UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK:
WISKUNDE B 1,2
NIVEAU:
HAVO
EXAMEN:
2001-I
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden. ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij waarin alle fondsen van de voormalige uitgeverijen Meulenhoff Educatief, SMD Educatieve Uitgevers en uitgeverij Thieme zijn samengevoegd. De uitgaven die ThiemeMeulenhoff ontwikkelt, richten zich op het totale onderwijsveld: basisonderwijs, voortgezet onderwijs, beroepsonderwijs & volwasseneneducatie en hoger onderwijs. www.thiememeulenhoff.nl © ThiemeMeulenhoff, Utrecht/Zutphen, 2001 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voorzover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 882, 1180 AW Amstelveen). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.
2001- I ( B1, 2)
Weerstand 3
1 In de rekenmachine invoeren y1 = 0,75x en y2 = 0,004x en met behulp van de functie intersect het snijpunt berekenen. Dit geeft Prol = Plucht ⇒ v = 13,7. watt 32
P
lucht
Prol
O
13,7
20
v
Uit de grafiek hierboven is nu af te lezen: Plucht > Prol als v > 13,7 km per uur. 3
2 v = 25 ⇒ Ptot = Prol + Plucht = 0,75 · 25 + 0,004 · 25 = 81,25 watt 3 v = 26 ⇒ Ptot = Prol + Plucht = 0,75 · 26 + 0,004 · 26 = 89,804 watt De renner moet 8,554 watt meer leveren. 3 Ptot = 0,75v + 0,004v dP tot dv
3
⇒ 2
= 0,75 + 0,012v = 10 ⇒ 2
0,012v = 9,25 ⇒ v= Dus
9 ,25 = 27,76 (de negatieve oplossing is hier niet van toepassing) 0 ,012 dP tot dv
= 10 als v ≈ 28 km per uur. 2
Opmerking: de vergelijking 0,75 + 0,012v = 10 kan ook opgelost worden door de 2 functies y1 = 0,75 + 0,012v en y2 = 10 in te voeren. De rekenmachine kan met behulp van de functie intersect de coördinaten bepalen van het snijpunt van de grafieken van y 1 en y2 . 3
4 30 km per uur op de racefiets geeft Ptot = 0,75 · 30 + 0,004 · 30 = 130,5 watt. Op de ligfiets is het vermogen anderhalf maal zo groot, dus 1,5 · 130,5 = 195,75 watt. 3 Nu in de rekenmachine invoeren y1 = 0,75x + 0,003x en y2 = 195,75 en met behulp van de functie intersect het snijpunt berekenen ⇒ v = 38,2 km per uur. Dit klopt met de in de vraag vermelde snelheid van 'ruim 38 km per uur '. Kegel en cilinder 5 De oppervlakte van de hele cirkel waarvan de uitslag een deel is (figuur 2), is 2 gelijk aan π · 9 = 81π. 160 16 dus van 81π ⇒ 360 36 16 de oppervlakte van de uitslag is · 81π ≈ 113. 36
De oppervlakte van de uitslag is
1
2001- I ( B1, 2)
6 Hier moet aangetoond worden dat CM exact lengte 4 heeft. De omtrek van de grondcirkel van de kegel = 2π · CM. In de uitslag (figuur 2) is te zien dat deze omtrek ook gelijk is aan 160 · 2π · 9 = 2880 π = 8π 360 360
⇒
8π = 2π · CM ⇒ CM = 4. 7 In figuur 4 is te zien dat ∆CDE gelijkvormig is met ∆CMT, daarom geldt de volgende verhoudingstabel: zijde ∆CDE zijde ∆CMT
DE MT
CD CM
1 4
Met Pythagoras in ∆CMT volgt MT =
9 −4
Hieruit volgt dat DE = 1 · MT. 4
2
2
=
65 dus DE =
1 4
65 ≈ 2,02.
8 Inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak · hoogte 2
= π · (– 1 x + 4) · x 2
2
Plot nu de grafiek van y1 = π · (– 1 x + 4) · x op het domein 0 ≤ x ≤ 2
65 en zoek de
coördinaten van de top met de functie maximum ⇒ ymax ≈ 59,57 als x ≈ 2,67 ⇒ de maximale inhoud van de cilinder is 60. Lawaaitrauma 9 In 6 jaar tijd verdubbelt het aantal militairen met lawaaitrauma (groeifactor 2). 1
Per 3 jaar is de groeifactor dan 2 2 of
2
⇒ 4500 ·
2 = 6364.
Op 1 januari 1985 zijn er ongeveer 6400 militairen met lawaaitrauma. 10
In het assenstelsel hieronder is de lijn getekend die de Europese norm aangeeft. 120 geluidssterkte L (in dB)
110
VS
100 95 90 Europa
80 0 0,25
2
0,5
1 2 4 8 maximaal toegestane werktijd t (in uren)
2001- I ( B1, 2)
De te tekenen grafiek gaat in ieder geval door het punt (8, 80). Andere punten zijn te berekenen door de regel: bij elke toename van de geluidssterkte met 3 dB moet de maximale werktijd gehalveerd worden. maximale werktijd geluidssterkte 11
8 80
4 83
2 86
1 89
0,5 92
0,25 95
In de Amerikaanse fabriek mag 6 uur worden gewerkt ⇒ t = 6. t = 6 invullen in de gegeven formule: L = –16,6 · log(6) + 105 ≈ 92 dB. In de bovenstaande tabel of in de grafiek die bij vraag 10 in de figuur is getekend, is af te lezen dat bij 92 dB volgens de Europese normen niet meer dan 0,5 dag mag worden gewerkt. Showmodel
12
2
2
De oppervlakte van de hele kubus is 6 · 100 = 60000 cm . 2 2 De oppervlakte van ∆PQH = 1 · 20 = 200 cm = opp ∆QRH = opp ∆PRH.
2
2
De oppervlakte beschikbaar voor vloerbedekking = 60000 – 3 · 200 = 59400 cm . 13
Het bovenaanzicht van vlak ABFE wordt een ruit. Teken door F een lijn evenwijdig aan BA en door A een lijn evenwijdig aan BF. Zo vind je punt E. Op analoge zijn de punten G en D te vinden. Omdat BH verticaal is, valt B in het bovenaanzicht van de volledige kubus met H samen, dus de ribbe GH is te zien als een stippellijn van G naar B.. Teken nu ook het bovenaanzicht van EH (stippellijn van E naar B) en van DH (stippellijn van D naar B). Nu moet het onderste deel er nog van af. HR is een vijfde deel van HE. Verdeel in het bovenaanzicht HE in precies 5 gelijke delen, dan moet van de gestippelde lijnen BE, BD en BG precies één deel af bij punt B. Zet bij de eindpunten R, P, Q. Het bovenaanzicht van de afgeknotte kubus ziet er dan als volgt uit: F
G
E
P B
R
Q
C
A
D
3
2001- I ( B1, 2)
14
De totale hoogte van het showmodel zonder sokkel is 14/15 deel van de lichaamsdiagonaal BH. 2
2
In de kubus geldt BA = 100 en BG = 100 + 100 = 20000 = 100 2 . In vierhoek ABGH (zie de bijlage bij vraag 14) geldt nu: BH =
20000 + 10000 =
30000 = 100 3 .
14 ⋅ 100 3 . 15 14 Hoogte showmodel inclusief sokkel = ⋅ 100 3 + 20 ≈ 181,66 cm en dat is 15
Hoogte showmodel zonder sokkel =
minder dan 185 cm. Periodiek verband 15
1+sin(x)
en bepaal met behulp van de functies maximum Plot de grafiek van f(x) = e en minimum de coördinaten van de toppen. Dit geeft als resultaat: • f is maximaal 7,389 als x = 1,571 • f is minimaal 1 als x = 4,712. 8
–2π
π
0
4π
De evenwichtswaarde van y = a + b·sin(x ) is y = a, dus a =
7 ,389 +1 = 4,1945 ≈ 4,19. 2
Voor de amplitude b geldt: b = 4,1945 – 1 = 3,1945 dus b = 3,19. Andere manier: Deze vraag kan ook zonder plot beantwoord worden. x Aangezien de functie y = e stijgt, geldt: 2 • omdat sin(x ) maximaal 1 is voor x = 1 π, is f maximaal f( 1 π) = e
2
• omdat sin(x ) minimaal –1 is voor x =
2
1 1 π 2
1 2
0
, is f minimaal f( 1 π) = e = 1
2
Hieruit volgt dan a =
e +1 2 ≈ 4,1945 ≈ 4,19 en b = e – 4,1945 ≈ 3,19. 2 1+sin(x)
· cos(x ) ⇒
16
Uit de kettingregel volgt dat f'(x ) = e 1+sin(0) 1+0 f'(0) = e · cos(0) = e · 1 = e.
17
en g(x ) = e op het domein 0 ≤ x ≤ 2π. Plot de grafieken van f(x ) = e Het eerste snijpunt A ligt bij x = 0, op dezelfde hoogte als C en E. Het tweede snijpunt B ligt bij x = 1,047 en y = 6,463 (berekend met intersect). De grafische rekenmachine kan nu voor x = 1,047 met de functie dy/dx het richtingsgetal berekenen van de raaklijn k. Het richtingsgetal is ongeveer –6,46 zodat een vergelijking van k er als volgt uitziet: y = –6,46x + b. De lijn moet door het raakpunt (1,047; 6,463) gaan ⇒ 6,463 = –6,46 · 1,047 + b ⇒ b = 13,23. Een vergelijking van k wordt: y = –6,46x + 13,23.
1+sin(x)
4
1+sin(2x)
2001- I ( B1, 2)
Andere manier: Het richtingsgetal van k kan ook berekend worden met de afgeleide van g. Met behulp van de kettingregel volgt: 1+sin(2x) 1+sin(2·1,047) g'(x) = e · cos(2x) · 2. ⇒ g'(1,047) = e · cos(2·1,047) · 2 ≈ –6,46. De rest van de berekening gaat als boven. 18
Door herhaaldelijk plotten zijn de volgende gevallen te onderscheiden: • voor p = 2 hebben f en h 5 snijpunten • voor p > 2 hebben f en h 5 of meer snijpunten • voor p = 1 vallen f en h samen: ze hebben oneindig veel snijpunten • voor 1 < p < 2 hebben f en h 3 snijpunten • voor p = 0,5 hebben f en h 3 snijpunten • voor 0,5 < p < 1 hebben f en h 3 snijpunten • maar twee snijpunten zijn er alleen als 0 < p < 0,5.
5
2001- I ( B1, 2)
6
