PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

MATRIKS PASCAL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Program Studi Matematika

Oleh: Erita Marlina Naibaho NIM : 073114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2013 i


THE PASCAL MATRIX

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree (S.Si) in Mathematics

By: Erita Marlina Naibaho Student Number: 073114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT FAKULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2013

ii


iii


iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Tenanglah kini hatiku, Tuhan memimpin langkahku. Di tiap saat dan kerja, tetap kurasa tanganNya. Tuhanlah yang membimbingku, tanganku dipegang teguh. Hatiku berserah penuh, tanganku dipegang teguh. Tak kusesalkan hidupku, betapa juga nasibku. Sebab Engkau tetap dekat, tanganMu kupegang erat. Tuhanlah yang membimbingku, tanganku dipegang teguh Hatiku berserah penuh, tanganku dipegang teguh. (Tenanglah Kini Hatiku, Kidung Jemaat No. 410)

Tous les choses arrivent pour une bonne reason (I believe that everything happens for a reason) Skripsi dan Gelar Sarjana Sains ini, kupersembahkan dengan penuh kasih kepada Tuhan Yesus Kristus Juru Selamatku yang hidup, Bapak dan Mama tercinta, Abang Saut, Abang Oba, Abang Musa terkasih, dan Kakak Tina tersayang. Kepada teman-teman terbaik, serta Almamater yang kubanggakan.

v


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,…………………. Penulis

Erita Marlina Naibaho

vi


ABSTRAK

Matriks Pascal P merupakan matriks khusus yang sangat menarik untuk dipelajari lebih detail. Metode yang digunakan untuk mempelajari matriks Pascal adalah dengan mempelajari beberapa sifat pentingnya dan menyelidiki keterkaitannya dengan matriks lain. Terungkap bahwa matriks ini dapat dinyatakan sebagai e H , yaitu P  e H dimana H adalah suatu matriks penghasil yang didefinisikan. Matriks Pascal juga memiliki hubungan dengan matriks khusus lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde. Matriks Pascal dapat dinyatakan dengan menggunakan matriks Vandermonde yaitu di mana P  V (t  1)V (t ) 1 , V (t )   y (t ) y (t  1) y (t  2)  y(t  ( n  1))  adalah matriks Vandermonde, dan y(t ) : (1, t , t 2 , , t n 1 ) T adalah suatu fungsi vektor yang didefinisikan.

vii


ABSTRACT

Pascal matrix P is a special matrix which is very interesting to investigate in more details. The method used to study the Pascal matrix is by learning some important properties and investigating its relation to other matrices. It is revealed that this matrix can be expressed as e H , i.e. P  e H where H is a defined creation matrix. Pascal matrix also has a special relation to another well-known matrix, namely the Vandermonde matrix. Pascal matrix can be expressed using Vandermonde matrix i.e. P  V (t  1)V (t ) 1 , where matrix V (t )   y (t ) y (t  1) y (t  2)  y(t  ( n  1))  is a Vandermonde matrix, and y(t ) : (1, t , t 2 , , t n 1 ) T is a defined vector function.

viii


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

: Erita Marlina Naibaho

Nomor mahasiswa

: 073114003

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

MATRIKS PASCAL

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam

bentuk

media

lain,

mengelolanya

dalam

bentuk

pangkalan

data,

mendistribusikan secara terbatas, mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Dengan demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada Tanggal:…………………….. Yang menyatakan

(Erita Marlina Naibaho) ix


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih setia dan karunia-Nya yang melimpah, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “MATRIKS PASCAL”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi di Universitas Sanata Dharma. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan, bimbingan, pengarahan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang teramat dalam kepada : 1. Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan kasih-Nya yang tiada habisnya. 2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J. selaku Dosen Pembimbing yang penuh kasih dan kesabaran dalam memberikan pengarahan, bimbingan, saran dan semagat selama proses penulisan skripsi. 3. M. V. Any Herawati, S.Si, M.Si dan Hartono, S.Si, M.Sc selaku Dosen Penguji Skripsi yang telah banyak memberikan masukan, saran dan ide dalam melengkapi skripsi ini. 4. Ibu Lusia Krismiyati B, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika, yang telah memberikan waktu untuk menerima kedatangan saya di kantor ibu, untuk menanggapi kesulitan ataupun sekedar tempat curhat. x


5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dosen Pembimbing Akademik, yang senantiasa memberikan perhatian dan motivasi layaknya seorang bapak kepada anaknya selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini. 6. Seluruh dosen dan karyawan/ti Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak memberikan dukungan baik selama masa perkuliahan maupun dalam masa penyusunan skripsi. 7. Para staff perpustakaan Kampus III Paingan yang telah memberikan pelayanan, kenyamanan tempat dan menyediaan buku-buku pustaka. 8. Kedua orang tua tercinta, Bapakku P. Naibaho, Spd dan Mamaku D. Nadeak serta saudara-saudara terkasih yaitu ketiga abangku Saut Maruli Naibaho Am.T., Andi Juliver Naibaho S.T., Jantri Musa Marolop Naibaho S.T., and my only one sister Pristina Mayrita S.Si., terima kasih banyak atas pengorbanan, doa, cinta, motivasi dan kepercayaan dalam penyelesaian skripsi. 9. Teman-teman angkatan 2006-2011 yang memberikan warna tersendiri. Kalian menjadikan kebersamaan di matematika ini menjadi sempurna. Spesial kepada Amelia Enrika, yang tak henti menanyakan perkembangan skripsi dan revisi. 10. Teman-teman penghuni Kost Icha untuk kebersamaan, motivasi dan suka duka yang dilalui bersama, ayo semangat mengejar cita-cita. Spesial untuk Kethrin Jesika dan Rosa Delima Spica, yang setia menemani ke perpustakaan. 11. Teman-teman IFI-LIP dan teman-teman kampus, khususnya rekan seperjuangan Teknik Informatika. Terima kasih untuk inspirasi dan dampak positif yang diberikan. xi


12. Yang terkasih Henfriyandie atas semangat, cinta dan kasih sayang. Terima kasih untuk terus saling mengingatkan, memberikan semangat dan pengorbanan selama ini. 13. Semua pihak yang secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebut satu persatu yang turut membantu dalam proses penyelesaian skripsi ini. Penulis

menyadari

bahwa

skripsi

ini

masih

sangat

jauh

dari

kesempurnaan, oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak akan penulis terima dengan senang hati. Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi para pembaca yang memiliki niat mempelajarinya lebih lanjut, meski skripsi ini masih terdapat kekurangan di sana-sini. Akhir kata penulis mohon maaf apabila ada perkataan yang kurang berkenan dan penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kemajuan jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Yogyakarta,…………………..... Penulis

Erita Marlina Naibaho

xii


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ....................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING................................................. iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................... vi HALAMAN ABSTRAK ..................................................................................... vii HALAMAN ABSTRACT ................................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ........................................................... ix KATA PENGANTAR ......................................................................................... x DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii

BAB I. PENDAHULUAN ................................................................................... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH ....................................................... 1 B. RUMUSAN MASALAH ........................................................................ 4 C. PEMBATASAN MASALAH ................................................................. 4 D. TUJUAN PENULISAN .......................................................................... 5 E. MANFAAT PENULISAN ...................................................................... 5 xiii


F. METODE PENULISAN ......................................................................... 5 G. SISTEMATIKA PENULISAN ............................................................... 5 BAB II. MATRIKS .............................................................................................. 7 A. PENGERTIAN MATRIKS ..................................................................... 7 B. OPERASI PADA MATRIKS ................................................................. 11 C. MATRIKS ELEMENTER ...................................................................... 30 D. DETERMINAN MATRIKS ................................................................... 42 BAB III. POLINOMIAL ..................................................................................... 62 A. PENGERTIAN POLINOMIAL.............................................................. 62 B. FUNGSI POLINOMIAL ......................................................................... 67 BAB IV. MATRIKS PASCAL ........................................................................... 70 A. PENGERTIAN MATRIKS PASCAL .................................................... 70 B. BEBERAPA SIFAT PENTING MATRIKS PASCAL ......................... 73 BAB V. PENUTUP .............................................................................................. 97 A. KESIMPULAN ........................................................................................ 97 B. SARAN ..................................................................................................... 98 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 99

xiv


BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH Matriks Pascal telah dikenal sejak zaman kuno, dan telah dijumpai dalam matematika China sejak tahun 1303. Matriks ini dipakai dalam bidang analisis numerik, kombinatorik, dan sebagainya. Di sini akan diperkenalkan beberapa sifat penting dari matriks Pascal beserta bagaimana relasinya dengan matriks lain yang ternama, yaitu matriks Vandermonde. Kita mengenal adanya teori polinomial dalam matematika. Sebuah n n 1 1 ekspresi a n r  a n 1 r    a1r  a 0 disebut polinomial dalam r jika dan

hanya jika eksponen r adalah bilangan bulat positif dimana a 0, a1  a n adalah bilangan real. Di sini akan diulas bagaimana relasi antara matriks Pascal dengan polinomial. Sebelum mendefinisikan matriks Pascal, akan dibahas mengenai kombinasi dimana elemen-elemen dari matriks Pascal dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi. Kombinasi n elemen yang diambil sebanyak r dalam n setiap pengambilan dilambangkan dengan C rn atau   . Kombinasi ini akan r

digunakan dalam menentukan elemen-elemen dalam matriks Pascal.

1

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI 2

Kombinasi

r

elemen

yang

diambil

dari

n

n n! dimana n! nn  1n  2n  3...1 . Bilangan C rn      r  r!( n  r )!

elemen

adalah

n   juga disebut r

koefisien binomial karena merupakan koefisien dari ekspansi binomial

 x  y n .

Koefisien-koefisien tersebut dapat disusun dalam suatu segitiga yang disebut segitiga Pascal, yang merupakan suatu pola bilangan yang disusun membentuk segitiga dengan aturan koefisien binomial yang ditemukan oleh Blaisc Pascal (1623-1662).

a  b 0  1 a  b 1  a  b a  b 2  a 2  2ab  b 2 a  b 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3

1 1 1 1

1 2

3

1 3

1

0   0 1    0  2    0  3   0

1   1  2   1

 3   1

 2    2  3    2

3   3

Matriks Pascal n x n adalah matriks segitiga bawah yang elemen-elemen segitiga bawahnya adalah n baris pertama dari segitiga Pascal. Secara umum, kita dapat menyatakan matriks Pascal P  ( p ij ) sebagai berikut :


 i  1   untuk i  j  p ij   j  1 , 0 untuk i  j 

Berikut adalah beberapa contoh matriks Pascal, 1 1 0 0    1 1 0  1,  , 1 1 0 ,  1 1  1 2 1  1   1 

0 0 0  1 0 0 2 1 0  3 3 1 

Secara umum, matriks Pascal dapat dinyatakan sebagai berikut:  i  1   untuk i  j  P  ( p ij ) dimana p ij   j  1 , dan i, j  1, 2, n 0 untuk i  j 

 0 p11     1  0

 0 p12     0  1

. . .

 0    0 p1n    n  1

 1 p 21     1  0

1 p 22     1 1

. . .

 1    0 p 2 n    n  1

 2 p 31     1 0

 2 p32     2  1

. . .

 2    0 p 3n    n  1

. .

. .

. .

.

.

.

 n  2   1 p ( n 1)1    0 

 n  2   n  2 . . . p ( n 1) 2    1 

 n  2   0 p( n 1) n    n 1

 n  1   1 p n1    0 

 n  1   n  1 p n 2    1 

 n  1   1 p nn    n  1

. . .


Jadi matriks Pascal berordo n  n dapat dituliskan sebagai berikut: 0  0 1 0  0 0 1 1 1 2 1 0  P   p ij   1 3 3 0    ( n  2 )( n  1 ) 1 n  1  n 1  2! 

0  0 0  0 .   1  

B. RUMUSAN MASALAH Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut: 1. Apa itu matriks Pascal ? 2. Bagaimana sifat-sifat penting dari matriks Pascal ? 3. Bagaimana hubungan matriks Pascal dengan matriks lain yang terkenal, yaitu matriks Vandermonde ?

C. PEMBATASAN MASALAH Dalam penulisan skripsi ini, penulis akan membatasi beberapa hal yaitu : 1. Materi mengenai matriks Pascal hanya akan dibahas dalam bidang teori polinomial saja. 2. Matriks yang akan dibahas hanyalah matriks bilangan bulat.


D. TUJUAN PENULISAN Tujuan penulisan ini adalah untuk mengenal salah satu matriks khusus yaitu matriks Pascal. Selain itu juga untuk mempelajari bagaimana hubungan matriks Pascal ini dengan matriks terkenal lainnya.

E. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami dan mengenal salah satu matriks khusus yang ada, yaitu matriks Pascal.

F.

METODE PENULISAN Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan

mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik matriks Pascal.

G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan


BAB II. MATRIKS A. Pengertian Matriks B. Operasi pada Matriks C. Matriks Elementer D. Determinan Matriks BAB III. TEORI POLINOMIAL A. Pengertian Polinomial B. Fungsi Polinomial BAB IV. MATRIKS PASCAL A. Pengertian Matriks Pascal B. Beberapa Sifat Penting Matriks Pascal BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran


BAB II MATRIKS

Dalam bab ini akan diulang kembali beberapa hal mengenai pengertianpengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Pembahasan ini meliputi definisi, teorema, dan beberapa hal penting dalam matriks.

A. Pengertian Matriks Definisi 2.1 Matriks adalah jajaran bilangan berbentuk empat persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan - bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut elemen atau anggota matriks. Matriks dapat digunakan untuk menjelaskan sistem persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks dapat dioperasikan, seperti dikalikan, dijumlahkan, atau dikurangkan. Bentuk umum sebuah matriks dapat ditulis sebagai berikut :  a11  a A  aij    21   a  m1

7

a12 a 22 am2

 a1n   a2n       a mn 


Matriks dilambangkan dengan huruf kapital, seperti A , B , C dan sebagainya, sedangkan elemen dari suatu matriks dilambangkan dengan huruf kecil yang berkaitan dengan matriks tersebut dan diberi 2 indeks, yaitu a ij yang menyatakan elemen yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A. Baris ke-i dari matriks A adalah ai1

ai 2

  ain  dan kolom ke-j dari matriks A

 a1 j     a2 j  adalah    . Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan bentuk dan      a   mj 

ukuran dari matriks tersebut, yang disebut ukuran matriks atau ordo matriks. Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berordo m  n . Contoh matriks : 1 2 3 4    A  5 6 7 8   9 10 11 12   

Matriks A berordo 3 4 , karena matriks tersebut mempuyai 3 baris dan 4 kolom. Bilangan 7 pada matriks A dapat dinyatakan sebagai a 23  7 .

Definisi 2.2 Matriks yang mempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar.


Contoh matriks bujur sangkar:

1 2 3   A   4 5 6 7 8 9  

Definisi 2.3 Suatu matriks bujursangkar A  a ij  disebut matriks diagonal bila dan hanya bila a ij  0 untuk i  j .

Contoh matriks diagonal:

1 0 0   A   0 2 0 .  0 0 3  

Definisi 2.4 Matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1 disebut matriks identitas, dengan lambang I. Contoh matriks identitas:

 1 0 0   I   0 1 0 .  0 0 1  


Definisi 2.5 Matriks yang terdiri dari satu baris saja disebut matriks baris atau disebut juga vektor baris. Matriks yang terdiri dari satu kolom saja disebut matriks kolom atau disebut juga vektor kolom. Contoh:

A  1 2 3 4 ,

 5   B   6 7  

Matriks A adalah matriks baris berordo 1 4 , dan matriks B adalah matriks kolom berordo 3 1 .

Definisi 2.6 Transpos dari matriks A adalah matriks AT dimana elemen a ij dalam A sama dengan elemen a ji dalam AT untuk semua i dan j . Contoh:

 1 4   1 2 3 Jika diketahui A   2 5  , maka AT    4 5 6    3 6   Secara umum, AT diperoleh dengan menukar baris dengan kolom yang bersesuaian dari matriks A . Akibatnya, jika A berordo m  n , maka AT berordo

nm.


Definisi 2.7 Matriks A disebut matriks nol jika setiap elemen dari A adalah bilangan nol. Contoh matriks nol:  0 0  0 0 0 , B    . A    0 0  0 0 0

B. Operasi pada Matriks Definisi 2.8 Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A  B jika ordo kedua matriks tersebut adalah sama, dan elemen yang seletak juga sama, yaitu a ij  bij untuk setiap i dan j .

Contoh diketahui matriks-matriks: 1 2  A   3 4

1  2 1 2 0  C    B   3 4  3 4 0

Matriks-matriks tersebut merupakan tiga matriks yang berbeda. Matriks A  B karena terdapat elemen seletak dari kedua matriks tersebut yang berbeda, yaitu

a12  b12 . Sedangkan matriks A  C dan B  C karena ordo matriks yang berbeda.

1. Penjumlahan Matriks


Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan adalah elemen yang letaknya sama.

Definisi 2.9 Misalkan A  a ij  dan B  bij  adalah dua buah matriks berordo m  n. Jumlah matriks A dan B ,ditulis A  B , adalah matriks berordo m  n dengan elemennya merupakan jumlah elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut. Dalam hal ini kita tulis A  B  aij  bij . Contoh penjumlahan dua matriks: 1 2  5 6 1 2 3 Diketahui A    , B    dan C    , 3 4 7 8  4 5 6 1 2   5 6  6 8  maka A  B         .  3 4   7 8  10 12 

Sedangkan penjumlahan matriks A  C atau B  C tidak terdefinisi karena kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang berbeda.


Teorema 2.1 Jumlahan matriks memenuhi sifat-sifat berikut: 1. A  B  B  A (sifat komutatif) Bukti: Misalkan: A  ( aij ) B  (bij )

Maka:

 a11   a 21 A B     a  m1

a12 a 22 a m2

 a11  b11   a b   21 21   a  b  m1 m1

 a1n   b11    a 2 n   b21         a mn   bm1 a12  b12 a 22  b22 a m 2  bm 2

 b1n  a1n    b2 n  a 2 n      bmn  a mn 

bm 2  a m 2

 b11  b   21   b  m1

 b1n   a11    b2 n   a 21         bmn   a m1

b22 bm 2

 B  A.

■

bm 2

 b1n    b2 n      bmn 

 a1n  b1n    a 2 n  b2 n      a mn  bmn 

 b11  a11   b  a 21   21   b  a m1  m1 b12

b12  a12 b22  a 22

b12 b22

a12 a 22 am 2

 a1n    a 2n      a mn 


2. ( A  B )  C  A  ( B  C )

(sifat asosiatif)

Bukti: Misalkan: A  ( aij ), B  (bij ) dan C  (c ij ). Maka:   a11 a12  a1n   b11 b12  b1n    c11 c12  c1n          a 21 a 22  a 2 n   b21 b22  b2 n    c21 c22  c2n  ( A  B)  C                      b   c  a a  a b  b c  c m 1 m 2 mn m 1 m 2 mn m 1 m 2 mn          a11  b11 a12  b12  a1n  b1n   c11 c12  c1n       a 21  b21 a 22  b22  a 2n  b2n   c21 c22  c2n             a  b     m1 m1 a m2  bm 2  a mn  bmn   cm1 cm 2  cmn  (a12  b12 )  c12  ( a1n  b1n )  c1n   (a11  b11 )  c11    ( a 21  b21 )  c21 ( a22  b22 )  c 22  (a 2n  b2 n )  c2n         (a  b )  c (a m 2  bm2 )  cm2  (a mn  bmn )  cmn  m1  m1 m1 a12  (b12  c12 )  a1n  (b1n  c1n )   a11  (b11  c11 )    a 21  (b21  c21 ) a 22  (b22  c22 )  a 2n  (b2 n  c2n )         a  (b  c ) a  (b  c )  a  (b  c )  m1 m1 m2 m2 m2 mn mn mn   m1  a11 a12  a1n   b11  c11 b12  c12  b1n  c1n       a 21 a 22  a 2n   b21  c21 b22  c22  b2n  c2 n               a     m1 a m 2  a mn   bm1  cm1 bm 2  cm2  bmn  cmn   a11 a12  a1n    b11 b12  b1n   c11       a 21 a 22  a 2n    b21 b22  b2 n   c 21                  a      m1 a m 2  a mn    bm1 bm 2  bmn   cm1

 A  (B  C ) .

■

c12 c22 cm2

 c1n     c2n       cmn  


3. A  O  A untuk setiap matriks A , di mana O adalah matriks nol. Bukti: Misalkan:

A  (aij ) O  (oij ), oij  0 untuk setiap i dan j. Maka:

 a11  a A  O   21   a  m1

a12 a 22 am 2

 a1n   0 0  0     a2 n   0 0 0            a mn   0 0  0 

 a11  0 a12  0  a1n  0    a 2n  0   a 21  0 a 22  0        a  0 a  0  a  0  m1 m2 mn   a11 a12  a1n    a 2n   a 21 a 22        a   m1 a m 2  a mn   A.

■

4. Untuk setiap matriks A ada matriks B sedemikian sehingga A  B  O , di mana

O adalah matriks nol. Untuk selanjutnya ditulis B   A dan disebut invers dari matriks A terhadap operasi jumlahan.


Bukti: Misal:  a11  a A  ( aij )   21   a  m1

a12 a 22 am2

 a1n   a2 n  .      a mn 

Maka:   a11  a B   A   21    a  m1

 a12  a 22  am2

  a1n    a 2n  .       a mn 

Dan

 a11  a A  B   21   a  m1

a12 a 22 am2

 a1n    a11    a 2 n    a 21         a mn    a m1

 a12  a 22  am2

  a1n     a2n       a mn 

 a11  (a11 ) a12  ( a12 )  a1n  ( a1n )     a 21  (a 21 ) a 22  ( a 22 )  a 2 n  ( a 2 n )         a  ( a ) a  (  a )  a  (  a )   m1 m1 m2 m2 mn mn   0 0  0    0 0  0      0 0  0    O .■


Pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai jumlahan, yaitu A  B  A  ( B ) .

Contoh pengurangan matriks:

 5 4 3 6     Diketahui matriks-matriks A   6 9  dan B   5 4  , maka 7 0 1 2      5 4   3  6  2  2       A  B   6 9    5  4  1 5  .  7 0  1  2  6  2      

2. Perkalian Matriks Ada 2 jenis perkalian pada matriks yaitu, perkalian matriks dengan bilangan real (skalar) dan perkalian matriks dengan matriks.

Definisi 2.10 Matriks A  ( aij ) dikalikan dengan suatu bilangan real k adalah matriks kA yang diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k , yaitu kA  (ka ij ) . Contoh:  3 8  3 8   12 32  Jika A    , maka 4A  4     .  5 1  5 1   20 4 


Teorema 2.2 Perkalian matriks dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat berikut: 1. c( A  B)  cA  cB Bukti: Misalkan: A  ( aij ) dan B  (bij ) . Maka:   a11 a12  a1n   b11 b12  b1n         a 21 a 22  a 2 n   b21 b22  b2 n   c( A  B )  c                 b  a a  a b  b  m 1 m 2 mn   m 1 m 2 mn    a11  b11 a12  b12  a1n  b1n     a 21  b21 a 22  b22  a 2 n  b2 n   c       a  b  a  b  a  b m1 m2 m2 mn mn   m1  ca11  b11  ca12  b12   ca1n  b1n      ca 21  b21  ca 22  b22   ca 2 n  b2 n           ca  b  ca  b   ca  b  m1 m2 m2 mn mn   m1  ca11  cb11 ca12  cb12  ca1n  cb1n     ca 21  cb21 ca 22  cb22  ca2 n  cb2 n          ca  cb ca m 2  cbm 2  ca mn  cbmn  m1  m1  ca11 ca12  ca1n   cb11 cb12  cb1n       ca 21 ca 22  ca 2 n   cb21 cb22  cb2 n                  ca     m1 cam 2  ca mn   cbm1 cbm 2  cbmn 


 a11  a  c 21   a  m1

a12 a 22 am 2

 cA  cB .

 a1n   b11 b12    a 2 n   b21 b22 c         a mn   bm1 bm 2

 b1n    b2 n       bmn 

■

2. (c  d ) A  cA  dA Bukti: Misalkan: A  (aij ) . Maka:

 a11   a 21 (c  d ) A  (c  d )   a  m1  (c  d ) a11   (c  d )a 21     (c  d )a m1 

a12 a 22 am 2

 a1n   a 2n       a mn 

(c  d )a12 (c  d )a 22 (c  d )a m 2

 (c  d )a1n   (c  d )a 2 n       (c  d )a mn 

ca m 2  da m 2

 ca11   ca   21    ca  m1

 ca1n   da11   ca2 n   da 21          camn   da m1

ca12 ca 22 cam 2

ca12  da12 ca 22  da 22



 ca11  da11   ca  da 21   21    ca  da m1  m1

ca1n  da1n   ca 2 n  da 2 n       ca mn  da mn  da12 da 22 da m 2

 da1n   da2 n       damn 


 a11  a  c 21   a  m1

a12 a 22 am 2

 a1n   a11   a2n  a  d  21          a mn   a m1

■

 cA  dA .

3. (cd ) A  c ( dA) Bukti: Misalkan: A  (aij ) . Maka:

 a11   a 21 (cd ) A  (cd )   a  m1  (cd ) a11   (cd )a 21     (cd )a m1 

a12 a 22 am 2

 a1n   a 2n       a mn 

(cd ) a12 (cd )a 22 (cd ) a m 2

 (cd )a1n   (cd ) a 2 n       (cd ) a mn 

 c( da11 ) c( da12 )  c( da1n )    c( da 2 n )   c(da 21 ) c(da 22 )         c(da ) c( da )  c( da )  m1 m2 mn    da11   da  c 21    da  m1

da12 da 22 da m 2

 da1n   da 2 n       da mn 

a12 a 22 am 2

 a1n   a2n       a mn 


  a11    a  c d  21      a   m1  c (dA) .

a12 a 22 am2

 a1n    a 2n        a mn  

■

4.  A  (1) A Bukti: Misalkan: A  (aij ) . Maka:   a11  a12    a 22  a  A  ( a ij )   21    a  m1  a m 2   (1)a11 (1)a12   (1)a 21 (1)a 22     ( 1) a (1)a m 2 m1   a11 a12   a 22  a  (1) 21   a  m1 a m 2 

 (1) A .

■

 a1n    a2n      a mn   (1)a1n    ( 1) a 2 n      ( 1) a mn  a1n   a 2n     a mn 


Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B , yaitu Am p B pm . Perkalian matriks baris A berordo 1  n dan matriks kolom B berordo n  1, yaitu:

A  a1 a2

a3  a n 

 b1     b2  dan B   b3      b   n

adalah matriks AB berordo 1 1 dengan elemennya

a1b1  a2 b2  a3b3    a nbn atau dapat ditulis:

AB  a1b1  a2b2  a3b3    an bn .

Definisi 2.11 Diketahui matriks A berordo m  p dan matriks B berordo p  n . Hasil perkalian matriks A dan B , ditulis AB , adalah matriks berordo m  n dengan elemen pada baris ke- i dan kolom ke- j adalah perkalian matriks baris ke- i dari A dan matriks kolom ke- j dari B .


Contoh:

 4  2   3     1  2 0 5 , C   1  Diketahui tiga matriks: A   3  1 , B   3 2 1 0 1 0   2       4  2   1  2 AB   3  1   1 0  3 2    (4)(1)  (2)(3)    (3)(1)  (1)(3)  (1)(1)  (0)(3)    2  12  2   0  8 1  1 2 0 

0 5  1 0  (4)(2)  ( 2)(2) (4)(0)  (2)(1) ( 4)(5)  ( 2)(0)   (3)(2)  (1)(2) (3)(0)  (1)(1) (3)(5)  (1)(0)  (1)(2)  (0)(2) (1)(0)  (0)(1) (1)(5)  (0)(0)  20   14 . 5 

Perkalian ini menghasilkan matriks AB berordo 3 4 . Perkalian matriks A dan C dan B dan C tidak dapat dilakukan karena jumlah kolom matriks A maupun B tidak sama dengan jumlah baris matriks C .

Teorema 2.3 Perkalian matriks memenuhi sifat-sifat berikut: 1. ( AB )C  A( BC )

(sifat asosiatif)

Bukti: Akan ditunjukkan bahwa ( AB)C dan A(BC ) memiliki ordo yang sama.


Misalkan: Matriks A berordo m  k . Matriks B berordo k  s . Matriks C berordo s  n . Maka: ( AB)C  ( Amk Bk s )C sn  ( AB) ms  C sn  (( AB)C ) mn A( BC )  Amk ( Bks C sn )  Amk  ( BC ) k n  ( A( BC )) mn

Dengan demikian ( AB)C dan A(BC ) memiliki ordo yang sama.

Misalkan: A  ( aij ) , B  (bij ) dan C  (cij ) . Akan ditunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari ( AB)C dan A(BC ) adalah sama, yaitu: ((ab)c ) ij  ( a (bc )) ij untuk semua i dan j .

((ab)c) ij  ( ai1b11  a i 2 b21    a im bm1 )c1 j  (a i1b12  a i 2 b22    a im bm 2 )c 2 j    (a i1b1k  a i 2 b2 k    aim bmk )c kj  ( ai1b11 c1 j  a i 2 b21c1 j    a im bm1c1 j )  ( ai1b12 c 2 j  a i 2 b22 c 2 j    a im bm 2 c2 j )    ( ai1b1k ckj  ai 2 b2 k ckj    a im bmk c kj )  ( ai1b11 c1 j  a i1b12 c2 j    a i1b1k ckj )  (a i 2 b21c1 j  a i 2 b22 c2 j    a i 2 b2 k ckj )    ( a im bm1c1 j  aim bm 2 c 2 j    aim bmk ckj )


 a i1 (b11 c1 j  b12 c2 j    b1k c kj )  a i 2 (b21c1 j  b22 c 2 j    b2 k ckj )    a im (bm1 c1 j  bm 2 c 2 j    bmk c kj ) k

k

k

 a i1  b1 p c pj  ai 2  b2 p c pj    aim  bmp c pj p 1

p 1

p 1

k

 a im  bmp c pj p 1

 (a (bc )) ij . ■

2. A( B  C )  AB  AC

(sifat distributif)

Bukti: Akan ditunjukkan bahwa A( B  C ) dan AB  AC memiliki ordo yang sama. Misalkan: Matriks A berordo r  m . Matriks B berordo m  n . Matriks C berordo m  n . Maka:

A( B  C )  Arm ( Bmn  Cmn )  Ar m ( B  C ) mn  ( A( B  C )) r n AB  AC  Ar m Bmn  Arm C mn  ( AB) r n  ( AC ) r m  ( AB  AC ) rn Dengan demikian A( B  C ) dan AB  AC memiliki ordo yang sama.


Misalkan: A  ( aij ) , B  (bij ) dan C  (cij ) . Akan ditunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari A( B  C ) dan

AB  AC adalah sama, yaitu: (a (b  c )) ij  ( ab  ac ) ij untuk semua i dan j .

Berdasarkan definisi penjumlahan dan perkalian matriks, diperoleh:

(a (b  c)) ij  a i1 (b1 j  c1 j )  ai 2 (b2 j  c 2 j )    a im (bmj  c mj )  (a i1b1 j  a i1c1 j )  ( ai 2 b2 j  a i 2 c 2 j )    ( aim bmj  a im cmj )  (a i1b1 j  a i 2 b2 j    a im bmj )  (a i1c1 j  a i 2 c2 j    a im cmj )  (ab) ij  ( ac) ij  (ab  ac ) ij . ■

3. Jika A matriks berordo m  n , maka AI n  A dan I m A  A , dimana I n adalah matriks identitas berordo n  n dan I m adalah matriks identitas berordo m  m .

Bukti:  a11  a Misalkan: A  ( aij )   21   a  m1

a12 a 22 am2

 a1n   a2 n       a mn 

 i11 i12  i1n   1 0  0      i2n   0 1 0  i21 i22 In               i     n1 in 2  inn   0 0  1 


 i11 i12  i1m   1 0  0      i2m   0 1 0  i21 i22 Im    .            i     m1 im 2  imm   0 0  1  Maka:  a11 a12  a 22 a AI n   21   a  m1 a m 2  a11 a12  a 22 a   21    a  m1 a m 2  a11  a   21   a  m1

a12 a 22 am2

 a1n  i11 i12  i1n    a 2 n  i 21 i 22 i2n            a mn  i n1 i n 2  i nn   a1n  1 0  0    a 2 n  0 1 0          a mn  0 0  1   a1n   a 2n       a mn 

A

dan  a11  a AI m   21   a  m1  a11  a   21   a  m1

a12 a 22 am2 a12 a 22 am 2

 a1n  i11 i12  i1m     a 2 n  i 21 i22  i 2 m          a mn  im1 i m 2  i mm   a1n  1 0  0     a 2 n  0 1  0         a mn  0 0  1 


 a11  a   21   a  m1  A.

a12 a 22 am2

 a1n    a2 n      a mn 

■

Definisi 2.12 Suatu matriks bujursangkar A disebut taksingular (mempunyai invers) jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB  BA  I . Matriks B disebut invers dari matriks A terhadap perkalian. Suatu matriks bujursangkar A disebut singular jika tidak memiliki invers terhadap perkalian.

Teorema 2.4 a b  1  d  b Matriks A    mempunyai invers yaitu A 1    jika dan ad  bc   c a  c d 

hanya jika ad  bc  0 . Bukti: Jika ad  bc  0 , maka

d   a b    ad  bc AA 1   c c d     ad  bc

b   ad  bc  a   ad  bc 




bc  ad     ad  bc ad  bc  cd  cd   ad  bc ad  bc 1 0    0 1

ab ab    ad  bc ad  bc  bc ad     ad  bc ad  bc  

I dan d b      ad  bc  a b  A A   ad  bc c a   c d     ad  bc ad  bc  bc bd bd  ad      ad  bc ad  bc    ad  bc ad  bc bc ad    ac  ac     ad  bc ad  bc   ad  bc ad  bc 1 0    0 1  I. 1

Jadi terbukti bahwa matriks A mempunyai invers, yaitu A 1 

Jika

a b   A   c d 

ad  bc  0 .

mempunyai invers, yaitu ■

A 1 

1  d  b  . ad  bc   c a 

1  d  b   , maka ad  bc   c a 


C. Matriks Elementer Subbab ini akan membahas sistem persamaan linear, operasi baris elementer dan matriks elementer.

Definisi 2.13 Suatu persamaan linear dalam n variabel adalah persamaan dengan bentuk a1 x1  a 2 x2    a n xn  b

dimana a1 , a 2 , , a n dan b adalah bilangan-bilangan real dan x1 , x2 , , xn adalah variabel.

Dengan demikian maka suatu sistem persamaan linear dari m persamaan dalam n variabel adalah satu sistem berbentuk: a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 a 21 x1  a 22 x2    a 2 n xn  b2 

(1)

a m1 x1  a m 2 x2    a mn x n  bm

dimana a ij dan bi semuanya adalah bilangan-bilangan real.Bilangan a ij pada sistem persamaan linear diatas adalah koefisien variabel ke-j dalam persamaan ke-i dan bilangan bi adalah konstanta di ruas kanan dalampersamaan ke-i. Koefisien-koefisien ini dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks berikut, yang disebut matriks koefisien:


 a11  a A   21   a  m1

a12 a 22

a13 a 23

am 2

am3

 a1n   a 2n  .      a mn 

Sedangkan konstanta-konstanta pada ruas kanan dapat ditulis sebagai matriks kolom, yaitu:

 b1    b  b   2 .    b   i Jika matriks kolom ini dituliskan bersama-sama dengan matriks koefisien sebagai kolom terakhirnya, maka diperoleh matriks:

 a11   a 21    a  m1

a12 a 22 am 2

a13 a 23

 a1n a 2n

am3

  a mn

b1   b2  .   bi 

Matriks ini disebut matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear pada persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks Ax  b , yaitu:

 a11   a 21    a  m1

a12 a 22

a13 a 23

am 2

a m3

 a1n  x1   b1      a 2 n  x 2   b2                a mn  x n   bm 


dengan

 a11  a A   21   a  m1

a12 a 22

a13 a 23

am2

a m3

 a1n   x1   b1       a 2n   x2  b  , x    dan b   2  .                 a mn   xn   bm 

Ada tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu sistem persamaan linear tanpa mempengaruhi penyelesaiannya. Operasi itu disebut operasi baris elementer dan akan dijelaskan dalam definisi berikut ini.

Definisi 2.14 Operasi baris elementer pada suatu sistem persamaan linear adalah salah satu operasi berikut: 1. Menukar letak dari dua baris sistem persamaan linear tersebut. 2. Mengalikan suatu baris sistem persamaan linear tersebut dengan konstanta taknol. 3. Mengganti suatu baris sistem persamaan linear tersebut dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain.

Ketiga operasi baris elementer pada suatu sistem persamaan linear bersesuaian dengan ketiga operasi baris elementer pada baris-baris matriks yang didefinisikan berikut ini.


Definisi 2.15 Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi berikut: 1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut. 2. Mengalikan suatu baris matriks tersebut dengan konstanta taknol. 3. Mengganti suatu baris matriks tersebut dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain.

Definisi 2.16 Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika setiap konstanta di ruas kanannya sama dengan nol.

Bentuk umum sistem persamaan linear homogen yang terdiri dari m persamaan linear dengan n variabel x1 , x2 , , xn adalah a11 x1  a12 x 2    a1n xn  0 a 21 x1  a 22 x2    a 2 n x n  0 

(2)

a m1 x1  a m 2 x2    a mn xn  0

dimana a ij dan bi merupakan konstanta-konstanta real untuk i  1,2,, m dan j  1,2,  , n . Dengan notasi matriks, persamaan (2) dapat ditulis sebagai Ax  0 ,

dengan


 a11  a A   21   a  m1

a12 a 22

a13 a 23

am 2

a m3

 a1n   x1  0      a2 n   x2  0 , x    , dan 0    .                 a mn  0  xn 

Setiap sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, yaitu penyelesaian x1  0, , x2  0, , xn  0 .

Definisi 2.17 Suatu matriks bujursangkar E berordo n  n dinamakan matriks elementer, jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks Identitas I n dengan melakukan sekali operasi baris elementer.

Ada tiga jenis matriks-matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer, yaitu 1. Matriks elementer jenis I adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks I dan dilambangkan dengan E1 . 2. Matriks elementer jenis II adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks I dan dilambangkan dengan E2 .


3. Matriks elementer jenis III adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i pada matriks I dan dilambangkan dengan E3 .

Terdapat hubungan antara matriks elementer dan operasi baris elementer. Misalnya dilakukan operasi baris elementer pada suatu matriks A, dan hasilnya misalkan matriks A1 . Matriks A1 ini dapat juga dinyatakan sebagai perkalian suatu matriks elementer E dengan matriks A, seperti yang dibuktikan dalam teorema berikut ini.

Teorema 2.5 Jika matriks elementer E diperoleh dengan cara melakukan operasi baris elementer tertentu terhadap I dan jika A adalah matriks berordo m  n , maka hasilkali EA adalah matriks yang dihasilkan jika operasi baris elementer yang sama dilakukan terhadap A. Bukti:

 a11   a 21 Misalkan A   a31    a  m1

a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33

am 2

am3

 a1n   a 2n  a 3n  dan      a mn 


1. Misalkan

0  1 E1   0   0 

1 0  0  0 0 0 0 1 0  adalah matriks yang diperoleh dengan    0 0  1 

menukar baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks I. Maka

1 0  0  a11 a12  0 0 0  a 21 a 22 0 1 0  a31 a 32       0 0  1  a m1 a m 2  a 21 a 22 a 23  a 2 n    a1n   a11 a12 a13   a 31 a 32 a33 a3 n  .        a   m1 a m 2 a m3  a mn 

0  1 E1 A   0   0 

a13 a 23 a 33 am3

 a1n   a2 n  a3 n        a mn 

Matriks E1 A adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris pertama dengan baris kedua pada matriks A.

2. Misalkan

1  0 E2   0   0 

0 0  0  1 0 0 0 c 0    0 0  1 

adalah matriks yang diperoleh dengan

mengalikan baris ke-3 dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks I. Maka


1  0 E2 A   0   0 

0 0  0  a11  1 0 0  a 21 0 c 0  a31       0 0  1  a m1

 a11   a 21   ca31    a  m1

a12 a 22 ca32 am 2

a12

a13

a 22 a 32

a 23 a 33

am 2

am3

 a1n   a 2n  a 3n       a mn 

a13  a1n   a 23 a2n  ca33 ca3n  .     a m3  a mn 

Matriks E2 A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan baris ketiga dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks A.

3. Misalkan

1  0 E3   k   0 

0 0  0  1 0 0 0 1 0    0 0  1 

adalah matriks yang diperoleh dengan

mengganti baris ke-3 dengan penjumlahan k kali dari baris ke-1 dan baris ke-3 pada matriks I. Maka

1  0 E3 A   k   0 

0 0  0  a11  1 0 0  a 21 0 1 0  a 31      0 0  1  a m1

a12 a 22 a 32

a13 a 23 a33

am2

a m3

 a1n   a2n  a3n       a mn 


 a11   a 21   ka11  a 31     a m1 

a12 a 22 ka12  a32 am 2

a13  a1n   a 23 a2 n  ka13  a 33 ka1n  a 3n .     a m3  a mn 

Matriks E3 A adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ketiga dengan penjumlahan k kali dari baris pertama dan baris ketiga pada matriks A. ■

Teorema 2.6 Jika E adalah matriks elementer, maka E taksingular dan E 1 adalah matriks elementer dengan jenis yang sama. Bukti: 1. Misalkan E1 adalah matriks elementer jenis I yang diperoleh dengan menukar dua baris. Matriks E1 dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mempertukarkan lagi baris-baris yang sama. Ini berarti bahwa E11 adalah matriks elementer jenis I. 2. Misalkan E2 adalah matriks elementer jenis II yang diperoleh dengan melakukan perkalian baris ke-i dengan suatu konstanta c dengan c  0 . Matriks E 2 ini dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mengalikan baris ke-i dengan

1 / c . Hal ini menunjukkan bahwa E 21 adalah matriks elementer jenis II.


3. Misalkan E3 adalah matriks elementer jenis III yang diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i. Matriks E3 ini dapat ditransformasi menjadi matriks I kembali dengan mengganti

baris

ke-i

dengan penjumlahan -k kali dari baris ke-j dan baris ke-i. Hal ini menunjukkan bahwa E 31 adalah matriks elementer jenis III.

■

Definisi 2.18 Dua matriks disebut ekivalen baris jika salah satu matriks dapat diperoleh dengan melakukan operasi baris elementer sebanyak berhingga kali pada matriks yang lain.

Jadi jika matriks A ekivalen baris dengan matriks B, maka A dapat direduksi menjadi B dengan melakukan sejumlah berhingga operasi baris elementer pada A. Hal ini dapat dilakukan dengan mengalikan matriks A dengan matriksmatriks elementer yang sesuai dari sebelah kiri. Dengan demikian, jika A ekivalen baris dengan B, maka terdapat matriks-matriks elementer E1 , E 2 , , E k sedemikian sehingga E k  E 2 E1 A  B .

Definisi 2.19 Matriks E disebut matriks eselon baris jika memenuhi dua sifat berikut:


1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang memuat elemen taknol. 2. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen taknol, elemen taknol pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen taknol dari baris sebelumnya.

Elemen taknol pertama dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sifat kedua dari matriks eselon baris mengatakan bahwa elemen di bawah elemen pivot haruslah nol.

Definisi 2.20 Suatu matriks disebut matrikseselon baris tereduksi jika 1. Matriks itu adalah matriks eselon baris. 2. Setiap elemen pivotnya adalah 1. 3. Setiap elemen pivotnya merupakan satu-satunya elemen taknol pada kolom yang bersangkutan.


Teorema 2.7 Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi yang diperoleh dari matriks A berordo

n  n , maka matriks R mempunyai baris dengan semua elemennya 0 atau R adalah matriks Identitas I n . Bukti: Misalkan R adalah matriks bentuk eselon baris tereduksi yang diperoleh dari matriks A berordo n  n . Jika R tidak mempunyai baris dengan semua elemennya 0, maka setiap baris mempunyai elemen pertama yang taknol, yaitu 1. Elemen 1 ini bergerak turun semakin ke kanan di setiap barisnya, sehingga setiap elemen 1 ini pasti terletak pada diagonal utama. Karena elemen-elemen lainnya adalah 0, maka R akan membentuk matriks Identitas I n . Jadi R mempunyai baris dengan semua elemennya 0 atau R  I n .

■

Teorema 2.8 Jika A dan B adalah matriks-matriks taksingular yang berordo sama, maka 1. A 1 adalah taksingular dan ( A 1 ) 1  A 2. AB adalah taksingular dan ( AB) 1  B 1 A 1


Bukti: 1. Jika A 1 adalah invers dari matriks A, maka

A 1 A  AA1  I . Jadi A adalah invers dari A 1 sehingga A 1 taksingular dan ( A 1 ) 1  A . 2. Perhatikan bahwa ( AB)( B 1 A 1 )  A( BB 1 ) A 1  A I A 1  AA 1  I

dan ( B 1 A 1 )( AB)  B 1 ( A 1 A) B  B 1 I B  B 1 B  I .

Jadi terbukti bahwa ( AB)( B 1 A 1 )  ( B 1 A 1 )( AB)  I , maka AB taksingular dan ( AB) 1  B 1 A 1 .

■

D. Determinan Matriks Terlebih dahulu akan dibahas determinan matriks 2  2 dan kemudian a b   determinan matriks n  n . Teorema 2.4 menyatakan bahwa matriks A   c d 

memiliki invers jika dan hanya jika ad  bc  0 . Nilai ad  bc itu disebut determinan matriks A dan ditulis


a b   ad  bc . det ( A)  det  c d 

Pada dasarnya determinan matriks berordo 2  2 adalah suatu fungsi dari himpunan semua matriks berordo 2  2 ke himpunan semua bilangan real.

Teorema 2.9 Misalkan A adalah suatu matriks 2  2 . 1. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengalikan suatu baris atau suatu kolom dari matriks A dengan suatu konstanta k, maka det ( B )  k det ( A) .

Bukti: a b   ka kb   dan B   . Misalkan A   c d  c d

Maka det ( B )  kad  kbc  k (ad  bc )  k det ( A) .

■

2. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar tempat dua baris atau dua kolom dari A, maka det ( B )   det ( A) .


Bukti: a b  c d  Misalkan A    , dan B    . c d  a b 

Maka

det ( B)  cb  da  ad  bc  (ad  bc)   det ( A) .

■

3. Jika dua baris dari matriks A adalah sama, maka det ( A)  0 . Bukti: a b Misalkan A    . a b

Maka det ( A)  ab  ba  ab  ab

 0.

■

4. Jika matriks A1 , A2 dan B adalah matriks-matriks yang berbeda hanya pada satu baris, misalnya baris ke-i, dan baris ke-i dari B dapat diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada baris ke-i dari matriks A1 dan

A2 , maka det ( B)  det ( A1 )  det ( A2 ) .


Bukti: a b  a Misalkan A1    , A2   c d e

b b   a  dan B    . f c  e d  f 

Maka

det ( B)  a ( d  f )  b(c  e)  ( ad  af )  (bc  be)  ( ad  bc)  (af  bc)

 det ( A1 )  det ( A2 ) .

■

5. Jika B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menambahkan kelipatan dari satu baris A ke baris lainnya atau kelipatan dari satu kolom ke kolom yang lain, maka

det ( B )  det ( A) . Bukti: a b   a  kc b  kd  Misalkan A    dan B   . d  c d   c

Maka

det ( B)  ( a  kc) d  (b  kd ) c  ( ad  kcd )  (bc  kcd )  ( ad  bc)  ( kcd  kcd )  ad  bc  det ( A) .

■

6. Nilai determinan matriks identitas adalah 1.


Bukti:  1 0 Misalkan I    . 0 1

Maka det ( I )  1  1  0  0  1.

■

7. Jika A matriks berordo 2  2 , maka det ( A)  det ( AT ) . Bukti: a b  a c  Misalkan A    dan AT    . c d  b d 

Maka

det ( A)  ad  bc  ad  cb  det ( AT ) .

■

Teorema-teorema dasar di atas mengarahkan kita kepada definisi determinan dari matriks dengan ordo n  n .

Definisi 2.21 Determinan matriks berordo n  n adalah suatu fungsi yang mengaitkan setiap matriks berordo n  n ke suatu bilangan real dengan sifat:


1. Jika matriks B berordo n  n diperoleh dari matriks A dengan cara mengalikan sebuah baris (kolom) dengan bilangan k, maka det ( B )  k det ( A) .

2. Jika matriks B berordo n  n diperoleh dari matriks A dengan cara menukar dua baris (kolom), maka det ( B )   det ( A) .

3. Jika diketahui tiga matriks A1 , A2 dan B yang mempunyai elemen-elemen yang sama kecuali pada baris (kolom) ke-i, dan elemen baris (kolom) ke-i dari matriks B merupakan jumlah dari elemen baris (kolom) ke-i dari matriks A1 dan A2 , maka

det ( B)  det ( A1 )  det ( A2 ) . 4. Determinan matriks identitas adalah 1. 5. Jika B  AT , maka det ( B )  det ( A) .

Teorema 2.10 Jika matriks A berordo n  n memiliki dua baris (kolom) yang elemen-elemennya sama, maka det ( A)  0 .

Bukti: Misalkan baris (kolom) ke-k dan l adalah dua baris (kolom) yang elemennya sama pada matriks A. Jika baris (kolom) ke-k dan l ditukar, matriks A tidak berubah.


Namun dengan Definisi 2.20(2) nilai determinannya berubah tanda, sehingga det ( A)   det ( A) . Maka 2 det ( A)  0 , sehingga det ( A)  0 .

■

Teorema 2.11 Jika matriks B berordo n  n diperoleh dari matriks A dengan cara sebuah barisnya (kolomnya) ditambah dengan k kali baris (kolom) A yang lain, maka det ( B )  det ( A) .

Bukti:  a11  a Misalkan A   21   a  n1

a12 a 22 an2

 a11   a 21 dan B      a  ka 11  n1

 a1n    a 2n       a nn 

a12 a 22 a n 2  ka12

 

a1n a2n

   .     a nn  ka1n 

Maka dengan menggunakan definisi 2.20 sifat ke-3, diperoleh

 a11  a det ( B )  det 21   a  n1

a12 a 22 an 2

 a1n   a11    a 2n  a  det 21          a nn   ka11

a12 a 22 ka12

 

a1n   a 2n       ka1n 

dan dengan menggunakan definisi 2.20 sifat ke-1, diperoleh


 a11  a  det 21   a  n1

a12 a 22 an 2

 a1n   a11    a 2n  a  k det 21          a nn   a11

a12  a1n   a 22  a 2 n      a12  a1n 

dengan menggunakan Teorema 2.10 diperoleh  a11  a  det 21   a  n1  a11   a 21  det   a  n1  det ( A).

a12 a 22 an 2 a12 a 22 an 2

Maka det ( B )  det ( A) .

 a1n    a2n   k .0      a nn   a1n    a2n       a nn 

■

Teorema 2.12 Jika A adalah matriks bujursangkar yang memiliki baris (kolom) dengan semua elemennya 0, maka det( A)  0 . Bukti: Misalkan A adalah matriks bujursangkar yang memiliki baris dengan semua elemennya 0. Jika baris tersebut dikalikan dengan bilangan k  0 ,maka berdasarkan Definisi 2.20 diperoleh det( A)  k det( A) . Maka det( A)  0 .

■


Teorema 2.13 Jika A adalah matriks bujursangkar berordo n  n , maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen. a. Matriks A adalah taksingular. b. Ax  0 hanya mempunyai penyelesaian trivial. c. Matriks A ekivalen baris dengan matriks Identitas I n . Bukti: 1. (a  b) Misalkan A adalah matriks taksingular, dan A 1 merupakan invers dari matriks A. Misalkan xo adalah penyelesaian dari Ax  0 , berarti Ax o  0 . Maka A  1 ( Ax o )  A  1 . 0 A 1 Axo  A 1 . 0 Ixo  0 xo  0 .

Jadi Ax  0 hanya mempunyai penyelesaian trivial.


2. (b  c )

Misalkan sistem persamaan linear homogen (SPLH) Ax  0 hanya mempunyai penyelesaian trivial. Matriks lengkapnya adalah sebagai berikut:

 a11 a  21    a m1

a12  a1n a 22 a 2n a 22

  a mn

0 0 .   0

(3)

Karena SPLH tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial, maka matriks eselon baris tereduksi yang bersesuaian dengan (3) adalah: 1 0  0 0  0 1 0 0  .      0 0  1 0 

(4)

Jika kolom terakhir dari matriks pada persamaan (4) disisihkan, maka dapat disimpulkan bahwa matriks A dapat direduksi menjadi I n dengan sejumlah operasi baris elementer. Jadi matriks A ekivalen baris dengan matriks Identitas In.

3. (c  a ) Jika matriks A ekivalen baris dengan matriks Identitas I n , maka terdapat matriksmatriks elementer E1 , E 2 , , E k sedemikian sehingga


E k E k 1  E 2 E1 A  I n .

Karena matriks-matriks elementer adalah taksingular dan inversnya juga taksingular, maka 1

1

1

1

1

1

A  E1 E 2  E k I n  E1 E 2  E k .

Jadi A merupakan hasil kali matriks-matriks taksingular, sehingga dapat disimpulkan bahwa matriks A adalah taksingular.

■

Determinan matriks-matriks elementer tidak sama dengan nol, yaitu det(Ei )  0 untuk i  1, 2, 3 .

1. Matriks elementer E1 adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada

matriks

I.

Dengan

menggunakan

Definisi

2.20

diperoleh

det(E1 )   det( I )  1  0. 2. Matriks elementer E 2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks I. Dengan menggunakan Definisi 2.20 diperoleh det(E 2 )  c det( I )  c  0. 3. Matriks elementer E 3 adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti suatu baris dengan penjumlahan baris tersebut dan k kali baris yang lain pada matriks I. Dengan menggunakan Teorema 2.11 diperoleh det(E3 )  det( I )  1  0.


Suatu metode yang dipakai dalam perhitungan determinan adalah metode ekspansi kofaktor, yang akan dijelaskan berikut ini.

Definisi 2.22 Misalkan

A  ( aij ) adalah matriks n  n dan misalkan M ij adalah matriks

(n  1)  ( n  1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris dan kolom yang

mengandung a ij . Maka det ( M ij ) disebut minor dari a ij dan C ij  (1) i  j det ( M ij ) disebut kofaktor dari a ij . Contoh:

1 4 8    A  6 5 6 .  3 1  4   Dengan menghapus baris pertama dan kolom pertama, maka minor dari a11 adalah det(M 11 ) 

5

6

1 4

 26 , dan kofaktor dari a11 adalah C11  (1)11 det ( M 11 )  det ( M 11 )  26.


Definisi 2.23 Jika C ij adalah kofaktor dari a ij , maka a i1C i1  a i 2 C i 2    a in C in

disebut ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i, dan a1 j C1 j  a 2 j C 2 j    a nj C nj

disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j.

Teorema 2.14 Determinan dari matriks A yang berordo n  n dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor: det( A)  a i1C i1  a i 2 C i 2    a in C in

yaitu ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i, atau det( A)  a1 j C1 j  a 2 j C 2 j    a nj C nj

yaitu ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j.

Lemma berikut ini akan dipergunakan untuk membuktikan teorema berikutnya, yaitu bahwa suatu matriks bujursangkar taksingular jika dan hanya jika determinannya tidak sama dengan nol.


Lemma 2.15 Misalkan A adalah matriks berordo n  n dan E matriks elementer berordo n  n , maka det ( EA)  det ( E ) det ( A) . Bukti: Akan dibuktikan bahwa teorema ini berlaku untuk semua kemungkinan matriks elementer, yaitu: 1. Misalkan E1 adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks I. Menurut Definisi 2.20, maka det ( E1 )   det ( I )  1 . Misalkan A1 adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris pada matriks A, maka

E1 A  A1 , dan det ( A1 )   det ( A) , sehingga det ( E1 A)  det ( A1 )   det ( A)  (1) det ( A)  det ( E1 ) det ( A) . 2. Misalkan E2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks I. Menurut Definisi 2.20,

det ( E 2 )  c det ( I )  c . Misalkan A2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta c yang taknol pada matriks A, maka E2 A  A2 , dan det ( A2 )  c det ( A) , sehingga

det ( E 2 A)  det ( A2 )  c det ( A)  det ( E 2 ) det ( A) . 3. Misalkan E3 adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i pada matriks I. Maka menurut Teorema 2.11 , det ( E3 )  det ( I )  1 . Misalkan A3 adalah matriks yang


diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan penjumlahan k kali dari baris ke-j dan baris ke-i pada matriks A, maka E3 A  A3 , dan menggunakan Teorema 2.12, det ( A3 )  det ( A) . Maka det ( E3 A)  det ( A3 )  det ( A)  1  det ( A)  det ( E3 ) det ( A) .

Jadi terbukti jika A adalah matriks berordo n  n dan E adalah matriks elementer berordo n  n , maka det ( EA)  det ( E ) det ( A) .

■

Teorema 2.16 Suatu matriks bujursangkar A adalah taksingular jika dan hanya jika det ( A)  0 . Bukti: 1. Misalkan A adalah matriks taksingular. Menurut Teorema 2.13 matriks A ekivalen baris dengan I sehingga terdapat matriks elementer E1 , E 2 , , E k sedemikian sehingga E k  E 2 E1 A  I . Dengan menggunakan Lemma 2.15 det ( E k  E 2 E1 A)  det ( I ) det ( E k ) det(E k 1  E 2 E1 A)  det ( I ) det ( E k ) det(E k 1 )( E k 2  E 2 E1 A)  det ( I ) .  det ( E k ) det(E k 1 )  det(E1 ) det( A)  det ( I )

Karena det ( Ei )  0 untuk setiap i  1, 2, 3 , dan det ( I )  0 , maka det ( A)  0 .


2. Misalkan det ( A)  0 . Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi yang diperoleh dari matriks A, maka terdapat matriks-matriks elementer

E1 , E 2 , , E k

sedemikian sehingga E k  E 2 E1 A  R . Maka det(E k )  det( E1 ) det( A)  det( R) .

Karena det ( Ei )  0 untuk setiap i  1, 2, 3 dan det( A)  0 , maka det ( R )  0 . Andaikan R  I n , maka R memiliki baris dengan semua elemennya 0, sehingga berdasarkan Teorema 2.12, det( R )  0 . Padahal det ( R )  0 , hal ini merupakan kontradiksi. Maka R  I n . Jadi matriks A ekivalen baris dengan I n , sehingga berdasarkan Teorema 2.13 matriks bujursangkar A adalah matriks taksingular. ■

Teorema 2.17 Jika A dan B adalah matriks-matriks n  n , maka det ( AB)  det ( A) det ( B) . Bukti: Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n  n dan misalkan R adalah matriks eselon baris tereduksi yang diperoleh dari matriks A, maka terdapat matriks-matriks elementer F1 , F2 , , Fk sedemikian sehingga


Fk Fk 1  F1 A  R.

Karena semua matriks elementer mempunyai invers, maka kesamaan tersebut dapat diubah menjadi A  E1 E 2  E k R

(5)

dimana E i  ( Fi ) 1 , i  1, 2,  , k . Dari persamaan (5) diperoleh AB  E1 E 2  E k RB .

Dengan menggunakan Lemma 2.15, diperoleh det ( AB)  det ( E1 E 2  E k RB)  det ( E1 ) det ( E 2  E k RB)  det ( E1 ) det ( E 2 ) det ( E3  E k RB)   det ( E1 ) det ( E 2 )  det ( E k ) det ( RB) .

(6)

1. Jika matriks A singular, maka det ( A)  0 . Perhatikan bahwa AB juga merupakan matriks singular (karena jika ( AB) 1 ada, maka ( AB) 1  B 1 A 1 , sehingga A pasti merupakan matriks taksingular). Maka det ( AB )  0 . Karena det ( A)  0 dan det ( AB)  0 , maka persamaan det ( AB)  det ( A) det ( B) berlaku. 2. Jika matriks A taksingular, maka matriks R adalah matriks identitas, sehingga persamaan (5) dapat ditulis menjadi


A  E1 E 2  E k I  E1 E 2  E k

dan RB  I B  B , sehingga persamaan (6) menjadi det ( AB )  det ( A) det ( B ) .

Kedua hal ini melengkapi bukti teorema diatas.

■

Teorema 2.18 Jika A adalah suatu matriks segitiga atas n  n , atau matriks segitiga bawah n  n , atau matriks diagonal n  n , maka det ( A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utamanya. Bukti: Teorema ini akan dibuktikan dengan menggunakan Induksi Matematika. 1. Untuk n  2 ,

a misalkan A2   11  0

a12  . a 22 

Maka det ( A2 )  a11 a 22  a12 .0  a11 a 22 .

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n  2 . 2. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n  k , yaitu


a11 0 det ( Ak )  0  0

a12 a 22 0

a13  a1k a 23 a 2k a33 a 3k  a11 a 22  a kk .

0

0

   a kk

Maka untuk n  k  1 :

a11 0 det ( Ak 1 )  0  0

a12 a 22 0

a 22 0  a11  0

0

a13  a1( k 1) a 23 a 2 ( k 1) a33 a 3( k 1)   0  a ( k 1)( k 1) a 23  a 2 ( k 1) a33 a 3( k 1)   0  a ( k 1)( k 1)

 a11 a 22  a ( k 1)( k 1) . Jadi pernyataan tersebut benar untuk n  k  1 . Maka dapat disimpulkan bahwa det ( An )  a11 a 22  a nn adalah benar untuk setiap bilangan bulat n  2 .

Contoh: 2 7  3  0  3 7 A  0 0 6  0 0 0 0 0 0 

8 3  5 1 7 6  9 8 0 4 

■


2

7

0 3

3 8 3 7

5 1

det( A)  0

0

6

7 6  (2)( 3)(6)(9)(4)  1296.

0

0

0

9 8

0

0

0

0 4


BAB III POLINOMIAL

Dalam bab ini akan mengulang kembali beberapa hal mengenai pengertian-pengertian dasar polinomial yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Pembahasan ini meliputi definisi, teorema, dan beberapa hal penting lainnya dalam polinomial.

A. Pengertian Polinomial Secara umum, polinomial didefinisikan sebagai sebuah ekspresi berbentuk a 0 x 0  a1 x 1  a 2 x 2    a n 1 x n 1  a n x n

dimana x adalah variabel, a 0 , a1 ,…, a n adalah bilangan real, dan n adalah bilangan bulat taknegatif. Pada umumnya, polinomial dilambangkan dengan simbol seperti P (x ) ,

Q( y ) , atau R(t ) , dimana huruf yang terdapat di dalam kurung menunjukkan variabel pada polinomial tersebut. Polinomial dapat berupa sebuah bilangan konstan, sebuah variabel, sebuah pangkat dari suatu variabel, sebuah hasil kali bilangan konstan dan variabel, sebuah jumlahan variabel, dan sebagainya. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai polinomial, akan dibahas terlebih dahulu mengenai bentuk khusus dari polinomial yang disebut dengan monomial.

62


Definisi 3.1 Monomial adalah sebuah bilangan konstan, sebuah pangkat dari suatu variabel,sebuah hasil kali, yang masing masing faktornya merupakan suatu bilangan konstan atau suatu variabel. Contoh monomial:

9 , 2 x , 3x 2 , 4 y , 5 xy , 30ab 2 c 3 .

Definisi 3.2 Setiap monomial disebut suku. Bilangan konstan pada suatu monomial yang berada bersama variabel disebut koefisien monomial. Contoh: Koefisien dari x 2 adalah 1 karena x 2  1. x 2 . Koefisien dari 4 y adalah 4 . Dan koefisien dari 30ab 2 c 3 adalah 30 .

Ada monomial yang hanya melibatkan satu variabel, misalnya 3x 2 . Ada pula monomial yang melibatkan dua atau lebih variabel, misalnya 5xy 2 . Jika suatu monomial hanya melibatkan satu buah variabel saja, misalkan variabel x , maka monomial itu disebut monomial dalam x . Jika koefisien pada monomial merupakan bilangan bulat, maka monomial itu disebut monomial dengan koefisien bilangan bulat. Jika koefisien pada monomial merupakan bilangan rasional, maka monomial itu disebut monomial dengan koefisien


bilangan rasional. Dan begitu pula dengan koefisien bilangan real, monomial itu disebut monomial dengan koefisien bilangan real. Contoh: Monomial 4 x , 3x 2 , 10x 3 adalah monomial dalam x dengan koefisien bilangan bulat. Monomial 0,3 y adalah monomial dalam y dengan koefisien bilangan rasional atau real.

Derajat monomial dalam satu variabel adalah pangkat dari variabel monomial tersebut. Contoh: Suku 3x 2 adalah monomial berderajat dua, dan suku 4x 3 adalah monomial berderajat tiga. Monomial 3x 2 adalah monomial berderajat dua dalam x dengan koefisien bilangan bulat.

Definisi 3.3 Polinomial yang terdiri dari jumlahan dua buah monomial disebut binomial. Polinomial yang terdiri dari jumlahan tiga buah monomial disebut trinomial. Contoh: Polinomial 5 x  10 adalah sebuah binomial, dan 2 x 2  5 x  9 adalah trinomial.


Definisi 3.4 Polinomial adalah sebuah monomial atau jumlahan dari monomial. Contoh:

10 x , 2 x 2  3 x  4 , dan 5 xy  6 . Polinomial 5 xy  6 dapat juga dinyatakan sebagai penjumlahan, karena 5 xy  6  5 xy  (6) .

Jika semua koefisien dari setiap monomial di dalam suatu polinomial dan suku konstan adalah bilangan bulat, maka polinomial itu disebut polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Jika semua koefisien dan suku konstan adalah bilangan rasional, maka polinomial itu disebut polinomial dengan koefisien bilangan rasional. Demikian pula untuk koefisien bilangan real disebut polinomial dengan dengan koefisien bilangan real. Contoh:

x 2  3 x  6 adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat. x3 

1 x  7 adalah polinomial dengan koefisien bilangan rasional. 2

2 xy 

1 x  y  5 adalah polinomial dengan koefisien bilangan real. 4

Definisi 3.5 Polinomial dalam x adalah polinomial yang suku-suku monomialnya merupakan monomial-monomial dalam x atau konstan.


Contoh: 2 x 3  x 2  7 x  11 adalah polinomial dalam x .

Polinomial dalam y atau dalam variabel lainnya dapat didefinisikan dengan cara yang sama. Contoh: 3  2t  4t 2 merupakan polinomial dalam t .

Derajat pada polinomial adalah derajat tertinggi dari monomialmonomialnya. Derajat polinomial 3  2t  4t 2 adalah dua, karena derajat monomial

 4t 2 (yaitu dua) adalah derajat tertinggi dari monomial-monomialnya.

Definisi 3.6 Bentuk polinomial ax  b , dimana a  0 dan a dan b adalah bilangan real, disebut polinomial dalam x berderajat satu. Bentuk ax  b disebut bentuk umum untuk jenis polinomial ini. Contoh: Binomial 3 x  2 ,

1 x  8 , dan 4

6 x  6 merupakan polinomial dalam x berderajat

satu. Begitu juga monomial 2 x merupakan polinomial dalam x berderajat satu, karena monomial tersebut mempunyai bentuk ax  b dengan a  2 dan b  0 .


Definisi 3.7 Bentuk polinomial ax 2  bx  c , dimana a  0 , dan a , b dan c adalah bilangan real, disebut polinomial dalam x berderajat dua atau polinomial kuadrat dalam x . Bentuk ax 2  bx  c disebut bentuk umum untuk jenis polinomial ini. Contoh: 1 1 Trinomial x 2  x  3 merupakan polinomial kuadrat dalam x dengan a  1 , b  3 3

dan c  3 . Binomial 3x 2  2 merupakan polinomial kuadrat dalam x dengan a  3 ,

b  0 dan c  2 . Monomial 4x 2 merupakan polinomial kuadrat dalam x dengan a  4 , b  0 dan c  0 . Polinomial-polinomial dengan derajat yang lebih besar dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk polinomial berderajat satu maupun dua.

B. Fungsi Polinomial Definisi 3.8 Jika dua buah variabel x dan y saling berelasi sedemikian sehingga untuk setiap nilai x terdapat tepat satu nilai y, maka dikatakan bahwa y merupakan fungsi dari x. Variabel x disebut variabel bebas, dan variabel y yang bergantung pada x, disebut variabel takbebas.


Contoh: Pada persamaan y  x  1 , y merupakan fungsi dari x, karena untuk setiap nilai x terdapat tepat satu nilai y.

Untuk menunjukkan bahwa y merupakan fungsi dari x secara umum ditulis y  f (x ) , dan dibaca “y adalah fungsi dari x”. Sebagai contoh, jika y  x 2 , maka f ( x)  x 2 . Fungsi polinomial dapat dinyatakan ke dalam bentuk y  P (x ) , dimana P (x ) merupakan suatu polinomial. Fungsi polinomial yang paling sederhana adalah fungsi konstan. Disebut fungsi konstan karena polinomial tersebut selalu bernilai konstan. Bentuk umum fungsi konstan adalah f ( x )  a , dimana a adalah suatu bilangan real. Fungsi polinomial berikutnya adalah fungsi polinomial berderajat satu, yang lebih sering disebut fungsi linear. Fungsi linear memiliki bentuk umum

f ( x)  ax  b , dimana a dan b merupakan bilangan real dan a  0 . Persamaan Ax  By  C  0 , dimana A, B dan C adalah bilangan real dan A  0 dan B  0 ,

merupakan fungsi linear, karena jika persamaan ini diselesaikan dalam y akan menjadi: Ax  By  C  0 By   Ax  C

y

A C x . B B


Misalkan

A C  a dan   b , maka persamaan ini akan menjadi B B y  ax  b

atau

f ( x )  ax  b .

Fungsi

polinomial

berderajat

dua

memiliki

bentuk

umum

f ( x)  ax 2  bx  c, dimana a , b, c  R dan a  0 . Fungsi polinomial ini juga

disebut fungsi kuadrat. Jika y  f (x ) merupakan sebuah fungsi polinomial dalam x dan x  a , maka f (a ) menyatakan nilai f (x) untuk x  a . Contoh: Nilai

fungsi

polinomial

f ( x)  3x 3  7 x  5

f (2)  3( 2) 3  7 (2)  5  24  14  5  33 .

untuk

x2

adalah


BAB IV MATRIKS PASCAL

Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks Pascal beserta sifatnya serta hubungannya dengan matriks lain, yaitu matriks Vandermonde.

A. Pengertian Matriks Pascal Kombinasi n elemen yang diambil sebanyak r elemen dalam setiap pengambilan adalah n n! , C rn      r  r!(n  r )! n dimana n! n(n  1)( n  2)( n  3)...1 . Bilangan   itu r

juga disebut koefisien

binomial karena merupakan koefisien dari ekspansi binomial x  y n . Koefisienkoefisien tersebut dapat disusun dalam suatu segitiga yang disebut segitiga Pascal, yang merupakan suatu susunan bilangan-bilangan berbentuk segitiga seperti dikemukakan oleh Blaise Pascal (1623-1662). Koefisien-koefisien tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

a  b 0  1 a  b 1  a  b a  b 2  a 2  2ab  b 2 a  b 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3

1 1 1 1

2 3

70

1 1 3

1


0   0 1    0  2    0  3   0

1   1  2   1

 3   1

 2    2  3    2

3   3

Definisi 4.1 Matriks Pascal n  n adalah matriks segitiga bawah yang elemen-elemen segitiga bawahnya adalah n baris pertama dari segitiga Pascal. Contoh: 1 0    adalah matriks Pascal berordo 2  2 1 1  1  1 1  1 

0 0 0  1 0 0 adalah matriks Pascal berordo 4  4 2 1 0  3 3 1 

Secara umum, matriks Pascal dapat dinyatakan sebagai P  ( pij ) , di mana  i  1   untuk i  j  p ij   j  1 0 untuk i  j  i, j  1,2, , n.


Elemen-elemen matriks Pascal berordo n  n dapat dituliskan sebagai berikut:  0 p11     1  0

 0 p12     0  1

. . .

 0    0 p1n    n  1

1 p 21     1  0

1 p 22     1 1

. . .

 1    0 p 2 n    n  1

 2 p 31     1 0

 2 p32     2  1

. . .

 2    0 p 3n    n  1

. .

. .

. .

.

.

.

 n  2   1 p ( n 1)1    0 

 n  2   n  2 . . . p ( n 1) 2    1 

 n  2   0 p( n 1) n    n 1

 n  1   1 p n1    0 

 n  1   n  1 p n 2    1 

 n  1   1 p nn    n  1

. . .

Jadi matriks Pascal berordo n  n dapat dituliskan sebagai berikut: 0 0 1  1 0 1 1 2 1  3 3 1 P   p ij         1 n  1 (n  2)( n  1)  2! 

0



0 0 1  ( n  3)(n  2)( n  1) 3!



0

0  0 0 0 0  0 0 .     n  1 1  


B. Beberapa Sifat Penting Matriks Pascal Elemen-elemen dalam matriks Pascal P  ( p ij ) merupakan kombinasi dari i  1 elemen yang diambil sebanyak j  1 elemen dalam setiap pengambilan. Subbab ini akan membahas tentang beberapa sifat penting matriks Pascal, yaitu hubungannya dengan e H dan dengan matriks Vandermonde. 1.

Matriks Pascal sebagai e H Misalkan H adalah matriks n  n yang didefinisikan sebagai berikut: 0  1 0 H  0   0 

0 0  0 2 0 0

0

0  0 0 0 0 0 0  . 3 0 0    0  n  1 0  nn

Matriks H ini disebut matriks penghasil dan akan dipergunakan untuk menyatakan matriks Pascal P. Matriks H juga disebut matriks derivasi karena Hei  (i  1)ei 1

i  0, , n  1

(1)

dimana ei i  0, , n  1 adalah vektor-vektor basis standar di R n dengan ketentuan ei  0 untuk i  n .


Untuk i  0 , maka 0  1 He0   0  0 0 

0 

0

0  1   0      0 0 0  0   1  2 0 0  0    0   e1  (0  1)e1 .     0  0 0       0  n  1 0  0   0 

Jika i  1 , maka 0  1 He1   0  0 0 

0 

0

0  0   0  0       0 0 0  1   0  0 2 0 0  0    2   2 1   2e2  (1  1)e2 .       0  0 0             0 0  n  1 0  0   0   

Jika i  n  1 , maka

Hen 1

0  1  0  0 0 

0 

0

0  0   0      0 0 0  0   0  2 0 0  0    0   ((n  1)  1)en .     0  0 0       0  n  1 0  1   0 

Hal ini konsisten dengan fakta bahwa matriks H j  0 untuk j  n . Misalkan jika j  2 , maka


0  1 0 H2  0 0  0  0  0 2  0 0  0 

0  0 0 0 0 0 2 0 0 0  0 0 0 n2 0 0  0 n 1

0  0  0  1 0  0  0  0 0  0 0  0

0  0 0 0 0 0 2 0 0 0  0 0 0 n2 0 0  0 n 1

0  0 0  0 0  0 

0  0 0 0 0 0 6 0 0  0 0  (n  1)(n  2)

0 0 0 0 0 0

0  0 0 . 0 0  0 

0  0 0 0 0 0 6 0 0  0 0  (n  1)( n  2)

0 0 0 0 0 0

0  0  0 0 0  0  1 0 0 0   0 0  0 0 0  0  0 n3 0 0   0  0 0 n2 0   0  0  0 0 n 1

Jika j  3 , maka

0  0 2 H 3  H 2H   0 0  0 

0 0   0 0 0 0  0 6 0  0   0  (n  1)( n  2)(n  3) 

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0  0 0  0 0  0 

Dengan memperhatikan pola dan melakukan perhitungan dengan cara yang sama, diperoleh

0  0 0  0 0  0 


H n 1

0    0   0  0       (n  1)( n  2)(n  3) 1  

0  0 0 . 0   0 

Maka H n  H n 1 H 0    0   0  0       (n  1)( n  2)( n  3) 1    0  0 0 0 0   0 0 0 0 0     0 0 0 .  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0    0  0 0 0 0  

0  0  0 0 0  0  1 0 0 0   0    0 0  0  0 n3 0 0     0 0 n2 0   0  0  0 0 n 1

0  0 0  0 0  0 

Perhatikan bahwa kolom pertama matriks H adalah e1  He0 . Maka berdasarkan persamaan (1) H j ei  H

j 1

 H ei

H

j 1

 (i  1) ei 1

 (i  1) H

j 2

 H ei 1

 (i  1) H

j 2

 (i  1  1) ei 11

 (i  1)(i  2) H

j 2

ei  2

 (i  1)(i  2) H

j 3

 H ei  2


 (i  1)(i  2) H

j 3

 (i  2  1) ei  2 1

 (i  1)(i  2)(i  3) H

j 3

ei  3

  (i  1)(i  2)(i  3)  (i  j ) H

j j

ei  j

 (i  1)(i  2)(i  3)  (i  j ) H 0 ei  j  (i  1)(i  2)(i  3)  (i  j ) I ei  j  (i  1)(i  2)(i  3)  (i  j ) ei  j

dimana H 0  I adalah matriks identitas. Maka H j ei  (i  1)(i  2)(i  3)  (i  j ) ei  j : (i  j ) ( j ) ei  j , j  0,, n  1

dimana (i  j ) ( j ) : (i  j )(i  j  1)  (i  2)(i  1) menyatakan pangkat factorial, dan i ( 0)  1 .

Persamaan diferensial dalam R n d y (t )  H y (t ) , dt

dengan nilai awal y (0)  y 0 ,    t   , memiliki penyelesaian sebagai berikut: dy  Hy dt dy  H dt y dy  y   H dt ln y  Ht  C


y  e Ht C y  e Ht e C Jika t  0 dan nilai awal y (0)  y 0 , maka y(0)  e H 0 e C y0  e C

sehingga penyelesaian tunggalnya adalah y (t )  e Ht y 0 .

Karena

xk e  , k  0 k! 

x

maka matriks eksponensial P(t ) : e Ht dapat diberikan dengan deret takhingga:

( Ht ) k . k! k 0 

P(t )  

Karena H k  0 untuk semua k  n , maka

( Ht ) k n 1 t k k n   H :  pij (t ) i , j 1 k! k 0 k  0 k! n 1

P(t )  

adalah polinomial dalam H.

Teorema 4.1 Jika P adalah matriks Pascal n  n , maka P  e H . Bukti: Untuk t  1 :

(2)


Hk  eH . k  0 k! n 1

P(1)   Di lain pihak Hk P(1)   k 0 k! n 1

H 0 H1 H 2 H3 H n1     0! 1! 2! 3! (n  1)! 1 1  I  H  H 2  H n1 2 (n  1)! 

1  0  0   0 

0 0  0  0   1 0 0 1 0 1 0   0      0 0  1   0

0 

0 0 0    0 0 0 0 0 1  2 0 0  2 0  2       0  (n  1)(n  2) 0  n 1 0  0

0 0  0 0 0 0   0 0 

 0 0 0  0   0 0 0  0 1   0 0 0 0  (n  1)!      (n  1)!  0 0 0    1  0  0    0

0 0  0  0   1 0 0 1 0 1 0   0        0 0  1 0

0  0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 0      1  0 0 0  

0 0   0   0 0 0 0 0   0 2 0 0  1      (n  1)(n  2)   0  n 1 0 0  2  0 

0

0 0  0 0 0 0    0 0 


0 0 1  1 0 1 1 2 1  3 3 1        1 n  1 ( n  2)(n  1)  2! 

0 0 0 1



 ( n  3)(n  2)(n  1) 3!



0 0 0 0

0  0 0  0      n  1 1  

 P.

Jadi P  e H .

■

Teorema 4.2 P( m)  P m untuk semua bilangan bulat m.

Bukti: Dengan menggunakan Induksi Matematika: 1. Untuk m  0 , ( H  0) k k! k 0 n 1

P(0)  

H k  0k k! k 0 n 1

 

H 0  0 0 H 1  01 H 2  0 2 H 3  0 3 H n 2  0 n 2 H n 1  0 n 1      0! 1! 2! 3! ( n  2)! ( n  1)!

I 1 H 1  0 H 2  0 H 3  0 H n 2  0 H n 1  0       1 1! 2! 3! (n  2)! ( n  1)! I  P0.


Jadi pernyataan tersebut benar untuk m  0 . 2. Untuk m  1 , P(1)  P  P1 . Jadi pernyataan tersebut benar untuk m  1 . 3. Akan ditunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk m  n , maka pernyataan tersebut juga benar untuk m  n  1 . Misalkan pernyataan tersebut benar untuk m  n , yaitu P(n)  P n . Maka ( H  (n  1)) k k! k 0 n 1

P( n  1)  

 e H ( n 1)  e Hn  H  (e H ) n  (e H )  P n  P1  P n 1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk m  n  1 . Jadi dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat taknegatif m.

Selanjutnya 1. Untuk m  1 , maka ( H  1) k k! k 0 n 1

P( 1)  

 e H  (e H ) 1  P 1 .

Jadi pernyataan tersebut benar untuk m  1 .


2. Akan ditunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk m  n , maka pernyataan tersebut juga benar untuk m  n  1. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk m  n yaitu P(n)  P n . Maka

( H  (n  1)) k k! k 0 n 1

P( n  1)  

 e H ( n 1)  e Hn  H  (e H ) n  (e H ) 1  P n  P 1  P n 1 Jadi pernyataan tersebut benar untuk m  k  1 . Jadi dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat negatif m. Dengan demikian pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat m.

■

Teorema 4.3 P ( m  n)  P (m) P ( n) untuk setiap bilangan bulat m dan n.

Bukti:

P ( m  n)  e H ( m  n )  e Hm  Hn  e Hm  e Hn  (e H ) m  (e H ) n  Pm  Pn  P ( m) P ( n) untuk setiap bilangan bulat m dan n.

■


Matriks segitiga bawah P  P(1) :  p ij i , j 1 adalah Matriks Pascal, yang entrin

entrinya adalah  i  1   untuk i  j  (3) p ij   j  1 0 untuk i  j 

i, j  1,2, , n Dengan menggunakan persamaan (3), entri-entri pada P (t ) adalah:  i j  i  1   untuk i  j t  p ij (t )    j  1 0 untuk i  j  i, j  1,2,  , n

Entri-entri pada matriks P (t ) dapat disajikan sebagai berikut:

 p11 (t )   p 21 (t )  p (t )  31  p 41 (t ) P(t )         p (t )  n1

p12 (t ) p 22 (t )

p13 (t ) p 23 (t )

p32 (t ) p 42 (t )

p33 (t ) p 43 (t )



p1( n 1) (t ) p 2 ( n 1) (t ) p3( n 1) (t ) p 4 ( n 1) (t )



p n 2 (t )

p n 3 (t )



p n ( n 1) (t )

p1n (t )   p 2 n (t )  p 3n (t )   p 4 n (t )        p nn (t ) 

(4)


 1   t  t2  3 t        t n 1  

0 1 2t 3t 2

0 0 1 3t





(n  1)t n 2

(n  2)( n  1) n 3 t 2!



0 0 0 0

0  0 0  0 .     (n  1)t 1  

Entri-entri diagonal utama matriks segitiga bawah P (t ) semuanya adalah 1, sehingga P (t ) adalah matriks taksingular untuk semua t, karena det P (t )  1  0.

Definisi 4.2 Suatu matriks bujur sangkar A berordo n  n dikatakan secara diagonal serupa dengan matriks B jika terdapat matriks diagonal X yang taksingular sedemikian sehingga X B X 1  A .

Teorema 4.4 Matriks P(t ) secara diagonal serupa dengan matriks P untuk setiap bilangan bulat t  0 .


Bukti: Didefinisikan matriks diagonal 1 0 0  0    0  0 t 0 D(t )   0 0 t 2 0         0 0 0  t n 1   

dengan t bilangan bulat yang tidak sama dengan 0. Maka

1  0 1 D(t ) PD (t )   0  0 0 

1  t  t 2  3 t t 4 

0

0

0

t

0

0

2

0

0 0

t3 0

0 t 0 0

0 1  0 1 0 1  0 1 t 4 1

0

0

0

t

0

0

2

0

2t

2

3t 3 4t 4

0 1  1 t 2   t 2t  3  t 3t 2  t 4 4t 3   P(t ) .

t

3t 3 6t 4 0 0 1 3t 6t 2

t3 4t 4 0

0 0 0 1 0 0 2 1 0 3 3 1 4 6 4 1  0  0  0  0 0   0  0 t 4   0 

0  0 0 0 0  1 0 4t 1 

0 1 t

1  0  0  0  0 0   0  0 1   0  0 0 0

0

0

1 t2

0

0

0

1 t3

0

0

0

0 1 t

0

0

0

0

0

1 t2

0

0

0

1 t3

0

0

0

0  0  0   0  1  t4 

0  0  0   0  1  t4 


Jadi matriks segitiga bawah P (t ) secara diagonal serupa dengan P untuk semua bilangan bulat t  0 .

■

Matriks P(t ) H  H P(t ) untuk semua t seperti terlihat dalam perhitungan berikut: 0 0  0 0 0  1   1 0 0 0  1  t   t2 2t 1 0 0  0   P (t ) H   t 3 3t 2 3t 0 0  0          t n1 (n  1)t n  2 (n  2)(n  1) t n3  (n  1)t 1    0 2!   0 0 0   1 0 0   2t 2 0    3t 2 6t 3     (n  1)t n 2 (n  2)(n  1) 2t n 3 (n  3)(n  2)(n  1) 3t n 4  2! 3! 

0 

0  0 0 0 2 0 0  0 0 0    0  n  1 0  

0

0

0  0 0 0 0  0 0     n  1 0  

dan 0  1 0 H P (t )   0   0 

0  1  0 0 0  t  2 2 0 0  t  3 0 0 0  t       n1 0  n  1 0  t  0 

0

0

0

1

0

2t 3t 2

1 3t

(n  1)t n  2

(n  2)(n  1) n3 t 2!



0

0  0 0 0 0  0 0     (n  1)t 1  


0   1   2t    3t 2     (n  1)t n  2  



0 0 2 6t

0 0 0 3

(n  2)(n  1) n 3 2t 2!

( n  3)(n  2)(n  1) n  4 3t 3!

Corollary 4.5 P 1  D( 1) PD ( 1).

Bukti: Dari bukti Teorema 4.4: P(t )  D (t ) PD (t ) 1 .

Untuk t  1 : P( 1)  D (1) PD ( 1) 1

sehingga P 1  D (1) PD (1) 1 .

Karena 1 0  0 1 D( 1) D (1)   0 0   0 0 

0 

0

 1 0  0 0  0  1 1 0  0 0      0  ( 1) n 1  0 0

0 

0

  0 0  1 0      0  (1) n 1 

0 0 0 0

0  0 0  0 .     n  1 0  


1  0  0   0  I

0 0  0  1 0 0 0 1 0    0 0  1 

maka D( 1) 1  D( 1) . Jadi P 1  D( 1) PD (1).

■

Berikut ini adalah contoh untuk n  5 : P 1  D (1) PD (1)  1 0 0 0 0 1 0    0  1 0 0 0 1 1   0 0 1 0 0 1 2    0 0 0  1 0 1 3    0 0 0 0 1 1 4 0 0 0 0  1 1   0 0  0 1 1 0  1 2 1 0 0  0     1  3  3  1 0  0   4 6 4 1  0 1 0 0 0 1  0 0 1 1   1 2 1 0  1 3  3 1  1 4 6 4 

0  0 0 .  0 1 

0 0 0  1 0  0 0 0  0  1 1 0 0  0 0  3 1 0  0 0  6 4 1  0 0 0 0 0 0   1 0 0 0 0 1 0 0  0 0 1 0  0 0 0 1

0 0 1 0 0

0

0  0 0 0 0  1 0  0 1


2. Hubungan dengan Matriks Vandermonde Matriks Pascal dapat dinyatakan dalam matriks khusus yang lain, yaitu Matriks Vandermonde. Matriks ini diabadikan dengan nama seorang matematikawan Perancis, yaitu Alexandre Theophile Vandermonde (17351796), yang memberikan kontribusi besar dalam pengembangan teori determinan. Matriks Vandermonde n  n memiliki bentuk umum sebagai berikut:

1  1 Vn ( x1 , x2 , x n )  1    1

x1 x2 x3 xn

x12  x1n 1   x22 x 2n 1   x32 x3n 1      2 xn  x nn 1 

dimana xi  x j untuk semua i  j . Dalam literatur matriks Vandermonde sering juga dinyatakan sebagai transpos dari matriks di atas, yaitu

 1   x1 Vn ( x1 , x2 , xn )   x12    x n 1  1

1 x2 x22

1 x3 x32

x2n 1

x3n 1



1 xn x n2

       n 1   xn 

dan skripsi ini akan menggunakan matriks transposnya.


Sebagai contoh, berikut ini adalah matriks Vandermonde untuk n  5 1 1  1 1 1   4 5  1 2 3 V5 (1, 2, 3, 4, 5)  1 4 9 16 25    1 8 27 64 125  1 16 81 256 625   

dimana x1  1, x2  2 , x3  3 , x4  4 dan x5  5 .

Teorema 4.6

det (Vn ( x1 , x 2 ,  xn )) 

 (x

 xi )

j

1i  j  n

untuk setiap bilangan bulat n  2 . Bukti: Dengan menggunakan Induksi Matematika, sebagai berikut: 1. Untuk n  2 ,

det (V2 ( x1 , x2 )) 

1

1

x1

x2

 x 2  x1 .

2. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n  k , yaitu

det (Vk ( x1 , x 2 ,  x k )) 

1 x1 x12 k 1 1

x

1 x2 x22 x

k 1 2

1 x3 x32 x

k 1 3



1 xk x k2

  x kk 1



 (x

1 i  j  k

j

 xi ) .


Maka untuk n  k  1 : 1

1

1

1

1

x1

x2

x3

xk

x k 1

2 1

2 2

2 3

2 k

x k21

x

det (Vk 1 ( x1 , x 2 ,  xk 1 )) 

x

x 

k 1 1 k 1



x

k 1 2 k 2

x

x

x

x

x

k 1 3 k 3

x

xkk 1

x kk11

x kk

x kk1

1

1

1

1

0

x 2  x1

x3  x1

xk  x1

0

2 2

2 3

2 k

x  x1 x2

x  x1 x3

1 x

x  x1 x k

x

k 1 2 k 1

 x1

 x1 xk 1

 0

x

k 1 2 k 2

k 2 1 2 k 1 1 2

x x

x x x

0

x x

xkk 1  x1 x kk 2

x kk11  x1 x kk12

x x x

xkk  x1 x kk 1

xkk1  x1 xkk11

x

x2  x1 x22  x1 x 2

k 1 3 k 3

k 2 1 3 k 1 1 3

x3  x1 x32  x1 x3

xk  x1 x k2  x1 xk

 x1  x1 xk 1

x

x

k 1 2 k 1



 x

k 1 2 k 2

k 2 1 2 k 1 1 2

x x

x x x

x x

x kk 1  x1 x kk 2

xkk11  x1 xkk12

x x x

xkk  x1 x kk 1

xkk1  x1 xkk11

x

k 1 3 k 3

k 2 1 3 k 1 1 3

x2  x1

x3  x1

xk  x1

xk 1  x1

x2 ( x2  x1 )

x3 ( x3  x1 )

xk ( xk  x1 )

xk 1 ( xk 1  x1 )

k 2 2 k 1 2

k 2 3 k 1 3

( x3  x1 )

xkk 2 ( xk  x1 )

xkk12 ( x k 1  x1 )

( x3  x1 )

xkk 1 ( xk  x1 )

x kk11 ( xk 1  x1 )



 x

x

( x2  x1 ) x ( x 2  x1 )

x

1

1

1

1

x2

x3

xk

xk 1

k 2 2 k 1 2

k 2 3 k 1 3

x kk 2 x kk 1

x kk12 xkk11



 ( x 2  x1 )( x3  x1 )...( xk  x1 )( xk 1  x1 ) x x

x x


      ( x j  x1 )    ( x j  xi )   2 j k 1   2i  j  k 1    ( x j  xi ) 1 i  j  k 1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n  k  1 . Maka dapat disimpulkan bahwa

det (Vn ( x1 , x 2 ,  xn )) 

 (x

j

 xi ) adalah benar untuk setiap bilangan bulat

1i  j  n

n  2.

■ Akibatnya, matriks Vandermonde Vn adalah matriks yang taksingular

untuk setiap bilangan bulat n  2 , sebab

det (Vn ( x1 , x 2 ,  x n )) 

 (x

j

 xi )  0

1 i  j  n

karena xi  x j untuk semua i  j .

Jika didefinisikan fungsi vektor y(t ) : (1, t , t 2 , , t n 1 ) T , V (t )   y (t )  1   t   t2     t n 1 

y (t  1) 1

1

t 1 (t  1)

y (t  2)  y(t  (n  1))  t2

2

(t  1) n 1

(t  2) 2 (t  2) n 1



1

  t  (n  1)  [t  ( n  1)] 2      n 1   [t  (n  1)] 

adalah matriks Vandermonde dengan xk  t  ( k  1) , k  1,2,  , n .


Teorema 4.7 Jika P adalah matriks Pascal, maka P  V (t  1)V (t ) 1 . Bukti: 0 0 1  1 0 1  2 1 P V (t )  1   ( n  2)(n  1) 1 (n  1) 2!  1 1   (t  1)  1  t 1 2   (t  1) ((t  1)  1) 2     n 1 ((t  1)  1) n 1  (t  1)  V (t  1) ■ sehingga P  V (t  1)V (t ) 1 .

 0  1  0  t  0  t 2        1  t n 1  1 (t  1)  2 ((t  1)  2) 2 ((t  1)  2) n 1

Sebagai contoh, untuk n  5 dan t  1 , maka V (t  1)  V (2) 1 1 1  1 1   4 5 6  2 3   4 9 16 25 36 .    8 27 64 125 216  16 81 256 625 1296   

1 t 1 (t  1) 2 (t  1) n 1 



1

  t  ( n  1)  (t  ( n  1)) 2      n 1   (t  ( n  1))  1

  (t  1)  (n  1)  ((t  1)  ( n  1)) 2      n 1   ((t  1)  ( n  1)) 


dan V (t ) 1  V (1) 1 1

1 1  1 1 1   4 5  1 2 3  1 4 9 16 25    1 8 27 64 125  1 16 81 256 625    154 71 14     5 24 24 24    10 107  59 13  6 6 6  78 49   10  3 4 4  61 41 11  5   6 6 6  50 35 10    1  24 24 24

1   24  1   6 1   4  1   6 1   24 

sehingga

V (t  1)V (t ) 1  V (2)V (1) 1 154    5 24  1 1 1  107 1 1    10 6 4 5 6  2 3  78    4 9 16 25 36  10    4  8 27 64 125 216  61  16 81 256 625 1296   5 6    50   1  24

71 14  24 24 59 13  6 6 49 3 4 41 11  6 6 35 10  24 24

1   24  1   6 1   4  1   6 1   24 


1  1  1  1 1   P.

0 0 0 0  1 0 0 0 2 1 0 0  3 3 1 0 4 6 4 1 

Teorema 4.8 P(t )  V (t ) V (0) 1 .

Bukti: Untuk t  0 1  0 V (0)   0   0 

1

1

1

2

1

22

1 2 n 1



  ( n  1)  ( n  1) 2 .     n 1   ( n  1) 

0  1  1  t 2  P(t ) V (0)  t 2t     t n 1 (n  1)t n 2  1  1  t 1  t   t2 (t  1) 2     t n 1 (t  1) n 1   V (t )

1

 0  1  0  0 0  0       1  0

1 t2 (t  2) 2 (t  2) n 1

1 1 1

1 2 22

1 2 n 1





1   ( n  1)  (n  1) 2      n 1   (n  1) 

1   t  ( n  1)  [t  ( n  1)] 2      n 1   [t  ( n  1)] 


sehingga P(t )  V (t ) V (0) 1 .

■

Sebagai contoh, untuk n  5 dan t  2 , maka

V ( 2) V (0) 1

1 1  2 3  4 9   8 27 16 81 

1 0  2 1  4 4   8 12 16 32   P( 2).

25 35 5 1    1   12 24 12 24   1 1 1  13 3 1 4     0 3 2 6 4 5 6   19 1   16 25 36  0  3 2   4 4   64 125 216  4 7 7 1 0    256 625 1296  3 3 6 6  1 11 1 1   0   4 24 4 24   0 0 0  0 0 0 1 0 0  6 1 0 24 8 1 


BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan Matriks Pascal n  n merupakan sebuah matriks khusus, yaitu matriks segitiga bawah yang elemen-elemen segitiga bawahnya adalah n baris pertama dari segitiga Pascal. Matriks Pascal dapat dinyatakan sebagai P  ( p ij ) dimana  i  1   untuk i  j  . Elemen-elemen p ij dalam matriks Pascal merupakan p ij   j  1 0 untuk i  j 

kombinasi dari i  1 elemen yang diambil sebanyak

j  1 elemen dalam setiap

pengambilan untuk i  j dan 0 untuk i  j . Matriks Pascal memiliki beberapa sifat penting yang menarik, antara lain matriks ini dapat dinyatakan sebagai e H , yaitu P  e H , di mana H adalah suatu matriks penghasil tertentu yang didefinisikan. Sifat lain yang penting adalah adanya hubungan antara matriks Pascal dengan matriks khusus terkenal lainnya, yaitu matriks Vandermonde. Matriks Pascal P

dapat

V (t )   y (t )

dinyatakan

y (t  1)

sebagai

P  V (t  1)V (t ) 1 ,

di

mana

matriks

y (t  2)  y(t  ( n  1))  adalah matriks Vandermonde,

dan y(t ) : (1, t , t 2 , , t n 1 ) T adalah suatu fungsi vektor yang didefinisikan.

97


B. Saran Dalam skripsi ini penulis hanya membahas suatu sifat penting dari matriks Pascal dan hubungan matriks Pascal dengan matriks Vandermonde. Skripsi ini masih bisa dikembangkan dengan membahas sifat-sifat penting lainnya, serta mempelajari hubungan antara matriks Pascal dengan matriks-matriks khusus terkenal lainnya, seperti matriks Stirling, Frobenius atau lainnya.


DAFTAR PUSTAKA

Aceto, L and Trigiante, D. (2001). The Matrices of Pascal and Other Greats. The American Mathematical Monthly. 108 (3): 232-245. Anton, H. (2005). Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons. Inc. Beaumont, R.A and Pierce, R.S. (1963). The Algebraic Foundations of Mathematics. London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Budhi, W.S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Call, G.S and Vellman, D.J. (1993). The Pascal’s Matrices. The American Mathematical Monthly. 100 (4): 372-376. Durbin, J.R. (1985). Modern Algebra An Introduction. New York: John Wiley & Sons. Inc. Edelman, A and Strang, G. (2004). Pascal Matrices. The American Mathematical Monthly. 111 (3): 189-197. Hill D.R. and Kolman, B. (2001). Modern Matrix Algebra. Upper Saddle River: Pretice-Hall. Knop, Larry E. (2009). Linear Algebra. New York: CRC Press. Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelpia: SIAM. Ricardo, H. (2010). A Modern Introduction to Linear Algebra. New York: CRC Press. Rosskopf, M.F. (1964). Modern Mathematics: Algebra Two and Trigonometry. Morristown: Silver Burdett Company.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents