TRANSFORMASI BILINEAR

TRANSFORMASI BILINEAR Di susun untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibimbing oleh Ibu Indriati Nurul H.

KELOMPOK 7 Anggota: Maharani Kusuma Arumsari

(409312413115)

Andrie Kurniawan

(409312417687)

Herlin Dwi Kartikasari

(409312419799)

Erlina Tri Susianti

(409312419801)

MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG November 2011

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kelompok lain yang penting dari pemetaan elementer dipelajari oleh Ferdinand Bilinear Agustus (1790-1868). Pemetaan ini dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua ekspresi linear dan biasanya dikenal sebagai transformasi bilinear atau pecahan linier. Mereka muncul secara alami dalam masalah pemetaan yang melibatkan fungsi arctan (z). Transformasi Bilinear didefinisikan pada bidang kompleks perluasan (yaitu bidang kompleks ditambah dengan titik di tak terhingga) yaitu ̂

. Bidang

perluasan komplek ini dapat dianggap sebagai suatu bidang. Transformasi tersebut adalah bentuk paling umum dari pemetaan konformal dari domain. Sebuah transformasi bilinear dapat dinyatakan sebagai transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier dan invers. Beberapa sifat-sifat pada transformasi bilinear analog pada transformasi kebalikan. Kemudian transformasi bilinear dapat ditentukan bahwa transformasi tersebut memiliki dua titik tetap. Dalam makalah ini akan dijelakan bagaimana bidang perluasan dapat terbentuk pada transformasi bilinear. Serta akan ditunjukkan bahwa transformasi bilinear dapat dinyatakan dalam transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier dan inversnya yang juga merupakan transformasi bilinear. Dan akan ditentukan bahwa transformasi bilinear memiliki sifat-sifat yang salah satunya akan analog dengan transformasi kebalikan. Pada transformasi bilinear akan ditentukan bagaimana mencari titik tetapnya. B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud transformasi bilinear? 2. Bagaimana contoh dan non contoh dari transformasi bilinear? 3. Bagaimana sifat-sifat dan bukti dari transformasi bilinear? 4. Bagaimana teorema, bukti teorema, dan contoh penggunaan dalam soal dari transformasi bilinear?

C. Tujuan 1. Mengetahui definisi transformasi bilinear pada bidang kompleks. 2. Dapat membedakan contoh dan noncontoh dari trasnformasi bilinear. 3. Mengetahui sifat-sifat transformasi bilinear beserta buktinya. 4. Mengetahui teorema dan buktinya dari transformasi bilinear serta penggunaannya dalam soal.

BAB II PEMBAHASAN A. Definisi Transformasi bilinier Pemetaan w 

az  b , dengan cz  d

dinamakan transformasi

bilinear. Keterangan: 1. Dalam hal

, maka transformasi bilinier akan menjadi transformasi

(fungsi) konstan.

2. Untuk selanjutnya, diasumsikan bahwa

untuk menghindari transformasi bilinier

berubah menjadi transformasi linier. Syarat

agar tidak menjadi linear karena jika

maka

3. Persamaan bilinier ini memetakan bidang-z diperluas dalam bentuk satu-satu ke bidang w diperluas; titik ‘perkecualian ’ pada pemetaan ini adalah dipetakan ke

dan

yang dipetakan ke →

yang

Oleh karena itu, agar pada

analitik dank arena

maka untuk

kita petakan ke

az  b cz  d w(cz  d )  az  b wcz  wd  az  b wcz  az  b  wd z (cw  a )  dw  b dw  b z cw  a w

Maka untuk nilai

invers transformasinya diberikan

Kita dapat memperluas Nilai

dapat ditentukan dari nilai limit

dan inversnya adalah dengan

ke pemetaan dalam bidang kompleks diperluas.

( )

untuk

. Oleh karena itu,

. Dengan cara yang sama, nilai

diperoleh

dan inversnya adalah ( ) transformasi bidang komplek

. Dengan perluasan kita simpulkan bahwa

adalah pemetaan satu-satu dari bidang komplek

diperluas ke

diperluas.

B. Contoh Transformasi Bilinear

a  1, b  0, c  1, d  1 z Alasan: c  1  0, w z 1 ad  bc  1  0  1  0 C. Bukan Contoh Transformasi Bilinear a  1, b  0, c  0, d  1

w  z  1 Alasan : c  0  menjadikan persamaan linear ad  bc  0  menjadikan fungsi konstan

D. Sifat-Sifat dan Teorema pada Transformasi Bilinear 1. Pemetaan bilinier merupakan gabungan dari fungsi-fungsi berikut

Dengan demikian, transformasi bilinier merupakan gabungan dari transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier sekali lagi.

Bukti:

b a( z  ) az  b a w  f ( z)   cz  d c( z  d ) c d d b d b a( z    ) a(  ) a c c a   c a  d d c c( z  ) c( z  ) c c d d b d b a( z    ) a(  ) a c c a c a    d d c c( z  ) c( z  ) c c ad b a c  a  (bc  ad )   c c(cz  d ) c c(cz  d ) Diperoleh komposisi 2. Analog dengan transformasi kebalikan, maka transformasi bilinier juga memetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran. Bukti: Bukti didasarkan pada dua kenyataan sebagai berikut: (a). Pemetaan bilinear merupakan gabungan dari tiga fungsi berikut, dalam urutan yang diberikan

Jadi pemetaan bilinear merupakan gabungan dari pemetaan linear diikuti dengan pemetaan kebalikan, kemudian sekali lagi dengan pemetaan linear. (b). Pemetaan linear merupakan transformasi sama dan transformasi kebalikan memetakan garis-garis dan lingkaran-lingkaran ke garis-garis atau lingkaranlingkaran. Kenyataan-kenyataan diatas dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu garis atau lingkaran, katakanlah

pada bidang z oleh fungsi pertama dalam (a) akan

diputar, diperbesar, dan digeser menjadi garis atau lingkaran

, selanjutnya oleh

fungsi yang kedua hasilnya akan dibalikkan menjadi garis atau lingkaran akhirnya oleh fungsi yang ketiga garis atau lingkaran.

dan

akan diputar, diperbesar, dan digeser menjadi

3. Pemetaan bilinier (dengan asumsi

) mempunyai paling banyak dua titik tetap,

yang merupakan akar-akar persamaan . Bukti:

misalkan w  z, sehingga az  b cz  d z (cz  d )  az  b z

cz 2  dz  az  b cz 2  dz  az  b  0 cz 2  (d  a) z  b  0 dari persamaan kuadrat di atas, diperoleh akar-akarnya z1,2 

(a  d )  (a  d ) 2  4bc 2c

4. Invers dari transformasi bilinier w 

az  b dw  b adalah z  yang juga merupakan cz  d cw  a

transformasi bilinier. Bukti:

az  b cz  d w(cz  d )  az  b wcz  wd  az  b wcz  az  b  wd z (cw  a )  dw  b dw  b z cw  a w

5. Teorema Jika z1 ≠ z2 ≠ z3 sebarang titik pada bidang-Z dan w1 ≠ w2 ≠ w3 sebarang titik pada bidang-W, maka terdapat fungsi transformasi bilinear yang memetakan zi ke wi dengan i=1,2,3 adalah ( w  w1 )( w2  w3 ) ( z  z1 )( z2  z3 )  ( w  w3 )( w2  w1 ) ( z  z3 )( z2  z1 ) Bukti:

Misal: Maka,

dengan

Bentuk pecahan di atas dikenal sebagai pecahan silang dari titik-titik

dan .

Bila dikalikan silang, maka persamaan di atas menjadi

Dengan melakukan penyederhanaan, persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk

Bukti :

( w  w1 )( w2  w3 ) ( z  z1 )( z2  z3 )  ( w  w3 )( w2  w1 ) ( z  z3 )( z2  z1 )

 w  w1  w2  w3  z  z3  z2  z1    w  w3  w2  w1  z  z1  z2  z3  zw( z1w2  z2 w3  z3 w1  ( z1w3  z2 w1  z3 w2 ))  w( z1 z2 w1  z1 z3 w3  z2 z3 w2  ( z1 z2 w2  z1 z3w1  z 2 z3w3 ))  z ( z1w1w2  z2 w2 w3  z3 w1w3  ( z1w1w3  z2 w1w2  z3 w2 w3 ))  ( z1 z2 w1w3  z1 z3 w2 w3  z2 z3 w1w2  ( z1 z2 w2 w3  z1 z3 w1w2  z2 z3w1w3 ))  0

misalkan : a  z1w1w2  z2 w2 w3  z3 w1w3  ( z1w1w3  z2 w1w2  z3 w2 w3 ) b  z1 z2 w1w3  z1 z3 w2 w3  z2 z3 w1w2  ( z1 z2 w2 w3  z1 z3w1w2  z 2 z3w1w3 ) c  z1w2  z2 w3  z3 w1  ( z1w3  z2 w1  z3 w2 ) d  z1 z2 w1  z1 z3 w3  z2 z3 w2  ( z1 z2 w2  z1 z3 w1  z 2 z3 w3 ) maka diperoleh zwc  wd  za  b  0 cwz  dw  az  b  0 cwz  dw  az  b w(cz  d )  az  b az  b w cz  d

Contoh 1: Di bawah pemetaan bilinier

setengah bidang

dalam lingkaran satuan | |

dipetakan ke

.

Penyelesaian : ⁄

Pemetaan

→

dapat dinyatakan sebagai gabungan fungsi-fungsi

→

→

Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut , didilatasi | |

1. Diputar sebesar . 2.

→

, dan ditranslasi sejauh

(

)

Daerah dalam lingkaran dengan pusat

dan jari-jari

, di dilatasi | |

3. Diputar sebesar

, dan ditranslasi sejauh

1. Perhatikan Gambar 1

0 -1 0

⁄

1

1 -1

0 -1

-1

0

Contoh 2 ( Penggunaan Teorema ) Tentukan suatu transformasi bilinier yang memetakan titik-titik berturu-turut ke titik-titik

.

Penyelesaian : Dengan memasukan nilai-nilai

dan

,

pada persamaan (*), diperoleh

Yang menghasilkan transformasi bilinier

E. Soal-Soal dari Buku Paliouras 14.1) Carilah bayangan setiap titik z  0, 1, -1, i, i di bawah pemetaan w  Jawab untuk z  0, i (0)  2 w 0i 2 i   i i 2i   2i 1

untuk z = 1, i (1)  2 w 1 i i  2 1  i   1 i 1 i 1  3i  ( ) 2

iz  2 z i

untuk z = i, (i )i  2 w ii 1 2  2i 3 i   2i i 3  i 2

untuk z =- i, (i)(i)  2 i  i 1  2  0 1   tidak terdefinisi, oleh karena itu z  i dipetakan ke w   0

w

14.2) Carilah titik-titik tetap pada transformasi a. w 

iz  i z i

misalkan w  z iz  i z z i

z ( z  i )  iz  i z 2  zi  iz  i z2  i  0

2  2i  2i  2 )0 4 2 i 2 2 i 2 )( )0 2 2 2 i 2 2 i 2 )( )0 2 2 2 2 i 2 ))( z  ( ))  0 2 z2  (

z2  ( z 2  z(

2 i 2 2 i 2 )  z( )( 2 2 2 i (z  ( 2

z

b. w 

2 i 2 2

z2 z 1

misalkan w  z z2 z z 1

z ( z  1)  z  2 z2  z  z  2 z2  2z  2  0

( z  (1  i ))( z  (1  i ))  0 z  (1  i )

14.3) Carilah transformasi bilinear yang memetakan berturut-turut 0, 1, dan i, ke -1, 0, dan i. misalkan z1  0

w1  1

z2  1

w2  0

z3  i

w3  i

( w  w1 )( w2  w3 ) ( z  z1 )( z2  z3 )  ( w  w3 )( w2  w1 ) ( z  z3 )( z2  z1 ) ( w  1)(i ) z (1  i )  ( w  i) ( z  i) ( z  zi )( w  i )  ( z  i )(  wi  i ) zw  z   w  1 zw  w  z  1 w( z  1)  z  1 z 1 w z 1 I ( z) 

14.4) Carilah bayangan garis

1 4z w 2 di bawah pemetaan 2iz  i

Penyelesaian:

Misalkan

,

, dan

. Diperoleh pengaitannya adalah

Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1. Dibawah pemetaan dengan faktor | | 2. Dibawah pemetaan

, merotasikan z sebesar | |

, diperbesar

, dan digeser dengan vektor . , garis

dipetakan kebagian dalam lingkaran

(

)

( )

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat ( 3. Dibawah pemetaan

) dan jari-jari

, merotasikan t sebesar

diperbesar dengan faktor | |

|

|

,

, dan digeser dengan vektor

.

Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah sebagai berikut

0

0

0

2

1

)

-1

0

14.5 Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang mempunyai tepat satu titik tetap Penyelesaian : w

z 2z 1

misalkan w  z z z 2z 1

z (2 z  1)  z 2z2  z  z 2z2  0 z2  0 z0 Jadi w 

z memiliki satu titik tetap yaitu z  0 2z 1

14.6 Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang tidak mempunyai titik tetap Penyelesaian :

w  z  1  untuk mencari titik tetap , misal w  z z  z 1 jadi w  z  1 tidak punya titik tetap. w  z  3  untuk mencari titik tetap, misal w  z z  z 3 jadi w  z  3 tidak punya titik tetap. Tidak mempunyai titik tetap 14.7 Buktikan bahwa jika ad  bc  0 , maka (1) berubah menjadi pemetaan konstan jika ad  bc  0 ad  bc a

bc d

maka bc zb az  b d  cz  d cz  d bcz  bd  dcz  d 2 b cz  d  ( ) d cz  d b   bernilai konstan d

14.8 Buktikan bahwa pemetaan bilinear kontinu pada semua z   Jika z  

d c

d c

Maka pemetaanya adalah az  b cz  d d a( )  b c  d c( )  d c ad  b  c d  d ad  b c   TD 0 w

sehingga z  

d mengakibatkan bukan pemetaan bilinear kontinu c

14.9 Carilah bayangan setengah bidang

dibawah pemetaan

Penyelesaian:

Misalkan

,

, dan

. Diperoleh pengaitannya adalah

Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 4. Dibawah pemetaan

, setiap titik pada setengah bidang yang diberikan

diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor

| |

| |

(tidak berubah) , dan digeser dengan vektor (-1) sehingga

menghasilkan setengah bidang 5. Dibawah pemetaan

setengah bidang

dipetakan kebagian dalam

lingkaran

(

)

( )

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat ( 6. Dibawah pemetaan

) dan jari-jari

, bagian dalam lingkaran yang di dapat di tahap dua

akan diputar dengan sudut sebesar arg(1)=0, diperbesar dengan faktor | | , dan digeser dengan vektor 1. Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah

0

0

-i

0

1 0

| |

14.10

Carilah bayangan setengah bidang

dibawah pemetaan

Penyelesaian:

Misalkan

,

, dan

. Diperoleh pengaitannya adalah

Pemetaaan ini dilaksanakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1. Dibawah pemetaan

, setiap titik pada setengan bidang yang diberikan

diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor | |

| |

(tidak berubah) , dan digeser dengan vektor

sehinggan

menghasilkan setengah bidang 2. Dibawah pemetaan

setengah bidang

dipetakan kebagian dalam

lingkaran

(

)

( )

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat (

) dan jari-jari

3. Dibawah pemetaan

bagian dalam lingkaran yang di dapat di tahap

dua akan diputar dengan sudut sebesar | |

, diperbesar dengan faktor

, dan di geser dengan vektor 1.

Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah sebagai berikut

i

0

0

-1

0

1

0

BAB III PENUTUP Kesimpulan Pemetaan w 

az  b , dengan cz  d

dinamakan transformasi bilinear.

Sifat-sifat pada transformasi bilinear antara lain 1. Analog dengan transformasi kebalikan (memetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran). 2. Pemetaan bilinier merupakan gabungan (komposisi) dari beberapa fungsi. 3. Pemetaan bilinier (dengan asumsi

) mempunyai paling banyak dua titik tetap.

4. Invers dari transformasi bilinier juga merupakan transformasi bilinier.

DAFTAR PUSTAKA Paliouras, John D. 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Terjemahan Wibisono Gunawan. Jakarta : Erlangga. Dedy, E., Encum Sumiaty. 2001. Fungsi Variabel kompleks. Bandung : JICA Wikipedia, 2011. Möbius transformation [online] http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation. Diakses tanggal 29 Oktober 2011