PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

MODEL MATEMATIKA UNTUK MASALAH ALIRAN LALU LINTAS

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh : Yohanes Raharja Harsono NIM : 103114011 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015 i


MATHEMATICAL MODELS FOR TRAFFIC FLOW PROBLEMS

THESIS Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program

By : Yohanes Raharja Harsono NIM : 103114011 MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2015 ii


iii


iv


v


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama

: Yohanes Raharja Harsono

Nomor Mahasiswa

: 103114011

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul : Model Matematika Untuk Masalah Aliran Lalu Lintas beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, me-ngalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 17 Februari 2015 Yang menyatakan

(Yohanes Raharja Harsono )

vi


ABSTRAK Yohanes Raharja Harsono. 2015. Model Matematika untuk Masalah Aliran Lalu Lintas. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Skripsi ini membahas model matematika aliran lalu lintas, terutama yang berkaitan dengan kondisi saat lampu merah berubah menjadi hijau. Kondisi inilah yang biasanya merupakan penyebab kemacetan lalu lintas. Harapannya, hasil dalam skripsi dapat diterapkan untuk menghindari timbulnya kemacetan. Yang dibahas di sini adalah mengenai pergerakan dari beberapa mobil sebagai suatu kesatuan secara makro, bukan pergerakan mobil per mobil secara individu. Model-model aliran lalu lintas disusun berdasarkan teori-teori matematika. Salah satu model yang sederhana adalah car following model. Model ini disusun menggunakan teori persamaan diferensial biasa. Model yang lebih mendekati dunia nyata adalah yang disusun berdasarkan hukum kekekalan yang menghasilkan suatu persamaan diferensial parsial. Model dalam bentuk persamaan diferensial parsial akan diselesaikan menggunakan metode karakteristik. Selain itu, penulis akan menggunakan suatu teori linearisasi persamaan diferensial untuk mempermudah dalam mencari penyelesaikan pendekatan dari model aliran lalu lintas. Skripsi ini juga menyajikan hasil simulasi komputer berdasarkan beberapa model yang dipelajari. Simulasi tersebut disusun menggunakan perangkat lunak MATLAB. Beberapa kode MATLAB untuk aliran lalu lintas juga disertakan untuk memudahkan pembaca dalam memahami masalah yang dibahas. Kata kunci : aliran lalu lintas, persamaan diferensial parsial, metode karakteristik, car following model, persamaan gelombang

vii


ABSTRACT Yohanes Raharja Harsono. 2015. Mathematical Models for Traffic Flow Problems. Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta. This thesis studies mathematical models for traffic flows, especially those relating to the condition when the traffic light turns from red to green. This condition usually causes a traffic congestion. We hope that the results in this thesis can be applied to alleviate the traffic congestion. The condition that will be discussed is the movement of some cars in a macroscopic way, instead of the movement of an individual car. Traffic flow models are constructed based on mathematical theory. One of the models, which is a simple one, is the car following model. This model is constructed based on the theory of ordinary differential equations. Another model, which is more realistic, is the one developed according to conservation laws resulting to a partial differential equation. The traffic flow model in the form of a partial differential equation will be solved using the characteristic method. In addition, we will use a linearization of the differential equation, so we can find the approximate solution of the traffic flow model easier. This thesis also presents computer simulation results based on the studied models. Simulations are conducted using the MATLAB software. Some MATLAB codes for traffic flow simulations are also given to help the readers in the understanding of the discussed problems.

Key words

: traffic flow, partial differential equations, characteristic methods, car following model, wave equation

viii


KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas segala berkat dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul “Model Matematika untuk Masalah Aliran Lalu Lintas”. Penulisan tugas akhir ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana Matematika Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Dengan terselesaikannya penulisan tugas akhir ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu memberikan dukungan baik berupa saran, doa, maupun secara finansial. Ucapan terimakasih sebanyakbanyaknya ditujukan kepada : 1. Bapak dan Ibu yang telah memberikan dukungan kepada penulis baik moral, spiritual, material, dan juga ucapan semangat yang selalu diberikan selama masa studi. 2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah memberikan dukungan, bantuan dan dorongan kepada penulis selama mengikuti proses perkuliahan sampai dengan penyelesaian penulisan ini. 3. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata DharmaYogyakarta. 4. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. 5. Ibu Lusia Krismiyati, M. si. selaku dosen matematika Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta yang telah membantu dalam pemilihan topik penulisan ini. 6. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik.

ix


x


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL..................................................................................

i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ...............................

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................

iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................

v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI.....................

vi

ABSTRAK .................................................................................................

vii

ABSTRACT ...............................................................................................

viii

KATA PENGANTAR ...............................................................................

viii

DAFTAR ISI ..............................................................................................

x

DAFTAR GAMBAR .................................................................................

xiii

BAB I PENDAHULUAN ..........................................................................

1

A. Latar Belakang ...............................................................................

1

B. Rumusan Masalah ..........................................................................

7

C. Batasan Masalah .............................................................................

7

D. Tujuan Penulisan ............................................................................

7

E. Metode Penulisan ...........................................................................

7

xi


F. Manfaat Penulisan ..........................................................................

8

G. Sistematika Penulisan .....................................................................

8

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................

10

A. Metode Karakteristik ......................................................................

10

B. Persamaan Cauchy Euler ................................................................

16

C. Kecepatan Individu dan medan kecepatan .....................................

23

D. Aliran lalu lintas dan kepadatan lalu lintas ....................................

27

E. Konservasi jumlah mobil ...............................................................

40

F. Hubungan Kecepatan dan Kepadatan.............................................

48

G. Aliran lalu lintas .............................................................................

51

BAB III MODEL-MODEL ALIRAN LALU LINTAS .............................

56

A. Steady state car following model ...................................................

56

B. Model Persamaan Diferensial Parsial.............................................

62

C. Interpretasi mengenai gelombang lalu lintas ..................................

67

D. Contoh aliran lalu lintas yang hamper seragam .............................

69

E. Metode karakteristik lalu lintas tak seragam ..................................

73

F. Sesudah lampu merah berubah menjadi hijau ................................

79

G. Hubungan linear kecepatan dan kepadatan ....................................

93

H. Sebuah contoh kepadatan awal yang bervariasi .............................

105

BAB IV SIMULASI ALIRAN LALU LINTAS ....................................... 112 A. Satu mobil bergerak konstan ..........................................................

112

B. Beberapa mobil bergerak konstan ..................................................

113

C. Kepadatan lalu lintas dari lampu merah jadi hijau .........................

115

xi


BAB V PENUTUP .....................................................................................

121

A. Kesimpulan ......................................................................................

121

B. Saran ................................................................................................

121

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................

123

xii


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1-1 Kondisi lalu lintas saat lampu merah menjadi hijau ....................... 3 Gambar 1-2 Kondisi lalu lintas saat lampu hijau menjadi merah ......................... 3 Gambar 2-1 Perambatan untuk persamaan gelombang tingkat satu ..................... 14 Gambar 2-2 Kondisi jalan, posisi mobil ditandai dengan

…........................... 23

Gambar 2-3 Kondisi dua mobil yang berada pada posisi 0 dan L……………….24 Gambar 2-4 Kondisi jalan yang digambarkan secara vertikal .............................. 25 Gambar 2-5 Posisi mobil dengan kecepatan yang berbeda……........................... 27 Gambar 2-6 Data banyaknnya mobil yang lewat pada suatu waktu…… ............. 28 Gambar 2-7 Aliran lalu lintas sebagai fungsi waktu ............................................. 29 Gambar 2-8 Aliran lalu lintas sebagai fungsi kontinu dari waktu ........................ 31 Gambar 2-9 Kepadatan lalu lintas sama dengan inverse dari jarak ...................... 32 Gambar 2-10 Jarak dua mobil dan panjang mobil ................................................ 32 Gambar 2-11 Penghitungan data menggunakan potongan mobil ......................... 33 Gambar 2-12 Kepadatan lalu lintas sebagai fungsi posisi .................................... 34 Gambar 2-13 Contoh signifikan interval hitungan................................................ 34 Gambar 2-14 Diagram jarak-jarak mobil .............................................................. 35 Gambar 2-15 Kepadatan lalu lintas dengan interval yang besar .........................37 Gambar 2-16 Pergerakan mobil dari pengamat ....................................................38 Gambar 2-17 Banyaknya mobil yang melalu pengamat dalam

jam ................39

Gambar 2-18 Dalam waktu yang kecil mobil akan melalu pengamat ................40 Gambar 2-19 Hubungan aliran dan kepadatan ..................................................... 53

xiii


Gambar 2-20 Aliran yang terjadi pada maksimum lokal ...................................... 53 Gambar 2-21 Rentang kecepatan maksimum yang tidak dapat diobservasi ...... 54 Gambar 3-1

Situasi steady state ........................................................................ 58

Gambar 3-2

Situasi steady state ........................................................................ 60

Gambar 3-3

Gerakan mobil dengan kecepatan yang berbeda ............................ 62

Gambar 3-4

Jalan masuk kendaraan .................................................................. 70

Gambar 3-5 Daerah mobil yang seragam dan tidak seragam ............................. 71 Gambar 3-6 Kepadatan konstan .......................................................................... 74 Gambar 3-7 Karakteristik di mana awalnya pada posisi

.......................... 76

Gambar 3-8 Karakteristik tegak lurus mempunyai kemiringan yang berbeda ... 77 Gambar 3-9 Gelombang kepadatan ..................................................................... 78 Gambar 3-10 Distribusi awal kepadatan lalu lintas ............................................ 80 Gambar 3-11 Gelombang rarefactive .................................................................... 81 Gambar 3-12 Karakteristik kepadatan lalu lintas ...................................................... 82 Gambar 3-13 Sebelum dan sesudah lampu merah menjadi hijau ......................... 84 Gambar 3-14 Kepadatan saat lampu masih merah ................................................ 86 Gambar 3-15 Kepadatan lalu lintas yang awalnya diskontinu ............................. 86 Gambar 3-16 Diagram ruang waktu posisi karakteristik ...................................... 87 Gambar 3-17 Lalu lintas menyebar keluar setelah lampu menjadi hijau .............. 88 Gambar 3-18 Karakteristik fanlike........................................................................ 89 Gambar 3-19 Diagram dasar lalu lintas jalan ........................................................ 91 Gambar 3-20 Kepadatan dari kurva

yang kemiringannya

................... 92

Gambar 3-21 Kurva linear kecepatan kepadatan .................................................. 94

xiv


Gambar 3-22 Hubungan parabola aliran keppadatan ............................................ 95 Gambar 3-23 Diagram ruang waktu untuk masalah lalu lintas ............................. 96 Gambar 3-24 Lalu lintas sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau ................... 97 Gambar 3-25 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan ................................... 98 Gambar 3-26 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan ................................... 98 Gambar 3-27 Jalur mobil ketika mobil tidak bergerak …………………………….. 99 Gambar 3-28 Jalur mobil yang menambah kecepatan………………………… 102 Gambar 3-29 Jalur mobil:sketsa grafik ............................................................. 104 Gambar 3-30 Jalur mobil:sketsa grafik ............................................................. 104 Gambar 3-31 Jalur mobil:sketsa grafik ............................................................ 104 Gambar 3-32 Karakteristik tak pararel tak berpotongan……… ………………... 106 Gambar 3-33 Kepadatan lalu lintas awal……………………………………… 108 Gambar 3-34 Karakteristik……………………………………………………. 109

xv


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Berdasarkan Undang-undang no 22 tahun 2009, lalu lintas (traffic) adalah pergerakan dari suatu kendaraan dan orang dalam ruang lalu lintas. Ruang lalu lintas sendiri adalah prasarana yang diperuntukkan bagi gerak pindah orang, kendaraan ataupun barang yang berupa jalan dan fasilitas pendukung. Lampu lalu lintas (traffic light) sendiri adalah lampu yang mengendalikan arus lalu lintas yang terpasang di persimpangan jalan, tempat penyeberangan pejalan kaki dan tempat arus lalu lintas lainnya. Lampu ini yang menandakan kapan kendaraan harus berjalan ataupun harus berhenti secara bergantian dari berbagai arah. Dengan adanya lampu lalu lintas diharapkan lalu lintas dapat mengalir dengan lancar dan mengurangi terjadinya kecelakaan. Oleh karena itu, dalam menentukan lampu lalu lintas harus diperhitungkan dengan matang tidak sekedar memasang pada persimpangan jalan. Banyak sekali hal yang harus diperhitungkan dalam memasang lampu lalu lintas, dimana hal tersebut telah disebutkan di atas. Lampu lalu lintas sudah digunakan di hampir seluruh belahan dunia dan lampu lalu lintas ini telah memiliki kesepakatan secara universal sebagai berikut: saat lampu menyala merah maka kendaraan diharuskan untuk berhenti, saat lampu menyala hijau maka kendaraan diperbolehkan untuk jalan, sedangkan saat lampu menyala kuning maka kendaraan diharapkan untuk berhati-hati karena lampu akan segera

1


menjadi merah. Lampu lalu lintas pertama kali ada karena Lester Fransworth Wire yang merupakan penemu lampu lalu lintas, saat itu melihat adanya tabrakan antara mobil dan kereta kuda. Ia merasa bahwa dengan aturan lalu lintas yang digunakan saat itu sangatlah tidak aman karena meskipun ada suatu aturan, tetap saja kecelakaan masih sering terjadi. Oleh karena itu ditemukanlah metode yang lebih baik untuk mengatasi permasalahan lalu lintas itu dengan menggunakan lampu lalu lintas. Dalam pengaturannya lampu lalu lintas memiliki dua sistem yaitu, fixed time traffic signal yaitu pengaturan lampu lalu lintas yang tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Jadi sistem ini tidak memperhatikan kepadatan kendaraan. Sedangkan yang kedua adalah actuated traffic signal, yang berarti pengaturan lampu lalu lintas yang berubah tiap waktu tertentu. Jadi sistem ini memperhatikan kepadatan kendaraan saat itu. Misalnya pada pagi hari yang padat akan berbeda dengan pada malam hari yang tidak padat. Masalah lalu lintas sudah ada sejak jaman dahulu bahkan sebelum otomotif berkembang seperti sekarang ini. Namun beberapa tahun terakhir masalah lalu lintas sudah semakin parah. Ada banyak masalah lalu lintas yang dapat dihubungkan dengan ilmu pengetahuan seperti menentukan letak lampu merah, berapa lama lampu akan menyala merah pada suatu tempat, apakah suatu jalan itu harus diubah dari satu arah menjadi dua arah atau sebaliknya, di mana kita harus menempatkan pintu masuk maupun pintu keluar, dan di mana sebaiknya membuat jalan alternatif seperti jalan layang untuk bis atau kereta. Secara umum semua itu bertujuan untuk memaksimalkan kelancaran lalu lintas,

2


meminimalkan polusi dari kendaraan, mengurangi adanya kecelakaan, dan sebagainya. Pada saat lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau maka akan terjadi pergerakan dari mobil yang sedang berjajar di lalu lintas tersebut. Mobil yang awalnya memiliki kecepatan

km/jam akan mulai menambah kecepatannya.

Hal ini akan diikuti mobil-mobil yang ada di belakangnya hingga nantinya lampu kembali menjadi merah. Pada saat lampu hijau mulai memasuki kuning maka mobil akan mulai mengurangi kecepatan hingga pada saat lampu telah menjadi merah mobil-mobil tersebut bisa berhenti atau berada pada kecepatan

km/jam.

Gambar 1-1 Kondisi lalu lintas saat

Gambar 1-2 Kondisi lalu lintas saat

lampu merah menjadi hijau

lampu hijau menjadi merah

(Gambar diambil pada tanggal 11 Maret

(Gambar diambil pada tanggal 10

2014)

Desember 2014)

Misalkan ada suatu lalu lintas yang berbaris di belakang lampu merah atau di belakang rel kereta yang tertutup karena ada kereta yang lewat. Posisi lalu lintas tersebut dinyatakan dengan

. Karena mobil satu dengan mobil lainnya

3


saling berimpitan dan

untuk

, di mana

adalah densitas dari mobil

adalah posisi dari suatu lalu lintas. Kondisi saat

adalah kondisi lalu

lintas di belakang lampu lalu lintas jadi diasumsikan jarak antar mobilnya tidak ada. Densitas dari mobil adalah jumlah mobil dalam satu mil. Dalam kasus ini densitas dirumuskan sebagai berikut:

dimana

adalah panjang dari kendaraan (diasumsikan semua kendaraan

panjangnya sama),

adalah jarak antara mobil satu dengan mobil lainnya

(diasumsikan jarak antar mobil dalam keadaan sama),

, hal ini

disebabkan karena mobil berada dalam kondisi yang berimpitan jadi diasumsikan jaraknya . Densitas di sini akan bernilai jarak yang dihitung. Misalkan jaraknya densitas dalam jarak tersebut adalah dikalikan densitasnya

dalam

namun masih harus diperhatikan dan

yang diperoleh

maka

(diperoleh dari jaraknya) jadi

kilometer.

Asumsikan bahwa mobil yang berjajar tidak berhingga banyaknya dan tentu saja tidak bergerak (meskipun pada kenyataannya berhingga namun bisa sangat panjang). Jika lampu merah menyala cukup lama maka dapat diasumsikan bahwa tidak ada lalu lintas di depan lampu, pada

untuk

. Andaikan bahwa

lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau. Persamaan

diferensial parsial dari kesetimbangan mobil adalah sebagai berikut

4


dengan

adalah fungsi aliran lalu lintas terhadap . Dengan syarat awal {

dengan catatan bahwa

adalah posisi di belakang lalu lintas yang

diasumsikan saling berimpitan dan

adalah posisi di depan lalu lintas yang

aliran lalu lintasnya akan kosong karena adanya lampu merah. Kondisi tersebut merupakan fungsi diskontinu. Pada saat lampu menjadi hijau lalu lintas akan mulai berjalan namun mobil yang berada jauh di belakang belum mulai berjalan bahkan hingga lalu lintas telah kembali menjadi merah. Densitas lalu lintas

adalah konstan di

mana persamaan diferensial parsialnya berupa

Di mana

adalah kecepatan dari mobil. Kecepatan dari mobil juga bergantung

pada posisi dan waktu, sehingga Karena

.

tetap konstan maka densitas bergerak dengan kecepatan konstan.

Karakteristiknya berupa garis lurus dalam bidang

di mana setiap karakteristik bisa mempunyai perbedaan integrasi konstan k. Aliran lalu lintas itu sendiri adalah rata-rata jumlah mobil yang melalui suatu jalan selama satu jam. Aliran lalu lintas biasanya disimbolkan dengan . Aliran tersebut bergantung terhadap waktu sehingga dapat disimbolkan mana menunjukan waktu tertentu:

5

, di


Ini merupakan persamaan diferensial parsial yang menunjukkan hubungan antara densitas lalu lintas dan aliran lalu lintas dengan mengasumsikan jumlah mobil tidak akan berkurang maupun bertambah. Ini akan selalu valid di manapun untuk semua

pada waktu kapanpun. Di mana persamaan ini disebut

kesetimbangan mobil. Yang dimaksud kesetimbangan mobil di sini adalah jumlah mobil yang pergi saat lampu merah telah menjadi hijau diasumsikan sama dengan jumlah mobil yang datang dan menunggu lampu lalu lintas dari merah kembali menjadi hijau. Variabel-variabel yang ada pun tentunya akan sangat dipengaruhi kondisi dari lalu lintas pada saat itu. Misalnya pada pagi hari di mana banyak anak yang harus bersekolah dan banyak masyarakat yang harus berangkat kerja, maka pada saat itu lalu lintas akan lebih padat jika dibandingkan dengan jam-jam saat anakanak sedang di sekolah dan orang dewasa sedang bekerja. Begitu pula saat jamjam anak sekolah pulang sekolah dan masyarakat yang pulang dari kerja, maka pada jam-jam tersebut akan jauh lebih padat. Pada saat lalu lintas padat maka secara otomatis kendaraan akan berjalan dengan lebih lambat. Dalam tulisan ini tidak akan dibahas mengenai semua permasalahan itu melainkan akan dibahas secara lebih umum. Jadi tulisan ini tidak membahas mobil per mobil namun membahas sekaligus sekumpulan mobil tersebut. Secara khususnya tulisan ini akan membahas mengenai kondisi lalu lintas pada saat lampu merah itu berubah menjadi hijau. Tentu saja dalam membahas mengenai

6


kondisi tersebut, sebelumnya harus dibahas mengenai dasar-dasar variabel dari suatu lalu lintas. Dasar-dasar tersebut adalah kecepatan, densitas, dan aliran. B. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana membuat model matematika untuk aliran lalu lintas? 2. Bagaimana model densitas lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau?

C. Batasan Masalah Dalam tulisan ini penulis hanya akan membahas mengenai masalah aliran lalu lintas yang melibatkan variabel waktu dan variabel ruang satu dimensi.

D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini adalah untuk memperoleh model matematika untuk aliran lalu lintas dan sifat kepadatan lalu lintas saat lampu merah menjadi hijau.

E. Metode Penulisan Metode penelitian yang dipergunakan adalah metode pustaka, sehingga di dalam tulisan ini tidak ditemukan hal-hal baru. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan penulis tercantum dalam daftar pustaka.

7


F. Manfaat Skripsi ini diharapkan memberikan manfaat bagi pembaca dan juga bagi penulis sendiri, yaitu: 1. memberi wawasan pengetahuan tentang kondisi lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau, 2. memberikan pengalaman penulisan karya ilmiah.

G. Sistematika Penulisan Skripsi ini ditulis menggunakan sistematika yang meliputi empat bab, yaitu: Pendahuluan, Landasan Teori, Isi, dan Penutup. Dalam BAB I PENDAHULUAN, dipaparkan latar belakang, rumusan dan batasan masalah, serta tujuan, manfaat, metode dan sistematika penulisan skripsi. Dalam BAB II LANDASAN TEORI dijelaskan tentang metode karakteristik untuk persamaan diferensial parsial tingkat satu. Secara khusus juga akan dicakup materi tentang persamaan Cauchy Euler, serta membahas mengenai kecepatan individu dan medan kecepatan. Selain itu bab ini juga membahas mengenai aliran lalu lintas dan kepadatan lalu lintas serta konservasi jumlah mobil.

8


BAB III MODEL MATEMATIKA ALIRAN LALU LINTAS membahas mengenai beberapa dasar matematika yang berhubungan dengan aliran lalu lintas. Pada bab ini secara khusus akan dibahas masalah model matematika saat lampu merah menjadi hijau. Dalam kondisi lampu merah menjadi hijau tersebut akan dibahas secara lebih mendetail mengenai kondisi densitas lalu lintasnya. BAB IV SIMULASI ALIRAN LALU LINTAS menyajikan progam komputer dan hasil simulasi aliran lalu lintas. Hasil simulasinya antara lain saat mobil bergerak secara konstan, tiga mobil bergerak secara konstan, dan kondisi pergerakan lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau. Akhirnya dalam BAB V PENUTUP, kesimpulan dan saran disajikan. Kesimpulan dan saran ini bertujuan agar pembaca dapat memahami isi dari skripsi ini dan dapat memberikan inspirasi bagi pembaca untuk ke depannya.

9


BAB II LANDASAN TEORI

A. Metode Karakteristik Pada bagian ini akan dijelaskan metode karakteristik untuk persamaan diferensial. Persamaan gelombang satu dimensi dapat ditulis sebagai

(2.1.1)

Perhitungan yang sederhana menunjukkan bahwa persamaan tersebut dapat difaktorkan dengan dua cara:

(

)(

)

(

)(

)

(2.1.2) (2.1.3)

karena turunan campuran keduanya tidak ada pada keduanya. Jika kita memisalkan

(2.1.4) (2.1.5) Kita melihat bahwa persamaan gelombang satu dimensi hasilnya adalah dua persamaan gelombang tingkat satu:

10


Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial Tingkat Satu Kita mulai dengan mendiskusikan salah satu dari persamaan diferensial parsial yang sederhana:

(2.1.6)

Metode yang akan kita kembangkan akan membantu dalam menganalisa persamaan gelombang dimensi satu (2.1.1). Kita mempertimbangkan laju perubahan dari

yang diukur oleh pengamat yang bergerak,

.

Aturan rantai menunjukkan bahwa (2.1.7)

Di sini

menampilkan perubahan pada

pada posisi yang tetap, sementara

menampilkan perubahan berdasarkan fakta bahwa pengamat bergerak ke daerah yang kemungkinan memiliki

yang berbeda. Bandingkan

(2.1.7) dengan persamaan diferensial parsial untuk

, persamaan (2.1.6). Ini jelas

bahwa jika pengamat bergerak dengan kecepatan , yaitu jika (2.1.8) maka

11


(2.1.9) Jadi,

adalah konstan pada kurva

.

Karakteristik Dengan cara ini, persamaan diferensial parsial (2.1.6) telah diganti dengan dua persamaan diferensial biasa, (2.1.8) dan (2.1.9). Dengan mengintegralkan persamaan (2.1.8) hasilnya (2.1.10) persamaan untuk keluarga dari karakteristik paralel dari persamaan (2.1.6). Perhatikan bahwa ini. Variabel

,

. Variabel

adalah konstan sepanjang garis

menyebar sebagai gelombang dengan kecepatan gelombang .

Penyelesaian umum. Jika

diberi nilai pada saat awal (2.1.11)

maka mari kita menentukan

pada titik

. Karena

adalah konstan

sepanjang karakteristik,

diberikan

dan , parameter diketahui dari karakteristik,

, dan 2.1.12

di mana kita menyebutnya sebagai penyelesaian umum dari persamaan (2.1.6).

12


Kita dapat menganggap

sebagai fungsi sembarang. Untuk memastikan ini,

kita substitusi (2.1.12) kembali pada persamaan diferensial parsial (2.1.6). Menggunakan aturan rantai,

dan

Jadi ini menunjukkan bahwa persamaan (2.1.6) memenuhi persamaan (2.1.12). penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu mengandung fungsi sembarang, sementara penyelesaian umum terhadap persamaan diferensial biasa mengandung sembarang konstan. Contoh 1. Perhatikan

Persamaan terhadap kondisi awal

{

Kita telah menunjukkan bahwa

adalah konstan sepanjang karakteristik

, menjaga pada bentuk yang sama bergerak dengan kecepatan 2. Karakteristik

yang penting,

dan

13

, seperti

yang


digambarkan pada Gambar 2-1.

jika

.

Dinyatakan dengan menggeser,

Untuk menurunkan penyelesaian analitik, kita menggunakan karakteristik yang mulai pada

:

Sepanjang karakteristik ini,

adalah konstan. Jika (

, maka

)

seperti sebelumnya. Ini valid jika

atau, secara ekuivalen .

Gambar 2-1 (perambatan untuk persamaan gelombang tingkat satu) diambil dari buku Richard Haberman Applied Partial Differential Equation hal 540

Secara umum,

. Pada

yang tetap, penyelesaian dari

persamaan gelombang tingkat pertama digeser dengan jarak 14

(jarak= kecepatan


dikali waktu). Contoh 2:

Untuk menyelesaikan masalah nilai awal dan

menemukan penyelesaian umum.

Perhatikan (2.1.13)

dengan kondisi awal

. Dengan metode karakteristik, (2.1.14)

maka (2.1.15) karakteristik tidak berupa garis lurus tetapi memenuhi (2.1.16) di mana karakteristik dimulai (

) pada

. Sepanjang karakteristik,

dengan mengintegralkan persamaan diferensial biasa (2.1.15), kita mendapatkan (2.1.17) Untuk memenuhi kondisi awal pada

,

, kita mempunyai

, sehingga penyelesaian masalah nilai awal dengan metode karakteristik adalah (2.1.18)

15


Karena

adalah fungsi sembarang dari

, persamaan (2.1.18)

adalah penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial (2.1.13). Metode karakteristik dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian umum dengan cara yang berbeda. Sembarang konstan yang menyelesaikan persamaan diferensial biasa adalah fungsi sembarang untuk satu sama lain. Dengan cara ini, persamaan (2.1.17) adalah fungsi sembarang dari

dalam

, dan kita

mendapatkan langsung dari persamaan (2.1.17) penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial : (2.1.19) di mana

adalah fungsi sembarang dari

. Masalah nilai awal sekarang

dapat diselesaikan dari penyelesaian umum (2.1.19).

B. Persamaan Cauchy-Euler Titik biasa adalah suatu titik dalam suatu domain di mana fungsi variabel kompleks yang diberikan analitik. Nilai

disebut titik singular regular dari

persamaan diferensial biasa

(2.2.1) Jika

dan

Sebagai contoh

mempunyai deret Taylor yang konvergen di sekitar dan

dapat ditulis sebagai deret pangkat dalam (

16

. ):


dengan

dan

konstan, dan

maka

bukan merupakan faktor

persekutuan dari koefisien. Sembarang titik

yang bukan merupakan titik

biasa dan bukan titik singular regular disebut sebagai titik singular irregular. Di sini, kita hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa yang paling sederhana dengan titik singular regular pada

. Persamaan diferensial biasa

ini disebut persamaan Cauchy-Euler, dan memiliki bentuk (2.2.2)

dengan

dan

konstan. Catat bahwa (2.2.1) tereduksi menjadi persamaan

Cauchy Euler ketika kita hanya memandang suku terdepan dalam ekspansi deret Taylor dari fungsi

dan

.

Ansatz yang tepat untuk (2.2.2) adalah ketika

, dengan

, ketika

dan

konstan. Sesudah substitusi menjadi (2.2.2), kita

mendapatkan untuk positif dan negatif

| |

| |

| |

Dan kita meneliti bahwa ansatz kita mengalami kanselasi dari | | . Kita mendapat persamaan kuadrat berikut untuk : (2.2.3)

17


yang mana bisa diselesaikan dengan rumus kuadratik. Kemudian tiga kasus langsung muncul: (i) akar real yang berbeda, (ii) akar kompleks, (iii) akar berulang. Pembaca biasanya sudah terbiasa menemui situasi yang sama ketika menyelesaikan persamaan diferensial biasa homogen linear orde kedua dengan koefisien konstan. Sesungguhnya, ini memungkinkan untuk langsung membentuk persamaan Cauchy-Euler menjadi persamaan dengan koefisien konstan. Ide untuk mengubah variabel adalah aturan pangkat ansatz menjadi suatu eksponen ansatz. Untuk , maka ansatz

, jika kita memisalkan

menjadi ansatz Y(

, tepat jika

memenuhi koefisien konstan persamaan diferensial biasa. Jika perubahan yang tepat adalah mempertimbangkan mengganti

. Karena

dan

, maka

kita hanya perlu

dan kemudian menggeneralisasi hasil kita dengan

di mana-mana dengan nilai mutlaknya.

Kita kemudian merubah persamaan diferensial (2.2.2) untuk menjadi persamaan diferensial untuk ekuivalen,

, menggunakan

. Dengan menggunakan aturan rantai,

18

, atau


Jadi secara simbolik,

Turunan keduanya menjadi

(

(

Atas substitusi dari turunan dari

)

)

ke dalam (2.2.2), dan menggunakan

,

kita mendapatkan

(

)

(

)

Seperti yang diperkirakan, persamaan diferensial biasa untuk

memiliki

koefisien konstan, dan dengan

diberikan

, persamaan karakteristik untuk

dengan (2.2.3). Akar Real yang Berbeda Kasus paling sederhana tidak memerlukan perubahan. Jika , maka dengan

akar real dari (2.2.3), penyelesaian umumnya adalah

| |

19

| |


Akar Kompleks Jika

, kita dapat menulis akar kompleks dari (2.2.3) sebagai Ingat kembali penyelesaian umum untuk

Dan atas perubahan, dan mengganti

diberikan dengan

dengan | |,

| |

| | (

| | )

Akar Berulang Jika

, ada satu akar real

umumnya untuk

dari persamaan (2.2.3). Penyelesaian

adalah

Hasilnya | |

| |

Kita sekarang memberikan contoh ilustrasi ketiga kasus ini. Contoh 3: Selesaikan dua titik batas Karena

untuk dan

, kita mencoba

Dengan kondisi

. dan mendapatkan persamaan karakteristik

20


Karena persamaan karakteristik mempunyai dua akar real, penyelesaian umumnya diberikan dengan

Kita sekarang menjumpai kondisi dua titik batas untuk pertama kalinya, yang mana dapat digunakan untuk menentukan koefisien kita harus mempunyai

dan

. Karena

,

. Diterapkan pada kondisi yang ada

, kita

mendapatkan penyelesaian tunggal

√

Perhatikan bahwa

disebut titik singular dari persamaan diferensial biasa

karena penyelesaian umumnya adalah singular pada batas kita menyebabkan penyelesaian singular. Namun,

adalah berhingga pada tetap singular pada

ketika

. Kondisi menghilangkan

. Inilah mengapa kita

menggunakan kondisi dua titik batas dari pada menentukan nilai dari

.

Contoh 4: Temukan penyelesaian umum dari

dengan

kondisi dua titik batas Dengan ansatz

dan

√

, kita mendapatkan

21

.


Sehingga

. Oleh karena itu, dengan , dan penyelesaian umum untuk

Kondisi batas yang pertama √

hasilnya

hasilnya

kita mempunyai adalah

. Kondisi batas yang kedua

.

Contoh 5: Temukan penyelesaian umum dari kondisi dua titik batas Dengan ansatz

dan

dengan

.

, kita mendapatkan

Jadi ada akar yang berulang

. Dengan

, kita mempunyai

, sehingga penyelesaian umumnya adalah

Kondisi batas pertama hasilnya

hasilnya . Penyelesaiannya adalah

22

. Kondisi batas keduanya


C. Kecepatan Individu Dan Medan Kecepatan Mari bayangkan sebuah mobil bergerak sepanjang jalan tol. Jika posisi dari mobil ditentukan sebagai percepatannya adalah

, maka kecepatannya pasti

dan

. Posisi dari mobil ditentukan pada tengah-

tengah dari mobil. Pada situasi jalan raya dengan banyak mobil yang ditentukan sebagai

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-2.

Gambar 2-2 (kondisi jalan, posisi mobil ditandai dengan

) diambil dari buku

Richard Haberman Mathematical models hal 260

Ada dua cara untuk menghitung kecepatan. Cara yang paling umum untuk menghitung kecepatan mobil

dari tiap mobil adalah

. Dengan banyak

maka terdapat

kecepatan yang berbeda, yang setiap kecepatannya

bergantung pada waktu,

Terdapat banyak situasi dimana

jumlah mobilnya sangat banyak sehingga akan sangat sulit untuk mengikuti tiaptiap mobil. Daripada menghitung kecepatan dari tiap-tiap mobil, kita menghubungkan setiap titik pada suatu jarak sebagai kecepatan tunggal,

,

yang bernama medan kecepatan. Ini akan menjadi penghitungan kecepatan pada waktu

dengan seorang pengamat tetap pada . Kecepatan ini (pada

dan di

waktu ) adalah kecepatan dari suatu mobil pada tempat tersebut (jika ada sebuah

23


mobil pada tempat itu). Pertanyaan ini akan disampaikan dalam bentuk matematika, medan kecepatan adalah kecepatan mobil

pada mobil yang berada pada

pasti

, (2.3.1)

Keberadaan dari medan kecepatan dan ada

menunjukkan bahwa pada setiap

. Jadi model ini mobil satu tidak diperbolehkan untuk

melewati satu sama lain (karena pada titik di saat akan melewati maka pasti akan muncul dua kecepatan yang berbeda). Sebagai contoh perhatikan dua mobil pada jalan tol, yang diberi tanda mobil 1 dan mobil 2, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-3. Andaikan mobil 1 bergerak pada kecepatan

mil/jam dan mobil 2 pada kecepatan

Juga asumsikan bahwa mobil 1 berada pada mobil 2 berada pada

pada

pada

mil/jam. , sementara

. Jadi

Gambar 2-3 (Kondisi dua mobil yang berada pada posisi 0 dan L) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 261

24


Mengintegralkan persamaan ini akan menghasilkan posisi setiap mobil sebagai fungsi dari waktu;

Pergerakan ini akan menghasilkan bagian tiap mobil seperti yang digambarkan pada Gambar 2-4. Dengan cara ini medan kecepatan dapat dibentuk; fungsi dari

dan . Tetapi, pada jalan raya dengan dua mobil, kecepatan

adalah tidak

terdefinisi pada hampir semua waktu pada posisi yang tetap sepanjang jalan raya. Suatu medan kecepatan penting digunakan jika ada banyak mobil dalam suatu jalan raya.

Gambar 2-4 (Kondisi jalan yang digambarkan secara vertical) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 261 Andaikan bahwa medan kecepatan yang kontinu terdefinisi di manapun (untuk dan

) ada. Sebagai contoh

25


(2.3.2)

Perhatikan bahwa ketika ketika

, maka dari persamaan (2.3.2)

, maka

, dan

. Terdapat banyak medan kecepatan yang

memiliki sifat seperti ini. Sebagai model yang sederhana, asumsikan bahwa ada tak berhingga banyak mobil yang setiap mobil ditandai dengan angka . Misalkan berkorespondensi dengan mobil pertama yang berada di kiri dan berkorespondensi dengan mobil pertama yang berada di kanan. Jika mobil yang ditandai dengan

bergerak pada kecepatan

berada pada posisi berkisar dari

ke

awalnya berkisar dari

,

,

, dan

maka kecepatan mobil sebagai

menggambarkan kisaran dari

sampai

yang

, dan posisi

sampai , seperti yang digambarkan pada Gambar 2-5.

26


Gambar 2-5 (Posisi mobil dengan kecepatan yang berbeda) diambil dari buku Richard

Haberman Mathematical models hal 262 Berdasarkan pada aplikasi lalu lintas tertentu, perlu diperhatikan medan kecepatan atau kecepatan dari mobil secara individu. Kecepatan dari mobil sama dengan

Kedua konsep dari kecepatan tersebut digunakan dalam mendiskusikan aliran lalu lintas. D. Aliran Lalu lintas dan Kepadatan Lalu lintas Apa variabel lalu lintas yang membuat pengamat dengan mudah menghitung pertambahan kecepatan mobil? Pengamat tetap pada posisi tertentu sepanjang

27


Jalan sehingga dapat menghitung jumlah mobil yang melewati posisi tersebut pada waktu tertentu. Pengamat dapat menghitung rata-rata jumlah mobil yang lewat tiap jam. Jumlah ini disebut sebagai aliran lalu lintas yang dilambangkan dengan . Andaikan penghitungan berikutnya diambil pada suatu tempat dalam interval setengah jam:

Gambar 2-6 (Data banyaknya mobil yang lewat pada suatu waktu) data diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265

Sebagai contoh, aliran lalu lintas terbesar terjadi pada periode 7:30-8.00 pagi hari. Jadi aliran

bergantung pada waktu,

, seperti yang ditunjukkan

pada Gambar 2-7. Pada posisi yang berbeda sepanjang jalan, alirannya bisa berbeda. Jadi aliran juga bergantung pada , dan kita tulis

28

.


Gambar 2-7 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 265

Dengan menghitung aliran lalu lintas sepanjang interval setengah jam, kita tidak dapat membedakan variasi dalam aliran yang terjadi selama waktu yang lebih pendek. Sebagai contoh, kita tidak dapat memberitahukan bahwa periode dari 7:45-8:00 AM bisa jadi memiliki lalu lintas yang lebih padat dari pada dari 7:30-7:45 AM. Penghitungan dari aliran lalu lintas dapat diambil bahkan dengan interval waktu yang lebih pendek. Tetapi, jika penghitungan dibuat dalam interval yang sangat singkat, sebagai contoh dalam interval ditemukan akan seperti ini:

29

detik, maka data yang


Pada penghitungan ini, catat bahwa aliran yang dihitung berfluktuasi liar seperti fungsi pada waktu. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kita asumsikan bahwa ada penghitungan interval seperti: 1. Interval cukup panjang sehingga banyak mobil yang melewati pengamat dalam interval penghitungan ( menghilangkan fluktuasi liar); 2. Interval cukup pendek sehingga variasi dalam aliran lalu lintas tidak mulus rata-ratanya untuk periode waktu yang panjang. Jika penghitungan seperti ini ada, maka kurva untuk aliran lalu lintas, Gambar 27, dapat diperkirakan dengan fungsi kontinu dari waktu yang diilustrasikan dalam Gambar 2-8.

30


Gambar 2-8 (Aliran lalu lintas sebagai fungsi kontinudari waktu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266 Penghitungan lalu lintas standar lainnya terjadi pada waktu yang tetap. Jumlah mobilyang berada di antara dua titik dapat dihitung, sebagai contoh, dengan menggunakan foto; seperti yang digambarkan pada Gambar 2-9. Prosedur sistematik yang digunakan tidak dapat menentukan secara pasti mobil itu berada pada daerah yang mana pada suatu waktu yang tetap. Dalam menentukan letak mobil sebaiknya menggunakan estimasi dari potongan mobil atau diasumsikan mobil dapat dihitung hanya jika tengah mobil berada pada daerah tersebut. Penghitungan ini yakni jumlah mobil pada suatu panjang jalan yang diberikan, yang dapat dikonversi menjadi jumlah mobil per mil, jumlahnya disebut kepadatan dari mobil dan diberi lambang . Di sini semua kendaraan diperlakukan sama, kata “mobil” digunakan untuk menampilkan kendaraan apapun.

Jika kepadatan lalu lintas dihitung setiap tetap, maka tipe penghitungannya menjadi:

31

mil dari jalan pada waktu yang


Gambar 2-9 (Kepadatan lalu lintas sama dengan invers dari jarak) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 266 Sebagai contoh lain, bayangkan sebuah situasi di mana mobil berjarak sama. Untuk kenyamanan sekarang diasumsikan bahwa semua kendaraan mempunyai panjang yang sama, . Untuk menggunakan satu unit panjang dalam masalah lalu lintas, mobil adalah

dihitung dalam kilometer dan bukan meter. Jika jarak antar

( jarak

disebut ruang), seperti yang diilustrasikan pada

Gambar 2-10, maka kepadatannya, jumlah mobil per kilometer adalah ρ=

.

(2.4.1)

Gambar 2-10 (Jarak dua mobil dan panjang mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 267

32


Seperti aliran lalu lintas, ada kesulitan dengan kepadatan lalu lintas jika penghitungan dibuat pada interval yang terlalu pendek. Andaikan jarak yang digunakan untuk penghitungan kepadatan sangatlah pendek

kilometer ; maka

situasi lalu lintas yang masuk akal digambarkan pada Gambar 2-11. Penghitungan data (menggunakan perkiraan potongan mobil) menjadi:

Gambar 2-11 (Penghitungan data menggunakan potongan mobil) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268 Jika kepadatan lalu lintas

digambarkan sebagai fungsi posisi (pada waktu

yang tetap), maka kita mendapat Gambar 2-12. Penghitungan kepadatan ini adalah fungsi yang sangat diskontinu. Di sisi lain, jika penghitungan kepadatan diambil hanya pada jarak yang besar (sebagai contoh

mil), maka hanya rata-rata

kepadatan yang dihitung. Variabel real lokal dari kepadatan lalu lintas tersebut menjadi mulus.

33


Gambar 2-12 (Kepadatan lalu lintas sebagai fungsi posisi) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 268 Jika kita berharap untuk memperkirakan kepadatan sebagai fungsi kontinu dari , kita mendapat Gambar 2-13 dan kepadatannya harus dihitung sepanjang interval yang jaraknya tidak terlalu pendek dan tidak terlalu panjang. Jika jarak penghitungannya terlalu panjang, maka rata-rata kepadatannya yang dihitung tidak tepat untuk diambil sebagai variasi kepadatan. Di sisi lain, jika jarak penghitungan terlalu kecil, maka variabel panjang dari data lalu lintas terlalu halus. Jarak penghitungan harus cukup panjang untuk banyak mobil yang termasuk di dalamnya, tapi cukup pendek sehingga variasi kepadatannya dapat dihitung.

Gambar 2-13 (Contoh signifikan interval hitungan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269

34


Mari kita mengilustrasikan dengan contoh signifikan dari interval penghitungan. Anggap

mil dari bagian jalan, ke depannya akan dibagi menjadi

seratus interval yang lebih kecil dengan panjang yang sama, dengan batas dari sampai

. Andaikan sebuah foto diambil dan dari situ kita menentukan bahwa

mobil berada pada posisi berikut: 1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9,20.1,21.5,23.5, 25.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1,43.4,44.9,46.4,47.9,49.6, 51.6,53.3,54.8,56.6,58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0, 66.6,69.5,72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3. Setiap mobil diilustrasikan dalam Gambar 2-14 sabagai “dot”.

Gambar 2-14 (Diagram jarak-jarak mobil) Gambar diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 269 Dari data atau diagram kita melihat bahwa dekat dengan tanda diperkirakan terpisah unit terpisah (dekat tanda dan

mobil

interval. Sepanjang jalan mobil menyebar ke sekitar ) sebelum menjadi dekat kembali antara tanda

(jarak terpisah menjadi sekitar

menghitung kepadatan pada tanda ke-

unit terpisah). Kita akan

sepanjang jalan. Untuk mudahnya, mari

kita bayangkan mobil mempunyai panjang nol. Mobil dekat tanda ke-

35

sedikit


lebih besar dari pada

unit terpisah dan oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya

kurang dari 1 mobil tiap

unit panjang. Kepadatan lalu lintas kurang dari

mobil tiap mil, karena tiap tanda adalah

dari

dari suatu mil. Untuk lebih

jelasnya mari kita melihat bagaimana menghitung kepadatan pada tanda kebergantung pada interval penghitungan. Jika kita menggunakan panjang suatu jalan dari

unit dipusatkan sekitar tanda ke-

ditetapkan menjadi jumlah mobil antara panjang

, maka kepadatan pada dan

dibagi dengan

. Dengan dasar ini kita dapat membuat bagan penghitungan kepadatan:

Ini lebih jelas diilustrasikan dengan menggambar kepadatan lalu lintas sebagai fungsi dari interval penghitungan, seperti pada Gambar 2-15. Untuk penghitungan yang lebih berarti, banyak mobil harus berada dalam interval penghitungan, tetapi tidak terlalu banyak karena dapat menyebabkan hilangnya rata-rata lokal. Tiga mobil terlalu sedikit, tetapi untuk mendapatkan memerlukan jarak yang panjang. Interval antara

dan

sepertinya cocok untuk masalah ini, hasilnya kepadatannya antara

36

mobil

unit panjang dan


mobil per mil. Untuk interval penghitungan yang pendek, akan terjadi fluktuasi yang kasar. Dengan

meningkat, akhirnya mobil ditemukan dan rata-rata

kepadatan meningkat secara dramaatis. Kepadatannya lalu berkurang secara bertahap (dengan meningkatnya) kembali hingga mobil selanjutnya ditemukan. Amplitudo dari fluktuasi berkurang dengan interval penghitungan yang semakin panjang. Untuk jarak penghitungan yang sangat panjang.

Gambar 2-15 (Kepadatan lalu lintas dengan interval yang besar) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 271

37


Aliran sama dengan kepadatan dikali kecepatan Pada bagian sebelumnya kita mendiskusikan tiga variabel dasar lalu lintas: kecepatan, kepadatan, aliran. Kita akan menunjukkan bahwa ada hubungan yang dekat antara tiga variabel tersebut. Pertama-tama kita perhatikan satu dari kemungkinan paling sederhana dari situasi lalu lintas. Andaikan pada jalan yang sama, lalu lintas bergerak dengan kecepatan konstan

dengan kepadatan konstan

, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-16. Karena setiap mobil bergerak pada kecepatan yang sama, jarak antara mobil masih konstan.

Gambar 2-16 (Pergerakan mobil dari pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 273 Oleh karena itu kepadatan lalu lintasnya tidak berubah. Apakah aliran mobil itu? Untuk menjawab itu, perhatikan pengamat menghitung aliran lalu lintas ( jumlah mobil per jam yang melalui pengamat). Dalam bergerak sejauh

jam setiap mobil

( bergerak dengan kecepatan konstan, jarak yang ditempuh

sama dengan kecepatan dikalikan dengan waktu), jadi jumlah mobil yang melalui pengamat dalam jam adalah jumlah mobil dalam jarak Karena

adalah jumlah mobil per kilometer dan ada

38

, lihat Gambar 2-17. kilometer,


Gambar 2-17 (Banyaknya mobil yang melalu pengamat dalam

jam) diambil dari

buku Richard Haberman Mathematical models hal 273 maka

adalah jumlah mobil yang melalui pengamat dalam

jumlah mobil per jam yang kita miliki disebut aliran lalu lintas,

jam. Jadi

adalah

Meskipun ini telah diturunkan dari kasus yang telah disederhanakan, kita akan menunjukkan bahwa ini adalah hukum dasar. Aliran lalu lintas=(kepadatan lalu lintas)(medan kecepatan). Jika variabel lalu lintas bergantung pada sebagai contoh

dan

, lalu kita masih menujukkan bahwa (2.4.2)

Langkah yang mudah untuk menunjukkan ini adalah untuk memperhatikan jumlah mobil yang melalui contoh antara

dan

dalam waktu

yang sangat kecil, sebagai

. Dalam waktu yang kecil mobil tidak dapat berjalan

jauh dan karenanya (jika

dan

adalah fungsi kontinu dari

dapat diperkirakan sebagai konstan, nilai mereka pada Dalam waktu kecil

dan )

dan dan

.

, mobil yang menempati ruang yang kecil, kira-kira

, akan melalui pengamat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2-18. Jumlah mobil yang melewati kira-kira

39

. Aliran lalu lintasnya


diberikan pada persamaan (2.4.2). Jadi hasil untuk konstan memerlukan modifikasi untuk

dan

tiga variabel dasar lalu lintas, kepadatan

dan

tidak

yang tak seragam. Karenanya, , kecepatan

dan aliran

, terhubung dalam persamaan (2.4.2).

Gambar 2-18 (Dalam waktu yang kecil mobil akan melalu pengamat) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 274 E. Konservasi Jumlah Mobil Pada bagian ini, kita akan memformulasikan model deterministik dari aliran lalu lintas. Andaikan bahwa densitas dan medan kecepatan diketahui untuk suatu aliran lalu lintas yang tak terhingga panjangnya. Dapatkah kita memprediksi densitas dan kecepatan pada masa depan? Sebagai contoh jika lampu hijau menjadi merah dan sesaat kemudian menjadi hijau, lalu apakah pola lalu lintasnya dapat diprediksi? Kita dapat menganggap variabel dasar lalu lintas adalah

dan

. Tetapi andaikan kita tahu kepadatan lalu lintasnya adalah

dan

kecepatan lalu lintasnya untuk setiap waktu mobil akan memenuhi persamaan diferensial:

40

. Maka pergerakan dari setiap


dengan Menyelesaikan persamaan ini dapat menentukan di mana posisi mobil-mobil beberapa saat kemudian. Pada beberapa waktu kemudian, kita dapat menghitung densitas. Jadi kepadatan lalu lintas masa depan dapat dihitung dengan mengetahui kecepatan lalu lintas. (meskipun dalam penghitungan tidaklah sederhana dan harus menggunakan komputer). Kita ingin menentukan bagaimana densitas dapat dihitung dengan mudah dengan mengetahui kecepatannya (nantinya kita akan menyelesaikan di mana kecepatannya juga tidak diketahui). Dengan mengikuti mobil, kita menganggap jumlahnya tidak berubah. Tetapi kita telah dikenalkan dengan variabel lalu lintas berupa densitas, kecepatan dan aliran, jadi kita tidak harus mengikuti mobil satu per satu. Mari kita mencoba untuk „mengawetkan‟ mobil dengan menggunakan variabel pada lalu lintas. Pada beberapa interval jalan antara

dan

, jumlah mobil

adalah integral dari kepadatan lalu lintas: ∫

(2.5.1)

Jika tidak ada tempat masuk dan keluar pada jalan ini,maka jumlah mobil antara dan

masih bisa berubah dalam waktu. Jumlahnya berkurang saat

mobil meninggalkan daerah

dan jumlahnya bertambah pada saat mobil masuk

. Asumsikan bahwa tidak ada mobil yang masuk dan keluar, maka

perubahan pada jumlah mobil hanya dari penyeberangan antara

41

dan

.


Jika jumlah aliran mobil adalah adalah

mobil perjam pada

tetapi aliran pada

perjam, maka jelas jumlah mobil antara

bertambah

dan

mobil per jam. Kita dapat mengumumkan hasil ini pada

situasi di mana jumlah mobil yang lewat tidak konstan setiap waktu. Nilai dari perubahan jumlah mobil,

, sama dengan jumlah per unit waktu melewati

dikurangi jumlah mobil per unit waktu pada

atau (2.5.2)

karena jumlah mobil per unit waktu adalah Perbedaan jumlah mobil antara waktu

dan

sama dengan jumlah mobil yang melewati

antara

mana untuk antara

kecil sekitar dan

di

dikurangi jumlah mobil yang melewati

di mana untuk

kecil adalah (

Dibagi dengan

dan

Jadi, )

dan mengambil limit

dari persamaan (

. Kita

mengembangkan turunan yang terakhir dengan mengeliminasi yang diperlukan dengan menggunakan perkiraan. Perhatikan perbedaan antara jumlah mobil pada dan antara

. Persamaan pasti diperlukan untuk jumlah mobil yang melewati dan

. Karena

adalah jumlah mobil yang

melewati

tiap waktu tertentu, maka ∫

melewati

antara

dan

adalah jumlah mobil yang

. Pada turunan,

dan integral ini mendekati

, dekat dengan

Tetapi tanpa perkiraan

42


∫

-∫

Bagi persamaan ini dengan turunan ke

. Karena

= ∫

dan ambil limit dari

tidak bergantung pada

terhadap

. Ambil

, kita mendapatkan

∫

Dari teorema dasar kalkulus akan menunjukkan bahwa,

Karena

, dapat berada pada sembarang waktu,

diganti dengan notasi , jadi

persamaan (2.5.2) diturunkan kembali. Menggabungkan persamaan (2.5.1) dan (2.5.2), hasilnya –

∫

(2.5.3)

Persamaan ini menunjukkan fakta bahwa perubahan jumlah mobil karena aliran yang melalui batas. Dalam batas tersebut tidak ada mobil yang datang maupun pergi tanpa melalui batas. Jumlah mobil yang berada pada batas tersebut dikekalkan. Ini bukan berarti jumlah mobil antara konstan. (jika benar maka (

) atau

dan

adalah

. Persamaan (2.5.3)

disebut hukum konservasi dalam bentuk integral atau lebih tepatnya hukum konservasi integral. Hukum ini menunjukkan sifat dari lalu lintas yang panjangnya berhingga di antara

43


Sebagai contoh, perhatikan jalan layang yang sangat panjang di mana kita memodelkan sebagai jalan yang tak terhingga panjangnya. Mari kita asumsikan bahwa aliran mobil menuju ke nol dengan

menuju

,

Dari persamaan (2.5.3), akan mengikuti

∫

Mengintegralkan persamaan ini ∫

Yang menyatakan bahwa jumlah mobilnya konstan sepanjang waktu. Konstan bisa dievaluasi jika salah satu jumlah dari mobil

atau densitas

yang

diketahui: ∫

∫

Hukum konservasi integral akan disebut sebagai hukum konservasi lokal, yang valid pada setiap posisi di jalan. Kita akan melakukannya pada 3 cara yang ekuivalen. Pada 3 cara itu, titik akhir pada bagian jalan,

dan

dianggap sebagai variabel tak bebas tambahan. Jadi turunan terhadap waktu harus diganti dengan turunan parsial, (2.5.4a)

∫

Karena turunan persamaan (2.5.3) asumsikan bahwa posisi

dan

adalah tetap dalam waktu. Pada sisi lain

dan

44

berarti

mengandung

tetap


dengan waktu. Pada turunan pertama, kita menginvestigasi bagian kecil pada jalan. Pendekatan kasar telah dibuat, di mana memberikan hasil yang tepat. Setelah itu persamaan pertama akan ditingkatkan turunannya. (1)

Perhatikan integral konservasi dari mobil pada interval kecil dari suatu

jalan layang dari

ke

. Jadi dari persamaan (2.5.4a),

∫

Dibagi dengan -

dan ambil limit

:

∫

2.5.4b

Pada sisi kanan dari persamaan (2.5.4b) adalah pengertian dari turunan

ke

. Pada sisi kiri persamaan (2.5.4b) limitnya dapat ditampilkan dengan 2 cara yang ekuivalen: (a) Integral adalah daerah di bawah kurva . karena

antara

dan

kecil , integralnya dapat diperkirakan dengan satu pangkat.

Jumlah mobil antara

dan

dapat diperkirakan dengan panjang jalan

dikali kepadatan lalu lintas pada

Jadi,

∫

Pada turunan subsekuennya, (2), kita menunjukkan bahwa errornya hilang karena

,

Lalu kita turunkan dari persamaan 2.5.4b jadi

45


(x,t)+

=0

(b) Pada sisi lain, memperkenalkan fungsi

̅

, jumlah mobil pada jalan

dan posisi variabel ̅ ,

antara sembarang fix posisi ̅

∫

Lalu rata-rata jumlah mobil per mil antara

dan

adalah

=

∫

, pada sisi kanan adalah –

Dalam limit

menggunakan definisi dari

. Dengan

dari dasar teorema kalkulus,

Jadi sisi kiri dari persamaan (2.5.4b) sama dengan –(

.

Dengan metode baik a maupun b, persamaan (2.5.5a) mengikuti. Karena persamaan (2.5.5a) memegang semua nilai dari , akan lebih baik untuk mengganti

dengan ,

[

]

( 2.5.5b)

atau sederhananya

(2.5.5c)

Ini adalah persamaan diferensial parsial. Ini menunjukkan hubungan antara kepadatan lalu lintas dan aliran lalu lintas yang diturunkan dengan menganggap bahwa jumlah mobil adalah tetap, di mana tidak ada mobil

46


yang datang maupun pergi tanpa melalui batas. Ini valid di manapun (semua ) dan untuk sepanjang waktu. Ini disebut persamaan konservasi mobil. (2)

Persamaan konservasi mobil dapat diturunkan lebih jauh. Perhatikan

hukum konservasi integral, persamaan (2.5.4a), untuk sembarang bagian berhingga dari suatu jalan,

. Sekarang ambil turunan parsial terhadap .

(persamaan ini menyebabkan

dibagi dengan

dan diambil limitnya

). Jadi,

(

Karena

)

menampilkan sembarang posisi di jalan, maka

digantikan dengan ,

berdasarkan persamaan konservasi mobil, persamaan (2.5.5) (3)

Turunan alternatif untuk jalan dengan panjang yang berhingga berdasarkan dari mengikuti hubungan yang sangat jelas pada sisi kanan

persamaan (2.5.4a)

∫

[

]

Jadi dari persamaan (2.5.4a), ∫ [

]

(2.5..6)

Persamaan 2.5.5 langsung mengikuti dengan mengambil turunan dengan terhadap , dan sudah selesai pada turunan (2). Tetapi mari kita mendiskusikan argumen yang kuat dan berbeda. Persamaan (2.5.6) menyatakan bahwa nilai integral dari beberapa jumlah selalu nol untuk setiap nilai dari berbagai limit yang bebas dari 47


integral. Satu-satunya fungsi yang integralnya adalah nol untuk setiap interval adalah fungsi nol. Jadi persamaan (2.5.5) mengikuti. Dengan tiga metode yang ekuivalen, kita telah menunjukkan bahwa

(2.5.7)

Ini pasti valid jika tidak ada jalan masuk ataupun keluar di antara jalan tersebut. Persamaan (2.5.7) valid dalam banyak situasi tapi tidak melakukan apa-apa terhadap lalu lintas. Secara umum, jika dipadatkan dan jika

adalah sembarang jumlah lokal yang

adalah aliran dari jumlah yang melaluli batasan, maka dapat

ditunjukkan menggunakan argumen yang sama yang telah kita kembangkan, bahwa persamaan (2.5.7) valid. Tetapi untuk masalah lalu lintas, kita tahu dari subbab sebelumnya bahwa

Jadi konservasi pada mobil dapat ditulis sebagai

(2.5.8)

Persamaan diferensial parsial ini menghubungkan kepadatan lalu lintas dan kecepatan. F.

Hubungan kecepatan dan kepadatan Dua variabel, kepadatan lalu lintas dan kecepatan mobil hanya

dihubungkan dengan satu persamaan yaitu konservasi dari mobil

48


(2.6.1)

Jika medan kecepatan diketahui, persamaan (2.6.1) berkurang menjadi persamaan diferensial parsial untuk kepadatan lalu lintas yang tidak diketahui. Dalam kasus ini, persamaan (2.6.1) dapat digunakan untuk memprediksi kepadatan lalu lintas di masa depan jika kepadatan lalu lintas awalnya diketahui. Sebagai masalah nilai awal, persamaan (2.6.1) hanyalah sama dengan persamaan diferensial biasa untuk posisi dari suatu massa atau persamaan diferensial biasa yang dikembangkan dalam dinamika populasi. Kita dapat mengikuti untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial ini. Tetapi, ini menjadi tidak berarti karena kita tidak tahu medan kecepatannya. Medan kecepatan yang tidak diketahui harus diinvestigasi. Perhatikan mobil sebagai partikel, kita perlu tahu kecepatan partikelnya. Jika ini adalah sistem mekanik, maka kita akan menginvestigasi kekuatan di dalam sistem dan menggunakan hukum Newton untuk mempelajari pergerakan dari partikel. Tetapi, tidak ada cara yang sama dengan hukum Newton mengenai mobil yang harus bergerak. Ini bukanlah kekuatan yang menyebabkan mobil tersebut bergerak; ini adalah keputusan dari setiap individu pengendara. Apa faktor yang mempengaruhi kecepatan individual mobil? Cara untuk menyelidiki medan kecepatan adalah dengan melakukan percobaan untuk mengetahui individual respon terhadap kondisi lalu lintas. Mengapa beberapa pengendara melalui jalan yang dia lewati? Mari kita mendiskrisikan terlebih dahulu beberapa pengamatan fenomena lalu lintas yang

49


sangat familiar denganmu. Jika lalu lintas cukup renggang, maka pengendara dari tiap mobil memiliki kebebasan untuk melakukan segala sesuatu sesuai dengan yang dia inginkan dalam batasan-batasan tertentu. Satu-satunya alasan yang membuat pengendara memperlambat kendaraannya karena kehadiran dari kendaraan lain. Dengan lalu lintas yang semakin padat maka pertemuan dengan mobil yang bergerak lambat akan semakin sering. Dalam kondisi ini tidaklah sulit untuk melewati mobil yang bergerak lambat, dan oleh karena itu kecepatan ratarata pengendara masih tidak kurang dari kecepatan yang diinginkan. Tetapi, pada lalu lintas yang padat, berganti baris menjadi susah, dan menyebabkan rata-rata kecepatan dari lalu lintas berkurang. Dengan dasar dari tipe pengamatan ini, kita menyederhanakan asumsi dasar bahwa tiap titik sepanjang jalan kecepatan dari sebuah mobil hanya bergantung pada kepadatan lalu lintas, (2.6.2)

Lighthill dan Whitham dan Richard pada pertengahan 1950 telah menyatakan model matematika aliran lalu lintas tipe ini secara terpisah. Jika tidak ada mobil lain pada jalan raya (berkorespondensi dengan kepadatan lalu lintas yang sangat rendah), maka mobil dapat bergerak pada kecepatan maksimum

, (2.6.3)

terkadang diartikan sebagai kecepatan bebas yang berkorespondensi dengan kecepatan mobil yang akan bergerak jika mereka bebas dari gangguan mobil lain.

50


Tetapi, dengan meningkatnya kepadatan (yang berarti semakin banyaknya mobil per mil) maka keberadaan mobil lain akan membuat kecepatan mobil berkurang. Dengan meningkatnya kepadatan maka kecepatan dari mobil akan terus berkurang hingga akhirnya menghilang atau berhenti, dan jadi (2.6.4)

Pada kepadatan tertentu di mana mobil tetap pada tempatnya atau tidak bergerak. Kepadatan maksimum ini,

biasanya berkorespondensi dengan apa yang

disebut lalu lintas bumper to bumper, (2.6.5)

(Mobil diamati saat datang dan saat berhenti pada kepadatan lalu lintas sebelum mobil menyentuh mobil lainnya. Jadi

, di mana

adalah rata-rata

panjang dari kendaraan).

G. Aliran lalu lintas Seorang insinyur lalu lintas akan diminta mekanisme kontrol lalu lintas untuk memaksimalkan aliran pada suatu jalan. Aliran yang terbesar terjadi jika mobil saling berdekatan (

akan

bergerak pada batas kecepatan

. Ini jelas tidak aman, tetapi lebih jauh lagi kita mempunyai hipotesis (berdasarkan banyak observasi) bahwa kebiasaan manusia dalam berkendara seperti jika

maka mobil akan berdempet-dempetan dan tidak dapat

bergerak, hasilnya adalah aliran lalu lintas minimum yaitu nol.

51


Kita akan mengasumsikan bahwa kondisi jalan adalah sama. Yang artinya semua mobil memiliki keadaan yang sama, misalnya kecepatan mobil bergantung pada kepadatan lalu lintas dan tidak pada waktu atau posisi selama di jalan. Karena aliran lalu lintas (jumlah mobil per jam) sama dengan kepadatan dikalikan dengan kecepatan, aliran juga hanya bergantung pada kepadatan, (2.7.1)

Aliran jadi memiliki sifat-sifat umum. Aliran mungkin nol dalam dua jalan yang pasti: 1. Jika tidak ada lalu lintas (

), atau

2. Jika lalu lintas tidak bergerak (

dan

Untuk nilai dari kepadatan lainnya

aliran lalu lintas pasti

positif. Hubungan antara aliran dan densitas biasanya disebut Diagram Dasar Lalu lintas Jalan. Ini menunjukkan bahwa maksimum dari aliran lalu lintas terjadi pada beberapa kepadatan (dengan kecepatan yang berkorespondensi). Insinyur lalu lintas menyebut aliran lalu lintas maksimum sebagai kapasitas dari jalan. Kita mengasumsikan bahwa hubungan aliran dan kepadatan yang digambarkan pada Gambar 2-19, cekung ke bawah,

52

⁄

.


Gambar 2-19 (Hubungan aliran dan kepadatan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 290 Dengan kata lain kita mengasumsikan bahwa

⁄

berkurang di mana

meningkat, seperti yang didemonstrasikan dalam Gambar 2-20. Maksimum absolut dari aliran terjadi hanya pada maksimum lokal.

Gambar 2-20 (Aliran yang terjadi pada maksimum local) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 290 Data dari Lincoln Tunnel mengindikasikan bahwa aliran lalu lintas maksimum sekitar 1600 kendaraan per jam, terjadi pada kepadatan sekitar 82 mobil per kilometer, bergerak dengan kecepatan sekitar 19 kilometer per jam.

53


Data dari Merrit Parkway. Gambar 2-20 meyakinkan rentang kecepatan di mana maksimum yang terjadi tidak dapat diobservasi.

Gambar 2-21 (Rentang kecepatan di mana maksimum yang terjadi tidak dapat diobservasi) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 291

Jika kepadatannya hampir nol, maka biasanya lalu lintas akan bergerak pada kecepatan maksimum, diperkirakan dengan

. Jadi untuk kepadatan yang kecil aliran

dapat

, meningkat secara linear dengan kepadatan.

Pengukuran dalam Lincoln Tunnel dan Holland dan Queens Midtown Tunnels menunjukkan suatu hal yang linear identik mengenai hubungan aliran dan kepadatan untuk kepadatan alirang yang kecil, seperti yang kita berikan pada diskusi secara teori yang sebelumnya. Tetapi dengan meningkatnya kepadatan dan aliran secara korespondensi, perbedaan di antara tiga pengembangan terowongan dalam kurva aliran dan kepadatan. Pengukuran ini menunjukkan bahwa aliran lalu lintas maksimum (kapasitas) dan kecepatan yang bersesuaian lebih rendah dari

54


terowongan yang lebih tua. Ini mengindikasikan bahwa terowongan yang lebih baru, dengan luas bidang yang lebih besar, penerangan yang telah dikembangkan dan lain-lain, membuat pengendara dapat berkendara lebih cepat pada kepadatan lalu lintas yang sama. Sebagai tambahan, pengukuran aliran kepadatan telah dibuat dalam bagian yang berbeda pada terowongan yang sama. Pengalaman ini menunjukkan bahwa kapasitas pada suatu jalan itu bervariasi. Ada tempat di mana kapasitasnya lebih kecil dari yang lainnya, yang biasa disebut kemacetan. Untuk meningkatkan efisiensi lalu lintas, lalu lintas harus dipaksa untuk bergerak pada suatu kepadatan (dan kecepatan) secara korespondensi ke aliran lalu lintas maksimum. Untuk mengilustrasikan aplikasi konsep ini, perhatikan suatu situasi di mana banyak mobil yang menunggu untuk masuk ke dalam terowongan. Asumsikan bahwa mobil bergerak pada kecepatan yang kurang dari aliran maksimum. Sinyal yang menghentikan lalu lintas dan mengijinkan untuk jalan, hasilnya akan meningkatkan aliran dari mobil melalui terowongan. Jadi menghentikan lalu lintas sesaat dapat meningkatkan aliran! Meskipun kita harus menyederhanakan masalahnya, ide ini berhasil meningkatkan kelancaran lalu lintas di Holland tunnel seperti yang diberitakan dalam Scientific American.

55


BAB III MODEL-MODEL ALIRAN LALU LINTAS

A. Steady State Car following model Pada bagian ini kita akan menunjukkan suatu metode untuk menentukan hubungan kecepatan dan kepadatan. Untuk menjelaskan kurva kecepatan kepadatan, kita dapat menganalisa secara hati-hati mengenai cara pengendara dalam membuat pilihan saat berkendara. Model matematika yang diberikan di sini berasal dari hasil beberapa penelitian untuk membangun model tersebut. Perhatikan mobil ke

pada suatu jalan,

Seperti sebelumnya, kita

mengasumsikan mobil tidak dapat saling mendahului. Kita mendalilkan bahwa suatu gerakan mobil hanya bergantung pada mobil yang ada di depannya. Teori ini disebut car following model. Dalam model yang sangat sederhana ini, kita mengasumsikan bahwa akselerasi mobil proporsional dengan kecepatan yang bersangkutan,

(

)

3.1.1

Jika mobil berikut akan lebih cepat dari mobil sebelumnya, maka mobil berikut akan melambat ( jadi

). Semakin besar kecepatan relatifnya, maka semakin

besar pula mobil belakangnya mempercepat atau memperlambat. Parameter mengukur kesensitifan dua mobil yang berinteraksi. Tetapi, persamaan (3.1.1) menunjukkan bahwa percepatan atau perlambatan terjadi secara tiba-tiba. Mari

56


kita memberi beberapa waktu penundaan sebelum pengendara bereaksi untuk mengubah kecepatan relatif. Proses ini dimodelkan dengan menspesifikasikan percepatan pada beberapa waktu sesudahnya,

(

Di mana

).

(3.1.2)

adalah waktu bereaksi. Secara matematik, persamaan ini menampilkan

suatu sistem dari persamaan diferensial biasa dengan suatu penundaan, yang disebut sistem persamaan diferensial penundaan. Mengintegralkan persamaan (3.1.2), yakni

(

)

Sebuah persamaan yang menghubungkan kecepatan dari mobil pada suatu waktu dengan jarak antar mobil. Bayangkan suatu situasi steady state di mana semua mobil terpisah jarak dan bergerak pada kecepatan yang sama. Jadi

Dan

(

)

Karena

(3.1.3)

57


Adalah definisi yang beralasan dari kepadatan lalu lintas, diperoleh hubungan antara kepadatan dan kecepatan.

Kita memilih bilangan konstan , yang mana pada kepadatan maksimum

.

dengan kata lain,

Dengan cara ini hubungan antara kepadatan dan kecepatan dapat diturunkan,

(

)

(3.1.4)

Gambar 3-1 (Situasi steady state, hubungan kecepatan dan kepadatan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 294 Bagaimana ini dapat dibandingkan dengan pengamatan mengenai hubungan kecepatan dan kepadatan? Persamaan (3.1.4) muncul secara untuk kepadatan yang

58


besar, sebagai contoh, mendekati

. Tetapi ini memprediksikan kecepatan

tak berhingga pada kepadatan nol. Kita dapat mengeliminasi masalah ini, dengan memperhatikan bahwa model ini tidak cocok untuk kepadatan kecil karena alasan berikut. Pada kepadatan kecil, perubahan kecepatan dari mobil tidak ada karena mobil di depannya. Namun itu lebih seperti pengaruh batas kecepatan dari mobil (dan percepatan) pada kepadatan yang kecil. Jadi kita dapat berhipotesis bahwa persamaan (3.1.4) valid hanya untuk kepadatan yang besar. Untuk kepadatan yang kecil, mungkin

hanya terbatas dengan batas kecepatan,

{

(

Kita memilih kepadatan kritis

) seperti kecepatan kepadatan dari fungsi

kontinu, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar. Aliran

{

(

. Jadi

)

59

jadi


Gambar 3-2 (Situasi steady state) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 295 Bayangkan dua pengendara yang keduanya mengendarai dengan kecepatan km.p.h lebih cepat dari mobil yang ada di depannya, yang satu

meter di

belakang tetapi yang lain hanya 8 meter di belakangnya. Kita tahu bahwa pengendara akan mengalami perlambatan yang berbeda-beda. Percepatan dan perlambatan seorang pengendara juga bergantung pada jarak dengan mobil sebelumnya. Semakin dekat pengendara, semakin sering pengendara akan merespon lebih kuat untuk memperhatikan kecepatan relatif. Cara paling sederhana untuk model ini adalah dengan menginverskan proporsional dari sensitifitas pada jarak

Jadi model car following yang direvisi adalah (3.1.5)

Model car following ini tidak linear, yang berlawanan dengan persamaan (3.1.2) yang linear. 60


Persamaan ini dapat diintegralkan menjadi |

|

Mari kita memperhatikan situasi steady state, dalam kasus

Sekali lagi konstan integrasi dipilih yang kepadatan maksimum, kecepatannya adalah nol.

Kesulitan saat

dihindari dengan mengasumsikan bahwa untuk

kepadatan rendah,

. Konstan

dipilih sehingga rumusnya akan

sesuai dengan data yang diobservasi pada suatu jalan. Konstan

memiliki

interpretasi sederhana, kita akan menunjukkannya sekarang dengan kecepatan yang berhubungan dengan aliran maksimum: ( Berarti pada aliran lalu lintas maksimum terjadi pada

) , dalam kasus di

mana kecepatan pada aliran maksimum adalah

(

)

Banyak tipe lain yang sama dengan teori car following telah dirumuskan oleh peneliti lalu lintas. Mereka membantu untuk menjelaskan hubungan antara aksi individu

dari

pengendara

tunggal

dan

kebiasaan

pengendara

keseluruhanyang ditunjukkan dengan cekungan kepadatan dan kecepatan.

61

secara


B. Model Persamaan Diferensial Parsial Untuk suatu bagian dari jalan, percobaan dapat digunakan untuk menganalisa

ketergantungan

kepadatan

terhadap

kecepatan.

Jika

kita

mengasumsikan bahwa kecepatan pengendara diketahui dengan fungsi ditentukan dengan

,

, maka konservasi pada mobil persamaan (2.5.8)

menjadi

(

)

Ini adalah persamaan diferensial parsial dengan satu variabel

yang tidak

diketahui. Andaikan ada aliran kepadatan awal yang tidak konstan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-3.

Gambar 3-3 (Gerakan mobil dengan kecepatan yang berbeda) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 298 Mobil lain akan bergerak dengan kecepatan yang berbeda. Jadi kepadatan akan berubah segera dan di bawah asumsi kita, pengendara akan segera menyesuaikan kecepatan mereka. Proses ini akan berlanjut. Jika kita tertarik dengan kepadatan mobil pada waktu berikutnya, kita „hanya‟ perlu untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial.

62


Masalah lalu lintas telah diformulasikan dalam kondisi suatu persamaan diferensial parsial, persamaan (3.2.1), atau

Karena

,

dapat dianggap sebagai suatu fungsi dari

saja. Persamaan

terakhir ini lebih mudah digunakan karena aturan rantai

Dan jadi (3.2.3) Satu kondisi yang cocok dalam urusan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial yang tunggal adalah kondisi awal. Dengan suatu urutan th persamaan diferensial umum, kondisi awal

diperlukan. Banyaknya kondisi

bersesuaian sama untuk persamaan diferensial parsial. Jadi untuk persamaan (3.2.3) hanya satu kondisi awal yang diperlukan karena persamaan diferensial parsial hanya mengandung satu kali turunan. Tetapi, ada beberapa perbedaan utama antara persamaan diferensial biasa dan parsial yang disebabkan oleh tambahan variabel independen. Untuk mengilustrasikan perbedaan ini, mari kita perhatikan tiga persamaan diferensial parsial yang sangat sederhana ini: (1)

63


(2)

(3) Ini disebut persamaan diferensial parsial karena dan . Jika

diasumsikan bergantung pada

hanya bergantung pada , maka dua persamaan yang pertama akan

menjadi persamaan diferensial biasa, penyelesaian umumnya menjadi: (1)

(2) Untuk mempunyai penyelesaian tunggal, satu kondisi awal diperlukan, sebagai contoh, jika

, maka

(1)

(2) Tetapi, sekarang kita asumsikan bahwa (1),

⁄

dijaga tetap,

bergantung pada

. Turunan parsialnya berarti menjaga tidak berubah terhadap

konstan untuk setiap

dan . Pada

agar tetap. Jadi jika

. Dengan mengintegralkan,

adalah

tetap. Sembarang konstan sekarang bergantung pada

dalam cara yang sembarangan. Karenanya konstannya adalah fungsi sembarang dari . Dalam integral bilangan konstan sembarang secara umum menjadi fungsi sembarang ketika integralnya adalah turunan parsial.

64


Jadi

adalah penyelesaian umum dari

⁄

, di mana

fungsi dari . Untuk memeriksa, diferensial parsial,

⁄

adalah sembarang

disubstitusikan ke dalam persamaan

, di mana kita secara cepat dapat memastikan bahwa

adalah penyelesaiannya. Untuk menentukan fungsi sembarang, satu kondisi awal diperlukan. Kondisi awalnya adalah nilai awal dari kepadatan lalu lintas awal

,

. Dapatkah persamaan diferensial parsial

diselesaikan untuk sembarang kondisi awal, untuk ? Dapatkah fungsi sembarang,

diresepkan, , ditentukan dengan

? Dalam kasus ini cukup sederhana seperti

. Jadi

Menyelesaikan persamaan diferensial parsial dan juga kondisi awal. Kita sekarang memperhatikan contoh (2),

Kita akan meyakini kondisi awal

. Persamaan diferensial parsial

dapat diintegralkan kembali (untuk setiap

tetap) menjadi

Seperti sebelumnya, konstan dapat bergantung pada x secara sembarangan. Oleh karena itu

65


Kondisi awalnya memenuhi jika

, dan oleh karena itu

penyelesaian dari masalah (2) memenuhi kondisi awal yang diberikan adalah [

]

Sebagai contoh (3),

Menjaga

tetap menghasilkan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa,

Untuk nilai lain dari

, konstannya dapat bervariasi, dan oleh karena itu

penyelesaian dari persamaan diferensial parsialnya adalah . Kondisi awal,

, dipenuhi jika

, hasil dari

pernyelesaian masalah nilai awal,

Dalam ringkasan kita telah mampu untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dalam suatu kasus di mana mereka dapat diintegralkan. Sembarang konstan yang muncul digantikan dengan fungsi sembarang dari variabel bebas lainnya.

66


C. Interpretasi mengenai gelombang lalu lintas Pada bagian ini dengan cara alternatif, kita mendapat penyelesaian ke persamaan diferensial parsial untuk gangguan kepadatan lalu lintas, (3.3.1)

Mari memperhatikan pengukuran kepadatan lalu lintas dengan penelitian bergerak. Misalkan posisi dari pengamat ditetapkan dengan

. Pengukuran

kepadatan lalu lintas dengan pengamat bergantung pada waktu,

Laju

perubahan dari kepadatan ini bergantung pada variasi dari lalu lintas dan pergerakan dari pengamat, karena aturan rantai dari turunan parsial maka (3.3.2)

Kondisi pertama

⁄

menampilkan perubahan dalam kepadatan lalu

lintas pada posisi yang tetap, sementara

⁄

⁄

menampilkan

perubahan karena fakta bahwa pengamat bergerak ke dalam wilayah yang mungkin memiliki kepadatan lalu lintas yang berbeda. Bandingkan persamaan ini untuk perubahan pada pergerakan kepadatan dengan pengamat, persamaan (3.3.2) dengan persamaan diferensial parsial untuk kepadatan lalu lintas yang terganggu, persamaan (3.3.1). Ini nyata bahwa jika pengamat bergerak dengan kecepatan , jika

67


(3.3.3a)

lalu (3.3.3b)

Jadi

konstan. Seorang pengamat bergerak dengan kecepatan spesial

maka pengukurannya tidak merubah kepadatan. Kita juga akan menemukan konsep yang berguna untuk pembelajaran kita pada persamaan aliran lalu lintas nonlinear,

Dengan mengintegralkan persamaan (3.3.3), penyelesaian aljabar mudah didapatkan. Dari persamaan (3.3.3),

sepanjang

adalah konstan. Tetapi, kita melihat bahwa

dan

adalah konstan hanya jika

adalah konstan, untuk garis lurus yang berbeda, konstan yang berbeda. Jadi konstan

, di mana

dapat menjadi bilangan

bergantung pada konstan ,

;

adalah fungsi sembarang untuk , atau (3.3.4) Di mana hasilnya indentik dengan persamaan (3.3.4), didapat dengan mentransformasikan persamaan diferensial ke sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan .

68


D. Sebuah contoh aliran lalu lintas yang hampir seragam Pada bagian ini jenis lain dari masalah lalu lintas yang melibatkan suatu kepadatan lalu lintas yang hampir seragam akan diselesaikan. Andaikan awal kedapatan lalu lintas adalah konstan untuk jalan tol yang hampir tak terbatas . Berapa banyak mobil tiap jam yang harus masuk dalam urutan untuk aliran lalu lintas agar tetap seragam? Aliran lalu lintas pada jalan masuk harus aliran bersesuaian dengan kepadatan seragam

,

. Untuk membuktikan pernyataan

ini, perhatikan interval dari jalan antara jalan masuk dan titik

.

Menggunakan integral konservasi dari mobil,

∫

Karena kepadatan lalu lintas ditetapkan untuk menjadi konstan, sisi kirinya adalah nol. Jadi aliran pada Tetapi aliran pada

pasti sama dengan aliran di jalan masuk adalah

. Jadi

.

Dengan kata lain, aliran yang masuk harus sama dengan aliran yang keluar, sehingga jumlah mobil di antaranya akan tetap sama dengan mengasumsikan kepadatan konstan. Tetapi, andaikan bahwa aliran dalam dari mobil adalah berbeda dari aliran untuk kepadatan seragam, (3.4.1)

Dengan

diketahui. Persamaan diferensial parsialnya sama dengan

sebelumnya:

69


Diturunkan dari (3.4.2)

Lalu lintas diasumsikan awalnya menjadi seragam, jadi kondisi awalnnya adalah

(ini dapat diumumkan untuk menyangkut kepadatan awal yang sangat dekat dengan kasus seragam). Catat bahwa kondisi awal hanya valid untuk

.

Kondisi awalnya harus dilengkapi dengan kondisi aliran, persamaan (3.4.1), yang disebut kondisi batas karena terjadi pada batas dari jalan, jalan masuk ke jalan cepat pada

Gambar 3-4 (Jalan masuk kendaraan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 316 Penyelesaian umum ke persamaan diferensial parsial telah didapat

atau sama dengan

70


Mari kita menggunakan konsep dari karakteristik dengan mengandaikan lampu lalu lintas, sebagai contoh,

. Karakteristiknya adalah garis

dapat dilihat pada Gambar pada 3-5. Kepadatan dari

konstan,

adalah konstan sepanjang

garis ini. Karenanya pada daerah yang berbayangan pada Gambar 3-5, kepadatannya

atau total kepadatannya

, karena

pada

.

Gambar 3-5 (Daerah mobil yang seragam dan tak seragam) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 317 Daerah yang tidak diberi bayangan adalah di mana jalan diketahui bahwa mobil memasuki tingkat tidak seragam. Pada daerah ini kepadatan lalu lintas hanya sedikit berbeda dengan kepadatan seragam, persamaan (3.4.3). Apa kepadatan dari mobil jika kepadatan masih bergerak dengan kecepatan yang sama yaitu ? Dari diagram pada Gambar 3-5, kepadatan lalu lintas pada kepadatan lalu lintas pada jalan masuk pada waktu

(

71

)

,

adalah sama dengan


adalah waktu yang diperlukan sebuah gelombang untuk bergerak sejauh dengan kecepatan . Jadi kepadatan pada jalan masuk pada waktu adalah kepadatan

⁄

mil sepanjang jalan pada waktu . Kepadatan lalu lintas pada

jalan masuk dapat ditentukan karena aliran lalu lintas ditetapkan di sana (gunakan persamaan (3.4.1) dengan mengasumsikan

dekat

Aliran lalu lintas,

).

dapat ditunjukkan dengan metode

deret Taylor

Aliran lalu lintasnya sekitar ,

karena

. Jadi aliran lalu lintas yang terganggu secara sederhana adalah

kali gangguan kepadatan. Karena gangguan aliran lalu lintas dikenal sebagai jalan masuk , .

Dan misalkan

(

untuk sembarang

)

Akibatnya total kepadatan mobil diberikan dengan persamaan (3.4.3) sebagai (

72

)

jika

.


Dalam ringkasan (

jika

)

{

Penyelesaian ini jelas menunjukkan bahwa informasi diperbanyak pada kecepatan , dan karenanya pada posisi

informasinya diambil waktu

untuk perjalanan.

E. Metode Karakteristik Lalu lintas tak seragam Urutan pertama persamaan diferensial parsial tak linear diturunkan dari konservasi mobil dan diagram dasar dari lalu lintas jalan adalah

(3.5.1)

Pada bagian sebelumnya kita menganggap perkiraan pada penyelesaian ke persamaan ini dalam kasus di mana kepadatannya mendekati seragam. Lalu lintas ditunjukkan berbeda melalui gelombang kepadatan.

73


Gambar 3-6 (Kepadatan konstan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 320 Kita akan menemukan teknik dari kepadatan lalu lintas yang mendekati seragam untuk menjadi bantuan yang baik. Perhatikan lagi seorang pengamat yang bergerak dalam beberapa model yang ditetapkan sebagai

. Kepadatan

dari lalu lintas pada pengamat berubah tiap waktu selama pengamat bergerak sekitar,

(3.5.2)

Dengan membandingkan persamaan (3.5.1) dengan persamaan (3.5.2), terlihat bahwa kepadatan akan tetap konstan dari pandangan pengamat, (3.5.3)

atau

adalah konstan, jika

(3.5.4)

74


Agar ini terjadi pengamat harus bergerak pada kecepatan

, kecepatan

pada gelombang kepadatan lalu lintas yang mendekati seragam akan menyebar. Karena kecepatan ini bergantung pada kepadatan, kecepatan ini disebut kecepatan gelombang lokal. Jika pengamat bergerak pada kecepatan gelombang lokal, maka kepadatan lalu lintas akan muncul konstan ke pengamat. Jadi ada gerakan keluar pasti untuk pengamat di mana pengamat akan mengukur kepadatan lalu lintas yang konstan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-6. Karena persamaan (3.5.3) dan (3.5.4) adalah persamaan diferensial biasa, cekungan ini disebut karakteristik. Sepanjang karakteristik,

adalah konstan, kepadatannya

sama dengan kepadatan pada posisi di mana karakteristik berpotongan dengan data awal. Pada kasus ini aliran yang mendekati seragam,

Dan semua cekungan pararel segaris lurus. Dalam aliran lalu lintas yang tak seragam, pengamat bergerak pada kecepatan gelombang lokal. Untuk setiap pengamat, kepadatan lalu lintasnya masih sama, dan kecepatan gelombang lokal untuk pengamat ini masih sama! Kecepatan di mana pengamat bergerak adalah konstan! Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan yang konstan, tetapi pengamat yang berbeda dapat bergerak dengan kecepatan konstan yang lain, karena mereka bisa memulai dengan kepadatan lalu lintas awal yang berbeda. Setiap gerakan memiliki kecepatan gelombang lokalnya sendiri-sendiri. Setiap karakteristik segaris lurus pada kasus yang mendekati aliran seragam. Tetapi,

75


kemiringan dari karakteristik yang berbeda dapat berbeda juga. Karakteristiknya mungin tidak pararel segaris lurus. Perhatikan karakteristik di mana awalnya pada posisi

pada suatu

jalan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-7.

Gambar 3-7 (karakteristik di mana awalnya pada posisi

) diambil dari buku

Richard Haberman Mathematical models hal 320 Sepanjang kurva sama dengan nilai pada

,

atau

adalah konstan. Awalnya

. Jadi sepanjang karakteristik ini,

Yang diketahui konstan. Kecepatan gelombang lokal yang menentukan bahwa karakteristik itu konstan,

Di mana , yang memotong

. Karakteristik ini segaris lurus,

dari karakteristik ini, sama dengan , pada

76

,


Jadi persamaan untuk karakteristik ini adalah

Sepanjang garis lurus, kepadatan lalu lintas

adalah konstan,

Sama halnya untuk karakteristik yang awalnya pada (

)

,

,

Juga suatu karakteristik garis lurus , tetapi dengan kemiringan yang berbeda jika . Jadi sebagai contoh kita mempunyai Gambar 3-8.

Gambar 3-8 (Karakteristik tegak lurus mempunyai kemiringan yang berbeda) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 321

Pada cara ini kepadatan dari mobil pada masa depan dapat diprediksi. Untuk menentukan kepadatan pada beberapa waktu sesudahnya tempat

pada

, karakteristiknya yang akan melalui titip ruang waktu harus

didapatkan. Jika kita dapat menentukan karakteristik seperti itu, maka karena

77


kepadatannya konstan sepanjang karakteristik, kepadatan dari poin yang diinginkan oleh kepadatan pada perpotongan

yang bersesuaian,

Teknik ini disebut metode karakteristik. Kecepatan gelombang kepadatan,

/

sangatlah penting. Pada

kecepatan ini kepadatan lalu lintas masih sama. Mari kita mendeskrpisikan beberapa sifat dari kecepatan gelombang kepadatan. Kita mengasumsikan menurun dengan

/

meningkat, kecepatan gelombang kepadatan lalu lintasnya

menjadi padat. Lebih jauh lagi, kita sekarang akan menunjukkan suatu hubungan antara dua kecepatan, kecepatan gelombang kepadatan dan kecepatan mobil. Untuk melakukannya maka kecepatan karakteristiknya ditunjukkan dalam istilah kecepatan lalu lintas dan kepadatan. Karena kita tahu =( ),

dengan hipotesis asli bahwa mobil melambat ketika kepadatan meningkat, lihat Gambar 3-9

78


Gambar 3-9 (Gelombang kepadatan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 322 adalah kepadatan dari gelombang kepadatan yang selalu bergerak dengan kecepatan yang lebih lambat dari pada mobil itu sendiri! F.

Sesudah lampu merah berubah menjadi hijau Pada bagian yang sebelumnya, tujuannya adalah untuk mengembangkan

pemahaman pembaca mengenai asumsi di mana kita telah memformulasikan suatu model matematika dari lalu lintas. Pada bagian ini kita akan memformulasikan dan menyelesaikan satu permasalahan yang menarik. Andaikan bahwa lalu lintas berbaris di belakang suatu lampu lalu lintas yang menyala merah (atau di belakang suatu rel penyeberangan, dengan sebuah kereta yang menghentikan lalu lintas). Kita menyebut posisi lampu lalu lintas . Karena mobil berdempet-dempetan di belakang lampu lalu lintas, untuk

. Asumsikan bahwa mobil berbaris tak berhingga banyaknya

dan pastinya tidak bergerak. (pada kenyataannya barisannya adalah berhingga, 79


tapi dapat sangat panjang.) Jika lampu menghentikan lalu lintas cukup lama, maka kita juga mengasumsikan bahwa tidak ada lalu lintas di depan lampu,

untuk

. Jadi distribusi awal kepadatan lalu lintas seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3-10.

Gambar 3-10 (Distibusi awal kepadatan lalu lintas) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 324 Andaikan bahwa saat

, lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi

hijau. Apa yang terjadi pada kepadatan mobil untuk waktu sesudahnya? Persamaan diferensial parsial mendeskripsikan konservasi dari mobil, (3.6.1)

Harus diselesaikan dengan kondisi awal {

Catat

bahwa

kondisi

awal

adalah

fungsi

diskontinu.

Sebelum

menyelesaikan masalah ini, dapatkah kita menebak apa yang akan terjadi dari pengamatan kita sendiri dari tipe ini dari situasi lalu lintas? Kita tahu bahwa sesaat lampu merah berubah menjadi hijau, lalu lintas akan mulai berjalan, tetapi mobil yang berada cukup jauh dari lampu, lalu lintasnya belum mulai bergerak bahkan sesudah lampu berubah kembali menjadi merah. Jadi kita menganggap

80


kepadatannya akan seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3-11. Lalu lintas memiliki kepadatan yang lebih sedikit jauh ke depan pada jalan, kepadatannya menjadi lebih jarang dan solusi yang bersesuaian akan disebut gelombang rarefactive.

Gambar 3-11 (Gelombang rarefactive) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 324 Kita akan menunjukkan solusi dari model matematika kita yakni hasil dengan tipe yang seperti ini. Persamaan diferensial parsial (3.6.1) dapat diselesaikan dengan metode katakteristik yang telah didiskusikan pada bagian 71. Sebagai review, catat bahwa

, lalu

. Jadi kepadatan lalu lintas

adalah konstan

sepanjang karakteristik, yang diberikan dengan

(3.6.2)

Penyebaran kepadatan pada kecepatan

. Karena

masih konstan,

kepadatan bergerak dengan kecepatan yang konstan. Karakteristiknya adalah garis lurus. Dalam bidang

(3.6.3)

81


Di mana setiap karakteristik dapat mempunyai integrasi konstan k yang berbeda. Kita akan menganalisa semua karakteristik yang berpotongan dengan data awal pada

. Ada

. Jadi

sepanjang semua garis seperti

|

Di mana kecepatan telah dievaluasi menggunakan persamaan 3.6.2. Kecepatan karakteristik untuk kepadatan nol selalu

, Kecepatan mobil untuk kepadatan

nol. Kurva karakteristik yang berpotongan dengan sumbu garis lurus dengan kecepatan (

pada

untuk

adalah

. Karenanya karakteristik yang memancar dari

diberikan

Berbagai karakteristik ini digambarkan pada Gambar 3-11.

Gambar 3-12 (Karakteristik kepadatan lalu lintas) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 325 Karakteristik pertama pada daerah ini dimulai pada . Jadi di bawah daerah garis

82

dan karenanya

), kepadatannya adalah nol;


tidak ada mobil yang mencapai daerah tersebut. Pada waktu yang tetap jika ada mobil yang cukup jauh dari lampu lalu lintas, maka tidak ada mobil yang datang dan karenanya kepadatannya nol. Dalam fakta bayangkan bahwa kamu berada dalam mobil yang pertama. Segera setelah lampu berubah menjadi hijau kamu mengamati kepadatan nol di depanmu, dan dalam model ini kamu langsung berakselerasi ke kecepatan

. Kamu tidak akan mencapai titik

jadi tidak ada mobil pada

untuk

hingga

.

Sekarang kita menganalisa karakteristik yang berpotongan dengan data awal untuk

, di mana mobil tetap di tempat saat kepadatan maksimum,

.

sepanjang karakteristik ini ditentukan dari persamaan

(3.6.2),

|

|

Di mana kita menggunakan fakta bahwa karena

. Kecepatan ini negatif

; Kepadatan maksimum adalah pasti pada daerah lalu lintas

yang “berat”. Jadi karakteristik ini semuanya pararel garis lurus dengan kecepatan negatif yang berpotongan dengan sumbu

negatif,

Seperti yang disketsakan pada Gambar 3-12. Batas dari daerah di mana adalah karakteristik yang memancar dari

. Mobil

masih berdempet-dempetan pada daerah yang diindikasikan dalam Gambar 313 bagian kiri,

83


Gambar 3-13 (Sebelum dan sesudah lampu merah menjadi hijau) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 326 Sesudah lampu lalu lintas berubah menjadi hijau mobil mulai bergerak yang mengambil beberapa waktu yang berhingga sebelum setiap mobil bergerak. Perhatikan mobil ke- dalam barisan lampu lalu lintas. Teori ini memprediksi bahwa sesudah lampu lalu lintas berubah menjadi hijau, mobil ke- menunggu sejumlah waktu yang sama dengan

Di mana

adalah jarak antar mobil. (Catat

.) Kita harus tidak

menganggap reaksi dari pengendara dan waktu percepatan. Karenanya kita mengharapkan kali ini menjadi lebih pendek. Ini akan menjadi menarik untuk mengukur waktu tunggu pada lampu lalu lintas sebagai fungsi dari posisi mobil. Kamu dapat menampilkan percobaan ini. Apakah waktu tunggu bergantung linear pada posisi mobil seperti yang telah diprediksi di atas? Gunakan datamu untuk 84


menghitung

. Apakah

berbeda secara signifikan untuk situasi

jalan yang lain?

Data yang diramalkan dari percobaan Lincoln Tunnel (kita mengasumsikan mobil per kilometer) menunjukkan bahwa hours.

Untuk setiap mobil di belakang lampu lalu lintas, waktu tunggu yang diprediksikan adalah

seconds,

atau kira-kira detik per mobil.

Sejauh ini hanya bagian termudah dari permasalahan saja yang sudah dihitung, sebut saja daerah dari jalan yang kepadatannya antara

atau

. Kita

sepertinya harus memanfaatkan metode karakteristik ke perluasan total karena kepadatan awalnya hanya mengandung dua nilai yang ditunjukkan pada Gambar 3-10. Kita telah memprediksi kepadatannya yaitu for

dan for

85


Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-14. Ini tidak cukup, karena kepadatannya belum ditentukan dalam daerah ini

Daerah di mana mobil benar-benar melalui lampu hijau!

Gambar 3-14 (Kepadatan saat lampu masih merah) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 327 Untuk menginvestigasi masalah ini kita pertama harus mengasumsikan bahwa kepadatan lalu lintas awalnya tidak diskontinu, tetapi halus antara dan

dalam jarak yang sangat kecil,

lihat Gambar 3-15. Jika

, dekat dengan lampu lalu lintas,

cukup kecil, maka kita mengharapkan solusi dari

masalah ini pada dasarnya sama dengan penyelesaian pada kasus di mana

Gambar 3-15 (Kepadatan lalu lintas yang awalnya diskontinu) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 327

86

.


Jika

, karakteristik dari

dan

dapat digambarkan dalam

diagram ruang waktu seperti yang didemonstrasikan pada Gambar 3-16. Pasti ada karakteristik yang muncul dekat dengan daerah asal. Nilai Ρ adalah konstan sepanjang garis

Digambarkan pada garis yang berupa titik-titik dalam Gambar 3-16, di mana adalah posisi dari karakteristik di

dan itu sangat kecil (kita kemudian akan

menganggap bahwa itu dapat diabaikan)

Gambar 3-16 (Diagram ruang waktu posisi karakteristik) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 328 Karena rentang

kontinu antara

dan

antara nilai yang bersesuaian dengan

, kecepatan dan

selallu di

, sebut saja antara

dan

secara berturut-turut. Di mana kepadatannya lebih kecil,

kecepatan

lebih besar. Dengan meningkatnya kepadatan, kecepatan

87


gelombangnya berkurang. Ada nilai di mana kecepatan gelombang adalah nol, dan untuk kepadatan lalu lintas kecepatan gelombangnya adalah negatif. Sebagian dari karakteristik ini telah digambarkan pada Gambar 3-17. Karakteristik garis lurus mempunyai kemiringan yang berbeda. Jarak di mana lalu lintas berubah dari tidak ada mobil menjadi saling berdempetan meningkat dengan meningkatnya waktu. Lalu lintasnya “menyebar keluar” atau “meluas” setelah lampu berubah dari merah menjadi hijau.

Gambar 3-17 (Lalu lintas menyebar keluar setelah lampu menjadi hijau) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 329 Jika kepadatan lalu lintas awalnya yang sesuai faktanya diskontinu (lihat Gambar 3-13), lalu kita akan mendapatkan kepadatan di daerah yang “tidak diketahui” dengan mempertimbangkan limit dari masalah kondisi awal yang kontinu sebagai

.

adalah konstan sepanjang karakteristik

88


Di

mana

lagi-lagi

merupakan

suatu

garis

Karakteristiknya tidak bersesuaian dengan dan

(ini karena membiarkan

dan

konstan yang lain pada

atau

). Jadi

Meskipun berada pada kondisi diskontinu antara

lurus

. melalui

dan

semua kepadatan lalu lintas

telah diamati. Pengamat lalu bergerak pada kecepatan bergantung pada kepadatan awal yang mereka amati

. Karakteristiknya disebut fanlike pada daerah yang digambarkan pada

Gambar 3-18.

Gambar 3-18 (Karakteristik fanlike) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 329 Setiap karakteristik, kepadatannya konstan. Untuk mendapatkan kepadatan pada dan

yang diberikan. Pada titik

kecepatan gelombang kepadatannya

diketahui:

89


Persamaan (3.6.4) harus diselesaikan untuk

. Karena

hanya

bergantung pada , akan mungkin untuk menyelesaikannya secara aljabar untuk sebagai suatu fungsi dari

dan (sebenarnya dalam kasus ini, fungsi dari

)

dalam daerah dari karakteristik fanlike. Contoh eksplisit dari perhitungan ini didiskusikan pada bagian selanjutnya. Tetapi, kadang-kadang hanya suatu sketsa dari

yang diketahui, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-19. Seperti

biasanya, kita mengasumsikan bahwa

berkurang dan

meningkat. Pada

posisi yang diberikan dalam daerah karakteristik fanlike, kepadatan dapat ditentukan secara grafis sebagai berikut. Diberikan menggunakan persamaan (3.6.4). gambar

,

dihitung

lalu diletakkan pada

melawan

dan nilai yang bersesuaian dengan

digambarkan pada Gambar 3-19.

90

dan

ditentukan seperti yang


Gambar 3-19 (Diagram dasar lalu lintas jalan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 330 Sebagai alternatif diagram dasar dari lalu lintas jalann dapat digunakan untukmenentukan kepadatan secara grafik pada posisi yang diberikan pada suatu jalan di daerah karakteristik fanlike. Diberikan lurus dari titik origin ke titik

dan , kemiringan dari garis

dalam Gambar 3-20 sama dengan

. Jadi

garis lurus ini harus memiliki kemiringan yang sama seperti tangen ke kurva aliran-kepadatan

. Kepadatan lalu lintas dapat diperkirakan dengan

menemukan kepadatan dari kurva

yang kemiringannya sama dengan

seperti yang didemonstrasikan dalam Gambar 3-20.

91

,


Gambar 3-20 (kepadatan dari kurva

yang kemiringannya

) diambil dari

buku Richard Haberman Mathematical models hal 330

Aliran maksimum terjadi di mana yang

stasioner

(kecepatan

gelombang

. Jadi gelombang kepadatan kepadatan

sama

dengan

nol)

mengindikasikan posisi di mana aliran dari mobil maksimum. Pada masalah yang baru saja didiskusikan, segera setelah lampu berubah dari merah menjadi hijau, , dan berada di sana pada waktu ke depannya. Ini menunjukkan percobaan kecil untuk mengukur aliran maksimum. Posisi seorang pengamat pada lampu lalu lintas. Tunggu hingga lampu menyala merah dan banyak mobil berbaris. Lalu, ketika lampu menyala hijau, hitung aliran lalu lintas pada lampu. Jika teori ini benar (bahwa, jika

, lalu

penghitungan aliran lalu lintas dari mobil ini akan menjadi konstan dan sama dengan kemungkinan maksimum dari jalan (kapasitas dari jalan).

92


G. Hubungan Linear Kecepatan dan Kepadatan Dengan tujuan untuk mengilustrasikan metode karakteristik seperti yang berlaku pada masalah lalu lintas, untuk alasan edukasi kita akan memilih hubungan sederhana antara kecepatan dan kepadatan. Diharapkan cukup memberi wawasan secara kualitatif dari kurva yang sederhana untuk menemukan kesalahan secara kuantitatif karena tidak menggunakan kurva kecepatan dan kepadatan yang sudah diteliti. Jika hubungan kecepatan dan kepadatan diasumsikan linear, maka

(

(3.7.1)

)

Yang mana digambarkan pada Gambar 3-21. Hal ini memiliki empat sifat:

(

93

)


Gambar 3-21 Kurva linear kecepatan kepadatan (diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 332

Pada kasus ini aliran lalu lintas dapat dengan mudah dihitung,

(

)

(3.7.2)

Hasilnya adalah diagram fundamental parabola dari lalu lintas jalan, yang digambarkan dalam gambar 3-21. Kecepatan gelombang kepadatannya,

(

)

(3.7.3)

Hasilnya keduanya gelombang kecepatan positif dan negatif. Gelombang kecepatan berkurang dengan meningkatnya kepadatan (sebagai contoh,

).

Aliran maksimum terjadi ketika gelombang kepadatannya stasioner ( kecepatan gelombang kepadatan sama dengan nol). Untuk kurva linear kecepatan-kepadatan ini, kepadatan pada

saat aliran lalu lintas dimaksimalkan adalah tepat satu

setengah kepadatan maksimum,

, dan kecepatannya sama dengan satu

94


(

setengah kecepatan maksimum,

)

Jadi aliran lalu lintas

maksimumnya adalah

(

)

Gambar 3-22 (Hubungan parabola aliran kepadatan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 332 Seperempat dari aliran lalu lintasyang akan terjadi jika lalu lintas bumper to bumper bergerak dengan kecepatan maksimum. Mari kita andaikan bahwa kecepatan adalah kecepatan yang diberikan pada persamaan (3.7.1). Kita akan menyelesaikan kepadatan lalu lintas setelah lalu lintas dimulai dari lampu merah. Kita akan memperhatikan kepadatan awal seperti sebelumnya,

{

Kecepatan gelombang kepadatan

yang sesuai terhadap

dan

mudah untuk dihitung. Dari persamaan (3.7.3), ( ) sebelumnya,dan ( ) (

)

. Jadi karakteristik sepanjang

95

seperti dan


dapat digambarkan dalam diagram ruang waktu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-21. Kita akan menghitung secara eksplisit kepadaan dalam daerah fanlike,

. Karakteristiknya diberikan dengan

Karena mereka mulai dari

pada

. Untuk hubungan linear

kecepatan dan kepadatan, kecepatan gelombang

kepadatan diberikan dengan

persamaan (3.7.3) dan

Penyelesaian untuk

(

)

(

)

adalah

Gambar 3-23 (Diagram ruang waktu untuk masalah lalu lintas) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 333

Untuk waktu yang tetap, kepadatan secara linear bergantung pada daerah karakteristik fanlike). Perhatikan pada

,

(pada

, kepadatan

bersesuaian terhadap aliran maksimum. Mari kita gambarkan dalam Gambar 3-24

96


kepadatan pada

dan pada waktu yang berikutnya menggunakan posisi yang

diketahui dari batas-batas kepadatan lalu lintas maksimum dan minimum. Hal ini akan menunjukkan kepadatan dari mobil menyebar keluar.

Gambar 3-24 (Kepadatan lalu lintas: sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 334

Hasilnya dapat dilihat dengan cara yang berbeda. Kita telah menunjukkan kepadatan

tetap memiliki pergerakan yang sama pada kecepatan gelombang

kepadatan

yang diberikan dari persamaan (3.7.3). Mari kita mengikuti

pengamat yang tetap pada kepadatan konstan

,

,

,

, dan

, yang ditandai dengan • pada diagram dalam Gambar 3-23 yang menampilkan

kepadatan awal. Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan konstan yang berbeda. Setelah beberapa waktu,

Gambar 3-24 menunjukkan bahwa linear

bergantung pada kecepatan gelombang pada kepadatan (persamaan (3.7.3)) yaitu kepadatan linear (seperti yang sebelumnya telah digambarkan pada 3-24).

97


Gambar 3-25 dan 3-26 (Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan lalu lintas) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 334 Mari kita menghitung pergerakan dari mobil secara individu yang dimulai pada jarak

di belakang lampu, yaitu

(pada

). Kecepatan dari

mobil yang diberikan oleh medan kecepatan

Mobil tetap pada tempatnya hingga gelombang datang, menyebarkan informasi dari perubahan pada lampu, mencapai mobil, seperti yang digambarkan pada Gambar 3-27. Sesudah itu,

, mobil bergerak pada kecepatan yang

diberikan dalam daerah fan like, (

98

).


Gambar 3-27 (jalur mobil (ketika mobil tidak bergerak)) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 335 Ketika mobil di belakang lampu mulai bergerak, kecepatan awalnya adalah nol dan perlahan-lahan meningkat. Karena kepadatan ditentukan dari persamaan (3.7.4), itu menunjukkan bahwa kecepatan mobil bergantung pada posisi dan waktunya: (3.7.5) Untuk menentukan lintasan dari tiap mobil (sebagai contoh posisi

sebagai

fungsi dari waktu ), penyelesaian dari persamaan (3.7.5), persamaan diferensial biasa linear tak homogen tingkat satu, pasti didapatkan yang memenuhi kondisi awal (3.7.6) Ini dapat diselesaikan dengan banyak cara. Satu metode adalah dengan memperhatikan persamaan ini,

99


adalah persamaan equidimensional tak homogen. Metode untuk menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan metode yang digunakan untuk persamaan equidimensional tingkat dua. Penyelesaian homogennya adalah

Ini memiliki penyelesaian dari bentuk

.

Di mana B adalah sembarang konstan (penyelesaian ini didapat teknik equdimensional,

, atau dengan pemisahan variable). Penyelesaian

tertentu proporsional terhadap . Jadi

dari

jika sisi kanannya proporsional terhadap

Adalah penyelesaian tertentu jika (dengan substitusi)

Oleh karena itu koefisien yang tidak dapat ditentukan adalah Karenanya penyelesaian umumnya adalah

Kondisi awal, persamaan (3.7.6), menentukan B

(

dan jadi

(

)

Maka posisi dari mobil ini ditentukan,

100

)

.


(3.7.7) Kecepatan dari mobil adalah

(

(3.7.8)

)

Dari persamaan (3.7.6) mobil mulai berjalan dengan kecepatan awal nol; yang kemudian perlahan-lahan semakin cepat. Kecepatannya selalu kurang dari

.

Untuk t yang sangat besar, mobil mendekati kecepatan maksimum; dari

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-28.

Berapa lama yang dibutuhkan mobil untuk benar-benar melalui lampu lalu lintas? Kapan mobil itu berada pada

? dari persamaan (3.7.7), or

.

Jadi,

Ini 4 kali lebih panjang dari pada jika mobil dapat bergerak dengan kecepatan maksimal secara langsung. Pada kecepatan berapa mobil akan melalui lampu lalu lintas? Kita tidak perlu melakukan penghitungan apapun pada lampu yang aliran lalu lintasnya maksimum, yang mana telah kita tunjukkan terjadi ketika kecepatannya kecepatan maksimum,

dari

. Persamaan (3.7.8) sesuai dengan hasil

tersebut.

101


Gambar 3-28 (jalur mobil yang menambah kecepatan melalui lampu lalu lintas) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 337 Jika lampu lalu lintas tetap hijau hingga waktu , berapa banyak mobil yang akan melalui lampu lalu lintas? Kita telah menentukan bahwa mobil akan mulai pada

Melalui lampu lalu lintas pada

sebuah mobil mulai dari

. Jadi pada waktu ,

akan berada pada lampu lalu lintas.

Banyaknya mobil yang berada dalam jarak adalah

. (Hasil ini

dapat diperoleh dengan cara yang sederhana. Kita tahu bahwa aliran pada lampu lalu lintas, banyaknya mobil yang lewat tiap jam adalah waktu ,

. Jadi dalam

mobil telah lewat) Untuk lampu yang menyala selama

satu menit, menggunakan

dan

., banyaknya mobil

adalah

Teknik grafik yang berdasarkan pada kurva aliran kepadatan juga bisa digunakan untuk menentukan kepadatan lalu lintas sesudah lalu lintas berubah

102


menjadi hijau. Sepanjang karakteristik, kepadatannya adalah konstan. Karena kecepatan mobil hanya bergantung pada kepadatan, maka juga konstan sepanjang karakteristik. Jadi karakteristik itu isokline untuk persamaan diferensial,

menentukan pergerakan dari mobil secara individual. Menggunakan diagram seperti kemiringan yang dihitung dalam unit dari medan kecepatan seperti pada Gambar 3-27. Gambar 3-29 mengikuti diagram fundamental lalu lintas jalan yang ditunjukkan pada Gambar 3-30. Untuk menentukan jalur mobil, garis horizontal kecil (menunjukkan tidak ada pergerakan) digambarkan di manapun Sebagai penambahan, sebagai contoh, kita catat bahwa

,

kepadatan bersesuaian dengan kapasitas dari jalan, dan kecepatan mobil yang ditandai dengan titik garis lurus pada diagram fundamental dari lalu lintas jalan. Kemiringan ini juga ditandai di manapun kepadatan memiliki nilai tersebut., seperti yang digambarkan pada Gambar 3-31. Dengan menghubungkan garis lurus, jalur mobil dapat diperkirakan untuk masalah ini, begitu juga untuk penyelesaian analitik yang tidak mungkin!

103


Gambar 3-29

Gambar 3-30

Gambar 3-31 Gambar 3-29, 3-30 dan 3-31 (jalur mobil: sketsa grafik) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 338

104


H. Sebuah Contoh Kepadatan Awal yang Bervariasi Kita telah menunjukkan secara eksplisit bagaimana menggunakan metode karakteristik untuk menyelesaikan permasalahan lalu lintas yang awalnya terdiri dari daerah dari kepadatan konstan. Ide yang sama dapat digunakan ketika kepadatan awal bervariasi dalam cara yang telah ditentukan,

Untuk kenyamanan, kita kembali mengasumsikan

,

di mana kecepatan gelombang kepadatan menentukan karakteristik sebagai berikut:

(

Karakteristik yang dimulai dari

(

)

adalah (3.8.1)

)

Sepanjang di mana kepadatannya konstan, nilainya sama pada

, (3.8.2)

Karakteristiknya digambarkan pada Gambar 3-32. Kita asumsikan bahwa karakteristiknya tidak berpotongan.

105


Gambar 3-32 (karakteristik tak pararel tak berpotongan) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 340 Kita menggunakan metode karakteristik dalam dua cara yang ekuivalen untuk menentukan kepadatan lalu lintas sebagai fungsi dari

dan :

(1) Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi dari

dan

Setiap karakteristik ditandai dengantiap posisi,

, pada

dan , kita coba untuk menemukan titik

).

. Diberikan

( sebagai contoh karakteristik melalui

dieliminasi menggunakan persamaan (3.8.2) dan jadi persamaan

(3.8.1) hasilnya

sebagai fungsi dari

dan , (3.8.3)

Langkah ini tidak selalu bias diselesaikan secara eksplisit karena mungkin tidak bisa diselesaikan untuk

. Sebagai contoh, jika

Maka karakteristiknya ditentukan dari persamaan (3.8.1),

(

)

106


Dari persamaan yang seperti persamaan (3.8.3) tidak dapat diperoleh secara eksplisit. Karena kepadatan pada suatu titik hanya bergantung pada ƒ

ƒ(

, (3.8.4)

)

Ketika persamaan (3.8.3) ada. Jadi substitusikan persamaan (3.8.3) terhadap persamaan (3.8.2) yakni ketergantungan terhadap posisi dan waktu dari kepadatan lalu lintas, persamaan (3.8.4). (2) Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi dari kepadatan awal Suatu metode yang ekuivalen awalnya menggunakan persamaan (3.8.2) untuk menentukan

sebagai fungsi dari , .

(3.8.5)

Ini tidak selalu mungkin untuk mendapatkan dari persamaan (3.8.2) suatu pernyataan yang eksplisit untuk

. Tetapi, ketika persamaan (3.8.5)

disubstitusikan terhadap persamaan (3.8.1), hasil dari persamaan hanya menyangkut

dan , menunjukkan ketergantungan

Sebagai contoh spesifik, asumsikan bahwa

{

107

terhadap

dan . dan


Gambar 3-33 (Kepadatan lalu lintas awal) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 341 seperti digambarkan pada Gambar 3-33. Jika

atau

, karakteristiknya

diberikan dengan persamaan (3.8.1) mulai dari daerah kepadatan konstan. Karena kecepatan gelombang kepadatan yang berhubungan dapat dengan mudah dihitung, |

dan

|

Kita mendapatkan dua daerah dari kepadatan konstan,

{

Berdasarkan sketsa ruang waktu dari karakteristik ditunjukkan dalam Gambar 3-32. Pada daerah di mana kepadatan lalu lintas belum ditentukan, mari kita menggunakan metode karakteristik yang dijelaskan oleh kedua prosedur yang sama (1) dan (2).

108


Gambar 3-34 (karakteristik) diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 342 (1) Karakteristik yang mulai dari

memenuhi persamaan (3.8.1), di mana (3.8.6)

Dan jadi persamaan untuk karakteristik ini adalah

(

(3.8.7)

)

Di mana kita seharusnya ingat bahwa ini valid untuk semua . Persamaan (3.8.7) menentukan

sebagai fungsi dari

persamaan (3.8.7) adalah persamaan kuadratik untuk menunjukkan

selama

dengan menunjukkan

dan

, karena

(akan lebih mudah ):

Penyelesaian dari persamaan kuadratik ini adalah (3.8.8)

√

Tanda negatif harus dipilih di atas untuk

(dengan memanggil kembali

) kepadatan lalu lintas sebagai fungsi

109

dan

dalam


daerah bersesuaian dengan

dengan mensubstitusi persamaan (3.8.8)

terhadap persamaan (3.8.6):

(

√

(3.8.9)

)

Diakui sebagai pernyataan yang agak rumit, kita catat bahwa

mendekati tepi

dari daerah kepadatan yang bervariasi, kepadatan mendekati konstan yang diketahui. Secara khusus, dari persamaan (3.8.9)

√(

(

) )

Lebih jauh lagi, kita harus memeriksa bahwa persamaan (3.8.9) memenuhi kondisi awal. Ini tidak jelas karena

, pembilang dan penyebut keduanya

cenderung nol. Untuk menentukan limit

dari persamaan (3.8.9), teknik

yang paling sederhana adalah dengan mendekatkan pembilang dengan Karena √

dengan

*

, kita melihat bahwa

(

)+

Yang awalnya ditentukan untuk

.

(2)

110

.


Sebagai alternatif, kita mulai menggunakan persamaan (3.8.6) untuk menentukan sebagai fungsi dari , karena

. Tetapi,

√

atau

tanda kurang harus digunakan:

Perhatikan bahwa

(3.8.10)

√

√

bervariasi antara

dan

bervariasi antara

,

dan

.

Dengan mensubstitusi persamaan (3.8.10) terhadap persamaan (3.8.1), persamaan untuk kepadatan diperoleh: √

Persamaan dapat ditunjukkan sebagai persamaan kuadratikuntuk √ √

:

√

Jadi

√

√

Di mana tanda positif dari akar telah dipilih karena √ Mengkuadratkan persamaan terakhir yakni pernyataan untuk dengan turunan dari prosedur (1), persamaan (3.8.9).

111

.

, yang sama


BAB IV SIMULASI ALIRAN LALU LINTAS

Dalam bab ini disajikan beberapa program komputer dan hasil simulasi aliran lalu lintas. A. Satu Mobil Bergerak Konstan Simulasi komputer yang menggambarkan pergerakan sebuah mobil secara normal tanpa hambatan, dapat ditulis dalam program MATLAB: function lalu_lintas X=0:1.0:1000; NX=length(X); function y=f(X) for j=1:NX if X(j)==0 y(j)=1.0; else y(j)=0.0; end end end c = 1; T=0:1.0:1000; NT=length(T); for i=1:NT i rho=f(X-c*T(i)); plot(X,rho) pause(0.0001) end end

Dalam program ini diasumsikan bahwa panjang jalan satu ruas adalah 1000 m. Sebuah mobil bergerak dari ujung kiri ke kanan dengan kecepatan konstan 1 m/s.

112


Contoh hasil simulasi gerakan mobil, pada saat 700 detik setelah mobil bergerak ditunjukkan pada Gambar 4-1 berikut.

Gambar 4-1 pergerakan satu mobil secara konstan Garis di atas berawal dari nol dan bergerak perlahan menuju 1000, yang mana ini menunjukkan pergerakan dari mobil saat berjalan secara normal

B. Beberapa Mobil Bergerak Konstan Simulasi komputer berikut menggambarkan pergerakan 3 mobil yang bumper to bumper dan sedang berjalan dapat ditulis dalam program MATLAB: function lalu_lintas X=0:1.0:1000; posisi1 = X(1); posisi2 = X(21); posisi3 = X(41); NX=length(X); %%%%%%%%%%%% function y=f(X)

113


for j=1:NX if X(j)==posisi1; y(j)=1.0; elseif X(j)==posisi2; y(j)=1.0; elseif X(j)==posisi3; y(j)=1.0; else y(j)=0; end end end %plot(X,f(X)) %blabla %%%%%%%%% %garis 1 c = 1; T=0:1.0:1000; NT=length(T); for i=1:NT i rho=f(X-c*T(i)); plot(X,rho); xlim([0 1000]) ylim([0 5]) pause(0.0001) end end

Dalam simulasi kali ini panjang jalan satu arah adalah sama seperti sebelumnya, yaitu 1000 m. Kecepatan ketiga mobil adalah sama, yaitu 1 m/s. Sebuah representasi hasil simulasi gerakan mobil saat

detik ditunjukkan

oleh gambar 4-2 berikut. Gambar ini menggambarkan mengenai tiga mobil yang bumper to bumper dan berjalan secara normal.

114


Gambar 4-2 tiga mobil yang bumper to bumper berjalan secara konstan

C. Kepadatan Lalu Lintas dari Lampu Merah Jadi Hijau Simulasi grafik yang menunjukkan kondisi lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau, dinyatakan sebagai fungsi kepadatan linear seperti ditulis dalam program MATLAB berikut:

% Traffic density x_min=-2000; x_max=2000; h=0.05; n_h=(x_max-x_min)/h; % Parameters % ----------t = 10; Umax = 80; rho_max = 10; % ----------x_a = -Umax*t; x_b = Umax*t; rho_a= rho_max; rho_b=0;

115


x=linspace(x_min,x_max,n_h+1); % Left interval rho_part1=repmat(rho_a,1,n_h+1).*(x<x_a); % Middle interval rho_linxbk=rho_a*(x_min-x_b)/(x_a-x_b)+rho_b*(x_min-x_a)/(x_bx_a); rho_linxfd=rho_a*(x_max-x_b)/(x_a-x_b)+rho_b*(x_max-x_a)/(x_bx_a); rho_part2=linspace(rho_linxbk,rho_linxfd,n_h+1).*((x>=x_a) & (x<x_b)); % Right interval rho_part3=repmat(rho_b,1,n_h+1).*(x>x_b); % Whole interval rho_0=rho_part1+rho_part2+rho_part3; x_plot=linspace(x_min,x_max,n_h/20+1); rho_0_plot=rho_0(1:20:end); % Plotting plot(x_plot,rho_0_plot),axis([x_min x_max 0 2*rho_max]) grid on title('Traffic density') xlabel('x') ylabel('rho')

Contoh hasil simulasi adalah seperti tampak dalam gambar 4-3 berikut.

116


Gambar 4-3 kondisi lalu lintas saat lampu merah jadi hijau yang dinyatakan sebagai fungsi kepadatan linear Sedangkan di bawah ini adalah simulasi komputer yang bergerak saat lampu merah berubah menjadi hijau. Program pertama ini digunakan untuk nantinya dipanggil dan digambarkan pada program yang kedua: function [x_plot, rho_0_plot] = density_at(t, x_min, x_max, Umax, rho_max, n_h) % This function computes the traffic density % at a certain time. x_a = -Umax*t; x_b = Umax*t; rho_a= rho_max; rho_b=0; x=linspace(x_min,x_max,n_h+1); % Left interval rho_part1=repmat(rho_a,1,n_h+1).*(x<x_a); % Middle interval rho_linxbk=rho_a*(x_min-x_b)/(x_a-x_b)+rho_b*(x_min-x_a)/(x_bx_a); rho_linxfd=rho_a*(x_max-x_b)/(x_a-x_b)+rho_b*(x_max-x_a)/(x_bx_a);

117


rho_part2=linspace(rho_linxbk,rho_linxfd,n_h+1).*((x>=x_a) & (x<x_b)); % Right interval rho_part3=repmat(rho_b,1,n_h+1).*(x>x_b); % Whole interval rho_0=rho_part1+rho_part2+rho_part3; x_plot=linspace(x_min,x_max,n_h/20+1); rho_0_plot=rho_0(1:20:end);

Program yang kedua ini hanya memanggil program density_at yang di atas: % Traffic density % Parameters % ----------Umax = 80; rho_max = 10; % ----------x_min x_max y_min y_max

= = = =

-1000; 1000; -1; 2*rho_max;

h = 0.05; n_h = (x_max-x_min)/h;

% Plotting figure; for t=0.01:0.01:10 [x_plot, rho_0_plot] = density_at(t, x_min, x_max, Umax, rho_max, n_h); plot(x_plot,rho_0_plot),axis([x_min x_max y_min y_max]) %grid on title('Traffic density') xlabel('x') ylabel('rho') pause(0.0001) end

dan hasilnya adalah

118


Gambar 4-4 pergerakan lalu lintas saat lampu merah baru saja menjadi hijau

Gambar 4-5 pergerakan lalu lintas saat lampu merah telah menjadi hijau Gambar 4-4 dan 4-5 di atas menggambarkan pergerakan kondisi saat lampu merah berubah menjadi hijau. Kondisi yang di gambar 4-4 menunjukkan bahwa lampu saat itu baru saja menjadi hijau sehingga kondisi lalu lintasnya

119


masih padat yang kemudian pada Gambar 4-5 menunjukkan bahwa beberapa saat setelah lampu menjadi hijau maka lalu lintasnya menjadi lebih longgar.

120


BAB V PENUTUP

Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab sebelumnya, serta saran perbaikan bagi penelitian selanjutnya. 4.1

Kesimpulan Model matematika saat lampu merah berubah menjadi hijau ini digunakan

untuk mengetahui secara lebih jauh mengenai apa yang terjadi pada kendaraan yang berada pada barisan di belakang lampu lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau. Model ini memberi penjelasan kepada pembaca mengenai hal-hal yang terjadi secara matematis pada lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau. Model ini mengajak pembaca untuk mengamati pergerakan sekumpulan mobil saat lampu merah berubah menjadi hijau. Model ini juga mengajak pembaca untuk memperhatikan kondisi sebelum dan sesudah lampu merah berubah dari merah menjadi hijau. 4.2

Saran Hingga saat ini masih banyak masalah-masalah mengenai aliran lalu lintas

yang belum ditemukan penyelesaiannya. Saran yang dapat diberikan penulis bagi pembaca, khususnya bagi adik kelas yang ingin membuat tugas akhir dengan topik yang berhubungan dengan kondisi lalu lintas saat lampu merah berubah menjadi hijau adalah dengan membahas mengenai masalah-masalah lalu lintas

121


lain yang memiliki landasan teori yang sama karena dengan landasan teori yang sama masih banyak masalah yang belum pernah dibahas.

122


DAFTAR PUSTAKA

[1] Chasnov, J. R., 2009. Introduction to Differential Equations. The Hong Kong University of Science and Technology, Kowloon, Hongkong. [2] Haberman, R. 1998. Mathematical Models:

Mechanical Vibrations,

Population Dynamics, Traffic Flow. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. [3] Pinchover, Y. & Rubinstein, J. 2005. An Introduction To Partial Differential Equations. Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Cambridge, UK. [4] Robinson, J. C , 2004. An Introduction To Ordinary Differential Equations. Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Cambridge, UK.

123

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents