BRUNO DE FINETTI
(1906–1985) A FILOSOFIE PRAVDĚPODOBOSTI 31. mezinárodní konference Historie matematiky Velké Meziříčí, 21. srpna 2010 Magdalena Hykšová
BRUNO DE FINETTI (1906 – 1985) * 13. 6. 1906 v Innsbrucku 1912 – 1923 základní škola a gymnázium v Trentu 1923 – 1927 polytechnika univerzita (3. roč., MF) v Miláně Dr.: afinní geometrie Probability and My Life, 1982: první setkání s pravd. za studií – článek biologa Carlo Foà o Mendelových zákonech → poslal C.F. rukopis svého článku → zaujat, ukázal Corradu Gini, prezidentu ISTAT → publikace v čas. Metron, nabízí místo po absolutoriu 1927
Instituto Centrale di Statistica (ISTAT) v Římě
1930
habiliace pro mat. analýzu na univerzitě v Římě soukromý docent
1931 – 1946 pojišťovna Generali v Terstu (otcovo rodiště) Terst, Padova: univerzitní před. MA, FPM, PP 1946 – 1954 prof. na univerzitě v Terstu (FM a statistika) 1950
cesta do USA, čtvrt roku na hostující prof. na univerzitě v Chicagu (pozvání a spolupráce: L. Jimmie Savage) → pozornost anglicky mluvící vědecké komunity
1954 – 1976 prof. na univerzitě v Římě (EF, 1961 PřF – profesor teorie pravděpodobnosti) * 20. 7. 1985 v Římě
DÍLO BRUNA DE FINETTI • teorie pravděpodobnosti • statistika • matematická analýza • ekonomie • teorie rozhodování radikální politické názory (v mládí stoupencem fašismu – vítal nacionalistický charakter hnutí a kolektivistické sklony, později vítá možnost rozvodů a interrupce, pacifista), kritika liberální myšlenky, že sledování osobních zisků vede k rovnováze; jak docílit sociální spravedlnosti?
FILOSOFIE PRAVDĚPODOBNOSTI • Problemi Determinati e Indeterminati nel Calcolo della Probabilità, 1930 • Sul significato soggettivo della probabilità, 1931 [angl.: On the Subjective Meaning of Probability, 1992] • Probabilismo. Saggio critico sulla teoria della probabilità e sul valore della scienza, 1931 [angl.: Probabilism..., 1989] • Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio. In: Atti del Congr. Internaz. dei Matematici Bologna, 1932, (1928) • La prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives, 1937 • Probability, Induction and Statistics, 1972 • (Mura A, ed.): Philosophical Lectures on Probability, 2008 [Filosofia della probabilità, 1995]
KRITIKA RŮZNÝCH PŘÍSTUPŮ K PSTI • Klasická definice: pravděpodobnost určitého jevu = podíl počtu příznivých a všech možných, „stejně pravděpodobných” případů jedná se o definici kruhem, která je založená na pojmu „stejně pravděpodobný” nebo „stejně možný”, jehož nezávislá definice není nikde dána
• Četnostní definice: pravděpodobnost = limita relativní četnosti výskytu daného jevu v opakovaných pokusech splňujících určité podmínky Myšlenka nekonečné posloupnosti pokusů je nesmyslná: vynecháme-li v posloupnosti libovolný konečný počet členů, její limita se nezmění. My jsme však opakováním pokusu schopni zjistit právě jen tyto „zbytečné” členy, protože náš život i celý vesmír trvá jen konečně dlouho. Často nás zajímá pravděpodobnost nějakého konkrétního neopakovatelného jevu de Finetti využívá četností k vyhodnocování pstí, ale zdůrazňuje, že je třeba rozlišovat mezi definicí a vyhodnocováním
• Kolmogorovova axiomatická definice (1933):
Jak přeložit do jazyka teorie množin například větu: Kolega, jehož očekávám, pravděpodobně přijde. Máme hovořit o „množině všech možných světů“ a rozlišovat světy, v nichž kolega dorazí, od těch, ve kterých nedorazí? = zbytečná komplikace U pravděpodobnosti nemohou být axiomy zvoleny zcela libovolně, jen aby vznikla hezká teorie – musí odpovídat praktickému významu pojmu psti – s odkazem na (alespoň myšlenkové) experimenty týkající se chování jedinců za nejistoty → podmínky koherence nutné a postačující k tomu, aby jedince ochránily před jistou ztrátou
Jediné východisko (dle B.F.): • Subjektivní interpretace pravděpodobnosti: pravděpodobnost = míra osobního přesvědčení
SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE VÁCLAV ŠIMERKA (1818 – 1887), 1882 Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930), 1926 (publ. 1931) Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1930, 1937 Leonard Jimmie Savage (1917 – 1971), 1954 pravděpodobnost = stupeň osobního přesvědčení nebo víry ve výskyt určitého jevu či události
Reálný přístup – pracuje s reálnými pojmy, subjektivním přijímáním či odmítáním hypotéz ... každodenní pravděpodobnostní uvažování
Stanovení pravděpodobnosti P(E) přiřazené jevu E: Spravedlivá sázka: vyšetřovaná osoba = bookmaker; má stanovit kurz sázky p: kolik musí sázející zaplatit, aby v případě, že nastane E, dostal 1 Kč (aby dostal S, musí zaplatit pS) Musí přijmout jakoukoli sázku S, kladnou i zápornou E nenastane ⇒ zisk sázejícího: E nastane
⇒ zisk sázejícího:
Celkem lze psát: Pro n jevů:
1931: požadavek koherence: nesmí se stát, že by byl zisk Z vždy kladný, bez ohledu na to, jaký jev nastane (sázející by měl jistou výhru) Důsledky: • nejvýhodnější je stanovit p upřímně • koherence ⇒ základní axiomy TP
1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo, 0 ≤ P(E) ≤ 1 p<0
⇒ ∀ S > 0: Z = (|E| – p)S > 0
p>1
⇒ ∀ S < 0: Z = (|E| – p)S > 0
Pro jeden jev dvě různé hodnoty p < p’ např.: p = 0,4, p’ = 0,6 ⇒ dvě sázky, např.: S = 100 Kč, S’ = – 100 Kč Z(E) = (100 – 40) + (– 100 + 60) = 20 Kč Z(ÿE) = – 40 + 60 = 20 Kč
1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo, 0 ≤ P(E) ≤ 1 p<0
⇒ ∀ S > 0: Z = (|E| – p)S > 0
p>1
⇒ ∀ S < 0: Z = (|E| – p)S > 0
Pro jeden jev dvě různé hodnoty p < p’ ⇒ dvě sázky: (|E| – p)S, (|E| – p’)S’ Z(E) = (1 – p)S + (1 – p’)S’ = – pS – p’S’ + S + S’ Z(ÿE) = – pS – p’S’ S > 0, S’ = – S < 0 ⇒
Z(E) = (p – p’)S’ > 0, Z(ÿE) = (p – p’)S’ > 0
2. Pro jistý jev E je P(E) = 1, pro nemožný jev je P(E) = 0 Jistý jev: Z = (|E| – p)S = (1 – p)S p < 1 ⇒ pro lib. S > 0 je Z > 0 Nemožný jev: Z = – pS p > 0 ⇒ pro lib. S < 0 je Z > 0
3. Pro libovolné neslučitelné jevy E1, E2 platí: P(E1 ∨ E2) = P(E1) + P(E2) Označme P(E1) = p, P(E2) = q, P(E1 ∨ E2) = r uvažujme tři sázky s celkovým ziskem Z = (|E1| – p)S + (|E2| – q)S + (|ÿ(E1 ∨ E2)| – (1 – r))S Z(E1 ∧ ÿE2) = (1 – p – q – (1 – r))S = (r – p – q)S Z(ÿE1 ∧ E2) = (– p + 1 – q – (1 – r))S = (r – p – q)S Z(ÿE1 ∧ ÿE2) = (– p – q + 1 – (1 – r))S = (r – p – q)S p + q < r ⇒ volbou S > 0 si sázející zajistí kladný zisk p + q > r ⇒ volbou S < 0 si sázející zajistí kladný zisk
3‘. Konečná aditivita: E1, E2, ..., En – neslučitelné, vždy nastane jeden z nich P(E1) + P(E2) + ... + P(En) = 1 Kurzy: P(E1) = p1, P(E2) = p2, ..., P(En) = pn Sázky: S1, S2, ..., Sn Z(Ei) = – p1S1 – p2S2 – ... – pnSn + Si pro S1 = S2 = ... = Sn = S: Z(Ei) = (– p1 – p2 – ... – pn + 1)S p1 + p2 + ... + pn < 1 ⇒ pro S > 0 je vždy Z > 0 p1 + p2 + ... + pn > 1 ⇒ pro S < 0 je vždy Z > 0
Věta (Ramsey – de Finetti): Množina sázkových kurzů je koherentní, právě když splňuje axiomy teorie pravděpodobnosti.
Kolmogorov x de Finetti – rozdíly: • Jevy: podmnožiny množiny Ω x tvrzení • Podmíněná pravděpodobnost Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později) ( ) kritika: definice PP výrazem ( ) ⇒ lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smyslu definice PP dle zažitého významu ⇒ ( )
Kolmogorov x de Finetti – rozdíly: • Jevy: podmnožiny množiny Ω x tvrzení • Podmíněná pravděpodobnost Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později) ( ) kritika: definice PP výrazem ( ) ⇒ lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smyslu definice PP dle zažitého významu ⇒ ( ) de Finetti: P(E|H) ≡ kurz spravedlivé sázky na E s tím, že když H nenastane, sázka se ruší ( ) = nutná podmínka konzistence; klidně P(H) = 0
Kolmogorov x de Finetti – rozdíly: • Spočetná x konečná aditivita Konečná aditivita: E1, E2, ..., En – neslučitelné, vždy nastane jeden z nich P(E1) + P(E2) + ... + P(En) = 1 Můžeme rozšířit na spočetný počet jevů? ⇔ Axiom VI (Kolmogorov: 2. kap., ostatní 1. kap.) de Finetti: jen konečná aditivita, pro spočetnou není uspokojivé zdůvodnění Gillies, 2000: spočetnou aditivitu lze bez problémů zavést; jediný předpoklad: vždy se mohou předávat jen konečné částky
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA → PENALIZACE dotyčné osoby se zeptáme, jakou pravděpodobnost p přisuzuje jevu E, přičemž ji upozorníme, že jí budou uděleny určité trestné body závisející na uvedené odpovědi a na tom, zda jev E nastane či nikoli Nejjednodušší: Brierovo skóre (1950) ... (|E| – p)2 (hodnocení úspěšnosti předpovědi počasí)
Výhody: • mohou být využita pro zlepšení pravděpodobnostních ohodnocení • umožňují měřit nejistotu • umožňují potrestání za špatné jednání • umožňují srovnání úspěšnosti • vyjadřují míra úspěšnosti – pro ty, kteří kritizují subjektivní přístup kvůli absenci ověřitelnosti
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA → PENALIZACE dotázaná osoba je nucena udat hodnotu psti p, kterou si skutečně myslí:
Střední hodnota penalizace v případě, že daná osoba udá pravděpodobnost q: p(1 – q)2 + (1 – p)q2
Moment setrvačnosti soustavy vzhledem ke Q:
p(1 – q)2 + (1 – p)q2 Minimalizace očekávané penalizace ≡ ≡ nalezení bodu, vzhledem k němuž je moment setrvačnosti soustavy minimální Steinerova věta ⇒ jedná se právě o těžiště; jinde je moment setrvačnosti větší o (p – q)2
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA → PENALIZACE 1960/61, 1961/62: SÁZKAŘSKÝ EXPERIMENT 30 lidí (B.F., studenti, asistenti) každý týden pravděpodobnosti 1, 2, X pro každý z 9 zápasů italské fotbalové ligy Skóre: 1 ... (1 – p1)2 + p22 + pX2 2 ... p12 + (1 – p2)2 + py2 X ... p12 + p22 + (1 – pX)pz2
Pravděpodobnost neexistuje (1970, 1980) ⇒ pocit, že subjektivismus = libovolnost, anarchie ⇒ preference četnostní interpretace nebo logické interpretace (výraz „logická“ slibuje objektivitu) de Finetti není proti objektivitě, jen nechce tvrdit, že názor na pravděpodobnost je jednoznačně určený a odůvodněný; pravděpodobnost neodpovídá proklamovanému racionálnímu přesvědčení, ale skutečnému osobnímu přesvědčení nějaké osoby
Pravděpodobnost je definována jako míra přesvědčení určitého jedince na základě veškerých jeho znalostí, zkušeností, informací týkajících se daného jevu, jehož výsledek je nejistý Vyhodnocování pravděpodobnosti bere v úvahu všechnu dostupnou evidenci včetně četností, symetrií atd., ale byla by chyba tyto prvky – byť důležité pro odhad pravděpodobnosti – brát za základ definice psti Každé ohodnocení pravděpodobnosti nutně závisí na dvou složkách: • objektivní: známé údaje, fakta • subjektivní: názor týkající se neznámých skutečností, údajů aj. na základě známé evidence Objektivní prvky = podklad pro ohodnocení, ne jediný
Ohodnocování pravděpodobností je složitý proces, ve kterém hrají roli různé subjektivní a objektivní prvky • shromažďování a vyhodnocování informací vyžaduje pečlivost a zkušenosti • je třeba zvážit, které informace jsou relevantní a které ne • ekonomické úvahy, které se mohou lišit podle souvislostí • míra kompetence vyhodnocovatele • optimistický x pesimistický postoj • do jaké míry se nechá ovlivnit nejnovějšími údaji • ...
