Skripta do matematiky k maturitě 1 – 30
IgMen igmen.wz.cz
2008
Obsah 1
Výroková logika.....................................................................................................................................4 1.1 Základní logické spojky...................................................................................................................4 1.2 Kvantifikované výroky.....................................................................................................................5 2 Množiny – operace, intervaly................................................................................................................6 2.1 Absolutní hodnota reálného čísla.....................................................................................................7 2.2 Intervaly...........................................................................................................................................8 3 Algebraické výrazy – práce s mnohočleny, algebraické vzorce.........................................................9 3.1 Mnohočleny......................................................................................................................................9 3.2 Algebraické rovnice.......................................................................................................................11 4 Lomené výrazy.....................................................................................................................................13 5 Mocniny a odmocniny..........................................................................................................................15 5.1 Mocniny.........................................................................................................................................15 5.2 Odmocniny.....................................................................................................................................15 6 Lineární funkce, lineární rovnice.......................................................................................................17 6.1 Lineární funkce..............................................................................................................................17 6.2 Lineární rovnice.............................................................................................................................19 7 Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou.....................................................................20 7.1 Lineární rovnice s parametrem.......................................................................................................20 7.2 Lineární rovnice s absolutní hodnotou...........................................................................................21 8 Soustava lineárních rovnic..................................................................................................................22 8.1 2 rovnice o 2 neznámých................................................................................................................22 8.2 Frobeniova věta..............................................................................................................................23 8.3 Cramerova metoda.........................................................................................................................25 8.4 3 rovnice o 3 neznámých................................................................................................................26 9 Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé...............................................28 9.1 Lineární nerovnice..........................................................................................................................28 9.2 Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé..............................................................................31 10 Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant..........................................................32 10.1 Typy matic....................................................................................................................................32 10.2 Operace s maticemi......................................................................................................................33 10.3 Hodnost matice.............................................................................................................................34 10.4 Determinanty................................................................................................................................35 11 Kvadratické funkce............................................................................................................................37 12 Kvadratická rovnice – metody řešení...............................................................................................39 12.1 Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou...................................................................................42 13 Kvadratické nerovnice.......................................................................................................................43 13.1 Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou...............................................................................44 14 Iracionální rovnice.............................................................................................................................45 15 Shodná zobrazení – konstrukční úlohy............................................................................................48 15.1 Shodnost trojúhelníku..................................................................................................................50 16 Podobná zobrazení – konstrukční úlohy..........................................................................................51 16.1 Podobnost trojúhelníku................................................................................................................51 16.2 Stejnolehlost.................................................................................................................................52 17 Pythagorova a Eukleidovy věty – konstrukční úlohy.....................................................................53 17.1 Eukleidova věta o výšce...............................................................................................................53 17.2 Eukleidova věta o odvěsně...........................................................................................................54 17.3 Pythagorova věta..........................................................................................................................55 18 Obvody a obsahy rovinných obrazců...............................................................................................56 19 Polohové a metrické vztahy základních geometrických útvarů v prostoru.................................60 19.1 Stereometrie.................................................................................................................................60
19.2 Polohové vztahy...........................................................................................................................61 19.3 Řezy..............................................................................................................................................65 19.4 Průsečnice rovin...........................................................................................................................67 19.5 Metrické vztahy............................................................................................................................67 20 Povrchy a objemy těles......................................................................................................................69 21 Goniometrické funkce.......................................................................................................................71 21.1 Orientovaný úhel..........................................................................................................................71 21.2 Definice goniometrických funkcí.................................................................................................72 21.3 Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů pomocí úhlu ostrého....................................73 21.4 Určení goniometrických funkcí libovolného orientovaného úhlu................................................74 21.5 Grafy goniometrických funkcí.....................................................................................................75 21.6 Vlastnosti goniometrických funkcí..............................................................................................76 21.7 Harmonická funkce......................................................................................................................77 22 Řešení pravoúhlého trojúhelníku.....................................................................................................78 23 Úpravy výrazů s goniometrickou funkcí užitím vzorců.................................................................79 24 Goniometrické rovnice......................................................................................................................82 25 Řešení obecného trojúhelníku...........................................................................................................87 25.1 Sinova věta...................................................................................................................................87 25.2 Kosinova věta...............................................................................................................................88 26 Komplexní číslo – pojem, algebraický tvar, operace......................................................................90 26.1 Algebraický tvar komplexního čísla............................................................................................90 26.2 Geometrický model komplexních čísel........................................................................................91 26.3 Absolutní hodnota komplexního čísla..........................................................................................92 26.4 Zobrazování komplexních čísel v Gaussově rovině.....................................................................93 27 Komplexní číslo – goniometrický a exponenciální tvar, operace...................................................95 27.1 Goniometrický tvar komplexního čísla........................................................................................95 27.2 Exponenciální tvar komplexního čísla.........................................................................................96 28 Moivreova věta, binomické rovnice..................................................................................................98 28.1 Moivreova věta.............................................................................................................................98 28.2 Binomické rovnice.......................................................................................................................98 29 Lineární lomená funkce...................................................................................................................100 29.1 Lineární lomená funkce..............................................................................................................100 29.2 Nepřímá úměrnost......................................................................................................................103 30 Mocninné funkce..............................................................................................................................105
1
Výroková logika
Výrok: Sdělení, o kterém má smysl říct, zda je či není pravdivé. Hypotéza: Výrok, u něhož jsme v daném okamžiku neurčili jednoznačně pravdivost. (Domněnka) pravdivý výrok → 1 nepravdivý výrok → 0
1.1
Základní logické spojky negace (není pravda, že…) konjunkce (…a… | …a současně… | …a zároveň…) disjunkce (…nebo…) implikace (jestliže… pak… | když… pak… | je-li… pak…) ekvivalence (…právě když… | …právě tehdy…)
¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔
Př.: A: Dnes prší. ¬A ¬A ¬B ¬B A∧ B A∨ B A⇒B A⇔B
B: Venku je bláto.
Není pravda, že dnes prší. Dnes neprší. Není pravda, že je venku bláto. Venku není bláto. Dnes prší a venku je bláto. Dnes prší nebo je venku bláto. Jestliže prší pak je venku bláto. Venku je bláto právě když prší.
Jednoduchý výrok: Složený výrok: Výroková formule: Tautologie: Kontradikce:
p ;q ¬ p ; p∧q ; p∨q ; p⇒ q ; p ⇔ q ; p∧q ⇒¬ p∨q Vzniká kombinací více logických operací (případně výroků). Operace u nich mají nadřazenost v tomto pořadí: ¬,∧,∨,⇒ , ⇔ ; pokud není jejich nadřazenost změněna závorkou. Výroková formule, která je vždy pravdivá. Výroková formule, která je vždy nepravdivá.
Tabulka pravdivostních hodnot a výrokových formulí základních složených výroků: p q
¬p
¬q
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
1 1
0
0
1
1
1
1
1 0
0
1
0
1
0
0
0 1
1
0
0
1
1
0
0 0
1
1
0
0
1
1
4 / 106
IgMen
Př.: A⇒ ¬B∧ B ⇔¬ A ¬B A ⇒¬B A B ¬A
B ⇔¬ A
A⇒ ¬B∧ B ⇔¬ A
1 1
0
0
0
0
0
1 0
0
1
1
1
1
0 1
1
0
1
1
1
0 0
1
1
1
0
0
A⇒ B⇔¬B ⇒¬ A A⇒B ¬B A B ¬A
¬B ⇒¬ A
A⇒ B⇔¬B ⇒¬ A
1 1
0
0
1
1
1
1 0
0
1
0
0
1
0 1
1
0
1
1
1
0 0
1
1
1
1
1
C ⇒¬ A∧¬ B ⇔C ¬B A B C ¬A
C ⇒ ¬A
¬B ⇔C
C ⇒¬ A∧¬ B ⇔C
1 1 1
0
0
0
0
0
1 1 0
0
0
1
1
1
1 0 1
0
1
0
1
0
1 0 0
0
1
1
0
0
0 1 1
1
0
1
0
0
0 1 0
1
0
1
1
1
0 0 1
1
1
1
1
1
0 0 0
1
1
1
0
0
1.2 ∀ ∃ ∃/
Kvantifikované výroky obecný (univerzální) kvantifikátor existenční kvantifikátor neexistenční kvantifikátor
Př.: druhá mocnina každého reálného čísla je kladná 2 ∀ x∈ R : x 0 existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice: x 2−9=0 2 ∃ x∈ N : x −9=0 ∀ x∈N : x=2k⇒ x 2=2l pro všechna přirozená čísla platí, že jestliže je dané číslo sudé, je jeho druhá mocnina sudá
5 / 106
IgMen
2
Množiny – operace, intervaly Množina je souhrn prvků, které chápeme jako celek.
Zápis množin: A, B, C … množiny 1. 2. 3.
výčet prvků: interval: charakteristická vlastnost:
A={1 ; 2 ; 3} B=<−3 ; 5 ) A={x ∈N ; x ≤3} B={x∈N ;−3≤ x5} C={x ∈N ;∣x−1∣≤4 }
Operace s množinami:
doplněk
A'
rovnost
A= B
podmnožina (inkluze)
A⊂ B
sjednocení
A∪ B
průnik
A∩ B
rozdíl
A− B ; B−A
6 / 106
IgMen
Číselné množiny: N...........přirozená čísla N0..........nezáporná přirozená čísla Z...........celá čísla Q...........racionální čísla R...........reálná čísla C...........komplexní čísla
N ={1 ; 2 ; 3 ; K } N 0={0 ;1 ; 2 ; 3 ; K } Z ={K −3 ;−2 ;−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; K } Q={K −2 ;−1,5 ;−1 ;−0,75 ;−0,3 ; 0 ; 0,3 ; 0,75 ; 1 ;1,5 ; 2 ; K } R={ ; 2} C={−1}
Platí: N ⊂ N 0⊂Z ⊂Q⊂ R⊂C
2.1
Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnotou reálného čísla rozumíme číslo ∣a∣ , které má tyto vlastnosti: a≥0 ⇒∣a∣=a a0 ⇒∣a∣=−a
Př.: 3 3 = 8 8 ∣−0,5∣=0,5
∣∣
Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti tohoto čísla od počátku číselné osy.
7 / 106
IgMen
2.2
Intervaly
Množina reálných čísel, kterou můžeme znázornit na číselné ose úsečkou, nazýváme omezený interval. Ty množiny, které lze znázornit polopřímkou nebo přímkou nazýváme neomezené intervaly. Omezené intervaly se dělí na: 1. uzavřený 2. otevřený 3. polouzavřený Omezené intervaly: množina
znázornění na ose
zápis intervalu
název intervalu
x ∈R ; a≤ x≤b
〈 a ; b〉
uzavřený interval a ; b
x ∈R ; a x≤b
( a ;b>
polouzavřený interval a ; b
x ∈R ; a≤ xb
< a ;b)
polouzavřený interval a ;b
x ∈R ; a xb
a ; b
otevřený interval a ; b
x ∈R ; x≥a
a
< a ;∞)
zleva uzavřený interval a ; ∞
x ∈R ; xa
a
a ; ∞
zleva otevřený interval a ; ∞
x ∈R ; x≤a
a
(−∞ ; a >
zprava uzavřený interval −∞ ; a
x ∈R ; xa
a
−∞ ; a
zprava otevřený interval −∞ ;a
Př.: A={x ∈ R ;∣x−3∣≥5} B=−7 ; 0
A∩ B=( −7 ;−2 > A∪ B=−∞ ; 0∪< 8 ; ∞ ) A− B=( −∞ ;−7 >∪< 8 ; ∞ ) B−A=−2 ; 0
8 / 106
IgMen
3
Algebraické výrazy – práce s mnohočleny, algebraické vzorce
Výraz obecně: • množinový • číselný • výraz s proměnnou • lomený výraz
AI BYC 12 ; 2 ; ; 3 2 5y−3 2 ; x2 5 ab ; x a−b
Legenda:
1 ; 2 ;3 ; 5 ; ...........konstanty a ; b .........................proměnné A ; B ;C ...................množiny U lomených výrazů a výrazů s odmocninou je nutné udat podmínky pro proměnnou, aby měl výraz smysl. a6 c≠0 Např.: c
3.1
Mnohočleny
Mnohočlen obecně: a m x m a m−1 x m−1a m −2 x m−2K a 1 xa 0 1 2 5 2 6 Např.: 2x −3x2 ; 3x 64x ; 5x − x 3 Sčítání a odčítání mnohočlenů: Sčítat a odčítat se mohou pouze mnohočleny se stejnou proměnnou a stejnou mocninou dané proměnné. Př.: x 33x 2−4x1 x 4−3x35x 22 =x 4 −2x 38x 2−4x3 x 5−6x 45x 2− x3 − x 4 5x3−2x 24x−1 = x5 −6x 45x 2−x3−x 4 −5x32x 2−4x1= = x5−7x 4−5x 37x 2−5x4 ab−c −[−b−3c]=ab−c−[−b3c ]=ab−cb−3c=a2b−4c
9 / 106
IgMen
Násobení mnohočlenů: Př.: 3 2 1 5 x − xy− ⋅−24xy 2 =−18x3 y 24x2 y 340xy 2 4 6 3 2 3xy 2x−3y ⋅ 4xxy =12x 2 y 2 −12xy3x 2 y 32x 2 y−3xy2
Dělení mnohočlenů jednočlenem: Čísla se dělí, exponenty odčítají. Př.: 18a 4−27a 39a 2−90a =2a 3−3a 2a−10 9a podmínka: a≠0
Dělení mnohočlenů mnohočlenem: Př.:
10 / 106
IgMen
3.2
Algebraické rovnice
Součtové vzorce: AB2 =A22ABB 2 A−B2 =A2−2ABB 2 ABC 2= A2B2 C 22AB2BC2CA AB3= A33A 2 B3AB2 B3 A−B3= A3−3A 2 B3AB2B 3 A2−B 2= AB⋅ A−B A3B3= A B⋅ A2 −2AB B2 A3−B3= A− B⋅ A2 2AB B2
Př.: x−2y2=x 2 −4xy4y 2 2x3y 3=8x 336x 2 y54xy 227y 3 0,0010,012 x0,048 x 20,064 x3 =0,10,4 x 3
Vietovy vzorce: x 2 pxq= x− x1 ⋅ x −x 2 x 1⋅x 2=q x 1 x 2=− p
Př.: x 2−8x12= x−2⋅ x−6 x 1⋅x 2=2⋅6=12 x 1 x 2=26=8 x 1=2 ; x 2=6
11 / 106
IgMen
Rozklad výrazu v součin: 1. 2. 3.
vytýkání pomocí vzorců rozkladem kvadratického trojčlenu pomocí Vietových vzorců
Př.: 18a−45a 263a 3=9a 2−5a7a 2 1 1 1 x 2− = x ⋅ x− 9 3 3
m6−m42m32m2=m4 m2−12m2 m1=m4 m−1 m12m 2 m1= =m2 m1[m2 m−12]=m2 m1m3−m22 x 2−8x12= x−2 x−6 x 1⋅x 2 =12=6⋅2 x 1 x 2=8=62 x 1=2 ; x 2=6
12 / 106
IgMen
4
Lomené výrazy
Rozšiřování lomených výrazů: Lomený výraz se rozšiřuje tak, že se čitatel i jmenovatel násobí stejným výrazem. a⋅r ; b≠0 ; r≠0 Rozšíření výrazu výrazem r: b⋅r Př.:
x výrazem ax . b x⋅ax axx 2 = ; ax≠bx b⋅a x abax
Rozšiř výraz
Krácení lomených výrazů: Lomený výraz se krátí tak, že se čitatel i jmenovatel vydělí stejným výrazem. a :r ; b≠0 ; r ≠0 Krácení výrazu výrazem r: b:r Př.: a5b3 a3 = 2 ; b≠0 2 5 a b b a 2−b2 a−bab a−b ab ab = = = ; a≠b 2 2 2 2 2a−b 2a−4ab2b 2 a −2abb 2 a−b 63a−5 6 18a−30 3 = = = ; a≠0 2 12a −20a 4a 3a−5 4a 2a 3x2 −3xy 3x x− y 3x = = ; x≠ y 2 2 x y x− y x y x −y
Základní tvar zlomku: Je to takový tvar zlomku, který nelze dále krátit.
13 / 106
IgMen
Sčítání a odčítání lomených výrazů: Př.: 1 2 1⋅32⋅2 34 7 1 = = = =1 2 3 2⋅3 6 6 6 3x− y y−2 x−2y −13x− y − y−2−−1 x−2y −3x y− y2 x−2y 2−2x−2y − − = = = 2x− y y−2x 2x− y −1 2x− y −2x y −2x y 2x≠± y a1 2a a1 a1 2a a1 − 2 = − = 2 a 2a a −4 a a2 a a2 a−2a2 a a2 a a1a2 a−2−2a 2 a2a−2a a1a2a−2 = = a a2a−2 a 2 a a 2−4−2a 34a 2 a−1a 2a a2 4 = = a a 2−4 a 2a−2a−2−2a 2a 2a2a2 2a 2 = = = 2 2 2 a a −4 a a −4 a −4
a≠±2 a≠0
Násobení lomených výrazů: Lomené výrazy se násobí tak, že se vynásobí čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. Př.: x −12 x 1⋅y 2 x−1 x 2−1 ⋅ = ⋅ x1= x −1 y y y3 5 x− y 5x5y x 2− y 2 5 x y x y x− y 5 ⋅ = ⋅ = ⋅ x− y = 2 2 3x− y x y 3x− y 3x− y 3x− y x y
14 / 106
IgMen
5
Mocniny a odmocniny 5.1
Mocniny a n=a cod a⋅a ⋯a n−krát
−n
a =
a 0=1 a r s =a r⋅s
5.2
1 n a
r
a s =s r
a r⋅a s =a r s
r
a =a r−s s a
r
a ar = r b b
a⋅br =a r⋅br
Odmocniny
n a=b ⇔ bn=a n a⋅n b=n a⋅b s
n a = n a s
n a = n a n b b n⋅p
n a= a p
15 / 106
m n
a= a m⋅n
k⋅n
a k⋅m =n a m
IgMen
Př.: −1
2 =
1 2
−1
3 4
−1
=
3 4 = −1 3 4
1
−23⋅22 −8⋅4 −32 = = =−4 2 4⋅2 8 −2 ⋅2
23⋅3
−2
2
4 4 2 16 = = 2= 3 9 3
3 4
−2
=2
a 3 b−4 a3 a 2 a 5 5 −7 = 4 3 = 7 =a b −2 3 a b b b b
3
29⋅33 = 2 2 =2 7⋅3 2 2⋅3 2 ⋅3 2
−1
a 2 b−3 c−2 d 3
c 4 d −1 a−2 b3 c 8 d −2 b 3 d 3 a 6 c8 d a 4 c 6 a 4 c6 d ⋅ −3 2 = 2 −3⋅ −6 4 = 2 2⋅ 4 2 = ⋅ = 1 b b a b c d a b a c b d
14n 1⋅35 2n3⋅423n −4⋅701−n=2⋅7n1⋅5⋅72n3⋅2⋅3⋅73n −4⋅ 2⋅5⋅71−n= =2 n⋅2⋅7n⋅7⋅52n⋅72n⋅53⋅73⋅23n⋅33n⋅73n⋅2−4⋅3−4⋅7−4⋅2⋅5⋅7⋅2−n⋅5−n⋅7−n= 3n 3n n 5n −2 −4 4 3n−2 3n−4 n4 5n1 =2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ⋅2 ⋅3 ⋅5 ⋅7=2 ⋅3 ⋅5 ⋅7
3
a
a⋅a
3 5
−1
[ a b ]
1 1 3 −2 2
[ a b ]
1 2
a ⋅a
1 1 2 3
3
3
=
a
3 15
3 5
3
=
−1
=
a
3
b
1 −2 6
3 10
a ⋅a
1
a3 b 6
1
a 15
3 6
=
a ⋅b 3 6
a ⋅b
−
3 5
=
1 6
−
2 6
=
3
4
a 5⋅a 5
a5
a
b b
1 6
−
2 6
3 10
=
a 1 6
2 6
3 10
=a
3 6
8−3 10
5 10
1 2
=a =a = a
1 2
=b ⋅b =b =b = b
x y2a 1⋅u−v2a 1⋅ x− y2a 2 x y 2a⋅ x y ⋅ u−v2a⋅u−v ⋅ x− y 2a⋅ x− y2 = = 2a −1 2 2 2a 1 2 2a −1 2 2 2a 2 2 2 u−v ⋅ x − y ⋅u−v u−v ⋅u−v ⋅ x − y ⋅ x − y ⋅u−v x y2a⋅ x y⋅ x− y 2a⋅ x− y 2 x y 2a⋅ x y ⋅ x − y2a⋅ x− y2 = = =x− y x 2− y 2 2a⋅ x 2 − y 2 x− y2a⋅ x y2a⋅ x− y ⋅ x y
1
=5 2
1
5 b 2 = 5 b2 b 2 b
5 b b
⋅ 2 5
16 / 106
IgMen
6
Lineární funkce, lineární rovnice 6.1
Lineární funkce Funkce f definovaná na množině M ⊂R je pravidlo, které každému prvku x z množiny M přiřadí právě jedno y.
y= f x .............y je funkcí x Lineární funkce – funkce y=ax b (a … směrnice, b … úsek), kde a a b jsou reálná čísla, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka nebo její část (úsečka, polopřímka). Graf funkce – grafem funkce y= f x rozumíme množinu všech bodů [ x ; y ] v rovině. Vlastnosti funkce: definiční obor..... D f ...........................množina všech x obor hodnot........ H f ...........................množina všech y je to množina všech y, ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru sudost................. f x = f −x .............graf funkce je souměrný podle osy y lichost................. f x =− f −x ..........graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic rostoucí.............. x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2 klesající.............. x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2 prostá................. x 1≠x 2 ⇒ f x1 ≠ f x 2 ..............jakýmkoli dvěma x nenáleží totéž y omezenost zdola a shora minimum a maximum
17 / 106
IgMen
Zvláštní případy lineární funkce: a=0 ;b=0 ⇒ y=0 ...........grafem je osa x a=0 ; b≠0 ⇒ y=b ...........grafem je rovnoběžka s osou x – konstantní funkce (b … úsek na ose y) a≠0 ; b=0 ⇒ y=ax ..........grafem je přímka procházející počátkem – přímá úměrnost (a … směrnice přímky)
směrnice
Př.: y=3x−2 ; D f =〈−1 ; 2 〉 H f =〈−5 ; 4 〉 ani sudá, ani lichá rostoucí prostá
-1,5
-1
5 4 3 2 1 0 -0 ,5 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6
0,5
1
1,5
2
2,5
0,5
1
1,5
2
y=−0,5 x 1 0,8
lichá klesající prostá
0,6 0,4 0,2 -2
-1,5
-1
0 -0,5 -0,2 0 -0,4 -0,6 -0,8 -1
18 / 106
IgMen
6.2
Lineární rovnice Lineární rovnicí o jedné neznámé nazýváme rovnici ve tvaru ax=b , kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá.
Ekvivalentní úpravy: • přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice • vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem Řešení lineárních rovnic: 1 2
•
x=1 ; x=−
• •
2=2 ; 0=0 3=−1 ;−2=4
rovnice má jediné řešení rovnice má nekonečně mnoho řešení rovnice nemá řešení
Př.: 3x−1 1 = ∣⋅10 5 10 10 3x−1 10 = 5 10 2 3x−1=1 6x−2=1 6x=12 6x=3 3 x= 6 1 x = =0,5 2
4x−5 =x−1−x ∣⋅2 2 4x−5=2x−2 1−x 4x−5=2x−22x 4x−5=4x−2 4x−4x=5−2 0=3
2 2x3=81−x −5 x −2 4x6=8−8x−5x10 4x6=18−13x 4x13x=18−6 17x=12 12 x= 17
rovnice nemá řešení
3x−1 1 x x−1 − =3− ∣⋅20 5 2 4 4 3x−1−10 1x =60−5 x−1 12x−4−10−10x=60−5x5 2x−14=65−5x 2x5x=6514 7x=79 79 x= 7
3x−1 3x−2 x − =x−1 ∣⋅6 3 6 2 23x−1−3x−23x=6x−6 6x−2−3x23x=6x−6 6x=6x−6 6x−6x=−6 0=−6 rovnice nemá řešení
19 / 106
IgMen
7
Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou 7.1
Lineární rovnice s parametrem
Rovnice s parametrem obsahuje kromě neznámých další proměnné, kterým se říká parametry. Je to zápis množiny všech rovnic, které lze získat dosazením všech hodnot, jichž mohou parametry nabývat. Řešení rovnic s parametry spočívá v určení jejich kořenů v závislosti na přípustných hodnotách parametrů. Při řešení lineární rovnice s parametrem se rovnice postupně upravuje v závislosti na hodnotách parametru.
Př.: x ... neznámá p ... parametr
p3 x−1= px p 3 p x− px= p1 p p1 p−1 x= p1
p=0 0x=1 P 1=∅
p≠0 p1 p−1 x=
p=−1 0x=0 P 2=R
p1 p
p≠−1 p−1 x=
p=1 0x=1 P 3=∅
1 p
p≠1 1 x= p p−1 1 P 4= p p−1
{
20 / 106
}
IgMen
7.2
Lineární rovnice s absolutní hodnotou
Př.: ∣x3∣=6
∣x3∣
nulový bod:
−∞ ;−3 〉
〈3 ;∞
−x−3
x3
−x−3=6 −9=x P 1={−9}
x3=6 x=3 P 2=3
x3=0 x 0=−3
P=P 1∪P 2={−9 ; 3}
x−7=0 nulové body: x 0=7
∣x−7∣4x=∣2x−5∣
−∞ ;
5 2
〉
2x−5=0 5 x 0= 2
〈 〉 5 ;7 2
〈 7 ;∞
∣x−7∣
−x7
−x7
x−7
∣2x−5∣
−2x5
2x−5
2x−5
−x74x=−2x5 3x7=−2x5 5x=−2 2 x=− 5 2 P1 = − 5
−x74x=2x−5 3x7=2x−5 x=−12 P 2={−12 }
x−74x=2x−5 5x−7=2x−5 3x=2 2 x= 3 2 P 3= 3
{ }
{
2 2 P=P 1∪P 2 ∪P 3= −12 ; ; 5 3
{}
}
21 / 106
IgMen
8
Soustava lineárních rovnic 8.1
2 rovnice o 2 neznámých
Metody řešení: 1. 2. 3. 4.
sčítací dosazovací srovnávací (komparační) grafická
Př.: sčítací 3x2y=8 x−5y=−3 3x2y=8 −3x15y=9 17x=17 y=1 x−5y=−3 x−5⋅1=−3 x=2
dosazovací ∣⋅−3
srovnávací (komparační)
3x2y=8 x−5y=−3 x=5y−3 35y−32y=8 15y−92y=8 17y=17 y=1 x−5y=−3 x−5⋅1=−3 x=2
grafická 3x2y=8 x−5y=−3 2y=−3x8 5y=x3 3 y=− x4 2 1 3 y= x 5 5
3x2y=8 x−5y=−3 2y=−3x8 5y=x3 3 y=− x4 2 1 3 y= x 5 5 y=y 3 1 3 − x4= x 2 5 5 3 1 3 4− = x x 5 5 2 20 3 2x15x − = 5 5 10 17 17 = x 5 10 17 5 =x 17 10 17 10 ⋅ =x 5 17 2= x x−5y=−3 2−5y=−3 5=5y 1= y
22 / 106
IgMen
8.2
Frobeniova věta
A ... matice soustavy A ... rozšířená matice soustavy
Př.: x 13x 2−5x 34x 4=3 2x 1−4x32x 4=1 3x 12x 2− x3 =2
[
1 3 −5 4 A= 2 0 −4 2 3 2 −1 0
]
[
1 3 −5 4 ⋮ 3 A= 2 0 −4 2 ⋮ 1 3 2 −1 0 ⋮ 2
]
soustava lineárních rovnic (m rovnic o n neznámých) homogenní
nehomogenní
pravé strany všech rovnic soustavy jsou rovny 0
alespoň jedna rovnice soustavy nemá pravou stranu rovnu 0
Př.: x y−3z=0 −x z=0 3x2y− z=0
x− y z=1 3x y=2 4x− y z=0
soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, jestliže hodnost matice rozšířené se rovná hodnosti matice soustavy h A=h A h A=h A =n soustava má jediné řešení (triviální)
h A=h A =n soustava má jediné řešení (Cramerova metoda)
h A=h A n soustava má nekonečně mnoho řešení
h A=h A n soustava má nekonečně mnoho řešení
23 / 106
IgMen
Př.: x y z=5 3x−2y z=3 4x− y 2z=10
[ [ [ [
1 1 1 A= 3 −2 1 4 −1 2
x2y5z=0 3x4y7z=0 5x6y9z=0
[ ] [ ] [ ] [ ]
]
1 2 5 A= 3 4 7 5 6 9
]
1 1 1 ⋮ 5 |⋅−3 |⋅−4 A= 3 −2 1 ⋮ 3 4 −1 2 ⋮ 10 1 1 1 ⋮ 5 A= 0 −5 −2 ⋮ −12 |⋅−1 0 −5 −2 ⋮ −10
1 2 5 ⋮ 0 |⋅−3 |⋅−5 A= 3 4 7 ⋮ 0 5 6 9 ⋮ 0
1 1 1 ⋮ 5 A= 0 −5 −2 ⋮ −12 0 0 0 ⋮ 2
1 2 5 ⋮ 0 A= 0 −2 −8 ⋮ 0 0 0 0 ⋮ 0
] ]
1 2 5 ⋮ 0 A= 0 −2 −8 ⋮ 0 |⋅−2 0 −4 −16 ⋮ 0
h A=2 h A =3 h A≠h A
h A=2 h A =2 h A=h A
nehomogenní soustava nemá řešení
3x1 x 2− x3=4 3x1 x 2 x3 =1 −x1 2x 2−x 3=3 h A=3 h A =3 h A=h A=n nehomogenní soustava má jedno řešení
homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení
[ [ [ [
2 1 −1 A= 3 1 1 −1 2 −1
]
2 1 −1 ⋮ 4 A= 3 1 1 ⋮ 1 −1 2 −1 ⋮ 3
]
|⋅−3 |⋅2
2 1 −1 ⋮ 4 A= 0 −1 5 ⋮ −10 0 5 −3 ⋮ 10 2 1 −1 ⋮ 4 A= 0 −1 5 ⋮ −10 0 0 22 ⋮ −40
24 / 106
|⋅2
] ]
|⋅5
IgMen
8.3
Cramerova metoda
Používá se pouze v případě n rovnic o n neznámých. A...........matice soustavy D...........determinant matice soustavy D=det A=∣A∣ ∣A∣=0 .......soustava nemá řešení ∣A∣≠0 .......soustava má právě jedno řešení x=[ x 1 ; x 2 ; x 3 ; K x n ] , kde: D x i= i D i∈{1 ; 2 ; 3 ; K n}
{
x 1=
D1 D D D ; x 2 = 2 ; x 3 = 3 ; K x n= n D D D D
}
Di..........determinant, který vznikne z determinantu soustavy nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy
Př.: viz. 3 rovnice o 3 neznámých
25 / 106
IgMen
8.4
3 rovnice o 3 neznámých
Metody řešení: 1. 2. 3. 4.
dosazovací sčítací Cramerova Gaussova eliminační
Př.: dosazovací
sčítací
2x3y−z =5 z=2x3y−5 3x−2y2z=5 4x− y3z=11
2x3y− z=5 ∣⋅2 ∣⋅3 3x−2y2z=5 4x− y 3z=11
3x−2y22x3y−5=5 4x− y32x3y−5=11
7x4y=15 ∣⋅−2 10x8y=26
3x−2y4x6y−10=5 4x− y6x9y−15=11
−14x−8y=−30 10x8y=26
7x4y=15 ∣⋅−2 10x8y=26
−4x=−4 x=1
−14x−8y=−30 10x8y=26
7x4y=15 7⋅14y=15 4y=8 y=2
−4x=−4 x=1 7x4y=15 7⋅14y=15 4y=8 y=2
2x3y− z=5 z=2x3y−5 z=2⋅13⋅2−5 z=3
2x3y−z =5 z=2x3y−5 z=2⋅13⋅2−5 z=3
26 / 106
IgMen
Cramerova metoda
[ [ [ [
]
2 3 −1 D= 3 −2 2 =−12243−84−27=−16 4 −1 3
]
5 3 −1 D1= 5 −2 2 =−30665−22−4510=−16 11 −1 3
] ]
2 5 −1 D2 = 3 5 2 =3040−3320−45−44=−32 4 11 3 2 3 5 D3= 3 −2 5 =−4460−1540−9910=−48 4 −1 11 D −16 x= 1 = =1 D −16 D 2 −32 y= = =2 D −16 D −48 z= 3 = =3 D −16 Gaussova eliminační metoda
[ [ [
]
2 3 −1 ⋮ 5 ⋅∣−3 ⋅∣−2 3 −2 2 ⋮ 5 ⋅∣2 4 −1 3 ⋮ 11 2 3 −1 ⋮ 5 0 −13 7 ⋮ −5 ⋅∣−7 0 −7 5 ⋮ 1 ⋅∣13
] ]
2 3 −1 ⋮ 5 0 −13 7 ⋮ −5 0 0 16 ⋮ 48
2x3y− z=5 −13y7z=−5 16z=48 z =3 2x3y−3=5 −13y7⋅3=−5 2x3y=8 −13y=−26 y=2 2x3⋅2=8 2x=2 x=1
27 / 106
IgMen
9
Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé 9.1
Lineární nerovnice
Lineární nerovnice je každá nerovnice ve tvaru: • • • •
axb≥0 axb≤0 axb0 axb0
Ekvivalentní úpravy: • přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice • vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem (záporný výraz obrací znaménko nerovnosti) Řešení lineárních nerovnic – interval.
Př.: 4u−3 4u−9 3u−4 ≤ ∣⋅30 5 6 2 6 4u−354u−9≤15 3u−4 24u−1820u−40≤45u−60 44u−58≤45u−60 newlie−3≤u P= −∞ ;−3 〉
2x−1 3x−3 1 − ≥ ∣⋅12 2 3 4 12 6 2x−1−43x−3≥ 4 12x−6−12x12≥3 6≥3 3≥0 P ∈R
5x2 3x4 x3 − ∣⋅14 7 14 2 2 5x2−3x47 x3 10x4−3x−47x21 7x7x21 021 nemá řešení
28 / 106
IgMen
Lineární nerovnice v součinovém tvaru: Př.: 2x7 ≥0 x3
3x24−5x ≤0 3x2≥0 4−5x≤0
3x2≤0 4−5x≥0
2x7≥0 x30
2x7≤0 x30
3x≥−2 4≤5x
3x≤−2 4≥5x
2x≥−7 x−3
2x≤−7 x−3
x≥−
2 3
x≤−
4 ≤x 5 P 1=
〈 4 ;∞ 5
2 3
7 2 x−3
4 ≥x 5
P=P 1∪P 2= −∞ ;−
x≤−
P 1=−3 ; ∞
〉 〉〈
P 2= −∞ ;−
7 2 x−3
x≥−
2 3
2 4 ∪ ;∞ 3 5
P 2= −∞ ;−
P=P 1∪P 2 = −∞ ;−
7 2
〉
〉
7 ∪−3 ; ∞ 2
2x2 3 x −1 2x2 −30 x−1 2x2−3 x−1 0 x−1 2x2−3x3 0 x−1 5− x 0 x−1 5−x 0 x−10
5−x 0 x−10
5x x1
5x x1
P 1=5 ; ∞
P 2=−∞ ;1
P=P 1∪P 2=−∞ ; 1∪5 ; ∞
29 / 106
IgMen
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: Př.: ∣5− x∣7
∣5− x∣
nulový bod:
−∞ ; 5 〉
〈 5 ; ∞
5− x
x−5
5−x7 −2x P 1=−2 ; 5 〉
x−57 x12 P 2= 〈 5 ; 12
5− x=0 5=x 0
P=P 1∪P 2 =−2 ;12
∣x2∣−x≥3−∣x−3∣
nulové bod:
x2=0 x 0=−2
x−3=0 x 0=3
−∞ ;−2 〉
〈−2 ; 3 〉
〈3 ;∞
∣x2∣
−x−2
x2
x2
∣x−3∣
3− x
3− x
x−3
−x−2−x≥3−3 x −2x−2≥x −2≥3x 2 − ≥x 3 P 1=−∞ ;−2 〉
x2− x≥3−3x 2≥x P 2= 〈−2 ; 2 〉
x2− x≥3− x3 2≥6−x x≥4 P 3= 〈 4 ; ∞
P=P 1∪P 2 ∪P 3=−∞ ; 2 〉∪ 〈 4 ;∞
30 / 106
IgMen
9.2
Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé
Př.: 4 x1−6 x−25 x1 3x−2 x−13 x2
2 x−2−3 x1≥3x−1 4 2− x2 x −15x3 7 x−4−2x≥3x−2
4x4−6x125x5 16−2x5x5 113x 11 P 1= −∞ ; 3
2x−4−3x−3≥3x−1 −x−7≥3x−1 −6≥4x 6 − ≥x 4 3 − ≥x 2 3 P1= −∞ ;− 2
3x−2x23x6 x 23x6 −42x −2x P 2=−2 ; ∞
P=P 1∩P 2= −2 ;
11 7
〉
8−4x2x−25x3 6−2x5x3 37x 3 x 7 3 P 2= −∞ ; 7
7x28−2x≥3x−2 5x28≥3x−2 2x≥−30 x≥−15 P 3=〈−15 ; ∞
3x−22x1 2x1≥7x−3 x3 P1=3 ; ∞
〈
4≥5x 4 ≥x 5
P 2= −∞ ;
P=P 1∩P 2∩ P3 = −15 ;− 4 5
3 2
〉
〉
P=P 1∩P 2=∅
31 / 106
IgMen
10
Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant Matice typu (m;n) je množina m⋅n čísel uspořádaných do obdelníkového tvaru o m řádcích a n sloupcích.
[
a11 a 12 a 13 ⋯ a1n A m ;n = a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m1 a m2 a m3 ⋯ a mn a mn ... prvek matice
]
Př.:
[
−1 3 2 A 3 ;4= 2 0 5 1 −1 4
4 3 7
]
a 23 =5 a 34 =7 a 11 =−1
matice typu (3;4)
10.1
Typy matic
[
Nulová matice každý její prvek je roven nule
0 0 0 m ; n= ⋮ 0
Čtvercová matice n-tého stupně má stejný počet řádků i sloupců
a 11 a 12 A n= a 21 a 22 ⋮ ⋮ a n1 a n2
⋯ a 1n ⋯ a 2n ⋱ ⋮ ⋯ a nn
Diagonální matice čtvercová matice, která má, kromě diagonály ( a n ), všechny prvky nulové.
a 11 0 A n= 0 a 22 ⋮ ⋮ 0 0
⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ a nn
Jednotková matice diagonální matice, kde všechny prvky diagonály jsou rovny 1.
1 A n= 0 ⋮ 0
0 0 ⋮ 0
0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0
[ [ [
0 1 ⋮ 0
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
32 / 106
0 0 ⋮ 1
]
] ]
] IgMen
Transportovaná matice k matici A m ;n - je matice AT typu (m;n) ↔ mění se řádky za sloupce a naopak. Př.:
[ ]
2 3 A= 2 −1 3 4 ⇒ AT = −1 2 3 2 1 −5 3 1 4 −5
[
]
10.2
Operace s maticemi
Rovnost matic: Matice A m;n =[ aij ] , B m ; n=[ bij ] jsou si rovny, jestliže a ij =b ij . Př.:
[ ] [ ]
A= B⇔ A= 1 3 , B= 1 3 5 2 5 2
Sčítání a odčítání matic: A± B=C ⇔a ij ±b ij =c ij Př.:
[ ] [ ] [ ][ [ ][
3 −1 −1 1 A= 1 5 , B= 2 −3 2 8 3 4
][ ] ][ ]
C= AB=
3−1 −11 3−1 1−1 2 0 12 5−3 = 12 5−3 = 3 2 23 84 1 12 23 84
C= A−B=
3−−1 −1−1 31 −1−1 4 −2 1−2 5−−3 = 1−2 53 = −1 8 2−3 8−4 −1 4 2−3 8−4
Násobení matic konstantou: Matice se násobí číslem k ∈R tak, že se tímto číslem vynásobí každý člen matice. Př.:
[
]
2 5 k =2, A= 3 −1 −2 1 2⋅2 2⋅5 = 6 4 10 k⋅A= 2⋅3 2⋅−1 2⋅−2 2⋅1 −2 −4 2
[
][
] 33 / 106
IgMen
Násobení matice maticí: Matici A m ;n můžeme násobit pouze maticí B n ; p , tj. matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců. Součinem takových dvou matic A⋅B je matice C m ; p . Př.:
[
]
4 1 0 A= 3 −1 2 , B= 2 2 5 2 3 −2 2 −1 4 c c c C= A⋅B= 11 12 13 c 21 c 22 c 23 c 11=3 ;−1 ; 2⋅4 ; 2 ; 2=3⋅4−1⋅22⋅2=12−24=14 c 12=3 ;−1 ; 2⋅1 ; 2 ;−1=3⋅1−1⋅22⋅−1=3−2−2=−1 c 13=3 ;−1 ; 2⋅0 ; 5 ; 4=3⋅0−1⋅52⋅4=0−58=3 c 21=2 ; 3 ;−2⋅4 ; 2 ; 2=2⋅43⋅2−2⋅2=86−4=10 c 22=2 ; 3 ;−2⋅1 ; 2 ;−1=2⋅13⋅2−2⋅−1=262=10 c 23=2 ; 3 ;−2⋅0 ; 5 ; 4=2⋅03⋅5−2⋅4=015−8=7
[
]
[
[
]
]
C= 14 −1 3 10 10 7
Násobení matic není obecně komutativní: A⋅B≠B⋅A
10.3
Hodnost matice
Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně závislých řádků matice A: A m ;n , h A≤m . Lineárně závislé řádky – jeden řádek je násobkem druhého. Hodnost matice se nezmění, při: • • • •
záměně pořadí řádků násobení řádku číslem různým od nuly přičtení nebo odečtení řádku k jinému řádku přidání nebo vynechání řádku, který je násobkem řádku jiného
Regulární a singulární matice: Čtvercová matice An se nazývá regulární, jestliže hodnost n-té matice je rovna m, jinak se nazývá singulární. Trojúhelníkový tvar matice: Říkáme, že matice má trojúhelníkový tvar, jestliže každý její nenulový řádek začíná větším počtem nul, než řádek předcházející. Má-li matice trojúhelníkový tvar, pak počet jejich nenulových řádků je roven hodnosti matice.
34 / 106
IgMen
[ [ [
Př.:
[
2 3 4 5 A= 0 1 2 3 0 0 3 1 h A=1
10.4
]
1 3 −2 4 ∣⋅−2 ∣⋅−3 A= 2 1 −1 5 3 1 2 −1
]
] ]
1 3 −2 4 A= 0 −5 3 −3 ∣⋅8 0 −8 8 −13 ∣⋅−3 1 3 −2 4 A= 0 −5 3 −3 0 0 −16 41 h A=1
Determinanty
[
a 11 a 12 a a Nechť je dána čtvercová matice A n= 21 22 ⋮ ⋮ a n1 a n2
⋯ a 1n ⋯ a 2n ⋱ ⋮ ⋯ a nn
]
.
Determinantem řádu n matice A nazýváme číslo D a značíme D=det A=∣A∣ , které definujeme takto: je-li n=1 pak D=a 11 je-li n=2 pak D=a 11⋅a 22−a 12⋅a 21 je-li n=3 pak se D vypočítá Sarrusovým pravidlem je-li n=4 pak se D vypočítá pomocí rozvoje podle libovolného řádku či sloupce Determinanty 1. řádu: Př.: [−5]=−5 Determinanty 2. řádu: Př.: 1 3 5 0
[ ] [ ]
[
2 =1⋅4−2⋅3=4−6=−2 4 2 =5⋅1−2⋅0=5−0=5 1 a −1 = a⋅ a−−1⋅a=aa=2a a a
]
35 / 106
IgMen
Determinanty 3. řádu:
[
]
a 11 a12 a 13 a 21 a 22 a 23 =a 11⋅a 22⋅a 33a 12⋅a 23⋅a 31 a 13⋅a 21⋅a 32−a 13⋅a 22⋅a 31−a 12⋅a 21⋅a 33 −a 11⋅a 23⋅a 32=D a 31 a32 a 33
Př.: 1 2 3 4 5 6 =1⋅5⋅92⋅6⋅73⋅4⋅8−3⋅5⋅7−2⋅4⋅9−1⋅6⋅8=458496−105−72−48=0 7 8 9
[ ]
Determinanty 4. řádu: hodnota determinantu se nezmění zaměněním řádků za sloupce jestliže v determinantu jeden řádek tvoří samé nuly, rovná se determinant nule jestliže se v determinantu zamění dva řádky, determinant změní znaménka jestliže má determinant dva řádky stejné, rovná se determinant nule je-li některý řádek determinantu násobkem řádku jiného, rovná se determinant nule násobí-li se některý řádek determinantu D reálným číslem různým od nuly, vznikne determinant D', pro který platí D ' =−D • přičte-li se k některému řádku determinantu násobek jiného řádku, determinant se nezmění • • • • • •
Př.:
[
]
1 1 −2 −1 2 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 2 −1 1 1 D= =−2⋅ −1 2 1 −1⋅ −1 2 1 1⋅ 2 −1 1 − −1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 1
[
[
] [
] [
]
]
1 1 −1 −0⋅ 2 −1 1 =−2⋅4−2−2−4−4−1−2224−21−12−4−2−2−2−0= −1 2 1 =−2⋅−9−99=18−18=0
36 / 106
IgMen
11
Kvadratické funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce ve tvaru y=ax 2 bxc ; a ,b , c ∈R ; a≠0 .
ax 2bxc .........kvadratický trojčlen 2 ax ......................kvadratický člen bx .......................lineární člen c .........................absolutní člen Graf kvadratické funkce..................parabola.
[
b b2 ; c− 2a 4a 2 Průsečíky paraboly s osou x........... ax bxc=0 Vrchol paraboly.............................. V = −
]
Vlastnosti funkce: y=x 2 .............základní parabola a0 ..............parabola otevřená nahoru a0 ..............parabola otevřená dolů c ....................průsečík paraboly s osou y
Př.: y=x 2 x 1,2=
V =[ 0 ; 0 ]
−b± b2−4ac 0± 0−4⋅1⋅0 0± 0 = = =0 2a 2⋅1 2
y=−x 22 x 1,2=
V =[ 0 ; 2 ]
−b± b2−4ac 0± 0−4⋅1⋅2 0± 8 = = = 2 2a 2⋅1 2 − 2
37 / 106
IgMen
2
Rovnice tvaru y= xr p : Vlastnosti funkce: Posun vrcholu paraboly ve směru osy y: p0 ..............nahoru p0 ..............dolů Posun vrcholu paraboly ve směru osy x: r 0 ...............doleva r 0 ...............doprava
Př.: y=−x 2−6x−8 y=−x 2−6x−8=− x 26x8= =− x 26x9−9 −8= 2 =− x 6x9 9−8= =− x321 V =[−3 ; 1 ]
38 / 106
IgMen
12
Kvadratická rovnice – metody řešení Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar: ax 2bxc=0 ; a≠0 ; a , b , c∈ R .
ax 2bxc .........kvadratický trojčlen ax 2 ......................kvadratický člen bx .......................lineární člen c .........................absolutní člen Neúplné kvadratické rovnice: ryze kvadratická rovnice b=0 ax 2c=0
řešení ax 2c=0 ax 2=−c c x 2 =− a c x=± − a
Př.: 4x 2−25=0 4x 2=25 25 x 2= 4 25 x=± 4 5 x=± 2
4 ∣⋅ x−2 x−2 4 x−2 3x x−2=1 x−2 x−2 2 3x−6x −2x=x−24 x 2x−6=x2 x 2−x−6−x−2=0 2 x −8=0 x 2=8 x=± 8 x=±2 2 3x=1
kvadratická rovnice bez absolutního členu c=0 2 ax bx=0
řešení ax 2bx=0 x ax b=0 x 1=0
39 / 106
ax 2b=0 ax 2 =−b b x 2=− a
IgMen
Př.: 4x 2−9x=0 x 4x−9=0 x 1=0
4x 2−9=0 4x 2=9 9 x 2= 4
3x5 4x−5 = ∣⋅ 4x−33x3 4x−3 3x3 3x54x−33x3 4x−5 4x−33x3 = 4x−3 3x3 3x53x3=4x−54x−3 2 9x 9x15x15=16x 2−12x−20x15 9x 224x15=16x2 −32x15 9x 224x15−16x 232x−15=0 −7x 256x=0 ∣⋅−1 7x 2−56x=0 x 7x−56=0 x 1=0
7x 2−56=0 7x 2=56 56 x2 = 7 x 2=8
podmínky pro zlomky: 4x−3≠0 3x3≠0 4x≠3 3x≠−3 3 x≠ x≠−1 4
Úplná kvadratická rovnice: a ,b , c≠0 2 ax bxc=0
Metody řešení: 1. ax 2bxc=0 −b± b2−4ac −2± D x 1,2= = 2a 2a D=b2−4ac .............diskriminant D0 .........2 řešení (kořeny) D=0 .........1 řešení (dvojnásobný kořen) D0 .........2 řešení (komplexně sdružená čísla)
40 / 106
IgMen
2.
x 2 pxq=0 .........normalizovaný tvar a=1 x 1⋅x 2=q x 1 x 2=− p Rovnice nemá normalizovaný tvar: ax 2 bxc=0 ∣ : a b c 2 x x =0 a a x 1⋅x 2=
c a
x 1 x 2=−
3.
b a
grafická metoda ax 2bxc=0 ax 2 =−bx−c y=ax 2 y=−bx −c
Př.: 2x 23x1=0
1.
2x 23x1=0 −3−1 4 =− =−1 −3± 32 −4⋅2⋅1 −3± 9−8 −3± 1 −3±1 4 4 x 1,2= = = = = 2⋅2 4 4 4 −31 2 1 =− =− 4 4 2
2.
2x 23x1=0∣: 2 3 1 x 2 x =0 2 2
1 2 1 1 x 1⋅x 2= = − ⋅ − =−1⋅ − 2 2 2 2 3 −2−1 2 1 1 x 1 x 2=− = = − − =−1 − 2 2 2 2 2
41 / 106
IgMen
2x 23x1=0 2 2x =−3x−1 2 y=2x y =−3x−1
3.
x 1=−1 1 x 2=− 2
12.1
Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou
Př.: ∣x 2 2x−1∣− x−1=0 nulové body:
x 20=2x 0−1=0 −2± 2 −4⋅1⋅−1 −2± 44 −2±sqrt8 −2±2 sqrt2 2 −1±sqrt2 = = = = = 2⋅1 2 2 2 2 =−1± 2=−1− 2 −1 2 2
x 01,2=
−∞ ;−1− 2 〉 2
∣x 2 2x−1∣
〈−1− 2 ;−1 2 〉 2
〈−1 2 ; ∞ 2
x 2x−1
−x −2x1
x 2x−1
x 22x−1− x−1=0 2 x x −2=0
−x 2−2x1−x−1=0 2 −x −3x=0 x −x−3=0
x 22x−1− x−1=0 2 x x −2=0
−1± 18 2 −1± 9 x1,2 = 2 −1±3 x1,2 = 2 −13 =1 2 x 1,2= −1−3 =−2 2 x 1,2=
vyhovující kořeny (podle intervalů)
P 1=∅
x1 =0
−x 2 −3=0 −3= x 2
P 2={0}
−1± 18 2 −1± 9 x1,2 = 2 −1±3 x1,2 = 2 −13 =1 2 x 1,2= −1−3 =−2 2 x 1,2=
P 3={1}
P=P 1∪P 2∪ P3 ={0 ; 1 }
42 / 106
IgMen
13
Kvadratické nerovnice
Metody řešení 1. 2.
početně graficky
Př.: početně
x 2−2x−15≥0 x 1⋅x 2=−15=3⋅−5 x 1 x 2=2=3−5 x 2−2x−15= x−5 x3
x−5 x3≥0 x−5≥0 x−5≤0 x3≥0 x3≤0 x≥5 x≥−3
x≤5 x≤−3
P 1=〈−5 ; ∞
P 2 =−∞ ;−3 〉
P=P 1∪P 2= −∞ ;−3 〉∪ 〈−5 ; ∞
graficky 2
x −2x−15≥0 28 =5 2± 460 2± 64 2±8 2 x 1,2= = = = 2 2 2 2−8 =−3 2 a0 ..........parabola otevřená nahoru P=P 1∪P 2= −∞ ;−3 〉∪ 〈−5 ; ∞
43 / 106
IgMen
13.1
Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou
Př.: ∣x 2 −2x−3∣x1 nulové body:
x 20−2x 0−3=0
24 =3 2± −22−4⋅1⋅−3 2± 412 2± 16 2±4 2 x 01,2= = = = = 2⋅1 2 2 2 2−4 =−1 2
−∞ ;−1 〉
∣x
2
−2x−3∣
2
〈−1 ; 3 〉 2
x −2x−3
−x 2x3
x 2−2x−3 x1 x 2−2x−x−3−10 x 2−3x−40
−x 2x3x1 2 −x 2x3−x−10 −x 2 x20∣⋅−1 x 2−x−20
3± 916 = 2 3± 25 3±5 = = = 2 2 35 =4 = 2 3−5 =−1 2 x1,2 =
2
1± 18 = 2 1± 9 1±3 = = = 2 2 13 =2 = 2 1−3 =−1 2 x1,2 =
〈3 ; ∞ 2
x −2x−3
x 2−2x−3 x1 x 2−2x−x−3−10 x 2−3x−40 3± 916 = 2 3± 25 3±5 = = = 2 2 35 =4 = 2 3−5 =−1 2 x1,2 =
vyhovující kořeny (podle intervalů)
P 1=−∞ ;−1 〉∩ −1 ; ∞ P1 =∅
P 2=〈−1 ; 3 〉∩ ∩ −∞ ;−1 ∪ 2 ; ∞ P 2= 2 ; 3 〉
P 3=〈 3 ; ∞ ∩ −1 ; 4 P 3= 〈 3 ; 4
P=P 1∪P 2∪ P3 = 2 ; 4
44 / 106
IgMen
14
Iracionální rovnice Rovnice s neznámou pod odmocninou.
Postup řešení: • podmínky • řešení (zbavení se odmocniny) • zkouška Př.:
2 x−3=3− x podmínky: 2 x−3≥0 2x−6≥0 2x≥6 x≥3 řešení: 2 x−3=3− x ∣2 2
2 x−3 =3− x2 2 x−3=9−6x x 2 2 2x−6=9−6x x 2 0=x −8x15 82 =5 8± 82−4⋅1⋅15 8± 64−60 8± 4 8±2 2 x 1,2= = = = = 2⋅1 2 2 2 8−2 =3 2 oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: 2 x−3=3− x 2 3−3=3−3 0=0
2 x−3=3− x 2 5−3=3−5 4=−2
2≠−2 zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={3}
45 / 106
IgMen
2x5 x−1=8 podmínky: 2x5≥0 2x≥−5 5 x≥− 2
x−1≥0 x≥1
řešení: 2x5 x−1=8 ∣2 2x52 2x5 x −1 x−1=64 3x42 2x5 x−1=64 2 2x5 x−1=60−3x ∣2 4 2x5 x−1=3600−360x9x2 4 2x 2−2x5x−5 =3600−360x9x2 4 2x 23x−5 =3600−360x9x 2 8x 212x−20=3600−360x9x2 0=9x 2−8x 2−360x−12x360020 0=x 2−372x3620 372± 3722−4⋅1⋅3620 372± 138384−14480 372± 123904 372±352 x 1,2= = = = = 2⋅1 2 2 2 372352 =362 2 = 372−352 =10 2 oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: 2x5 x−1=8 2x5 x−1=8 2⋅3625 362−1=8 2⋅105 10−1=8 7245 361=8 205 9=8 72919=8 253=8 2719=8 53=8 46≠8 8=8 zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={10}
46 / 106
IgMen
4x 2− 8x5=2x1 řešení: ∣2 4x2 2− 8x5=2x1 4x − 8x5=4x 24x1 4x 2−4x 2−4x−1= 8x5 −4x−1= 8x5 ∣2 16x 28x1=8x5 16x 28x−8x1−5=0 16x 2−4=0 16x 2=4 4 x 2= 16 4 x=± 16 2 x=± 4 1 x=± 2
zkouška:
4x 2 −8x5=2x1
2
1 1 1 4⋅ − − 8⋅ − 5=2⋅ − 1 2 2 2
1 8 2 4⋅ − − 5=− 1 4 2 2 4 −−45=−11 4 1− 1=0 1−1=0 0=0 0=0 zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek
4x 2− 8x5=2x1
2
1 1 1 4⋅ − 8⋅ 5=2⋅ 1 2 2 2
1 8 2 4⋅ − 5= 1 4 2 2 4 − 45=11 4 1− 9=2 1−3=2 −2=2 nemá řešení
{ 12 }
P= −
47 / 106
IgMen
15
Shodná zobrazení – konstrukční úlohy Shodné zobrazení (shodnost) je každé zobrazení v rovině, které má tu vlastnost, že pro libovolné body A, B této roviny a jejich obrazy A', B' platí, že ∣AB∣=∣A' B '∣ .
Samodružný bod...........bod, který se zobrazí sám do sebe A= A' Samodružný útvar........každý útvar, jehož obraz v daném zobrazení je týž útvar Př.:
Klasifikace shodností: Identita
Zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám na sebe.
Středová souměrnost
Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X se pomocí daného bodu S (střed), ležícího v této rovině zobrazí na svůj obraz X’ takto: X =S ⇒ X =S = X ' 1. X ≠S ⇒ X je koncový bod úsečky XX', kde bod S je jejím střědem 2.
48 / 106
IgMen
Osová souměrnost
Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X je pomocí dané přímky o (osa) ležící v této rovině zobrazen na svůj obraz X’ takto: X ∈o X = X ' 1. X ∉o X ' je koncový bod úsečky XX’, jejíž osou je přímka o 2.
Posunutí (translace)
Je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému X přiřadí X’ takové, že orientované úsečky XX’ a AB mají stejnou délku i směr (jsou souhlasně orientovány).
Otočení (rotace)
Otočení je shodné zobrazení, které přiřazuje každému X ≠S bodu bod X’ takový, že velikost ∣XS∣=∣X ' S∣ a orientovaný úhel XSX’ má velikost .
49 / 106
IgMen
15.1
Shodnost trojúhelníku ABC ≃ A' B ' C '
věta sss ∣AB∣=∣A' B '∣ ∣BC∣=∣B ' C '∣ ∣AC∣=∣A' C '∣
věta sus ∣AB∣=∣A' B '∣ ∣AC∣=∣A ' C '∣ ∢BAC ≃∢ B ' A' C '
věta usu ∣AB∣=∣A' B '∣ ∢ BAC≃∢B ' A' C ' ∢ ABC ≃∢ A' B ' C '
věta Ssu ∣AB∣=∣A' B '∣ ∣BC∣=∣B' C '∣ ∣BC∣∣AC∣ ∢BAC ≃∢ B ' A' C '
Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují věta sss ve všech třech stranách
věta sus ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném
věta usu ve straně a v úhlech k ní přilehlých
věta Ssu ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich
Konstrukční úlohy: 1. 2. 3.
rozbor popis konstrukce konstrukce
50 / 106
IgMen
16
Podobná zobrazení – konstrukční úlohy Podobností nazýváme každé zobrazení v rovině takové, že existuje reálné číslo k 0 tak, že pro libovolné body A, B dané roviny a jejich obrazy B', A' platí ∣A' B'∣=k⋅∣AB∣ .
k ...............poměr podobnosti k =1 ..........shodné zobrazení ∣A' B'∣=∣AB∣ Dva geometrické útvary jsou podobné právě tehdy, když existuje podobné zobrazení, v němž jeden útvar je obrazem druhého.
16.1
Podobnost trojúhelníku
ABC ~ A' B ' C '
věta sss ∣AB∣=k⋅∣A' B'∣ ∣BC∣=k⋅∣B ' C '∣ ∣AC∣=k⋅∣A' C '∣
věta sus ∣AB∣=k⋅∣A' B '∣ ∣AC∣=k⋅∣A ' C '∣ ∢BAC ≃∢ B ' A' C '
věta uu ∢ BAC≃∢B ' A' C ' ∢ ABC ≃∢ A' B ' C '
Dva trojúhelníky jsou podobné právě tehdy, když se shodují věta sss ve všech poměrech velikostí sobě odpovídajících stran
věta sus v jednom úhlu a v poměru velikostí sobě odpovídajících stran ležících na jeho ramenech
věta uu ve dvou úhlech
Př.: Je dán trojúhelník ACB
8 7 a= cm ; b= cm ; =55 ° 3 3
7 a '=4 cm ; b ' = cm ; '=55 ° 2
Příklad se řeší podle věty sus. ≃' a' 4 3 12 3 k a = = =4⋅ = = a 8 8 8 2 3 7 b' 2 7 3 3 k b= = = ⋅ = b 7 2 7 2 3 k a =k b
a trojúhelník A'B'C'
. Jsou tyto dva trojúhelníky podobné?
Trojúhelníky jsou podobné.
51 / 106
IgMen
Je dán trojúhelník ABC a=162,5 m ; b=117,5 m ; c=180 m a trojúhelník A'B'C' a ' =6,5 mm ; b '=4,7 mm ; c ' =7,2 mm . Jsou tyto dva trojúhelníky podobné? Příklad se řeší podle věty sss. a ' 162500 k a= = =25000 a 6,5 b ' 117500 k b= = =25000 b 4,7 c ' 180000 k c= = =25000 c 7,2 k a =k b=k c
16.2
Trojúhelníky jsou podobné.
Stejnolehlost
Je dán bod S a reálné číslo ≠0 . Stejnolehlost se středem S a koeficientem je zobrazení, které přiřazuje: X ≠S ⇒ X ' tak, že ∣S , X ' ∣=∣∣⋅∣SX ∣ 0 ⇒ X ' leží na polopřímce SX 0 ⇒ X ' leží na polopřímce opačné k polopřímce SX S= X ⇒ X '= X =S
1. 2.
Př.: H S ; =2: X X '
H S ; =−
1 : AB A ' B ' 2
52 / 106
IgMen
17
Pythagorova a Eukleidovy věty – konstrukční úlohy Platí pouze u pravoúhlého trojúhelníku.
a, b............odvěsny c.................přepona ca, cb...........úseky přepony
17.1
Eukleidova věta o výšce Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony. vc ca = cb vc c 2c =ca⋅c b
53 / 106
IgMen
17.2
Eukleidova věta o odvěsně
Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.
c b c a = ⋮ = b cb a ca b 2=c⋅c b ⋮ a 2 =c⋅c a
54 / 106
IgMen
17.3
Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. c a c b=c a 2=c⋅c a b 2=c⋅c b a 2b2=c⋅c ac⋅cb a 2b2=c c ac b c
a 2b2=c 2
55 / 106
IgMen
18
Obvody a obsahy rovinných obrazců
o ......obvod S ......obsah u ......úhlopříčka
v ......výška p .....střední příčka r ......poloměr kružnice opsané
trojúhelník různostranný
o=abc
s=
o 2
av a bv b cv c = = 2 2 2 S= s s−a s−b s−c ab bc ac S= ⋅sin = ⋅sin = ⋅sin 2 2 2 S=
trojúhelník rovnoramenný
o=2ac
S=
cv c 2
......poloměr kružnice vepsané Or ....střed kružnice opsané O . . .střed kružnice vepsané
trojúhelník pravoúhlý
o=abc ab S= 2
trojúhelník rovnostranný
o=3a
56 / 106
S=
av a 2 v2 = 3= 3 2 4 3 IgMen
čtverec
o=4a
obdélník
S =a 2=
o=2 ab
2
u 2
kosočtverec
o=4a
kosodélník
S =av =a 2⋅sin =
u 1 u2 2
o=2 ab lichoběžník
o=abcd
S=ab
S =av a =bv b=ab⋅sin
lichoběžník rovnoramenný
S=
ac ⋅v 2
o=a2bc
57 / 106
S=
ac⋅v 2
IgMen
lichoběžník pravoúhlý
o=abcd
S=
různoběžník, Deltoid
ac⋅v ac⋅d = 2 2 různoběžník: o=abcd
S=
Deltoid: o=2 ab kružnice
S=
u⋅v 1v 2 2
u 1u 2 2
mezikruží
o=2 ⋅r 2
S=⋅r =
kruhová výseč
⋅d 4
S=⋅r 1r 2 r 1−r 2
2
pravidelný pětiúhelník
S=
o=5a
r2 ⋅ 360
5 S= a 2
58 / 106
IgMen
pravidelný šestiúhelník
o=6a
S=
3r 2 ⋅ 3 2
pravidelný osmiúhelník
o=8a
S =4a
pravidelný n-úhelník
o=na
S=
o 2
59 / 106
IgMen
19 Polohové a metrické vztahy základních geometrických útvarů v prostoru 19.1
Stereometrie Část geometrie, která se zabývá studiem geometrických útvarů v prostoru.
Základní geometrické útvary:
Přímka je určena dvěma různými body. Rovina je určena třemi různými body neležícími v jedné přímce. Libovolná rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a je jejich hraniční rovinou. Tělesa: krychle
kvádr
pravidelný n-boký hranol Hranol s podstavou pravidelného n-úhelníku (např. kvádr s podstavou čtverce nebo hranol s podstavou pravidelného osmiúhelníku). kvádr s podstavou čtverce
rotační válec
čtyřstěn
60 / 106
IgMen
jehlan
rotační kužel
komolý jehlan
19.2
komolý kužel
koule
Polohové vztahy
Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami: ⊂ , ∈ ........je incidentní (leží na) ⊄ , ∉ ........není incidentní (neleží na) A∉ p ; q ; r A⊄ B∈ p B∉q ; r B⊄
C∉ p; q; r C⊂ p ; r ⊄ q⊂
Přímka leží v rovině, leží-li v rovině alespoň dva její body.
61 / 106
IgMen
Př.: Urči spodní rovinu krychle. Pomocí bodů: ABC; BCD; CDA; DAB; ABD; BCA; CDB; DAC Pomocí přímek: AB, CD; BC, DA; AB, BC; BC, CD; CD, DA; DA, AB; AB, BD; AB, AC; BC, CA; BC, BD; CD, CA; CD, DB; DA, AC; DA, BD Pomocí přímky a bodu: AB, C; AB, D; BC, D; BC, A; CD, A; CD, B; DA, B; DA, C; AC, B; AC, D; BD, A; BD, C
Vzájemná poloha dvou přímek: Rovnoběžné • různé (AB, GH) • splývající (totožné; AB, BA) Různoběžné (CG, GH) Mimoběžné – neleží v jedné rovině a nemají žádný společný bod (AB, CG). Příčka mimoběžek – přímka, která obě mimoběžky protíná a je na ně kolmá (BC).
Př.:
různoběžné (společná rovina EFG)
mimoběžné
různoběžné (společná rovina BCE)
62 / 106
IgMen
rovnoběžné (společná rovina BGX)
mimoběžné
Vzájemná poloha dvou rovin: O dvou různých rovinách, které mají společnou přímku říkáme, že jsou různoběžné a tato přímka je jejich průsečnice. Nemají-li dvě roviny žádný společný bod, nazýváme je rovnoběžné. Mají-li roviny všechny body společné, nazýváme je splývající (totožné). = ABF ; = ABG ; =CDG X ⊂ p ; S ⊂ ; M ⊂ AB ... průsečík rovin a GH ... průsečnice a ∥ ... rovnoběžné vrstva ... průnik v poloprostoru a šířka (tloušťka) vrstvy ... vzdálenost hraničních rovin a ∣BC∣ klín ... průnik poloprostoru a hrana klínu ... průsečnice hraničních rovin a AB
Vzájemná poloha přímky a roviny: Rovnoběžné • různé EX , – nemají žádný společný bod • splývající (totožné; AB , ) – mají všechny body společné Různoběžné EX , – mají společný jediný bod (průsečík; X)
63 / 106
IgMen
Př.: Urči všechny přímky, které procházejí bodem H a jsou s rovinou ABC: a) rovnoběžné různé b) různoběžné a) HE, HF, HG b) HA, HB, HC, HD
Vzájemná poloha tří rovin:
rovnoběžné
2 rovnoběžné, třetí různoběžná
různoběžné (1 průsečnice)
různoběžné (3 průsečnice)
různoběžné (1 bod)
Rovnoběžnost přímky a roviny: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku.
Kritérium rovnoběžnost přímky a roviny:
p'⊂p Přímka p je rovnoběžná s rovinou , obsahuje-li rovina alespoň jednu přímku p’, která je s přímkou p rovnoběžná. Je-li přímka rovnoběžná se dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.
64 / 106
IgMen
Rovnoběžnost dvou rovin: Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin: p , r ⊂ ; p ' , r ' ⊂ Dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě různoběžné přímky, které jsou rovnoběžné s druhou rovinou.
Daným bodem lze k dané rovině vést jedinou rovinu s ní rovnoběžnou.
19.3
Řezy Řez je průnik tělesa a roviny. Řez je rovinný útvar, jehož hranice tvoří průsečnice roviny řezu a stěn tělesa.
Vlastnosti používané při konstrukci řezů:
M , N ⊂ABE Leží-li dva různé body řezu v rovině stěny tělesa, leží v této stěně i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu.
ABE∥CDG ; BCF∥ADE ; MN∥M ' N ' ; MM '∥NN ' Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s těmito stěnami rovnoběžné.
65 / 106
IgMen
Průsečnice rovin dvou sousedních stěn s rovinou řezu a přímka v níž leží společná hrana dvou stěn se protínají v jediném bodě.
Př.: Sestroj řez ABX.
Sestroj řez BEM.
Sestroj řez MNO.
66 / 106
IgMen
19.4
Průsečnice rovin
Př.: Sestroj průsečnici p rovin AFH a ACE.
19.5
Sestroj průsečnici p rovin ABC a AMN.
Metrické vztahy
Odchylka dvou přímek: Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost každého z ostrých úhlů nebo pravých úhlů, které přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°. Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru, rovnoběžně s danými mimoběžkami. Př.: a) odchylka AH a AE je 45° b) odchylka AH a AC je 60° c) odchylka AH a CF DE∥CF je 90° d) odchylka CF a AC je 60
67 / 106
IgMen
Kolmost přímek a rovin: Dvě přímky jsou na sebe kolmé právě když je jejich odchylka 90°. Přímka a rovina jsou k sobě kolmé právě když je přímka kolmá ke dvěma přímkám roviny. Kritérium kolmosti přímky a roviny: Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny, pak je kolmá k rovině. Kolmost dvou rovin: Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Odchylka dvou rovin: Odchylka dvou rovin je odchylka průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Př.: Urči odchylku rovin ABC a BCV ∣AB∣=5 ;∣BC∣=5 ;∣AV∣=7 X je polovina AD. Y je polovina BC. Vhodná kolmá rovina pro proložení je XYV. Průsečnice rovin ABC a XYV je XY a rovin BCV a XYV je YV. ∣XY ∣=∣AB∣=∣BV∣=5 Pomocí Pythagorovy věty se vypočítá délka YV:
2
∣BC∣ ∣YV∣= ∣BV∣ − = 49−6,25=6,54 2 Pomocí kosinusovy věty se vypočítá velikost úhlu : ∣XY∣ 5 2 2 cos = = =0,3823 ∣YV∣ 6,54 2
(Výsledky byly zaokrouhleny. Přesný výsledek je 67° 31' 12,3''.) Odchylka přímky a roviny: Odchylka přímky a roviny je nejmenší z odchylek přímky a libovolné přímky roviny. Př.: Urči odchylku přímky BH a roviny ABC ∣AB∣=∣BC∣=∣AE∣=a . Vhodná kolmá rovina pro proložení je BDH. Průsečnice rovin ABC a BDH je přímka BD. Odchylka přímky BH a roviny ABC je rovna odchylce přímky BH a průsečnice BD. Pomocí Pythagorovy věty se spočítá délka BD: ∣BD∣= a 2b 2= 2a 2=a 2 Pomocí tangentovy věty se spočítá úhel : a a 1 ta = = = ⇒ =35° 15' 51,8 ' ' ∣BD∣ a 2 2
68 / 106
IgMen
20
Povrchy a objemy těles
S ......povrch V ......objem S p ....obsah podstavy S pl ...obsah pláště
u ......úhlopříčka stěny tělesa u t .....úhlopříčka tělesa v ......výška tělesa
kvádr – podstava obdélník
w .....výška stěny tělesa h ......boční hrana s ......strana (válce nebo kužele)
kvádr – podstava čtverec
S=2abbcca
S=2a av
V =abc
V =a 2⋅v
krychle
kolmý hranol
S=6a 2 V =a 3
S=2S pS pl rotační válec
čtyřstěn
S=2⋅ r 2⋅r v =d V =r 2⋅v=
V =S p⋅v
d2 ⋅v 4
d v 2
S p ... ABC S pl ... ABV BCV CAV S ⋅v S=S pS pl V = p 3
s=v
69 / 106
IgMen
jehlan – podstava čtverec
S=a 22aw
V=
jehlan – podstava obdélník
a 2⋅v 3 S=abaw1bw 2
rotační kužel
S= r rs = V=
V=
abv 3
komolý jehlan – podstava čtverec
d d ⋅ s 2 2
r 2⋅v 2 = d ⋅v=12 3
s= r v 2
2 2
2
v 2 a a a a2 3 1 1 2 2 S pl =2w a 1a 2
S=a1 a 22w a1 a 2
S p1=a12
S p2=a 22
V=
rotační komolý kužel, komolý jehlan v S=S p1S p2 S pl V = S p1 S p1⋅S p2S p2 3 komolý kužel
S= r 21 r 22 r 1r 2 s v 2 2 V = ⋅ r 1r 1 r 2r 2 3
koule
S=4 r 2= d 2 4 d3 3 V = ⋅r = 3 6
70 / 106
IgMen
21 21.1
Goniometrické funkce Orientovaný úhel
Kladný úhel – otáčí se proti směru hodinových ručiček.
Záporný úhel – otáčí se po směru hodinových ručiček.
Základní úhel je vždy kladný úhel nabývající hodnot 〈 0 ° ; 360° 〉 stupňová míra (°).............. =k⋅360 ° ; ∈ 〈 0 ° ; 360° 〉 , k ∈ Z oblouková míra (rad)........ =k⋅2⋅; ∈ 〈 0 ; 2 〉 , k ∈Z
Př.: =198° ; k =4 ; =?
=3832°
=k⋅360° =198 °4⋅360° =1638 °
k=
3832 ° =10,644 ⇒ k=10 360 °
=k⋅360° 3832 °=10⋅360 ° 3832 °−3600 ° = 232 ° =
71 / 106
IgMen
21.2
Definice goniometrických funkcí y sin = = y 1 x cos = = x 1 y sin tg = = x cos x cos cotg = = y sin
Funkce sinus libovolného úhlu je y souřadnice průsečíku koncového ramene úhlu s jednotkovou kružnicí. Funkce kosinus libovolného úhlu je x souřadnice průsečíku koncového ramene úhlu s jednotkovou kružnicí. Funkce tangens libovolného úhlu se nazývá funkce daná vztahem tg =
sin . cos
Funkce kotangens libovolného úhlu se nazývá funkce daná vztahem cotg = I
sin cos tg cotg
0; 2 0° ; 90 ° + + + +
II ; 2 90° ; 180 ° + -
72 / 106
III 3 ; 2 180 ° ; 270 ° + +
cos . sin
IV 3 ; 2 2 270 ° ; 360 ° + -
IgMen
21.3
Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů pomocí úhlu ostrého
ostrý úhel................. ∈0 ° ; 90 ° základní úhel........... =0 ° ; 360° II. kvadrant =180 ° −
I. kvadrant =
sin =sin cos =−cos tg =−tg cotg =−cotg
sin =sin cos =cos tg =tg cotg =cotg
III. kvadrant =−180 °
IV. kvadrant =360 °−
sin =−sin cos =−cos tg =tg cotg =cotg 0 ° ...0
sin =−sin cos =cos tg =−tg cotg =−cotg 30 ° ...
6
45 ° ...
4
60 ° ...
3
90 ° ...
1 2
2
3
2
2
1
3
2
2
2
1 2
0
tg
0
3
1
3
-
cotg
-
3
1
3
0
sin
0
cos
3
3
2
1
Př.: 3 sin 120 °=sin 60 ° = 2 II. kvadrant
7 1 3 tg =tg = 6 6 3 III. kvadrant
2 sin −1935 ° =sin−135° =sin 45 °= 2 I. kvadrant
2 cos 135 °=−cos 45 °=− 2 II. kvadrant
tg 300 ° =−tg 45 °=− 3 IV. kvadrant
cotg 135 °=−cotg 45 °=−1 II. kvadrant
73 / 106
IgMen
21.4
Určení goniometrických funkcí libovolného orientovaného úhlu
libovolný orientovaný úhel......... základní úhel.............................. ostrý úhel.................................... sin =sin k⋅360 °⇒sin cos =cos k⋅360° ⇒ cos tg =tg k⋅360° ⇒ tg cotg =cotg k⋅360 ° ⇒ cotg
Př.:
27 3 3 1 2 =sin 3⋅2 =sin =sin = 2 4 4 4 2 17 1 1 cotg =cotg 4⋅2 =cotg =0 2 2 2 cos 1620 ° =cos 4⋅360 °180 ° =cos 180°=1 sin
2 sin −1485 ° =sin 4⋅−360° −45 ° =sin−45 ° =− 2 3 tg 870 ° =tg 2⋅360 °150 ° =tg 150 ° =−tg 30 °=− 3 3 cos 330 ° =cos 30 ° = 2 cotg −1650° =cotg 4⋅−360 ° −210 ° =cotg −210° =−cotg 30 °=− 3 47 5 5 3 cotg =cotg 7⋅2 =cotg =−cotg =− 3 3 3 3 3
sin 135°⋅cos 45° −cos 225 °⋅sin 315 °−3=sin 45 °⋅cos 45 ° −−cos 45° −sin 45 ° −3= 2 2 2 − 2 −3= 4 − 4 −3=−3 = ⋅ − − 2 2 2 2 4 4
74 / 106
IgMen
21.5
Grafy goniometrických funkcí
funkce sin x
funkce cos x
funkce tg x
75 / 106
IgMen
funkce cotg x
21.6
Vlastnosti goniometrických funkcí y=cos x
y=sin x D f Hf sudost, lichost periodičnost omezenost rostoucí klesající max. v bodě min. v bodě nulové body
{
R 〈−1 ; 1〉 lichá sudá T =2 ... periodická omezená rostoucí ... k ∈ Z rostoucí ... k ∈Z
〈
3 − k2 ; k2 2 2
〉
klesající ... k ∈Z
〈
3 k2 ; k2 2 2
〉
y=1 x= k2 2 y=−1 x=− k2 2 y =0 x=0k
y=tg x R− k 2
〈 k2 ; 2 k2 〉
klesající ... k ∈Z
y=cotg x
}
R− { k }
R lichá T = ... periodická neomezená rostoucí
klesající
〈 0k2 ; k2 〉
y=1 x=0k2 neexistuje y=−1 x=k2 y=0 x= k 2
76 / 106
x=k
x= k 2
IgMen
Definiční obor D(f) ... množina všech x, pro které má daná funkce smysl. Obor hodnot H(f) ... množina všech y, pro které má daná funkce smysl. Sudá funkce ... graf funkce je souměrný podle osy y. f x = f −x ; x ∈D f Lichá funkce ... graf funkce je souměrný podle počátku. f x =− f −x ; x ∈D f
21.7
Harmonická funkce
y=±a⋅sin ±bx±c±d
± ...................zrcadlí graf kolem osy x a ....................ovlivňuje amplitudu ± ...................zrcadlí graf kolem osy y b ....................ovlivňuje periodu ±bx±c ..........posun grafu po ose x (posun se zjistí porovnáním závorky s 0) ±d .................posun grafu po ose y
Př.: y=cos 2x2
77 / 106
IgMen
22
Řešení pravoúhlého trojúhelníku a ,b ...........odvěsny c ................přepona c a , cb .........úseky přepony Při řešení pravoúhlého trojúhelníku se využívá Pythagorova věta, Eukleidovy věty, goniometrická jednička a goniometrické funkce ostrého úhlu (viz téma 17, 21 a 23).
Pythagorova věta............................ Eukleidova věta o výšce.................. Eukleidova věta o odvěsně.............. Goniometrická jednička..................
c 2=a 2b 2 v 2c =c a⋅c b a 2=c⋅c a ;b 2=c⋅c b sin 2 xcos2 x=1
Goniometrické funkce ostrého úhlu vyplývající z pravoúhlého trojúhelníka: a b a b sin = ; cos = ; tg = ; cotg = c c b a b a b a sin = ; cos = ; tg = ; cotg = c c a b Obecné vztahy pro úhlu v pravoúhlém trojúhelníku: =90° =90 ° =180 °
Př.: Jaké jsou délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů v pravoúhlém trojúhelníku, je-li dáno: c=12 cm ; =72° 50 ' =90° =90 ° ⇒ =90° −=90 ° −72 ° 50' =17° 10 ' a sin = ⇒ a=c⋅sin =12⋅sin 72 ° 50 ' =11,47 cm c 2 2 a b =c 2 ⇒b= c 2−a 2= 122−11,47 2= 144−131,56=12,44=3,53 cm
Silnice stoupá rovnoměrně o 12 m na 1 km. Jaký je úhel jejího stoupání? a 12 m sin = = =0,012 ⇒ =0 ° 41 ' 15 ' ' c 1000 m
78 / 106
IgMen
23
Úpravy výrazů s goniometrickou funkcí užitím vzorců
Goniometrická jednička: sin 2 xcos2 x=1 Základní vzorce: sin x 1 tg x= = cos x cotg x cos x 1 cotg x= = sin x tg x Součtové vzorce: sin x y=sin x⋅cos ysin y⋅cos x sin x− y=sin x⋅cos y−sin y⋅cos x cos x y =cos x⋅cos y−sin y⋅sin x cos x− y =cos x⋅cos ysin y⋅sin x Vzorce pro dvojnásobný a poloviční úhel: sin 2x=2sin x⋅cos x cos 2x=cos2 x – sin 2 x x 1−cos x sin = 2 2 x 1cos x cos = 2 2
∣ ∣ ∣ ∣
Vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí: x y x− y sin xsin y=2 sin ⋅cos 2 2 x y x− y sin x – sin y=2 cos ⋅sin 2 2 x y x− y cos xcos y=2 cos ⋅cos 2 2 x y x−y cos x−cos y=−2 sin ⋅sin 2 2
79 / 106
IgMen
Př.:
4 3 Jakou hodnotu mají ostatní goniometrické funkce, je-li dáno: cos x= ; x ∈ ; 2 5 2 3 x ∈ ; 2 ⇒ IV. kvadrant 2
sin 2 xcos2 x=1 ⇒sin x=± 1 – cos 2 x=− 1 – 3 sin x 5 3 5 3 tg x= = = − ⋅ =− cos x 4 5 4 4 5 1 4 cotg x= =− tg x 3 −
Zjednodušit výraz:
2
4 16 25 16 9 3 =− 1 – =− – =− =− 5 25 25 25 25 5
tg z 2 1tg z
sin z sin z tg z cos z cos z sin z cos2 z sin z⋅cos z = = = ⋅ = = 2 2 2 2 2 2 2 1tg z sin z cos z sin z cos z cos z sin z cos z 1−cos 2 z 1 2 cos z cos 2 z cos 2 z sin z⋅cos z sin z⋅cos z = = =sin z⋅cos z 2 2 1 cos z 1−cos z
Důkaz: sin x y⋅sin x− y =sin 2 x−sin 2 y ; x∈R sin x y⋅sin x− y =sin x⋅cos ysin y⋅cos x⋅sin x⋅cos x – sin y⋅cos x= =sin 2 x⋅cos 2 y – sin x⋅sin y⋅cos x⋅cos ysin x⋅sin y⋅cos x⋅cos y – sin 2⋅cos2 x= =sin 2 x⋅cos 2 y – sin2⋅cos 2 x==sin 2 x⋅1−sin 2 y −sin 2 y⋅1−sin 2 x = =sin 2 x−sin 2 x⋅sin 2 y−sin 2 ysin 2 x⋅sin2 y=sin2 x−sin 2 y
4 x−sin 4 −x sin x −sin − x =sin ⋅cos xsin x⋅cos −sin ⋅cos x−sin x⋅cos = 4 4 4 4 4 4
Zjednodušit výraz: sin
2 =sin ⋅cos x sin x⋅cos −sin ⋅cos xsin x⋅cos =2 sin x⋅cos =2⋅ ⋅sin x= 2⋅sin x 4 4 4 4 2 4 2 2
80 / 106
IgMen
sin 195° =sin 150° 45° =sin 30 °45 ° =sin 30 °⋅cos 45 °sin 45°⋅−cos 30° = 1 2 2 3 2 6 2− 6 = ⋅ ⋅− = − = 2 2 2 2 4 4 4
Důkaz: sin 3x=3 sin x−4 sin3 x ; x ∈ R sin 3x=sin 2xx =sin 2x⋅cos xsin x⋅cos 2x=2sin x⋅cos x⋅cos xsin x⋅ cos 2 x −sin2 x = =2 sin x⋅cos 2 x sin x⋅cos 2 x−sin3 x=3 sin x⋅cos2 x−sin 3 x=3 sin x⋅ 1−sin 2 x −sin 3 x= =3 sin x−3 sin 3 x−sin 3 x=3 sin x−4 sin3 x
Důkaz: cos 3x=4 cos3 x – 3 cos x ; x∈ R cos 3x=cos 2xx =cos 2x⋅cos x – sin 2x⋅sin x= cos 2 x – sin 2 x ⋅cos x – 2sin x⋅cos x⋅sin x= =cos 3 x – sin2 x⋅cos x – 2 sin2 x⋅cos x=cos 3 x – cso x⋅ 1 – cos2 x −2 cos x⋅ 1 – cos 2 x = =cos 3 x – cos xcos3 x – 2 cos x2 cos3 x=4 cos3 x – 3 cos x
75° 15° 75° −15° ° ° ⋅cos =2 sin 90 ⋅cos 60 =2sin 45 °⋅cos 30° = 2 2 2 2 2 3 6 6 =2⋅ ⋅ =2⋅ = 2 2 4 2
sin 75 °sin 15 °=2 sin
81 / 106
IgMen
24
Goniometrické rovnice 1. typ – v goniometrické rovnici se vyskytuje jediná goniometrická funkce. 2. typ – v goniometrické rovnici se vyskytuje více goniometrických funkcí téhož argumentu. 3. typ – v goniometrické rovnici se vyskytuje více goniometrických funkcí různých argumentů nebo jedna goniometrická funkce s různými argumenty.
Goniometrické rovnice 1. typu: Př.: sin x2 =5 sin x sin x2=5 sin x 2=5sin x – sin x 2=4 sin x 2 =sin x 4 1 sin x 2
podmínky: sin x≠0k⋅180 ° sin x≠k⋅180°
x=30 ° k⋅360 ° x=150 ° k⋅360 °
2 cos 3v33 ° =− 2 2 cos 3v33 ° =− 2 x 2 cos x=− 2 x=45°
x 1=135 °k⋅360 °
x 2=225 °k⋅360 °
3v 133 °=135 °k⋅360 ° 3v 1=102 °k⋅360 ° ∣: 3 v 1=34° k⋅120 °
3v 233 °=225 °k⋅360 ° 3v 2=192 °k⋅360 ° ∣: 3 v 2 =64 °k⋅120°
funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu x 1=135 °k⋅360° x 2=225° k⋅360 °
82 / 106
IgMen
4 cos 2 t4 cos t – 3=0 2 −b± b 2 – 4ac −4± 4 – 4⋅4⋅−3 −4± 1648 −4± 64 cos t 1,2= = = = = 2a 2⋅4 8 8 −4−8 12 3 =− =− −4±8 8 2 = = 8 8 −48 4 1 = = 8 8 2 3 2 nemá smysl cos t 1=−
1 2 t 2=60 °k⋅360 ° t 2=300 °k⋅360 ° cos t 2=
Goniometrické rovnice 2. typu: Př.: 6 cos 2 tsin t – 5=0 6 1 – sin2 t sin t – 5=0 6 – 6 sin 2 tsin t−5=0 −6 sin 2 tsin t1=0 2 −b± b 2−4ac −1± 1 −4⋅−6⋅1 sin t 1,2= = = 2a 2⋅−6 −1± 124 −1± 25 = = = −12 −12 −1−5 6 1 = = −1±5 = = −12 12 2 −12 −15 4 1 =− =− −12 12 3
3 sin x – 2 cos x=0 3 sin x=2 cos x sin x 2 = cos x 3 2 tg x= 3
1 2 t 1=30 °k⋅360 ° t 1=150° k⋅360° sin t 1=
1 3 t 2=19 ° 28 ' t 2=19 ° 28 'k⋅360 ° t 2=340 ° 32 ' k⋅360 ° sin t 2=−
podmínky: cos x≠0 x≠90 ° k⋅180 °
x=33 ° 41 'k⋅180°
83 / 106
IgMen
4 sin 2 t=− 3⋅tg t sin t 4 sin 2 t=− 3⋅ cos t 2 4 sin t⋅cos t=− 3⋅sin t 4 sin 2 t⋅cos t 3⋅sin t=0 sin t⋅ 4 sin t⋅cos t 3 =0 sin t⋅ 2⋅2sin t⋅cos t 3 =0 sin t⋅ 2 sin 2t 3 =0
sin t 1=0 t 1=0 °k⋅360 ° t 1=k⋅360 °
2 sin 2 t 2 3=0 2 sin 2 t 2=− 3 3 sin 2 t 2=− 2 2 t 2=240° k⋅360 ° 2 t 2=300 ° k⋅360 °
t 2=120 °k⋅180° t 2=150 °k⋅180°
84 / 106
IgMen
Goniometrické rovnice 2. typu - speciální případ: Př.:
8sin x6 cos x =9 1.
rovnice se převede na poloviční úhel 8sin x6 cos x =9 x x x x x x 8 2sin ⋅cos 6 cos 2 −sin 2 =9 sin2 cos2 2 2 2 2 2 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 16 sin ⋅cos 6 cos −6 sin =9sin 9 cos 2 2 2 2 2 2 x x x x x x 16 sin ⋅cos 6 cos 2 −6sin 2 −9 sin 2 −9 cos 2 =0 2 2 2 2 2 2 x x x x 16 sin ⋅cos −3 cos 2 −15 sin 2 =0 2 2 2 2
2.
rovnice se převede na funkci tangens x x x x x 16 sin ⋅cos −3 cos 2 −15 sin 2 =0 ∣: cos 2 2 2 2 2 2 x x 2 x 2 x 16 sin ⋅cos −3 cos −15 sin 2 2 2 2 =0 2 x 2 x 2 x cos cos cos 2 2 2 x 2 x 16 sin −15sin 2 2 −3 =0 x 2 x cos cos 2 2 x 2 x 16 tg −3−15 tg =0 2 2 x 2 x −15 tg 16 tg −3=0 ∣⋅−1 2 2 x 2 x 15 tg −16 tg 3=0 2 2 16 76 x 1,2 −b± b 2−4ac 16± 256−180 16± 76 tg = = = = 30 2 2a 30 30 16− 76 30
tg
x 1 16 76 = 2 30
x1 =39 ° 29 ' k⋅180 ° ∣⋅2 2 x 1=75 ° 58' k⋅360 °
tg
x 2 16− 76 = 2 30
x2 =13° 38 'k⋅180° ∣⋅2 2 x 2=27 ° 16' k⋅360 °
85 / 106
IgMen
Goniometrické rovnice 3. typu: Př.:
sin 2x=cos 3x⋅sin 2x sin 2x – cos 3x⋅sin 2x=0 sin 2x⋅1 – cos 3x=0
sin 2x 1=0 2x 1=0 ° k⋅180 ° x 1=0 ° k⋅90 ° x 1=k⋅90°
1 – cos 3x 2=0 1=cos 3x2 3x 2=0 ° k⋅360 ° x 2=0°k⋅120 ° x 2=k⋅120 °
sint15 ° sin t75° = 3 t 15° t 75 ° t 15° −t – 75° 2 sin ⋅cos = 3 2 2 2t90 ° −60 ° 2 sin ⋅cos = 3 2 2 2 sin t45 ° ⋅cos−30 ° = 3 3 sint45° ⋅cos −30 ° = 2 3 3 sint45° ⋅ = 2 2 sint45° =1 t45 °=90 °k⋅360 ° t=45 ° k⋅360 °
86 / 106
IgMen
25 25.1
Řešení obecného trojúhelníku Sinova věta Nechť ABC je trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikosti , , a strany délky a, b, c, pak platí: a b c = = sin sin sin Poměr délky strany a hodnoty sinu protilehlého úhlu je v trojúhelníku konstantní.
a sin a sin b sin = ; = ; = b sin v sin c sin a : b : c=sin : sin : sin Užití sinovy věty: ssu 2 strany 1 úhel
uus 1 strany 2 úhly
Př.: b=8 cm ; =45 ° ; =30 ° ⇒=180° −=180 °−45 °30 ° =180 ° −75° =105° a sin sin sin 45 ° = ⇒ a=b⋅ =8⋅ =5,86 cm b sin sin sin 105° c sin sin sin 30 ° = ⇒ c=b⋅ =8⋅ =4,14 cm b sin sin sin 105 °
87 / 106
IgMen
a=38 ; b=48 ; =37 ° a sin b 48 = ⇒ sin = ⋅sin = ⋅sin 37° =0,76 ⇒=49 ° 27 ' 51 ' ' b sin a 38 funkce sinus je sudá v I. a II. kvadrantu 1=49° 27' 51 ' ' 1=180 ° −1=180 ° −87° 27' 51' '=92 ° 32 ' 09' ' sin 1 a sin sin 92 ° 32' 09 ' ' = ⇒ c1=a⋅ =38⋅ =63,1 c1 sin 1 sin sin 37° 2 =130° 27' 51' ' 2 =180° −2 =180 °−168 ° 32' 09 ' ' =11° 27' 51' ' sin 2 a sin sin 11° 27' 51' ' = ⇒ c 1=a⋅ =38⋅ =12,55 c 2 sin 2 sin sin 37°
25.2
Kosinova věta Nechť ABC je trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikosti , , a strany délky a, b, c, pak platí: a 2=b2c 2 – 2bc⋅cos b2 =a 2c2 – 2ac⋅cos c 2=a 2b 2 – 2ab⋅cos
Užití kosinovy věty: sss 3 strany
sus 2 strany a úhel jimi sevřený
88 / 106
IgMen
Př.: a=5 ; b=4 ; =60° c 2=a 2b 2 – 2ab⋅cos ⇒ c= a 2b2 – 2ab⋅cos = 5242 – 2⋅5⋅4⋅cos 60 ° = = 2516−40⋅cos 60 ° = 21=4,58 b 2c 2−a 2 424,582−5 2 1620,9764−25 a 2=b2c 2−2bc⋅cos ⇒ cos = = = = 2bc 2⋅4⋅4,58 36,64 =0,3269 ⇒=70° 55 ' 09' ' =180 ° ⇒ =180 °−=180 °−70 ° 55' 09 ' ' 60 ° =180° −130 ° 55' 09 ' ' = =49° 04 ' 51' '
a=26 ; b=16,9 ;c=27,3 2
2
2
c =a b −2ab⋅cos ⇒cos =
=0,2462 ⇒ =75° 44 ' 50 ' ' 2
2
2
a =b c −2bc⋅cos ⇒ cos =
a 2b 2−c 2 262 16,92−27,32 676285,61−745,29 = = = 2ab 2⋅26⋅16,9 878,8
b 2c 2−a 2 16,9 227,32 −26 2 285,61745,29−676 = = = 2bc 2⋅16,9⋅27,3 922,74
=0,3846 ⇒ =67 ° 22 ' 52 ' ' =180° ⇒ =180 ° −=180 °−67 ° 22 ' 52 ' ' 75 ° 44 ' 50 ' ' =180 °−143 ° 07 ' 42' '= =36 ° 52 ' 18 ' '
89 / 106
IgMen
26
Komplexní číslo – pojem, algebraický tvar, operace Komplexním číslem c nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel a, b, kde a je reálná částa b je imaginární část komplexního čísla.
26.1
Algebraický tvar komplexního čísla
c=abi a ...........reální část komplexního čísla b ...........imaginární část komplexního čísla i ............imaginární jednotka Reálné číslo je komplexní číslo, které má imaginární část rovnu nule. Ryze imaginární číslo je komplexní číslo, které má reálnou část rovnu nule. Mocniny imaginární jednotky: i 4k =1 i 4k 1=i i 4k 2=−1 i 4k 3=−i
Př.: i 83=i 4⋅203 =−i i 10=i 4⋅22=−1 i 121 =i 4⋅301=i
Operace s komplexními čísly rovnost
abi =cdi ⇔ a=c∧b=d
součet
abicdi=acbd i
rozdíl
abi−cdi= a−cb−d i
součin
abi⋅cdi=a⋅ca⋅dibi⋅c
bi⋅di 2
b⋅d⋅i −−1⋅b⋅d
podíl
z =abi .................komplexní číslo −z=−a−bi ...........opačné číslo k číslu z z =a−bi .................komplexně sdružené číslo k číslu z Komplexní čísla se dělí rozšířením zlomku komplexně sdruženým číslem ke jmenovateli.
90 / 106
IgMen
Př.: a=23i ; b=23i a=b 23i1−i=23i1−i=32i 54i−9−4i=54i−94i=−48i 12i⋅3−i=1⋅3 – 1i2i⋅3 – 2i⋅i=3−i6i−2i 2=35i2=55i 1−i 1−i 2−i 1−i 2−i 2−i−2ii 2 2−3i−1 1−3i 1 3 = ⋅ = = = = = − i 2i 2i 2−i 2i2−i 41 5 5 5 4−i 2 A B A−B
26.2
Geometrický model komplexních čísel Každé komplexní číslo lze zobrazit jako vektor v Gaussově rovině. Sčítání komplexních čísel pak odpovídá sčítání vektorů, odčítání komplexních čísel odčítání vektorů.
Př.:
91 / 106
IgMen
26.3
Absolutní hodnota komplexního čísla ∣z∣= a 2b2
Geometrický výzman absolutní hodnoty komplexního čísla: Vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku v Gaussově rovině. Komplexní jednotka: Komplexní číslo, jehož absolutní hodnota se rovná jedné.
Př.:
z =1−2i ∣z∣= 12−22= 14= 5 z =12i2=1 22⋅2i22 i 2=14i4⋅−1=14i−4=−34i ∣z∣=−324 2= 916= 25=5
z=
3−2i 3 2 = – i 4 4 4
2
∣z∣=
z=
2
3 2 9 4 13 13 = = = 4 4 16 16 16 4
7i 7i 2−i 7i 2−i 14i – 7i 2 14i−7⋅−1 14i7 714i 7 14 = ⋅ = = = = = = i 2 2i 2i 2−i 2i 2−i 4−−1 41 5 5 5 4−i
∣z∣=
2
2
7 14 49 196 245 245 = = = 5 5 25 25 25 5
92 / 106
IgMen
26.4
Zobrazování komplexních čísel v Gaussově rovině
Př.:
93 / 106
IgMen
94 / 106
IgMen
27
Komplexní číslo – goniometrický a exponenciální tvar, operace
27.1
Goniometrický tvar komplexního čísla z =∣z∣⋅cos i⋅sin ∣z∣ ........absolutní hodnota komplexního čísla ..........argument komplexního čísla 〈 0 ° ; 360° 〉 z =abi a cos = ⇒ a=∣z∣⋅cos ∣z∣ b sin = ⇒ b=∣z∣⋅sin ∣z∣
Př.: z =1−i
z =1i
∣z∣= 12−12= 11= 2 a 1 2 2 cos = = ⋅ = ∣z∣ 2 2 2 b −1 2 2 sin = = ⋅ =− ∣z∣ 2 2 2 jedná se o 4. kvadrant, neboť je sinus záporný a kosinus kladný ⇒ =315 °
∣z∣= 121 2= 11= 2 a 1 2 2 cos = = ⋅ = ∣z∣ 2 2 2 b 1 2 2 sin = = ⋅ = ∣z∣ 2 2 2 sinus i kosinus jsou kladné, což znamená, že se jedná o 1. kvadrant ⇒ =45°
z = 2⋅cos 315 °i⋅sin 315 °
z = 2⋅cos 45 ° i⋅sin 45 °
Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru: z 1=a⋅cos i⋅sin z 2 =b⋅cos i⋅sin součin
z 1⋅z 2=a⋅b⋅ cosi⋅sin
podíl
z1 a = ⋅ cos i⋅sin z2 b
95 / 106
IgMen
Př.:
6 i⋅sin 6 z =3 cos i⋅sin 3 3 z 1=6 cos 2
2 2 3 3 i⋅sin =18 cos i⋅sin =18 cos i⋅sin = 6 3 6 3 6 6 6 6 =18 cos i⋅sin 6 6
z 1⋅z 2=6⋅3 cos
z1 6 −2 −2 = cos − i⋅sin − =2 cos i⋅sin =2 cos − i⋅sin − = z2 3 6 3 6 3 6 6 6 6 11 11 =2 cos i⋅sin 6 6
27.2
Exponenciální tvar komplexního čísla z =∣z∣⋅ei ∣z∣ ........absolutní hodnota komplexního čísla e ...........Eulerovo číslo e≃2,72 ..........argument komplexního čísla (vždy v radiánech 〈 0 ; 2 〉 )
96 / 106
IgMen
Př.:
z =2 cos z =2 e
3 3 i⋅sin 4 4
i⋅3 4
3 =135° 4
2 cos 135 °=−cos 45° =− 2 2 sin 135° =sin 45 °= 2 a 2 =− 2 cos = ⇒ a=∣z∣⋅cos =2⋅ − ∣z∣ 2 b 2 sin = ⇒ b=∣z∣⋅cos =2⋅ = 2 ∣z∣ 2 z =abi=− 2i 2
Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru: z 1=a⋅e i z 2 =b⋅ei i
součin
z 1⋅z 2=a⋅b⋅e
podíl
z 1 a i − = ⋅e z2 b
Př.: z 1=6⋅e z 2 =3⋅e
i
6
i
3
2 3 i i i 6 3 z 1⋅z 2=6⋅3⋅e =18⋅e 6 =18⋅e 6 =18⋅e 2 −2 11 i i − i z 1 6 i 6 − 3 6 6 = ⋅e =2⋅e =2⋅e =2⋅e 2 i
z2
3
97 / 106
IgMen
28
Moivreova věta, binomické rovnice
28.1
Moivreova věta Pro všechna přirozená čísla n a pro libovolné reálné číslo platí: cos i⋅sin n=cos ni⋅sin n . Pro všechna přirozená čísla n a pro všechna komplexní čísla ve tvaru ∣z∣coa i⋅sin platí: [∣z∣cos i⋅sin ] 2=∣z∣2 cos n i⋅sin n .
Př.:
cos
i⋅sin 4 4
50
i⋅sin =0i⋅1=i =cos 504 i⋅sin 504 =cos 24 i⋅sin 24 =cos 2 2 0
1
70
2 2 70⋅2 i⋅70⋅2 140 i⋅140 2 i⋅2 cos i⋅sin =cos =cos =cos 3 3 3 3 3 3 3 3 2 úhel se nachází ve 2. kvadrantu, což znamená, že v základním úhlu bude kosinus záporný a sinus 3 kladný 1 3 cos − i⋅sin =− i 3 3 2 2
3
−1 2
28.2
2
Binomické rovnice n
n a se nazývá komplexní číslo z, pro které platí, že z n =a .
Rovnice typu z =a se nazývá binomická rovnice, kde z je každý kořen binomické rovnice. Postup řešení: 1. 2. 3. 4.
5. 6.
n a=z ⇒ z n=a
n
komplexní čísla z a a se vyjádří v goniometrickém tvaru [∣z∣⋅cos xi⋅sin x ] =∣a∣⋅cos i⋅sin umocnit podle Moivreovy věty ∣z∣n⋅cos nxi⋅sin nx =∣a∣⋅cos i⋅sin porovnat komplexní čísla na obou stranách ∣z∣n=∣a∣∧nx=2 k 2k ∣z∣=n ∣a∣∧x= n zapsání všech n kořenů v goniometrickém tvaru obrazy všech kořenů binomické rovnice leží na kružnici se středem v počátku a poloměrem r =n ∣a∣ a tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku
98 / 106
IgMen
Př.:
4 −1i= z
4 −1i= z z 4 =−1i ∣a∣= −12 12= 11= 2 a 1 cos = =− ∣a∣ 2 b 1 sin = = ∣a∣ 2 2. kvadrant ⇒=135° 4 [∣z∣⋅cos xi⋅sin x ] = 2⋅cos 135 °i⋅sin 135° ∣z∣4⋅cos 4xi⋅sin 4x = 2⋅cos 135 °i⋅sin 135° 4
∣z∣ = 2∧4x=135 ° k⋅360 ° 4 135° 360 ° ∣z∣= 2∧x= k⋅ 4 4 8 ∣z∣= 2∧x=33 ° 45 ' k⋅90 ° k =0 k =1 k =2 k =3
z 1 =8 2 cos 33° 45' i⋅sin 33 ° 45 ' 8 z 2= 2cos 123° 45' i⋅sin 123° 45' z 3=8 2 cos 213 ° 45 ' i⋅sin 213 ° 45 ' 8 z 4 = 2 cos303 ° 45 ' i⋅sin 303 ° 45 '
99 / 106
IgMen
29
Lineární lomená funkce
29.1
Lineární lomená funkce Lineární lomená funkce je každá funkce ve tvaru: axb y= , kde a ,b , c , d ∈R ; c≠0 ; ad ≠bc . cxd
Graf funkce.........rovnoosá hyperbola, jenž má střed v bodě
[
d a − ; c c
]
Základní grafy: y=
k x
k 0
D f =R−{0} H f =R−{0} lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum
k 0
D f =R−{0 } H f =R−{0} lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum
Postup řešení: 1.
výraz
ax b , kterým je funkce určena se podělí (dělení mnohočlenu mnohočlenem, viz téma číslo cxd
3) 2. 3.
k k b , kde y= udává základní graf funkce, b je posun po ose y a xa x z rovnice xa=0 ⇒ x =−a vyjde posun po ose x graf funkce vznikne výraz y=
100 / 106
IgMen
Př.:
2x 13 x 1−1 1 y 2= 2x 2−1 ∣x −2∣ y 3= 3 2x 3−3 y 1=
∣
∣
2x 13: x 1 – 1=2 1 2x 2−1
5 x 1−1
0,5 2x 3a −3 0,5 −x 3b2: 2x 3b−3=−0,5 2x 3b−3 x 3a −2: 2x 3a −3=0,5 –
5 x1 y 01=2 x 01 =1 y 1=
1 2x 2 y 02=0 x 02=1 y 2=
−0,5 2x 3a y 03a=0,5 x 03a =3 y 3a =
101 / 106
0,5 2x 3b y 03b =−0,5 x 03b =3 y 3b=
IgMen
102 / 106
IgMen
29.2
Nepřímá úměrnost Nepřímá úměrnost je každá funkce definovaná na množině R−{0} , k která je dána vztahem y= , kdy k ∈ R ; k≠0 . x
Je to tedy taková lineární lomená funkce y= ⇒ y=
axb , kde a=0 a d =0 . cxd
0xb b k = = cx0 cx x
Graf funkce.........rovnoosá hyperbola, jenž má střed v bodě
[
d a − ; c c
]
Základní grafy: y=
k x
k 0
D f =R−{0} H f =R−{0} lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum
k 0
D f =R−{0 } H f =R−{0} lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum
103 / 106
IgMen
Př.: 1 x 2 y 2= x y 1=
y 3=−
1 x
104 / 106
IgMen
30
Mocninné funkce Mocninná funkce je funkce dána vztahem y=x n , kde n∈ N .
Základní grafy: n0 sudé
D f =R H f =〈 0 ; ∞ sudá pro −∞ ; 0 〉 klesající pro 〈 0 ; ∞ rostoucí není prostá omezená zdola minimum v bodě [0 ; 0] nemá maximum
n0 liché
D f =R H f =R lichá rostoucí prostá neomezená ani maximum, ani minimum
n0 sudé
D f =R−{0 } H f =0 ; ∞ sudá pro −∞ ; 0 rostoucí pro 0 ; ∞ klesající není prostá neomezená ani maximum, ani minimum
n0 liché
D f =R−{0 } H f =R−{0} lichá klesající prostá neomezená ani maximum, ani minimum
105 / 106
IgMen
Př.: y 1=x 311 ⇒ y 1=x 31 ; y 01=1 y 2= x 22−2 – 3⇒ y 2 =x−2 ; 2
x 022=0 ; y 02=−3 x 02=−2
106 / 106
IgMen
