Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
HUBUNGAN ANTARA PEMETAAN LINEAR DAN BILINEAR
Mustafa A.H. Ruhama Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan MIPA, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Unveristas Khairun
ABSTRAK Let ππ, ππ and ππ are vector spaces at the same field, ππ : ππβ ππ is linear mapping and β is complex numbers. β(ππ, ππ) the collection of all linear mapping ππ : ππ β ππ. If ππ = β that ππ is linear functional. Let ππ : ππ Γ ππ β ππ bilinear mapping, if ππ = β that ππ is bilinear functional. The collection of all bilinear mapping ππ : ππ Γ ππ β ππ denoted with π
π
(ππ, ππ; ππ). Based on the explanation above, problems we will discuss about relation between linear mapping, bilinear mapping and bilinear functional, some properties at bilinear mapping. Furthermore will see π
π
(ππ, ππ, ππ) is vector space toward operation (ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) and (ππππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) for all scalar ππ, π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ and ππ, ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ). Keywords: Vector space, linear mapping, and bilinear mapping.
A.
Pendahuluan Konsep himpunan dan pemetaan (fungsi) merupakan konsep yang dikenal hampir
di semua cabang matematika, walaupun terminologi dan notasi yang digunakan berbeda-beda. Diketahui ππ dan ππ masing-masing himpunan yang tak kosong, jika ππ
adalah suatu pemetaan dari himpunan ππ ke himpunan ππ, maka pemetaan tersebut ππ
dinotasikan dengan ππ : ππβ ππ atau ππ β ππ.
Jika π΄π΄ dan π΅π΅ masing-masing dua himpunan yang tak kosong (π΄π΄ β β
dan π΅π΅ β β
),
maka himpunan yang didefinisikan dengan π΄π΄ Γ π΅π΅ = {(π₯π₯, π¦π¦): π₯π₯ β π΄π΄ & π¦π¦ β π΅π΅} disebut himpunan hasil ganda Cartesius (Cartesian product) himpunan π΄π΄ dengan π΅π΅.
Himpunan yang terdiri atas elemen-elemen yang memenuhi aksioma-aksioma
tertentu disebut ruang. Di dalam analisis modern, beberapa ruang yang sering dibicarakan adalah ruang vektor, ruang metrik, ruang bernorma, ruang Banach, ruang pre-Hilbert dan ruang Hilbert. Diketahui ππ, ππ dan ππ masing-masing ruang vektor atas lapangan β (β) dan ππ : ππβ ππ merupakan pemetaan linear. Jika ππ = β maka ππ
disebut fungsional linear. Diberikan ππ : ππ Γ ππ β ππ pemetaan bilinear, jika ππ = β maka ππ disebut fungsional bilinear. Koleksi semua pemetaan linear ππ : ππ β ππ
dinotasikan dengan β(ππ, ππ) serta π
π
(ππ, ππ; ππ) merupakan koleksi semua pemetaan
bilinear ππ : ππ Γ ππ β ππ.
74
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
Berdasarkan pemikiran diatas, permasalahan yang akan diteliti adalah (1) apakah π
π
(ππ, ππ, ππ) merupakan ruang vektor terhadap operasi (ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) +
ππ(π₯π₯, π¦π¦) dan (ππππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) untuk sebarang skalar ππ, π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ dan ππ, ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ)?, (2) hubungan antara pemetaan linear, pemetaan bilinear, dan fungsional bilinear serta (3) sifat yang berlaku pada pemetaan bilinear. B.
Operasi Biner Secara intuitif suatu operasi biner atas suatu himpunan ππ adalah suatu aturan yang
menggabungkan dua unsur dari ππ menjadi satu unsur dari ππ. Sebelum mendefinisikan operasi biner dalam konteks yang lebih umum, perlu diberikan definisi tentang relasi suatu himpunan sebagai berikut: Definisi 1.1.1.1. Diketahui π΄π΄ dan π΅π΅ masing-masing dua himpunan yang tak kosong. Suatu relasi R dari π΄π΄ ke π΅π΅ adalah himpunan bagian dari π΄π΄ Γ π΅π΅ = {(π₯π₯, π¦π¦): π₯π₯ β π΄π΄ & π¦π¦ β π΅π΅}. Dengan perkataan lain suatu relasi R dari π΄π΄ ke π΅π΅ adalah suatu aturan yang menghubungkan unsur dari π΄π΄ ke π΅π΅.
Andaikan π
π
adalah relasi dari π΄π΄ ke π΅π΅, dan misalkan π
π
menghubungkan π₯π₯ β π΄π΄ ke
π¦π¦ β π΅π΅. Hubungan ini dinotasikan dengan π₯π₯π₯π₯π₯π₯ atau (π₯π₯, π¦π¦) β π
π
.
Definisi 1.1.1.2. Suatu operasi biner β atas suatu himpunan ππ adalah suatu relasi yang
menghubungkan setiap pasangan berurutan (π₯π₯, π¦π¦) dari unsur-unsur di ππ ke tepat satu π§π§ β ππ, dan dinotasikan dengan π₯π₯ β π¦π¦ = π§π§. C.
Pemetaan
Definisi 1.1.2.1. Diketahui π΄π΄ dan π΅π΅ himpunan tak kosong. Suatu pemetaan ππ dari
himpunan π΄π΄ ke himpunan π΅π΅ adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap unsur dari himpunan π΄π΄ ke tepat satu unsur dari himpunan π΅π΅.
Jika ππ adalah suatu pemetaan dari himpunan π΄π΄ ke himpunan π΅π΅, maka pemetaan ππ
tersebut dinotasikan dengan ππ : π΄π΄ β π΅π΅ atau π΄π΄ β π΅π΅. Himpunan π΄π΄ disebut domain
(daerah asal) dari ππ dan dinotasikan dengan π·π·(ππ) serta himpunan π΅π΅ disebut kodomain(daerah kawan) dan dinotasikan dengan πΆπΆ(ππ). Jika ππ menghubungkan ππ β π΄π΄ ke ππ β π΅π΅, maka ππ dikatakan sebagai bayangan dari ππ oleh pemetaan ππ dan dinotasikan dengan ππ(ππ)= ππ. Himpunan R (ππ)= {ππ(a): a β π·π·(ππ)} disebut range atau daerah hasil. 75
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
D.
ISSN 2089-855X
Ruang Vektor Sebelum membahas ruang vektor (ruang linear) terlebih dahulu diberikan
tentang pengertian grup komutatif dan lapangan (filed). Definisi 1.1.3.1. ππ himpunan tak kosong dengan operasi biner β merupakan grup komutatif (abelian) jika memenuhi:
(i). Untuk setiap π£π£1 , π£π£2 β ππ berlaku π£π£1 β π£π£2 = π£π£2 β π£π£1 .
(ii). Untuk setiap π£π£1 , π£π£2 , π£π£3 β ππ berlaku π£π£1 β (π£π£2 β π£π£3 ) = (π£π£1 β π£π£2 ) β π£π£3 .
(iii). Terdapat unsur ππ sehingga untuk setiap π£π£ β ππ berlaku disebut unsur identitas terhadap operasi β.
(iv). Untuk setiap π£π£ β ππ terdapat π£π£ β1 β ππ
π£π£ β1 disebut invers terhadap operasi β.
π£π£ β ππ = ππ β π£π£ = π£π£. ππ
sehingga berlaku π£π£ β π£π£ β1 = π£π£ β1 β π£π£ = ππ.
Suatu grup ππ dengan operasi biner β dinotasikan dengan (ππ,β).
Definisi 1.1.3.2. πΉπΉ himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yang dinotasikan
dengan β¨ dan β merupakan lapangan jika memenuhi: (i). (πΉπΉ, β¨) grup komutatif. (ii). (πΉπΉ, β) grup komutatif.
(iii). Untuk setiap ππ, ππ, ππ β πΉπΉ berlaku
ππ β (ππβ¨ππ) = ππ β ππβ¨ππ β ππ dan (ππβ¨ππ) β ππ = ππ β ππβ¨ππ β ππ.
Contoh 1.1.3.3
1. β merupakan himpunan bilangan real (nyata) dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup komutatif, sebab (i).
Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β β berlaku π₯π₯ + π¦π¦ = π¦π¦ + π₯π₯.
(ii). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦, π§π§ β β berlaku π₯π₯ + (π¦π¦ + π§π§) = (π₯π₯ + π¦π¦) + π§π§.
(iii). Terdapat unsur 0 sehingga untuk setiap π₯π₯ β β berlaku π₯π₯ + 0 = 0 + π₯π₯ = π₯π₯. 0 disebut unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.
(iv). Untuk setiap π₯π₯ β β terdapat βπ₯π₯ β β sehingga berlaku
π₯π₯ + (βπ₯π₯) = (βπ₯π₯) + π₯π₯ = 0. β π₯π₯ disebut invers terhadap operasi penjumlahan.
2. β dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (β) biasa merupakan lapangan , sebab
(i). (β, +) grup komutatif. (ii). (β, β) grup komutatif.
(iii). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦, π§π§ β β berlaku
π₯π₯ β (π¦π¦ + π§π§) = π₯π₯ β π¦π¦ + π₯π₯ β π§π§ dan (π₯π₯ + π¦π¦) β π§π§ = π₯π₯ β π¦π¦ + π¦π¦ β π§π§. 76
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
Definisi 1.1.3.4. Diketahui (ππ, +) grup komutatif dan (πΉπΉ, β¨,β) lapangan. ππ disebut ruang vektor (vector space) atau ruang linear atas πΉπΉ jika terdapat operasi β antara
keduanya sehingga untuk setiap π₯π₯ β ππ dan πΌπΌ β πΉπΉ menentukan dengan tunggal πΌπΌ β π₯π₯ yang memenuhi sifat-sifat:
(i). πΌπΌ β (π₯π₯ + π¦π¦) = πΌπΌ β π₯π₯ + πΌπΌ β π¦π¦, (ii). (πΌπΌβ¨π½π½) β π₯π₯ = πΌπΌ β π₯π₯ + π½π½ β π₯π₯, (iii). (πΌπΌ β π½π½) β π₯π₯ = πΌπΌ β (π₯π₯ β π½π½), (iv). 1 β π₯π₯ = π₯π₯,
untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ dan πΌπΌ, π½π½ β πΉπΉ.
Untuk penyederhanaan penulisan πΌπΌ β π₯π₯ cukup ditulis πΌπΌπΌπΌ , πΌπΌβ¨π½π½ cukup ditulis πΌπΌ + π½π½,
dan πΌπΌ β π½π½ cukup ditulis dengan πΌπΌπΌπΌ, asalkan tak ada salah pengertian. Anggota ruang vektor disebut vektor sedangkan anggota πΉπΉ disebut skalar.
Contoh 1.1.3.5
1. Diberikan ππ β β dan dibentuk βππ = {π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ): π₯π₯ππ β β, 1 β€ ππ β€ ππ}. Operasi penjumlahan dan perkalian skalar didefinisikan sebagai berikut: π₯π₯Μ
+ π¦π¦οΏ½ = (π₯π₯1 + π¦π¦1 , π₯π₯2 + π¦π¦2 , β¦ , π₯π₯ππ + π¦π¦ππ ) untuk
setiap
πΌπΌπ₯π₯Μ
= (πΌπΌπ₯π₯1 , πΌπΌπΌπΌ2 , β¦ , πΌπΌπ₯π₯ππ )
π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ),
merupakan ruang vektor real.
π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 , β¦ , π¦π¦ππ ) β βππ
dan
πΌπΌ β β.
βππ
2. ππ = πΆπΆ[ππ, ππ], yaitu koleksi semua fungsi kontinu dari [ππ, ππ] ke β. Operasi
penjumlahan (+) pada πΆπΆ[ππ, ππ] didefinisikan sebagai berikut: Untuk setiap ππ, ππ β
πΆπΆ[ππ, ππ], fungsi ππ + ππ didefinisikan sebagai
(ππ + ππ)(π₯π₯) = ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯), π₯π₯ β [ππ, ππ]
maka ππ merupakan grup komutatif, dengan (βππ)(π₯π₯) = βππ(π₯π₯) untuk setiap π₯π₯ β [ππ, ππ].Jika untuk setiap ππ β ππ = πΆπΆ[ππ, ππ] dan πΌπΌ β β didefinisikan fungsi πΌπΌπΌπΌ, dengan
rumus (πΌπΌππ)(π₯π₯) = πΌπΌπΌπΌ(π₯π₯), π₯π₯ β [ππ, ππ] maka dapat dilihat bahwa πΌπΌππ β ππ. ππ merupakan
ruang vektor real.
E. Hubungan Pemetaan Linear dan Bilinear Membahas hubungan antara pemetaan linear dan bilinear dapat diawali dari definisi dan selanjutnya dapat dilihat dari teorema. 1.
Pemetaan Linear
Definisi 1.2.1.1. Diberikan dua ruang vektor ππ dan ππ, masing-masing atas lapangan πΉπΉ
yang sama. Pemetaan ππ : ππ β ππ dikatakan linear jika memenuhi: 77
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
(i). ππ pemetaan aditif: ππ(π’π’1 + π’π’2 ) = ππ(π’π’1 ) + ππ(π’π’2 ), untuk setiap π’π’1 , π’π’2 β ππ.
(ii). ππ pemetaan homogen: ππ(ππππ) = ππππ(π’π’), untuk setiap ππ sebarang skalar dan π’π’ β ππ. Contoh 1.2.1.2.
1. β merupakan ruang vektor atas lapangan β. Pemetaan ππ : β β β dengan rumus ππ(π₯π₯) =Ξ±π₯π₯, untuk setiap Ξ±β β
merupakan pemetaan linear, sebab untuk setiap π₯π₯, π¦π¦, Ξ²β β berlaku
(i). ππ(π₯π₯ + π¦π¦) = Ξ±(π₯π₯ + π¦π¦) = Ξ±π₯π₯ + Ξ±π¦π¦ = ππ(π₯π₯) + ππ(π¦π¦) dan (ii). ππ(Ξ²π₯π₯) = Ξ±Ξ²(π₯π₯) = Ξ² Ξ±(π₯π₯) = Ξ²ππ(π₯π₯)
2. Diberikan Ξ±, Ξ² β β. Pemetaan ππ: β2 β β dengan rumus ππ(π₯π₯Μ
) = ππ(π₯π₯1 , π₯π₯2 ) = Ξ±π₯π₯1 + Ξ²π₯π₯2
merupakan pemetaan linear, sebab untuk setiap π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 ), π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 ) β β2 dan sebarang skalar πΎπΎ berlaku:
(i). ππ(π₯π₯Μ
+ π¦π¦οΏ½) = πποΏ½(π₯π₯1 , π₯π₯2 ) + (π¦π¦1 , π¦π¦2 )οΏ½ = (Ξ±π₯π₯1 + Ξ²π₯π₯2 ) + (Ξ±π¦π¦1 + Ξ²π¦π¦2 )
(ii). ππ(πΎπΎπ₯π₯Μ
) = πΎπΎ(Ξ±π₯π₯1 + Ξ²π₯π₯2 ) = πΎπΎπΎπΎ(π₯π₯Μ
).
= ππ(π₯π₯Μ
) + ππ(π¦π¦οΏ½)
Teorema 1.2.1.3. Diketahui ππ dan ππ masing-masing ruang vektor atas lapangan yang sama. Jika ππ : ππ β ππ merupakan pemetaan linear, maka (i). ππ (βπ₯π₯) = βππ(π₯π₯), untuk setiap π₯π₯ β ππ.
(ii). ππ(π₯π₯ β π¦π¦) = ππ(π₯π₯) β ππ(π¦π¦), untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ. (iii). ππ(ππ) = ππΜ
, dengan ππ β ππ dan πποΏ½ β ππ.
(iv). ππ(βππππ=1 πΌπΌππ π₯π₯ππ ) = βππππ=1 πΌπΌππ ππ(π₯π₯ππ ), untuk setiap skalar πΌπΌ1 , πΌπΌ2 , β¦ , πΌπΌππ dan vektor
π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ β ππ. Bukti:
(i). Karena ππ homogen dan β π₯π₯ = (β1)π₯π₯ untuk setiap π₯π₯ β ππ maka ππ(βπ₯π₯) = πποΏ½(β1)π₯π₯οΏ½ = β1ππ(π₯π₯) = βππ(π₯π₯).
(ii). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ dan π₯π₯ β π¦π¦ = π₯π₯ + (βπ¦π¦). Selanjutnya, karena ππ aditif dan berdasarkan (i) diperoleh ππ (π₯π₯ β π¦π¦) = πποΏ½π₯π₯ + (βπ¦π¦)οΏ½ = ππ(π₯π₯) + ππ(βπ¦π¦) = ππ(π₯π₯) β ππ(π¦π¦).
(iii). Berdasarkan (ii), diperoleh ππ(ππ) = ππ(π₯π₯ β π₯π₯) = ππ(π₯π₯) β ππ(π₯π₯) = ππΜ
.
(iv). Karena ππ homogen, maka pernyataan benar untuk ππ = 1. Dianggap pernyaan benar juga untuk ππ vektor. Untuk ππ + 1 vektor diperoleh ππ ππ(βππ+1 ππ=1 πΌπΌππ π₯π₯ππ ) = ππ(βππ=1 πΌπΌππ π₯π₯ππ + πΌπΌππ+1 π₯π₯ππ+1 )
= ππ(βππππ=1 πΌπΌππ π₯π₯ππ ) + πΌπΌππ+1 ππ(π₯π₯ππ+1 ) 78
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
= βππππ=1 πΌπΌππ ππ(π₯π₯ππ ) + πΌπΌππ+1 ππ(π₯π₯ππ+1 )
+1 = βππππ=1 πΌπΌππ ππ(π₯π₯ππ ).
Definisi 1.2.1.4. Diberikan dua ruang vektor ππ dan ππ masing-masing atas lapangan πΉπΉ yang sama. β(ππ, ππ) merupakan koleksi semua pemetaan linear ππ : ππ β ππ.
Berdasarkan definisi 1.2.1.4, jika ππ = β, dimana β merupakan himpunan bilangan
kompleks maka ππ disebut fungsional linear. Jadi, ππ β β(ππ, β). Contoh 1.2.1.5.
Diberikan Ξ±, Ξ² β β. Pemetaan ππ: β2 β β dengan rumus
ππ(π₯π₯Μ
) = ππ(π₯π₯1 , π₯π₯2 ) = Ξ±(π₯π₯1 + πππ₯π₯1 ) + Ξ²(π₯π₯2 + πππ₯π₯2 )
merupakan fungsional linear, sebab untuk setiap π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 ), π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 ) β β2 dan sebarang skalar πΎπΎ berlaku:
(i). ππ(π₯π₯Μ
+ π¦π¦οΏ½) = πποΏ½(π₯π₯1 , π₯π₯2 ) + (π¦π¦1 , π¦π¦2 )οΏ½ = πποΏ½(π₯π₯1 +π¦π¦1 ), (π₯π₯2 + π¦π¦2 )οΏ½
= Ξ±οΏ½(π₯π₯1 +π¦π¦1 ) + ππ(π₯π₯1 +π¦π¦1 )οΏ½ + Ξ²οΏ½(π₯π₯2 +π¦π¦2 ) + ππ(π₯π₯2 +π¦π¦2 )οΏ½
= (Ξ±(π₯π₯1 + πππ₯π₯1 ) + Ξ²(π₯π₯2 + πππ₯π₯2 )) + (Ξ±(π¦π¦1 + πππ¦π¦1 ) + Ξ²(π¦π¦2 + πππ¦π¦2 )) = ππ(π₯π₯Μ
) + ππ(π¦π¦οΏ½).
(ii). ππ(πΎπΎπ₯π₯Μ
) = πποΏ½(πΎπΎ(π₯π₯1 , π₯π₯2 )οΏ½ = πΎπΎ(Ξ±(π₯π₯1 + πππ₯π₯1 ) + Ξ²(π₯π₯2 + πππ₯π₯2 )) = πΎπΎππ(π₯π₯Μ
).
2.
Pemetaan Bilinear
Definisi 1.2.2.1. Diketahui ππ, ππ, dan ππ ruang vektor. Pemetaan ππ : ππ Γ ππ β ππ dikatakan bilinear jika memenuhi: (i).
ππ(π’π’1 + π’π’2 , π£π£) = ππ(π’π’1 , π£π£) + Ο(π’π’2 , π£π£), untuk setiap π’π’1 , π’π’2 β ππ dan π£π£1 , π£π£2 β ππ .
(ii). ππ(ππππ, π£π£) = ππππ(π’π’, π£π£), untuk setiap π’π’ β ππ, π£π£ β ππ dan ππ sebarang skalar.
(iii). ππ(π’π’, π£π£1 + π£π£2 ) = ππ (π’π’, π£π£1 ) + ππ (π’π’, π£π£2 ), untuk setiap π’π’ β ππ dan π£π£1 , π£π£2 β ππ.
(iv). ππ(π’π’, ππππ) = ππππ(π’π’, π£π£), untuk setiap π’π’ β ππ, π£π£ β ππ dan ππ sebarang skalar. Jika ππ = β, ππ disebut fungsional bilinear pada ππ Γ ππ.
Jika ππ, ππ, dan ππ masing-masing ruang vektor, maka koleksi semua pemetaan bilinear
ππ : ππ Γ ππ β ππ dinotasikan dengan π
π
(ππ, ππ; ππ).
Contoh 1.2.2.2. 2
β merupakan ruang vektor atas lapangan β. Didefinisikan pemetaan ππ : β Γ β β β dengan rumus ππ(π₯π₯, π¦π¦) = 2π₯π₯π₯π₯. Pemetaan ππ merupakan pemetaan bilinear, sebab
(ππ). Untuk setiap π₯π₯1 , π₯π₯2 , π¦π¦ β β berlaku
ππ(π₯π₯1 + π₯π₯2 , π¦π¦) = 2(π₯π₯1 + π₯π₯2 )π¦π¦ = 2π₯π₯1 π¦π¦ + 2π₯π₯2 π¦π¦ = ππ(π₯π₯1 , π¦π¦) + ππ(π₯π₯2 , π¦π¦).
(ππππ). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β β berlaku ππ(ππππ, π¦π¦) = 2ππππππ = ππ2π₯π₯π₯π₯ = ππππ(π₯π₯, π¦π¦), untuk 79
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
ππ β β.
(ππππππ). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦1 , π¦π¦2 β β berlaku
ππ(π₯π₯, π¦π¦1 + π¦π¦2 ) = 2π₯π₯(π¦π¦1 + π¦π¦2 ) = 2π₯π₯π₯π₯1 + 2π₯π₯π₯π₯2 = ππ(π₯π₯, π¦π¦1 ) + ππ(π₯π₯, π¦π¦2 ).
(ππππ). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β β berlaku ππ(π₯π₯, ππππ) = 2π₯π₯π₯π₯π₯π₯ = ππ2π₯π₯π₯π₯ = ππππ(π₯π₯, π¦π¦), untuk 3
ππ β β.
β merupakan ruang vektor atas lapangan β. Didefinisikan pemetaan ππ : β Γ β
β β dengan rumus bilinear, sebab
ππ(π₯π₯, π¦π¦) = (1 + ππ)π₯π₯π₯π₯. Pemetaan ππ merupakan fungsional
(ππ). Untuk setiap π₯π₯1 , π₯π₯2 , π¦π¦ β β berlaku
ππ(π₯π₯1 + π₯π₯2 , π¦π¦) = (1 + ππ)(π₯π₯1 + π₯π₯2 )π¦π¦ = (1 + ππ)(π₯π₯1 π¦π¦ + π₯π₯2 π¦π¦).
= (1 + ππ)π₯π₯1 π¦π¦ + (1 + ππ)π₯π₯2 π¦π¦) = ππ(π₯π₯1 , π¦π¦) + ππ(π₯π₯2 , π¦π¦).
(ππππ). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β β berlaku
ππ(ππππ, π¦π¦) = (1 + ππ)ππππππ = ππ(1 + ππ)π₯π₯π₯π₯ = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) untuk ππ β β..
(ππππππ). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦1 , π¦π¦2 β β berlaku
ππ(π₯π₯, π¦π¦1 + π¦π¦2 ) = (1 + ππ)π₯π₯(π¦π¦1 + π¦π¦2 ) = (1 + ππ)(π₯π₯π¦π¦1 + π₯π₯π¦π¦2 ).
= (1 + ππ)π₯π₯π¦π¦1 + (1 + ππ)π₯π₯π¦π¦2 ) = ππ(π₯π₯, π¦π¦1 ) + ππ(π₯π₯, π¦π¦2 ).
(ππππ). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β β berlaku 4
ππ(π₯π₯, ππππ) = (1 + ππ)π₯π₯(ππππ) = ππ(1 + ππ)π₯π₯π₯π₯ = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) untuk ππ β β..
Diberikan βππ = {π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ): π₯π₯ππ β β, 1 β€ ππ β€ ππ}. Didefinisikan pemetaan
ππ : βππ Γ βππ ββ dengan rumus
ππ(π₯π₯Μ
, π¦π¦οΏ½) = βππππ=1 π₯π₯ππ π¦π¦ππ , untuk setiap π₯π₯Μ
=
(π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ), π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 , β¦ , π¦π¦ππ ) β βππ . bilinear, sebab
Pemetaan ππ merupakan pemetaan
(ππ). Untuk setiap π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ), π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 , β¦ , π¦π¦ππ ), π§π§Μ
= (π§π§1 , π§π§2 , β¦ , π§π§ππ ) β βππ berlaku
ππ(π₯π₯Μ
+ π¦π¦οΏ½, π§π§Μ
) = βππππ=1(π₯π₯ππ +π¦π¦ππ )π§π§ππ = (π₯π₯1 +π¦π¦1 )π§π§1 + β― + (π₯π₯ππ +π¦π¦ππ )π§π§ππ = π₯π₯1 π§π§1 + π¦π¦1 π§π§1 + β― + π₯π₯ππ π§π§ππ + π¦π¦ππ π§π§ππ
= (π₯π₯1 π§π§1 + β― + π₯π₯ππ π§π§ππ ) + (π¦π¦1 π§π§1 + β― + π¦π¦ππ π§π§ππ ) = βππππ=1(π₯π₯ππ + π§π§ππ ) + βππππ=1(π¦π¦ππ + π§π§ππ )
= ππ(π₯π₯Μ
, π§π§Μ
) + ππ(π¦π¦οΏ½, π§π§Μ
).
(ππππ). Untuk setiap π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ), π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 , β¦ , π¦π¦ππ ) β βππ berlaku ππ(πππ₯π₯Μ
, π¦π¦οΏ½) = βππππ=1 πππ₯π₯ππ π¦π¦ππ = πππ₯π₯1 π¦π¦1 + β― + πππ₯π₯ππ π¦π¦ππ 80
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
= ππ(π₯π₯1 π¦π¦1 + β― + π₯π₯ππ π¦π¦ππ ) = ππ βππππ=1 π₯π₯ππ π¦π¦ππ
= ππππ(π₯π₯Μ
, π¦π¦οΏ½), untuk ππ β β.
(ππππππ). Untuk setiap π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ), π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 , β¦ , π¦π¦ππ ), π§π§Μ
= (π§π§1 , π§π§2 , β¦ , π§π§ππ ) β βππ berlaku
ππ(π₯π₯Μ
, π¦π¦οΏ½ + π§π§Μ
) = βππππ=1 π₯π₯ππ (π¦π¦ππ + π§π§ππ ) = π₯π₯1 (π¦π¦1 + π§π§1 ) + β― + π₯π₯ππ (π¦π¦ππ + π§π§ππ ) = (π₯π₯1 π¦π¦1 + β― + π₯π₯ππ π¦π¦ππ ) + (π₯π₯1 π§π§1 + β― + π₯π₯ππ π§π§ππ ) = βππππ=1(π₯π₯ππ + π¦π¦ππ ) + βππππ=1(π₯π₯ππ + π§π§ππ ) = ππ(π₯π₯Μ
, π¦π¦οΏ½) + ππ(π₯π₯Μ
, π§π§Μ
).
(ππππ). Untuk setiap π₯π₯Μ
= (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ), π¦π¦οΏ½ = (π¦π¦1 , π¦π¦2 , β¦ , π¦π¦ππ ) β βππ berlaku ππ(π₯π₯Μ
, πππ¦π¦οΏ½) = βππππ=1 π₯π₯ππ (πππ¦π¦ππ ) = π₯π₯1 (πππ¦π¦ππ ) + β― + π₯π₯ππ (πππ¦π¦ππ ) = ππ(π₯π₯1 π¦π¦1 + β― + π₯π₯ππ π¦π¦ππ ) = ππ βππππ=1 π₯π₯ππ π¦π¦ππ
= ππππ(π₯π₯Μ
, π¦π¦οΏ½), untuk ππ β β.
Teorema 1.2.2.3. Diberikan ππ dan ππ masing-masing ruang vektor atas lapangan yang
sama. Didefinisikan ππ: ππ β ππ merupakan pemetaan linear dan ππ = β(ππ, β). Jika ππ: ππ Γ ππ β β dengan ππ(π₯π₯, ππ) = πποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ untuk setiap π₯π₯ β ππ, ππ β ππ = β(ππ, β) maka ππ merupakan fungsional bilinear pada Bukti:
ππ Γ ππ.
(i). Untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ, ππ β ππ = β(ππ, β) berlaku
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, ππ) = πποΏ½ππ(π₯π₯ + π¦π¦)οΏ½ = πποΏ½ππ(π₯π₯) + ππ(π¦π¦)οΏ½ = πποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ + πποΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½
= ππ(π₯π₯, ππ) + ππ(π₯π₯, ππ).
(ii). Untuk setiap π₯π₯ β ππ, ππ β ππ = β(ππ, β) berlaku
ππ(ππππ, ππ) = πποΏ½ππ(πππ₯π₯)οΏ½ = πποΏ½ππππ(π₯π₯)οΏ½ = πππποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ = ππππ(π₯π₯, ππ), untuk skalar ππ.
(iii). Untuk setiap π₯π₯ β ππ, ππ, ππ β ππ = β(ππ, β) berlaku
ππ(π₯π₯, ππ + ππ) = (ππ + ππ)οΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ = πποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ + πποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ = ππ(π₯π₯, ππ) + ππ(π₯π₯, ππ).
(iv). Untuk setiap π₯π₯ β ππ, ππ β ππ = β(ππ, β) berlaku
ππ(π₯π₯, ππππ) = (ππππ)οΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ = ππ οΏ½πποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½οΏ½ = ππππ(π₯π₯, ππ), untuk sebarang skalar ππ.
Teorema 1.2.2.4. Diberikan ππ, ππdan ππ masing-masing ruang vektor atas lapangan yang sama. Didefinisikan
ππ: ππ β ππ merupakan pemetaan linear dan ππ β β(ππ, β).
81
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
Jika ππ: ππ Γ ππ β ππ dengan ππ(π₯π₯, π¦π¦) = (π₯π₯)οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½ untuk setiap π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ maka ππ merupakan pemetaan bilinear. Bukti: (i). Untuk setiap π₯π₯1 , π₯π₯2 β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku
ππ(π₯π₯1 +π₯π₯2 , π¦π¦) = (π₯π₯1 +π₯π₯2 )οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½
= (π₯π₯1 )οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½ + (π₯π₯2 )οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½ = ππ(π₯π₯1 , π¦π¦) + ππ(π₯π₯2 , π¦π¦).
(ii). Untuk setiap π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku
ππ(ππππ, π¦π¦) = (ππππ)οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½ = ππ(π₯π₯)οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½ = ππππ(π₯π₯, π¦π¦), untuk sebarang skalar ππ.
(iii). Untuk setiap π₯π₯ β ππ, π¦π¦1 , π¦π¦2 β ππ berlaku
ππ(π₯π₯, π¦π¦1 +π¦π¦2 ) = (π₯π₯)οΏ½ππ( π¦π¦1 +π¦π¦2 )οΏ½ = (π₯π₯1 )(ππ( π¦π¦1 ) + ππ( π¦π¦2 )) = (π₯π₯1 )οΏ½ππ( π¦π¦1 )οΏ½ + (π₯π₯2 )οΏ½ππ( π¦π¦2 )οΏ½ = ππ(π₯π₯, π¦π¦1 ) + ππ(π₯π₯, π¦π¦2 ).
(iv). Untuk setiap π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku
ππ(π₯π₯, ππππ) = (π₯π₯)οΏ½ππ(πππ¦π¦)οΏ½ = (π₯π₯)οΏ½ππππ(π¦π¦)οΏ½ = ππ(π₯π₯)οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½ = ππππ(π₯π₯, π¦π¦),
untuk
sebarang skalar ππ.
Teorema 1.2.2.5. Diberikan ππ, ππ, dan ππ masing-masing ruang vektor atas lapangan
yang sama. Jika ππ: ππ Γ ππ β ππ dan ππ: ππ Γ ππ β ππ dengan ππ = ππ jika ππ(π₯π₯, π¦π¦) =
ππ(π₯π₯, π¦π¦) untuk setiap π₯π₯ β ππ dan π¦π¦ β ππ maka π
π
(ππ, ππ; ππ) merupakan ruang vektor terhadap operasi
(ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) Bukti:
(ππππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) untuk sebarang skalar ππ.
(i). Untuk setiap ππ, ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) dan π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku
(ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) = (ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦).
(ii). Untuk setiap ππ, ππ, ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) dan π₯π₯ β ππ dan π¦π¦ β ππ berlaku (ππ + (ππ + ππ))(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) + (ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦)
= ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦)
= οΏ½ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦)οΏ½ + ππ(π₯π₯, π¦π¦) = οΏ½(ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦)οΏ½ + ππ(π₯π₯, π¦π¦) = οΏ½(ππ + ππ) + πποΏ½(π₯π₯, π¦π¦).
82
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
(iii). Terdapat 0 β π
π
(ππ, ππ; ππ) sehingga untuk setiap ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) dan π₯π₯ β ππ dan π¦π¦ β ππ berlaku (ππ + 0)(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) + 0(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦).
(iv). Untuk setiap ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) terdapat βππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) sehingga berlaku
(ππ + (βππ))(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) β ππ(π₯π₯, π¦π¦) = 0(π₯π₯, π¦π¦), π₯π₯ β ππ dan π¦π¦ β ππ.
(v). Untuk setiap ππ, ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) dan π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku
ππ(ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦)) = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππππ(π₯π₯, π¦π¦), untuk sebarang skalar ππ.
(vi). Untuk setiap ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) dan π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku
(ππ + π½π½)ππ(π₯π₯, π¦π¦) = (ππ + π½π½)ππ(π₯π₯, π¦π¦) = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) + π½π½π½π½(π₯π₯, π¦π¦), untuk sebarang skalar ππ, π½π½.
(vii). Untuk setiap ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) dan π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku
(ππππ)ππ(π₯π₯, π¦π¦) = ππππππ(π₯π₯, π¦π¦) = πποΏ½π½π½π½π½(π₯π₯, π¦π¦)οΏ½, untuk sebarang skalar ππ, π½π½.
(viii). Untuk setiap ππ β π
π
(ππ, ππ; ππ) dan π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ berlaku 1ππ(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦).
Teorema 1.2.2.6. (Hukum Parallelogram). Diberikan ππ dan ππ masing-masing ruang vektor atas lapangan yang sama. Jika ππ: ππ Γ ππ β ππ bilinear maka π₯π₯, π¦π¦ β ππ.
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) + ππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) = 2ππ(π₯π₯, π₯π₯) + 2ππ(π¦π¦, π¦π¦)
untuk
setiap
Bukti:
Karena ππ: ππ Γ ππ β ππ bilinear untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ maka
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π₯π₯) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π¦π¦, π₯π₯) + ππ(π¦π¦, π¦π¦)
dan
.......
(1)
ππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) = πποΏ½π₯π₯ + (βπ¦π¦), π₯π₯ + (βπ¦π¦)οΏ½ = ππ(π₯π₯, π₯π₯) + ππ(π₯π₯, βπ¦π¦) + ππ(βπ¦π¦, π₯π₯) + ππ(βπ¦π¦, βπ¦π¦) = ππ(π₯π₯, π₯π₯) + ππ(π₯π₯, (β1)π¦π¦) + πποΏ½(β1)π¦π¦, π₯π₯οΏ½ + πποΏ½(β1)π¦π¦, (β1)π¦π¦οΏ½ = ππ(π₯π₯, π₯π₯) β ππ(π₯π₯, π¦π¦) β ππ(π¦π¦, π₯π₯) + ππ(π¦π¦, π¦π¦) ....... (2) Selanjutnya, persamaan (1) dan (2) dijumlahkan, maka diperoleh ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) + ππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) = 2ππ(π₯π₯, π₯π₯) + 2ππ(π¦π¦, π¦π¦).
Teorema 1.2.2.7. Diberikan ππ dan ππ masing-masing ruang vektor atas lapangan yang
sama. Jika
ππ: ππ Γ ππ β ππ bilinear maka
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) β ππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) + ππππ(π₯π₯ + ππππ, π₯π₯ + ππππ) β ππππ(π₯π₯ β ππππ, π₯π₯ β ππππ) = ππ,
untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ. Bukti:
Karena ππ: ππ Γ ππ β ππ bilinear untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ maka
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π₯π₯) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π¦π¦, π₯π₯) + ππ(π¦π¦, π¦π¦) 83
.......
(3)
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 2, Oktober 2013
ISSN 2089-855X
βππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) = βππ(π₯π₯, π₯π₯) + ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π¦π¦, π₯π₯) β ππ(π¦π¦, π¦π¦) .......
(4)
βππππ(π₯π₯ β ππππ, π₯π₯ β ππππ) = βππππ(π₯π₯, π₯π₯) β ππ(π₯π₯, π¦π¦) β ππ(π¦π¦, π₯π₯) + ππππ(π¦π¦, π¦π¦) .......
(6)
ππππ(π₯π₯ + ππππ, π₯π₯ + ππππ) = ππππ(π₯π₯, π₯π₯) β ππ(π₯π₯, π¦π¦) β ππ(π¦π¦, π₯π₯) β ππππ(π¦π¦, π¦π¦) .......
(5)
Selanjutnya, persamaan (3), (4), (5) dan (6) dijumlahkan, maka diperoleh
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) β ππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) + ππππ(π₯π₯ + ππππ, π₯π₯ + ππππ) β ππππ(π₯π₯ β ππππ, π₯π₯ β ππππ) = ππ, untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ. F.
Simpulan
Berdasarkan pembahasan, untuk ππ, ππdan ππ masing-masing ruang vektor atas
lapangan yang sama diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Diketahui ππ: ππ β ππ pemetaan linear dan ππ = β(ππ, β). Jika ππ: ππ Γ ππ β β dengan ππ(π₯π₯, ππ) = πποΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ untuk setiap π₯π₯ β ππ, ππ β ππ = β(ππ, β) maka ππ merupakan fungsional bilinear pada ππ Γ ππ.
2. Diketahui ππ: ππβ ππ pemetaan linear dan ππ β β(ππ, β). Jika ππ: ππ Γ ππ β ππ dengan ππ(π₯π₯, π¦π¦) = (π₯π₯)οΏ½ππ(π¦π¦)οΏ½ untuk setiap π₯π₯ β ππ, π¦π¦ β ππ maka ππ merupakan pemetaan bilinear.
3. Jika ππ: ππ Γ ππ β ππ dan ππ: ππ Γ ππ β ππ dengan ππ = ππ jika ππ(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) untuk setiap π₯π₯ β ππ dan π¦π¦ β ππ maka π
π
(ππ, ππ, ππ) merupakan ruang vektor terhadap operasi (ππ + ππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππ(π₯π₯, π¦π¦) + ππ(π₯π₯, π¦π¦)
(ππππ)(π₯π₯, π¦π¦) = ππππ(π₯π₯, π¦π¦) untuk sebarang skalar ππ.
4. Jika ππ: ππ Γ ππ β ππ bilinear maka
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) + ππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) = 2ππ(π₯π₯, π₯π₯) + 2ππ(π¦π¦, π¦π¦), untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ.
5. Jika ππ: ππ Γ ππ β ππ bilinear maka
ππ(π₯π₯ + π¦π¦, π₯π₯ + π¦π¦) β ππ(π₯π₯ β π¦π¦, π₯π₯ β π¦π¦) + ππππ(π₯π₯ + ππππ, π₯π₯ + ππππ) β ππππ(π₯π₯ β ππππ, π₯π₯ β ππππ) = ππ, untuk setiap π₯π₯, π¦π¦ β ππ.
Daftar Pustaka
Berberian, S.K., 1961. Introduction to Hilbert Space, Oxford University Press, New York. Kreyszig, Erwin., 1978. Introductory Functional Analysis with Application, John Wiley & Sons, New York. Saih Suwilo, dkk. 1997. Aljabar Abstrak, Suatu Pengantar, USU Press, Medan. Soeparna Darmawijaya, 2006. Pengantar Analisis Real, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Soeparna Darmawijaya, 2007. Pengantar Analisis Abstrak, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
84
