Sifat Pasangan Adjoin Relatif Terhadap Bentuk Bilinear1 Karyati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta Email:
[email protected]
Abstract Let X and Y be vector spaces over a field K , then be K . This paper discuss the constructed a bilinear form B : X Y properties of adjoin pairs with respect to the bilinear form B . The result show that : f , g is an Adjoin pairs if and only if f B B g , g L Y defined as (t ) g g t , t Y ; f , g is LX Adjoin pairs if and only if g B B f , f defined as (t ) f f t , t X ; If B : X Y K is a non degenerate bilinear form and the dimension of X and Y are finite, then for every f L X there is Rg
g
LY
such that
is Adjoin pairs, N g
f ,g
N f . As the corollary , for every g
that f , g is Adjoin pairs, N g
L Y there is f
R f and R g
R f
and
L X such
N f .
Keywords: Bilinear form, non degenerate, adjoin pairs
1. Pendahuluan Dari Aljabar Linear diperoleh beberapa pengertian dan sifat-sifat sebagai berikut (Lang :1970): Misalkan X lapangan
K . Himpunan X Y
dan Y ( x, y ) x
ruang vektor berdimensi hingga atas X, y Y
membentuk ruang vektor atas
lapangan K terhadap operasi jumlah dan pergandaan biasa. Pemetaan B : X Y
K disebut bentuk bilinear apabila linear terhadap
setiap variabelnya . Pemetaan ini menentukan dua pemetaan linear, yaitu: 1
Disampaikan pada Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Hotel Inna Garuda Yogyakarta, 1 Agustus 2006
1
Y*
B* : X
B* : Y
dan
( x, ) B dan ( y ) B*
( x) B*
X*
yang
masing-masing
didefinisikan
oleh
( , y ) B . Dalam tulisan ini fungsi dianggap sebagai
operator kanan. Selanjutnya yang dimaksud dengan L X linear dari ruang vektor Adjoin dengan g untuk semua x dengan f
adalah himpunan transformasi
X ke dirinya sendiri. Transformasi f
LX
dikatakan
L Y relatif terhadap bentuk bilinear B jika ( x) f , y B
x, ( y) g B
X dan y Y . Dalam hal demikian dikatakan juga g
L X relatif terhadap B . Selanjutnya pasangan
Adjoin
LY
f , g disebut pasangan
Adjoin. Dalam penulisan ini akan diselidiki beberapa sifat pasangan adjoin relatif terhadap bentuk bilinear B .
2. Ruang Dual Misalkan X
f :X
X
ruang
vektor
K f transforma si linear
atas
lapangan
K;
himpunan
merupakan ruang vektor atas lapangan K
terhadap operasi jumlah dua fungsional biasa dan pergandaan skalar.
Selanjutnya
ruang vektor X ini disebut ruang dual dari ruang vektor X . Salah satu sifat ruang dual X adalah mempunyai dimensi yang sama dengan ruang vektor X .
3. Sifat Bentuk Bilinear Bentuk bilinear B : X Y B :X ( y) B
Y
dan
B :Y
X
, y B . Kernel dari B : X
K menentukan dua pemetaan linear yaitu
yang
didefinisikan
Y adalah N B
adalah fungsi nol dari Y ke K . Hal yang sama N B
oleh: ( x) B
= x X ( x) B y Y ( y) B
x, B
dan
, dengan dan
adalah fungsi nol dari X ke K . Bentuk bilinear B dikatakan non-degenerate jika N B
N B
0 .
2
Annihilator dari U ( relatif terhadap B ), dengan U suatu ruang bagian dari X , ^
adalah U
y Y
u, y B 0, u U . Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa U
adalah ruang bagian ruang vektor Y , yaitu: untuk setiap u, a b B
setiap
u, a B
a, b U , maka
u, b B 0 0 0 untuk setiap u U . Sehingga a
K dan untuk setiap a U , maka u, a B
b U . Untuk
0 0 . Sehingga
u, a B
a U.
Hal yang sama didefinisikan annihilator ruang bagian V , dengan V ruang bagian dari ruang Y , yaitu : V
x
X
x, v B 0, v V . Secara analog, dapat
^
ditunjukkan bahwa V adalah ruang bagian ruang vektor X . Jika ruang vektor X dan Y
berdimensi hingga dan bentuk bilinear B : X Y
K merupakan bentuk
bilinear yang non degenerate, maka dimensi X sama dengan dimensi Y ( Karyati: 2002 ). Dalam bagian berikut akan dibicarakan syarat perlu dan cukup Pasangan Adjoin yang penulis kembangkan dari tulisan Rajendran dan Nambooripad (2000).
4. Sifat Pasangan Adjoin relatif terhadap Bentuk Bilinear Lemma dan akibat berikut memberikan syarat perlu dan cukup agar merupakan pasangan Adjoin: Lemma 1. Jika f , g a.
LX
L Y maka kondisi berikut ekuivalen:
f , g adalah pasangan adjoin f B
b.
B g , dengan g
LY
yang didefinisikan (t ) g
Bukti: (
)
Dari yang diketahui dipenuhi : ( B ) g
gB .
3
g t ,
t Y
f ,g
f , g pasangan adjoin
( x) f , y B
x, ( y) g B
( y) B( x) f
(( y) g ) Bx
( definisi padangan adjoin ) (
y Y , B menentukan
dua pemetaan linear ) ( y) g B x
( y ) B( x ) f
g Bx
B( x) f
( y Y ) (
x X)
( x) f B
g ( x) B
( definisi B )
( x) f B
( x) B g
( definisi g )
( x) f B
( x) B g
( definisi komposisi fungsi )
f B
(
B g .
)
Dipenuhi f B
B g ,
dengan g
LY
yang didefinisikan (t ) g
g t ,
t Y , sehingga: f B
B g
( x) f B
( x) f B
( x) B g
( x) B g
(
x X)
( definisi komposisi fungsi )
( x) f B
B( x) f
g ( x) B
g Bx
( definisi g ) (definisi B )
( y ) B( x ) f
( y) g B x
( y Y )
( y) B( x) f
(( y) g ) Bx
( definisi komposisi fungsi )
( x) f , y B
x, ( y) g B
f , g pasangan adjoin
■
4
Akibat 2. Lemma di atas berakibat pernyataan berikut juga ekuivalen: a. b.
f , g adalah pasangan adjoin gB
B f , dengan f
didefinisikan oleh: (t ) f
LX
f t ,
t
X
Bukti: (
) f , g pasangan adjoin
( x) f , y B ( x) f B y
( x ) B( y ) g
( x) f B y f By
( definisi padangan adjoin )
x, ( y) g B
( x ) B( y ) g
B( y ) g
f ( y) B
( y) g B
( y) B
( y) g B
f
( y) B f
B f
( y) g B
gB
Dengan membalik arah buktyi tersebut dapat dibuktikan jika g B f
LX
didefinisikan oleh: (t ) f
f t ,
t
B f , dengan
X , maka f , g pasangan adjoin .
■
Teorema dan akibat berikut merupakan konsekuensi dari Lemma 1 , Akibat 2 dan salah satu sifat ruang dual. Teorema 3. Misalkan X dan Y ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Jika B: X Y
K non degenerate, maka untuk setiap
sedemikian sehingga g adjoin dengan f dan N g
Bukti:
5
f
LX
terdapat g
R f serta R g
N f .
LY
Bentuk dim X
B: X Y
non
K
degenerate,
dimY . Sementara itu berlaku juga dim X
Diketahui dim Y
bilinear
0 ,
N B
sehingga
dim R( B ) ,
dim N ( B )
sehingga
berlaku
dim X , sehingga dim Y
dim X .
injektif.
B
sehingga
Berlaku dim X .
dim R B
juga
Akibatnya
B
surjektif. Jadi B isomorphisma. Ambil
f
LX
sebarang
LX .
f
Selanjutnya
dan g B
LY
B f B
g
f t untuk semua t
yang didefinisikan oleh: (t ) f
dual dari ruang X . Jelas bahwa g
dibentuk
1
,
X , suatu ruang
B f B
1
B
B f .
Menurut Akibat 2 diperoleh g Adjoin dengan f . Ambil x Diketahui sehingga x
N f , sehingga ( x) f
g
Adjoin
R g . Jadi N f
Ambil x
Rg
0 dan ( x) f , y B (0, y) B 0 , untuk semua y Y .
dengan
sehingga:
sehingga
B non degenerate, sehingga ( x) f
x, ( y) g B 0 untuk semua y Y . Diketahui g x, ( y) g B 0 , untuk semua y Y . Diketahui
0 atau x
N f .
(2)
N f
Ambil y
N g , sehingga ( y) g
Adjoin dengan f ,sehingga ( x) f , y B R f . Jadi N g
Ambil y
x, ( y) g B 0 ,
(1)
Dari persamaan (1) dan (2) terbukti bahwa R g
y
( x) f , y B
Rg
Adjoin dengan f , sehingga ( x) f , y B
Jadi R g
f ,
R f
N f .
0 dan x, ( y) g B
x,0 B 0 , diketahui g
x, ( y) g B 0 , untuk semua x
(3)
R f
maka ( x) f , y B 0 , untuk semua x
Adjoin dengan f , sehingga ( x) f , y B B non degenerate, sehingga ( y) g
X , sehingga
X.
Diketahui g
x, ( y) g B 0 untuk semua x
X . Diketahui
0 atau y
6
N g .
Jadi R f
(4)
N g
Dari persamaan (3) dan (4) terbukti bahwa N g
R f .
■
Akibat 4 . Misalkan X dan Y ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Jika B: X Y
K non degenerate, maka untuk setiap B : X Y
sedemikian sehingga f Adjoin dengan g dan N g
K terdapat f
R f serta R g
LX
N f .
Bukti: Bukti analog dengan lemma sebelumnya. Pemetaan B juga isomorphisma, sehingga dapat dibentuk
1
B g B
f
. Bukti selanjutnya analog.
5. Kesimpulan Dari uraian di atas diperoleh beberapa sifat pasangan adjoin sebagai berikut: Jika
f ,g
LX
LY
maka kondisi berikut ekuivalen berlaku:
adjoin jika dan hanya jika f B (t ) g
g t ,
f
N g
dengan g
t Y , sebagai akibatnya berlaku juga:
dan hanya jika g B t
B g ,
B f , dengan f
LX
X . Sifat lain diperoleh : Jika B : X Y LX
terdapat g
R f serta R g
LY
LY
f ,g
f ,g
pasangan
yang didefinisikan pasangan adjoin jika f t ,
didefinisikan oleh: (t ) f
K non degenerate, maka untuk setiap
sedemikian sehingga
g adjoin dengan
f
N f . Sebagai akibatnya dipenuhi sifat: Jika B : X Y
non degenerate, maka untuk setiap f g adjoin dengan f dan N g
L X terdapat g
R f serta R g
7
N f .
dan K
L Y sedemikian sehingga
Kepustakaan Karyati, 2002. Semigrup yang dikonstuksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis. Program Pasca Sarjana, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Lang, S. 1970. Linear Algebra. Addison –Wesley Publishing Company, Inc, New York. Rajendran, D., Nambooripad, K.S.S., 2000. Bilinear Forms and a Semigrup of Linear Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 24:609-616.
8
