X
matematika PEMINATAN SIFAT-SIFAT EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi eksponen. 2. Memahami sifat-sifat bentuk pangkat. 3. Memahami sifat-sifat bentuk akar. 4. Menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat dan akar dalam pemecahan masalah.
A.
DEFINISI EKSPONEN Eksponen atau bilangan berpangkat dinotasikan dengan am (dibaca a pangkat m), dengan a, m∈R, a > 0, dan a ≠ 1. Pada notasi eksponen, a disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan m disebut pangkat atau eksponen. Jika m adalah bilangan bulat positif, maka definisi dari eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut. am = a× a × a × ... ×a sebanyak m bilangan
B.
SIFAT-SIFAT BENTUK PANGKAT Jika a dan b bilangan real, serta m dan n bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat berikut. 1.
am × an = am + n
1
Kela s
K13
2.
am = am −n , dengan a ≠ 0 dan m > n an
3.
(am)n = am × n
4.
(a × b)m = am × bm
5.
am a = , dengan b ≠ 0 b bm
6.
a0 = 1, dengan a ≠ 0
7.
a− m =
8.
a n = n am , dengan n ≥ 2
m
1 , dengan a ≠ 0 am
m
Contoh Soal 1 Tentukan hasil dari operasi eksponen berikut! a.
32 × 3
b.
24 22
c.
(52)3
d.
23 × 33
e.
102 22
f.
4–3
g.
2−3 × 3 3 2 × 3
−1
h.
2
83
Pembahasan: a.
Dengan menggunakan sifat am × an = am + n, diperoleh:
32 × 31 = 32 + 1
= 33
= 27
Jadi, 3 × 3 = 27. 2
2
b.
Dengan menggunakan sifat
am = am −n , diperoleh: dengan a ≠ 0 dan m > n an
24 = 24 −2 22 = 22 =4 Jadi, c.
24 = 4. 22
Dengan menggunakan sifat (am)n = am × n, diperoleh:
(5 ) 2
3
= 52× 3 = 56 = 15.625
Jadi, (52)3 = 15.625. d.
Dengan menggunakan sifat am × bm = (a × b)m, diperoleh: 23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 216 Jadi, 23 × 33 = 216.
e.
m
a am Dengan menggunakan sifat = m ,, diperoleh: dengan b ≠ 0 b b 102 10 = 22 2
2
= 52 = 25 Jadi, f.
102 = 25. 22
−m Dengan menggunakan sifat a =
1 43 1 = 64
1 a≠0 , dengan diperoleh: am
4 −3 =
Jadi, 4 −3 =
1 . 64
3
g.
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: −1
2−3 × 3 23 × 3−1 = 3 2−1 × 3−3 2×3 23 × 2 × 33 3 4 2 =2 3 = 144 =
−1
2−3 × 3 4 2 Jadi, 3 = 2 3 = 144. 2 3 × h.
m
Dengan menggunakan sifat a n = n am , dengan diperoleh: n≥2 2
8 3 = 3 82 = 3 64 =4 2
Jadi 8 3 = 43 82 = 3 64 Contoh Soal =4 2 Sederhanakan operasi bentuk pangkat berikut! a.
(4 x
b.
64 a−7 b −6 27 a−8 b −2
−3 2
y
)(2 x
2 −1
y
)
−1
Pembahasan: a.
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh:
(4 x
−3 2
y
)(2 x
2 −1
y
)= 4⋅x
−3
⋅ y 2 ⋅ 2 ⋅ x 2 ⋅ y −1
= 4 ⋅ 2 ⋅ x −3 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ y −1 = 8 ⋅ x -3+2 ⋅ y 2 −1
(
)(
= 8 x −1y 8y = x
)
Jadi, 4 x −3 y 2 2 x 2 y −1 =
8y . x
4
b.
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: −1
64 a−7 b −6 26 a−7 b −6 = 27 a−8 b −2 27 a−8 b −2
(
= 2−1ab −4
)
−1
−1
= 2a−1b 4 =
2b 4 a −1
64 a−7 b −6 2b 4 = Jadi, . 27 a−8 b −2 a
Contoh Soal 3 Bentuk sederhana dari Pembahasan:
( b − a )10 ( a + b )−7 ( a − b )9 ( b + a )−8
adalah ....
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: −7 ( b − a )10 ( a + b )−7 = ( ( −1)( a − b ) ) ( a + b ) ( a − b )9 ( b + a )−8 ( a − b )9 ( a + b )−8 ( −1)10 ( a − b )10 ( a + b )1 = ( a − b )9 = ( a − b )( a + b ) 10
= a2 − b 2 Jadi, bentuk sederhana dari
( b − a )10 ( a + b )−7 ( a − b )9 ( b + a )−8
5
adalah a2 – b2.
Contoh Soal 4 Jika 22017 – 22016 – 22015 = ab, dengan a bilangan prima, maka a + b = .... Pembahasan: Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh: 22017 − 22016 − 22015 = ab ⇔ 22+2015 − 21+2015 − 22015 = ab ⇔ 22 × 22015 − 2 × 22015 − 22015 = ab Misal 22015 = p , maka : ⇔ 4 p − 2 p − p = ab ⇔ p = ab ⇔ 22015 = ab Oleh karena 2 adalah bilangan prima, maka : a = 2 dan b = 2015 5 Jadi, a + b = 2017.
C.
SIFAT-SIFAT AKAR PANGKAT n Akar dari suatu bilangan dinotasikan dengan a (dibaca akar pangkat n dari a), dengan n bilangan positif, n ≥ 2, dan a ≥ 0. Pada notasi akar, a disebut radikan, sedangkan n disebut pangkat akar.
Jika a, b, p, dan q bilangan rasional positif, a, b ≥ 0, serta n ≥ 2, maka berlaku sifat-sifat berikut. 1. 2.
n
a × n b = n ab
n
a
n
b
=
n
a b
3.
( a)
4.
p n a ± q n a = ( p ± q) n a
5.
(
6.
n
n
=a
)(
a − b = a−b
(a + b) ± 2
ab = a ± b
a+ b
)
6
Contoh Soal 5 Tentukan nilai dari bentuk akar berikut! 72
a. b. c. d.
3
72
3
9
32 − 4 50 + 18
(3
2 +2 3
) 2
Pembahasan: a.
Dengan menggunakan sifat
n
a × n b = n ab , diperoleh:
72 = 36 × 2 = 36 × 2 =6 2
Super "Solusi Quipper" Selain menggunakan sifat-sifat akar pangkat, bentuk pada soal juga dapat diselesaikan dengan pohon faktor berikut. 72 Untuk yang berpasangan ditulis sekali
Untuk yang tidak berpasangan diakarkan
36
2 2
18
2
9
2 3
3 3
72 =722 ×= 3 ×36 2× 2= 6 2 = 36 × 2 Jadi,
72 = 6 2
7
b.
Dengan menggunakan sifat 3
72
3
9
=3
n n
a b
=
n
a , diperoleh: b
72 9
=38 =2 Jadi, c.
3
72
3
9
== 23
72 9
=38 Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh: =2 32 − 4 50 + 18 = 16 × 2 − 4 25 × 2 + 9 × 2 = 16 2 − 4 25 2 + 9 2 = 4 2 − 4×5 2 +3 2 = 4 2 − 20 2 + 3 2 = -13 2 32 − 4 50 + 18 = −13 2.
Jadi, d.
Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh:
(3
2 +2 3
) = (3 2 ) + 2 × 3 2 × 2 3 + (2 3 ) = 3 ( 2 ) + 12 6 + 2 ( 3 ) 2
2
2
2
2
2
= 9 × 2 +12 6 + 4 × 3 = 30 +12 6
(
Jadi, 3 2 + 2 3
)
2
= 30 +12 6.
Contoh Soal 6 Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini! a. b.
4 2
8 2 3
8
2
c. d.
2+ 3
2− 3 16
5+ 3
Pembahasan: a.
a
Berdasarkan sifat 4 2
4
=
2
b
=
a b
×
b b
=
a b , diperoleh: b
=
a b , diperoleh: b
2
×
2
4 2 2 =2 2
=
Jadi, b.
4 2
= 2 2. a
Berdasarkan sifat 8 2 3
=
8
×
2 3
b
=
a b
×
b b
3 3
8 3 6 4 = 3 3 =
Jadi, c.
8 2 3
=
4 3. 3
Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh: 2+ 3 2− 3
=
2+ 3 2− 3
×
2+ 3 2+ 3
(2 + 3 )
2
=
4−3 = 4+4 3 +3 =7+4 3 Jadi,
2+ 3 2- 3
= 7 + 4 3.
9
d.
Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh: 16 5+ 3
16
= =
5+ 3 16
=8
(
5− 3
5− 3 5−3
(
5− 3
×
5− 3
)
)
=8 5 −8 3 Jadi,
16
= 8 5 − 8 3.
5+ 3
Contoh Soal 7 Sederhanakan bentuk berikut! a.
8 − 2 15
b.
7+4 3
c.
3+ 5
d.
14 + 5 3
Pembahasan: a.
Dengan menggunakan sifat 8 − 2 15 =
( 5 + 3) − 2
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh:
5.3
= 5− 3 Jadi, b.
8 − 2 15 = 5 − 3.
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh:
7+ 4 3 = 7+2×2 3 = 7+2 4 3 = 7 + 2 12 =
( 4 + 3) + 2
4×3
= 4+ 3 = 2+ 3
10
= 7+2 4 3 = 7 + 2 12
( 4 + 3) + 2
=
4×3
= 4+ 3 = 2+ 3 Jadi, c.
7 + 4 3 = 2 + 3.
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh: 3+ 5 2 × 1 2
3+ 5 =
6+2 5
=
2 (5 +1) + 2 5.1
=
2 5+ 1
=
2 5 +1
= Jadi, d.
2
3+ 5 =
5 +1 2
.
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh:
14 + 5 3 = 14 + 25 3 = 14 + 75 × = = = =
2 2
28 + 2 75 2
( 25 + 3) + 2
25 × 3
2 25 + 3 2 5+ 3 2
Jadi, 14 + 5 3 =
5+ 3 2
.
11
