…all the states of negative energy are occupied except perhaps a few of small velocity. […] Only the small departures from exact uniformity, brought about by some of the negative-energy states being unoccupied, can we hope to observe. The holes in the distribution of negative-energy electrons are the protons,“ [6], §2. Na šesti stranách práce jsou pouhé 4 rovnice, jde tedy o Ĝešení spíše filozofické než matematické. 29 ZprostĜedkovanou informaci: „Was ich höre klingt hoffnungsvoll,“ Pauli Jordanovi, 30. 11. 1929, [4], díl I., s. 526, ale na základČ studia Diracovy práce pĜehodnotil, „Ich glaube jetzt gar nicht mehr daran!“ Pauli Kleinovi, 10. 2. 1930, [4], díl II., s. 4. (DĤraz je pĤvodní, Pauliho.)
172
Pro Diraca byla teorie velmi atraktivní tím, že postuluje existenci pouze jedné þástice – elektronu. Dirac ale dodává, že teorie nevysvČtluje nesymetrii mezi protonem a elektronem, zejména rozdíl v jejich hmotnosti. Reakce na teorii elektronových dČr byly spíše skeptické,30 neoficiálnČ byla považována dokonce za holý nesmysl.31 ZtotožnČní elektronové díry s protonem pĜestalo být udržitelné, Dirac proto musel svou teorii v létČ 1931 opravit. Nezbylo mu nic jiného než postulovat nové þástice, anti-elektron32 a také anti-proton. Objev positronu Andersonem v USA a pozdČji jeho potvrzení Blackettem a Occhialinim pĜímo v Cambridge na podzim 1932 zpČtnČ prokázal opodstatnČnost Diracovy hole theory.33 I když tím byla teorie v oþích mnoha fyzikĤ rehabilitována, opozice slábla pomalu.34
4 Nobelova cena Koncem roku 1933 se rozhodovalo o udČlení Nobelových cen za léta 1932 a 1933. PĜestože zpráva, kterou pro výbor akademie pro Nobelovu cenu vypracoval Carl Wilhelm Oseen, je vzhledem k dnešnímu hodnocení Diraca velmi kritická35 a pĜestože dostal jen dvČ nominace (Bragg a Bialobrzeski),36 rozhodlo na doporuþení výboru plenární zasedání akademie o rozdČlení ceny za rok 1933 mezi Schrödingera a Diraca, který se tak stal jejím nejmladším laureátem-teoretikem.37 Oseen také ve své zprávČ píše, že Dirac mĤže svých nejlepších výsledkĤ teprve dosáhnout. Dirac dále publikoval nČkolik dĤležitých prací v jiných oblastech fyziky, ale zdánlivČ dosažitelné upĜesnČní své teorie již nepĜinesl a nČkteré interpretaþní problémy tak pĜetrvaly dodnes. PozdČji se Dirac postavil proti vývoji v kvantové elektrodynamice, zejména kvĤli tzv. teorii renormalizace (1948), a tím se dostal mimo hlavní proud teoretické fyziky. Jeho sláva však pĜesto rostla a jeho myšlenky byly postupnČ pĜijaty. Diracova rovnice byla, je a také zĤstane fenomenálním úspČchem. Zejména zpĤsob, jakým ji Dirac odvodil – na základČ obecných principĤ, ne empiricky – byl do té doby nevídaným a stal se pozdČji standardní metodou matematické fyziky. ProblémĤm, které rovnice pĜinesla nepĜikládal Dirac prvoĜadou dĤležitost. Navrhnutá Ĝešení také nebyla okamžitČ kladnČ pĜijata. PĜestože se hodnota jeho myšlenek ukázala až s odstupem þasu, bylo by chybou nevidČt Diracovu teorii v dobových souvislostech. 30 „It is certainly a great progress. […But] I cannot see yet, how the ratio of the masses etc. will come out,“ Heisenberg Diracovi, 7. 12. 1930. Bohrovi se o teorii vyjádĜil otevĜenČ skepticky (dopis z 20. 12. 1929). 31 Krom Fermiho a Pauliho se tak vyjádĜil i Lev Landau, který prý Diracovu pĜednášku na kongresu BAAS v Bristolu zhodnotil jediným slovem: „Quatsch.“ (PĜeloženo v [12] jako rubbish, v [15] jako nonsense.) 32 „a new kind of particle unknown to experimental physics, having the same mass and opposite charge to an electron,“ [8], s. 61. 33 Dirac pĜesto váhal se ztotožnČním svého anti-elektronu s Andersonovým positronem. Bohr, Heisenberg a Pauli šli ještČ dál: „I do not believe on your perception of ‘holes’, even if the existence of the ‘antielectron’ is proved.“ Pauli Diracovi, 1. 5. 1933, [4], díl II, s. 159. 34 Pauli utlumil svou kritiku hole theory koncem þervna 1933: „ich bin also nicht abgeneigt, an eine Art reformierte Löchertheorie zu glauben,“ Pauli Heisenbergovi, 14. 7. 1933, [4], díl II, s. 187. Jeho nepĜátelství vĤþi Diracovi líþí Kragh, [15], s. 112–114, asi trochu pĜehnanČ a Farmelo [12] z nČj pĜímo dČlá hlavní zápornou postavu svého ‚románu‘: Diracova úhlavního nepĜítele. 35 „[Dirac’s] work is not fundamental in the same sense as Heisenberg’s. […] He is independent… but a successor in relation to Heisenberg. If one asks if Dirac is a scientific pioneer of the same dimension as Planck, Einstein or Bohr, the answer must for the present be, I think, definite no. …so far it has not left him the time for really great innovative work… It is noteworthy that Dirac’s most original papers stem from the last years,“ Nobel archive, citováno podle [15], s. 115–116. 36 Schrödinger jich mČl 11 (mj. od Bohra a Einsteina). Také všichni ostatní nominovaní: Sommerfeld, Bridgman, Davisson a Paschen jich mČli více než Dirac, viz [15], s. 116. 37 Cenu za rok 1932 získal Werner Heisenberg.
173
Literatura [1] Oral histories at Niels Bohr Library & Archives: Interview of Dr. P. A. M. Dirac by Thomas S. Kuhn on May 7, 1963 [online, cit. 30. 5. 2010]. http://www.aip.org/history/ohilist/4575_3.html [2] Oral histories at Niels Bohr Library & Archives: Interview of Dr. Leon Rosenfeld by T. S. Kuhn and J. L. Heilbron at Carlsberg on July 1, 1963 [online, cit. 30. 5. 2010]. http://www.aip.org/history/ohilist/4847_1.html [3] Dalitz R. H.: The collected works of P. A. M. Dirac, 1924–1948. CUP, Cambridge, 1995. [4] Hermann A., von Meyenn K., Weisskopf V. F.: Wolfgang Pauli Wissenschaftlicher Briefwechsel. Band I: 1920–1929. Springer, New York, 1979; Band II: 1930–1939. Springer, Berlin, 1985. [5] Dirac P. A. M.: The Quantum Theory of the Electron, Part I. Proceedings of the Royal Society of London, Series A 117(1928), 610–624; Part II. Ibidem 118(1928), 351–361. [6] Dirac P. A. M.: A theory of electrons and protons. Proceedings of the Royal Society of London, Series A 126(1930), 360–365. [7] Dirac P. A. M.: The Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press, Oxford, 1930, 19352, 19473, 19584. [8] Dirac P. A. M.: Quantised singularities in the electromagnetic field. Proceedings of the Royal Society of London, Series A 133(1931), 60–72. [9] Dirac P. A. M.: Theory of electrons and positrons. In Nobel Lectures in Physics (1922– 1941). Elsevier, Amsterdam, 1965, 320–325. [10] Dirac P. A. M.: An historical perspective on spin. In Roberts J.B. (ed.), Proc. Summer Studies of High-Energy Physics with Polarized Beams, July 22–26, 1974, Argonne National Laboratory, Rep. ANL/HEP 75-02, XXXII-1–14. [11] Dirac P. A. M.: The Relativistic electron Wave Equation. Proc. European Conf. on Particle Physics, July 4–9, 1977, Budapest, Preprint KFKI-1977-62, 1–18. [12] Farmelo G.: The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. Faber and faber, London, 2009. [13] Forman P.: A Venture in Writing History. Science 220(1983), 824–827. [14] Kragh H. S.: The genesis of Dirac’s relativistic theory of electrons. Archive for the History of Exact Sciences 24(1981), 31–67. [15] Kragh H. S.: Dirac – A Scientific Biography. CUP, Cambridge, 1990. [16] Wilczek F: The Dirac Equation. In Baer H., Belyaev A. (ed.): Proceedings of the Dirac Centennial Symposium, Florida State University, Tallahassee, 2002, 45–74. Adresa RNDr. Jan KotĤlek Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB – TU v OstravČ 17. listopadu 15 708 33 Ostrava-Poruba e-mail:
[email protected] 174
ZAPOMENUTÉ PRÁCE OTAKARA BORģVKY MILAN KěÁPEK Abstract: The article contains description of some not very known texts of O. BorĤvka and F. Herþík, which concern on the four-dimensional space and ideas if this space can exist without our realising. The next part concerns on the extension of this idea to the existence of the four-dimensional organisms.
1 Úvod Profesor Otakar BorĤvka, byl velmi významným matematikem. Celý svĤj život strávil rozvojem matematiky zejména v BrnČ a také v BratislavČ. Jeho studenti, mezi které se dá zaĜadit vČtšina absolventĤ matematiky v BrnČ jej popisují jako skvČlého uþitele a organizátora vČdeckého života. Rozsah oborĤ kterými se zabýval je ohromující, patĜí mezi nČ klasická matematická analýza, diferenciální geometrie, algebra, teorie grafĤ a obyþejné diferenciální rovnice. Každý z tČchto oborĤ obohatil novými znalostmi. Jeho práce v uvedených okruzích jsou jistČ velmi zajímavé, ale vČtšina þtenáĜĤ, kteĜí mají hlubší pĜehled o vČdecké práci našich významných matematikĤ je zná. V tomto þlánku bych chtČl pĜiblížit nČkolik prací, které se nezabývají ani jedním z výše zmiĖovaných témat a také nejsou moc známé a rozšíĜené. Na presentovaném spolupracoval s profesorem Ferdinandem Herþíkem, který byl výborným biologem. Po druhé svČtové válce se podílel na obnovČ a rozvoji lékaĜské fakulty v BrnČ m.j. vybudoval pracovištČ zabývající se studiem biofyziky a vlivem radiace na organismy. Tento význaþný þlovČk velmi pomohl þeskému lékaĜství hlavnČ ve výzkumu bakteriofágĤ a radiobiologie. Oba jmenovaní, kteĜí ve svých oborech patĜili k našim nejlepším vČdcĤm, spoleþnČ ve 40. letech napsali nČkolik þlánkĤ, v nichž kombinovali matematiku, biologii, a filozofii.
2 ýtyĜrozmČrný prostor První þlánek s touto tématikou napsal Otakar BorĤvka sám. Zabýval se myšlenkou jak by vypadal a fungoval svČt, pokud by nebyl trojrozmČrný, což je takový jak jej vnímáme my, ale místo toho by byl þtyĜrozmČrný. ýlánek vyšel v þasopise VČda a Život VIII v roce 1941 pod názvem O þtyĜrozmČrném prostor. Tento þlánek byl ovšem zamČĜený spíše matematicky a obsahoval pouze nejasnou pĜedstavu o tom, jak by mohl takový svČt vypadat a fungovat. V následujícím textu uvedu alespoĖ nČkteré zajímavé þásti tohoto þlánku. V úvodu autor popisuje motivaci která jej vedla k napsání tohoto pojednání. Základem všeho pĜírodovČdeckého poznání jest zkušenost, jak nám ji podávají naše smysly. Jimi chápeme, že pĜedmČty tohoto svČta mají tĜi rozmČry: délku, šíĜku a výšku. Každý cítí, co se tím rozumí; ale popis obsahu slova „rozmČr“ jest nesnadný a vyžaduje hlubších úvah. Poznání pojmu þtyĜrozmČrného prostoru a obecnČji vícerozmČrného prostoru znamenalo v matematice pokrok neobyþejnČ významný.
175
Proslulý rumunský matematik G. Tzitzéica napsal: „Studujeme vícerozmČrné prostory proto, abychom našli odpovČć na otázky, vztahující se k našemu prostoru, podobnČ jako studujeme organisaci cizích zemí, abychom pĜinesli užitek zemi vlastní.“ Z tohoto je vidČt, že považoval studium þtyĜ a více rozmČrných prostorĤ za dĤležité, z dĤvodu hledání obecnČjších vztahĤ platných pro trojrozmČrný prostor. Rozsáhlou þást þlánku vČnoval otázce, „zda je možná, existence více rozmČrĤ aniž bychom si je sami uvČdomovali. Abychom na tuto otázku odpovČdČli, uvažme pĜedevším, z þeho by bytosti dvojrozmČrné, které si mĤžeme pĜedstaviti jako stíny na pĜ. v rovinČ stolu, mohly souditi na existenci tĜetího rozmČru, který chápeme my. DvojrozmČrné bytosti svými pĜedpokládanými dvojrozmČrnými smyslovými orgány mohly by patrnČ vnímati jenom takové dČje, které se odehrávají v jejich svČtČ, tedy v rovinČ stolu. Jim by se na pĜ. þtverec jevil tak, že by nevidČli do té þásti roviny, kterou nazýváme vnitĜkem þtverce. Aby se do té þásti dostaly, musely by projíti otvorem v nČkteré stranČ þtverce, podobnČ, jako my nevidíme skrze stČny dovnitĜ domu a chceme-li se tam dostati, musíme projíti otvorem ve stČnČ. Pro nás, trojrozmČrné, jest však zcela pochopitelné, že by se dvojrozmČrná bytost mohla dostati z vnČjšku þtverce do jeho vnitĜku, aniž by prošla otvorem v jeho stranČ. ProstČ tak, že by se vnČ þtverce zvedla do tĜetího rozmČru nad rovinu svého svČta a uvnitĜ þtverce se zase do této roviny spustila. Pro každou dvojrozmČrnou bytost, chápající jenom dČje, odehrávající se v té rovinČ a nechápající existenci tĜetího rozmČru, vypadala by ovšem taková vČc zázraþnČ a to jako zmizení bytosti ze svČta vnČ þtverce anebo – ĜeknČme - vnČ jejího pĜíbytku a opČtné náhlé objevení bytosti uvnitĜ pĜíbytku. Kdyby se na našem svČtČ vyskytovaly dČje jako zmizení a opČtné objevení pĜedmČtĤ a lidí, zmČny podobné jako pĜemČna levé rukavice v pravou ... apod., mohli bychom k vysvČtlení tČchto jevĤ pĜedpokládati existenci þtvrtého rozmČru. První spoleþný þlánek profesorĤ BorĤvky a Herþíka vyšel v þasopise Sborník LékaĜský v roce 1943 a jmenoval se Prostorový model života. Tato práce využívá a þásteþnČ obsahuje pĜedcházející úvahy a dále tuto jistČ zajímavou myšlenku rozvíjí . Po úvodu je v þlánku popsán þtyĜrozmČrný prostor. Z této þásti nemusím mnoho popisovat, neboĢ jistČ každý ze þtenáĜĤ þtyĜrozmČrný prostor a jeho definici zná. Proto teć uvedu jen nČkteré pojmy dĤležité pro další popis. Prostory A2, A3, A4 jsou þíselnými modely prostorĤ, þímž rozumíme prostory v matematickém smyslu, t.j. množiny n-tic reálných þísel a pravidla jak s tČmito n-ticemi operovat. Oproti tomu R2 a R3 jsou reálné prostory (dvojrozmČrný a trojrozmČrný), takové jaké je vnímáme svými smysly, a prostor R4 je uvažovaný þtyĜrozmČrný prostor. Víme, že prostory A2 a A3 nám popisují prostory R2 a R3, jen pro jednoznaþnost tohoto popisu je nutné zvolit mČĜítko pro jedniþku. AutoĜi pak pĜedpokládají, že prostor R4 je þíselným prostorem A4 popsán stejnČ, jako to platí pro prostory R3 a A3 a také pro R2 a A2. Tedy že mezi tČmito prostory existuje bijekce (prosté zobrazení množiny na množinu). DĤsledkem toho se þtyĜrozmČrný prostor chová stejnČ jako prostory, které známe a vnímáme svými smysly, tedy platí v nČm i stejná pravidla, která se týkají bodĤ, pĜímek, rovin a nadrovin, urþování vzdáleností, prĤnikĤ a podobnČ. Velmi dĤležitý pro další výklad bude následují poznatek který z výše uvedeného vyplývá. MĤžeme tedy Ĝíci, že prostor R3 rozdČluje prostor R4 na dvČ þásti, na þást + a na þást –. Tento poznatek byl hlavním cílem pĜedcházejících úvah a má pro náš další výklad základní význam.
176
3 ýtyĜrozmČrné organismy PravdČpodobnČ díky profesoru Herþíkovi se tento þlánek posunuje ještČ dále a to k pĜedpokladu, že ne jen svČt ale i organismy jsou þtyĜrozmČrné. Na poþátku biologických úvah, k nimž nyní mĤžeme pĜistoupiti, stojí dva základní pĜedpoklady: 1. Organismy jsou þtyĜrozmČrné útvary v prostoru R4, které zasahují do našeho trojrozmČrného prostoru R3, a jakýmsi difusním dČjem prostorem R3 pronikají. 2. TrojrozmČrné organismy v našem prostoru R3, jsou prĤniky tČchto þtyĜrozmČrných organismĤ s prostorem R3. PĜedstavujeme si, že nČjaký þtyĜrozmČrný organismus v prostoru R4 zasahuje do našeho prostoru R3 a proniká jaksi diffusním dČjem napĜ. z þásti + prostoru R4 do þásti -. PĜi tom vytvoĜuje v místČ prĤniku s prostorem R3 stopu, kterou my chápeme jako trojrozmČrný organismus. Podle této pĜedstavy vznikají tedy živé organismy našeho prostoru R3 prĤnikem þtyĜrozmČrných organismĤ s atomy a molekulami našeho prostoru R3. pĜi této difusi dochází podle našeho názoru ku vzájemnému pĤsobení mezi prostorem R3 a pronikajícím organismem. Vedle toho se zdá pĜirozené, že na sebe pĤsobí korelativnČ i þásti þtyĜrozmČrného organismu, takže mĤže docházeti ku zmČnám, které se projevují sekundárnČ v trojrozmČrném organismu, jež si však nedovedeme vysvČtliti na podkladČ našich vČdomostí o prostoru R3, a to proto, že se tyto zmČny zþásti odehrávají v prostoru R4, který nevnímáme. Tento popis existence þtyĜrozmČrných organismĤ je pro nás velmi neobvyklý. A to i v dnešní dobČ kdy se s podobnými myšlenkami dost þasto setkáváme ve filmech þi knihách. Proto nás tyto úvahy již tolik nepĜekvapují. V našem pĜedpokladu o difusním pronikání þtyĜrozmČrných organismĤ prostorem R3 jest jistá libovĤle a nezastíráme, že by bylo možno navrhnouti i jiná Ĝešení, která by svou povahou zapadala do pĜedcházejícího rámce. Jestliže se omezujeme na hoĜejší pĜedpoklad, þiníme tak proto, že nám dobĜe vyjadĜuje þasový pĜíznak živých organismĤ. Podle naší pĜedstavy jest doba difusního dČje totožná s dobou trvání trojrozmČrného organismu jest jen urþitou fází tohoto dČje. Organismus se mČní s þasem. Tyto zmČny mohou býti zpĤsobeny jednak podmínkami v prostoru R 3, ale stejnČ dobĜe též tím, že þtyĜrozmČrný pronikající organismus není morfologicky stejnČ utváĜený, takže jeho trojrozmČrné prĤĜezy by byly v každém okamžiku od sebe odlišné. Tento neustálý sled zmČn se skládá v souvislý „žijící“ trojrozmČrný organismus, podobnČ jako se skládají obrazy v kinematografu v pohyb. Jaký jest þasový pĜíznak þtyĜrozmČrného organismu? Podle našich pĜedstav organismus „žije“ v prostoru R4 a v jisté fázi svého „života“ difunduje naším prostorem R3. Pojmy zrození a smrt nejsou potom nČþím podobným jako zaþátek a konec vČty, nýbrž jsou spíše jenom jistými okamžiky jakéhosi kolobČhu organismĤ, jehož vlastnosti poþínáme teprve tušiti. Dle tČchto úvah žije þtyĜrozmČrný organismus déle než jen po dobu prolínání naším prostorem R3. Tyto myšlenky již velmi pĜekraþují matematiku i biologii a zasahují filosofii a náboženství. To jistČ nebyl prvoplánový cíl této práce a podle slov autorĤ bylo smyslem nastínit pouze možnost jak hledat hypotézy. Úkolem tohoto þlánku bylo upozorniti na možnosti plynoucí z aplikace pojmu þtyĜrozmČrného prostoru v biologii. Nechceme ovšem tvrditi, a ostatnČ jsme to již
177
dĜíve naznaþili, že naše úvahy popisují skuteþný stav vČcí, a v tom smyslu mluvíme v nadpisu našeho þlánku jenom o modelu života. ýlánek obsahuje také nČkolik pĜíkladĤ, které mají dokládat možnost existence þtyĜrozmČrného prostoru. HlavnČ se zamČĜují na vlastnost, že organismy které jsou v trojrozmČrném prostoru daleko od sebe, se mohou ve þtyĜrozmČrném prostoru dotýkat. ýímž vysvČtlují mimoĜádný þichový smysl zvíĜat a také nČkteré parapsychické jevy. Poslední citát, který uvedu, opČt upozorĖuje, že se jedná pouze o myšlenku, která nemusí mít vĤbec žádný reálný základ, ale také obsahuje zajímavý pĜíklad, který by mohl naznaþovat, že lidé mohou þtyĜrozmČrný prostor (pokud existuje) odhalit a nČkteĜí jej postupnČ odhalují. OstatnČ podle nČkterých autorĤ není pojem þtyĜrozmČrného prostoru tak vzdálený našemu smyslovému vnímání, jak by se mohlo míti za to. Tak na pĜ. Hinton (R. Weitzenböck, l.c.p. 107) pĜipomíná, že nČkteré staroegyptské sochy mají dva rozmČry správnČ, kdežto tĜetí jest skreslený. Jestliže tedy tehdejší sochaĜi vnimali trojrozmČrný prostor ménČ "prostorovČ" než my, není vylouþeno, že vývoj pokraþuje k chápání dalšího rozmČru. Je pravdČpodobné, že zvažované „chybné vnímání” tĜetího rozmČru nemusí být zpĤsobeno jiným vidČním trojrozmČrného svČta, ale pouze mohlo jít o jiný styl zobrazování. Ovšem v pĜípadČ, že by tento vývoj byl reálný, pak bychom mohli závidČt našim potomkĤm, že možná jednou odhalí zda a jak moc mČli profesoĜi BorĤvka a Herþík pravdu a nebo zda se zcela mýlili. Literatura [1] BorĤvka O.: O þtyĜrozmČrném prostoru. VČda a život VI, 1941, 142–146. [2] BorĤvka O., Herþík F.: Prostorový model života. Sborník lékaĜský XLV, 1943, 164– 175. [3] BorĤvka O., Herþík F.: ýtyĜrozmČrný model života. VČda a život, 1944, 481–484. [4] TĜešĖák Z., Šarmanová P., PĤža B.: Otakara BorĤvka. Edice osobnosti, Universitas Masarykiana, Brno, 1996. Adresa Mgr. Milan KĜápek Ústav matematiky a statistiky PĜírodovČdecká fakulta Masarykova Univerzita KotláĜská 2 611 37 Brno e-mail:
[email protected]
178
EDUARD ýECH (1893–1960) A JEHO STěEDOŠKOLSKÉ UýEBNICE MARTIN MELCER Abstract: This article is devoted to the outstanding Czech mathematician – Eduard ýech, whose semi-centennial death is commemorated this year. The first part describes important moments of his life, above all his contribution to mathematics during the twenties and thirties of the 20th century (mainly Differential Geometry and Topology). The second part deals with his textbooks Arithmetic in the period of the Bohemian and Moravian Protectorate and their amended reprints at the beginning of the fifties with a focus on financial mathematics text problems.
1 StruþnČ ze života Eduarda ýecha Eduard ýech se narodil 29. þervna 1893 ve StraþovČ. Po absolvování gymnázia v Hradci Králové v roce 1912, na které pĜestoupil z reálného a vyššího gymnázia v Novém BydžovČ, zaþal studovat matematiku na þeské Filozofické fakultČ KarloFerdinandovy univerzity v Praze. V roce 1915 byl povolán do armády1 a studia tak dokonþil až po válce v roce 1919, kdy složil poslední zkoušky. Absolvoval také zkoušku uþitelské zpĤsobilosti a získal aprobaci pro výuku matematiky a deskriptivní geometrie (krátce uþil na stĜední škole v Praze Podskalí a na Novém MČstČ, na reálkách v Jeþné ulici a v Praze-Holešovicích). Následující rok pĜedložil na Filozofické fakultČ Univerzity Karlovy v Praze pojednání O kĜivkovém a plošném elementu tĜetího Ĝádu a po úspČšném Ĝízení se stal doktorem filozofie. O další dva roky pozdČji se na UniverzitČ KarlovČ habilitoval pro projektivní geometrii a roku 1923 byl jmenován mimoĜádným profesorem matematiky na MasarykovČ univerzitČ v BrnČ. ěádnou profesuru získal roku 1928. Od tĜicátých let se Eduard ýech zaþal intenzívnČ vČnovat topologii, zúþastnil se konference o kombinatorické topologii v MoskvČ (1931). V roce 1935 byl pozván k pĜednáškovému pobytu do matematického stĜediska Institute for Advanced Study v Princetonu. Po návratu z USA založil roku 1936 v BrnČ topologický semináĜ, který byl þinný i po uzavĜení vysokých škol až do roku 1941.2 Po válce pĜešel na PĜírodovČdeckou fakultu Univerzity Karlovy. V roce 1947 se stal prvním Ĝeditelem Ústavu pro matematiku pĜi ýeské akademii vČd. V roce 1952 byl jmenován þlenem ýSAV a povČĜen vedením Matematického ústavu. V roce 1954 pĜešel na Matematicko-fyzikální fakultu UK
1
Za války si výraznČ prohloubil znalosti nČmþiny a nauþil se italsky. O ýechovČ topologickém semináĜi viz napĜ. A. Lukášová: Eduard ýech, str. 216–220, BedĜich Pospíšil, str. 221–223, in E. Fuchs (ed.): Matematika v promČnách vČkĤ IV, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2007. 2
179
a vybudoval zde Matematický ústav Univerzity Karlovy. Eduard ýech zemĜel v Praze dne 15. bĜezna 1960. Jeho vČdecké práce zasahují pĜedevším do diferenciální geometrie a topologie. BČhem svého života publikoval 94 vČdeckých prací a 10 monografií. Od konce tĜicátých let vČnoval také velkou pozornost výuce matematiky na nižším stupni stĜedních škol, didaktice a metodice na vyšším stupni. Byl autorem Ĝady stĜedoškolských uþebnic, které sepisoval ve váleþných i pováleþných letech. Usiloval o zlepšení výuky na þeských stĜedních školách a dĤkladnČjší pĜípravu budoucích uþitelĤ. Již od pĜedváleþných let organizoval pro stĜedoškolské uþitele semináĜe a pĜednášky o stĜedoškolské a elementární matematice. Eduard ýech je považován za význaþného þeského matematika a ve svČtČ je znám pĜedevším svými pĜíspČvky k diferenciální geometrii, algebraické topologii, o homologii a kohomologii v obecných topologických prostorech a zavedením pojmu „ýechovy homologické a kohomologické grupy“.3
2 Témata odborných prací Matematice se Eduard ýech intenzívnČ vČnoval od studií na Filozofické fakultČ pražské univerzity až do prvních let druhé svČtové války. V pováleþném období byl výraznČ zaneprázdnČn pedagogickými a organizaþními aktivitami, které byly spojeny s rozvojem vysokých škol a budováním matematických ústavĤ a výzkumných pracovišĢ. Hlavními oblastmi jeho zájmu byly diferenciální geometrie a topologie. 2.1
Diferenciální geometrie
Diferenciální geometrie se zabývá zkoumáním kĜivek, ploch a variet vyšších dimenzí pomocí metod diferenciálního poþtu. Klasickými objekty, které studuje, jsou kĜivky a plochy v trojrozmČrném euklidovském prostoru. PĜi analýze geometrických útvarĤ se soustĜećuje na vlastnosti, které nezávisejí na volbČ systému souĜadnic. Její koĜeny mĤžeme vystopovat v pracích význaþných matematikĤ konce 17. století (G. W. Leibniz (1646–1716), I. Newton (1643–1727)). 2.1.1
ýechova práce v oblasti diferenciální geometrie
Diferenciální geometrií se E. ýech zabýval od konce první svČtové války až do konce dvacátých let dvacátého století. Ve školním roce 1921/1922 pobýval na univerzitČ v TurínČ a spolupracoval s italským matematikem Guidem Fubinim (1879–1943), který
3 O životČ a díle Eduarda ýecha viz napĜíklad: M. KatČtov, J. Novák, A. Švec: Akademik Eduard ýech, ýasopis pro pČstování matematiky 85(1960), str. 447–491; Z. Frolík: Osobnost Eduarda ýecha. Zamyšlení k nedožitým 80. narozeninám, ýasopis pro pČstování matematiky 18(1973), str. 237–247; J. Vyšín: ýechovy podnČty k vyuþování matematice, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 24(1979), str. 313–317; I. KoláĜ: Zamyšlení nad diferenciálnČ geometrickým dílem Eduarda ýecha, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 25(1980), str. 306–312; A. Lukášová: Eduard ýech, str. 216–220, in E. Fuchs (ed.): Matematika v promČnách vČkĤ IV, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2007; M. KatČtov a P. Simon (eds.): The Mathematical Legacy of Eduard Cech, 1st edition, Birkhäuser, Boston – Basel – Berlin, 1993, 441 stran; B. Balcar, V. Koutník and P. Simon: Eduard Cech 1893–1960, Mathematica Slovaca 43 (3) (1993), str. 381–392; V. Koutník: Eduard Cech, 1893–1960, European Mathematical Society Newsletter 8(1993), str. 5–7; J. J. Gray: Eduard Cech, The Mathematical Intelligencer 16 (4) (1994), str. 48–49.
180
byl znám tzv. Fubiniovou vČtou charakterizující jednu z vlastností vícerozmČrného integrálu. Sepsali spolu dvČ významné monografie o projektivní diferenciální geometrii, které poprvé vyšly až v letech 1926 a 1927 pod názvy Geometria proiettiva differenziale4 a Introduction á la géometrie projective différentielle des surfaces.5 Tyto práce získaly svČtový ohlas a bezesporu pĜispČly k ýechovu jmenování Ĝádným profesorem Masarykovy univerzity v BrnČ. Násilné pĜerušení další odborné spolupráce zpĤsobila druhá svČtová válka. G. Fubini byl donucen emigrovat z fašistické Itálie do Spojených státĤ amerických. E. ýech se k diferenciální geometrii vzhledem k uzavĜení þeských vysokých škol nČmeckými okupanty, omezení vČdecké práce i mezinárodních kontaktĤ mohl plnČ vrátit až v pováleþných letech. VČnoval se jí pak až do konce svého života. 2.2
Topologie
Topologie se zabývá obecným výkladem a zkoumáním pojmu prostor, resp. topologický prostor, tj. matematická struktura umožĖující formalizovat a zobecĖovat zejména pojmy konvergence, kompaktnost a spojitost. Studuje vlastnosti geometrických útvarĤ, které se nemČní pĜi oboustrannČ spojitých transformacích, jež nevytváĜejí „trhliny“ ani ostré skoky, jedná se o rozšíĜení pojmu spojité funkce. V topologii nezáleží na bČžných geometrických vlastnostech, jako je vzdálenost þi kĜivost. Hlavními výsledky jsou kompaktnost každého uzavĜeného intervalu þi spojitého obrazu kompaktního prostoru. Podle studijních metod rozlišujeme algebraickou (kombinatorickou) a množinovou topologii. PodobnČ jako diferenciální geometrie vznikla topologie pĜi hledání Ĝešení nČkterých geometrických problémĤ. Známá úloha o sedmi mostech v Königsbergu vyĜešená švýcarským matematikem Leonardem Eulerem (1707–1783) je považována za první topologický výsledek. Souþasná topologie využívá vedle geometrie pĜedevším teorii množin Georga Cantora (1845–1918). 2.2.1
ýechova práce v oblasti topologie
Spojovacím þlánkem mezi diferenciální geometrií a topologií byla pro Eduarda ýecha algebraická geometrie, která na rozhraní algebry a geometrie používá metody komutativní algebry pro Ĝešení geometricky formulovaných problémĤ. Algebraická geometrie patĜí mezi stále se rozvíjející oblasti moderní matematiky a je úzce spjata mimo jiné oblasti (napĜ. teorie þísel) právČ s topologií. Objektem ýechova zájmu byla nejen obecná topologie, ale také algebraická. Sepsal 12 prací z obecné topologie (první vyšla v roce 1930). V roce 1932 publikoval þlánek Théorie génerale de l'homologie dans un espace quelconque,6 v nČmž vybudoval první ucelenou obecnou teorii homologie a uvedl první nekombinatorickou definici homologie,7 dodnes nesoucí jeho jméno. V jeho topologických pracích se poprvé objevují
4
Vyšlo v Bologni u vydavatele Nicola Zanichelliho, Vol. II, 1927, 406 stran. Dnes známé pĜedevším z upraveného vydání Gauthier-Villars et Cie, Paris, 1931, vii + 291 stran. 6 Fundamenta Mathematicae 12 (1932), str. 149–183. 7 V algebraické topologii je ýechova kohomologie založena na prĤniku vlastností otevĜených pokrytí topologických prostorĤ. Jeho myšlenka spoþívá ve vhodném výbČru pokrytí složeném z dostateþnČ malých spojených otevĜených množin nutných k vytvoĜení kombinatorického modelu prostoru. 5
181
postupy projektivního vytváĜení.8 V þlánku Höherdimensionale Homotopie-gruppen9 zavedl a definoval pojem vyšších homotopických grup v prostoru.10 Od roku 1934 se zaþal zabývat problematikou lokální homologie. Jeho nejznámČjší þeská kniha o základech topologie vyšla roku 1936 a nesla název Bodové množiny.11 Na sklonku života v roce 1959 shrnul své poznatky v knize Topologické prostory,12 na jejíž koncepci zaþal pracovat již v dobČ druhé svČtové války.
3 Protektorát ýechy a Morava a þeská vČda Roku 1939 po zĜízení Protektorátu byla sestavena protektorátní þeská vláda. Jedinou politickou stranou se stalo Národní souruþenství. Rozhodující moc v protektorátu však drželi pĜedstavitelé nacistického NČmecka a brzy vytvoĜili orgány a instituce okupaþní správy. ýeská vČda procházela obdobím hluboké stagnace. Po násilném uzavĜení vysokých škol nacisty v roce 1939 se zastavila pĜíprava mladé þeské inteligence. Brzy byla omezena i þinnost dalších þeských vČdeckých institucí. ýeští profesoĜi byli posláni na „dovolenou“ s malou penzí, docenti a ostatní vČdeþtí pracovníci museli hledat nová zamČstnání nebo byli nasazeni do váleþné výroby. Omezený prostor zbyl v nČkterých výzkumných ústavech pĜevážnČ prĤmyslových podnikĤ, které sloužily váleþným potĜebám, na lékaĜských pracovištích, v knihovnách a archívech. Eduard ýech v této dobČ zaþal psát stĜedoškolské uþebnice matematiky. Naše školství však bylo dále výraznČ podĜizováno jednotným osnovám, které smČĜovaly ke germanizaci a úplné likvidaci þeské vzdČlanosti. Po vysokých školách se okupanti zamČĜili na omezování stĜedního školství. PostupnČ zrušili Ĝadu gymnázií, reálek a odborných škol, snižovali poþty pĜijímaných studentĤ a také absolventĤ, perzekuovali židovské studenty a uþitele apod.
4 Váleþné uþebnice aritmetiky pro stĜední školy ýechovy Aritmetiky pro stĜední školy [1], [2], [3] vydané v edici Uþebnice a pomocné knihy Jednotou þeských matematikĤ a fyzikĤ v roce 1943 se staly nejrozšíĜenČjšími uþebnicemi na našich stĜedních školách v období Protektorátu. Byly však dosti obtížné a nároþné jak pro žáky, tak pro samotné uþitele, neboĢ uvádČly správné a úplné znČní
8
Pod pojmem projektivní vytváĜení rozumíme zpĤsob vytvoĜení geometrického objektu (napĜ. projektivní vytváĜení kuželoseþek). Projektivní vytváĜení patĜí do teorie kategorie, která zobecĖuje pohled na matematické struktury a vztahy mezi nimi. Poprvé se kategorie zaþaly objevovat ve þtyĜicátých letech právČ v souvislosti s algebraickou topologií. 9 In Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongress, Zürich, Band 2, 1932, page 194. Walter Saxer, Zürich, 1932, 203 pages. Reprint, Kraus, Nendeln, Liechtenstein, 1967. 10 Homotopie umožĖuje postihnout nČkteré topologické vlastnosti topologických prostorĤ a naznaþuje pĜedstavu spojité deformace prostorĤ a zobrazení. Homotopická grupa zachycuje pojem jednoduché souvislosti a „mČĜí“ homotopickou stejnost. 11 ýechova kniha Bodové množiny (první vydání, Prometheus, Praha, 1936, xi + 280 stran) vyšla s dodatkem O derivovaných þíslech funkcí jedné promČnné, který sepsal VojtČch Jarník (1897–1970). 12 Kniha s dodatky Konstrukce urþitých dĤležitých topologických prostorĤ (Josef Novák (1905–1999)) a Zcela normální prostory (Miroslav KatČtov (1918–1995)) vyšla v nakladatelství ýeskoslovenské akademie vČd (1. vydání, Praha, 1959, 524 stran); byla významnČ doplnČna o výsledky, jichž dosáhl brnČnský topologický semináĜ.
182
i obtížnČjších vČt a jejich dĤkazy, nezanedbávaly pĜedpoklady, dĤslednČ užívaly kvantifikátory a jako ilustraþní pĜíklady i nároþnČjší úlohy. Aþkoli byly dobĜe didakticky promyšlené a propracované, nepatĜily ve své dobČ mezi nejoblíbenČjší. Poznamenejme pro úplnost, že E. ýech sepsal také Ĝadu uþebnic nazvanou Geometrie pro stĜední školy.13
5 Pováleþné uþebnice aritmetiky pro stĜední školy V prvních pováleþných letech se matematika na našich školách vyuþovala pĜevážnČ podle upravených uþebnic, které vyšly ještČ pĜed válkou nebo v jejím prĤbČhu. ýechovy uþebnice aritmetiky z roku 1943 se doþkaly neobvykle velkého množství dotiskĤ: z z z
pro první tĜídu: 1945, 1946, 1947, 1948, 1949; pro druhou tĜídu: 1945, 1946, 1947, 1948, 1949; pro tĜetí tĜídu: 1946, 1947.
Jednalo se o dotisky þásteþnČ pozmČnČných uþebnic, v nichž byla pĜedevším upravena zadání slovních úloh, aby lépe odrážela politický a hospodáĜský vývoj v naší zemi. Na tvorbu nových uþebnic matematiky soustĜedila pozornost Ĝada zkušených vysokoškolských i stĜedoškolských uþitelĤ.14 Do roku 1953 vyšlo nČkolik desítek nových uþebnic a sbírek. ZamČĜíme se jen na uþebnice, na nichž pracoval þi spolupracoval Eduard ýech. V roce 1951 kolektiv autorĤ (Jan Bílek, Eduard ýech, Karel Hruša, VítČzslav Jozífek, Karel Prášil, Karel Rakušan, Václav Krauman) z Výzkumného ústavu pedagogického Jana Amose Komenského15 vedený Eduardem ýechem vydal ve Státním nakladatelství v Praze þtyĜdílnou Ĝadu uþebnic Aritmetika pro stĜední školy [4], [5], [6], [7]. Druhý kolektiv autorĤ (Eduard ýech, Alfons Fišer, VítČzslav Jozífek, Karel Komínek, Jan Vyšín, Rudolf Zelinka) pod ýechovým vedením v téže dobČ vydal þtyĜdílnou Ĝadu uþebnic Geometrie pro stĜední školy.
6 Finanþní matematika v ýechových uþebnicích Ve „váleþných“ uþebnicích byly základy finanþní matematiky obsaženy v Aritmetice pro II. tĜídu stĜedních škol [2]. Kapitola Úrok v rozsahu 12 stran poskytovala žákĤm
13
Jednalo se o Ĝadu uþebnic paralelních k uþebnicím Aritmetika. První a druhé pováleþné vydání napsal Eduard ýech sám; vyšla v letech 1949 a 1950. ýerpal ze svých starších vydání z váleþných let. Další vydání (tĜetí až páté) vydával níže zmínČný kolektiv autorĤ pod ýechovým vedením v letech 1951 až 1953. 14 O vývoji þeských uþebnic matematiky v letech 1900 až 1945 viz PotĤþek J.: Vývoj vyuþování matematice na þeských škálách v období 1900–1945, Pedagogická fakulta ZýU, PlzeĖ, 1993. Analýza uþebnic matematiky vydaných po roce 1948 je obsažena v þlánku Hrubý D.: Postavení matematiky na gymnáziích, str. 47–70, in BeþváĜová M. (ed.): O škole a vzdČlávání, Matfyzpress, Praha, 2007. 15 Výzkumný ústav pedagogický Jana Amose Komenského se sídlem v Praze byl zĜízen dekretem prezidenta republiky ze dne 27. Ĝíjna 1945. Jeho hlavním úkolem byla vČdecko-výzkumná práce v oboru výchovy a vyuþování a pĜíprava úþelného využití jejích výsledkĤ ve školství.
183
první seznámení s touto tématikou. Tomu odpovídala také nároþnost pĜíkladĤ. Úlohy byly struþné, jasné a „nezáludné“. Byly pĜimČĜené vČku a schopnostem žákĤ. Úloha 1 VypoþtČte úrok z jistiny 4758 K za 7 mČsícĤ pĜi úrokové míĜe 5¾ %. ([2], str. 70) Celá kapitola obsahovala 7 Ĝešených pĜíkladĤ s velmi podrobnými pĜehlednými komentáĜi a pomČrnČ velké množství (celkem 52) úloh k procviþení, jejichž znČní nepĜesahovalo délku jednoho Ĝádku. Hlavním cílem bylo zautomatizování základních výpoþtĤ pĜi jednoduchém úrokování, aby žákĤm pĜi dalším studiu neþinily výraznČjší problémy. Nároþnost numerických výpoþtĤ od prvních úloh postupnČ narĤstala od celoþíselných s „malými“ þísly až po pomČrnČ velká þísla s nutností použití desetinných þísel þi zlomkĤ. OdpovČdi si žáci mohli zkontrolovat v samostatném oddíle Výsledky na konci uþebnice. Žáka tedy nerozptylovaly a neovlivĖovaly výsledky pĜedem. V pováleþné uþebnici Aritmetiky pro druhou tĜídu stĜedních škol [5] zĤstal pĤvodní rozsah uþiva z finanþní matematiky zachován. Kapitola doznala jen minimum zmČn, které souvisely se zmČnami politické situace v naší zemi a se zmČnou zpĤsobu oznaþení þlenČní uþební látky.16 VČtší rozsah finanþní matematiky byl v uþebnicích pro gymnázia. Matematika pro tĜetí roþník gymnasií [8]. Celou Ĝadu sepsal kolektiv pod vedením Eduarda ýecha ve složení František Balada, Eduard ýech, Josef HolubáĜ, Karel Hruška, Marta Chytilová, Vanda Janová, BedĜich König, Emil Mastný, Karel Rössler, Antonín Srb, Josef Šimek, Antonín Tuláþek a Rudolf Zelinka. Uþebnice obsahovala jako souþást kapitoly Posloupnosti (22 stran) podkapitolu Užití geometrických posloupností (6 stran), do níž autoĜi zaĜadili také penČžní úlohy. Vyzdvihli aplikace aritmetické posloupnosti pĜi jednoduchém úrokování a geometrické posloupnosti pĜi složeném úrokování. Podkapitola nebyla vČnována jen finanþní matematice, ale ukazovala ji jako jednu z dĤležitých aplikací posloupností. Poþet úloh s finanþní tématikou byl pĜes celkovČ velmi malý rozsah vyložené látky uspokojivý.17 Úloha 2 Kolik musím ukládati poþátkem každého roku po 10 let, chci-li mít koncem 10. roku nastĜádáno 10 000 Kþ pĜi 2 % složeném úrokování? ([8], str. 21) Porovnáme-li uþební texty pro nižší roþníky stĜedních škol (napĜ. [1], [2], [3]) s touto uþebnicí pro gymnázia, zĜetelnČ vidíme nárĤst nárokĤ kladených na studenty. Zásadní rozdíl byl pĜedevším v délce a tématech slovních úloh a pojetí výkladu. PrĤmČrná délka textu slovních úloh se pohybovala kolem pČti ĜádkĤ, výjimkou nebyly úlohy s textem nad deset ĜádkĤ. Vždy byla podrobnČ popsána pĜevážnČ praktická situace, na niž mČl student aplikovat
16
Pováleþná uþebnice na rozdíl od pĜedcházející neobsahovala napĜíklad slovní úlohu o splácení dluhu NČmecka za škody zpĤsobené v první svČtové válce, v teoretické þásti nebyla uvedena srovnávací tabulka pĜiĜazení pojmĤ vČĜitel, dlužník, jistina, úrok termínĤm domácí, nájemník, byt, þinže. Velkou zmČnu zaznamenalo také znaþení kapitol a podkapitol. DĜívČjší uþebnice byla rozdČlena na šest paragrafĤ a þíslování podþástí bylo od jedniþky v prvním paragrafu až po osmatĜicítku v šestém paragrafu. NovČjší uþebnice znaþila kapitoly Ĝímskými þíslicemi a jejich þásti arabskými þíslicemi vždy od jedné. 17 O zmČnách výuky finanþní matematiky na našich stĜedních školách viz napĜ. [9], [10], [11].
184
své znalosti. „UmČlé“ úlohy byly zĜetelnČ v menšinČ. Ve výkladových þástech s Ĝadou komentovaných Ĝešených pĜíkladĤ se pracovalo s obecným vyjádĜením neznámé ze vzorce bez pĜedešlého dosazení þísel. ýíselné hodnoty se dosazovaly až v závČru. Výsledky úloh na procviþení si studenti mohli ovČĜit v závČreþném oddíle Výsledky. U slovních úloh byla dĤslednČ vyžadována odpovČć celou vČtou.
7 ZávČr PĜínos Eduarda ýecha k rozvoji matematiky pĜekroþil hranice našeho státu. Jeho odborné práce ovlivnily vývoj diferenciální geometrie a topologie, jeho uþebnice zanechaly podnČtné didaktické myšlenky pro další autory, jeho popularizaþní publikace pĜitáhly pozornost veĜejnosti.18 Jeho pĜíspČvek þeskoslovenské a svČtové matematice i jejímu vyuþování nelze ani dnes opomíjet.19 Literatura [1]
ýech E.: Aritmetika pro I. tĜídu stĜedních škol. 1. vydání, Knihtiskárny Prometheus, Praha, 1943, 114 stran.
[2]
ýech E.: Aritmetika pro II. tĜídu stĜedních škol. 1. vydání, Knihtiskárny Prometheus, Praha, 1943, 86 stran.
[3]
ýech E.: Aritmetika pro III. tĜídu stĜedních škol. 1. vydání, Knihtiskárny Prometheus, Praha, 1943, 91 stran.
[4]
ýech E. a kol.: Aritmetika pro první tĜídu stĜedních škol. 2. vydání, Státní nakladatelství uþebnic, Praha, 1951, 145 stran.
[5]
ýech E. a kol.: Aritmetika pro druhou tĜídu stĜedních škol. 2. vydání, Státní nakladatelství uþebnic, Praha, 1951, 132 stran.
[6]
ýech E. a kol.: Aritmetika pro tĜetí tĜídu stĜedních škol. 3. vydání, Státní nakladatelství uþebnic, Praha, 1951, 125 stran.
[7]
ýech E. a kol.: Aritmetika pro þtvrtou tĜídu stĜedních škol. 3. vydání, Státní nakladatelství uþebnic, Praha, 1951, 162 stran.
[8]
ýech E. a kol.: Matematika pro tĜetí tĜídu gymnasií. 1. vydání, Státní nakladatelství uþebnic, Praha, 1951, 178 stran.
[9]
Melcer M.: Financial Mathematics in Czech Education Systems in the 20th Century, pp. 43–48, in J. Šafránková and J. PavlĤ (editors): WDS’08, Proceedings of Contributed Papers, Part I: Mathematics and Computer Sciences, Matfyzpress, Praha, 2008, 245 pages.
18
Co je a naþ je vyšší matematika?, Cesty k vČdČní, Jednota þeskoslovenských matematikĤ a fyzikĤ, Praha, 20. svazek, 1. vydání, 1942, 126 stran, 26 obrázkĤ. Jméno Eduarda ýecha se nachází napĜíklad v rozsáhlé webové databázi Mathematics Genealogy Project, která zaznamenává posloupnosti školitelĤ, doktorandĤ a žákĤ, obhájených doktorských prací a základní údaje z profesní kariéry nejvýznamnČjších matematikĤ. V roce 1997 celosvČtový projekt založil Harry B. Coonce (nar. 1938), bývalý profesor matematiky na Minnesotské státní univerzitČ v MankatČ. ýechovo jméno nalezneme pod identifikaþním þíslem 13698. Viz http://www.genealogy.ams.org/. 19
185
[10]
Melcer M.: Pováleþná devastace finanþní matematiky, str. 151–155, in J. BeþváĜ, M. BeþváĜová (ed.): 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíþko, Matfyzpress, Praha, 2009, 244 stran.
[11]
Melcer M.: Postwar Devastation of Financial Mathematics, pp. 188–192, in J. Šafránková and J. PavlĤ (editors): WDS’09, Proceedings of Contributed Papers, Part I: Mathematics and Computer Sciences, Matfyzpress, Praha, 2009, 210 pages.
[12]
Wikipedie (OtevĜená encyklopedie): http://cs.wikipedia.org/wiki.
[13]
Wikipedia (The free encyclopedia): http://en.wikipedia.org/wiki.
[14]
Elektronický katalog Národní knihovny ýR: http://sigma.nkp.cz/cze/nkp.
Adresa Mgr. Martin Melcer Ústav jazykové a odborné pĜípravy Univerzita Karlova v Praze StĜedisko PodČbrady JiĜího námČstí 1/I 290 36 PodČbrady e-mail:
[email protected]
186
JAKUB FILIP KULIK V OLOMOUCI, ŠTÝRSKÉM HRADCI A PRAZE LUBOŠ MORAVEC Abstract: The main aim of the article is to map the life and teaching activities of Jakub Filip Kulik (1793–1863) in Olomouc, Graz and Prague. He came from Lviv, but since his 21 years he lived subsequently in these three cities and worked there as a university professor of mathematics, physics or astronomy.
1 PĜipomenutí osobnosti J. F. Kulika Jakub Filip Kulik se narodil 1. kvČtna 1793 v haliþském LvovČ, kde vystudoval gymnázium a filosofickou fakultu tamní univerzity. PĤsobil jako profesor matematiky, fyziky, resp. astronomie na vysokých školách v Olomouci, Štýrském Hradci a Praze. KromČ pedagogické þinnosti je znám rozsáhlou prací v teorii þísel, pĜedevším sestavováním rozliþných tabulek prvoþísel a dČlitelĤ. Jeho nejvČtším dílem z této oblasti je nedokonþený osmisvazkový rukopis tabulek nejmenších dČlitelĤ þísel od 3 033 001 do 100 330 201.1 VČnoval se také aplikované matematice; mezi jeho všeobecnČ známá díla patĜí i tisícileté kalendáĜe a matematické tabulky pro technickou praxi. Sepsal vysokoškolské uþebnice matematiky, resp. fyziky a práce s matematickou a fyzikální tématikou publikoval v dobových odborných þasopisech (napĜ. Zeitschrift für Physik und Mathematik nebo Abhandlungen der königlichen bömischen Gesellschaft der Wissenschaften).2
2 Olomouc Univerzita v Olomouci3 byla založena jako jezuitská kolej v roce 1566. Promoþní právo získala roku 1573, výuka na filosofické fakultČ4 zaþala roku 1576. Škola pokraþovala v þinnosti i po zrušení jezuitského Ĝádu, avšak pouze do roku 1778, kdy byla pĜeložena do Brna. Po pČti letech byla navrácena do Olomouce, ovšem byla omezena na lyceum5 bez možnosti udČlovat hodnost magistra. Jako Ĝádná a plnohodnotná univerzita byla obnovena až roku 1827.
1 Rukopis Magnus Canon divisorum pro omnibus numeris per 2, 3 et 5 non divisibilibus et numerorum primorum interjacentium ad milies centena milia je uložen v Archivu Akademie vČd ve Vídni. Více viz [6, 11]. 2 PodrobnČji o KulikovČ životČ a díle viz [7, 8]. 3 Souþasná Univerzita Palackého v Olomouci. Základní informace o historii samotné univerzity a podrobný popis výuky matematiky lze najít v [9]. 4 Matematika byla vyuþována právČ na filosofických fakultách; studium na nich bylo chápáno jako pĜíprava pro postup na další fakulty. Souþástí povinné výuky byl obvykle kurz elementární matematiky. 5 CísaĜ Josef II. v rámci reformy univerzitního školství ponechal v monarchii jen tĜi univerzity – ve Vídni, v Praze a ve LvovČ.
187
Na poþátku 19. století vyuþoval v Olomouci matematiku Franz Konrad Bartl,6 který na tamní univerzitČ pĤsobil až do své smrti roku 1813. Po roce 1805 pĜednášel latinsky v prvním roþníku elementární a aplikovanou matematiku (9 hodin týdnČ), ve druhém pak pouze aplikovanou matematiku (4 hodiny týdnČ). Jako základní studijní literaturu doporuþoval Wolffovy uþebnice7 a své vlastní spisy. Po jeho smrti byla výuka matematiky dva roky suplována. Roku 1814 byl vypsán konkurz na místo profesora elementární matematiky v Olomouci. Jakub Filip Kulik tehdy na pĜání otce studoval práva ve LvovČ. Jeho velkou zálibou však byla matematika a na tento konkurz se bez vČdomí otce pĜihlásil. I pĜes svĤj velmi nízký vČk projevil nejlepší kvalifikaci a konkurz vyhrál. Dne 14. listopadu 1814 byl ustanoven Ĝádným profesorem elementární matematiky. Studium práv proto nedokonþil. PĜednášet zaþal až v akademickém roce 1815/1816. Vedl latinské pĜednášky z elementární matematiky v rozsahu 7 hodin týdnČ; doporuþoval Appeltauerovu uþebnici8 a své vlastní poznámky. KromČ tohoto povinného kurzu plánoval také tĜíletý kurz volných pĜednášek z vyšší a aplikované matematiky, jehož souþástí mČla být vyšší analýza, aplikace matematiky v mechanice nebo astronomii a historie matematiky. Vzhledem k tomu, že pĤsobil v Olomouci pouze jeden rok, byl z nČj realizován pravdČpodobnČ jen první roþník v rozsahu šesti hodin týdnČ. V letním semestru se J. F. Kulik podílel také na výuce užívání praktických geometrických nástrojĤ pĜi astronomickém pozorování. KromČ výuky se vČnoval i dalším aktivitám vþetnČ takových, které nemČly žádnou pĜímou souvislost s matematikou. VytvoĜil napĜíklad systematický soupis lastur vlastnČných filosofickou fakultou.9 Po jediném roce výuky J. F. Kulik Olomouc opustil a odešel na lyceum do Štýrského Hradce. Jeho nástupcem se po krátkém suplování stal Joannes Fuchs.10 DĤvody jeho krátkého olomouckého pobytu nejsou zatím z dochovaných archívních materiálĤ dobĜe rekonstruovatelné.
6
Franz Konrad Bartl (1750–1813) byl pražský matematik a fyzik, autor nČkolika uþebnic matematiky a fyziky. V letech 1779 až 1782 pĤsobil jako mimoĜádný profesor elementární matematiky na pražské univerzitČ, poté odešel do Olomouce, kde na postu profesora elementární a aplikované matematiky setrval až do své smrti. Více viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Franz_Konrad_Bartl. 7 Wolff Ch.: Anfangsgründe aller mathematischen Wissenschaften. Frankfurt und Leipzig, 1750. Christian Wolff (1679–1754) byl slavný nČmecký filosof. PĤsobil jako soukromý docent na univerzitČ v Lipsku (1703 až 1706) a jako profesor matematiky a pĜírodní filosofie na univerzitách v Halle (1706 až 1723, 1743 až 1754) a v Marburgu (1723 až 1743). Více viz http://de.wikipedia.org/wiki/Christian_Wolff_(Universalgelehrter). 8 Appeltauer I.: Elementorum matheseos pureo. Vindobona et Trieste, 1814–1817, 344 + 414 stran. Ignaz Appeltauer, též uvádČný jako Appeltaner, (1769–1829) byl profesorem matematiky na vídeĖské univerzitČ. Více viz Poggendorff J. C.: Biographisch-Literarisches Handwörterbuch der exakten Naturwissenschaften. Band I, Leipzig, 1863, str. 53. 9 Kulik J. Ph.: Die Conchylien-Sammlung der philosphischen Facultaet an dem k. k. Lyceum in Olmütz in einem systematischen Verzeichnisse. Olmütz, 1816. 10 Joannes Fuchs, též uvádČný jako Johann Fux, (1785–1848) byl rakouský piarista, který pĤsobil nejprve jako stĜedoškolský uþitel. PĜed pĜíchodem do Olomouce, kde setrval až do své smrti, byl profesorem filosofie na univerzitČ v ýernovicích (1815 až 1818). Mimo jiné pĜeložil Appeltauerovu uþebnici Elementorum matheseos pureo (Appeltauer I.: Elementar-Mathematik. Wien und Triest, 1825). Více viz [9].
188
3 Štýrský Hradec Univerzita ve Štýrském Hradci11 byla založena roku 1585 rakouským arcivévodou Karlem II. V roce 1782 byla stejnČ jako olomoucká univerzita transformována na pouhé lyceum. Status Ĝádné univerzity jí byl navrácen až roku 1827 císaĜem Františkem I. Fyziku a aplikovanou matematiku na zdejší filosofické fakultČ od roku 1806 vyuþoval Johann Philipp Neumann,12 který pĜednášky vedl podle vlastní uþebnice.13 Po jeho odchodu pĜišel na místo profesora fyziky a aplikované matematiky J. F. Kulik. První pĜednášky vedl v akademickém roce 1816/1817; jako literaturu k nim doporuþoval Döttlerovu uþebnici.14 Po dobu jeho výuky patrnČ nedocházelo k vČtším zmČnám, a tak výše uvedenou knihu používal témČĜ do konce svého pĤsobení na štýrskohradeckém lyceu, pouze ji postupnČ doplĖoval vlastními poznámkami. V posledním roce své výuky (1825/1826) však v seznamu pĜednášek15 uvedl novČ vydanou tĜídílnou Baugartnerovu knihu nazvanou Naturlehre.16 Od roku 1817/1818 J. F. Kulik pĜednášel astronomii také na štýrskohradeckém Joanneu.17 Na této technické škole byl nejspíše jejím prvním vyuþujícím. Kurzy vedl podle Bohnenbergerovy Astronomie.18 J. F. Kulik ve Štýrském Hradci v roce 1822 pĜedložil disertaþní práci De phaenomenis Iridis – þistČ fyzikální pojednání vČnované problematice duhy. Toto téma bylo þasté ve vČdeckých pracích vzniklých na jezuitských univerzitách v 17. a 18. století.19 Je pravdČpodobné, že na nČ J. F. Kulik navazoval. Za práci získal doktorát filosofie. PlnČ se mu tak otevĜel prostor k další akademické kariéĜe, neboĢ již v následujícím akademickém roce 1822/23 byl zvolen rektorem filosofické fakulty lycea.
11
Souþasná Karl-Franzens-Universität Graz, více o historii viz http://de.wikipedia.org/wiki/Universität_Graz a http://www.uni-graz.at/. 12 Johann Philipp Neumann (1774–1849) byl rakouský fyzik a básník narozený v TĜebíþi. Ze Štýrského Hradce odešel na vídeĖskou polytechniku, kde pĤsobil jako profesor (1815 až 1845) a knihovník (1816 až 1843). Více viz http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Philipp_Neumann. 13 Neumann J. Ph.: Compendiaria Physicae Institutio. Graecii, 1808. 14 Döttler R.: Elementa Physicae mathematico-experimentalis in usum auditorum suorum conscripta. Vindobona, 1815, 529 stran. Remigius Döttler (1748–1812) byl rakouský piarista, pĤsobil jako profesor fyziky na vídeĖské univerzitČ. Více viz Poggendorff J. C.: Biographisch-Literarisches Handwörterbuch der exakten Naturwissenschaften. Band I., Leipzig, 1863, str. 586. 15 Seznam pĜednášek a další informace o historii výuky matematiky a fyziky viz [15]. 16 Baumgartner A.: Die Naturlehre nach ihrem gegenwärtigen Zustande, mit Rücksicht auf mathematische Begründung. Wien, 1824. Andreas von Baumgartner (1793–1865) byl rakouský fyzik a politik. V letech 1817 až 1823 pĤsobil jako profesor fyziky na lyceu v Olomouci, od roku 1823 uþil fyziku a aplikovanou matematiku na univerzitČ ve Vídni. Po roce 1833 se musel kvĤli onemocnČní krku univerzitní výuky vzdát a pracoval na Ĝeditelských postech v nČkolika podnicích. Roku 1848 byl jmenován ministrem hornictví a veĜejných prací, þímž byla nastartována jeho politická kariéra. Více viz http://de.wikipedia.org/wiki/Andreas_von_Baumgartner. 17 Dnešní Technische Universität Graz byla založena jako technická škola roku 1811 arcivévodou Johannem. Výuka zpoþátku zahrnovala fyziku, chemii, astronomii, mineralogii, botaniku a technologii. PostupnČ byly pĜidávány další obory. Více viz http://de.wikipedia.org/wiki/Technische_Universität_Graz#Geschichte. 18 Bohnenberger J.: Astronomie. Tübingen, 1811, 710 stran. Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger (1765–1831) byl v letech 1798 až 1831 profesorem matematiky a astronomie na univerzitČ v Tübingenu. Více viz http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Gottlieb_Friedrich_von_Bohnenberger. 19 Tématu se vČnovali napĜíklad Baltasar Conradus nebo Jan Nepomuk Polanský. PodrobnČji o historii optiky na jezuitských školách viz http://www.jcmf.cz/lib/i_hopto.html#kap211b.
189
Obr. 1: Ukázka z Kulikovy disertaþní práce BČhem svého pobytu ve Štýrském Hradci se J. F. Kulik stal velmi oblíbeným uþitelem a zaþal zde také publikovat své první práce,20 pĜesto roku 1826 odešel do Prahy. Jeho nástupcem na lyceu byl jmenován Ferdinand Hessler,21 který zde nejprve pĤsobil jako suplent, pozdČji jako Ĝádný profesor.
4 Praha – první období (1826 až 1849) Pražskou univerzitu není nutné pĜedstavovat. Její filosofická fakulta mČla na poþátku 19. století dvČ matematické stolice – stolici elementární matematiky a stolici vyšší matematiky. Stolice elementární matematiky zajišĢovala výuku základního kurzu, který byl povinný pro všechny studenty. Jeho cílem bylo doplnČní, prohloubení, upevnČní a rozšíĜení stĜedoškolských znalostí studentĤ. Úkolem stolice vyšší matematiky bylo vypisovat volné (nepovinné) pĜednášky z pokroþilejších partií matematiky, které sloužily k rozšíĜení znalostí studentĤ a jako pĜíprava pro studium mechaniky, astronomie apod. Stolici elementární matematiky vedl od roku 1805 profesor Josef Ladislav Jandera.22 Na stolici vyšší matematiky pĤsobil František Josef Gerstner.23 Jeho 20
V letech 1817 až 1826 publikoval šest monografií (pĜedevším rozliþné matematické tabulky) a dva odborné þlánky pojednávající o fyzikální problémech v hodináĜství a v kávovarnictví. 21 Ferdinand Hessler (1803–1865) byl v letech 1826 až 1835 profesorem fyziky a aplikované matematiky na štýrskohradeckém lyceu, v letech 1835 až 1844 na univerzitČ v Praze a roku 1844 se stal profesorem fyziky na vídeĖské polytechnice, kde pĤsobil až do své smrti. Více viz [10]. 22 Josef Ladislav Jandera (1776–1857) byl þeský matematik a knČz (pĜíslušník premonstrátského Ĝádu). Bývá oceĖován pĜedevším pro svou dlouholetou pedagogickou þinnost na pražské univerzitČ (v letech 1803 až 1805
190
pĜednášky tvoĜily tĜíletý kurz, v nČmž byla probírána vyšší analýza, mechanika i hydraulika. Jeho obdobu chtČl J. F. Kulik realizovat již pĜi svém pĤsobení v Olomouci. Po GerstnerovČ odchodu, který zapĜíþinil jeho zhoršující se zdravotní stav, tuto stolici od roku 1823 nejprve suplovali Franz Kržiþ a Franz Xaver Moth,24 roku 1826 na ni nastoupil J. F. Kulik. J. F. Kulik zaþal na pražské univerzitČ uþit od akademického roku 1826/1827. Kurz vyšší matematiky omezil na dvouletý; pro oba roþníky pĜednášel nČmecky tĜi hodiny týdnČ25 v zimním i letním semestru. Tuto podobu lekcí zachoval až do roku 1848/1849. Výuka na univerzitách byla tehdy totiž svázána pĜísnými pĜedpisy, a tak J. F. Kulik nemohl provádČt zásadnČjší zmČny bez souhlasu z VídnČ. V prĤbČhu let alespoĖ postupnČ inovoval doporuþovanou literaturu. Nejprve v seznamech pĜednášek [12,13] uvádČl Ettingshausenovu dvoudílnou uþebnici26 – první díl pro první roþník, druhý díl pro druhý roþník. Tato kniha mu zĜejmČ pĜíliš nevyhovovala, protože již roku 1831 vydal první vydání své uþebnice Lehrbuch der höheren Analysis [5]. OficiálnČ doporuþenou pro první roþník se tato kniha stala až od akademického roku 1839/1840 (asi vlivem dlouhého schvalování ve Vídni). Je však pravdČpodobné, že ji doporuþoval studentĤm již dĜíve. Tato témČĜ pČtisetstránková uþebnice, rozdČlená na þtyĜi základní kapitoly (Metoda neurþitých koeficientĤ, Diferenciální a integrální poþet, KĜivky jednoduché kĜivosti, KĜivky a plochy dvojí kĜivosti) však byla po oficiálním schválení doporuþena pouze þtyĜi roky. V roce 1839/1840 se v seznamu pĜednášek objevila nová uþebnice pro druhý roþník pĜednášek z vyšší matematiky. Jednalo se o druhý díl Poissonovy knihy Lehrbuch der Mechanik,27 i ona byla používána jen následující þtyĜi roky. K další zmČnČ v doporuþované literatuĜe došlo v akademickém roce 1843/1844, v jehož prĤbČhu vyšly dvČ Kulikovy knihy – druhé vydání vyšší analýzy [5] a nová uþebnice vyšší mechaniky [4]. Již v tomto akademickém roce byly obČ uvedeny v seznamu pĜednášek jako základní literatura. suplent, v letech 1805 až 1857 profesor elementární matematiky). Více viz Otavová M.: Ladislav Jandera – souþasník Bernarda Bolzana. In BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed.): 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2009, str. 164–166. 23 František Josef Gerstner (1756–1832) byl þeský matematik a fyzik. PĤsobil jako profesor vyšší matematiky na pražské univerzitČ (1787 až 1822) a na polytechnickém ústavu v Praze (1806 až 1832), jehož byl Ĝeditelem a zároveĖ na nČm pĜednášel mechaniku a hydrauliku. Na poþátku 19. století se podílel na reorganizaci rakouského technického školství. Více viz [10] a http://cs.wikipedia.org/wiki/František_Josef_Gerstner. 24 Franz Xaver Moth (1802–1879) pracoval jako stĜedoškolský profesor v Dolním Rakousku, v letech 1849 až 1879 byl profesorem elementární matematiky na univerzitČ ve Vídni. VČnoval se pĜedevším diferenciálnímu poþtu. Více viz [10]. 25 Výjimku tvoĜily roky 1827/1828 a 1828/1829, kdy byla pĜednáška pro první roþník dotována þtyĜmi hodinami týdnČ. 26 Ettingshausen A.: Vorlesungen über die höhere Matematik. Wien, 1827, 443 + 240. Andreas von Ettingshausen (1796–1878) byl profesorem fyziky na univerzitČ v Insbrucku a pozdČji pĜednášel vyšší matematiku na vídeĖské univerzitČ. Více viz Würzbach C.: Biographisches Lexikon des Kaiserthurms Oesterreich. Band IV, Wien, 1858, str. 109–110. 27 Poisson S. D.: Lehrbuch der Mechanik. II. Theil, Berlin, 1836, 603 stran. Siméon Denis Poisson (1781–1840) byl významný francouzský matematik, fyzik a geometr. Od roku 1802 pĤsobil jako suplent na École Polytechnique; roku 1806 se zde stal profesorem – nástupcem Jeana Baptiste Josepha Fouriera (1768–1830), kterého Napoleon Bonaparte odeslal do Grenoblu. Více viz http://en.wikipedia.org/wiki/Siméon_Denis_Poisson.
191
Obr. 2: Titulní listy obou vydání Kulikovy analýzy Druhé vydání analýzy J. F. Kulik znaþnČ rozšíĜil – uþebnici rozdČlil do dvou témČĜ þtyĜsetstránkových svazkĤ (Lehrbuch der höheren Arithmetik und Algebra a Die Integralrechnung und die analytische Geometrie). První svazek obsahoval tĜi základní kapitoly. V první – Aritmetika – pĜipomnČl základy aritmetiky, vyložil dČlitelnost, ĜetČzové zlomky, mocniny a odmocniny, binomickou vČtu a logaritmy. Druhou kapitolu pojmenoval Algebra a zmínil v ní práci s polynomy, Fermatovu vČtu, primitivní koĜeny polynomĤ, Ĝešení rovnic (vþetnČ rovnic vyšších ĜádĤ) a aritmetické i geometrické posloupnosti. Poslední kapitolu prvního svazku nazvanou Algebraická analýza vČnoval funkcím – vyložil zde metodu neurþitých koeficientĤ, goniometrické funkce, diferenciální poþet, Taylorovu vČtu a numerické metody Ĝešení rovnic. Druhý svazek rozdČlil také na tĜi základní kapitoly. První z nich, která je celkovČ oznaþována jako þtvrtá, je nazvána Integrální poþet. Byl v ní výklad od elementárních integrálĤ až k integrování diferenciálních rovnic. Následující kapitola Rovinná geometrie obsahovala kromČ úplných základĤ (napĜ. urþování teþen) také problematiku kĜivek druhých i vyšších stupĖĤ (kardioida, konchoida, logaritmická spirála, epicykloida atd.). Poslední kapitola dvousvazkového díla nazvaná Geometrie v prostoru pojednávala o sférické trigonometrii vþetnČ jejího použití v astronomii þi geografii, o plochách prvního a druhého stupnČ, o kĜivkách dvojí kĜivosti, o objemech tČles a variaþním poþtu.
192
J. F. Kulik v pĜedmluvČ pĜedeslal, že uþebnice má sloužit pĜedevším k pĜípravČ na další studium matematiky. Jejím cílem tedy nebylo ani peþlivČ vyložit nejnovČjší poznatky, ani pĜedvést dĤslednou výstavbu matematiky, proto zĤstala na úrovni Eulerových kompendií. Nové poznatky zaĜazovala nesystematicky a zĜídka, mnohdy navíc nepĜíliš pĜesnČ. I pĜesto lze podle poþtu doposud zachovaných výtiskĤ soudit, že se jednalo o pomČrnČ rozšíĜenou a mezi studenty oblíbenou knihu.
Obr. 3: Kulikova uþebnice vyšší mechaniky
193
Ve vyšší mechanice [4] shrnul své poznatky a zkušenosti z témČĜ dvaceti let univerzitních pĜednášek. Vyložil statiku pevných tČles, dynamiku, hydrostatiku, hydrodynamiku a hydrauliku. Jednotlivá témata doplnil aplikacemi a ukázkami z praxe. V letech 1837/1838, 1838/1839 a 1845/1846 J. F. Kulik suploval na univerzitČ také výuku teoretické a praktické astronomie. Její þasová dotace byla nejprve þtyĜi hodiny týdnČ, v roce 1845/46 už jen dvČ hodiny týdnČ. PĜednášel podle tĜídílné Schubertovy uþebnice.28 KromČ výuky pĤsobil na univerzitČ také v akademických funkcích, napĜíklad roku 1829 byl dČkanem filosofické fakulty. J. F. Kulik se nevČnoval jen výuce a odborné práci, velké zmČny se udály v jeho osobním životČ. Dne 4. listopadu 1828 se ve LvovČ oženil s dcerou zámožného lvovského obþana KateĜinou Deglovou (1809–1883). V roce 1837 se mu narodil syn Justin, který se pozdČji stal významným pražským právníkem. O þtyĜi roky pozdČji pĜišla na svČt i dcera Angela, jež se pozdČji provdala za rytíĜe Antonína Randu, známého profesora obþanského práva na pražské univerzitČ (více viz [3]). Díky jeho rodinČ byla zachována þást Kulikovy korespondence [16]. V dobČ pražského pĤsobení se J. F. Kulik vČnoval samozĜejmČ i vČdecké práci. Publikoval nČkolik knih a odborných þlánkĤ29 a aktivnČ pracoval také v Královské þeské spoleþnosti nauk. Roku 1831 se stal jejím mimoĜádným a o rok pozdČji Ĝádným þlenem. PĜi zasedáních matematické sekce pĜednesl nČkolik pĜíspČvkĤ na téma teorie þísel. Zastával v ní také rĤzné funkce – v letech 1833 až 1840 byl knihovníkem, roku 1837 direktorem a v letech 1840 až 1841 jednatelem matematického odboru.
5 Praha – druhé období (1849 až 1863) Reforma školství z let 1848 až 1849 zmČnila pomČry i na pražské univerzitČ (více viz [1]). RozšíĜení výuky matematiky na stĜedních školách umožnilo zrušit univerzitní kurz elementární matematiky. Filosofická fakulta tak získala dvČ rovnocenné stolice matematiky. Profesor J. L. Jandera novČ vypisoval výbČrové pĜednášky na nejrĤznČjší témata (i pĜesto, že byl již v penzi). Po roce 1850 pĜišel na Janderovu stolici nový profesor Wilhelm Matzka.30 Nové pĜedpisy pĜinesly svobodu v pĜednášení; výuka matematiky se znaþnČ rozšíĜila, a to jak z hlediska þasové dotace, tak okruhem a náplní probíraných témat. J. F. Kulik vedl matematicky a fyzikálnČ zamČĜené pĜednášky v celkovém rozsahu 4 až 10 hodin týdnČ. V každém semestru vypisoval kurzy zamČĜené na
28
Schubert F. T.: Theoretische Astronomie. Petersburg, 1798. Friedrich Theodor von Schubert (1758–1825) byl od roku 1785 astronomem na Akademii vČd v PetrohradČ. Napsal Ĝadu spisĤ o astronomii. Více viz http://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Theodor_von_Schubert. 29 V letech 1827 až 1849 publikoval sedm matematických, resp. fyzikálních monografií a devČt odborných þlánkĤ pojednávajících vČtšinou o teorii þísel nebo vyšší geometrii. 30 Wilhelm Matzka (1798–1891) byl dČlostĜelcem rakouské armády a profesorem matematiky na sborové škole ve Vídni, na lyceu v Tarnovu, na pražské technice a nakonec na pražské univerzitČ. Více viz Chocholová M.: Wilhelm Matzka (1798–1891) a jeho práce z teorie determinantĤ. In: BeþváĜová M. (ed.): 28. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2007, str. 41–44.
194
nČkolik rĤzných témat. Jeho zábČr byl široký – diferenciální a integrální poþet, vyšší analýza, vyšší geometrie, teorie rovnic vyšších stupĖĤ, vyšší mechanika a hydrodynamika vþetnČ aplikací, astronomie, ale také chronologie þi témata související s historií matematiky. V seznamech pĜednášek pražské filosofické fakulty nalezneme v daném období nČkolik zajímavostí. NapĜíklad v akademickém roce 1851/1852 J. F. Kulik vedl praktické cviþení z astronomie – pozorování hvČzd na noþní obloze. PĜestože v Praze po celou dobu svého pĤsobení pĜednášel nČmecky, v akademickém roce 1853/1854 mČl dva kurzy vyuþované v latinČ. Zvláštní byl i rok 1855/1856, kdy ze zatím nezjištČných pĜíþin vĤbec neuþil v letním Obr. 4: Jakub Filip Kulik ve vyšším vČku. Z rodinného archivu semestru. V zimním semestru roku 1862/63 mČl vypsánu pouze jedinou tĜíhodinovou pĜednášku z vyšší analýzy. Tentokrát bylo pravdČpodobným dĤvodem onemocnČní, neboĢ dne 28. února 1863 ve vČku 69 let J. F. Kulik zemĜel. Zda a v jakém rozsahu zimní semestr oduþil, zĤstává zatím otázkou. Stolici vyšší matematiky po jeho úmrtí pĜevzal Karl Hornstein.31 I po roce 1849 se J. F. Kulik nevČnoval pouze pedagogické þinnosti. Nadále se angažoval v Královské þeské spoleþnosti nauk, a to nejen jako Ĝadový þlen. Roku 1860 byl opČt direktorem a v letech 1861 až 1863 pokladníkem. Stal se také velkým podporovatelem studentského Spolku pro volné pĜednášky z matematiky a fysiky, z nČhož roku 1869 vznikla Jednota þeských mathematikĤ. TČsnČ pĜed smrtí mu 31 Karl Hornstein (1824–1882) byl astronom a pedagog. PĤsobil na hvČzdárnách ve Vídni a v KrakovČ, vyuþoval na gymnáziu ve Vídni a pozdČji se stal profesorem matematiky nejprve ve Štýrském Hradci a následnČ na pražské univerzitČ, kde pĜednášel pĜedevším astronomii. Od roku 1867 byl Ĝeditelem hvČzdárny v Klementinu. Více viz [10].
195
odkázal vČtšinu své soukromé odborné knihovny. Jednalo se o témČĜ 800 svazkĤ a jeho knihovna se tak stala dobrým základem budoucí knihovny Jednoty. V souþasnosti jsou Kulikovy knihy souþástí fondu Knihovny Matematického ústavu Akademie vČd ýeské republiky. V nČm lze nalézt také záznam Kulikových pĜednášek z mechaniky vedených v akademickém roce 1840/1841, které zapsal Václav Šimerka.32
Obr. 5: ŠimerkĤv zápis Kulikovy vyšší mechaniky
6 ZávČr I pĜesto, že je všeobecnČ známa jen Kulikova práce z teorie þísel, výše uvedené informace ukazují, že byl i významným pedagogem, který ovlivnil mnoho studentĤ– matematikĤ i nematematikĤ na školách ve Štýrském Hradci a v Praze. PatĜil ke vstĜícným a oblíbeným uþitelĤm, na nČž studenti rádi vzpomínali. Uvećme vzpomínku profesora Gabriela Blažka [14]:33 Jakub Filip Kulik byl v té dobČ již staĜiþkým pánem, hubené, kostnaté postavy a nápadnČ zapadlých lící. PĜednášel tĜikráte týdnČ obden po dvou hodinách, od 9–11
32
Václav Šimerka (1819–1887) byl þeský katolický knČz a uþitel matematiky, který v letech 1853 až 1862 vyuþoval na gymnáziu v ýeských BudČjovicích a pozdČji pĤsobil jako faráĜ na rĤzných místech v ýechách. Sepsal nČkolik uþebnic a odborných prací. Více viz [10]. 33 Gabriel Blažek (1842–1910) byl þeský matematik a politik. V roce 1864 se stal asistentem profesora Andrease von Ettingshausena; od roku 1866 byl mimoĜádným a v letech 1871 až 1907 Ĝádným profesorem matematiky na pražské polytechnice. PatĜil k zakladatelĤm Spolku pro volné pĜednášky z matematiky a fyziky. Více viz [1, 2] a http://cs.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Blažek.
196
hodin dopoledne, a sice od 9–10 hodiny úvod do vyšší analyse a do poþtu differenciálního a integrálního, od 10–11 hodiny nČkterou partii vyšší mechaniky na základČ vyšší analyse. Vykládal doslovnČ podle svých knih, jež s nevšední liberálností darovával každému ze svých posluchaþĤ, ovšem i leckterému, jenž toho nebyl valnČ hoden, neboĢ u antikváĜĤ Kulikových knih se jen hemžilo. PĜednášel velmi rychle, což seznati lze již z toho, že týdnČ 3hodinnou pĜednáškou vyþerpal celý poþet differenciální a integrální za zimní semestr. ěídil se dle staré školy, nenávidČl differenciální pomČry a tvoĜil radČji differenciály. Kulik mluvil polským pĜízvukem, vyslovuje k a q velmi tvrdČ a ostĜe. Nullu jmenoval pravidelnČ zéro. Co typická postava pražská zamyšlenČ kráþel obden k desáté hodinČ z Vodiþkovy ulice Husovou tĜídou ku Klementinu, pojídaje pĤl housky po cestČ; druhou polovici požil v pĜestávce mezi první a druhou svou pĜednáškou. Byl v literatuĜe mathematické velmi obeznalý, ve styku s posluchaþi velmi vlídný a zdvoĜilý, aþ tČchto stykĤ nevyhledával. Jeho výklady netČšily se té pozornosti, jíž by byly zasluhovaly, ponČvadž Kulik zkušebním komisaĜem nebyl. Velmi mile byl spolek pĜekvapen, když spolku neoþekávanČ daroval velkou þást své knihovny. Když záhy po tomto velkomyslném daru Kulik zemĜel, všichni jsme byli pĜesvČdþeni, že toliko v pĜedtuše blížícího se konce rozlouþil se s milými družkami svých studií. VdČþnČ jsme nesli jeho tČlesné pozĤstatky z bytu ve VodiþkovČ ulici skrz Klementinum pĜes KarlĤv most až k Újezdské bránČ.
Literatura [1] BeþváĜová M.: ýeská matematická komunita v letech 1848 až 1918. DČjiny matematiky 34, Matfyzpress, Praha, 2008. [2] BeþváĜová M.: Z historie Jednoty 1862–1869. DČjiny matematiky 13, Prometheus, Praha 1999. [3] Klika J.: Rod JUDr. Antonína rytíĜe Randy a Dr. mont. h. c. Otokara rytíĜe KrulišeRandy. I. Rodopisná galerie, PĜíloha þasopisu Rodové spoleþnosti v Praze, Praha, 1940, str. 23–24. [4] Kulik J. Ph.: Anfangsgründe der höheren Mechanik. Friedrich Fleischer und Kronberger und Rziwnass, Leipzig und Prag, 1844–1846, 751 stran. [5] Kulik J. Ph.: Lehrbuch der höheren Analysis. Kronberger und Weber, Prag, 1831, 470 stran. 2. rozšíĜené vydání, Kronberger und Rziwnass, Prag, 1843, 390 + 399 stran. [6] Moravec L.: Jakub Filip Kulik a jeho tabulky. Sborník z 18. semináĜe Moderní matematické metody v inženýrství, Ostrava, 2009, str. 156–160. [7] Moravec L.: Jakub Filip Kulik – Life and Work. In Šafránková J., PavlĤ J. (ed.), WDS'09, Prag, 2009, Part I, str. 182–187. [8] Moravec L.: Seznámení s Jakubem Filipem Kulikem. In BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed.), 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2009, str. 156– 163.
197
[9] NavaĜíková L.: Historie http://navarikp.sweb.cz.
matematiky
na
olomoucké
univerzitČ.
[online]
[10] Nový L. a kol.: DČjiny exaktních vČd v þeských zemích do 19. století. ýSAV, Praha, 1961. [11] Nový L.: On Kulik's Tables of Divisors. Acta historiae rerum naturalium necnon technicarum, Special Issue 16, Praha, 1981, str. 327–343. [12] Ordnung der Vorlesungen an der k. k. Universität zu Prag. Prag, 1850, ..., 1863. [13] Personalstandt der k. k. Universität zu Prag. Prag, 1827, ..., 1852. [14] Posejpal V.: DČjepis Jednoty ýeských mathematikĤ. Praha, 1912. [15] Rumpf K. K. M.: Von Naturbeobachtungen zur Nanophysik. Publikationen aus dem Archiv der Universität Graz, Akademische Druck- u. Verlagsanstalt, Graz, 2003. [16] Škába K.: Odborná pozĤstalost a korespondence prof. Dra Antonína Randy a korespondence jeho rodiny. Grafika, PlzeĖ, 1934.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky a v rámci projektu Specifického vysokoškolského výzkumu 2010-261 315.
Adresa Mgr. Luboš Moravec Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected]
198
LADISLAV JANDERA A PċSTOVÁNÍ POýETNÍ ZDATNOSTI NA PRAŽSKÉ UNIVERSITċ MIROSLAVA OTAVOVÁ Abstract: L. Jandera, the definitive professor at the Prague University in years 1805 – 1857, follower of Stanislav Vydra and head of the department of elementary mathematics. The Latin textbook Prima calculi exponentialis elementa, published in 1812, illustrates his accent to computational algorithms and precision explanation with exact definition of mathematical concepts.
1
Výuka matematiky na pražské universitČ v 1. polovinČ 19. století
NejvýznamnČjší matematik, který pĤsobil v ýechách v první polovinČ 19. století, je bezesporu Bernard Bolzano (1781–1848). Jeho dílo však vešlo do povČdomí evropské odborné veĜejnosti až s velkým zpoždČním a ani v ýechách mimo úzký okruh Bolzanových soukromých žákĤ nebylo pĜíliš známé. Urþující vliv na šíĜení matematického vzdČlání mČla samozĜejmČ universita, kde byla matematika zaĜazena do povinného programu 1. roþníku studia na filosofické fakultČ. Osobností, která representuje výuku matematiky v tomto období, je Ladislav Josef Jandera. Pokud je dnes pĜi studiu matematiky jeho jméno vĤbec zmínČno, pak v jediné souvislosti – Jandera je ten, jemuž pĜi obsazování Vydrovou smrtí uvolnČné katedry matematiky byla dána pĜednost pĜed Bolzanem. Už tato samotná informace nestaví Janderu do pĜíznivého svČtla a mĤže být pĜi neznalosti dobového kontextu vykládána jako jedna z mnoha kĜivd zpĤsobených Bolzanovi bČhem jeho universitního pĤsobení. I když zvláštČ z našeho þasového horizontu je srovnání Janderova a Bolzanova pĜínosu pro rozvoj matematiky mimo diskusi, je na místČ zaujmout stanovisko oproštČné od apriorních klišé. Josef Jandera, vrstevník a pĜítel BolzanĤv, se narodil roku 1776 v HoĜicích v Podkrkonoší. Po absolvování gymnasia v Hradci Králové studoval filosofii a teologii na pražské universitČ. Velký vliv na nČj mČl jeho i BolzanĤv uþitel matematiky Stanislav Vydra. V roce 1800 Jandera vstoupil do premonstrátského kláštera na StrahovČ (od té doby užívá Ĝeholní jméno Ladislav) a krátce na to pĜijal knČžské svČcení. Premonstrátský Ĝád v celé své historii klade dĤraz na intelektuální aktivity, vČdeckou þinnost a výuku na školách. Svým þlenĤm pĜitom zajišĢuje nejen materiální zajištČní, ale i záštitu instituce. Jandera proto i nadále pokraþoval ve studiu matematiky a po složení rigorosa se r. 1804 stal doktorem filosofie. Po VydrovČ smrti si oba pĜátelé podali žádost o katedru matematiky, Bolzano se navíc hlásil i na novČ ustavenou stolici teologie urþenou pro výuku náboženství studentĤ filosofické fakulty. (Katedra pro pokroþilé studium na teologické fakultČ samozĜejmČ existovala na universitČ už od jejího založení.) Na tomto místČ je vhodné pĜipomenout, že od poslední tĜetiny 18. století byly na pražské universitČ dvČ katedry matematiky – elementární a vyšší. Katedru vyšší matematiky v letech 1788 až 1823 držel F. J. Gerstner, jeho pĜednášky v té dobČ zapisovalo kolem 10 posluchaþĤ roþnČ, menší þást tvoĜili studenti university, vČtšinou se jednalo o zájemce z polytech-
199
niky. Úkolem držitele katedry elementární matematiky byla výuka matematiky v 1. roþníku filosofického studia (tzv. logika). Jednalo se tedy o pĜednášku masovou, která pĜedstavovala pro uþitele znaþné þasové zatížení. V letech 1772 až 1804 zde pĤsobil Stanislav Vydra. PrávČ na tuto katedru se hlásili Jandera s Bolzanem. Komise hodnotila oba uchazeþe jako zpĤsobilé, Ĝádným profesorem matematiky byl jmenován díky pĜedchozí pedagogické praxi 29letý Jandera, o 5 let mladší Bolzano získal katedru náboženství.
2
Janderovo uþitelské pĤsobení
Vzhledem k urþení katedry elementární matematiky, jejíž pĜednášky zapisovalo roþnČ v prĤmČru 300 studentĤ (absolvování kursu bylo povinné i pro posluchaþe, kteĜí plánovali studium na právnické, lékaĜské nebo teologické fakultČ), obsahová náplĖ nepĜesahovala oblast souþasné stĜedoškolské matematiky, ve srovnání s dneškem je výrazný akcent na zvládnutí složitých poþetních algoritmĤ, které v souþasné dobČ ustoupily do pozadí a jsou vČcí výpoþetní techniky (aproximace odmocnin, práce s logaritmy etc.).
Obr. 1: PĜíloha v [1] s indukþním krokem v dĤkazu binomické vČty
Ve svých pĜednáškách Jandera navazoval na svého pĜedchĤdce a velký vzor Stanislava Vydru. (V roce 1806 vydal jeho þeskou uþebnici Poþátkové arytmetyky.) Musel však pĜedevším respektovat z VídnČ závaznČ pĜedepsanou literaturu, neboĢ veškerá universitní výuka podléhala státnímu dozoru. Tato okolnost sehrála svoji roli
200
i v sesazení BolzanovČ v roce 1819. Staþí pĜipomenout lavinu udání, když Bolzano odmítal pĜednášet bez úprav podle schválené Frintovy uþebnice náboženství, která obsahovala chyby. PĜátelský vztah Jandery a Bolzana možná dokresluje následující skuteþnost: Od roku 1808 byl direktorem filosofických studií na pražské universitČ strahovský opat Milo Grun, tedy JanderĤv Ĝeholní pĜedstavený, který Bolzana hájil a povolil mu pĜednášet podle osobního pĜesvČdþení. Po GrunovČ smrti 1816 však jeho nástupce prohlásil Bolzanovy výklady za zhoubné a netrvalo dlouho a Bolzano byl penzionován. Pro JanderĤv kurs byla doporuþenou literaturou uþebnice Ignáce Appeltauera. Jandera ji respektuje tematicky, ale uvČdomuje si její nedostatky. U Appeltauera chybí jednoznaþné vymezení matematických pojmĤ, u obtížnČjších partií je patrné, že je autor pĜejímá odjinud bez hlubšího pochopení. Janderovou devizou bČhem celého pĤlstoletého pĤsobení je podle svČdectví jeho žákĤ (napĜ. J. Durdík) jasnost a srozumitelnost pĜednášek. Precisnost výkladu ilustruje Janderova vlastní latinsky psaná uþebnice Prima calculi exponentialis elementa nova partim methodo in usum auditorum suorum proposita [1] z roku 1812. Pod hlaviþkou „exponenciálního kalkulu“ se skrývá stĜedoškolská algebra, ovšem dĤkladnČ vybudovaná ve stylu definice – vČta – dĤkaz s akribií pĜipomínající výklady Jarníkovy. Jandera nejdĜíve mapuje vlastnosti pĜirozených þísel, studuje prvoþísla, upozorĖuje na specifika zápisu þísel v dekadické soustavČ.
Obr. 2: Ukázka odvození n-té mocniny mnohoþlenu v [1] TČžištČm kapitoly De numeris exponentialibus je exaktní zavedení mocniny þísla nejprve jako oznaþení pro souþin koneþného poþtu stejných þinitelĤ v pĜípadČ pĜirozeného exponentu, poté zobecnČní pro záporný celý exponent. PĜípad s exponentem ve tvaru pĜevrácené hodnoty pĜirozeného þísla n, tj. n-tou odmocninu, definuje jako koĜen pĜíslušné rovnice, tedy radix gradus n-ti ex A, a proto na rozdíl od souþasných zvyklostí doporuþuje znaþení r, „signum r e litera r raptim scripta”, tj. písmenem „r” chvatnČ psaným. PĜi této pĜíležitosti vyloží též rozdíl mezi þísly racionálními a iracionálními. V kapitole De logarithmis využije pĜipravenou teorii k definici logaritmu þísla pĜi libovolném pĜípustném základu jako exponentu a tvrzení pro logaritmy pak získá jako dĤsledky formulí z pĜedchozí kapitoly. PĤvabná je Janderova zmínka o etymologii slova logaritmus z Ĝeckého logón arithmos (volnČ pĜeloženo „þíslo dávající smysl”). Kapitola De elevatione numerorum ad potentias rozvíjí pĜedchozí myšlenky smČrem k poþetnímu kalkulu a odvozování algebraických formulí. Je dĤkladnČ dokázána binomická vČta (indukcí – viz obr. 1), poté zobecnČna postupnČ pro celý záporný exponent (zde je komentován nekoneþný poþet þlenĤ rozvoje a náznakovČ zmínČna konvergence této Ĝady). Jiné zobecnČní binomické vČty se týká n-té mocniny mnohoþlenu o libovolném koneþném poþtu sþítancĤ. I toto tvrzení je dokázáno indukcí, tentokrát pĜes poþet sþítancĤ (viz obr. 2). Tyto formule umožĖují v kapitole De extractione radicum vybudovat
201
algoritmy, jejichž význam byl dnes potlaþen užíváním výpoþetní techniky. PrávČ z vČty o n-té mocninČ mnohoþlenu odvozuje Jandera numerický postup aproximace n-té odmocniny libovolného zadaného þísla. Poþetní pĜíklady uvedené v textu se pohybují od druhé do šesté odmocniny, odmocnČnec bývá nČkdy i þíslo devíticiferné. Dokladem, že tyto partie uþebního textu se výraznČ uplatĖovaly i pĜi výuce, svČdþí vlastní rukopisy Janderových pĜednášek [2] z roku 1853, kdy vedl pokroþilý kurs z diferenciálního a integrálního poþtu. PĜi výpoþtu integrálu z pĜevrácené hodnoty odmocniny dvojþlenu krom pĜímé integrace upozorĖuje na možnost aproximovat integrand s využitím zobecnČného binomického rozvoje z [1]. Když v 90. letech minulého století klášterní knihovna restituovala pozĤstalosti pĜíslušníkĤ strahovské kanonie, ve fondu Literárního archivu PNP v Praze zĤstaly Janderovy materiály v rozsahu sedmi kartonĤ. Podle popisu [4] provedeného v 70. letech Pavlem KĜivským obsahují další universitní pĜednášky, matematické spisy a zejména Sbírku úloh z matematiky [3]. Tato Sbírka však ve skuteþnosti není cviþebnicí, jak by naznaþovalo KĜivského oznaþení, ale souborem více než 1600 volných lístkĤ osmerkového formátu se zadáním pĜíkladĤ, které byly patrnČ užívány pĜi zkouškách. Soubor zjevnČ pokrývá celou dobu Janderova pĤsobení, zadání jsou zpoþátku v latinČ, pozdČji v nČmþinČ. Poþet úloh kolísá mezi 4 a 5. Tematicky se pohybují v oblasti souþasné stĜedoškolské matematiky, nároþnost poþetních pĜíkladĤ je však výraznČ vyšší. Na rozdíl od souþasné doby se testuje schopnost provádČt numerické postupy, kterým je vČnována tak velká pozornost v [1] (aproximace odmocnin, práce s logaritmy etc.). Velmi þasto jsou zadávány soustavy 2 lineárních, resp kvadratických i iracionálních rovnic o 2 neznámých v závislosti na 2 nebo 3 parametrech. Vyskytují se pĜíklady na geometrickou posloupnost, binomickou formuli i požadavek dokázat algebraické tvrzení. I to je dĤkazem nezanedbatelné míry matematického vzdČlání typického absolventa university té doby bez ohledu na obor studia, byĢ pouze v oblasti poþetní zdatnosti.
Literatura [1] Jandera L. J.: Prima calculi exponentialis elementa nova partim methodo in usum auditorum suorum proposita. Pragae, 1812. [2] Jandera L. J.: Vorlesungen uber Mathematik in Sommersemester 1853. [Rukopis je v majetku Královské kanonie premonstrátĤ na StrahovČ.] [3] Jandera L. J.: Sbírka úloh z matematiky. [Rukopis je v majetku Literárního archivu PNP v Praze.] [4] KĜivský P.: Písemná pozĤstalost – Ladislav Jandera (1776–1857). Literární archiv PNP v Praze, Praha, 1976. Adresa Miroslava Otavová, prom. mat. Katedra matematiky VŠE Ekonomická 957 148 00 Praha 4 e-mail:
[email protected]
202
TěI ROKY VċZÍM V DċLITELNOSTI KAREL PAZOUREK Abstract: Divisibility of numbers and polynomials can be found to be an uncomplicated part of secondary education of mathematics. However it faces some didactical problems. We show especially a problem of existence of integer factorization and termination of Euclidean algorithm.
1 Úvod DČlitelnost je obvykle prezentována jako jednoduchá a základní partie stĜedoškolské matematiky. Po tĜíletém studiu dČlitelnosti jsem dospČl k názoru, že toto tvrzení je pravdivé pouze þásteþnČ. V následujícím textu si pĜedstavíme nČkolik bodĤ, ve kterých se stĜetává didaktická a teoretická stránka dČlitelnosti.
2 Induktivní charakter dČlitelnosti a jiné nesnáze 2.1
Dva pĜístupy k dČlitelnosti
DČlitelnost (pĜirozených) þísel je v þeských stĜedoškolských uþebnicích vystavČna vesmČs následovnČ: Zaþíná se s pojmem dČlitelnosti, dČlitele a násobku. Poté se dokazují základní tvrzení (napĜ. o dČlitelnosti souþtu a rozdílu). Zavádí se pojmy prvoþíslo, složené þíslo, spoleþný násobek, spoleþný dČlitel, soudČlná a nesoudČlná þísla. Další možný postup je dvojí. Buć je uveden prvoþíselný rozklad, nebo EukleidĤv algoritmus. Použití prvoþíselného rozkladu se zdá být názornČjší. DČlitele a násobky sestavujeme z pĜíslušných þinitelĤ pomocí násobení. Snadno se i ovČĜí vztah NSD (a; b ) ⋅ NSN (a; b ) = ab , a, b ∈ N . RovnČž mĤžeme snadno popsat poþet dČlitelĤ daného þísla. Oproti tomu EukleidĤv algoritmus vychází z dČlení, tedy základního procesu dČlitelnosti. DČlení tak lze prostĜednictvím Eukleidova algoritmu opakovat a upevĖovat. EukleidĤv algoritmus pro polynomy umožĖuje procviþovat dČlení polynomĤ. Pokud poþítáme pĜíklady, ve kterých volíme vhodné celoþíselné násobky dČlencĤ a dČlitelĤ v rĤzných krocích algoritmu, ukazujeme na rozdíl mezi dČlitelností pĜirozených þísel a polynomĤ – nejednoznaþnost nejvČtšího spoleþného dČlitele. Zobecníme-li dále algoritmus i pro délku úseþek (jak naznaþil Hora [3]), dospČjeme se k nesoumČĜitelnosti (a odtud i k iracionálním a racionálním þíslĤm; tento smČr však v uþebnicích není ani naznaþen). 2.2
Induktivní charakter pojmĤ dČlitelnosti
V uþebnicích vydaných do první poloviny 20. století jsou þasto prezentovány oba postupy. Je však tĜeba si uvČdomit, že je tak þinČno s úmyslným zamlþením induktivní povahy obou postupĤ: indukce (popĜ. dobré uspoĜádání pĜirozených þísel) u Eukleidova algoritmu zaruþuje koneþnost algoritmu, u prvoþíselného rozkladu jeho existenci.
203
Koneþnost Eukleidova algoritmu komentuje napĜíklad Šimerka [4]: DČlení takové musí se jednou ukonþiti; ponČvadž každý zbytek menší jest než dČlitel jemu náležící, tak že þísla ta stále klesají a zápornými státi se nemohou. (str. 56) Hora [3] nastínil koneþnost algoritmu takto: … jest patrno, že pĜi takovémto dČlení nČkterý zbytek musí se rovnati nulle, ponČvadž jest zbytek pokaždé þíslo celistvé a nejménČ o 1 menší nežli dČlitel, jenž byl zbytkem pĜedešlým. (str. 46) Existence prvoþíselného rozkladu plyne z existence prvoþíselného dČlitele libovolného þísla a jeho opakovaném hledání. A právČ v tomto opakování je indukce schována. StejnČ jako Šimerka uvedl u Eukleidova algoritmu, mĤžeme konstatovat, že opakované hledání prvoþíselného dČlitele se zastaví, protože tento dČlitel je vždy (až na poslední krok, kdy hledáme prvoþíselný dČlitel prvoþísla) menší než samo þíslo a dČlitel záporný být nemĤže. Jiné zdĤvodnČní se mĤže opírat o dobré uspoĜádání pĜirozených þísel, ostatnČ poznámky v tomto smyslu se v nČkterých algebrách vyskytují. NapĜíklad Hora [3] napsal: Každé složené þíslo možná rozvésti aspoĖ na dva þinitele; jsou-li to þísla složená, lze je opČt rozvésti na þinitele, kteĜížto jsou buć již prvoþísla aneb opČt þísla složená; pokraþujeme-li v posledním pĜípadČ v rozvádČní, musíme posléz obdržeti pouhé prvoþinitele. Kdyby bylo jinak, muselo by dané þíslo se skládati z nekoneþného množství þinitelĤ vesmČs vČtších nežli 1, muselo by tedy samo býti nekoneþné, což se neshoduje s podmínkou. (str. 43–44). 2.3
DČlitelnost polynomĤ dvou promČnných
DČlitelnost polynomĤ byla bČžnČ probírána v uþebnicích pro vyšší oddČlení gymnázií, reálných gymnázií a reálek v 19. století a na zaþátku 20. století. PostupnČ však ustupovala do pozadí. PĜitom dČlení polynomĤ a nČkteré metody Ĝešení algebraických rovnic lze pomocí dČlitelnosti názornČ dokreslit. Zajímavé pĜíklady k Eukleidovu algoritmu z teoretického a didaktického hlediska nalezneme ve FleischerovČ algebĜe [2]. Hledá se zde nejvČtší spoleþný dČlitel polynomĤ 3 2 2 3 2 2 dvou promČnných, napĜ. x − ax + 3a x − 3a a x − 5ax + 4a . Z teorie ale víme, že obecnČ v oboru polynomĤ dvou promČnných nemusí EukleidĤv algoritmus pro dva dané polynomy vést k nalezení jejich nejvČtšího spoleþného dČlitele. 2.4
DČlitelnost zpamČti
V uþebnicích pro nižší oddČlení stĜedních škol se vyskytují pĜíklady na poþítání zpamČti. V MukovČ uþebnici [4] se hledají napĜíklad nejmenší spoleþné násobky dvojic (napĜ. 5 a 12, 5 a 15, ale i 32 a 48, 20 a 45), trojic (napĜ. 2, 3 a 7; 9, 18, a 54; 8, 12 a 18), þtveĜic, pČtic, šestic (napĜ. 2, 3, 4, 6 a 8), a dokonce jedné sedmice (napĜ. 2, 3, 4, 5, 10, 12, 15). ZpamČti se zde zkoumá soudČlnost dvojic, trojic i þtveĜic (napĜ. 35, 49, 70, 84) þísel, nejvČtší spoleþný dČlitel dvojic a trojic þísel (napĜ. 18, 45, 63). V nČkterých uþebnicích není výslovnČ znaþeno, že se mají dané úlohy Ĝešit zpamČti, lze však o nich tak soudit z jejich umístČní mezi prvními cviþeními a použití malých þísel. V uþebnicích urþených pro vyšší oddČlení škol se poþítání zpamČti v dČlitelnosti neobjevuje. 2.5
Možný kompromis mezi teorií a praxí
Zajímavý pĜístup k otázce, zda vykládat dČlitelnost více prakticky než teoreticky, je zvolen v uþebnici [1]. Ve výkladu prvoþíselného rozkladu je konstatováno: Je patrné, že
204
tak mĤžeme rozložiti každé þíslo na prvoþinitele. Dá se dokázat, že dojdeme vždy k témuž výsledku, i když rozklad provádíme rĤznými zpĤsoby (viz o tom þl. 7). (str. 17) Tedy existence rozkladu je pokládána za samozĜejmou. ýlánek 7. Jednoznaþnost rozkladu na prvoþinitele v závČru kapitoly o dČlitelnosti je glosován poznámkou pod þarou: V tomto þlánku dokážeme jednoznaþnost rozkladu na prvoþinitele. Je urþen pro ty žáky, které zajímá pĜesné matematické usuzování, a mĤže být pĜi vyuþování vynechán. (str. 35) Po þtyĜech tvrzeních o násobcích a spoleþných násobcích jsou zde vyslovena a dokázána tĜi tvrzení o prvoþíslech: Jestliže ani þíslo a, ani þíslo b není násobkem prvoþísla p, potom také souþin ab není násobkem prvoþísla p. (str. 37) Jestliže žádné z þísel a1, a2, a3, …není násobkem prvoþísla p, potom také souþin všech þísel … není násobkem prvoþísla p. (str. 38) Žádné þíslo se nedá dvČma rĤznými zpĤsoby rozložit na prvoþinitele, jestliže ovšem rozklady, které se liší pouze poĜádkem þinitelĤ, napĜ. 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 , 60 = 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ,
považujeme za dva stejné rozklady. (str. 38) Tvrzení v této uþebnici jsou nazývána pouþky.
3 ZávČr Mlþení o matematické indukci má zjevnČ didaktický dĤvod: Je to idea pĜíliš složitá pro žáky úvodních roþníkĤ, aĢ už nižšího nebo vyššího gymnázia, ve kterých se dČlitelnost probírá. StejnČ tak se bere jako samozĜejmost dobré uspoĜádání pĜirozených þísel. RovnČž hlavní význam dČlitelnosti (a teorie þísel vĤbec) ve stĜedoškolské matematice je vidČn v podpoĜe dalších oblastí – pĜedevším práce se zlomky a lomenými výrazy. Protože je toto téma pro žáky relativnČ snadno pĜístupné, používají se poznatky dČlitelnosti k demonstraci dĤkazových metod – paradoxnČ se základní kámen dČlitelnosti, prvoþíselný rozklad, vykládá bez dĤkazu existence. DČlitelnost považujeme þasto za nezajímavé téma, ale s odstupem a nadhledem se mohou díky ní pĜed námi vynoĜit znepokojivé didaktické otázky. MĤj odstup a nadhled si vyžádal tĜi roky. Literatura [1] Bílek J. a kol.: Aritmetika pro þtvrtou tĜídu stĜedních škol. SPN, Praha, 1949. [2] Fleischer J.: Mathematika. První díl. Algebra. K. Winiker, Brno, 1862. [3] Hora F. A.: Dra Frant. Ryt. Moþníka aritmetika i algebra pro vyšší tĜídy škol stĜedních. B. Tempský, Praha, 1875.
205
[4] Muk J.: DoplnČk k aritmetice pro nižší tĜídy stĜedních škol, k 4. vyd. dílu 1. Profesorské nakladatelství a knihkupectví, Praha 1934. [5] Šimerka V.: Algebra þili poþtáĜství obecné pro vyšší gymnasia a realné školy. E. Grégr, Praha, 1868.
PodČkování Práce vznikla v rámci projektu Specifického vysokoškolského výzkumu 2010-261 315. Adresa Mgr. Karel Pazourek Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected]
206
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ: UNIVERZÁLNÍ ěEý DAVID PELIKÁN Abstract: This article reports about Leibniz’s attemption to create new language that would be easy, popular and that contains syntactic method how to verify the true sentences. Leibniz created sufficient theory how to make the language, but it was too difficult to use it. In spite of that difficulty we can show some great ideas in his attemption.
1 Historické pozadí 1.1
Leibnizova univerzální Ĝeþ
Leibniz se narodil v roce 1646, v dobČ zvýšeného zájmu vzdČlancĤ o jazyk, avšak rovnČž v dobČ, kdy se jiní velcí uþenci1 snažili vytvoĜit jazyk umČlý. Také u Leibnize je patrný zájem o vytvoĜení nové Ĝeþi. Text [1], ze kterého v tomto þlánku budu vycházet, sepsal Leibniz v roce 1678, i když však pozdČji tuto myšlenku opustil, i nadále se snažil vytvoĜit univerzální Ĝeþ na jiném základu. 1.2
Gödelovo þíslování
Když v roce 1931 v [2] Kurt Gödel zavedl þíslování formulí aritmetiky pĜirozenými þísly, jednalo se o významnou þást jeho dĤkazu vČt o neúplnosti. Dnes podobné kódování používáme napĜíklad pro kódování koneþných posloupností pĜirozených þísel. Jak si však ukážeme pozdČji, podobné myšlenky byly k nalezení už v práci LeibnizovČ.
2 Univerzální Ĝeþ 1.3
Požadavky na novou Ĝeþ
Když se Leibniz snažil vytvoĜit novou Ĝeþ, kladl na ni nČkolik požadavkĤ. NČkteré požadavky jsou zcela pĜirozené. Mezi nČ patĜí. že se tato Ĝeþ musí dát lehce nauþit, lehce používat, lehce zapamatovat, ale také že musí být pĜíjemná a po všech stránkách dokonalá. KromČ tČchto požadavkĤ mČl však ještČ jeden neobvyklý. Tímto požadavkem bylo, že tento jazyk musí obsahovat metodu na rozpoznávání pravdivých vČt a platných úsudkĤ.2 Pro tento požadavek Leibniz našel inspiraci v jazyce matematiky. Všímá si, že v jazyce matematiky nelze Ĝíci vČtu, která není pravdivá (dokazatelná), protože pĜímo v jazyce matematiky existuje postup, jak ovČĜit její pravdivost. VČta, u které se tato pravdivost nedá ovČĜit, se pak Ĝíci nesmí. Aby bylo možné dosáhnout požadavkĤ, které Leibniz mČl, bylo by nutné zobrazit pĜirozený svČt pĜímo ve struktuĜe této nové Ĝeþi. Leibniz se toho snažil dosáhnout pomocí charakteristických þísel.
1 2
NapĜíklad Francis Bacon nebo René Descartes. Je zĜejmé, že Leibniz uvažuje metodu, která používá þistČ syntaktických prostĜedkĤ.
207
1.4
VytváĜení nové Ĝeþi
Jak bylo Ĝeþeno výše, Leibniz nejprve potĜeboval pĜiĜadit všem pojmĤm reálného svČta nČjaké charakteristické þíslo. Tato þísla ale nemohou být vybírána náhodnČ. Je dĤležité rozlišovat základní pojmy a pojmy složené.3 Základním pojmĤm musí být pĜiĜazeny prvoþísla, pojmĤm složeným pak þísla složená. PĜiþemž þíslo, kterým bude charakterizován nČjaký složený pojem, se získá tak, že se vynásobí þísla tČch základních pojmĤ, ze kterých se výsledný pojem skládá. To napĜíklad znamená, že pojem s charakteristickým þíslem 969 musí mít vlastnost s charakteristickým þíslem 51, a i tato vlastnost se musí skládat z jiných vlastností s charakteristickými þísly 3 a 17. PĜiĜazení základních pojmĤ k prvoþíslĤm si Leibniz pĜedstavoval tak, že se vytvoĜí jakási encyklopedie. O ní se vyjádĜil: „Myslím, že by to mohlo urobiĢ nČkoĐko vybraných Đudí za päĢ rokov; za dva roky by bezpeþnou metódou kalkulu mohli spracovaĢ tie náuky, ktoré sú v praktickom živote nejpotrebnejšie, totiž morálku a metafyziku.“4 Další þásti procesu vytváĜení této Ĝeþi už Leibniz rozpracoval více podrobnČ. NČkteré dokonce v nČkolika variantách. Dále se budu vČnovat pouze jedné z tČchto variant. V okamžiku, kdy by byly všechny pojmy svČta charakterizovány nČjakým þíslem, bylo by možné mluvit jen v tČchto þíslech. Leibniz si ale uvČdomuje, že mluvit v þíslech je velmi nepohodlné. Proto navrhl þtení þísel jiným zpĤsobem tak, aby jejich þtení bylo více pĜíjemné. Leibniz si uvČdomuje, že každé þíslo zapsané v desítkové soustavČ5 je pĜesnČ urþeno svými ciframi, a každá cifra je pĜesnČ urþena svým Ĝádem a þíslicí. To znamená, že staþí najít zpĤsob, jak jednoduše pĜeþíst Ĝád a þíslici každé cifry. Leibniz to Ĝeší následujícím zpĤsobem: každé z þíslic 1 až 9 pĜiĜadí jednu souhlásku (b, c, ..., m). Stejným zpĤsobem Ĝádu jednotek pĜiĜadí samohlásku a, Ĝádu desítek samohlásku e, obdobnČ pak ĜádĤm stovek, tisícĤ a desetitisícĤ samohlásky i, o, u. Pokud by bylo potĜeba, tak pro vyšší Ĝády Leibniz navrhuje použití dvojhlásek.6 V tomto okamžiku je každá cifra pĜesnČ urþena dvojicí hlásek. Každá dvojice hlásek pak tvoĜí slabiku. To znamená, že každá slabika urþuje jednu cifru, a naopak každá cifra urþuje jednu slabiku. Pokud ze všech slabik, které získáme z jednotlivých cifer daného þísla, utvoĜíme slovo,7 utvoĜili jsme vlastnČ kratší a jednodušší zpĤsob, jak dané þíslo pĜeþíst.8 Posledním a zásadním procesem pĜi vytváĜení nové Ĝeþi je vytvoĜení kalkulu, pomocí kterého by bylo možné ovČĜovat platnost úsudkĤ. Leibniz jako ukázku pĜedvádí jednoduchý kalkul pro obecné kladné výroky.9 Tento kalkul pracuje se tĜemi základními
3
Na tomto místČ je potĜeba Ĝíci, že Leibniz zastává teorii, že každý pojem je jednoznaþnČ urþen nČkolika (koneþnČ mnoha) základními pojmy (vlastnostmi). Tyto základní pojmy jsou dále nedČlitelné. PĜeklad Ján Šebestík v [3]. 5 Odkaz na desítkovou soustavu je zcela na místČ, protože Leibniz uvažoval i o použití jiných þíselných soustav, pokud by byly vhodnČjší než soustava desítková. 6 Pro podrobnČjší vysvČtlení viz [3]. 7 PĜiþemž na poĜadí jednotlivých slabik nezáleží. 8 Je zĜejmé, že bez použití dvojhlásek lze takto þíst jen þísla od 1 do 99 999. S použitím dvojhlásek se jejich poþet zvČtší. I pĜesto se mĤže zdát, vzhledem ke zpĤsobu jakým vytváĜí charakteristická þísla pojmĤ, že takto lze þíst pouze þísla nedostateþnČ velká. Myslím, že tato námitka je oprávnČná, Leibniz ji však neuvažuje. 9 Obecnými kladnými výroky v tomto pĜípadČ jsou myšleny výroky typu „a je b“, kde a a b jsou nČjaké pojmy, které pro tento pĜípad mĤžeme ztotožnit s jejich charakteristickými þísly. ObdobnČ ve vČtČ „ab je c“ pojem ab znamená pojem složený z pojmĤ a a b. 4
208
vČtami (dnes bychom Ĝekli se tĜemi axiomy) a jedním základním úsudkem (dnes bychom Ĝekli s jedním odvozovacím pravidlem). Základní vČty jsou: „ab je a“; „ba je a“;10 „a je a“. Základním úsudkem je pak: Jestliže „a je b“ a „b je c“, tak „a je c“. Pomocí tČchto základních pravidel pak generuje platné úsudky.11 Dá se tedy Ĝíci, že i když Leibniz nedokázal vytvoĜit Ĝeþ, která by splĖovala ty podmínky, které si stanovil,12 objevil nČkolik zajímavých myšlenek. PĜedevším pokus o aplikaci formálního kalkulu v oblasti ovČĜování platnosti úsudkĤ, ale také jakési „kódování“ objektĤ pĜirozeného svČta pĜirozenými þísly.
3 Gödelovo þíslování 1.5
Kódování v jazyce aritmetiky
Pro potĜeby dĤkazu vČt o neúplnosti Kurt Gödel potĜeboval zakódovat formule predikátové logiky, rozšíĜené o jazyk aritmetiky, pomocí pĜirozených þísel. Toto kódování provedl následujícím zpĤsobem. Nejprve se rozhodl, jaké symboly v zápisu formule bude považovat za základní, a které vezme jako odvozené. To napĜíklad znamená, že nebude používat symbol „ ĺ “ pro implikaci, protože jej mĤže odstranit pomocí symbolĤ pro disjunkci a negaci.13 Dále si všímá, že zápis každé formule aritmetiky je koneþnou posloupností symbolĤ. A to buć symbolĤ pro logické konstanty, nebo pro promČnné nČkterého typu.14 Protože logických konstant je pouze koneþnČ mnoho a promČnných každého typu je nejvýše spoþetnČ mnoho, lze každému symbolu pĜiĜadit nČjaké pĜirozené þíslo. Gödel pĜiĜazuje logickým konstantám lichá þísla od 1 do 13 a promČnným n-tého typu n-té mocniny prvoþísel vČtší než 13. V tomto okamžiku mĤže kódovat jakoukoli formuli (transformovanou tak, aby obsahovala jen povolené symboly) jako koneþnou posloupnost nenulových pĜirozených þísel. Každá koneþná posloupnost pĜirozených þísel lze zakódovat pĜirozeným þíslem. Gödel ji kóduje následujícím zpĤsobem. Nejprve každé pozici pĜiĜadí odpovídající prvoþíslo. To znamená, že k první pozici pĜiĜadí první prvoþíslo, ke druhé pozici druhé prvoþíslo a k n-té pozici n-té prvoþíslo. NáslednČ všechna prvoþísla umocní na þíslo na odpovídající pozici a tyto mocniny mezi sebou vynásobí. NapĜíklad jednoduchá formule „s(0)=0“ lze napsat jako posloupnost „3; 11; 1; 13; 289; 1“15, která mĤže být kódována þíslem 23·311·51·713·11289·131. To je rovno pĜibližnČ 8,186·10319 . Pro potĜeby dĤkazu vČt o neúplnosti je podstatné, že celé toto kódování lze provést uvnitĜ aritmetiky. Z hlediska našeho srovnání je však zajímavé to, že Gödel pĜiĜazuje
10 Je zajímavé, že aþkoli Leibniz vytváĜí charakteristická þísla pomocí neuspoĜádaného výþtu vlastností, pro potĜeby kalkulu rozlišuje poĜadí jednotlivých složek. 11 Pro podrobnČjší vysvČtlení a ukázku odvození úsudku viz [3]. 12 I kdyby byla takto vytváĜená Ĝeþ realizovatelná, byl by výsledek pĜíliš složitý pro jakékoli (natož bČžné) použití. 13 Toto omezení jen na jednodušší sadu logických konstant není dĤležité z hlediska vlastního kódování. Jeho význam spoþívá pouze v zjednodušení vlastního teoretického aparátu. 14 Gödel používá syntax víceĜádové predikátové logiky. To znamená, že promČnné prvního typu jsou individuové promČnné, promČnné druhého typu jsou prvoĜádové predikáty, promČnné tĜetího typu jsou druhoĜádové predikáty atd. 15 Gödel neuvažuje „=“ mezi základními konstantami, ale jako promČnnou druhého typu, kterou definuje pomocí druhoĜádové definice. Více viz [2].
209
každému znaku nČjaké prvoþíslo (mocninu prvoþísla) a výsledný kód formule pak získá jejich vynásobením.
4 ZávČr 1.6
Shrnutí
V tomto þlánku jsem se pokusil rámcovČ pĜedstavit jeden z pokusĤ o vytvoĜení univerzálního jazyka. V rámci tohoto pokusu Leibniz vytvoĜil pomČrnČ rozsáhlý teoretický aparát, jenž je zajímavý zejména pro vytvoĜení kalkulu generujícího pravdivé vČty,16 a také pro pokus o þíslování objektĤ reálného svČta pĜirozenými þísly. Dále jsem se pokusil ukázat na zajímavou schodu mezi Leibnizovým þíslováním objektĤ reálného svČta a Gödelovým þíslováním formulí predikátové logiky. V obou pĜípadech se pomocí prvoþísel kódují základní pojmy, pĜípadnČ konkrétní znak. Jejich vynásobením lze následnČ získat pĜíslušný složený pojem pĜípadnČ konkrétní formuli. Literatura [1] Leibniz G. W.: Lingua generalis, Lingua universalis. Opuscules et fragments inédits de Leibniz, par Louis Couturat, Paris, 1903. [2] Gödel K.: On formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems 1. Collected works vol. 1, Oxford university Press, New York, 1986. [3] Leibniz G. W.: O reforme vied. PĜeložil Ján Šebestík, VydavateĐstvo slovenskej akadémie vied, Bratislava, 1956.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky.
Adresa Mgr. David Pelikán Katedra filozofie Fakulta filozofická Západoþeská univerzita v Plzni Sedláþkova 19 306 14 PlzeĖ e-mail:
[email protected]
16
Ve skuteþnosti se nejedná o vČty, pouze o jakési pĜedchĤdce formálních zápisĤ. Aby mohl tento kalkul generovat pravdivé vČty, musela by být provedena charakterizace objektĤ reálného svČta.
210
KAZIMIERZ ĩORAWSKI AND THE CRACOW MATHEMATICAL SCHOOL ZDZISŁAW POGODA Abstract: Kazimierz ĩorawski was one of greatest mathematicians working in Cracow (Kraków) at the end of the XIXth century. We will review ĩorawski’s most important results, in particular those in geometry, published, forgotten and then rediscovered. We will pay attention to the significance of his activities in Cracow and their influence on the development of the Cracow center and of mathematics in Poland.
Kazimierz ĩorawski 22.06.1866 – 23.01.1953
In between the wars two strong mathematical centres were created in Poland: -
Lvov where then new functional analysis was being developed. Among the most prominent representatives we should mention Hugo Steinhaus, Stefan Banach, Stanisław Mazur, Juliusz P. Schauder, and Stanisław Ulam.
-
Warsaw where the foundations of mathematics, topology and the theory of real functions were the main domains of research. Zygmunt Janiszewski, Wacław SierpiĔski, Stefan Mazurkiewicz, Kazimierz Kuratowski, and Karol Borsuk worked at that time in Warsaw.
Then we should mention Kraków (Cracow) where the classical domains such as mathematical analysis (calculus) and theory of differential equations were preferred as research topics. Stanislaw Zaremba, after his studies in Paris, settled there and worked on
211
mathematical analysis and differential equations. However, even earlier in 1895, Kazimierz ĩorawski, whose main interest was differential geometry, began his scientific work in Cracow. Topology, set theory, theory of differential equations, mathematical analysis and foundations of mathematics are commonly mentioned as the parts of mathematics developed by Poles. Differential geometry is rarely if at all mentioned although the results obtained by Polish mathematicians are of fundamental and durable importance. Topology and set theory were singled out by Zygmunt Janiszewski as young domains giving chances of quickly obtaining important and valuable results, which was vital to the rapid development of Polish mathematics. Functional analysis was being developed in Lvov due to Steinhaus and Banach, and their students. Differential geometry in its classical version of the theory of curves and surfaces was a mature discipline, but its generalized version was not certain of its direction of development. Some results later included in differential geometry, firstly, were considered as results of the theory of differential equations or analysis. Although differential geometry was not among the leading domains studied by Polish mathematicians, some of the first major results obtained by Poles belonged to differential geometry. Kazimierz ĩorawski was their author. His activities had a major influence on the development of the Cracow centre at the Jagiellonian University. Kazimierz ĩorawski was born on 22nd June 1866 in Szczurzyn (not Szczuczyn as all his biographical notes say) in Ciechanów district. From 1884 to 1888 he studied at the Warsaw University (then a Russian university) obtaining a Russian equivalent of a Ph.D. degree in mathematics for a treatise in astronomy. Thanks to a Copernicus scholarship he studied mathematics at Leipzig and Göttingen for three years. At Leipzig he met Sophius Lie who then was developing the theory of continuous groups, later called the theory of Lie groups. This theory attracted many eminent mathematicians like Engel, Killing, Cartan, Klein, and Picard. ĩorawski also became interested in this theory and its applications to differential geometry and various parts of mathematical analysis. His preferred research topic was the equivalence of two analytical or geometrical objects with respect to some group of transformations. His first work was dedicated to this problem – his Ph.D. thesis first published in Polish in Rozprawy Wydziału MatematycznoPrzyrodniczego Akademii UmiejĊtnoĞci, the publication of the Academy of Arts and Sciences in Cracow (cf. [12]), and subsequently in German in Acta Mathematica (cf. [13]). The discussed work was written very clearly and all considerations and calculations were carried out up to the complete resolution of the problem. The paper was highly esteemed by the specialists and cited for many years. Let us recall an opinion of Sophius Lie on ĩorawski’s work which can be found in the third volume of his fundamental work Theorie der transformationsgruppen (vol. III, p. 810, Teubner, Leipzig, 1893): From among Leipzig theses let us also mention a beautiful ĩorawski’s work about invariants of bending […] ĩorawski carried out difficult and complicated calculations with great skill which were necessary to the solution of the problem. Since the work belongs also to the chapter of differential invariants I mention it here only briefly and hope to return to it in the planned work on differential invariants.
212
ĩorawski’s results were also noticed by Felix Klein and mentioned in his work on the development of mathematics in the XIXth century (cf. [6]). ĩorawski is the only Polish mathematician mentioned by name in this book. To be precise, the paper dealt with the following problem: there are given two surfaces (or more precisely two proper patches as the problem is local) in a Euclidean space. Check when one of them can be obtained from the other by bending and perhaps a reflection. The surfaces are equipped with metrics induced from the surrounding Euclidean space. The metrics are defined using the fundamental forms, i.e. differential forms of suitable form ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 _
_
_
ds 2 = E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 _
_
_
where the coefficients E , F , G, E , F , G are determined by the parametrizations of the surfaces. The problem can be reduced to the question whether there exists a transformation, and if the answer is affirmative, its explicit determination, _ _
_ _
u = ϕ (u , v) , v = ψ (u , v) transforming one of the forms into the other. To that effect it is necessary to create a complete system of invariants of the fundamental form. By a differential invariant of rank p we ∂E understand an expression Φ (u , v, E , F , G, ,...) created out of variables u, v, coefficients E, ∂u F, G of the fundamental form and their derivatives up to order p which does not change its value when transformed by elements of the group. ĩorawski devised a method of determining these invariants, calculated their number for each order, and found effectively some. He also studied a more general problem. He considered the case when to the fundamental form there were added some functions of variables u and v, or an equation of the form v = f (u ) . He presented a way how to determined the invariants for any of such two systems. These invariants carry the name of Beltrami and Minding. In the journal Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften der math.-phys. Klasse, I 59(1907), 160–186; II 60(1908), 20–52 (cf. [14]), he studied invariants of bending using finite transformations and differential invariants of quadratic forms of n variables, and in Über Invarianten gewisser Formensysteme (ibidem 66(1914), 103–117 cf. [15]) he studied invariants of pairs of such forms.
He was also interested in differential equations which found some applications in differential geometry. In the work [16] (also published in Czech) he presented a construction of differential invariants of the systems of such equations d 2 xi dx1 dx n = f i (t , x1 ,..., x n , ,..., ) i = 1,..., n 2 dt dt dt with respect to the general group of point transformations x i = x i ( x1 ,..., x n ) and solved the corresponding equivalence problem. This work has a lot in common with some parts of differential geometry, which were created and developed after the publication of this paper. In
213
ĩorawski’s considerations appear quantities Aλμν , which are generalizations the coefficients of the parallel displacement in the space with an affine connection, i.e. of the Christoffel symbols. One can also find a counterpart of the covariant derivative and curvature tensor. There are also some generalizations of the theory of a space with an affine connection, the theory which was created and developed later by J. A. Schouten and H. Weyl. Naturally, it is a purely analytical generalization in the language of the theory of invariants without any geometrical interpretation of the considered quantities. ĩorawski’s paper inspired constructions of geometries with more general connections, let us mention among others D. D. Kosambi (cf. [7]), E. Cartan (cf. [2]), and W. ĝlebodziĔski (cf. [11]). In ĩorawski’s oeuvre there are works which according to ĝlebodziĔski (cf. [10]) are (purely) geometrical. Particular attention should be paid to paper Über die Differentialinvarianten der Flächen in Bezug auf die lineare Gruppe und über die Translationsflächen (Bull. Int. de l’Ac. de Cracovie 1906, 865– 901, [17]) which contains the complete systems of differential invariants of a subspace of the three dimensional affine space. The differential geometry of affine spaces was developed in the second decade of the XXth century among others by W.Blaschke and G. Pick, and recently has been the scene of renewed interest, (K. Nomizu, T. Sasaki, Affine Differential Geometry, 1993). Although ĩorawski obtained some pioneering and very important results, most of them were not noticed. Let us recall ĝlebodziĔski’s comments (cf. [10] and [9]). Regretfully, […] one has to admit that some significant results […] have been lost for the Polish science. It happened so as they were published only in Polish and because the author, of great modesty, while writing an introduction to his work usually belittled his achievements. Therefore some of his results went unnoticed, and they were rediscovered by other mathematicians some time later and are commonly considered as their scholarly achievement.
Perhaps it is a bit strange that a scientist of that stature did not create a mathematical school in Cracow, similar to those of Lvov and Warsaw. In [5], Stanisław Gołąb writes: When at the end of the XIXth century, the chair of mathematics at the Jagiellonian University was offered to Kazimierz ĩorawski, a pupil of Lie, it seemed that this nomination would lead to a great development of geometry at the university. However, it turned out that ĩorawski belonged to that class of recluse scientists. He had no success in bringing up young mathematicians.
However, we should remember that ĩorawski was interested in one of those welldeveloped parts of mathematics and to begin a research work in one of them necessitated further intensive studies after graduation. It was very difficult as at that time there were no assistant positions for those who on one hand could help the professor with his teaching duties and on the other hand could be introduced into the research work. Professors were obliged to give both lectures and classes, and had little time to prepare advanced research lectures. Therefore most students of mathematics chose teachers’ careers seeing no future in research work. However, ĩorawski through his lectures, works and personal contact influenced a few young men arousing in them interest in differential geometry and Lie group theory. He had also one student, Władysław Gąsiorowski, whom he sent to Giessen, thanks to a scholarship
214
of the Kretkowski Foundation, where F. Engel, an eminent student of Lie, taught. In Giessen, Gąsiorowski obtained a Ph.D. for the thesis [4]. Unfortunately, the premature death stopped the career of this talented mathematician. Finally, ĩorawski’s work in Cracow was born its fruit. Antoni Hoborski, a Ph.D. student of Stanisław Zaremba, started to work on differential geometry. Antoni Maria Hoborski, born on 1st April 1879 in Tarnów, entered the Jagiellonian University in 1897 and began to study mathematics and physics at a very good moment as ĩorawski was at the peak of his research, and in 1900 Stanisław Zaremba, already well-known for his results in the theory of differential equations, arrived in Cracow (cf. [5] and [9]). Hoborski himself did not create a school of differential geometry. However, he lectured regularly from 1922 to 1939 on differential geometry. The lectures notes were edited by S. Gołąb (Geometria róĪniczkowa. Cz. I Teoria krzywych – Differential Geometry. Part I Curves theory) and by A. Turowicz and S. Turski (cz. 2. Teoria powierzchni i zarys teorii tensorów – Theory of surfaces and outline of theory of tensors). In 1932–1933 he published two volumes on the theory of curves and was working on a book on the theory of surfaces. Unfortunately, the war and death in 1940 did not permit him to complete this work (cf. [5]). Hoborski’s work was continued by Stanisław Gołąb and Władysław ĝlebodziĔski. St. Gołąb formalized a very important notion of a pseudogroup as well as of a concomitant and that of the equivalence of objects. He supervised over fifty Ph.D.’s. St. Gołąb was not only a great scientist but also a very good teacher and tutor. He managed to attract group of young and talented young mathematicians and get them interested in the part of mathematics not so popular in Poland as some others. He was greatly esteemed by his former students (cf. [1] and [8]). Władysław ĝlebodziĔski in Wrocław and Stanisław Gołąb in Cracow, after the Second World War, they created mathematical centres at which regular research into various problems of differential geometry was carried out and important results obtained. They had many students, who started new research directions, which constituted important parts of the development of differential geometry. After ĩorawski died his family received a telegram from Bronisław Knaster, Edward Marczewski, Hugo Steinhaus, and Władysław ĝlebodziĔski which read: … we wish to express to the family of Professor Kazimierz ĩorawski our deep compassion. He was the first of the scientists of his generation to bring the name of Poland to the forefront of world mathematics.
References [1] Bibliography of professor Stanisław Gołąb. Demonstratio Math. VI(1973), 51–75. [2] Cartan E.: Observation sur le Mèmoire prècédent. Math. Zeitschrift 33(1933), 619– 622. [3] Gancarzewicz J., Pogoda Z.: Stanisław Gołąb (1902–1980). Złota KsiĊga UJ, Wydział Matematyki i Fizyki, Kraków, 2000, 357–362. [4] Gąsiorowski W.: Über Definitionsgleichungen der endlichen kontinuierlichen Gruppen von Berührungstransformationen in der Ebene. Monatshefte für Math. und Phys. 26(1914), 135–202.
215
[5] Gołąb S.: Antoni Hoborski organizator polskiej szkoły geometrycznej. WiadomoĞci Matematyczne XII(1969), 33–49. [6] Klein F.: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Springer-Verlag, 1979 (reprint). [7] Kosambi D.D.: Parallelism and path-spaces. Math. Zeitschrift 33(1933), 608–618. [8] Kucharzewski M.: Scientific achievements of professor Stanisław Gołąb in the domain of geometry. Demonstratio Math. VI(1973), 19–38. [9] Pelczar A.: Stanisław Zaremba, Kazimierz Paulin ĩorawski. Złota KsiĊga UJ, Wydział Matematyki i Fizyki, Kraków, 2000, 314–327. [10] ĝlebodziĔski W.: Kazimierz ĩorawski. Studia z dziejów katedr Wydziału Matematyki, Fizyki, Chemii Uniwersytetu JagielloĔskiego, Uniwersytet JagielloĔski, Wydawnictwa Jubileuszowe – tom XV, Kraków, 1964, 87–101. [11] ĝlebodziĔski W.: Sur deux connexions généralisées. Prace mat.-fiz. 43(1936), 167– 205. [12] ĩorawski K.: O pewnym odksztalceniu powierzchni. Rozprawy Wydz. Mat.-Przyr. Akad. Um. w Krakowie 23(1891), 225–291. [13] ĩorawski K.: Über Biegungsinvarianten. Eine Anwendung der Lieschen Gruppentheorie. Acta Mathematica 16(1892), 1–67. [14] ĩorawski K.: Zur Invariantentheorie der Differentialformen zweiten Grades. Berichte der math.-phys. Klasse der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften I 59(1907), 160–186; II 60(1908), 20–52. [15] ĩorawski K.: Über Invarianten gewisser Formensysteme. Berichte der math.-phys. Klasse der Kgl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften 66(1914), 103–117. [16] ĩorawski K.: Über gewisse Differentialinvarianten der Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Bull. de l’Acad. de Bôhème 20(1915). [17] ĩorawski K.: Über die Differentialinvarianten der Flächen in Bezug auf die lineare Gruppe und über die Translationsflächen. Bull. Int. de l’Ac. de Cracovie 1906, 865– 901.
Address Dr. Zdzisław Pogoda, Ph.D. Zakład Historii Matematyki Instytut Matematyki Uniwersytet JagielloĔski Ul. Łojasiewicza 6 30-348 Kraków Poland e-mail:
[email protected]
216
O ěETċZOVCE A HYPERBOLICKÝCH FUNKCÍCH ANTONÍN SLAVÍK Abstract: This contribution describes the early investigations of the catenary curve, i.e. the problem of determining the shape of a hanging cord. It is now well known that the result involves the hyperbolic cosine function; however, the 17th century mathematicians described the catenary in geometric terms, and the hyperbolic functions were introduced by Riccati and Lambert only later in the 18th century.
1 ěetČzovka Historie úlohy o ĜetČzovce je popsána v mnoha knihách i þláncích (viz napĜ. [1], [2], [3], [4]). Galileo si jako jeden z prvních položil otázku, jaký tvar má ĜetČz zavČšený ve dvou pevných bodech, a všiml si, že tato kĜivka nápadnČ pĜipomíná parabolu. Huyghens si již uvČdomoval, že ve skuteþnosti se musí jednat o jinou kĜivku. Roku 1690 byl v Acta Eruditorum uveĜejnČn þlánek, kde Jakob Bernoulli vyzval ostatní matematiky, aby se pokusili nalézt pĜesný matematický popis ĜetČzovky. TĜi správná Ĝešení od Johanna Bernoulliho, Leibnize a Huyghense byla publikována roku 1691. Ukažme si struþnČ postup Johanna Bernoulliho. Místo ĜetČzu budeme pracovat s jeho idealizací, homogenním vláknem zavČšeným ve dvou bodech. Matematicky je popíšeme jako graf funkce y = y (x) . Bez újmy na obecnosti pĜedpokládejme, že nejnižší bod ĜetČzovky P má nulovou x-ovou souĜadnici. NechĢ Q je libovolný jiný bod o souĜadnicích ( x, y ( x)) . Na þást ĜetČzovky mezi body P a Q pĤsobí tĜi síly: gravitaþní síla, která je úmČrná délce oblouku PQ, vodorovná napČĢová síla v bodČ P, která nezávisí na volbČ Q, a koneþnČ napČĢová síla v bodČ Q, která má smČr teþny k ĜetČzovce. Tyto síly musejí být v rovnováze, tj. jejich vektorový souþet je nulový.
Odsud je snadno vidČt, že y ' ( x) je pĜímo úmČrná délce oblouku PQ, neboli x
1 1 + y ' (t ) 2 dt c ³0 pro jistou konstantu c. Derivováním podle x dostaneme diferenciální rovnici y ' ( x) =
217
y ' ' ( x) =
1 1 + y ' ( x) 2 c
(1)
s poþáteþní podmínkou y ' (0) = 0 (neboĢ v nule má funkce minimum). Toto byla jedna z prvních diferenciálních rovnic, se kterou se matematikové v 17. století setkali. Bernoulli ji dokázal pomČrnČ komplikovaným postupem vyĜešit a nalézt tak tvar ĜetČzovky, þímž prokázal užiteþnost a sílu nedávno objeveného infinitezimálního poþtu. ěešením rovnice (1), které splĖuje pĜedepsanou poþáteþní podmínku, je funkce x y ( x) = c ⋅ cosh + d (d je libovolná konstanta). K tomuto výsledku dojdeme napĜ. tak, že c v rovnici (1) provedeme substituci y ' = z . Tím dostaneme rovnici prvního Ĝádu se separovanými promČnnými, kterou vyĜešíme pomocí známého algoritmu. PĜitom je potĜeba najít primitivní funkci
³ dz /
1 + z ' ( x) 2 , což se nejsnáze provede pomocí
substituce z = sinh t . V þlánku [4] je ukázán alternativní postup, který nepĜedpokládá znalost hyperbolických funkcí. Hyperbolické funkce a jejich vlastnosti však nebyly na konci 17. století ještČ známy, pokusme se proto pĜiblížit zpĤsob, kterým ĜetČzovku popsal Bernoulli. Pro jednoduchost uvažujme ĜetČzovku, která je grafem funkce y ( x) = cosh x = (e x + e − x ) / 2 (tj. položili jsme c = 1 a d = 0 ). Zvolíme-li napĜ. pravou polovinu této ĜetČzovky, mĤžeme ji popsat také jako funkci x v závislosti na y , tj. x = ln( y + y 2 − 1) . Tento výraz se témČĜ shoduje s délkou l oblouku paraboly y = x 2 / 8 + 1 mezi body (0,1) a ( 8( y − 1) , y ) , platí totiž 8 ( y −1)
l=
³
1 + ( x / 4) 2 dx = ln( y + y 2 − 1) + y 2 − 1 .
0
y − 1 Bernoulli chápal jako x-ovou souĜadnici bodu, který leží na
Dodateþný þlen
2
hyperbole y − x = 1 . Jeho popis ĜetČzovky byl tedy geometrický: Bod ve výšce y dostaneme tak, že vyjdeme z bodu v levé þásti hyperboly y 2 − x 2 = 1 a posuneme se o vzdálenost, která je délkou oblouku paraboly y = x 2 / 8 + 1 . 2
2
218
2 Hyperbolické funkce Historii hyperbolických funkcí dobĜe popisuje þlánek [2]. PĜipomeĖme, že hyperbolický sinus a kosinus jsou definovány vztahy e x − e−x x3 x5 x7 e x + e−x x2 x4 x6 sinh x = = x+ + + + , cosh x = = 1+ + + + . 2 3! 5! 7! 2 2! 4! 6! Tyto funkce najdeme již u Eulera, zdá se však, že jim nepĜisuzoval vČtší dĤležitost (nezavedl pro nČ ani žádné pojmenování). V jeho výpoþtech hrály pomocnou roli pĜi odvozování vyjádĜení sinu a kosinu pomocí nekoneþných souþinĤ; Euler napĜ. zjistil, že platí § e x − e−x x 2 ·§ x 2 ·§ x2 · ¸¨1 + 2 ¸¸ = x¨¨1 + 2 ¸¸¨¨1 + 2 ¸¨ 2 © π ¹© 4π ¹© 9π ¹ a z tohoto vztahu dosazením x = i ⋅ z dostal známé vyjádĜení sinu ve tvaru nekoneþného souþinu. VČtší pozornost vČnovali hyperbolickým funkcím až Johann Heinrich Lambert a Vincenzo de Riccati (syn Jacopa Riccatiho, po kterém je dnes pojmenována diferenciální rovnice). V práci Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendates circulaires et logarithmiques z roku 1761 (v této práci byla rovnČž poprvé dokázána iracionalita π ) se Lambert pĜedevším snažil popsat analogii mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi.
Zvolíme-li na kružnici x 2 + y 2 = 1 libovolný bod C, pak jeho souĜadnice jsou C = (cos t , sin t ) , kde t je velikost orientovaného úhlu OAC, ale také dvojnásobek obsahu kruhové výseþe OAC. Lambert zjistil, že pro libovolný bod B na hyperbole x 2 − y 2 = 1 platí podobný vztah, totiž B = (cosh u , sinh u ) , kde u je dvojnásobek obsahu kĜivoþarého trojúhelníku OAB. Jak k tomuto poznatku dospČl? Oznaþíme-li B = ( f (u ), g (u )) , pak Lambert pomocí geometrických úvah našel diferenciály funkcí f a g; pĜi použití dnešní symboliky mĤžeme Ĝíct, že došel ke vztahĤm f ' (u ) = g (u ) , g ' (u ) = f (u ) . UvČdomíme-li si ještČ, že f (0) = 1 a g (0) = 0 , pak je jasné, že Taylorovy rozvoje funkcí f a g jsou totožné s rozvoji hyperbolických funkcí. Je zajímavé, že názvy „hyperbolický sinus“ a „hyperbolický kosinus“ se objevují až v LambertovČ práci Observations trigonometriques z roku 1768. Lambert oznaþuje za
219
autora tČchto názvĤ Riccatiho; ten se hyperbolickým funkcím vČnoval ve dvoudílné práci Opuscula ad res physicas et mathematicas pertinentium (1757–1762). I když Riccati pravdČpodobnČ objevil výše popsaný geometrický význam hyperbolických funkcí o nČco dĜíve než Lambert, zdá se, že oba dospČli ke svým objevĤm nezávisle. Není zcela jasné, kdy si matematikové uvČdomili, že ĜetČzovka je grafem hyperbolického kosinu. Tato skuteþnost byla nejpozdČji koncem 19. století dobĜe známa, Riccati ani Lambert se však o ní nezmiĖují.
3 PĜíbuzné úlohy S ĜetČzovkou a hyperbolickými funkcemi jsou spojeny i další zajímavé úlohy. Hledáme-li napĜ. rovinnou kĜivku, která prochází zadanými dvČma body a jejíž rotací kolem osy x vznikne plocha s co nejmenším povrchem, dostaneme opČt ĜetČzovku. K tomuto výsledku dospČl Euler roku 1744 a dá se pomČrnČ snadno odvodit užitím variaþního poþtu. Roku 1675 si Robert Hooke uvČdomil, že ideálním tvarem klenebního oblouku je ĜetČzovka pĜeklopená podle osy x (ideální oblouk je definován podmínkou, že výslednice všech sil v libovolném bodČ má smČr teþny k oblouku). Známým pĜíkladem je památník Gateway Arch. v St. Louis, jehož konstrukce je popsána v þlánku [5]. BratĜi Bernoulliové se také zabývali obecnČjší úlohou urþit tvar zavČšeného nehomogenního vlákna. Johann Bernoulli vyĜešil i obrácenou úlohu, tj. nalezení lineární hustoty zavČšeného vlákna, známe-li jeho tvar (viz opČt [5]). Literatura [1] Hairer E., Wanner G.: Analysis by Its History. Springer, 2008. [2] Barnett J. H.: Enter, Stage Center: The Early Drama of the Hyperbolic Functions. Mathematics Magazine 77(2004), 15–30. [3] Kline M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, 1990. [4] Raugh M.: The Catenary and Hyperbolic Functions. [online] http://mikeraugh.interconnect.com/MathMisc/HangingChain.pdf [5] Osserman R.: Mathematics of the Gateway Arch. Notices of the American Mathematical Society 57(2010), 220–229.
Adresa RNDr. Antonín Slavík, Ph.D. Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská 83 186 75 Praha 8 – Karlín e-mail:
[email protected]
220
TRIGONOMETRIE V EVROPċ 15.–17. STOLETÍ RADKA SMÝKALOVÁ Abstract: In this text we will talk about trigonometry in the 15th – 17th century.
1 Úvod Po šesti stoletích vČdecky neplodného raného stĜedovČku (konec 5. až zaþátek 12. století), kdy se evropští uþenci zabývali výhradnČ náboženskými a scholastickými úvahami, nastalo v EvropČ postupné oživování vČd a umČní, které bylo spojeno se vznikem mČstské kultury. V dobČ obchodních výprav a kĜižáckých válek se Evropané seznámili nejen s vymoženostmi východní kultury, ale i s kulturními poklady dávno zapomenutého antického svČta. To vše dalo mohutný podnČt k samostatné tvĤrþí þinnosti evropských uþencĤ. Pozvolna zaþíná jedno z nejkrásnČjších a na památky nejbohatších období v dČjinách Evropy – renesance. Neopomenutelný význam pro rozvoj matematiky mČly pĜeklady z Ĝeþtiny a arabštiny do jazyka latinského, který se stal spoleþným pro všechny západoevropské uþence té doby. NapĜíklad do latiny pĜeložený PtolemaiĤv Almagest (z Ĝeþtiny i arabštiny) mohli stĜedovČcí evropští matematici a astronomové studovat již ve druhé polovinČ 12. století. Podoba a pĜehlednost trigonometrických tabulek ve stĜedovČké EvropČ byly závislé na zpĤsobu zapisování þísel a jejich vyjadĜování zlomky. S naší moderní desítkovou poziþní soustavou a s indo-arabskými þíslicemi byla Evropa seznámena v 8. století. Tento indo-arabský systém nebyl ihned pĜijat širokou veĜejností, která dávala pĜednost zápisĤm þísel pomocí Ĝímských þíslic. NicménČ evropští uþenci vnímali výhodu nového systému a nadšenČ ho obhajovali. HlavnČ díky výkladu o indo-arabských þíslicích v díle Liber abaci (1202) od Leonarda Pisánského získala desítková poziþní soustava všeobecnou podporu ve vČdeckých kruzích. První trigonometrické tabulky využívající nového systému byly sestaveny okolo roku 1460 rakouským astronomem a matematikem Georgem Peurbachem (1423–1461). Narozdíl od Ptolemaia, který položil polomČr kruhu r rovný 60 jednotkám a následnČ délky tČtiv vyjadĜoval pomocí šedesátinných zlomkĤ, Peurbach kombinoval systém o základu šedesát se systémem o základu deset. Zvolil polomČr kruhu r = 600,000 jednotek a hodnoty trigonometrických veliþin vyjadĜoval celými þísly v desítkovém systému. PeurbachĤv žák Regiomontanus, o nČmž se více zmíníme v následujícím odstavci, nejdĜíve zvČtšil polomČr kruhu na r = 6,000,000, ovšem velice brzy se šedesátkového systému vzdal a roku 1467 sepsal první þistČ desetinné trigonometrické tabulky pĜi polomČru kruhu r = 107 . Hodnoty trigonometrických veliþin byly opČt zapisovány celými þísly. PĜi pĜechodu od r = 107 ke koneþnému r = 1, jak je tomu dnes, se význam tČchto tabulek neztratil: zapsaná celá þísla se stala þitateli desetinných zlomkĤ (desetinná þárka se posunula o sedm míst doleva). Ke skuteþnému pĜechodu k desetinným zlomkĤm dospČl ve svých trigonometrických tabulkách až F. Viète. Pro zajímavost uvedeme ViètĤv zápis hodnoty jedné z goniometrických veliþin (pĜi r = 107 ):
221
sin 60o = 86,602 | 540,37 . Svislá þára oddČluje þitatele zlomku od celého þísla (jmenovatele Viète vynechává) a þárky slouží k seskupování ĜádĤ od nuly vždy po tĜech. 54037 Dnes bychom jeho výsledek zapsali smíšeným þíslem ve tvaru sin 60o = 86602 . 105
2 Regiomontanus Až do 16. století stáli u rozvoje trigonometrie hlavnČ astronomové. Není tedy žádným pĜekvapením, že jím byl i vynikající nČmecký matematik Johannes Muller alias Regiomontanus (1436–1476), který napsal dílo O trojúhelnících všelikých knih patero – první evropskou práci, v níž byla trigonometrie chápána jako samostatná matematická disciplína. V této významné práci, která se skládala z pČti knih, Regiomontanus metodicky uspoĜádal trigonometrické znalosti Ptolemaia a indických a arabských uþencĤ. První kniha zaþíná zavedením základních pojmĤ. Funkce sinus je zde uvedena po vzoru indické definice. Ta pravá trigonometrie (tedy Ĝešení obecných trojúhelníkĤ) se objevuje až v knize druhé. Sinová vČta, stejnČ tak jako všechna ostatní pravidla, je uvedena pomocí slovních spojení, nikoli v symbolech. Objevuje se zde také poprvé vzorec pro bc sin α obsah S trojúhelníka ABC ve tvaru S = . Je neobvyklé, že Regiomontanus nikdy 2 nepoužil funkci tangens, pĜestože ji musel znát, aĢ už od svého blízkého pĜítele Peurbacha, nebo z arabských výpoþtĤ stínĤ. Zbývající tĜi knihy pojednávají o sférické geometrii a trigonometrii – obou nezbytných nástrojích astronomie. Regiomontanus celé dílo dokonþil roku 1464, avšak publikováno bylo až roku 1533.
Nyní se zmíníme o jedné RegiomontanovČ úloze, v níž se hledá maximum. Byla to mimochodem první úloha tohoto druhu od dob staroĜecké matematiky. Jelikož žil Regiomontanus dvČ stČ let pĜed objevením diferenciálního poþtu, problém Ĝešil
222
elementární metodou. Zadání zní: Tyþ AB dané délky je zavČšena svisle tak, že se nedotýká podlahy. Vzdálenost mezi spodním koncem tyþe B a podlahou je dána délkou úseþky BO (viz obrázek). Otázka zní: V jaké vzdálenosti od bodu O se nachází na podlaze bod P, z nČhož je tyþ vidČt pod nejvČtším úhlem γ ?
3 John Napier V první polovinČ 17. století se o podstatný pĜínos pro praxi trigonometrických výpoþtĤ zasloužil anglický matematik John Napier (1550–1617), když roku 1614 objevil logaritmy. Myšlenka zavedení logaritmĤ má své koĜeny právČ u výpoþtĤ podle trigonometrických vzorcĤ, a to ve snaze pĜevést souþin þi podíl trigonometrických veliþin na jejich souþet nebo rozdíl. Astronomové si totiž uvČdomili, že poþítání bude jednodušší a kratší, když hledané souþiny a podíly vypoþítají pomocí sþítání a odþítání. Pro rozvoj matematiky mČla základní význam hlavní pĜírodní vČda té doby – astronomie. Není tedy divu, že stejnČ jako v Indii, rovnČž v islámských zemích byli matematikové vČtšinou i astronomy. ýlánkem, který spojoval matematiku a astronomii, byla právČ trigonometrie. Dnes mluvíme o logaritmech jako o funkcích. Hlavním zájmem Napierovy doby však bylo sestavení logaritmických tabulek. Mezi všemi prĤkopníky byl John Napier první, který sestavil pĜímo tabulky logaritmĤ hodnot sinĤ, nikoliv logaritmĤ þísel. Znovu pĜipomeĖme, že ještČ v 17. století byly hodnoty sinu stále chápány jako délky. Aby dostal Napier požadovanou pĜesnost, položil sin 90o = r = 107 (stejnČ jako Regiomontanus). Na ukázku uvedeme jeden Ĝádek z Napierovy tabulky, která se sestává ze sedmi sloupcĤ. První sloupec udává velikost úhlu α , druhý hodnotu sinu pro daný úhel α . V posledním sloupci se doþteme velikost úhlu doplĖkového (90o − α ) a v pĜedposledním hodnotu sin(90o − α ) , což je hodnota cos α (hodnoty sinu a kosinu jsou tedy pĜirozená þísla menší než 107 ). TĜetí resp. pátý sloupec uvádí tzv. Napierovy logaritmy sinu ze druhého, resp. kosinu ze šestého sloupce. Podle této (dnes již zapomenuté) konstrukce se “logaritmem” þísla x nazývalo þíslo y = NapLog x urþené rovností x = 107 ⋅ (1 − 107 ) y . KoneþnČ prostĜední sloupec udává hodnotu rozdílu zápisĤ ve tĜetím a pátém sloupci, rovnou hodnotČ Napierova logaritmu pro tangens úhlu v prvním sloupci. Jednotlivé Ĝádky Napierovy tabulky odpovídají hodnotám úhlu α s krokem 1 minuta.
Literatura [1] Juškeviþ A. P.: DČjiny matematiky ve stĜedovČku. Academia, Praha, 1977. [2] Maor E.: Trigonometric delights. Princeton University Press, Princeton, 1998. [3] ýervený M.: Vývoj vyuþování goniometrických funkcí v þeských matematických uþebnicích - diplomová práce. Masarykova univerzita, PĜírodovČdecká fakulta, Brno, 2007. [4] Boyer C. B.: A history of mathematics. John Wiley and sons, INC, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1989. [5] Katz V. J.: A history of mathematics. Addison Wesley, Menlo Park, New York, Harlow, Don Mills, Sydney, Mexico City, Madrid, Amsterdam, 1998.
223
[6] Grattan-Guinness I.: The rainbow of mathematics. Fontana Press, London, 1997. [7] Wolfram MathWorld (the web´s most extensive mathematics resource): Weisstein Eric. Poslední revize 30. dubna 2010. http://mathworld.wolfram.com/NapierianLogarithm.html
Adresa Mgr. Radka Smýkalová Ústav matematiky Lesnická a dĜevaĜská fakulta Mendelova zemČdČlská a lesnická univerzita v BrnČ ZemČdČlská 3 613 00 Brno e-mail:
[email protected]
224
VÝVOJ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVY VE VÝTVARNÉM UMċNÍ PETRA SURYNKOVÁ Abstract: This contribution deals with the major development steps in using of the linear perspective in painting during the history. We describe principles of the linear perspective. We mention several incorrect methods used in imaging and focus on the analysis of some known artistic paintings. Applications of perspective projection are shown in the paper, for example non-linear perspective.
1 Úvod 1.1
Výtvarné umČní
Výtvarné umČní – malíĜství, sochaĜství i architektura, výraznČ napomohlo k rozvoji geometrie, matematiky a vČdy vĤbec. PĜi hledání správného zobrazování prostoru se díky výtvarnému umČní rozvinuly techniky, které se pozdČji vyvinuly v klasické geometrické zobrazovací metody, jak je známe dnes. V našem pojednání se budeme zabývat pĜevážnČ malíĜstvím, pĜiþemž se zamČĜíme pouze na jednu složku výtvarného díla. Budeme se vČnovat snaze o geometrické ovládnutí prostoru v dílech malíĜĤ a zpĤsoby zobrazování trojrozmČrného prostoru na ploše obrazu. Nutno podotknout, že toto hledisko rozhodnČ není jediným mČĜítkem, podle kterého by se mohla posuzovat kvalita a velikost umČleckého díla. NČkdy je tato složka dokonce nedĤležitá. Musíme si uvČdomit, že každá historická epocha má své estetické normy a své vlastní zpĤsoby umČleckého vyjadĜování. V minulosti šlo ve vČtšinČ kultur o jiné priority než realistické zobrazování prostoru. NemluvČ o soudobém výtvarném umČní. V nČkterých historických obdobích by dokonce realistické zobrazování prostoru (þi lépe zobrazování odpovídající lidskému vidČní) vedlo zcela jistČ k nesprávné interpretaci zobrazované situace. Budeme-li studovat umČlecká díla, zjistíme, že malíĜ vždy musí Ĝešit tĜi základní úlohy – zobrazení postav, zobrazení vztahĤ mezi postavami a zobrazení prostoru, do nČhož jsou postavy umístČny. AlespoĖ jedna z tČchto složek bývá v díle pĜítomna. 1.2
Lineární perspektiva
Existuje celá Ĝada druhĤ promítání, pomocí kterých lze zobrazovat prostorové útvary na nČjakou plochu, nejþastČji rovinu. Od nepamČti se þlovČk snažil zobrazovat pĜedmČty a osoby kolem sebe tak, jak je vidí. Samotné vidČní je ale velmi složitý proces. Díváme-li se na nČjaký objekt obČma oþima, vznikají tak dva nestejné obrazy pozorovaného pĜedmČtu. Náš mozek tyto dva obrazy pĜetransformuje do trojrozmČrné podoby. Tento proces je ještČ mnohem komplikovanČjší. Urþité prostorové informace lze totiž získat i pozorováním jedním okem, protože logicky pĜedpokládáme nebo díky zkušenostem odhadujeme, jak daleko je od nás pozorovaný pĜedmČt umístČn. Chceme-li v rovinném obraze co nejlépe vystihnout lidské vidČní a zobrazovat objekty realisticky, pracujeme s tzv. stĜedovým promítáním, speciálnČ s lineární perspektivou. PĜipouštíme tedy jakési zjednodušení, neboĢ pĜedpokládáme, že objekty pozorujeme jen jedním okem. Pro malíĜské potĜeby je však tento postup dostaþující. StĜedové promítání je urþeno prĤmČtnou (rovina, do které promítáme) a stĜedem promítání, který v prĤmČtnČ neleží. StĜedový obraz libovolného bodu prostoru rĤzného
225
od stĜedu promítání konstruujeme jako prĤseþík spojnice tohoto bodu a stĜedu s prĤmČtnou. Spojnicím zobrazovaných bodĤ se stĜedem Ĝíkáme promítací pĜímky. Aby bylo možno ze stĜedového obrazu zrekonstruovat prostorový objekt, doplĖuje se stĜedový prĤmČt ještČ pravoúhlým prĤmČtem do prĤmČtny. Jediná podmínka, kterou jsme pro obecné stĜedové promítání vyžadovali, byla ta, aby stĜed promítání neležel v prĤmČtnČ. Takto ale mohou vznikat velmi zkreslené obrazy. Chceme-li, aby se dojem vyvolaný stĜedovým promítáním co nejvíce pĜiblížil lidskému vidČní, musíme se Ĝídit jistými podmínkami. Vzdálenost stĜedu promítání od prĤmČtny, tzv. distanci, znaþíme d , volíme nejménČ 20 až 25 cm, což je minimální vzdálenost, ze které je lidské oko schopné zĜetelnČ pozorovat objekty. Navíc pozorovaný objekt leží uvnitĜ rotaþní kuželové plochy, tzv. zorného kužele, s vrcholem ve stĜedu promítání, osou kolmou k prĤmČtnČ a vrcholovým úhlem v rozmezí 20° až 45° . PrĤnik zorného kužele s prĤmČtnou se nazývá zorné pole. Objekty, které leží mimo zorný kužel, se zobrazují s vČtším zkreslením. Volba velikosti zorného pole vyplývá ze zkušenosti. Promítání, které vyhovuje tČmto podmínkám, oznaþujeme jako lineární perspektivu. Popišme si celou situaci pomocí d H správné terminologie a uvećme si ω h O další podmínky, které nejsou nezbytné, ale þasto se pĜi zadávání A A′ lineární perspektivy objevují. ν π Sledujme obr. 1. V lineární perspektivČ volíme prĤmČtnu ν ve z O1 svislé poloze. Zobrazované pĜedmČty stojí vČtšinou na vodorovné rovinČ π , tzv. základní rovinČ, obvykle za Obr. 1: Perspektivní obraz A′ bodu A prĤmČtnou ν . StĜed promítání O nazýváme oko a umisĢujeme ho nad základní rovinu zpravidla ve výšce 1,5 – 2 m (odpovídá výšce þlovČka). PrĤmČtna ν protíná základní rovinu ve vodorovné pĜímce, kterou nazýváme základnice a znaþíme z . Hlavní bod H je pravoúhlým prĤmČtem oka do prĤmČtny ν , rovina ω vedená okem rovnobČžnČ se základní rovinou π je tzv. obzorová rovina a její prĤseþnice s prĤmČtnou ν je tzv. horizont, znaþíme h . Z konstrukce plyne, že horizont prochází hlavním bodem a je rovnobČžný se základnicí. Lineární perspektiva je urþena, známe-li horizont, hlavní bod, distanci (tedy vzdálenost oka od prĤmČtny) a vzdálenost základnice a horizontu (tedy výšku oka). Perspektivním obrazem pĜímky, která prochází okem, je jediný bod a to její prĤseþík s prĤmČtnou ν . K urþení obrazu pĜímky, která neprochází okem a je rĤznobČžná s prĤmČtnou, staþí nalézt obrazy dvou jejích bodĤ. SpeciálnČ se volí prĤseþík pĜímky s prĤmČtnou ν , tzv. stopník. Tento bod už nikam nepromítáme, protože leží v prĤmČtnČ, je tedy snadné sestrojit jeho obraz. Druhým bodem je obraz nevlastního bodu pĜímky, tzv. úbČžník. Sestrojíme ho jako prĤseþík rovnobČžky se zobrazovanou pĜímkou vedené okem s prĤmČtnou ν . ÚbČžník pĜímky mĤžeme také chápat jako perspektivní obraz bodu, který leží na této pĜímce nekoneþnČ daleko. Snadno si uvČdomíme, že úbČžníky všech pĜímek rovnobČžných se základní rovinou leží na horizontu. Jinými slovy horizont je množinou úbČžníkĤ všech pĜímek rovnobČžných se základní rovinou. Je zĜejmé, že pĜímky, které jsou vzájemnČ rovnobČžné, se zobrazují do rĤznobČžek se spoleþným úbČžníkem. Další podrobné informace o lineární perspektivČ nalezne þtenáĜ napĜ. ve [2]. Ve svých dílech úbČžníky ani jiné dĤležité body malíĜi samozĜejmČ nezobrazovali. Úþinným a osvČdþeným zpĤsobem, jak rozþlenit obraz do hloubky a usnadnit si tak zobrazování složitČjších obrazcĤ, bylo zakreslování þtvercové dlažby, tzv. pavimenta.
226
ν
H h
O
π U
O1
H
V h
z
Obr 2: Pavimentum v prĤþelné poloze a jeho perspektiva
Obr. 2: Pavimentum v prĤþelné poloze a jeho perspektiva
Z tohoto dĤvodu byla v dobách minulých vČnována nalezení správné konstrukce pavimenta znaþná pozornost. Obr. 2. vlevo ukazuje konstrukci perspektivního obrazu pavimenta v prĤþelné poloze, tj. jedna dvojice stran þtvercĤ je rovnobČžná se základnicí a druhá je tedy kolmá k prĤmČtnČ ν . PĜímkám, které jsou kolmé k prĤmČtnČ ν , Ĝíkáme hloubkové pĜímky, jejich úbČžníkem je hlavní bod H . Obr. 2. vpravo znázorĖuje situaci v prĤmČtnČ ν . Sestrojeny jsou také úhlopĜíþky þtvercové dlažby a jejich spoleþné úbČžníky na horizontu. NároþnČjší konstrukcí je obraz pavimenta v neprĤþelné poloze.
2 Vývoj v zobrazování prostoru 2.1
Nejstarší umČní
Nejstarší stopy lidské umČlecké þinnosti spadají až do pravČku – do starší doby kamenné. Jeskynní malby z tohoto období (cca 40 000 – 10 000 pĜ. Kr.) pĜekvapují svým realismem pĜedevším u zobrazování zvíĜat. Osoby byly naopak zobrazovány velmi jednoduše, nČkdy pouze symbolicky pomocí znaku nebo nČjakého charakteristického pĜedmČtu. DĤležitou roli hrály vztahy mezi osobami, pĜípadnČ i zvíĜaty. Velikost postav pĜedstavovala vztah nadĜazenosti þi podĜízenosti, nemČla zpravidla nic spoleþného se snahou o znázornČní prostoru, ta byla v tČchto dobách minimální. Více dĤkazĤ umČlecké þinnosti se dochovalo ze starovČku. Jednou z oblastí, kde malíĜství zaznamenalo pokrok, byl Egypt (cca od 4. tisíciletí pĜ. Kr.). Hlavním výtvarným prvkem byla obrysová kresba. Lidské tČlo bylo þasto zobrazováno z rĤzných pohledĤ. Trup byl zobrazen zepĜedu, hlava z profilu. Nebyly tedy používány perspektivní zásady promítání. Velikost postav opČt vyjadĜovala váhu a spoleþenské postavení þlovČka. Problém hloubky prostoru byl zprvu Ĝešen pouhým pĜekrýváním postav, pozdČji se ale objevovaly náznaky prostorového zobrazení. Obrazy byly rozdČleny na pásy, které se kladly na sebe, pĜiþemž každý vyšší pás znamenal ústup do hloubky. VČtší pokrok byl zaznamenán v etruském výtvarném umČní (8. až 4. století pĜ. Kr.). Postavy byly zobrazovány zcela realisticky. Docházelo k prvním pokusĤm o použití perspektivního zobrazení. PĜedmČty se zmenšují s rostoucí vzdáleností od prĤmČtny, navíc se obrazy rovnobČžných pĜímek kolmých na prĤmČtnu sbíhají v jednom nebo více blízkých úbČžnících. Drobné pĜedmČty na obrazech ale bývaly znázornČny spíše ve volném rovnobČžném promítání a pĜípadné nesrovnalosti byly rĤznČ maskovány. ěecké umČní (8. až 4. století pĜ. Kr.) dosahovalo znaþných úspČchĤ v oblasti stavitelství a sochaĜství, v malíĜství však nezaznamenalo výraznČjší úspČch. Z pozdního období Ĝeckého antického malíĜství se do dnešních dob nedochovalo témČĜ nic.
227
z
V umČní antického ěíma (8. století pĜ. Kr. až 5 století po Kr.) zaujímalo malíĜství jednu z pĜedních pozic. Malovaly se divadelní kulisy, které mČly navodit dokonalou iluzi prostoru. Perspektivního zobrazování bylo využíváno pĜi malbČ iluzivních prĤhledĤ do pĜedstíraných prostorĤ. DĤležitým odvČtvím Ĝímského malíĜství byla také knižní ilustrace. Po zániku ěímského impéria mizí i nadČje na další rozvoj perspektivního zobrazování. Další podrobné informace je možné nalézt napĜ. v [1]. 2.2
PĜedrenesanþní období
V prvních stoletích našeho letopoþtu má svĤj poþátek kĜesĢanské umČní západních zemí. Po uznání kĜesĢanství byla malba úzce spjata s Písmem a omezena pouze na jeho ilustrování. KĜesĢanství nastolilo tvrdá dogmata, podle kterých se umČlci museli Ĝídit. Bylo zavrhnuto antické umČní. Zobrazovali se pouze výjevy ze života svatých a i to mČlo svá pĜísná pravidla. Jak je vidČt, první kĜesĢanské doby byly malíĜství i sochaĜství krajnČ nepĜíznivé. V této dobČ se neobjevovaly žádné pokusy o znázornČní prostoru. Postupem þasu se ale situace stává pĜíznivČjší. Pro dČjiny malíĜství byla zvláštČ významná doba gotiky. Gotika obnovila staré znalosti realistického ztvárnČní postav, dokonce se objevovaly snahy umČlcĤ o perspektivní znázornČní pĜedmČtĤ, nelze však ještČ hovoĜit o lineární perspektivČ, neboĢ tehdejší malíĜi tvoĜili svá díla spíše intuitivnČ. V poslední fázi docházelo i k pokusĤm o realistické zobrazování prostoru. Avšak uvČdomČlé hledání zákonitostí perspektivy je prokazatelné až ke sklonku doby gotické a pĜevážnČ pak v období nastupující renesance. Mezi pĜedstavitele vrcholné gotiky patĜí Ambrogio di Bondone,1 zvaný Giotto, který jako jeden z prvních malíĜĤ usiloval o realistické zobrazování skuteþnosti. Jeho obrazy nejsou výsledkem geometrických konstrukcí, ale výsledkem intuice a dlouhodobého pozorování. Na tehdejší pozorovatele pĤsobily jeho obrazy takĜka jako skuteþnost, i když v jeho dílech nalézáme ještČ chyby v perspektivním zobrazování. RovnobČžné pĜímky se jednou zobrazují jako rovnobČžky, podruhé jako rĤznobČžky. Ovšem jeho ztvárnČní s náznaky perspektivy, tČlesnost postav byly základem, na nČmž se mohlo dále vyvíjet renesanþní malíĜství. 2.3
Renesance
Tento umČlecký sloh a zároveĖ i historická epocha se vyznaþoval zesvČtštČním, individualismem a návratem k antice. UmČlci vidČli v renesanci znovuzrození pravého umČní a kultury. Datuje se pĜibližnČ od 14. do 17. století, kolébkou nového umČní byla Florencie. HospodáĜský rozvoj a bohatství italských mČst byly hlavními pĜíþinami vzniku tohoto umČleckého smČru. Prosperita mČst vedla k rozvoji stavitelství, sochaĜství i malíĜství. Poþínaje renesancí zaþali být významní umČlci, zejména ve Florencii, zahrnováni poctami a spoleþnost je zaþala pokládat za intelektuály a ne za pouhé Ĝemeslníky, jak tomu bylo ve stĜedovČku. Základem umČní byla vČda. UmČlci té doby studovali optiku, zabývali se geometrií, mechanikou, pitvali zvíĜecí i lidská tČla, aby pochopili jejich anatomii, pozorovali pĜírodu. CelkovČ se velmi zasloužili o rozvoj pĜírodních vČd. Renesance dávala umČlcĤm prostor pro to, aby mohli navázat na své stĜedovČké pĜedchĤdce a jejich intuitivní používání lineární perspektivy geometricky odĤvodnili. S rozvojem renesance se mezi malíĜi rozšiĜovala znalost pravidel lineární perspektivy 1
Italský malíĜ a architekt, žil v letech 1267 až 1337. Mezi jeho nejznámČjší díla patĜí série fresek ze života sv. Františka v Assisi, výzdoba kaple signora Enrika Scrovegniho v PadovČ zobrazující život Panny Marie a Ježíše Krista. Další jeho díla jsou Vyhnání ćáblĤ z Arezza, Sen biskupĤv, VzkĜíšení Drusiany, Nanebevzetí Jana Evangelisty, …
228
a umČlci tČchto zásad plnČ využívali. První renesanþní umČlec, který si prokazatelnČ osvojil principy lineární perspektivy, byl Filippo Brunelleschi.2 Brunelleschi ztČlesĖoval renesanþní ideál všestrannČ vzdČlaného þlovČka s univerzálními zájmy. Je autorem mnoha matematických a architektonicko-teoretických studií. Poprvé urþil a dokázal základní prvky lineární perspektivy. Mezi malíĜi však jeho metody nebyly pĜíliš pĜijaty. Leon Battista Alberti3 ve svém spise O malíĜství uvedl základní poznatky o lineární perspektivČ v systém. Upozornil na chybnost florentské metody konstrukce pavimenta a popsal dvČ správné konstrukce pavimenta tzv. costruzione legittima a costruzione albertina. KromČ skuteþnČ pĜesných konstrukcí pavimenta v prĤþelné poloze užívali mnozí malíĜi Ĝadu dalších postupĤ – vČtšinou ale chybných. KromČ florentské metody to byla napĜ. Holbeinova konstrukce. ChybnČ zkonstruované pavimentum však nemuselo být na obraze nápadné. VČtšinou byla zakreslena jen jeho þást a úhlopĜíþky þtvercové dlažby, u kterých docházelo nejþastČji k chybnému zobrazování, se v dílech vČtšinou nijak nezdĤrazĖovaly. O rĤzných konstrukcích pavimenta se doþteme napĜ. v [1] nebo [5]. Dalším teoretikem lineární perspektivy byl Piero della Francesca.4 PatĜil k pĜedním tvĤrcĤm rané renesance, soustĜedil se pĜedevším na barvy a svČtlo v obraze. Jeho obraz Biþování Krista je pozoruhodnou ukázkou pĜesné perspektivní konstrukce. Hloubkové pĜímky se na tomto obraze sbíhají do jednoho bodu, je možné urþit i horizont. V zobrazení pavimenta se však objevují ještČ nepĜesnosti. KromČ zobrazování þtvercové dlažby se malíĜi setkávali i s dalšími úkoly jako napĜ. se sestrojením perspektivního obrazu kružnice ve vodorovné rovinČ. První z malíĜĤ, který ve své malbČ zobrazil obraz kružnice ve vodorovné rovinČ pĜesnČ, byl Sandro Botticelli.5 ZĜejmČ první, kdo si uvČdomil význam Brunelleschiho experimentĤ s perspektivou, byl Masaccio.6 Masaccio je považován za prĤkopníka renesanþní malby. Jeho slavná freska Svatá trojice pĜedstavuje dokonalou perspektivní konstrukci. Lidé si zprvu mysleli, že umČlec udČlal do zdi otvor, tak bylo zobrazení imaginární architektury, výklenku a valené klenby pĜesvČdþivé. Velkým inovátorem v oblasti perspektivního zobrazování byl bezesporu slavný Leonardo da Vinci (1452–1519). PĜedstavoval prototyp tvĤrþího renesanþního þlovČka, neboĢ prokazoval znalosti ve všech oblastech tehdejších pĜírodních vČd, techniky, architektury, sochaĜství i malíĜství. Za zmínku jistČ stojí, že se zabýval i nelineárními perspektivami. Jeho touha po absolutní dokonalosti ho stále nutila zlepšovat dosažené výsledky, což bylo pĜíþinou, že dokonþených dČl zanechal velmi málo. PĜíkladem je jeho skica KlanČní tĜí králĤ s podrobným rozborem použité perspektivy. Mezi jeho další slavná díla patĜí ZvČstování, Poslední veþeĜe, Madona ve skalách þi Mona Lisa. Zajímavé je, že Leonardo ve svých obrazech používá výhradnČ prĤþelné polohy pavimenta. PĜedstavitelem vrcholné renesance byl Michelangelo di Lodovico Buonarroti Simoni (1475–1564). Proslavil se jako sochaĜ (socha Davida, Pieta), architekt (bazilika sv. Petra – ústĜední prostor a kupole chrámu) a malíĜ. Byl geniálním umČlcem, posedlý hledáním dokonalosti a snahou dokázat, že je nejlepší. Mnohdy svá díla po dokonþení zámČrnČ
2
Významný italský sochaĜ a architekt, žil v letech 1377 až 1446. Proslavil se stavbou velkolepé kupole na katedrále Santa Maria del Fiore ve Florencii, podílel se na výstavbČ baziliky San Lorenzo ve Florencii. NevČnoval se pouze církevní architektuĜe, ale je také autorem florentských renesanþních palácĤ. Další informace je možné nalézt ve [3] a [6]. 3 Italský humanista, architekt, teoretik umČní, spisovatel a matematik, žil v letech 1404 až 1472. 4 Italský malíĜ a teoretik umČní, žil v letech 1416 až 1492. 5 Italský malíĜ, žil v letech 1445 až 1510. Mezi jeho nejslavnČjší díla patĜí Zrození Venuše, Primavera nebo ilustrace k Božské komedii. 6 Významný italský malíĜ, žil v letech 1401 až 1428. Je považován za zakladatele renesanþního malíĜství.
229
poškodil, když s nimi nebyl spokojen. V malíĜství se nejvíce proslavil výzdobou Sixtinské kaple ve Vatikánu. Jako umČlec, který znal perspektivu v takové míĜe, že mohl využívat její pĜednosti, si ale také uvČdomoval svazující rysy jejího užívání. VČdČl, že þlovČk neobsáhne velkou plochu obrazu jedním pohledem a že obrazy jsou navíc na okrajích zkresleny. Proto se nedal strhnout celkovou plochou stropu Sixtinské kaple, ale rozdČlil ho na nČkolik oddČlených þástí, které perspektivnČ vyĜešil zvlášĢ a vzájemnČ kompoziþnČ propojil. Další významní umČlci renesanþního období a jejich význaþná díla jsou popsány ve [3], [4] a [6]. Úplné znalosti zásad lineární perspektivy bylo dosaženo v období renesance. V tomto období i v obdobích pozdČjších, jako napĜ. v baroku, se již setkáváme s obrazy se správným perspektivním zobrazováním prostoru. 2.4
Další vývoj
Postupem þasu malíĜi lineární perspektivu opČt opouštČli. V nČkterých moderních umČleckých smČrech nebylo hlavním úkolem zobrazovat co nejvČrnČji skuteþnost. MalíĜi v lineární perspektivČ již nemohli objevit nic nového. Obrazy z tČchto období nejsou svázány tradiþním perspektivním vidČním. PostupnČ se vyvíjí abstraktní malíĜství.
3 ZávČr Podali jsme pĜehled vývoje v zobrazování prostoru. ZamČĜili jsme se pĜedevším na období renesance, kdy došlo k úplnému odhalení zákonitostí lineární perspektivy. PodrobnČjší popis vývoje perspektivního zobrazování a dalšího vývoje v zobrazování prostoru v nČkterých moderních umČleckých smČrech by mohl být zajímavým námČtem napĜíklad pro diplomovou práci. Literatura [1] Crhánová O.: Poþátky deskriptivní geometrie v malíĜství. Diplomová práce, Praha, 1982. [2] Drábek K., Harant F., Setzer O.: Deskriptivní geometrie II. Díl. SNTL – Nakladatelství technické literatury, Praha, 1979. [3] Chatelet A., Groslier B. P.: SvČtové dČjiny umČní. Ottovo nakladatelství, Praha, 2004. [4] Krasouvá A.-C.: DČjiny malíĜství – od renesance po souþasnost. Nakladatelství Slovart, Praha, 2008. [5] Šarounová A.: Geometrie a malíĜství – zrození lineární perspektivy. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roþník 40, Stavební fakulta ýVUT, Praha, 1995. [6] Wirtz R. C.: UmČní a architektura Florencie. Nakladatelství Slovart, Praha, 2007. Adresa RNDr. Petra Surynková Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected]
230
RUKOPIS BAKHŠHÁLÍ IRENA SÝKOROVÁ Abstract: The Bakhshali Manuscript is the name given to an ancient Indian mathematical work written on birch-bark. It was discovered in 1881 near the village Bakhshali. The manuscript is incomplete, its author and date are unknown. In the Bakhshali Manuscript there are several interesting problems such as solving of linear equations, solving of quadratic equations and the methods for calculating square root, examples of the rule of three, progressions and so on.
1 Úvod 1.1
Objevení rukopisu
Na severozápadČ Indického poloostrova, v dnešním Pákistánu, poblíž vesnice Bakhšhálí objevil v roce 1881 sedlák pracující na poli pod hromadou kamení popsané kousky bĜezové kĤry. SvĤj zajímavý nález oznámil, rukopis se dostal až ke guvernérovi Pandžábu. Ten jej na radu britského archeologa a indologa A. Cunninghama (1814–1893) naĜídil poslat do Kalkaty, kde jej zaþal studovat britský orientalista A. R. Hoernle (1841– 1918). Po jeho smrti se s ním zabýval G. R. Kaye (1866–1929) a mnozí další. 1.2
Popis
Rukopis se skládá ze 70 lístkĤ bĜezové kĤry, z nČkterých se však zachovaly jen fragmenty; nejvČtší lístek mČĜí 14,5 krát 8,9 centimetru. V dobrém stavu je 35 lístkĤ, pouze mírnČ poškozených je 16, silnČ poškozených je 7, z 11 lístkĤ se zachovaly pouze torza a 1 lístek je zcela prázdný, tj. nepopsaný. PozdČji se podaĜilo z nČkterých úlomkĤ rekonstruovat þást pĤvodní stránky. LístkĤm byla pĜidČlena þísla 1 až 70 (viz [5]). Dnes je rukopis uložen v Bodleian Library, univerzitní knihovnČ Oxfordské univerzity. Nalézt správné poĜadí lístkĤ popsaných z obou stran bylo obtížné, protože chybČlo þíslování listĤ na levém okraji rubové strany, které bývá obvyklé u starých sanskrtských rukopisĤ. Podle G. R. Kaye oþíslování lístkĤ neodpovídalo jejich poĜadí v rukopise a navrhl jejich nové uspoĜádání (viz [5]). PoĜadí lískĤ pomohl urþit nejen obsah textu, napĜ. þíslování nČkterých pravidel nebo pokraþování pĜíkladu na dalším lístku, ale i zkoumání kĤry, stopy sukĤ nebo barevnČ odlišné skvrny v kĤĜe. Rukopis bohužel není kompletní, není ani jasné, jak velká þást se zachovala, vČtší þást je patrnČ zniþená. Zaþátek i konec rukopisu je ztracený, není tedy znám ani autor ani pĤvodní název. Rukopis je napsán písmem šáradá používaným hlavnČ na severozápadČ Indie. Jazyk, kterým je rukopis napsán, považoval G. R. Kaye za sanskrt s nezvyklou gramatikou užívaný v 11. a 12. stol. n. l. na severozápadČ Indie, zatímco A. R. Hoernle tvrdil, že jde o dialekt ghátá nebo nČjakou formu severozápadního prákrtu, které se používaly kolem 3. stol. n. l. a pĜedcházely klasickému sanskrtu.
231
StáĜí rukopisu je pĜedmČtem mnoha diskusí. A. R. Hoernle považoval rukopis za práci ze 3. nebo 4. stol. n. l., zatímco G. R. Kaye datoval jeho vznik až do 12. století, a dokonce zpochybĖoval pravost rukopisu. Objevily se i názory, že dílo pochází ze 7. stol. n. l. (T. Hayashi, viz [6]) nebo, že se jedná o pozdČjší kopii pĤvodního díla z poþátku našeho letopoþtu (viz [4]).
2 Obsah rukopisu 2.1
Struktura rukopisu, zápis þísel
Dochovaná þást rukopisu Bakhšhálí je pĜevážnČ aritmetická a algebraická, text se skládá z pravidel a pĜíkladĤ. Pravidla (sútram) jsou psána ve verších a obvykle þíslována, není však uvedeno, jak byla odvozena. ZpĤsob vyjádĜení pravidel není pĜíliš srozumitelný, ke správnému pochopení bylo nutné studovat pĜipojené pĜíklady (udáharanam). PĜíklad zaþíná zkratkou udá a konþí otázkou. Zadání jsou zapsána slovy, pak nČkdy následují ještČ formální vyjádĜení (sthápanam) se zkratkami a þísly. V Ĝešení (karanam) jsou nČkdy citovány þásti použitých pravidel. Nakonec je provedena zkouška (pratyayam). Konec každého pravidla je za posledním pĜíkladem oznaþen symbolem a také þíslo pravidla je uvedeno až na konci. U nČkteré zkoušky je ještČ pĜipojen termín pratyaya-trai-rášikena (zkouška pravidlem tĜí) nebo pratyaya-rúponá-karanena (zkouška metodou rúponá). Zkouška se v nČkterých úlohách provádČla dosazením výsledku do zadání, nČkde jako provČĜení správnosti výpoþtu sloužilo Ĝešení pĤvodního problému provedené jiným zpĤsobem. V rukopise se už používal poziþní zápis þísel v desítkové soustavČ, v Ĝešení pĜíkladĤ se vyskytovala velká þísla (obsahující až 23 þíslic). Byla vČtšinou zapsána do „bunČk“, nČkdy byla pouze oddČlena jednou nebo dvČma svislými þarami, bČžné bylo používání zlomkĤ. V textu se þasto vyskytují zkratky, a to nejen místo matematických symbolĤ nebo k vyjádĜení jednotek, ale i místo bČžných slov. V rukopise se používají základní aritmetické operace – sþítání, odþítání, násobení a dČlení, chybí však popis, jakým zpĤsobem se operace provádČly. Nalezneme jen formální vyjádĜení výrazĤ a výsledky. Symboly pro aritmetické operace ještČ neexistovaly, proto jsou operace vyjádĜeny slovy nebo zkratkami, napĜ. bhá (bhága) umístČné za výrazem znamenalo, že jde o dČlitele, še (šesha) oznaþovalo zbytek, mú (múla) byla zkratka pro koĜen, tj. druhou odmocninu, pha (phala) znamenalo odpovČć, Ĝešení. Zvláštností rukopisu je výskyt znaménka „+“, které bylo umístČné za þíslem a znaþilo zápornou hodnotu, resp. oznaþovalo þíslo, které se mČlo odeþíst. V algebraické þásti rukopisu Bakhšhálí ještČ není oznaþení neznámých ustáleno; nČkde je pro neznámou použit stejný symbol jako pro nulu, tj. teþka (neznámé, nepĜítomné množství), nČkde jsou neznámé veliþiny oznaþené zkratkami slov. 2.2
Pravidlo tĜí
Pro pravidlo tĜí se ve staré Indii užíval název trairášika (tĜi þleny); bylo Ĝazeno mezi aritmetické operace, což bylo bČžné i pro arabské a stĜedovČké texty. TĜi dané þleny jsou p (zkratka slova pramána, dĤvod), f (zkratka slova phala, výsledek) a i (zkratka slova icchá, požadavek). Pravidlem tĜí se Ĝešily úlohy založené na pĜímé úmČrnosti: jestliže p 232
x i f ⋅i = x= (viz [3]). f p p Pravidlo tĜí bylo ve staré Indii velmi cenČné, protože bylo snadné a bylo možné je jednoduchým zpĤsobem použít pĜi Ĝešení bČžných problémĤ. V rukopise Bakhšhálí se vyskytuje jako pĜímá metoda výpoþtu nebo slouží ke kontrole správnosti výpoþtu.
dává f, kolik dá i? Hledalo se tedy þíslo x z rovnice
2.3
Metoda regula falsi
Metoda regula falsi byla popsána ve všech starých indických matematických dílech. Tato metoda je známá už ze starého Egypta a Mezopotámie (2. tis. pĜ. n. l.), s její pomocí se obcházelo pĜímé dČlení (viz napĜ. [1]). VČtšinou se užívala k Ĝešení rovnice typu ax = p . Postupovalo se tak, že se zvolilo za x vhodné þíslo x0 (odhad), vypoþítal se souþin ax 0 = p 0 , a pak se Ĝešení pĤvodní rovnice vypoþítalo ze vztahu x = p PĜi vhodné volbČ x0 byl výpoþet neznámé ze vztahu x = p
x0 (viz [3]). p0
x0 jednodušší než ze vztahu p0
p . V rukopise Bakhšhálí se touto metodou Ĝešila i rovnice ax + b = p . Zvolila se a hodnota x0 a vypoþítala se hodnota ax0 + b = p 0 . Správná hodnota x se pak vypoþítala x=
podle vzorce x = x0 + 2.4
p − p0 . a
Metoda rúponá
Metodou rúponá se poþítal souþet prvních n þlenĤ aritmetické posloupnosti (viz [5]). Oznaþíme-li první þlen posloupnosti a1 , diferenci d, pak výpoþet souþtu prvních n þlenĤ º ª (n − 1) d takové aritmetické posloupnosti odpovídá užití vzorce s = « + a1 » n . V rukopise ¼ ¬ 2 je první þlen aritmetické posloupnosti oznaþován zkratkou Ɨ (Ɨdi-dhana, první þlen), diference u (uttara, diference, pĜebytek) a poþet þlenĤ pa (pada, krok, tedy poþet krokĤ v posloupnosti). Také úlohy o posloupnostech byly známé už v EgyptČ a Mezopotámii (viz napĜ. [1]). Na lístku oznaþeném folio 9 recto je zajímavá úloha, kterou A. R. Hoernle formuloval takto (viz [5]): Na jistou hostinu je první den pozván jeden bráhman a každý následující den další bráhman. Na jinou hostinu je pozváno každý den deset bráhmanĤ. Za kolik dní bude poþet bráhmanĤ stejný a kolik jich bylo pozváno? Poþet bráhmanĤ na první hostinČ tvoĜí aritmetickou posloupnost, kde a1 = 1 a d = 1 . º ª (n − 1)d Dnes bychom podobnou úlohu Ĝešili pomocí rovnice « + a1 » n = 10n , ze které se ¼ ¬ 2 2(10 − a1 ) 2(10 − 1) + 1 , a po dosazení se vypoþítá n = vyjádĜí n, tj. n = + 1 = 19 . PĤvodní d 1 postup výpoþtu odpovídá tomuto vzorci, není však zcela jasné, jakým zpĤsobem byl
233
chápán. V pĜipojené zkoušce se poþet bráhmanĤ pozvaných na první hostinu poþítal metodou rúponá (viz poslední Ĝádek na obr. 1). Obr. 1. Folio 9 recto
2.5
Výpoþet druhé odmocniny
Pozoruhodný je pomČrnČ pĜesný výpoþet druhé odmocniny (viz [5]). Pravidlo je sice poškozené, ale vyskytuje se na tĜech lístcích, proto je bylo možno spolehlivČ rekonstruovat. Výpoþet pĜibližné hodnoty druhé odmocniny þísla, které není þtvercem, bychom b dnes mohli vyjádĜit vzorcem Q = a 2 + b ≈ a + = q1 , kde a 2 < Q = a 2 + b < (a + 1) 2 . 2a 2
2
b b · § b · § Q = a2 + b < a2 + b + ¨ ¸ = ¨a + = q1 , tedy q1 > Q . ¸ =a+ 2a ¹ 2a © 2a ¹ © Podobným zpĤsobem byla poþítána i druhá aproximace hledané odmocniny. Protože první aproximace q1 byla vČtší než hledaná odmocnina, bylo tĜeba tuto hodnotu zmenšit.
Platí totiž
2
§ b · Oznaþíme r = q12 − Q = ¨ ¸ a pak druhou aproximaci dané odmocniny lze poþítat © 2a ¹ 2
jako
§ r · ¸¸ Q = q12 − r < q12 − r + ¨¨ © 2q1 ¹
2
§ b · ¨ ¸ r b 2a . = q1 − =a+ − © ¹ b · 2q1 2a § 2¨a + ¸ 2a ¹ ©
234
922 = 21,95238 . 42 424642 Na listu folio 56 recto je uvedena druhá aproximace jako 481 ≈ = 21,93172 . 19362 Tato hodnota se liší od správné hodnoty 21,9317121… až na pátém místČ za desetinnou þárkou. Takto poþítali hodnotu druhé odmocniny již ve staré Mezopotámii (viz napĜ. [1]) a podobnČ se poþítaly odmocniny i ve stĜedovČku (viz napĜ. [2]).
Na listu folio 65 verso je poþítána
2.6
481 . První aproximace je
481 ≈
Další typy pĜíkladĤ
Rukopis obsahuje nČkolik pĜíkladĤ, které vedou na soustavy lineárních rovnic, na kvadratické rovnice, dále na úlohy o pohybu, na rĤzné úlohy o majetku, nalézají se zde i pĜíklady na posloupnosti apod. PĜi Ĝešení soustav lineárních rovnic nebylo jednotné znaþení neznámých, napĜ. na listu s oznaþením folio 29 verso je soustava pČti lineárních rovnic s pČti neznámými, které jsou oznaþené jako pra, dvi, tr, ca, pam, což jsou zkratky slov první, druhý, tĜetí, þtvrtý a pátý. Lístek je hodnČ poškozen, proto je zadání úlohy nejasné. Je zde však uveden postup Ĝešení soustavy rovnic x1 + x 2 = 16 , x 2 + x3 = 17 , x3 + x 4 = 18 , x 4 + x5 = 19 , x5 + x1 = 20 . Nejprve se od þtvrté rovnice odeþetla tĜetí, pĜiþetla druhá a odeþetla první, tím se získala rovnice x5 − x1 = 19 − 18 + 17 − 16 = 2 . Odtud se vyjádĜilo x5 a dosadilo do poslední rovnice, tj. 2 x1 + 2 = 20 . Tato rovnice je jednoduchá, mohla by se Ĝešit pĜímo. PĜíklad však mČl pravdČpodobnČ sloužit jako „demonstraþní“, proto se pro Ĝešení této rovnice užila metoda regula falsi. Zvolilo se ~ x1 = 10 a pak se postupným dosazováním do prvních þtyĜ rovnic dopoþítaly další neznámé ~ x2 = 6 , ~ x3 = 11 , ~ x4 = 7 a ~ x5 = 12 . Potom by ~ ~ poslední rovnice byla x5 + x1 = 22 = p 0 ≠ p = 20 . Nyní se užitím metody regula falsi p − p0 20 − 22 , tedy x1 = 10 + = 9, a 2 a z dalších rovnic se získaly správné hodnoty i ostatních neznámých x 2 = 7 , x3 = 10 ,
vypoþítala správná hodnota podle vzorce x1 = ~ x1 +
x 4 = 8 a x5 = 11 . Obr. 2. Folio 29 verso
235
Na listu folio 27 verso je ještČ zkouška.
Na listu oznaþeném folio 3 verso jsou neznámé oznaþené a, ha, ú, tj. zkratkami slov ašva, haya (druhy koní) a úshtra (velbloud). Zadání pĜíkladu lze vyjádĜit takto (viz [5]): Jeden vlastní 7 koní ašva, druhý 9 koní haya, tĜetí 10 velbloudĤ úshtra. Každý dá jedno své zvíĜe každému z ostatních, a pak jejich majetky mají stejnou hodnotu. PotĜebujeme nalézt pĤvodní majetek každého kupce a cenu každého zvíĜete. Jsi-li chytrý, rozĜeš hádanku. Oznaþíme-li neznámé (ceny zvíĜat) x, y, z (v rukopise a, ha, ú), pak po darování mají všichni stejnČ, tedy platí 5 x + y + z = x + 7 y + z = x + y + 8 z , a po snadné úpravČ lze rovnice upravit do tvaru 4 x + ( x + y + z ) = 6 y + ( x + y + z ) = 7 z + ( x + y + z ) . Odtud je zĜejk k k mé, že 4 x = 6 y = 7 z = k , pro jednotlivé neznámé platí x = , y = , z = , jejich souþet 4 6 7 k k k 42 + 28 + 24 k . Pro pohodlné poþítání se zvolilo k = 168 , je roven x + y + z = + + = 4 6 7 168 pak x = 42 , y = 28 a z = 24 . Zbývá ještČ urþit hodnotu majetku každého kupce, první kupec mČl 7 x = 294 , druhý 9 y = 252 a tĜetí 10 z = 240 . Za Ĝešením patrnČ následuje
236
zkouška, kterou se ovČĜuje rovnost majetkĤ po darování, tj. 5 ⋅ 42 + 28 + 24 = 262 , 42 + 7 ⋅ 28 + 24 = 262 , 42 + 28 + 8 ⋅ 24 = 262 . Postup výpoþtu je v rukopise popsán takto (viz [5]): Dané majetky 7 a, 9 ha, 10 ú zmenšené o 3, [jsou] 4, 6, 7. Násobením každého 168 168 168 ostatními 168, 168, 168, dČlení [každým z nich] , , dává 42, 28, 24. 4 6 7 Poþáteþní majetky 294, 252, 240, stejné majetky 262, 262, 262. Obr. 3. Folio 3 verso
3 ZávČr Úlohy uvedené v rukopise podávají zajímavá svČdectví o životČ spoleþnosti ve staré Indii. V pĜíkladech se objevují jména rĤzných bohĤ, kterým byly pĜinášeny dary a obČti (Šiva, Vásudeva), jsou zmínČny historické události i legendy. Jsou uvedeny i názvy starých jednotek délky, váhy, objemu, þasu a mČny. Také je možno nalézt stará jména rĤzných zvíĜat (slon, kĤĖ, velbloud, kráva, had, sup), názvy potravin a koĜení (pšenice, jeþmen, rýže, sĤl, šafrán) i výrazy pro zlato a železo. V nČkterých úlohách jsou cenné informace o tehdejších znalostech vesmíru (denní dráha Saturnu).
237
Rukopis Bakhšhálí je rozhodnČ velmi zajímavá práce, i když okolnosti jejího vzniku ještČ nejsou zcela vyjasnČny. PĜipomeĖme, že roku 1931 vyšla krátká recenze v ýPMF (viz [7]). Literatura [1] BeþváĜ J., BeþváĜová M., Vymazalová H.: Matematika ve starovČku. Egypt a Mezopotámie. DČjiny matematiky, svazek 23, Prometheus, Praha, 2003. [2] BeþváĜ J. a kol.: Matematika ve stĜedovČké EvropČ. DČjiny matematiky, svazek 19, Prometheus, Praha, 2001. [3] Datta B., Singh A. N.: History of Hindu Mathematics (part I). Molital Banarsidass, Lahore, 1935, 1938. [4] Joseph G. G.: The Crest of the Peacock. Penguin Books, 1990. [5] Kaye G. R.: The Bakhshali Manuscript: a study in medieval mathematics (parts 1–2, part 3). Calcutta, Government of India Central Publication Branch, 1927–1933. [6] O'Connor J. J., Robertson E. F.: The Bakhshali manuscript [online]. Poslední revize leden 2000 [cit. 12. 4. 2010]. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/References/Bakhshali_manuscript.html
[7] Vetter Q.: Bakhshali Manuscript (Archeological survey of India, new imp. Series vol. XLIII, parts I and II). ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 60(1931), 274.
Adresa RNDr. Irena Sýkorová Katedra matematiky Vysoká škola ekonomická Ekonomická 957 148 00 Praha 4 e-mail:
[email protected]
238
POýÁTKY TEORIE MATIC U NÁS, OBZVLÁŠTċ WEYROVA TEORIE MARTINA ŠTċPÁNOVÁ Abstract: The aim of the paper is to introduce main results which are connected with the theory of matrices and which were enunciated in the Czech lands to the end of the 19th century. Czech mathematician Eduard Weyr published his original worldwide reputable results in the second half of the 19th century. We also mention some Czech textbooks on algebra which were written in this period.
1 Úvod 1.1
Vývoj teorie matic v þeských zemích v kontextu vývoje svČtového
Teorie matic je pomČrnČ mladou oblastí matematiky, pojem matice lze však vystopovat již v dobČ pĜed naším letopoþtem ve spojení s Ĝešením soustav lineárních rovnic. Na mysli máme zejména þínský postup Ĝešení soustavy lineárních rovnic, který odpovídá Gaussovu eliminaþnímu algoritmu. Teorie matic se však nevyvinula pĜímo ze studia koeficientĤ tČchto rovnic, jak by se dalo pĜedpokládat. Za jakési mezistupnČ mĤžeme oznaþit vznik a následný rozvoj teorie determinantĤ a teorie bilineárních a kvadratických forem. ěada svČtových matematikĤ sestavovala koeficienty vyskytující se v soustavách lineárních rovnic do algebraických výrazĤ, které vyjadĜovaly jednotlivé neznámé. K výrazu, který dnes nazýváme determinantem, dospČl nČmecký matematik, filozof a diplomat G. W. Leibniz (1646–1716), za zrod teorie determinantĤ je nejþastČji považováno zveĜejnČní tzv. Cramerova pravidla v monografii švýcarského matematika G. Cramera (1704–1752) Introduction à Đanalyse des lignes courbes algébriques z roku 1750.1 NČmecký matematik, astronom a fyzik C. F. Gauss (1777–1855) pĜiĜazoval na pĜelomu 18. a 19. století kvadratickým formám jejich diskriminant,2 koeficienty kvadratických forem zaþal umisĢovat do tabulek. UspoĜádání koeficientĤ však zavedl jiným zpĤsobem, než jsme dnes zvyklí. Symetrickou matici reprezentující kvadratickou formu v dnešním tvaru, uvedl až GaussĤv žák F. G. M. Eisenstein (1823–1852). PostupnČ se schylovalo ke vzniku teorie matic. Za tento okamžik je nejþastČji oznaþeno publikování práce anglického matematika A. Cayleyho nazvané sugestivnČ A memoir on the theory of matrices z roku 1858.3 Trvalo však ještČ asi pČt desetiletí, než se maticová Ĝeþ ujala. Vznik teorie determinantĤ tedy pĜedcházel zrodu teorie matic o více než jedno století. I po vzniku teorie matic však byla stále vČtšina poznatkĤ formulována v Ĝeþi bilineárních a kvadratických forem a pĜetrvával dĤraz na teorii determinantĤ. 1
Cramerovo pravidlo však znal již roku 1729 skotský matematik Colin Maclaurin, který je však nepopsal dostateþnČ pĜesnČ (neuvedl napĜíklad zpĤsob Ĝešení soustavy se singulární maticí). Diskuzi k oznaþení zakladatele teorie determinantĤ mĤže þtenáĜ nalézt v [1]. 2 Slovo diskriminant je zde uvedeno vzhledem k dnešní terminologii, Gauss toto þíslo nazval determinant. 3 RovnČž otázka zakladatele teorie matic je stále diskutována. Pro bližší seznámení s problematikou viz opČt [1].
239
Situace v þeských zemích odpovídala evropskému vývoji. ýeští matematikové publikovali práce z teorie determinantĤ výraznČ dĜíve než z maticového poþtu. PĜesto mezi nimi mĤžeme nalézt vČdce, který pracoval jiným zpĤsobem, než bylo tehdy ve svČtČ bČžné. Touto výjimkou je Eduard Weyr, který v dobČ pĜetrvávajícího užívání Ĝeþi forem vyjadĜoval své výsledky již v Ĝeþi matic a snažil se jako jeden z prvních matematikĤ na evropském kontinentČ sjednotit teorii matic s teorií bilineárních a kvadratických forem. Jeho znalost matematického aparátu byla na svČtové úrovni, k nČkterým otázkám pĜistupoval ze zcela jiného, modernČjšího pohledu než ostatní svČtoví matematici. 1.2
První práce z teorie forem a první uþebnice algebry
Pomineme-li stĜedovČké poþetnice a nČkteré algebraické výsledky, které byly formulovány v rámci prací zamČĜených na jiné oblasti matematiky,4 nelze v souvislosti s þeskými zemČmi až do poloviny 19. století mluvit o dílech, která by se soustavnČji vČnovala algebĜe. Tato situace se však po polovinČ století zaþínala mČnit. VídeĖská akademie vČd vydala roku 18585 práci faráĜe a suplujícího gymnaziálního profesora Václava Šimerky (1819–1887) Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinante, která byla pĜedtím, zĜejmČ v jiné podobČ, odmítnuta Královskou þeskou spoleþností nauk. VČnovala se v té dobČ znaþnČ zkoumané teorii kvadratických forem; autor zjednodušil a upravil Legendreovu metodu pro skládání dvou kvadratických forem a zkoumal mimo jiné aplikace kvadratických forem k Ĝešení neurþité rovnice ax2 + bxy + cy2 = pzm. Roku 1863 byla v Praze vydána Šimerkova Algebra þili poþtáĜství obecné, ke které autor pĜipojil základní poznatky z diferenciálního a integrálního poþtu. Publikace byla schválena ministerstvem jako uþebnice pro stĜední školy, zmínČný pĜipojený pĜehled matematické analýzy byl následujícího roku vydán samostatnČ pod názvem PĜídavek k algebĜe. Šimerka byl prvním þeským matematikem, který publikoval þlánek o teorii determinantĤ.6 Jeho odborné práce však nevzbudily vČtší pozornost.7 V jisté míĜe se na této skuteþnosti podílela i jeho izolovanost od matematické komunity, která mu znaþnČ komplikovala práci. Augustin Pánek (1843–1908) uvádí v [10], že se ji zĜejmČ snažil pĜekonat alespoĖ svoji oddaností matematice: ... lze poznati, s jakou láskou myslitel náš pČstoval královskou vČdu mathematickou až do posledního dechu. Rok po ŠimerkovČ algebĜe, tj. roku 1864, vyšla Algebra pro stĜední školy od Josefa Smolíka (1832–1915).8
4 NapĜ. Bolzanovo zpĜesnČní Gaussových dĤkazĤ základní vČty algebry z roku 1817 uvedené v rámci práce vČnované teorii Ĝad a teorii funkcí. 5 Rok 1858 je uveden v þláncích [10] a [12]. Literatura [7] však zmiĖuje rok 1857, což je rok odmítnutí práce Královskou þeskou spoleþností nauk. 6 Jde o staĢ Bestimmte Gleichungen des ersten Grades mit n Unbekannten gelöst mittels der Permutationslehre vydanou ve Vídni roku 1858. Pojednává o Ĝešení soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla. 7 Urþitou výjimkou je spis Síla pĜesvČdþení. Viz ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky, 11(1882), 75–111. Jeho nČmecká pĜepracovaná verze Die Kraft der Ueberzeugung byla publikována roku 1883 ve Vídni. 8 Bližší informace o životČ a díle Josefa Smolíka lze nalézt v [4], ménČ podrobnČji v kapitole StĜedoškolští uþitelé v [3].
240
2 Teorie determinantĤ ve 2. polovinČ 19. století Ve druhé polovinČ 19. století bylo u nás v algebĜe snad nejvíce pozornosti vČnováno teorii determinantĤ. MĤžeme Ĝíci, že se jednalo vČtšinou o kratší práce, které významné pĤvodní myšlenky nepĜinášely, ale spíše opakovaly výsledky tou dobou již známé v zahraniþí, rozvíjely nepodstatné vylepšení teorie þi její aplikace v ostatních matematických disciplínách.. Martin Pokorný (1836–1900) vydal roku 1865 knihu Determinanty a vyšší rovnice, která je první þesky psanou uþebnicí, jež je z velké þásti vČnována nauce o determinantech. PĜeložil též 1. díl uþebnice Richarda Baltzera (1818–1887) Die Elemente der Mathematik. V teorii determinantĤ pracovali F. J. Studniþka, K. Zahradník, Ed. Weyr, J. Valenta, M. Lerch, W. Matzka, L. Kraus, V. Jung, M. N. VanČþek, F. Hoza, M. PelnáĜ, O. Ježek, A. Puchta a další. NejsoustavnČji se této problematice vČnoval František Josef Studniþka (1836–1903). 2.1
Determinanty v pracích Františka Josefa Studniþky
František Josef Studniþka byl výraznou osobností þeské matematické komunity 2. poloviny 19. století. Svojí neúnavnou prací pro Ĝadu odborných spolkĤ (napĜ. pro Jednotu þeských matematikĤ a fyzikĤ, Královskou þeskou spoleþnost nauk), pedagogickou a organizaþní þinností a vydáváním þesky psaných uþebnic pomáhal velkou mČrou k rozkvČtu þeské matematiky. Teorii determinantĤ je vČnována znaþná þást Studniþkových prací. Ani v nich však nenacházíme pĤvodní výsledky, ale spíše jen pozmČnČné postupy a speciální pĜípady v zahraniþí známých skuteþností. Velkou pozornost Studniþka vČnoval nČkterým základním poznatkĤm, napĜ. výpoþtĤm determinantĤ, typĤm úprav þi LaplaceovČ vČtČ. Zabýval se nulovostí determinantu v závislosti na vlastnostech pĜíslušné matice, determinanty symetrických, antisymetrických, persymetrických,9 reciprokých a jiných speciálních matic i rĤznými funkcionálními determinanty. Znaþnou pozornost vČnoval pojmĤm mocninný a sestavný determinant. Mocninným determinantem pĜitom nazýval determinant tvaru
a1m1 a 2m1
a1m2 a 2m2
a nm1
a nm2
a1mn a 2mn , a nmn
kde a1, a2, ... , an jsou libovolná þísla, m1 = 0 < m2 < ... < mn jsou þísla celá. Jedná se tedy o obecnČji koncipovaný VandermondeĤv determinant, s nimž již pracoval Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796), Pierre-Simon Laplace (1749–1827), Étienne Bézout (1730–1783) a jiní.
9
V persymetrické matici se rovnají prvky se stejným souþtem Ĝádkového a sloupcového indexu.
241
Sestavným (kombinaþním) determinantem oznaþoval Studniþka determinant uspoĜádaný ze symetrických funkcí K0, K1, ... , Kn vytvoĜených z prvkĤ a1, a2, ... , an. Tyto funkce jsou do ĜádkĤ v uvedeném poĜadí vepsány tak, aby byl každý další Ĝádek „posunut alespoĖ o jeden prvek doprava”. PĜíkladem sestavného determinantu je
K2 K1 1 0 0
K3 K2 K1
K4 K3 K2
0 0
1 0
0 K4 K3 K1 1
0 0 K4 , K2 K1
kde K0 = 1, K1 = a1 + a2 + ... +an, K2 = a1a2 + a1a3 + ... + a1an + a2a3 + a2a4 + ... + an–1an, .......................................................................................... Kn = a1a2a3. ... .an. Studniþka také nacházel nČkteré vztahy mezi mocninnými a sestavnými determinanty. Ve své þtyĜicetistránkové práci A. L. Cauchy als formaler Begründer der Determinanten-Theorie. Eine literarisch-historische Studie z poloviny osmdesátých let, vyslovil názor, že skuteþným zakladatelem teorie determinantĤ je Cauchy. ZaĜadil se tak i mezi uznávané historiky matematiky. PĜehled prací F. J. Studniþky se nachází napĜ. v [6] (viz též [8]), pĜipomeĖme zde ještČ jeho uþebnice pojednávající o determinantech: útlá knížka O determinantech, která vyšla i nČmecky a rusky,10 uþebnice Úvod do nauky o determinantech a spis O determinantech mocninných a sestavných, který roku 1897 získal cenu Královské þeské spoleþnosti nauk.
3 Teorie matic ve 2. polovinČ 19. století Teorií matic se v našich zemích ve druhé polovinČ 19. století zabývali jen Eduard Weyr (1852–1903) a Ludvík Kraus (1857–1885), jehož pĜedþasná smrt byla velkou ztrátou pro naši matematickou obec. ZmínČní matematikové se znali osobnČ, byli pĜátelé;11 byl to zĜejmČ právČ Kraus, který vzbudil WeyrĤv zájem o maticový poþet.
10 NČmecká verze se jmenuje Einleitung in die Theorie der Determinanten. Für Studierende an Mittelschulen und technischen Anstalten, ruská Naþal’naja osnovanija teorii Determinantov’ ili opred’litelej. 11 Uvećme pro zajímavost nČkterá pochvalná vyjádĜení Eduarda Weyra na adresu Krause uveĜejnČná v [15]: … úvahy dra. Krause vynikají takovou pĜesností a obsahují tolik duchaplných myšlének, že je lze nazvati pravými perlami. … Hlavním cílem života jeho bylo poznati pravdy mathematické; za tím cílem kráþel neohlížeje se ani po zevní slávČ ani po hmotných výhodách …
242
3.1
Krátká poznámka o Ludvíku Krausovi
Ludvík Kraus absolvoval pĜednášky Felixe Kleina (1849–1925) v MnichovČ a po þtyĜi semestry poslouchal v BerlínČ Karla Weierstrasse (1815–1897) a Leopolda Kroneckera (1823–1891). Roku 1881 se stal soukromým docentem na pražské univerzitČ, kde se snažil své zahraniþní zkušenosti pĜedávat dál. Jeho odborné schopnosti dokumentuje skuteþnost, že roku 1884 znal obecný dĤkaz Cayleyovy–Hamiltonovy vČty.12 3.2
Eduard Weyr
RovnČž Eduard Weyr získal mnohé své znalosti a zkušenosti studiem v zahraniþí (Göttingen, PaĜíž), roku 1874 se habilitoval na þeské polytechnice, roku 1876 na pražské univerzitČ. Od téhož roku byl mimoĜádným a od roku 1881 Ĝádným profesorem na þeské polytechnice, od roku 1890 suplujícím profesorem na þeské univerzitČ v Praze. Bližší informace o životČ Eduarda Weyra uvádí [2] nebo [11]. Uvećme nyní v chronologickém sledu jeho nejdĤležitČjší práce13 a výsledky týkající se teorie matic; nejprve však zmiĖme pokus o vydání trojdílné uþebnice Základové vyšší algebry, kterou mČl Eduard Weyr napsat se svým asistentem a pĜítelem Václavem Karlem ěehoĜovským (1849–1911).14 Zatímco první, ěehoĜovským sepsaný svazek Theorie soumČrných funkcí koĜenĤ vyšel roku 1883, zbývající dva, které se mČly týkat eliminace, resultantĤ a determinantĤ, resp. teorie invariantĤ a kovariantĤ, publikovány nebyly. 3.3
PĜehled nejdĤležitČjších prací a výsledkĤ Eduarda Weyra
Dne 25. dubna 1884 vystoupil Eduard Weyr na zasedání Královské þeské spoleþnosti nauk s pĜednáškou O základní vČtČ v theorii matric. Uvedl zde KrausĤv dĤkaz Cayleyovy–Hamiltonovy vČty a poté svou pozmČnČnou verzi. V témže roce v práci Sur la théorie des quaternions sestrojil pro matici M druhého Ĝádu matici eM =
μ .e μ 2 − μ 2 .e μ1 e μ1 − e μ 2 ⋅M + 1 ⋅E, μ1 − μ 2 μ1 − μ 2
kde E je jednotková matice a μ1, μ2 jsou tzv. charakteristické koĜeny matice M. Charakteristickými koĜeny matice pĜitom Weyr rozumČl její vlastní þísla. Definoval také pĜirozený logaritmus log M matice M vztahem elog M = M, a byl tak jedním z prvních matematikĤ, kteĜí s exponenciálou s maticovým argumentem a logaritmem matice pracovali. 12
Vyslovení Cayleyovy–Hamiltonovy vČty bylo nejdĤležitČjším výsledkem již zmínČného þlánku A memoir on the theory of matrices z roku 1858. DĤkaz této vČty však A. Cayley podal pouze pro matice Ĝádu dva, naznaþil pro matice Ĝádu tĜi a podotkl, že si nemyslí, že by bylo nutné pĜedložit obecný dĤkaz. 13 PĜehled prací Eduarda Weyra sestavený na základČ seznamu Karla Petra z roku 1905 je uveden v [2]. 14 Bližší informace o V. K. ěehoĜovském lze nalézt napĜ. v [14].
243
V roce 1885 vyšel v ýasopise pro pČstování matematiky a fyziky WeyrĤv þlánek O Ĝešení lineárních rovnic týkající se Ĝešení soustav lineárních rovnic a ve francouzském þasopisu Comptes Rendus dva jeho krátké þlánky Sur la théorie des matrices a Répartition des matrices en espèces et formation de toutes les espèces. V nich ve struþnosti prezentoval svoji teorii charakteristických þísel a s ní spojenou problematiku typických tvarĤ matic. VystavČl ji na pojmu nulita matice.15 V þlánku Sur la théorie des matrices uvedl svĤj odhad nulity souþinu dvou matic: n (Ai) n (A1A2) n (A1) + n (A2), i = 1, 2. Problematiku uvedenou v obou þláncích pozdČji rozvedl a podrobnČ vysvČtlil v práci O theorii forem bilinearných a v její nČmecké verzi Zur Theorie der bilinearen Formen. Vedle obecnČ známého pojmu charakteristické koĜeny (dnes vlastní þíslo) zavedl Weyr i svĤj termín charakteristické þíslo. Jestliže je A komplexní matice n-tého Ĝádu a λ její s-násobný charakteristický koĜen, potom existuje pĜirozené þíslo r, pro které je n (A – λE) < n (A – λE) 2 < … < n (A – λE) r = n (A – λE) r + 1 = … . Oznaþíme-li n (A – λE) = α1, n (A – λE) 2 = α1 + α2, ……………………… n (A – λE) r = α1 + α2 + … + αr, potom pĜirozená þísla α1, α2, … , αr nazveme k charakteristickému koĜenu λ. Platí pro nČ vztahy
charakteristická
þísla
pĜíslušná
α1 α2 … αr, α1 + α2+ … + αr = s. Eduard Weyr uvedl velmi dĤležitý poznatek: systém všech charakteristických koĜenĤ a pĜíslušných charakteristických þísel tvoĜí úplný systém invariantĤ podobnosti matic a ke každé pĜípustné volbČ tČchto invariantĤ je pĜidružena tĜída podobných matic. Soubor všech charakteristických þísel pĜíslušných ke všem charakteristickým koĜenĤm se nazývá Weyrova charakteristika. Dále sestrojil konkrétní matici M Ĝádu n mající dané charakteristické koĜeny a charakteristická þísla a k této matici nalezl s využitím vztahu X = Q –1M Q všechny matice X patĜící do stejné tĜídy podobných matic. PĜitom matice M má velmi jednoduchý tvar, který Ed. Weyr nazval typický tvar. Až na uspoĜádání prvkĤ je to Jordanova matice.
15
V té dobČ užívaný pojem nulita matice znamená (pro þtvercovou matici) rozdíl Ĝádu a hodnosti matice. Pojem nulita matice definoval James Joseph Sylvester (1814–1897) roku 1882 v práci On the properties of a split matrix. Pojem hodnosti zavedl roku 1879 Georg Ferdinand Frobenius (1849–1917) ve dvou þláncích (v jednom pro þtvercovou matici, ve druhém pro obdélníkovou matici).
244
V roce 1887 vyšlo ve VČstníku Královské þeské spoleþnosti nauk Weyrovo pojednání O binarných matricích. Binarnými matricemi pĜitom Weyr nazýval matice druhého Ĝádu, vyložil základní poznatky o tČchto maticích a operacích s nimi. Práce sloužila pĜedevším pro popularizaci teorie matic a k objasnČní vztahu mezi maticemi a hyperkomplexními þísly. Pod pojmem kvaternion rozumČl Eduard Weyr kvaternion s komplexními koeficienty,16 k odlišení kvaternionu s reálnými koeficienty pak používal pĜívlastku reálný. Pozornost vČnoval opČt i kanonickým tvarĤm. RovnČž dokázal, že celou i racionální funkci matice M druhého Ĝádu lze redukovat na lineární funkci tvaru αM + βE, kde skaláry α, β je možno vyjádĜit pomocí charakteristických koĜenĤ (E je jednotková matice). Jestliže jsou absolutní hodnoty charakteristických koĜenĤ μ1, μ2 matice M menší než je polomČr konvergence Ĝady
ϕ (z) =
∞
¦a
j
zj ,
j =0
potom je definována i matice
ϕ (M) =
∞
¦a M j
j
,
j =0
a platí ϕ (M) = αM + βE. Skaláry α, β se urþí pomocí Ĝady ϕ (z). Eduard Weyr se vČnoval i komplanárním maticím; maticí komplanární s maticí M pĜitom rozumČl každou matici tvaru αM + βE. Ukázal, že všechny matice komplanární s urþitou maticí M jsou komplanární navzájem a že výsledkem sþítání a násobení komplanárních matic je opČt matice komplanární s maticemi, s nimiž operace provádíme. Popsal též vztah mezi maticemi druhého Ĝádu a hyperkomplexními þísly,17 konkrétnČji kvaterniony. Jsou-li J1, J2, J3, J4 þtyĜi lineárnČ nezávislé matice druhého Ĝádu, pak lze každou matici M druhého Ĝádu psát ve tvaru M = ρ1J1 + ρ2J2 + ρ3J3 + ρ4J4 a matice druhého Ĝádu považovat za systém hyperkomplexních þísel se þtyĜmi základními jednotkami. Násobení v tomto systému je zavedeno pomocí tzv. strukturních konstant. Eduard Weyr rovnČž uvedl nČkteré konkrétní volby základních matic. Velmi jednoduchá je následující varianta: §1 0· ¸¸ , J2 = J1 = ¨¨ ©0 0¹
§0 1· ¸¸ , J3 = ¨¨ ©0 0¹
16
§0 0· ¸¸ , J4 = ¨¨ ©1 0¹
§ 0 0· ¸¸ . ¨¨ ©0 1¹
Kvaternion s komplexními koeficienty se vČtšinou nazývá bikvaternion. KromČ Eduarda Weyra se problematikou hyperkomplexních þísel v þeských zemích ve druhé polovinČ 19. století zabývali i August Seydler (1849–1891), Matyáš Lerch (1860–1922), František Josef Studniþka, Jan Odstrþil (1837–1888) a jiní. 17
245
Pro volbu §1 0· ¸¸ J1 = 1 = ¨¨ ©0 1¹ nalezl Ed. Weyr matice § 0 1· ¸¸ , J3 = j = J2 = i = ¨¨ © −1 0¹
§ 0 ¨ ¨ −1 ©
−1· ¸ , J4 = k = 0 ¸¹
§ −1 0 · ¨ ¸ , ¨ 0 − − 1 ¸¹ ©
pro které platí J2 J2 = J3 J3 = – J1 a dále J2 J3 = – J3 J2 = J4. Souvislost mezi maticemi a kvaterniony pak vyjádĜil tČmito slovy: Nyní jest patrné, že theorie matric jest totožná s theorií kvaternionĤ; staþí libovolnou matrici a b ½ M= ® ¾ ¯c d ¿
uvést do tvaru w + xi + yj + zk, kde w, x, y, z jsou skalary, t. j. do tvaru kvaternionu, aby ona shoda byla patrna. Dnes bychom Ĝekli, že každou matici M druhého Ĝádu lze zapsat jako lineární kombinaci þtyĜ matic druhého Ĝádu, které tvoĜí bázi vektorového prostoru dimenze þtyĜi. Mezi množinou uspoĜádaných þtveĜic þísel uvažovaného tČlesa , která jsou koeficienty lineární kombinace, a množinou kvaternionĤ s koeficienty z tohoto tČlesa T existuje bijektivní zobrazení. Nyní se ještČ vraĢme k Weyrovu dalšímu spisu O theorii forem bilinearných, který již byl výše zmínČn a jeho hlavní poznatky pĜedstaveny. Vydala jej Královská þeská spoleþnost nauk v roce 1889 a vyznamenala svou cenou. Ve spisu je již užíván termín matice, v pĜedchozích publikacích používal autor termínĤ matrice a matrix. NČmecky psaná verze Zur Theorie der bilinearen Formen, jejíž nČkteré þástí jsou oproti þeskému znČní rozvinuty a nČkteré naopak zkráceny nebo dokonce vynechány, byla publikována roku 1890 v þasopisu Monatshefte für Mathematik und Physik. Znovu pĜipomeĖme, že jsou v tČchto dvou pracích podrobnČ vyloženy výsledky uveĜejnČné v krátkých, francouzsky psaných þláncích z roku 1885. A nejen v nich. Práce vysvČtlují základní fakta o maticích, pojednávají o soustavách lineárních rovnic, o charakteristických koĜenech, zpracovávají problematiku kanonických (typických) tvarĤ a s ní spojenou otázku podobnosti matic, snaží se o pĜiblížení teorie matic s teorií bilineárních forem a jejich transformací. Eduard Weyr rovnČž ukázal, že pomocí charakteristických þísel lze vyĜešit i problém, který v maticové Ĝeþi lze formulovat takto: jak nalézt nutnou a postaþující podmínku pro existenci regulárních matic H, K, pro které je P’ =HPK, Q’=HQK,
246
kde P, Q, P’, Q’ jsou matice Ĝádu n, a metodu k urþení transformaþních matic H, K.18 Na závČr uvedeme ještČ dva dosud nezmínČné výsledky. K danému polynomu f nalezl Ed. Weyr všechny matice, pro které f (M) = 0 a dokázal další vztah týkající se nulity souþinu matic. Uvažujeme-li dva nesoudČlné polynomy ϕ a ψ, potom nulita souþinu matic ϕ (M) a ψ (M) je rovna souþtu nulit tČchto matic, tj. n (ϕ (M) . ψ (M)) = n (ϕ (M)) + n (ψ (M)) .
4 ZávČr PĜestože v teorii matic v našich zemích do konce 19. století pracoval soustavnČji v podstatČ jediný matematik, a to Eduard Weyr, byly jeho zásluhou nČkteré þeské výsledky známy i v zahraniþí (napĜ. J. J. Sylvesterovi) a byly na úrovni tehdejší svČtové matematiky. Se zájmem vČtšího poþtu þeských matematikĤ se teorie matic setkala až ve 20. století. Aþkoli dnes není Weyrova teorie charakteristických þísel bČžnČ zmiĖována, vracejí se k ní i na pĜelomu tisíciletí nČkteĜí matematikové a pokoušejí se o její vyložení z pohledu dnešní matematiky. NapĜíklad roku 1999 vyšel v þasopisu The American Mathematical Monthly þlánek Helen Shapiro The Weyr characteristic [13], ve kterém se k výsledkĤm þeského matematika autorka vrací a snaží se o jejich moderní výklad. Literatura [1] BeþváĜ J.: Z historie lineární algebry. Edice DČjiny matematiky, 35. svazek, Matfyzpress, Praha, 2007. [2] BeþváĜ J. a kol.: Eduard Weyr (1852–1903). Edice DČjiny matematiky, 2. svazek, Prometheus, Praha, 1995. [3] BeþváĜová M.: ýeská matematická komunita v letech 1848 až 1918. Edice dČjiny matematiky, 34. svazek, Matfyzpress, Praha, 2008. [4] BeþváĜová M.: Josef Smolík (1832–1915). Nakladatelství ýVUT, Praha, 2007. [5] Fiedler M.: The Development of Linear Algebra in Czechia. Image 41(2008), 18–20. [6] NČmcová M.: František Josef Studniþka (1836–1903). Edice DČjiny matematiky, 10. svazek, Prometheus, Praha, 1998. [7] Nový L. a kol.: DČjiny exaktních vČd v þeských zemích. ýeskoslovenská akademie vČd, Praha, 1961. [8] Pánek A.: Dr. František Josef Studniþka. Nástin jeho života a þinnosti. ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 33(1904), 369–480. [9] Pánek A.: O životČ a þinnosti Martina Pokorného. ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 30(1901), 81–100.
18
Tento problém již vyĜešili K. Weierstrass roku 1868 v práci Zur Teorie der bilinearen und quadratischen Formen a L. Kronecker v pracích Über Schaaren quadratischer Formen z roku 1868 a Über Schaaren von quadratischen und bilinearen Formen z roku 1874.
247
[10] Pánek A.: Život a pĤsobení p. Václava Šimerky. ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 17(1888), 253–256. [11] Petr K., Sobotka J.: O životČ a þinnosti Eduarda Weyra. ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 34(1905), 457–516. [12] Petržílka V.: OcenČní prací P. Václava Šimerky. ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 55(1926), 352–360. [13] Shapiro H.: The Weyr characteristic. The American Mathematical Monthly, 106(1999), 919–929. [14] Sobotka J.: Václav Karel ěehoĜovský [nekrolog]. ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 42(1913), 129–145. [15] Weyr Ed.: Život a pĤsobení dra Ludvíka Krause. ýasopis pro pČstování matematiky a fysiky 15(1886), 49–52.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky.
Adresa Mgr. Martina ŠtČpánová Katedra informatiky v dopravČ Dopravní fakulta Jana Pernera Univerzita Pardubice Studentská 95 532 10 Pardubice e-mail:
[email protected]
248
OD SHODNOSTI K TRANSFORMACÍM DANA TRKOVSKÁ Abstract: The article deals with the historical background of the notion geometric transformation from ages up to the 19th century. Significant moments when basic types of transformations (isometry, similarity, geometric motions, axial affinity, central dilatation, circular inversion, projection, stereographic projection, affine and projective transformations) were introduced are mentioned as well as prominent mathematicians and their works.
1 Úvod První náznaky pojmu geometrická transformace lze nalézt již ve starém ěecku pĜed více než dvČma tisíci lety. Zpoþátku se jednalo pouze o vztah mezi dvČma rovinnými, pĜípadnČ prostorovými objekty, který umožnil jednoduché Ĝešení Ĝady geometrických problémĤ. S postupným rozvojem matematiky se transformacím vČnovala stále vČtší pozornost, získané poznatky se prohlubovaly a zobecĖovaly, zavádČly se stále složitČjší typy transformací. Jejich aplikace v dalších oborech lidské þinnosti jsou všestranné, pĜíkladem je využití perspektivy v malíĜství nebo stereografické projekce pĜi konstrukci map. V dnešní dobČ se transformace využívají k Ĝešení Ĝady netriviálních problémĤ z rĤzných oblastí matematiky, vþetnČ napĜ. neeukleidovské geometrie. V pĜíspČvku se pokusíme nastínit postupný vývoj chápání jednotlivých typĤ geometrických transformací od nejstarších dob až zhruba do 19. století. U každého typu transformace popíšeme základní myšlenku, poukážeme na její pravdČpodobnČ první výskyt a uvedeme pĜední osobnosti, které s daným typem transformace pracovaly.
2 Shodnost a podobnost Nejstarším pĜíkladem geometrické ekvivalence je shodnost. Již staĜí ěekové považovali dva objekty za shodné, pokud existoval urþitý pohyb, reálný nebo myšlenkový, který jeden objekt pĜemístil na druhý tak, že se kryly. Nevýhodou tohoto pĜístupu byla skuteþnost, že byl pohyb vždy chápán pouze v souvislosti s jednotlivým objektem, s nímž byl pevnČ svázán. Skládání pohybĤ dvou rĤzných objektĤ tedy nebylo možno uvažovat, a tudíž se ěekové ještČ nemohli ani vzdálenČ pĜiblížit k pojmu grupa. Další pĜekážkou mohlo být chápání roviny jako omezené þásti plochy.1 Geometrické pohyby se v pĜedeukleidovské geometrii pomČrnČ hojnČ využívaly. SvČdþí o tom napĜ. skuteþnost, že matematik a filozof Proklos (410–485) ve svých komentáĜích k Eukleidovým ZákladĤm poukázal na fakt, že Eudemus ve své Historii geometrie pĜipsal Thaletovi z Milétu (7.–6. stol. pĜ. n. l.) dĤkazy tvrzení, že kruh je svým prĤmČrem rozdČlen na dvČ shodné þásti, že úhly pĜi základnČ rovnoramenného trojúhelníku jsou shodné, že vrcholové úhly jsou shodné a že dva trojúhelníky, které se shodují v jedné stranČ a dvou úhlech, jsou navzájem shodné.
1
Významným krokem, který pozdČji vedl k využití teorie grup v geometrii, byla myšlenka rozšíĜení pohybu svázaného s jedním objektem na pohyb celé roviny. Tento nový pohled již dával skládání rĤzných pohybĤ smysl. Autorem této, z pohledu geometrických transformací revoluþní myšlenky byl August Ferdinand Möbius (viz [2]).
249
Thaletovy dĤkazy tČchto tvrzení nemohly být založeny na žádných axiomech ani pomocných vČtách, neboĢ v jeho dobČ ještČ nebyl vybudován ani axiomatický systém, ani systém základních vČt. Výše uvedená tvrzení se týkají shodnosti objektĤ (pĤlkruhĤ, úhlĤ, trojúhelníkĤ), Thales je patrnČ dokázal na základČ pĜedstav o ztotožnČní uvažovaných objektĤ pomocí „geometrických transformací“, i když je toto oznaþení v jeho dobČ ještČ hodnČ nadnesené. V dnešním smyslu shodné objekty Thales nazýval podobné. Zdá se, že oznaþení shodné pro objekty stejného tvaru a velikosti zavedli Pythagorejci (6.– 4. stol. pĜ. n. l.), kteĜí vČĜili, že takové objekty jsou tvoĜeny shodným poþtem bodĤ. Termín podobné objekty pozdČji získal moderní, obecnČjší význam, Eukleides a jeho žáci shodné objekty (v dnešním smyslu) nazývali podobné a stejné.2 Eukleides z Alexandrie (asi 300 pĜ. n. l.) uvádí v I. knize ZákladĤ následující tĜi vČty o shodnosti trojúhelníkĤ a v dalším textu se na nČ odkazuje. Když mají dva trojúhelníky dvČ strany (stĜídavČ) s dvČma stranami stejné a úhly stejnými stranami sevĜené mají stejné, budou i základnu základnČ míti rovnou a trojúhelník s trojúhelníkem bude stejný i ostatní úhly s ostatními úhly, proti nimž leží stejné strany, (stĜídavČ) budou stejné. ([1], kniha I, vČta IV, str. 4) Když mají dva trojúhelníky dvČ a dvČ strany stĜídavČ stejné a mají též základnu základnČ rovnou, budou též úhly stejnými pĜímkami sevĜené míti stejné. ([1], kniha I, vČta VIII, str. 6) Když mají dva trojúhelníky dva úhly dvČma úhlĤm jednotlivČ rovné a jednu stranu jedné stranČ rovnou buć pĜi stejných úhlech nebo proti jednomu ze stejných úhlĤ, budou míti též ostatní strany rovné ostatním stranám i zbývající úhel úhlu zbývajícímu. ([1], kniha I, vČta XXVI, str. 14)
3 Pohyby v geometrii První pĜedstavy o pohybu, tj. v našem pojetí transformace, využívali Pythagorejci pomČrnČ þasto. NapĜ. pĜímku chápali jako stopu pohybujícího se bodu, rovinu jako stopu pohybující se pĜímky. Archytas, þlen pythagorejské školy, využil pohyb pĜi Ĝešení klasické Ĝecké úlohy zdvojení krychle (tzv. Délský problém). Oznaþme a délku hrany uvažované krychle. Archytas uvažoval (v dnešní symbolice a ve vhodnČ zvolené soustavČ souĜadnic) válec 2
2
2
2
2
2
2
2
2
x + y = 2 ax , kužel x + y + z = 4x a anuloid (torus) x + y + z = 2 a x 2 + y 2 , 2
2
který vznikl rotací kružnice x + z = 2 ax kolem souĜadné osy z. Všechny tĜi uvedené útvary se protnou v bodČ P, jehož souĜadnice [x, y, z] splĖují rovnosti
2a x2 + y2 + z2
=
x2 + y2 + z2 x2 + y2
=
x2 + y2 a
.
Vzdálenost bodu P od poþátku zvolené soustavy souĜadnic pĜedstavuje hledanou délku hrany zdvojené krychle.
2
Stejné pak i podobné (shodné) jsou útvary tČlesové omezené rovinami podobnými, stejnými poþtem i velikostí. Viz [1], kniha XI, definice 10, str. 238.
250
Eukleides ve svých Základech definoval kružnici, aniž by využil pohyb. Jeho definice koule, kužele a válce jsou však již kinematické, pohyb v sobČ zahrnují. Koule dle Eukleida vznikne rotací pĤlkruhu kolem jeho prĤmČru, kužel vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné jeho odvČsny a válec vznikne rotací obdélníku kolem jedné jeho strany. Kruh jest útvar rovinný, objímaný jednou þarou (jež se nazývá obvodem), k níž od jednoho bodu vnitĜ útvaru vedené pĜímky všecky sobČ rovny jsou. ([1], kniha I, definice 15, str. 1) Koule jest útvar omezený tím, že se kolem pevného prĤmČru polokruhu polokruh otoþí, až se opČt vrátí na totéž místo, odkud se poþal otáþeti. ([1], kniha XI, definice 14, str. 238) Kužel jest útvar omezený tím, že se trojúhelník pravoúhlý otoþí kolem pevné jedné ze stran pravý úhel svírajících, až se opČt vrátí na totéž místo, odkud se poþal otáþeti. ([1], kniha XI, definice 18, str. 238) Válec jest útvar omezený tím, že se rovnobČžník pravoúhlý otoþí kolem pevné jedné ze stran rovnobČžníku pravý úhel svírajících, až se opČt vrátí na totéž místo, odkud se poþal otáþeti. ([1], kniha XI, definice 21, str. 238) Uvedený zpĤsob definování základních rotaþních tČles patrnČ odráží starší tradici, pozdČji ustoupil do pozadí. Theodosius (1.–2. stol. n. l.) ve svém díle Sphaerica definuje kouli staticky, podobnČ jako Eukleides definuje kružnici. Na druhou stranu, napĜ. Aristoteles ze Stageiry (384–322 pĜ. n. l.) byl proti využití pohybu v geometrii, matematické objekty považoval za nehybné. Zastával názor, že rovina je obecnČjší (abstraktnČjší) než tČleso, protože postrádá jeden jeho rozmČr, pĜímka je obecnČjší než rovina, protože postrádá její šíĜku, a bod je obecnČjší než pĜímka, protože postrádá její délku. Tedy pĜímka nemĤže být složena z bodĤ, rovina z pĜímek a tČleso z rovin. Podle Aristotela tedy nic, co je spojitého, nelze složit z jednotlivostí. Proto tedy nelze pĜímku získat pohybem bodu, rovinu pohybem pĜímky a tČleso pohybem roviny. Arabští matematici ThƗbit Ibn Qurra (9. stol.) a Abnj AlƯ Ibn al-Haytham (10.–11. stol.) tento AristotelĤv pĜístup kritizovali a pohybĤ v geometrii hojnČ využívali. Naopak Omar Khayyam (11.–12. stol.) Aristotelovy názory sdílel a ve svých komentáĜích k Eukleidovým ZákladĤm kritizoval Ibn al-Haythama. Namítal, že není žádných pochyb, že pĜímka mĤže existovat pouze v rovinČ, je její þástí, a nemĤže jí tedy pĜedcházet, nemĤže se bez ní pohybovat. StejnČ tak pĜímka nemĤže vzniknout pohybem bodu, protože pĜímka svou podstatou, svou existencí, bodu pĜedchází. Další matematici blízkého a stĜedního východu i západní Evropy ve svých geometrických pracích pohyby využívali celkem pravidelnČ a systematicky. Prvními doloženými geometrickými transformacemi, které jsou složitČjší než jednoduché pohyby, jsou osová afinita a stejnolehlost (homothetie).
4 Osová afinita Osová afinita je urþena osou afinity o a tzv. charakteristikou k. Jedná se o zobrazení, které úseþku zobrazí opČt na úseþku, pĜiþemž pĜímky, v nichž obČ úseþky leží, se protínají na ose afinity. Charakteristika urþuje pomČr vzdáleností obrazu bodu a jeho vzoru od prĤseþíku jejich spojnice s osou afinity (viz obr. 1).
251
Obr. 1: Osová afinita s osou afinity o a charakteristikou k = 2 Osová afinita se poprvé objevila v pojednání O konoidech a sféroidech (Peri kǀnoeideǀn kai sphairoeideǀn), jehož autorem je Archimedes ze Syrakus (287–212 pĜ. n. l.). Týká se výpoþtu objemĤ rotaþních elipsoidĤ, vrchlíkĤ dvoudílných rotaþních hyperboloidĤ a rotaþních paraboloidĤ. VČta 4 tohoto pojednání Ĝíká, že pomČr obsahu libovolné elipsy a obsahu kruhu sestrojeného nad její hlavní osou je stejný jako pomČr délek vedlejší a hlavní osy. NechĢ je dána elipsa (viz obr. 2). Nad její hlavní osou uvažujme kruh H. Sestrojme další kruh K tak, aby pro jeho obsah platilo S K : S H = BD : EG. Potom obsah kruhu K je roven obsahu dané elipsy. Archimedovo zdĤvodnČní je následující (dĤkaz je veden sporem).
Obr. 2: ArchimedĤv dĤkaz využívající osovou afinitu Kdyby byl obsah kruhu K vČtší než obsah elipsy, vepíše Archimedes do kruhu K n-úhelník (n je sudé þíslo), jehož obsah je také vČtší než obsah dané elipsy, do kruhu H vepíše jemu podobný n-úhelník, spojí úseþkami dvojice jeho vrcholĤ, které jsou soumČrnČ sdruženy podle hlavní osy elipsy, oznaþí jejich prĤseþíky s elipsou a ukáže, že z tČchto bodĤ vzniklý mnohoúhelník je k vepsanému mnohoúhelníku v pomČru BD : EG; vepsaný mnohoúhelník je pĜitom ve stejném pomČru k mnohoúhelníku vepsanému kruhu K. Tedy mnohoúhelník vepsaný uvažované elipse má stejný obsah jako mnohoúhelník vepsaný kruhu K, což je spor s pĜedpokladem, že mnohoúhelník vepsaný kruhu K má obsah vČtší než elipsa. PĜedpoklad, že obsah kruhu K je menší než obsah elipsy se vyvrátí zcela analogicky.
252
Archimedes v tomto dĤkazu využívá pravoúhlou osovou afinitu urþenou osou AC, jejíž charakteristika je rovna pomČru hlavní a vedlejší osy elipsy. Ukazuje, že pomČr obsahĤ ploch vepsaných n-úhelníkĤ je roven pomČru obsahĤ ploch geometrických útvarĤ, které získáme z tČchto n-úhelníkĤ pro n jdoucí do nekoneþna. Odvodil, že obsah elipsy mající poloosy a a b je roven π ab a polomČr kruhu K je roven prĤmČru délek obou poloos).
ab (geometrickému
5 Stejnolehlost Stejnolehlost (homothetie, centrální dilatace) je urþena stĜedem stejnolehlosti S a tzv. koeficientem stejnolehlosti ț ≠ 0. Jedná se o podobné zobrazení, které úseþku zobrazí na úseþku s ní rovnobČžnou, pĜiþemž stĜed stejnolehlosti, bod a jeho obraz jsou kolineární. Absolutní hodnota koeficientu stejnolehlosti urþuje pomČr podobnosti, jeho znaménko urþuje umístČní obrazu vzhledem ke stĜedu stejnolehlosti (viz obr. 3).
Obr. 3: Stejnolehlosti se stĜedem S a koeficienty ț = 2 a ț = −
1 2
3
První výskyt stejnolehlosti lze nalézt již v Eukleidových Základech. Stejnolehlost dále zmínil Apollonios z Pergy (3.–2. stol. pĜ. n. l.) v pojednání Rovinná místa (Peri topoi epiphanoi), o nČmž se dochoval záznam díky historické práci SynagǀgƝ mathƝmatikƝ, jejímž autorem je Pappos z Alexandrie (3. stol. n. l.). Apollonios pravdČpodobnČ znal základní vlastnosti stejnolehlosti, podrobnČjší informace nejsou známy.
6 Kruhová inverze Apollonios ve výše uvedené práci Rovinná místa rovnČž poprvé uvažuje kruhovou inverzi. Jedná se o zobrazení, které je urþeno stĜedem S a tzv. koeficientem inverze ț ≠ 0. StĜed inverze, bod a jeho obraz jsou kolineární, pĜiþemž souþin vzdáleností obrazu a vzoru od stĜedu inverze je roven absolutní hodnotČ koeficientu inverze, znaménko koeficientu inverze urþuje umístČní obrazu vzhledem ke stĜedu inverze. Obraz stĜedu inverze se klade do nevlastního bodu . Kruhová inverze je involutorním zobrazením,4 zobrazuje zobecnČné kružnice (pĜímky nebo kružnice) opČt na zobecnČné kružnice. Dva základní zpĤsoby konstrukce obrazu bodu v kruhové inverzi se stĜedem S a koeficientem 2
inverze ț = r jsou uvedeny na obr. 4. 3 Na dané pĜímce narýsuj útvar pĜímkový danému útvaru pĜímkovému podobný a podobnČ položený (stejnolehlý). Viz [1], kniha VI, vČta XVIII, str. 93. 4 ěíkáme, že zobrazení f je involutorní, jestliže složeno samo se sebou dává identitu, tj. f ƕ f = identita.
253
Obr. 4: Konstrukce obrazu bodu v kruhové inverzi Apollonios znal základní vlastnosti kruhové inverze. Ve svém dalším díle Pojednání o kuželoseþkách (Kǀnika) se již vČnoval obecnČ inverzím na všech (regulárních) kuželoseþkách, tedy nejen na kružnici, ale rovnČž na elipse, hyperbole a parabole. Kruhová inverze byla potom po Ĝadu století matematiky opomíjena a nepĜíliš využívána. Kruhové inverzi se patrnČ po Apolloniovi jako první blíže vČnoval až Jacob Steiner (1796–1863). Je mu pĜisuzován objev inverze v plné obecnosti (1824), on sám v této souvislosti hovoĜil o „Wiedergeburt und Auferstehung“ (znovuzrození a vzkĜíšení). Steinerovy statČ vČnované inverzní geometrii nebyly publikovány, našly se až v jeho pozĤstalosti. Belgický matematik Adolphe Quetelet (1796–1874) kolem roku 1827 odvodil známé analytické vyjádĜení kruhové inverze. První systematické zpracování kruhové inverze patrnČ sepsal Giusto Bellavitis (1803–1880) roku 1836 pod názvem Teoria delle figure inverse e loro uso nella geometria elementare (Teorie inverzních útvarĤ a její využití v elementární geometrii). Z názvu pochází dnešní termín kruhová inverze. Autor zde zformuloval definici a vyložil základní vlastnosti inverze; pozdČji inverzi zobecnil do trojrozmČrného prostoru. BČhem dalších let inverzi znovu objevila Ĝada dalších matematikĤ, napĜ. William Thomson (lord Kelvin, 1824–1907), který v letech 1845 až 1847 v rámci studia elektrostatiky hovoĜil o transformaci s reciprokými prĤvodiþi a rozšíĜil svoje fyzikální úvahy na geometrický prostor. Tento termín od W. Thomsona pĜevzal Joseph Liouville (1809–1882) a modifikoval jej na transformace reciprokými polomČry (transformation par rayons vecteurs réciproques).5 Dokázal, že jde o jedinou nelineární transformaci v prostoru, která je konformní (zachovává úhly). Studium kruhové inverze završil August Ferdinand Möbius (1790–1868). V práci Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung z roku 1855 provedl významné zobecnČní inverze, kdy þistČ geometrickými prostĜedky položil základy obecné rovinné transformace, která kružnice zobrazuje opČt na kružnice (tzv. kruhové transformace). Za základ takového zobrazení vzal následující pĜedpoklady: zobrazení je bijekcí, obrazem þtveĜice bodĤ ležících na kružnici jedné roviny musí být þtveĜice bodĤ incidentních s kružnicí druhé roviny (kružnicemi nazýval i pĜímky, tj. uvažoval tzv. zobecnČné kružnice), posledním pĜedpokladem je zachování spojitosti (dvČma nekoneþnČ blízkým bodĤm jedné roviny odpovídají dva nekoneþnČ blízké body druhé roviny).
5
Viz Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12(1847), 265–290.
254
ýistČ syntetickými úvahami dospČl A. F. Möbius po vylouþení lineárních zobrazení k závČru, že v každé z rovin existuje právČ jeden bod, který se v eukleidovském prostoru nemĤže zobrazit do žádného bodu druhé roviny (centrální bod, stĜed) a ke každé z rovin je tĜeba pĜidat po jednom bodu, který bude obrazem, resp. vzorem centrálního bodu roviny vzorĤ, resp. obrazĤ (odtud Möbiova rovina). Viz napĜ. [9]. Na jeho práci navázali Carl Friedrich Gauss (1777–1855), který položil základy analytického vyjádĜení kruhových transformací v komplexní rovinČ, a Arthur Cayley (1821–1895), který ukázal, že kruhová transformace je složením kruhové inverze v MöbiovČ rovinČ a libovolného pohybu (1858).6
7 Promítání Promítání (projekce) se podle dochovaných záznamĤ hojnČ využívalo již ve starém ěecku a ěímČ. Známý Ĝímský stavitel a architekt P. M. Vitruvius (1. stol. pĜ. n. l.) ve svém díle Deset knih o architektuĜe (De architectura libri decem) popisuje tĜi projekce hojnČ využívané staviteli. Dle jeho slov se jedná o ichnografii, orthografii a scénografii. Ichnografie (ichnos = stopa, grapho = psaní) spoþívá ve vytvoĜení obrazového modelu (projektu, plánu) prostorové situace pomocí pravítka a kružítka, v dnešní terminologii jde o konstrukci horizontální projekce, orthografie (orthos = kolmý) spoþívala v zakreslení nárysu, v dnešní terminologii jde o konstrukci frontální projekce, a koneþnČ scénografie (skƝnƝ = scéna) spoþívala v zahrnutí perspektivy. Lze se domnívat, že tyto tĜi projekce byly známy již ěekĤm nČkolik století pĜed naším letopoþtem. Pappos z Alexandrie (3. stol. n. l.) v VII. knize SynagǀgƝ mathƝmatikƝ uvádí geometrické vlastnosti stĜedového promítání a perspektivy. Odkazuje zde na Eukleidovo ztracené dílo Porismata,7 které se tomuto tématu možná také vČnovalo. Pappos zde uvádí následující vČtu (viz obr. 5): Jsou-li dány tĜi rĤzné pĜímky AB, AC a AD, které protínají dvČ další pĜímky FB a FE, potom platí následující rovnost
| FB | ⋅ | DC | | FD | ⋅ | BC |
=
| FE | ⋅ | HG | | FH | ⋅ | GE |
, neboli
| FB | | CB | | FE | | GE | : = : . | FD | | CD | | FH | | HG |
Protože body F, E, G, H získáme z bodĤ F, B, C, D projekcí z bodu A, je výše uvedená Pappova rovnost speciálním pĜíkladem obecné vlastnosti každé projekce, podle které se pĜi projekci zachovává dvojpomČr þtyĜ kolineárních bodĤ.
6 Viz Cayley A.: Note on the "Circular Relation" of Prof. Möbius. Quarterly Mathematical Journal 2(1858), str. 162. 7 Spis Porismata tvoĜily tĜi knihy, úryvkovitČ se jejich obsah zachoval v pracích, jež sepsal Pappos kolem roku 300 n. l. Porisma jest úkol, jímž se žádá, by se na základech daných vyhledala veliþina urþitých vlastností. V Eukleidových Základech porisma znaþí pouþku, jež z dĤkazu pouþky jiné vysvítá jasnČ sama sebou (dĤsledek). Viz [1], první strana nestránkovaného Úvodu.
255
Obr. 5: Zachování dvojpomČru þtyĜ kolineárních bodĤ pĜi projekci
8 Stereografická projekce PĜíkladem jedné z nejvýznamnČjších projekcí, která byla využívána již ve starovČku, je stereografická projekce. Jedná se o prĤmČt sféry z jednoho jejího bodu (pólu) do teþné roviny vedené diametrálnČ protilehlým bodem, nebo do roviny s ní rovnobČžné (viz obr. 6). PĜi této projekci se kružnice procházející pólem zobrazí do pĜímek, ostatní kružnice se zobrazí opČt do kružnic. Stereografická projekce je konformním zobrazením (zachovává úhly mezi dvČma kĜivkami).
Obr. 6: Stereografická projekce Základy stereografické projekce položil patrnČ Hipparchos (2. stol. pĜ. n. l.).8 První písemné zmínky o stereografické projekci však nacházíme až u Vitruvia v díle Deset knih o architektuĜe a v PtolemaiovČ pojednání Zobrazení sféry do roviny (Aplǀsis epiphaneias sphairas, Planisphaerium).
8
Hipparchos byl jeden z nejvČtších antických astronomĤ, který sestavil první velký katalog hvČzd, jenž obsahoval pĜesné polohy více než 800 stálic. Hipparchos zdĤrazĖoval pĜesná pozorování a matematické výpoþty. Vymyslel nové pĜístroje pro mČĜení výšky hvČzd, stanovil sklon zemské osy k ekliptice, urþil délku sluneþního roku s chybou jen 6 minut. ChtČl provČĜit heliocentrický model vesmíru. Vyšel ze správné úvahy, že pokud ZemČ obíhá kolem Slunce, pak se musí v prĤbČhu roku mČnit vzájemná poloha hvČzd na noþním nebi. PĜíslušná mČĜení skuteþnČ provedl, ale zmČny ve vzájemné poloze hvČzd nezaznamenal. Proto heliocentrický model zavrhl.
256
Klaudios Ptolemaios (1.–2. stol. n. l.)9 sepsal spis O projekci (Peri analƝmmatos, Analemma), v nČmž se zabýval ortogonální projekcí nebeské sféry do horizontální roviny, kterou využíval k Ĝešení rĤzných problémĤ sférické astronomie. Vitruvius i Ptolemaios se vČnovali astronomickým pozorováním a mČĜením nebeské sféry, k jejímu znázorĖování využívali pĜístroje arachné a astroláb (astrolabon organon).10 Astroláb je založen na stereografické projekci nebeské sféry z nebeského pólu (viz obr. 7). Ve stĜedovČku byla stereografická projekce nazývána tastƯh al-asturlƗb, termín stereografická projekce (stereon = tČleso) zavedl Francois D'Aguillon (1566–1617) v díle Šest knih o optice (Opticorum Libri VI, 1613). Jak Vitruvius, tak Ptolemaios ve svých pracích využívali základní vlastnosti stereografické projekce, avšak bez dĤkazĤ.
Obr. 7: Astronomický pĜístroj astroláb První souhrnnČjší pojednání o stereografické projekci vþetnČ dĤkazĤ základních vlastností sepsal až Ahmad al-FarghƗnƯ (9. stol.) pod názvem Kniha o konstrukci astrolábu. Stereografické projekci zde vČnuje první kapitolu a dokazuje mimo jiné, že kružnice procházející pólem se zobrazí do pĜímek a ostatní kružnice opČt do kružnic, pĜiþemž není obecnČ obrazem stĜedu kružnice stĜed kružnice získané zobrazením; v dalších kapitolách se pak již vČnuje konstrukci samotného astrolábu. Další matematici stĜedovČku se pokoušeli využít pro konstrukci astrolábu jiné geometrické transformace. Abnj HƗmid al-SaghƗnƯ (10. stol.) ve svém díle Kniha o projekci do roviny navrhl nahradit stereografickou projekci sféry do roviny z jejího pólu projekcí z libovolného bodu souĜadnicové osy. V takové projekci se kružnice na sféĜe zobrazí obecnČ do kuželoseþek.
9 Klaudios Ptolemaios je autorem Almagestu (Mathématiké syntaxis, Megalé syntaxis), astronomického spisu, který pĜedstavoval encyklopedii tehdejšího hvČzdáĜského vČdČní. Byl zastáncem geocentrického systému, pokládal Zemi za stĜed vesmíru, okolo nČhož obíhají Slunce, MČsíc, planety a hvČzdy. Jeho popis Sluneþní soustavy byl považován za správný po celých patnáct století. Z nejjasnČjších viditelných hvČzd sestavil 48 souhvČzdí, která mu pĜipomínala urþité obrazce postav, zvíĜat nebo vČcí. Mnohá z jeho souhvČzdí se používají v moderní astronomii dodnes. 10 Astroláb je stĜedovČký astronomický pĜístroj, který v sobČ zahrnuje zjednodušenou mapu hvČzdné oblohy (nebeské sféry). Obsahuje pevné i pohyblivé þásti, které umožĖují modelovat pohyby nebeských tČles, mČĜit jejich úhlovou výšku nad horizontem, zemČpisné souĜadnice i místní þas. Hlavní ciferník je rozdČlen na dvanáct dílĤ podle znamení zvČrokruhu, stĜed ciferníku pĜedstavuje nebeský pól.
257
V knize PĜehled možností konstrukce astrolábu, kterou sepsal Abnj l-RayhƗn al-BƯrnjnƯ (10.–11. stol.), autor nejprve popisuje rĤzné zpĤsoby a metody konstrukce tohoto pĜístroje. V dalším textu navrhuje za základ konstrukce tzv. válcovou projekci, tj. ortogonální projekci podle osy, která je limitním pĜípadem projekce al-SaghƗnƯho, pokud stĜed projekce klademe do nekoneþna. PĜi této projekci se kružnice zobrazí buć na kružnice, nebo na elipsy. Stereografická projekce se využívá k zobrazení povrchu ZemČ do roviny, tj. pĜi tvorbČ map. Vzhledem k tomu, že je konformním zobrazením, jsou takové mapy velmi užiteþné napĜ. pro moĜeplavce. Využití stereografické projekce pĜi tvorbČ map se vČnuje již Abnj l-RayhƗn al-BƯrnjnƯ v díle Pojednání o zobrazení souhvČzdí a o zakreslení zemí na mapu, v nČmž též popisuje další typ projekce sféry do roviny, jejímž autorem je al-BƯrnjnƯ a která je dnes známa jako tzv. kulová projekce (globular projection).11 V této projekci se polosféra zobrazí do kruhu, jehož obvod je rozdČlen na 360 stejných dílkĤ a jehož vodorovný a svislý prĤmČr jsou rozdČleny na 180 stejných þástí. Zakreslení bodu polosféry majícího zemČpisnou délku λ a zemČpisnou šíĜku ϕ se provádí následujícím zpĤsobem (viz obr. 8). Od stĜedu kruhu vyneseme λ dílkĤ na vodorovném prĤmČru a sestrojíme kruhový oblouk procházející tímto bodem a koncovými body svislého prĤmČru. Dále vyneseme od stĜedu kruhu ϕ dílkĤ na svislém prĤmČru a od koncových bodĤ vodorovného prĤmČru ϕ dílkĤ na obvodu kruhu a sestrojíme kruhový oblouk procházející všemi tĜemi uvedenými body. Požadovaný bod reprezentující zvolený bod na sféĜe získáme jako prĤseþík obou kruhových obloukĤ.
Obr. 8: Kulová projekce Tvorbou map se zabýval také Ptolemaios, který zavrhnul využívání válcové projekce, neboĢ silnČ zkresluje vzdálenosti v rovnobČžkovém smČru. Místo této projekce doporuþoval své dvČ dokonalejší projekce – prostou kuželovou a pseudokuželovou délkojevnou.
11 Tuto projekci pozdČji znovu objevili Giovanni Battista Nicolosi (1610–1670) a Aaron Arrowsmith (1750–1823). Ke konstrukci astrolábu ji využil Philippe de La Hire (1640–1717).
258
Z pozdČjších prací, které se využití stereografické projekce pĜi tvorbČ map vČnovaly, uvećme alespoĖ dvČ práce Leonharda Eulera (1707–1783) nazvané O reprezentaci sférické plochy v rovinČ (De repraesentatione superficiei sphaericae super plano, 1778) a O geografické projekci sférické plochy (De projectione geographica superficiei sphaericae, 1778). L. Euler se v nich zabýval otázkou existence a konstrukce obecného konformního zobrazení sféry do roviny. Využil stereografickou projekci sféry do roviny, která bodu sféry majícímu zemČpisnou délku t a zemČpisnou šíĜku v pĜiĜadí bod v reprezentovaný komplexním þíslem z = tg (cos t + i sin t ) . Konformní zobrazení roviny 2 poté definoval pomocí komplexní funkce. Belgický matematik a inženýr Pierre Germinal Dandelin (1794–1847) popsal kolem roku 1827 základní vlastnosti stereografické projekce a využil ji k Ĝešení nČkterých matematických problémĤ, napĜ. k Ĝešení Apolloniovy úlohy spoþívající v sestrojení kružnice, která se dotýká tĜí pevnČ zadaných kružnic.
9 Afinní transformace Stejnolehlost a osová afinita jsou speciálními pĜíklady afinních transformací, nejobecnČjších vzájemnČ jednoznaþných transformací roviny, pĜi nichž se pĜímky zobrazí opČt na pĜímky. Afinní transformace zachovávají rovnobČžnost pĜímek. Obecná afinní transformace má analytické vyjádĜení ve tvaru x ' = ax + b y + p , y ' = cx + d y + q , kde
Pokud
a
b
c
d
≠ 0.
a b = ± 1, nazýváme pĜíslušné zobrazení ekviafinní. c d
Ekviafinní zobrazení poprvé nalézáme v práci Kniha o Ĝezech válce a jeho povrchu, jejímž autorem je ThƗbit Ibn Qurra (9. stol.). Dokazuje zde, že obsah elipsy, jejíž poloosy mají délky a a b, je roven obsahu kruhu o polomČru ab , a dále uvádí (vþetnČ dĤkazu pomocí exhaustivní metody), že ekviafinní transformace zobrazí libovolnou úseþ elipsy na úseþ kruhu o stejném obsahu. Obecné afinní transformace se poprvé objevují v práci Kniha o mČĜení paraboly, jejímž autorem je IbrƗhƯm ibn SinƗn ibn ThƗbit (10. stol), vnuk Ibn Qurry. Dokazuje zde, že afinní transformace zachovává pomČr ploch mnohoúhelníkĤ; tento výsledek pomocí exhaustivní metody dále rozšiĜuje i na dvČ úseþe paraboly. Systematické vybudování afinní geometrie uþinil až Leonhard Euler (1707–1783), který rovnČž zavedl termín afinní,12 jímž chtČl poukázat na skuteþnost, že aþkoliv geometrický útvar a jeho afinní obraz nejsou pĜísnČ vzato podobné, jsou pĜesto urþitým zpĤsobem pĜíbuzné.
12
Latinsky affinitas znamená spĜíznČnost, pĜíbuznost.
259
10 Projektivní transformace Afinní transformace jsou speciálním pĜíkladem obecnČjších, tzv. projektivních transformací. Obecná projektivní transformace má v afinních souĜadnicích analytické vyjádĜení ve tvaru
x' = y' =
ax + b y + p ex + f y + r cx + d y + q ex + f y + r
,
.
V klasických homogenních souĜadnicích ( x0 , x1 , x 2 ) má její analytické vyjádĜení tvar x ' 0 = a 00 x0 + a 01 x1 + a 02 x 2 , x '1 = a10 x0 + a11 x1 + a12 x 2 , x ' 2 = a 20 x0 + a 21 x1 + a 22 x 2 , kde det ( ai j ) ≠ 0.
Abychom mohli projektivní transformace roviny definovat, je tĜeba pĜidat k obvyklé eukleidovské rovinČ nevlastní body jakožto prĤseþíky navzájem rovnobČžných pĜímek. Tato nutnost souvisí s požadavkem, aby projekce jedné roviny do druhé byla vzájemnČ jednoznaþným zobrazením. Projektivní transformace (kolineace projektivní roviny) zobrazují pĜímky opČt na pĜímky. Myšlenku nevlastních bodĤ poprvé explicitnČ zmiĖuje astronom a matematik Johannes Kepler (1571–1630) v práci Astronomiae pars optica z roku 1604. Podtitul Dodatek k Vitellovi (Ad Vitellionem paralipomena) naznaþuje, že J. Kepler touto svou prací navazoval na dílo polského fyzika Vitella (13. stol.). V kapitole O kuželoseþkách Kepler uvádí, že Ĝezem kužele rovinou mĤže být v závislosti na poloze roviny pĜímka, kružnice, elipsa, hyperbola nebo parabola a popisuje pĜechod mezi jednotlivými kuželoseþkami (pĜímka pĜechází pĜes hyperbolu do paraboly, a ta dále pĜes elipsu až do kružnice). Dále zde J. Kepler zavádí ohniska kuželoseþky jako takové body, že úseþky spojující tyto body s libovolným bodem kuželoseþky svírají s teþnou v tomto bodČ shodné úhly. V pĜípadČ paraboly pak druhé ohnisko klade do nekoneþna. V roce 1613 vydal Francois D'Aguillon (1566–1617) Šest knih o optice (Opticorum Libri VI), v nichž se kromČ stereografické projekce vČnoval rovnČž obecné centrální projekci, kterou nazýval scénografie. J. Kepler i F. D'Aguillon ve svých dílech navazovali na Ĝadu prací o perspektivČ, které byly sepsány bČhem 14. a 15. století.13
13 Uvećme alespoĖ pojednání O kreslení (Della pittura, Florencie, 1435), které sepsal Leon Battista Alberti (1404–1472) a O perspektivČ v kreslení (De perspectiva pingendi, ěím, asi 1480), jehož autorem je Piero della Francesca (1416–1492). V souvislosti s využitím perspektivy v malíĜství bychom mČli zmínit také dílo Leonarda da Vinciho (1452–1519) nazvané Pojednání o kreslení (Il trattato della pittura) a vydané až po jeho smrti (1651) a dvČ práce Albrechta Dürrera nazvané Návod pro mČĜení kružítkem a pravítkem (Unterweysung der Messung mit Zirckel und Richtscheyt, 1525) a O proporcích þlovČka (Von menschlicher Proportion, 1528). Oba malíĜi, Leonardo da Vinci a A. Dürrer, se ve svých pracích vČnovali geometrickým otázkám vþetnČ geometrických zobrazení.
260
První souhrnné pojednání o projektivních transformacích sepsal Girard Desargues (1591–1661) pod názvem PĜedbČžný náþrt pokusu o pochopení jevĤ pĜi vzájemném styku kužele a roviny (Brouillon project d'une atteinte aux événements des rencontres d'un cone avec un plan, 1639). K obvyklé eukleidovské rovinČ pĜidal celou nevlastní pĜímku a na hyperbolu poté pohlížel jako na uzavĜenou kĜivku, jež nevlastní pĜímku protíná ve dvou bodech. Asymptoty hyperboly považoval za její teþny v nevlastních bodech. Parabolu chápal jako uzavĜenou kĜivku, jež se nevlastní pĜímky dotýká. G. Desargues studoval rovnČž dvojpomČr þtyĜ kolineárních bodĤ, byl si vČdom jeho invariantnosti pĜi projektivních transformacích. Pro projektivní transformace, jejichž dvojím složením získáme identitu, zavedl termín involuce, jenž se používá dodnes. Jako první zkoumal polární transformace vzhledem ke kuželoseþkám. Ke zvolenému bodu P hledal množinu všech bodĤ X takových, že body P a X harmonicky dČlí body Q a R, v nichž pĜímka PX protne danou kuželoseþku.14 Ukázal, že množinou všech hledaných bodĤ X je pĜímka (dnes tuto pĜímku nazýváme polárou bodu P vzhledem k dané kuželoseþce, bod P nazýváme jejím pólem).15
11 ZávČr Historie geometrických transformací je velmi bohatá, sahá až do doby pĜed 2500 lety, kdy lze podle dochovaných informací vystopovat jejich první náznaky. Jednotlivé typy transformací byly þasto objevovány v souvislosti s Ĝešením rĤzných praktických úloh a byly využívány nejen v geometrii, ale i v dalších oborech lidské þinnosti. PĜíkladem je užití perspektivy v malíĜství, promítání ve stavitelství nebo konstrukce map pomocí stereografické projekce. Teprve kolem 18. století zaþaly být sepisovány souhrnnČjší práce vČnující se jednotlivým typĤm transformací, byly položeny základy obecné teorie, k nimž v té dobČ pĜispČla celá Ĝada matematikĤ (podrobnČji o tzv. Cremonových transformacích viz [8]). Velký zájem o tuto problematiku v 18. a 19. století souvisel s tehdejším obecným trendem v matematice, jímž byla jednak snaha o systematizaci dosavadních poznatkĤ, jednak touha zobecĖovat již dosažené výsledky, aĢ už do vyšších dimenzí, nebo pro stále složitČjší objekty. Tento trend se nemohl vyhnout ani geometrii, kde se od lineárních transformací rychle pĜešlo k transformacím vyšších stupĖĤ, od bodových transformací k transformacím spojitým nebo nejednoznaþným, kdy jednomu bodu mohou být pĜiĜazeny dva nebo dokonce nekoneþnČ mnoho bodĤ. Brzy se proto zaþala zkoumat možnost klasifikace všech známých typĤ transformací. První krok v tomto smČru uþinil již zmiĖovaný A. F. Möbius v Barycentrickém poþtu [2] (podrobnČji viz [9]). Pouze nedostatek algebraického aparátu neumožnil A. F. Möbiovi uskuteþnit jeho zamýšlené pojetí klasifikace rĤzných geometrií. K nČmu dospČl až Felix Klein (1849–1925) ve svém Erlangenském programu (1872). Využil nejnovČjší poznatky teorie grup a teorie invariantĤ a aplikoval je na geometrii. Pracoval s grupami transformací, které zachovávaly geometrické vlastnosti útvarĤ, a které mu umožnily zformulovat jednotnou definici rĤzných typĤ geometrií. Na základČ uspoĜádání grup geometrických transformací poté dospČl i k uspoĜádání pĜíslušných geometrií. PodrobnČji o Erlangenském programu a s ním souvisejících záležitostech viz [5], [6] a [7]. 14
ěíkáme, že body P a X harmonicky dČlí body Q a R, jestliže jejich dvojpomČr je roven –1, tj. (Q, R, P, X ) = –1. Termín pól je odvozen z Ĝeckého slova polos (osa) a pĤvodnČ znaþil prĤseþík sféry s osou rotace. Názvy polára bodu a pól pĜímky vzhledem k dané kuželoseþce zavedli nezávisle na sobČ François Joseph Servois (1767–1847) a Joseph Diaz Gergonne (1771–1859).
15
261
V pĜíspČvku jsme se snažili pĜipomenout dĤležité okamžiky z historie geometrie, kdy se v souvislosti s transformacemi poprvé objevily nČkteré nové myšlenky. Náš výþet není v žádném pĜípadČ úplný, neboĢ se nČkteré informace nedochovaly, navíc není jednoduché, a nČkdy to ani nejde, pĜesnČ oznaþit okamžik objevu a autora nové myšlenky. Vývoj nČkterých pojmĤ obsáhl nČkolik století, mČnila se základní terminologie, postupnČ se objevovaly nové souvislosti. VČtšina výše uvedených informací historického charakteru vychází z údajĤ obsažených v [3], kde je geometrickým transformacím vČnována samostatná kapitola. Další souvislosti týkající se historie této problematiky lze nalézt napĜ. v [4]. Literatura [1] Eukleidovy Základy (Elementa). PĜeložil František Servít, Nákladem Jednoty þeských mathematikĤ, Praha, 1907. [2] Möbius A. F.: Der barycentrische Calcul. Georg Olms Verlag, Leipzig, 1827. [3] Rosenfeld B. A.: A History of Non-Euclidean Geometry, Evolution of the Concept of a Geometric Space. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 12, Springer-Verlag, New York, 1988. [4] Coolidge J. L.: A History of Geometrical Methods. Dover Publications, Mineola, New York, 2003. [5] Trkovská D.: Erlangenský program. In Matematika v promČnách vČkĤ V, edice DČjiny matematiky, svazek 33, Prometheus, Praha, 2007, 66–82. [6] Trkovská D.: Meranský program a geometrické transformace. In ŠafáĜová H. (ed.): Sborník pĜíspČvkĤ 27. mezinárodní konference o geometrii a poþítaþové grafice, Littera, Brno, 2007, 245–250. [7] Trkovská D.: The Influence of the Erlanger and the Meraner Programm on Mathematics Education in Czech Countries. In Barbin E., Stehlíková N., Tzanakis C. (ed.): History and Epistemology in Mathematics Education, Proceedings of the 5th European Summer University, Vydavatelský servis, PlzeĖ, 2008, 877–884. [8] Trkovská D.: Cremonovy transformace a jejich cesta z Milána do Prahy. In BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed.): 29. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2008, 175–178. [9] Trkovská D.: MöbiĤv Barycentrický poþet a geometrické transformace. In BeþváĜ J., BeþváĜová M. (ed.): 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Matfyzpress, Praha, 2009, 229–232.
PodČkování Práce vznikla díky podpoĜe grantu GA ýR P401/10/0690 Prameny evropské matematiky a v rámci projektu Specifického vysokoškolského výzkumu 2010-261 315. Adresa Mgr. Dana Trkovská Katedra didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulta UK Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected] 262
ZÁKLADNÍ UýEBNÍ TEXTY Z MATEMATIKY NA VŠE PRAHA V LETECH 1954–2009 EVA ULRYCHOVÁ Abstract: The basic textbooks used for courses of mathematics at the University of Economics in Prague (VŠE) since its establishment in 1953 are presented and compared with the textbooks used at the present time.
1 Úvod Základní kurz matematiky na VŠE Praha prošel od založení školy v roce 1953 mnoha zmČnami, a to nejen co do poþtu vyuþovacích hodin a obsahové náplnČ, ale i formy výkladu. Snad k nejradikálnČjší zmČnČ došlo v letech 2005 – 2006, kdy byl v rámci pĜechodu školy na ECTS (European Credit Transfer and Accumulation System) postupnČ na všech jejích fakultách zkrácen základní kurz matematiky z dvousemestrálního na jednosemestrální, pĜi týdenní hodinové dotaci 2 hodiny pĜednášek a 2 hodiny cviþení. Tato razantní zmČna s sebou pĜinesla nejen nutnou redukci obsahu uþiva, ale na žádost odborných kateder i zmČnu zpĤsobu výkladu – co nejjednodušší formulaci pojmĤ a dĤraz zejména na poþetní postupy. Je proto zajímavé srovnat podle dochované literatury urþené pro základní kurz matematiky jak obsah, tak formu výkladu vyuþované látky. V 2. a 3. þásti pĜíspČvku jsou uvedeny základní uþební texty (které byly v nČkterých pĜípadech doplnČny samostatnými cviþebnicemi nebo skripty rozšiĜujícími uþivo pro obory s rozšíĜenou výukou matematiky þi pro výbČrové pĜednášky). Jednotlivé uþebnice jsou struþnČ charakterizovány, dále je uveden výþet vykládaných pojmĤ; tyto údaje však mohou poskytnout jen rámcovou pĜedstavu – kromČ obsahových rozdílĤ se texty odlišují i rozsahem vČnovaným jednotlivým tématĤm, podrobností vysvČtlujících komentáĜĤ, poĜadím vykládaných pojmĤ, nároþností pĜíkladĤ apod. Abychom alespoĖ þásteþnČ pĜiblížili rozdíly ve výkladu pojmĤ v prĤbČhu let, uvádíme ve 4. þásti definici limity posloupnosti a pojmĤ s ní bezprostĜednČ spojených – tak, jak jsou podávány v jednotlivých uþebních textech. Uvádíme pouze základní literaturu k povinnému kurzu matematiky na VŠE. V pĜípadČ vícerých (i pozmČnČných, odlišnČ nazvaných) vydání uþebnice téhož autora (nebo kolektivu) uvádíme jen první a poslední vydání s vyznaþením zmČn v posledním vydání oproti prvnímu. Názvy kapitol jsou kurzívou; pokud jsou kapitoly rozsáhlejší, jsou pro lepší orientaci názvy menších tématických celkĤ (dle jednotlivých uþebních textĤ) zvýraznČny podtržením.
2 Uþební texty pro jednosemestrální kurz (od r. 2006) Kolektiv katedry matematiky: Matematika pro 4MM101, 2006 ([1]) 144 str. A4. Nejsou oznaþeny definice – zavádČné pojmy podtrženy; místo vČt tvrzení uvedená slovem „Platí“; neobsahuje dĤkazy, neužívá kvantifikátory, užívá zjednodušené formulace,
263
þasto slovní místo symbolických zápisĤ, jednodušší pĜíklady. ěada Ĝešených pĜíkladĤ, cviþení (neĜešené pĜíklady) s výsledky, obsahuje obrázky. Neobsahuje aplikaþní pĜíklady. I. Lineární algebra Lineární závislost vektorĤ, hodnost matice – aritmetické vektory, lineární závislost a nezávislost, hodnost matice. Soustavy lineárních rovnic – Frobeniova vČta, Gaussova a Jordanova eliminaþní metoda, homogenní soustava. Maticová algebra – operace s maticemi, regulární matice, inverzní matice, maticové rovnice, Ĝešení soustav užitím inverzní matice. Determinanty – rekurentní definice, rozvoj, úpravy v matici, Cramerovo pravidlo. II. Limita posloupnosti, spojitost a limita funkce Posloupnost – rozšíĜená reálná osa, okolí bodu, reálná posloupnost, vlastnosti, limita, vČty. Funkce – reálná funkce jedné reálné promČnné, vlastnosti, inverzní funkce, cyklometrické funkce, limita funkce, vČty. III. Diferenciální poþet funkcí jedné promČnné Derivace – definice, geometrický význam, vzorce, (f + g)´, (fg)´, (f/g)´, (f[g])´, l’Hospitalovo pravidlo. Extrémy na množinČ – extrémy spojité funkce na intervalu, souvislost f´ a monotonie, lokální extrémy, prĤbČh funkce. IV. Diferenciální poþet funkcí dvou a více promČnných Funkce dvou a více promČnných – reálná funkce dvou promČnných, r promČnných, vlastnosti množin v rovinČ, parciální derivace. Extrémy – extrémy funkcí dvou promČnných (dodatek i pro funkce více promČnných) – vázané, uvnitĜ množiny, na kompaktních množinách s vnitĜními body (spec. extrémy lineární funkce na konvexním mnohostČnu), parciální derivace 2. Ĝádu, lokální extrémy funkce dvou promČnných. V. Integrál Integrál – primitivní funkce, neurþitý integrál, per partes, substituce, integrace funkcí speciálního tvaru, NewtonĤv urþitý integrál, nevlastní integrál. Nekoneþné Ĝady – souþet, konvergentní, divergentní Ĝada (jen definice), geometrická Ĝada. VI. Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice – základní pojmy, diferenciální rovnice 1. Ĝádu, separace promČnných, lineární diferenciální rovnice Ĝádu k s konstantními koeficienty, zkrácená, speciální tvar pravé strany – Ĝešení pro rovnice 2. Ĝádu. KaĖka M., Coufal J., KlĤfa J.: Uþebnice matematiky pro ekonomy, 2007 ([2]) 198 str. B5. Podobný charakter jako [1], ponČkud exaktnČjší formulace, obecnČjší odvozování, vČty nejsou poznaþeny. ObsahovČ odpovídá [1], navíc obsahuje: Úvod1 – množiny (jen zpĤsoby zápisu množin), kartézský souþin, þíselné množiny (jen oznaþení), zobrazení a jeho vlastnosti, reálná funkce jedné reálné promČnné – vlastnosti, polynom, racionální lomená funkce, exponenciální, logaritmická, goniometrické. Derivace – výpoþet derivace podle definice, rovnice teþny ke grafu funkce. Integrály – druhá metoda integrace substitucí, per partes a substituce v urþitém integrálu.2 Batíková B. a kol.: Uþebnice matematiky pro ekonomické fakulty, 2009 ([3]) Stejný kolektiv autorĤ jako [1]. 206 str. B5. Stejný charakter jako [1], oproti [1] obsahuje aplikaþní pĜíklady z ekonomie.
1 2
V základním kurzu se nevyuþuje, pouze jako opakování – pĜedpokládá se znalost ze stĜední školy. Uvedené pojmy nejsou v osnovách základního kurzu matematiky.
264
Oproti [1] navíc: Úvod3 – opakování – funkce a její vlastnosti, posloupnost a její vlastnosti Dodatek I4 – vlastní þísla a vlastní vektory matice, TaylorĤv polynom, diferenþní rovnice, autonomní diferenciální a diferenþní rovnice, ekvilibrium. Dodatek II5 – aplikace matematiky v ekonomických disciplínách.
3 Uþební texty pro dvousemestrální kurz (1953–2005) Pro zestruþnČní textu jsou uvádČny pouze obsahové odlišnosti oproti souþasnému stavu (tj. oproti osnovám jednosemestrálního kurzu 4MM101). Veselý F.: Úvod do poþtu infinitesimálního, 1954 ([4]) 162 str. A4. Obsahuje definice, vČty (i pomocné k dĤkazĤm), dĤkazy, Ĝadu Ĝešených pĜíkladĤ, cviþení (neĜešené pĜíklady i dĤkazy tvrzení) bez výsledkĤ, neužívá kvantifikátory, obsahuje obrázky. V textu podrobná vysvČtlení, Ĝada Ĝešených pĜíkladĤ. Aplikaþní pĜíklady ojedinČle a pouze ve cviþeních (polomČr filtru na svítiplyn, ujetá vzdálenost lokomotivy pĜi dané spotĜebČ uhlí). Logické vztahy v matematice – definice, vČta, dĤkaz, výrokový poþet. Množiny – operace s množinami, rozklad množiny, Kartézský souþin, zobrazení – na, prosté, inverzní, ekvivalence množin. UspoĜádání množin, spoþetná, nespoþetná, koneþná množina, indukce, podobnost množin. PĜirozená þísla, mohutnost množiny, kardinální þíslo, ordinální þíslo. Reálná þísla, Ĝezy, operace s Ĝezy, skoky, mezery. Omezená množina, suprémum, infimum, maximum, minimum. Nerovnosti, absolutní hodnota. Odmocniny. Posloupnosti (definice obecnČ, dále jen reálná). Mocniny s reálným exponentem a logaritmy. Funkce – intervaly, parciální funkce, operace s funkcemi, omezená funkce, racionální celistvá funkce, racionální lomená funkce, irracionální, exponenciální, logaritmické, goniometrické, hyperbolické funkce; funkce sudá, lichá, periodická. Spojitost funkce – okolí bodu v prostoru. Limita funkcí – limita (v úvodu: lim xn = x0, pak lim f(xn) = A, definice pak bez komentáĜe „epsilon, delta“). Inverzní funkce – hyperbolometrické. Veselý F.: Úvod do poþtu infinitesimálního II, 1955 ([5]) 173 str. A4. Stejný charakter jako [4]. Aplikaþní pĜíklady pouze ve cviþeních, ne ekonomického charakteru (rozmČry románského okna, rozmČry krabice, dráha þety tankĤ, výška, ze které je vrženo tČleso apod.). Derivace – jednostranné derivace, derivace inverzní funkce. PrĤbČh funkce – funkce rostoucí, resp. klesající v bodČ, Rolleova vČta, Lagrangeova vČta o stĜední hodnotČ, konvexnost, resp. konkávnost v bodČ, teþna funkce. Nekoneþné Ĝady – vČty, kritéria konvergence – Cauchyovo, d’Alembertovo, absolutní konvergence, Leibnizovo, výpoþet souþtu, Taylorova Ĝada. Primitivní funkce – diferenciál, druhá vČta o substituci, vþetnČ užití hyperbolických funkcí. Urþitý integrál – RiemannĤv, vlastnosti, výpoþet pĜíkladĤ (celkem 27 str. A4), NewtonĤv, per partes a substituce v urþitém integrálu. Numerická integrace – metoda obdélníková, metoda lichobČžníková, Simpsonovo pravidlo. Nevlastní integrál – existence, vlastnosti.
3
V základním kurzu se nevyuþuje, pouze jako opakování – pĜedpokládá se znalost ze stĜední školy. V základním kurzu se nevyuþuje – pouze jako studijní materiál pro posluchaþe oborĤ, které uvedené pojmy potĜebují. 5 V základním kurzu se nevyuþuje. 4
265
Není obsaženo (v obou dílech): lineární algebra, funkce dvou promČnných, diferenciální rovnice. Veselý F., Rychlý R.: Matematika – díl první, 1959 ([6]) 212 str. A4. Úvod: látka v podstatČ ve stejném rozsahu jako skripta F. Veselého ([4], [5]), omezeny nČkteré obtížnČjší partie, pĜidána kapitola o interpolaci a o funkcích dvou promČnných; snaha látku více pĜiblížit chápavosti posluchaþĤ. Obsahuje definice, vČty (i pomocné k dĤkazĤm), dĤkazy, Ĝadu Ĝešených pĜíkladĤ, nejsou cviþení, neužívá kvantifikátory, obrázky jako samostatná pĜíloha. Aplikaþní pĜíklady (délka tyþe jako funkce její teploty, závislost poþtu výrobkĤ na þase). I. Logické vztahy v matematice Výroky, operace s výroky, definice, vČta, axiom. II. Množiny Operace s množinami, Kartézský souþin. Zobrazení – prosté, na, inverzní, ekvivalence množin, uspoĜádání množin. III. PĜehled o racionálních þíslech ýísla pĜirozená, matematická indukce. ýísla celá, racionální a jejich vlastnosti, sþítání a násobení nerovností. IV. ýísla reálná ěezy na množinČ racionálních þísel, uspoĜádání ĜezĤ, operace s Ĝezy. Reálná þísla. Absolutní hodnota, komplexní þísla, intervaly. Nerovnosti – kvadratické, se zlomky, s absolutní hodnotou, okolí bodu. Omezené množiny. Suprémum, infimum, maximum, minimum. V. Posloupnosti Posloupnosti – aritmetická, geometrická, závory posloupnosti, suprémum, infimum. Mocniny s reálným exponentem, logaritmy. Nekoneþné Ĝady – s nezápornými þleny, kriterium srovnávací, Cauchyovo, d’Alembertovo. ěady alternující, Ĝady s libovolnými þleny, absolutní konvergence. VI. Funkce Reálná funkce jedné reálné promČnné – logaritmické stupnice na osách, parciální funkce, operace s funkcemi, racionální celistvá funkce, racionální lomená funkce, iracionální, exponenciální, logaritmické, goniometrické. VII. Spojitost funkce Definice „epsilon, delta“. VIII. Limita funkce Definice (lim xn = x0, pak lim f(xn) = A i definice „epsilon, delta“), nerovnosti mezi limitami, funkce nekoneþnČ malé. IX. Derivace Derivace inverzní funkce, teþna ke grafu funkce, diferenciál funkce. Veselý F., Rychlý R.: Matematika – druhý díl, 1959 ([7]) 168 str. A4. Stejný charakter jako [6]. Aplikaþní pĜíklady (minimalizace ceny dopravy, fyzikální aplikace – viz užití integrálu). X. VČty o spojitých funkcích VČty, stejnomČrná spojitost, funkce rostoucí, resp. klesající v bodČ, vČty o stĜední hodnotČ. XI. VyšetĜování prĤbČhu funkce Funkce ryze konvexní, resp. konkávní v bodČ. XII. Interpolace funkce Interpolaþní mnohoþlen, LagrangeĤv vzorec, NewtonĤv vzorec, diference k-tého Ĝádu. 266
XIII. TaylorĤv rozvoj TaylorĤv mnohoþlen, TaylorĤv rozvoj se zbytkem, užití Taylorova rozvoje pro vyšetĜování funkce, nekoneþná Taylorova Ĝada. XIV. Urþitý integrál ReimannĤv urþitý integrál (25 str. A4), urþitý integrál jako funkce horní meze. XV. Neurþitý integrál Per partes pro urþitý integrál, druhá vČta o substituci, substituce v urþitém integrálu. XVI. Numerická integrace Obdélníková, lichobČžníková, SimpsonĤv vzorec. XVII. ZobecnČný integrál LaplaceĤv integrál. XVIII. Užití urþitého integrálu Objem rotaþního tČlesa, délka oblouku kĜivky, povrch rotaþního tČlesa, dráha pĜi pohybu rovnomČrnČ zrychleném, tlak kapaliny na svislou obdélníkovou stČnu, efektivní hodnota stĜídavého proudu. XIX. Funkce dvou promČnných KĜivky v rovinČ (parametrická rovnice, implicitní funkce), rovinné obrazce, množina bodĤ v prostoru, v n-rozmČrném prostoru, limita funkcí dvou promČnných, geometrický význam parciální derivace, totální diferenciál, parciální derivace složené funkce. Vyrovnání pĜímkou. Není obsaženo (v obou dílech): lineární algebra, topologické vlastnosti množin – otevĜená, uzavĜená, omezená, kompaktní, vázané extrémy, absolutní extrémy spojité funkce na kompaktní množinČ, diferenciální rovnice. Rychlý R.: Základy vyšší matematiky, díl první, 1962 ([8]) 170 str. A4. Obsahuje definice, vČty, dĤkazy, Ĝadu Ĝešených pĜíkladĤ, cviþení i s výsledky, neužívá kvantifikátory, obsahuje obrázky. Omezena matematická analýza – vynechány složitČjší dĤkazy a ménČ dĤležité pojmy, poprvé základy lineární algebry. Aplikaþní pĜíklady pouze ojedinČle ve cviþení (vektor výroby, cenový vektor). I. Shrnutí a opakování elementární matematiky Logické vztahy v matematice, množiny, zobrazení, reálná þísla, absolutní hodnota, podmnožiny reálných þísel (intervaly), suprémum, infimum, maximum, minimum. II. Základy analytické geometrie v rovinČ Orientovaný úhel, prĤmČt orientované úseþky, transformace souĜadnic, rovnice pĜímky (parametrická, obecná, úsekový tvar, smČrnicový tvar), kružnice, rovinné obrazce. III. Základy analytické geometrie v prostoru PrĤvodiþ bodu, úhel dvou smČrĤ, pĜímka, rovina, kulová plocha, prostorové útvary, dodatek o vícerozmČrných prostorech. IV. Základy lineární algebry Vektorový modul (= množina vektorĤ uzavĜená vzhledem k souþtu a násobku), urþující skupina, báze. Determinanty – definice (pĜes permutace), lineární substituce. V. Posloupnosti Limita – definice „epsilon, delta“. VI. Funkce Lineární funkce, kvadratická funkce, suprémum, infimum, parciální funkce. VII. Limita a spojitost funkce Limita (dvČ definice: lim xn = x0, pak lim f(xn) = A a „epsilon, delta”, dĤkaz ekvivalence obou).
267
Rychlý R.: Základy vyšší matematiky, díl druhý, 1962 ([9]) 165 str. A4. Stejný charakter jako [8]. Aplikaþní pĜíklady (okamžitá rychlost jako derivace dráhy podle þasu, pomČrný pĜírĤstek výroby, náklady na dopravu uhlí). VIII. Derivace funkce Derivace jako limita pomČrného pĜírĤstku, jednostranné derivace, regulární funkce, derivace inverzní funkce, seþna a teþna ke grafu funkce, diferenciál. IX. Užití derivací Funkce rostoucí, resp. klesající v bodČ, Rolleova vČta, vČty o stĜední hodnotČ, ryzí konvexnost, resp. konkávnost v bodČ. KĜivky v rovinČ – parametrické vyjádĜení, jednoduchý oblouk, uzavĜená kĜivka. X. Funkce dvou a více promČnných Úplný diferenciál, parciální derivace funkce složené. Základní úloha vyrovnávacího poþtu. Funkce tĜí a více promČnných – jen parciální derivace. XI. Neurþitý integrál Druhá vČta o substituci, integrace nČkterých funkcí iracionálních. XII. Urþitý integrál RiemannĤv integrál, urþitý integrál jako funkce horní meze. Numerická integrace – metoda obdélníková, lichobČžníková, SimpsonĤv vzorec. Objem rotaþních tČles, délka oblouku kĜivky. Není obsaženo (v obou dílech): Jordanova metoda, topologické vlastnosti množin – otevĜená, uzavĜená, omezená, kompaktní, vázané extrémy, absolutní extrémy spojité funkce na kompaktní množinČ, diferenciální rovnice.
V letech 1968 až 1987 byly vydávány uþebnice Z. Horského: Horský Z.: Uþebnice matematiky pro posluchaþe VŠE, 1968 ([10]) 258 str. B5. Obsahuje definice (nejsou oznaþeny), vČty, dĤkazy, cviþení (i dĤkazy) bez výsledkĤ, neužívá kvantifikátory, obsahuje obrázky. Struþný text (nepĜíliš podrobná vysvČtlení), obecné formulace, málo Ĝešených pĜíkladĤ. Aplikaþní pĜíklady (vektor výroby, elastiþnost funkce). I. Úvod Logika, výrokový poþet, množiny, operace s množinami, rozklad na množinČ, zobrazení, pĜirozená þísla, uspoĜádání množiny reálných þísel (nerovnosti), Ĝez na množinČ, skok, souĜadnicový systém v rovinČ a v prostoru, kružnice a koule. II. Základy lineární algebry Vektory – vektorový modul – axiomatická definice, podmodul, n-rozmČrný prostor, urþující skupina, báze, hodnost modulu, vektorový zápis soustavy lineárních rovnic. Soustavy lineárních rovnic – zmČna báze v prostoru Vn, lineární formy. Analytická geometrie – n-rozmČrný prostor, body a vektory, pĜímka v En, rovina v En, podprostory v En, skalární souþin, vzdálenost, lineární kombinace bodĤ, konvexní množiny, poloprostory. Maticová algebra – modul matic, rozdČlení matic na pole. Determinanty – permutace, definice determinantu pĜes permutace, lineární forma pĜíslušná k dané ĜadČ determinantu, determinanty vybrané z matice. III. Základy matematické analýzy Suprémum a infimum. Posloupnosti (def. obecnČ, dále jen reálné) – úplná indukce, Funkce – polynomy, exponenciální funkce, goniometrické funkce. Spojitost – spojitost v bodČ (dvČ formulace definice), Bolzanova vČta. Limita funkce – dvČ formulace definice. Derivace – deriva268
ce a spojitost, derivace inverzní funkce, diferenciál, teþný vektor prostorových kĜivek, elastiþnost. PrĤbČh funkce – vČta o stĜední hodnotČ, TaylorĤv rozvoj. Funkce dvou promČnných – válcové plochy, Ĝezy plochy rovnobČžné s rovinami os, limita posloupnosti v E2, totální diferenciál, teþná rovina, vyrovnání pĜímkou. Integrály – rekurentní formule, dodatek: nástin Riemannova urþitého integrálu, pĜibližné vzorce – Simpsonova formule. Nekoneþné Ĝady – Ĝady s nezápornými þleny, kritéria konvergence, alternující Ĝady, Leibnizovo kritérium, absolutní konvergence, Taylorova Ĝada, funkþní Ĝady, stejnomČrná konvergence, integrování Ĝad. Diferenciální rovnice – variance konstant, soustavy diferenciálních rovnic, komplexní þísla. Není obsaženo: Ĝešení soustav užitím inverzní matice, topologické vlastnosti množin – otevĜená, uzavĜená, omezená, kompaktní, postaþující podmínka pro lokální extrém funkce dvou promČnných, vázané extrémy, absolutní extrémy spojité funkce na kompaktní množinČ.
Horský Z.: Uþebnice matematiky pro posluchaþe VŠE I, 1987 ([11]) 7. vydání. 310 str. B5. Stejný charakter jako [10], ještČ více od obecného ke speciálnímu. Obsahové zmČny oproti 1. vydání: I. Základní pojmy matematiky Kartézské souþiny, rozklady na množinČ, ekvivalence. UspoĜádané množiny, pĜirozená indukce. Struktury – operace na množinČ, grupy, tČlesa, funkce s hodnotami v daném tČlese. Reálná þísla, reálná osa – množina E, rozšíĜená reálná osa, suprémum, infimum. II. Základy lineární algebry Lineární vektorový prostor – množina, která vzhledem ke sþítání tvoĜí komutativní grupu, násobení – axiomy, skaláry = reálná þísla, zmínka i o obecném tČlese (jediný pĜíklad – množina funkcí s hodnotami v tČlese E), podprostor, lineární obal, lineární závislost (v [3]: aspoĖ jeden vektor lineární kombinací ostatních; zde: [Si] = [S] aspoĖ pro jedno i). Lineární zobrazení, lineární rovnice, lineární algebraická rovnice, soustava. Matice – zavedena jako schéma popisující soustavu. Geometrická interpretace soustav – lineární afinní prostory. Matice – funkþní pojetí. Kvadratické formy. III. Základy matematické analýzy Konvergenþní prostor, konvergence na množinČ. Limita posloupnosti – obecnČ (nejen pro reálnou), standardní konvergence na E*. Speciální zobrazení, spojitost zobrazení – obecnČ, pak spec. pro reálné funkce, stejnomČrná spojitost (Cviþení – dĤkazy: Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodČ reálné osy ...). Limity zobrazení – obecnČ (hromadný bod množiny). Numerické Ĝešení rovnic – metoda regula falsi. Funkce více promČnných, zobrazení typu (r, s), standardní konvergence na euklidovských prostorech, implicitnČ definovaná funkce. Integrály – zaþínají Reimannovým urþitým integrálem, primitivní funkce, NewtonĤv urþitý integrál, neurþitý integrál. Funkþní Ĝady – Ĝady typu ı a jejich vlastnosti, mocninné Ĝady – polomČr konvergence, integrace, derivace. Komplexní þísla – tČleso komplexních þísel, polární tvar, binomické rovnice, komplexní funkce jedné komplexní promČnné, exponenciální funkce a logaritmus v komplexním oboru, derivace komplexní funkce jedné komplexní promČnné, mnohoznaþné funkce. Není obsaženo: lokální extrémy, vázané extrémy – dosazovací metoda, Lagrangeovy multiplikátory, extrémy lineární funkce na konvexním polyedru. V letech 1994 až 2003 byly vydávány dvojdílné uþebnice dvojic autorĤ J. KlĤfa, J. Coufal a M. KaĖka, J. Henzler:
269
Coufal J., KlĤfa J.: Matematika I (pro Vysokou školu ekonomickou), 1994 ([12]) 230 str. A4. Obsahuje definice, vČty, dĤkazy, Ĝadu Ĝešených pĜíkladĤ, cviþení (i dĤkazy) bez výsledkĤ, užívá kvantifikátory, neobsahuje obrázky (ani k pojmĤm spojitost, limita), jen pĜíloha grafĤ základních funkcí. Ekonomické aplikace (funkce nabídky, nákladová funkce). Obsahuje pĜíklady Ĝešené programem MATHEMATICA. I. Úvod Prolog aneb ars coniectandi – historie. Jazyk matematiky – množiny, matematická logika, architektura matematiky (axiom,definice, vČta, dĤkazy), množinové operace, relace, uspoĜádání, Ĝez, skok, mezera, zobrazení, operace, grupa, tČleso, þíselné množiny, matematická indukce, suprémum, infimum. Speciální zobrazení – reálné funkce (nejen reálné promČnné), operace s funkcemi, suprémum, infimum, maximum, minimum funkce, komplexní funkce jedné reálné promČnné, posloupnost (obecnČ, nejen reálná). II. Základy lineární algebry Lineární prostory – axiomatická definice (nad reálnými þísly), pĜíklady, podprostor, urþující skupina, báze, hodnost prostoru, prostory se skalárním souþinem, ortogonální a ortonormální báze. Matice – prostor matic. Maticová algebra, symetrické matice, lineární transformace, redukce symetrických matic na diagonální, elementární matice. Determinanty a kvadratické formy – permutace, definice determinantu pĜes permutace, výpoþet inverzní matice, Wronského determinant, charakteristická þísla, kvadratické formy a jejich klasifikace. Sylvestrova vČta. III. Matematická analýza Konvergence – konvergenþní prostor, limita posloupnosti (obecnČ), standardní konvergence na R a R*, vČty. Standardní konvergence na Rn. Spojitost zobrazení (obecnČ), KaĖka M., Henzler J.: Matematika II (pro Vysokou školu ekonomickou), 1995 ([13]) 355 str. A4. Stejný charakter jako [12], nČkterá cviþení i s výsledky, obsahuje obrázky, neobsahuje pĜíklady Ĝešené programem MATHEMATICA. I. Diferenciální poþet jedné reálné promČnné Wronského determinant, vČty o stĜední hodnotČ, TaylorĤv polynom. II. Integrály RiemannĤv integrál, per partes a substituce v urþitém integrálu, funkce beta a gama. III. Nekoneþné Ĝady Obecné vlastnosti Ĝad, Ĝady s kladnými þleny – kritéria konvergence (srovnávací, podílové, odmocninové, integrální), alternující Ĝady (Leibnizovo kritérium), ostatní Ĝady, absolutní konvergence, funkþní Ĝady (Weierstrassovo kritérium), mocninné Ĝady – obor konvergence a absolutní konvergence, souþet pomocí integrování a derivování, Taylorovy Ĝady. IV. Funkce více promČnných Konvergence v Er, množiny v Er (otevĜená, uzavĜená, omezená, kompaktní), zobrazení typu (r, s), spojitost a limita zobrazení typu (r, s), reálné funkce r reálných promČnných, zúžení a rozšíĜení funkce, hladké funkce, diferenciál, teþná nadrovina ke grafu funkce, derivace složené funkce, derivace zobrazení typu (r, s), implicitnČ definované funkce, extrémy funkcí více promČnných (vþetnČ lokálních vázaných extrémĤ). Dodatek – komplexní funkce komplexní promČnné. V. Diferenciální rovnice Variace konstant, rovnice Ĝádu vyššího než 2. VI. Diferenþní rovnice Diference, vyšší diference, diferenþní rovnice 1. i vyšších ĜádĤ, lineární diferenþní rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou.
270
KlĤfa J., Coufal J.: Matematika 1, 2003 ([14]) 222 str. B5. Oproti [12] nejsou dĤkazy, cviþení jsou s výsledky. Obsahové zmČny oproti [12]: Úvod – není relace, uspoĜádání, Ĝez, skok, mezera, zobrazení, operace, grupa, tČleso, matematická indukce. Lineární algebra – je geometrická interpretace soustav lineárních rovnic, konvexní množiny, poloprostory. Matematická analýza – není konvergenþní prostor, limita posloupnosti jen pro reálnou posloupnost, spojitost jen pro reálnou funkci jedné reálné promČnné. KaĖka M., Henzler J.: Matematika 2, 2003 ([15]) 214 str. B5. Oproti [13] nejsou dĤkazy, cviþení jsou s výsledky, více ekonomických aplikací. Obsahové zmČny oproti [13]: Nejsou funkþní Ĝady. Navíc jsou u funkcí více promČnných funkce homogenní, kvazikonvexní a kvazikonkávní.
4 Definice limity posloupnosti Pro zajímavost porovnejme, jakým zpĤsobem je v jednotlivých uþebních textech podána definice limity posloupnosti. Pojem limity posloupnosti je vyuþován po celou dobu existence základního kurzu matematiky na VŠE. Definice limity posloupnosti je jedna z tČch, které se þasto studenti uþí nazpamČĢ bez jakéhokoliv porozumČní. I pĜes bezchybnou znalost definice nejsou schopni doprovodit ji obrázkem, þi naþrtnout graf posloupnosti se zadanou limitou apod. Proto byla definice limity posloupnosti pĜi koncipování zkráceného jednosemestrálního kurzu 4MM101 oznaþena za nepovinnou (s možností vyžadovat ji u zkoušky od studentĤ aspirujících na jedniþku); dĤraz mČl být kladen spíše na správnou pĜedstavu. Tendence do budoucnosti je definici opČt zaĜadit mezi povinné a od studentĤ vyžadovat její pĜesné znČní. Veselý F.: Úvod do poþtu infinitesimálního, 1954 ([4]) Pouze pro reálnou posloupnost. Nevlastní limita samostatnČ pozdČji. Není obrázek. Jsou pĜíklady Ĝešené podle definice. Definice limity posloupnosti: ýíslo a je limitou posloupnosti an, když ke každému libovolnČ malému kladnému þíslu İ existuje vždy þíslo n0 takové, že pro všechna n > n0 vždy platí: |an – a| < İ. Veselý F., Rychlý R.: Matematika – díl první, 1959 ([6]) Pouze pro reálnou posloupnost. Nevlastní limita samostatnČ pozdČji. Není obrázek. Jsou pĜíklady Ĝešené podle definice. Definice limity posloupnosti: Posloupnost {an} má vlastní limitu a, jestliže ke každému þíslu İ existuje þíslo n0 tak, že pro všechna n > n0 platí nerovnost |an – a| < İ. Rychlý R.: Základy vyšší matematiky, díl první, 1962 ([8]) Pouze pro reálnou posloupnost. Nevlastní limita samostatnČ pozdČji. DoplnČno obrázkem. Jsou pĜíklady Ĝešené podle definice. Definice limity posloupnosti: Posloupnost {an} má vlastní limitu a, jestliže ke každému kladnému þíslu İ existuje þíslo D tak, že pro všechna n > D platí nerovnost |an – a| < İ. 271
Horský Z.: Uþebnice matematiky pro posluchaþe VŠE, 1968 ([10]) Pouze pro reálnou posloupnost. Nevlastní limita samostatnČ pozdČji. DoplnČno obrázkem, okomentováno. Jsou pĜíklady Ĝešené podle definice. Definice limity posloupnosti: Pravíme, že posloupnost a1, a2, a3, … má limitu rovnou þíslu A, když ke každému kladnému İ existuje þíslo D tak, že platí implikace n > D => |an – A| < İ.
Horský Z.: Uþebnice matematiky pro posluchaþe VŠE, 1987 ([11]) Pro posloupnost obecnČ (nejen pro reálnou). Není obrázek. Nejsou pĜíklady Ĝešené podle definice. Nejprve definován konvergenþní prostor: Neprázdná množina M (prvkĤ jakékoliv povahy) se nazývá konvergenþní prostor, splĖuje-li tyto axiómy: I. Každý bod a ෛM vyznaþuje jisté podmnožiny množiny M. TČmto podmnožinám budeme Ĝíkat okolí bodu a. II. Každý bod a ෛM je prvkem každého svého okolí. III. Jsou-li a, b dva libovolné navzájem rĤzné body z M, potom existuje okolí bodu a a okolí bodu b tak, že obČ tato okolí jsou disjunktní. Zobrazení IJ, které každému bodu a ෛM pĜiĜazuje systém IJ(a) všech okolí bodu a, se nazývá konvergence na množinČ. (DoplnČno obrázky.) Definován p-zbytek posloupnosti: Budiž x1, x2, x3, … posloupnost. Pro každé pĜirozené þíslo p sestrojíme množinu {xp, xp + 1, xp + 2, …} [tj. množinu všech þlenĤ posloupnosti x1, x2, x3, … , jejichž index je vČtší nebo roven þíslu p]. Množinu {xp, xp + 1, xp + 2, …} nazýváme zbytkem (pĜesnČji p-zbytkem) posloupnosti x1, x2, x3, … Definice limity posloupnosti: Budiž M konvergenþní prostor, x1, x2, x3, … posloupnost obsažená v M a dále a ෛM. Pravíme, že bod a je limita posloupnosti x1, x2, x3, …, když každé okolí bodu a obsahuje nČjaký její p-zbytek. Zapsáno symbolicky: ී (U ෛIJ(a)) ූ (p ෛP) ී (n ุp) xn ෛU. Coufal J., KlĤfa J.: Matematika I (pro Vysokou školu ekonomickou), 1994 ([12]) Pro posloupnost obecnČ (nejen pro reálnou). Není obrázek. Nejsou pĜíklady Ĝešené podle definice. Nejprve definován konvergenþní prostor: NechĢ A je neprázdná množina. Konvergenþní prostor je uspoĜádaná dvojice [A, IJ], kde IJ je zobrazení, které každému prvku a ෛA pĜiĜazuje neprázdný systém podmnožin množiny A takový, že platí: I. ී (a ෛ A) ී (U ෛ IJ(a)) (a ෛ U) II. ී (a ෛ A) ී (b ෛ A) (a b => ූ (U ෛ IJ(a)) ූ (V ෛ IJ (a)) (U ŀ V = ෘ)). (Není obrázek ani slovní popis I, II.)
272
Definice limity posloupnosti: NechĢ [A, IJ] je konvergenþní prostor, (an) posloupnost obsažená v množinČ A a a ෛ A. ěekneme, že posloupnost (an) má limitu a v množinČ A, jestliže ී (U ෛ IJ (a)) ූ (d ෛ R) ී (n ෛ N) (n d => an ෛ U). Poznámka: lim an = a právČ tehdy, jestliže v každém okolí bodu a leží všechny þleny posloupnosti (an) od urþitého indexu poþínaje. KlĤfa J., Coufal, J.: Matematika 1, 2003 ([14]) Pouze pro reálnou posloupnost. SouþasnČ pro vlastní i nevlastní limitu. Nejsou obrázky. Je pĜíklad Ĝešený podle definice. Nejprve definováno okolí bodu: (i) NechĢ c je reálné þíslo a į kladné reálné þíslo. Potom į-okolí reálného þísla c je interval U(c, į) = (c – į, c + į). (ii) NechĢ Ȝ je reálné þíslo. Potom Ȝ-okolí bodu je interval U(, Ȝ) = (Ȝ, >. (iii) NechĢ Ȥ je reálné þíslo. Potom Ȥ-okolí bodu – je interval U(– , Ȥ) = <– , Ȥ). Definice limity posloupnosti: NechĢ (an) je reálná posloupnost a a ෛ R*. ěekneme, že posloupnost (an) má limitu a, jestliže ී (U ෛ IJ(a)) ූ (n0 ෛ N) ී (n ෛ N) (n n0 => an ෛ U). Poznámka: zápis lim an = a je ekvivalentní tvrzení: v každém okolí bodu a leží všechny þleny posloupnosti (an) od urþitého indexu poþínaje. KaĖka M., Coufal J., KlĤfa J.: Uþebnice matematiky pro ekonomy, 2007 ([2]) Pouze pro reálnou posloupnost. SouþasnČ pro vlastní i nevlastní limitu. Není obrázek ani vysvČtlení definice. Podle definice ukázáno, že lim n = . Nejprve definováno okolí U(a) bodu a ෛ R o polomČru İ > 0 jako každý symetrický otevĜený interval Uİ(a) = (a – İ, a + İ), okolí bodu + jako každý polouzavĜený interval Us() = (s, >, kde s je libovolné reálné þíslo, a analogicky okolí bodu – jako každý polouzavĜený interval Ur(–) = <– , r), kde r je libovolné reálné þíslo. (DoplnČno obrázky.) Definice limity posloupnosti: ěekneme, že posloupnost (an) má limitu a ෛ R*, jestliže ke každému okolí U(a) bodu a existuje þíslo n0 ෛ N tak, že pro všechna n n0, n ෛ N, platí an ෛ U(a). Batíková B. a kol.: Uþebnice matematiky pro ekonomické fakulty, 2009 ([3]) Pouze pro reálnou posloupnost. SouþasnČ pro vlastní i nevlastní limitu. DoplnČno obrázky. Nejprve definováno okolí U(a) reálného bodu a jako každý otevĜený interval, jehož stĜedem je a, tedy U(a) = (a – d, a + d) pro d > 0, okolí U() nevlastního bodu jako interval (k, > a okolí U(– ) nevlastního bodu – jako interval <– , k), kde k je libovolné reálné þíslo. (DoplnČno obrázky.) Definice limity posloupnosti (jakožto nepovinná pouze v poznámce pod þarou): Posloupnost (an) má limitu L, jestliže v každém (i sebemenším) okolí bodu L leží všechny þleny posloupnosti (an) od urþitého þlenu poþínaje, neboli
273
lim an = L < = > ී (U(L)) ූ (n0 ෛ N) ී (n ෛ N) (n n0 => an ෛ U(L)). V textu: ěíkáme, že posloupnost (an) má limitu L, jestliže se s rostoucím n hodnoty þlenĤ posloupnosti (an) pĜibližují k urþité hodnotČ L. (DoplnČno obrázky.) Nejsou pĜíklady Ĝešené podle definice.
5 ZávČr Aþkoliv by uþební texty jistČ mČly být pĜizpĤsobeny úrovni kurzu, pro který jsou urþeny, je míra zjednodušování výkladu diskutabilní a názory na tuto problematiku jsou do znaþné míry subjektivní. Proto není cílem tohoto þlánku jakékoliv hodnocení uvedených textĤ. Literatura [1] Kolektiv katedry matematiky: Matematika pro 4MM101. VŠE, Oeconomica, Praha, 2006. [2] KaĖka M., Coufal J., KlĤfa J.: Uþebnice matematiky pro ekonomy. Ekopress, Praha, 2007. [3] Batíková B. a kol.: Uþebnice matematiky pro ekonomické fakulty. VŠE, Oeconomica, 2009. [4] Veselý F.: Úvod do poþtu infinitesimálního. VŠE/SPN, Praha, 1954. [5] Veselý F.: Úvod do poþtu infinitesimálního II. VŠE/SPN, Praha, 1955. [6] Veselý F., Rychlý R.: Matematika – díl první. VŠE/SPN, Praha, 1959. [7] Veselý F., Rychlý R.: Matematika – druhý díl. VŠE/SPN, Praha, 1959. [8] Rychlý R.: Základy vyšší matematiky, díl první. VŠE/SPN, Praha, 1962. [9] Rychlý R.: Základy vyšší matematiky, díl druhý. VŠE/SPN, Praha, 1962. [10] Horský Z.: Uþebnice matematiky pro posluchaþe VŠ. SNTL, Praha/ALFA, Bratislava, 1968. [11] Horský Z.: Uþebnice matematiky pro posluchaþe VŠE. SNTL, Praha/ALFA, Bratislava, 1987. [12] Coufal J., KlĤfa J.: Matematika I (pro Vysokou školu ekonomickou). VŠE, Praha, 1994. [13] KaĖka M., Henzler J.: Matematika II (pro Vysokou školu ekonomickou). VŠE, Praha, 1995. [14] KlĤfa J., Coufal J.: Matematika 1. Ekopress, Praha, 2003. [15] KaĖka M., Henzler J.: Matematika 2. Ekopress, Praha, 2003. Adresa RNDr. Eva Ulrychová Vysoká škola ekonomická Katedra matematiky Ekonomická 957 148 00 Praha 4 e-mail:
[email protected]
274
HISTORICKÉ VÝPOýETNÍ POMģCKY A NETRADIýNÍ METODY ARITMETICKÝCH VÝPOýTģ ZUZANA VÁCLAVÍKOVÁ Abstract: There will be described history of mechanical calculators and their mechanical construction, in this paper. The methods of elementary arithmetical operation – adding, subtracting, multiplying and dividing will be illustrated, specially the prof. Töpfer method of square root extraction.
1 Úvod 1.1
Historie výpoþetních pomĤcek
Již od pradávna se lidé snažili ulehþit si práci s aritmetickými výpoþty. Velký zlom pĜinesl vnik poziþní soustavy, který umožnil vývoj mechanických pomĤcek. S nástupem poþítaþĤ upadly tyto mechanické stroje do zapomnČní, aþkoliv možnosti, které ve své dobČ nabízely vzbuzují úžas i dnes. První a nejdéle používanou pomĤckou byl tzv. abakus, u nás známý jako „poþítadlo“. Byl pravdČpodobnČ babylonského pĤvodu, jednalo se o soustavu rýh, po kterých se posouvaly drobné pĜedmČty – kamínky, zrna, atp. Nejstarším dochovaným dĤkazem je tzv. Salamínská tabule z období cca 300 let pĜ. n. l. objevená v 19. století na ostrovČ Salamis. V Ĝímském období se oddČlil abakus na dva typy – západní a východní. Západní typ se pĜes orient dostal do Evropy, kde dostal nový název Abakus. SpeciálnČ pak v Rusku byl západní typ známý pod názvem sþot, který se tam používá dodnes. PĜesto, že se to mĤže zdát nemožné, „staĜí poþtáĜi“ umČli na tČchto pomĤckách nejenom sþítat a odeþítat, ale také násobit, dČlit a lze je využít také k výpoþtu druhé a tĜetí odmocniny. 1.2
První mechanické stroje
Mezi prĤkopníky mechanických kalkulaþek patĜil zejména Wilhelm Schickard (1592– 1635), který v roce 1623 vynalezl tzv. poþítací hodiny – mechanický stroj, schopný sþítat, odeþítat, násobit a dČlit. Objevení popisĤ Schickardova kalkulátoru pĜipravilo posmrtnČ o prvenství Blaise Pascala, který ve svých 18 letech sestrojil tzv. pascalínu, aby pomohl svému otci, který pĤsobil jako výbČrþí královských daní, se zpracováváním velkého množství dat. Jednalo se o osmimístní sþítací stroj, poslední dvČ místa urþeny pro drobné peníze + 6 míst pro 6-ciferné hodnoty „zlatých“ penČz. PozdČji následoval vynález Gottfrienda Wilhelm von Leibnize (1646–1716), který chtČl nejprve dovybavit PascalĤv poþítací stroj schopností násobení a dČlení. To se mu nedaĜilo, a tak se rozhodl radČji pro zcela nový návrh poþítacího stroje. V roce 1673 sestrojil svĤj vlastní stroj, ve kterém použil válec se stupĖovitým ozubením, známý také jako tzv. Leibnitzovo kolo. Výsledkem byl poþítací stroj, který dokázal pracovat s 5 až 12-místnými
275
þísly, a splĖoval tehdejší požadavky matematikĤ. Jeho principy se používaly ještČ dalších cca 300 let. Kolem roku 1820 vytvoĜil Charles Xavier Thomas první úspČšný sériovČ vyrábČný kalkulátor – ThomasĤv Arithmometr, schopný sþítat, odþítat, násobit a dČlit. Ten byl pĜevážnČ založen na LeibnitzovČ pĜístroji. Technologie mechanických poþítacích strojĤ se udržela až do 70. let 20. století.
2 Konstrukce mechanických kalkulaþek 2.1
Mechanické kalkulaþky Odhnerova typu
Z hlediska konstrukce mĤžeme rozdČlit sériovČ vyrábČné mechanické kalkulaþky do tĜí skupin. První z nich, tzv. „pinwheel calculators“, byly stroje s klikou složené ze speciálních ozubených kol s promČnným poþtem zubĤ (soustava paprskového soukolí), opatĜené vČtšinou páþkovou klávesnicí. První z tČchto typĤ, tzv. OdhnerĤv arithmometr, sestrojil v roce 1873 W. T. Odhner (proto se tyto kalkulaþky zvyknou nazývat jako „kalkulaþky Odhnerova typu“). O dva roky pozdČji dostal patent, který podstoupil Peterburgské továrnČ. OdnerĤv syn po revoluci uprchnul do Švédska, kde pokraþoval s výrobou mechanických kalkulaþek s originální znaþkou „Original Odhner“, zatímco co v SovČtském svazu se díky konstrukþním plánĤm a pĜenechanému patentu vyrábČly Odhnerovi dvojníci pod znaþkou Felix. „Ruský“ Felix byl v polovinČ minulého století neodmyslitelnou souþástí všech bank, úþetních kanceláĜí a obchodĤ i u nás. V ýeské republice byly z Odhnerových typĤ þasté také mechanické kalkulaþky nČmeckých firem Walther, Mellita, nebo Mira (od roku 1927 v Dolním HanychovČ, po válce pĜejmenovaná na firmu Nisa). 2.2
Mechanické kalkulaþky se soustavou stupĖovitých válcĤ
Druhým typem konstrukce byla soustava stupĖovitých válcĤ, zvaná také Thomasovou soustavou. Byla podkladem pĜevážnČ mechanických strojĤ s násobnou klávesnicí, u nás používané pĜedevším stroje znaþky Archimedes, Madas, atd. 2.3
Mechanické kalkulaþky se soustavou úmČrných ramen
Tento typ konstrukce se také nazýval soustavou proporcionálních pák a byl vynálezem Ing. Hamanna. U nás byly zastoupeny hlavnČ u výrobkĤ nČmecké znaþky Mercedes-Euklid. KromČ tČchto zmínČných konstrukcí se objevovala Ĝada dalších soustav, které se však neuchytily a nebo nedosáhly ani stadia prototypu. PĜesto že se þasem u strojĤ vylepšoval tvar, zvyšovala rychlost, þi byl nahrazen mechanický pohon elektromotorem (typy Ĝadíme již mezi tzv. elektromechanické kalkulaþky), princip mechanické konstrukce zĤstával poĜád stejný, až do nástupu elektroniky. 2.4
Sþítací stroje
Speciální kategorii mechanických strojĤ tvoĜí sþítací stroje, urþené primárnČ pro úþetní potĜeby – vČtšinou vybavené pouze funkcí souþtu a odeþítání, doplnČné tiskovým výstupem na pásku. Na tČchto strojích je vidČt vývoj numerické klávesnice od násobných klávesnic až po dnes standardizovaný typ na všech kalkulaþkách, nebo mobilech (patent firmy
276
Sundstrand, z roku 1914). Za zmínku stojí také patent firmy Astra-Werke z roku 1922 – tzv. multinulové klávesy, které dnes bČžnČ vidíme na klávesnici bankomatĤ.
3 Metody výpoþtu 3.1
Základní operace
Základní operace, kterými byly mechanické stroje vybaveny byl souþet a odeþítání (ve vČtšinČ pĜípadĤ odlišen smČrem otáþení kliky, u pozdČjších elektromechanických kalkulaþek bylo pĜepínání ruþnČ). U neautomatických strojĤ se pak násobení a dČlení provádČlo využitím posuvného ramene nebo válce- napĜíklad pokud se násobilo 135 ⋅ 24 , nastavilo se vČtší z þísel na horní výsledkové poþítadlo, otoþilo se klikou 4-krát, posunulo se rameno o jednu pozici k „desítkám“ a otoþilo se ještČ 2-krát. PodobnČ se využilo posouvání ramene i u dČlení. U elektromechanických kalkulaþek (pohon elektromotorem) byl tento proces vČtšinou již automatický. 3.2
OdmocĖování
Na mechanických strojích se k výpoþtu odmocniny využívalo nČkolik metod, jedna z nich byla metoda prof. Töpfera. Podle metody prof. Töpfera odmocĖujeme odeþítáním lichých hodnot v ĜadČ za sebou od mocnČnce, rozdČleného na skupiny dvojþísel od desetinné þárky doleva. NapĜíklad hledáme-li odmocninu 100489 . ýíslo rozdČlíme na dvojþíslí 10-04-89. Od prvního dvojþíslí odeþítáme postupnČ lichá þísla- 1,3,... dokud je þíslo ve zbytku obsaženo: 10 04 89
−
1 09 04 89
−
3 06 04 89
−
5
01 04 89 Celkem jsme otoþili 3-krát klikou (odeþítali jsme tĜi þísla), což se nám objeví na výsledkovém poþítadle. Další liché þíslo 7 již odeþíst nemĤžeme, tedy poslední odeþítané liché þíslo 5 zvČtšíme o jedna na nejbližší sudé, tj. 6 a za nČj napíšeme opČt první liché þíslo 1, dostaneme tedy liché þíslo 61. Posuneme rameno nebo válec o jedno místo vlevo a odeþítáme od 104-89, tedy 104 89 − 61 43 89 Celkem jsme otoþili 1-krát klikou (odeþítali jsme jedno þíslo), což se nám objeví na výsledkovém poþítadle za þíslem 3 z pĜedchozího odeþítání, tedy máme 31.
277
Další liché þíslo 63 již odeþíst nemĤžeme neboĢ není ve 43 obsaženo. Poslední odeþítané þíslo 61 zmČníme na nejbližší sudé, tj. 62 a za nČj napíšeme opČt první liché þíslo 1, dostaneme tedy liché þíslo 621. Posuneme rameno o jedno místo vlevo a odeþítáme od 4389, tedy 4389 − 621 −
1893 − 629
3768 623
3145 − 625
1264 ,
dále pak
− 631 633 − 633
2520 − 627
0
1893 Zbytek nula ukonþuje proces a dále již nepoþítáme. Celkem jsme v posledním odeþítání otoþili 7-krát klikou (odeþítali jsme sedm þísel), což se nám objeví na výsledkovém poþítadle za pĜedchozími ciframi, obdržíme tedy 317 a to je výsledek odmocĖování.
Další využívané metody byly napĜíklad tzv. americká metoda (podobná popsané metodČ, ale rychlejší) nebo také Collacova metoda odmocĖování.
4 ZávČr Samotných výpoþetních metod, þi „návodĤ“ na zrychlení výpoþtu byla ve své dobČ publikována celá Ĝada. Dobové návody dokonce uvádí, že „elektromechanický kalkulaþní automat je sice nejpohodlnČjší, ale nikoliv nejrychlejší, neboĢ poþtáĜ dokonale ovládající techniku poþítání pracuje þasto na ruþním stroji rychleji...“. VČtšina tČchto metod s nástupem elektroniky zanikla.
Literatura [1] TomšĤ S.: Poþítací stroj a jeho dokonalé využití v praxi. SNTL, Praha, 1957. [2] Wikipedia (The free encyclopedia): Abacus [online]. Poslední revize 23. kvČten 2010, http://en.wikipedia.org/wiki/Abacus [3] Wikipedia (The free encyclopedia): History of computing hardware [online]. Poslední revize 18. kvČten 2010, http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_calculator [4] Dobové návody k mechanickým poþítacím strojĤm.
Adresa RNDr. Zuzana Václavíková, Ph.D. Katedra matematiky PĜírodovČdecká fakulta Ostravská univerzita v OstravČ 30. dubna 22 701 30 Ostrava e-mail:
[email protected]
278
MATURITNÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA PěELOMU 19. A 20. STOLETÍ A NA ZAýÁTKU 21. STOLETÍ JAN ZAHRADNÍK Abstrakt: Comparison of school-leaving examinations in mathematics at the C. k. þeské gymnasium in ýeské BudČjovice (later Jirsíkovo státní gymnasium) in the period 1899–1906 on the basis of the records, kept in the State District Archives in ýeské BudČjovice, and of the present-day tasks included in the school-leaving examinations at the Gymnázium J. V. Jirsíka in ýeské BudČjovice. V souþasné dobČ probíhá v þeské spoleþnosti diskuse o podobČ a významu maturitní zkoušky na stĜedních školách. V mém pĜíspČvku na této konferenci chci ukázat, jak vypadala maturitní zkouška z matematiky na gymnáziu pĜed více než sto lety a porovnat ji s maturitní zkouškou na gymnáziu v souþasné dobČ. Toto srovnání provedu v rámci jednoho gymnázia, a to C. k. þeského gymnasia, které v souþasné dobČ nese název Gymnázium Jana Valeriána Jirsíka v ýeských BudČjovicích. Ve Státním okresním archivu v ýeských BudČjovicích se totiž nachází soubor dokumentĤ z historie této školy, která byla vlasteneckým þeskobudČjovickým biskupem Janem Valeriánem Jirsíkem založena roku 1868 jako první þeské gymnázium v ýeských BudČjovicích. Ve srovnání s dokumentací ostatních þeskobudČjovických stĜedních škol, existujících ve druhé polovinČ 19. století, se jedná o nejrozsáhlejší soubor, obsahující kromČ katalogĤ studentĤ také archiv korespondence a zejména sadu podrobných protokolĤ o maturitních zkouškách [1], poþínající školním rokem 1898-1899 a konþící školním rokem 1906–1907, které obsahují mimo jiné také záznamy pĜíkladĤ zadávaných maturantĤm pĜi ústní zkoušce z matematiky a pĜíkladĤ, navržených pro zkoušku písemnou. Z uchovaných protokolĤ je možné vytvoĜit si pĜedstavu o tom, jak vypadala maturitní zkouška na gymnáziu na pĜelomu 19. a 20. století. V první ĜadČ se student musel vyrovnat s pČti povinnými písemnými maturitními pracemi, a to z matematiky, þeského jazyka, pĜekladu z Ĝeþtiny do þeštiny, pĜekladu z latiny do þeštiny, pĜekladu z þeštiny do latiny a pokud si vybral jako maturitní pĜedmČt nČmþinu, psal písemnou práci i z ní. Písemné zkoušky se konaly obvykle v první polovinČ kvČtna a jejich témata navrhovali profesoĜi pĜíslušného gymnázia v nČkolika variantách. Koneþný výbČr témat provedl zemský školní inspektor, který z navržených variant „rudkou zatrhl“ vybrané téma. Známky z písemných maturitních zkoušek jsou uvedeny v PĜehledu výsledkĤ zkoušek maturitních [2] a byl na nČ brán ohled pĜi stanovení výsledné známky. Ústní maturitní zkoušky probíhaly pĜed 110 lety podle modelu, který známe i v souþasné dobČ. V Ĝádném období se zkouška konala na závČr školního roku, tedy v mČsíci þervnu, pĜípadnČ i v první polovinČ þervence. V dopoledním i odpoledním termínu skládala maturitní zkoušku zpravidla þtveĜice studentĤ a to ze všech pĜedmČtĤ ústní zkoušky. Povinnými pĜedmČty byly þeský jazyk, latina, Ĝeþtina a matematika. Jako nepovinný pĜedmČt si studenti mohli vybrat druhý zemský jazyk, tedy nČmþinu, dále se mohli pĜihlásit ke zkoušce ze soukromé þetby z latiny nebo Ĝeþtiny. Platilo také, že ti studenti, kteĜí nesplnili v závČreþném roþníku požadavky z fyziky nebo dČjepisu, museli se podrobit ústní zkoušce i z tČchto pĜedmČtĤ.
279
Klasifikace v jednotlivých pĜedmČtech maturitní zkoušky se Ĝídila šestimístnou stupnicí (vþetnČ stupnČ „zcela nedostateþný“), výsledné hodnocení pak znČlo tak, že žákovi bylo vydáno „vysvČdþení dospČlosti ke studování na universitČ“ [1], pĜípadnČ „vysvČdþení s vyznamenáním“. NeúspČšnému abiturientovi mohlo být povoleno opakování zkoušky. V archivních záznamech C. k. þeského gymnasia je v protokolech o maturitních zkouškách [1] z matematiky uvedeno celkem 732 pĜíkladĤ, které byly v uvedených letech buć zadány u ústní zkoušky (604) nebo pĜipraveny k výbČru pro písemnou zkoušku (128). Je to soubor, který umožĖuje vytvoĜit si celkem pravdivý obraz o tom, jakým tématĤm se matematika na tehdejším gymnáziu vČnovala, jak nároþné úlohy museli studenti Ĝešit a v neposlední ĜadČ také o tom, jakou známkou byli u maturity klasifikováni. V záznamech se nevyskytuje název maturitní otázky, jako je tomu v souþasné dobČ, jsou uvedeny pouze pĜíklady, které byly maturantovi zadány (v poþtu od jednoho do þtyĜ), známka kterou zkoušející navrhl u jednotlivých pĜíkladĤ a návrh výsledné známky u ústní zkoušky. Úlohy jsem rozdČlil do 30 témat, z nichž 29 je nazvaných podle souþasných zvyklostí, do 30. tématu jsem shrnul netypické úlohy. Co se týká maturit v souþasné dobČ, díky laskavosti kolegĤ z Gymnázia Jana Valeriána Jirsíka v ýeských BudČjovicích jsem dostal k dispozici sadu maturitních otázek a pĜíkladĤ, které byly zadávány pĜi maturitních zkouškách v roce 2010. Soubor maturitních otázek z matematiky souþasného Jirsíkova gymnázia obsahuje 30 položek. Každá otázka má dvČ þásti. V þásti nazvané „teorie“ nacházíme 3 až 5 témat, umožĖujících maturantovi prokázat znalost teoretických základĤ. ýást nazvaná „pĜíklady“ pak obsahuje dvČ úlohy, z nichž žák obvykle Ĝeší jednu s cílem prokázat schopnost aplikovat teoretické znalosti. V následující tabulce uvádím srovnání témat souþasných (levý sloupec tabulky) s tématy pĜíkladĤ, zadávaných pĜed 110 lety. V pravém sloupci tabulky jsou tuþnou kurzívou uvedeny názvy témat z let 1899 – 1906, která podle mého názoru odpovídají tématĤm souþasným. ýísla v závorce uvádČjí, kolik úloh z celkového souhrnu úloh zadaných pĜi ústní maturitní zkoušce nebo navržených pro písemnou þást do daného tématu náleží a také procentový podíl tématu na celkovém poþtu úloh.
Maturitní otázky rok 2010, Gymnázium J. V. Jirsíka 1. Úpravy výrazĤ 2. Typy dĤkazĤ, dČlitelnost þísel 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
KomentáĜ s ohledem na maturitní pĜíklady 1899 – 1906, C.k. þeské gymnasium Úpravy výrazĤ (9; 1,23%). Diofantické rovnice (5, 0,68%), pĜíklady na typy dĤkazĤ se nevyskytují, nČkolik pĜíkladĤ na dČlitelnost. Výroky a množiny PĜíklady na toto téma se nevyskytují. Definice a vlastnosti funkcí, graf PĜíklady na pojem funkce a její vlastnosti se funkce, inverzní funkce v souboru nevyskytují. Lineární a kvadratická funkce Úlohy o maximech a minimech (5; 0,68%). Mocnina s reálným exponentem, Numerické výpoþty (8; 1,09%). lineární lomená funkce Lineární a kvadratická rovnice Rovnice o jedné neznámé (11; 1,50%), Slovní úlohy (29; 3,96%), Reciproké rovnice (15; 2,05%). Lineární a kvadratická Soustavy rovnic (30; 4,10%), úlohy na nerovnice se nerovnice, soustavy rovnic v souboru nevyskytují. a nerovnic Rovnice a nerovnice Iracionální rovnice a jejich soustavy (30; 4,10%), s parametrem, s absolutní úlohy na rovnice s parametrem a s absolutní hodnotou, iracionální rovnice hodnotou se nevyskytují.
280
10. Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice 11. Goniometrické funkce 12. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi, goniometrické rovnice
Exponenciální rovnice (26; 3,55%), Logaritmické rovnice (14; 1,91%). PĜíklady na toto téma se nevyskytují. Goniometrie – úlohy na Ĝešení trojúhelníka (60; 8,20%), Goniometrické rovnice (25; 3,42%).
13. Planimetrie
V souboru se vyskytují úlohy na konstrukci kuželoseþek a pouze jeden pĜíklad na konstrukci trojúhelníku. Konstrukce algebraických výrazĤ (8; 1,09%), jiné úlohy na zobrazení se nevyskytují.
14. Zobrazení v rovinČ
15. Trigonometrie 16. Stereometrie 17. Vektory, lineární útvary v E 2 18. Vektory, lineární útvary v E3 19. Kružnice, kulová plocha, teþny 20. Elipsa a její teþny 21. Parabola a její teþny 22. Hyperbola a její teþny 23. Kombinaþní þíslo, faktoriál, binomická vČta 24. Kombinatorika a pravdČpodobnost 25. Komplexní þísla 26. Posloupnosti
27. Limita posloupnosti, nekoneþné Ĝady 28. Limita a spojitost funkce 29. Derivace funkce a její užití 30. Integrál
Trigonometrie (56; 7,65%). Povrchy a objemy tČles (88; 12,02%), prostorové konstrukþní úlohy se nevyskytují. Analytická geometrie pĜímky v rovinČ (41; 5,60%), úlohy na vektory se nevyskytují. Úlohy na toto téma se nevyskytují. Kružnice a její teþny (36; 4,92%). Elipsa a její teþny (35; 4,78%). Parabola a její teþny (31; 4,23%). Hyperbola a její teþny (27; 3,69%). Kombinaþní þísla (7; 0,96%), Binomická vČta (11; 1,50%). Kombinatorika (7; 0,96%), v souboru se vyskytuje jedna úloha na pravdČpodobnost. Komplexní þísla (12; 1,64%). Aritmetické posloupnosti (23; 3,14%), Geometrické posloupnosti (14; 1,91%), Finanþní matematika (51; 6,97%). Nekoneþné Ĝady (11; 1,50%), v souboru se vyskytuje nČkolik pĜíkladĤ na limitu posloupnosti. PĜíklady na toto téma se nevyskytují. PĜíklady na toto téma se nevyskytují, úlohy na minima a maxima byly zĜejmČ Ĝešeny bez použití derivace. PĜíklady na toto téma se nevyskytují, kromČ nČkolika pĜíkladĤ na urþení plochy pod kuželoseþkou, které zĜejmČ vyžadovaly znalost vzorce.
Je vidČt, že nČkterá souþasná témata se v souboru z let 1899 až 1906 nevyskytují. Jedná se napĜíklad o výroky a množiny, dĤkazy matematických vČt, nerovnice, funkce, konstrukþní úlohy, zobrazení, vektory, analytickou geometrii v prostoru nebo matematickou analýzu. Naproti tomu maturanti z pĜelomu 19. a 20. století se museli vyrovnat s daleko vČtším poþtem úloh, vyžadujících kromČ schopnosti kombinovat a syntetizovat své poznatky i velkou poþetní zruþnost a nakonec i znalost trikĤ, k Ĝešení mnohých úloh nezbytných. Jsou to napĜíklad úlohy na Ĝešení zadaných rovnic a jejich soustav, slovní úlohy, reciproké rovnice,
281
numerické výpoþty, provádČné s pomocí logaritmických tabulek, velké množství úloh na povrchy a objemy tČles. Soubor obsahuje širokou škálu úloh z analytické geometrie kuželoseþek, v nichž se obþas vyskytují pojmy jako pól, polára nebo subtangenta a v neposlední ĜadČ mnoho úloh z finanþní matematiky, kam Ĝadím všechny úlohy na složené úrokování. Nyní následují ukázky pĜíkladĤ z nČkterých témat. U každého pĜíkladu uvádím rok konání ústní maturitní zkoušky, pĜíjmení a jméno abiturienta, který jej Ĝešil, jeho známku z písemné zkoušky z matematiky, známku navrženou zkoušejícím za daný pĜíklad, návrh celkové známky za ústní zkoušku a výslednou známku z matematiky u maturitní zkoušky. Ta byla stanovena maturitní komisí s pĜihlédnutím k tČmto údajĤm a také ke známkám v posledním roþníku studia. 1. ěešte soustavu rovnic:
3 x − y = 1+ 4
1 x− y
,
x + y + x + y = 12 . (1900, ŠtČdrý Karel, 3, 1, 2, výsl. 2) 2. Stanovte neznámé: x 2 + y 2 + x + y = 22 x.y = 4. (1899, Vitoušek Jan, 3, 3, 3, výsl. 3) 3. Zahradník má nČco ménČ než 50 stromĤ; vsadil-li je po pČti do Ĝad, zbývá mu jeden, sází-li po sedmi, nedostávají se mu dva; kolik jich je? (1904, Krbec František, 3, 1, 1, výsl. 2) 4. Kdosi má roþnČ spláceti 200 K po 10 let; kdy mĤže vložiti celých 2000 K najednou pĜi 4% celoroþním úrokování? (1905, Bláha Karel, 3, 3, 4, výsl. 3) 5. ýíslo 27 jest rozdČliti na dva sþítance té vlastnosti, aby þtyĜnásobný þtverec prvého a pČtinásobný þtverec druhého byl co možná nejmenší. (1903, Soukup Josef, 4, 3, 4, výsl. 4) 6. Do rovnostranného válce je vepsán kužel a koule; vyhledati pomČr jejich obsahĤ. (1901, Slaba Rudolf, 4, 4, 4, výsl. 4) 7. Urþiti plochu trojúhelníka omezeného polárou a teþnami z bodu (-2, 0) k parabole y 2 = 2 x . (1900, Konzal Tomáš, 3, 2, 2, výsl. 3) 8. Kužel obrácený vrcholem dolĤ ponoĜí se ve vodČ po
7 výšky. Která je jeho 8
specifická váha? (1901, Prell Ladislav, 3, 4, 4, výsl. 4) 9. Silnice má smČr od západu k východu. Jdeme-li po ní z místa A, od nČhož leží jistá vČž pĜesnČ na jih, do místa, z nČhož vČž je smČrem jjz, ujdeme 364 m. Jak daleko je vČž od silnice? (1905, Tupý Jan, 4, 4, 4, výsl. 4) 8
1 · § 10. Které x þiní ve výrazu ¨ 3 x − ¸ þtvrtý þlen rovný –1. (1902, Novotný František, 5x ¹ © 2, 2, 2, výsl. 3) 282
Ve skupinČ netypických úloh, které byly zadávány zejména premiantĤm, se kterými se zĜejmČ pan profesor chtČl pochlubit, najdeme úlohu na pravdČpodobnost nebo výpoþet determinantu, nČkolik pĜíkladĤ na ĜetČzové zlomky nebo nekoneþné odmocniny i úlohy na limitu posloupnosti vedoucí k þíslu e nebo pĜíklady na výpoþet obsahu plochy pod kuželoseþkou, na první pohled vyžadující znalost základĤ integrálního poþtu. Na ukázku uvádím nČkolik pĜíkladĤ z této kategorie. 1. 24 žákĤ jest posaditi do 6 lavic po 4; kolikerým zpĤsobem se to dá provést? (1899, Slabý Emanuel, 3, 2, 1, výsl. 2) 7 , která jest pravdČpodobnost toho, že se 8 pokus aspoĖ 4 krát zdaĜí, když jej 7 krát opakujeme. (1899, Pátek Jan, 2, 1, 1, výsl. 1)
2. PravdČpodobnost nČjakého pokusu je
n
§ 1· 3. lim¨1 + ¸ (zadání zapsáno v této podobČ, pozn. aut.). (1900, Šilháþek Karel, 1, 1, © n¹ 1, výsl. 1) 4. Na elipse vyhledati bod, jehož stg = 6. (1901, Sakaþ Václav, 2, 1, 1, výsl. 2) 5. Stanovte 3 4 − 3 4 − 3 4 − ..... ∞. (1901, Štefl Josef, 3, 2, 2, výsl. 2) 6. Jest vyhledati krychlový obsah prstenu, jenž vznikne otoþením elipsy kol osy rovnobČžné s velkou osou, je-li velká osa elipsy a = 2 cm, výstĜednost e = 2 a vnitĜní polomČr prstenu je 5 cm. ( 1903, Bílek Rudolf, 1, 1, 1, výsl. 1) 7. Plocha omezená parabolou y 2 = 2 x a tČtivou spoleþnou s kruhem ( x − 1)2 + y 2 = 9. (1902, Novák Václav, 2, 1, 1, výsl. 1) 8. Drát, jehož prĤĜez jest kruh o polomČru ρ = 3.721 mm svinut jest v prsten kruhový, takže polomČr kruhu jeho osou utvoĜeného r = 16.45 cm. Tento kruh leží na vodorovné rovinČ a na nČm a na téže rovinČ leží koule, jež se dotýká prstenu i roviny; vyhledati jest její krychlový obsah. (1903, Krahulík OndĜej, 1, 1, 1, výsl. 1)
9. Kdosi uloží a = 10.000 K do banky tak, aby sobČ neb svým dČdicĤm po 20 letech pojistil penČžitou rentu n = 20 let trvající a každého roku splatnou a rok od roku o 100 K se zvČtšující, zúroþuje-li se 4%. Jak velká bude první renta. (1903, Roubal Jan, 1, 1, 1, výsl. 1) 10. HospodáĜ koupil za 1200 K ovcí, z nichž si 15 ponechal a prodal ostatní za 1080 K, pĜi každé vydČlal 4 K; kolik jich bylo? (1904, Renz Theodor, 2, 1, 1, výsl. 1) ZávČrem konstatuji, že prapradČdové souþasných maturantĤ se museli pĜi studiu na gymnáziu na zaþátku dvacátého století vyrovnat nejen s latinou a Ĝeþtinou, þeštinou, nČmþinou, dČjepisem, zemČpisem nebo fyzikou, ale také s velmi nároþnou matematikou.
283
Nároþnost maturitní zkoušky a také velmi pĜísná klasifikace maturantĤ byla na pĜelomu 19. a 20. století pĜedmČtem diskusí nejen odborných, ale také rodiþovských. Jejich výsledek – Marchetovy reformy z roku 1908 [3] – pĜinesly mimo jiné zrušení povinné písemné maturitní zkoušky z matematiky. O více než sto let pozdČji se opČt diskutuje o stupni nároþnosti maturitní zkoušky a o místČ matematiky v ní. Státní maturita by opČt mČla být vysvČdþením „dospČlosti k návštČvČ univerzitní“, Ĝeþeno slovy zaþátku dvacátého století. To ale podle mého názoru není možné bez matematiky. Proto si dovoluji pĜipojit se k tČm, kteĜí volají po zaĜazení matematiky jako povinného pĜedmČtu u maturitní zkoušky i na zaþátku století jednadvacátého. PĜi psaní tohoto pĜíspČvku jsem vycházel mimo jiné z textu, který jsem jako návrh þlánku „Jak maturovali gymnazisté na pĜelomu 19. a 20. století“ poslal do redakce þasopisu Matematika, fyzika a informatika.
Prameny [1] Státní okresní archiv ýeské BudČjovice: Jirsíkovo státní gymnasium, Maturitní protokoly. inv. þ. 1200, signatura II/b/IV – 42, 1894–1906, kartón þ. 60, 61. [2] Státní okresní archiv ýeské BudČjovice: Jirsíkovo státní gymnasium, Výkaz o zkouškách maturitních 1899, PĜehled výsledkĤ zkoušek maturitních 1900–1906. inv. þ. 1021–1028, signatura I/c – 1013 – 1020, kniha þ. 1021–1028.
Literatura [3] Morkes F.: Historický pĜehled postavení maturitní zkoušky a analýza jejích funkcí. IV – CERMAT, Praha, 2003. [4] ěezníþková K.: Študáci a kantoĜi za starého Rakouska, þeské stĜední školy v letech 1867–1918. Libri, Praha, 2007.
Adresa RNDr. Jan Zahradník Katedra matematiky Pedagogická fakulta Jihoþeská univerzita Jeronýmova 10 370 01 ýeské BudČjovice e-mail:
[email protected]
284
LINEÁRNÍ MODEL V DÍLE DÁNSKÉHO STATISTIKA T. N. THIELEHO JITKA ZICHOVÁ Abstract: The text is dedicated to the life and selected topics of work of an outstanding Danish statistician of the 19th century Thorvald Nicolai Thiele. His professional career is mentioned at the beginning. The rest of the paper deals with the theory of linear model, which represents a widely used statistical methodology with many practical applications. The contribution of Thiele to this part of mathematical statistics is described in detail.
1 T. N. Thiele Thorvald Nicolai Thiele se narodil 24. 12. 1838 v Kodani. V roce 1860 ukonþil studium astronomie na tamní univerzitČ, kde dále pĤsobil v letech 1860 až 1870 jako vČdecký asistent na astronomické observatoĜi. V roce 1875 byl ustanoven profesorem astronomie a Ĝeditelem observatoĜe. Tyto funkce zastával až do odchodu do penze v roce 1907. Na univerzitČ rovnČž vyuþoval a v letech 1900 až 1906 byl jejím rektorem. Byl postižen silným astigmatismem, a proto nemohl konat astronomická pozorování, obrátil tedy svou pozornost k matematice. Seznam jeho publikací obsahuje témČĜ padesát titulĤ, z toho dvČ monografie vČnované statistické inferenci a jednu na téma interpolaþní teorie. Další jsou þlánky o astronomii, statistice, pojistné matematice a numerické analýze. VČtšina z nich byla inspirována praktickými problémy. Ve statistice se vČnoval teorii pravdČpodobnostních rozdČlení, lineárního modelu, filtrování, Gramových-Charlierových Ĝad a procesu Brownova pohybu. Thiele byl velmi aktivní a mČl organizaþní schopnosti. Má zásluhu na vzniku dvou vČdeckých spoleþností, a to Dánské matematické spoleþnosti v roce 1873 a Dánské aktuárské spoleþnosti v roce 1901. ZemĜel 26. záĜí 1910 v Kodani. PodrobnČji se o jeho životČ a díle lze doþíst v knize [4] a þlánku [9].
2 Lineární model Lineární model pro náhodný vektor Y je v dnes používaném znaþení definován pĜedpisem EY = μ = Xβ .
(1)
Symbol E oznaþuje operátor stĜední hodnoty, X je pevná matice typu n-krát m s hodností m < n, β je m-rozmČrný vektor neznámých parametrĤ a rozptyl složek Y1 ,..., Yn vektoru Y nezávisí na β (viz [1]). Jednoduchým pĜíkladem je model regresní pĜímky proložené dvourozmČrnými daty se zápisem
§ EY1 · §1 X 1 · ¨ ¸ ¸ ¨ . ¨ ¸ ¨. . ¸ ¨ . ¸ = ¨ . . ¸ ⋅ §¨ β 0 ·¸ , ¸ ¨© β 1 ¸¹ ¨ ¨ ¸ ¨ . ¸ ¨. . ¸ ¨ EY ¸ ¨1 X ¸ n¹ © n¹ ©
285
to znamená Yi = β 0 + β 1 X i + ei , kde e1 ,..., en jsou náhodné odchylky s nulovou stĜední hodnotou a konstantním rozptylem. První formulace lineárního modelu byly spojeny s Ĝešením problémĤ geodézie a astronomie. V roce 1686 Edmund Halley odvodil lineární relaci mezi nadmoĜskou výškou a pozorovanou výškou sloupce barometru. Model regresní pĜímky procházející poþátkem vyšetĜuje Roger Cotes v roce 1722. NČmecký kartograf a astronom Tobias Mayer, profesor matematiky a Ĝeditel observatoĜe v Göttingen, použil v roce 1750 lineární model s trojrozmČrným vektorem parametrĤ ȕ pĜi vyšetĜování pohybu MČsíce. Problematikou odhadu vektoru ȕ se dále zabývali v polovinČ 18. století Roger Joseph Boscovich a Johann Heinrich Lambert, na konci 18. století Pierre Simon Laplace a poþátkem 19. století Adrien Marie Legendre a Carl Friedrich Gauss. Poslední dva navrhli dodnes používanou metodu nejmenších þtvercĤ. ZájemcĤm o historii uvedené problematiky lze doporuþit knihy [3] a [5]. Thieleho dĤležitým pĜínosem pro teorii lineárního modelu je formulace tzv. kanonické formy lineární hypotézy v práci [6]. NechĢ jsou složky Z 1 ,..., Z n náhodného vektoru Z nezávislé normálnČ rozdČlené se stĜedními hodnotami EZ i = η i 0 , i = 1, ..., n – m a EZ i = η i , i = n – m + 1, ..., n. První sada stĜedních hodnot je známá, druhou sadu neznáme. PĜedpokládejme stejný neznámý rozptyl σ Z2 u všech veliþin Z 1 ,..., Z n . MĤžeme jej odhadnout z pozorování z1 ,..., z n −m tČchto veliþin podle vzorce s Z2 =
1 n−m ¦ ( zi − η i 0 ) 2 . n − m i =1
Thiele se zabývá problémem pĜevedení lineárního modelu (1) s nezávislými normálnČ rozdČlenými veliþinami Y1 ,..., Yn s rozptylem σ Y2 do výše popsané kanonické formy. RozdČlí vektor ȝ na dva podvektory délek n – m a m tak, že
§ μ (1) · § X (1) β · § X (1) · § X (1) · μ = ¨¨ ( 2) ¸¸ = ¨¨ ( 2) ¸¸ = ¨¨ ( 2) ¸¸ ⋅ β , kde X = ¨¨ ( 2) ¸¸ ©μ ¹ © X β ¹ © X ¹ ©X ¹ a þtvercová matice X ( 2 ) má plnou hodnost m. Dále definuje lineární transformaci § Z (1) · § AT Y · § AT Z = ¨ ( 2) ¸ = ¨ T ¸ = ¨ T ¨Z ¸ ¨B Y ¸ ¨B © ¹ © ¹ ©
· ¸ ⋅ Y , kde AT = ( I n − m ,− X (1) ( X ( 2 ) ) −1 ) a B = X , (2) ¸ ¹
I n − m je jednotková matice rozmČru n – m, symbol T znaþí transpozici. ZĜejmČ je
β = ( X ( 2) ) −1 μ ( 2) , μ (1) = X (1) ( X ( 2) ) −1 μ ( 2) a odtud plyne EZ (1) = AT EY = AT μ = 0. Transformací (2) vektoru Y jsme pĜešli ke kanonickému modelu pro vektor Z, v nČmž EZ i = η i 0 = 0 pro i = 1, ..., n – m. Odhad stĜední hodnoty EZ ( 2 ) = X T EY = X T Xβ metodou nejmenších þtvercĤ je X y pĜi pozorované hodnotČ y náhodného vektoru Y. K získání odhadu vektoru T
286
parametrĤ β máme soustavu normálních rovnic X T Xβ = X T y. PĜi použití Gaussova algoritmu k nalezení jejího Ĝešení násobíme obČ strany dolní trojúhelníkovou maticí G s vlastností GX T XG T = D = diag{d1 ,..., d m } . Dostáváme vztah GX T Xβ = GX T y.
(3)
Složky U i náhodného m-rozmČrného vektoru U = GX T Y jsou nezávislé náhodné veliþiny s rozptyly σ Y2 d i . K dispozici máme vektor jejich pozorování u = GX T y. Thiele zavádí nový vektor parametrĤ ș, pro který platí β = G T θ . Soustavu (3) pak lze psát ve tvaru Dθ = u s Ĝešením t = D −1u = D −1GX T y, pĜiþemž složky náhodného vektoru D −1U jsou
nezávislé s rozptyly σ Y2 / d i . V publikaci [6] Thiele odvozuje vlastnosti odhadu b = G T t vektoru parametrĤ ȕ a odhadu Xb stĜední hodnoty EY pomocí vlastností odhadu t. Zabývá se též zobecnČními modelu, napĜíklad pĜípadem matice X, která nemá plnou hodnost m, což vede k soustavČ normálních rovnic s nejednoznaþným Ĝešením.
3 Analýza rozptylu Analýza rozptylu je jednou z aplikací teorie lineárního modelu (viz [1]). V knize [6] Thiele studuje její speciální pĜípad dvojné tĜídČní, které spoþívá ve vyšetĜení vlivu dvou faktorĤ na nČjakou mČĜenou veliþinu. Motivací jsou mu pozorování prĤchodĤ k hvČzd skrze m paralelních vláken nitkového kĜíže v astronomickém mČĜícím pĜístroji. StĜední þas prĤchodu i-té hvČzdy j-tým vláknem lze psát ve tvaru EYij = μ ij = α i +
βj hi
(4)
.
Faktor α s úrovnČmi i = 1, ..., k pĜedstavuje þas prĤchodu i-té hvČzdy stĜedovým vláknem nitkového kĜíže známou rychlostí hi , zatímco faktor β s úrovnČmi j =1, ..., m reprezentuje vzdálenost j-tého vlákna od vlákna stĜedového. O veliþinách Yij pĜedpokládáme, že jsou nezávislé normálnČ rozdČlené s rozptylem σ Y2 . Vztah (4) je rovnicí lineárního modelu (1) se speciálním tvarem matice X s neúplnou hodností, kde Y = (Y11 ,..., Y1m ,..., Yk1 ,..., Ykm ) T a vektor parametrĤ vyjadĜujících vliv faktorĤ
α , β je (α 1 ,...,α k , β 1 ,..., β m ) T . Aby byla Ĝešitelná soustava normálních rovnic pro odhad parametrĤ α i , β j , je nutné pĜidat do modelu fiktivní pozorování z. Oznaþíme-li yi =
1 m ¦ yij , m j =1
k
w = ¦ hi− 2 , i =1
mají odhady tvar ai = y i −
z , mhi
bj =
287
1 k −1 z hi ( yij − yi ) + . ¦ w i =1 m
Thiele poznamenává, že bez pĜidání z nelze sestrojit odhady parametrĤ α i , β j , ale je možné odhadnout lineární parametrické funkce typu c1α 1 + ... + c k α k a d1β1 + ... + d m β m , platí-li reparametrizaþní podmínky c1 + ... + c k = 0 a d1 + ... + d m = 0. StĜední hodnoty μ ij se odhadují podle pĜedpisu mij = yi +
1 k −1 ¦ hr ( y rj − y r ). hi w r =1
Thiele ukazuje, že platí k
m
E ¦ ¦ (Yij − mij ) 2 = σ Y2 (k − 1)(m − 1), i =1 j =1
což umožĖuje odhadnout rozptyl σ Y2 . Model dvojného tĜídČní je zmínČn i v publikacích [7] a [8], na nČž navázal jeden z velikánĤ matematické statistiky první poloviny 20. století R. A. Fisher, který ve své knize [2] Ĝadí Thieleho k osobnostem s nejvČtším pĜínosem k rozvoji statistiky. Literatura [1] AndČl J.: Základy matematické statistiky. Matfyzpress, Praha, 2005. [2] Fisher R. A.: Statistical methods for research workers. Oliver and Boyd, Edinburgh, 1932. [3] Hald A.: A History of Mathematical Statistics. From 1750 to 1930. Wiley, New York, 1998. [4] Lauritzen S. L.: Thiele: Pioneer in Statistics. Oxford University Press, 2002. [5] Stigler S. M.: The History of Statistics. The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press, London, 1986. [6] Thiele T. N.: Almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode. C. A. Reitzel, Copenhagen, 1889. [7] Thiele T. N.: Elementær Iagttagelseslære. Gyldendal, Copenhagen, 1897. [8] Thiele T. N.: Theory of observations. Layton, London, 1903. [9] Zichová J.: Thorvald Nicolai Thiele – dánský statistik a aktuár. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 55 (2010), þ. 1, 30–42.
Adresa RNDr. Jitka Zichová, Dr. Katedra pravdČpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK Sokolovská 83 186 75 Praha 8 e-mail:
[email protected]
288
DODATEK K ýLÁNKU INTERPRETACE MATEMATICKÝCH VÝSLEDKģ NAŠICH PěEDKģ JINDěICH BEýVÁě
Teprve pĜed nČkolika mČsíci jsem se s pĜekvapením dozvČdČl, že jeden z našich kolegĤ, doc. RNDr. Jan Slavík, CSc., z Katedry fyziky Západoþeské univerzity v Plzni se kromČ fyziky vČnuje i þínské kultuĜe a poezii. I on pĜeložil jednu z nejznámČjších þínských básní, jejíž pĜeklady jsem uvedl ve výše zmínČném þlánku ve sborníku jubilejní, 30. mezinárodní konference Historie matematiky (Jevíþko, 21. 8. – 25. 8. 2009, Praha 2009, 59–86) na stranách 78–79. Jako doplnČk tohoto svého loĖského textu si zde dovolím uvést i jeho pĜeklad.
Myšlenka tiché noci PĜeložil Jan Slavík (2007)
PĜed postel mi jasný mČsíc svítí. Divím se: na zemi že jíní mám. Pozvednu hlavu, zĜím jasný mČsíc. Skloním ji, na domov vzpomínám.
289
OBSAH
Úvodní slovo Seznam úþastníkĤ Seznam pĜednášek Odborný program
3 6 7 8
I. Vyzvané pĜednášky Kvasz L.: Jazyk matematiky ako predmet historického výskumu Veselý J.: Poznámky k historii funkcionálních rovnic WiĊsław W.: Matematyka na zemiach polski v epoce OĞwiecenia
13 29 51
II. Konferenþní vystoupení Balková L.: Paul ErdĘs a jeho oblíbené problémy Ramseyovy teorie Bálintová A.: Sudoku a história magických štvorcov Bártlová T.: EulerĤv-MaclaurinĤv sumaþní vzorec BeþváĜ J., BeþváĜová M.: Metodika nČkterých prací z historie BeþváĜová M.: 111 let od pĜíchodu Karla Zahradníka do Brna Benediktová M.: Al-Chvárizmího Aritmetický a Algebraický traktát ýižmár J.: Dielo Karla Zahradníka (geometrické práce) Fabian F.: Kdo je autorem axiomatiky podmínČných pravdČpodobností? Hykšová M.: Bruno de Finetti (1906–1985) a filosofie pravdČpodobnosti Chmelíková V.: MénČ známí uþitelé deskriptivní geometrie Chocholová M.: Matematické aplikace v díle Wilhelma Matzky Kalousová A.: ZobecnČní Buffonovy úlohy o jehle KotĤlek J.: Problémy Diracovy rovnice 1928–1933 KĜápek M.: Zapomenuté práce Otakara BorĤvky Melcer M.: Eduard ýech a jeho stĜedoškolské uþebnice Moravec L.: Jakub Filip Kulik v Olomouci, Štýrském Hradci a Praze Otavová M.: Ladislav Jandera a pČstování poþetní zdatnosti na pražské universitČ Pazourek K.: TĜi roky vČzím v dČlitelnosti Pelikán D.: Gottfried Wilhelm Leibniz: Univerzální Ĝeþ Pogoda Z.: Kazimierz ĩorawski and the Cracow mathematical school Slavík A.: O ĜetČzovce a hyperbolických funkcích Smýkalová R.: Trigonometrie v EvropČ 15. – 17. století Surynková P.: Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umČní Sýkorová I.: Rukopis Bakhšhálí ŠtČpánová M.: Poþátky teorie matic u nás, obzvláštČ Weyrova teorie
290
79 81 87 93 103 113 121 129 133 137 149 165 169 175 179 187 199 203 207 211 217 221 225 231 239
Trkovská D.: Od shodnosti k transformacím Ulrychová E.: Základní uþební texty z matematiky na VŠE Praha v letech 1954–2009 Václavíková Z.: Historické výpoþetní pomĤcky a netradiþní metody aritmetických výpoþtĤ Zahradník J.: Maturitní zkoušky z matematiky na pĜelomu 19. a 20. století a na zaþátku 21. století Zichová J.: Lineární model v díle dánského statistika T. N. Thieleho BeþváĜ J.: Dodatek k þlánku Interpretace matematických výsledkĤ našich pĜedkĤ
Obsah
249 263 275 279 285 289
290
291
Jindřich Bečvář, Martina Bečvářová (ed.) 31. mezinárodní konference
HISTORIE MATEMATIKY Velké Meziříčí, 18. až 22. 8. 2010
Katedra didaktiky matematiky MFF UK
Vydal MATFYZPRESS vydavatelství Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 jako svou 322. publikaci Z předloh připravených v systému Word vytisklo Reprostředisko UK MFF Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 První vydání Praha 2010 ISBN 978-80-7378-128-6
292
