PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Singgih Satriyo Wicaksono NIM : 111414064

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015

i

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

SKRIPSI

LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK

Oleh : Singgih Satriyo Wicaksono NIM : 111414064

Telah disetujui oleh :

Pembimbing,

Drs. Sukardjono, M.Pd

Tanggal :

ii


SKRIPSI LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Dipersiapkan dan ditulis oleh : Singgih Satriyo Wicaksono NIM : 111414064 Telah dipertahankan di depan panitia penguji pada tanggal 29 Juli 2015 dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap

Tanda Tangan

Ketua

: Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd.

………..........

Sekretaris

: Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si.

……………..

Anggota

: 1. Drs. Sukardjono, M.Pd.

………..........

2. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si.

………..........

3. Veronika Fitri Rianasari, M.Sc.

………..........

Yogyakarta, 29 Juli 2015 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Dekan,

Rohandi, Ph.D iii


PERSEMBAHAN

Takut akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan. Amsal 1 : 7

Skripsi ini untuk Ibuku dan adikku, almamaterku, dan setiap orang yang membacanya.

iv


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis

ini

tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daft ar pustaka

s

eb

agaiman a lay akny a kary a ilmi ah.

Yogyakarta, 29 Juli 20I 5


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma Nama

: Singgih Satriyo Wicaksono

NIM

:111414064

:

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma sebuah karya ilmiah yang berjudul

:

LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma untuk menyimpannya, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikan di internet atau media lain demi kepentingan akademis tanpa meminta

ijin dari

saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Yogyakarta,29 luh 2015 Yang menyatakan,

VI


ABSTRAK

Singgih Satriyo Wicaksono, 2015. Luas pada Geometri Hiperbolik. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Geometri hiperbolik adalah geometri yang berdasarkan pada postulat kesejajaran Lobachevski. Postulat tersebut berisi, “Diasumsikan suatu garis l dan suatu titik P yang tidak pada l, paling tidak ada dua garis 𝑙 ′ , 𝑙′′ yang memuat P dan sejajar dengan l.” Defek suatu segitiga didefinisikan sebagai 180 dikurang jumlah sudut dalam segitiga. Di dalam geometri hiperbolik jumlah sudut dalam segitiga adalah kurang dari 180. Dalam geometri hiperbolik, luas daerah segitiga (daerah triangular) didefinisikan sebagai defek dari segitiga yang bersesuaian. Suatu daerah segibanyak dapat diekspresikan sebagai gabungan daerah triangular yang terbatas jumlahnya. Luas dearah segibanyak didefinisikan sebagai total defek suatu daerah segibanyak, yaitu jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi terhadap daerah segibanyak tersebut. Kata kunci : Geometri Hiperbolik, Defek, Luas.

vii


ABSTRACT Singgih Satriyo Wicaksono, 2015. Hyperbolic Geometry Area. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Deparment, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. Hyperbolic geometry is geometry which depends on Lobachevski Parallel Postulate. That postulate states, “Given a line l and a point P not on l, there are at least two lines l', l" which contain P and are parallel to l.” The defect of triangle is defined as 180 minus the angle sum of a triangle. Under hyperbolic geometry the angle sum of a triangle is less than 180. In hyperbolic geometry, the area of triangle region is defined as the defect of the corresponding triangle. Polygon region can be expressed as the union of a finite number of triangular regions. The area of a polygon region is defined as total defect of a polygon region, that is the sum of the defect of the triangular region of any triangulation of that polygon region. Keyword : Hyperbolic Geometry, Defect, Area

viii


KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Luas pada Geometri Hiperbolik” ini. Banyak tantangan dan hambatan yang penulis temui selama proses menyelesaikan skripsi ini. Namun penulis bersyukur dapat melaluinya. Dukungan, bantuan, dan doa dari banyak pihak telah menjadikan penulis tetap bersemangat dalam menyelesaikan skripsi ini. Untuk itu pada kesempatan kali ini penulis dengan sepenuh hati ingin mengucapkan terima kasih kepada beberapa pihak, diantaranya: 1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. 2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku kaprodi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma. 3. Bapak Drs. Sukardjono, M.Pd. selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberikan masukan dan nasihat kepada penulis selama menyusun skripsi. 4. Ibu V. Fitri Rianasari, S.Pd, M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik yang telah banyak membimbing dan memberikan perhatian kepada penulis.

ix


5. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Sc. selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan masukan dan kritik yang membangun sehingga skripsi ini menjadi lebih baik. 6. Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu selama penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma. 7. Seluruh staf sekretariat JPMIPA, Ibu Tari, Bapak Sugeng, Mas Arif, dan Mas Made yang telah banyak membantu memberikan pelayanan kesekretariatan selama ini. 8. Ibuku dan adikku Cahyo yang selalu mendukung, memberikan semangat, serta selalu berdoa untukku. 9. Keluarga Pakde Mulyana yang telah memberi banyak bantuan dan dukungan selama penulis kuliah. Juga mas Ony dan mas Anto yang banyak memberi bimbingan dan bantuan. 10. Keluarga Bapak Mattew Warren dan Ibu Selvi Kastanya yang telah banyak sekali membantu dan membimbing penulis selama kuliah. 11. Teman seperjuangan Pilipus Neri Agustima, yang telah banyak membantu penulis. Teman bertukar pikiran, teman main dota, teman yang baik dan juga menginspirasi. 12. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2011 dan teman-teman bimbingan Bapak Sukardjono yang selalu memberikan semangat, juga sebagai tempat berbagi suka duka mengerjakan skripsi. 13. Teman-teman PMK Oikumene. Trimakasih atas kesaksian-kesaksian yang menguatkan.

x


14. Teman-teman Youth GBI Bethesda atas segala canda tawa dan semangat yang diberikan kepada penulis. Juga buat Kak Eva, pendengar yang baik untuk cerita-cerita penulis. 15. Semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat disebutkan satu persatu. Semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat dan wawasan lebih kepada setiap pembaca. Tuhan memberkati. Yogyakarta, 29 Juli 2015

Singgih Satriyo Wicaksono

xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii ABSTRACT ......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii DAFTAR SIMBOL.............................................................................................. xiv DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xvi BAB I ...................................................................................................................... 1 PENDAHULUAN .................................................................................................. 1 1.1

Latar Belakang ......................................................................................... 1

1.2

Rumusan Masalah .................................................................................... 2

1.3

Batasan Masalah ....................................................................................... 3

1.4

Tujuan Penelitian ...................................................................................... 3

1.5

Manfaat Penelitian .................................................................................... 3

1.6

Metode Penelitian ..................................................................................... 4

1.7

Sistematika Penulisan ............................................................................... 4

BAB II ..................................................................................................................... 6 LANDASAN TEORI .............................................................................................. 6 2.1

Pengenalan Geometri Non-Euclid ............................................................ 6

2.2

Geometri Insiden ...................................................................................... 8

2.3

Fungsi Jarak ............................................................................................ 11

2.4

Keantaraan .............................................................................................. 13

2.5

Segmen, Sinar, Sudut, dan Segitiga ....................................................... 19 xii


2.6

Kekonvekan dan Pemisahan ................................................................... 31

2.7

Kekontinuan ........................................................................................... 44

2.8

Ukuran Sudut .......................................................................................... 47

2.9

Postulat Luas .......................................................................................... 51

2.10

Sudut Luar Segitiga dan Konsekuensinya .............................................. 55

2.11

Segiempat Saccheri dan Jumlah Sudut dalam Segitiga .......................... 62

2.12

Fungsi Kritis ........................................................................................... 67

BAB III ................................................................................................................. 75 LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK .......................................................... 75 3.1

Jumlah Sudut dalam Segitiga pada Geometri Hiperbolik ...................... 75

3.2

Defek Segitiga ........................................................................................ 82

3.3

Triangulasi dan Subdivisi ....................................................................... 90

3.4

Defek Daerah Segibanyak ...................................................................... 97

BAB IV ............................................................................................................... 115 PENUTUP ........................................................................................................... 115 4.1

Kesimpulan ........................................................................................... 115

4.2

Saran ..................................................................................................... 116

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 117

xiii


DAFTAR SIMBOL

𝒮

: himpunan semua titik

ℒ

: himpunan garis-garis

𝒫

: himpunan bidang-bidang

ℝ

: himpunan bilangan real

ℛ

: himpunan daerah segibanyak

𝐴, 𝐵, 𝐶

: titik-titik

𝑘, 𝑙, 𝑚

: garis-garis

̅̅̅̅ 𝐴𝐵

: ruas garis atau segmen garis dengan titik akhir A dan B

⃡𝐴𝐵

: garis yang melalui titik A dan titik B

𝐴𝐵

: sinar garis dengan titik akhir A

𝐴𝐵

̅̅̅̅ atau jarak 𝐴 ke 𝐵 : panjang 𝐴𝐵

𝐴−𝐵−𝐶

: titik B diantara titik A dan titik C

∠𝐴𝐵𝐶

: sudut ABC

𝑚∠𝐴𝐵𝐶

: ukuran sudut ABC

∆𝐴𝐵𝐶

: segitiga ABC

□𝐴𝐵𝐶𝐷

: segiempat ABCD

𝐻1 , 𝐻2

: bidang setengah

𝑐(𝑎)

: bilangan kritis

𝛿

: defek

∥

: sejajar

|

: asimtotik

⊥

: tegak lurus

xiv


~

: sebangun

≅

: kongruen

∪

: gabungan

∩

: irisan

∈

: elemen atau anggota

∞

: tak hingga

sup

: supremum

inf

: infimum

xv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.2.1 Garis ................................................................................................ 9 Gambar 2.2.2 Segmen Garis .................................................................................. 9 Gambar 2.2.3 Sinar Garis ...................................................................................... 9 Gambar 2.3.1 Garis Bilangan I ............................................................................ 11 Gambar 2.4.1 Keantaraan I .................................................................................. 13 Gambar 2.4.2 Keantaraan II ................................................................................ 13 Gambar 2.4.3 Garis Bilangan II........................................................................... 17 Gambar 2.4.4 Ilustrasi Teorema 2.4.6 ................................................................. 19 Gambar 2.5.1 Segmen Garis ................................................................................ 19 Gambar 2.5.2 Sinar Garis .................................................................................... 20 Gambar 2.5.3 Sudut ............................................................................................. 20 Gambar 2.5.4 Segitiga ......................................................................................... 21 Gambar 2.5.5 Sudut-sudut Berpotongan ............................................................. 22 Gambar 2.5.6 Ilustrasi Teorema 2.5.2 ................................................................. 23 Gambar 2.5.7 Ilustrasi I Teorema 2.5.3 ............................................................... 25 Gambar 2.5.8 Ilustrasi II Teorema 2.5.3 ............................................................. 25 Gambar 2.5.9 Ilustrasi III Teorema 2.5.3 ............................................................ 26 Gambar 2.5.10 Sudut Yang Sama ....................................................................... 27 Gambar 2.5.11 Ilustrasi I Teorema 2.5.5 ............................................................. 29 Gambar 2.5.12 Ilustrasi II Teorema 2.5.5............................................................ 30 Gambar 2.6.1 Himpunan Konvek ........................................................................ 31 Gambar 2.6.2 Himpunan Tidak Konvek ............................................................. 32 Gambar 2.6.3 Pemisahan Bidang ........................................................................ 33 Gambar 2.6.4 Ilustrasi Teorema 2.6.1 ................................................................. 34 Gambar 2.6.5 Ilustrasi Teorema 2.6.3 ................................................................. 36 Gambar 2.6.6 Ilustrasi Teorema 2.6.4 ................................................................. 37 Gambar 2.6.7 Sinar Yang Berlawanan ................................................................ 38

xvi


Gambar 2.6.8 Ilustrasi Teorema 2.6.5 ................................................................. 38 Gambar 2.6.9 Interior dan Eksterior Sudut.......................................................... 40 Gambar 2.6.10 Ilustrasi Teorema 2.6.7 ............................................................... 40 Gambar 2.6.11 Ilustrasi Teorema 2.6.8 ............................................................... 41 Gambar 2.6.12 Ilustrasi Teorema 2.6.9 ............................................................... 42 Gambar 2.6.13 Interior Segitiga .......................................................................... 43 Gambar 2.7.1 Ilustrasi Teorema 2.7.1 ................................................................. 44 Gambar 2.7.2 Ilustrasi Teorema 2.7.2 ................................................................. 45 Gambar 2.7.3 Teorema Crossbar ......................................................................... 46 Gambar 2.8.1 Ukuran Sudut I.............................................................................. 47 Gambar 2.8.2 Ukuran Sudut II ............................................................................ 48 Gambar 2.8.3 Pembentukan Sudut ...................................................................... 49 Gambar 2.8.4 Pembentukan Sudut ...................................................................... 49 Gambar 2.8.5 Dua Sudut Membentuk Pasangan Linear ..................................... 50 Gambar 2.8.6 Dua Sudut Berpelurus ................................................................... 50 Gambar 2.9.1 Daerah Triangular ......................................................................... 51 Gambar 2.9.2 Daerah Segibanyak ....................................................................... 51 Gambar 2.9.3 Pembagian Daerah Jajargenjang ................................................... 52 Gambar 2.9.4 Postulat Penjumlahan ................................................................... 54 Gambar 2.9.5 Triangulasi .................................................................................... 54 Gambar 2.10.1 Ilustrasi I Teorema 2.10.1 ........................................................... 55 Gambar 2.10.2 Ilustrasi II Teorema 2.10.1.......................................................... 56 Gambar 2.10.3 Ilustrasi Teorema 2.10.2 ............................................................. 57 Gambar 2.10.4 Ilustrasi Teorema 2.10.3 ............................................................. 58 Gambar 2.10.5 Ilustrasi I Teorema 2.10.4 ........................................................... 59 Gambar 2.10.6 Ilustrasi II Teorema 2.10.4.......................................................... 59 Gambar 2.10.7 Ilustrasi Teorema 2.10.5 ............................................................. 60 Gambar 2.11.1 Segiempat Saccheri I .................................................................. 62 Gambar 2.11.2 Segiempat Saccheri II ................................................................. 63 Gambar 2.11.3 Segiempat Saccheri III ................................................................ 64 Gambar 2.11.4 Ilustrasi Teorema 2.11.3 ............................................................. 65 xvii


Gambar 2.11.5 Ilustrasi Teorema 2.11.4 ............................................................. 66 Gambar 2.12.1 Supremum dan Infimum ............................................................. 67 Gambar 2.12.2 Garis Sejajar Pada Geometri Hiperbolik .................................... 69 Gambar 2.12.3 Fungsi Kritis ............................................................................... 70 Gambar 2.12.4 Ilustrasi Teorema 2.12.1 ............................................................. 71 Gambar 2.12.5 Ilustrasi Teorema 2.12.2 ............................................................. 72 Gambar 3.1.1 Segitiga Terbuka ........................................................................... 76 Gambar 3.1.2 Segitiga Asimtotik ........................................................................ 77 Gambar 3.1.3 Ilustrasi Teorema 3.1.1 ................................................................. 77 Gambar 3.1.4 Segiempat Saccheri IV ................................................................. 79 Gambar 3.1.5 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Siku-siku Pada Geometri Hiperbolik ............................................................................................................................... 80 Gambar 3.1.6 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Pada Geometri Hiperbolik ........... 81 Gambar 3.2.1 Ilustrasi Teorema 3.2.1 ................................................................. 82 Gambar 3.2.2 Segitiga Kongruen Pada Geometri Hiperbolik ............................. 83 Gambar 3.2.3 Ilustrasi I Teorema 3.2.3 ............................................................... 85 Gambar 3.2.4 Ilustrasi II Teorema 3.2.3 ............................................................. 85 Gambar 3.2.5 Ilustrasi I Teorema 3.2.4 ............................................................... 87 Gambar 3.2.6 Ilustrasi II Teorema 3.2.4 ............................................................. 88 Gambar 3.3.1 Segibanyak Konvek ...................................................................... 91 Gambar 3.3.2 Triangulasi Bintang ...................................................................... 92 Gambar 3.3.3 Ilustrasi Teorema 3.3.1 ................................................................. 93 Gambar 3.3.4 Ilustrasi I Teorema 3.3.2 ............................................................... 94 Gambar 3.3.5 Ilustrasi II Teorema 3.3.2 ............................................................. 95 Gambar 3.3.6 Ilustrasi III Teorema 3.3..2 ........................................................... 95 Gambar 3.3.7 Segibanyak Yang Ekuivalen ......................................................... 96 Gambar 3.4.1 Segitiga ......................................................................................... 97 Gambar 3.4.2 Jumlah Defek Triangulasi Bintang ............................................... 99 Gambar 3.4.3 Triangulasi Bintang Daerah Segibanyak .................................... 101 Gambar 3.4.4 Triangulasi Batas ........................................................................ 102 Gambar 3.4.5 Ilustrasi I Teorema 3.4.3 ............................................................. 103

xviii


Gambar 3.4.6 Ilustrasi II Teorema 3.4.3 ........................................................... 104 Gambar 3.4.7 Ilustrasi I Teorema 3.4.4 ............................................................. 106 Gambar 3.4.8 Ilustrasi II Teorema 3.4.4 ........................................................... 108 Gambar 3.4.9 Ilustrasi III Teorema 3.4.4 .......................................................... 110

xix


BAB I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Kata “geometri” berasal dari kata Yunani “geometrein” (geo = bumi, dan metrein = ukuran) yang berarti ilmu pengukuran bumi. Pada mulanya, geometri adalah ilmu yang digunakan untuk mengukur lahan pertanian. Sejarahwan Yunani, Herodotus (5 tahun sebelum masehi), mengatakan orang-orang Mesir lah yang pertama kali menggunakan subjek geometri, tetapi negara-negara kuno lain (Babylonia, India, Cina) juga mempunyai beberapa informasi geometri (Greenberg, 1980 : 5). Selama lebih dari 2000 tahun, “Elements” buku yang ditulis oleh Euclid sekitar 300 tahun sebelum masehi dianggap sebagai model dari penalaran matematika. Sampai abad ke-20, buku Euclid ini masih menjadi dasar pembelajaran geometri di sekolah-sekolah. Geometri Euclid ini mengandung postulat kesejajaran (parallel postulate) yang merupakan postulat terakhir dari lima postulat yang ada dalam geometri Euclid. Beberapa matematikawan menganggap postulat kesejajaran ini tidak sederhana dan mencoba membuktikannya. Beberapa matematikawan yang mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclid adalah Proclus (410485), John Wallis (1616-1703), dan Girolamo Saccheri (1667-1733). Namun usaha ini tidak berhasil. Kegagalan dalam 20 abad akhirnya memicu sebuah pencetusan keraguan pemikiran matematikawan sehingga

1


2

pada 1830 J. Bolyai (1802-1860), seorang staf angkatan darat Hungaria, N.I. Lobachevsky (1793-1856), seorang Profesor matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan sang agung Gauss sendiri telah mengembangkan secara independen teori geometri berdasarkan kontradiksi postulat kesejajaran Euclid (Prenowitz & Jordan, 1965: 53). Kemudian geometri ini dinamakan geometri hiperbolik. Area atau luas dalam geometri Euclid dinyatakan dalam banyaknya persegi satuan yang tepat menimpa suatu bangun. Prosedur ini tidak dapat diterapkan dalam geometri hiperbolik karena dalam geometri hiperbolik tidak terdapat persegi. Lalu bagaimana menyatakan ukuran luas dalam geometri hiperbolik? Selama ini geometri yang telah dipelajari oleh penulis merupakan geometri Euclid. Oleh karena itu penulis ingin mengetahui geometri Non-Euclid terutama luas pada geometri hiperbolik. 1.2

Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud geometri hiperbolik? 2. Bagaimana nilai defek segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik? 3. Bagaimana luas segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik?


1.3

3

Batasan Masalah Luas yang dibahas dalam skripsi ini adalah luas dalam geometri hiperbolik.

1.4

Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk : 1. Untuk mengetahui definisi geometri hiperbolik. 2. Untuk mengetahui nilai defek segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik. 3. Untuk mengetahui luas segitiga dan segibanyak pada geometri hiperbolik.

1.5

Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Bagi Pembaca Pembaca dapat menambah pengetahuan mengenai geometri hiperbolik dan luas pada geometri hiperbolik. 2. Bagi Penulis Penulis

dapat

menambah

pengetahuan

mengenai

geometri

hiperbolik dan luas pada geometri hiperbolik. 3. Bagi Universitas Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang geometri.


1.6

4

Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi mengenai geometri hiperbolik. Pembahasan dalam skripsi ini banyak mengacu pada buku Elementary Geometry from an Advanced Standpoint Third Edition, karangan Edwin E. Moise (1990) dan buku Geometry : A Metric Approach with Model Second Edition, karangan Richard S. Milman dan George D. Parker (1991). Langkah-Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1. Membaca berbagai referensi mengenai topik geometri hiperbolik. 2. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang menjadi dasar dalam mempelajari geometri hiperbolik, khususnya dalam skripsi ini mengenai luas dalam geometri hiperbolik. 3. Menyusun seluruh materi yang telah dikumpulkan secara runtut agar memudahkan pembaca dalam memahaminya.

1.7

Sistematika Penulisan Bab pertama berupa pendahuluan. Pendahuluan ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, metode penelitian, dan sistematika penulisan. Bab dua berisi tentang dasar-dasar yang akan digunakan dalam membahas defek dan luas pada geometri hiperbolik. Pertama disajikan


5

postulat-postulat dan definisi-definisi dasar dalam geometri yang terangkum dalam materi geometri insiden, fungsi jarak, segmen, sinar, sudut, dan segitiga, ukuran sudut, dan postulat luas. Kemudian dibahas mengenai keantaraan, kekonvekkan dan pemisahan, serta kekontinuan yang akan banyak digunakan dalam membahas materi selanjutnya. Selanjutnya diberikan materi mengenai jumlah sudut dalam segitiga pada geometri hiperbolik yang terangkum dalam materi sudut luar segitiga dan konsekuensinya, segiempat Saccheri dan jumlah sudut dalam segitiga, dan fungsi kritis. Bab tiga membahas mengenai luas pada geometri hiperbolik. Materi-materi yang disajikan adalah jumlah sudut dalam segitiga pada geometri hiperbolik, defek segitiga, triangulasi dan subdivisi, dan defek segibanyak. Bab empat berisi kesimpulan dari pembahsan pada bab tiga serta saran yang diberikan penulis kepada pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini.


BAB II LANDASAN TEORI 2.1

Pengenalan Geometri Non-Euclid Sub bab ini berisi sejarah singkat penemuan geometri hiperbolik (geometri Lobachevsky) dan geometri Eliptik (geometri Riemann) yang termasuk dalam geometri non-Euclid. Selama lebih dari 2000 tahun, “Elements” buku yang ditulis oleh Euclid sekitar 300 tahun sebelum masehi dianggap sebagai model dari penalaran matematika. Buku yang ditulis Euclid ini mengandung lima postulat. Postulat yang kelima disebut postulat kesejajaran (kemudian disebut postulat kesejajaran Euclid). Dalam kurun waktu yang lama matematikawan percaya bahwa geometri Euclid merupakan satu-satunya teori ruang

yang mungkin

dan

mendeskripsikan secara tepat dunia nyata. Tetapi ketika posisi dari geometri Euclid dikritisi oleh penemuan geometri non-Euclid pada abad sembilan belas, para matematikawan mulai tergoncang. Sebuah revolusi pada matematika terjadi, sebanding dengan revolusi Copernicus pada astronomi dan revolusi Darwin pada biologi. Sebelum ditemukannya geometri non-Euclid, ada beberapa matematikawan yang menganggap bahwa postulat kesejajaran Euclid tidak sederhana dan mencoba membuktikannya. Beberapa matematikawan yang mencoba membuktikan postulat kesejajaran Euclid adalah Proclus (410485), John Wallis (1616-1703), dan Girolamo Saccheri (1667-1733).

6


7

Namun usaha ini tidak berhasil. Kegagalan dalam setiap usaha pembuktian postulat kesejajaran Euclid pada akhirnya menuntun pada kesadaran bahwa postulat kesejajaran tersebut tidak pasti, dan dimungkinkan adanya teori lain dari geometri. Teori yang lain tersebut dinamakan geometri nonEuclid, yaitu teori yang tidak berdasarkan pada posulat kesejajaran Euclid. Kegagalan dalam 20 abad akhirnya memicu sebuah pencetusan keraguan pemikiran matematikawan sehingga pada 1830 J. Bolyai (18021860), seorang staf angkatan darat Hungaria, N.I. Lobachevsky (17931856), seorang Profesor matematika Rusia pada Universitas Kazan, dan sang agung Gauss sendiri telah mengembangkan secara independen teori geometri berdasarkan kontradiksi postulat kesejajaran Euclid (Prenowitz & Jordan, 1965: 53). Kemudian geometri ini dinamakan geometri hiperbolik. Bolyai dan Lobachevsky berhasil menyaingi postulat kesejajaran Euclid. Kemudian matematikawan meniru untuk membangun teori geometri

non-Euclid

lainnya.

Selanjutnya,

pada

1854,

seorang

matematikawan Jerman B. Riemann memperkenalkan teori non-Euclid yang berbeda dari geometri hiperbolik berdasarkan pada asumsi bahwa tidak ada garis yang sejajar. Kemudian geometri Riemann ini dinamakan geometri eliptik. Geometri Euclid, geometri hiperbolik, dan geometri eliptik merupakan teori-teori geometri yang berbeda. Ketiga geometri ini berdasar pada postulat kesejajarannya masing-masing. Geometri hiperbolik dan


8

geometri eliptik termasuk dalam geometri non-Euclid karena postulat kesejajarannya tidak berdasarkan pada postulat kesejajaran Euclid.

2.2

Geometri Insiden Menurut Prenowitz dan Jordan (1965: 119), insiden merupakan suatu relasi geometri yang paling dasar. Sebagai contoh diberikan relasi insiden dengan pernyataan berikut, “Sebuah titik terletak pada sebuah garis,” yang ekuivalen dengan “Sebuah garis melalui suatu titik.” Pernyataan lain yang mengekspresikan relasi insiden adalah, “Sebuah titik pada sebuah bidang”, “Sebuah garis pada sebuah bidang”, “Dua garis berpotongan.” Jadi relasi insiden mengekpresikan keterkaitan posisi antara titik, garis, dan bidang. Ruang (space) akan dianggap sebagai himpunan 𝒮, adalah himpunan semua titik pada ruang. Selanjutnya diberikan himpunan bagian dari 𝒮, yang disebut garis-garis (lines) dinyatakan dengan ℒ, dan himpunan bagian dari 𝒮 yang disebut bidang-bidang (planes) dinyatakan dengan 𝒫. Maka anggota dari 𝒮, ℒ, dan 𝒫 berturut-turut disebut titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang. Titik, garis, dan bidang tidak didefinisikan. Suatu garis akan memanjang sampai tak hingga pada kedua arahnya seperti berikut :


9

Gambar 2.2.1 Garis Tanda panah mengindikasikan bahwa walaupun garis digambar terbatas dengan panjang tertentu, namun garis tetap memanjang sampai tak hingga. Selanjutnya akan dibahas tentang segmen atau ruas garis, yang dapat digambarkan sebagai berikut :

P

Q Gambar 2.2.2 Segmen Garis

Suatu Segmen dengan titik pangkal P dan Q, seperti Gambar 2.2.2 dilambangkan dengan ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 . Suatu segmen diperpanjang sampai tak hingga hanya pada salah satu arah disebut sinar, dan dapat digambarkan seperti berikut : P

Q Gambar 2.2.3 Sinar Garis

̅̅̅̅, seperti Gambar Suatu sinar dengan titik pangkal P dan melalui 𝑃𝑄 2.2.3 dilambangkan dengan 𝑃𝑄 . Segmen dan sinar akan dibahas lebih lanjut pada sub bab 2.5. Berikut akan dijelaskan postulat geometri insiden (Moise, 1990: 44).


I-0

10

Semua garis dan bidang adalah himpunan dari titik-titik. Jika suatu garis l adalah himpunan bagian dari suatu bidang E,

maka dikatakan l berada pada E. Jika titik P himpunan bagian dari suatu garis l, maka dikatakan P pada l atau l melalui P. Jika P himpunan bagian dari E, maka dikatakan P pada E atau E melalui P.

Definisi 2.2.1 (Moise, 1990: 44) Titik-titik yang berada pada satu garis disebut kolinear, dan titik-titik yang berada pada satu bidang disebut koplanar.

I-1

Diberikan sembarang dua titik berbeda, ada tepat satu garis yang

memuat dua titik tersebut. Jika titik-titik tersebut adalah P dan Q, maka garis yang memuat ⃡ . titik-titik tersebut dilambangkan dengan 𝑃𝑄 I-2

Diberikan sembarang tiga titik non kolinear berbeda, ada tepat satu

bidang yang memuat titik-titik tersebut. I-3

Jika dua titik berada pada suatu bidang, maka garis yang memuat

titik-titik tersebut berada pada bidang yang sama. I-4 garis.

Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu


2.3

11

Fungsi Jarak Setiap pasang titik akan berkorespodensi dengan suatu bilangan real yang disebut jarak antara kedua titik tersebut. Diperlukan suatu fungsi jarak d, yang tergantung pada postulat berikut (Moise, 1990: 56): D-0

d adalah suatu fungsi d :𝒮 × 𝒮 → ℝ.

D-1

Untuk setiap P, Q, 𝑑(𝑃, 𝑄) ≥ 0.

D-2

𝑑(𝑃, 𝑄) = 0 jika dan hanya jika P = Q.

D-3

𝑑(𝑃, 𝑄) = 𝑑(𝑄, 𝑃) untuk setiap P dan Q.

Selanjutnya agar lebih ringkas 𝑑(𝑃, 𝑄) akan ditulis dengan PQ. Penandaan titik pada suatu garis dengan bilangan-bilangan dapat diterapkan seperti penandaan titik pada sumbu-x dalam geometri analitik.

T 𝑥2

-1

P

R

Q

0

1

𝑥1

Gambar 2.3.1 Garis Bilangan I

Jika ini dilakukan, akan didapat korespodensi satu-satu 𝑓: 𝑙 ↔ ℝ


12

diantara titik-titik pada 𝑙 dan bilangan real. Jika 𝑥 = 𝑓(𝑃), maka x disebut sebagai koordinat titik P. Pada Gambar 2.3.1 koordinat P, Q, R, dan T adalah 0, 𝑥1 , 1, dan 𝑥2 . Selanjutnya akan dijelaskan jarak antara dua titik.

Definisi 2.3.1 (Moise, 1990: 58) Diberikan 𝑓: 𝑙 ↔ ℝ adalah korespondensi satu-satu diantara suatu garis 𝑙 dan bilangan real. Untuk semua titik-titik A, B pada 𝑙, didapat 𝐴𝐵 = |𝑓(𝐴) − 𝑓(𝐵)|, Kemudian f adalah suatu sistem koordinat untuk 𝑙. Untuk setiap titik A pada 𝑙, bilangan 𝑥 = 𝑓(𝐴) disebut koordinat titik A.

Sebagai contoh diberikan titik A dan B, sehingga 𝑓(𝐴) = 5 dan 𝑓(𝐵) = −7. Tentukan AB ! Jawab : 𝐴𝐵 = |𝑥2 − 𝑥1 |


13

= |5 − (−7)| = |12| = 12 D-4

Postulat aturan (The Ruler Postulate). Setiap garis memiliki sistem koordinat.

2.4

Keantaraan Titik B dikatakan berada diantara A dan C pada garis l jika titiktitik tersebut pada kondisi seperti ini :

𝑙 A

B

C

Gambar 2.4.1 Keantaraan I

atau seperti ini :

𝑙 C

B Gambar 2.4.2 Keantaraan II

A


14

Definisi 2.4.1 (Moise, 1990: 60) Diberikan A, B, dan C adalah tiga titik berbeda yang kolinear. Jika 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶, maka B diantara A dan C. Kemudian ini dilambangkan dengan A-B-C.

Teorema 2.4.1 (Moise, 1990: 60) Jika A-B-C, maka C-B-A. Bukti : 𝐶𝐵 + 𝐵𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐶𝐴 Didapat bahwa 𝐶𝐵 + 𝐵𝐴 = 𝐶𝐴. Jika 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶, maka 𝐶𝐵 + 𝐵𝐴 = 𝐶𝐴. Sehingga jika A-B-C, maka C-B-A.

□


15

Lema 2.4.2 (Moise, 1990: 61) Diberikan suatu garis l dengan sistem koordinat f dan tiga titik berbeda A, B, dan C pada l dengan koordinat berturut-turut x, y, dan z. Jika x-y-z, maka A-B-C. Bukti : (1)

Jika 𝑥 < 𝑦 < 𝑧, maka 𝐴𝐵 = |𝑦 − 𝑥| = 𝑦 − 𝑥 Karena 𝑦 − 𝑥 > 0. Untuk alasan yang sama 𝐵𝐶 = |𝑧 − 𝑦| = 𝑧 − 𝑦 dan 𝐴𝐶 = |𝑧 − 𝑥| = 𝑧 − 𝑥. Oleh karena itu 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = (𝑦 − 𝑥) + (𝑧 − 𝑦) =𝑧−𝑥 = |𝑧 − 𝑥| = 𝐴𝐶 Sehingga A-B-C

(2)

Jika 𝑧 < 𝑦 < 𝑥. Dengan cara yang sama seperti (1) didapat C-B-A. Dengan Teorema 2.4.1 didapat A-B-C.

□


16

Teorema 2.4.3 (Moise, 1990: 61) Sembarang tiga titik berbeda pada suatu garis, ada tepat satu titik berada diantara dua titik yang lain. Bukti : (1) Diberikan f sistem koordinat untuk suatu garis dan x, y, z adalah koordinat titik-titik A , B, dan C. Satu dari bilangan x, y, dan z berada diantara dua yang lain. Dengan Lema 2.4.2, ini berarti titik A, B, atau C berada diantara dua titik yang lain. (2) Akan dibuktikan bahwa jika A-B-C, maka tidak ada diantara dua kondisi B-A-C dan A-C-B yang terpenuhi. Jika B-A-C, maka 𝐵𝐴 + 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. Telah diberikan 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. Dengan menjumlahkannya didapat 𝐵𝐴 + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 atau 2𝐴𝐵 = 0. Sehingga AB = 0. Ini tidak mungkin, sebab A ≠ B. Pembuktian untuk A-C-B tidak terpenuhi sama seperti langkahlangkah diatas.

□


17

Teorema 2.4.4 (Moise, 1990: 63) Jika A dan B sembarang dua titik, A ≠ B, maka (1) ada titik C sehingga AB-C dan (2) ada titik D sehingga A-D-B. Bukti : ⃡ yang memuat A dan Ambil suatu sistem koordinat f untuk suatu garis 𝐴𝐵 B. A

D

B

C

𝑥

𝑥+𝑦 2

𝑦

𝑦+1

Gambar 2.4.3 Garis Bilangan II

Andaikan x, y koordinat titik A dan B, dengan x < y. Diberikan 𝐶 = 𝑓 −1 (𝑦 + 1). Maka A-B-C, karena 𝑥 < 𝑦 < 𝑦 + 1. Selanjutnya, diberikan 𝑥+𝑦 𝐷 = 𝑓 −1 ( ) 2 Sebab x < y, maka 2𝑥 < 𝑥 + 𝑦 < 2𝑦 sehingga


𝑥<

18

𝑥+𝑦 <𝑦 2

Jadi A-D-B.

□

Teorema 2.4.5 (Moise, 1990: 63) Jika A-B-C, maka A, B, dan C adalah tiga titik berbeda pada garis yang sama. Bukti : Berdasarkan Definisi 2.4.1, titik A, B, dan C adalah tiga titik berbeda.

□

Teorema 2.4.6 Jika A-B-C dan A-C-D, maka A-B-D. Bukti : Ambil a, b, c, d berturut-turut sebagai koordinat titik A, B, C, dan D. Karena

A-B-C maka a < b < c atau c < b < a. Karena A-C-D, maka a <

c < d atau d < c < a. Dari A-B-C dapat dipilih salah satu dari kondisi a < b < c atau c < b < a. Ambil a < b < c, didapat a < c. Dari A-C-D, kondisi d < c < a akan kontrdiksi dengan a < c, sehingga diambil a < c < d.


A

B

C

19

D

Gambar 2.4.4 Ilustrasi Teorema 2.4.6

Telah diambil a < b < c dan a < c < d, sehingga didapat a < b < c < d. Akibatnya a < b < d. Berdasarkan Lema 2.4.2 karena a-b-d, maka A-B-D.□

2.5

Segmen, Sinar, Sudut, dan Segitiga Definisi 2.5.1 (Moise, 1990: 64) ̅̅̅̅ adalah himpunan yang Jika A dan B adalah dua titik, maka segmen 𝐴𝐵 memuat A dan B, bersama dengan semua titik diantara A dan B.

⃡𝐴𝐵

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 A

B

Gambar 2.5.1 Segmen Garis

Definisi 2.5.2 (Moise, 1990: 65) ⃡ Sinar 𝐴𝐵 didefinisikan sebagai himpunan semua titik C pada garis 𝐴𝐵 sehingga A tidak diantara B dan C. Sinar 𝐴𝐵 juga dapat didefinisikan


20

sebagai gabungan dari (1) segmen ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dan (2) himpunan semua titik C sehingga A-B-C. Titik A disebut titik pangkal dari sinar 𝐴𝐵 . 𝐴𝐵

B

A

Gambar 2.5.2 Sinar Garis

Definisi 2.5.3 (Moise, 1990: 65) Sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Jika suatu sudut adalah gabungan dari 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 , maka sinar-sinar tersebut disebut sisi dari sudut. Titik A disebut titik sudut. Sudut tersebut disimbolkan dengan ∠𝐵𝐴𝐶. Catatan ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐶𝐴𝐵.

B

A

C Gambar 2.5.3 Sudut


21

Definisi 2.5.4 (Moise, 1990: 65) Jika A, B, dan C adalah tiga titik yang tidak segaris, maka himpunan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∪ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 𝐴𝐶 disebut segitiga. C ̅̅̅̅ 𝐵𝐶

̅̅̅̅ 𝐴𝐶

A

̅̅̅̅ 𝐴𝐵

B

Gambar 2.5.4 Segitiga

̅̅̅̅ , dan ̅̅̅̅ Segmen ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 𝐴𝐶 disebut sisi. Titik A, B, dan C disebut titik sudut. Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C dilambangkan dengan ∆ABC. Sudut-sudut ∆𝐴𝐵𝐶 adalah ∠𝐵𝐴𝐶, ∠𝐴𝐶𝐵, dan ∠𝐴𝐵𝐶. Tetapi ∆𝐴𝐵𝐶 tidak memuat ketiga sudut tersebut, karena sisi suatu sudut adalah sinar dan sisi segitiga adalah segmen. Jika semua sudut digambar, maka gambarnya akan terlihat seperti gambar berikut.


22

C

A B Gambar 2.5.5 Sudut-sudut Berpotongan

Teorema 2.5.1 (Moise, 1990: 66) ̅̅̅̅ = Diberikan titik A dan titik B sembarang titik yang berbeda, maka 𝐴𝐵 ̅̅̅̅. 𝐵𝐴 Bukti : Diketahui A dan B sembarang titik berbeda. Dari Definisi 2.5.1, segmen ̅̅̅̅ adalah himpunan titik A dan titik B, bersama dengan semua titik X, 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ = {A ∪ B ∪ X′ | X′ adalah himpunan sehingga A-X-B. Dapat ditulis 𝐴𝐵 semua titik X sehingga A-X-B} Segmen ̅̅̅̅ 𝐵𝐴 adalah himpunan titik B dan titik A, bersama dengan semua titik X, sehingga B-X-A. Dapat ditulis ̅̅̅̅ 𝐵𝐴 = {B ∪ A ∪ X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A} Teorema 2.4.1 menjamin bahwa untuk setiap titik X, jika A-X-B maka BX-A. Sehingga, ̅̅̅̅ 𝐵𝐴 = {B ∪ A ∪ X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga B-X-A}


23

= {A ∪ B ∪ X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} ̅̅̅̅ = 𝐴𝐵

□

Teorema 2.5.2 ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ Jika A-B-C, maka ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 𝐴𝐶 . Bukti : Dari Definisi 2.5.1, ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 adalah himpunan titik A dan C, bersama dengan semua titik di antara A dan C. Dapat ditulis ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = { A ∪ C ∪ Z′ | Z′ adalah himpunan semua titik Z sehingga A-Z-C}. Diketahui A-B-C. Dari Definisi 2.4.1, A, B, dan C adalah titik-titik yang kolinear. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil titik X dan Y sehingga A-X-B dan B-Y-C. Y

X A

B

C

Gambar 2.5.6 Ilustrasi Teorema 2.5.2 ̅̅̅̅ = {A ∪ B ∪ X′ | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B} 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ = {B ∪ C ∪ Y′ | Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C} 𝐵𝐶 Diketahui A-B-C dan A-X-B, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6 didapat A-X-C untuk setiap X.


24

Diketahui A-B-C dan B-Y-C, sehingga berdasarkan pada Teorema 2.4.6 didapat A-Y-C untuk setiap Y. Oleh karena itu setiap anggota dari X ′ dan Y′ berada diantara A dan C, sehingga X ′ dan Y′ merupakan anggota dari Z ′ . Sehingga Z ′ = {X ′ ∪ Y′ ∪ B | X′ adalah himpunan semua titik X sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C }. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = { A ∪ B ∪ C ∪ X′ ∪ Y′ | X′ adalah himpunan semua titik X 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 sehingga A-X-B, Y′ adalah himpunan semua titik Y sehingga B-Y-C } = { A ∪ C ∪ Z′ | Z′ adalah himpunan semua titik Z sehingga AZ-C} = ̅̅̅̅ 𝐴𝐶

□

Teorema 2.5.3 (Moise, 1990: 66) Jika C adalah titik pada 𝐴𝐵 , C ≠ A, maka 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 . Bukti : Dari Definisi 2.5.2, sinar 𝐴𝐵 adalah gabungan dari segmen ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dan ̅̅̅̅ ∪ Q′ | himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q. Dapat ditulis 𝐴𝐵 = {𝐴𝐵 Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga A-B-Q}.


A

B

25

Q

Gambar 2.5.7 Ilustrasi I Teorema 2.5.3

Jika B = C, maka 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 adalah himpunan yang sama, sehingga 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 . Selanjutnya akan diambil B ≠ C. Dari Teorema 2.4.4 dapat diambil titik C sehingga A-C-B dan A-B-C.

A

C

B

Gambar 2.5.8 Ilustrasi II Teorema 2.5.3

̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ Untuk kondisi A-C-B, dari Teorema 2.5.2 didapat ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ∪ 𝐶𝐵 𝐴𝐵 . Sinar ̅̅̅̅ dan himpunan semua titik R 𝐴𝐶 adalah gabungan dari segmen 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ ∪ R′ | R′ adalah himpunan semua sehingga A-C-R. Dapat ditulis 𝐴𝐶 = {𝐴𝐶 titik R sehingga A-C-R}. ̅̅̅̅ − 𝐶. Setiap titik S memenuhi A-CAmbil titik S sembarang titik pada 𝐶𝐵 ̅̅̅̅ − 𝐶 ∈ 𝐴𝐶 . S, sehingga 𝐶𝐵 Untuk setiap Q ∈ Q′ , A-C-B dan A-B-Q, maka A-C-Q (Teorema 2.4.6), sehingga Q′ ∈ 𝐴𝐶 . ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − 𝐶) dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga 𝐴𝐶 ∪ (𝐶𝐵 𝐴𝐶 ∪ 𝐶𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − 𝐶) = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ∪ (𝐶𝐵 𝐴𝐶 ∪ 𝐶𝐵 𝐴𝐵 .


26

̅̅̅̅ ∪ 𝐶𝐵 ̅̅̅̅ ∪ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q Sehingga 𝐴𝐶 = {𝐴𝐶 sehingga A-B-Q} ̅̅̅̅ ∪ Q′ | Q′ adalah himpunan semua titik Q sehingga A= {𝐴𝐵 B-Q} = 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ∪ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ = 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ . Untuk kondisi A-B-C, dengan Teorema 2.5.2 didapat 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ∪ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga A-C-T}. Sinar 𝐴𝐶 = {𝐴𝐶

A

B

C

T

Gambar 2.5.9 Ilustrasi III Teorema 2.5.3

̅̅̅̅ − 𝐵. Setiap titik U memenuhi A-B-U, Ambil U sembarang titik pada 𝐵𝐶 maka setiap titik U ∈ Q′. Setiap titik T memenuhi A-B-T, maka setiap titik T ∈ Q′. ̅̅̅̅ ∪ (𝐵𝐶 ̅̅̅̅ − 𝐵) dan 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ∪ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ merupakan himpunan yang sama, sehingga 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ − 𝐵) = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∪ (𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 𝐴𝐶 . ̅̅̅̅ ∪ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ∪ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T Sehingga 𝐴𝐵 = {𝐴𝐵 sehingga A-C-T} ̅̅̅̅ ∪ T′ | T′ adalah himpunan semua titik T sehingga = {𝐴𝐶 A-C-T}


27

= 𝐴𝐶 Telah ditunjukan bahwa dimanapun letak C pada 𝐴𝐵 , dengan A ≠ C, maka 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 .

□

Teorema 2.5.4 (Moise, 1990: 66) Jika 𝐵1 dan 𝐶1 adalah titik-titik pada 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 , dengan 𝐵1 , 𝐶1 ≠ 𝐴, maka ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵1 𝐴𝐶1. 𝐵1 B

A

𝐶1

C

Gambar 2.5.10 Sudut Yang Sama

Bukti : 𝐵1 pada 𝐴𝐵 dan 𝐵1 ≠ 𝐴, maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵1. 𝐶1 pada 𝐴𝐶 dan 𝐶1 ≠ 𝐴, maka berdasarkan Teorema 2.5.3 didapat 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶1.


28

Berdasarkan Definisi 2.5.3, sudut adalah gabungan dari dua sinar yang memiliki titik pangkal yang sama, tetapi dua sinar tersebut tidak pada garis yang sama. Dapat ditulis ∠𝐵𝐴𝐶 = {𝐴𝐵 ∪ 𝐴𝐶 | 𝐴𝐵 ∩ 𝐴𝐶 = A} = {𝐴𝐵1 ∪ 𝐴𝐶1 | 𝐴𝐵1 ∩ 𝐴𝐶1 = A} =∠𝐵1 𝐴𝐶1

□

Teorema 2.5.5 (Moise, 1990: 66) ̅̅̅̅ = 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ , maka titik A, B sama dengan titik C, D. Jika 𝐴𝐵 Bukti : Andaikan A, B tidak sama dengan titik C, D. Ambil a dan b sebagai koordinat titik A dan B, sehingga a < b. Ambil c dan d sebagai koordinat titik C dan D, sehingga c < d. Andaikan A, B, C dan D terletak pada garis l. Berikut akan diberikan kemungkinan letak a, b, c, dan d. (1) a < b < c < d (2) a < c < b < d (3) a < c < d < b (4) c < a < d < b


29

(5) c < d < a < b Gambar berikut merepresentasikan kemungkinan-kemungkinan di atas. 𝑙

𝑙

b c d

a

a

b

c

(1)

d

(2) 𝑙

a

d

c

𝑙

b

c

a

d

b

(4)

(3) 𝑙 c d a

b (5)


Dari kemungkinan (1), (2), (3), (4), dan (5) terlihat bahwa anggota ̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ tidak sama. Sebagai contoh pada kondisi (3) himpunan segmen 𝐴𝐵 a < c < d < b. Berdasarkan Teorema 2.4.4 ada titik X dengan koordinat x sehingga A-X-C. Karena a < c maka a < x < c. Dari Definisi 2.5.1 segmen ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 adalah himpunan titik A dan B bersama dengan semua titik di antara titik A dan B. Titik X berada di antara A dan B karena a < x < b, sehingga X ∈ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . Titik X ∉ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 karena x < c < d, yang berarti X tidak di antara C dan D. Karena ada titik X sehingga X ∈ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dan X ∉ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷, maka ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≠ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ̅̅̅̅ 𝐶𝐷, sehingga A, B sama dengan titik C, D.


30

Untuk kasus A, B pada garis l dan C, D pada garis k, dengan l ≠ k. Ada tiga kemungkinan posisi segmen ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 terhadap segmen ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 yang akan dipaparkan sebagai berikut : ̅̅̅̅ sejajar dengan segmen 𝐶𝐷 ̅̅̅̅. (1) l dan k sejajar, sehingga segmen 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ tidak memotong segmen 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ . (2) L dan k berpotongan, segmen 𝐴𝐵 (3) L dan k berpotongan, segmen ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 memotong segmen ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 .

B

B

A

A D

C

C

D

(1)

(2) A

B

C

D (3)


Untuk kasus (1) dan (2), A, B tidak kolinear dengan C, D sehingga ̅̅̅̅ ≠ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅. setiap titik di antara A dan B tidak di antara C dan D. Jadi 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ berpotongan disuatu titik. Andaikan titik Untuk kasus (3) 𝐴𝐵 potong tersebut adalah titik X. Maka A-X-B dan C-X-D. Berdasarkan Teorema 2.4.4 ada titik Y sehingga A-Y-X. Telah didapat A-Y-X dan A-


31

X-B, berdasarkan Teorema 2.4.6, maka didapat A-Y-B. Titik Y di antara A dan B, tetapi titik Y tidak di antara C dan D karena C, D, dan Y tidak kolinear. Ada titik Y sehingga Y ∈ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dan Y ∉ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷, maka ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≠ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷. ̅̅̅̅ ≠ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅. Telah ditunjukan bahwa untuk kasus (1), (2), dan (3) didapat 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ = 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ , sehingga A, B tidak Hal ini kontradiksi dengan pernyataan 𝐴𝐵 □

sama dengan C, D.

2.6

Kekonvekan dan Pemisahan Definisi 2.6.1 (Moise, 1990: 72) Suatu himpunan A dikatakan konvek jika untuk setiap dua titik P, Q ∈ A, setiap segmen ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 berada di dalam A. Sebagai contoh diberikan tiga bangun yang konvek.

P

Q

P Q

Q A

B

P C

Gambar 2.6.1 Himpunan Konvek Himpunan A, B, dan C adalah daerah bidang. Sebagai contoh, A adalah gabungan segitiga dan himpunan semua titik yang ada di dalam


32

segitiga. Pada Gambar 2.6.1 terlihat bahwa setiap segmen ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 selalu berada di dalam A, B, dan C. Selanjutnya akan diberikan contoh bangun yang tidak konvek.

P

P

Q

P Q

Q

D

F

E Gambar 2.6.2 Himpunan Tidak Konvek

Himpunan D, E, dan F adalah contoh bangun yang tidak konvek. Untuk menunjukan suatu bangun tidak konvek, misal bangun D, cukup ditunjukan bahwa ada dua titik P, Q ∈ D sehingga segmen ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 tidak berada di dalam D. Suatu himpunan konvek bisa saja tipis dan kecil. Sebagai contoh, setiap

segmen

̅̅̅̅ 𝑃𝑄

adalah

himpunan

konvek.

Himpunan

yang

beranggotakan satu titik juga konvek. Suatu himpunan konvek juga bisa sangat besar. Sebagai contoh, himpunan ruang S adalah suatu himpunan konvek. Semua garis dan bidang juga konvek, karena tidak dapat ditemukan suatu segmen ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 dimana P,Q anggota suatu garis atau bidang sehingga segmen ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 tidak di dalam himpunan suatu garis atau bidang tersebut.


33

Definisi 2.6.2 Diberikan sembarang garis l pada bidang E, himpunan bagian dari E yang tidak pada l membentuk dua himpunan yang disebut bidang setengah dan garis l disebut batas dari bidang setengah.

l 𝐻1

P

P

Q

Q P

𝐻2 Q

Gambar 2.6.3 Pemisahan Bidang

Sebagai contoh pada Gambar 2.6.3 𝐻1 adalah bagian dari bidang pada sebelah kiri atas garis l dan 𝐻2 adalah bagian dari bidang pada sebelah kanan bawah garis l. Himpunan 𝐻1 dan 𝐻2 disebut bidang setengah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, dengan menunjukan beberapa contoh segmen ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 , 𝐻1 dan 𝐻2 merupakan himpunan konvek.


34

Postulat Pemisahan Bidang atau Plane Separation Axiom (PSA) (Moise, 1990: 74) Diberikan suatu garis dan bidang yang memuat garis tersebut. Himpunan semua titik pada bidang yang tidak pada garis adalah gabungan dua himpunan berbeda sehingga : (1) Kedua himpunan tersebut konvek (2) Jika titik P pada salah satu himpunan dan titik Q pada himpunan yang lain, maka segmen ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 memotong garis.

Teorema 2.6.1 (Moise, 1990: 74) Diberikan ∆ABC dan garis l. Jika l memuat titik E, dengan A-E-C, maka l ̅̅̅̅ atau 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . memotong 𝐴𝐵 B

A

C

E l



35

Bukti : ̅̅̅̅ atau 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . Maka A dan B pada pihak yang Andaikan l tidak memotong 𝐴𝐵 sama terhadap l dan B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Oleh karena itu A dan C pada pihak yang sama terhadap l. Ini tidak mungkin □

karena A-E-C.

Teorema 2.6.2 (Moise, 1990: 75) Jika A dan B adalah himpunan konvek, maka 𝐴 ∩ 𝐵 juga konvek. Bukti : Teorema ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan 𝐴 ∩ 𝐵 tidak ̅̅̅̅ ∈ konvek. Ambil titik-titik 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, maka 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐴 dan 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐵. 𝑃𝑄 ̅̅̅̅ ∈ 𝐵 karena A dan B konvek dan ada titik R dimana P-R-Q 𝐴 dan 𝑃𝑄 sehingga 𝑅 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵. Ini tidak mungkin karena A dan B konvek. □

Kontradiksi.

Definisi 2.6.3 (Moise, 1990: 76) Andaikan E suatu bidang. Jika 𝐸 − 𝑙 = 𝐻1 ∪ 𝐻2


36

seperti pada postulat pemisahan bidang, maka 𝐻1 dan 𝐻2 disebut pihak yang berlawanan terhadap l.

Teorema 2.6.3 (Moise, 1990: 76) Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l, maka A dan C pada pihak yang sama terhadap l. Bukti : A

𝐻1 C

l 𝐻2 B Gambar 2.6.5 Ilustrasi Teorema 2.6.3

Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah 𝐻1 dan 𝐻2 . Andaikan A pada 𝐻1 , maka B pada 𝐻2 karena A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada 𝐻2 , maka C pada 𝐻1 karena B dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l. Didapat A dan C pada 𝐻1 , sehingga A dan C berada pada pihak yang sama terhadap l.

□


37

Teorema 2.6.4 (Moise, 1990: 76) Jika A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap garis l dan B dan C pada pihak yang sama terhada l, maka A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap l. A 𝐻1 l C 𝐻2 B Gambar 2.6.6 Ilustrasi Teorema 2.6.4 Bukti : Ambil suatu bidang E dan garis l pada E. l membagi E kedalam dua bidang setengah 𝐻1 dan 𝐻2 . Andaikan A pada 𝐻1 , maka B pada 𝐻2 karena A dan B pada pihak yang berlawanan terhadap l. B pada 𝐻2 , maka C pada 𝐻2 karena B dan C pada pihak yang sama terhadap l. Jadi A dan C pada pihak yang berlawanan terhadap garis l.

Definisi 2.6.4 (Moise, 1990: 76) Jika A-B-C, maka sinar 𝐵𝐴 dan 𝐵𝐶 disebut sinar yang berlawanan.

□


A

B

38

C

Gambar 2.6.7 Sinar Yang Berlawanan

Teorema 2.6.5 (Moise, 1990: 76) Diberikan sebuah garis dan sinar yang memiliki titik pangkal pada garis yang diberikan, tetapi tidak berhimpit dengan garis tersebut. Kemudian semua titik pada sinar, kecuali titik pangkal, berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut. Bukti : Diberikan garis l dan sinar 𝐴𝐵 dengan 𝐴 ∈ 𝑙. Akan dibuktikan 𝐴𝐵 − 𝐴 berada pada pihak yang sama terhadap garis tersebut.

B A l C? Gambar 2.6.8 Ilustrasi Teorema 2.6.5

Andaikan 𝐴𝐵 memuat titik C sehingga B dan C berada pada pihak yang ̅̅̅̅ memotong l disuatu titik, dan titik ini berlawanan terhadap l. Maka 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ terletak pada 𝐴𝐵 , dan 𝐴𝐵 memotong l hanya di A. harus A, karena 𝐵𝐶


39

Oleh karena itu C-A-B. Tetapi ini tidak mungkin. Dengan Definisi 2.5.2, sinar 𝐴𝐵 adalah himpunan titik C dari garis ⃡𝐴𝐵 sehingga A tidak diantara B dan C. Oleh sebab itu semua titik pada sinar, selain A, berada pada pihak yang sama terhadap l.

□

Teorema 2.6.6 (Moise, 1990: 77) Diberikan garis l dan A titik pada l, dan B titik yang tidak pada l. Maka ̅̅̅̅ − 𝐴 berada pada pihak yang sama terhadap l. semua titik dari 𝐴𝐵 Bukti : Berdasarkan Teorema 2.6.5 𝐴𝐵 − 𝐴 berada pada pihak yang sama ̅̅̅̅ − 𝐴 berada pada 𝐴𝐵 − 𝐴, maka 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ − 𝐴 juga terhadap l. Karena 𝐴𝐵 berada pada pihak yang sama terhadap l.

□

Definisi 2.6.5 (Moise, 1990: 77) Diberikan ∠𝐵𝐴𝐶. Interior ∠𝐵𝐴𝐶 adalah irisan pihak ⃡𝐴𝐶 yang memuat B dan pihak ⃡𝐴𝐵 yang memuat C. Maka suatu titik D interior ∠𝐵𝐴𝐶 jika D ⃡ dan jika D dan C berada pada dan B berada pada pihak yang sama dari 𝐴𝐶 pihak yang sama dari ⃡𝐴𝐵 . Jadi, interior suatu sudut adalah irisan dua bidang setengah. Eksterior ∠𝐵𝐴𝐶 adalah himpunan semua titik yang tidak pada ∠𝐵𝐴𝐶 dan interior ∠𝐵𝐴𝐶.


40

B D

Eksterior Interior A Eksterior

C

Gambar 2.6.9 Interior dan Eksterior Sudut Teorema 2.6.7 (Moise, 1990: 78) Setiap sisi segitiga, kecuali titik sudutnya berada di dalam interior sudut di hadapannya. ̅̅̅̅ . Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶, ∠𝐴 = ∠𝐵𝐴𝐶 merupakan sudut dihadapan sisi 𝐵𝐶

B

A

C

Gambar 2.6.10 Ilustrasi Teorema 2.6.7 Bukti : ⃡ dan segmen 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . (1) Pertama gunakan Teorema 2.6.6 pada garis 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ − 𝐶 berada pada pihak yang memuat B. Didapat 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . (2) Selanjutnya gunakan Teorema 2.6.6 pada garis ⃡𝐴𝐵 dan segmen 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ − 𝐵 berada pada pihak 𝐴𝐵 ⃡ yang memuat C. Didapat 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ − {𝐵, 𝐶} berada pada interior ∠𝐵𝐴𝐶. (3) Dari (1) dan (2), 𝐵𝐶

□


41

Teorema 2.6.8 (Moise, 1990: 78) Jika F berada di dalam interior ∠𝐵𝐴𝐶, maka 𝐴𝐹 − 𝐴 berada di dalam interior ∠𝐵𝐴𝐶. B F

A

C

Gambar 2.6.11 Ilustrasi Teorema 2.6.8 Bukti : (1) Dari Definisi 2.6.5, F dan B pada pihak yang sama terhadap ⃡𝐴𝐶 . Dengan Teorema 2.6.5, 𝐴𝐹 − 𝐴 berada pada pihak yang sama terhadap ⃡𝐴𝐶 yang memuat F. Oleh karena itu 𝐴𝐹 − 𝐴 terletak pada pihak yang memuat B. ⃡ . (2) Dari Definisi 2.6.5, F dan C pada pihak yang sama terhadap 𝐴𝐵 Dengan Teorema 2.6.5, 𝐴𝐹 − 𝐴 berada pada pihak yang sama terhadap ⃡ yang memuat F. Oleh karena itu 𝐴𝐹 − 𝐴 terletak pada pihak yang 𝐴𝐵 memuat C. Dari (1) dan (2) memenuhi bahwa 𝐴𝐹 − 𝐴 berada di dalam interior ∠𝐵𝐴𝐶. □


42

Teorema 2.6.9 (Moise, 1990: 79) Diberikan ∆ABC dan titik F,D,G sehingga B-F-C, A-C-D, dan A-F-G. Maka G di dalam interior ∠𝐵𝐶𝐷.

B F

A

G

C

D


Bukti : ⃡ , dan A tidak di antara G dan F. Oleh (1) Karena A-F-G, G berada pada 𝐴𝐹 karena itu G pada 𝐴𝐹 . Karena G ≠ A, G pada 𝐴𝐹 − 𝐴. (2) Dengan Teorema 2.6.7, titik F di dalam interior ∠𝐵𝐴𝐶. Dari Teorema 2.6.8, 𝐴𝐹 − 𝐴 berada pada interior ∠𝐵𝐴𝐶. Oleh karena itu G dan B ⃡ (=𝐶𝐷 ⃡ ). pada pihak yang sama terhadap 𝐴𝐶 ⃡ , dan A dan D pada (3) A dan G pada pihak yang berlawanan terhadap 𝐵𝐶 ⃡ . Oleh karena itu G dan D pada pihak yang berlawanan terhadap 𝐵𝐶 ⃡ . pihak yang sama terhadap 𝐵𝐶 Dari (2) dan (3), G di dalam interior ∠𝐵𝐶𝐷.

□


43

Selanjutnya akan didefinisikan interior suatu segitiga.

Definisi 2.6.6 (Moise, 1990: 80) Interior ∆ABC didefinisikan sebagai irisan tiga himpunan berikut : (1) Pihak ⃡𝐴𝐵 yang memuat C ⃡ yang memuat B (2) Pihak 𝐴𝐶 ⃡ yang memuat A (3) Pihak 𝐵𝐶 B

A

C Gambar 2.6.13 Interior Segitiga

Teorema 2.6.10 (Moise, 1990: 80) Interior segitiga adalah himpunan konvek. Bukti : Diberikan sembarang ∆ABC. 𝐻⃡𝐴𝐵 sebagai bidang setengah yang memuat C, 𝐻𝐴𝐶 ⃡ sebagai bidang setengah yang memuat B dan 𝐻𝐵𝐶 ⃡ sebagai bidang setengah yang memuat A. Dari Definisi 2.6.6, interior ∆ABC adalah


44

𝐻⃡𝐴𝐵 ∩ 𝐻⃡𝐴𝐶 ∩ 𝐻⃡𝐵𝐶 . 𝐻⃡𝐴𝐵 , 𝐻⃡𝐴𝐶 , dan 𝐻⃡𝐵𝐶 konvek. Sehingga 𝐻⃡𝐴𝐵 ∩ 𝐻⃡𝐴𝐶 ∩ 𝐻𝐵𝐶 ⃡ juga konvek (lihat Teorema 2.6.2).

2.7

□

Kekontinuan Teorema 2.7.1 (Moise, 1990: 81) Diberikan garis l, titik-titik A dan B pada l, A ≠ B, dan F dan G titik pada ̅̅̅̅ tidak memotong 𝐵𝐺 . pihak yang berlawanan terhadap l. Maka 𝐴𝐹 F B A G Gambar 2.7.1 Ilustrasi Teorema 2.7.1 Bukti : (1) Dari Teorema 2.6.6, ̅̅̅̅ 𝐴𝐹 − 𝐴 berada pada pihak yang memuat F. (2) Dari Teorema 2.6.5, 𝐵𝐺 − 𝐵 berada pada pihak yang memuat G. Dari (1) dan (2) didapat bahwa 𝐵𝐺 − 𝐺 tidak memotong ̅̅̅̅ 𝐴𝐹 − 𝐴. Oleh ̅̅̅̅ tidak berpotongan. karena itu 𝐵𝐺 dan 𝐴𝐹

□


45

Teorema 2.7.2 (Moise, 1990: 81) Dalam ∆ABC diberikan F titik diantara A dan C, dan D suatu titik ⃡ . Maka 𝐹𝐷 sehingga D dan B pada pihak yang sama terhadap 𝐹𝐶 ̅̅̅̅ . memotong ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 atau 𝐵𝐶

B E? D A

C

F G


Bukti : (1) Diberikan G suatu titik sehingga G-F-D. Maka G dan D berada pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡𝐴𝐶 , jadi G dan B pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡𝐴𝐶 . Terlihat ⃡ = 𝐹𝐷 ∪ 𝐹𝐺 𝐹𝐷 (2) Gunakan Teorema 2.7.1 pada garis ⃡𝐴𝐶 , segmen ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , dan sinar 𝐹𝐺 . Ini ̅̅̅̅ . berlaku bahwa 𝐹𝐺 tidak memotong 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ . (3) Dengan cara yang sama, didapat 𝐹𝐺 tidak memotong 𝐵𝐶


46

̅̅̅̅ atau 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . ⃡ memotong 𝐴𝐵 (4) Dengan Teorema Pasch didapat bahwa 𝐹𝐷 ̅̅̅̅ , maka Telah ditunjukan bahwa 𝐹𝐺 tidak memotong ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 atau 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ atau 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . pastilah 𝐹𝐷 memotong 𝐴𝐵

□

Teorema 2.7.3 The Crossbar Theorem (Moise, 1990: 82) ̅̅̅̅ , pada titik di Jika D di dalam interior ∠𝐵𝐴𝐶, maka 𝐴𝐷 memotong 𝐵𝐶 antara B dan C.

B E? D A C

F

Gambar 2.7.3 Teorema Crossbar

Bukti : (1) Diberikan F suatu titik sehingga F-A-C. Maka ⃡𝐹𝐶 = ⃡𝐴𝐶 , dan F dan C ⃡ . pada pihak yang berlawanan terhadap 𝐴𝐵 (2) Karena D di dalam interior ∠𝐵𝐴𝐶, maka B dan D pada pihak yang sama terhadap ⃡𝐴𝐶 (= ⃡𝐹𝐶 ). Dengan Teorema 2.7.2, 𝐴𝐷 memotong ̅̅̅̅ 𝐹𝐵 ̅̅̅̅ . atau 𝐵𝐶


47

⃡ , dan C dan (3) Karena F dan C pada pihak yang berlawanan terhadap 𝐴𝐵 D pada pihak yang sama terhadap ⃡𝐴𝐵 , maka F dan D pada pihak yang ⃡ . berlawanan terhadap 𝐴𝐵 (4) Gunakan Teorema 2.7.1 pada garis ⃡𝐴𝐵 , segmen ̅̅̅̅ 𝐹𝐵, dan sinar 𝐴𝐷. ̅̅̅̅. Didapat 𝐴𝐷 tidak memotong 𝐹𝐵 ̅̅̅̅ , di titik E yang Dari (2) dan (4) memenuhi bahwa 𝐴𝐷 memotong 𝐵𝐶 berbeda dengan B. Jika E = C, maka A, D, dan C kolinear, dan ini tidak □

benar. Oleh karena itu B-E-C.

2.8

Ukuran Sudut Definisi 2.8.1 (Moise, 1990: 93) Diberikan suatu fungsi 𝑚 ∶ 𝒜 → ℝ, dengan 𝒜 adalah himpunan semua sudut dan ℝ adalah himpunan bilangan real. Tulis 𝑚(∠𝐴𝐵𝐶) untuk menyimbolkan ukuran dari ∠𝐴𝐵𝐶. Agar lebih ringkas, selanjutnya 𝑚(∠𝐴𝐵𝐶) akan ditulis dengan 𝑚∠𝐴𝐵𝐶.

A D 45𝑜 B

C

Gambar 2.8.1 Ukuran Sudut I


48

Ukuran ∠𝐴𝐵𝐶 dan ∠𝐷𝐵𝐶 dapat ditulis 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 90 dan 𝑚∠𝐷𝐵𝐶 = 45. Ukuran ∠𝐴𝐵𝐶 tidak ditulis 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 90𝑜 , karena nilai dari fungsi m adalah bilangan real. Pada sisi yang lain, penandaan sudut pada gambar menggunakan tanda derajat untuk mengindikasikan bahwa huruf atau angka dengan tanda derajat berarti ukuran suatu sudut.

A

P 45𝑜

B

𝑟𝑜 Q

C

R

Gambar 2.8.2 Ukuran Sudut II

Gambar 2.8.2 menunjukan bahwa 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 45 dan 𝑚∠𝑃𝑄𝑅 = 𝑟. Berikut akan diberikan beberapa postulat ukuran sudut. (Moise, 1990: 95) M-1

m adalah fungsi 𝒜 → ℝ, dimana 𝒜 adalah himpunan semua sudut

dan ℝ adalah himpunan bilangan real. M-2

Untuk setiap ∠𝐴, 𝑚∠𝐴 adalah antara 0 dan 180.


M-3

49

Postulat Pembentukan Sudut (The Angle Construction Postulate).

Diberikan 𝐴𝐵 suatu sinar pada batas bidang setengah H. untuk setiap bilangan r diantara 0 dan 180, ada tepat satu sinar 𝐴𝑃 , dengan P pada H, sehingga 𝑚∠𝑃𝐴𝐵 = 𝑟.

P

𝐻

𝑟𝑜 Q

R

Gambar 2.8.3 Pembentukan Sudut

M-4

Postulat Penjumlahan Sudut (The Angle Addition Postulate). Jika

D di dalam interior ∠𝐵𝐴𝐶, maka 𝑚∠𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∠𝐵𝐴𝐷 + 𝑚∠𝐷𝐴𝐶

C (𝑟 + 𝑠)𝑜 𝑠𝑜

D 𝑟

A

𝑜

B Gambar 2.8.4 Pembentukan Sudut

Dua sudut membentuk suatu pasangan linear jika sudut-sudut tersebut terlihat seperti berikut :


50

D

C

A

B

Gambar 2.8.5 Dua Sudut Membentuk Pasangan Linear Jika 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 sinar yang berlawanan, dan 𝐴𝐷 suatu sinar yang tidak ⃡ , maka ∠𝐷𝐴𝐵 dan ∠𝐷𝐴𝐶 membentuk pasangan linear. pada 𝐴𝐵

Definisi 2.8.2 (Moise, 1990: 96) Jika 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 + 𝑚∠𝐷𝐸𝐹 = 180, maka kedua sudut tersebut dikatakan berpelurus. Definisi ini tidak tergantung pada letak sudut, tetapi hanya tergantung pada ukuran sudutnya. Artinya kedua sudut yang dimaksud tidak harus bersisian.

M-5

Postulat Pelurus (The Supplement Postulate). Jika dua sudut

membentuk pasangan linear, maka kedua sudut tersebut berpelurus. D 𝑠0 A

𝑟0

B Gambar 2.8.6 Dua Sudut Berpelurus

C


2.9

51

Postulat Luas Definisi 2.9.1 (Moise, 1990: 184) Suatu daerah triangular adalah bangun yang terbentuk dari gabungan segitiga beserta interiornya, seperti gambar berikut :

Gambar 2.9.1 Daerah Triangular Sisi segitiga disebut batas daerah, dan titik sudut segitiga disebut titik sudut daerah.

Suatu daerah segibanyak adalah bangun seperti salah satu di bawah ini :

Gambar 2.9.2 Daerah Segibanyak


52

Definisi 2.9.2 (Moise, 1990: 184) Suatu daerah segibanyak adalah bangun bidang yang dapat diekspresikan sebagai gabungan dari daerah triangular yang terbatas jumlahnya, sehingga jika dua daerah triangular beririsan, irisannya adalah suatu batas atau suatu titik sudut dari dua daerah triangular tersebut.

Gambar 2.9.2 menandakan bahwa daerah segibanyak dapat dibagi ke dalam daerah-daerah triangular. Tentunya, tidak ada kekhasan bagaimana cara suatu daerah segibanyak dapat dibagi ke dalam daerahdaerah triangular. Pada faktanya jika pembagian ini dilakukan untuk suatu bentuk tertentu, ini dapat dilakukan dalam banyak sekali cara (tak hingga). Sebagai contoh, suatu jajargenjang dengan interiornya dapat dibagi dalam paling tidak beberapa cara ini.

Gambar 2.9.3 Pembagian Daerah Jajargenjang

Definisi 2.9.3 (Moise, 1990: 185) Diberikan suatu fungsi luas 𝛼, dimana untuk setiap daerah segibanyak berkorespondensi dengan suatu bilangan positif yang disebut luas.


53

Diberikan ℛ sebagai himpunan semua daerah segibanyak, sehingga 𝛼: ℛ ⟶ ℝ.

Selanjutnya akan diberikan beberapa postulat luas. A-1

𝛼 adalah fungsi ℛ ⟶ ℝ, dimana ℛ adalah himpunan semua daerah segibanyak dan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Dapat ditulis 𝛼: ℛ ⟶ ℝ; ℛ = { 𝑅|𝑅 adalah daerah segibanyak}; ℝ = himpunan semua bilangan real.

A-2

Untuk setiap daerah segibanyak 𝑅, 𝛼(𝑅) > 0. Dapat ditulis 𝛼(𝑅) > 0, ∀ 𝑅 ∈ ℛ.

A-3

The Congruence Postulate. Jika dua daerah triangular kongruen, maka keduanya memiliki luas yang sama. Diberikan 𝑇1 , 𝑇2 adalah daerah triangular, 𝛼(𝑇1 ) = 𝛼(𝑇2 ), 𝑇1 ≅ 𝑇2 .

A-4

The Additivity Postulate. Jika dua daerah segibanyak berpotongan hanya pada batas dan titik sudutnya, maka luas gabungan dua daerah segibanyak tersebut adalah gabungan dari luasnya. Diberikan 𝑅1 , 𝑅2 adalah daerah segibanyak. Jika

𝑅1 ∩ 𝑅2 = ℓ,

dengan ℓ = himpunan garis-garis, maka 𝛼(𝑅1 ∪ 𝑅2 ) = 𝛼(𝑅1 ) + 𝛼(𝑅2 ).


𝑅1

54

𝑅2

Gambar 2.9.4 Postulat Penjumlahan

Definisi 2.9.4 (Moise, 1990: 204) Diberikan suatu daerah segibanyak R, diekspresikan sebagai gabungan dari daerah triangular yang terbatas, beririsan hanya pada batas dan titik sudutnya. Himpunan K yang anggota-anggotanya daerah triangular disebut komplek, dan disebut triangulasi dari R.

𝑇2

𝑇1

𝑇3 𝑇4

𝑇5

Gambar 2.9.5 Triangulasi

Pada Gambar 2.9.5, komplek K adalah himpunan {𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , 𝑇4 , 𝑇5 }.


55

R dan K adalah objek yang berbeda. R adalah himpunan titik-titik yang banyaknya tak hingga, sedangkan K adalah himpunan daerah triangular yang terbatas.

2.10

Sudut Luar Segitiga dan Konsekuensinya Teorema 2.10.1 (Prenowitz & Jordan, 1965: 22) Sebuah sudut luar segitiga lebih besar dari kedua sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut tersebut. Bukti : Diberikan sembarang ∆ABC, ambil D pada 𝐵𝐶 , sehingga B − C − D. Pertama-tama akan ditunjukan bahwa ∠ACD lebih besar dari ∠A.

F

A

E

B

C

D


̅̅̅̅ dan ambil F pada 𝐵𝐸 sehingga 𝐵𝐸 = 𝐸𝐹. Ambil E sebagai titik tengah AC Sebab 𝐴𝐸 = 𝐸𝐶, 𝐵𝐸 = 𝐸𝐹, dan 𝑚∠𝐴𝐸𝐵 = 𝑚∠𝐶𝐸𝐹, maka ∆𝐴𝐸𝐵 ≅


56

∆𝐶𝐸𝐹 (Sisi,Sudut,Sisi), akibatnya 𝑚∠𝐵𝐴𝐸 = 𝑚∠𝐹𝐶𝐸. Karena 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 > 𝑚∠𝐹𝐶𝐸, maka 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 > 𝑚∠𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∠𝐴. Selanjutnya ambil H pada 𝐴𝐶 , sehingga A-C-H. Akan ditunjukan 𝑚∠𝐵𝐶𝐻 > 𝑚∠𝐵. A

C B

H

M

N Gambar 2.10.2 Ilustrasi II Teorema 2.10.1

Cara yang digunakan sama dengan pembuktian diatas. Ambil M sebagai ̅̅̅̅ , kemudian ambil N pada 𝐴𝑀 sehingga 𝐴𝑀 = 𝑀𝑁. Sebab titik tengah 𝐵𝐶 𝐵𝑀 = 𝐶𝑀, 𝐴𝑀 = 𝑁𝑀, dan 𝑚∠𝐴𝑀𝐵 = 𝑚∠𝑁𝑀𝐶, maka ∆𝐴𝐵𝑀 ≅ ∆𝑁𝐶𝑀. Sehingga 𝑚∠𝑁𝐶𝑀 = 𝑚∠𝐴𝐵𝑀. Karena 𝑚∠𝐵𝐶𝐻 > 𝑚∠𝑁𝐶𝑀, maka 𝑚∠𝐵𝐶𝐻 > 𝑚∠𝐴𝐵𝑀 = 𝑚∠𝐵.

Teorema 2.10.2 (Prenowitz & Jordan, 1965: 24) Jumlah ukuran dua sudut segitiga kurang dari 180.

□


57

A

B

C

D

Gambar 2.10.3 Ilustrasi Teorema 2.10.2 Bukti: Diberikan sembarang ∆𝐴𝐵𝐶. Akan ditunjukan 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 < 180. Ambil D pada 𝐶𝐵 sehingga C-B-D. ∠𝐴𝐵𝐷adalah sudut luar ∆𝐴𝐵𝐶. Dari Teorema 2.10.1, didapat ∠𝐴𝐵𝐷 > ∠𝐴. Kemudian 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 180 − 𝑚∠𝐵. Dengan substitusi didapat 180 − 𝑚∠𝐵 > 𝑚∠𝐴 180 > 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 Oleh sebab itu m∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 < 180.

□

Teorema 2.10.3 (Milman & Parker, 1991: 138) Jika dua sisi segitiga tidak sama panjang, bersama dengan sudut dihadapan dua sisi segitiga tersebut, maka sudut yang lebih besar adalah sudut dihadapan sisi yang lebih panjang. Dengan kata lain dalam ∆𝐴𝐵𝐶 jika 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶, maka ∠𝐶 > ∠𝐵. Bukti :


58

A C

D

B

Gambar 2.10.4 Ilustrasi Teorema 2.10.3 Ambil titik D sehingga A-C-D dan 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵. Titik C didalam interior ∠𝐴𝐵𝐷 dan ∠𝐴𝐵𝐶 < 𝐴𝐵𝐷. ∆𝐵𝐴𝐷 adalah segitiga samakaki sehingga 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑚∠𝐴𝐷𝐵. Dengan Teorema 2.10.1 untuk segitiga ∆𝐵𝐶𝐷, 𝑚∠𝐴𝐷𝐵 < 𝑚∠𝐴𝐶𝐵. Maka 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 < 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑚∠𝐴𝐷𝐵 < 𝑚∠𝐴𝐶𝐵, sehingga ∠𝐶 > ∠𝐵.

Selanjutnya akan ditunjukan konvers dari Teorema 2.10.3.

Teorema 2.10.4 (Milman & Parker, 1991: 139) Dalam ∆𝐴𝐵𝐶 jika ∠𝐶 > ∠𝐵, maka 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶. Bukti :

□


59

A

𝑘𝑜

𝑘𝑜

C

B

Gambar 2.10.5 Ilustrasi I Teorema 2.10.4 Andaikan 𝐴𝐶 ≥ 𝐴𝐵. Untuk 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵, maka ∆𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga sama kaki. Akibatnya 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐵. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan ∠𝐶 > ∠𝐵. A

D

𝑘𝑜

𝑘𝑜

B

C Gambar 2.10.6 Ilustrasi II Teorema 2.10.4 ̅̅̅̅ sehingga Selanjutnya untuk 𝐴𝐶 > 𝐴𝐵, dapat diambil titik D pada 𝐴𝐶 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵. Maka dapat dibuat ∆𝐵𝐶𝐷 dan ∆𝐴𝐵𝐷. Dengan menerapkan Teorema 2.10.1 pada ∆𝐵𝐶𝐷 didapat 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑚∠𝐴𝐷𝐵 > 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐶. Kemudian 𝑚∠𝐶 < 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 < 𝑚∠𝐵, sehingga didapat ∠𝐵 > ∠𝐶. Ini kontradiksi dengan pernyataan ∠𝐶 > ∠𝐵. Jadi 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶.

□


60

Teorema 2.10.5 Triangle Inequality (Milman & Parker, 1991: 139) Panjang salah satu sisi segitiga kurang dari jumlah panjang dua sisi yang lain. Bukti : Akan ditunjukan dalam ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶. D 𝑡𝑜

B 𝑡𝑜 C

A


Ambil D pada 𝐶𝐵 dengan C-B-D, sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷. Maka 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵. B pada interior ∠𝐷𝐴𝐶 sehingga ∠𝐷𝐴𝐵 < ∠𝐷𝐴𝐶. Karena ∆𝐷𝐵𝐴 adalah segitiga

samakaki,

𝑚∠𝐷𝐴𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐷𝐵

sehingga

Dengan Teorema 2.10.4 pada ∆𝐴𝐷𝐶, didapat 𝐴𝐶 < 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵, sehingga

∠𝐴𝐷𝐵 < ∠𝐷𝐴𝐶.


𝐴𝐶 < 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵.

61

□

Teorema ini dapat diperumum menjadi teorema berikut.

Teorema 2.10.6 (Milman & Parker, 1991: 141) Diberikan A, B, C adalah tiga titik berbeda, maka 𝐴𝐶 ≤ 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵. Bukti : Jika A, B, C tidak kolinear dengan ketaksamaan segitiga maka terpenuhi 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵. Kemudian 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 apabila A, B, C kolinear dengan A-B-C. Jadi untuk sembarang tiga titik berbeda A, B, C berlaku 𝐴𝐶 ≤ 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵.

Teorema 2.10.7 Pertidaksamaan Segibanyak atau Polygon Inequality (Milman & Parker, 1991: 180) Diberikan titik-titik berbeda 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 , untuk 𝑛 ≥ 3, maka 𝑃1 𝑃𝑛 ≤ 𝑃1 𝑃2 + 𝑃2 𝑃3 + ⋯ + 𝑃𝑛−1 𝑃𝑛 . Bukti :


62

Untuk 𝑛 = 3, dengan Teorema 2.10.6 maka persamaan di atas terpenuhi. Selanjutnya andaikan benar untuk 𝑛 = 𝑘, maka didapat 𝑃1 𝑃𝑘 ≤ 𝑃1 𝑃2 + 𝑃2 𝑃3 + ⋯ + 𝑃𝑘−1 𝑃𝑘 . Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1. 𝑃1 𝑃𝑘+1 ≤ 𝑃1 𝑃𝑘 + 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1 . Dengan mensubtitusikan pertidaksamaan sebelumnya didapat 𝑃1 𝑃𝑘+1 ≤ 𝑃1 𝑃2 + 𝑃2 𝑃3 + ⋯ + 𝑃𝑘−1 𝑃𝑘 + 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1 .

2.11

□

Segiempat Saccheri dan Jumlah Sudut dalam Segitiga Definisi 2.11.1 (Moise, 1990: 152) □𝐴𝐵𝐶𝐷 dikatakan segiempat Saccheri jika ∠𝐴 dan ∠𝐷 adalah sudut sikusiku, B dan C pada pihak yang sama terhadap ⃡𝐴𝐷, dan 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. Segmen ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ disebut sisi atas. ∠𝐴 dan ∠𝐷 disebut sudut 𝐴𝐷 disebut sisi bawah dan 𝐵𝐶 bawah. ∠𝐵 dan ∠𝐶 disebut sudut atas.

B

C

A

D

Gambar 2.11.1 Segiempat Saccheri I


63

Teorema 2.11.1 (Milman & Parker, 1991: 180) ̅̅̅̅), maka Diberikan segiempat Saccheri □𝐴𝐵𝐶𝐷 (dengan sisi bawah 𝐴𝐷 𝐵𝐶 ≥ 𝐴𝐷. Bukti : Dibentuk banyak segiempat Saccheri yang kongruen seperti pada gambar berikut. 𝐵 = 𝐵1

𝐶 = 𝐵2

𝐵3 ...

𝐵𝑛−1

𝐵𝑛

𝐵𝑛+1

𝐴 = 𝐴1

𝐷 = 𝐴2

𝐴3 ...

𝐴𝑛−1

𝐴𝑛

𝐴𝑛+1

Gambar 2.11.2 Segiempat Saccheri II Ambil 𝐴 = 𝐴1 , 𝐷 = 𝐴2 , 𝐵 = 𝐵1 , 𝐶 = 𝐵2 . Untuk setiap 𝑘 ≥ 3, diberikan 𝐴𝑘 suatu titik pada ⃡𝐴𝐷 sehingga 𝐴𝑘−2 − 𝐴𝑘−1 − 𝐴𝑘 dan 𝐴𝑘−1 𝐴𝑘 = 𝐴𝐷. Catatan bahwa 𝐴1 𝐴𝑛+1 = 𝑛(𝐴𝐷). Umtuk setiap 𝑘 ≥ 3 diberikan 𝐵𝑘 suatu ⃡ dengan ̅̅̅̅̅̅̅ ⃡ dan titik pada pihak yang sama dengan B terhadap 𝐴𝐷 𝐵𝑘 𝐴𝑘 ⊥ 𝐴𝐷 𝐵𝑘 𝐴𝑘 = 𝐴𝐵. Dengan pertidaksamaan segibanyak didapat 𝐴1 𝐴𝑛+1 ≤ 𝐴1 𝐵1 + 𝐵1 𝐵2 + ⋯ + 𝐵𝑛 𝐵𝑛+1 + 𝐵𝑛+1 𝐴𝑛+1 . Karena 𝐴1 𝐵1 = 𝐵𝑛+1 𝐴𝑛+1 dan 𝐵𝑖 𝐵𝑖+1 = 𝐵𝐶, maka 𝑛(𝐴𝐷) ≤ 2(𝐴𝐵) + 𝑛(𝐵𝐶), untuk 𝑛 ≥ 1.


64

Maka 2

𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 ≤ 𝑛 (𝐴𝐵), untuk 𝑛 ≥ 1.

(2-1)

Pertidaksamaan (2-1) terpenuhi untuk 𝑛 ≥ 1 dan ruas kanan akan sangat kecil apabila n cukup besar. Sehingga didapat 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 ≤ 0. Oleh karena itu 𝐴𝐷 ≤ 𝐵𝐶.

□

Teorema 2.11.2 (Moise, 1990: 155) Pada sembarang segiempat Saccheri □𝐴𝐵𝐶𝐷 (dengan sisi bawah ̅̅̅̅ 𝐴𝐷), maka ∠𝐵𝐷𝐶 ≥ ∠𝐴𝐵𝐷. Bukti : B

C

A D Gambar 2.11.3 Segiempat Saccheri III Dari Definisi 2.11.1 diketahui bahwa 𝐵𝐴 = 𝐷𝐶. Andaikan ∠𝐴𝐵𝐷 > ∠𝐵𝐷𝐶. Dengan Teorema 2.10.4 didapat 𝐴𝐷 > 𝐵𝐶 dan ini kontradiksi dengan Teorema 2.11.1. Jadi ∠𝐵𝐷𝐶 ≥ ∠𝐴𝐵𝐷.

□


65

Teorema 2.11.3 (Moise, 1990: 155) Jika ∆𝐴𝐵𝐷 memiliki sudut siku-siku di A, maka 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐷 ≤ 90. Bukti : Ambil titik C sehingga □𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah segiempat Saccheri. B

C

1

3 A

2 D

Gambar 2.11.4 Ilustrasi Teorema 2.11.3 Maka 𝑚∠3 + 𝑚∠2 = 90, Karena ∠𝐴𝐷𝐶 adalah sudut siku-siku. Dengan Teorema 2.11.2 didapat 𝑚∠2 ≥ 𝑚∠1. Oleh karena itu 90 − 𝑚∠3 ≥ 𝑚∠1, sehingga 𝑚∠1 + 𝑚∠3 ≤ 90.

□


66

Teorema 2.11.4 (Moise, 1990: 157) Dalam sembarang ∆𝐴𝐵𝐶, 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 ≤ 180. Bukti : Andaikan ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 adalah sisi terpanjang dari ∆𝐴𝐵𝐶 dan ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 adalah garis tinggi dari B ke ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 , sehingga A-D-C. B

A

D Gambar 2.11.5 Ilustrasi Teorema 2.11.4

𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 ≤ 90 dan 𝑚∠𝐷𝐵𝐶 + 𝑚∠𝐶 ≤ 90. Oleh karena itu 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 + 𝑚∠𝐷𝐵𝐶 + 𝑚∠𝐶 ≤ 180. Karena 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 + 𝑚∠𝐷𝐵𝐶 = 𝑚∠𝐵, maka

C


𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 ≤ 180.

2.12

67

□

Fungsi Kritis Pada sub bab ini akan dibahas mengenai garis-garis sejajar dan sudut kesejajaran pada geometri hiperbolik. Untuk itu selanjutnya akan diberikan postulat kesejajaran hiperbolik yang juga sering disebut postulat kesejajaran Lobachevsky. Pada sub bab ini juga disisipkan materi pada analisis real, yaitu menegenai supremum dan infimum. Postulat 2.12.1 Postulat Kesejajaran Lobachevsky (The Lobachevskian Parallel Postulate) (Moise, 1990: 139) Diasumsikan suatu garis l dan suatu titik P yang tidak pada l, paling tidak ada dua garis 𝑙 ′ , 𝑙′′ yang memuat P dan sejajar dengan l.

S

batas bawah S

inf 𝑆

sup 𝑆

batas atas S

Gambar 2.12.1 Supremum dan Infimum


68

Definisi 2.12.1 (Bartle & Sherbert, 2011: 37) Diberikan S suatu himpunan bagian tak kosong dari ℝ. (1)

Himpunan S dikatakan terbatas ke atas jika ada suatu bilangan 𝑢 ∈ ℝ sehingga 𝑠 ≤ 𝑢 untuk semua 𝑠 ∈ 𝑆. Setiap bilangan 𝑢 disebut batas atas dari 𝑆.

(2)

Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah jika ada suatu bilangan 𝑤 ∈ ℝ sehingga 𝑤 ≤ 𝑠 untuk semua 𝑠 ∈ 𝑆. Setiap bilangan 𝑤 disebut batas bawah dari 𝑆.

Definisi 2.12.2 (Bartle & Sherbert, 2011: 37) Diberikan S suatu himpunan bagian tak kosong dari ℝ. (1)

Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan 𝑢 dikatakan supremum (atau batas atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi berikut : (a) 𝑢 adalah batas atas S, dan (b) jika 𝑣 sembarang batas atas S, maka 𝑢 ≤ 𝑣. Ditulis 𝑢 = sup 𝑆.

(2)

Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan 𝑤 dikatakan infimum (atau batas bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi berikut : (a) 𝑤 adalah batas bawah S, dan (b) jika 𝑡 sembarang batas bawah S, maka 𝑡 ≤ 𝑤. Ditulis 𝑤 = inf 𝑆.


69

Diberikan garis l dan titik P yang tidak pada l. Ambil A pada l sehingga ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 ⊥ 𝑙, dan B titik lain pada l. Untuk setiap bilangan r diantara 0 dan 180 ada tepat satu sinar 𝑃𝐷, dengan D pada pihak yang sama dengan B terhadap ⃡𝐴𝑃 , sehingga 𝑚∠𝐴𝑃𝐷 = 𝑟.

P E

𝑟𝑜 𝑟𝑜

C

A

D

B

𝑙

Gambar 2.12.2 Garis Sejajar Pada Geometri Hiperbolik

Tentu saja untuk beberapa r, 𝑃𝐷 akan memotong 𝐴𝐵 . Sebagai contoh ambil 𝑟 = 𝑚∠𝐴𝑃𝐵. Untuk 𝑟 ≥ 90, 𝑃𝐷 tidak akan memotong 𝐴𝐵 .

Definisi 2.12.3 (Moise, 1990: 371) Diberikan 𝐾 = {𝑟|𝑃𝐷 akan memotong 𝐴𝐵 }


70

Ambil 𝑟𝑜 = sup 𝐾. Sup menyatakan supremum yaitu batas atas terkecil. Bilangan 𝑟𝑜 disebut bilangan kritis untuk P dan 𝐴𝐵 . ∠𝐴𝑃𝐵 dengan ukuran 𝑟𝑜 disebut sudut kesejajaran 𝐴𝐵 dan P.

Selanjutnya akan dibahas fungsi kritis.

Definisi 2.12.4 (Moise, 1990: 373) Diberikan suatu fungsi 𝐴𝑃 → 𝑟𝑜 dan dilambangkan dengan c dan disebut fungsi kritis. Maka untuk setiap 𝑎 > 0, 𝑐(𝑎) melambangkan bilangan kritis yang berkorespondensi dengan 𝐴𝑃 = 𝑎. 𝑃𝐷 memotong 𝐴𝐵 ketika 𝑚∠𝐴𝑃𝐷 < 𝑐(𝑎) , tetapi 𝑃𝐷 tidak memotong 𝐴𝐵 ketika 𝑚∠𝐴𝑃𝐷 ≥ 𝑐(𝑎).

P

D 𝑐(𝑎)𝑜

𝑎

A

B

Q

Gambar 2.12.3 Fungsi Kritis


71

Teorema 2.12.1 (Moise, 1990: 373) Jika 𝑎′ > 𝑎, maka 𝑐(𝑎′ ) ≤ 𝑐(𝑎). Bukti : 𝑃′ 𝑐(𝑎)𝑜

P 𝑐(𝑎)𝑜

A

𝐷′

D

B


Diberikan 𝑃, 𝑃′ dengan 𝑎 = 𝐴𝑃 dan 𝑎′ = 𝐴𝑃′ . Ambil 𝑃𝐷 sehingga 𝑚∠𝐴𝑃𝐷 = 𝑐(𝑎) dan ambil 𝑃′ 𝐷′ sehingga 𝑚∠𝐴𝑃′ 𝐷′ = 𝑐(𝑎), dengan 𝐷 dan 𝐷′ pada pihak yang sama terhadap ⃡𝐴𝑃 . Maka 𝑃𝐷 dan 𝑃′ 𝐷′ sejajar. ⃡ Semua titik pada 𝑃′ 𝐷′ berada pada pihak 𝑃𝐷 yang memuat 𝑃′ . Semua titik 𝐴𝐵 berada pada pihak ⃡𝑃𝐷 yang memuat A. Oleh karena itu 𝑃′ 𝐷′ tidak memotong 𝐴𝐵 . Sekarang ambil 𝐾 ′ = {𝑟|𝑃′ 𝐷′ memotong 𝐴𝐵 }. Seperti pada Definisi 2.12.3 dan Definisi 2.12.4, sudut kritis 𝑐(𝑎′ ) = sup 𝐾′. Kemudian 𝑐(𝑎) adalah batas atas 𝐾 ′ , karena 𝑃′ 𝐷′ tidak memotong 𝐴𝐵 . 𝑐(𝑎′ ) adalah batas atas terkecil dari 𝐾 ′ . Jadi 𝑐(𝑎′ ) ≤ 𝑐(𝑎).

□


72

Teorema ini memungkinkan 𝑐(𝑎) < 90 ketika 𝑎 cukup besar, 𝑐(𝑎) = 90 ketika 𝑎 sangat kecil. Tetapi faktanya ini tidak mungkin terjadi, seperti yang ditunjukan dua teorema berikut.

Teorema 2.12.2 (Milman & Parker, 1991: 193) Jika 𝑐(𝑎) < 90, maka 𝑐(𝑎/2) < 90. Bukti :

P 𝑜

𝑐(𝑎)

P

D

D F

E

E H

P’

P’ 𝑐(𝑎)𝑜

G

D’ A

B

A

(i)

B

(ii)


Diberikan P, 𝑃′ seperti pada Gambar 2.12.5. Dengan 𝐴𝑃 = 𝑎 dan 𝐴𝑃′ = 𝑎/2. Ambil 𝑃𝐷 sehingga 𝑚∠𝐴𝑃𝐷 = 𝑐(𝑎) < 90, dan ambil ⃡𝑃′𝐸 ⊥ ⃡𝐴𝑃 pada 𝑃′. Jika 𝑃𝐷 tidak memotong ⃡𝑃′𝐸 seperti pada Gambar 2.12.5 (i), maka 𝑐(𝑎/2 ) ≤ 𝑚∠𝐴𝑃𝐷 = 𝑐(𝑎) < 90.


73

Selanjutnya, andaikan 𝑃𝐷 memotong 𝑃′𝐸 pada titik F seperti Gambar 2.12.5 (ii). Ambil sembarang titik G sehingga P-F-G. G pada interior ∠𝐴𝑃′𝐸, maka ∠𝐴𝑃′ 𝐺 < 90. Ambil H sehingga P′-G-H. A dan H pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡𝑃𝐺 , B dan H pada pihak yang berlawanan terhadap ⃡𝑃𝐺 , maka 𝐺𝐻 tidak memotong 𝐴𝐵 . Akibatnya 𝑃′𝐺 tidak memotong 𝐴𝐵 . Ini berarti 𝑐(𝑎/2) ≤ 𝑚∠𝐴𝑃′ 𝐺 < 90.

Teorema 2.12.3 (Moise, 1990: 374) Jika 𝑐(𝑎𝑜 ) < 90 untuk beberapa 𝑎𝑜 , maka 𝑐(𝑎) < 90 untuk setiap 𝑎. Bukti : Untuk setiap n, ambil 𝑎𝑛 =

𝑎𝑜 . 2𝑛

Dengan induksi, berdasarkan Teorema 2.12.2, maka 𝑐(𝑎𝑛 ) < 90 untuk setiap n. Selanjutnya akan dibuktikan tidak mungkin 𝑐(𝑎) = 90. Andaikan ada b sehingga 𝑐(𝑏) = 90. Karena lim 𝑎𝑛 = 0, maka 𝑛→∞

𝑎𝑘 < 𝑏 untuk beberapa b.

□


74

𝑎𝑘 < 𝑏, tetapi 𝑐(𝑎𝑛 ) < 𝑐(𝑏). Ini kontradiksi dengan Teorema 2.12.1. Jadi 𝑐(𝑎) < 90 untuk setiap 𝑎.

□


BAB III LUAS PADA GEOMETRI HIPERBOLIK 3.1

Jumlah Sudut dalam Segitiga pada Geometri Hiperbolik Definisi 3.1.1 Geometri hiperbolik adalah geometri yang berdasarkan pada postulat kesejajaran Lobachevsky, yang isinya dapat dilihat pada sub bab 2.12. Postulat kesejajaran Lobachevsky biasanya juga dikenal dengan sebutan postulat kesejajaran hiperbolik (Hyperbolic Parallel Postulate), kemudian disingkat dengan HPP. Diberikan 𝑙1 dan 𝑙2 adalah dua garis yang sejajar dan dilambangkan dengan 𝑙1 ∥ 𝑙2 .

Definisi 3.1.2 (Milman & Parker, 1991: 196) Diberikan A, B, C, D adalah empat titik berbeda sehingga tidak ada diantara tiga titik tersebut yang kolinear, dengan C dan D pada pihak yang ⃡ , maka himpunan sama dengan ⃡𝐴𝐵 , dan ⃡𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ∪ 𝐵𝐶 ∆𝐷𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 ∪ 𝐴𝐵 adalah segitiga terbuka. Lihat gambar berikut !

75


B

A

76

C

D Gambar 3.1.1 Segitiga Terbuka

Definisi 3.1.3 (Milman & Parker, 1991: 196 dan 197) Diberikan ∆𝐷𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga terbuka. 𝐵𝐶 asimtotik dengan 𝐴𝐷 jika setiap titik E di dalam interior ∠𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐸 memotong 𝐴𝐷. Ditulis sebagai berikut 𝐵𝐶 |𝐴𝐷.

Definis 3.1.4 (Milman & Parker, 1991: 203) Segitiga terbuka ∆𝐷𝐴𝐵𝐶 diakatakan segitiga asimtotik (atau segitiga tertutup) jika 𝐵𝐶 |𝐴𝐷. Lihat Gambar 3.1.2.


77

Teorema 3.1.1 (Moise, 1990: 382) Dibawah HPP, suatu sudut luar segitiga asimtotik lebih besar dari sudut dalam yang tidak bersisian dengannya. Dengan kata lain jika 𝑃𝐷|𝐴𝐵 dan Q-A-B, maka ∠𝑄𝐴𝑃 > ∠𝑃. Bukti : P

Q

D

B

A

A

Gambar 3.1.2 Segitiga Asimtotik Jika ∆𝐷𝑃𝐴𝐵 adalah segitiga samakaki, artinya 𝑚∠𝑃 = 𝑚∠𝑃𝐴𝐵, maka teorema ini terbukti. Karena ∠𝑃 dan ∠𝑃𝐴𝐵 adalah lancip (karena 𝑐(𝑎) < 90 untuk setip 𝑎). Oleh karena itu ∠𝑄𝐴𝑃 adalah sudut tumpul. Andaikan ∆𝐷𝑃𝐴𝐵 bukan segitiga samakaki. Maka ada ∆𝐷𝑃𝐶𝐵, sehingga A-C-B. Diberikan ukuran sudut-sudut seperti pada gambar berikut. R

P 𝑢

𝑜

𝑟

𝑠𝑜

𝑡 Q

𝑜

A

𝑞

𝑜

D 𝑜

𝑟𝑜

𝑝𝑜 C

B

A



78

𝑝>𝑟 karena 𝑐(𝑎) < 90. Dan berdasarkan Teorema 2.11.4 𝑝 + 𝑞 + 𝑠 ≤ 180. Oleh karena itu 𝑡 = 180 − 𝑞 ≥ 𝑝 + 𝑠 > 𝑟 + 𝑠, sehingga 𝑡 > 𝑟 + 𝑠. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 𝑢 > 𝑞. Ini terpenuhi dari 𝑡 >𝑟+𝑠 180 − 𝑞 > 𝑟 + 𝑠 Lihat bahwa 𝑟 + 𝑠 = 180 − 𝑢, sehingga 180 − 𝑞 > 180 − 𝑢. Akibatnya 𝑢 > 𝑞.

Teorema 3.1.2 (Milman &Parker, 1991: 206) Dibawah HPP sudut atas sembarang segiempat Saccheri adalah lancip.

□


79

Bukti : Diberikan segiempat Saccheri □𝐴𝐵𝐶𝐷 dan ambil E dan F dengan A-D-E dan B-C-F. Pilih P pada pihak yang sama dengan E terhadap ⃡𝐴𝐵 , dan Q ⃡ , dengan 𝐵𝑃|𝐴𝐸 dan 𝐶𝑄 |𝐴𝐸 pada pihak yang sama dengan E terhadap 𝐶𝐷 sehingga 𝐵𝑃|𝐶𝑄 sehingga ∆𝑃𝐵𝐶𝑄 adalah segitiga asimtotik. Q didalam interior ∠𝐷𝐶𝐹. C

B

F 𝑐(𝑎)𝑜

𝑐(𝑎)𝑜

Q

P

A

D

E

Gambar 3.1.4 Segiempat Saccheri IV karena 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶, maka 𝑚∠𝐴𝐵𝑃 = 𝑐(𝑎) = 𝑚∠𝐷𝐶𝑄 Dengan Teorema 3.1.1, ∠𝑄𝐶𝐹 > ∠𝑃𝐵𝐶, sehingga 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 𝑚∠𝐵𝐶𝐷 = 180 − 𝑚∠𝐷𝐶𝐹 = 180 − (𝑚∠𝐷𝐶𝑄 + 𝑚∠𝑄𝐶𝐹) = 180 − (𝑐(𝑎) + 𝑚∠𝑄𝐶𝐹) < 180 − (𝑐(𝑎) + 𝑚∠𝑃𝐵𝐶)


80

= 180 − (𝑚∠𝐴𝐵𝑃 + 𝑚∠𝑃𝐵𝐶) = 180 − 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 Jadi 2𝑚∠𝐴𝐵𝐶 < 180 atau 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 < 90.

□

Teorema 3.1.3 (Moise, 1990: 385) Dibawah HPP, untuk setiap segitiga siku-siku ∆𝐴𝐵𝐶 berlaku 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 < 180. Bukti : Andaikan tidak. Maka jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 (karena untuk setiap ∆𝐴𝐵𝐶, 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 ≤ 180). B

C ? 𝑎𝑜 𝑎𝑜

A

D

Gambar 3.1.5 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Siku-siku Pada Geometri Hiperbolik

Jika ∠𝐴 adalah sudut siku-siku, ∠𝐵 dan ∠𝐶 harus berpelurus. Ambil D ⃡ , sehingga 𝑚∠𝐵𝐶𝐷 = pada pihak yang berlawanan dengan A terhadap 𝐵𝐶


81

𝑚∠𝐴𝐵𝐶 dan 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵. Maka ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐶𝐵 (sisi, sudut, sisi) dan □ABCD adalah segiempat Saccheri. Ini tidak mungkin, karena ∠𝐷 adalah □

sudut siku-siku. Kontradiksi.

Teorema 3.1.4 (Moise, 1990: 385) Dibawah HPP, untuk setiap ∆𝐴𝐵𝐶 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 < 180. Bukti :

B 𝑠𝑜 𝑡𝑜

𝑟𝑜

90𝑜 90𝑜

A

𝑢𝑜

D

C

Gambar 3.1.6 Jumlah Sudut Dalam Segitiga Pada Geometri Hiperbolik ̅̅̅̅ sebagai sisi terpanjang dari ∆𝐴𝐵𝐶, dan 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ adalah garis tinggi Ambil 𝐴𝐶 dari B ke sisi ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 . Maka 𝑟 + 𝑠 + 90 < 180

dan

𝑡 + 𝑢 + 90 < 180.

Jadi 𝑟 + (𝑠 + 𝑡) + 𝑢 < 180.

□


3.2

82

Defek Segitiga Definisi 3.2.1 (Moise, 1990: 386) Defek ∆𝐴𝐵𝐶 didefinisikan sebagai 180 − 𝑚∠𝐴 − 𝑚∠𝐵 − 𝑚∠𝐶. Defek ∆𝐴𝐵𝐶 dilambangkan dengan 𝛿(∆𝐴𝐵𝐶). Dibawah HPP defek segitiga selalu positif, dan jelas ini kurang dari 180 karena dibawah HPP jumlah ukuran sudut dalam segitiga kurang dari 180 (lihat Teorema 3.1.4).

Teorema 3.2.1 (Moise, 1990: 386) Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶, dengan B-D-C. Maka 𝛿(∆𝐴𝐵𝐶) = 𝛿(∆𝐴𝐵𝐷) + 𝛿(∆𝐴𝐷𝐶).

A 𝑠𝑜 𝑡𝑜

B

𝑟𝑜

𝑣𝑜 𝑤𝑜 D

𝑢𝑜

C


Bukti : 𝛿(∆𝐴𝐵𝐷) + 𝛿(∆𝐴𝐷𝐶) = 180 − (𝑟 + 𝑠 + 𝑣) + 180 − (𝑡 + 𝑢 + 𝑤)


83

Lihat bahwa 𝑣 + 𝑤 = 180 dan 𝑠 + 𝑡 = 𝑚∠𝐴, sehingga 𝛿∆(𝐴𝐵𝐷) + 𝛿(∆𝐴𝐷𝐶) = 360 − (𝑣 + 𝑤) − ((𝑠 + 𝑡) + 𝑟 + 𝑢) = 180 − ((𝑠 + 𝑡) + 𝑟 + 𝑢) = 180 − (𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶) = 𝛿(∆𝐴𝐵𝐶)

□

Teorema 3.2.2 (Moise, 1990: 386) Dibawah HPP, setiap kesebangunan adalah kongruen. Ini berarti jika ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹, maka ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹. Bukti :

A D 𝑑1 G 𝑑3 B

𝑑2

H C

E

F

Gambar 3.2.2 Segitiga Kongruen Pada Geometri Hiperbolik Ambil G pada 𝐴𝐵 sehingga AG = DE, dan H pada 𝐴𝐶 sehingga AH = DF, maka ∆𝐴𝐺𝐻 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹, oleh sebab itu


84

∆𝐴𝐺𝐻~∆𝐴𝐵𝐶. Jika G = B dan H = C maka teorema ini terpenuhi. Akan ditunjukan asumsi yang sebaliknya yaitu G ≠ B dan H ≠ C akan terjadi kontradiksi. Diberikan defek ∆𝐴𝐺𝐻, ∆𝐺𝐻𝐶, dan ∆𝐺𝐵𝐶 adalah 𝑑1 , 𝑑2 , dan 𝑑3 seperti pada Gambar 3.2.2. Diberikan d adalah defek ∆𝐴𝐵𝐶. Kemudian didapat 𝑑 = 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 . Padahal ∆𝐴𝐺𝐻~∆𝐴𝐵𝐶, yang berakibat jumlah sudut dalam kedua segitiga tersebut sama, sehingga 𝑑 = 𝑑1 . Kontradiksi.

□

Teorema 3.2.3 (Moise, 1990: 387) Diberikan 𝑐(𝑎) adalah fungsi kritis (lihat sub bab 2.12), maka lim 𝑐(𝑎) = 𝑎→∞

0. Bukti : Diberikan suatu bilangan positif 𝑒 = inf{𝑐(𝑎)}. Andaikan 𝑐(𝑎) > 𝑒 > 0 untuk setiap 𝑎. Akan ditunjukan bahwa pengandaian ini menuntun pada keberadaan segitiga dengan defek lebih besar dari 180, dan ini tidak mungkin.


𝑃4 𝑃3 𝑃2 𝑃1 𝑃𝑜

85

𝑄4 𝑄3 𝑄2 𝑄1 𝑅1

𝑅2

𝑅3

𝑅4

Gambar 3.2.3 Ilustrasi I Teorema 3.2.3 Diberikan 𝑃𝑛 𝑃𝑛+1 = 1 dan 𝑚∠𝑃𝑜 𝑃𝑛 𝑄𝑛 = 𝑒. Untuk setiap 𝑛, 𝑃𝑛 𝑄𝑛 memotong 𝑃𝑜 𝑅1 , karena 𝑒 < 𝑐(𝑛). Setiap segitiga siku-siku ∆𝑃𝑛 𝑃𝑛+1 𝑄𝑛+1 kongruen, dan oleh karena itu memiliki defek yang sama 𝑑𝑜 . Ambil defek ∆𝑃𝑜 𝑃𝑛 𝑅𝑛 dimana n terus bertambah satu. Pada gambar dibawah, huruf pada interior segitiga melambangkan defeknya.

𝑃𝑛+1 𝑃𝑛

𝑑𝑜 𝑄𝑛+1 𝑥

𝑑𝑛

𝑃𝑜

𝑦

𝑅𝑛

𝑅𝑛+1



86

Dengan Teorema 3.2.1 didapat 𝛿(∆𝑃𝑜 𝑃𝑛 𝑅𝑛+1 ) = 𝑑𝑛 + 𝑦, 𝛿(∆𝑃𝑛+1 𝑃𝑛 𝑅𝑛+1 ) = 𝑑𝑜 + 𝑥, 𝑑𝑛+1 = (𝑑𝑛 + 𝑦) + (𝑑𝑜 + 𝑥). Oleh karena itu 𝑑𝑛+1 > 𝑑𝑛 + 𝑑𝑜 . Maka 𝑑2 > 𝑑1 + 𝑑𝑜 ,

𝑑3 > 𝑑2 + 𝑑𝑜 > 𝑑1 + 2𝑑𝑜 .

Jika proses diatas terus-menerus dilakukan, maka akan didapat 𝑑𝑛 > 𝑑1 + (𝑛 − 1)𝑑0 . Ketika n sangat besar, didapat 𝑑𝑛 > 180. Ini tidak mungkin, karena defek suatu segitiga adalah 180 dikurang jumlah sudut. Kontradiksi, jadi tidak mungkin 𝑐(𝑎) > 𝑒 > 0. Oleh karena itu 𝑒 ≥ 𝑐(𝑎) atau 𝑒 ≤ 0. Jelas bahwa 𝑒 ≥ 𝑐(𝑎) tidak mungkin karena 𝑒 = inf{𝑐(𝑎)}. 𝑒 < 0 juga tidak mungkin, maka didapat 𝑒 = 0.

□


87

Teorema 3.2.4 (Moise, 1990: 389) Untuk setiap bilangan 𝑥 < 180, ada segitiga yang memiliki defek lebih besar dari 𝑥. Bukti : Diberikan 𝑟(𝑎) adalah fungsi untuk ukuran sudut alas suatu segitiga sikusiku samakaki, dengan 𝑎 adalah panjang sisi tegak segitiga tersebut.

B

E 𝑟(𝑎)𝑜

𝑎

A

𝑐(𝑎)𝑜

𝑎

C


𝐵𝐸 |𝐴𝐶 seperti Gambar 3.2.5. Oleh karena itu 𝑟(𝑎) < 𝑐(𝑎). Jadi lim 𝑟(𝑎) = 0, karena lim 𝑐(𝑎) = 0 (Teorema 3.2.3). Selanjutnya ambil

𝑎→∞

𝑎→∞

D pada 𝐶𝐴 sehingga 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷, seperti gambar berikut.


88

B

𝑟(𝑎)𝑜 𝑟(𝑎)𝑜

𝑎 𝑟(𝑎)𝑜

D

𝑟(𝑎)𝑜

𝑎

A

𝑎

C

Gambar 3.2.6 Ilustrasi II Teorema 3.2.4 Maka ada ∆𝐴𝐵𝐷 yang kongruen dengan ∆𝐴𝐵𝐶 (sisi, sudut, sisi). Lihat ∆𝐷𝐵𝐶, jumlah sudutnya adalah 4𝑟(𝑎). Oleh karena itu defeknya 180 − 4𝑟(𝑎). Defek ∆𝐷𝐵𝐶 dapat dibuat sangat dekat dengan 180, yaitu dengan mengambil 𝑎 yang sangat besar.

□

Definisi 3.2.2 (Milman & Parker, 1991: 265) Defek suatu daerah triangular T adalah defek segitiga yang bersesuaian dengan T.

Teorema 3.2.5 (Prenowitz & Jordan, 1965: 65) Defek segitiga adalah fungsi luas daerah triangular. Bukti : Akan dibuktikan bahwa defek segitiga memenuhi postulat luas A-1, A-2, A-3, dan A-4 (lihat sub bab 2.9).


89

(1) Diberikan 𝛿 adalah fungsi 𝒯 → ℝ, dimana 𝒯 adalah himpunan semua daerah triangular dan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Sembarang daerah triangular T akan berpasangan dengan defek segitiga yang bersesuaian dengan daerah triangular T dan defek segitiga tersebut merupakan bilangan real. Ini memenuhi postulat luas A-1. (2) Defek suatu segitiga selalu bernilai positif karena berdasarkan Definisi 3.2.1 𝛿(∆𝐴𝐵𝐶) = 180 − 𝑚∠𝐴 − 𝑚∠𝐵 − 𝑚∠𝐶 = 180 − (𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶) Berdasarkan Teorema 3.1.4, 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 < 180, maka 𝛿(∆𝐴𝐵𝐶) > 0. Berdasarkan Definisi 3.2.2, defek suatu daerah triangular T adalah defek segitiga yang bersesuaian dengan T. Sehingga untuk setiap daerah triangular T yang bersesuaian dengan ∆𝐴𝐵𝐶, 𝛿(𝑇) > 0. Ini memenuhi postulat luas A-2. (3) Setiap dua segitiga yang kongruen, ukuran sudut yang bersesuaian sama besar. Sehingga jumlah ukuran sudut kedua segitiga tersebut adalah sama. Sebagai contoh diberikan dua segitiga yang kongruen, ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹. Didapat 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝐷, 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐸, dan 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐹, sehingga 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐷 + 𝑚∠𝐸 + 𝑚∠𝐹.


90

Karena jumlah ukuran sudut dua segitiga yang kongruen sama, maka defek kedua segitiga tersebut sama. Dengan kata lain, jika ∆𝐴𝐵𝐶 bersesuaian dengan daerah triangular 𝑇1 dan ∆𝐷𝐸𝐹 bersesuaian dengan daerah triangular 𝑇2 , sehingga 𝑇1 ≅ 𝑇2 , maka 𝛿(𝑇1 ) = 𝛿(𝑇2 ). Ini memenuhi postulat luas A-3. (4) Pada Teorema 3.2.1 telah dibuktikan dua segitiga berpotongan hanya pada batas dan titik sudutnya, jumlah defek segitiga tersebut sama dengan defek segitiga yang dibentuk oleh kedua segitiga tersebut. Berdasarkan Definisi 3.2.2 defek segitiga sama dengan defek daerah triangular yang bersesuaian. Ini memenuhi postulat luas A-4.

3.3

□

Triangulasi dan Subdivisi Diberikan R suatu daerah segibanyak. Suatu triangulasi dari R (lihat Definisi 2.9.4) diartikan sebagai suatu koleksi terbatas, 𝐾 = {𝑇1 , 𝑇2 , … , 𝑇𝑛 } dari daerah triangular 𝑇𝑖 , sehingga (1) Setiap 𝑇𝑖 beririsan hanya pada batas dan titik sudut, dan (2) gabungan dari setiap 𝑇𝑖 adalah R. Suatu koleksi K yang memenuhi (1) disebut komplek. Setiap komplek K membentuk suatu triangulasi dari gabungan setiap elemennya.


91

Definisi 3.3.1 (Moise, 1990: 390) Diberikan dua komplek 𝐾 = {𝑇1 , 𝑇2 , … , 𝑇𝑚 } 𝐾′ = {𝑇′1 , 𝑇′2 , … , 𝑇′𝑛 } Jika setiap 𝑇′𝑖 ∈ 𝐾′ berada pada salah satu himpunan 𝑇𝑗 ∈ K, maka 𝐾′ disebut subdivisi dari K. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai segibanyak konvek.

𝑃2 𝑃3 𝑃1

𝑃4

𝑃𝑛

Gambar 3.3.1 Segibanyak Konvek

Definisi 3.3.2 (Moise, 1990: 390) Diberikan suatu segibanyak dengan titik sudut 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 . Andaikan untuk setiap pasang titik sudut berurutan 𝑃𝑖 , 𝑃𝑖+1 , setiap titik sudut yang lain berada pada pihak yang sama terhadap ⃡𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 , maka segibanyak tersebut konvek.


92

Definisi 3.3.2 memenuhi bahwa jika 𝑃𝑖 , 𝑃𝑖+1 , 𝑃𝑖+2 berurutan, maka titik sudut yang lain (jika ada) berada pada interior ∠𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2.

Definisi 3.3.3 (Moise, 1990: 390) Interior suatu segibanyak konvek, diartikan sebagai irisan dari setiap interior sudutnya.

Definisi 3.3.4 (Milman & Parker,1991: 265) Diberikan daerah segibanyak konvek R dan P titik di dalam interior R. Komplek dengan daerah triangular yang titik-titik sudutnya adalah P bersama dengan sepasang titik sudut berurutan dari daerah segibanyak konvek R disebut triangulasi bintang dari R.

𝑃1

𝑃𝑛

𝑃2 𝑃

𝑃4

𝑃3

Gambar 3.3.2 Triangulasi Bintang


93

Teorema 3.3.1 (Moise, 1990: 391) Diberikan R suatu daerah segibanyak konvek, dan l suatu garis yang memotong interior R. Maka l membagi R kedalam dua daerah segibanyak konvek. l 𝑅1 𝑅2

𝐻1

𝑅

𝐻2 Gambar 3.3.3 Ilustrasi Teorema 3.3.1 Bukti : Diberikan 𝐻1 dan 𝐻2 adalah bidang setengah dengan l adalah batas dari 𝐻1 ̅̅1̅ = 𝐻1 ∪ 𝑙 dan ̅𝐻̅̅2̅ = 𝐻2 ∪ 𝑙. Diberikan dan 𝐻2 . Diberikan ̅𝐻 ̅̅1̅, 𝑅1 = 𝑅 ∩ ̅𝐻

𝑅2 = 𝑅 ∩ ̅𝐻̅̅2̅.

Maka berdasarkan Teorema 2.6.2, 𝑅1 dan 𝑅2 adalah himpunan konvek, karena setiap dari mereka adalah irisan dua himpunan konvek.

Teorema 3.3.2 (Moise, 1990: 391) Setiap dua triangulasi dari daerah segibanyak yang sama memiliki suatu subdivisi bersama.

□


94

Jika 𝐾1 dan 𝐾2 adalah triangulasi dari R, maka ada triangulasi K dari R yang adalah subdivisi dari 𝐾1 dan 𝐾2 .

Gambar 3.3.4 Ilustrasi I Teorema 3.3.2 Pada Gambar 3.3.4, batas dari 𝐾1 tidak putus-putus, dan batas 𝐾2 adalah garis putus-putus. Bukti : Ambil 𝑙1 , 𝑙2 , … , 𝑙𝑛 adalah garis yang memuat batas dari 𝐾1 atau batas dari 𝐾2 ( Pada Gambar 3.3.4, n = 9). 𝑙1 membagi 𝑇𝑖 pada 𝐾1 (dan setiap 𝑇𝑗′ pada 𝐾2 ) ke dalam dua daerah konvek, jika 𝑙1 memotong interior kedua komplek. Akan ditunjukan kemungkinan 𝑙1 pada gambar berikut :


95

𝑙1

Gambar 3.3.5 Ilustrasi II Teorema 3.3.2 Dengan induksi ini memenuhi bahwa gabungan semua 𝑙𝑖 membagi R kedalam koleksi terbatas, 𝐶 = {𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 } daerah segibanyak konvek, seperti berikut :

Gambar 3.3.6 Ilustrasi III Teorema 3.3..2 Setiap 𝐶𝑖 berada di dalam salah satu 𝑇𝑘 ∈ 𝐾1 dan di dalam salah satu 𝑇𝑗′ ∈ 𝐾2 . Untuk setiap 𝐶𝑖 dibuat triangulasi bintang. Gabungan dari triangulasi bintang untuk setiap 𝐶𝑖 akan membentuk komplek K yang merupakan subdivisi dari 𝐾1 dan 𝐾2 .

Selanjutnya akan dijelaskan daerah segibanyak yang ekuivalen.

□


96

Definisi 3.3.5 (Moise, 1990: 392) Diberikan daerah segibanyak 𝑅1 dan 𝑅2 . Andaikan bahwa keduanya memiliki triangulasi 𝐾1 = {𝑇1 , 𝑇2 , … , 𝑇𝑛 }, 𝐾2 = {𝑇1′ , 𝑇2′ , … , 𝑇𝑛′ } Sehingga untuk setiap i, 𝑇𝑖 ≅ 𝑇𝑖′ . Kemudian 𝑅1 dan 𝑅2 dikatakan ekuivalen dengan pembagian terbatas, dan ditulis 𝑅1 ≡ 𝑅2. Selanjutnya akan diberikan suatu contoh daerah segibanyak yang ekuivalen. Perhatikan gambar berikut!

𝑇3 𝑇1

𝑇2

𝑇4

Gambar 3.3.7 Segibanyak Yang Ekuivalen

Pada gambar terlihat bahwa 𝑇1 ≅ 𝑇4 . Oleh karena itu 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 ≡ 𝑇4 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 .


3.4

97

Defek Daerah Segibanyak

A

B

D

C

Gambar 3.4.1 Segitiga

Pada Teorema 3.2.5 telah dibuktikan bahwa defek adalah fungsi luas daerah triangular. Luas daerah triangular pada geometri hiperbolik disimbolkan dengan 𝛿(𝑇), dimana 𝛿 adalah defek. Dibawah HPP 𝛿(𝑇) > 0 untuk setiap T dan postulat luas A-4 (additivity postulate) juga dapat digunakan. Selanjutnya akan didefinisikan fungsi luas 𝛿 yang lebih umum, sehingga dapat digunakan pada semua daerah segibanyak. Kita akan melakukannya dengan beberapa tahapan.

Definisi 3.4.1 (Moise, 1990 : 398) Pertama diberikan komplek 𝐾 = {𝑇1 , 𝑇2 , … , 𝑇𝑚 },


98

Didefinisikan 𝛿(𝐾) = 𝛿(𝑇1 ) + 𝛿(𝑇2 ) + ⋯ + 𝛿(𝑇𝑚 ).

Telah dijelaskan sebelumnya (lihat sub bab 2.9) bahwa setiap daerah segibanyak R memiliki triangulasi K yang tak hingga banyaknya. Selanjutnya 𝛿(𝑅) akan didefinisikan sebagai 𝛿(𝐾). Tetapi untuk melakukan ini pertama-tama harus ditunjukan bahwa 𝛿(𝐾) hanya tergantung pada R dan dapat dipilih sembarang triangulasi K. Selanjutnya akan ditunjukan defek dari suatu triangulasi bintang dari daerah segibanyak konvek.

Definisi 3.4.2 (Milman & Parker,1991: 265) Jika 𝑅 segibanyak dengan derajat n, maka 𝑃0 dan 𝑃𝑛+1 didefinisikan 𝑃0 = 𝑃𝑛 dan 𝑃𝑛+1 = 𝑃1 . Sudut pada titik 𝑃𝑖 adalah ∠𝑃𝑖 = ∠𝑃𝑖−1 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 untuk 1 ≤ i ≤ n.


99

Lema 3.4.1 (Milman & Parker,1991: 265) Diberikan triangulasi bintang dari daerah segibanyak konvek R dan P titik sudut pusat triangulasi bintang. Maka jumlah defek daerah triangular dari triangulasi bintang pada R adalah 𝑛

𝛿(𝑅) = 180(𝑛 − 2) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 , 𝑖=1

dengan n adalah banyak titik sudut segibanyak konvek R. Bukti : P1 𝑠5 𝑜 𝑟1 𝑜 P5

𝑟5 𝑜

𝑡5 𝑜

𝑠4 𝑜

𝑡4 𝑜

𝑠1 𝑜

𝑡1 𝑜 P

P2

𝑟2 𝑜

𝑡2 𝑜

𝑡3 𝑜 𝑟4 𝑜

𝑠3 𝑜

𝑟3 𝑜

P4

𝑠2 𝑜 P3

Gambar 3.4.2 Jumlah Defek Triangulasi Bintang

Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 didefinisikan 𝑡𝑖 , 𝑟𝑖 , 𝑠𝑖 dengan 𝑡𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑖 𝑃𝑃𝑖+1 , 𝑟𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 ,


𝑠𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑃𝑖+1 𝑃𝑖 , seperti pada Gambar 3.4.2. 𝛿(∆𝑃𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 ) = 180 − (𝑡𝑖 + 𝑟𝑖 + 𝑠𝑖 ) 𝑛

∑ 𝑡𝑖 = 360 𝑖=1

𝑚(∠𝑃𝑖 ) = 𝑠𝑖−1 + 𝑟𝑖 , dimana 𝑠0 = 𝑠𝑛 . Jadi, 𝑛

𝛿(𝑅) = ∑(180 − ( 𝑡𝑖 + 𝑟𝑖 + 𝑠𝑖 )) 𝑖=1 𝑛

= 180𝑛 − (∑ 𝑡𝑖 ) − (𝑠𝑛 + 𝑟1 + 𝑠1 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑠𝑛−1 + 𝑟𝑛 ) 𝑖=1 𝑛

= 180𝑛 − 360 − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=1

= 180(𝑛 − 2) − ∑𝑛𝑖=1 𝑚∠𝑃𝑖

□

Teorema 3.4.2 (Moise, 1990: 399) Jika 𝐾1 dan 𝐾2 adalah triangulasi bintang dari daerah segi banyak yang sama R, maka 𝛿(𝐾1 ) = 𝛿(𝐾2 ).

100


𝑃1

𝑃1

𝑃𝑛

101

𝐾1

𝑃2

𝑃𝑛 𝐾2

𝑃

𝑃′

𝑃2

𝑃3

𝑃3

Gambar 3.4.3 Triangulasi Bintang Daerah Segibanyak

Bukti : Pada Lema 3.4.1 telah dibuktikan bahwa defek triangulasi bintang adalah 𝑛

𝛿(𝑅) = 180(𝑛 − 2) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 . 𝑖=1

Ambil 𝑃, 𝑃′ di dalam interior R sebagai titik sudut pusat 𝐾1 dan 𝐾2 . Terlihat bahwa dimanapun letak 𝑃 dan 𝑃′, defek 𝐾1 dan 𝐾2 tetap sama, sehingga 𝛿(𝐾1 ) = 𝛿(𝐾2 ).

□

Dari Teorema 3.4.2 ini, didapat definisi sebagai berikut. Definisi 3.4.3 (Moise, 1990: 399) Defek 𝛿(𝑅) dari daerah segibanyak konvek R adalah jumlah defek daerah triangular dari triangulasi bintang pada R.


102

Definisi 3.4.4 Diberikan segibanyak konvek R dan P titik pada batas segibanyak konvek R. Komplek dengan daerah triangular yang titik-titik sudutnya adalah P bersama dengan sepasang titik sudut berurutan dari daerah segibanyak konvek R disebut triangulasi batas dari R. P3

P2 P4

P1

P

P5

Gambar 3.4.4 Triangulasi Batas

Teorema 3.4.3 (Moise, 1990: 400) Diberikan daerah segibanyak konvek R dengan n titik sudut. Jumlah defek daerah triangular dari triangulasi batas pada R adalah sama dengan jumlah defek daerah segibanyak R. Bukti :


P3 𝑠2 𝑜 𝑟 𝑜 3 P2

𝑟2 𝑜 𝑠3 𝑜 𝑠1

𝑜

P4

𝑟4 𝑜 𝑟1

𝑜

𝑡1

𝑜

P1

𝑡2 𝑜 𝑡3 𝑜

𝑡4 𝑜

𝑠4 𝑜

P

P5

Gambar 3.4.5 Ilustrasi I Teorema 3.4.3 Ada dua kasus letak P pada batas segibanyak R, yaitu P pada titik sudut segibanyak R dan P tidak pada titik sudut segibanyak R. 1) Untuk P tidak pada titik sudut segibanyak R. Ambil titik P pada ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃𝑛 , sehingga 𝑃1 − 𝑃 − 𝑃𝑛 Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 didefinisikan 𝑡𝑖 , 𝑟𝑖 , 𝑠𝑖 dengan 𝑡𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑖 𝑃𝑃𝑖+1 , 𝑟𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 , 𝑠𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑃𝑖+1 𝑃𝑖 , seperti pada Gambar 3.4.5. 𝛿(∆𝑃𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 ) = 180 − (𝑡𝑖 + 𝑟𝑖 + 𝑠𝑖 ) 𝑛−1

∑ 𝑡𝑖 = 180, 𝑖=1

𝑟1 = 𝑚∠𝑃1 , 𝑠𝑛−1 = 𝑚∠𝑃𝑛

103


𝑚∠𝑃𝑖 = 𝑠𝑖−1 + 𝑟𝑖 , dimana 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Jadi, 𝑛−1

𝛿(𝑅) = ∑(180 − ( 𝑡𝑖 + 𝑟𝑖 + 𝑠𝑖 )) 𝑖=1 𝑛−1

= 180(𝑛 − 1) − (∑ 𝑡𝑖 ) − (𝑟1 +𝑠1 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑠𝑛−2 + 𝑟𝑛−1 𝑖=1

+ 𝑠𝑛−1 ) = 180(𝑛 − 1) − 180 − (𝑚∠𝑃1 + 𝑚∠𝑃2 + ∠𝑃3 + ⋯ + ∠𝑃𝑛 ) = 180(𝑛 − 2) − ∑𝑛𝑖=1 𝑚∠𝑃𝑖 2) Untuk kasus P pada titik sudut segibanyak R. Ambil 𝑃 = 𝑃1 . P3 𝑠1 𝑜 𝑟 𝑜 2 P2

𝑟1 𝑜

𝑠2 𝑜 𝑟3 𝑡1 𝑜 P

𝑡2 𝑜

𝑡3 𝑜

𝑜

𝑠3 𝑜 P5


P4

104


105

Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2 didefinisikan 𝑡𝑖 , 𝑟𝑖 , 𝑠𝑖 dengan 𝑡𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑖+1 𝑃𝑃𝑖+2 , 𝑟𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑃𝑖+1 𝑃𝑖+2 , 𝑠𝑖 = 𝑚∠𝑃𝑃𝑖+2 𝑃𝑖+1 , seperti pada Gambar 3.4.6. 𝑛−2

∑ 𝑡𝑖 = 180 = 𝑚∠𝑃1 , 𝑖=1

𝑟1 = 𝑚∠𝑃2 , 𝑠𝑛−2 = 𝑚∠𝑃𝑛 𝑚∠𝑃𝑖 = 𝑠𝑖−1 + 𝑟𝑖 , dimana 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2. Jadi, 𝑛−2

𝛿(𝑅) = ∑(180 − ( 𝑡𝑖 + 𝑟𝑖 + 𝑠𝑖 )) 𝑖=1 𝑛−1

= 180(𝑛 − 2) − (∑ 𝑡𝑖 ) − (𝑟1 +𝑠1 + 𝑟2 + ⋯ + 𝑠𝑛−3 + 𝑟𝑛−2 𝑖=1

+ 𝑠𝑛−2 = 180(𝑛 − 2) − (𝑚∠𝑃1 + 𝑚∠𝑃2 + ∠𝑃3 + ⋯ + ∠𝑃𝑛 ) 𝑛

= 180(𝑛 − 2) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=1

Jumlah defek daerah triangular dari triangulasi batas pada segibanyak konvek R sama dengan jumlah defek daerah triangular dari triangulasi bintang pada R, yaitu 180(𝑛 − 2) − ∑𝑛𝑖=1 𝑚∠𝑃𝑖 . Berdasarkan Definisi


106

3.4.3, defek 𝛿(𝑅) dari daerah segibanyak konvek R adalah jumlah defek daerah triangular dari triangulasi bintang pada R.

□

Teorema 3.4.4 (Milman & Parker,1991: 267) Diberikan suatu daerah segibanyak konvek R dan l garis yang membagi R kedalam dua daerah 𝑅1 dan 𝑅2 , maka 𝛿(𝑅) = 𝛿(𝑅1 ) + 𝛿(𝑅2 ). Bukti : Ada tiga kasus berdasarkan apakah l memuat 0, 1, atau 2 titik sudut R. 1) l memuat 0 titik sudut R.

𝑃3

𝑃2 𝑅1 𝑃1

l

Q 𝑃 4 𝑅2

S

𝑃5 𝑃6 Gambar 3.4.7 Ilustrasi I Teorema 3.4.4 Ambil 𝑃1 dan 𝑃𝑛 sehingga l memotong sisi ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃𝑛 di S dan 𝑃1 − 𝑆 − 𝑃𝑛 . Garis l juga memotong sisi ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1 dengan 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 di titik Q dan 𝑃𝑘 − 𝑄 − 𝑃𝑘+1 . Maka 𝑅1 memiliki 𝑘 + 2 titik sudut dan 𝑅2 memiliki 𝑛 − 𝑘 + 2 titik sudut. Berdasarkan Lema 3.4.1,


𝑘

𝛿(𝑅1 ) = 180(𝑘) − 𝑚∠𝑄𝑆𝑃1 − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 − 𝑚∠𝑃𝑘 𝑄𝑆 𝑖=1 𝑛

𝛿(𝑅2 ) = 180(𝑛 − 𝑘) − 𝑚∠𝑆𝑄𝑃𝑘+1 − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=𝑘+1

−𝑚∠𝑃𝑛 𝑆𝑄 Karena 𝑃1 − 𝑆 − 𝑃𝑛 , maka 𝑚∠𝑃1 𝑆𝑄 + 𝑚∠𝑃𝑛 𝑆𝑄 = 180. Karena 𝑃𝑘 − 𝑄 − 𝑃𝑘+1 , maka 𝑚∠𝑃𝑘 𝑄𝑆 + 𝑚∠𝑆𝑄𝑃𝑘+1 = 180. Oleh karena itu 𝑘

𝛿(𝑅1 ) + 𝛿(𝑅2 ) = 180(𝑘) + 180(𝑛 − 𝑘) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=1 𝑛

− ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 − 𝑚∠𝑄𝑆𝑃1 − 𝑚∠𝑃𝑛 𝑆𝑄 𝑖=𝑘+1

−𝑚∠𝑃𝑘 𝑄𝑆 − 𝑚∠𝑆𝑄𝑃𝑘+1 𝑛

= 180(𝑛) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 − 360 𝑖=1 𝑛

= 180(𝑛 − 2) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=1

107


108

= 𝛿(𝑅)

2) l memuat 1 titik sudut R.

𝑃3

𝑃2 𝑅1

Q 𝑃1

𝑅2

𝑃4 l

𝑃5

𝑃6 Gambar 3.4.8 Ilustrasi II Teorema 3.4.4

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Ambil 𝑃1 ∈ 𝑙 dan l juga memotong sebuah sisi 𝑃 𝑘 𝑃𝑘+1 dengan 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 pada suatu titik Q dan 𝑃𝑘 − 𝑄 − 𝑃𝑘+1 . Maka 𝑅1 memiliki 𝑘 + 1 titik sudut dan 𝑅2 memiliki𝑛 − 𝑘 + 2 titik sudut. Berdasarkan Lema 3.4.1, 𝑘

𝛿(𝑅1 ) = 180(𝑘 − 1) − 𝑚∠𝑄𝑃1 𝑃2 − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 − 𝑚∠𝑃𝑘 𝑄𝑃1 𝑖=2 𝑛

𝛿(𝑅2 ) = 180(𝑛 − 𝑘) − 𝑚∠𝑃1 𝑄𝑃𝑘+1 − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=𝑘+1

−𝑚∠𝑃𝑛 𝑃1 𝑄 Karena Q didalam interior ∠𝑃1 , maka 𝑚∠𝑄𝑃1 𝑃2 + 𝑚∠𝑃𝑛 𝑃1 𝑄 = 𝑚∠𝑃1 .


109

Karena 𝑃𝑘 − 𝑄 − 𝑃𝑘+1 , maka 𝑚∠𝑃𝑘 𝑄𝑃1 + 𝑚∠𝑃1 𝑄𝑃𝑘+1 = 180. Oleh karena itu 𝑘

𝛿(𝑅1 ) + 𝛿(𝑅2 ) = 180(𝑘 − 1) + 180(𝑛 − 𝑘) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=2 𝑛

− ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 − 𝑚∠𝑄𝑃1 𝑃2 𝑖=𝑘+1

−𝑚∠𝑃𝑛 𝑃1 𝑄 − 𝑚∠𝑃𝑘 𝑄𝑃1 −𝑚∠𝑃1 𝑄𝑃𝑘+1 𝑛

= 180(𝑛 − 1) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 − 𝑚∠𝑃1 − 180 𝑖=2 𝑛

= 180(𝑛 − 2) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=1

= 𝛿(𝑅) 3) l memuat 2 titik sudut R. Untuk kasus 3 ini berlaku untuk daerah segibanyak dengan titik sudut 𝑛 ≥ 4. Karena untuk daerah segibanyak dengan titik sudut 3 atau daerah triangular, tidak ada garis l yang memotong daerah triangular dan memuat 2 titik sudut.


110

𝑃3

𝑃2

l 𝑃4 𝑃1 𝑃5 𝑃6 Gambar 3.4.9 Ilustrasi III Teorema 3.4.4

Ambil 𝑃1 , 𝑃𝑘 ∈ 𝑙 dengan 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1. Maka 𝑅1 memiliki k titik sudut dan 𝑅2 memiliki 𝑛 − 𝑘 + 2 titik sudut. Berdasarkan Lema 3.4.1 𝑘−1

𝛿(𝑅1 ) = 180(𝑘 − 2) − 𝑚∠𝑃𝑘 𝑃1 𝑃2 − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=2

−𝑚∠𝑃1 𝑃𝑘 𝑃𝑘−1 𝑛

𝛿(𝑅2 ) = 180(𝑛 − 𝑘) − 𝑚∠𝑃𝑛 𝑃1 𝑃𝑘 − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=𝑘+1

−𝑚∠𝑃1 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1 Karena 𝑃𝑘 di dalam interior ∠𝑃1 , maka 𝑚∠𝑃1 𝑃𝑘 𝑃𝑘−1 + 𝑚∠𝑃1 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1 = 𝑚∠𝑃𝑘 . Karena 𝑃1 di dalam interior ∠𝑃𝑘 , maka 𝑚∠𝑃𝑘 𝑃1 𝑃2 + 𝑚∠𝑃𝑛 𝑃1 𝑃𝑘 = 𝑚∠𝑃1 .


111

Oleh karena itu 𝑘−1

𝛿(𝑅1 ) + 𝛿(𝑅2 ) = 180(𝑘 − 2) + 180(𝑛 − 𝑘) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=2 𝑛

− ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 – 𝑚∠𝑃𝑘 𝑃1 𝑃2 − 𝑚∠𝑃𝑛 𝑃1 𝑃𝑘 𝑖=𝑘+1

−𝑚∠𝑃1 𝑃𝑘 𝑃𝑘−1 − 𝑚∠𝑃1 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1 𝑘−1

𝑛

= 180(𝑛 − 2) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 − ∑ ∠𝑃𝑖 𝑖=2

𝑖=𝑘+1

−𝑚∠𝑃1 − 𝑚∠𝑃𝑘 𝑛

= 180(𝑛 − 2) − ∑ 𝑚∠𝑃𝑖 𝑖=1

= 𝛿(𝑅)

Teorema 3.4.5 (Moise, 1990: 400) Jika 𝐾1 dan 𝐾2 adalah triangulasi terhadap daerah segibanyak yang sama R, maka 𝛿(𝐾1 ) = 𝛿(𝐾2 ). Bukti : Pembuktian teorema ini mirip dengan pembuktian pada Teorema 3.3.2. Ambil

□


112

𝑙1 , 𝑙2 , … , 𝑙𝑛 adalah garis yang memuat batas dari 𝐾1 atau batas dari 𝐾2 . 𝑙𝑖 membagi 𝑇𝑖 pada 𝐾1 (dan setiap 𝑇𝑗′ pada 𝐾2 ) ke dalam dua daerah konvek yang lebih kecil. Dari Teorema 3.4.4, diketahui bahwa setiap tahapan tersebut tidak mengubah total defek. Ketika semua garis telah digunakan, dibuat triangulasi bintang pada setiap daerah segibanyak konvek yang merupakan hasil dari proses di atas. Proses ini juga tidak mengubah total defek. Kemudian didapat subdivisi yang sama dari 𝐾1 dan 𝐾2 , yaitu 𝐾 sehingga 𝛿(𝐾) = 𝛿(𝐾1 ) dan 𝛿(𝐾) = 𝛿(𝐾2 ) Oleh karena itu 𝛿(𝐾1 ) = 𝛿(𝐾2 ).

Dari Teorema 3.4.5

diatas,

□

defek sembarang segibanyak dapat

didefinisikan seperti berikut.

Definisi 3.4.5 (Milman & Parker, 1991: 269) Total defek suatu daerah segibanyak R, 𝛿(𝑅) adalah jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi terhadap R.


113

Selanjutnya 𝛿(𝑅) akan didefinisikan sebagai fungsi luas sembarang daerah segibanyak R dengan menunjukan 𝛿(𝑅) memenuhi postulat luas A-1, A-2, A-3, dan A-4 (lihat sub bab 2.9).

Teorema 3.4.6 (Milman & Parker, 1991: 269) Dibawah HPP fungsi total defek 𝛿: ℛ ⟶ ℝ adalah fungsi luas. Bukti : (1) 𝛿 adalah fungsi ℛ ⟶ ℝ, dimana ℛ adalah himpunan semua daerah segibanyak dan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Berdasarkan Definisi 3.4.5, total defek suatu daerah segibanyak R, 𝛿(𝑅) adalah jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi terhadap R. Defek daerah triangular adalah bilangan real, sehingga defek daerah segibanyak juga merupakan bilangan real. Ini memenuhi postulat luas A-1. (2) Berdasarkan Definisi 3.4.5, 𝛿(𝑅) adalah jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi terhadap R. Defek daerah triangular T, 𝛿(𝑇) > 0. Akibatnya untuk setiap daerah segibanyak 𝑅, 𝛿(𝑅) > 0. Ini memenuhi postulat luas A-2. (3) Untuk setiap daerah triangular yang kongruen, maka keduanya memiliki luas yang sama. Ini memenuhi postulat luas A-3 (lihat pembuktian Teorema 3.2.5 langkah (3))


114

(4) Jika daerah segibanyak R dibagi ke dalam 𝑅1 dan 𝑅2 , berpotongan hanya pada batas dan titik sudutnya, maka 𝛿(𝑅) = 𝛿(𝑅1 ) + 𝛿(𝑅2 ) (memenuhi A-4).

□


BAB IV PENUTUP 4.1

Kesimpulan 1. Geometri hiperbolik adalah geometri yang berdasarkan pada postulat

kesejajaran

Lobachevsky.

Postulat

kesejajaran

Lobachevsky berisi, “Diasumsikan suatu garis l dan suatu titik P yang tidak pada l, paling tidak ada dua garis 𝑙 ′ , 𝑙′′ yang memuat P dan sejajar dengan l.” 2. Defek ∆𝐴𝐵𝐶 didefinisikan sebagai 180 − 𝑚∠𝐴 − 𝑚∠𝐵 − 𝑚∠𝐶. Nilai defek suatu segitiga merupakan suatu bilangan real dan selalu positif karena dalam geometri hiperbolik 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 < 180. Untuk setiap bilangan 𝑥 < 180, ada segitiga yang memiliki defek lebih besar dari 𝑥. Dengan kata lain bahwa ada segitiga yang memiliki defek mendekati 180. Defek 𝛿(𝑅) dari daerah segibanyak konvek R adalah jumlah defek dari daerah triangular dari triangulasi bintang pada R. Untuk defek sembarang daerah segibanyak didefinisikan sebagai berikut. Total defek suatu daerah segibanyak R, 𝛿(𝑅), adalah jumlah defek daerah

triangular

dari

sembarang triangulasi

115

terhadap

R.


116

3. Defek suatu segitiga memenuhi postulat luas. Sehingga luas suatu daerah segitig a atau daerah triangular didefinisikan sebagai defek dari segitiga yang bersesuaian. Defek dari suatu daerah segibanyak juga memenuhi pustulat luas. Sehingga luas dearah segibanyak didefinisikan sebagai total defek suatu daerah segibanyak R, 𝛿(𝑅), yaitu jumlah defek daerah triangular dari sembarang triangulasi terhadap R. 4.2

Saran Pada skripsi ini hanya dibahas luas pada geometri hiperbolik secara teori. Untuk pembahasan selanjutnya, dapat dibahas ukuran luas geometri hiperbolik pada bidang kompleks. Materi ini akan banyak menggunakan materi kalkulus dan bilangan kompleks. Materi ini dapat ditemukan dalam buku Hyperbolic Geometry Second Edition, karangan James W. Anderson (2005).


DAFTAR PUSTAKA Anderson, J.W. (2005). Hyperbolic Geometry Second Edition. London : SpringerVerlag Bartle, R.G., & Sherbert, D.R. (2011). Introduction to Real Analysis Fourth Edition. Urbana : John Wiley & Sons, Inc Greenberg, M.J. (1980). Euclidean and Non Euclidean Geometries : Development and History. San Fransisco : W.H. Freeman and Company Millman, R.S., & Parker, G.D. (1991). Geometry : A Metric Approach with Model Second Edition. New York : Springer Moise, E.E. (1990). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint Third Edition. Reading : Addison-Wesley Publishing Company Prenowitz, W., & Jordan, M. (1965). Basic Concepts of Geometry. Massachusetts: Blaisdell Publishing Company

117

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents