PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

PENDUGAAN MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

MAKALAH Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika

Oleh: YULIANA ROSSI YURIKE SARI NIM : 093114003

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015

i


ESTIMATION COBB-DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION MODEL

A PAPER Presented As Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Bachelor of Mathematics Study Program

Written by : YULIANA ROSSI YURIKE SARI Student ID : 093114003

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2015

ii


iii


iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan dalam hidupku

“Sebab tujuh kali orang benar jatuh, namun ia bangun kembali. Jika engkau tawar hati pada masa kesesakan kecillah kekuatanmu.” (Amsal 24:10)

“Karna kita tidak berjuang sendiri, kita berjuang bersama orang-orang yang juga berjuang bersama kita.” (Matemacinta 2009)

Karya ini aku persembahkan untuk : Keluarga terkasih dan Matemacinta 2009

v


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 15 Juli 2015 Penulis

Yuliana Rossi Yurike Sari

vi


ABSTRAK Yuliana Rossi Yurike Sari. 2015. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas. Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Dalam dunia ekonomi fungsi produksi Cobb-Douglas mewakili hubungan antara output dan input. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas dibutuhkan oleh suatu perusahaan agar dapat merencanakan hasil produksi dengan baik. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan untuk menduga banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu perusahaan tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya karyawan yang bekerja dan modal yang di investasikan dalam proses produksi. Fungsi produksi Cobb Douglas bersifat nonlinear terhadap parameter dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut Dengan : : : : :

Banyaknya output fisik pada selang waktu tertentu. Banyaknya karyawan yang mengerjakan pada selang waktu tertentu. Banyaknya modal yang dikeluarkan pada selang waktu tertentu. Parameter yang berubah dari waktu ke waktu. Galat random yang mungkin terjadi, mewakili faktor musim, kerusakan mesin yang tidak bisa diprediksi, kinerja karyawan, dan masih banyak lagi. : Parameter yang berlaku untuk semua perusahaan dalam sampel.

Fungsi produksi Cobb-Douglas dapat diubah dalam bentuk linear terhadap parameter dengan menggunakan tranformasi logaritma, yang dapat dinyatakan dalam persamaan berikut dengan parameter Terkecil.

,

, dan , maka dapat diduga menggunakan Metode Kuadrat

vii


ABSTRACT Yuliana Rossi Yurike Sari. 2015. Estimation Cobb-Douglas Production Function Model. A Paper. Mathematics Study Program, Departemen of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta. In economics, the Cobb-Douglas production functions model was widely used to represent the relationship between output and inputs. The Estimation of Cobb-Douglas production function was needed by a firm to contribute an excellent product. The Estimation of Cobb-Douglas production function was to estimate the physical output in a spesific time which its input were the number of labours and investment capital. Cobb-Douglas production function was non-linear to its parameter in : Where : : : : :

the numbers of physical output in a specific range of time the numbers of labor in a specific range of time the numbers of Input capital in a specific range of time parameter varies from firm to firm. Random disturbance representing factors such as weather, un-predictable variations in machine or labor performance, and so on. : parameters were assumed common to all firms in the sample.

Cobb-Douglas production function could be transform in to linear form using logarithm transformation such as : where

, , and , so, the parameter was estimated by using Ordinary Least Square

viii


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu memberikan hikmat dan menyertai penulis hingga penulis mampu menyelesaikan makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa proses makalah ini melibatkan banyak pihak. Ole karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan terimakasih kepada : 1. Y.G. Hartono, M.Sc., Ph.D., selaku Dosen Pembimbing Akademik dan Ketua Program Studi. 2. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.,

selaku Dosen Pembimbing

Akademik tahun 2009-2013. 3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang telah membimbing dengan sabar dan memberikan masukan dan koreksi yang sangat bermanfaat selama proses penyusunan makalah ini. 4. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis.

ix


5. Keluarga terkasih, Bapak Petrus Deddy Supardianto, Ibu Mariana Sri Amini, Richardo Surya Pratama, Odelo Ryou Gunawan, yang telah memberikan cinta, doa, dukungan dan motivasi. 6. Teman-teman matematika 2009 : Yohana Buragoran, Faida Fitria Fatma, Maria Etik Damayanti, Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, Sekar Ayu Anggraito, Fransiska Dwi Handryani, Dimas Adi Setiawan, Erlika Priyati, atas kebersamaan, keceriaan, cinta, doa dan dukungan. 7. Sahabat terkasih Diljerti Panggalo, Crescentia Yuni Wahyu dan Stefanus Denny Hariyanto atas kebersamaan dan dukungan. 8. Semua pihak yang telah mendukung, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah ini.

Oleh

karena

itu,

penulis

mengharapkan

kritik

dan

saran

demi

menyempurnakan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Yogyakarta, 15 Juli 2015 Penulis

x


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Yuliana Rossi Yurike Sari NIM

: 093114003

Memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma, karya ilmiah saya yang berjudul : Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada) demi pengembangan ilmu pengetahuan. Dengan demikian, saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola dalam

bentuk

pangkalan

data,

mendistribusikan

secara

terbatas,

dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu minta ijin dari saya maupun memberi royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 5 Agustus 2015 Yang menyatakan

(Yuliana Rossi Yurike Sari) xi


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL........................................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................

iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................

v

HALAMAN KEASLIAN KARYA .................................................................

vi

ABSTRAK ......................................................................................................

vii

ABSTRACT .................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ....................................................................................

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ..........................

xi

DAFTAR ISI ...................................................................................................

xii

BAB I PENDAHULUAN ...............................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah ......................................................................

1

B. Perumusan Masalah ............................................................................

5

C. Pembatasan Masalah ...........................................................................

5

D. Tujuan Penulisan .................................................................................

6

E. Manfaat Penulisan ...............................................................................

6

F. Metode Penulisan ................................................................................

6

xii


G. Sistematika Penulisan .........................................................................

6

BAB II LANDASAN TEORI .........................................................................

8

A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak ..............................................

8

B. Analisis Regresi ..................................................................................

15

1. Linearitas dalam Variabel .............................................................

15

2. Linearitas dalam Parameter ...........................................................

16

C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil ..........................

18

1. Metode Kuadrat Terkecil ..............................................................

18

2. Sifat-sifat Penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi Linear Berganda ............................................................................

25

D. Metode Regresi Linear Intrinsik .........................................................

27

1. Model Regresi Linear Intrinsik .....................................................

27

2. Penduga Model Regresi Linear .....................................................

30

E. Koefisien Determinasi

................................................................

31

F. Asumsi-asumsi dalam Regresi ............................................................

35

1. Multikolinearitas ...........................................................................

35

2. Heterokedastisitas .........................................................................

39

3. Autokorelasi ..................................................................................

42

BAB III MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS .......................

50

A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas ...............................................

50

B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas ............................

56

xiii


BAB IV APLIKASI ........................................................................................

65

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ..........................................................

75

A. Kesimpulan .........................................................................................

75

B. Saran ....................................................................................................

76

DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................

78

LAMPIRAN ....................................................................................................

80

xiv


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Manusia pada dasarnya adalah mahluk yang konsumtif. Hal itu dapat dilihat dari cara manusia memenuhi kebutuhannya, yang tidak hanya memprioritaskan kebutuhan primer, tetapi juga berusaha memenuhi kebutuhan sekunder dan tersier. Beberapa barang yang mungkin termasuk kebutuhan tersier pada beberapa tahun lalu, sudah menjadi prioritas primer atau sekunder pada masa kini. Salah satu contohnya adalah handphone. Kebutuhan konsumen yang meningkat dikarenakan pertumbuhan ekonomi, politik maupun budaya dan masih banyak lagi faktor yang mungkin terjadi di lingkungan masyarakat. Dalam budaya masyarakat, banyak orang yang dengan mudah membelanjakan uangnya berdasarkan keinginan atau promosi iklan semata. Hal ini sangat menguntungkan dan membuka peluang bagi para penyedia barang dan jasa untuk tidak hanya memenuhi

kebutuhan

manusia

tetapi

juga

mencari

keuntungan.

Karenanya, banyak perusahaan berlomba menawarkan beragam kebutuhan konsumen dengan harga terjangkau dan kualitas yang baik. Keadaan ini memaksa para produsen untuk berfikir keras tentang barang yang harus diproduksi dan faktor-faktor yang mempengaruhi proses produksi itu sendiri.


2

Secara umum, produksi didefinisikan sebagai proses kombinasi dan koordinasi faktor-faktor produksi (input) dalam pembuatan suatu barang atau jasa (output/produk) (Beattie,dkk;1994). Proses produksi adalah setiap kegiatan manusia untuk membuat atau menciptakan barang dan atau meningkatkan daya guna atau manfaat dari barang tertentu (Asri,dkk;1986). Dalam sebuah proses produksi, ada beberapa faktor produksi meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan mentah yang masuk, macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya proses pengerjaan termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang mengerjakan, jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil diproduksi dan keuntungan yang akhirnya dapat diambil. Fungsi produksi dapat didefinisikan sebagai relasi antara keluaran fisik (output) dan masukan fisik (input) atau faktor-faktor produksi. Menurut Beattie dalam bukunya yang berjudul The Economics of Production, fungsi produksi adalah sebuah deskripsi matematis atau kuantitatif dari berbagai macam kemungkinan produksi teknis yang dihadapi oleh suatu perusahaan. Menurut Griffin setidaknya ada 20 macam model fungsi produksi, yang salah satunya adalah fungsi produksi Cobb-Douglas: , Dengan keterangan sebagai berikut: 

: Total produksi, atau dapat disimbolkan dengan P(L,K),



: Banyaknya karyawan yang mengerjakan,




: Nilai modal yang dikeluarkan,



: Faktor Produksi yang lain,



,

dan

3

adalah parameter yang dapat bervariasi dari waktu ke

waktu atau dari perusahaan ke perusahaan. Permasalahan biaya produksi dan besarnya keuntungan merupakan bagian penting dalam sebuah bisnis. Analisa dan optimalisasi bahan baku yang terkait dengan biaya produksi harus dilakukan dengan cermat. Keberhasilan optimalisasi bahan baku dalam sebuah produksi akan menghemat biaya produksi dan meningkatkan keuntungan yang diperoleh. Dapat disimpulkan bahwa permasalahan jumlah produk yang dihasilkan serta pemaksimalan produksi pada jenis produk yang memberikan keuntungan, sangat berpengaruh pada besarnya keuntungan yang diperoleh. Tujuan utama kegiatan produksi dalam perusahaan adalah memaksimalkan proses penciptaan atau penambahan nilai. Secara sederhana nilai yang berhasil diciptakan atau ditambah melalui proses produksi akan mengalami perubahan nilai antara nilai masukan (input) dan nilai akhir (output). Dalam melakukan kegiatan produksi itu, setidaktidaknya

dalam

jangka

panjang,

perusahaan

harus

memperoleh

keuntungan. Oleh karena itu, diperlukan fungsi produksi supaya dengan fungsi produksi itu perusahaan dapat merencanakan hasil produksi dengan baik.


4

Dalam dunia ekonomi fungsi produksi Cobb-Douglas mewakili hubungan antara output dan input. Fungsi produksi pertama kali diusulkan oleh Knut Wicksell (1851 - 1926) dan diuji secara statistika oleh Charles Cobb dan Paul Douglas pada tahun 1928. Charles Cobb dan Paul Douglas memodelkan pertumbuhan ekonomi Amerika pada tahun 1899 – 1922 dengan menggunakan pandangan sederhana dari ekonomi di mana hasil produksi ditentukan oleh banyaknya tenaga kerja yang terlibat dan besarnya modal yang diinvestasikan. Meskipun ada banyak faktor lain yang mempengaruhi kinerja ekonomi, model mereka terbukti sangat akurat. Menurut Zellner et al, (1966) fungsi produksi Cobb-Douglas dibagi menjadi dua model: a. Model tradisional, dengan menetapkan asumsi dimana berdasarkan pada keuntungan minimum deterministik.

b. Model statistika, dengan model Cobb-Douglas tradisional

Dengan keterangan sebagai berikut: :Total produksi perusahaan ke-i, dengan f adalah selang waktu tertentu, :Banyaknya karyawan yang mengerjakan, :Nilai modal yang dikeluarkan, : Faktor produksi yang lain,


: Galat, yang mewakili faktor-faktor musim, variansi

5

kinerja

mesin dan pekerjaan manusia yang tidak dapat diprediksi, dan lain-lain. ,

dan


waktu atau dari perusahaan ke perusahaan. Tulisan ini bertujuan untuk menduga parameter ,

dan

dalam

fungsi produksi Cobb-Douglas stokastik dengan pendekatan statistika.

B. Perumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan dirumuskan sebagai berikut: 1. Apakah yang dimaksud dengan fungsi produksi Cobb-Douglas dan bagaimana landasan teorinya? 2. Bagaimana menduga model fungsi produksi Cobb-Douglas dan penerapannya pada sistem produksi?

C. Pembatasan Masalah Penulisan hanya membahas seputar pendugaan model fungsi produksi Cobb-Douglas stokastik dengan metode kuadrat terkecil, tidak termasuk penyajian hipotesis. Model Cobb-Douglas yang dimaksud bersifat linear intrinsik.


6

D. Tujuan Penulisan Menduga parameter

,

dan

mempelajari

topik

dengan menggunakan metode

kuadrat terkecil biasa.

E. Manfaat Penulisan Dengan

ini,

dapat

lebih

dipahami

pengaplikasian fungsi Cobb-Douglas dalam fungsi produksi.

F. Metode Penulisan Penulisan menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan dengan sistem produksi dan fungsi produksi Cobb-Douglas.

G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan


BAB II LANDASAN TEORI A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak B. Analisis Regresi C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil D. Metode Regresi Linear Intrinsik E. Koefisien Determinasi F. Asumsi-asumsi dalam Regresi BAB III MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas BAB IV APLIKASI BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan B. Saran

7


BAB II LANDASAN TEORI

A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak Pada Subbab ini akan dibahas konsep-konsep statistika yang akan digunakan untuk analisis regresi. Definisi 2.1 (Definisi Probabilitas Variabel Random Diskrit) Probabilitas Y bernilai y, P(Y = y) didefinisikan sebagai jumlahan probabilitas dari semua titik sampel di S yang bernilai y, dapat ditulis P(Y = y) sebagai p(y). Definisi 2.2 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y). Maka nilai harapan dari Y, E(Y) didefinisikan menjadi ∑

Teorema 2.3 Untuk setiap distribusi probabilitas diskrit: 1. 2. ∑ nol.

, dengan asumsi seluruh nilai y memiliki probabilitas tak


9

Teorema 2.4 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y) dan g(Y) adalah fungsi bilangan real dari Y. Maka nilai harapan dari g(Y) adalah ∑

Bukti: Teorema ini akan dibuktikan dengan cara mengambil variabel acak Y berhingga dengan nilai

. Karena g(y) mungkin bukanlah

fungsi satu-satu, andaikan g(Y) bernilai (dengan m ≤ n). Mengikuti Definisi 2.1 variabel acak g(Y) untuk setiap i=1,2, ... ,m dapat ditulis ∑ (

)

Maka, dengan menggunakan Definisi 2.2 persamaan dapat ditulis menjadi ∑

∑

,

∑ (

∑

)

∑ (

-

)

∑ ( ) ( )

( )


10

Teorema 2.5 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y) dan c adalah konstanta. Maka

.

Bukti : Mengikuti fungsi

karena Teorema 2.4 ∑

Karena ∑

∑

(Teorema 2.3) maka

.

Teorema 2.6 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y), g(Y) adalah fungsi dari Y, dan c adalah konstanta. Maka . Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4 ∑

∑

Teorema 2.7 Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y) dan

adalah k fungsi dari Y. Maka

Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4


11

∑

∑

∑

∑

Definisi 2.8 Misal

adalah fungsi variabel random diskrit ,

, memiliki fungsi probabilitas bersama nilai harapan dari

adalah ∑

Jika

maka

∑∑

adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas

bersama

, maka

∫

∫ ∫

Teorema 2.9 Misal g

adalah fungsi variabel acak

bilangan konsta. maka . Bukti dengan menggunakan Definisi 2.8 ∑∑

∑

dan c adalah


12

Teorema 2.10 Misal

adalah variabel acak dan adalah fungsi dari

. Maka

Bukti :

∑(

)

∑

∑

∑

Definisi 2.11 Jika

adalah variabel random dengan rata-rata

variansi dari variabel random

Standar deviasi dari

, maka

adalah

adalah akar kuadrat dari

.

Definisi 2.12 Jika maka covariansi dari

adalah variabel random dengan rata-rata adalah )=E

,


13

Teorema 2.13 Jika

adalah variabel random dengan rata-rata

,

maka )= Bukti: )= E = E( Dengan menggunakan Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 didapat persamaan )= Karena

=

dan

)

=

maka

= = =

Teorema 2.14 Misal

dan dan ( )

dengan

∑ untuk setiap konstanta

adalah variabel acak diskrit didefinisikan dan dan

∑ . Maka:

∑

a.

∑

b.

∑∑

Dimana ∑ ∑ c. Bukti:

,

adalah semua pasangan (i,j) dengan i<j. ∑

∑


14

Teorema terdiri atas tiga bagian, dimana (a) secara langsung mengikuti Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 . untuk membuktikan (b), kita menggunakan Definisi 2.11

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

(

)

Dengan menggunakan definisi variansi dan kovariansi didapat persamaan ∑

Karena

∑∑

=

(

)

, maka

∑

∑∑

(

)

Bukti untuk (c) akan di tunjukkan dengan cara serupa. )= E {

}

= { ∑

∑

=E{ ∑

[∑

]}

∑

= E [∑ =∑

∑

=∑

∑

∑

(∑

] [

(

)]

)}


Dari bukti di atas dapat disimpulkan bahwa

=

15

, ini

berarti (b) adalah kasus khusus dari (c).

B. Analisis Regresi Analisis Regresi mempelajari hubungan variabel tak bebas dengan satu atau lebih variabel lain yang disebut variabel penjelas (explanatory variables), dengan maksud menduga atau meramalkan nilai rata-rata hitung (mean) atau rata-rata (populasi) variabel tak bebas, dipandang dari segi nilai yang diketahui atau tetap (dalam pengambilan sampel berulang) variabel penjelas.

Model Regresi Linear 1. Linearitas dalam Variabel Suatu fungsi

dikatakan linear dalam

hanya dengan pangkat 1 (jadi, faktor seperti

bila

tampak

, √ , dan sebagainya

tidak termasuk, demikian pula jika perkalian atau pembagian dengan variabel lain seperti,

atau ⁄ , dimana

adalah variabel lain, tidak

termasuk fungsi linear) dengan contoh model seperti berikut:


16

2. Linearitas dalam Parameter Suatu fungsi dikatakan linear dalam parameter bila

nampak

hanya dengan pangkat 1 dan tidak dikalikan atau dibagi dengan parameter lain (misalnya,

,

⁄ dan seterusnya).

Definisi 2.15 Model linear secara statistik merelasikan respon acak himpunan variabel bebas

Dengan

dalam bentuk persamaan

adalah parameter yang tidak diketahui,

variabel acak (

dengan

adalah

juga biasa disebut error atau galat) dan variabel

diasumsikan nilai yang diketahui. Dengan asumsi bahwa E( )=0, maka

Mempertimbangkan bentuk persamaan dari model linear di atas, nilai Y diharapkan sama dengan nilai (fungsi dari variabel bebas diambil kesimpulan,

), ditambah galat acak . Dapat

menyatakan ketidakmampuan untuk menetapkan

model tepat secara alami. Dalam percobaan yang diulang, Y berubah-ubah di sekitar E(Y) secara acak karena kegagalan memasukkan banyak variabel yang mungkin mempengaruhi Y ke dalam model.


17

Dari Definisi 2.15 diketahui model linear

Bila dilakukan n pengamatan,

pada Y, maka persamaan untuk

dapat ditulis sebagai berikut (2.1)

adalah pengamatan ke-i dari variabel bebas ke-j, i = 1, 2, ... , n dan j = 1, 2, ... , k. Model dapat ditulis dengan notasi matriks dengan

.

* +

*

[

+

]

* +

Dengan demikian, model (2.1) dapat ditulis dengan notasi matriks sebagai berikut .

(2.2)

Model regresi linear yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut model regresi linear berganda.


18

C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil 1. Metode Kuadrat Terkecil Prosedur untuk menduga parmeter dari model linear sederhana dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil dapat diilustrasikan

secara sederhana dengan garis lurus yang seharusnya melewati himpunan titik- titik data. Misalkan dengan model

dipetakan menjadi himpunan titik data yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1. (Variabel bebas x bisa saja

atau

⁄

atau

, dan

juga untuk setiap variabel bebas w yang lain.) Dengan demikian di dalilkan bahwa

dengan

yang di dalamnya memiliki distribusi probabilitas dan

E( )=0. Jika ̂ dan ̂ adalah penduga dari parameter

, maka

jelas ̂

̂

̂ adalah penduga dari E(Y).

Gambar 2.1

Prosedur metode kuadrat terkecil untuk garis yang melewati himpunan n titik data adalah serupa dengan metode membuat garis yang cocok dengan tebaran titik-titik. Itulah sebabnya, diharapkan


19

secara umum, selisih antara nilai yang diamati dan titik yang bersesuaian pada garis akan “kecil”. Cara yang cocok untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan meminimumkan jumlah ̂

kuadrat dari selisih vertikal

atau galat (lihat selisih yang

ditandai oleh garis vertikal pada Gambar 2.1). Idealnya garis lurus mendekati himpunan titik-titik data. Dengan demikian (2.3) dapat diduga dengan ̂

̂

̂

(2.4)

̂ adalah nilai prediksi y ke i (pada x =

). Maka selisih (galat) dari

nilai pengamatan

̂ dan jumlah kuadrat dari

adalah selisih

galat yang diminimumkan adalah ∑

∑

̂

̂

(2.5)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.4) didapatkan persamaan berikut ∑

̂

̂

∑

̂

(2.6)

Tujuan metode kuadrat terkecil adalah menentukan penduga dari

yaitu ̂ dan ̂ sehingga meminimumkan jumlah

kuadrat galat

yang diduga dengan ̂ .

Dengan mnggunakan proses pendiferensialan ∑̂

,∑

(

̂

̂

) -

(2.7)


̂

(∑

̂

∑ ̂

∑

̂∑

20

)

̂∑

̂∑

(2.8)

Dan ̂

̂∑

∑

̅ ∑̂

̂ ̅

(2.9) ̂

{∑

(∑

}

(2.10)

̂∑

̂∑

∑ ̂∑

∑

̂

̂∑

)

̂∑

̂∑

(2.11)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.9), didapatkan ∑

̂∑

∑

(̅

∑

( ∑

̂∑

̂ ̅) ∑

̂∑

̂ ∑

)∑

Setelah disederhanakan didapatkan penyelesaian

̂∑


∑

̂ Bila ∑ ∑ ̅

̅ ∑

̅

21

̅ ̅

̅ disimbolkan dengan Sxy dan

disimbolkan dengan Sxx, maka ̂

.

(2.12)

Dalam menduga

, untuk model regresi linear

berganda, mengikuti persamaan (2.2) maka dapat ditulis notasi matriksnya sebagai berikut:

* +

*

+[

]

* +

Dengan menggunakan persamaan (2.2) diketahui bahwa

∑ Sehingga

∑

∑(

Dengan meminimalkan nilai ∑

∑

terhadap

)

,

...

. Misal ̂ ̂

̂

adalah penduga kuadrat terkecil. Penduga kuadrat terkecil tersebut harus memenuhi ∑

dan

∑

(

∑

)

(2.13)


∑

∑

∑

(

)

(2.14)

Penyederhanaan persamaan (2.13) dan (2.14) dan mensubstitusikan

̂ ̂

̂

Sebagai solusi, menghasilkan ̂

̂∑

̂∑

̂∑

̂∑

̂∑

̂∑

̂∑

̂∑

∑

̂∑

̂∑

∑

̂ ∑

∑

(2.15) Persamaan (2.15) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut ∑

∑ ∑ [∑

∑ ∑

Ini berarti

∑ ∑

∑ ∑

∑

̂ ̂ ] [̂]

∑ ∑ [∑

̂

Dengan

[ ],

, dan

[ ]

[

]

[ ]

22

]


23

Ditemukanlah penyelesaian untuk mencari ̂ ̂

.

(2.16)

.Contoh 2.1 Berdasarkan data berikut, akan ditentukan penduga

dan

dengan model

Solusi

[ ]

[

[

]

]

[ [

[

]

]

[

]

[ ] Langkah mencari

: ⁄

(

|

)

(

|

)

]


24

⁄ (

|

⁄

)

⁄ (

|

⁄

) ⁄

⁄ ⁄ (

⁄

|

⁄

) ⁄

⁄ Dan didapatkan ⁄

⁄

[

⁄

] ⁄

⁄ Sehingga didapatkan ̂ ⁄ ̂

[

⁄ ⁄

̂= adalah

, ̂= ̂

⁄

⁄ ][ ⁄ dan ̂=

]

⁄ [ ⁄

[

]

]

, sehingga penduga modelnya


25

2. Sifat-sifat Penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi Linear Berganda Dalam notasi matriks, variansi dan kovariansi menjadi elemenelemen dalam matriks Var-Cov. Definisi 2.16 Matriks variansi-kovariansi dari ̂ dapat ditulis sebagai berikut (̂)

,[ ̂

][ ̂

] -

Ekivalen

(̂) [

Asumsikan dan Var( =

̂ ̂ ̂

̂ ̂ ̂

̂ ̂ ̂ ̂

̂ ̂

̂ ̂

̂

]

variabel random bebas dengan E( =0

dan asumsikan pula selisih variabel random y dan , k = 1, 2, ..., n

berdistribusi disekitar nol dengan variansi tidak bergantung pada x. Perhatikan bahwa Var (y) = Var ( ) = 1. E ( ̂ ) =

,

bersifat konstan.

i = 1, 2, ..., k.

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.2) dan (2.16) kita mendapatkan persamaan baru, yaitu : ̂


26

̂

(2.17)

̂

(2.18)

Dengan menggunakan Teorema 2.7 dan persamaan (2.17) didapat persamaan seperti berikut (̂)

(2.19)

(̂)

(2.20)

2. Var ( ̂ ) =

,

matriks Dengan

adalah elemen diagonal dari .

menggunakan

definisi

2.17

dan

mensubtitusi

persamaan (2.18) didapat persamaan baru (̂)

,[ ̂

][ ̂

{

Karena

] }

, maka

(2.21)


3. Cov ( ̂ ̂ =

,

dari matriks

27

adalah elemen di baris i dan kolom j , yang telah dibuktikan pada sifat nomer

dua. 4. Penduga tak bias dari ∑

̂

̂

∑

adalah

̂

dengan

. n adalah ukuran sampel dan k

adalah banyaknya variabel. Dengan menguraikan persamaan (2.14) dan (2.15) didapatkan ̂

̂ ̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂ ̂

̂ Sehingga penduga untuk ∑

adalah ̂

̂

D. Metode Regresi Linear Intrinsik 1. Model Regresi Linear Intrinsik Model regresi nonlinear membutuhkan transformasi linear untuk berubah menjadi model linear, karena ketika metode kuadrat terkecil diaplikasikan pada model regresi linear, persamaan normal nonlinear yang dihasilkan sering kali sulit untuk di selesaikan dengan menggunakan pendugaan meminimumkan jumlahan galat kuadrat secara langsung dengan prosedur iterasi. Karenanya, kesimpulan teori


28

normal yang digunakan pada model regresi linear tidak dapat diaplikasikan dengan tepat pada model regresi nonlinear. Namun, seringkali hanya nilai harapan yang diperhatikan ketika akan dilakukan tranformasi. Sebagai contoh, perhatikan model berikut

(2.22) Pada model (2.22), faktor galat

muncul dalam bentuk

penjumlahan sehingga transformasi logaritma tidak akan menghasilkan model regresi linear. Karena nilai harapannya adalah , nilai harapan tersebut dapat dengan mudah dilinearkan dengan cara membuat logaritma dari fungsi tersebut

Jadi fungsi tersebut dapat ditulis ulang menjadi model regresi linear dengan tetap mempertahankan , sebagai berikut

(2.23) Dengan menduga parameter

dan dan

digunakan

regresi linear untuk

dalam persamaan yang baru.

Secara umum, penduga metode kuadrat terkecil dari parameter persamaan (2.23) tidak akan ekivalen dengan penduga parameter nonlinear pada model asli (persamaan (2.22)). Karena model nonlinear kuadrat terkecil yang asli mengimplikasikan minimalisasi jumlah


kuadrat galat pada

29

, dimana pada model yang ditransformasi kita

meminimalkan jumlah kuadrat galat pada logaritma dari . Perhatikan pada model nonlinear asli pada persamaan (2.22) mempunyai struktur galat yang bersifat penjumlahan, sehingga logaritma dari persamaan (2.22) tidak menghasilkan persamaan (2.23). Namun, jika struktur galat bersifat perkalian maka

(2.24) dan mengambil langkah ini tepat karena

(2.25) Jika galat yang baru adalah

berdistribusi normal dengan

variansi konstan, maka prosedur standar penarikan kesimpulan model regresi linear dapat diaplikasikan. Suatu model regresi nonlinear yang dapat ditransformasikan menjadi model regresi linear yang ekivalen disebut linear intrinsik. Beberapa model terlihat nonlinear dalam parameter tetapi yang sebenarnya adalah linear intrinsik karena dengan transformasi yang cocok, model regresi dapat diubah ke dalam bentuk linear terhadap parameter. Tetapi jika model tidak dapat dilinearisasikan terhadap parameter maka model disebut model regresi intrinsik nonlinear.


30

2. Pendugaan Model Regresi Linear Pendugaan model regresi linear menggunakan Metode Kuadrat Terkecil, seperti yang telah dibahas dalam subbab sebelumnya. Fungsi produksi Cobb Douglas merupakan salah satu contoh model linear intrinsik, dengan bentuk persamaan

Perhatikan bahwa model tersebut tidak linear dalam parameter tetapi model tersebut dapat dirubah dalam persamaan linear dengan transformasi

Yang dapat juga ditulis

Dengan

,

=

,

=

,

=

. Sehingga

model linear dalam parameter. Dalam menduga

, untuk model regresi linear

berganda, mengikuti persamaan (2.2) maka dapat ditulis notasi matriksnya sebagai berikut:

* +

*

+*

+

[

Dengan menggunakan persamaan (2.2) diketahui bahwa ̂ dan ∑

̂

̂ ̂.

]


Dengan

demikian

penyelesaian

kuadrat

terkecil

31

untuk

adalah ̂ yang dapat diperoleh melalui tahap pendiferensialkan ̂ ̂terhadap ̂ , dan menyamakan dengan nol. Sehingga ditemukanlah penyelesaian untuk mencari ̂ , seperti persamaan (2.16). ̂

.

E. Koefisien Determinasi Koefisien determinasi (

) adalah koefisien yang menjelaskan

besarnya presentase variansi Y yang dapat dijelaskan dengan model. Koefisien determinasi dapat digunakan untuk menjelaskan kebaikan model. Diberikan diagram Venn untuk memberikan gambaran mengenai konsep koefisien determinasi.

Gambar 2.2 Pada diagram venn di atas, lingkaran Y mewakili variansi dalam variabel bebas Y dan lingkaran X mewakili variansi dalam variabel penjelas X. Irisan menunjukan bagian variansi yang dapat dijelaskan. Pada diagram Venn (a) adalah kondisi awal variansi. Diagram Venn (b)


32

menunjukan adanya irisan antara kedua lingkaran X dan Y tersebut. Hal ini menunjukan bahwa sebagian variansi dari Y dapat dijelaskan oleh variansi X. Semakin besar irisan yang ditunjukan pada diagram Venn (c), (d), (e) semakin besar pula variansi Y yang dijelaskan oleh variansi X. Ketika lingkaran Y dan lingkaran X itu berhimpit seperti tampak pada diagram Venn (f), hal ini menunjukan bahwa 100 persen dari variansi Y dapat dijelaskan oleh variansi X.

semata-mata merupakan ukuran dari irisan

antara variansi Y dan variansi X. Pada gambar diagram Venn menunjukan bahwa irisan antara variansi Y dan variansi X meningkat, ini berarti meningkat pula proporsi variansi Y yang dapat dijelaskan oleh X. Ketika lingkaran Y dan lingkaran X berhimpit, dapat dikatakan bahwa nilai , karena 100 persen dari variansi Y dapat dijelaskan oleh X. Sebaliknya, ketika lingkaran Y dan lingkaran X tidak berhimpit dan tidak beririsan, dapat dikatakan

, artinya variansi Y tidak dapat dijelaskan

oleh X. Dengan demikian, untuk menghitung

dapat menggunakan

persamaan (2.3) dan (2.4) sehingga dapat ditulis ̂

̂

Sebelumnya, akan ditunjukkan bahwa ∑ ̂ ̂ bahwa ̂ ∑ ̂̂

̂ , ∑̂ ̂ ̂∑

̂

(2.26) dan diberikan


̂∑

̂

̂∑

̂

̂∑

̂∑

̂̂ ∑ ̂ ∑

33

̂

̂ ∑ ̂ ∑ (2.27)

Diketahui bahwa ̅

̂

̂̅

(2.28)

Selanjutnya dengan model (2.29) didapatkan persamaan baru melalui cara mengurangkan persamaan (2.29) dan (2.28) ̂

̅

Sehingga

̅

dapat diduga dengan ̂

̂

Dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan persamaan (2.26), maka didapatkan persamaan sebagai berikut ∑ ∑

∑ ̂

̂

∑ ̂

̂

∑̂

∑ ̂̂

∑̂


∑(̂ ) ∑̂

∑ ̂̂

34

∑̂

∑̂

(2.30)

Berbagai jumlah kuadrat yang muncul dalam persamaan (2.30) dapat digambarkan sebagai berikut: 1. ∑ 2.

∑

̅

yang disebut sebagai jumlah kuadrat total (TSS)

∑ ̂ yang disebut sebagai jumlah kuadrat dari regresi atau jumlah kuadrat yang dapat dijelaskan oleh regresi (ESS) dan

3. ∑ ̂ yang disebut jumlah kuadrat galat (RSS) Dengan kata lain, persamaaan (2.30) dapat ditulis ulang menjadi TSS = ESS + RSS

(2.31)

Definisi 2.17 Koefisien determinasi didefinisikan sebagai: (2.32) Dalam kasus dua variabel, ̂ ∑ ∑ Dalam kasus tiga variabel, ̂∑

̂∑ ∑

Dengan menggeneralisasikan, kita mendapatkan untuk kasus k-variabel ̂∑

̂∑

̂∑ ∑


∑

∑

̅

∑

∑̅

∑

̅

35

̅

̂∑

̂∑

Dalam notasi matriks

̂∑

̂

̅

dapat ditulis menjadi ̂

̅ ̅

F. Asumsi-asumsi dalam Regresi 1. Multikolinearitas Istilah multikolinearitas mula-mula ditemukan oleh Ragnar Frisch. Multikolinearitas berarti adanya hubungan linear yang sempurna atau pasti, diantara beberapa atau semua variabel yang menjelaskan dari model regresi. Untuk regresi k-variabel, meliputi variabel yang menjelaskan

(dengan

=1 untuk semua

pengamatan untuk memungkinkan adanya unsur intersep), suatu hubungan linear yang pasti dikatakan ada apabila kondisi berikut dipenuhi: (2.33) Dengan

adalah konstanta sedemikian rupa

sehingga tidak semuanya secara simultan sama dengan nol.


36

Tetapi, untuk saat ini istilah multikolinearitas digunakan dalam pengertian yang lebih luas untuk memasukkan kasus multikolinearitas sempurna, seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (2.33) maupun kasus di mana variabel X berkolerasi tetapi tidak secara sempurna, sebagai berikut (2.34) dengan

adalah kesalahan unsur stokastik. Perbedaan multikolinearitas sempurna dan kurang sempurna

bisa dilihat dalam contoh berikut, asumsikan bahwa

, maka

persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi (2.35) yang menunjukan bagaimana lain atau bagaimana

berhubungan linear dengan variabel

dapat diperoleh dari kombinasi linear variabel

yang lain. Dalam keadaan ini, keefisien korelasi antara variabel dan kombinasi linear di sisi kanan dari persamaan (2.35) akan menjadi sama dengan satu. Serupa dengan persamaan (2.35) , jika

, maka

persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi (2.36) yang menunjukan bahwa pasti dari stokastik

tidak merupakan kombinasi linear yang

lainnya karena juga ditentukan oleh unsur kesalahan .


37

Sebagai contoh, perhatikan data hipotetis berikut ini:

10

50

52

15

75

75

18

90

97

24

120

129

30

150

152

Jelas bahwa sempurna antara diciptakan dari

. Ini berarti terdapat kolinearitas dan

karena koefisien

. Variabel

dengan hanya menambahkan bilangan random 2, 0,

7, 9, 2. Sekarang tidak ada lagi multikolinearitas sempurna antara dan

. Model regresi mengasumsikan tidak adanya multikolinearitas

diantara variabel X, karena jika multikolinearitas dalam arti persamaan (2.33), koefisien regresi variabel persamaan (2.34) tidak tertentu dan kesalahannya tidak terhingga, dan jika multikolinearitas tidak sempurna seperti dalam persamaan (2.34) , koefisien regresi meskipun dapat ditentukan memiliki kesalahan standar yang besar (dibandingkan dengan koefisien itu sendiri), yang berarti koefisien tidak dapat diduga dengan ketepatan yang tinggi. Ada

beberapa

metode

multikolinearitas. Diantaranya:

untuk

mendeteksi

adanya


1. Kolinearitas seringkali diduga ketika

38

tinggi dan ketika

korelasi derajat nol juga tinggi, tetapi tidak satu pun atau sangat sedikit koefisien regresi parsial yang secara individual penting secara statistik atas dasar pengujian t yang konvesional. Jika tinggi, ini akan berarti bahwa uji F dari prosedur analisis varians dalam sebagian kasus akan menolak hipotesis nol bahwa nilai koefisien kemiringan parsial secara simultan adalah nol, meskipun uji t sebaliknya. 2. Korelasi derajat nol yang tinggi merupakan kondisi yang cukup tetapi tidak perlu adanya kolinearitas karena hal ini dapat terjadi meskipun melalui korelasi derajat nol atau sederhana relatif rendah. 3. Menghitung Variance Inflation Factor (VIF) pada model regresi. VIF menunjukan bagaimana varian dari penduga meningkat karena kehadiran multikolinearitas. Berikut langkah-langkahnya: a. Lakukan regresi

dengan

koefisien determinasi (

yang lain dan hitunglah

).

b. Hitung VIF ̂ c. Bila VIF

10, maka ada multikolinearitas.

Salah satu cara untuk menanggulangi adanya multikolinearitas adalah dengan menghilangkan salah satu variabel yang berkolerasi. Namun demikian multikolineritas tidak dapat dihilangkan pada kasus-


kasus khusus,

39

dalam kasus kali ini multikolinearitas tidak dapat

dihilangkan agar tidak bertentangan dengan hukum ekonomi. Namun demikian,

tetap

harus

disertai

keterangan

seberapa

besar

multikolinearitas yang terjadi dalam data. Jika ada variabel dengan VIF

10 maka variabel dapat dihilangkan dari model regresi.

2. Heterokedastisitas Asumsi berikut dapat disebut dengan homoskedastisitas (variansi yang sama) dengan menggunakan lambang, (2.37) Diberikan gambar model regresi dua variabel yang menunjukan homoskedastisitas

Gambar 2.3

Variansi bersyarat dari tergantung pada nilai

(yang sama dari variansi

),

tertentu, tetap sama. Tidak peduli nilai yang

diambil untuk variabel X.


40

Diberikan gambar model regresi dua variabel yang menunjukan heterokedastisitas

Gambar 2.4

Variansi bersyarat dari (variansi

meningkat dengan meningkatnya X

tidak sama).

Pada umumnya, heterokedastisitas sering terjadi pada modelmodel yang menggunakan data cross-sectional dari pada data runtun waktu, dimana galat yang bersifat heterokedastisitas berubah seiring perubahan ke-i. Konsekuensi dari keberadaan heterokedastisitas adalah pendugaan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga yang bias untuk nilai variansi galat dan dengan demikian untuk variansi koefisien regresi. Cara untuk mendeteksi adanya heterokedastisitas adalah dengan menggunakan uji Koenker–Bassett (KB). Berikut langkahlangkahnya : 1. Diketahui model awal 2. Dapatkan nilai ̂ yang didapat dari meregresikan data

dan


3. Hitung nilai ̂

dan ̂

41

kemudian regresikan dengan model

(̂)

̂

4. Bila model ̂ adalah double log, maka nilai ̂ dengan

diregresikan

̂

5. Uji Koenker–Bassett (KB) a. Hipotesis : tidak ada masalah heterokedastisitas : ada masalah heterokedastisitas b. Tingkat signifikansi c. Kriteria pengujian diterima bila ditolak bila

(

) (

( ) atau

) (

)

d. Menghitung t √∑

̂ ̂ Dengan ̂

√∑ ̂

6. Membuat keputusan. Masalah heterokedastisitas terkait dengan variansi dan galat yang tidak konstan. Metode transformasi logaritma sering digunakan untuk mengatasi masalah heterokedastisitas.


42

3. Autokorelasi Istilah Autokorelasi dapat didefinisikan sebagai “korelasi antara anggota serangkaian observasi yang diurutkan menurut waktu (seperti dalam data urutan waktu) atau ruang (seperti dalam data crosssectional)”. Konsekuensi dari keberadaan Autokorelasi adalah metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga yang terlalu rendah untuk nilai variasi

dan karenanya menghasilkan penduga yang terlalu

tinggi untuk

. Bahkan ketika penduga nilai variasi

tidak terlalu

rendah, maka penduga dari nilai variasi dari koefisien regresi mungkin akan terlalu rendah dan karenanya uji signifikansi dari uji t dan uji F tidak valid lagi atau menghasilkan kesimpulan yang menyesatkan. Salah satu cara mendeteksi adanya Autokorelasi menggunakan uji Durbin-Watson , dengan rumus ∑ ∑ Dengan :

nilai galat yang diperoleh dari proses pendugaan metode kuadrat terkecil. :

nilai galat yang mundur sebanyak satu satuan waktu. Setelah mendapatkan nilai d, langkah selanjutnya adalah

membandingkan nilai d dengan nilai-nilai kritis dari dL dan dU dari tabel statistik Durbin-Watson (tabel dilampirkan). Kriteria pengujian: 1. Jika d

4dL, maka ada autokorelasi positif


2. Jika d

43

4dL, maka ada autokorelasi negatif

3. Jika dU d 4-dU, maka tidak ada autokorelasi 4. Jika dL ≤ d ≤ dU atau 4-dU ≤ d ≤ 4-dL, maka pengujian tidak meyakinkan

Gambar 2.5 Masalah autokorelasi dapat ditangani dengan cara melakukan transformasi pembedaan pertama pada data, yang dapat ditulis sebagai berikut :

Contoh 2.2 Diketahui data terhadap pengeluaran konsumsi (Y), pendapatan( dan informasi kekayaan (

)

). Akan diuji apakah data mengandung

multikolinearitas, heterokedastisitas dan Autokorelasi. Dengan model


Y

X2

X3

70 65 90 95 110 115 120 140 155 150

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

810 1009 1273 1425 1633 1876 2052 2201 2435 2686

44

Dengan rumus yang telah didapatkan dari persamaan (2.16) maka ̂ [

. ]

[

]

[

̂

]

[

Dengan

] ̂

̂

regresinya adalah ̂ Dengan koefisien determinasi ̅

̂ ̅

̂

dan

model


Uji Asumsi: 1. Multikolinearitas a. Regresikan model

dan hitung ̂

*

+ [

* ̂

] +

*

+* ̂

+

*

+

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Hitung VIF ̂

Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10 (seperti yang telah dijelaskan di halaman 38).

45


b. Regresikan model

46

dan hitung ̂

*

+ *

+

* ̂

+

*

+* ̂

+

*

+

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Hitung VIF ̂

Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10 2. Heterokedastisitas a. Hitung nilai ̂ dengan rumus ̂ b. Hitung nilai ̂ ̂

dan ̂

(̂)

̂ kemudian regresikan dengan model


̂

̂

[

]

[

]

̂ + *

̂

*

*

]

̂

*

̂

[

+ +

+

c. Uji Koenker–Bassett (KB) 1. Hipotesis : tidak ada masalah heterokedastisitas : ada masalah heterokedastisitas 2. Tingkat signifikansi =0.05 3. Kriteria pengujian diterima bila ditolak bila

atau

4. Menghitung t , Sebelumnya terlebih dahulu akan dihitung ̂

√∑ ̂

47


48

√

̂ ̂

(̂

)√∑ ̂ √

-0.0685 diterima karena

. ini berarti data

tidak mengandung heterokedastisitas.

3. Autokorelasi ∑

̂ ∑

̂ ̂

2.8906

1,6413 0,6972

3,3028 2,3587

Tidak dapat disimpulkan bahwa data mengandung autokorelasi atau tidak.


49

Dapat ditarik kesimpulan bahwa data terhadap pengeluaran konsumsi (Y), pendapatan(

) dan informasi kekayaan (

), dengan model

̂ mengandung multikolinearitas dan tidak dapat disimpulkan apakah data mengandung autokorelasi atau tidak.


BAB III MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS

A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas Regresi Cobb-Douglas diperkenalkan pertama kali pada tahun 1927, menggunakan kumpulan data runtun waktu dari perusahaan manufaktur Amerika sektor tenaga kerja, modal, dan output fisik, dengan tujuan memahami hubungan antara level output dan kuantitas input pada proses produksi. Pada musim semi tahun 1927, saat memberi kuliah di Amherst, Paul Douglas menggambar grafik dalam skala logaritma tiga variabel untuk data manufaktur Amerika pada tahun 1899-1922: indeks total modal yang dikoreksi berdasarkan perubahan dalam biaya barang (C), indeks total banyaknya penerima gaji (L), dan indeks dari hasil produksi fisik (P). Douglas mencatat bahwa indeks dari produksi terletak diantara modal dan tenaga kerja yang berada sekitar sepertiga sampai seperempat diantara batas bawah indeks dari tenaga kerja dan batas atas indeks dari modal. Setelah berkonsultasi dengan temannya Charles W. Cobb, seorang matematikawan, mereka memutuskan, berdasarkan pengamatan ini, kontribusi relatif masing-masing faktor produksi, tenaga kerja dan modal, terhadap hasil produksi. Bentuk Euler fungsi homogen sederhana dengan derajat satu dipilih untuk menjelaskan persamaan ini.


51

Dalam dunia ekonomi fungsi produksi Cobb-Douglas mewakili hubungan antara output dan input. Fungsi produksi pertama kali diusulkan oleh Knut Wicksell (1851 - 1926) dan diuji secara statistika oleh Charles Cobb dan Paul Douglas pada tahun 1928. Charles Cobb dan Paul Douglas memodelkan pertumbuhan ekonomi Amerika pada tahun 1899 – 1922 dengan menggunakan pandangan sederhana dari ekonomi di mana hasil produksi ditentukan oleh banyaknya tenaga kerja yang terlibat dan besarnya modal yang diinvestasikan. Meskipun ada banyak faktor lain yang mempengaruhi kinerja ekonomi, model mereka terbukti sangat akurat. Dalam sebuah proses produksi, terdapat beberapa faktor produksi yang meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan mentah yang masuk, macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya proses pengerjaan termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang mengerjakan, jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil diproduksi dan keuntungan yang diperoleh. Fungsi produksi didefinisikan sebagai relasi antara keluaran fisik (output) dan masukan fisik (input) atau faktor-faktor produksi. Menurut Beattie (1994)

dalam bukunya The Economics of Production, fungsi

produksi adalah sebuah deskripsi matematis atau kuantitatif dari berbagai macam kemungkinan produksi teknis yang dihadapi oleh suatu perusahaan.


52

Menurut Griffin setidaknya ada 20 macam model fungsi produksi, yang salah satunya adalah fungsi produksi Cobb-Douglas: atau dengan

atau

, (Chiang,1984).

Dengan keterangan sebagai berikut: 

: Total produksi, atau dapat disimbolkan dengan P(L,K),



: Banyaknya karyawan yang mengerjakan,



: Nilai modal yang dikeluarkan,



: Faktor Produksi yang lain,



,

dan


waktu atau dari perusahaan ke perusahaan. Secara umum, Beattie mendefinisikan produksi sebagai proses kombinasi dan koordinasi faktor-faktor produksi (input) dalam pembuatan suatu barang atau jasa (output/produk). Sehingga, total produksi merupakan banyaknya output barang atau jasa yang berhasil di produksi. Menurut William S. Vickrey (1964) dalam bukunya yang berjudul Microstatics, Tenaga kerja terdiri atas jasa dari individu, yang digunakan sebagai sumber langsung dari kepuasan atau tidakpuasan pada individu. Vickrey mendefinisikan modal sebagai kategori dari barang fisik yang mungkin dibentuk, dan akan membedakan dari istilah „modal‟ yang hanya digunakan untuk menunjukkan kuantitas dari dana, atau kredit, atau bakat untuk mengelola barang-barang dalam pasar. Ide pokok dalam konsep modal adalah banyaknya atau kumpulan alat yang digunakan


53

dalam produksi: bangunan, mesin, perbaikan yang permanen, inventaris barang, dan sejenisnya. Tan Bao Hong (2008) dalam jurnalnya yang berjudul CobbDouglas Production Function menyatakan bentuk fungsi Cobb-Douglas dalam rumusan berikut

Dengan keterangan sebagai berikut: : Total produksi (nilai semua barang-barang yang diproduksi dalam setahun), : Input tenaga kerja (banyaknya orang yang bekerja perjam dalam setahun), : Input modal (harga dari semua mesin, perlengkapan, dan bangunan), : Total faktor produksivitas, dan

adalah output dari tenaga kerja dan modal. Nilainya konstan

bergantung oleh teknologi yang tersedia. Marc Nerlove (1965) dalam bukunya yang berjudul Estimation and Identification of Cobb-Douglas Production Functions mempertimbangkan perusahaan individual dengan tipe industri yang ditentukan. Misalkan banyaknya satuan fisik produk perusahaan selama jangka waktu tertentu, dan

dan

adalah banyaknya satuan input tenaga kerja dan modal,

selama periode waktu yang sama. Pada waktu tertentu (t) , dan pada


54

perusahaan tertentu (f), andaikan output berelasi dengan input-input mengikuti fungsi produksi berikut : (3.1) Dengan

dan

berturut-turutadalah parameter yang mungkin

bervariasi dari waktu ke waktu atau dari perusahaan ke perusahaan. Dalam konteks bagian ini, perhatian dibatasi untuk satu perusahaan pada suatu waktu tertentu; maka subkrip t dan f akan dihilangkan. Sehingga persamaan (3.1) dapat ditulis menjadi

(3.2) Dengan ,

merupakan notasi dari


dan

,



Persamaan (3.2) merupakan persamaan linear dalam parameter

. .

A.Zallner, J. Kmenta dan J. Dréze (1966) dalam jurnalnya yang berjudul Specification and Estimation of Cobb-Douglas Production Function Models menyatakan fungsi produksi Cobb-Douglas sebagai berikut :


55

Dengan :

Banyaknya output fisik pada selang waktu tertentu.

:

Banyaknya karyawan yang mengerjakan pada selang waktu tertentu.

:

Banyaknya modal yang dikeluarkan pada selang waktu tertentu.

: :

Parameter yang berubah dari waktu ke waktu. Galat random yang mungkin terjadi, mewakili faktor musim, kerusakan mesin yang tidak bisa diprediksi, kinerja karyawan, dan masih banyak lagi. : Parameter yang berlaku untuk semua perusahaan dalam sampel. merupakan parameter yang berubah dari perusahaan ke

perusahaan, yang dinyatakan dalam persamaan:

Dengan

sebagai parameter biasa dan

sebagai variabel random.

Pada dasarnya semua hasil pemikiran dari beberapa tokoh diatas tentang Cobb-Douglas adalah sama dan hanya berbeda dalam penulisan simbol saja. Oleh karena itu dalam tulisan ini, simbol akan mengikuti seperti dalam jurnal yang ditulis Zellner.


56

B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas dibutuhkan oleh suatu perusahaan agar dapat merencanakan hasil produksi dengan baik. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan untuk menduga banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu perusahaan tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya karyawan yang bekerja dan modal yang di investasikan dalam proses produksi. Fungsi produksi Cobb Douglas bersifat nonlinear terhadap parameter dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut

model tersebut adalah model linear intrinsik. Fungsi produksi Cobb Douglas tersebut dapat diubah dalam bentuk linear terhadap parameter, yang dapat dinyatakan dalam persamaan berikut

dengan

,

parameter

,

dan

dapat diduga

dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.

Tujuan Metode Kuadrat Terkecil adalah menentukan penduga dari yaitu ̂ ̂ galat

̂ sehingga meminimumkan jumlah kuadrat

yang diduga dengan ̂ . ̂ dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut ̂

̂


57

Model tersebut dapat ditulis dengan notasi matriks

[ ]

[

][

]+[

]

Atau dapat ditulis

Sehingga diperoleh

Tujuan Metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah kuadrat galat ( ̂ ). Sehingga ditemukan persamaan untuk mencari . ̂ Sifat-sifat penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi Linear Berganda 1. E ( ̂ ) =

,

2. Var ( ̂ ) =

i = 1, 2, ..., k. ,

adalah elemen diagonal dari matriks

,

adalah elemen di baris i dan kolom j dari

. 3. Cov ( ̂ = matriks

.

4. Penduga tak bias dari ̂

adalah

dengan

. n adalah ukuran sample dan k adalah

banyaknya variabel.


58

Contoh 3.1 Diberikan tabel data pertanian Taiwan tahun 1958-1972 yang diambil dari buku Basic Econometrics tabel 7.3, akan diduga dengan model

Dengan menggunakan transformasi linear didapatkan model baru

,

,

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Tahun 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972

,

dan

.

Hasil Tenaga Produksi Kerja (Y) (L) 16607.7 275.5 17511.3 274.4 20171.2 269.7 20932.9 267 20406 267.8 20831.6 275 24806.3 283 26465.8 300.7 27403 307.5 28628.7 303.7 29904.5 304.7 27508.2 298.6 29035.5 295.5 29281.5 299 31535.8 288.1

Modal (K) 17803.7 18096.8 18271.8 19167.3 19647.6 20803.5 22076.6 23445.2 24939 26713.7 29957.8 31585.9 33474.5 34821.8 41794.3

Dengan rumus yang telah didapatkan dari persamaan (2.16) maka ̂

.


[

]

[

[

59

]

]

[

]

Dengan demikian didapatkan [

]

Sehingga didapatkan ̂

[

][

Dengan ̂ regresinya adalah ̂ Atau dapat ditulis menjadi

̂

]

[ ̂

] dan model


Dengan koefisien determinasi ̅

̂ ̅

Uji Asumsi: 1. Multikolinearitas a. Regresikan model

dan hitung ̂

*

+ *

* ̂

+ +

*

+* ̂

̅̅̅ ̅̅̅

Hitung VIF ̂

+

*

+

60


61

Tidak terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF < 10 b. Regresikan model

dan hitung ̂

*

+ *

* ̂

+ +

*

+* ̂

+

*

+

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Hitung VIF ̂

Tidak terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF < 10 2. Heterokedastisitas a. Hitung nilai ̂ dengan rumus ̂

̂


b. Hitung nilai ̂

dan ̂

kemudian regresikan dengan model

(̂)

̂

̂

̂

[

[

]

]

Dengan rumus ̂ *

+

̂

+

* *

+ +

c. Uji Koenker–Bassett (KB) 1. Hipotesis : tidak ada masalah heterokedastisitas : ada masalah heterokedastisitas 2. Tingkat signifikansi =0.05 3. Kriteria pengujian

[

]

̂ akan didapatkan nilai ̂

* ̂

62


63

diterima bila ditolak bila

atau


̂

√

̂

√

√∑ ̂

∑̂

̂ (̂

)√∑ ̂ √

diterima karena berarti tidak ada heterokedastisitas dalam data. 3. Autokorelasi ∑

̂ ∑

0.8918

̂ ̂

ini


64

1,5432 2,4568 0,9455

3,0545

Dapat disimpulkan bahwa data mengandung autokorelasi.

Dapat ditarik kesimpulan bahwa data terhadap hasil produksi (Y), tenaga kerja( ) dan modal ( ), dengan model ̂ Atau dapat ditulis menjadi ̂ terdapat

autokorelasi

pada

data.

Konsekuensi

dari

keberadaan

Autokorelasi adalah metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga yang terlalu rendah untuk nilai variasi penduga yang terlalu tinggi untuk

.

dan karenanya menghasilkan


BAB IV APLIKASI

Pada bab ini akan diberikan contoh aplikasi fungsi produksi CobbDouglas untuk data area manufaktur untuk 51 kota pada tahun 2005, dengan variabel tak bebas nilai yang ditambahkan banyaknya tenaga kerja

dan nilai modal

variabel bebas , yang diambil dari

buku Basic Econometrics karangan Damodar N. Gujarati dan Dawn C. Porter. Akan diduga

pada tabel data yang dilampirkan, dengan

model

Dengan menggunakan transformasi linear didapatkan model baru

,

,

,

dan

.

Dengan rumus yang telah didapatkan dari persamaan (2.16) maka ̂

.


[

]

[

]

66


[

67

]

[

]

Dengan demikian didapatkan [

]

Sehingga didapatkan ̂

[

][

Dengan ̂

̂

regresinya adalah ̂ Atau dapat ditulis menjadi ̂ ̂ Dengan koefisien determinasi ̅

̂ ̅

] ̂

[

] dan model


Pengujian asumsi : 1. Multikolinearitas a. Regresikan model

dan hitung ̂

*

+ *

* ̂

+ +

*

+*

+

*

+

̅̅̅̅̅

̂

̅̅̅̅̅

Hitung VIF ̂

Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10 b. Regresikan model

dan hitung ̂

*

+

68


* * ̂

69

+ +

*

+*

+

*

+

̅̅̅̅̅

̂

̅̅̅̅̅

Hitung VIF ̂

Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10 2. Heterokedastisitas a. Hitung nilai ̂ dengan rumus ̂ b. Hitung nilai ̂

̂

dan ̂ kemudian regresikan dengan model

(̂)

̂ Dengan rumus ̂ *

̂ akan didapatkan nilai ̂ +

*

+


̂ ̂

*

+

*

+

c. Uji Koenker–Bassett (KB) 1. Hipotesis : tidak ada masalah heterokedastisitas : ada masalah heterokedastisitas 2. Tingkat signifikansi =0.05 3. Kriteria pengujian diterima bila ditolak bila

atau


̂

√

̂ (̂

)√∑ ̂ √

√∑ ̂

70


diterima karena tidak ada heterokedastisitas dalam data.

71

. ini berarti


̂

̂

̂

[

]

[

]

[

]

72


73

5. Autokorelasi ∑ ∑

1.9463

2,3691

1,4684 1,6309

2,5316

Dapat disimpulkan bahwa data tidak mengandung autokorelasi.

Dapat ditarik kesimpulan bahwa data area manufaktur untuk 51 kota pada tahun 2005, dengan variabel tak bebas nilai yang ditambahkan variabel bebas banyaknya tenaga kerja

dan nilai modal

,

dengan model ̂ Atau dapat ditulis menjadi ̂ ̂ mengandung multikolinearitas. Dalam kasus kali ini multikolinearitas tidak dapat dihilangkan supaya tidak bertentangan dengan hukum ekonomi.


Karena nilai

dan

74

terbatas, maka dapat dirancang besaran jumlah

output yang direncanakan. Misalnya perusahaan memiliki 2000 tenaga kerja dan nilai modal 7000 dolar, maka diketahui outputnya sebagai berikut ̂


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan Dalam sebuah proses produksi, terdapat beberapa faktor produksi yang meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan mentah yang masuk, macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya proses pengerjaan termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang mengerjakan, jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil diproduksi dan keuntungan yang diperoleh. Fungsi produksi Cobb-Douglas, dalam dunia ekonomi mewakili hubungan antara output dan input. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas dibutuhkan oleh suatu perusahaan agar dapat merencanakan hasil produksi dengan baik. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan untuk menduga banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu perusahaan tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya karyawan yang bekerja dan modal yang diinvestasikan dalam proses produksi. Pada musim semi tahun 1927, saat memberi kuliah di Amherst, Paul Douglas menggambar grafik dalam skala logaritma tiga variabel untuk data manufaktur Amerika pada tahun 1899-1922: indeks total modal yang dikoreksi berdasarkan perubahan dalam biaya barang (C), indeks total banyaknya penerima gaji (L), dan indeks dari hasil produksi fisik (P).


76

Douglas mencatat bahwa indeks dari produksi terletak diantara modal dan tenaga kerja yang berada sekitar sepertiga sampai seperempat diantara batas bawah indeks dari tenaga kerja dan batas atas indeks dari modal. Setelah berkonsultasi dengan temannya Charles W. Cobb, seorang matematikawan, mereka memutuskan, berdasarkan pengamatan ini, kontribusi relatif masing-masing faktor produksi, tenaga kerja dan modal, terhadap hasil produksi. Bentuk Euler fungsi homogen sederhana dengan derajat satu dipilih untuk menjelaskan persamaan ini.

Fungsi produksi Cobb Douglas bersifat nonlinear terhadap parameter dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut

Fungsi Produksi Cobb-Douglas diduga dengan menggunakan metode kuadrat terkecil biasa sehingga didapatlah nilai untuk parameter ,

dan

, dengan cara merubah model regresi linear menjadi model linear intrinsik terlebih dahulu. Meskipun ada banyak faktor lain yang mempengaruhi kinerja ekonomi, menurut Tan model mereka terbukti sangat akurat.

B. Saran Berdasarkan pembahasan dan kesimpulan yang telah dijabarkan sebelumnya, maka diajukan saran bagi penelitian selanjutnya dengan mengembangkan fungsi produksi Cobb-Douglas menjadi fungsi produksi


77

CES (Constant Elasticity of Substitution) yang dapat diduga dengan metode pendugaan parameter model non-linear.


78

DAFTAR PUSTAKA

Asri, Marwan & John Suprihanto. (1986). Manajemen perusahaan pendekatan operasional. Yogyakarta: BPFE. Beattie, Bruce R & C. Robert Taylor. (1985). The economics of production. Yogyakarta: Gajah Mada University press. Biddle, Jeff E. (2010). The Introduction of the Cobb Douglas Regression and its Adoption. agricultural economics. Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental methods of mathematical economics. New York: McGraw-Hill. Inc. Griffin, Ronald C. & John M. Montgomery & M. Edward Rister. (1987). Selecting functional form in production function analysis. Western journal of agricultural economics, 12(2) : 216-227. Gujarati, Damodar N. & Dawn C. Porter. (2009). Basic Econometrics. New York: McGraw-Hill. Inc. Intriligator, Michael D. & Ronald Bodkin & Cheng Hsiao. (1996). Econometric Models, Techniques, and Applications. London: Prentice Hall. Myers, Raymond H., Montgomery, Dougla C., & Vining, G. Geoffrey. 2002.

Generalized

Linear

Models:

With

Applications

in

Engineering and The Sciences. New York : John Wiley & Sons, INC.


Nerlove, Marc. (1965). Estimation and Identification of Cobb-Douglas Production Function. Chicago: Rand Mcnally and Company. Tan, Bao Hong. (2008). Cobb-Douglas Production Function. Wackerly, Dennis D. & William Mendenhall III & Richard L. Scheaffer. (2008). Mathematical Statistics with Applications . USA: Thomson Learning. Zellner, A. & J. Kmenta & J. Dreze. (1966). Specification and estimation of cobb-douglas. Econometrica,Vol. 34, No. 4.


LAMPIRAN

Tabel data area manufaktur untuk 50 kota, pada tahun 2005 Tenaga

Input

kerja

Modal

X1

X2

Output No

Nama Kota Y

1

Alabama

38,372,840

424,471

2,689,076

2

Alaska

1,805,427

19,895

57,997

3

Arizona

23,736,129

206,893

2,308,272

4

Arkansas

26,981,983

304,055

1,376,235

5

California

217,546,032

6

Colorado

19,462,751

180,366

1,790,751

7

Connecticut

28,972,772

224,267

1,210,229

8

Delaware

14,313,157

54,455

421,064

9

District of Columbia

159,921

2,029

7,188

10

Florida

47,289,846

471,211

2,761,281

11

Georgia

63,015,125

659,379

3,540,475

12

Hawaii

1,809,052

17,528

146,371

13

Idaho

10,511,786

75,414

848,220

14

Illinois

105,324,866

963,156

5,870,409

15

Indiana

90,120,459

835,083

5,832,503

16

Iowa

39,079,550

336,159

1,795,976

1,809,756 13,554,116

80


17

Kansas

22,826,760

246,144

1,595,118

18

Kentucky

38,686,340

384,484

2,503,693

19

Louisiana

69,910,555

216,149

4,726,625

20

Maine

7,856,947

82,021

415,131

21

Maryland

21,352,966

174,855

1,729,116

22

Massachusetts

46,044,292

355,701

2,706,065

23

Michigan

92,335,528

943,298

5,294,356

24

Minnesota

48,304,274

456,553

2,833,525

25

Mississippi

17,207,903

267,806

1,212,281

26

Missouri

47,340,157

439,427

2,404,122

27

Montana

2,644,567

24,167

334,008

28

Nebraska

14,650,080

163,637

627,806

29

Nevada

7,290,360

59,737

522,335

30

New Hampshire

9,188,322

96,106

507,488

31

New Jersey

51,298,516

407,076

3,295,056

32

New Mexico

20,401,410

43,079

404,749

33

New York

87,756,129

727,177

4,260,353

34

North Carolina

101,268,432

820,013

4,086,558

35

North Dakota

3,556,025

34,723

184,700

36

Ohio

124,986,166

1,174,540

6,301,421

37

Oklahoma

20,451,196

201,284

1,327,353

38

Oregon

34,808,109

257,820

1,456,683


39

Pennsylvania

104,858,322

944,998

5,896,392

40

Rhode Island

6,541,356

68,987

297,618

41

South Carolina

37,668,126

400,317

2,500,071

42

South Dakota

4,988,905

56,524

311,251

43

Tennessee

62,828,100

582,241

4,126,465

44

Texas

172,960,157

45

Utas

15,702,637

150,030

762,671

46

Vermont

5,418,786

48,134

276,293

47

Virginia

49,166,991

425,346

2,731,669

48

Washington

46,164,427

313,279

1,945,860

49

West Virginia

9,185,967

89,639

685,587

50

Wisconsin

66,964,978

694,628

3,902,823

51

Wyoming

2,979,475

15,221

361,536

1,120,382 11,588,283



PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents