PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT UNTUK MEMINIMALKAN GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAN KETINGGIAN MAKALAH Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika

Disusun Oleh : Sisilia Nov Ciptaning Pradini 103114018

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015


WEIGHTED LEAST SQUARES METHOD TO MINIMIZE THE ERROR IN THE MEASUREMENTS OF HEIGHT NETWORK

PAPER Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Degree of Sarjana Matematika Mathematics Study Program

By : Sisilia Nov Ciptaning Pradini 103114018

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2015

ii


MAKALAII METODE KUADRAT TERKECIL TERBOBOT T]NTT]K MEMIMMALKAI\

GALAT PADA PENGUKURAN JARINGAI\I KETINGGIAN Disusun oleh

:

Sisilia Nov Ciptaning Pradini

Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan

tanggal 16 Februari 2015

ilt



PERT{YATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis

ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutrpan dan daftar pustaka sebagai mana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta 27 Februari 2015

""-w

Sisilia Nov Ciptaning Pradini


LEMBAR PER}IYATAAN PERSETUJUAN PIJBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAI\ AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawatr ini, saya matrasiswa Universitas Sanata Dharma

Nama

:

:

SisiliaNov Ciptaning Pradini

Nomormahasiswa : 103114018

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul

Perpustakaan

:

Metode Kuadrat Terkecil Tebobot untuk Meminimalkan Galat pada Pengukuran Jaringan Ketinggian beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpn, mengalihkan

dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan datq mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selamatetap mencantumkan narnasaya sebagai penulis. Demikian pemyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 3 Februari 2015

Yang menyatakan

(Sisilia Nov Ciptaning Pradini)

vt


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“There Is No Elevator to Success, You’ve to Take The Stairs”

Ku persembahkan Tugas akhir ini kepada : My beloved Jesus Mama dan Bapakku tercinta Adik-adikku tersayang Fifin, Benny dan Ella Teman-teman teralienku Anes, Bibi, Nyai, Yoyo, Juna, dan Ayu

vii


ABSTRAK Dalam pengukuran ketinggian, masalah utamanya adalah menentukan titik-titik tinggi dengan ukuran galat sekecil mungkin. Salah satu metode yang dapat meminimalkan galat pada pengukuran ketinggian adalah metode kuadrat terkecil tebobot. Tugas akhir ini bertujuan untuk menunjukan hubungan antara masalah jaringan ketinggian dengan sebuah graf dimana titik-titik tinggi dilambangkan dengan simpul dan beda ketinggian dilambangkan dengan ruas. Kemudian masalah jaringan ketinggian yang telah direpresentasikan dengan sebuah graf akan diselesaikan dengan meggunakan metode kuadrat terkecil tebobot. Pada bagian akhir tugas akhir ini, akan diberi contoh penerapan dari sebuah graf yang mempresentasikan suatu masalah jaringan ketinggian dan penyelesaiaannya dengan menggunakan metode kuadrat terkecil tebobot.

Kata Kunci : galat, jaringan ketinggian, metode kuadrat terkecil terbobot, graf, simpul, ruas.

viii


ABSTRACT In the measurements of height, the main problem is to find the point of height which the size of error as small as possible. One method that can minimize the error in the measurements of height is weighted least squares. This paper aims to show the relation of height network with a graph in which the points of height are assigned by nodes and the differences of height are assigned by edges. Then the height network’s problems that have been represented by a graph will be solved by weighted least squares method. At the end of this paper will be given an example of the application of a graph that presented a height network’s problem and it’s solution by weighted least squares method.

Keywords : error, height network, weighted least squares, graph, node, edge.

ix


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria atas berkatNya yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis menyadari, tugas akhir ini tidak akan selesai tanpa bantuan dari berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima atas segala bimbingan, dorongan, semangat, sehingga tugas akhir ini terselesaikan dengan baik, kepada: 1.

Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

2.

Bapak Y.G.Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

3.

Bapak Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran, kesungguhan hati serta memberikan banyak ide serta masukan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

4.

Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc. yang telah memberikan ide dan masukan untuk menulis tugas akhir ini dan selaku dosen pembimbing akademik.

5.

Seluruh Dosen Program Studi Matematika serta karyawan Fakultas Sains dan Teknologi. Terima kasih atas bimbingan, doa dan pelajaran yang diberikan selama berkuliah di Universitas Sanata Dharma.

6.

Keluargaku tercinta, my big bos Paternus Dithu dan bu presdir Setyaning Prihati yang senantiasa memberi dukungan, semangat dan mendoakan anaknya x


yang selalu bikin panik ini. Terima kasih atas kesabaran dan kasih sayang dalam mendidik anak-anaknya. Adik-adik penulis Fifin, Beni, Ella. 7.

Sahabat-sahabat penulis di Program Studi Matematika , Anes, Bibi, Nyai, Juna, Yoyo, Selly, Aster, Ayu, Arga, Tika, Ratri, Pandu, Roy, Yohan, yang selalu setia mendengar keluh kesah, menemani dan memberi semangat untuk penulis yang sangat berarti.

8.

Keluarga Besar Program Studi Matematika, terima kasih atas segala dukungan dan bantuannya kepada penulis.

9.

Teman-teman sekaligus keluarga penulis, Mbak Rub yang selalu siap menyediakan keperluan penulis, Apin, Mbak Astrid, Mbak Arin yang terus memberi semangat, dukungan dan doa. Banyak suka dan duka telah kita lewati bersama selama ini.

10.

Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Terima kasih banyak atas semua bantuannya. Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini memiliki berbagai

kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca. Semoga tugas akhir ini dapat menjadi referensi bagi rekan-rekan dalam mengembangkan ilmu pengetahuan. Yogyakarta, 11 Februari 2015

Penulis xi


DAFTAR ISI

JUDUL ...................................................................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN................................................................................................. iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................................v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi MOTTO DAN PERSEMBAHAN ......................................................................................... vii ABSTRAK ............................................................................................................................ viii ABSTRACT............................................................................................................................ ix KATA PENGANTAR ..............................................................................................................x BAB I : PENDAHULUAN .......................................................................................................1 I.1

Latar belakang ...........................................................................................................1

I.2

Rumusan Masalah .....................................................................................................6

I.4

Tujuan Penulisan .......................................................................................................7

I.5

Metode Penulisan ......................................................................................................7

I.6

Manfaat Penulisan .....................................................................................................7

I.7

Sistematika Penulisan ................................................................................................7

BAB II : LANDASAN TEORI ...............................................................................................10 II.1

Matriks Singular dan Tak singular ..........................................................................10

II.2

Ruang Vektor...........................................................................................................11

II.3

Ruang Bagian ..........................................................................................................13

II.4

Kebebasan Linear ....................................................................................................14

xii


II.5

Basis dan Dimensi ...................................................................................................18

II.6

Ruang Baris dan Ruang Kolom ...............................................................................22

II.7

Rank.........................................................................................................................24

II.8

Ruang Nol (Kernel/ Nullspace) ...............................................................................25

II.9

Ruang Hasil Kali Dalam ..........................................................................................27

II.10

Norma ......................................................................................................................28

II.11

Ortogonalitas ...........................................................................................................33

II.12

Metode Kuadrat Terkecil .........................................................................................34

II.13

Matriks Definit Positif .............................................................................................37

II.14

Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika ...............................................................37

II.15

Dasar-Dasar Teori Graf ...........................................................................................39

BAB III : JARINGAN KETINGGIAN ..................................................................................44 III.1

Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil ..............44

III.2

Kuadrat Terkecil Terbobot ......................................................................................66

III.3

Jaringan Ketinggian Dan Graf .................................................................................70

BAB IV : PENUTUP ..............................................................................................................81 IV.1

Kesimpulan ..............................................................................................................81

IV.2

Saran ........................................................................................................................82

Daftar Pustaka .........................................................................................................................83

xiii


BAB I PENDAHULUAN

I.1

Latar Belakang Pada kehidupan sekarang ini, tak dapat dipungkiri bahwa manusia sangat

membutuhkan teknologi demi membantu kelangsungan hidup mereka. Contohnya adalah manusia sekarang tidak pernah terlepas dari alat komunikasi jarak jauh yang disebut handphone. Handphone selain dapat membantu manusia untuk dapat berkomunikasi dari jarak jauh, handphone juga dilengkapi dengan fitur-fitur yang semakin memanjakan penggunanya. Contohnya adalah fitur kamera, radio, games, dan lain-lain. Semakin mahal harga handphone maka biasanya semakin lengkap fitur yang dimilikinya. Salah satu fitur yang dimiliki sebuah handphone adalah GPS. GPS tidak hanya terdapat pada handphone, tetapi banyak dijumpai juga di mobil. Hal ini dikarenakan oleh fungsi GPS yang membantu pengguna sebagai penunjuk arah. GPS (Global Positioning System) adalah sistem satelit navigasi dan penentuan posisi sebuah objek yang terletak pada permukaan bumi. Teknologi yang dimiliki dan dikelola oleh Amerika Serikat ini pada awalnya dikembangkan untuk kepentingan militer. Namun, mengingat kegunaannya terutama dalam bidang navigasi serta geografi, maka dalam perjalanannya sistem ini juga dikembangkan untuk keperluan sipil. GPS didesain untuk memberikan informasi dalam menentukan letak/posisi, kecepatan, percepatan, dan waktu yang teliti.


Gambar 1.1 (Global Positioning System) Dalam menentukan posisi dan letak pada GPS, manusia membutuhkan ilmu pengetahuan tentang bumi yang disebut geodesi. Menurut IAG (International Association of Geodesy), geodesi adalah ilmu yang mempelajari pengukuran dan perepresentasian dari bumi dan benda-benda langit lainnya, termasuk medan gaya beratnya masing-masing dalam ruang tiga dimensi yang berubah dengan waktu. Dengan kata lain, geodesi adalah ilmu yang mempelajari tentang bentuk dan ukuran bumi termasuk berat dan kepadatannya. Dalam prakteknya, ilmuwan geodesi mengadakan pengamatan dan pengukuran secara teliti untuk menentukan posisi titik pada permukaan bumi untuk dipetakan. Salah satu faktor yang berpengaruh dalam menentukan letak dan posisi pada GPS dengan mengacu pada ilmu geodesi adalah ketinggian. Ketinggian suatu tempat atau daerah diperoleh dari percobaan-percobaan serta pengukuran matematis. Arti

2


pengukuran secara umum menurut Umar (1991) adalah kegiatan yang sistematis untuk mendapatkan informasi mengenai suatu objek secara kuantitatif dengan alat ukur yang dimiliki. Seringkali dalam melakukan pengukuran ketinggian, data yang didapat untuk suatu tempat tidak selalu akurat karena terdapat galat (kesalahan/error). Galat yang dimaksud di sini adalah kesalahan dalam proses pengambilan data. Menurut buku karangan Suntoyo Yitnosumarto (1993), galat adalah keanekaragaman (variabilitas) hasil pengukuran yang disebabkan oleh ketidakmampuan materi pengukuran atau objek pengukuran untuk berperilaku sama dalam pengukuran tersebut. Galat dapat berfungsi untuk menunjukkan efisiensi dari satu jenis pengukuran

ke pengukuran yang lain. Secara normal, yang diharapkan dalam

pengukuran adalah galat yang bernilai kecil. Untuk itu dibutuhkan metode matematis yang dapat meminimalkan galat pada pengukuran tersebut (dalam hal ini pengukuran ketinggian).

Objek pengukuran

pengukuran 1

pengukuran 1

galat

Bagan (1.1)

3

Pengukuran 1


Bagan (1.1) menjelaskan pengukuran suatu objek yang dilakukan beberapa kali. Pengukuran-pengukuran tersebut menghasilkan galat. Selanjutnya, galat tersebut akan diestimasi untuk memperkirakan ukuran atau bentuk objek yang sesungguhnya. Salah satu metode yang dapat membantu meminimalkan galat adalah metode kuadrat terkecil. Matematikawan besar dari Jerman, Carl Friedrich Gauss adalah salah satu pencetus ide tentang metode kuadrat terkecil. Selain Gauss ada beberapa penemu lainnya yaitu Adrien Marie Legendre pada tahun 1805 dan Robert Adrian tahun 1808. Prinsip dari metode kuadrat terkecil adalah meminimalisasi jumlah kuadrat deviasi data dari pengukuran yang didapat. Persamaan untuk meminimalisasi jumlah galat pada metode kuadrat terkecil adalah x = b, dengan

adalah matriks koefisien yang berukuran m x n dan b adalah

vektor yang berisi hasil-hasil pengukuran yang didapat dari data. Dalam hal ini harus dicari vektor

sehingga ‖

panjang vektor

‖ seminimal mungkin, dengan ‖

. Maksudnya adalah harus dicari sebuah vektor

‖ adalah untuk

yang terdekat ke . Misalkan jarang ditemukan

= ‖ = 0. Jika

‖,

menotasikan galat pada perhitungan. Biasanya = 0 maka perhitungan x adalah perhitungan yang

eksak untuk persamaan Ax = b. Jadi harus ditemukan ̂, sehingga ukuran ‖

=

‖ adalah yang paling kecil. Sebut ̂ adalah solusi metode kuadrat terkecil.

4


Yang dimaksud terkecil adalah jumlah kuadrat dari elemen-elemen Ax - b diminimalisasikan. Dalam mengukur ketinggian, masalahnya adalah menemukan x1,x2,...,xn dimana n ditentukan dan x1,x2,...,xn adalah titik-titik ketinggian yang akan dicari. Sebagai contoh, patokan-patokan pada gambar (1.1) di bawah melambangkan setiap titik x1,x2,...,x10

Gambar 1.1 Seringkali, dalam mengukur ketinggian, yang kita lakukan adalah menghitung beda tinggi dari satu titik ke titik yang lain. Maksud dari beda tinggi adalah jarak vertikal antara dua bidang datar yang melalui kedua titik tersebut (lihat gambar 1.2). Dalam hal ini, beda dari titik x1 ke titik x2 sama dengan jarak vertikal dari titik

ke titik

.

5


Gambar 1.2 Makalah ini akan membahas lebih lanjut tentang minimalisasi galat pada pengukuran ketinggian dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot..

I.2

Rumusan Masalah a. Apa yang dimaksud dengan metode kuadrat terkecil terbobot? b. Bagaimana menerapkan metode kuadrat terkecil terbobot tersebut ke dalam data jaringan ketinggian yang didapat?

I.3

Batasan Masalah a.

Perhitungan galat ini dilakukan hanya pada matriks yang mempunyai rank kolom penuh.

b. Makalah ini tidak membahas secara rinci tentang statistik. Dalam hal ini, tidak akan dibahas secara mendalam mengenai bagaimana memperoleh variansi yang akan digunakan sebagai entri-entri dari matriks terbobot.

6


I.4

Tujuan Penulisan a. Memahami metode kuadrat terkecil dalam meminimalkan galat dari suatu hasil pengukuran. b. Memahami bagaimana metode kuadrat terkecil terbobot diaplikasikan dalam jaringan ketinggian. c. Mengaplikasikan graf sebagai representasi dari jaringan untuk membantu memecahkan masalah menentukan titik-titik ketinggian.

I.5

Metode Penulisan Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan menggunakan buku-

buku referensi sebagai acuan penulisan serta pengambilan data.

I.6

Manfaat Penulisan a. Dapat mengaplikasikan metode kuadrat terkecil untuk meminimalkan galat pada pengukuran jaringan ketinggian. b. Membantu berbagai pihak dalam mengukur ketinggian agar galat dari hasil pengukuran yang diperoleh dapat diminimalkan.

I.7

Sistematika Penulisan Bab I : Pendahuluan I.1

Latar Belakang

I.2

Batasan Masalah

I.3

Rumusan Masalah

I.4

Tujuan Penulisan

7


I.5

Metode Penulisan

I.6

Manfaat Penulisan

I.7

Sistematika Penulisan

Bab II : Landasan Teori II.1

Matriks Singular dan Taksingular

II.2

Ruang Vektor

II.3

Kebebasan Linear

II.4

Basis dan Dimensi

II.5

Ruang Baris dan Ruang Kolom

II.6

Rank

II.7

Ruang Nol (Kernel)

II.8

Ruang Hasil Kali Dalam

II.9

Norma

II.10

Ortogonalitas

II.11

Metode Kuadrat Tekecil

II.12

Matriks Definit Positif

II.13

Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika A. Nilai Harapan Variabel Random B. Variansi Variabel Random C. Kovariansi dari Dua Variabel Random

II.14

Dasar-Dasar Teori Graf A. Teori Graf 8


B. Graf Berarah C. Graf Lengkap Bab III : Jaringan Ketinggian III.1

Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil

III.2

Kuadrat Terkecil Terbobot

III.3

Jaringan Ketinggian dan Graf

Bab IV : Penutup IV.1

Kesimpulan

IV.2

Saran

9


BAB II LANDASAN TEORI II.1

Matriks Singular dan Tak singular

Definisi (2.1) : Suatu matriks A berorde n x n dikatakan tak singular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A. Jika B dan C keduanya adalah invers perkalian dari A, maka : B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Jadi, satu matriks memiliki paling banyak satu invers perkalian. Definisi (2.2) : Suatu matriks n x n dikatakan singular jika tidak memiliki invers perkalian. Sebut invers perkalian dari suatu matriks taksingular A sebagai invers dari A dan ditulis sebagai

.

Contoh : Matriks-matriks 0

1 dan *

+

adalah saling invers karena,

0

dan

1[

]

0

1


[

]0

1

0

1

Teorema (2.1) Suatu matriks A berorde n x n adalah singular jika dan hanya jika ( ) Bukti (Leon, teorema 2.2.2, hal.90)

II.2

Ruang Vektor Misalkan

adalah himpunan tak kosong di mana didefinisikan operasi-

operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya bahwa untuk setiap pasangan elemen-elemen

dan

di dalam

yang tunggal yang juga berada di

dapat diasosiasikan dengan elemen

, dan dengan setiap elemen

di

dan

setiap skalar

, dapat diasosiasikan dengan elemen

yang tunggal di dalam

.

Himpunan

bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian

dengan skalar dikatakan membentuk ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi : A.1.

untuk setiap

A.2.

(

A.3.

Terdapat elemen 0 di sehingga

A.4.

Untuk setiap

A.5.

)

dan

(

(

)

di

) untuk setiap

terdapat elemen –

= di

untuk setiap skalar

11

di untuk setiap sehingga dan setiap

di (- ) di


A.6.

(

) =

A.7.

(

)

(

A.8.

1.

=

setiap

untuk setiap skalar ) untuk setiap skalar

dan

dan

dan setiap

dan setiap

Elemen-elemen dari V disebut vektor. Istilah skalar biasanya adalah suatu bilangan real, meskipun dalam beberapa kasus adalah bilangan kompleks. Seringkali istilah ruang vektor real digunakan untuk menyatakan bahwa himpunan skalar-skalar adalah himpunan bilangan-bilangan real. Simbol 0 telah digunakan dalam Aksioma 3 untuk membedakan vektor nol dan skalar 0. Beberapa contoh Ruang vektor : 1. Ruang vektor Euclides Himpunan semua pasangan terurut *(

dengan entri-entri bilangan real: )|

+

2. Ruang vektor Misalkan

himpunan semua matriks (

real. Jika matriks didefinisikan

(

) dan

) yang berorde sebagai matriks

3. Ruang vektor , Misalkan

(

,

), maka jumlahan

dengan entri-entri bilangan didefinisikan sebagai

. Jika diberikan skalar dimana entri ke- adalah

, maka dapat .

- menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang

didefinisikan dan kontinu pada interval tertutup ,

12

-. Dalam kasus ini himpunan


semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jadi vektornya adalah fungsi-fungsi di ,

-. Jumlah

dari dua fungsi di , (

untuk semua

di ,

)( )

- didefinisikan oleh ( )

( ),

-. Fungsi yang baru dari

karena jumlahan dari fungsi kontinu adalah kontinu. Jika dan

suatu bilangan real, maka

di ,

-,

adalah fungsi di ,

-

didefinisikan oleh (

untuk semua

,

adalah elemen dari

)( )

-. Jelas bahwa

( ),

berada di dalam ,

- karena jika konstan

dikalikan dengan fungsi kontinu selalu kontinu. 4. Ruang vektor Misalkan dan

adalah himpunan semua polinom dengan derajat didefinisikan (

dan )( )

. Untuk

oleh ( )

( )

dan (

II.3

)( )

( )

Ruang Bagian

Definisi (2.3) : Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor . Dan memenuhi syarat-syarat berikut : 1.

13


2. maka

disebut ruang bagian (subspace) dari .

Contoh : Misalkan jika

(

2.

) |

(

)

adalah ruang bagian dari

, karena

) dan (

. (

)

(

II.4

+. Maka

) , maka : (

1. jika

*(

) (

maka : ) )

Kebebasan Linear Pada bagian ini, akan dibatasi pada ruang-ruang vektor yang dibentuk dari

himpunan-himpunan berhingga. Setiap vektor dalam ruang vektor yang bersangkutan dapat dibentuk dari elemen-elemen dalam himpunan penghasil ini hanya dengan menggunakan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Himpunan penghasil ini biasanya disebut himpunan perentang. Lebih khususnya akan dicari himpunan perentang “minimal”. Kata minimal maksudnya adalah himpunan perentang tanpa elemen yang tidak diperlukan (artinya, semua elemen dalam himpunan tersebut diperlukan untuk merentang ruang vektor yang bersangkutan).

14


Untuk melihat bagaimana mencari himpunan perentang yang minimal perlu diperhatikan bagaimana vektor-vektor di dalam himpunan saling “bergantung” satu sama lain. 

vektor-vektor

dalam ruang vektor

disebut bebas linear

(linearly independent) jika

mengakibatkan semua skalar

harus sama dengan 0.

Contoh :

Vektor-vektor . /dan . / adalah bebas linear, karena jika

. /

. /

. /

yaitu

maka satu-satunya penyelesaian dari sistem ini adalah 

vektor-vektor

,

dan

dalam ruang vektor

linear (linearly dependent) jika terdapat skalar-skalar semuanya nol sehingga 15

.

disebut bergantung yang tidak


Contoh :

Diberikan.

( )

Vektor-vektor

( )

( )

bergantung linear karena apabila

( )

( )

( )

( )

maka diperoleh :

Dalam kasus ini

= 1,

,

,

, jadi .

Teorema (2.2) Misalkan

adalah vektor dalam (

dan misalkan )

16

( )

( )

adalah


untuk

(

. Jika

), maka vektor-vektor

adalah bergantung linear jika dan hanya jika

adalah matriks singular.

Bukti (Leon, teorema 3.3.1, hal.122) Teorema (2.2) dapat digunakan untuk menguji apakah linear atau bergantung linear dalam

vektor adalah bebas

. Langkah awalnya adalah bentuk suatu

matriks yang elemen-elemennya adalah vektor-vektor yang akan diuji kebebasan linearnya, sebut matriks itu adalah matriks

. Untuk menentukan apakah matriks

singular atau tidak, hitunglah nilai dari det( ). Jika det( )= 0, maka vektorvektornya bergantung linear. Jika det ( ) ≠ 0 maka vektor-vektornya bebas linear. Contoh : Tentukan apakah vektor-vektor (

) (

) dan (

) bergantung linear

atau bebas linear? Penyelesaian :

Misalkan X = (

). Untuk menentukan apakah matriks

singular atau tidak

singular adalah dengan mencari nilai determinannya

( )

|

(

|

)

|

(

|

) 17

|

(

|

)


. ( )

Karena

, maka menurut teorema (2.2), vektor-vektor tersebut adalah

bergantung linear.

II.5

Basis dan Dimensi

Definisi (2.4) : Vektor-vektor

membentuk basis untuk ruang vektor

jika dan hanya jika : i.

bebas linear

ii.

merentang

Contoh :

“Basis baku” untuk

adalah {

( )

( )

terdapat banyak basis untuk yang dapat dipilih untuk

( )}, akan tetapi (basis dari ruang vektor

tidak tunggal). Sebagai contoh

{( )

( )

kedua-duanya adalah basis untuk

( )} dan {( )

( )

( )}

karena kedua-duanya memenuhi syarat basis

yaitu merentang dan bebas linear.

18


Buktinya adalah :

Diberikan {( )

( )

( )}, maka :

1. Harus dibuktikan bahwa himpunan vektor-vektor di atas merentang 4 5

( )

( )

( )

Menghasilkan :

maka,

jadi, 4 5

(

)( )

(

)( )

19

(

)( )


sehingga ketiga vektor tersebut merentang

.

2. Harus dibuktikan bahwa ketiga vektor tersebut bebas linear.

(

| )

(

(

(

| )

| )

(

(

| )

| )

| )

Jadi,

. Maka, ketiga vektor di atas adalah bebas linear.

Terbukti bahwa himpunan vektor {( )

( )

( )} adalah merentang dan bebas

linear. Maka himpunan vektor tersebut adalah basis untuk

.

Teorema (2.3) Jika *

+ adalah basis dari suatu ruang vektor , maka himpunan sebarang

vektor di , dengan

adalah bergantung linear.

Bukti (Leon, teorema 3.4.1, hal.129) Akibat (2.3.1)

20


Jika *

+ dan *

ruang vektor , maka

+ kedua-duanya adalah basis untuk suatu .

Bukti (Leon, akibat 3.4.2, hal. 130) Definisi (2.5) : Misalkan dari dari

adalah ruang vektor. Jika

vektor, maka dapat dikatakan bahwa dikatakan memilik dimensi 0.

memiliki dimensi . Ruang bagian * +

dikatakan memiliki dimensi hingga jika

terdapat himpunan berhingga vektor yang merentang demikian, maka dapat dikatakan bahwa

memiliki basis yang terdiri

dan bebas linear; jika tidak

memiliki dimensi tak hingga.

Contoh : Ruang vektor

memiliki basis *

basis tersebut, maka

+. Karena terdapat

vektor dalam

memiliki dimensi n.

Conotoh : Teorema (2.4) Jika

adalah ruang vektor dengan dimensi

1. Sembarang himpunan n vektor bebas linear merentang 2. Sembarang himpunan

vektor yang merentang

Bukti (Leon, Teorema 3.4.3, hal. 131)

21

adalah bebas linear.


Contoh :

Tunjukkan bahwa {( )

Karena dim

(

)

( )} adalah basis untuk

.

, maka hanya perlu ditunjukkan bahwa ketiga vektor ini bebas

linear.

(

Misalkan

), maka

( )

|

|

(

)

|

|

(

|

|

)

Karena ketiga vektor di atas bebas linear, maka menurut teorema (2.4) ketiga vektor di atas merentang

II.6

. Jadi ketiga vektor di atas adalah basis untuk

.

Ruang Baris dan Ruang Kolom Jika

adalah matriks berorde

, maka setiap baris dari

bilangan-bilangan real sehingga dapat dianggap sebagai vektor dalam yang bersesuaian dengan baris-baris dari (row vector) dari sebagai vektor

.

vektor

akan disebut sebagai vektor-vektor baris

. Dengan cara yang serupa, setiap kolom dari dan dapat diasosiasikan

adalah tupel-n

dapat dianggap

vektor kolom dengan matriks . 22


Definisi (2.6) : Jika

adalah matriks berorde

yang direntang oleh vektor-vektor baris dari

disebut ruang baris (row space) dari

( ) . Ruang bagian dari

dilambangkan dengan vektor kolom dari

, maka ruang bagian dari

yang direntang oleh vektor-

disebut ruang kolom (column space) dari

dilambangkan

dengan ( ). Contoh :

.

Misalkan

Ruang baris dari

/

adalah himpunan tiga tupel yang berbentuk (

Ruang kolom dari

)

Jadi ruang baris dari adalah

)

(

)

adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

. /

kolom dari

(

. /

. /

. /

adalah ruang bagian berdimensi dua dari

dan ruang

.

Teorema (2.5) Dua matriks A dan B yang ekivalen baris (B dapat dibetuk dari A dengan serangkaian operasi baris yang berhingga banyaknya, yaitu vektor-vektor baris dari B merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A) memiliki ruang baris yang sama. 23


Bukti (Leon, teorema 3.6.1, hal. 144)

II.7

Rank Rank dari suatu matriks

adalah dimensi dari ruang baris dari

. Untuk

menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan cara mereduksi matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris. Baris-baris taknol dari matriks eselon baris akan membentuk basis untuk ruang barisnya. Contoh : Misalkan

(

Dengan mereduksi

(

)

menjadi bentuk eselon baris

)

(

(

)

)

(

(

)

maka diperoleh matriks

(

)

24

)


Jelas bahwa ( dan

) membentuk basis untuk ruang baris dari . Karena

ekivalen baris, maka matriks

matriks

II.8

) dan (

sehinga rank dari

memiliki ruang baris yang sama dengan

adalah 2.

Ruang Nol (Kernel/ Nullspace) Misalkan

adalah matriks

semua penyelesaian dari sistem homogen ( ) Akan ditunjukan bahwa Jika

( ) dan

*

, maka : |

+

( ) adalah ruang bagian dari

( ).

)

( ), maka : (

Oleh karena itu,

) ( ). Ini berarti bahwa

Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen bagian dari

. Ruang bagian

( ) ruang bagian dari

( ) jika 25

.

membentuk ruang

( ) disebut ruang nol (kernel atau nullspace) dari .

Contoh : Tentukan

sebagai berikut :

suatu skalar, maka (

sehingga

( ) menyatakan himpunan

. Misalkan


.

/

Penyelesaian : Dengan menggunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan , maka diperoleh :

.

.

| /

| /

.

| /

.

| /

Bentuk eselon baris tereduksi melibatkan dua variable bebas

jadi, jika didefinisikan

=

( )

adalah penyelesaian dari

dan

(

dan

, maka

)

(

. Ruang vektor

berbentuk

26

)

(

)

( ) terdiri dari semua vektor


(

di mana

II.9

dan

)

(

)

adalah skalar.

Ruang Hasil Kali Dalam Hasil kali dalam pada ruang vektor

adalah sebuah operasi pada

yang

dengan sebuah bilangan real 〈

memetakan setiap pasang vektor-vektor ,

〉

yang memenuhi syarat berikut : 〈

〉

ii 〈

〉

i

iii 〈

, dengan kesamaan jika dan hanya jika 〈

〉 untuk semua 〉

(

semua skalar

dan

Ruang vektor

)

dan (

di dalam

) untuk semua

di dalam

dan

yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil

kali dalam. Sifat-sifat dasar ruang hasil kali dalam Jika

adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , panjang atau

norma dari

diberikan oleh ‖ ‖

Dua vektor dikatakan ortogonal jika 〈

√〈 〉 = 0. 27

〉


Teorema (2.6) (Hukum Pythagoras) Jika

dan

adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasil kali dalam

, maka : ‖

‖

‖ ‖

‖ ‖

Bukti (Leon, teorema 5.3.1, hal. 203) Teorema (2.7) (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika

dan

adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka |〈

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika

〉|

‖ ‖‖ ‖ dan

bergantung linear.

Bukti (Leon, teorema 5.3.2, hal. 206)

II.10 Norma Definisi (2.7) : Sebuah ruang vektor

dikatakan ruang linear bernorma

(normed linear space) jika untuk setiap vektor bilangan real ‖ ‖ yang disebut norma dari i

‖ ‖

ii ‖ iii ‖

dikaitkan dengan sebuah

yang memenuhi :

dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika ‖

| |‖ ‖ untuk setiap skalar . ‖

‖ ‖

‖ ‖ untuk semua

28

.


Teorema (2.8) Jika

sebuah ruang hasil kali dalam, maka ‖ ‖

〉 untuk semua

√〈

mendefinisikan sebuah norma pada . Bukti (Leon, teorema 5.3.3, hal. 207) Ada banyak norma yang dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor yang diberikan. Sebagai contoh di i. ‖ ‖

∑

:

| |, untuk setiap

ii. ‖ ‖

=(

)

| |

iii. ‖ ‖

(∑

| | )

⁄

Secara khusus, jika p = 2, maka : ⁄

‖ ‖

(∑| | )

Bukti bahwa i, ii, iii adalah norma : i. Misalkan 1. ‖ ‖

( | |

) ‖ ‖ | |

|

| | |

‖ ‖ 29

| |

|

|


| |

| |

| |

|

dan | | dan

2. ‖

|

‖

dan

|

|

dan |

dan

|

|

dan

|

|

| || |

| || |

| |(| |

| |

| | ||

|

|

|)

| |‖ ‖ (

3. Misalkan ‖

‖

) ‖ ‖

|

|

| |

|

| |

(| |

| | |

| | |

| |

| |

‖ ‖

| |

|

| |

|)

| |

(| |

|

| | | |

| |)

‖ ‖

Jadi, terbutki bahwa (i) adalah norma. ii. Misalkan

(

1. ‖ ‖

)‖ ‖ *| | | |

|

*| | | |

|

|+

Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖ ‖ ‖ *| | | | | |

dan | |

|

|+ dan

30

dan |

|

|+


dan

2. ‖

‖

*|

||

dan

dan

|

|+

|

*| || | | || |

| ||

| |*| | | |

|

|+

*| | | |

|

|+

| |

|+

| |‖ ‖ (

3. Misalkan ‖

‖

)‖ ‖ *|

||

*| |

|

| || |

*(| | | | *| | | | ‖ ‖

*| | | | |+

| |

| |

|

|) |+

| |+

|

|

| |+

(| | | |

| |)+

*| | | |

| |+

‖ ‖

Jadi terbukti bahwa (ii) adalah norma. (

iii. Misalkan 1. ‖ ‖

√〈

)‖ ‖

(∑

〉

√ ‖ ‖ √〈

〉

31

| | )

⁄

√〈

〉


√

2. ‖

‖

dan

dan

dan

dan

dan

dan

〉

√〈 √ √

(

√

√

)

| |‖ ‖ (

3. Misalkan ‖

‖

Diperoleh ‖

)‖ ‖

〈

(∑

| | )

⁄

√〈

〉

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉 〈

〈 〉

〉 〈

‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖

(‖ ‖

‖ ‖ )

‖

‖ ‖

〈

〉

〉 ‖ ‖

‖ ‖ .

Jadi terbukti bahwa (iii) adalah norma.

32

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz


Contoh : Misalkan

adalah vektor (

) di

. Hitung ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

Penyelesaian : ‖ ‖

| |

‖ ‖

√

‖ ‖

|

|

| | √

(| | |

| | |)

II.11 Ortogonalitas Definisi (2.8) : Dua ruang bagian untuk setiap

dan

dari

dikatakan ortogonal jika

. Notasi yang digunakan jika

Definisi (2.9) : Misalkan vektor di dalam

dan


dan

ortogonal adalah

. Himpunan semua vektor-

yang ortogonal pada setiap vektor di

akan dinotasikan dengan

. Jadi, * Himpunan

|

+

disebut komplemen ortogonal dari .

Teorema (2.9) Jika

adalah sebuah matriks

, maka

( )

33

(

) dan

(

)

( )


Bukti (Leon, teorema 5.2.1, hal.196).

II.12 Metode Kuadrat Terkecil Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai sebuah sistem kelebihan persamaan linear. Sistem kelebihan persamaan linear melibatkan lebih banyak persamaan daripada peubah yang tidak diketahui. Sistem yang demikian biasanya tidak konsisten (sistem persamaan tidak dapat diselesaikan). Jadi, jika diberikan sebuah sistem Misalkan

yaitu

dengan

adalah sebuah matriks

dengan

. . Untuk setiap

,

definisikan ‖ ‖

Tinjau sistem persamaan

√〈

〉

√

. Untuk setiap

dapat dibentuk sebuah vektor

sisa (residual) ( ) Jarak antara

dan

diberikan oleh ‖

‖

‖ ( )‖

sehingga ‖ ( )‖ minimum. Meminimumkan

Akan dicari sebuah vektor

‖ ( )‖ adalah sama dengan meminimumkan ‖ ( )‖ . Alasannya adalah dalam fungsi kuadrat, untuk setiap

dan

tak negatif, jika

34

maka

. Sebuah


vektor

yang memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk

sistem

. Jika ̂ adalah penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem

maka

adalah sebuah vektor di dalam ruang kolom dari

̂,

dan

yang terdekat ke .

Teorema (2.10) Misalkan


sebuah elemen tunggal

dari

‖

‖

‖

di dalam . Lebih lanjut, vektor

paling dekat dengan vektor

terdapat

yang terdekat ke , artinya: ‖

untuk semua

. Untuk setiap

yang diberikan dalam

jika dan hanya jika

akan

.

Bukti (Leon, Teorema 5.4.1, hal. 212) Sebuah vektor ̂ akan menjadi penyelesaian masalah kuadrat terkecil dan hanya jika

̂ adalah vektor di dalam

dikatakan sebagai proyeksi dari

jika

( ) yang terdekat ke . Vektor

pada ( ). Berdasarkan Teorema (2.10) ̂

harus merupakan sebuah elemen dari

(̂)

( ) . Jadi (̂) adalah sebuah penyelesaian

masalah kuadrat terkecil jika dan hanya jika

35


(̂)

( )

Kunci penyelesaian dari masalah kuadrat terkecil diberikan oleh Teorema (2.9) yang menyatakan bahwa : ( )

(

)

Sebuah vektor ̂ akan menjadi penyelesaian kuadrat terkecil dari sistem

jika

dan hanya jika: (̂)

(

)

atau, ekivalen dengan : (̂)

(

Jadi, untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil

̂) , harus diselesaikan :

̂ Persamaan di atas menggambarkan sebuah persamaan linear

. Persamaan di atas

disebut sebagai persamaan normal (normal equation). Teorema (2.11). Jika

adalah matriks

yang memiliki rank , maka persamaan normal

36


mempunyai sebuah penyelesaian tunggal (

̂

)

dan ̂ adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem Bukti (Leon, Teorema 5.4.2, hal. 214).

II.13 Matriks Definit Positif Suatu matriks A berorde

dikatakan definit positif jika matriks tersebut

simetris dan memenuhi

untuk setiap

II.14

=,

-

Konsep-Konsep Penting Dalam Statistika

A. Nilai Harapan Variabel Random Definisi (2.10) : Nilai harapan suatu variabel random

∫

Jika variabel random kontinu dengan fungsi densitas ( ) Jika variabel random diskret dengan fungsi probabilitas ( )

( )

( ) {

∑

didefinisikan oleh

( )

B. Variansi Variabel Random 37


Definisi (2.11) : Variansi dari suatu variabel random nilai harapan dari (

dengan

( )

adalah

) . Yaitu ,(

) -

Contoh : Dalam suatu keluarga, yang memiliki dua anak, distribusi probabilitas dari banyaknya anak yang terlahir, akan mengikuti ketentuan di bawah ini :

Banyaknya

anak

0

1

2

( )

¼

½

¼

perempuan X Probabilitas

Nilai harapan dan variansi dari banyaknya anak yang terlahir perempuan akan dihitung sebagai berikut :

( )

,(

) -

∑

(

( )

) ( )

( )

( )

(

) ( )

C. Kovariansi Dari Dua Variabel Random

38

( )

(

) ( )


Definisi (2.12) : Diberikan probabilitas bersama (

dan

adalah variabel random dengan distribusi

). Kovariansi dari

)(

[(

adalah )]

( )

( ) dan

dengan

dan

II.15 Dasar-Dasar Teori Graf A. Teori Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (

Definisi (2.13) : Graf dalam hal ini *

+ dan *

yaitu

adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul, yaitu adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul, +, atau dapat ditulis dengan notasi

menghubungkan simpul

dan

maka dapat ditulis

Contoh : Gambar 2.1 menyatakan graf * *

), yang

(

) dengan:

+ +

Gambar 2.1

39

( .

). Bila sisi


Definisi (2.14) : Dua buah simpul pada graf

dikatakan berhubungan bila keduanya

terhubung langsung oleh suatu sisi. Untuk sebarang sisi

, sisi

dikatakan bersisian dengan titik

dan titik .

Contoh : Pada gambar 2.1, simpul

berhubungan dengan simpul

, tetapi simpul

tidak

adalah titik-titik dalam graf

, jalan

berhubungan dengan simpul . Definisi (2.15) : Misal dari dari

adalah graf,

dan

didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang dimulai

dan diakhiri dengan

sedemikian sehingga titik-titik dan rusuk-rusuk yang

berurutan saling bersisian. Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang menghubungkan titik

dan

disebut lintasan

Definisi (2.16) : Misalkan hanya bila untuk setiap simpul

.

adalah graf. Graf dan

merupakan graf terhubung bila

di , ada jalan dari titik

Contoh :

Gambar 2.2

40

ke titik .


Graf

merupakan graf terhubung, sedangkan graf

merupakan graf tidak

terhubung. B. Terminologi Graf Berikut ini diberikan diberikan beberapa definisi dari jenis-jenis graf Definisi (2.17) : Garis parallel adalah dua buah garis yang menghubungkan titik yang sama. Loop adalah garis yang titik awal dan titik ujungnya sama. Contoh:

Gambar 2.3 Gambar 2.3 adalah contoh graf yang memuat garis parallel dan loop. C. Graf Lengkap

41


Definisi (2.18) : Graf lengkap

adalah graf yang memiliki

dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Graf lengkap

titik dan setiap titik disebut juga graf

trivial. Contoh :

Gambar 2.4 Gambar 2.4 merupakan beberapa contoh graf lengkap. D. Graf Berarah Definisi (2.19): Suatu graf berarah (Directed Graph) D terdiri atas dua himpunan : (1) Himpunan V, anggotanya disebut simpul (2) Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut, yang disebut sisi berarah. Graf berarah dinotasikan dengan D(V,A). Simpul anggota V, digambarkan sebagai titik. Sedangkan sisi a = (u,v), digambarkan sebagai garis dilengkapi dengan tanda panah mengarah dari simpul u ke simpul v. simpul u disebut titik pangkal, dan simpul v disebut titik terminal. Contoh :

Gambar 2.5

42


Gambar di atas adalah sebuah contoh dari graf berarah dengan : (1) V mengandung 4 simpul, yakni 1,2,3 dan 4 (2) A mengandung 4 sisi berarah yakni (1,4), (2,1),(4,2),(2,3),(4,3) dan (2,2) Definisi (2.18) : Apabila sisi berarah suatu graf berarah menyatakan suatu bobot, maka Graf Berarah tersebut dinamakan jaringan (network). Contoh :

Gambar 2.6 Gambar (2.5) menyatakan suatu jaringan karena setiap sisi berarahnya diberi bobot.

43


BAB III JARINGAN KETINGGIAN

III.1 Pengukuran Ketinggian dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil Pertama diberikan sebuah contoh permasalahan di dalam geodesi yaitu masalah leveling, dalam hal ini adalah penentuan tinggi. Masalahnya adalah menentukan ketinggian dari n titik yang ditentukan x1, x2, ... , xn. Di dalam prakteknya yang seringkali diukur adalah beda ketinggian. Ketinggian dari titik i diukur dari titik j, dengan menggunakan prinsip beda ketinggian bij (mungkin tidak eksak) adalah: (

)

Beda-beda ketinggian ini diukur untuk pasangan tertentu (i,j). Dari pengukuran bij dapat diperkirakan ketinggian yang sebenarnya. Pertama, diasumsikan tidak ada galat dalam pengukuran. Maka diharapkan penyelesaian dapat diselesaikan secara eksak. Tapi, jika dilihat pada persamaan dengan n = 3 variabel dan m = 3 persamaan, akan ditemukan masalah yaitu :

}

(

)

Sistem persamaan linear ini bersifat singular. Matriks koefisien dari persamaan di atas adalah :


A=[

]

Matriks A tidak dapat dibalik (tidak invertibel). Determinan dari A sama dengan nol : det (A) = 0 |

|

|

|

|

|

= 0 (-1 – 0)+1(0-1)+1(1-0) = 0. Jika ketiga persamaan pada (3.2) tersebut dijumlahkan akan menghasilkan : 0=

(3.3)

Sebuah sistem persamaan linear singular mempunyai dua kemungkinan, tidak ada penyelesaian atau ada banyak penyelesaian : 1. Tidak konsisten, artinya adalah tidak ada penyelesaian. Jumlahan dari tidak sama dengan nol. (kasus 1) 2. Persamaan konsisten tapi penyelesaian x1, x2, x3 tidak tunggal. Ada tak hingga banyak penyelesaian ketika kekonsistenan pada (3.3) dipenuhi. (kasus 2) Bukti penyelesaian tidak tunggal adalah :

45


[

|

[

]R3:R3+R1[

|

|

]R3:R3+R2

]

Jika x3 = , x1 = x2 + b12, x2 = x3 + b23 Maka x2 =

23,

x1 = ( + b23) + b12 , x3 = ,

suatu skalar.

Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan berada pada kasus 1 : tidak ada penyelesaian. Untuk perhitungan yang eksak, harus berada pada kasus 2 : banyak penyelesaian. Penjelasannya adalah sebagai berikut: Tidak dapat menentukan ketinggian yang sebenarnya semata-mata hanya dari perhitungan beda tinggi. Satu atau lebih dari tinggi xj harus ditetapkan. Titik tinggi yang telah ditetapkan akan dihilangkan dari variabel. Misalkan titik ketinggian yang diketahui adalah x3 = H. Persamaan menjadi :

}

(

)

Sekarang terdapat tiga persamaan dan hanya dengan dua variabel. Catat bahwa persamaan tersebut memiliki kekonsistenan yang sama dengan (

) yakni

. Masih terdapat dua kemungkinan, tetapi persamaan ( dengan (

) karena matriks koefisiennya berbeda:

46

0 =

) berbeda


1. Tidak ada penyelesaian (perhitungan tidak konsisten) 2. Hanya ada satu penyelesaian (jika kekonsistenan dipenuhi) Bukti bahwa hanya ada satu penyelesaian :

[

[

|

]R3:R3+R1[

|

|

]R3:R3-R2

]

x1 = x2 + b12, x2 = b23+H, jika

.

Kolom-kolom dari matriks koefisien dari sistem persamaan (3.4) adalah bebas linear jika: c1v1+c2v2 = 0

c1[

[

] + c2 [

]= [ ]

] R3:R3+R1 [

] R3:R3+R2 [

]

maka, c1= c2 = 0.

47


Selanjutnya, dinotasikan :

]

Areduced =[

Rank dari matriks Areduced adalah 2 (rank kolom penuh). Hanya terdapat dua kemungkinan yaitu tidak ada penyelesaian atau hanya ada satu penyelesesaian. Ruang nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor 0. Bukti bahwa rank dari matriks Areduced adalah 2 :

Areduced = [

]

Dengan mereduksikan matriks A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks U

[

]R3:R3+R1 [

]R3:R3+R2 [

]

Misalkan,

U=[

]

Jelas bahwa (1,-1) dan (0,1) membentuk basis untuk ruang baris dari U. Karena U dan Areduced ekivalen baris, maka matriks U memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari matriks Areduced adalah 2. 48


Bukti ruang nol dari matriks Areduced hanya terdiri dari vektor nol : misalkan N(A) menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen Ax = 0. Jadi,

[

] R3:R3+R1 [

]R3 :R3 +R2[

]R1 :R1 +R2 [

]

Dan diperoleh x1 = 0, x2 = 0 ( )

*

|

+

2

0 13

Ulasan 3.1 Masalah ini mirip dengan permasalahan menghitung tegangan pada sebuah jaringan listrik. Kekonsistenan pada permasalahan jaringan listrik, yakni persamaan 0 =

dijamin oleh hukum tegangan Kirchhoff (perbedaan tegangan

pada suatu jaringan listrik tertutup adalah nol). Tinggi yang telah ditetapkan pada ketinggian x3 = H sama seperti tegangan yang telah ditetapkan, yang memungkinkan tegangan lain ditemukan secara tunggal. Menetapkan x3 = 0 adalah kasus untuk tegangan yang bagian ujung dari jaringan diletakan di tanah. Selanjutnya dapat dikembangkan lebih lanjut analogi antara ketinggian pada jaringan ketinggian dan tegangan pada jaringan listrik (tidak akan dibahas dalam makalah ini) Untuk perhitungan yang eksak, kekonsistenan akan dipenuhi. Dua dari persamaan dapat diselesaikan untuk x1 dan x2 dan persamaan yang ketiga akan secara 49


otomatis terselesaikan. Walaupun hal ini adalah kasus yang mudah, tapi dalam prakteknya hampir tidak pernah terjadi. Untuk perhitungan dengan galat, diharapkan ketiga persamaan pada (3.4) menjadi tidak konsisten. Persamaan-persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan, akan dicari sebuah penyelesaian terbaik, yang mana dapat membuat pengukuran dari galat seluruh sistem menjadi sekecil mungkin. Penyelesaian tersebut diharapkan menjadi penyelesaian terbaik untuk pengukuran galat. Salah satu metode yang memiliki penyelesaian terbaik untuk meminimalkan galat adalah kuadrat terkecil, dimana kuadrat terkecil meminimalkan jumlah kuadrat dari m persamaan : (

)

(

)

(

)

Persamaan di atas adalah kuadrat terkecil biasa. Ada beberapa pengukuran galat lain yang dapat memberikan penyelesaian-penyelesaian terbaik, yaitu : …..................................................(norma l2 terbobot)

2.

| |

| |

| |.......................................................................(norma l1) *| | | | | |+........................................................(norma l∞)

3.

Bukti bahwa ketiga pengukuran di atas adalah norma :

1. Bukti

adalah norma

50


), ‖ ‖= (∑

Misalkan r=( i.

‖ ‖

√〈

| |

)

〉

√

‖ ‖ √〈

〉

√

ii.

‖

‖

dan

dan

dan

dan

〉

√〈 √ √

(

)

51

√〈

〉


√

√

| |‖ ‖

iii.

Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖ ‖

‖

〈

√〈

〉

〈

〉

〉

〈

〉

= 〈

〉

〈

〉 〈

‖ ‖

〉

〈

‖ ‖

| |

| | adalah norma

), ‖ ‖

Misalkan r=( | |

| |

| |

| |

| |

| |

‖ ‖ | |

| |

| |

| |

dan | |

dan

dan

dan | |

r=0 ii.

‖

‖

Cauchy-Schwarz

adalah norma (norma l2 terbobot).

| |

‖ ‖

〉

‖ ‖)

Jadi, terbukti bahwa

i.

〈

〉

‖ ‖‖ ‖

(‖ ‖

2. Bukti

√

|

|

|

|

|

|

52


| || |

| || |

| | (| |

| |

| || | | |)

| |‖ ‖ iii.

Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖= | | ‖

‖

|

|

| |

|

| | | |

‖ ‖

‖ ‖

| |


|

|

| |

| |)

| |

| |

(| |

| |

| |

| |)

| | adalah norma (norma l1). *| | | | | |+ adalah norma

3. Bukti bahwa ), ‖ ‖

Misalkan r=( i.

| |

|

| |

(| |

| |

‖ ‖

*| | | | | |+

*| | | | | |+

Jelas bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif maka ‖ ‖ ‖ ‖=0 *| | | | | |+ | |

dan | | dan

ii.

‖

‖

*|

dan | | dan

||

||

|+

53

.


*| || | | || | | || |+ | |*| | | | | |+ | |

*| | | | | |+

| |‖ ‖ iii.

Misalkan t= (t1t2,t3), ‖ ‖ ‖

‖

*| *| |

*| | | | | |+ ||

||

| || |

*(| | | | | |) *| | | | | |+

|+

| || |

| |+

(| | | | | |)+ *| | | | | |+

‖ ‖+‖ ‖ *| | | | | |+ adalah norma.


Selanjutnya, makalah ini akan lebih banyak terfokus pada kuadrat terkecil terbobot. Pertama, harus dijelaskan kenapa bobot tertentu dipilih dalam dan bagaimana bobot-bobot tersebut mempengaruhi penyelesaian dari estimasi ̂ ̂ . Kuantitas menentukan

disebut variansi-variansi. Variansi-variansi tersebut

tingkat

kekonsistenan

ketiga

pengukuran.

Semakin

konsisten

pengukuran akan mempunyai variansi-variansi yang kecil dan bobot yang besar (karena bobot 1/

adalah kebalikan dari variansi). Persamaan-persamaan yang

mempunyai bobot lebih besar akan diselesaikan lebih tepat ketika keseluruhan kesalahan

diminimalkan.

54


Ulasan 3.2 Pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih detail mengenai variansi dan kovariansi. Output dari masalah ini harus menjadi perkiraan ketinggian ̂ dan juga merupakan indikasi dari kekonsistenan perkiraan-perkiraan tersebut.

Akan dicari variansi dari output galat-galat ̂

diberikan variansi-variansi dari input perhitungan galat-galat

, . Hal ini akan

membuktikan bahwa output variansi-variansi adalah yang terkecil ketika bobot bersifat berkebalikan dengan input variansi. Hal ini yang menjadi alasan untuk bobot 1/

.

Lebih umum, suatu matriks bobot yang optimum adalah invers dari matriks kovariansi. Ulasan 3.3 Pengukuran galat

=∑

| | dan

=

*| |

kuadratik dan tidak terdiferensialkan karena adanya fungsi nilai mutlak. Bukti

dan

tidak terdiferensialkan

55

+ tidak


Gambar 3.1 ( ) tidak terdiferensialkan di titik 0. 

Turunan kiri fungsi f di titik 0 adalah : ( )



( )

( )

Turunan kanan fungsi f di titik 0 adalah : ( )

( )

( )

56


Karena turunan kanan fungsi f di titik 0 tidak sama dengan turunan kiri fungsi f di titik 0, maka

( ) tidak ada, yaitu fungsi f tidak terdiferensialkan di titik 0.

Pada prakteknya hampir selalu ada galat-galat besar pada perhitunganperhitungan

. Hal ini terjadi karena seringkali pengamatan diidentifikasi secara

salah yang menyebabkan nilai-nilai pengamatan diproduksi kembali secara salah. Beberapa ilmuwan geodesi memperkirakan bahwa terdapat galat 5% dari data mereka. Sebuah kuadrat-terkecil yang sesuai akan memperkecil galat-galat tersebut. Dengan meminimalkan

bukan E, galat-galat besar dapat diidentifikasi pada sisa

̂. Penyelesaian dari sistem (3.3) Kembali pada ketiga persamaan dengan dua variabel :

}

57

(

)


Sistemnya adalah

yang akan diselesaikan dengan kuadrat terkecil dan

juga dengan kuadrat terkecil terbobot. Pada kuadrat terkecil terbobot akan dipilih bobot-bobot yang tepat agar dapat menghasilkan perkiraan yang baik. Jika melihat persamaan (3.5), matriks koefisien A dan b adalah :

A= [

] dan b = [

].

Untuk kuadrat terkecil biasa dengan bobot satuan, persamaan normalnya adalah ̂

̂

. Penyelesaian dari persamaan normal tersebut adalah perkiraan

( ̂ ̂ ) dari tinggi-tinggi yang tidak diketahui pada dua lokasi pengamatan

pertama dan lokasi yang ketiga sudah ditetapkan sebagai Mengalikan ̂

dengan matriks 2 x 3

.

untuk menemukan persamaan

̂

0

1[

0

Matriks

̂ ][ ] ̂

̂ 1[ ] ̂

0

[

1 [

]

]

(

)

ini memiliki sifat-sifat yang diharapkan yaitu matriks

adalah simetris dan dapat dibalik. Kolom ketiga dari A sudah dihilangkan dengan menetapkan

, meninggalkan dua kolom bebas linear. Invers dari matriks

58


tidak mudah dihitung dalam masalah yang memiliki ukuran matriks besar, tapi dalam masalah ini penyelesaiannya dapat dengan mudah dicari. ̂ ̂

(

mempunyai sebuah penyelesaian tunggal : ) ̂ [ ] ̂

0

̂ [ ] ̂

0

̂ [ ] ̂

0

1[

]

1[

]

1[

]

(

)

(

)

Hal ini memberikan perkiraan kuadrat terkecil tidak terbobot : ( (

̂ [ ] ̂

[

̂ [ ] ̂

[

̂

(

̂

(

) (

)

(

) ] )

]

)

} )

Perhatikan bagaimana semua ketinggian muncul dengan nilai H yang sama.

59


Catat juga kemungkinan bahwa persamaan-persamaan asli (3.3) adalah konsisten : 0 =

. Pada kasus ini, perkiraan ̂ juga merupakan

penyelesaian x. Perkiraan ̂ adalah penyelesaian tunggal untuk Mengganti

.

dengan nol memberikan penyelesaian yang tepat

ketika hal tersebut muncul :

}

(

)

Sekali lagi, semua ketinggian memuat H. Tapi kuadrat terkecil mengatakan bahwa (3.8) adalah perkiraan yang lebih baik dari pada (3.9) ketika persamaan menjadi tak konsisten. Selanjutnya, ubah perhitungan galat tidak terbobot mejadi perhitungan galat terbobot, yaitu :

menjadi

Variansi

mewakili penyebaran dari rata-rata pengukuran galatnya.

Untuk masalah jaringan ketinggian, ada sebuah aturan empiris yaitu : variansi adalah sebanding dengan jarak antar titik-titik pengamatan. Jadi, dipilih

60


Faktor

merupakan suatu satuan bobot dari variansi (variance of unit

weight). Untuk

menyelesaikan

kasus

pada

bagian

sebelumnya

tapi

dengan

menambahkan bobot, masih tetap dibutuhkan penempatan dari satu ketinggian yaitu . Ketiga persamaan masih tetap memiliki galat

:

(

̂ ̂

Penyelesaian terbaik

meminimalkan

. Variansi-variansi

menjadi penyebut. Ketika diambil turunan dari dan

terhadap

, maka akan didapat :

Dengan :

(

)

(

)

Dengan : ( (

)

)

61

)

(

)


(

(

)

(

)

)

(

)

Jika 

Diturunkan terhadap

(

)

(

)

(

)

(

)



diturunkan terhadap

dan

maka akan didapat :

:

4

5

Diturunkan terhadap

62


(

)

(

)

(

)

(

)

4

5

(

)

sehingga :

(

}

)

(3.11)

Jika dilihat, akan sedikit susah untuk menentukan penyelesaian dari (3.11). Namun dengan notasi matriks, persamaan (3.11) di atas dapat diselesaikan dengan lebih mudah. Bilangan 1/(

) = 1/(

) akan menjadi elemen-elemen dari sebuah

matriks terbobot C. Pada kasus sebelumnya (mencari penyelesaian terbaik ̂ ̂ pada persamaan (3.10)) memiliki matriks diagonal terbobot, karena ketiga galat diasumsikan bebas linear :

63


(

)

C=*

(

+

) (

*

+

)

Ketika Ax = b terbobot oleh C, persamaan normal menjadi

̂

Kalimat di atas merujuk pada persamaan (3.11). Akan digunakan notasi ) (dengan

daripada notasi 1/(

), tapi akan ditemukan koefisien yang

sama dari (3.11) pada matriks

=0

1*

+[

]

0

1

(

)

Misalkan, F=0

1

F adalah simetri dan invertibel (punya invers) dan positif definit. Dengan akan didapat matriks tidak terbobot sebelumnya. Determinan dari matriks F adalah: Det (F) = |

=(

|

)(

)-

=

64

yang sudah dihitung di


Jadi determinan dari matriks F adalah Pada bagian kanan

0

juga mudah diselesaikan :

1*

+[

]

Secara eksplisit, matriks

[

]

(3.13)

̂=

dapat dibalik sehingga

dapat

diselesaikan: ̂ [ ] ̂

0

1[ ( (

[

) ( ) ( ( (

[

̂

̂

(

(

]

)

(

)

) )

]

) ( ) (

0 1

) )

]

0 1

)

(

)

Sekali lagi, semua ketinggian yang diperkirakan berubah naik atau turun membawa kembali hasil perkiraan ̂

dengan H. Ketinggian satuan tidak terbobot yang sudah dihitung sebelumnya.

65


III.2 Kuadrat Terkecil Terbobot Pada bagian sebelumnya telah dibahas contoh dari kuadrat terkecil terbobot. Matriks terbobot C adalah matriks diagonal, karena pengamatan dari galat-galat tidak berkorelasi. Matriks C menjadi C = (atau sungguh menjadi

ketika seluruh galat

mempunyai variansi yang sama. Hal ini termasuk pada kasus galat bebas linear dan teridentifikasi secara identik (

independent and identically distributed errors).

Ketika galat-galat tidak bebas linear, maka setiap matriks simetris definit positif C = ∑

dengan C = ∑

adalah invers dari matriks kovariansi ∑ ̂

Pada bagian ini akan dikembangkan suatu persamaan normal

dan dasar teori untuk membentuk matriks C. Ukuran kuadrat yang sebelumnya menjadi

, termasuk juga bobot-bobot : ‖ ‖

berubah menjadi ‖ ‖

Ketika ukuran berubah, maka hasil kali dalam

. menjadi

juga

berubah. Sudutnya juga berubah, dua vektor a dan b sekarang menjadi tegak lurus ketika Pengertiannya adalah, matriks hasil

̂ dari kolom-kolom

masih sebuah

proyeksi tegak lurus dari b. Persamaan mendasar dari kuadrat terkecil masih mengharuskan galat Perkalian dalam

̂ tegak lurus tehadap semua kolom-kolom dari , di antara kolom-kolom dari

nol, maka kolom-kolomnya adalah baris-baris dari 66

dan galat , jadi

.

semuanya harus


(

atau

̂)

̂

atau

(3.14)

Persamaan (3.14) adalah persamaan normal terbobot. ‖ ‖ sekecil mungkin :

Vektor ̂ dipilih untuk membuat Meminimalkan ‖ ‖ Jabarkan

(3.15)

(

) (

menjadi

(

)

)

(

(3.15) )

. Sekarang yang ada adalah murni masalah kalkulus. Untuk dapat mencari nilai minimal dari (3.15) dapat dilakukan dengan menurunkan persamaan (3.15). Penyelesaian dari masalah tersebut memberikan untuk setiap

persamaan-persamaan

komponen dari ̂. Persamaan-persamaan menjadi linear karena ‖ ‖

adalah kuadratik. Dalam aljabar, dapat ditemukan persamaan untuk mencari nilai ̂ (ada komponen) dengan menggunakan notasi matriks. Persamaan-persamaan tersebut adalah ̂

dengan

dan

:

Teorema (3.1): Ketika

adalah matriks simetri positif definit, bentuk kuadratik diminimalkan pada titik dimana

pada ̂

adalah (̂)

67

̂

( )

. Suatu nilai minimum dari ,


Bukti : (̂) dengan semua

Bandingkan

( ), untuk membuktikan bahwa

(̂)

adalah yang terkecil : ( )

(̂)

(̂ ̂ ̂

( Karena pernah negatif. minimum dari

̂)

(

̂

̂

̂

̂

̂

̂

)

̂

̂

̂

̂

̂

̂)

adalah matriks definit positif, maka selisih dari

( )

(̂) adalah nilai terkecil yang mungkin. Pada titik ̂

(̂) tidak ,

adalah : (

)

(

)

(

)

(3.16)

Akibat (3.1.1): Minimum dari galat terbobot ‖ ‖ tercapai ketika ( minimumnya adalah : ‖ ‖

68

)̂

. Nilai


( Jika

)

adalah sebuah matriks persegi yang invertibel (dapat dibalik), maka

keseluruhan galat akan dihilangkan menjadi nol! Penyelesaian ̂ menjadi penyelesaian yang eksak. Invers dari (

dapat ditulis menjadi

) . Tapi penulisan seperti ini tidak dapat dilakukan pada sebuah

matriks persegi panjang A (matriks berukuran bahwa

akan

). Hanya dapat diasumsikan

memiliki kolom-kolom yang bebas linear, yang membuat

definit positif

(dan invertibel).

Ruang dari

kolom

̂

= semua vektor-

vektor Ax

̂

Gambar (3.2) Gambar (3.2) proyeksi dari untuk setiap kolom

tegak lurus dalam perkalian dalam- :

dari . Maka

Segitiga siku-siku- memiliki ‖ ‖

adalah persamaan normal terbobot. ‖ ̂‖

‖ ‖ , yang adalah

.

Gambar (3.2) menunjukkan proyeksi secara geometri. Pengamatan yang dilakukan di atas adalah dengan menggunakan pengamatan hasil kali dalam. Jadi,

69


secara visual,

tidak kelihatan tegak lurus terhadap proyeksinya. Tapi sudut siku-

siku dalam perkalian dalam- , yang memberikan kunci persamaan ̂

adalah

.

Ulasan 3.4 Sejak jaman Gauss, metode kuadrat terkecil sudah disebut teori penafsiran (adjustment theory) dalam geodesi dan digunakan dalam ilmu sains lainnya. Notasi sederhana mendefinisikan sisa

oleh: (3.17)

Dalam statistik dan aljabar linear numerik terdapat kesepakatan untuk mendefinisikan sisa dengan tanda yang berlawanan : menggunakan notasi akan diubah notasi III.3

. Gauss

untuk bobot-bobot (latin : pondus). Untuk berbagai alasan menjadi .

Jaringan Ketinggian Dan Graf Hubungan antar titik atau yang disebut dengan graf sudah banyak ditemukan

dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya adalah dibangunnya jalan besar yang menghubungkan beberapa kota. Dalam masalah mencari titik tinggi dari suatu ketinggian juga dapat disajikan dengan menggunakan graf. Sebagai contohnya, dalam mengukur ketinggian suatu gunung. Terdapat titiktitik tinggi yang akan dicari. Salah satu cara menentukan ketinggian adalah dengan

70


menggunakan beda tinggi. Dalam graf, titik-titik tinggi tersebut dilambangkan dengan simpul-simpul dan beda tinggi dilambangkan dengan sisi. Suatu graf berubah menjadi sebuah jaringan ketika ditetapkan bilangan untuk setiap sisi. Setiap bilangan Secara statistik,

adalah

adalah suatu bobot dari pengamatan.

, suatu kebalikan dari variansi ketika diukur sebuah beda ⁄

ketinggian. Untuk masalah jaringan ketinggian

adalah sebanding dengan

suatu kebalikan dari suatu sisi. Bilangan-bilangan tersebut akan menjadi matriks yang mana berukuran

.

Masalah utamanya adalah menentukan titik-titik yang tidak diketahui. Permasalahan dapat dipecahkan dengan menggunakan graf dan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot. Sebuah graf terdiri dari dari “simpul” dan “sisi”. Ada sebanyak (titik-titik di mana ketinggian dan simpul

ditentukan). Dan ada juga sisi di antara simpul

yang melambangkan beda tinggi

tersebut membentuk

sisi, umumnya dengan

. Pengukuran beda tinggi .

Semua simpul dinotasikan oleh setiap titik tinggi ̂ ̂ ketinggian sepanjang sebuah loop adalah jmlahan dari ( ̂ (̂

̂ )

simpul

.

71

̂ . Suatu beda ̂ )

(̂

̂ )


Hukum loop : penjumlahan komponen-komponen dari

̂ adalah nol

pada setiap putaran. Untuk sisi , suatu galat terbobot Persamaan vektornya adalah atau

(

̂)

sama dengan

kali sisa

(

̂) .

. Persamaan normal terbobot adalah

. Persamaan terbobot tersebut sama halnya dengan Hukum

Arus Kirchhoff pada setiap simpul : ̂ Gambar (3.3) di bawah ini menunjukkan sebuah graf dengan 4 simpul dan 6 sisi. Gambar tersebut menunjukkan sebuah graf berarah, karena sisi-sisi pada graf tersebut diberikan oleh suatu tanda panah berarah.

Gambar (3.3) Beda tinggi dari simpul 1 ke simpul 2 adalah sesungguhnya dari beda tinggi adalah

(pengukuran

). Dalam hal ini, tanda panah tidak

mengartikan bahwa simpul 2 lebih tinggi dari simpul 1. Tanda panah itu hanya melambangkan beda sebagai

.

72


Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut mengenai matriks insidensi atau matriks diferensi atau matriks koneksi dari graf. Matriks insidensi

mempunyai baris yang menginformasikan setiap sisi dan

kolom yang menginformasikan setiap simpul. Pada contoh di atas, graf dengan 6 sisi dan 4 simpul memiliki matriks insidensi yang berukuran 6 x 4. Setiap baris memiliki dua entri tak nol yaitu +1 dan -1 untuk menunjukkan simpul mana yang ada tanda panah masuk dan simpul mana yang ditinggalkan. Maka membentuk matriks insidensi

adalah dengan cara melihat simpul dan sisi yang berhubungan. Contoh

pada gambar graf (3.3), ada 3 sisi yang menghubungkan simpul 1 yaitu sisi 1, sisi 2 dan sisi 4. Maka dalam matriks insidensi, entri tak nolnya adalah Karena sisi 1 menunjukan panah yang meninggalkan simpul 1, maka entri

dan

.

adalah

-1. Maka dengan cara yang sama dapat dibentuk sebuah matriks insidensi A dari sebuah graf.

Matriks

di atas memuat semua informasi tentang suatu graf pada gambar (3.3).

Contoh kasus seperti (3.3) ini disebut sebuah “graf lengkap” yang berarti bahwa setiap dua buah simpul dihubungkan dengan sebuah sisi. Sebuah graf lengkap

73


(

) sisi. Hubungan dari sebuah graf dengan matriks

insidensinya adalah

jika sebuah sisi dihilangkan dari graf maka sebuah baris

memiliki

dihilangkan dari matriks, dan lebih khususnya dalam masalah jaringan ketinggian, jika ada satu titik tinggi yang ditetapkan, maka suatu kolom yang berkorespondensi dengan simpul yang ditetapkan tersebut akan dihilangkan dari matriks insidensinya. Dalam masalah pengukuran jaringan ketinggian, tidak dapat dibuat dua buah sisi di antara simpul-simpul dan sebuah sisi dari sebuah simpul ke dirinya sendiri. Dua buah sisi hanya akan mengartikan bahwa beda ketinggian

dihitung dua kali.

Dalam jaringan ketinggian, suatu matriks insidensi

bukan hanya matriks

yang melambangkan hubungan antara sisi dan simpul dalam suatu graf. Matriks insidensi

berperan dalam menghitung beda tinggi dalam jaringan ketinggian.

Ketika matriks maka output dari

(

dikalikan dengan sebuah vektor

adalah sebuah himpunan dari 6 beda ketinggian ;

* + [

) dari ketinggian,

]

( [

)

]

Beda-beda dalam jari ini diukur oleh

. Ingat bahwa pengukuran

ini mengandung galat-galat. Keenam persamaan pada (3.18) akan diselesaikan dengan menggunakan kuadrat terkecil terbobot yaitu :

74


(

atau dalam bentuk matriks

)

Sistem dengan 6 persamaan dan 4 variabel mungkin tidak konsisten (karena terdapat galat dalam pengukurannya). Untuk menyelesaikan sistem dengan 6 persamaan dan 4 variabel dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil terbobot. Dibentuk persaman normal (terbobot) untuk mendapatkan perkiraan ̂. Tapi ada masalah yang harus ditangani terlebih dahulu : Karena

memiliki kolom yang bergantung linear, maka matriks

dan

tidak dapat dibalik. Langkah selanjutnya yang harus diambil adalah satu atau lebih dari titik tinggi harus ditetapkan. Dalam pengukuran yang sesungguhnya, menetapkan

dapat dilakukan dengan

berbagai cara. Misalnya adalah dengan melihat data pengukuran yang telah dilakukan sebelumnya atau dapat dilakukan dengan percobaan lapangan secara langsung. Contohnya adalah dalam mengukur suatu gunung akan ditentukan satu titik yang akan ditetapkan. Dengan menggunakan alat yang bernama LIDAR (Light Detection And Ranging) akan ditemukan nilai titik tinggi yang dicari. Pada aljabar linear, persoalan seperti ini menyangkut tentang “ruang kolom” dari suatu matriks. Ruang nol dari matriks tersebut adalah berdimensi 1, berisi vektor (

). Rank dari matriks tersebut adalah n-1. Jika dihilangkan satu kolom, maka 75


matriks baru

memiliki rank penuh dan matriks baru

ditetapkan satu titik ketinggian (seperti

dapat dibalik. Jika

pada bagian sebelumnya), maka

semua ketinggian lain dapat diperkirakan. Dengan bebas dapat ditentukan ketinggian dari matriks

(tidak hanya satu). Maka kolom

dapat dihilangkan. Matriks baru A (yang berorde

memiliki rank penuh

)

. Lalu dengan menyelesaikan persamaan normal terbobot

, maka dapat ditentukan estimasi dari nilai ̂. Dalam praktek jaringan ketinggian, harus ada satu atau lebih titik tinggi yang ditetapkan. Misalkan

adalah simpul yang telah ditetapkan tersebut, dan prosedur

dalam menyelesaikan masalah jaringan ketinggian adalah : 1.

Rincikan semua simpul dari 1 sampai . Rincikan juga simpul yang memiliki titik tinggi yang ditetapkan.

2.

Bentuk matriks bersisian berukuran

yang berukuran

, dan suatu matriks bobot

.

3.

Hapus kolom

pada matriks bersisian

4.

Kalikan kolom k dengan sebuah kolom yang berisi

titik tinggi tetap yang

telah diketahui, kemudian jumlahkan dengan vektor . Suatu memiliki persamaan diketahui memiliki 5.

Hitung

dan

dengan (

variabel tinggi yang tidak )(

, kemudian selesaikan sistem

76

pengukuran

) ̂

.


Contoh 3.1 Untuk suatu jaringan ketinggian, ditunjukkan pada gambar 3.4 sebagai sebuah graf berarah. Titik-titik tersebut memiliki titik tetap

Gambar 3.4 graf berarah untuk sebuah jaringan ketinggian Pengamatan dari beda-beda tinggi dan ukuran dari garis jaringan

77

adalah


Matriks bersisiannya berukuran 5 x 5

Matriks di atas adalah matriks bersisian dalam kasus tidak ada titik yang ditetapkan. Tapi, situasinya adalah ada 3 titik-titik tinggi yang telah ditetapkan. Berada pada simpul A,B, dan C. Hal ini berarti bahwa ketiga kolom pertama (

)

dari matriks bersisian A harus dihapus dan kolom-kolom pada bagian sisi kanan (

)

akan dimodifikasi. Modifikasi dari observasi persamaan

[ [

adalah

]

]

[

]

[ ]

Matriks terbobot untuk dua buah variabel yang tidak diketahui (D dan E) dengan

. Matriks (

berbentuk : ) (

) (

C=

) (

) (

[

78

) ]


[

]

Oleh karena itu didapat :

[

]

0

1 [

=0

][

]

][

]

1

Dan pada bagian sebelah kanan dari tanda sama dengan adalah

0

1 [

=0

1

79


̂

Sekarang, persamaan normalnya menjadi

0

1[

]

0

1

Penyelesaiannya adalah : ̂

dan ̂

̂

0 [

1

]

[

̂ [

80

]

]


BAB IV PENUTUP

IV.1 Kesimpulan Jaringan ketinggian dideskripsikan oleh graf dan matriks insidensi

. Titik

tinggi yang akan dicari dilambangkan dengan sebuah simpul, sedangkan beda tinggi dari titik

ke titik

dinotasikan dengan sebuah sisi. Suatu graf berubah menjadi

sebuah jaringan ketika ditetapkan bilangan Setiap bilangan adalah ⁄

untuk suatu sisi.

adalah suatu bobot dari sebuah pengamatan. Secara statistik

, suatu kebalikan dari variansi ketika diukur sebuah beda ketinggian.

Untuk masalah jaringan ketinggian

⁄(

)

adalah sebanding dengan suatu

kebalikan panjang dari suatu sisi. Bilangan-bilangan tersebut akan menjadi matriks yang mana berukuran

.

Dalam jaringan ketinggian, masalahnya adalah menentukan titik-titik tinggi ̂ (n komponen) dengan ukuran galat yang sekecil mungkin. Salah satu metode yang dapat meminimalkan galat adalah metode kuadrat terkecil terbobot. Persamaan normal metode kuadrat terkecil terbobot adalah :


Dalam praktek jaringan ketinggian, harus ada satu atau lebih titik tinggi yang ditetapkan. Misalkan

adalah simpul yang telah ditetapkan tersebut, dan prosedur

dalam menyelesaikan masalah jaringan ketinggian adalah : 1.

Rincikan semua simpul dari 1 sampai . Rincikan juga simpul yang memiliki titik tinggi yang ditetapkan.

2.

Bentuk matriks bersisian berukuran

yang berukuran

, dan suatu matriks bobot

.

3.

Hapus kolom

pada matriks bersisian

4.

Kalikan kolom k dengan sebuah kolom yang berisi

titik tinggi tetap yang

telah diketahui, kemudian jumlahkan dengan vektor . Suatu memiliki persamaan diketahui memiliki 5.

Hitung

dan

dengan (

pengukuran

variabel tinggi yang tidak )(

, kemudian selesaikan sistem

) ̂

.

IV.2 Saran Contoh dalam penulisan tugas akhir ini menggunakan data yang tidak real. Selain itu, tidak dibahas secara rinci pembahasan mengenai statistik pada penulisan tugas akhir ini. Sebaiknya untuk penulisan selanjutnya dapat menggunakan data yang real, dan pembahasan mengenai statistik sebaiknya juga dibahas lebih dalam lagi.

82


Daftar Pustaka

Leon, S. J. 2001. Aljbar Linear dan Aplikasinya. Jakarta : Erlangga. Wackerley, D.D. Mendenhall, W. Scheaffer R.L. 2008. Mathematical Statistic with Applications, 7th ed. USA : Thomson Brooks/Cole. Buckley, F., and Lewinter, M. 2003. A Friendly Introduction to Graph Theory. New Jersey: Pearson Education Inc. Strang, G. and Borre, K. 1998. Linear Algebra, Geodesy, and GPS. USA : WellesleyCambridge Press. Husein, U. 1991 Metode Riset Akuntansi Terapan. http://file.upi.edu/Direktori/FIP/JUR._PSIKOLOGI/197509122006041HELLI_IHSAN/ Pengertian_Pengukuran.pdf. 16 juli 2014, 16:00. Yitnosumarto, S. 1993. Percobaan : Perancangan, Analisis dan Interpretasinya. http://statforall.blogspot.com/2008/07/galat-data-error-data.html. 16 juli 2014, 16.00

83

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents