PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

KONTROL OPTIMAL GLUKOSA DARAH DALAM PENGOBATAN DIABETES MELLITUS MENGGUNAKAN SISTEM KONTROL REGULATOR KUADRATIK LINEAR

SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Indra Kurniawan NIM: 113114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015

i


BLOOD GLUCOSE OPTIMAL CONTROL IN DIABETES MELLITUS TREATMENT USING LINEAR QUADRATIC REGULATOR CONTROL SYSTEM

A THESIS Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program

Written by: Indra Kurniawan Student ID: 113114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2015

ii


iii


iv


LEMBAR PERSEMBAHAN

Karya ini sebagai bukti kasih setia Yesus Kristus di dalam hidupku

‘Karena begitu besar kasih Allah akan dunia ini, sehingga Ia telah mengaruniakan anak-Nya yang tunggal, supaya setiap orang yang percaya kepada-Nya tidak binasa, melainkan beroleh hidup yang kekal.’ (Yohanes 3:16)

‘Tetapi carilah dahulu kerajaan Allah dan kebenarannya, maka semuanya akan ditambahkan kepadamu’ (Matius 6:33)

Karya ini aku persembahkan untuk : Orang-orang terkasih: bapak, ibu, dan adikku Sahabat-sahabatku matematika 2011: Ensi, Bayu, Heri Teman-teman angkatan 2009, 2010, dan 2012: Ochie, Marshel, Happy, Tika

v


vi


ABSTRAK Indra Kurniawan. 2015. Kontrol Optimal Glukosa Darah Dalam Pengobatan Diabetes Mellitus Menggunakan Sistem Kontrol Regulator Kuadratik Linear. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah kontrol optimal gula darah dalam pengobatan diabetes mellitus. Diabetes mellitus merupakan suatu penyakit kelebihan kadar glukosa darah yang dapat mengakibatkan berbagai penyakit lain bahkan kematian. Tulisan ini akan membahas mengenai cara mengontrol kadar glukosa darah agar berada di interval yang diinginkan yaitu 3,9-10 mmol/L. Dalam hal ini, kontrol glukosa darah dapat dipresentasikan dalam sistem kontrol regulator kuadratik linear menggunakan model glukosa darah Ackerman. Model glukosa darah Ackerman menggunakan satu kontrol yaitu insulin dan dua variabel keadaan yaitu kadar glukosa darah dan kadar efek hormon di dalam tubuh. Model tersebut akan meminimumkan fungsi tujuan berupa penyimpangan kadar glukosa darah dari kadar yang diinginkan dan kadar insulin yang diberikan kepada pasien diabetes mellitus. Kadar glukosa darah yang diperoleh dari penyelesaian sistem kontrol regulator kuadratik linear merupakan kadar glukosa darah yang optimal dengan kadar tranfusi insulin yang minimal. Dengan demikian, sistem dan model ini dapat membantu dalam menentukan kadar insulin yang mengontrol kadar glukosa darah agar selalu di interval normal. Selain itu, kelebihan insulin yang dapat menyebabkan penyakit lain dapat dihindari dengan menggunakan kontrol ini. Kata kunci: diabetes mellitus, kontrol optimal, sistem kontrol regulator kuadratik linear, model glukosa darah, kontrol glukosa darah

vii


ABSTRACT Indra Kurniawan. 2015. Blood Glucose Optimal Control In Diabetes Mellitus Treatment Using Linear Quadratic Regulator Control System. A Thesis. Mathematics Study Program, Departement of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta. The topic of this thesis is blood glucose optimal control in diabetes mellitus treatment. Diabetes mellitus is a disease due to excess blood glucose level which can lead to a variety of other diseases and even death. This paper will discuss how to control blood glucose level such that in the desired interval of 3.9-10 mmol/L. In this case, the control of blood glucose can be presented as an control system using the linear quadratic regulator of blood glucose Ackerman model. Ackerman model blood glucose use a single control, namely insulin and two state variables, namely blood glucose level and the effects of hormone level in the body. The model will minimize the objective function which are a deviation of blood glucose level from the desired level and insulin level given to diabetes mellitus patients. Blood glucose level obtained from the solution of the linear quadratic regulator optimal control system is optimal blood glucose level with minimal insulin transfusion level. Thus, the system and this model can help determining the insulin level that controls blood glucose level always in the normal interval. In addition, excess insulin due to insulin administration from outside led to other illnesses can be avoided using this control. Keyword: diabetes mellitus, optimal control, linear quadratic regulator control system, blood glucose model, blood glucose control

viii


KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah melimpahkan berkat dan kasihNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. 2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing skripsi dan Ketua Program Studi Matematika yang telah meluangkan banyak waktu dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran. 3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik. 4. Bapak, Ibu, dan Romo dosen-dosen yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis. 5. Kedua orang tua, Bapak Blasius Bheri dan Ibu Lusi Bachtiar, yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi. 6. Teman-temanku; Ensi, Heri, dan Bayu, terima kasih untuk canda tawa, kebersamaan, dan semangat yang selalu diberikan pada penulis 7. Teman-teman angkatan 2009, 2010, 2012 dan 2013, terima kasih untuk doa, semangat, dan keceriaan yang selalu diberikan kepada penulis. 8. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

ix


Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca. Yogyakarta, 26 Juni 2015

Penulis

x


xi


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL

i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING

iii

HALAMAN PENGESAHAN

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

vi

ABSTRAK

vii

ABSTRACT

viii

KATA PENGANTAR

ix

PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

xi

DAFTAR ISI

xii

DAFTAR GAMBAR

xv

DAFTAR TABEL

xvi

DAFTAR LAMPIRAN

xvii

BAB 1

PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang ………………………………………………………..

1

1.1.1

Diabetes Mellitus ……………………………………………

1

1.1.2

Diagnosis Diabetes Mellitus ………………………………...

6

1.1.3

Komplikasi Diabetes Mellitus ………………………………

7

1.1.4

Terapi Diabetes Mellitus …………………………………….

9

xii


1.1.5

Kontrol Glukosa Darah Pada Penderita Diabetes Mellitus ….

10

1.2 Rumusan Masalah …………………………………………………….

16

1.3 Pembatasan Masalah ………………………………………………….

16

1.4 Tujuan Penulisan ……………………………………………………...

16

1.5 Manfaat Penulisan …………………………………………………….

17

1.6 Metode Penulisan ……………………………………………………..

17

1.7 Sistematika Penulisan ………………………………………………...

17

BAB 2

LANDASAN TEORI

19

2.1 Optimisasi Menggunakan Kalkulus …………………………………..

19

2.1.1

Fungsi Satu Variabel ………………………………………...

19

2.1.2

Fungsi Beberapa Variabel …………………………………...

24

2.2 Matriks Definit Positif dan Definit Negatif …………………………..

29

2.3 Optimisasi Menggunakan Kalkulus Variasi ………………………….

45

BAB 3

SISTEM KONTROL OPTIMAL KUADRATIK LINEAR

3.1 Kontrol Optimal ………………………………………………………

51 51

3.1.1

Sistem ………………………………………………………..

51

3.1.2

Indeks Peforma ……………………………………………...

52

3.1.3

Kendala Pada Variabel Keadaan Dan Atau Variabel Kontrol

52

3.2 Prinsip Minimum Pontryagin …………………………………………

53

3.2.1

Asumsi Kondisi Optimal ……………………………………

54

3.2.2

Gangguan Dari Kontrol dan Keadaan ……………………….

54

xiii


3.2.3

Pengali Langrange dan Langrangian ………………………..

55

3.2.4

Variasi Pertama ……………………………………………...

57

3.2.5

Syarat Untuk Ekstrim ……………………………………….

58

3.2.6

Hamiltonian …………………………………………………

60

3.3 Sistem Kontrol Kuadratik Linear ……………………………………..

70

3.3.1

Formulasi Masalah Regulator Kuadratik Linear ……...…….

70

3.3.2

Masalah Regulator Kuadratik Linear Dengan Waktu

71

Berhingga dan Invariant ……………………………………. 3.3.3

Masalah Regulator Kuadratik Linear Dengan Waktu

76

Takhingga dan Invariant ……………………………………. BAB 4

SISTEM KONTROL OPTIMAL GLUKOSA DARAH PADA

82

PENGOBATAN DIABETES MELLITUS 4.1 Model Kadar Glukosa Darah …………………………………………

82

4.2 Sistem Regulator Linear Kuadratik Pada Masalah Kontrol Optimal

86

Di Bidang Biomedical ………………………………………………... 4.3 Kontrol Optimal Untuk Kadar Glukosa Darah ……………………… BAB 5

PENUTUP

89 103

5.1 Kesimpulan …………………………………………………………...

103

5.2 Saran ………………………………………………………………….

104

DAFTAR PUSTAKA

105

xiv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1

Interval Kadar Glukosa Darah . . . . . . . . . . . . . . . .

Gambar 2

Sistem Kontrol Regulator Glukosa Darah . . . . . . . . . . 12

Gambar 3

Anatomi Mekanisme regulasi Glukosa Darah Intrinsik . . . 14

Gambar 4

Masalah Brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Gambar 5

Syarat Titik Akhir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Gambar 6

Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.1 . . . . . . . . . . . . . 65

Gambar 7

Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.1 . . . . . . . . . . . . 65

Gambar 8

Grafik Adjoint Optimal Contoh 3.1 . . . . . . . . . . . . . 66

Gambar 9

Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.2 . . . . . . . . . . . . . 69

8

Gambar 10 Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.2 . . . . . . . . . . . . 69 Gambar 11 Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.3 . . . . . . . . . . . . . 76 Gambar 12 Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.3 . . . . . . . . . . . . 77 Gambar 13 Grafik Keadaan Optimal dan Kontrol Optimal Contoh 3.4 . 81 Gambar 14 Absorbsi Glukosa dan Hormon . . . . . . . . . . . . . . . 84 Gambar 15 Grafik Kadar Insulin dan Glukosa Darah . . . . . . . . . . 101

xv


DAFTAR TABEL Tabel 4.1

Nilai Parameter Model Ackerman …………………………………

xvi

86


DAFTAR LAMPIRAN Lampiran A Lampiran B

PROGRAM M-FILE …………………………………………... PERHITUNGAN DAN MANIPULASI ALJABAR …………..

xvii

107 118


BAB 1 PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang

1.1.1

Diabetes Mellitus

Diabetes mellitus didefinisikan sebagai suatu penyakit atau gangguan metabolisme kronis dengan multi etiologi yang ditandai dengan tingginya kadar gula darah disertai dengan gangguan metabolisme karbohidrat, lipid, dan protein sebagai akibat insufisiensi fungsi insulin. Insufisiensi fungsi insulin dapat disebabkan oleh gangguan atau defisiensi produksi insulin oleh sel-sel beta Langerhans kelenjar pankreas, atau disebabkan oleh kurang responsifnya sel-sel tubuh terhadap insulin. (Direktorat Bina Farmasi Komunitas dan Klinik Direktorat Jenderal Bina Kefarmasian Dan Alat Kesehatan Departemen Kesehatan RI, 2005). Diabetes berasal dari kata bahasa Yunani kuno yang berarti siphon atau pipa karena pasien diabetes mempunyai gejala banyak minum sehingga banyak buang air kecil pula. Mellitus berasal dari bahasa Latin yang berarti honey atau madu karena urin pasien diabetes berisi banyak gula. Diabetes mellitus diperkirakan telah ada sejak manusia ada. Salah satu papirus di Mesir pada tahun 1500 SM menyebut gejala sering buang air kecil. Pada tahun 400 SM gejala diabetes disebutkan dalam Susruta (dokumen Hindu kuno). Dokumen paling jelas yang menyebutkan tentang diabetes mellitus diberikan oleh Aretaeus dari Cappadocia (seorang dokter abad kedua pada saat kekaisaran Nero). Selama berabad-abad, satu-satunya pengobatan yang tersedia untuk pasien dengan diabetes mellitus adalah puasa. Jika diabetes mellitus memburuk, maka dianjurkan puasa yang lebih lama. Penemuan insulin di Universitas Toronto pada tahun 19211922 adalah salah satu tonggak paling penting dalam sejarah kedokteran (Frederick

1


Chee dan Tyrone Fernando, 2007). Pada tahun 1921, 2 dokter dari Toronto, Kanada yaitu Frederick Banting dan Charles Herbert Best berhasil menemukan hormon insulin dalam pankreas yang berperan besar dalam mengatur kadar glukosa darah dalam tubuh. Hormon ini menfasilitasi jaringan menyerap glukosa untuk menghasilkan energi. Atas jasanya, kedua dokter tersebut dianugerahi Hadiah Nobel pada tahun 1923. Penderita diabetes mellitus di dunia berdasarkan data International Diabetes Federation adalah sebanyak 382 juta di tahun 2013 dan diperkirakan akan meningkat menjadi 592 juta di tahun 2030. Penderita diabetes mellitus di Indonesia sebanyak 8,4% di tahun 2015 dan diperkirakan meningkat menjadi 21,3 % di tahun 2030. Selain itu, menurut Badan Kesehatan Dunia (WHO) lebih dari 80% kematian akibat diabetes mellitus terjadi pada negara berpenghasilan rendah dan menengah. Secara umum diabetes mellitus diklasifikasikan menjadi 2 jenis yaitu diabetes mellitus tipe 1 dan diabetes mellitus tipe 2. Pada diabetes mellitus tipe 1 produksi insulin yang dihasilkan oleh tubuh berkurang. Pada diabetes mellitus tipe 2 respon tubuh terhadap insulin berkurang. Selain 2 tipe tersebut terdapat jenis diabetes lainnya seperti diabetes mellitus gestasional dan pra-diabetes. Diabetes Mellitus Tipe 1 Diabetes mellitus tipe 1 merupakan diabetes yang jarang atau sedikit populasinya, diperkirakan kurang dari 5-10 % dari keseluruhan populasi penderita diabetes mellitus. Pada diabetes mellitus tipe 1 terjadi gangguan produksi insulin yang diakibatkan oleh kerusakan sel-sel β pulau Langerhans oleh reaksi otoimun. Serangan otoimun secara selektif menghancurkan sel-sel β . Namun ada pula yang disebabkan oleh bermacam-macam virus, antara lain: virus Cocksakie, Rubella, CMVirus, dan Herpes. Destruksi otoimun dari sel-sel β pulau Langerhans kelenjar pankreas meng2


akibatkan defisiensi sekresi insulin. Defisiensi insulin inilah yang menyebabkan gangguan metabolisme yang menyertai diabetes melitus tipe 1. Selain defisiensi insulin, fungsi sel-sel α pulau Langerhans pada penderita diabetes mellitus tipe 1 juga menjadi tidak normal. Pada penderita diabetes mellitus tipe 1 ditemukan sekresi glukagon yang berlebihan oleh sel-sel α pulau Langerhans. Secara normal, jika kadar glukosa darah tinggi (> 10 mmol/L) maka sekresi glukagon akan turun, namun pada penderita diabetes mellitus tipe 1 hal ini tidak terjadi, sekresi glukagon tetap tinggi. Salah satu akibat dari keadaan ini adalah cepatnya penderita diabetes mellitus tipe 1 mengalami ketoasidosis diabetik apabila tidak mendapat terapi insulin. Ketoasidosis adalah suatu keadaan darurat medik akibat gangguan metabolisme glukosa dengan tanda-tanda hiperglikemia (kadar gula darah > 16, 65 mmol/L), hiperketonemia (kadar bikarbonat darah < 15 mEq/L) dan asidosis metabolik (pH darah < 7,3). Apabila diberikan terapi somatostatin untuk menekan sekresi glukagon, maka akan terjadi penekanan terhadap kenaikan kadar gula dan badan keton. Somatostatin merupakan hormon yang dihasilkan oleh pulau Langerhans dan berfungsi untuk menghambat sekresi insulin dan glukagon. Salah satu masalah jangka panjang pada penderita diabetes mellitus tipe 1 adalah rusaknya kemampuan tubuh untuk mensekresi glukagon. Defisiensi sekresi insulin merupakan masalah utama pada diabetes mellitus. Defisiensi sekresi insulin dapat mengakibatkan terjadinya penurunan kemampuan selsel sasaran untuk merespon terapi insulin yang diberikan. Defisiensi insulin menyebabkan meningkatnya asam lemak bebas di dalam darah sebagai akibat dari pemecahan lemak (lipolisis) yang tidak terkendali di jaringan adiposa. Asam lemak bebas di dalam darah akan menekan metabolisme glukosa di jaringan-jaringan perifer seperti misalnya di jaringan otot rangka. Dengan kata lain asam lemak bebas akan menurunkan penggunaan glukosa oleh tubuh. Defisiensi insulin juga akan menurunkan ekskresi dari beberapa gen yang diperlukan sel-sel sasaran untuk me3


respon insulin secara normal, misalnya gen glukokinase di hati dan gen GLUT4 (protein transporter yang membantu transport glukosa di sebagian besar jaringan tubuh) di jaringan adiposa. Diabetes Mellitus Tipe 2 Diabetes mellitus tipe 2 merupakan tipe diabetes yang lebih umum dan lebih banyak penderitanya dibandingkan dengan diabetes mellitus tipe 1. Penderita diabetes mellitus tipe 2 umumnya berusia di atas 45 tahun, tetapi akhir-akhir ini penderita diabetes mellitus tipe 2 di kalangan remaja dan anak-anak populasinya meningkat. Faktor genetik dan pengaruh lingkungan cukup besar dalam menyebabkan terjadinya diabetes mellitus tipe 2. Faktor-faktor tersebut antara lain obesitas, diet tinggi lemak dan rendah serat, serta kurang gerak badan. Berbeda dengan diabetes tipe 1, pada penderita diabetes tipe 2, terutama yang berada pada tahap awal, umumnya dapat dideteksi jumlah insulin yang cukup di dalam darahnya, disamping kadar glukosa yang juga tinggi. Jadi, diabetes tipe 2 bukan disebabkan oleh kurangnya sekresi insulin, tetapi karena sel-sel sasaran insulin gagal atau tak mampu merespon insulin secara normal. Keadaan ini lazim disebut sebagai resistensi insulin. Resistensi insulin banyak terjadi sebagai akibat dari obesitas, gaya hidup kurang gerak dan penuaan. Selain resistensi insulin, pada penderita diabetes mellitus tipe 2 juga sering timbul defisiensi insulin. Namun, pada penderita diabetes mellitus tipe 2 tidak terjadi kerusakan sel-sel β Langerhans. Dengan demikian defisiensi fungsi insulin pada penderita diabetes mellitus tipe 2 hanya bersifat relatif. Oleh sebab itu dalam penanganan diabetes mellitus tipe 2 umumnya tidak memerlukan terapi pemberian insulin. Sel-sel β kelenjar pankreas mensekresi insulin dalam dua fase. Fase pertama sekresi insulin terjadi segera setelah stimulus atau rangsangan glukosa yang ditan4


dai dengan meningkatnya kadar glukosa darah, sedangkan sekresi fase kedua terjadi sekitar 20 menit sesudahnya. Pada awal perkembangan diabetes mellitus tipe 2, sel-sel β menunjukkan gangguan pada sekresi insulin fase pertama, artinya sekresi insulin gagal mengkompensasi resistensi insulin. Apabila tidak ditangani dengan baik, penderita diabetes mellitus tipe 2 akan mengalami kerusakan sel-sel β pankreas secara progresif, yang seringkali akan mengakibatkan defisiensi insulin, sehingga akhirnya penderita memerlukan insulin dari luar. Diabetes Mellitus Gestasional Diabetes mellitus gestasional adalah keadaan diabetes atau intoleransi glukosa yang timbul selama masa kehamilan, dan biasanya berlangsung hanya sementara. Diabetes gestasional umumnya dapat pulih sendiri beberapa saat setelah melahirkan, namun dapat berakibat buruk terhadap bayi yang dikandung. Selain itu, wanita yang pernah menderita diabetes mellitus gestasional akan lebih besar resikonya untuk menderita diabetes lagi di masa depan. Pra-diabetes Pra-diabetes adalah kondisi dimana kadar gula darah seseorang berada diantara kadar normal dan diabetes, lebih tinggi daripada normal tetapi tidak cukup tinggi untuk dikategorikan ke dalam diabetes mellitus tipe 2. Ada dua tipe kondisi pradiabetes, yaitu: • Impaired Fasting Glucose (IFG) atau Glukosa Puasa Terganggu (GPT): Keadaan dimana kadar glukosa darah puasa seseorang sekitar 5,5-6,9 mmol/L (kadar glukosa darah puasa normal: < 5, 5 mmol/L). • Impaired Glucose Tolerance (IGT) atau Toleransi Glukosa Terganggu (TGT): Keadaan dimana kadar glukosa darah seseorang pada uji toleransi glukosa

5


berada di atas normal tetapi tidak cukup tinggi untuk dikategorikan ke dalam kondisi diabetes. Diagnosa IGT ditetapkan apabila kadar glukosa darah seseorang 2 jam setelah mengkonsumsi 75 gram glukosa per oral berada diantara 7,7-10 mmol/L. Sebagai catatan ada 2 satuan yang digunakan sebagai satuan kadar glukosa darah yaitu mmol/L dan mg/dL. Satuan mmol/L merupakan satuan standar internasional dan banyak digunakan pada jurnal-jurnal ilmiah sedangkan satuan mg/dL digunakan di Indonesia sebagian satuan standar. Satuan mmol/L dapat dikonversi ke mg/dL dengan cara mengalikannya dengan 18. Misalnya, 11,1 mmol/L sama dengan 200 mg/dL. Pada tulisan ini akan digunakan kedua satuan tersebut. Apabila satuan yang tertera tidak sesuai dengan kebutuhan maka pembaca dapat mengkonversi sendiri dengan aturan konversi yang telah dijelaskan. 1.1.2

Diagnosis Diabetes Mellitus

Salah satu cara mendiagnosa diabetes mellitus yaitu dengan melakukan Oral Glucose Tolerance Test (OGTT) atau yang lebih dikenal dengan Glucose Tolerance Test (GTT). Glucose Tolerance Test (GTT) biasanya dilakukan pada kasus kadar glukosa sewaktu (kadar glukosa saat pemeriksaan) 7,7-11,1 mmol/L, atau kadar glukosa puasa (kadar glukosa darah setelah seseorang tidak makan selama 8-12 jam) antara 6,1-6,9 mmol/L, atau bila ada glukosuria (ekskresi glukosa ke dalam urin) yang tidak jelas sebabnya. Uji ini dapat diindikasikan pada penderita yang gemuk dengan riwayat keluarga diabetes, pada penderita penyakit vaskular (penyakit yang mempengaruhi sistem peredaran darah), atau neurologik (penyakit yang mempengaruhi sistem saraf). GTT juga dapat diindikasikan untuk diabetes pada kehamilan (diabetes gestasional). Selama 3 hari sebelum melakukan tes GTT pasien harus mengkonsumsi sekitar 150 gram karbohidrat setiap hari. Terapi obat yang dapat mempengaruhi hasil labo6


ratorium harus dihentikan sampai tes dilaksanakan. Beberapa jenis obat yang dapat mempengaruhi hasil laboratorium adalah insulin, kortikosteroid (kortison), kontrasepsi oral, estrogen, anticonvulsant (obat untuk mengobati atau mencegah kejang), diuretik (obat untuk mensekresi urin lebih banyak), tiazid, salisilat, asam askorbat. Selain itu pasien juga tidak boleh minum alkohol. Kekurangan karbohidrat dan tidak ada aktifitas atau tirah baring juga dapat mengganggu toleransi glukosa. Oleh karena itu tes GTT tidak boleh dilakukan pada pasien yang sedang sakit, sedang dirawat baring atau yang tidak boleh turun dari tempat tidur. Sebelum dilakukan tes, pasien harus berpuasa selama 12 jam. Pengambilan sampel darah dilakukan sebagai berikut: • Pagi hari setelah puasa, pasien diambil darah vena 3-5 ml untuk uji glukosa darah puasa. Pasien mengosongkan kandung kemihnya dan mengumpulkan sampel urinnya. • Pasien diberikan minum glukosa 75 gram yang dilarutkan dalam segelas air (250 ml). • Setelah

1 2

jam, 1 jam, 1 12 jam, dan 2 jam, pasien diambil darah untuk peme-

riksaan glukosa. Pada waktu 1 jam dan 2 jam pasien mengosongkan kandung kemihnya dan mengumpulkan sampel urinnya secara terpisah. • Selama tes GTT dilakukan, pasien tidak boleh minum kopi, teh, makan permen, merokok, berjalan-jalan, atau melakukan aktifitas fisik yang berat. Minum air putih yang tidak mengandung gula masih diperkenankan. 1.1.3

Komplikasi Diabetes Mellitus

Kadar glukosa darah orang sehat adalah 3,9-5,5 mmol/L. Apabila kadar glukosa darah berada di luar level tersebut maka akan terjadi komplikasi diabetes yaitu hipoglikemia dan hiperglikemia. (lihat gambar 1). 7

III. QUANTIFYING CHARACTERISTICS OF DIABETES The range of BG in a living human is approximately 1.1 to 33.3 millimoles per liter (mmol/L), and the safe (target) range is considered to be 3.9 to 10 mmol/L, using Syste`me International (SI) units. Low BG levels, with values below 3.9 mmol/L, correspond to a condition called hypoglycemia. High BG levels, with values above 10 mmol/L, correspond to a condition defined as hyperglycemia (see Figure 5-1).

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI The first thing to do with a patient with indications of diabetes is to determine his or her BG level. This is not as simple as it might seem, because the BG level fluctuates throughout the day. A healthy person’s

Hypo

1.1

Target

3.9

Hyper

10

33.3

BG [mmol/L] FIGURE 5-1. BG ranges based on Syste`me International (SI) millimole per liter units.

Gambar 1: Interval Kadar Glukosa Darah

Hipoglikemia Pada hipoglikemia, kadar glukosa plasma di antara 1,1-3.9 mmol/L. Kadar glukosa darah yang terlalu rendah menyebabkan sel-sel otak tidak mendapat pasokan energi sehingga tidak dapat berfungsi bahkan dapat rusak. Keadaan hipoglikemia parah bahkan dapat menyebabkan kematian. Serangan hipoglikemia pada penderita diabetes umumnya terjadi apabila penderita: • Lupa atau sengaja meninggalkan makan (pagi, siang atau malam) • Makan terlalu sedikit, lebih sedikit dari yang disarankan oleh dokter atau ahli gizi • Berolah raga terlalu berat • Mengkonsumsi obat anti diabetes dalam dosis lebih besar dari pada seharusnya • Minum alkohol • Stres • Mengkonsumsi obat-obatan lain yang dapat meningkatkan risiko hipoglikemia • Mendapat dosis insulin yang berlebihan

8


Hiperglikemia Hiperglikemia adalah keadaan dimana kadar gula darah melonjak secara tiba-tiba. Keadaan ini dapat disebabkan antara lain oleh stres, infeksi, dan konsumsi obatobatan tertentu. Hiperglikemia terjadi ketika kadar glukosa darah lebih dari 10 mmol/L. Hipergikemia dapat memperburuk gangguan-gangguan kesehatan seperti gastroparesis (kelumpuhan lambung) dan infeksi jamur pada vagina. Hiperglikemia yang berlangsung lama dapat berkembang menjadi keadaan metabolisme yang berbahaya, antara lain ketoasidosis diabetik yang dapat berakibat fatal dan membawa kematian. 1.1.4

Terapi Diabetes Mellitus

Terapi diabetes mellitus memiliki 2 tujuan yaitu: 1. Menjaga agar kadar glukosa darah berada dalam kisaran normal 2. Mencegah atau meminimalkan kemungkinan terjadinya komplikasi diabetes. Kadar glukosa darah perlu dijaga dalam kadar normal karena 1. konsentrasi glukosa yang tinggi menyebabkan tekanan osmotik di cairan ekstraseluler sehingga menyebabkan dehidrasi seluler. Kadar glukosa darah yang berlebihan ini menyebabkan hilangnya glukosa melalui buang air kecil (glikosuria) yang mengarah ke diuresis osmotik (hilangnya cairan dan elektrolit dari dalam tubuh), 2. terlalu rendah kadar glukosa membawa resiko koma hipoglikemia, 3. konsentrasi glukosa darah yang terlalu tinggi (> 11,1 mmol/L) dapat mempengaruhi penyembuhan luka dan mengganggu fungsi neutrofil (bagian sel darah putih) manusia, 9


4. terapi yang mempertahankan kadar glukosa darah di bawah 11,9 mmol/L meningkatkan hasil terapi jangka panjang pada pasien diabetes dengan infark miokard akut (keadaan dimana otot jantung tiba-tiba tidak mendapat suplai darah akibat penyumbatan mendadak arteri koroner oleh gumpalan darah karena pecahnya plak). Pada dasarnya ada 2 pendekatan terapi diabetes mellitus yaitu terapi tanpa obat dan terapi dengan obat. Terapi diabetes mellitus tanpa obat dilakukan dengan diet dan olahraga. Terapi diabetes mellitus dengan obat dilakukan dengan terapi insulin, terapi hipoglikemik oral, atau kombinasi keduanya. Pada penderita diabetes mellitus tipe 1 tubuh gagal memproduksi insulin sehingga dibutuhkan terapi insulin. Pada umumnya penderita diabetes mellitus tipe 2 tidak membutuhkan terapi insulin. Namun, dalam beberapa kasus penderita diabetes mellitus tipe 2 membutuhkan terapi insulin karena juga sering timbul defisiensi insulin. 1.1.5

Kontrol Glukosa Darah Pada Penderita Diabetes Mellitus

Terapi insulin merupakan suatu keharusan bagi penderita diabetes mellitus tipe 1. Pada diabetes mellitus tipe 1, sel-sel β Langerhans kelenjar pankreas penderita rusak, sehingga tidak lagi dapat memproduksi insulin. Sebagai penggantinya, maka penderita diabetes mellitus tipe 1 harus mendapat insulin dari luar untuk membantu agar metabolisme karbohidrat di dalam tubuhnya dapat berjalan normal. Walaupun sebagian besar penderita diabetes mellitus Tipe 2 tidak memerlukan terapi insulin, namun hampir 30% ternyata memerlukan terapi insulin disamping terapi hipoglikemik oral. Terapi insulin diindikasikan untuk 1. Semua penderita diabetes mellitus tipe 1 karena produksi insulin oleh sel-sel β kelenjar pankreas tidak ada atau hampir tidak ada.

10


2. Penderita diabetes mellitus tipe 2 tertentu karena terapi lain yang diberikan tidak dapat mengontrol kadar glukosa darah. 3. Keadaan stres berat, seperti pada infeksi berat, tindakan pembedahan, infark miokard akut atau stroke. 4. Diabetes mellitus gestasional dan penderita diabetes mellitus yang hamil, apabila diet saja tidak dapat mengendalikan kadar glukosa darah. 5. Ketoasidosis diabetik. 6. Pengobatan sindroma hiperglikemia hiperosmolar non-ketotik. Hiperglikemia hiperosmolar non-ketotik adalah komplikasi diabetes mellitus yang ditandai dengan peningkatan konsentrasi glukosa darah yang ekstrim yang disertai dengan meningkatnya dehidrasi hipertonik (berkurangnya cairan berupa hilangnya air lebih banyak daripada natrium) dan tanpa disertai ketosis serum (kadar bikarbonat darah < 15 mEq/L). 7. Penderita diabetes yang mendapat nutrisi parenteral (nutrisi yang dimasukkan ke pembuluh darah) atau yang memerlukan suplemen tinggi kalori untuk memenuhi kebutuhan energi yang meningkat. 8. Gangguan fungsi ginjal atau hati yang berat. 9. Kontra indikasi atau alergi terhadap obat hipoglikemik oral. Namun, para peneliti dalam beberapa dekade terakhir telah menemukan bahwa penggunaan insulin saja tidak cukup untuk pasien diabetes terutama pada kasus munculnya komplikasi mikrovaskuler diabetes. Komplikasi mikrovaskuler ini termasuk retinopati (gangguan penglihatan), nefropati (penyakit ginjal) dan neuropati (kerusakan saraf). Penelitian pada pasien diabetes tipe 1 dan tipe 2 pasien ditemukan perkembangan komplikasi serius dapat ditunda dengan terapi insulin intensif. 11


2 Input insulin and Output TerapiGlucose intensif ini Control: termasuk pemberian tiga kali atau lebih setiap hari oleh injeksi atau pompa insulin dari luar. Dalam usaha terapi insulin intensif tersebut, peneliti mencoba membuat pengaturan otomatis kadar glukosa darah pasien yang mengatur infusi insulin secara otomatis seperti menyetir glukosa darah menuju kadar yang diinginkan. Pengaturan kadar glukosa tersebut disebut sistem kontrol regulator glukosa darah. Sistem kontrol regulator glukosa darah membutuhkan minimal tiga komponen, yaitu, sensor 2.1 Introduction glukosa darah yang memberikan informasi mengenai glukosa darah secara Automatic regulation of a patient’s blood glucose (BG) kadar level requires a minimum of three components, namely, a continuous BG sensor, a controller that matches

terus BG menerus, pengendali yang mencocokkan kadar darah dengan tingkat level with an appropriate insulin delivery rate,glukosa and an infusion pump to deliver the insulin to the subject.

insulin, Shown dan pompa untuk memberikan insulin here isinfus a simple model of the control loop:ke pasien (lihat gambar 2). Sensor

Controller

Pump

Patient

As the variable to be controlled is a patient’s BG level, a knowledge of the Gambar 2: Sistem Kontrol Regulator Glukosa Darah BG is required. This is provided by a glucose sensor, and represents the input to the control system. Since insulin is used to lower a high BG level, the rate of insulin delivery represents the output of the control system. The patient is the Kadar glukosa darah merupakan variabel yang dikontrol sehingga diperlukan “plant” to be controlled in control system terminology. The controller is the component of the system that regulates the blood gluinformasi mengenai glukosa darah. Informasi ini rule disediakan sensor cose levels in the kadar patient. The formulation of the control depends oleh on the knowledge we have about the sensor, the pump and the patient - and specifiglukosa, masukan untukthesistem kontrol. Insulinof digunakan cally,dan themerupakan BG measurement methods, type (or preparation) insulin used,untuk the route of infusion, and the patient’s characteristics. Various BG measuremenurunkan kadar glukosa darah yang makacharacteristics. tingkat pengiriman insulin mement techniques exist, and each has tinggi its unique As for insulin,

rupakan luaran dari sistem kontrol regulator ini. Sementara itu, pengendali adalah F. Chee & T. Fernando: Closed-Loop Control of Blood Glucose, LNCIS 368, pp. 5–4 8, 2007. springerlink.com

c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007

komponen dari sistem yang mengatur glukosa darah pada pasien.

Perumusan aturan kontrol dibuat dalam algoritma kontrol. Algoritma kontrol yang dibuat tergantung pada informasi yang dimiliki tentang sensor, pompa dan pasien. Selain itu, perumusan algoritma kontrol juga dipengaruhi oleh metode pengu12


kuran glukosa darah, jenis insulin yang digunakan, rute dari infus, dan karakteristik pasien. Setiap teknik pengukuran glukosa darah memiliki karakteristik yang unik. Setiap tipe insulin mempunyai kerja yang berbeda dan rute infusi yang berbeda menunjukkan karakteristik berbeda. Oleh karena itu, ada 2 pendekatan untuk membuat algoritma kontrol yaitu dengan model tanpa pengetahuan teoritikal dan model dengan pengetahuan teoritikal. Pada model tanpa pengetahuan teoritikal untuk desain algoritma kontrol, hubungan antara kadar insulin dan kadar glukosa darah ditentukan berdasarkan data eksperimen. Salah satu cara paling sederhana dari pendekatan ini adalah dengan meregresikan data kadar glukosa darah dengan kadar insulin untuk memperoleh sebuah model sebagai algoritma kontrol. Sebaliknya, pada model dengan pengetahuan teoritikal hubungan antara kadar insulin dan kadar glukosa darah ditentukan berdasarkan pengetahuan mengenai mekanisme kerja pankreas dan interaksi glukosa darah dengan insulin di dalam tubuh. Pengetahuan tersebut dapat dideskripsikan menjadi sebuah masalah matematika sehingga dapat dimodelkan secara matematika. Pada tulisan ini akan digunakan pendekatan untuk membuat algoritma kontrol menggunakan model dengan pengetahuan teoritikal mengenai mekanisme kerja pankreas dan interaksi glukosa darah dengan insulin di dalam tubuh. Oleh sebab itu, pengetahuan mengenai glukosa diatur secara intrinsik pada orang yang sehat adalah penting dalam mengembangkan algoritma yang efektif. Pankreas manusia memiliki antara 1 - 2 juta pulau Langerhans. Pulau ini mengandung tiga jenis sel utama: α, β dan δ . Sel-sel β , kira-kira 60% dari total sel dan mensekresikan insulin. Sel-sel α, kira-kira 25% dari total sel dan mensekresi glukagon. Sel-sel δ , kira-kira 10% dari total sel dan mengsekresi somatostatin. Sisanya 5% dari sel-sel yang terdiri dari jenis sel lain yang mensekresi hormon lainnya. Insulin dan glukagon bermain paling penting. Ketika seseorang makan, dua fase sekresi insulin terjadi yaitu fase 13


antisipatif (tahap pertama) dan fase sensitif-glukosa (tahap kedua). Pada fase antisipatif, ketika seseorang melihat makanan dan menggigit makanan untuk pertama kalinya maka otak akan mengirim sinyal ke pankreas. Sinyal-sinyal ini menyebabkan pankreas melepaskan insulin ke dalam sirkulasi hati. Setelah insulin berada dalam 50

3 Glucose Control: Patient Dynamics

sirkulasi hati, hati berhenti mengubah glikogen menjadi glukosa. Ketika makanthe brain. Gluconeogenesis still supplies glucose for obligatory glycolytic tissues,

an memasuki lambung, notably the brain. pelepasan insulin difasilitasi oleh hormon gastrointestinal. This mechanism effects a stable fasting blood glucose concentration so that

Hormon-hormon inihas meningkatkan sensitivitas sel-sel pulau terhadap the brain, which no energy stores, has a sufficient supply of Langerhans nutrients for normal activity. Glucose is an essential nutrient for the brain, retina, and germinal

glukosa. Ketikaof nutrisi diserap ke isdalam fase glukosa dimulai, epithelium the gonads. Insulin alwayssirkulasi, present, and a low level ofsensitif circulating insulin regulates the rate of lipolysis, glucose transport and gluconeogenesis at

dan ada sekresi insulin terus menerus. Setelah penyerapan semua karbohidrat, sisall times [158]. When a person prepares to eat a meal, two phases of insulin secretion occur:

tem umpan balik yang bekerja untuk and mengendalikan kadarphase glukosa darah mengeman anticipatory phase (first phase) a glucose-sensitive (second phase). In the anticipatory phase, the sight of food and the first bite of a meal cause

balikan glukosa cepat kembali kadar normal, biasanyatodalam thekonsentrasi brain to send signals dengan to the pancreas. These ke signals cause the pancreas release insulin into the hepatic circulation (Fig 3.1). Once the insulin is in the

waktuhepatic 2 jam.circulation, (lihat gambar 3). stops breaking down glycogen into glucose. the liver

Signals from brain

Inferior vena cava

Vagus nerve trunk Portal vein Esophagus Pancreas Liver

Stomach

Insulin released directly into portal vein.

Intestine

Nutrients from the intestine is absorbed into the hepatic circulation.

Fig. 3.1. Anatomy of the intrinsic blood glucose regulation mechanism

Gambar 3: Anatomi Mekanisme regulasi Glukosa Darah Intrinsik As the food enters the stomach, the release of insulin is further facilitated by gastrointestinal hormones. These hormones increase the sensitivity of the islet Mekanisme di atas dimodelkan sebagaiinto model glukosa darah. Ada bebecells to glucose [159].dapat As nutrients are absorbed the circulation, the glucosesensitive phase begins, and there is continuous secretion of insulin. These two rapa model glukosa darahtermed yaitu model linear,response model non-linear, dan model komprephases are sometimes the biphasic of insulin secretion. After absorption of all the carbohydrates, the feedback system for control of hensif. Model linear glukosa darah dapat dipresentasikan berdasarkan teori masalah blood glucose returns the glucose concentration rapidly back to the control level, usually within 2 hours. kontrol Although regulator glucose kuadratik linear. Secaraphysiological umum padastimulant masalah teori kuadratik is an important of insulin secre-linear tion, nutrients other than glucose, particularly amino acids, are also capable of

14


terdapat persamaan-persamaan sistem berbentuk linear yang mendeskripsikan proses yang akan dikontrol

x˙ (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

y(t) = C(t)x(t) dan sebuah indeks peforma berbentuk fungsional yang menyatakan sesuatu yang diminimumkan atau dimaksimumkan

J(u(t)) = J(x(t0 ), u(t0 ),t0 ) =

1 [z(t f ) − x(t f )]T F(t f )[z(t f ) − x(t f )] 2 Z 1 tf + [(z(t) − x(t))T Q(t)(z(t) − x(t)) 2 t0 + uT (t)R(t)u(t)] dt

Salah satu model linear glukosa darah yang terkenal adalah model glukosa darah Ackerman. Sistem pada model glukosa darah Ackerman berbentuk dg = −ag − bh + J(t) dt dh = cg − eh + K(t) dt dengan g adalah selisih kadar glukosa darah di dalam tubuh dengan kadar glukosa darah optimal, h adalah selisih kadar efek berbagai hormon di dalam tubuh dengan kadar efek berbagai hormon optimal, J(t) adalah suplai glukosa dari luar, K(t) adalah suplai insulin dari luar, a, b, c,dan e adalah sebuah konstanta positif. Sementara itu, indeks peforma dalam masalah kontrol optimal glukosa darah dinyatakan dalam penyimpangan kadar glukosa darah dari kadar yang diinginkan dan banyaknya suplai insulin dari luar. Sistem kontrol yang dibuat bertujuan untuk mengontrol kadar 15


glukosa darah agar selalu berada di level yang diinginkan dengan meminimumkan penyimpangan kadar glukosa darah dari kadar yang diinginkan dan meminimumkan dosis pemberian insulin dari luar yang diberikan.

1.2

Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan dirumuskan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan kontrol optimal dan bagaimana landasan teorinya? 2. Bagaimana mengontrol kadar glukosa darah agar selalu berada di interval yang diinginkan?

1.3

Pembatasan Masalah

Penulis akan membatasi penulisan pada masalah diabetes tipe 1 dengan satu kontrol yaitu insulin. Hal-hal yang ditulis dalam landasan teori hanya materi yang berhubungan langsung dengan topik utama.

1.4

Tujuan Penulisan

Tulisan ini disusun dengan tujuan: 1. Memahami landasan teori mengenai kontrol optimal. 2. Memahami cara mengontrol kadar glukosa darah agar selalu berada di interval yang diinginkan. 3. Untuk memenuhi syarat tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

16


1.5

Manfaat Penulisan

Dengan mempelajari topik ini kadar glukosa darah dapat diatur secara optimal agar selalu berada di interval yang diinginkan. Dengan demikian penderita diabetes mellitus tidak mengalami hipoglikemia maupun hiperglikemia.

1.6

Metode Penulisan

Penulisan menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan dengan kontrol optimal kadar glukosa darah untuk pengobatan diabetes.

1.7

Sistematika Penulisan

BAB 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Masalah 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Pembatasan Masalah 1.4 Tujuan Penulisan 1.5 Manfaat Penulisan 1.6 Metode Penulisan 1.7 Sistematika Penulisan BAB 2. Landasan Teori 2.1 Optimisasi Menggunakan Kalkulus 2.2 Matriks Definit Positif dan Definit Negatif 17


2.3 Kalkulus Variasi BAB 3. Sistem Kontrol Optimal Kuadratik Linear 3.1 Kontrol Optimal 3.2 Prinsip Minimum Pontryagin 3.3 Sistem Kontrol Optimal Kuadratik Linear BAB 4. Sistem Kontrol Optimal Glukosa Darah Pada Pengobatan Diabetes Mellitus 4.1 Model Kadar Glukosa Darah 4.2 Sistem Regulator Linear Kuadratik Pada Masalah Kontrol Optimal Di Bidang Biomedical 4.3 Kontrol Optimal Untuk Kadar Glukosa Darah BAB 5. Penutup 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran Daftar Pustaka

18


BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai dasar-dasar matematika yang menjadi dasar dalam pembahasan bab-bab selanjutnya.

2.1

Optimisasi Menggunakan Kalkulus

2.1.1

Fungsi Satu Variabel

Definisi 2.1. Sebuah variabel f adalah sebuah fungsi dari variabel bebas x, (biasanya ditulis f = f (x)) jika setiap nilai x yang berada pada domain tertentu D ⊆ R berkorespondensi tunggal atau unik dengan suatu nilai f . Contoh 2.1. Contoh beberapa fungsi satu variabel a. Diketahui f (x) = 2x2 + 4 untuk x = 1, f = 6, x = 2, f = 12, x = 3, f = 22, dan seterusnya b. Diketahui f (x) = sin x untuk x = 0, f = 0, x = π2 , f = 1, x = π, f = 0, dan seterusnya c. Diketahui f (x) = ln x untuk x = 1, f = 0, x = 2, f = 0, 69, x = 3, f = 1, 099, dan seterusnya Definisi 2.2. Sebuah fungsi f merupakan fungsi linear jika dan hanya jika f memenuhi

19


1. Prinsip homogenitas f (αx) = α f (x) untuk semua x ∈ D ⊆ R dan semua bilangan real α 2. Prinsip penjumlahan

f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) untuk x1 , x2 , dan x1 + x2 ∈ D ⊆ R. Definisi 2.3. Selisih dari fungsi f , dinotasikan sebagai

∆ f = f (x + ∆x) − f (x)

Contoh 2.2. Misalkan f (x) = 2x2 + 4, maka selisih dari f (x) adalah

∆ f = f (x + ∆x) − f (x) = 2(x + ∆)2 + 4 − (2x2 + 4) = 2(x2 + 2∆x + ∆2 ) + 4 − 2x2 − 4 = 2x2 + 4∆x + 2∆2 + 4 − 2x2 − 4 = 4∆x + 2∆2 Misalkan didefinisikan selisih fungsi f pada suatu titik x∗ ∆ f = f (x∗ + ∆x) − f (x∗ )

20

(2.1)


Pada persamaan (2.1) f (x∗ + ∆x) dideretkan Taylor sehingga diperoleh df 1 d2 f ∆ f = f (x ) + (∆x)2 + · · · − f (x∗ ) ∆x + dx ∗ 2! dx2 ∗ df 1 d2 f ∆f = (∆x)2 + · · · ∆x + dx ∗ 2! dx2 ∗

∗

(2.2)

Apabila persamaan (2.2) diambil suku mengandung ∆x yang berderajat paling tinggi satu maka diperoleh ∆f ≈

df dx

∆x = f˙(x∗ )∆x = d f

∗

d f disebut diferensial dari f pada titik x∗ dan f˙(x∗ ) adalah derivatif atau gradien dari f di x∗ Contoh 2.3. Misalkan f (x) = x2 + 2x, maka selisih ∆ f adalah

∆ f = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)2 + 2(x + ∆x) − (x2 + 2x) = 2x∆x + 2∆x + · · · + suku ∆x dengan orde yang lebih tinggi ≈ 2(x + 1)∆x ≈ f˙(x)∆x

Jadi, derivatif dari x2 + 2x adalah f˙(x) = 2(x + 1). Optimum Suatu Fungsi Satu Variabel Definisi 2.4.

Sebuah fungsi f (x) dikatakan mempunyai nilai optimum di titik kri-

tis x∗ jika terdapat ε sedemikian hingga semua titik x di dalam domain D yang memenuhi |x − x∗ | < ε selisih dari f mempunyai tanda yang sama.

21


Dengan kata lain, jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) ≥ 0,

(2.3)

maka f (x∗ ) adalah minimum lokal dan jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) > 0,

(2.4)

maka f (x∗ ) adalah minimum lokal ketat. Sebaliknya jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) ≤ 0,

(2.5)

maka f (x∗ ) adalah maksimum lokal dan jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) < 0,

(2.6)

maka f (x∗ ) adalah maksimum lokal ketat. Apabila relasi (2.3), (2.4), (2.5) atau (2.6) berlaku untuk sembarang ε maka f (x∗ ) dikatakan mempunyai optimum (minimum, minimum ketat, maksimum, atau maksimum ketat) global. Teorema 2.1. Andaikan f terdiferensialkan pada selang I yang memuat titik x∗ . Jika f (x∗ ) adalah sebuah nilai optimum maka x∗ haruslah berupa suatu titik kritis yakni x∗ berupa salah satu: a. titik ujung dari I; b. titik stasioner dari f ( f 0 (x∗ ) = 0); atau c. titik singular dari f ( f 0 (x∗ ) tidak ada) Bukti: Teorema 2.1 dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi pada dua kasus yaitu jika f (x∗ ) berupa nilai maksimum dan jika f (x∗ ) berupa nilai minimum. Pada 22


kedua kasus diandaikan x∗ bukan titik ujung, titik singular, ataupun titik stasioner ( f 0 (x∗ ) 6= 0). Kasus 1: f (x∗ ) merupakan nilai maksimum. f (x∗ ) merupakan nilai maksimum berarti f (x) − f (x∗ ) ≤ 0 Jika x < x∗ , sehingga x − x∗ < 0, maka f (x) − f (x∗ ) ≥0 x − x∗

(2.7)

sedangkan jika x > x∗ sehingga x − x∗ > 0, maka f (x) − f (x∗ ) ≤0 x − x∗

(2.8)

f 0 (x∗ ) ada karena x∗ bukan titik singular. Akibatnya, jika dibiarkan x → (x∗ )− pada persamaan (2.7) maka diperoleh

lim

x→(x∗ )−

f (x) − f (x∗ ) ≥0 x − x∗

sedangkan jika dibiarkan x → (x∗ )+ pada persamaan (2.8) maka diperoleh

lim

x→(x∗ )+

Limit kiri dan dan limit kanan pada

f (x) − f (x∗ ) ≤0 x − x∗ f (x)− f (x∗ ) x−x∗

berbeda sehingga terdapat kontradik-

si. Dengan demikian terbukti f 0 (x∗ ) = 0. Kasus 2: f (x∗ ) merupakan nilai minimum. f (x∗ ) merupakan nilai minimum berarti f (x) − f (x∗ ) ≥ 0

23


Jika x < x∗ , sehingga x − x∗ < 0, maka f (x) − f (x∗ ) ≤0 x − x∗

(2.9)

sedangkan jika x > x∗ sehingga x − x∗ > 0, maka f (x) − f (x∗ ) ≥0 x − x∗

(2.10)

f 0 (x∗ ) ada karena x∗ bukan titik singular. Akibatnya, jika dibiarkan x → (x∗ )− pada persamaan (2.9) maka diperoleh

lim

x→(x∗ )−

f (x) − f (x∗ ) ≤0 x − x∗

sedangkan jika dibiarkan x → (x∗ )+ pada persamaan (2.10) maka diperoleh

lim

x→(x∗ )+

f (x) − f (x∗ ) ≥0 x − x∗

Limit kiri dan dan limit kanan pada

f (x)− f (x∗ ) x−x∗

berbeda jadi terdapat kontradiksi.

Dengan demikian terbukti f 0 (x∗ ) = 0. 2.1.2

Fungsi Beberapa Variabel

Definisi 2.5. Sebuah variabel f adalah sebuah fungsi dari variabel bebas x, (biasanya ditulis f = f (x) = f (x1 , x2 , · · · xn ) jika setiap nilai x yang berada pada domain tertentu D ⊆ Rn berkorespondensi tunggal atau unik dengan suatu nilai f . Contoh 2.4. Contoh fungsi beberapa variabel a. Diketahui f (x) = f (x1 , x2 ) = x12 + 3x22

24


untuk x1 = −1, x2 = 4 f = 49, dan untuk x1 = 2 x2 = 1 f = 5. b. Diketahui √ f (x) = f (x1 , x2 ) = 2x1 x2 untuk x1 = 1, x2 = 4, f = 2, dan untuk x1 = 3, x2 = 16 f = 24. Andaikan f adalah suatu fungsi beberapa variabel. Jika x2 , · · · xn dijaga agar tetap konstan, katakanlah x2 = x20 , · · · , xn = xn0 maka f (x1 , x20 , . . . , xn0 ) adalah fungsi satu variabel x1 . Turunannya di x1 = x10 disebut turunan parsial f terhadap x1 di (x10 , x20 , . . . , xn0 ). Jadi, ∂ f f (x10 + ∆x1 , x20 , . . . , xn0 ) − f (x10 , x20 , . . . , xn0 ) = lim ∂ x1 (x10 ,x20 ,··· ,xn0 ) ∆x1 →0 ∆x1 ∂ f f (x10 , x20 + ∆x2 , . . . , xn0 ) − f (x10 , x20 , . . . , xn0 ) = lim ∂ x2 (x10 ,x20 ,··· ,xn0 ) ∆x2 →0 ∆x2 .. . f (x10 , x20 , . . . , xn0 + ∆xn ) − f (x10 , x20 , . . . , xn0 ) ∂ f = lim ∂ xn (x10 ,x20 ,··· ,xn0 ) ∆xn →0 ∆xn Ketimbang menghitung ∂ f ∂ f ∂ f , , · · · , dan ∂ x1 (x10 ,x20 ,··· ,xn0 ) ∂ x2 (x10 ,x20 ,··· ,xn0 ) ∂ xn (x10 ,x20 ,··· ,xn0 ) secara langsung menggunakan definisi di atas biasanya

∂f ∂f ∂ x1 , ∂ x2 ,

· · · , dan

menggunakan aturan baku untuk turunan kemudian disubsitusikan

x1 = x10 , x2 = x20 , · · · , dan xn = xn0

Contoh 2.5. Carilah

∂f ∂ x1 (1,2)

dan

∂f ∂ x2 (1,2)

25

jika f (x1 , x2 ) = x12 x2 + 3x23

∂f ∂ xn

dicari


Penyelesaian:

∂f ∂ x1

= 2x1 x2 maka ∂ f = 2(1)(2) = 4 ∂ x1 (1,2)

∂f ∂ x2

= x12 + 9x22 maka ∂ f = 12 + 9(2)2 = 37 ∂ x1 (1,2)

Definisi 2.6. Sebuah gradien dari suatu fungsi f (x), ∇ f (x) didefinisikan ∇ f (x) =

∂f ∂ x1

∂f ∂ x2

···

∂f ∂ xn

Definisi 2.7. Sebuah Hessian dari suatu fungsi f (x), H f (x) didefinisikan      H f (x) =     

∂2 f ∂ x12

∂2 f ∂ x1 ∂ x2

···

∂2 f ∂ x2 ∂ x1

∂2 f ∂ x22

···

∂2 f ∂ x2 ∂ xn

∂2 f ∂ xn ∂ x2

···

∂2 f ∂ xn2

.. . ∂2 f ∂ xn ∂ x1

∂2 f ∂ x1 ∂ xn

         

Contoh 2.6. Carilah ∇ f (x) dan H f (x) jika f (x1 , x2 ) = x12 x2 + 3x23 Penyelesaian: Gradien dari f (x) adalah ∇ f (x) =

2x1 x2 , x12 + 9x22

Hessian dari f (x) adalah 



 2x2 2x1  H f (x) =   2x1 18x2

26


Optimum Suatu Fungsi Beberapa Variabel Definisi 2.8. Sebuah fungsi f (x) dikatakan mempunyai nilai optimum di titik kritis x∗ jika terdapat ε sedemikian hingga semua titik x di dalam domain D ⊆ Rn yang memenuhi ||x − x∗ || < ε selisih dari f mempunyai tanda yang sama. Dengan kata lain, jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) ≥ 0,

(2.11)

maka f (x∗ ) adalah minimum lokal dan jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) > 0,

(2.12)

maka f (x∗ ) adalah minimum lokal ketat. Sebaliknya jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) ≤ 0,

(2.13)

maka f (x∗ ) adalah maksimum lokal dan jika ∆ f = f (x) − f (x∗ ) < 0,

(2.14)

maka f (x∗ ) adalah maksimum lokal ketat. Apabila relasi (2.11), (2.12), (2.13) atau (2.14) berlaku untuk sembarang ε maka f (x∗ ) dikatakan mempunyai optimum (minimum, minimum ketat, maksimum, atau maksimum ketat) global. Teorema 2.2. Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung x∗ . Jika f (x∗ ) adalah sebuah nilai optimum maka x∗ haruslah berupa salah satu titik kritis yakni x∗ berupa salah satu dari a. titik perbatasan dari S; 27


b. titik stasioner dari f (∇ f (x∗ ) = 0); atau c. titik singular dari f (∇ f (x∗ ) tidak ada) Bukti: Andaikan x∗ bukan merupakan suatu titik perbatasan ataupun titik singular sehingga x∗ adalah suatu titik-dalam tempat ∇ f ada. Bukti akan selesai jika dapat ditunjukkan bahwa ∇ f (x∗ ) = 0. Untuk mudahnya, tetapkan x∗ = (x1∗ , x2∗ ), kasus dimensi yang lebih tinggi dapat dibuktikan dengan cara yang serupa. Fungsi g(x1 ) = f (x1 , x2∗ ) mempunyai nilai optimum di x1∗ karena f mempunyai nilai optimum di (x1∗ , x2∗ ). Lebih lanjut g dapat dideferensiasikan di x1∗ karena f dapat dideferensiasikan di (x1∗ , x2∗ ). Akibatnya, menurut Teorema 2.1 dg ∂ f = =0 dx1 ∂ x1 (x∗ ,x∗ ) 1

2

Fungsi h(x2 ) = f (x1∗ , x2 ) mempunyai nilai optimum di x2∗ karena f mempunyai nilai optimum di (x1∗ , x2∗ ). Lebih lanjut h dapat diderensiasikan di x2∗ karena f dapat dideferensiasikan di (x1∗ , x2∗ ). Akibatnya, menurut Teorema 2.1 ∂ f dh =0 = dx2 ∂ x2 (x∗ ,x∗ ) 1

2

Jadi, gradien dari f sama dengan nol; ∇ f (x) = 0 karena kedua turunan parsialnya adalah 0. Ada cara alternatif untuk mencari optimum sebuah fungsi beberapa variabel. alternatif ini memperkenalkan konsep matriks definit untuk mencari optimum fungsi beberapa variabel. Konsep matriks definit memberikan cara yang lebih mudah ketimbang mencari optimum fungsi beberapa variabel menggunakan Definisi 2.8

28


2.2

Matriks Definit Positif dan Definit Negatif

Pertama-tama akan diperkenalkan konsep kuadratik. Konsep ini sangat bermanfaat untuk menentukan jenis definit matriks. Bentuk Kuadratik Bentuk kuadratik adalah polinomial homogen derajat dua. Sebuah matriks simetri A yang berukuran n × n menentukan sebuah fungsi QA (x) pada Rn yang disebut bentuk kuadratik yang bersesuaian dengan A

QA (x) = x · Ax, x ∈ Rn

Matriks Definit Positif dan Definit Negatif Definisi 2.9. Misalkan A adalah matriks simetri berukuran n × n dan

QA (x) = x · Ax

adalah bentuk kuadrat yang bersesuaian dengan A. Maka A dan QA disebut 1. definit positif jika QA (x) = x · Ax > 0 untuk semua x ∈ Rn , x 6= 0; 2. semidefinit positif jika QA (x) = x · Ax ≥ 0 untuk semua x ∈ Rn 3. definit negatif jika QA (x) = x · Ax < 0 untuk semua x ∈ Rn , x 6= 0; 4. semidefinit negatif jika QA (x) = x · Ax ≤ 0 untuk semua x ∈ Rn Teorema 2.3. Misalkan x∗ adalah titik kritis dari fungsi f (x) dengan turunan pertama dan kedua yang kontinu pada Rn dan H f (x) adalah Hessian dari f (x) maka x∗ adalah 1. minimum global ketat untuk f (x) jika H f (x) definit positif pada Rn ; 29


2. minimum global untuk f (x) jika H f (x) semidefinit positif pada Rn ; 3. maksimum global ketat untuk f (x) jika H f (x) definit negatif pada Rn ; 4. maksimum global untuk f (x) jika H f (x) semidefinit negatif pada Rn ; Bukti: 1. Misalkan x∗ adalah titik kritis dari fungsi f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) di sekitar x∗ adalah 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + ∇ f (x∗ ) · (x − x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 Turunan parsial pertama dari f (x) sama dengan nol di x∗ , ∇ f (x∗ ) = 0 karena x∗ adalah titik kritis dari f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) berubah menjadi 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 Hessian H f (x) definit positif sehingga 12 (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) > 0. Akibatnya, 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 1 f (x) − f (x∗ ) ≈ (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 f (x) − f (x∗ ) > 0 Jadi, x∗ adalah minimum global ketat untuk semua x ∈ Rn sedemikian hingga x 6= x∗ . 2. Misalkan x∗ adalah titik kritis dari fungsi f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) di

30


sekitar x∗ adalah 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + ∇ f (x∗ ) · (x − x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 Turunan parsial pertama dari f (x) sama dengan nol di x∗ , ∇ f (x∗ ) = 0 karena x∗ adalah titik kritis dari f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) berubah menjadi 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 Hessian H f (x) semidefinit positif sehingga 12 (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0. Akibatnya, 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 1 f (x) − f (x∗ ) ≈ (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 f (x) − f (x∗ ) ≥ 0 Jadi, x∗ adalah minimum global untuk semua x ∈ Rn sedemikian hingga x 6= x∗ . 3. Misalkan x∗ adalah titik kritis dari fungsi f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) di sekitar x∗ adalah 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + ∇ f (x∗ ) · (x − x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 Turunan parsial pertama dari f (x) sama dengan nol di x∗ , ∇ f (x∗ ) = 0 karena x∗ adalah titik kritis dari f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) berubah menjadi 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2

31


Hessian H f (x) definit negatif sehingga 12 (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) < 0. Akibatnya, 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 1 f (x) − f (x∗ ) ≈ (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 f (x) − f (x∗ ) < 0 Jadi, x∗ adalah maksimum global ketat untuk semua x ∈ Rn sedemikian hingga x 6= x∗ . 4. Misalkan x∗ adalah titik kritis dari fungsi f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) di sekitar x∗ adalah 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + ∇ f (x∗ ) · (x − x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 Turunan parsial pertama dari f (x) sama dengan nol di x∗ , ∇ f (x∗ ) = 0 karena x∗ adalah titik kritis dari f (x). Ekspansi Taylor dari f (x) berubah menjadi 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 Hessian H f (x) semidefinit negatif sehingga 12 (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) ≤ 0. Akibatnya, 1 f (x) ≈ f (x∗ ) + (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 1 f (x) − f (x∗ ) ≈ (x − x∗ ) · H f (x∗ )(x − x∗ ) 2 f (x) − f (x∗ ) ≤ 0 Jadi, x∗ adalah maksimum global untuk semua x ∈ Rn sedemikian hingga

32


x 6= x∗ . Definisi 2.9 dapat dengan mudah digunakan untuk menentukan suatu matriks A definit positif, semidefinit positif, definit negatif, atau semidefinit negatif apabila matriks A merupakan matriks diagonal. Namun, terdapat kesulitan dalam menentukan jenis definit dari matriks A bila matriks A bukan matriks diagonal. Oleh sebab itu, secara umum untuk menentukan jenis definit suatu matriks digunakan Teorema 2.4 dan Teorema 2.5. Teorema 2.4. Matriks simetri A berukuran 2 × 2 



 a11 a12  A=  a12 a22 adalah 1. definit positif jika dan hanya jika 



 a11 a12  a11 > 0, det  >0 a12 a22

2. definit negatif jika dan hanya jika 



 a11 a12  a11 < 0, det  >0 a12 a22 Bukti: Jika A adalah matriks simetri berukuran berukuran 2 × 2 



 a11 a12  A=  a12 a22

33


maka bentuk kuadratik yang bersesuaian adalah

QA (x) = x · Ax = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 untuk suatu x 6= 0, x ∈ R2 yaitu x = (x1 , 0) dengan x1 6= 0 atau x = (x1 , x2 ) dengan x2 6= 0 Kasus 1: x = (x1 , 0) dengan x1 6= 0. Dalam kasus ini, QA (x) = a11 x12 . Diketahui x1 6= 0 maka QA (x) > 0 jika dan hanya jika a11 > 0 sedangkan QA (x) < 0 jika dan hanya jika a11 < 0. Kasus 2: x = (x1 , x2 ) dengan x2 6= 0. Dalam kasus ini, x1 = tx2 ⇐= Bentuk kuadratik yang bersesuaian adalah

QA (x) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 QA (x) = a11t 2 x22 + 2a12tx22 + a22 x22 QA (x) = φ (t)x22 dengan φ (t) = a11t 2 + 2a12t + a22 . QA (x) > 0 untuk semua x jika dan hanya jika φ (t) > 0 untuk semua t ∈ R dan QA (x) < 0 untuk semua x jika dan hanya jika φ (t) < 0 untuk semua t ∈ R karena x2 6= 0 Titik kritis dari φ (t) adalah 0

φ (t) = 0 2a11t + 2a12 = 0 t∗ =

−a12 a11

Turunan kedua dari φ (t) adalah 00

φ (t) = 2a11 34


00

Jika a11 > 0 maka t ∗ adalah sebuah minimum lokal karena f (t ∗ ) > 0. Jika a11 > 0 dan t ∈ R, maka −a12 φ a11 −a12 2 −a12 a11 + a22 + 2a12 a11 a11 −a212 + a22 a11 1 −a212 + a11 a22 a11   1  a11 a12  det   a11 a12 a22

∗

φ (t) ≥ φ (t ) = = = =

=

=

1 det(A) a11

Jika a11 > 0 dan det(A) > 0 maka φ (t) > 0 untuk setiap t ∈ R. Akibatnya, QA (x) > 0. Berdasarkan definisi 2.9 jika QA (x) > 0 maka A matriks definit positif. Jadi, Jika a11 > 0 dan det(A) > 0 maka A matriks definit positif. 00

Jika a11 < 0 maka t ∗ adalah sebuah maksimum lokal karena f (t ∗ ) < 0. Jika a11 < 0 dan t ∈ R, maka

∗

φ (t) ≤ φ (t ) = = = =

=

=

−a12 φ a11 −a12 2 −a12 a11 + 2a12 + a22 a11 a11 −a212 + a22 a11 1 −a212 + a11 a22 a11   1  a11 a12  det   a11 a12 a22 1 det(A) a11 35


Jika a11 < 0 dan det(A) > 0 maka φ (t) < 0 untuk setiap t ∈ R. Akibatnya, QA (x) < 0. Berdasarkan definisi 2.9 jika QA (x) < 0 maka A matriks definit negatif. Jadi, Jika a11 < 0 dan det(A) > 0 maka A matriks definit negatif. =⇒ Jika A definit positif yang berarti QA (x) > 0 maka φ (t) > 0 karena x2 6= 0. Akibatnya a11 > 0 dan diskriminan dari φ (t) < 0 karena φ (t) merupakan fungsi kuadrat. Diskriminan dari φ (t) adalah 



 a11 a12  4a212 − 4a11 a22 = −4 det   a12 a22 



 a11 a12  Agar diskriminan φ (t) negatif maka det   = det(A) > 0. Jadi, Jika A a12 a22 definit positif maka a11 > 0 dan det(A) > 0. Jika A definit negatif yang berarti QA (x) < 0 maka φ (t) < 0 karena x2 6= 0. Akibatnya a11 < 0 dan diskriminan dari φ (t) > 0 karena φ (t) merupakan fungsi kuadrat. Diskriminan dari φ (t) adalah 



 −a11 a12  4a212 + 4a11 a22 = 4 det   a12 a22 



 −a11 a12  Agar diskriminan φ (t) positif maka det   = det(A) > 0. Jadi, Jika a12 a22 A definit negatif maka a11 < 0 dan det(A) > 0. Teorema 2.4 dapat diperluas secara umum menjadi teorema 2.5 tetapi sebelum itu pertama-tama akan diperkenalkan konsep minor utama.

36


Definisi 2.10. Misalkan A merupakan matriks simetri yang berukuran n × n.       A=     

a11 a12 a13 · · · a1n a12 a22 a23 a13 a23 a33 .. . a1n a2n a3n



  · · · a2n    · · · a3n    ..  .   · · · ann

Didefinisikan ∆k sebagai determinan submatriks yang berukuran k × k untuk 1 ≤ k ≤ n. ∆1 = a11 ,    a11 a12  ∆2 = det  , a21 a22 .. . ∆n = det A ∆k adalah minor utama ke k dari A untuk 1 ≤ k ≤ n. Teorema 2.5. Jika A adalah matriks simetri berukuran n × n dan ∆k adalah minor utama ke k dari A untuk 1 ≤ k ≤ n maka 1. A definit positif jika dan hanya jika ∆k > 0 untuk k = 1, 2, · · · , n, 2. A definit negatif jika dan hanya jika (−1)k ∆k > 0 untuk k = 1, 2, · · · , n. Teorema 2.5 di atas dapat dibuktikan menggunakan induksi matematis. Namun, bukti induksi lengkap sangat rumit pada penulisan notasi terutama untuk langkah n = k dan n = k + 1. Oleh sebab itu, cukup ditunjukkan bukti induksi jika berlaku untuk n = 2 maka berlaku untuk n = 3. Langkah ini memberikan gambaran dari langkah induksi lengkap yang esensial.

37


Bukti: Jika A adalah matriks simetri berukuran 3 × 3 



 a11 a12 a13  A=  a21 a22 a23  a31 a32 a33

    

maka bentuk kuadratik yang bersesuaian adalah

QA (x) = x · Ax = a11 x12 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + a12 x1 x2 + a22 x22 + a23 x2 x3 + a13 x1 x3 + a23 x2 x3 + a33 x32 = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + a22 x22 + 2a23 x2 x3 + a33 x32 untuk suatu vektor x 6= 0 di R3 yaitu x = (x1 , x2 , 0) dengan x1 6= 0, dan x2 6= 0 atau x = (x1 , x2 , x3 ) dengan x3 6= 0 Kasus 1: x = (x1 , x2 , 0) dengan x1 6= 0 dan x2 6= 0. Dalam kasus ini, QA (x) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 dengan (x1 , x2 ) 6= (0, 0). Berdasarkan teorema 2.4 QA (x) = x · Ax > 0 untuk semua x 6= 0 sedemikian hingga x3 = 0 jika dan hanya jika ∆1 > 0, ∆2 > 0 dan QA (x) = x · Ax < 0 untuk semua x 6= 0 sedemikian hingga x3 = 0 jika dan hanya jika ∆1 < 0, ∆2 > 0. Kasus 2: x = (x1 , x2 , x3 ) dengan x3 6= 0. Dalam kasus ini, x1 = sx3 dan x2 = tx3

38


⇐= Bentuk kuadratik yang bersesuaian adalah

QA (x) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + a22 x22 + 2a23 x2 x3 + a33 x32 QA (x) = a11 s2 x32 + 2a12 stx32 + 2a13 sx32 + a22t 2 x32 + 2a23tx32 + a33 x32 QA (x) = (a11 s2 + 2a12 st + 2a13 s + a22t 2 + 2a23t + a33 )x32 QA (x) = φ (t)x32 dengan φ (t) = (a11 s2 + 2a12 st + 2a13 s + a22t 2 + 2a23t + a33 ). QA (x) > 0 untuk semua x jika dan hanya jika φ (t) > 0 untuk semua t, s ∈ R karena x3 6= 0 Titik kritis dari φ (t) adalah solusi dari sistem ∂φ ∂s

= 0

2a11 s + 2a12t + 2a13 = 0 a11 s + a12t + a13 = 0

∂φ ∂t

(2.15)

= 0

2a12 s + 2a22t + 2a23 = 0 a12 s + a22t + a23 = 0

(2.16)

Solusi dari sistem ini dicari menggunakan aturan Cramer dengan 







 a11 a12   −a13  A=  B=  a12 a22 −a23

39


yaitu 



 −a13 det  −a23  s∗ =  a11 det  a12 dan



a12     a22 −a13 a12  1  = det    ∆2 −a a 23 22 a12   a22 

 a11 det  a12 ∗  t =  a11  a12

−a13     −a23 a11 −a13  1  = det    ∆2 a −a 12 23 a12   a22

s∗ dan t ∗ disubsitusikan ke persamaan (2.15) dan (2.16) sehingga diperoleh a11 s∗ + a12t ∗ + a13 = 0

(2.17)

a12 s∗ + a22t ∗ + a23 = 0

(2.18)

Persamaan (2.17) dikalikan s∗ sehingga diperoleh a11 (s∗ )2 + a12t ∗ s∗ + a13 s∗ = 0

(2.19)

Persamaan (2.18) dikalikan t ∗ sehingga diperoleh a12 s∗t ∗ + a22 (t ∗ )2 + a23t ∗ = 0

Kemudian persamaan (2.19) dan (2.20) dijumlahkan sehinggga diperoleh a11 (s∗ )2 + a12t ∗ s∗ + a13 s∗ + a12 s∗t ∗ + a22 (t ∗ )2 + a23t ∗ = 0

40

(2.20)


Akibatnya, φ (s∗ ,t ∗ ) = a11 (s∗ )2 + 2a12 s∗t ∗ + 2a13 s∗ + a22 (t ∗ )2 + 2a23t ∗ + a33 = a13 s∗ + a23t ∗ + a33

Jika ∆2 6= 0, maka φ (s∗ ,t ∗ ) = a13 s∗ + a23t ∗ + a33 = a13 s∗ + a23t ∗ + a33     1 1  −a13 a12   a11 −a13  = a13 det   + a23 det   ∆2 ∆2 −a23 a22 a12 −a23 + a33       1   −a13 a12   a11 −a13  = a11 det   + a23 det   ∆2   −a23 a22 a12 −a23 +a33 ∆2 }     1  −a13 a11 det  = ∆2   −a23   a11 a12 +a33 det  a12 a22    1   −a13 = a11 det  ∆2   a 12

  a11 a12 +a33 det  a12 a22





a12   a11 −a13  + a23 det  a22 a12 −a23           −a23   a11 a13  − a23 det  a22 a12 a23        

41

  

  


       1  a12 a22   a11 a12  a11 det  =   − a23 det  ∆2   a13 a23 a13 a23      a11 a12  +a33 det    a12 a22     a11 a12 a13    1  det  = a a a  12 22 23  ∆2   a13 a23 a33 det(A) ∆2 ∆3 = ∆2 =

(2.21)

Hessian dari φ (s,t) 



 2a11 2a12  Hφ (s,t) =   2a12 2a22 Berdasarkan Teorema 2.4 Hφ (s,t) definit positif jika dan hanya jika ∆1 > 0 dan ∆2 > 0 dan berdasarkan Teorema 2.3 jika Hφ (s,t) definit positif maka (s∗ ,t ∗ ) adalah minimum global ketat dari φ (s,t). Jika (s∗ ,t ∗ ) adalah minimum global ketat dari φ (s,t) maka x · Ax = x32 φ (s,t) ≥ x32 φ (s∗ ,t ∗ ) = x32

∆3 ∆2

(2.22)

x · Ax > 0 untuk semua x 6= 0 jika ∆1 > 0, ∆2 > 0, dan ∆3 > 0. Dengan kata lain, jika ∆1 > 0, ∆2 > 0, dan ∆3 > 0 maka A definit positif. Selain itu berdasarkan Teorema 2.4 Hφ (s,t) definit negatif jika dan hanya jika ∆1 < 0 dan ∆2 > 0 dan berdasarkan Teorema 2.3 jika Hφ (s,t) definit negatif maka (s∗ ,t ∗ ) adalah maksimum global ketat dari φ (s,t). Jika (s∗ ,t ∗ ) adalah maksimum global ketat dari φ (s,t)

42


maka x · Ax = x32 φ (s,t) ≤ x32 φ (s∗ ,t ∗ ) = x32

∆3 ∆2

(2.23)

x · Ax < 0 untuk semua x 6= 0 jika ∆1 < 0, ∆2 > 0, dan ∆3 < 0. Dengan kata lain, jika ∆1 < 0, ∆2 > 0, dan ∆3 < 0 maka A definit negatif. =⇒ Jika A definit positif berarti x · Ax > 0 untuk semua x 6= 0. Akibatnya berdasarkan kasus 1 ∆1 > 0 dan ∆2 > 0. Berdasarkan persamaan (2.22) diperoleh x32

∆3 = x32 φ (s∗ ,t ∗ ) = x∗ · Ax∗ > 0 ∆2

Akibatnya, ∆3 > 0. Jadi, jika A definit positif maka ∆1 > 0, ∆2 > 0, dan ∆3 > 0. Jika A definit negatif berarti x · Ax < 0 untuk semua x 6= 0. Akibatnya berdasarkan kasus 1 ∆1 < 0 dan ∆2 > 0. Berdasarkan persamaan (2.23) diperoleh x32

∆3 = x32 φ (s∗ ,t ∗ ) = x∗ · Ax∗ < 0 ∆2

Akibatnya, ∆3 < 0. Jadi, jika A definit negatif maka ∆1 > 0, ∆2 > 0, dan ∆3 < 0. Jika A adalah matriks berukuran 3 × 3 sedemikian hingga ∆1 > 0, ∆2 > 0, dan ∆3 = 0 maka bukti Teorema 2.5 untuk n = 3 menunjukkan A merupakan matriks semidefinit positif. Jika A adalah matriks berukuran 3 × 3 sedemikian hingga ∆1 < 0, ∆2 > 0, dan ∆3 = 0 maka bukti Teorema 2.5 untuk n = 3 menunjukkan A merupakan matriks semidefinit negatif. Hal ini dapat digeneralisasi sehingga bukti dari Teorema 2.5 menunjukkan untuk kasus umum 1. jika ∆k > 0 untuk k = 1, 2, · · · , n − 1, dan ∆n = 0 maka A adalah matriks semidefinit positif, 2. jika (−1)k ∆k > 0 untuk k = 1, 2, · · · , n − 1, dan ∆n = 0 maka A adalah matriks semidefinit negatif

43


Contoh 2.7. Diketahui





 −4 2  A=  2 −3 Tentukan jenis definit dari matriks A. Penyelesaian:

  a11 ∆2 = det  a21

∆1 = a11 = −4    a12   −4 2   = det  =8 a22 2 −3

∆1 = 4 dan ∆2 = 0 maka matriks A merupakan matriks definit negatif. Contoh 2.8. Diketahui





 3 1 2     B=  1 5 3    2 3 7 Tentukan jenis definit dari matriks B. Penyelesaian:

  b11 ∆2 = det  b21

∆1 = b11 = 3    b12   3 1   = det   = 14 b22 1 5

  b11 b12 b13  ∆3 = det   b21 b22 b23  b31 b32 b33







  3 1 2      = det  1 5 3  = 63       2 3 7

∆1 = 3, ∆2 = 14, dan ∆3 = 63 maka matriks B merupakan matriks definit positif.

44


2.3

Optimisasi Menggunakan Kalkulus Variasi

Cabang matematika yang sangat berguna dalam memecahkan masalah optimisasi adalah kalkulus variasi. Kalkulus variasi berasal dari bangsa yunani kuno dan kemudian berkembang di Eropa Barat sekitar abad 16. Salah satu masalah yang diselesaikan menggunakan kalkulus variasi adalah masalah brachistochrone, yang ditemukan oleh Johan Bernoulli pada tahun 1696. Pada masalah tersebut terdapat manik-manik yang bergerak dari ujung kawat A ke ujung kawat B dan gesekan antara manik-manik dengan kawat dipengaruh gravitasi. Masalah yang harus dipecahkan adalah menemukan bentuk kawat yang menyebabkan manik-manik bergerak dari A ke B dalam waktu yang minimum. Solusi dari masalah brachistochrone adalah sebuah cycloid (lihat gambar 4).

Gambar 4: Masalah Brachistochrone Dalam kalkulus variasi dipelajari cara mencari nilai optimum baik nilai maksimum maupun nilai minimum dari suatu fungsional sedangkan indeks peforma yang dioptimumkan dalam masalah kontrol optimal berupa fungsional. Oleh sebab itu, kalkulus variasi dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal. Pada subbab ini akan dibahas mengenai fungsional sedangkan penerapan kalkulus variasi pada masalah kontrol optimal akan dibahas pada bab selanjutnya. Fungsional Definisi 2.11. Sebuah variabel J adalah sebuah fungsional yang bergantung pada suatu fungsi f (x), biasanya ditulis J = J( f (x)), jika setiap fungsi f (x), berkores45


pondensi tunggal atau unik dengan suatu nilai J. Contoh 2.9. Misalkan f (x) = 2x2 + 4, maka Z 1

J( f (x)) =

f (x) dx

0

Z 1

=

2x2 + 4 dx

0

adalah sebuah fungsional Definisi 2.12. Sebuah fungsional J merupakan fungsional linear jika dan hanya jika J memenuhi 1. Prinsip homogenitas J(α f (x)) = αJ( f (x)) untuk semua f (x) ∈ Ω dan semua bilangan real α 2. Prinsip penjumlahan

J( f1 (x) + f2 (x)) = J( f1 (x)) + J( f2 (x))

untuk f1 (x), f2 (x), dan f1 (x) + f2 (x) ∈ Ω. Definisi 2.13. Selisih dari sebuah fungsional J, dinotasikan sebagai

∆J = J( f (x) + δ f (x)) − J( f (x))

δ f (x) adalah variasi dari fungsi f (x). Perhatikan ∆J bergantung kepada f (x) dan δ f (x). Jadi, ∆J dapat ditulis ∆J( f (x), δ f (x)). Contoh 2.10. Misalkan

J( f (x)) =

Z xf

[2 f 2 (x) + 4] dx,

x0

46


maka selisih dari J( f (x)) adalah

∆J = J( f (x) + δ f (x)) − J( f (x)) Z xf Z = 2( f (x) + δ f (x))2 + 4 dx − x

=

xf

2 2 f (x) + 4 dx

x0

Z 0x f

2( f (x) + δ f (x))2 + 4 − 2 f 2 (x) + 4 dx

x

=

Z 0x f

2( f 2 (x) + 2 f (x)δ f (x) + (δ f (x))2 ) + 4 − 2 f 2 (x) − 4 dx

x

=

Z 0x f

2 f 2 (x) + 4 f (x)δ f (x) + 2(δ f (x))2 + 4 − 2 f 2 (x) − 4 dx

x

=

Z 0x f

4 f (x)δ f (x) + 2(δ f (x))2 dx

x0

Definisi 2.14. Selisih dari fungsional J dapat ditulis

∆J( f (x), δ f (x)) = δ J( f (x), δ f (x)) + g( f (x), δ f (x)) · kδ f (x)k

dengan δ J linear dalam δ f (x). Jika

lim

{g( f (x), δ f (x))} = 0,

kδ f (x)k→0

maka J dikatakan diferensiabel dalam f (x) dan δ J adalah variasi dari J. Optimum Suatu Fungsional Definisi 2.15. Sebuah fungsional J dikatakan mempunyai nilai optimum di titik f ∗ (x) jika terdapat sebuah ε positif sedemikian hingga untuk semua fungsi f (x) di dalam domain Ω yang memenuhi || f (x) − f ∗ (x)|| < ε selisih dari J mempunyai tanda yang sama.

47


Dengan kata lain, jika ∆J = J( f (x)) − J( f ∗ (x)) ≥ 0

(2.24)

maka J( f ∗ (x)) adalah minimum lokal dan jika ∆J = J( f (x)) − J( f ∗ (x)) > 0

(2.25)

maka J( f ∗ (x)) adalah minimum lokal ketat. Sebaliknya jika ∆J = J( f (x)) − J( f ∗ (x)) ≤ 0

(2.26)

maka J( f ∗ (x)) adalah maksimum lokal dan jika ∆J = J( f (x)) − J( f ∗ (x)) < 0

(2.27)

maka J( f ∗ (x)) adalah maksimum lokal ketat. Apabila relasi (2.24), (2.25), (2.26) atau (2.27) berlaku untuk sembarang ε maka J(x∗ (t)) dikatakan mempunyai optimum (maksimum, maksimum ketat, minimum atau minimum ketat) global. Dalam kalkulus variasi untuk mencari nilai ekstrim atau optimal maka variasi pertama dari J pada f ∗ (x) harus bernilai nol. Syarat ini merupakan teorema dasar kalkulus variasi. Teorema 2.6. Misalkan f ∗ (x) adalah kandidat untuk ekstrimum, variasi pertama dari J harus sama dengan nol pada f ∗ (x); δ J( f ∗ (x), δ f (x)) = 0 untuk semua nilai δ f (x) yang memungkinkan. Bukti: Teorema 2.6 dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi. Diasumsikan f ∗ (x) adalah sebuah ekstrimum dan δ J( f ∗ (x), δ f (x)) 6= 0. Pada pembuktian ini akan ditunjukkan asumsi δ J( f ∗ (x), δ f (x)) 6= 0 mengakibatkan selisih ∆J memiliki 48


tanda yang berbeda dalam sembarang kitar (neighborhood) dari f ∗ (x). Selisih dari J adalah ∆J( f ∗ (x), δ f (x)) = J( f ∗ (x) + δ f (x)) − J( f ∗ (x)) = δ J( f ∗ (x), δ f (x)) + g( f ∗ (x), δ f (x)) · kδ f (x)k dengan g( f ∗ (x), δ f (x)) → 0 ketika kδ f (x)k → 0. Jadi ada kitar kδ f (x)k < ε sehingga g( f ∗ (x), δ f (x)) · kδ f (x)k cukup kecil. Hal ini mengakibatkan ∆J ≈ δ J. Dengan kata lain, ∆J dan δ J mempunyai tanda yang sama. Diasumsikan fungsi di dalam domain Ω tidak terbatas. Asumsi tersebut mengakibatkan αδ f (x) dan −αδ f (x) adalah variasi yang mungkin dengan α > 0 dan ||αδ f (x)|| < ε. Diambil δ f (x) = αδ f (x) dan misalkan δ J( f ∗ (x), αδ f (x)) < 0. δ J adalah fungsional linear dari δ f (x) maka prinsip homogenitas berlaku. Akibatnya δ J( f ∗ (x), αδ f (x)) = αδ J( f ∗ (x), δ f (x)) < 0 Tanda ∆J( f ∗ (x), αδ f (x)) dan δ J( f ∗ (x), αδ f (x)) sama untuk kαδ f (x)k < ε maka ∆J( f ∗ (x), αδ f (x)) < 0

Lalu, diambil δ f (x) = −αδ f (x). Jika kαδ f (x)k < ε maka k − αδ f (x)k < ε. oleh karena itu tanda ∆J( f ∗ (x), −αδ f (x)) dan δ J( f ∗ (x), −αδ f (x)) sama. Prinsip homogenitas kembali digunakan untuk memperoleh δ J( f ∗ (x), −αδ f (x)) = −αδ J( f ∗ (x), δ f (x))

Diketahui δ J( f ∗ (x), αδ f (x)) = αδ J( f ∗ (x), δ f (x)) < 0

49


maka δ J( f ∗ (x), −αδ f (x)) = −αδ J( f ∗ (x), δ f (x)) > 0. Tanda ∆J( f ∗ (x), −αδ f (x)) dan δ J( f ∗ (x), −αδ f (x)) sama maka ∆J( f ∗ (x), −αδ f (x)) > 0 Jika δ J( f ∗ (x), δ f (x)) 6= 0 maka di dalam sebuah kitar kecil sembarang dari f ∗ (x) ∆J( f ∗ (x), αδ f (x)) < 0 ∆J( f ∗ (x), −αδ f (x)) > 0 Jadi, terdapat kontradiksi dengan asumsi f ∗ (x) adalah sebuah ekstrimum. Dengan demikian terbukti jika f ∗ (x) adalah kandidat untuk ekstrimum maka δ J( f ∗ (x), δ f (x)) = 0

untuk semua nilai δ f (x) yang memungkinkan.

50


BAB 3 SISTEM KONTROL OPTIMAL KUADRATIK LINEAR Pada bab ini akan dibahas mengenai kontrol optimal. Kontrol optimal merupakan pengembangan dari kalkulus variasi. Pada kalkulus variasi fungsional yang dioptimalkan tidak memiliki kendala sedangkan pada kontrol optimal, fungsional yang dioptimalkan memiliki kendala dalam bentuk sistem persamaan dan atau pertidaksamaan.

3.1

Kontrol Optimal

Kontrol optimal merupakan suatu model optimisasi yang digunakan untuk mengoptimalkan suatu fungsi atau fungsional linear maupun nonlinear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan dan atau pertidaksamaan. Kontrol optimal bertujuan untuk menentukan kontrol u yang akan menyebabkan sebuah sistem memenuhi beberapa kendala dan sekaligus memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi tujuan. Dalam memformulasikan masalah kontrol optimal dibutuhkan: 1. Sebuah sistem yang mendeskripsikan proses yang akan dikontrol 2. Sebuah spesifikasi indeks performa. 3. Sebuah syarat batas dan kendala pada variabel keadaan dan atau variabel kontrol. 3.1.1

Sistem

Sistem menggambarkan proses yang dikontrol. Sistem tersebut memuat variabel keadaan yang dinotasikan dengan x(t). Pada masalah kontrol optimal sistem memenuhi persamaan diferensial yang bergantung pada variabel keadaan x(t) dan va-

51


riabel kontrol u(t) x˙ (t) = f(x(t), u(t),t) dengan x ∈ Rn , u ∈ Rm , f : Rn × Rm × R1 → Rn , dan x˙ (t) menyatakan 3.1.2

dx dt .

Indeks Peforma

Indeks peforma adalah suatu fungsional yang menyatakan sesuatu yang diminimumkan atau dimaksimumkan. Secara umum indeks peforma untuk suatu masalah kontrol optimal adalah

J = S(x(t f ),t f ) +

Z tf

V (x(t), u(t),t) dt

t0

dengan S : Rn × R1 → R1 dan J : Rn × Rm × R1 → R1 . 3.1.3

Kendala Pada Variabel Keadaan Dan Atau Variabel Kontrol

Variabel keadaan x(t) dan atau variabel kontrol u(t) dapat mempunyai kendala atau tidak mempunyai kendala tergantung masalah yang diselesaikan. Kadangkala variabel keadaan dan variabel kontrol yang mempunyai kendala memberikan penyelesaian masalah kontrol optimal yang lebih baik. Contoh kendala dari variabel keadaan dan atau variabel kontrol adalah

u− ≤ u ≤ u+

x− ≤ x ≤ x+ dengan − dan + mengindikasikan nilai minimum dan maksimum dari variabel yang dapat dicapai.

52


3.2

Prinsip Minimum Pontryagin

Pada subbab ini akan dipelajari prinsip minimum Pontryagin yang merupakan pendekatan untuk menyelesaikan sistem kontrol optimal. Prinsip minimum Pontryagin dikembangkan oleh Pontryagin dan koleganyanya di Moskow pada tahun 1950an. Pontryagin memperkenalkan ide fungsi adjoint yang menambahkan kendala ke fungsi tujuan. Fungsi adjoint sama seperti pengali Lagrange dalam kalkulus peubah banyak yang menambah beberapa kendala ke fungsi yang akan diminimumkan atau dimaksimumkan. Diketahui sistem x˙ = f(x(t), u(t),t)

(3.1)

dan indeks peforma

J(u(t)) = S(x(t f ),t f ) +

Z tf

V (x(t), u(t),t) dt

(3.2)

t0

dengan syarat x(t0 ) = x0 , x(t f ) bebas, dan t f bebas. Perhatikan bahwa Z tf dS(x(t),t) t0

dt

t

dt = S(x(t),t)|t0f = S(x(t f ),t f ) − S(x(t0 ),t0 )

(3.3)

Persamaan (3.3) disubsitusikan ke persamaan (3.2) sehingga indeks peforma (3.2) berubah menjadi

J2 (u(t)) = =

Z tf t0

Z tf t0

dS V (x(t), u(t),t) + dt dt

[V (x(t), u(t),t)] dt + S(x(t f ),t f ) − S(x(t0 ),t0 )

53

(3.4)


Optimisasi dari indeks peforma J ekivalen dengan optimisasi dari indeks peforma J2 karena S(x(t0 ),t0 ) adalah sebuah konstanta. 3.2.1

Asumsi Kondisi Optimal

Diasumsikan x∗ (t) adalah nilai optimal untuk keadaan dan u∗ (t) adalah nilai optimal untuk kontrol maka dS(x∗ (t),t) dt V (x (t), u (t),t) + dt

Z tf

∗

J(u (t)) =

t0

∗

∗

x˙ ∗ (t) = f(x∗ (t), u∗ (t),t) 3.2.2

(3.5)

(3.6)

Gangguan dari Kontrol dan Keadaan

Jika terdapat gangguan dalam vektor kontrol dan vektor keadaan sehingga u(t) = u∗ (t) + δ u(t)

(3.7)

x(t) = x∗ (t) + δ x(t)

(3.8)

maka persamaan keadaan berubah menjadi x˙ ∗ (t) + δ x˙ (t) = f(x∗ (t) + δ x(t), u∗ (t) + δ u(t),t)

(3.9)

dan indeks peforma berubah menjadi

J(u(t)) =

Z t f +δt f t0

dS V (x (t) + δ x(t), u (t) + δ u(t),t) + dt dt ∗

∗

54

(3.10)


3.2.3

Pengali Lagrange dan Lagrangian

Lagrangian L pada keadaan optimal didefinisikan sebagai L

= L (x∗ (t), x˙ ∗ (t), u∗ (t), λ ∗ (t),t) dS + λ T (t) (f(x∗ (t), u∗ (t),t) − x˙ ∗ (t)) dt T ∂S ∂S = V (x∗ (t), u∗ (t),t) + x˙ ∗ (t) + ∂x ∗ ∂t = V (x∗ (t), u∗ (t),t) +

+ λ T (t) (f(x∗ (t), u∗ (t),t) − x˙ ∗ (t))

(3.11)

dengan pengali Lagrange λ (t) merupakan fungsi adjoint. Maka dapat dibentuk fungsi yang ditambahkan dari fungsi tujuan (3.5) ∗

Ja (u (t)) =

Z tf

V (x∗ (t), u∗ (t),t) +

t0

dS dt

+λ T (t)(f(x∗ (t), u∗ (t),t) − x˙ ∗ (t)) dt

(3.12)

indeks peforma J akan sama dengan indeks peforma Ja jika

f(x(t), u(t),t) − x˙ (t) = 0

Diketahui dari persamaan (3.1) f(x(t), u(t),t) − x˙ (t) = 0 maka dapat dibentuk indeks peforma pada kondisi optimal ∗

Ja (u (t)) =

Z tf

V (x∗ (t), u∗ (t),t) +

t0

dS dt

+λ T (t)(f(x∗ (t), u∗ (t),t) − x˙ ∗ (t)) dt " T Z tf ∂S ∂S ∗ ∗ = V (x (t), u (t),t) + x˙ ∗ (t) + x ∗ ∂t t0 +λ T (t)(f(x∗ (t), u∗ (t),t) − x˙ ∗ (t))] dt

55


Z tf

=

t0 Z tf

=

t0

L (x∗ (t), x˙ ∗ (t), u∗ (t), λ ∗ (t),t) dt L dt

(3.13)

dan indeks peforma pada suatu kondisi lain

Ja (u(t)) =

Z t f +δt f

V (x∗ (t) + δ x(t), u∗ (t) + δ u(t),t) +

t0

dS dt

+ λ T (t)(f(x∗ (t) + δ x(t), u∗ (t) + δ x(t),t) − (˙x∗ (t) + δ x˙ (t)))] dt =

Z t f +δt f

[V (x∗ (t) + δ x(t), u∗ (t) + δ u(t),t) T ∂S ∂S + (˙x∗ (t) + δ x˙ ∗ (t)) + x ∗ ∂t t0

+ λ T (t)(f(x∗ (t) + δ x(t), u∗ (t) + δ u(t),t) − (˙x∗ (t) + δ x˙ (t)))] dt =

Z t f +δt f t0

=

Z t f +δt f t0

L (x∗ (t) + δ x(t), x˙ ∗ (t) + δ x˙ (t), u∗ (t) + δ u(t), λ ∗ (t),t) dt L δ dt

(3.14)

Dari persamaan (3.14) diperoleh Z t f +δt f t0

L δ dt =

Z tf t0

L δ dt +

Z t f +δt f tf

L δ dt

(3.15)

Teorema nilai rata-rata untuk integral digunakan pada suku kedua dari persamaan (3.15) sehingga diperoleh Z t f +δt f tf

L δ dt = L δ |t f (t f + δt f − t f ) = L δ |t f δt f

(3.16)

L δ diekspansikan menggunakan deret Taylor dan diambil suku berderajat satu da-

56


lam δ sehingga persamaan (3.16) menjadi Z t f +δt f tf

(

∂L T L dt ≈ L+ δ x(t) ∂x ∗ ) ∂L T ∂L T + δ x˙ (t) + δ u(t) δt f ∂ x˙ ∗ ∂u ∗

δ

tf

≈ L |t f δt f

3.2.4

(3.17)

Variasi Pertama

Didefinisikan selisih ∆J sebagai berikut ∆J = Ja (u(t)) − Ja (u∗ (t)) = = = =

Z t f +δt f t0 Z tf

L δ dt +

t0 Z tf t0 Z tf t0

L dt − δ

L δ dt −

Z tf

t0 Z t f +δt f tf Z tf t0

L dt L δ dt −

Z tf t0

L dt

L dt + L |t f δt f

(L δ − L ) dt + L |t f δt f

(3.18)

Ekspansikan L δ − L dengan ekspansi deret Taylor dan ambil suku berderajat satu maka diperoleh variasi pertama

δJ =

Z tf t0

(

∂L ∂x

T

∂L δ x(t) + ∂ x˙ ∗

T

∂L δ x˙ (t) + ∂u ∗

)

T

δ u(t)

dt

∗

+ L |t f δt f ( ) ) ( Z tf Z tf ∂L T ∂L T = δ x(t) dt + δ x˙ (t) dt ∂x ∗ ∂ x˙ ∗ t0 t0 ) ( Z tf ∂L T + δ u(t) dt + L |t f δt f ∂u ∗ t0

(3.19)

Pada suku yang mengandung δ x˙ (t) dalam persamaan (3.19) digunakan integral

57


parsial sehingga diperoleh Z tf ∂L T t0

∂ x˙

Z tf ∂L T d

(δ x(t)) dt ∂ x˙ ∗ dt " # t f ∂L T = δ x(t) ∂ x˙ ∗ t0 T Z tf d ∂L δ x(t) dt − dt ∂ x˙ ∗ t0

δ x˙ (t) dt =

t0

∗

(3.20)

x(t0 ) ditentukan maka δ x(t0 ) = 0. Jadi menggunakan (3.20) variasi pertama δ J menjadi

δJ =

T Z tf d ∂L ∂L T − δ x(t) dt + δ u(t) dt ∂ x˙ ∗ dt ∂ x˙ ∗ ∂u ∗ t0 t0 # " ∂L T δ x(t) (3.21) +L |t f δt f + ∂ x˙ ∗

Z t f ∂L

tf

3.2.5

Syarat Untuk Ekstrim

Bedasarkan Teorema 2.6 untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsional J, variasi pertama δ J harus sama dengan nol. Jadi diperoleh

∂L ∂x

d − dt ∗

∂L ∂u

∂L ∂ x˙

=0

(3.22)

∗

=0

(3.23)

∗

Persamaan (3.1) dapat ditulis dalam Lagrangian menjadi

∂L ∂λ

58

=0 ∗

(3.24)


Gambar 5: Syarat Titik Akhir Selain itu, akibat dari Teorema 2.6 variasi pertama (3.21) menjadi L |t f δt f +

"

∂L ∂ x˙

# δ x(t) = 0 ∗

T

(3.25)

tf

Persamaan (3.25) merupakan syarat batas untuk masalah kontrol optimal menggunakan prinsip minimum Pontryagin. Pada persamaan (3.25) suku yang memuat δ x(t) diubah menjadi suku yang memuat δ x f . Dalam gambar (5) gradien dari x˙ ∗ (t f ) + δ x˙ (t) dapat diaproksimasi sebagai berikut x˙ ∗ (t f ) + δ x˙ (t) =

δ x f − δ x(t f ) δt f

δ x f = δ x(t f ) + {˙x∗ (t f ) + δ x˙ (t)}δt f

(3.26)

Diambil hanya suku yang linear dalam δ sehingga diperoleh δ x(t f ) = δ x f − x˙ ∗ (t f )δt f

(3.27)

Persamaan (3.27) disubsitusikan pada syarat batas (3.24) sehingga diperoleh syarat

59


batas secara umum L ∗ |t f δt f + ∗

L |t f δt f + " δt f

3.2.6

"

∂L L − ∂ x˙ ∗

∂L ∂ x˙

"

∗

δ x(t) |t f

= 0

#

T

∗

{δ x f − x˙ (t f )δt f } |t f

∗

#

T

#

T

∂L ∂ x˙

∂L x (t f ) |t f + ∂ x˙ ∗

∗

= 0

T ∗

|t f δ xf = 0

(3.28)

Hamiltonian

Didefinisikan Hamiltonian H ∗ pada saat optimal sebagai T

H ∗ = V (x∗ (t), u∗ (t),t) + λ ∗ (t)f(x∗ (t), u∗ (t),t)

(3.29)

dengan H ∗ = H ∗ (x∗ (t), u∗ (t),t). Maka menggunakan (3.29) Lagrangian L menjadi L ∗ = L ∗ (x∗ (t), u∗ (t), λ ∗ (t),t) = H ∗ (x∗ (t), u∗ (t), λ ∗ (t),t) T T ∂S ∂S x˙ (t) + − λ ∗ (t)˙x∗ (t) + ∂x ∗ ∂t ∗

(3.30)

Persamaan (3.30) disubsitusikan ke dalam persamaan (3.22), (3.23), dan (3.24). Jadi, untuk kontrol optimal u∗ (t) persamaan (3.23) menjadi

∂L ∂u

=0→

∗

∂H ∂u

=0

(3.31)

∗

untuk keadaan optimal x∗ (t) persamaan (3.24) menjadi

∂L ∂λ

=0→

∗

60

∂H ∂λ

∗

= x˙ ∗ (t)

(3.32)


dan untuk adjoint optimal λ ∗ (t), persamaan (3.22) menjadi

∂H ∂x

∂H ∂x

∂ 2S + ∂ x2 ∗

∂ 2S + ∂ x2 ∗

T

∂L ∂x

d − dt ∗

T

∂ 2S x˙ (t) + ∂ x∂t ∗

∂ 2S x˙ (t)+ ∂ x∂t ∗

∂L ∂ x˙

− ∗

=0 ∗

"

d − dt ∗

∂ 2S ∂ x2

(

T

∂S ∂x

T

) − λ ∗ (t)

=0

∗

∂ 2S x˙ (t) + ∂ x∂t ∗

# − λ˙ ∗ (t) = 0

∗

sehingga

∂H ∂x

= −λ˙ ∗ (t)

(3.33)

∗

Selain itu, syarat batas (3.28) berubah menjadi " # T T ∂ L x˙ ∗ (t) δ xf = − δt f L ∗ − ˙ ∂ x ∗ t ∗ tf f " " # ∂S ∂S T ∗ ∂S T ∗ ∗T − λ (t) δ x f = −δt f H + x˙ (t) + ∂x ∗ ∂x ∗ ∂t ∗ ∗ tf T ∂S ∗T ∗ x˙ ∗ (t) − λ (t)˙x (t) − ∂x ∗ i T +λ ∗ (t)˙x∗ (t) tf " ! # ∂ST ∂S ∗T ∗ − λ (t) δ x f = −δt f H + (3.34) ∂x∗ ∂t ∗ t f

∂L ∂ x˙

∗ tf

Contoh 3.1. Diketahui sebuah sistem

x˙1 (t) = x2 (t) x˙2 (t) = u(t)

(3.35)

dan indeks peforma 1 J= 2

Z 2

u2 (t) dt

0

61

(3.36)


Carilah kontrol optimal dan keadaan optimal untuk sistem dan indeks peforma di atas dengan syarat x1 (0) = 1, x2 (0) = 2, x1 (2) = 1, dan x2 (2) = 0. Penyelesaian: Hamiltonian dari sistem (3.35) dan indeks peforma (3.36) adalah H

= H (x1 (t), x2 (t), u(t), λ1 (t), λ2 (t)) =

1 2 u (t) + λ1 (t)x2 (t) + λ2 (t)u(t) 2

(3.37)

Persamaan (3.31) menghasilkan u∗ (t) sebagai berikut ∂H ∂u

∗

= 0

u∗ (t) + λ2∗ (t) = 0 u∗ (t) = −λ2∗ (t)

(3.38)

Persamaan (3.38) disubsitusikan ke persamaan (3.37) sehingga diperoleh Hamiltonian optimal 2 1 ( 2 λ2 ∗ )(t) + λ1∗ (t)x2∗ (t) − λ2∗ 2 1 2 = λ1∗ (t)x2∗ (t) − λ2∗ 2

H ∗ (x1∗ (t), x2∗ (t), λ1∗ (t), λ2∗ (t)) =

(3.39)

Persamaan (3.32) dan (3.33) digunakan untuk memperoleh persamaan keadaan dan adjoint x˙1∗ (t) = +

x˙2∗ (t) = +

∂H ∂ λ1

∂H ∂ λ2

= x2∗ (t)

(3.40)

= −λ2∗ (t)

(3.41)

∗

∗

˙λ ∗ (t) = − ∂ H =0 1 ∂ x1 ∗ 62

(3.42)


˙λ ∗ (t) = − ∂ H = −λ1∗ (t) 2 ∂ x2 ∗

(3.43)

Dari persamaan (3.42) diperoleh λ˙ 1∗ (t) = 0 λ1∗ (t) = A

(3.44)

Dari persamaan (3.43) dan (3.44) diperoleh λ˙ 2∗ (t) = −λ1∗ (t) λ˙ 2∗ (t) = −A λ2∗ (t) = −At + B

(3.45)

Dari persamaan (3.41) dan (3.45) diperoleh x˙2∗ (t) = −λ2∗ (t) x˙2∗ (t) = −(−At + B) x2∗ (t) =

1 2 At − Bt +C 2

(3.46)

Dari persamaan (3.40) dan (3.46) diperoleh x˙1∗ (t) = x2∗ (t) 1 2 At − Bt +C 2 1 3 1 2 x1∗ (t) = At − Bt +Ct + D 6 2 x˙1∗ (t) =

(3.47)

Diketahui syarat batas pada t0 = 0 yaitu x1∗ (0) = 1 dan x2∗ (0) = 2 sehingga menggunakan persamaan (3.46) dan (3.47) diperoleh C = 2 dan D = 1. Diketahui syarat 63


batas pada t f = 2 yaitu x1∗ (2) = 1 dan x2∗ (2) = 0 sehingga menggunakan persamaan (3.46) dan (3.47) diperoleh A = 3 dan B = 4. Jadi, keadaan optimalnya adalah 1 3 t − 2t 2 + 2t + 1 2 3 2 x2∗ (t) = t − 4t + 1 2

x1∗ (t) =

adjoint optimalnya adalah λ1∗ (t) = 3 λ2∗ (t) = −3t + 4

dan kontrol optimalnya u∗ (t) = −λ2∗ (t) u∗ (t) = 3t − 4

Grafik kontrol optimal, keadaan optimal dan adjoint optimal dapat dilihat pada gambar (6), (7), dan (8). Contoh 3.2. Diketahui sebuah sistem

x˙1 (t) = x2 (t) x˙2 (t) = −2x1 (t) + 5u(t)

(3.48)


Z 2 0

[x12 (t) + u2 (t)] dt

(3.49)

Carilah kontrol optimal dan keadaan optimal untuk sistem dan indeks peforma di atas dengan syarat x1 (0) = 3, x2 (0) = 5, x1 (2) = 0, dan x2 (2) = 0. 64


2

u* (kontrol optimal

1

0

−1

−2

−3

−4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 t (waktu)

1.4

1.6

1.8

2

Gambar 6: Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.1 2 x1 x2

x* (Keadaan optimal)

1

0

−1

−2

−3

−4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 t (waktu)

1.4

1.6

1.8

2

Gambar 7: Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.1 Penyelesaian: Hamiltonian dari sistem (3.48) dan indeks peforma (3.49) adalah H

= H (x1 (t), x2 (t), u(t), λ1 (t), λ2 (t)) =

1 2 1 x1 (t) + u2 (t) + λ1 (t)x2 (t) 2 2 + λ2 (t)5u(t) − 2λ2 (t)x1 (t)

65

(3.50)


4 lamda1 lamda2

3

lamda* (Adjoint optimal)

2 1 0 −1 −2 −3 −4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 t (waktu)

1.4

1.6

1.8

2

Gambar 8: Grafik Adjoint Optimal Contoh 3.1 Persamaan (3.31) menghasilkan u∗ (t) sebagai berikut ∂H ∂u

∗

= 0

u∗ (t) + 5λ2∗ (t) = 0 u∗ (t) = −5λ2∗ (t)

(3.51)

Persamaan (3.51) disubsitusikan ke persamaan (3.50) sehingga diperoleh Hamiltonian optimal H ∗ (x1∗ (t), x2∗ (t), λ1∗ (t), λ2∗ (t)) =

25 2 1 ∗2 x1 (t) + λ2∗ (t) + λ1∗ (t)x2∗ (t) 2 2 2

− 25∗2 (t) − 2λ2∗ (t)x1∗ (t) =

1 ∗2 25 2 x1 (t) + λ1∗ (t)x2∗ (t) − λ2∗ 2 2 − 2λ2∗ (t)x1∗ (t)

(3.52)

Persamaan (3.32) dan (3.33) digunakan untuk memperoleh persamaan keadaan dan

66


adjoint x˙1∗ (t) = +

∂H ∂ λ1

= x2∗ (t)

(3.53)

= −25λ2∗ (t) − 2x1∗ (t)

(3.54)

∂H ∗ ˙ λ1 (t) = − = −x1∗ (t) + 2λ2∗ (t) ∂ x1 ∗

(3.55)

x˙2∗ (t) = +

∂H ∂ λ2

∗

∂H λ˙2 (t) = − ∂ x2 ∗

∗

= −λ ∗1 (t)

(3.56)

∗

Persamaan (3.53), (3.54), (3.55), dan (3.56) membentuk suatu sistem persamaan diferensial biasa. Sistem tersebut dapat diselesaikan dengan secara numeris dengan M-file sebagai berikut

%%%%%%%%%% clc close all clear all

% Inisialisasi t=0:0.01:2;

% Mencari Keadaan Optimal dan Adjoint Optimal S=dsolve(’Dx1=x2,Dx2=(-25*lamda2)-(2*x1), Dlamda1=-x1+(2*lamda2),Dlamda2=-lamda1, x1(0)=3,x2(0)=5,x1(2)=0,x2(2)=0’); S.x1;

67


S.x2; S.lamda1; S.lamda2;

% Mengubah Simbolik Menjadi Numerik j=1; for tp=0:0.01:2 t=sym(tp); x1p(j)=double(subs(S.x1)); x2p(j)=double(subs(S.x2)); up(j)=-5*double(subs(S.lamda2)); t1(j)=tp; j=j+1; end

% Grafik Keadaan Optimal plot(t1,x1p,’r’,t1,x2p,’g’) ylabel(’x* (Keadaan Optimal)’) xlabel (’t (Waktu)’) legend(’x1’,’x2’)

% Grafik Kontrol Optimal plot(t1,up,’b:’) xlabel (’t (Waktu)’) ylabel(’u* (Kontrol Optimal)’)

68


%%%%%%%%%%

Jadi, diperoleh kontrol optimal seperti pada gambar (9) dan keadaan optimal seperti pada gambar (10) 2

1

u* (Kontrol Optimal)

0

−1

−2

−3

−4

−5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 t (Waktu)

1.4

1.6

1.8

2

Gambar 9: Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.2

Gambar 10: Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.2

69


3.3

Sistem Kontrol Kuadratik Linear

Salah satu masalah dalam optimal kontrol adalah masalah kuadratik linear. Pada masalah kuadratik linear persamaan-persamaan sistem berbentuk linear dan indeks peforma merupakan fungsional kuadratik dari variabel keadaan dan variabel kontrol. Solusi dari masalah ini menghasilkan sebuah variabel kontrol yang merupakan fungsi linear dari variabel keadaan. Dalam masalah kuadratik linear terdapat 2 sistem yaitu sistem regulator kuadratik linear dan sistem tracking kuadratik linear. Sistem regulator kuadratik linear menghasilkan optimal kontrol untuk mengatur atau menjaga keadaan di sekitar nol. Sistem tracking kuadratik linear menghasilkan optimal kontrol yang mengatur luaran dari sistem berada pada keadaan yang diinginkan. 3.3.1

Formulasi Masalah Regulator Kuadratik Linear

Sistem pada masalah regulator kuadratik linear diformulasikan

x˙ (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

(3.57)

dengan A(t) adalah matriks keadaan, B(t) adalah matriks kontrol, x(t) adalah vektor keadaan, dan u(t) adalah vektor kontrol. Indeks peforma pada sistem regulator kuadratik linear berbentuk

J(u(t)) = J(x(t0 ), u(t0 ),t0 ) =

1 x(t f )T F(t f )x(t f ) 2 Z 1 tf + [x(t)T Q(t)x(t) + uT (t)R(t)u(t)] dt 2 t0

(3.58)

dengan F(t f ) matriks bobot biaya akhir, Q(t) adalah matriks bobot galat, R(t) adalah matriks bobot kontrol. 70


3.3.2

Masalah Regulator Kuadratik Linear Dengan Waktu Berhingga dan Invariant

Pertama-tama diformulasikan sistem dan indeks peforma dari masalah regulator kuadratik linear dengan waktu berhingga dan invariant. Sistem pada masalah regulator kuadratik linear waktu berhingga dan invariant diformulasikan

x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t)

(3.59)

dengan A adalah matriks keadaan, B adalah matriks kontrol, x(t) adalah vektor keadaan, dan u(t) adalah vektor kontrol. Indeks peforma pada masalah regulator kuadratik linear dengan waktu berhingga dan invariant berbentuk

J(u)(t) = J(x(t0 ), u(t),t0 ) =

1 T x (t f )F(t f )x(t f ) 2 Z 1 tf T + [x (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)] dt 2 t0

(3.60)

dengan F(t f ) matriks bobot biaya akhir, Q adalah matriks bobot galat, dan R adalah matriks bobot kontrol. Asumsi-asumsi pada model sistem regulator kuadratik linear waktu berhingga adalah 1. Kontrol u(t) tidak memiliki kendala. 2. Kondisi awal x(t = t0 ) = x0 diketahui, waktu akhir ditentukan, dan keadaan akhir x(t f ) tidak ditentukan. 3. F(t f ) dan Q merupakan matriks semidefinit positif. R merupakan matriks definit positif.

71


Hamiltonian Diformulasikan Hamiltonian untuk indeks peforma (3.60) berdasarkan definisi Hamiltonian pada (3.29)

H(x(t), u(t), λ (t)) =

1 T 1 x (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t) 2 2 + λ T (t)[Ax(t) + Bu(t)]

(3.61)

dengan λ (t) adalah vektor adjoint. Kontrol Optimal Berdasarkan persamaan (3.31) diperoleh kontrol optimal ∂H ∂u

= 0

Ru∗ (t) + BT λ ∗ (t) = 0 u∗ (t) = −R−1 BT λ ∗ (t)

(3.62)

Sistem Keadaan dan Adjoint Bedasarkan persamaan (3.32) diperoleh keadaan optimal x∗ (t) ∂H x˙ (t) = + ∂λ ∗

∗

x˙ ∗ (t) = AT x∗ (t) + Bu∗ (t) x˙ ∗ (t) = AT x∗ (t) − BR−1 BT λ ∗ (t)

(3.63)

Bedasarkan persamaan (3.33) diperoleh adjoint optimal λ ∗ (t) ˙λ ∗ (t) = − ∂ H ∂x ∗ ∗ ∗ λ˙ (t) = −Qx (t) − AT λ ∗ (t) 72

(3.64)


Persamaan (3.63) dan (3.64) akan membentuk sistem Hamiltonian   

x˙ ∗ (t)







x∗ (t)



  A −E     =  λ˙ ∗ (t) Q AT λ ∗ (t)

dengan E = BR−1 BT . Pada masalah regulator kuadratik linear t f ditentukan sehingga δt f sama dengan nol pada persamaan (3.34). Selain itu, x(t f ) tidak ditentukan sehingga δ x f sembarang pada persamaan (3.34). Jadi koefisien δ x f pada persamaan (3.34) harus sama dengan nol. ∂S λ (t) = ∂ x(t f ) ∗ 1 T ∂ 2 x (t f )F(t f )x(t f ) = ∂ x(t f )

∗

= F(t f )x∗ (t f )

(3.65)

Persamaan Matriks Diferensial Riccati Diasumsikan sebuah transformasi λ ∗ (t) = P(t)x∗ (t)

(3.66)

dengan P(t) merupakan matriks yang tidak diketahui. Persamaan (3.66) diturunkan terhadap t menjadi ∗ ˙ λ˙ ∗ (t) = P(t)x (t) + P(t)˙x∗ (t)

(3.67)

Transformasi (3.66) disubsitusikan pada persamaan (3.63) dan (3.64) sehingga diperoleh x˙ ∗ (t) = Ax∗ (t) − BR−1 BT P(t)x∗ (t)

73

(3.68)


λ˙ ∗ (t) = −Qx∗ (t) − AT P(t)x∗ (t)

(3.69)

Persamaan (3.68) dan (3.69) disubsitusikan ke persamaan (3.67) sehingga diperoleh ∗ ˙ −Qx∗ (t) − AT P(t)x∗ (t) = P(t)x (t) + P(t)[Ax∗ (t)

− BR−1 BT P(t)x∗ (t)]

˙ + P(t)A + AT P(t) + Q − P(t)EP(t)]x∗ (t) = 0 [P(t)

(3.70)

dengan E = BR−1 BT . Persamaan (3.70) harus berlaku untuk setiap t ∈ [t0 ,t f ] dan P(t) tidak tergantung pada keadaan awal sehingga persamaan (3.70) berlaku untuk setiap nilai x∗ (t). Hal ini mengakibatkan P(t) harus memenuhi persamaan matriks diferensial

˙ + P(t)A + AT P(t) + Q − P(t)EP(t) = 0 P(t) ˙ = −P(t)A − AT P(t) − Q + P(t)EP(t) P(t)

(3.71)

dengan E = BR−1 BT . Diketahui pada persamaan (3.66) λ ∗ (t f ) = P(t f )x∗ (t f ) dan pada persaman (3.65) λ ∗ (t f ) = F(t f )x∗ (t f ). Jadi, persamaan matriks diferensial Riccati dapat diselesaikan dengan syarat akhir P(t f ) = F(t f ). Persamaan (3.71) adalah persamaan matriks diferensial Riccati. Transformasi (3.66) adalah transformasi Riccati dan P(t) adalah matriks koefisien Riccati. Contoh 3.3. Diketahui sebuah sistem

x˙1 (t) = x2 (t) x˙2 (t) = −2x1 (t) + 5u(t)

74

(3.72)



Z 2 0

[x12 (t) + u2 (t)] dt

(3.73)

Carilah kontrol optimal dan keadaan optimal untuk sistem dan indeks peforma di atas dengan syarat x1 (0) = 3, x2 (0) = 5, dan x(2) tidak ditentukan. Penyelesaian: Sistem (3.72) dengan indeks peforma (3.73) merupakan masalah regulator kuadratik linear dengan 











 0 1   0   1 0  A= , B =  , Q =  , −2 0 5 0 0 



 0 0  F(2) =  , R = 0 0

1

,

Masalah tersebut diselesaikan secara numeris dengan M-file pada kotak di bawah ini. M-file tersebut menggunakan file tambahan lqrnss.m dan lqrnssf.m (lihat lampiran).

%%%%%%%%%%%% clc close all clear all

A= [0 1;-2 0]; B= [0;5]; Q= [1 0;0 0]; F=zeros(2); R=[1];

75


tspan=[0 2]; x0 = [3 5] ; [x, u, K] = lqrnss(A, B, F, Q, R, x0,tspan) %%%%%%%%%%%%%

Jadi, diperoleh kontrol optimal dan keadaan optimal seperti pada gambar (11) dan (12). 2

1

u* (Kontrol Optimal)

0

−1

−2

−3

−4

−5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 t (Waktu)

1.4

1.6

1.8

2

Gambar 11: Grafik Kontrol Optimal Contoh 3.3

3.3.3

Masalah Regulator Kuadratik Linear Dengan Waktu Takhingga dan Invariant

Masalah regulator kuadratik linear dengan waktu takhingga bertujuan agar regulator keadaan tetap dekat dengan keadaan nol setelah transient awal. Sistem pada masalah regulator kuadratik linear dengan waktu takhingga dan invariant diformulasikan sebagai x˙ (t) = Ax(t) + Bu(t)

76

(3.74)


5 x1 x2

4

x* (Keadaan Optimal)

3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 t (Waktu)

1.4

1.6

1.8

2

Gambar 12: Grafik Keadaan Optimal Contoh 3.3 dengan A adalah matriks keadaan, B adalah matriks kontrol, x(t) adalah vektor keadaan, dan u(t) adalah vektor kontrol. Indeks peforma pada masalah regulator kuadratik linear dengan waktu takhingga dan invariant berbentuk

J(u(t)) = J(x(t0 ), u(t0 ),t0 ) =

1 2

Z ∞

[xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)] dt

(3.75)

t0

dengan Q adalah matriks bobot galat, dan R adalah matriks bobot kontrol. Asumsi-asumsi pada model sistem regulator kuadratik linear waktu takhingga dan invariant adalah 1. Kontrol u(t) tidak memiliki kendala. 2. Keadaan awal x(t = t0 ) = x0 diketahui, waktu akhir takhingga, dan keadaan akhir limt→∞ x(t) = 0. 3. Q merupakan matriks semidefinit positif dan R merupakan matriks definit positif. 77


4. F(t f ) = 0 karena pada masalah nyata fungsi biaya akhir tidak mempunyai makna. 5. Sistem (3.74) harus dapat dikontrol untuk menjamin biaya optimal berhingga. Asumsi 4 dan 5 mengakibatkan

lim {P(t f )} = P¯

t f →∞

dengan P¯ adalah matriks konstan yang simetris dan definit positif. Jika P¯ adalah matriks konstan dengan

d P¯ dt

= 0, maka persamaan diferensial Ri-

ccati pada persamaan (3.71) berubah menjadi

¯ − AT P¯ − Q + PE ¯ P¯ = 0 −PA

(3.76)

dengan E = BR−1 BT . Persamaan (3.76) adalah persaman aljabar Riccati dan P¯ adalah solusi dari persamaan aljabar Riccati. Kontrol optimal diperoleh dengan cara mengubah persamaan (3.62) menjadi u∗ (t) = −R−1 BT λ ∗ (t) ¯ ∗ (t) u∗ (t) = −R−1 BT Px ¯ ∗ (t) u∗ (t) = −Kx

(3.77)

¯ = −R−1 BT P. ¯ K ¯ merupakan matriks umpan balik dan disebut Kalman dengan K Gain. Keadaan optimal adalah solusi dari sistem yang diperoleh dengan menggu-

78


nakan kontrol (3.77) dalam sistem (3.74) ¯ ∗ (t) x˙ ∗ (t) = AT x∗ (t) − BR−1 BT Px ¯ ∗ (t) x˙ ∗ (t) = [AT − BR−1 BT P]x x˙ ∗ (t) = Gx∗ (t)

(3.78)

¯ dengan G = AT − BR−1 BT P. Contoh 3.4. Diketahui sebuah sistem

x˙1 (t) = x2 (t) x˙2 (t) = −2x1 (t) + 5u(t)

(3.79)

1 J= 2

(3.80)

dan indeks peforma Z ∞ 0

[x12 (t) + u2 (t)] dt

Carilah kontrol optimal dan keadaan optimal untuk sistem dan indeks peforma di atas dengan syarat x1 (0) = 3, x2 (0) = 5, dan limt→∞ x(t) = 0. Penyelesaian: Sistem (3.79) dengan indeks peforma (3.80) merupakan masalah regulator kuadratik linear dengan 











 0 1   0   1 0  A= , B =  , Q =  , R = −2 0 5 0 0

1

Masalah tersebut diselesaikan secara numeris dengan M-file sebagai berikut

%%%%%%%%%%%% clear all close all 79


clc

%Inisialisasi x10=3; x20=5; X0=[x10;x20]; A= [0 1;-2 0]; B= [0;5]; Q= [1 0;0 0]; R=[1]; [K, P, EV ] = lqr(A, B, Q, R) %% K = Matriks Umpan Balik; %% P = Maatriks Riccati; %% EV = Nilai Eigen Dari Sistem Rangkaian Tertutup A - B*K BIN=[0;0]; % dummy untuk command awal C= [1 1]; D= [1] ; tfinal=10; t=0:0.01:10; [Y, X,t] = initial(A − B ∗ K, BIN,C, D, X0,t f inal); x1t=[1 0]*X’; %% mengambil x1 dari vektor X x2t=[0 1]*X’; %% mengambil x2 dari vektor X ut=-K*X’;

%Grafik Keadaan Optimal dan Kontrol Optimal plot(t,x1t,’r’,t,x2t,’g’,t,ut,’b’)

80


xlabel (’t (Waktu)’) legend(’x1’,’x2’)

Jadi, diperoleh kontrol optimal dan keadaan optimal seperti pada gambar (13). 5 x1 x2 u

4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 0

1

2

3

4

5 t (Waktu)

6

7

8

9

10

Gambar 13: Grafik Keadaan Optimal dan Kontrol Optimal Contoh 3.4

81


BAB 4 SISTEM KONTROL OPTIMAL GLUKOSA DARAH PADA PENGOBATAN DIABETES MELLITUS Pada bab ini akan dibahas mengenai model kadar glukosa darah dan kontrol optimal untuk kadar glukosa darah pada penderita diabetes.

4.1

Model Kadar Glukosa Darah

Dalam membangun model matematika untuk kadar glukosa darah digunakan dua konsentrasi yaitu: • G didefinisikan sebagai kadar glukosa dalam darah. • H didefinisikan sebagai kadar isulin dalam darah. Laju perubahan kadar glukosa dalam darah dipengaruhi oleh kadar glukosa, kadar isulin, dan suplai glukosa dari luar. Suplai glukosa dari luar misalnya suntik glukosa dan pemberian obat yang mengandung kadar glukosa. dG = F1 (G, H) + J(t) dt

(4.1)

dengan F1 (G, H) adalah fungsi dalam G dan H, dan J(t) adalah suplai glukosa dari luar. Laju perubahan kadar insulin dalam darah dipengaruhi oleh kadar glukosa, kadar insulin, dan suplai insulin dari luar. Suplai insulin dari luar misalnya suntik insulin. dH = F2 (G, H) + K(t) dt

(4.2)

dengan F2 (G, H) adalah fungsi dalam G dan H, dan K(t) adalah suplai insulin dari luar.

82


Pada saat pasien berpuasa, G dan H mencapai nilai optimal atau nilai kesetimbangan yaitu G0 (nilai kesetimbangan kadar glukosa dalam darah) dan H0 (nilai kesetimbangan kadar insulin dalam darah). Suatu fungsi akan mencapai nilai optimal pada saat turunan pertamanya sama dengan 0. Dari persamaan (4.1) pada saat optimal, J(t) = 0 dan K(t) = 0 karena tidak ada tambahan glukosa dan insulin. Dengan demikian dari persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleh F1 (G0 , H0 ) = 0 dan F2 (G0 , H0 ) = 0 Penyimpangan G dan H dari nilai optimalnya akan menjadi fokus dari model ini. Hal ini dikarenakan besarnya penyimpangan akan menentukan seseorang terkena diabetes atau tidak. Misalkan g adalah penyimpangan kadar glukosa dari nilai optimalnya dan h adalah penyimpangan kadar insulin dari nilai optimalnya maka

g = G − G0 h = H − H0

g dan h disubsitusikan ke persamaan (4.1) dan (4.2), sehingga diperoleh dg = F1 (G0 + g, H0 + h) + J(t) dt dh = F2 (G0 + g, H0 + h) + K(t) dt

(4.3) (4.4)

F1 dan F2 diekspansikan dengan ekspansi deret Taylor. Diasumsikan G dan H tidak terlalu berbeda dari G0 dan H0 sehingga dapat diambil suku berderajat satu. Jadi, deret Taylor dari F1 dan F2 adalah

F1 (G0 + g, H0 + h) = F1 (G0 , H0 ) +

∂ F1 (G0 , H0 ) ∂ F1 (G0 , H0 ) g+ h ∂g ∂h

F2 (G0 + g, H0 + h) = F2 (G0 , H0 ) +

∂ F2 (G0 , H0 ) ∂ F2 (G0 , H0 ) g+ h ∂g ∂h

83


Diketahui F1 (G0 , H0 ) = 0 dan F2 (G0 , H0 ) = 0 maka diperoleh

F1 (G0 + g, H0 + h) =

∂ F1 (G0 , H0 ) ∂ F1 (G0 , H0 ) g+ h ∂g ∂h

(4.5)

F2 (G0 + g, H0 + h) =

∂ F2 (G0 , H0 ) ∂ F2 (G0 , H0 ) g+ h ∂g ∂h

(4.6)

Perhatikan bahwa insulin adalah hormon yang menurunkan kadar glukosa darah. Pertimbangan seperti ini memungkinkan untuk menentukan tanda-tanda koefisien dalam persamaan (4.5) dan (4.6).

Gambar 14: Absorbsi Glukosa dan Hormon Dari gambar (14) dilihat bahwa kadar insulin yang mempengaruhi kadar glukosa darah adalah sebesar h. Jika h = 0 berarti tidak ada kadar insulin yang mempengaruhi kadar glukosa darah. Dengan demikian, semakin lama kadar glukosa dalam darah akan berkurang karena jaringan hanya menyerap glukosa yang terdapat di dalam darah dan glukosa yang disimpan dalam bentuk glikogen di dalam hati sehingga dg dt

pasti negatif untuk g > 0. Jadi,

∂ F1 (G0 ,H0 ) ∂g

= −a dengan a adalah sebuah konstan-

ta positif. Selain itu jika g > 0 endokrin menghasilkan hormon yang meningkatkan H. Apabila H meningkat maka h juga meningkat positif. Jadi

∂ F2 (G0 ,H0 ) ∂g

= c dengan

c adalah sebuah konstanta positif. Jika h > 0, insulin akan memfasilitasi penyerapan glukosa oleh jaringan dan meningkatkan pengubahan glukosa menjadi glikogen.

84


Kedua hal tersebut mengakibatkan penurunan kadar glukosa darah sehingga gatif. Jadi,

∂ F1 (G0 ,H0 ) ∂h

dg dt

ne-

= −b dengan b adalah suatu konstanta positif. Selain itu,

semakin lama H akan berkurang karena metabolisme hormon. Jadi

∂ F2 (G0 ,H0 ) ∂h

= −e

dengan e adalah sebuah konstanta positif. Dengan demikian maka persamaan (4.3) dan (4.4) dapat ditulis sebagai berikut dg = −ag − bh + J(t) dt dh = cg − eh + K(t) dt

(4.7) (4.8)

dengan • a adalah konstanta laju perubahan kadar glukosa akibat kadar glukosa darah di atas kadar kesetimbangan. • b adalah konstanta laju perubahan kadar glukosa akibat kadar efek berbagai hormon berada di atas kadar kesetimbangan. • c adalah konstanta laju perubahan kadar insulin akibat kadar glukosa darah berada di atas kadar kesetimbangan. • e adalah konstanta laju perubahan kadar insulin akibat kadar efek berbagai hormon berada di atas kadar kesetimbangan. Model tersebut adalah model kadar glukosa darah Ackerman. Model ini akan digunakan untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal kadar glukosa darah. Nilai-nilai dari parameter model diperoleh dari penelitian mencocokkan kadar glukosa darah dan insulin ke model berdasarkan tes GTT (Glucose Tolerance Test) pada beberapa pasien. Beberapa nilai parameter dapat dilihat pada tabel 4.1 dengan • Nn adalah pasien normal dan Dn adalah pasien diabetes.

85


0

n

i • EG dan EH adalah nilai galat yang didefinisikan ∑N i=1 N dengan ni adalah data 0

pengukuran, ni adalah data pencocokan terbaik, N adalah total banyaknya titik-titik data (Frederick Chee dan Tyrone Fernando, 2007). Pasien N6 N4 N3 N1 N2 N5 D4a D4b D2 D8 D7a D6 D11 D1 D7b

EG 0.09 0.22 0.23 0.41 0.65 0.70 0.15 0.08 0.11 0.32 0.33 0.33 0.36 1.10 1.60

EH 2.5 6.5 1.3 6.5 11.3 2.6 8.8 3.9 4.4 13.5 364 939 6.9 121 442

a 0.0351 0.0273 0.0617 0.0251 0.0536 0.0574 0.0020 0.0009 0.0016 0.0035 0.0027 0.0081 0.0088 0.0063 0.0056

b 0.0262 0.0271 0.0438 0.0703 0.0858 0.1575 0.0014 0.0031 0.0143 0.0006 0.0012 0.0857 0.0001 0.0011 0.0011

c 0.0540 0.0540 0.0590 0.0980 0.0108 0.0729 0.0220 0.0415 0.0293 0.0418 0.0260 0.0011 0.0338 0.0072 0.0097

e 0.0262 0.0136 0.0277 0 0.0423 0 0 0 0 0 0 0.0006 0 0 0

Tabel 4.1: Nilai Parameter Model Ackerman

4.2

Sistem Regulator Linear Kuadratik Pada Masalah Kontrol Optimal Di Bidang Biomedical

Pengobatan pada sebuah penyakit berhubungan dengan sistem biologi yang kompleks. Hal ini mengakibatkan ketidakjelasan apakah keadaan setelah pengobatan yang diinginkan dapat dicapai dengan kendala-kendala yang ditentukan. Ketidakpastian itu disebabkan karena hanya sebagian variabel keadaan yang dapat diukur dalam sistem biologi. Sebagai contoh dapat diamati pengobatan yang dilakukan untuk penderita diabetes. Variabel keadaan untuk pengobatan diabetes antara lain kadar gula darah, kadar insulin, kadar glukagon, kadar epineprin, kadar glukokortison, kadar tiroksin, dan kadar hormon pertumbuhan. Namun, pada umumnya 86


hanya diukur kadar gula darah dan kadar insulin dalam pengobatan diabetes. Hal ini mengakibatkan keadaan penyakit yang sebenarnya tidak dapat diketahui secara pasti sehingga tidak ada jaminan pengobatan yang dilakukan akan mencapai luaran yang diinginkan. Oleh karena itu, dokter dan tenaga medis cenderung melakukan pengobatan dan berusaha meminimumkan efek samping dari obat atau radiasi selama pengobatan. Masalah pengobatan tidak sekedar mengenai pengaturan mencapai suatu kondisi pasien yang diinginkan. Sejumlah besar pengobatan meliputi pengaturan penggunaan obat. Kondisi pasien yang diinginkan dicapai dengan penggunakan obat yang seminimal mungkin. Penggunaan obat yang seminimal mungkin tersebut dapat meminimalkan efek samping dari pemberian obat selama pengobatan. Oleh karena itu, diperlukan suatu indeks performa yang dapat mengaproksimasi efek samping dari obat atau radiasi selama pengobatan. Salah satu cara untuk meminimumkan efek samping adalah dengan meminimumkan penyimpangan keadaaan pasien dengan keadaan yang diinginkan. Dikonstruksikan sebuah vektor luaran

y(t) = Cx(t)

dengan C adalah matriks luaran. Didefinisikan z(t) adalah vektor luaran yang diinginkan. Besarnya penyimpangan keadaan hasil pengobatan dari keadaan yang diinginkan dinyatakan sebagai

e(t) = y(t) − z(t)

Maka indeks peforma dari masalah sistem kontrol optimal pada masalah di bidang

87


biomedical adalah 1 T 1 J(u) = x (t f )F(t f )x(t f ) + 2 2

Z tf

[xT (t)Qx(t)

t0

+ uT (t)Ru(t)]dt

(4.9)

dengan sistem x(t) = Ax(t) + Bu(t)

(4.10)

F(t f ) dan Q adalah matriks semidefinit positif. R adalah matriks definit positif. Banyak masalah optimal kontrol dalam biomedical merupakan masalah regulator kuadratik linear. Misalkan C adalah matriks identitas dan z(t) adalah vektor konstan xd maka e = x − xd . Sebagai pengganti persamaan (3.69) vektor adjoint memenuhi persamaan λ˙ ∗ (t) = −Q(x∗ (t) − x∗d (t)) − AT λ ∗ (t)

(4.11)

Persamaan (4.11) mengandung suku yang tidak homogen maka λ ∗ (t) = P(t)x∗ (t) + µ(t)

(4.12)

Persamaan (4.12) diturunkan setiap sisinya dan persamaan (4.10), (4.11) dan (4.12) disubsitusikan pada hasil penurunan sehingga diperoleh ∗ ˙ λ˙ ∗ (t) = P(t)x (t) + P(t)˙x∗ (t) + µ(t)

−Q(x∗ (t) − x∗d (t)) − AT λ (t) =

88

−P(t)A − AT P(t) − Q +P(t)BR−1 BT P(t) x∗ (t)


+ P(t) (Ax∗ (t) + Bu(t)) + µ(t) ˙ Qx∗d (t) = (AT − P(t)BR−1 BT )µ(t) + µ(t)

(4.13)

Diasumsikan Q(t) adalah matriks konstan yaitu Q(t) = Q0 , maka µ(t) dapat dipilih sebagai matriks konstan µ0 dengan Q0 x∗d = (AT − PBR−1 BT )µ0

(4.14)

Persamaan (4.14) akan menghasilkan vektor kolom µ0 asalkan (AT −PBR−1 BT )−1 ada. Jadi, persamaan (4.12) menjadi λ ∗ (t) = P(t)x∗ (t) + µ0

4.3

(4.15)

Kontrol Optimal Untuk Kadar Glukosa Darah

Salah satu penggunaan sistem regulator linear kuadratik pada masalah kontrol optimal di bidang biomedical adalah kontrol kadar glukosa darah. Sistem dari masalah kontrol optimal tersebut merupakan sistem persamaan menggunakan model Ackerman dengan J(t) = 0, u(t) = K(t), x1 (t) = g(t), dan x2 (t) = h(t)

x˙1 (t) = −ax1 (t) − bx2 (t)

(4.16)

x˙2 (t) = cx1 (t) − ex2 (t) + u(t)

(4.17)

dengan x1 (0) = x10 dan x2 (0) = x0 . Namun, pada penderita diabetes mellitus tipe 1 kemampuan tubuh untuk memproduksi insulin telah rusak. Dalam situasi ini parameter c diambil sama dengan nol. Jadi, persamaan (4.17) berubah menjadi

x˙2 (t) = −ex2 (t) + u(t)

89

(4.18)


Misalkan xd (t) adalah penyimpangan kadar glukosa darah yang diinginkan dari kadar setimbangnya dan x1 (t) adalah peyimpangan kadar glukosa darah dari kadar setimbangnya. Penyimpangan kadar glukosa darah dari dari kadar yang diinginkan

G(t) − Gd (t) = G(t) − G0 (t) − (Gd (t) − G0 (t)) = x1 (t) − xd (t)

diminimumkan. Selain itu, dosis insulin yang masuk ke dalam tubuh perlu diminimumkan agar efek samping dapat direduksi seminimal mungkin. Jadi, indeks peforma masalah kontrol optimal untuk kadar glukosa darah adalah

J(u) =

Z ∞ 0

[(x1 (t) − xd (t))2 + ρu2 (t)] dt

(4.19)

dengan ρ > 0 adalah suatu faktor bobot skalar yang mengatur sensitivitas kontrol yang diperoleh. Nilai yang besar dari ρ mengakibatkan penggunaan dari nilai yang besar dari u(t). Sistem dengan persamaan (4.16) dan (4.18) merupakan sistem pada masalah regulator kuadratik linear dengan 







 0   −a −b  A= ; B =   0 −e 1 Indeks peforma (4.19) merupakan indeks peforma pada masalah sistem regulator linear kuadratik dengan 







 0 0   1 0  F= ; Q = 2 ; R = 2 0 0 0 0 ;

90

ρ


Misalkan P¯ adalah matriks konstan yang simetris dan definit positif 



 p1 p2    p2 p4 P¯ merupakan solusi dari persamaan aljabar Riccati (3.76) −1 T ¯ ¯ − AT P¯ − Q + PBR ¯ −PA B P=0

















 p1 p2   −a −b   −a 0   p1 p2   1 0  −  −  −2  p2 p4 0 −e −b −e p2 p4 0 0 







 p1 p2   0  1 +   p2 p4 1 2ρ

0 1





 p1 p2   0 0   =  p2 p4 0 0

  









p1 a + p1 a

p1 b + p2 e + p2 a   −2 0  +  p2 a + p1 b + p2 e 2p2 b + 2p4 e 0 0   +

p22 2ρ p2 p4 2ρ

p2 p4 2ρ p24 2ρ







  0 0  =  0 0

(4.20)

Persamaan aljabar Riccati (4.20) menghasilkan sistem persamaan

dengan ∆ =

p1 2ρ ,

K1 =

p2 2ρ ,

2a∆ − ρ −1 + K12 = 0

(4.21)

∆b + K1 (a + e + K2 ) = 0

(4.22)

2bK1 + 2eK2 + K22 = 0

(4.23)

dan K2 =

p4 2ρ

(lihat lampiran).

91


Persamaan (4.21) dapat ditulis menjadi 2a∆ + K12 − ρ −1 = 0 2a∆ = −K12 + ρ −1 ∆ =

−K12 ρ −1 + 2a 2a

(4.24)

Persamaan (4.24) disubsitusikan ke persamaan (4.22) sehingga persamaan (4.22) menjadi −K12 ρ −1 + b + K1 (a + e + K2 ) = 0 2a 2a −K12 b ρ −1 b + + K1 K2 + K1 aK1 e = 0 2a 2a b K12 b − − 2aK1 K2 − 2a(a + e)K1 = 0 ρ

(4.25)

Persamaan (4.23) dapat ditulis menjadi

2bK1 + 2eK2 + K22 = 0 K1 = −

eK2 K22 − b 2b

(4.26)

Persamaan (4.26) disubsitusikan ke persamaan (4.25) sehingga persamaan (4.25) menjadi −K12 b −

b − 2aK1 K2 − 2a(a + e)K1 = 0 ρ

2 eK2 K22 b eK2 K22 − − − K2 b − − 2a − b 2b ρ b 2b eK2 K22 −2a(a + e) − − =0 b 2b [K22 + (2aK2 + 2eK2 )]2 + 4aeK22 + 4ae(2aK2 + 2eK2 ) −

92

4b2 =0 ρ


[K22 + 2(a + e)K2 ]2 + 4ae[K22 + 2(a + e)K2 ] −

4b2 =0 ρ

(4.27)

Persamaan (4.27) merupakan persamaan kuadrat dengan akarnya yaitu v s u u b2 K2 = −(a + e) ± ta2 + e2 ± 2 a2 e2 − ρ

(4.28)

(lihat lampiran). Salah satu syarat dari matriks P¯ adalah P¯ harus matriks definit positif. Syarat agar P¯ definit positif adalah ∆1 = p1 > 0

(4.29)

∆2 = p1 p4 − p22 > 0

(4.30)

Pertidaksamaan (4.29) mengakibatkan p4 > 0 dalam pertidaksamaan (4.30). Dikep4 dan karena p4 > 0 dan ρ > 0 maka K2 > 0. Jadi, nilai K2 yang dipilih tahui K2 = 2ρ

pada persamaan (4.28) adalah v s u u b2 K2 = −(a + e) + ta2 + e2 + 2 a2 e2 − ρ

(4.31)

dan nilai K1 adalah K1 = −

eK2 K22 − b 2b

Vektor adjoint untuk masalah optimal ini adalah λ ∗ (t) = P(t)x∗ (t) + µ0

dengan vector kolom µ0 diperoleh dari persamaan (4.14) −1 T ¯ Q0 x∗d = (AT − PBR B )µ0

93

(4.32)


−1 T −1 ¯ µ0 = (AT − PBR B ) Q0 x∗d











 −a 0   p1 p2   0  1 µ0 =  −   −b −e p2 p4 1 2ρ  µ0 =

−1      1 0   xd    0 1  2 0 0 0 

2xd  (e + K2 )    −ae − aK2 + bK1 −b

(4.33)

(lihat lampiran). Misalkan ε = −ae − aK2 + bK1 maka eK2 K22 − ε = −ae − aK2 + b − b 2b 2 K = −ae − aK2 − eK2 − 2 2 s = − a2 e2 −

b2 ρ

(4.34)

(lihat lampiran). Kontrol untuk kadar glukosa darah diperoleh dari persamaan (3.77) dengan menggunakan λ ∗ (t) dari persamaan (4.12) u∗ (t) = −R−1 BT ∗ (t) ∗ ¯ = −R−1 BT (P(t)x (t) + µ0 )      ∗ 2xd 1  p1 p2   x1 (t)   e + K2  = − +    0 1  2ρ −ae − aK2 + bK1 p2 p4 x2∗ (t) −b     ∗ ∗ 1  p1 x1 (t) p2 x2 (t)  2xd  e + K2  1 =   +   0 − 2ρ 2ρ ε ∗ ∗ p2 x1 (t) p4 x2 (t) −b

94


= −

p2 ∗ p4 bxd x1 (t) − x2∗ (t) 2ρ 2ρ ρε

= −K1 x1∗ (t) − K2 x2∗ (t) + K

(4.35)

dengan K=

bxd ρε

(4.36)

Persamaan (4.35) menghasilkan kontrol optimal yang memberikan umpan balik untuk variabel keadaan. Persamaan (4.35) dapat disubsitusikan ke persamaan (4.18) sehingga sistemnya menjadi x˙1∗ (t) = −ax1∗ (t) − bx2∗ (t)

(4.37)

x˙2∗ (t) = −ex2∗ (t) − K1 x1∗ (t) − K2 x2∗ (t) + K

(4.38)

dengan x1 (0) = x10 dan x2 (0) = 0. Persamaan (4.35) diturunkan terhadap t sehingga diperoleh x¨1∗ (t) = −ax˙1∗ (t) − bx˙2∗ (t) x¨1∗ (t) = −ax˙1∗ (t) − b(−K1 x1∗ (t) − (e + K2 )x2∗ (t) + K) x¨1∗ (t) = −ax˙1∗ (t) + bK1 x1∗ (t) + b(e + K2 )x2∗ (t) − bK

Diketahui x˙1∗ (t) = −ax1∗ (t) − bx2∗ (t) x˙1∗ (t) ax1∗ (t) − = − b b 1 ∗ ∗ x2 (t) = (−x˙1 (t) − ax1∗ (t)) b x2∗ (t)

95

(4.39)


maka, persamaan (4.39) menjadi 1 x¨1∗ (t) = −ax˙1∗ (t) + bK1 x1∗ (t) + b(e + K2 ) (−x˙1∗ (t) − ax1∗ (t)) − bK b x¨1∗ (t) = −ax˙1∗ (t) + bK1 x1∗ (t) + (e + K2 )(−x˙1∗ (t) − ax1∗ (t)) − bK x¨1∗ (t) + (a + e + K2 )x˙1∗ (t) − εx1∗ (t) = −bK

(4.40)

Persamaan karakteristik dari persamaan (4.40) adalah

r1,2 r1,2

p (a + e + K2 )2 − 4(−ε) = p2 −(a + e + K2 ) ± (a + e + K2 )2 + 4ε = 2 −(a + e + K2 ) ±

(4.41)

Jika ρ(a2 − b2 )2 < 4b2 maka a2 + e2 + 2ε < 0 (lihat lampiran). Jadi persamaan karakteristik (4.41) mempunyai akar kompleks karena

(a + e + K2 )2 + 4ε = a2 + e2 + 2ε < 0

Misalkan 1 (K2 + a + e) 2 1 β = (a + e + K2 )2 + 4ε 2

α =

(4.42) (4.43)

maka penyelesaian homogen untuk persamaan diferensial biasa (4.40) adalah x1∗ (t) = e−αt {c1 cos βt + c2 sin βt}

Penyelesaian khusus untuk persamaan diferensial biasa (4.40) diperoleh dengan

96


menggunakan metode koefisien tak tentu (lihat lampiran) yaitu xd

ζ=

ρ

a2 +e2 b2

(4.44) +1

Jadi, penyelesaian lengkap dari persamaan diferensial biasa (4.40) adalah x1∗ (t) = e−αt {c1 cos βt + c2 sin βt} + ζ x1∗ (t) = c1 e−αt cos βt + c2 e−αt sin βt + ζ

Diketahui x1∗ (0) = x10 sehingga diperoleh x1∗ (0) = c1 e−αt cos βt + c2 e−αt sin βt + ζ x10 = c1 + ζ c1 = x10 − ζ Diketahui x˙1∗ (0) = −ax10 sehingga diperoleh x˙1∗ (0) = −αc1 e−αt cos βt − c1 β e−αt sin βt − c2 αe−αt sin βt + c2 β e−αt cos βt −ax10 = −αc1 + c2 β c2 β = αc1 − ax10 c2 β = α(x10 − ζ ) − ax10 c2 =

1 [α(x10 − ζ ) − ax10 ] β

Jadi, penyelesaian dari persamaan diferensial (4.40) adalah 1 x1∗ (t) = (x10 − ζ )e−αt cos βt + ( [α(x10 − ζ ) − ax10 ])e−αt sin βt + ζ β 97

(4.45)


Persamaan (4.45) disubsitusikan ke dalam persamaan (4.38) sehingga diperoleh x˙2∗ (t) = −ex2∗ (t) − K1 x1∗ (t) − K2 x2∗ (t) + K x˙2∗ (t) + (e + K2 )x2∗ (t) = −K1 x1∗ (t) + K 1 ∗ ∗ x˙2 (t) + (e + K2 )x2 (t) = −K1 (x10 − ζ )e−αt cos βt + ( [α(x10 − ζ ) β −ax10 ])e−αt sin βt + ζ + K x˙2∗ (t) + (e + K2 )x2∗ (t) = −K1 c1 e−αt cos βt + c2 e−αt sin βt + ζ +K

(4.46)

dengan c1 = x10 − ζ dan c2 = β1 [α(x10 − ζ ) − ax10 ]. Persamaan (4.46) merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dan dapat diselesaikan menggunakan teknik penyelesaian persamaan diferensial biasa faktor integral dengan p(t) = (e + K2 ) (lihat lampiran). Penyelesaian dari persamaan diferensial (4.46) adalah e + K2 − α e−αt cos βt (e + K2 − α)2 + β 2 β − K1 c1 e−αt sin βt (e + K2 − α)2 + β 2 β + K1 c2 e−αt cos βt (e + K2 − α)2 + β 2 e + K2 − α − K1 c2 e−αt sin βt (e + K2 − α)2 + β 2 K1 K C − ζ+ + (e+K )t 2 e + K2 e + K2 e

x2∗ (t) = −K1 c1

Diketahui x2∗ (0) = 0 maka persamaan (4.47) menjadi β e + K2 − α − K1 c2 2 2 (e + K2 − α) + β (e + K2 − α)2 + β 2 K1 K + ζ− e + K2 e + K2

C = K1 c1

98

(4.47)


Jadi, penyelesaian untuk persamaan diferensial biasa (4.46) adalah e + K2 − α e−αt cos βt (e + K2 − α)2 + β 2 β − K1 c1 e−αt sin βt (e + K2 − α)2 + β 2 β + K1 c2 e−αt cos βt (e + K2 − α)2 + β 2 e + K2 − α e−αt sin βt − K1 c2 2 2 (e + K2 − α) + β K K1 − ζ+ e + K2 e + K2

x2∗ (t) = −K1 c1

+ +

e+K2 −α K1 c1 (e+K − K1 c2 (e+K −α)2 +β 2

β

2 2 2 −α) +β

2

e(e+K2 )t K1 K e+K2 ζ − e+K2 e(e+K2 )t

(4.48)

dengan c1 = x10 − ζ dan c2 = β1 [α(x10 − ζ ) − ax10 ]. x1 dan x2 yang diperoleh disubsitusikan ke persamaan (4.35) untuk memperoleh kadar insulin optimal u∗ (t). kadangkala kadar insulin yang diperoleh dari penyelesaian sistem kontrol optimal regulator kuadratik linear bernilai negatif. Oleh karena itu, u∗ (t)harus diberi kendala 0 ≤ u∗ (t) ≤ u∗maks (t). Lalu u∗ (t) yang diperoleh disubsitusikan ke persamaan (4.17) dan (4.16) untuk memperoleh kadar glukosa darah optimal x1 ∗ (t) Berikut akan diberikan contoh simulasi sistem kontrol optimal regulator kuadratik linear mengontrol kadar glukosa darah dengan insulin yang minimum. Contoh 4.1. Diketahui sistem untuk masalah kontrol kadar glukosa darah

x˙1 (t) = −0, 0009(t)x1 (t) − 0, 0031x2 (t)

x˙2 (t) = −0, 0415x2 (t) + u(t)

99


Dengan indeks peforma

J(u(t)) =

Z ∞ 0

[(x1 − xd )2 + 10u2 (t)] dt

Carilah kontrol optimal dan keadaan optimal dengan kadar glukosa darah sebesar 300 mg/dL dan kadar glukosa darah yang diinginkan sebesar 100 mg/dL. Penyelesaian: Berdasarkan persamaan (4.31), (4.32), (4.36), dan (4.34) diperoleh K2 = 0, 0183, K1 = −0, 2991, K = −31, 5998, ε = −9, 810210−4

Untuk mencari kedaan optimal glukosa darah dapat dicari menggunakan persamaan (4.45) karena ρ(a2 − e2 )2 = 2.9634x10−5 < 3.8440x10−5 = 4b2

Berdasarkan persamaan (4.42), (4.43), dan (4.44) diperoleh

α = 0, 0304, β = 0, 0077, ζ = 99, 855

Berdasarkan persamaan (4.45) kadar glukosa darah optimal untuk masalah di atas adalah x1∗ (t) = e−0,0304t {200, 145 cos 0, 0077t + 751, 015 sin 0, 0077t}

100


Berdasarkan persamaan (4.48) diperoleh konsentrasi hormon optimal x2∗ (t) = 1.901, 5e−0,0304t cos 0.0077t + 499, 0326e−0,0304t sin 0, 007t − 1.872, 5e−0,0304t cos 0, 0077t7.135, 2e−0,0304t sin 0, 0077t + 499, 3914 − 528.3816

Berdasarkan persamaan (4.35) kontrol optimal untuk masalah di atas adalah u∗ (t) = 0, 2991x1∗ (t) − 0, 0183x2∗ (t) − 31, 5998

Grafik Kadar insulin optimal dan kadar glukosa darah optimal yang diperoleh dapat dilihat pada gambar (15). 300 kadar glukosa darah kadar glukosa darah yang diinginkan kadar insulin

250

200

150

100

50

0

0

50

100

150 t (waktu)

200

250

300

Gambar 15: Grafik Kadar Insulin dan Glukosa Darah Pada grafik di atas kadar glukosa darah akan mendekati kadar yang diinginkan ketika kurang lebih 200 menit. Namun, setelah itu kadar glukosa darah semakin lama semakin turun. Oleh karena itu, perlu satu kontrol lagi yaitu glukagon untuk mengangkat kadar glukosa naik mendekati kadar yang diinginkan. Kontrol insulin

101


dan glukagon bekerja secara sinergis agar kadar glukosa darah stabil dekat dengan kadar yang diinginkan.

102


BAB 5 PENUTUP 5.1

Kesimpulan

Diabetes mellitus merupakan penyakit kelebihan kadar glukosa darah dalam tubuh yang disebabkan oleh defisiensi insulin (diabetes tipe 1) atau resistensi insulin diabetes mellitus tipe 2. Diabetes sudah ada sejak manusia ada. Pada zaman dahulu diabetes mellitus diobati dengan puasa sedangkan saat ini diabetes mellitus mellitus diobati salah satunya dengan terapi insulin. Terapi insulin merupakan terapi utama dalam pengobatan diabetes mellitus terutama kepada kepada penderita diabetes mellitus tipe 1 karena insulin merupakan hormon utama pengatur kadar glukosa darah dalam tubuh. Insulin berperan memfasilitasi jaringan menyerap glukosa sehingga mengurangi kadar glukosa darah dalam tubuh. Namun, terapi dalam bentuk tranfusi insulin yang diberikan kepada penderita diabetes tipe 1 harus diberikan secara intensif. salah satu cara untuk memberikan terapi insulin intensif dibuatlah sistem kontrol glukosa darah. Kontrol dalam sistem kontrol glukosa darah dapat diresentasikan menggunakan sistem kontrol kuadratik linear. Menggunakan nilai-nilai parameter yang ada, dapat diilustrasikan mengenai perubahan kadar glukosa darah di dalam tubuh. Sistem kontrol kuadratik linear akan mengontrol kadar glukosa darah agar sedekat mungkin kadar yang diinginkan dengan kadar insulin yang minimum. Simulasi yang dilakukan pada tulisan ini menunjukkan kadar glukosa darah bahkan akan menurun tanpa pemberian insulin pada waktu tertentu. Dengan demikian, kontrol ini menjamin tidak akan terjadi kelebihan insulin yang menyebabkan kadar glukosa darah menurun drastis dalam suatu waktu.

103


5.2

Saran

Penulis sadar bahwa penyusunan tulisan ini masih banyak kekurangan. Dalam tulisan ini baru dibahas sistem kontrol kadar glukosa darah menggunakan satu kontrol yaitu insulin. Sistem kontrol ini dapat dikembangkan menggunakan model dengan 2 kontrol yaitu insulin dan glukagon. Dengan 2 kontrol diharapkan kadar glukosa darah selalu berada dekat dengan kadar yang diinginkan. Selain itu, pembaca dapat mengembangkan model glukosa darah tersebut menjadi model stokastik dengan variabel random asupan makanan, aktivitas gerak tubuh, aktivitas hormon di dalam tubuh, dan kesalahan pengukuran.

104


DAFTAR PUSTAKA Boyce, W.E. dan Richard, C.D. 2008. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. New York: Wiley Plus Burghes, D.N., dan Borrie, M.S. 1982. Modelling With Differential Equations. England: Ellis Horwood Limited. Chaavez, ´ I.Y.S., Ruben, M.M., dan Sergio, O.M.C. 2005. Linear Quadratic Control Problem in Biomedical Engineering. Computer Aided Chemical Engineering Journal. Vol 20:Hal 1195-1200. Chaavez, ´ I.Y.S., Ruben, M.M., dan Sergio, O.M.C. 2009. Glucose Optimal Control System in Diabetes Treatment. Applied Mathematics and Computation Journal. Vol 209: Hal 19-30. Chee, F. dan Tyrone, F. 2007. Closed Loop Control Of Blood Glucose. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag Direktorat Bina Farmasi Komunitas Dan Klinik Direktorat Jenderal Bina Kefarmasian Dan Alat Kesehatan Departemen Kesehatan RI. 2005. Pharmaceutical Care Untuk Penyakit Diabetes Mellitus. Jakarta: Direktorat Bina Farmasi Komunitas Dan Klinik Direktorat Jenderal Bina Kefarmasian Dan Alat Kesehatan Departemen Kesehatan RI. Hacisalihzade, S.S. 2013. Biomedical Applications of Control Engineering. Berlin Heidelberg:Springer-Verlag. Kirk, D.E. 1970. Optimal Control Theory An Introduction. New Jersey: PrenticeHall, Inc. Lenhart, S., dan John T. W. 2007. Optimal Control Applied To Biological Models. France : Chapman & Hall/CRC Naidu, D. 2003. Optimal Control Systems. Boca Raton: CRC Press. Peressini, A.L., Francis, E.S., dan J.J. Uhl, Jr. 2000. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York: Springer-Verlag. 105


Purcell, E.J., Dale, V., dan Steve, R. 2004. Kalkulus. (Terjemahan oleh I.N. Susila, dkk), Jilid 1, Edisi ke-8, Jakarta: Erlangga Purcell, E.J., Dale, V., dan Steve, R. 2004. Kalkulus. (Terjemahan oleh I.N. Susila, dkk), Jilid 2, Edisi ke-8, Jakarta: Erlangga Robeva, R.S., dan kawan-kawan 2008. An Invitation to Biomathematics. London: Elsevier Inc. Speyer, J.L. dan David H.J 2010. Primer on Optimal Control theory. Philadelphia: Society fof Industrial and Applied Mathematics. Swan, G. 1984. Applications of Optimal Control Theory in Biomedicine. New York: Marcel Dekker.

106


LAMPIRAN A PROGRAM M-FILE A.1 386

Program M-File lqrnss.m

C.1.1

Appendix C: MATLAB Files

MATLAB File lqrnss.m

Program file lqrnss.m dibutuhkan oleh program file lqrnssf.m untuk menyelesaikan This MATLAB© file lqrnss.m is required along with the other files

example. m and lqrnssf. m to solve the matrix Riccati using its persamaan matriks Riccati menggunakan solusiequation analitiknya. analytical solution.

%%%%%%%%%%%%% %% The following is lqrnss.m function [x,u,K]=lqrnss(As,Bs,Fs,Qs,Rs,xO,tspan) %Revision Date 11/14/01 %% % This m-file calculates and plots the outputs for a % Linear Quadratic Regulator (LQR) system based on given % state space matrices A and B and performance index % matrices F, Q and R. This function takes these inputs, % and using the analytical solution to the %% matrix Riccati equation, % and then computing optimal states and controls.

% % %

SYNTAX:

[x,u,K]=lqrnss(A,B,F,Q,R,xO,tspan)

% %

% % % % % %

INPUTS (All numeric): A,B Matrices from xdot=Ax+Bu F,Q,R Performance Index Parameters; xO State variable initial condition tspan Vector containing time span [to tf] OUTPUTS:

is the state variable vector u is the input vector % K is the steady-state matrix inv(R)*B'*P % % % The system plots Riccati coefficients, x vector, % and u vector % %Define variables to use in external functions % global A E F Md tf W11 W12 W21 W22 n, % %Check for correct number of inputs

%

x

107


C.1

MATLAB© for Matrix Differential Riccati Equation

% if nargin<7 error('Incorrect number of inputs specified') return end

% %Convert Variables to normal symbology to prevent % problems with global statement

% A=As; B=Bs; F=Fs; Q=Qs; R=Rs; plotflag=O; %set plotflag to 1 to avoid plotting of % data on figures

% %Define secondary variables for global passing to % ode-related functions and determine matrice size

% [n,m]=size(A); %Find dimensions of [nb,mb]=size(B); %Find dimensions of [nq,mq] =size (Q) ; %Find dimensions of [nr,mr]=size(R); %Find Dimensions of [nf ,mf] =size (F) ; %Find Dimensions of if n-=m %Verify A is square error('A must be square') else [n, n] =size (A) ; end % %Data Checks for proper setup if length(A»rank(ctrb(A,B)) %Check for controllability error('System Not Controllable') return end if (n -= nq) I (n - mq) %Check that A and Q are the same size

108

A B Q

R F

387


388

Appendix C: MATLAB Files error('A and Q must be the same size'); return

end if -(mf==l&nf==l) if (nq -= nf) I (mq -= mf) %Check that Q and F are the same size error('Q and F must be the same size'); return end end if -(mr==l&nr==l) if (mr -= nr) I (mb - nr) error('R must be consistent with B'); return end end mq = norm(Q,l); % Check if Q is positive semi-definite and symmetric if any(eig(Q) < -eps*mq) I (norm(Q'-Q,l)/mq > eps) disp('Warning: Q is not symmetric and positive ... semi-definite'); end mr = norm(R,l); % Check if R is positive definite and symmetric if any(eig(R) <= -eps*mr) I (norm(R'-R,l)/mr > eps) disp('Warning: R is not symmetric and positive ... definite'); end

% %Define Initial Conditions for %numerical solution of x states

% to=tspan (1) ; tf=tspan(2); tspan=[tf to];

% %Define Calculated Matrices and Vectors % E=B*inv(R)*B' ; %E Matrix E=B*(l/R)*B'

109


C.1


% %Find Hamiltonian matrix needed to use % analytical solution to % matrix Riccati differential equation % Z=[A,-E;-Q,-A'J;

% %Find Eigenvectors

% [W, DJ =eig (Z) ;

% %Find the diagonals from D and pick the % negative diagonals to create % a new matrix M

% j=n; [ml,indexlJ=sort(real(diag(D))); for i=l:l:n m2(i)=ml(j); index2(i)=indexl(j); index2(i+n)=indexl(i+n); j=j-l; end Md=-diag(m2);

% %Rearrange W so that it corresponds to the sort % of the eigenvalues

% for i=1:2*n w2(:,i)=W(:,index2(i)); end W=w2;

% %Define the Modal Matrix for D and Split it into Parts % Wll=zeros(n); W12=zeros(n); W21=zeros(n); W22=zeros(n);

110

389



390

j=l ; for i=1:2*n:(2*n*n-2*n+l) Wll(j:j+n-l)=W(i:i+n-l); W21(j:j+n-l)=W(i+n:i+2*n-l); W12(j:j+n-l)=W(2*n*n+i:2*n*n+i+n-l); W22(j:j+n-l)=W(2*n*n+i+n:2*n*n+i+2*n-l); j=j+n; end % %Define other initial conditions for % calculation of P, g, x and u % tl=O. ; %time array for x tx=O. ; %time array for u tu=O. ; %state vector x=O. ; % %Calculation of optimized x % [tx,x]=ode45('lqrnssf',fliplr(tspan),xO, ... odeset('refine',2,'RelTol',le-4,'AbsTol',le-6)); % %Find u vector

% j=l; us=O.; %Initialize computational variable for i=l:l:mb for tua=tO:.l:tf Tt=-inv(W22-F*W12)*(W21-F*Wll); P=(W21+W22*expm(-Md*(tf-tua))*Tt* ... expm(-Md*(tf-tua)))*inv(Wll+W12*expm(-Md*(tf-tua)) ... *Tt*expm(-Md*(tf-tua))); K=inv(R)*B'*P; xs=interpl(tx,x,tua); usl=real(-K*xs'); us (j) =usl (i) ; tu(j)=tua; j=j+l; end

111


C.1


u ( : , i) =us' ; us=O; j=l ; end

% %Provide final steady-state K % P=W21/Wll; K=real(inv(R)*B'*P);

% %Plotting Section, if desired

% if plotflag-=l % %Plot diagonal Riccati coefficients using a % flag variable to hold and change colors % fig=l ; %Figure number cflag=l; %Variable used to change plot color j=l; Ps=O. ; %Initialize P matrix plot variable for i=l:l:n*n for tla=tO: .1:tf Tt=-inv(W22-F*W12)*(W21-F*Wll); P=real«W21+W22*expm(-Md*(tf-tla))*Tt*expm(-Md* ... (tf-tla)))*inv(Wll+W12*expm(-Md*(tf-tla))*Tt ... *expm(-Md*(tf-tla)))); Ps(j)=P(i); tl(j)=tla; j=j+l ; end if cflag==l; figure (fig) plot(tl,Ps, 'b') title('Plot of Riccati Coefficients') xlabel (' t') ylabel ( , P Matrix') . hold cflag=2;

112

391



392

else if cflag==2 plot (t 1, Ps, , m: ' ) cflag=3; elseif cflag==3 plot(t1,Ps,'g-.') cflag=4; elseif cflag==4 plot(t1,Ps,'r--') cflag=1 ; fig=fig+1; end Ps=O. ; j=1 ; end if cflag==2Icflag==3Icflag==4 hold fig=fig+1; end % %Plot Optimized x

% if n>2 for i=1:3:(3*fix«n-3)/3)+1) figure(fig); plot(tx,real(x(:,i)),'b',tx,real(x(:,i+1)),'m:',tx, ... real(x(:,i+2)),'g-.') title('Plot of Optimized x') xlabel ( , t ' ) ylabel('x vectors') fig=fig+1; end end if (n-3*fix(n/3))==1 figure(fig); plot(tx,real(x(:,n)),'b') else if (n-3*fix(n/3))==2 figure(fig); plot (tx, real (x ( : , n -1) ) , , b' , tx, real (x ( : , n) ) , , m: ' ) end

113


C.1


393

title('Plot of Optimized x') xlabel ('t') ylabel('x vectors') fig=fig+1; % %Plot Optimized u

% if mb>2 for i=1:3:(3*fix«mb-3)/3)+1) figure(fig); plot(tu,real(u(:,i)),'b',tu,real(u(:,i+1)),'m:', ... tu,real(u(:,i+2)),'g-.') title('Plot of Optimized u') xlabel ('t') ylabel('u vectors') fig=fig+1;

% end end if (mb-3*fix(mb/3))==1 figure(fig); plot(tu,real(u(:,mb)),'b') elseif (mb-3*fix(mb/3))==2 figure(fig); plot(tu,real(u(:,mb-1)),'b',tu,real(u(:,mb)),'m:') end title('Plot of Optimized u') xlabel (' t') ylabel('u vectors')

% end %% %%%%%%%%%%%%%

C.1.2

MATLAB File lqrnssf.m

This file lqrnssf. m is used along with the other two files example. m and

A.2 Program M-File lqrnssf.m lqrnss. m given above. %%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%% %% The following is lqrnssf.m %% function dx = lqrnssf(t,x) % Function for x 114


% global A E F Md tf W11 W12 W21 W22 n %Calculation of P, Riccati Analytical Solution Tt=-inv(W22-F*W12)*(W21-F*W11); P=(W21+W22*expm(-Md*(tf-t))*Tt*expm(-Md*(tf-t)))*inv(W11+W12*expm(-Md*(tft))*Tt*expm(-Md*(tf-t))); % xa=[A-E*P]; % %Definition of differential equations dx=[xa*x]; %%%%%%%%%

A.3

Program M-File Kontrol Gula Darah

%%%%%%%%%%%%%%%% %% Program Kontrol Gula Darah close all clear all clc global a b e u

%Inisialisasi t=0:0.1:300; a=0.0009; b=0.0031; e=0.0415; xd=100; 115


r=10; M=0;

%Perhitungan Koefisien eps=-sqrt(a2 ∗ e2 + (b2 /r)) K=(b*xd)/(r*eps) Ca=b*K/eps K2=-(a+e)+sqrt((a2 )+(e2 )+(2*sqrt(a2 ∗ e2 + (b2 /r)))) K1=(-K22 − 2 ∗ e ∗ K2)/(2*b) A=0.5*(K2+a+e) B=0.5*sqrt(abs((a2 + e2 +2*eps)))

%Perhitungan keadaan optimal, adjoint optimal, dan kontrol optimal h=t(2)-t(1); x1(1)=300; x2(1)=0; u(1)=(-K1.*x1(1))-(K2.*x2(1))+K; for i =1:length(t)-1 x1(i+1)=x1(i)+h*f1(x2(i),x1(i)); x2(i+1)=x2(i)+h*f2(u(i),x2(i)); u(i+1)=(-K1.*x1(i))-(K2.*x2(i))+K; if u(i+1)<=0; u(i+1)=0; else u(i+1)=u(i+1); end end 116


%Grafik u, x, x1 plot(t,x1,’r’,t,xd,’b’,t,u,’g’) title(’Grafik Kontrol dan Kadar Gula Darah’) xlabel(’t (waktu)’) legend(’kadar glukosa darah’,’kadar glukosa darah yang diinginkan’,’kadar insulin’) grid on

117


LAMPIRAN B PERHITUNGAN DAN MANIPULASI ALJABAR B.1

Solusi Persamaan Aljabar Riccati (4.20) −1 T ¯ ¯ − AT P¯ − Q + PBR ¯ −PA B P=0        p2   −a −b   −a 0   p1 p2   1 0   −  −2  p4 0 −e −b −e p2 p4 0 0

  p1 − p2 







 p1 p2   0  1 +   p2 p4 1 2ρ 



0 1







 p1 p2   0 0   =  p2 p4 0 0









−p1 a −p2 a  p1 a p 1 b + p2 e     1 0   − −2  p2 a p 2 b + p4 e −p1 b − p2 e −p2 b − p4 e 0 0   +

p2 2ρ p4 2ρ





 

0 1









p1 a + p1 a

p1 b + p2 e + p2 a   0 0  −2  p2 a + p1 b + p2 e 2p2 b + 2p4 e 0 0 

p2 2ρ

 0 + 0

p4 2ρ









  p1 p2   0 0   =  p2 p4 0 0

  



 p1 p2   0 0   =  p2 p4 0 0

  









p1 a + p1 a

p1 b + p2 e + p2 a   −2 0  +  p2 a + p1 b + p2 e 2p2 b + 2p4 e 0 0   +

p22 2ρ p2 p4 2ρ

p2 p4 2ρ p24 2ρ







  0 0  =  0 0

118

(B.1)


Persamaan aljabar Riccati (B.1) menghasilkan sistem persamaan p22 = 0 2ρ p2 p4 p1 b + p2 e + p2 a + = 0 2ρ p2 2p2 b + 2p4 e + 4 = 0 2ρ 2p1 a − 2 +

(B.2) (B.3) (B.4)

Persamaan (B.2) dapat ditulis menjadi 2ρ(2p1 a) − 2ρ(2) + p22 =0 2ρ Kedua sisi pada persamaan (B.5) dikalikan

1 2ρ

(B.5)

sehingga persamaan (B5) menjadi

2 p1 1 p2 2a − + =0 2ρ ρ 2ρ

(B.6)

persamaan (B.3) dapat ditulis menjadi 2ρ(p1 b + p2 e + p2 a) + p2 p4 =0 2ρ Kedua sisi pada persamaan (B.7) dikalikan

1 2ρ

(B.7)

sehingga persamaan (B.7) menjadi

p1 b + p2 e + p2 a p2 p4 + = 0 2ρ (2ρ)2 p1 p2 p2 p2 p4 b+ a+ e+ = 0 2ρ 2ρ 2ρ 2ρ 2ρ p1 p2 p4 b+ a+e+ = 0 2ρ 2ρ 2ρ

(B.8)

Persamaan (B.4) dapat ditulis mejadi 2ρ(2p2 b + +2p4 e) + (p4 )2 =0 2ρ

119

(B.9)


Kedua sisi pada persamaan (B.9) dikalikan

1 2ρ

sehingga persamaan (B.9) menjadi

2p2 b + +2p4 e (p4 )2 + = 0 2ρ (2ρ)2 2 p2 p4 p4 2b + 2e + = 0 2ρ 2ρ 2ρ Misalkan ∆ =

p1 2ρ ,

K1 =

p2 2ρ ,

dan K2 =

p4 2ρ .

(B.10)

Persamaan (B.6), (B.8), dan (B.10) men-

jadi 2a∆ − ρ −1 + K12 = 0 ∆b + K1 (a + e + K2 ) = 0 2bK1 + 2eK2 + K22 = 0

B.2

Perhitungan Akar Kuadrat Persamaan (4.27)

Diketahui

[K22 + 2(a + e)K2 ]2 + 4ae[K22 + 2(a + e)K2 ] −

4b2 =0 ρ

(B.11)

Misalkan m = K22 + 2(a + e)K2 maka persamaan (B.11) merupakan persamaan kuadrat m2 + 4aem −

4b2 ρ

(B.12)

Akar persamaan kuadrat (B.12) diperoleh dengan menggunakan rumus ABC r 2 −4ae ± (4ae)2 − 4(1) 4bρ m1,2 =

2 r 2 −4ae ± 16a2 e2 − 16b ρ

=

2

120


r 2 −4ae ± 16 a2 e2 − bρ =

r2 2 −4ae ± 4 a2 e2 − bρ

=

s2 2 b a2 e2 − = −2ae ± 2 ρ

(B.13)

Diketahui m = K22 + 2(a + e)K2 maka persamaan (B.13) menjadi s 2 b 2 K2 + 2(a + e)K2 = −2ae ± 2 a2 e2 − ρ s b2 2 2 2 a e − =0 K2 + 2(a + e)K2 + 2ae ± 2 ρ Persamaan (B.14) merupakan persamaan kuadrat dengan akarnya adalah

K2 =

=

r q 2 2 −2(a + e) ± {2(a + e)} − 4(1) 2ae ± 2 a2 e2 − bρ 2 r q 2 −2(a + e) ± 4a2 + 4e2 + 8ae − 4(1) 2ae ± 2 a2 e2 − bρ 2 r −2(a + e) ±

=

q 2 4{a2 + e2 + 2ae − 2ae ± 2 a2 e2 − bρ } 2 q 2 a2 + e2 ± 2 a2 e2 − bρ

r −2(a + e) ± 2 =

2 v s u u b2 = −(a + e) ± ta2 + e2 ± 2 a2 e2 − ρ

121

(B.14)


B.3

Mencari Vektor µ0

Vektor kolom µ0 diperoleh dari persamaan (4.14) −1 T ¯ Q0 x∗d = (AT − PBR B )µ0

−1 T −1 ¯ µ0 = (AT − PBR B ) Q0 x∗d











 −a 0   p1 p2   0  1 µ0 =  −   −b −e p2 p4 1 2ρ 





 −a 0   µ0 =  − −b −e 



p2 2ρ p4 2ρ

  



 −a 0   0 µ0 =  − −b −e 0 

p2 2ρ p4 2ρ

−1   

−1 

p2 − 2ρ

−K1   −a µ0 =   −b −e − K2 





 1 0   xd  2   0 0 0 



 1 0   xd  2   0 0 0

−1 



−1      1 0   xd    0 1  2 0 0 0

 −1     1 0   xd    0 1  2 0 0 0

 −a  µ0 =   p4 −b −e − 2ρ

µ0 =





 1 0   xd  2   0 0 0 





1  −e − K2 K1   2 0   xd      {−a(−e − K2 )} − {−b(−K2 )} b −a 0 0 0  µ0 =





1  −2e − 2K2 0   xd     ae + aK2 − bK1 2b 0 0

122


 µ0 =



1  −2xd (e + K2 )    ae + aK2 − bK1 2bxd 

µ0 =

B.4



2xd  (e + K2 )    −ae − aK2 + bK1 −b

Perhitungan Mencari Nilai ε

Misalkan ε = −ae − aK2 + bK1 maka eK2 K22 − ε = −ae − aK2 + b − b 2b

ε = −ae − aK2 − eK2 −

K22 2



 v s u u −b2   ε = −ae − a −a − e + ta2 + e2 + 2 a2 e2 −  ρ  v s u u −b2   − e −a − e + ta2 + e2 + 2 a2 e2 −  ρ 

2 v s u u b2  1 − (−a − e) + ta2 + e2 + 2 a2 e2 −  2 ρ 

v s u u b2 = −ae + a2 + ae − ata2 + e2 + 2 a2 e2 − + ae ρ v s u u b2 1 + e2 − eta2 + e2 + 2 a2 e2 − − [(−a − e)2 ] ρ 2   v s u u 1 b2  − 2(−a − e)ta2 + e2 + 2 a2 e2 −  2 ρ

123


−

1 2

s a2 + e2 + 2

a2 e2 −

b2

!

ρ v s u u b2 = a2 − ata2 + e2 + 2 a2 e2 − + ae + e2 ρ v s u u b2 1 − eta2 + e2 + 2 a2 e2 − − (a2 + 2ae + e2 ) ρ 2   v v s s u u u u 1 b2 b2  − −2ata2 + e2 + 2 a2 e2 − − 2eta2 + e2 + 2 a2 e2 −  2 ρ ρ s

! 2 b a2 + e2 + 2 a2 e2 − ρ v s u u b2 = a2 − ata2 + e2 + 2 a2 e2 − + ae + e2 ρ v s u u e2 b2 a2 − eta2 + e2 + 2 a2 e2 − − − ae − ρ 2 2 v v s s u u u u 2 b b2 + ata2 + e2 + 2 a2 e2 − + eta2 + e2 + 2 a2 e2 − ρ ρ s a2 e2 b2 − − − a2 e2 − 2 2 ρ s b2 = − a2 e2 − ρ 1 − 2

B.5

Perhitungan Mencari Akar Karakteristik Persamaan (4.40)

Diketahui x¨1∗ (t) + (a + e + K2 )x˙1∗ (t) − εx1∗ (t) = −bK

124

(B.15)


Persamaan karakteristik dari persamaan (B.15) adalah

r1,2 r1,2

p (a + e + K2 )2 − 4(−ε) = p2 −(a + e + K2 ) ± (a + e + K2 )2 + 4ε = 2 −(a + e + K2 ) ±

(B.16)

Misalkan φ = (a + e + K2 )2 + 4ε dan v s u u b2 p γ = ta2 + e2 + 2 a2 e2 − = a2 + e2 − 2ε ρ maka

φ = (a + e + K2 )2 + 4ε = (a + e)2 + 2(a + e)K2 + K22 + 4ε = (a + e)2 + (2a + 2e)K2 + K22 + 4ε = (a + e)2 + (2a + 2e)(γ + (−a − e)) + (γ + (a − e))2 + 4ε = (a + e)2 + 2aγ + 2a(−a − e) + 2eγ + 2e(−a − e) + γ 2 + 2γ(−a − e) + (−a − e)2 + 4ε = (a + e)2 + 2aγ + 2a(−a − e) + 2eγ + 2e(−a − e) + γ 2 − 2aγ − 2eγ + (−a − e)2 + 4ε = (a + e)2 + 2a(−a − e) + 2e(−a − e) + γ 2 + (−a − e)2 + 4ε = a2 + 2ae + e2 − 2a2 − 2ae − 2ae − 2e2 + a2 + e2 − 2ε + a2 + 2ae + e2 + 4ε = a2 + e2 + 2ε

Jika ρ(a2 − b2 )2 < 4b2 maka a2 + e2 + 2ε < 0. Jadi persamaan karakteristik (B.16)

125


mempunyai akar kompleks karena

(a + e + K2 )2 + 4ε = a2 + e2 + 2ε < 0

B.6

Perhitungan Mencari Penyelesaian Khusus Persamaan (4.40)

Diketahui x¨1∗ (t) + (a + e + K2 )x˙1∗ (t) − εx1∗ (t) = −bK

(B.17)

Penyelesaian khusus untuk persamaan diferensial biasa (B.17) diperoleh dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. Misalkan x1∗ (t) = An

maka x˙1∗ (t) = 0 x¨1∗ (t) = 0 dengan koefisien An belum ditentukan. x1∗ (t), x˙1∗ (t), dan x¨1∗ (t) disubsitusikan ke persamaan (B.17) sehingga diperoleh x¨1∗ (t) + (a + e + K2 )x˙1∗ (t) − εx1∗ (t) = −bK 0 + 0 − εAn = −bK An =

126

bK ε

(B.18)


Persamaan (4.34) dan (4.36) disubsitusikan ke persamaan (B.18) sehingga diperoleh bK ε b2 xd 1 = ρε ε b2 xd = ρε 2

An =

b2 xd

= ρ =

q 2 2 a2 + e2 + bρ b2 xd 2

ρ(a2 + e2 + bρ )

b2 xd ρa2 + ρe2 + b2 x 2 d2 = a +e +1 ρ b2 =

Misalkan xd

ζ=

ρ

a2 +e2 b2

+1

maka penyelesaian khusus dari persamaan diferensial biasa (B.17) adalah x∗1 (t) = ζ

B.7

Perhitungan Penyelesaian Persamaan (4.46)

Diketahui x˙2∗ (t) + (e + K2 )x2∗ (t) = −K1 c1 e−αt cos βt + c2 e−αt sin βt + ζ +K

(B.19)

127


Persamaan (B.19) merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dengan p(t) = (e + K2 ). Faktor integral dari persamaan (B.19) adalah R

µ(t) = e

(e+K2 ) dt

= e(e+K2 )t

Faktor integral µ(t) dikalikan dengan persamaan (B.19) sehingga diperoleh e(e+K2 )t x˙2∗ (t) + e(e+K2 )t (e + K2 )x2∗ (t) = −e(e+K2 )t K1 c1 e−αt cos βt +c2 e−αt sin βt + ζ + e(e+K2 )t K d (e+K2 )t ∗ (e x2 (t)) = −e(e+K2 )t K1 c1 e−αt cos βt dt +c2 e−αt sin βt + ζ + e(e+K2 )t K

Kedua ruas diintegralkan sehingga diperoleh e(e+K2 )t x2∗ (t)

=

Z

−e(e+K2 )t K1 c1 e−αt cos βt + c2 e−αt sin βt + ζ

+ e(e+K2 )t K e(e+K2 )t x2∗ (t)

=

Z

+ e(e+K2 )t x2∗ (t) =

Z

+

(e+K2 )t

−e Z

K1 c1 e

(e+K2 )t

−e

−αt

K1 ζ +

cos βt + Z

(e+K2 )t

−K1 e

ζ+

Z

−e(e+K2 )t K1 c2 e−αt sin βt

e(e+K2 )t K

−K1 c1 e(e+K2 −α)t cos βt + Z

Z

Z

K1 c2 − e(e+K2 −α)t sin βt

e(e+K2 )t K

e + K2 − α e(e+K2 −α)t cos βt (e + K2 − α)2 + β 2 β − K1 c1 e(e+K2 −α)t sin βt 2 2 (e + K2 − α) + β β + K1 c2 e(e+K2 −α)t cos βt 2 2 (e + K2 − α) + β e + K2 − α − K1 c2 e(e+K2 −α)t sin βt (e + K2 − α)2 + β 2

e(e+K2 )t x2∗ (t) = −K1 c1

128


K1 (e+K2 )t K e ζ+ e(e+K2 )t +C e + K2 e + K2 e + K2 − α x2∗ (t) = −K1 c1 e−αt cos βt (e + K2 − α)2 + β 2 β − K1 c1 e−αt sin βt (e + K2 − α)2 + β 2 β e−αt cos βt + K1 c2 (e + K2 − α)2 + β 2 e + K2 − α − K1 c2 e−αt sin βt (e + K2 − α)2 + β 2 K1 K C − ζ+ + (e+K )t 2 e + K2 e + K2 e −

129

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents