POHLED DO HISTORIE FINANČNÍ MATEMATIKY

South Bohemia Mathematical Letters Volume 20, (2012), No. 1, 57–65.

ˇ ´ POHLED DO HISTORIE FINANCN I MATEMATIKY JAN ZAHRADNÍK

´ Uvod ˇ ym tématem diskus´ı souˇcasn´ Cast´ ych ekonom˚ u je n´ızká u ´roveˇ n finanˇcn´ı gramotnosti naˇsich obˇcan˚ u. V tisku se doˇc´ıtáme o lidech, schopn´ ych vz´ıt si u ´vˇer s podm´ınkami, které mohou zp˚ usobit zhroucen´ı jejich rodinn´ ych financ´ı, ztrátu majetku a ˇcasto také rozpad rodin. Jednou z pˇr´ıˇcin tohoto jevu je, ˇze si lidé v˚ ubec nedok´ aˇz´ı ani r´ amcovˇe pˇredstavit, natoˇz pak vypoˇc´ıtat, jak´ y v´ yvoj by mˇel jejich dluh v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz jej nebudou schopni splácet. To, ˇze tento problém nen´ı pouze jevem novodob´ ym, ˇze se s n´ım vyrovnávali i naˇsi pˇredkové, dokazuje pomˇernˇe ˇcast´ y v´ yskyt ˇclánk˚ u s tématikou finanˇcnˇe-matematickou v odborném tisku, pˇr´ıpadnˇe jej´ı zaˇrazován´ı do v´ yuky na stˇredn´ıch ˇskolách. V tomto ˇcl´ anku chci uk´ azat, jak bylo téma finanˇcn´ı matematiky prezentováno v knize nˇemeckého finanˇcn´ıka Paula Friedricha Keila vydané v roce 1854 a zejména ˇ pak v Casopise pro pˇestov´ an´ı mathematiky a fysiky v sedmdesát´ ych létech devaten´ actého stolet´ı. ˇ Z autor˚ u, kteˇr´ı pˇrisp´ıvali do Casopisu pro pˇestov´ an´ı mathematiky a fysiky v dobˇe kr´ atce po jeho vzniku v roce 1872, se tomuto tématu vˇenovali zejména Frantiˇsek Josef Studniˇcka a Frantiˇsek Hoza. Stˇeˇzejn´ımi ˇclánky jsou Pˇr´ıspˇevek k arithmetice n´ arodo-hospod´ aˇrské F. J. Studniˇcky ([3], roˇcn´ık III, 1874, str. 97-107) a pomˇernˇe komplexn´ı ˇcl´ anek O sloˇzitém u ´rokov´ an´ı a poˇctu d˚ uchodovém, kter´ y pro ˇzáky stˇredn´ıch ˇskol napsal Frantiˇsek Hoza1 ([3], roˇcn´ık V, 1876, str. 200–215 a 261–274). Frantiˇsek Josef Studniˇcka (1836–1903), rodák z jihoˇceského Janova u Sobˇeslavi, studoval s v´ yborn´ ymi v´ ysledky na gymnáziu v Jindˇrichovˇe Hradci a po maturitˇe v roce 1857 vstoupil na filozofickou fakultu V´ıdeˇ nské univerzity, kde se vˇenoval studi´ım matematicko-pˇr´ırodovˇedeck´ ym. Od roku 1871 byl profesorem matematiky na praˇzské univerzitˇe a po rozdˇelen´ı univerzity na ˇceskou a nˇemeckou byl zvolen prvn´ım dˇekanem ˇceské filozofické fakulty. V letech 1888–1889 byl pak rektorem ˇceské univerzity. F. J. Studniˇcka byl v´ yznamnou osobnost´ı ˇceského vˇedeckého i kulturn´ıho ˇzivota druhé poloviny devatenáctého stolet´ı a v prvn´ıch deseti letech exisˇ tence Casopisu pro pˇestov´ an´ı mathematiky a fysiky byl jeho redaktorem. [2] Pˇr´ıspˇevek k aritmetice n´ arodo-hospod´ aˇrské, kterému se budeme vˇenovat, zahajuje Studniˇcka objasnˇen´ım v´ yznamu pojmu aritmetika n´ arodo-hospod´ aˇrsk´ a, pouˇzitého v jeho n´ azvu. Zahrnuje pod nˇej vˇsecky u ´koly poˇcetn´ı, jeˇz plynou pˇr´ımo neb nepˇr´ımo z pomˇer˚ u st´ atn´ıch a spoleˇcenských a jako jeho u ´ˇcel vymezuje dobˇre hospodaˇriti s jmˇen´ım v˚ ubec a s penˇezi zvl´ aˇst’, aby se nikde nic neztratilo a co moˇzn´ a nejv´ıce vytˇeˇzilo. 1 Frantiˇsek Hoza, 1843–1914. Studoval na ˇ cesk´ e re´ alce v Praze; 1861–1865 posluchaˇ c strojn´ıho oboru na praˇ zsk´ e technice. Uˇ cil matematiku a deskriptivn´ı geometrii na re´ alk´ ach v Praze, Litomyˇsli, Hradci Kr´ alov´ e. Od roku 1891 ˇreditel ˇ cesk´ e re´ alky v Plzni, od roku 1896 ˇreditelem re´ alky na Mal´ e Stranˇ e. Od roku 1896 vl´ adn´ım radou. Autor uˇ cebnic (napˇr. Algebra pro vyˇsˇs´ı re´ alky, ˇ 1892), publikoval v Casopise pro pˇ estov´ an´ı mathematiky a fysiky. ([4], d´ıl 11, str. 717–718)

JAN ZAHRADNÍK

58

1. Spor o interusurium Jako z´ akladn´ı problém uv´ ad´ı Studniˇcka spor o to, zda se pˇri u ´roˇcen´ı maj´ı pouˇz´ıvat u ´roky jednoduché nebo sloˇzité (usurae simplices vel compositae), tedy problém, zda je moˇzné nebo lépe ˇreˇceno správné povaˇzovat nevyplacen´ y u ´rok za nov´ y kapitál. Studniˇcka se vˇenuje popisu historie problému, jak se má vypoˇc´ıtávat tak zvané interusurium. Prvn´ım, kdo h´ ajil názor, ˇze se interusurium má poˇc´ıtat pomoc´ı sloˇzitého u ´rokov´ an´ı, byl podle Studniˇcky Gottfried Wilhelm Leibniz. Ten definuje ve svém pojedn´ an´ı Meditatio juridico-mathematica de interusurio simplice z roku 1683 inkriminovan´ y pojem takto: Interusurium sive resegmentum anticipationis, vulgo Rabat, est differentia inter pecuniam in diem certum debitam et praesentem ejus valorem, seu quanto plus petat, qui plus temporis petit, vel quanto minus solvere aequum sit qui post aliquot annos demum debiturus, nunc solvit.2 Proti Leibnizovi st´ al Gottfried August Hoffmann (ten se ve spisu Prudentia oeconomica in formam artis redacta z roku 1731 zastává jednoduchého u ´roˇcen´ı takov´ ym zp˚ usobem, ˇze je podle Studniˇcky zˇrejmé, ˇze Leibnizovi neporozumˇel) a jeho podporovatelé, kteˇr´ı mimo jiné argumentovali t´ım, ˇze brát u ´roky z u ´rok˚ u (anatocismus) je zapovˇezeno z´ akony.3 Problematice zp˚ usobu u ´roˇcen´ı a v´ ypoˇctu interusuria se podrobnˇe vˇenuje také pr´ avnicko-matematické pojedn´ an´ı, které vydal nˇemeck´ y finanˇcn´ı u ´ˇredn´ık Dr. Paul Friedrich Keil pod n´ azvem Das Interusurium oder die richtige Bestimmung der Forderungswerthe zu andern, als den Verfallzeiten und die damit zusammenh¨ angende Rentenredukzionslehre [1] v Jenˇe v roce 1854. Autor popisuje dokonce tˇri zp˚ usoby, jak interusurium poˇc´ıtat. Poˇc´ıt´ ame-li podle Carpzova (Ben. Carpzovii opus decisionum illustrium, 1704, [1], str. 4) naˇc´ıt´ ame prostˇe u ´rok z celého p˚ ujˇceného kapitálu v jednotliv´ ych letech za dobu, za kterou by mˇel b´ yt teprve splatn´ y. Keil uvád´ı pˇr´ıklad, ve kterém 100 tolar˚ u p˚ ujˇcen´ ych na 4 % m´ a b´ yt zaplaceno o rok dˇr´ıve. Vˇeˇritel pak dostane pouze 96 tolar˚ u. Tato metoda vˇsak vede podle autora k ned˚ uslednostem, protoˇze za dan´ ych podm´ınek by splacen´ı tohoto dluhu o 25 let, pˇr´ıpadnˇe o 30 let dˇr´ıve znamenalo, ˇze v prvn´ım pˇr´ıpadˇe vˇeˇritel nedostane nic, ve druhém dokonce vydá dluˇzn´ıkovi 20 tolar˚ u. Proto podle Keila tˇeˇzko jeˇstˇe nˇekdo dnes m˚ uˇze povaˇzovat tuto metodu za spr´ avnou. Hoffmannova metoda ([1], str. 5 a 6) vyuˇz´ıvá jednoduchého u ´roˇcen´ı, takˇ ze pro z n , takˇze hodnotu c kapit´ alu x po n letech u ´roˇcen´ı z procenty plat´ı c = x 1 + 100 chceme-li splatit kapit´ al c za dan´ ych podm´ınek o n let dˇr´ıve, zaplat´ıme pouze 100 · c x= . 100 + z · n 100 · 100 . Pˇredchoz´ı pˇr´ıklad tedy ˇreˇs´ıme v´ ypoˇctem x = = 96,15 tolar˚ u, v pˇr´ıpadˇe, 104 2

Interusurium, ˇ cili oˇ cek´ avan´ y odpoˇ cet, obecnˇ e Rabat, je rozd´ıl mezi dluˇ znou ˇ ca ´stkou v urˇ cit´ y den a jej´ı souˇ casnou hodnotou. Bud’ o kolik v´ıce m˚ uˇ ze poˇ zadovat ten, kdo sv´ e pohled´ avky uplatn´ı teprve pozdˇ eji nebo o kolik m´ enˇ e mus´ı pr´ avem platil ten, kdo plat´ı nyn´ı, aˇ ckoli by k tomu byl povinen teprve po nˇ ekolika letech. 3 Zapovˇ ezen´ı anatocismu podle tradic ˇr´ımsk´ eho pr´ ava vych´ azelo ze zcela jin´ ych spoleˇ censk´ ych, ekonomick´ ych a kulturn´ıch podm´ınek, neˇ z ve kter´ ych se dnes nach´ az´ıme. Zat´ımco ˇr´ımsk´ e pr´ avo a pozdˇ eji t´ eˇ z kˇrest’anstv´ı se stavˇ ely proti p˚ ujˇ cov´ an´ı penˇ ez na u ´rok (smluvn´ı), dneˇsn´ı hospod´ aˇrstv´ı je v nemal´ e m´ıˇre pr´ avˇ e na u ´vˇ erov´ em obchodu zaloˇ zen´ e a smlouva o u ´vˇ eru mus´ı vˇzdy obsahovat z´ avazek zaplatit za poskytnut´ e penˇ eˇzn´ı prostˇ redky u ´roky. [5]

ˇ Í MATEMATIKY POHLED DO HISTORIE FINANCN

59

100 · 100 = 50 tolar˚ u. 100 + 4 · 25 Metoda Leibnizova ([1], str. 7–10), která jiˇz respektuje to, ˇze se poˇc´ıtaj´ı u ´roky c z u ´rok˚ u, pouˇz´ıv´ a pak pro v´ ypoˇcet hodnoty kapitálu x vzorec x = 100+z n .

ˇze n = 25 vych´ az´ı x =

100

Pro Keil˚ uv pˇr´ıklad d´ av´ a tato metoda stejn´ y v´ ysledek jako metoda Hoffmannova, 100 . v pˇr´ıpadˇe n = 25 ale vych´ az´ı x = = 37,5 tolar˚ u. Metoda je podrobnˇe 1,0425 pops´ ana v dalˇs´ı ˇc´ asti Studniˇckova ˇclánku. Keil uv´ ad´ı v´ yhody i nev´ yhody obou relevantn´ıch metod (Hoffmannovy a Leibnizovy) a ˇr´ık´ a, ˇze pravda leˇz´ı obvykle v´ıceménˇe mezi obˇema, avˇsak pravidlo, které by pˇrin´ aˇselo výhody obou, se nikde nepodaˇrilo naj´ıt. Svou knihu snad také proto zahajuje i konˇc´ı parafr´ az´ı slavného citátu z Goethova Fausta: Gr¨ un ist des Lebens goldner Baum, grau alle Theorie! Spor o interusurium byl podle Studniˇcky veden hlavnˇe mezi matematiky - zastánci Leibnizovy teorie - a pr´ avn´ıky, kteˇr´ı se pˇriklánˇeli k teorii Hoffmannovˇe. Kdyˇz byl nakonec v´ yroky dvou tehdejˇs´ıch slavn´ ych právn´ık˚ u Arndtse a Vagnerova odstranˇen rozpor ve vˇeci samé, tedy v otázce právn´ı pˇr´ıpustnosti sloˇzitého u ´rokován´ı, v Leibniz˚ uv prospˇech, skonˇcil i boj obou tábor˚ u.4 Studniˇcka souhlas´ı s t´ım, ˇze bylo správné pˇrenechat ˇreˇsen´ı tohoto sporu zákonu, jak ˇr´ık´ a, ”jurist˚ um”. Stˇeˇzuje si vˇsak, ˇze pr´ avn´ıci nyn´ı t´ım ménˇe pozornosti vˇenuj´ı této vˇedˇe, ˇc´ım jest pro nˇe d˚ uleˇzitˇejˇs´ı, zejména pro ty, kteˇr´ı co zemˇepanˇst´ı komisaˇri maj´ı dohl´ıdku na podniky n´ arodohospod´ aˇrské. V ˇzertu to zd˚ uvodˇ nuje t´ım, ˇze poˇc´ıt´ an´ı podle Leibnice vyˇzaduje znalost logaritm˚ u; snad ty byly jurist˚ um tak odporné?! Studniˇcka konstatuje: V naˇsich dob´ ach arci nenapadne tak snadno nˇekomu, aby chtˇel jinak poˇc´ıtati neˇzli po zp˚ usobu Leibnice. Zab´ yvá se dokonce myˇslenkou, ˇze doba jednoho roku jako jednotka ˇcasu ve sloˇzitém u ´rokován´ı je pˇr´ıliˇs dlouhá a zvaˇzuje pouˇz´ıvat jako nejpˇrirozenˇejˇs´ı u ´rokován´ı nepˇretrˇzité a zd˚ uvodˇ nuje to t´ım, ˇze dluˇzn´ık p˚ ujˇcen´ y kapit´ al uˇz´ıv´ a rovnˇeˇz nepˇretrˇzitˇe.

ˇ´ıspe ˇvek k arithmetice na ´ rodo-hospoda ´r ˇske ´ F. J. Studnic ˇky 2. Pr Studniˇcka zahajuje matematickou ˇcást svého ˇclánku ([3], roˇcpn´ık nIII, 1874, str. 97-107) pˇripomenut´ım dle nˇej známého vzorce Kn = K0 1 + = K0 q n , kde 100 Kn znaˇc´ı hodnotu kapit´ alu K0 po n letech pˇri celoroˇcn´ım u ´rokován´ı s u ´rokem p procent. D´ ale se zab´ yv´ a pˇr´ıpadem, kter´ y má v praxi zásadn´ı v´ yznam, a to u ´lohou vypoˇc´ıtat, jak velk´ y kapit´ al se uspoˇr´ı za n let, bude-li se kaˇzd´ ym rokem ukládat kapitál K0 na p procent. S vyuˇzit´ım vzorce pro souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u geometrické posloupnosti dost´ av´ a n n X X q n+1 − q (1) Ki = K0 qi = K0 q−1 i=1 i=1 4Ott˚ uv slovn´ık nauˇ cn´ y [4] uv´ ad´ı ve sv´ em dvan´ act´ em d´ıle z roku 1897 pod heslem interusurium na str´ ance 696 vˇsechny tˇri metody, Carpzovu, Hoffmannovu i Leibnizovu, zmiˇ nuje vˇsak pouˇ z´ıv´ an´ı pouze druh´ e a tˇret´ı. Metodu prvn´ı zavrhuje s poukazem na to, ˇze pˇ ri vˇ etˇs´ıch term´ınech vede tento zp˚ usob v´ ypoˇ ctu k prav´ ym absurdnostem.

60

JAN ZAHRADNÍK

a tento vzorec rozeb´ır´ a s ohledem na v´ ypoˇcet vˇsech tˇr´ı dalˇs´ıch veliˇcin, které do nˇej vstupuj´ı, tedy K0 , n, q. n q−1 X Pro K0 dost´ av´ a jednoduˇse K0 = n+1 Ki , coˇz je ˇcástka, kterou mus´ıme q − q i=1 kaˇzdoroˇcnˇe ukl´ adat, u ´rokován´ı Pnchceme-li m´ıt po n letech pˇri p procentn´ım sloˇzitém P naˇsetˇreno celkem i=1 Ki (tento souˇcet budeme nadáP le oznaˇcovat jako Ki ). Ki a po u ´pravˇe a logaritPro ˇreˇsen´ı rovnice podle n Studniˇcka zavád´ı a = K0 log(q(a + 1) − a) mov´ an´ı z´ısk´ av´ an= − 1, coˇz pˇredstavuje poˇcet let, po kter´ y je log q P nutné kaˇzdoroˇcnˇe ukl´ adat kapitál K0 na p procent, aby se naˇsetˇril kapitál Ki . Chceme-li urˇcit procentovou sazbu p, ˇreˇs´ıme rovnici (1) podle q, coˇz vede k rovnici q n+1 − (a + 1)q + a = 0, ze které po v´ ypoˇctu q snadno urˇc´ıme p = 100(q − 1). Studniˇcka se zab´ yv´ a ˇreˇsen´ım této rovnice, která jako rovnice stupnˇe n + 1 má v mnoˇzinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel n + 1 koˇren˚ u, z nichˇz koˇren rovn´ y 1 vid´ıme na prvn´ı pohled. Tento koˇren vˇsak nem´ a pro nás v´ yznam, nebot’ pak vycház´ı p = 0, coˇz se nesrovn´ av´ a s duchem a podstatou podm´ınek v u ´loze podloˇzených, ˇc´ımˇz F. J. Studniˇcka nar´ aˇz´ı na svou pˇredn´ aˇsku O duchu mathematickém a nˇekterých jeho zjevech ([3], roˇcn´ık II, 1873, str. 57–64), kterou proslovil pˇri zahájen´ı nové ˇcinnosti Jednoty ˇcesk´ ych mathematik˚ u 20. ˇr´ıjna 1872. Je-li rovnice sudého stupnˇe, má jeˇstˇe jeden reáln´ y koˇren (vˇetˇs´ı neˇz 1), je-li stupnˇe lichého, m´ a jeˇstˇe dalˇs´ı dva re´ alné koˇreny, z nichˇz jeden je záporn´ y, druh´ y kladn´ y. Zm´ınˇenou rovnici ˇreˇs´ı Studniˇcka pˇribliˇznou metodou. Oznaˇc´ı y = q n+1 − (a + 1)q + a a vˇenuje se zkoumán´ı této funkce z hlediska parity ˇc´ısla n. Je-li n liché, prot´ın´ a konvexn´ı kˇrivka osu x dvakrát, jednou v bodˇe 1, podruhé v hledaném bodˇe q > 1, je-li n sudé, prot´ıná kˇrivka osu x tˇrikrát; pro nás je v´ yznamn´ y opˇet pr˚ useˇc´ık q > 1. D´ ale Studniˇcka urˇc´ı prvn´ı derivaci y 0 = (n + 1)q nr− (a + 1) a stanov´ı bod, ve a+1 (v pˇr´ıpadˇe sudého n kterém m´ a funkce lok´ aln´ı minimum (y 0 = 0): q0 = n n+1 vyjde jeˇstˇe druh´ y koˇren rovnice y 0 = 0, kter´ y pˇr´ısluˇs´ı lokáln´ımu maximu, je záporn´ y a pro n´ as nem´ a v´ yznam). Urˇc´ı bod, kter´ y je od bodu q0 stejnˇe daleko jako je q0 od bodu 1 a dvoj´ım p˚ ulen´ım intervalu urˇceného tˇ emito dvˇema body dostane jako r 3 7 n a+1 − . Tato hodnota obprvn´ı pˇribliˇznou hodnotu koˇrenu rovnice q1 = 4 n+1 4 vykle staˇcila pro odhad u ´rokové m´ıry p. V pˇr´ıpadˇe potˇreby pˇresnˇejˇs´ıho v´ ysledku doporuˇcuje Studniˇcka uˇz´ıt metodu regula falsi. Já pro zaj´ımavost u vˇsech pˇr´ıklad˚ u uv´ ad´ım, jaké ˇreˇsen´ı rovnice z´ıskáme s pouˇzit´ım programu DERIVE 6. K této problematice uv´ ad´ı Studniˇcka ve svém ˇclánku následuj´ıc´ı pˇr´ıklad na fungov´ an´ı tak zvan´ ych dˇediˇcn´ ych spoleˇcnost´ı, neboli tontin: ´ Uloha A (str. 103): Pojiˇst’ovna ”Praha”slibuje napˇr. ukl´ adaj´ıc´ımu po 19 let kaˇzdoroˇcnˇe 10 zl. vyplatiti pak najednou nejménˇe 480 zl.; jak s´ urokuje se tu kapit´ al? 5 ˇ sen´ı: V tomto pˇr´ıpadˇe plat´ı: a = 48, n = 19, tedy rovnice pro q má tvar Reˇ . q 20 − 49q + 48 = 0; prvn´ı pˇribliˇzná hodnota vycház´ı q1 = 1,0845, tedy p = 8,5%. Program DERIVE 6 d´ av´ a v´ ysledek 8,615 %. 5Texty u ´loh uv´ ad´ım v p˚ uvodn´ım znˇ en´ı, jak jsou otiˇstˇ eny v ˇ casopise.


61

1 , z´ıskáme model situq ace, kter´ a spoˇc´ıv´ a v ˇcasovˇe opaˇcném pr˚ ubˇehu dˇeje. Základn´ı vzorec pak má tvar Kn = K0 q −n , kde Kn znamená nynˇejˇs´ı hodnotu kapitálu, kter´ y má b´ yt ve v´ yˇsi K0 vyplacen za n let pˇri p procentn´ım sloˇzitém u ´rokován´ı. Situace analogick´ a kumulaci kapitálu vypadá tak, ˇze na zaˇcátku máme kapitál, ze kterého po dan´ y ˇcas vypl´ ac´ıme rentu (d˚ uchod) nebo kter´ y jako u ´vˇer splác´ıme pravideln´ ymi spl´ atkami (anuita) po dobu n let pˇri souˇcasném u ´roˇcen´ı. X q n+1 − q n , kde K0 je bud’ Pˇr´ısluˇsné vzorce pak vych´ azej´ı ve tvaru K0 = Ki n q −1 P renta nebo anuita a Ki je bud’ kapitál sloˇzen´ y k vyplácen´ı renty nebo u ´vˇer. Pro log b − log(1 + b − q) 1 K0 n pak plat´ı vztah n = , kde b = = P a rovnice pro log q a Ki v´ ypoˇcet q m´ a tvar q n+1 − (b + 1)q n + b = 0. Postup nalezen´ı prvn´ı pˇribliˇzné hodnoty pro q je analogick´ y pˇredchoz´ımu pˇr´ıpadu. b+1 0 a stejn´ ym postupem Po derivov´ an´ı a ˇreˇsen´ı rovnice y = 0 vyjde q0 = n n+1 n(7b + 4) − 3 z´ısk´ ame q1 = . V textu ˇclánku uvád´ı Studniˇcka k tomuto tématu 4(n + 1) n´ asleduj´ıc´ı u ´lohu: ´ Uloha B (str. 106): Jakými procenty u ´roˇcil dluh, kdo 19 roˇcn´ımi spl´ atkami 10 percentn´ımi z´ aroveˇ n umoˇril kapit´ al. ˇ sen´ı: Plat´ı b = 10 = 0,1 a n = 19. Pˇr´ısluˇsná rovnice má tvar Reˇ 100 q 20 − 1,1q 19 + 0,1 = 0. Podle pˇredchoz´ıho vzorce pro prvn´ı pˇribl´ıˇzen´ı plat´ı q1 = 1,07875. Odhadujeme, ˇze kapitál je u ´roˇcen pˇribliˇznˇe 7,5 %. Pouˇzit´ım programu DERIVE 6 dost´ av´ ame p = 7,44 %. Pokud zavedeme nam´ısto q jeho pˇrevrácenou hodnotu

ˇ ´ lohy z Casopisu ˇstova ´ n´ı mathematiky a fysiky 3. Dalˇ s´ı u pro pe ˇ V Casopise pro pˇestov´ an´ı mathematiky a fysiky se v létech 1872–1884 objevuje nˇekolik pˇr´ıklad˚ u, které byly zadávány k ˇreˇsen´ı ˇctenáˇr˚ um ˇcasopisu a které se vˇenuj´ı finanˇcn´ı matematice. Uv´ ad´ım jejich texty, vˇcetnˇe ˇc´ısla u ´lohy, roˇcn´ıku ˇcasopisu, ve kterém vyˇsly a u ´daje o tom, kdo zaslal do redakce jejich ˇreˇsen´ı. Dále uvád´ım n´ astin ˇreˇsen´ı, jak bylo v ˇcasopise uvedeno a u vhodn´ ych u ´loh také v´ ysledek, z´ıskan´ y s pouˇzit´ım programu DERIVE 6. ´ Uloha 31 ([3], roˇ cn´ık II, 1873, str. 100) Jakým sp˚ usobem amortisuje se pˇri nˇejakém akciovém podniku bˇehem des´ıti let v poloroˇcn´ıch lh˚ ut´ ach 100 akci´ı po 200 zl. pˇri 5% u ´roˇcen´ı. ˇ sen´ı ([3], roˇ Reˇ cn´ık III, 1874, str. 45) (podal X. Y., ˇzák VII. tˇr. g. v J. ˇ sitel uv´ Hradci): Reˇ ad´ı pouze následuj´ıc´ı tabulku (Tabulka 1), kterou zˇrejmˇe z´ıskal rozvrˇzen´ım amortizaˇcn´ıch ˇc´ astek do 20 obdob´ı (lh˚ uty) pˇri souˇcasném jednoduchém u ´roˇcen´ı z˚ ustatk˚ u s t´ım, ˇze u ´roky byly vyplaceny.

JAN ZAHRADNÍK

62

Lh˚ uta Kapit´ al

´ Urok

´ Umor zlat´ ych

akci´ı

1.

20 000

500

800

4

2.

19 200

480

800

4

3.

18 400

460

800

4

4.

17 600

440

800

4

5.

16 800

420

800

4

6.

16 000

400

800

4

7.

15 200

380

1000

5

8.

14 200

355

1000

5

9.

13 200

330

1000

5

10.

12 200

306

1000

5

11.

11 200

280

1000

5

12.

10 200

255

1000

5

13.

9 200

230

1000

5

14.

8 200

206

1000

5

15.

7 200

180

1200

6

16.

6 000

150

1200

6

17.

4 800

120

1200

6

18.

3 600

90

1200

6

19.

2 400

60

1200

6

20.

1 200

30

1200

6

Tabulka 1 ´ Uloha 39 ([3], roˇ cn´ık II, 1873, str. 199): Aby se umoˇril dluh 2000 zl., plat´ı nˇekdo 20 po sobˇe jdouc´ıch let kaˇzdoroˇcnˇe 400 zl.; mnoho-li plat´ı procent? ˇ sen´ı ([3], roˇ Reˇ cn´ık III, 1874, str. 280, podal B. Beˇcka, ˇreˇsil rovnˇeˇz A. Hanzlovsk´ y.): Placeno tu ze sta 19,424. Podrobnˇejˇs´ı ˇreˇsen´ı nen´ı uvedeno; podle Studniˇcky vych´ az´ı rovnice pro q ve tvaru q 21 − 1,2q 20 + 0,2 = 0. Jako pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı vych´ az´ı 25 %, ˇreˇsen´ım rovnice v programu DERIVE 6 vyjde 19,43 %. ´ Uloha 41 ([3], roˇ cn´ık II, 1873, str. 286): Do tak zvaných dˇediˇcných spoleˇcnost´ı, jaké pojiˇst’ovna ”Praha”zˇrizuje, vkl´ adal by nˇekdo 14 po sobˇe jdouc´ıch let po 10 zl. a obdrˇzel by koneˇcnˇe 250 zl.; jak by tu pen´ıze vloˇzené byly z´ urokov´ any? ˇ sen´ı ([3], roˇ Reˇ cn´ık III, 1874, str. 142, podal Aug. Hanzlovsk´ y, oktaván v P´ısku, tutéˇz u ´lohu ˇreˇsil J. Pytl´ık, uˇcitel na obˇcanské ˇskole ve Vodˇ nanech.): ˇ sitel zavede oznaˇcen´ı, podobné oznaˇcen´ım z ˇclánku F. J. Studniˇcky, poˇc´ıtá vˇsak Reˇ


63

x pˇr´ımo s v´ yrazem 1 + pro hledanou u ´rokovou m´ıru x. Z´ıská rovnici 100 x 15 x 250x = 1000 1 + − 1+ a z n´ı logaritmován´ım jej´ıch obou stran 100 100 x 15 x − log x. Lichým pravidlem pak rovnici log 0,25 = log 1 + − 1+ 100 100 vyhled´ a, ˇze koˇren leˇz´ı mezi 7,441 a 7,442, bl´ıˇze pˇri této hodnotˇe. Odhaduje tedy u ´rokovou m´ıru na 7,5 %. Rovnice podle F. J. Studniˇcky má tvar q 15 − 26q + 25 = 0 . a odhadem z´ısk´ ame q1 = 7 %. V programu DERIVE 6 vycház´ı pak q = 1,074413, tedy p = 7,44 % potvrzuje velmi dobˇre v´ ysledek pana Hanzlovského. ´ Uloha 46 ([3], roˇ cn´ık III, 1874, str. 143): Nové stavby poˇz´ıvaj´ı nyn´ı 25 let tak zvaného osvobozen´ı od dan´ı; jaký kapit´ al pˇredstavuje tato výhoda, obn´ aˇs´ı-li prominut´ a daˇ n 1000 zl. roˇcnˇe, pˇri poloroˇcn´ım u ´roˇcen´ı 6% a) nyn´ı, b) za 25 let. ˇ sen´ı této u ˇ sen´ı (Reˇ Reˇ ´lohy se mezi ˇreˇsen´ımi zaslan´ ymi do redakce nevyskytuje): Na z´ akladˇe ˇcl´ anku F. J. Studniˇcky by mohlo vypadat takto: Pokud majitel domu uloˇz´ı prominutou daˇ n 1000 zl. kaˇzd´ y rok pˇri 6% poloroˇcn´ım sloˇzitém u ´rokován´ı, bude m´ıt po 25 letech (50 lh˚ utách) celkem (K0 = 1000, q = 1,03, n = 50) naX 1,0351 − 1,03 = 116708 zl. Pˇrepoˇcteme-li tuto ˇcástku na spoˇreno Ki = 1000 1,03 − 1 zaˇc´ atek ˇcasu, dostaneme K = 116708 · 1,03−50 = 26622 zl. ˇ Od roku 1874 do roku 1878 nejsou u ´lohy pro ˇctenáˇre v Casopisu pro pˇestov´ an´ı mathematiky a fysiky zad´ av´ any. V roce 1878 se redakce vrac´ı ke svému p˚ uvodn´ımu ´ programu a zav´ ad´ı opˇet rubriku Ulohy s výslovným pˇr´ an´ım, aby se j´ı dostalo ˇ u ´ˇcastenstv´ı co nejhojnˇejˇs´ıho. C´ıslován´ı u ´loh zaˇc´ıná opˇet od ˇc´ısla 1. ´ Uloha 1 ([3], roˇ cn´ık VII, 1878, str. 182): Majitel domu, jehoˇz cena se p´ aˇc´ı na 6600 zl., stal se v 62. roce vˇeku svého neschopným ku pr´ aci; a ponˇevadˇz z n´ ajemného nemohl se uˇziviti, postoupil d˚ um sousedovi svému, vym´ıniv sobˇe byt v cenˇe 100 zl. a doˇzivotn´ı d˚ uchod roˇcn´ıch 700 zl. Nebyl pˇri tom zkr´ acen? ˇ sen´ı ([3], roˇ Reˇ cn´ık VII, 1878, str. 252, zaslal Jos. Zvˇeˇrina, ˇzák VII. tˇr. r. g. v Chrudimi, ˇreˇsen´ı zaslali téˇz Matˇej Vanˇeˇcek z Tábora a Petrov, ˇzák VII. tˇr r. g. obec. na Malé Stranˇe v Praze.): Hodnotu doˇzivotn´ıho d˚ uchodu 800 zl. poˇc´ıtá ˇreˇsitel Sm+1 67,8 podle vzorce Vm = v = 800 = 5819,74 a odvolává se na Studniˇckovu sm 9,32 uˇcebnici Algebry str. 192. Teoreticky tedy majitel domu utrp´ı ˇskodu, avˇsak vzhledem k tomu, ˇze v pojiˇst’ovnˇe by na tento d˚ uchod musel sloˇzit nejménˇe 7000 zl., pozn´ ame, ˇze v prakci m´ a výhodu, p´ıˇse septimán Zvˇeˇrina. ˇ Problematice d˚ uchod˚ u se v Casopise pro pˇestov´ an´ı mathematiky a fysiky vˇenuje Martin Pokorn´ y, ˇreditel vyˇsˇs´ıho reálného gymnasia na Malé Stranˇe, v sérii ˇctyˇr ˇcl´ ank˚ u D˚ uchod invalidn´ı ([3], roˇcn´ık XIV, 1885, str. 111-120, 159-168, 201-208, 249-287). Ten se na str´ ance 205 a 206 vˇenuje odpovˇedi na otázku: Mnoho-li mus´ı sloˇziti osoba aktivn´ı n-let´ a jednou pro vˇzdy, aby si zabezpeˇcila doˇzivotn´ı d˚ uchod od té chv´ıle, kdy se stane invalidn´ı? 6 Pokorn´ y vych´ az´ı z pˇredpokladu, ˇze pokud kaˇzdá z An osob aktivn´ıch n-let´ ych zaplat´ı pˇr´ısluˇsn´ y vklad Vn (dohromady tedy An ·Vn ), mus´ı b´ yt vybraná ˇcástka rovna nynˇejˇs´ı hodnotˇe d˚ uchod˚ u pˇriˇrˇcen´ ych vˇsem invalid˚ um kaˇzdého roku novˇe povstal´ ym 6Osoba invalidn´ı je takov´ a, kter´ a nen´ı aktivn´ı, tedy je nezp˚ usobil´ a ku pr´ aci.

64

JAN ZAHRADNÍK

(tento poˇcet znaˇc´ı Pokorn´ y in+1 ). P

κi ∆i in , kde κn = n αn v p An je diskontovan´ y poˇcet povst´ avaj´ıc´ıch invalid˚ u, αn = n , kde v = 1 + , je v 100 diskontovan´ y poˇcet ˇzij´ıc´ıch aktivn´ıch a ∆i je jejich d˚ uchod. Pro tyto hodnoty byly sestaveny tabulky, které Pokorn´ y uvád´ı na konci svého ˇclánku. Pokorn´ y uv´ ad´ı pro v´ ypoˇcet této ˇcástky vzorec: Vn =

n+1

´ Uloha 4 ([3], roˇ cn´ık VII, 1878, str. 254): Nˇekdo uloˇzil na u ´roky 1000 zl. a obdrˇzel pˇri poloroˇcn´ım u ´rokov´ an´ı za 12 let 2560 zl. nazpˇet; na kolik procent byl tu kapital uloˇzen? ˇ sen´ı ([3], roˇ Reˇ cn´ık VIII, 1879, str. 38, podal Josef Koˇr´ınek, ˇzák VIII. tˇr. gymn. v Jindˇr. Hradci, dále ˇreˇsili Jos. Zvˇeˇrina a Josef Prouza, z VIII. tˇr. ˇ z gymn. z Chrudimi, Jan Mayer z VIII. tˇr. gymn. v Jindˇr. Hradci a Bedˇrich Spidl´ en ˇ sitel docház´ı jednoduch´ z VIII. tˇr. re´ aln´ıch ˇskol v Praze): Reˇ ym postupem k v´ ysledku p = 7,988 %. ´ Uloha 5. ([3], roˇ cn´ık VII., 1878, str. 255): Nˇekdo ukl´ ad´ a kaˇzdoroˇcnˇe 100 zl. do spoˇritelny na 4 % a do z´ aloˇzny na 6 %; za kolik let bude m´ıti v z´ aloˇznˇe jednou tolik nastˇr´ ad´ ano co ve spoˇritelnˇe? ˇ sen´ı ([3], roˇ Reˇ cn´ık VIII, 1879, str. 38, podal Jan Mayer, ˇzák VIII. tˇr. gymn. v Jindˇr. Hradci, d´ ale ˇreˇsili Josef Koˇr´ınek z VIII. tˇr. téˇze ˇskoly, Jos. Prouza z VIII. tˇr. gymn. v Chrudimi.): Obsáhlejˇs´ı ˇreˇsen´ı je moˇzno shrnout takto: Ukládá-li se kapit´ al na zaˇc´ atku dob, vzroste jistina C = 100 zl. ve spoˇritelnˇe postupnˇe za pn+1 − p q n+1 − q , kde q = 1,04 a v záloˇznˇe na C2 = C , kde n let na C1 = C q−1 p−1 p = 1,06. Podle zad´ an´ı m´ a platit C2 = 2C1 . Po dosazen´ı a u ´pravˇe vycház´ı rovnice 1,04n − 0,3397436 · 1,06n − 0,66025641 = 0. Jej´ı ˇreˇsen´ı nejprve ˇreˇsitel u ´lohy odhadne mezi ˇc´ısly 51 a 52 a po nalezen´ı druhé pˇribliˇzné hodnoty n2 = 51,950283 odpov´ıdá na zadanou ot´ azku hodnotou 51 let a 11 mˇes´ıc˚ u, za kter´ yˇzto ˇcas se kapitál v záloˇznˇe ˇ sen´ım v programu DERIVE zdvojn´ asob´ı v porovn´ an´ı s kapitálem ve spoˇritelnˇe. Reˇ 6 dost´ av´ ame hodnotu n = 51,95088734, coˇz potvrzuje v´ ysledek ˇzáka Jana Mayera.

´ ve ˇr Za ˇ a, m˚ ”Sed´ uj pˇr´ıteli, je vˇsechna teorie, a ˇzit´ı zlatý strom se zelen´ a.”7 Tato slova ˇr´ıká Mefistofeles ˇz´ akovi, kdyˇz pˇred n´ım paroduje r˚ uzné smˇery univerzitn´ıho studia a sv´ ad´ı jej k pouhému uˇz´ıv´ an´ı ˇzivota. Proˇc jejich parafrázi pouˇzil v polovinˇe 19. stolet´ı P. F. Keil jako motto svého d´ıla o finanˇcn´ı matematice? Moˇzná t´ım d˚ uvodem byla jeho d˚ uvˇera v to, ˇze pˇredivo teori´ı, jejichˇz pravdivost tak peˇclivˇe zkoumal a posuzoval, rozmot´ a samotn´ a praxe - bouˇrlivˇe se rozv´ıjej´ıc´ı ekonomika. My si dnes mus´ıme pˇriznat, ˇze v souˇcasném pˇredivu ekonomick´ ych nab´ıdek a svod˚ u, které n´ as ze vˇsech stran obklopuj´ı, by neˇskodilo trochu v´ıce té ”ˇsedé teorie”. Proto je tˇreba pˇriv´ıtat snahu vlády o zvyˇsován´ı finanˇcn´ı gramotnosti a doufat, ˇze dojde naplnˇen´ı. 7Goethe, J. W., Delacroix E.: Faust, pˇ reloˇ zil Otokar Fischer, str. 107. St´ atn´ı nakladatelstv´ı kr´ asn´ e literatury, hudby a umˇ en´ı, Praha, 1955.


65

Reference [1] Keil, P. F.: Das Interusurium oder die richtige Bestimmung der Forderungswerthe zu andern, als den Verfallzeiten und die damit zusammenh¨ angende Rentenredukzionslehre. Jena, 1854. http://books.google.com [2] Nˇ emcov´ a, M.: Frantiˇsek Josef Studniˇ cka 1836–1903. Prom´ etheus, Praha, 1998. ˇ [3] Casopis pro pˇ estov´ an´ı mathematiky a fysiky, roˇ cn´ıky II aˇz XIII. Jednota ˇ cesk´ ych mathematik˚ u v Praze, 1873 aˇ z 1884, http://dml.cz/dmlcz/133460. [4] Ott˚ uv slovn´ık nauˇ cn´ y. Illustrovan´ a encyklopedie obecn´ ych vˇ edomost´ı. Fotoreprint p˚ uvodn´ıho vyd´ an´ı z let 1888–1909. Sdruˇ zen´ı pro Ott˚ uv slovn´ık nauˇ cn´ y Paseka/ Argo, 1996–2003. [5] http://pravniradce.ihned.cz/c1-24216650-k-zakazu-uroceni-prislusenstvi

ˇ ´ fakulta, Jihoc ˇeska ´ univerzita, Cesk ´ Bude ˇjovice, Katedra matematiky, Pedagogicka e ˇ ´ republika Cesk a E-mail address: [email protected]

POHLED DO HISTORIE FINANČNÍ MATEMATIKY

Recommend Documents