Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.
BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA. Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah 1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang berkaitan dengan pangkat, akar dan logaritma. Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat 1.1.1. Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma. 1.1.2. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang lainnya. 1.1.3. Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen. 1.1.4. Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar. 1.1.5. Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma. . Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat. 2. Operasi hitung dalam aljabar. A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti dian- tara beberapa pola berikut ini: Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104 Penyelesaian : a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243 b. 56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = ……. c. 104 = …. x ….. x ….. x ….. = ……… Penarikan kesimpulan: an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n n factor
a disebut bilangan pokok atau basis. n disebut pangkat atau eksponen an disebut bilangan berpangkat.
A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini: Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 x 42 Penyelesaian : a. b.
b. 24 x 25
43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4….. 3 faktor 2 faktor (3 + 2) factor 2 x 2 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 ) 4
5
= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2….. Penarikan kesimpulan: ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + …. …. factor Sifat 1 :
…. factor
( … + …. ) factor
ap . aq = a …. + …… LKS-Mat.X-01
1
LKS-Mat.X-02
45 43
Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a. Penyelesaian : 5 faktor
38 b. 4 3
3 faktor
45 4 x4 x.....x.....x..... 4 x.....x..... a. 3 = = x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42 = 4 5 - 3 4 x.....x..... 4 x.....x..... 4 3 faktor
3 faktor
2 faktor
8 faktor
4 faktor
4 faktor
38 3x.....x.....x.....x.....x.....x.....x3 3x.....x.....x..... b. 4 = = x ( 3 x ….. x ….. x….. ) 3x.....x.....x3 3x.....x.....x..... 3 4 faktor 4 faktor = 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34 = 3 4 faktor
….. - …..
4 faktor
Penarikan kesimpulan: p faktor
( p - …. ) faktor
q faktor
ap ax.....x.....x.....x.....x.....x.....xa ax.....x.....x..... = = . ( a x ….. x ….. x….. ) q ax.....x.....xa ax.....x.....x..... a q faktor q faktor = 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - …… ( …. - …. ) faktor
( ….. - …. ) faktor
ap = a ….. - …… q a
Sifat 2 :
Masalah 4 : Tentukan nilai dari: Penyelesaian :
( 2 x 5 )3
3 faktor
3 faktor
3 faktor
( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 …. Penarikan kesimpulan: ( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b) p factor
p factor
p factor
= a … . b …. Sifat 3 :
( a . b ) p = a ….. . b p
Masalah 5 : Tentukan nilai dari:
( 5 3 )4
Penyelesaian : 4 faktor
4 faktor
( 53 )4 = 53 x 5…. x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) 3 faktor 3 faktor , 3 faktor 3 faktor = 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x ….. = 5…… 2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }
Sifat 4 :
( a p ) q = a … x …..
2
LKS-Mat.X-03 Masalah 6
: Tentukan nilai dari:
Penyelesaian :
(
2 4 ) 5
4 faktor
4 faktor
2 ..... 2 4 2 ... 2 2 x....x....x 2 ( ) = x x ….. x = = ..... 5 5 5 5 5 x....x....x.... 5 4 faktor Sifat 5 :
(
ap a p ) = b b....
A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini: Masalah 7
: Buktikan bahwa: a. ao = 1
Bukti
: a. Akan dibuktikan ao = 1
b. a-p =
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + …… ….
q
a .a =a
a0 =
b. Akan dibuktikan
a-p =
= a
, missal : p = 0 didapat: …..
aq = ……. a ....
a0 = Sifat 6 :
0 + ……
1 ap
Terbukti.
1
1 ap
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
, missal : q = -p didapat:
a…. . a….. = a ….. – p = a ….. a –p = Sifat 7 :
a-p =
a .... ..... = .... .... a a
Terbukti.
1 ap
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan pangkat! a. 4p2 x 2p3 x 23p c. 10y7 : 2y2 e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 ) 3 2 4 5 2 4 7 b. ( -k ) : k d. ( -m : m ) x m f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)2 2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative ! a.
1 4t 6
b.
5 ( a b) 3
c.
2 (b c 3 ) 3 2
3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif ! -6 4
27 p 7 c. 9 p2
2 -2
a. a b x a b
2 -3 -2
-2 3 2
b. (5m n ) x 2(m n )
2 2 m 4 n d. 3 8mn
9m 2 n 3 p 7 e. 21.m 1 n 2 p 6 2
3m n 2
f.
2 2
p4
:
p 3 m6
A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR. Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Definisi:
a adalah bilangan non negative sedemikian hingga
a.
a =a
3
LKS-Mat.X-04 Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut: 1
a. 3
a =a 3
..... ..... .....
1
a 2 .a 2 a .....
berarti
1 3
3
a . a . a = a berarti
1 ....
a .a .a
..... ......
a
1
a ...... sehingga :
..... ..... ..... ..... ..... .....
Sehingga dapat disimpulkan berlakunya :
...... ......
a
a q
Sifat 8 :
......
a = a ...... sehingga
a a p
3
a a 1
1 .....
p .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan ! b. m 3 m
a. q 2 4 q 3
1
c.
y
56
y5
2. Nyatakan dalam bentuk akar ! 2 5
a. 4a
b. 9k
5 2
7 2
c. 9a 3a
3 2
3. Sederhanakan bentuk di bawah ini !
1 3 a. 3a 2 .b 2
2
1
96a 3 .b 2 b. 2 8 3a .b
5
x3 c. y
m
ym 3 x
m
4. Hitung nilai dari ! a. 64
1 3
b.
(27)
1 3
c. 1442 .8 1
5
2 3
92 A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR. a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar. Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang sejenis / sama. Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini: a. 2 3 + 5
3
b. 4
7 -
7
Penyelesaian: a. 2 3 + 5 3 = ( 2 + …. ) 3 = … 3 Penarikan Kesimpulan :
a
b. 4 7 - 7 = (…. - ….) 7 = …. 7
p b p = ( a …. )
.....
a.2. Perkalian bentuk akar. Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:
3 x 2
a. Penyelesaian: a.
3 x 2=
3x..... ......
Penarikan Kesimpulan :
b. 4 3 x 2 7 b. 4 3 x 2 7 = ( 4 x…. )
a.b =
3x..... ..... ......
a. b
a.3. Menyederhanakan bentuk akar. Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini: a. Penyelesaian:
12
b.
8 x
12
a.
12 .....x3 .....x ...... ...... ......
b.
8 x 12 = .....x2 x .....x3 = …. ..... x …. ..... = ( …. x…. ) ...x... = ….
..... 4
LKS-Mat.X-05 A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR. Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa permasalahan berikut ini: Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:
6
a.
b.
3
5 3 2
Penyelesaian:
.... ..... ..... ..... ..... ..... = ...... ..... ..... ...... ..... .....x..... 3 3 3 ...... ....( ... ... ) ...( ... ... ) 5 5 5 3 2 b. = x 1= x = = ..... ..... .... ..... ( ... ) 2 ( ... ) 2 3 2 3 2 3 2 a.
6
6
=
x1=
6
x
3 2 dan 3 2 disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di2 2 kalikan menghasilkan bilangan Real: ( 3 ) - ( 2 ) = 3 – 2 = 1
Di mana :
Penarikan Kesimpulan :
a
a.
b
a b
a
b.
b c
=
x
.... .... a
a .... b
b c
x
b .... .... ....
a( .... ....) ...... .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana ! a. 5 7 3 7 7 b. 3 2 ( 2 5 ) c. 5 (4 5 3 ) 3 ( 5 3 3 ) 2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini ! a.
3 2 3
b.
3. Diketahui x = 2 3 2 a. x2 y
11 2 2 32 2
c.
5 3 3 2
dan y = 2 3 2 . Tentukan nilai dari :
b. x2 + 2xy + y2
c.
x y
B. BENTUK LOGARITMA. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif. Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen:
ax = c
Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut: 1. a x = ……. dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen. 2. (….)x = c 3. a (….) = c
c ...... dikenal dengan operasi bentuk akar. log c = …... dikenal dengan operasi logaritma. x
a
Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk logaritma memiliki korelasi yang erat. Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a 1 dan c > 0. a log c = x ax = c
5
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara beberapa model logaritma berikut ini: LKS-Mat.X-06 Tentukan nilai dari : a. 2log 8
Masalah 12 : Penyelesaian:
a. 2log 8 = 3
b.
, sebab
c.
log 10000
c.
1 3
log 9
=8
, sebab 10….. = 10000
b. 10log 10000 = ……. 1 3
23
10
1 , sebab 3
log 9 = ……..
........
= ……..
Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu: 1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real: 1.1. 1.2.
Untuk bil. Pokok a = 10 Untuk bil. Pokok selain 10
10
log c biasa ditulis log c log c , missalnya: 2log 3
a
Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs. 2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. ) e log c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c) Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini: Dari definisi : a log c = x ax = c didapat ax = a Sehingga berlaku: Sifat 1 : Sederhanakan: 4
4 Masalah 13
2
log 7
2
log 7
a
a
log c
= c
a
log c
= …..
,
..... 2 2 2 (....) 2 log..... (.....) log(.....) (.....) 2 .......
: Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xp
Penyelesaian: a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat q = alog y maka sesuai definisi didapat x.y = ap . a….. = a….. + …..
sehingga Sehingga berlaku: Sederhanakan:
3
3
Sifat
2
log 15 jika
:
a
a
maka :
a…. = x aq = …..
log (…. …..) = p + …..
log x.y = alog …. + alog ….
diketahui
3
log 5 = a
log 15 = 3 log (….. x …..) = 3log ….. + 3 log ….. = 1 + ……..
b. alog x - alog y
, dengan cara yang sama didapat:
ap x = q = a p ...... y a
a
maka
x = …. - ….. y
log
Sehingga berlaku: Sifat Sederhanakan: 4
a
log 8 = 3 log p
c. log x
=
a
4
3
:
log 8 jika 16 2
a
log
x y
= alog …. - alog …. 4
diketahui
log 2 = a
= 4 log …. - 4 log …. = 4 log (….)2 – 4 log ….. = 2 4 log … - a = …. -a
p faktor log ( x . x . x . ….. . x ) =
a
log x + a log x + …….. + a log x = …..
a
log x
p suku Sehingga berlaku: Sifat
4
:
a
log xp = ….. alog x
6
2
Sederhanakan: 2
log 32 = …………… 2
log 32 =
log (….)5 = (….) 2log ….. = ……. LKS-Mat.X-07
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini: a.
6
log 8 – 6 log 2 + 6 log 9
b.
3
log 38 + 3 log
1 27
c. 3 log 81 – 3 log 9
e. 5 log 100 – 2. 5 log 2
3
d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 – 2log 105
2. Sederhanakanlah: 1
a. log x4 – 3. log x + log 1/x b. 2 log
6-
1
1 log x y 2
c. log x 3 + log y 2 -
1 2 . log 3 2
d.
1 10 . log 10 + 3 . 10 log 10 2
3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini: 3
5
a. log 27
b.
16
log 8
7 9
3
c.
log
1 94
d. 25 log
5
21
e. 8 log 4-19
4. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut: a
a.
5 1 a 1 = log x log 8 - a log 4 – a log 4 16 3
b. 4 . 2 log x = 2 log 81 a
p
Masalah 14
: Buktikan bahwa:
a. alog
log x x= p log a
am
c.
n log b log b m n
b. alog b . blog x = alog x p
Penyelesaian: a. alog x =
p
log x log a
, Bukti:
p
a
Missal
am = log a…. =
(…) p log a =
p
m
=
maka :
x log …..
….
p
log x = m
log x
log ..... = log .....
.....
a
log x
terbukti.
Sehingga berlaku: p
Sifat
5
Sederhanakan:
4
:
a
log x =
log 7 = ……
p
log x log a
jika diketahui
2
log 7 = b
2
4
log 7 =
2
log ..... ...... ..... 2 2 log(....) 2 log .... ..... p
b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x =
log b ..... log ... . p log .... p log ... p
= Sehingga berlaku: Sifat 6 : Sederhanakan: 3
3
(dari sifat 5)
log .... ..... log x , terbukti. log ....
....
a
log b . blog x = alog x
log 36 .6log 9 = ……
log 36 .6log 9 = 3 log 6…. .6log 9 = … 3 log 6 .6log 9 = ....3 log .... = …. x …. = ...... a
c.
am
log b n
n log b , Bukti: m
am
log b n (....) a log ..... ( dari sifat 4 ) .... 1) m
7
Missal : p =
am
log b (am)….. = ….. LKS-Mat.X-08 1
1 .....
= b m
ap
Maka
1 m
......
am
log b (....)
log ..... p
log b ...... .....
…….2) ......
Dari 2) 1) didapat :
n
am
1 log ..... = (….) log ..... m ...... ..... = log ..... .....
Sehingga berlaku: a
Sifat
7
Sederhanakan:
9
am
:
n log b log b m n
log 8 = …… jika diketahui
3
log 2 = a
3
9
log 8 =
3......
log .(....)
.......
..... ..... log .... a ..... .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tunjukan bahwa:
a. Jika
a
an
log x = y maka
b.
p
log q +
c.
ab
log x =
1 p
log x n y
log q 0 a
log x 1 log b a
A. Pilih satu jawaban yang paling benar ! 1.
Bentuk 5a3 x 2a6 dapat disederhanakan menjadi bentuk ……………. a. 10 a9 b. 10 a18 c. 10 a3 d. 5 a9 e. 5 a18
2. Bentuk (x2y)3 : (x-1y-3) dapat disederhanakan menjadi bentuk ……… a. x 6 y 7 b. x-6 y-7 c. x7y6 d. x6 y-7 e. x-6 y7 2
3. Nilai (27) 3 x (32) a.
9 32 15
a6
5. Hasil dari a. -3 5
4 5
b.
4. Hasil operasi a.
5
sama dengan ……………
9 16
c.
9 15
d.
9 12
e.
9 10
a 2 .3 a ...........
a7 c. 15 a 3 d. 2 20 + 45 - 125 = …………… b. -2 5 c. 5 d. 2 5 6 b.
15
15
a4
e.
15
a11
e. 3 5
dirasionalkan, maka bentuknya menjadi ………
6. Jika penyebut bilangan
18 a.
2
b.
3
7. Jika penyebut bilangan a. -15 + 12√2
c.
43 2 43 2
6
d. 2 3
e. 2 6
dirasionalkan, maka bentuknya menjadi …………..
b. -17 + 12√2 c. -19 + 12√2 d. -21 + 12√2 e. -34 +12√2
8
8. Nilai x yang memenuhi persamaan 54 – 2x = 25 adalah ……………. a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 3 LKS-Mat.X-09 9.
2
log
1 ......... 8
a. -3
b. -4
10. 3log 162 – 3log 2 = ……. a. -3 b. -2
c. -6
d. -9
e. -12
c. 2
d. 3
e. 4
11. Jika log 2 = 0,301, maka log 2000 = …… a. 3,01 b. 3,301 c. 4,301
d. 30,1
e. 301
12. 25log 16 identik dengan bentuk ……. a.
2 2 log 5
4 2 log 5
3
13. Jika a.
b.
log 2 = a , maka
3a 4
b.
15. Nilai a. -5
8 2 log 5
2
d.
16 2 log 5
e.
d.
2 3a
e.
log 25 4
log 9 = …….
8
4 3a
14. Nilai a yang memenuhi a. 2 b. 1 1 2
c.
c.
8 3a
log a = ½ adalah ……. c. ½ d. ¼
3a 2
4
e. 1/16
log 3.3 log 32 ......... b. -4
c. -3
d. 3
e. 5
B. Jawablah dengan teepat dan benar ! 01. Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini! a. (6a5b-4)-3 . 2(a3 b-3)2
c.
(4c 4 d 3 ) 2 (3c) 2 : 9 d
d.
b.
4a 2b 9ab2 5 ab2 6 a 2b ab . ab 4 b 3
02. Jika x = 288 dan y = 224, Hitung nilai dari:
( x y) 2 ( x y)
2 3
03. Sebuah balok panjang masing-masing rusuknya adalah 5 cm, 10 cm, dan 15 cm. Tentukan dalam bentuk akar paling sederhana dari: a. panjang diagonal-diagonal bidang sisi. b. Panjang diagonal ruang balok tersebut. 04. Jika blog 2 = a dan blog 3 = c, gunakan sifat logaritma untuk menghitung nilai dari: a. blog 144 b. blog (72b2) 05. Tentukan nilai x yang memenuhi sistem di bawah ini: a. 3x -2 = 81 b. 4 2log x = 2log 81
-------ooo0000ooo------
9
Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.
A.
PERSAMAAN KUADRAT. Kompetensi Dasar : 1.3. Mengggunakan sifat dan aturan tentang akar persamaan kuadrat, diskriminan, sumbu simetri, dan titik puncak dalam pemecahan masalah. Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3.
Menghitung akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus kuadrat. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan diskriminan suatu persamaan kuadrat Menurunkan rumus tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sekaligus menggunakannya dalam soal. Mendiskusikan cara menyusun persamaan kuadrat baru.
1.3.4.
. : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP). 2. Operasi hitung dalam aljabar.
Prasyarat A.1.
BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut persamaan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di an tara beberapa pola berikut ini: Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. x ( 2x + 3)
b. (x – 2)(x + 3)
c. (2x + 1)(x – 3)
Penyelesaian : a.
x ( 2x + 3)
= x . 2x + x . 3 = 2 x…. + ….. x
b.
(x – 2)(x + 3) = …..2 + 3 …. - ….. x + (-2) …. = ….2 + …… - ……
c.
(2x + 1)(x – 3) = 2 ….2 - ….x + …… - ……
Penarikan kesimpulan: Dari beberapa bentuk hasil perhitungan di atas : pangkat tertinggi dari variabel x adalah .. dan selanjutnya disebut dengan pangkat dua atau kuadrat, sehingga bentuk-bentuk di atas dapat disebut sebagai bentuk-bentuk kuadrat. Secara umum dapat dinyatakan dalam : ax2 + bx + c Sehingga persamaan kuadrat secara umum adalah: ax2 + bx + c = 0 dimana
a 0 ; a, b, c R
A.2. AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT. Suatu persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a,b,c R akan bernilai benar untuk dua nilai x tertentu yang disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat dan sering dikenal dengan Himpunan Penyelesaian. A.2.1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini:
10
Masalah 2 : Tentukan dan selesaikan bentuk : a. 2x2 + 3x = 0 b. x2 + x – 6 = 0 c. 2x2 -5x -3 = 0 LKS-Mat.X-10 LKS-Mat.X-11 Penyelesaian : Jika model pada masalah 1 dikerjakan terbalik akan didapat pola sebagai berikut: a.
2x2 + 3x = 0
b.
x ( …. + 3 ) = 0
x = … v (… + 3) = 0
x = …. v x = ….
x2 + x – 6
c. 2x2
=0
( x + …. )( x – 2 ) = 0
- 5x - 3 = 0
(2x + …)(…. – 3) = 0
(x +….) = 0 v (x - …) = 0
(2x +…) = 0 v ( …-…) = 0
x = ….
2x = ….
V x = …..
Jadi: HP = {….. , …. } HP = {….. , …. } Atau dapat juga diselesaikan: c. 2x2 - 5x - 3 = 0 2 2x - ….x + ….x -3 = 0 2x ( x - ….) + (…. -3 ) = 0 ( 2x + ….)( …. -3 ) = 0 2x + …. = 0 v x = …..
V x = ….
HP = {….. , …. }
…. – 3 = 0 ….. = 3 , HP = {….. , …. }
Penarikan kesimpulan: Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggumakan pola perkalian dengan mengubah: ax2 + bx + c = 0 menjadi (… – p)(… –q) = 0 sehingga dapat dikatakan memiliki sifat factor nol dan dapat ditarik kesimpulan bahwa: (x – p) = …. atau (x – q) = …. Pola ini dikenal dengan menyelesaikan system persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, di mana nilai p dan q merupakan salah satu pasangan factor dari bilangan c. Masalah 3 : Tentukan dan selesaikan bentuk : x2 -8 x + 15 = 0 Penyelesaian : x2 -8 x + 15 = 0 Pasangan faktor dari ( 15 ) yang jumlahnya ( -8 ) adalah p = ( …) dan q = (.. ) maka x2 -8 x + 15 = 0 dapat difaktorkan menjadi ( x - ….) (x - …. ) = 0 ( x - …. ) = 0 v ( x - ….. ) = 0 x = …. x = …. Jadi HP = { …… , …… } Masalah 4 : Tentukan Himpunan penyelesaian dari : x2 + 6 x + 2 = 0 Penyelesaian: x2 + 6x + 2 = 0 ternyata tidak terdapat pasangan factor dari 2 yang jumlahnya sama dengan 6, sehingga bentuk ini tidak dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan. A.2.2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dg melengkapkan kuadrat sempurna Ada beberapa persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan cara memfaktorkan, sehingga perlu ada cara lain guna menentukan Himpunan penyelesaiannya. Dengan mengingat sifat pemfaktoran : ( a b )2 = a2 2. a. b + b2 diskusikan masalah berikut ini ! Masalah 5 : Tentukan Himp. Penyelesaian dari bentuk : a. x2 + 6x +2 = 0 b. 2x2 + 8x + 1 = 0 Penyelesaian : a. x2 + 6x + 2 = 0 b. 2x2 + 8x + 1 = 0 + ( -2 ) +(-1) x2 + ….x = -2 …. x2 + … x = - (….) x(½) x2 + 6x + 32 2 x +…x =-½ ( x +3 )2 – (...)2 = -2
+ ( ….2 ) ( x + …. ) = -2 + …. ( x + …. )2 = …… ( x + ….) = .... + ( - ….) 2
x2 + 4x + 22
( x + ….. )2 – (…..)2 = - ½ + (….)2 ( x + ….)2 = - ½ + (….)2 ( x + …. )2 = ……..
xx xx
11
= - (….)
x
....
( x + …. ) =
.... + ( - ….)
x
= - (….)
.... LKS-Mat.X-12
Penarikan kesimpulan: Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan pola pemfaktoran (kuadrat dua) dengan mengubah: ax2 + bx + c = 0 menjadi ( x p )2 = 0 sebagai berikut: ax2 + bx + c = 0
( semua suku dibagi dengan
a )
..... c c x2 + = 0 ( semua ruas dikurangi dengan ) x a ..... a ..... c x2 + = x a a b 2 1 .... 2 ..... ( x + ½ ) –( ) =a 2 a a b 2 ..... 1 .... 2 (x+½ ) =+( ) dst ……………… a a 2 a A.2.3. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat. Rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan dari bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a,b,c R Dengan menggunakan kaidah pada melengkapkan kuadrat sempurna, maka rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan sebagai berikut: ax2 + bx + c = 0
a )
4(...c) ......... b ..... 4ac ..... (x+ ) = = 2.... a........... 4a 2
( semua suku dibagi dengan
..... c c x2 + = 0 ( semua ruas dikurangi dengan ) x a ..... a ..... c x2 + = x a a b 2 1 .... 2 ..... (x+½ ) –( ) =a 2 a a b 2 ..... 1 .... 2 (x+ ) =+( ) 2a a 2 a 4(....c) b ..... ..... 2 (x+ ) = 2.... 4a 2
b .... 4a(....) b x = 2a 2(....)
b b .... 4(...)(...) x = 2(....)
atau
Dan selanjutnya: b 2 4ac dikenal sebagai diskriminan persamaan kuadrat ( D ) Masalah 6 : Tentukan Himp. Penyelesaian dari: a. x2 + 8x +2 = 0 b. 2x2 - 10x + 5 = 0 Penyelesaian : a. x2 + 8x +2 = 0 maka
a = ….. , b = ……. dan c = …….
b b 4ac 2a 2
X1,2 =
sehingga : =
X1,2 =
..... 2 .... 2(...)
b 2 4ac =
....2 4(...)(...)
..... ...... =
...... = 2 ......
= ..... .....
Jadi HP = { ..... ..... , ..... ..... } b. 2x2 - 10x + 5 = 0
maka
b 2 4ac =
a = ….. , b = ……. dan c = …….
....2 4(...)(...)
12
=
..... ...... =
X1,2 =
..... 2 .... 2(...)
...... = 2 ...... =
..... .... 2
Jadi HP = {
..... .... } 2 LKS-Mat.X-13
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan memfaktorkan! a. x2 – 5x + 6 = 0 b. 3x2 +8x + 4 = 0 c. ( x + 3)2 -6( x + 3) + 8 = 0 2. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan kuadrat sempurna! a. x2 -6x + 4 = 0 b. 2x2 + 8x -1 = 0 c. 9x2 + 6x – 4 = 0 3. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus kuadrat! a. 4x2 - 7x + 2 = 0
b. 3x2 – 8x = 4
c.
1 2 2x 1 2 x 3x x 1
A.3. JENIS-JENIS AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT. Telah dijelaskan bahwa dari cara menentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara rumus kuadrat, didapat bentuk: b 2 4ac dikenal sebagai diskriminan persamaan kuadrat ( D ) Dan dengan melakukan identifikasi nilai D (diskriminan) nya, maka dapat disimpulkan jenis-jenis akar persamaan kuadrat (HP) nya, sebagai berikut:
D memiliki nilai ganda sbb: D dan D b D b D x= dan x = 2a 2a
1. Jika D > 0 (positif) maka bentuk sehingga: Akar-akarnya :
Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan berbeda (berlainan). 2. Jika D = 0 (positif) maka bentuk Akar-akarnya :
x1 , 2 =
b 2a
D memiliki nilai ……. sehingga:
Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan sama (kembar) 3. Jika D < 0 (negatif) maka bentuk D memiliki nilai yang tidak real ( Imajiner ) sehingga akar-akarnya : tidak ada yang real Jadi akar-akarnya Bilangan Khayal / Imajiner. Masalah 7 : Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat ini: a. 2x2 -5x + 1 = 0 b. 5x2 + 2x + 4 = 0 Penyelesaian : a. 2x2 -5x + 1 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = ……. Sehingga : D = b2 – 4 a c = ….2 – 4.(….).(….) = ….. - ….. = …… > 0 Akar-akarnya Real dan berbeda. b. 5x2 + 2x + 4 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = ……. Sehingga : D = b2 – 4 a c = ….2 – 4.(….).(….) = ….. - ….. = …… < 0 Akar-akarnya ……………. Masalah 8 : Tentukan nilai p jika px2 -4x + 3 = 0 mempunyaiakar-akar yang sama. Penyelesaian : px2 -4x + 3 = 0 maka a = …. , b = ….. dan c = …… Syarat akar-akar sama/kembar adalah : D = 0 D = b2 – 4 a c = ….2 – 4.(….).(….) = 0 16
= 12 ….. p =
..... ..... = ..... .....
A.4. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT. Pada bagian terdahulu telah didefinisikan bentuk umum persn kuadrat: ax2 + bx + c = 0
13
Dan salah satu cara menentukan himpunan penyelesaiannya adalah memfaktorkan sehingga didapat bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 dimana dan dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat. LKS-Mat.X-14 Diskusikan dengan kelompok belajar anda korelasi (hubungan) antara bentuk: ax2 + bx + c = 0
( x - ) ( x - ) =0
Ambil bentuk:
( x - ) ( x - ) = 0.
dengan
ax2 + bx + c = 0
dan
:(a)
x - x – (….) x + (….)(….) = 0 (….)2 – ( …. + …. ) x + (….)(….) = 0 ….
2
x +
..... ......
x+
c = ......
0
Jika ke dua bentuk terakhir dikorelasikan akan didapat kesepadanan sebagai berikut: (…)2 – (…+…) x + (…)(…) = 0
x2 +
.... x ....
+
c .....
= 0
Penarikan kesimpulan:
.... .... …. + …. = ( Jumlah akar-akar persamaan kuadrat) a a c c (…..)(…..) = …. ….. = (Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat) ..... .....
1. – ( …. + …. ) = 2.
Masalah 9 : Tentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut ini: a. 3x2 - 4x – 6 = 0 b. -2x2 + 3x – 1 = 0 Penyelesaian a.
: Missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q.
3x2 - 4x – 6 = 0 p+q =
b ..... a 3
b. -2x2 + 3x – 1 = 0 p+q =
maka dan maka
b ..... a (2)
dan
a = ….. , b = …… , c = …… p.q =
c 6 a .....
a = ….. , b = ….. p.q =
sehingga:
, c = …… sehingga:
c ..... a .....
Masalah 10 : Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2 -9x + 4 = 0 adalah …………. Penyelesaian : 3x2 -9x + 4 = 0 , missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q, maka nilai: a = …… , b = ..… dan c = ….. maka 1 p
1q =
.......... (....)(...)
=
p+q=
.... ....
dan
p.q =
1 p
1q
.... sehingga: ....
........ ........
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini: a. x2 -6x + 4 = 0 b. 2x2 + 8x -1 = 0
c. 9x2 + 6x – 4 = 0
2. Tentukan nilai dari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini: a. x2 – 5x + 6 = 0 b. 3x2 +8x + 4 = 0 c. ( x + 3)2 -6( x + 3) + 8 = 0 3. Jika p dan q akar-akar persamaan x2 -7x + 2 = 0 maka tentukan nilai dari: p q a. q p b. p2 + q2 c. 1q 1p 4. Persamaan x2 -8x + k = 0 mempunyai akar-akar yang memiliki perbandingan 3 : 1, maka nilai dari k adalah ……….
14
5. Persamaan kuadrat x2 + (m -3)x + m = 0 mempunyai akar-akar
1
nilai dari
1
dan . Jika
2 maka nilai m yang paling tepat adalah ………. LKS-Mat.X-15
A.5. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU. Suatu persamaan kuadrat dapat disusun berdasarkan beberapa informasi yang diberikan, dan sebelum anda mempelajari materi ini sebaiknya anda mengingat kembali beberapa cara menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat serta konsep tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. A.5.1. Menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadratnya.
Pada cara menentukan HP suatu persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan didapat: bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 dimana dan dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Masalah 11
:
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : a. -3 dan 5 b. (1 - 3 ) dan (1 + 3 ) Penyelesaian : a. (x- )(x- ) =0 b. ( x – (- …) (x - ….) = 0
x + …. x - …. x - ….. = 0 2
x2 + …. x - ….. = 0
(x- )(x- ) =0
[ x – (1- …)] [(x – (1+ ….)] = 0
x - (1 - …)x –(1 + ….)x + (1-…)(1+…) = 0 2
x2
- ….. x + …… = 0
A.5.2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadratnya. Bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 jika dijabarkan sebagaimana bagian terdahulu akan didapat bentuk: x2 - ( ) x + . = 0 sehingga teori ini dapat digunakan untuk menyusun persaman kuadrat baru. Masalah 12 : Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : -3 dan 5 Penyelesaian: Jika akar-akar persamaan kuadratnya: = -3 dan = 5 maka dan . = (….)(….) = ….. ( ) = …. + ….. = …… 2 Sehingga : x - ( ) x + . = 0 x2 – (…..) x + …… = 0 Masalah 13 : Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan x2 +8x + 10 = 0 Penyelesaian : Missal akar-akar dari x2 +8x + 10 = 0 adalah p dan q maka: p + q = …… dan p.q = …… Persamaan kuadrat baru akar-akarnya : 2 p dan 2 q sehingga didapat: 2 p + 2 q = 2 ( …. + q ) = 2 (…..) dan 2 p . 2 q = (…..) p.q = (….)(…..) = ……. Sehingga PKd baru adalah :
x2 – (+ akar baru) x + ( hasil kali akarbaru) = 0 x2 – (…..) x + ……. = 0
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya di bawah ini adalah: a. -2 dan 5 b. ½ dan -3 c. 7 dan - ¼ 2. Jika akar-akar persamaan 2x2 - x + 3 = 0 adalah p dan q maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sebagaimana tersebut di bawah ini adalah: a. 2p dan 2q b. ( p – 1 ) dan ( q – 1) c. 31p dan 31q 3. Persamaan kuadrat yg akar-akarnya kebalikan dari persamaan: 2x2-3x+5=0 adalah …
15
4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya bahwa p dan q akar-akar dari persamaan
1 p2
dan
1 q2
jika diketahui
2x – 5x + 2 = 0 2
5. Jika akar-akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 adalah x1 dan x2 , sedangkan akar-akar persamaan x2 + 10x – 16 p = 0 adalah 3x1 dan 4x2, maka nilai p adalah ........ LKS-Mat.X-16
A.
Pilih satu jawaban yang paling benar ! 1. Nilai x yang memenuhi persamaan: 3x2 +x -2 = 0 adalah ....... a. 2 v 1 b. 2/3 v 2 c. 2/3 v 1 d. -2/3 v 2
e. -2/3 v 1
2. Salah satu akar persamaan kuadrat 2(x +1)2 = (x +1)2 +2(2x +3) -3 adalah ....... a. 1 + 2 b. 1 - 2 c. -1 - 2 d. 1 e. 2 3. Persamaan: x2 +mx -1 = 0 akan mempunyai akar kembar jika nilai m adalah ....... a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2 4. Persamaan kuadrat x2 +4x -5 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (x – a)2 = b, maka nilai a dan b yang tepat adalah ....... a. 2 dan 9 b. -2 dan 9 c. 2 dan -9 d. 2 dan 1 e. -2 dan 1 5. Persamaan kuadrat berikut ini yang mempunyai akar kembar adalah ....... a. x2+2x +2 = 0 b. 2x2+x +2 = 0 c. 4x2+4x +1 = 0 d. x2+x +1 = 0 e. x2-4 = 0 6. Jumlah akar-akar dari persamaan kuadrat 3x2 -12x -2 = 0 adalah ....... a. 12 b. 4 c. 3 d. 2/3
e. -2
7. Hasil kali akar-akar persamaan ax2-(3a +1)x + 2(a -1) = 0 adalah sama dengan jumlah akar-akarnya, maka nilai a = .......... a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3 8. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar – ½ dan 3/2 adalah ....... a. 2x2-x +3 = 0 b. 2x2-x -3 = 0 c. 4x2+4x +3 = 0 d. 4x2-4x +3 = 0 e. 4x2-4x -3 = 0 9. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar 2 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2x2-7x + 3 = 0 adalah ....... a. 2x2+x +3 = 0 b. 2x2-x +3 = 0 c. 2x2+ x +3 = 0 d. 2x2-x -3 = 0 e. -2x2+x +3 = 0 10. Diketahui dua buah bilangan yang jumlahnya 3/2 dan hail kalinya ½ , maka selisih dua bilangan tersebut adalah ....... a. – ½ b. ¼ c. 1 d. 2 e. 4 11. Himpunan penyelesaian dari: x2 – 5x + 6 = 0 adalah ……. a. (-2, 3)
b. (2, 3)
c. (2, -3)
d. (-2, -3)
e. (-3, 2)
12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 1 = 4x adalah ……. a. khayal
b. kompleks
c. nyata dan sama
d. nyata dan irasional e. nyata
13. Persamaan kuadrat x2 –ax + a = 0 mempunyai akar kembar jika nilai a = …… a. 0
b. 4
c. 0 atau 4
d. 0 atau -4
e. -4 atau 4
14. Supaya persamaan kuadrat (p-2)x2 + 5x – 2 = 0 mempunyai akar khayal maka nilai p adalah …… a. p < -
9 8
b. p < -
8 3
c. p <
9 8
d. p <
8 3
e. p <
41 8
15. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 + (a +1)x + (3a + 2) = 0 adalah 5 maka akar yang lainnya adalah a. -4
b. -3
c. -2
16. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
5 2
d. 2 dan - 32
a. 4x2 +4x + 15 = 0
c. 4x2 -4x - 15 = 0
b. 4x2 +4x - 15 = 0
d. 4x2 -4x + 15 = 0
e. 4
adalah ……………… e. 4x2 -15x - 4 = 0
17. Dari persamaan kuadrat x2 + 5x – 2 = 0 dengan akar-akar p dan q, maka nilai p2 + q2=
16
a. 25
b. 33
c. 23
d. 17
e. 35
18. Selisih akar-akar persamaan x2 + 2x – a = 0 adalah 8 maka nilai a = ……. a. 15
b. -15
c. 15 atau -15
d. 17
e. -17 LKS-Mat.X-17
19. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 2x2 +6x -5 = 0 adalah ….. a. 2x2 – x – 5 = 0 b. 2x2 + 2x + 7 = 0
c. 2x2 – 2x – 7 = 0
e. 2x2 – x – 7 = 0
d. 2x2 + 2x – 7 = 07
20. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 kali dari akar-akar persamaan kuadrat 10x2 + 11x – 6 = 0 adalah ………………..
B.
a. 10x2 + 22x – 12 = 0
c. 5x2 +
b. 20x2 + 44x – 48 = 0
d. 5x2 + 11x – 24 = 0
11 2
x–3=0
e. 5x2 + 11x – 12 = 0
Jawab dengan tepat dan benar ! 01. Tentukan himpunan penyelesaian dari: a. 2x2 +7x+ 6 = 0 b. –x2 +8x-6 = 0
c. x2 +6x-5 = 0
02. Tentukan nilai a jika persamaan kuadrat di bawah ini memiliki akar-akar yang Real dan sama! a. 2x2 + (a +1)x + a – 1 = 0 03. Tentukan persamaan kuadrat yang : a. akar-akarnya - ½ dan 3
b. x2 -
16 x+1=0 a
b. akar-akarnya 2 kurangnya dari akarakar persamaan: x2 -3x + 2 = 0
04. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 –x – 2 = 0 adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.
1 1 dan p q
b.
p dan q
q p
17
LKS-Mat.X-18 B.
FUNGSI KUADRAT. Kompetensi Dasar : 1.4. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, dan fungsi kuadrat. 1.5. Merancang model matematika yang berkaitan persamaan dan fungsi kuadrat, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.
1.4.1. 1.4.2. 1.4.3.
1.4.4.
Prasyarat
Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat mengidentifikasi komponen-komponen grafik fungsi kuadrat. Melakukan manipulasi aljabar tentang akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat. Menganalisis dan menentukan komponen fungsi kuadrat dengan menggunakan cara melengkapkan bentuk kuadrat, serta menentukan fungsi kuadrat dengan ketentuan tertentu. Mengaplikasikan konsep persamaan dan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. . : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP). 2. Persamaan kuadrat, Diskriminan dan Jumlah / hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
B.1. FUNGSI KUADRAT. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut fungsi kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif. Definisi: Fungsi f : R R yang didefinisikan f(x) = ax2 – bx + c, untuk a, b, c R; a 0 disebut dengan fungsi kuadrat. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini: Masalah 14 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai f(x) = x2 - x -2 Penyelesaian : f(x) = x2 + 4x - 5 biasa dinyatakan ke dalam
y = x2 + 3x - 4
Sebagaimana telah anda pelajari saat SLTP , dapat anda gunakan beberapa titik menguntungkan sbb: x y
….. -3 ….. …..
-2 4
-1 …..
0 -2
1 2 ….. …..
3 4
….. …..
Pasangan titik tersebut tempatkan pada salib sumbu kartesius dan hubungkan dengan garis sehingga akan terbentuk grafik. y
x 2 titik potong pada sumbu x
-1 (titik potong pada sumbu y) -2 (½,
5 2
) Puncak/titik balik
Nampak bahwa grafik fungsi kuadrat merupakan bentuk kurva parabola. Masalah 15 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai: a. f(x) = ½ x2 b. f(x) = ½ (x – 2)2 c. f(x) = ½ (x – 2)2 + 3 Penyelesaian : a. f(x) = ½ x2 b. f(x) = ½ (x – 2)2 c. f(x) = ½ (x – 2)2 + 3
18
x -2 0 2
f(x) 2 …. ….
x 0 2 4
f(x) …. …. 2
x 0 2 4
f(x) …. 3 …. LKS-Mat.X-19
5
2
2
-2
2
0
2
4
0
2
4
Dari garfik di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik fungsi f(x) = ½ (x – 2)2 + 3 diperoleh dengan cara mengeser grafik f(x) = ½ x2 sejauh 2 ke arah kanan sehingga menjadi grafik fungsi dari f(x) = ½ (x – 2)2 dan selanjutnya mengesernya sejauh 3 keatas, dimana factor gesernya merupakan koordinat titik puncak/balik kurva yaitu: ( 2 ,3 ) Secara umum dapat disimpulkan bahwa fungsi kuadrat : f(x) = a ( x – h )2 + k dengan ( h , k ) disebut titik puncak/balik.
B.2.
SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT. Grafik fungsi f(x) = a (x –h)2 +k ,a 0 memiliki koordinat titik puncak/balik adalah (.…, ….) Sehingga sumbu simetrinya x = h dan nilai balik maksimum/minimumnya f(h) = k di mana, jika a < 0 merupakan titik balik maksimum dan jika a > 0 merupakan titik balik minimum. Masalah 16
:
Diskusikan dengan kelompok anda dapatkah bentuk y = ax2–bx +c, untuk a,b,c R ; a 0 Kita ubah menjadi bentuk: y = a ( x – h )2 + k , a 0 Penyelesaian : y = ax2 – bx + c
y - …. = ax2 – bx
y .... .... x ..... x ..... a
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna didapat bentuk:
y .... b 2 .... b2 2 x ..... x 2 ..... a 4a 4a
y .... b 2 b 2 x ..... (...)a 4a
y .... b x ..... (...)a
......
b2 (masing-masing ruas dikurangi ) 4a 2
......
b2 (masing-masing ruas dikalikan a) 4a .....
b (...)b 2 y ..... a x (masing-masing ruas ditambah c) (...)a 4a..... ......
b y ax (...)a
......
b y ax (...)a
(...)b 2 ...... 4a .....
b .... 4ac 4a
19
Jika dibandingkan dengan bentuk
y = a ( x – h )2 + k
tersebut di atas memiliki sumbu simetri: x =
b 2a
terlihat bahwa fungsi kuadrat dan titik puncak (balik) adalah
b D , , perlu diingat bahwa Diskriminan persamaan kuadrat D = b2 – 4ac 2a 4a LKS-Mat.X-20 Penarikan kesimpulan: Berdasar pada uraian di atas maka untuk fungsi kuadrat y = ax2 – bx + c model grafik fungsi (kurva) nya dapat diidentifikasikan menurut beberapa komponen/unsur pembentuk nya, sbb: 1. Titik potong kurva dengan sumbu koordinat, yaitu: a. memotong sumbu x untuk y = ….: ax2 – bx + c = 0 (merupakan persamaan kuadrat) ,sehingga titik potongnya merupakan Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat. Dengan syarat D 0. b. memotong sumbu y untuk x = ….. sehingga didapat titik potong ( 0, ….. ) x=
2. Persamaan sumbu imetri, yaitu:
.... 2(....)
3. Nilai titik balik atau nilai maksimum / minimum, yaitu:
y=
D 4(....)
..... ..... , 2a 4a
4. Koordinat titik balik, yaitu :
5. Jenis titik balik ditentukan oleh nilai a (koefisien dari x2 ) , yaitu: a. jika a > 0, maka kurva terbuka ke ………. dan titik baliknya ……………. b. Jika a < 0, maka kurva terbuka ke bawah dan titik baliknya …………….. 6. Range, ditentukan oleh:
D 4a D b. Jika a < 0 maka Range = y / y 4a a. Jika a > 0 maka Range = y / y
Masalah 17
:
Buatlah sketsa grafik fungsi y = 2x2 -x - 6 Penyelesaian : Sketsa grafik fungsi y = 2x2 -x – 6 dapat ditentukan dengan menemukan beberap unsur pembentuknya, sebagai berikut: a) Titik potong pada sumbu koordinat: a. memotong sumbu x y = 0 didapat : 2x2 -x – 6 = 0 (2x + ….)(x - ….. ) = 0 (2x + ….) = 0 v ( x - …. ) = 0 2x = ….. x = …… x = …... didapat pasangan titik potong ( ….., 0 ) dan ( ….. , 0 ) b. memotong sumbu y x = 0 didapat : y = 2.02 - … - 6 = …… didapat pasangan titik potong ( 0 , …. ) b) Persamaan sumbu simetri: c) Nilai balik :
x=
b ..... ..... 2a 2(....) 4
D = b2 – 4ac = (….)2 – 4.2.(- ….) = …… - …… = ……
Jadi nilai baliknya adalah :
y
D ..... .... 4a 4(....) ....
d) Koordinat titik balik : ( ….. , …… ) e) Sketsa grafik/kurvanya, adalah :
20
- 32
¼
2
37 8
LKS-Mat.X-21 Masalah 18
:
Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = -1 dan grafiknya melalui titik (1, 4), memotong sumbu y di titik …………………… Penyelesaian : Bentuk kuadrat : y = a ( x – h )2 + k
maka
Grafik melalui : Didapat :
y = ½ ( x + 1)2 + ….
y = a ( x – ( - ….))2 + 2
(1, 4) 4 = a ( …. + …. )2 + 2 a = …..
Memotong sumbu y x = 0
didapat
y = …..
Jadi titik potong pada sumbu y adalah ( ….. , ……) Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat yang mempunyai bentuk sebagai berikut: 1. y = x2 -4x + 5
6. Titik balik ( 2, 1 0 dan melalui titik ( 5, 19)
2. y = -3x2 + 4x -1
7. Persamaan sumbu simetri x = -3, a = 1 melalui (-2, 8)
3. y = -x2 + 2x – 4
8. Persamaan sumbu simetri x = -1 dan melalui ( 1, -5) , (-2, 1)
4. y = 2x2 – 4x + 2 5. y = -5 + 6x- x2
9. Melalui titik (2, 0) , (6, 0) dan ( 4, 5 ) 10. Melalui titik ( -2, 0 ) , ( 9, 0 ) dan ( 3, 7)
B.3. BEBERAPA MASLAH KEHIDUPAN SEHARI-HARI TERKAIT FUNGSI KUADRAT. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini: Masalah 19 : PQRS adalah suatu persegi panjang yang panjangnya x cm dan lebarnya (8 – x) cm, Jika fungsi L(x) menyatakan luas PQRS maka : a. Nyatakan arumus luas dalam fungsi L ! b. Htung luas maksimum PQRS dan ukuran-ukuran yang memenuhi ! Penyelesaian : a. L(x) = panjang x lebar = …. ( 8 - …. ) sehingga fungsi L(x) = x ( 8 - …) = ... x - …..2
..... D (....2 4(....).0 ...... b. L(x) maksimum = = = ........ ....... , untuk x = ...... 4(....) 4(....) 2(....) Jadi Luas maksimumnya = …… untuk panjang = …… dan lebar = (8 - ….. ) = …… Masalah 20 : Tinggi suatu lemparan setelah t detik diwakili oleh fungsi h(t) yang didefinisikan : h(t) = 30t -5t2 untuk 0 t 6 , t bilangan real. Jika satuan tinggi dalam meter, sketsalah grafik fungsi h, berdasarkan kurva tersebut Tentukan : a. Tinggi maksimum yang ditempuh dan waktu yang diperlukan. b. Selang waktu ketika tinggi lemparan di atas 30 meter c. Tinggi lemparan pada saat t = 5,5 detik. Penyelesaian : a. h(t) = 30t -5t2
21
(....2 4(....).0 ...... D = = ....... ...... 4(....) 4(....) ..... t = ........ 2(....)
h maksimum = untuk
Jadi tinggi maksimumnya adalah
…… m terjadi pada saat t = ….. detik. LKS-Mat.X-22
b. Untuk h(t) = 30
maka:
30t -5t2
= 30
5t2 - …. t + …. = 0
(dibagi 5)
t - ….t + …. = 0 2
t1 = 3 - …..
dan t2 = ….. +
3
Jadi tinggi lemparan di atas 30 meter terjadi dalam selang waktu: 3 - …… < t < ….. + c. Untuk t = 5,5 detik
3
h(5,5) = 30(…..) – 5 ( ….. )2 = ….. - …… = ……
Jadi tinggi lemparan saat t = 5,5 detik adalah ……… meter.
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Sebuah partikel ditembakan secara vertical ke atas dengan kecepatan mula-mula Vo meter/detik.
Dalam waktu t detik jarak s meter didefinisikan s = Vo t – 16 t2 .
Jika kecepatan partikel mula-mula 12 m/det, maka tentukan : a. jarak setelah 2, 3 dan 5 detik b. kapan partikel berada pada 192 meter di atas titik awal. 2. Jumlah dua bilangan asli sama dengan 16, tentukan masing-masing bilangan tersebut jika hasil kalinya maksimum ! 3. Sebuah kawat yang panjangnya 40 cm dipotong menjadi dua bagian. Masing-masing bagian kawat tersebut dibuat persegi. Tentukan panjang potongan kawat masing-masing agar jumlah luas persegi tersebut minimum. 4. Dua bilangan jumlahnya 30, jika salah satu bilangan itu adalah x, maka Tentukan: a. Bilangan ke-dua dinyatakan dalam x. b. Hasil kali ke-dua bilangan itu dinyatakan dalam x. 5. Sebuah pagar kawat panjangnya 120 m, akan dipakai untuk pagar sebuah kandang ayam. Kandang ayam yang akan dibuat berbentuk persegi panjang dengan memanfaatkan pagar tembok sebagai salah satu batasnya. Tentukan luas maksimum kandang yang dapat dibuat !
A.
Pilih satu jawaban yang paling benar ! 01.
Fungsi kuadrat f(x) = x2 +4x -12 memotong sumbu x dengan absis .......... a. -6 v 2 b. -6 v -2 c. 6 v -2 d. 6 v 2 e. 3 v 4
02.
Fungsi kuadrat yang melalui titik (-1, 8) , (2, -1) dan (3, 4) adalah ....... a. y = 2x2 – x +1 c. y = 2x2 –5x +1 e. y = 2x2 –5x -1 2 2 b. y = x –5x +1 d. y = 2x +5x +1
03.
Luas maksimum dari suatu persegi panjang yang kelilingnya 64 meter adalah .......... a. 256m2 b. 246m2 c. 236m2 d. 226m2 e. 216m2
22
04.
Suatu taman berbentuk persegi panjang dengan panjang : lebar = 3 : 2. Jika luas taman 27 satuan luas, maka ukuran panjangnya adalah .......... a.
12 2 2
b.
9 2 2
c.
4 2 2
d.
3 2 2
e.
1
2
2
05. Hasil kali dua bilangan positif adalah 140. Jika bilangan pertama satu kurangnya dari tiga kali bilangan ke-dua, maka selisih ke-dua bilangan itu adalah ................ a. 31 b. 20 c. 13 d. 10 e. 7 LKS-Mat.X-23 06. Titik balik parabola y = -3x2 -18x + 2 adalah ................ a. (-3, 19) b. (-3, 29) c. (-3, 23) d. (3, 27) 07.
e. (3, 29)
Fungsi kuadrat yang melalui titik (0, 2) dan (-1, 0) dengan sumbu simetri garis x = ½ adalah ................ a. y = -x2 + x +2 c. y = 2 – x –x2 e. y = -x2 +x -2 2 2 b. y = x +x -2 d. y = x -x +2
08. Fungsi f(x) = (2x + p)2 + q mempunyai titik balik minimum (-1, 3) maka nilai p + q sama dengan ................ a. 2 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 09. Nilai minimum grafik fungsi f(x) = ax2 -2x + 8 adalah 5, maka nilai 6a = ................ a. 1 b. 2 c. 4 d. 9 e. 12 10.
Sebuah batu dilempar tegak ke atas dengan kecepatan awal 30 m/det, mencapai ketinggian (at -5t2) meter, maka waktu t yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi h maksimum berturut-turut adalah ................ a. 2 detik dan 43 meter c. 3 detik dan 42 meter e. 4 detik dan 43 meter b. 2 detik dan 45 meter d. 3 detik dan 45 meter
B. Jawab dengan tepat dan benar ! 01. Tentukan hasil terbesar dari suatu perkalian dua bilangan bulat yang berjumlah 22 dan tentukan pula bilangan-bilangan tersebut! 02. Tentukan persaman fungsi kuadrat, jika diketahui titik baliknya (-3, 1) dan melalui titik (-5, 2)! 03. Tentukan persamaan fungsi kuadrat jika fungsi tersebut melalui titik (-5, 0) , (3, 0) dan (0, 5)! 04. Suatu benda bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O yang ditentukan oleh rumus S = 4t –t2 + 12, di mana jarak S meter dan waktu t detik. Tentukan: a. Jumlah jarak yang dilalui benda itu dalam waktu 6 detik pertama. b. Jarak yang dilalui benda tersebut dalam detik yang ke-enam. 05. Gambar di samping adalah bentuk penampang sebuah Meja. Bangun PRST adalah persegi dan PQR adalah Segitiga siku-siku di Q. Jika jumlah panjang PQ dan QR adalah 6 meter dan L(x) mewakili fungsi luas PQRST serta QR = x meter, maka: a. Nyatakan fungsi L(x) dalam bentuk fungsi kuadrat. b. Ukuran sisi-sisi PQRST jika luasnya minimum.
Q P
xm R
T
S
-------------ooooo000000ooooo------------
23
LKS-Mat.X-24
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR
Menurut anda materi belajar tentang persamaan dan fungsi kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut): Menyenangkan
1
2
3
4
5
Membosankan
Bermanfaat
1
2
3
4
5
Tidak Bermanfaat
Menarik
1
2
3
4
5
Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari
1
2
3
4
5
Tidak perlu dipelajari
Menantang
1
2
3
4
5
Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan
1
2
3
4
5
Mempunyai korelasi dengan masalah seharihari
1
2
3
4
5
Tidak Perlu disebar luaskan Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa. 2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.
24
Standar Kompetensi : Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidak samaan satu variable, logika matematika.
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Kompetensi Dasar
: 1.6. Menggunakan sifat dan aturan sistem persamaan linear dan kuadrat dalam pemecahcahan masalah. 1.7. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan sistem persamaan.
Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat : 1.6.1. Menentukan penyelesaian tentang sistem persamaan linear dua variabel. 1.7.1. Mendikusikan dengan kelompoknya untuk menyelesaikan soal-soal dan manipulasi masalah yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variable, sistem persamaan linear-kuadrat dua variable, dan sistem persamaan kuadrat dua variabel. Prasyarat
: 1. Persamaan dan fungsi linier. 2. Operasi hitung Aljabar.
A.1. Sistem Persamaan linier dua variabel. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear dua variable diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Bentuk Umum
: Sistem persamaan linear dua variable dengan a1,2 , b1,2 , c1,2
ditulis
sebagai berikut :
R
a1x b1 y c a2 x b2 y c
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Himpunan Penyelesaian sistem persamaan berikut ini: Masalah 1:
x 2y 7 2 x 3 y 12
Tentukan himpunan penyelesaian dari
Penyelesaian:
x 2y 7 2 x 3 y 12
a. Titik potong pada sumbu x didapat jika y = 0 Untuk : x + 2y = 7
maka
2x + 3y = 12 maka
x + 2 (….) = …. x = … didapat titik ( … , … ) 2x + 3 (….) = …. 2x = … x = … didapat titik (…. , … )
b. Titik potong pada sumbu y syarat x = 0 Untuk : x + 2y = 7
maka …. + 2 y = …. y = … didapat titik ( … , … )
2x + 3y = 12 maka
2 (…) + 3y = …. 3y = … y = … didapat titik (…. , … )
c. Sketsa grafiknya adalah :
Y
(Buatlah garis yang didapatdari penyelesaian a dan b untuk melengkapi grafik disamping)
4 3,5 HP
X
25
6
7
Penarikan Kesimpulan: Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan salah satu cara yang dikenal dengan metode grafik fungsi. Masalah 2: Tentukan himpunan penyelesaian dari
x 2y 7 2 x 3 y 12 LKS-Mat.X-25 LKS-Mat.X-26
Penyelesaian :
x 2 y 7............1) 2 x 3 y 12.........2)
, ambil salah satu persamaan yang paling sederhana: 1) ………
x + 2y = 7 x = 7 - …..
Masukan (substitusikan) x = 7 - ….. ke dalam persamaan 2) sehingga didapat : 2)
2x
+ 3y = 12
2( …. - …. ) + 3y = 12 …… - 4 (…) + … = 12 (-4 + … ) y = 12 - …. y = Bentuk y = …… disubstitusikan pada x = 7 - …..
..... .....
= …….
x = 7 - ……. sehingga didapat :
x = ……
Jadi Himpunan Penyelesaiannya , HP = { …, …}
Penarikan Kesimpulan: Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode substitusi dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama. Masalah 3: Tentukan himpunan penyelesaian dari
Penyelesaian:
x 2y 7 2 x 3 y 12
x 2y 7 , eleminasi ( hilangkan ) variabel x dengan cara menyamakan 2 x 3 y 12 koefisien, yakni :
x 2 y 7 x 2 2 x 4 y 14 2 x 3 y 13 x1 2 x 3 y 13 ----------------------y = ……
-
x 2y 7 , eliminasi ( hilangkan ) variabel y dengan cara menyamakan 2 x 3 y 12 menyamakan koefisien, yakni :
x 2 y 7 x.... ...x .... y .... 2 x 3 y 13 x.... ...x ... y .... ----------------------- …x = ……
x
= ……
Jadi HP = {(… , …)}
Penarikan Kesimpulan: Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode eleminasi dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama. Masalah 4 : Tentukan himpunan penyelesaian dari
x 2y 7 2 x 3 y 12
26
x 2y 7 , eleminasi variabel x dengan cara menyamakan 2 x 3 y 12 x 2 y 7 x 2 ...x ... y .... koefisiennya, yakni: 2 x 3 y 13 x1 2 x 3 y 13 Penyelesaian:
----------------------y =…
-
substitusikan y = ….... ke salah satu persamaan, missal : x + 2y = 7 x+2.…=7
x = ……
Jadi HP. = {( … , …)}
LKS-Mat.X-27 Kesimpulan: Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode gabungan (eleminasi dan substitusi) dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama. Permasalahan untuk didiskusikan siswa: A. Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan berikut dengan metode grafik : 1.
2 x y 6 x 2 y 8
2.
2 x y 4 x y 2
3.
2 x 4 y 8 0 3x y 6
B. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode substitusi : 1.
2x y 7 x 3 y 11
2.
x 2 y 5 3x y 1
3.
3x 4 y 24 0 2 x 5 y 23 0
C. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eleminasi : 1. D.
2 x 5 y 20 3x 4 y 7
2.
x 2 y 6 2 x y 9
3.
3x 4 y 14 5 x 6 y 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :
2x y 4 1.a. 3x 2 y 1 2. a.
11x 3 y 7 0 2 x 5 y 21 0
b.
3a 4b 13 2a 3b 4
c.
b.
x 1 2( y 1) x y 5( x y 3)
c.
2 3 x y 12 3 1 7 x y
4 3 x y 1 3. a. b. 6 4 6 x y 1 1 PETUNJUK soal nomor 3 : misalkan a dan b x y
c.
x 2 2y 3 3 5 2 2x 1 y 1 1 2 3 12 x 3 y xy 9 x 4 y 7 xy
6 x 7 x
5 9 y 2 5 y
A.2. Sistem Persamaan Linear tiga variabel. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear tiga variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.
Bentuk umum : Sistem persamaan dengan tiga variable dinyatakan dengan :
a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d 2 a x b y c z d 3 3 3 3
, dengan a1,1,2 , b1,2,3 , c1,2,3 , dan d1,2,3 R
27
Diskusikan guna menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:
Masalah 5
:
x yz 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari x 2 y z 6 2 x 3 y z 1 Penyelesaian:
x y z 6 1) x 2 y z 6 2) , pilih salah satu persamaan yang paling sederhana : 2 x 3 y z 1 3) LKS-Mat.X-28 persamaan 1) : x + y +z = 6 z = 6 - ………. Masukan (substitusikan) z = …. ke dalam persamaan 2) dan 3) sehingga didapat : 2)
x + 2y - ( ………….) = 6
3)
2x – 3y + ( ………….) = 1
Dari persamaan 5)
2x + …. = ….
------------ 4)
x – …. = …..
------------ 5)
x - …. = .…
x = .…- .…
x = ….. disubstitusikan pada persamaan 4) sehingga didapat : 2 ( … - …) + 3y = 12
y=…
Substitusikan y = … ke 5)
sehingga didapat x – 4 . … = 5 x = …..
Substitusikan x = … dan y = … ke 1)
sehingga didapat ….+ …+ z = 6 z = …..
Jadi Himpunan Penyelesaiannya , HP = { (…, …, … )} Kesimpulan: Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan yang dikenal dengan metode substitusi.
Masalah 6
cara lain
: Tentukan himpunan penyelesaian dari
x yz 6 x 2y z 6 2 x 3 y z 1
Penyelesaian:
x y z 6 1) x 2 y z 6 2) ,ambil dua persamaan kemudian eleminasikan salah satu variable: 2 x 3 y z 1 3) Dari pers. 1) dan 2) :
x+y +z=6 x +2y – z = 6 + 2x + ….
= …...
----------4)
x + 2y – z = 6
Dari pers. 2) dan 3) :
2x – 3y +z = 1 + .…. – ….. = …...
Dari 4) dan 5) :
--------- 5)
2 x 3 y 12 x... 6 x .... ..... 3x y 7 x... 6 x ..... .... ….y = ….
substitusikan y = … ke 5) :
y = ……
3x – …. = 7 x =…
substitusikan x = … , y = …. ke 1) : …. + …. + z = 6
z = ….
Jadi HP. = {(…, …, …. )}
28
Kesimpulan: Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan yang dikenal dengan metode eleminasi dan substitusi (gabungan).
cara lain
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode substitusi :
2 x y 3z 5 a. x 2 y z 8 x 2 y 3z 6
x 3 y 2 z 4 b. 2 x y z 10 x 2y z 0 LKS-Mat.X-29
2. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode eleminasi :
2 x y z 9 a. x 2 y z 6 3x y z 8
2 x y 5z 8 b. 4 x 3 y 6 z 5 3x 2 y 4 z 4
x 2y z 6 c. 3 x 3 y 2 z 23 4 x y 2 z 10
3. Selesaikan sistem persamaan berikut :
1 2 3 3 x y z 2 1 4 b. 2 x y z 2 5 1 7 x y z
x 2 y z 7 a. y 2 z 11 5 x 2 z 25
1 2 1 a b c 7 2 1 2 c. 3 a b c 3 2 2 2 a b c
A.3. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Bentuk umum :
y ax b 2 y px qx r
, dengan a, b , p, q, r bilangan Real.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini: Masalah 7
:
Tentukan Himpunan penyelesaian dari:
y x 1 2 y x 3x 2
Penyelesaian: Dengan menggunakan cara substitusi anda dapat menentukan himpunan penyelesaian
y x 1 2 y x 3x 2 sebagai berikut: y=x–1
y
x - …
= x2 – 3x + 2 = x2 – 2x + 2
x2 - ….. + ….. = 0
( x - …..) ( x - ….) = 0
x - …. = 0 x = ….. Jadi
v
x - ….. = 0 x = ……
HP = {(… , … )}
29
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari : 1.
y 2x 3 2 yx
3.
x y 3 2 y x 4x 3
5.
y x 1 2 2 xy y 5 y 6 0
2.
y x3 2 y x 5x 8
4.
y 2 x 1 2 y x 4x 3
6.
3x y 16 0 2 2 x y 6 x 4 y 12 0 LKS-Mat.X-30
A.3. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan kuadrat dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.
y ax 2 bx c , dengan a, b , c, p, q, r bilangan Real. 2 y px qx r
Bentuk umum :
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem persamaan berikut ini: Masalah 8 :
y x2 Tentukan Himpunan penyelesaian dari: 2 y 2x 4x Penyelesaian: =Dengan menggunakan cara substitusi anda dapat menentukan himpunan penyelesaian:
y x2 2 y 2x 4x sebagai berikut:
y = x2
disubstitusikan pada y = 2x2 -4x sehingga didapat,
x2 = 2x2 - …….. x2 - ….. = 0 x ( …. – 4 ) = 0 x = …. v x - …. = 0
Jadi
x
= ……
HP = {(…. , .… )}
=Pada kondisi tertentu dapat digunakan cara eleminasi sehingga penyelesaian sebaga berikut:
y x2 2 y 2x 4x y = 2x2 - 4x y =
x2 -
0 =
x2 - 4x
x2 - ….. = 0
x ( …. – 4 ) = 0 x = …. v x - …. = 0 x = …… , Jadi HP = {(… , … )}
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tentukan Himpunan Penyelesaiannya (jika ada) dari :
y x2 1 1. 2 y 1 x
y x2 3. 2 y x 2x 1
y x 2 2x 3 5. 2 y x x 2
30
y x2 x 2 y x 3x 2
2.
A.
4.
y 2x 2 6x 2 y x 2x 6
Pilih satu jawaban yang paling benar ! 01. Himpunan penyelesaian dari system persamaan: a. {(1, 3)}
b. {(3, -1)}
x 2 y 7 0 adalah …… 2 x y 4 0
c. {(3, 2)}
d. {(4, -3)}
e. {(2, -3)}
LKS-Mat.X-31 02. Himpunan penyelesaian dari system persamaan: a. {( 13 ,
1 2
b. {( 13 ,
)}
3 2
a.
2 5
dan
23
b.
1 5
c. {( 12 ,
)}
03. Penyelesaian dari system persamaan: dan
23
3x 4 y 1 adalah …… 2 y 3x 0 4 3
)}
d. {(4 , 3)}
e. {(2 , -3)}
30 x 75 y 56 0 adalah x = …. dan y = ….. 105 x 60 y 19 0 c. 15 dan 23 d. 52 dan 13 e. 15 dan
1 3
3x 2 y z 18 04. Tentukan himpunan penyelesaian dari: x 4 y z 20 2x y z 3 a. 2, -5, -2
b. 2, 5, -2
c. -2, -5, 2
d. -2, -5, 2
e. 2, 5, 2
x y 4z 0 05. Himpunan penyelesaian system persamaan: x y 2 z 2 , adalah …….. x y 3 a. 9, 4, -1
b. 6, -2, -1
c. 8, -2,
3 2
d.
3 2
,½,½
e. 2, 2, 1
06. Diketahui sistem persamaan linier : ax + 3y = 2 dan 4x + 12y = 3 Sistem persamaan linier itu tidak mempunyai anggota dalam himpunan pnyelesaiannya, jika a = ...... a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 6
07. Jika x dan y memenuhi persamaan linier : a. -8
b. -6
2x y 5 , maka nilai x + y = ……. 3 x 2 y 3 c. 2
d. 4
e. 6
08. Absis titik potong grafik 5x – 6y = 15 dan 2x + 3y = 15 adalah ……… a. -5 b. -4 c. 0 d. 1
e. 5
09. Grafik dari x + 3y = 10 dan 2x – y = 6 berpotongan di titik (p, q). Maka pernyataan yang tepat di bawah ini adalah ......... a. p = ½ q b. p = 2q c. p = q d. q = 2p e. p = 2-q
10. Diketahui {p, q} adalah himpunan penyelesaian dari:
2 x 3 y 5 x 3y a
,
Jika diketahui p + q =
8 3
dan p + 3q = 2 , maka nilai a yang tepat adalah ........ a. -
B.
8 3
b. -
2 3
c. 0
d. 2
e. 6
Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar ! Selesaikan sistem persamaan di bawah ini:
31
2 x 3 y 13 a. x 2 y 10
2 x y 2 z 11 b. 2 x 3 y a 1 x 2y z 3
x 3y 2 c. 2 5 3x 4 y 7 5 2 1 1 x y 3 1 1 d. 0 y z 1 1 3 x z
LKS-Mat.X-32 B.
MODEL MATEMATIKA SUATU SISTEM PERSAMAAN. Kompetensi Dasar : 1.8. Merancang model matematika yang berkaitan dengan system persamaan linier, menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh. Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat: 1.8.1. Mengaplikasikan konsep system persamaan linier dan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan model matematika yang menyangkut system persamaan linier dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Dalam kehidupan sehari-hari terkadang ditemui berbagai permasalahan yang pemecahannya memerlukan konsep system persamaan linier dan kuadrat . Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Penyelesaian permasalahan berikut ini: Masalah 8 : Dua tahun yang lalu umur ayah sama dengan enam kali umur anaknya. Delapan belas tahun yang akan datang umur ayah sama dengan dua kali umur anaknya . Tentukan umur ayah dan anak saat ini ! Penyelesaian: Missal: umur ayah sekarang = x
dan umur anak sekarang = y maka dapat dibentuk model
sebagai berikut: x - …..
= 6 ( y - …..)
x + …. = 2 ( …. + …. ) , dimana dapat diselesaikan dengan kaidah yang sama seperti pada bagian (uraian) terdahulu, sebagai berikut: x - ….. = 6 ( y - …..)
x – (….) y = - …….
x + …. = 2 ( …. + …. )
x – (….) y = ……… ……. = …….
y = …….
Nilai y = ……. , disubstitusikan pada salah satu persamaan missal :
x – (….) y = .… x - 2 (….) = …. x = … Sehingga didapat umur ayah ( x ) = ….. dan umur anak ( y ) = …… Masalah 9 : Diketahui tiga buah bilangan x , y , dan z . Jumlah ke-tiga bilangan itu adalah 75, bilangan pertama 5 lebihnya dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan ke-dua sama dengan ¼ dari jumlah bilangan yang lain, tentukan bilangan-bilangan yang dimaksud tersebut ! Penyelesaian:
32
x .... ..... 75 Model matematikanya : x y ..... ..... y 1 ( x .....) 4 Dari pers. 1) dan 2) :
x .... ..... 75 x .... ...... 5 x 4 y ..... ....
x + y + z = 75 x- y–z = 5 2x
Dari pers. 2) dan 3) :
x = …….
x- y–z =5 2x – …. = …..
x = ….
+
= ….
x – 4y +z = 0
substitusikan
..............1) ...............2) ...............3)
ke 4) :
+ ……… 4)
2(….) – …. = 0 5y = .....…
y = …...
LKS-Mat.X-33 substitusikan
x = …. , y = ….
ke persm. 1/2/3) , missal 1) :
…. + …. + z = 75 z = 75 – ….
= …….
Jadi bilangan-bilangan tersebut adalah : ……. , …….. , dan ………
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Pada suatu hari seorang ibu dan anaknya pergi ke pasar membeli mangga dan jeruk. Ibu membeli 2 Kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 10.500,- sedangkan anaknya membeli 3 Kg mangga dan 4 Kg jeruk dengan harga Rp. 23.250,-. Tentukan harga 1 kg mangga dan jeruk ! 2. Keliling persegi panjang adalah 180 cm. Jika 3 kali panjangnya sama dengan 7 kali lebarnya, maka luas persegi panjang tersebut adalah ….. 3. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + ax + by + c = 0 melalui titik (3, -1) , (5, 3) dan (6, 2) Tentukan nilai a, b dan c kemudian tuliskan persamaan lingkarannya ! 4. A dan B bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 12 hari. Jika A dan C bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 15 hari dan bila B dan C bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 20 hari. Dalam berapa harikah masing-masing dapat meyelesaikan pekerjaan itu ! 5. Diketahui tiga buah bilangan p, q, dan r. Rata-rata ke-tiga bilangan itu adalah 12, Bilangan p ditambah 14 sama dengan jumlah bilangan q dan r. Bilangan r sama dengan selisih bilangan q dan p. Tentukan bilangan-bilangan tersebut ! 6.
Ani,. Wati dan Wanda berbelanja di toko buah. Ani membeli 12 kg jeruk, 4 kg anggur dan 7 kg apel. Ani harus membayar Rp. 111.000,-. Wati membeli 5 kg jeruk, 3 kg angur dan 8 kg apel. Wati harus membayar Rp. 73.500,- sedangkan Wanda membeli 12 kg jeruk, 6 kg anggur dan 10 kg apel. Wanda harus membayar Rp. 138.000,a. Berapakah harga setiap kg untuk buah jeruk, anggur dan apel ? b. Jika Anita membeli 3 kg jeruk, 4 kg anggur dan 7 kg apel, Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan ?
7. Sebuah penerbit membuat tiga buah buku yaitu Matematika X, XI dan XII sebanyak 15.000 eksemplar. Harga jual buku tersebut berturut-turut adalah Rp. 9.000,- , Rp. 10.000,- dan Rp. 9.500,Penerimaan dari penjualan ketiga buku tersebut adalah Rp. 150.500.000,Jika jumlah buku Matematika XII yang dibuat sebanyak 4.000 eksemplar, maka jumlah buku yang lain masing-masing adalah ........
33
A.
Pilih satu jawaban yang paling benar ! 01.
Suatu persegi panjang kelilingnya 60 m. Panjangnya 4 m lebih dari lebarnya. Luas persegi panjang itu adalah …….. m2 a. 216 b. 221 c. 224 d. 228 e. 300
02.
Jumlah dua bilangan adalah 80. Seperlima dari bilangan pertama sana dengan sepertiga dari bilangan ke dua. Bilangan-bilangan tersebut adalah …….. a. 20 dan 60 b. 25 dan 55 c. 30 dan 50 d. 35 dan 45 e. 45 dan 55
03.
Pembilang dan penyebut suatu pecahan berbanding 3 : 5 Dua kali pembilang ditambah empat kali penyebutnya sama dengan 208. Pecahan itu adalah ….. 40 24 a. 24 b. 30 c. 30 d. 34 e. 40 40 34 24
04.
Jumlah tiga bilangan adlah 10. Bilangan pertama 10 kurangnya dari bilangan ke dua. Dua kali jumlah bilangan pertama dan bilangan ke dua sama dengan tiga kali bilangan ke tiga. Bilangan-bilangan tersebut adalah ………………. a. -2, 4, 8 b. 2, -8, 4 c. -2, 8, 4 d. 2, 12, 4 e. 4, 14, 4 LKS-Mat.X-34
05.
Parabola y = ax2 +bx+ c melalui titik (-4, 20) ; (1, 5) dan (2, 20), Nilai a, b dan c yang memenuhi persamaan tersebut brturut-turut adalah ………… a. 3, 6, 4 b. 3, 6, -4 c. -3, -4, 6 d. 3, -6, -4 e. 6, 3, -4
06.
Ibu membuat kue sebanyak 80 buah. Biaya untuk membuat kue donat sebesar Rp. 250.dan biaya untuk membuat kue lapis Rp. 150,-. Biaya yang dikeluarkan ibu untuk membuat kue adalah Rp. 17.000,- . Jumlah kue lapis yang dibuat ibu adalah ………… a. 20 b. 30 c. 40 d. 50 e. 60
07.
Di sebuah took, Aprilia membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp. 4.000,Agus membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp. 9.500,-. Yanto juga membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga ......………… a. Rp. 950,b. Rp. 1.050,c. Rp. 1.150,d. Rp. 1.250,- e. Rp. 1.350,-
08.
Sepuluh tahun yang lalu umur ayah enam kali umur adik. Lima tahun yang akan dating jumlah umur ayah dan adik menjadi 72 tahun. Jika umur ibu empat tahun lebih muda daripada umur ayah, maka umur ibu sekarang adalah …………… a. 32 b. 36 c. 40 d. 42 e. 48
09.
Sekarang jumlah penduiduk desa A dan desa B adalah 3000 orang. Sepuluh tahun yang lalu penduduk desa A adalah 200 kurangnya dari dua kali penduduk desa B. Selisih penduduk desa A dan B sekarang adalah ………… a. 750 b. 760 c. 800 d. 850 e. 860
10.
Petugas laboratorium akan membuat 200 mililiter larutan asam berkadar 6 % dengan mencampur jenis larutan asam dari kadar 10 % dan 4 %. Sistem persamaan linier yang dapat disusun dari informasi ini adalah …………
x y 200 x 4 y 120
c.
x y 200 2 x y 600
d.
a. b.
x y 200 4 x y 120
x y 200 x 4 y 1200
e.
x y 200 2 x y 600
B. Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar ! 01. Dua tahun yang lalu umur seorang ayah 6 kali umur anaknya. Dlam 18 tahun mendatang umur Ayah akan menjadi dua kali lipat umur anaknya. Berapakah umur mereka sekarang ? 02. Apabila pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 1 maka hasilnya sama dengan ½ . Namun apabila pembilang ditambah 1 dan penyebutnya dikurangi 2 hailnya menjadi
3 , Tentukan nilai pecahan tersebut? 5
34
03. Jumlah tiga buah bilangan adalah 45. Perbandingan jumlah bilangan pertama dan ke-dua dengan bilangan ke-tiga
8 , selisih bilangan pertama dan ke-dua adalah 8. 7
Tentukan ke-tiga bilangan tersebut !
=====oo0O0oo=====
LKS-Mat.X-35
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR Menurut anda materi belajar tentang persamaan dan fungsi kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut): Menyenangkan
1
2
3
4
5
Membosankan
Bermanfaat
1
2
3
4
5
Tidak Bermanfaat
Menarik
1
2
3
4
5
Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari
1
2
3
4
5
Tidak perlu dipelajari
Menantang
1
2
3
4
5
Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan
1
2
3
4
5
Tidak Perlu disebar luaskan
Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari
1
2
3
4
5
Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa. 2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.
35
Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika. A. PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL. Kompetensi Dasar : 1.9. Menggunakan sifat dan aturan pertidaksamaan satu variabel dlm pemecahan masalah Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat: 1.9.1. Menentukan daerah himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan satu variabel yang memuat linier atau kuadrat dengan cara mencari informasi pada media interaktif /perpustakaan. 1.9.2. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan pertidaksamaan satu variabel yang memuat linier atau kuadrat dengan cara diskusi bersama kelompoknya. Prasyarat
: 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat. 2. Persamaan dan Fungsi Kuadrat.
Definisi
: Pertidak samaan adalah suatu kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan tanda hubung “ >, <, , atau “
A.1. Pertidaksamaan linier satu variabel. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pertidaksamaan diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini: Masalah 1 : Penyelesaian:
3x – 5 > 5x – 9 untuk x R 3x – 5 > 5x – 9 +( 5 ) 3x -5 + .… > 5x - 9 + …. 3x > 5x - ….. - ( 5x ) 3x - …… > - …… - ….. > - …… X ( -1 ) ……. < …….. : (2) x < ……..
Jadi
HP = { x / x < …… , x R }
36
Masalah 2:
3x 5 1 untuk x R x2 2 4 1 3x 5 Penyelesaian : x2 2 4 Selesaikan
2x + …..
……. …….
2x -……. - ……
x
X(4)
…… + 5
- (8)
3x + 5 - …. 3x - ….
- ( 3x )
3x - …. -3 -3
x ( -1 )
……
Jadi
HP = { x / x
…… , x R }
3
LKS-Mat.X-36 LKS-Mat.X-37 Penarikan Kesimpulan: Teorema 1.1: Suatu pertidaksamaan tidak berubah …….………… jika ke dua ruas ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan yang nilainya ………….. Teorema 1.2: Suatu pertidaksamaan tidak berubah ….……………… jika ke dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang nilainya ……… Teorema 1.3: Suatu pertidaksamaan akan terbalik tandanya jika ke-dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan negatif yang nilainya ……….
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tentukan daerah Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan berikut, untuk xR! 1. 2x + 7 < 6x – 5 2. 2 (3x - 1) + 6
3.
4. 3 (-4 +x ) -2 (2x -1) > 2 (x + 1) -5x
4x – 9
5.
2 3 x 5
1 2 x2 3
6. 4x – 3(2x – 1) < 6(2x – 4) – 7x
A.2. Pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pertidaksamaan kuadrat satu variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.
Bentuk umum : ax2 + bx + c 0 dimana : adalah “ >, <, , atau “ , a 0 Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:
Masalah 3 : Penyelesaian:
untuk x R
2x2 – 5x > x2 + 2x +4 2x2 – 5x
>
x2 - 2x +4 - ( x2 )
2x2 - ….. – 5x > x2 – x2 - 2x + 4 (…)2 – 5x > -2x + …… + ( 2x ) x2 – 5x+ …. x2 - ……
> -2x + ….. + ….. > 4 -(4 )
37
x2 – 3x - …..
> 0
(x - …..)(x + 1) > 0
(x - …..)(x + 1)
0
(x - …..) = 0
v
(pembuat nol)
(x + …..) = 0
x = …. v
x = …….
Daerah Himpunan penyelesaiannya diuji dengan bantuan garis bilangan : Untuk
x = 0 didapat nilai : 02 – 3 (….) – 4 > 0 …… > 0 (Pernyataan Salah) B
S -1
B
0
4
x < ……..
Jadi
x > …….
HP = { x / x < …..
x > …… , x R }
v
LKS-Mat.X-38 Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tentukan daerah Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan berikut, untuk xR! 1. (4 – x)(2 + 2) < 0
6. x (x – 3)(x + 2) > 0
2. x2 -6x + 3 < 0
7. (x + 5)(x – 4)(6 – x) < 0
3. 21 + 4x – x2 > 0
8. x (2x + 3) – 19 (x + 1)2
4. 3x2 + 7x + 4 0
9. x (3x +4) < (x + 2)(x + 3)
5. (x – 3)
2
-4 (x – 6)
10. (x2 – 4)(x2 - 6x + 9) 0
A.3. Pertidaksamaan bentuk pecahan satu variabel. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pertidak samaan bentuk pecahan yang memuat linier dan kuadrat satu variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif. Bentuk umum :
f ( x) 0 dimana : adalah “ >, <, , atau “ g ( x) f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x dan g(x)
0
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:
Masalah 4
:
Nilai x yang memenuhi :
Penyelesaian:
x5 < 0 untuk x R dan x 2 adalah: x2 x5 x2
<
0 X (x – 2)2
x5 . (….. - …. )2 < 0 . (x – 2)2 x2 (x + 5) (x - …. ) (x + 5) (x - 2) (x + …..) = 0 x = -5
v v
<
0
0
(pembuat nol)
(x - …..) = 0 x = …….
Daerah Himpunan penyelesaiannya diuji dengan bantuan garis bilangan : Untuk
x = 0 didapat nilai :
..... 5 < 0 ...... 2
38
S
B -5
Jadi Masalah 5
…… < 0 (Pernyataan Benar) S
0
2
HP = { x / ……. < x < …… , x R }
:
x2 6x 8 x3
Nilai x yang memenuhi :
0 untuk x R adalah:
x2 6x 8 x3
Penyelesaian:
0 X (x – 3)2
x2 6x 8 . (x -3)2 0 , (x -3)2 x3
0
(x2 – 6x + 8) (x – 3)
LKS-Mat.X-39
(x - ….) (x - ….) (x – 3)
0
(x - ….) (x - ….) (x – 3)
0
(x - …..)
x
(pembuat nol)
0 v (x - …..) 0 v …
(x - …. )
…
x
x
0 …
Daerah Himpunan penyelesaiannya diuji dengan bantuan garis bilangan : Untuk
x = 0 didapat nilai :
....2 6(...) 8 ... 3 ……
S
B 0
Jadi
2
0 0
S
(Pernyataan Salah) B
3
4
HP = { x / ….. x < …..
v
x ……
,x R}
Penarikan Kesimpulan: Teorema 1.4: Suatu pertidaksamaan tidak berubah ….……………… jika ke dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang nilainya ………. Sehingga untuk pertidaksamaan bentuk pecahan
f ( x) 0 nilainya tidak g ( x)
Berubah jika ke dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang nilai-nya ………., dan terbentuk dari [ g(x) ]2 untuk semua nilai x R Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tentukan daerah Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan berikut, untuk xR! 1.
x6 <0 3x 2
4.
x2 6x 3 >0 x2
2.
2x 6 x2
5.
x2 2x 3 <0 x 2 6 x 10
3.
( x 3)( x 2) >0 x 1
0
x 2 ( x 8) 6. 0 10 x
A.4. Pertidaksamaan bentuk akar linier satu variabel.
39
adalah “ >, <, , atau “ f(x) fungsi dalam variabel x dan f(x) > 0
f (x) 0 dimana :
Bentuk umum :
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini: Masalah 6 : Nilai x yang memenuhi :
( x 4) 2 < 3
Penyelesaian:
( x 4) 2
< 3
(x – 4)2
< ……
x2 – (….) x + ….. < 9
untuk x R adalah:
di kuadratkan
-(9)
x2 – (….) x + ….. - …. < 0
x2 – 8 x + …..
< 0
LKS-Mat.X-40
(x - …)(x - …. ) <
(x - …)(x - …..)
(x - …..) = 0
v
0
0
(pembuat nol)
(x - …..) = 0
x = 1 v
x = …….
Daerah Himpunan penyelesaiannya diuji dengan bantuan garis bilangan : Untuk
S
< 3 …… < 3 (Pernyataan Salah)
B
0 Jadi
( x 4) 2
x = 0 didapat nilai :
S
1
7
HP = { x / ……. < x < …… , x R }
Penarikan Kesimpulan: Teorema 1.5: Sehingga untuk pertidaksamaan bentuk akar f (x) 0 nilainya tidak berubah jika ke dua ruas ………………………... Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Tentukan daerah Himpunan penyelesaian yang memenuhi untuk x R !
A.
1.
3x 6 < 3
3.
(2 x 7 <
x4
2.
( x 3) 2 7
4.
x2 2x 3
0
pertidaksamaan berikut,
5.
x 2 x 20 x2
< 0
Pilih satu jawaban yang paling benar ! 01. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 3x – 2 < x + 6 adalah …….. a. x < 4 b. x > 4 c. x > -4 d. x < -4 e. x > 0 02. Nilai x yang tepat untuk : a. x
3
b. x
-4
x 3 x4
0 adalah ……. c. x < 4
d. x < -4 atau x 3
d. x
-4 atau x > 3
03. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 1 < x + 1 < 3 – x adalah …….
40
a. x < 1
b. x < 2
c. 1 < x < 2
d. x > 2
e. x > 1
04. Pertidaksamaan 3x2 + 4x > 7 mempunyai penyelesaian ………………….. a. x < - 13 atau x > 0 c. x < -1 atau x > 1 e. x < - ¼ atau x > 0 b. x < -
7 3
atau x > 1
d. x < - ½ atau x> 1
05. Jika (x -2)(x -3)(x -4) > 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah ……. a. x > 2 atau x > 3 c. x < 4 atau x < 2 e. 2 < x < 3 atau x > 4 b. x > 3 d. 3 < x < 4 atau x < 2 06. Pertidaksamaan a. 0 x 1 b. -8 x < 1 07.
2 x 7 1 dipenuhi oleh …….. x 1 c. -4 < x 1 d. 1 < x 7
Diberikan pertidaksamaan
e. x
-4 atau x < 1
x 3 > 0 , Himpunan harga-harga x yang memenuhi x 8x 7 2
pertidaksaman ini adalah …………………….. a. x < 1 atau x > 7 c. x < 3 atau x < 7 b. 1 < x < 3 atau x > 7 d. 1 < x < 7
e. x < 1 atau 3 < x < 7
LKS-Mat.X-41
x 2 3x 10 08. Agar nilai pecahan bernilai positif, maka x anggota himpunan ……… x2 x 2 a. x < -5 atau x > 2 c. x -5 e. -5 < x 2 b. -5 < x < 2
d. x < 2
x2 09. 0 bila ……………… 9 x2 a. x 0 b. 0 < I x I < 3 c. -3 < x < 3
d. 3 < x
3
3x 2 x adalah …….. x
10. Bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan a. x < 0 atau 1 < x < 2 b. 0 < x < 1 atau x > 2
e. x
c. x < -2 atau -1 < x < 0 d. -2 < x < -1 atau x > 0
e. x < 0 atau 2 < x < 3
B. Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar ! Selesaikan sistem pertidaksamaan satu varioabel di bawah ini! 1. x2 (2x2 – x) < x2 (2x +5) 2.
x2 3
3.
2x 7 1 x 1
x3 0 x 8x 7 x2 3x 2 2 5. x 1 x 1 4.
2
B. MODEL MATEMATIKA SUATU PERTIDAKSAMAAN. Kompetensi Dasar: 1.10. Merancang model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yg diperoleh. Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat :1.10.1.Mengaplikasikan konsep pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari. Prasyarat
: 1. Sistem Pertidaksamaan linier dan kuadrat.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan model matematika yang menyangkut pertidaksamaan diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Dalam kehidupan sehari-hari terkadang ditemui berbagai permasalahan yang pemecahannya memerlukan konsep pertidaksamaan.
41
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Penyelesaian permasalahan berikut ini: Masalah 7
:
Umur Ali ditambah umur Anton lebih kecil dari umur Budi, jika umur Budi kurang dari 30 tahun. Tentukan model matematikanya! Penyelesaian: Missalkan :
Umur Ali = x
Maka model matematikanya:
,Umur Anto = ……
dan Umur Budi = …..
x + …… < z z < ……
Masalah 8 : Tinggi h meter dari suatu benda setelah bergerak t detik, ditentukan oleh rumus: h = 40t – 5t2. Tentukan interval t agar h 60 ! LKS-Mat.X-42 Penyelesaian: h = 40t – 5t2. h 60 40t – 5t2 60
Maka:
5t2 – 40t + ….. 0
(….) t2 – 8t + ….. 0
(t - …..) (t - ….. ) 0
t = …… v t = ……..
Jadi interval t yang memenuhi adalah :
……. t
……..
Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Jumlah uang A dan uang B kurang dari Rp. 50.000,- sedang Uang A ditambah uang B kurang dari uang C ditambah Rp. 30.000,Sedangkan uang C kurang dari Rp. 100.000,- dikurangi uang A. Tentukan model matematikanya? 2. Suatu tes matematika memberikan skor minimal 0 dan maksimal 100. Siswa yang mendapat skor kurang dari 60 wajib mengulang. Tentukan batas-batas skor ( r) bagi siswa yang mengulang ! 3. Seorang ayah membagi sejumlah uang kepada ke dua anaknya. Setengah bagian untuk anak pertama dan sepertiga bagian untuk anak ke dua. Berapa uang yang di bagi agar sisa uang minimal Rp. 500.000,-! 4. Sebuah benda ditembakan tegak lurus ke atas. Ketinggian yang dicapai pada waktu t detik, Dinyatakan dalam meter diberikan ungkapan h(t) = 30t – t2 Tentukan lama benda berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter!
42
LKS-Mat.X-43
MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR Menurut anda materi belajar tentang pertidaksamaan linier dan kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut): Menyenangkan
1
2
3
4
5
Membosankan
Bermanfaat
1
2
3
4
5
Tidak Bermanfaat
Menarik
1
2
3
4
5
Tidak Menarik
Sangat perlu dipelajari
1
2
3
4
5
Tidak perlu dipelajari
Menantang
1
2
3
4
5
Tidak Menantang
Perlu disebar luaskan
1
2
3
4
5
Tidak Perlu disebar luaskan
Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari
1
2
3
4
5
Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari
Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa. 2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.
43
LKS-Mat.X-44
A. Pilih salah satu jawaban yang paling tepat ! 01. Nilai dari 1/9 527 = ………. a. 37/5
b. 35/7
d. 3-5/7
c. 1 4 02. Bentuk sederhana dari: ------------ adalah : 5 + 5 a. 4/5 (5 -5) c. 4/5 (5 +5) b. 1/5 (5 -5) d. 1/5 (5 +5)
e. 4/25 (5 +5)
03. Nilai dari : 8 . (81/4) . (21/4)3 . 32 . 2 = … a. 8 b. 4 c. 3
d. 2
04. Nilai x yang memenuhi persamaan: 35x –1 = 27x +3 a. 1 b. 2 c. 3 05. Harga x yang memenuhi: 4x +3 = 48x +5 a. –9/5 b. 5 c. 9/5 06. Nilai dari: a. 1/3
e. 3-7/5
e. 0
adalah ……… d. 4 d. –5/9
23log 4 – ½ 3log 25 + 3log 10 – 3log 32 b. 0 c. 1 d. 3
e. 5
e. 2/5 adalah ……. e. 9
07. Log 125 + log 8 = ……. a. –2 b. –1
c. 1
d. 2
e. 3
08. alog 3a . alog aa = ….. a. 3a b. a
c. 1
d. ½
e. 3/2
09. Penyelesaian dari 2log x = 1 adalah: a. 0 b. 1 c. 2
d. 10
e. 1/10
10. Nilai x yang memenuhi 2log (x +2) = 3 adlh a. 1 b. 6 c. 7
d. 8
e. 10
11. Jika salah satu akar persamaan kuadrat : a. –10 b. –5 c. 0
7x2 + (a -6)x + (a –5) = 0 adalah 3, maka nilai a adalah ……. d. 5 e. 10
12. Akar-akar persamaan: 5x2 –10x –6 = -2x2 +6x + 9 adalah : a. (3/7 , 5) b. (1/7 , 3) c. (3, -5/7) d. (1/5 , 3)
e. (-3, 5/7)
13. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya: (1 -3) dan (1 +3) adalah……… a. x2 –2x +2 = 0 c. x2 +2x +2 = 0 e. x2 –(1 +3) = 0 b. x2 –2x -2 = 0 d. x2 +2x -2 = 0c. x2 +2x +2 = 0 14. Jika ax2 – (2a -3)x + (a + 6) = 0 mempunyai akar-akar kembar dan real maka akar kembar tersebut adalah a. 5 b. 4 c. ¼ d. -4 e. -5 15. Persamaan kuadrat x2 + (m -3)x + m = 0 ,akar-akarnya p dan q, Jika a. -3
b. -1
c. 1
d. 3
1 1 2 maka nilai m = ……. p q
e. 6
16. p dan q akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + a -4 = 0, Jika p = 3q maka nilai a yang tepat adalah … a. 1 b. 3 c. 4 d. 7 e. 8 17. Akar-akar persaman kuadrat 2x2 -6x – p = 0 adalah a. 10 b. 8 c. 6 d. -8
dan
, Jika e. -10
2 - 2 = 15
maka nilai p =
18. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – x – 5 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p + 1 dan q + 1 adalah …….. a. x2 -5x + 2 = 0 c. 2x2 -5x + 2 = 0 e. 2x2 +5x -2 = 0
44
d. 2x2 -5x – 2 = 0
b. 2x2 +5x + 2 = 0
19. Jika kar-akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 adalah x1 dan x2 , sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x2 +10x – 16p = 0 adalah 3x1 danm 4x2 , maka nilai p yang memenuhi adalah ……… a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 e. 16
LKS-Mat.X-45 20. Sehelai kertas panjangnya 12 cm dan lebarnya 9 cm. Sepanjang ke-empat sisi kertas itu digunting menjadi suatu pita yang lebarnya k cm. Agar sisi luas kertas 54 cm 2 , maka nilai k = …. Cm a. 2/3 b. 3/2 c. 1 d. 2 e. 3
4 x 5 y 23 berturut-turut adalah …. 6x y 9
21. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan a. – 3 dan 7
b. 1 dan – 3
c. 2 dan 3
d. 3 dan 9
e. 4 dan 1
22. Suatu pecahan apabila pembilangnya ditambah 2, dan penyebut ditambah 1, pecahan tersebut menjadi Sedangkan jika pembilangnya di-tambah 1 dan penyebutnya dikurangi 2, pecahan itu menjadi
1 . 2
3 . 5
Pecahan yang dimaksud adalah ... a.
8 19
b.
6 15
c.
5 13
d.
b. {( - 3 , 5 , 4 )}
e.
2 7
5 x 3 y 4 z 7 4 x 2 y 5 z 41 adalah …. 7 x 6 y 3z 67
23. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
a. {(4 , 5 , - 3 )}
4 11
c. {( 5 , - 3 , 4 )}
d. {( -4 , 3 , 5 )}
e. {(4 , -5 , 3 )}
24. Usia dua orang anak , Anda dan Andi berselisih 6 tahun. Delapan belas tahun lagi, jumlah usia mereka sama dengan usia ayahnya. Empat tahun yang lalu jumlah usia mereka sama dengan ½ usia ayahnya. Jadi usia Andi adalah …. tahun. a. 52 b. 42 c. 32 d. 24 e. 23 25. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 > x + 6 adalah …. a. {x / x < - 2 atau x > 3 , x R } b. {x / x < - 3 atau x > 2 , x R } c. {x / 2 < x < 3 , x R }
d. {x / - 2 < x < 3 , x R } e. {x / - 3 < x < 2 , x R }
26. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan: (x -2)(3 -x) 4 (x –2) adalah ………. a. {x/ 2 x 3} c. {x/ -2 x 1} e. {x/ x-1 v x 2} b. {x/ x 2 v x 3} d. {x/ -1 x 2} 27. Himpunan Penyelesaian: 2x2 -9x – 4 : …. a. –1/2 x < 4 c. –4 < x < ½ b. –1/2 x 4 d. x -1/2 v x > 3
e. –4 x -1/2
28. Himpunan Penyelesaian: 2x -1 < x + 1 < 3 – x adalah …….. a. x < 1 b. x < 2 c. 1 < x < 2 d. x > 2
e. x > 1
x 3 maka …………. 29. Jika a. -3 < x < 3 b. -3 x 3
e. x < 3
2
30. Jika
c. 0
x 3
d. x
3
x3 0 , maka Himpunan penyelesaian yang tepat adalah ……. x 8x 7 2
a. x < 1 atau x > 7 b. 1 < x < 3 atau x > 7
c. x < 3 atau x < 7 d. 1 < x < 7
e. x < 1 atau 3 < x < 7
II. Jawab dengan langkah yang benar ! 31. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: (1/3)2 32x +1 = 27 32. Bentuk sederhana dari:
alog
1/b . blog 1/c2 . clog 1/a3
33. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 3x – 1 = 0 Adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3p – 1) dan (3q – 1).
45
34. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear
3x 2 y 13 3 y 9 5x
dengan
menggunakan matriks.
46
