PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Felisitas Sekar Dayu Rinakit NIM : 081414069

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2013


NILAI EKSTRIM FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Felisitas Sekar Dayu Rinakit NIM : 081414069

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2013

i


ii


iii


HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini kupersembahkan untuk kedua orangtuaku, adik, nenek, dan seluruh keluargaku.

iv


v


ABSTRAK Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Skripsi ini membahas tentang pengertian fungsional, nilai ekstrim suatu fungsional, dan persamaan Euler. Selama ini telah banyak dibahas mengenai nilai ekstrim suatu fungsi baik itu fungsi satu variabel maupun fungsi beberapa variabel. Kali ini, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai nilai ekstrim suatu fungsional. Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya merupakan fungsi, dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi. Daerah asal suatu fungsional adalah ruang fungsi, dan daerah hasilnya adalah himpunan bilangan real. Nilai ekstrim relatif suatu fungsional dapat dibedakan menjadi dua, yaitu nilai ekstrim kuat dan nilai ekstrim lemah. Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih besar (luas). Nilai ekstrim lemah pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit). Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang yang lebih besar. Syarat perlu suatu fungsional mencapai nilai ekstrim di suatu titik tertentu yaitu diferensial dari fungsional di titik itu adalah 0. Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu nilai ekstrim dari 𝑏 fungsional yang berbentuk 𝐽 𝑦 = 𝑎 𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥, untuk daerah asal fungsional memenuhi suatu syarat batas; yakni nilai fungsi-fungsi dalam daerah asal tersebut adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi itu. Syarat perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, di mana fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Jika 𝑦 = 𝑦(𝑥) membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, 𝜕𝐹

𝑑

maka persamaan Eulernya adalah 𝜕𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑦′ − 𝑑𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′

𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

= 0.

Dalam skripsi ini, teorema mengenai syarat perlu suatu fungsional mencapai nilai ekstrim di suatu titik tertentu akan dibuktikan. Begitu pula dengan teorema tentang persamaan Euler. Kata kunci : fungsional, nilai ekstrim, persamaan Euler.

vi


ABSTRACT Felisitas Sekar Dayu Rinakit, 2013. Extreme Value of Functional for Function With One Independent Variable. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. This thesis discusses the definition of a functional, extreme value of a functional, and Euler’s equation. All this time, there are many discussions about extreme value of function both function of one variable and several variables. But, this thesis will discuss about extreme value of a functional. Functional is a kind of function that its independent variable are functions. Or in the other word we can say that functional is a function of function. Domain of a functional is a function space and the range is a set of real number. The relative extreme value of a functional can be differed into two. They are strong extreme value and weak extreme value. The strong extreme value of a functional is an extreme value on a bigger space (broader). The weak extreme value of a functional is an extreme value on a smaller space (narrower). The smaller space is a proper subset of the bigger space. Necessary condition of a functional to get extreme value in a certain point is that its differential in that point is 0. There is a theorem of necessary condition of extreme value from the 𝑏 functional 𝐽 𝑦 = 𝑎 𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥. The domain of that functional should satisfy the boundary condition; i.e. the value of functions on its domain is same at its end points. The necessary condition is a differential equation in which the function that made 𝐽[𝑦] has extreme value, will satisfy the diferential equation. That differential equation is called Euler’s equation. If 𝑦 = 𝑦(𝑥) make 𝐽[𝑦] has 𝜕𝐹

𝑑

extreme value then its Euler’s equation is 𝜕𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑦′ − 𝑑𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′

𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

= 0.

In this thesis, theorem of the necessary condition of a function to has extreme value in a certain point will be proved. And also the theorem of Euler’s equation. Key words : functional, extreme value, Euler’s equation

vii


viii


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penyusunan skripsi yang berjudul “Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas” dapat terselesaikan. Banyak hambatan dan rintangan yang penulis hadapi dalam proses penyusunan skripsi ini. Namun atas berkat dan rahmat-Nya serta dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, penulis akhirnya dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada : 1.

Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

2.

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma.

3.

Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

4.

Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah memberikan saran, bimbingan, dan dorongan kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini.

5.

Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., dan Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd., M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan kepada penulis.

ix


6.

Seluruh dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan banyak ilmu kepada penulis selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.

7.

Seluruh staf sekretariat JPMIPA.

8.

Bapak, ibuk, adik, nenek, serta seluruh keluarga penulis yang selalu memberikan banyak dukungan, dan semangat kepada penulis.

9.

Teman-teman P.Mat’08 Soso, Nia, Vika, Ray, Deka, Zeny, Niken, dan yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas kebersamaannya selama kuliah di Universitas Sanata Dharma.

10.

Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, sehingga

penulis meminta saran dan kritik dari pembaca agar kedepannya dapat lebih baik lagi. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih dan semoga skripsi ini dapat berguna untuk pembaca.

Yogyakarta, Desember 2013 Penulis

Felisitas Sekar Dayu Rinakit

x


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL.......................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ................................. ii HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... v ABSTRAK ....................................................................................................... vi ABTRACT ........................................................................................................ vii LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...................... viii KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix DAFTAR ISI .................................................................................................... xi BAB I PENDAHULUAN ................................................................................. 1 A. Latar Belakang ............................................................................................ 1 B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 2 C. Tujuan Penulisan ......................................................................................... 2 D. Pembatasan Masalah ................................................................................... 2 E. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 3 F. Metode Penulisan ........................................................................................ 3 G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 4 BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 5 A. Fungsi .......................................................................................................... 5 B. Limit ............................................................................................................ 6 C. Kontinuitas ................................................................................................ 11 D. Turunan ..................................................................................................... 14 E. Nilai Maksimum dan Minimum ................................................................ 20 F. Integral ...................................................................................................... 27 G. Kalkulus Multivariabel.............................................................................. 35 H. Deret Tak Hingga ...................................................................................... 45 I. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................... 54 BAB III FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS ................... 57

xi


A. Ruang Fungsi ............................................................................................ 57 B. Fungsional ............................................................................................... 104 C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas ........................... 119 BAB IV PERSAMAAN EULER .................................................................. 124 BAB V PENUTUP ........................................................................................ 135 A. Kesimpulan ............................................................................................. 135 B. Saran ........................................................................................................ 137 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 138

xii


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Permasalahan mengenai suatu nilai yang optimum sangat dibutuhkan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya saja dalam mencari luas maksimum, biaya minimum, dan sebagainya. Dalam kalkulus diferensial, dapat ditemukan 𝑥 sehingga 𝑓(𝑥) mencapai nilai ekstrim. Sedangkan dalam kalkulus peubah banyak, dapat ditemukan (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) sehingga 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) mencapai nilai ekstrim. Nilai ekstrim adalah nilai maksimum dan minimum fungsi-fungsi tersebut. Dalam analisis fungsional, salah satu konsep yang dipelajari adalah konsep tentang fungsional. Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi. Selama ini telah dikenal rumus panjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 yaitu 𝐿 =

𝑏 𝑎

1 + [𝑓 ′ 𝑥 ]2 𝑑𝑥. Rumus tersebut merupakan suatu fungsional

dengan variabel bebas fungsi 𝑓(𝑥). Dengan mencari 𝑦 = 𝑓(𝑥) agar fungsional tersebut mencapai nilai minimum, itu berarti sama saja dengan mencari kurva yang terpendek. Salah satu bentuk fungsional adalah sebagai berikut 𝐽 𝑦 = 𝑏 𝑎

𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥. Ada suatu teorema mengenai syarat perlu untuk suatu

1


nilai ekstrim dari fungsional yang berbentuk 𝐽 𝑦 =

𝑏 𝑎

2

𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥.

Syarat perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis akan membahas tentang nilai ekstrim suatu fungsional dan persamaan Euler tersebut.

B. Rumusan Masalah Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah : 1. Bagaimana pengertian nilai ekstrim suatu fungsional? 2. Apa yang dimaksud dengan persamaan Euler? 3. Bagaimana isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler?

C. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skripsi ini adalah : 1. Mengetahui pengertian nilai ekstrim suatu fungsional. 2. Mengertahui apa yang dimaksud dengan persamaan Euler. 3. Mengetahui isi dan bukti teorema tentang persamaan Euler.

D. Pembatasan Masalah Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas tentang fungsional untuk fungsi satu variabel bebas. Jadi dalam skripsi ini variabel bebas dari


3

fungsional yang akan dibahas adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel bebas. Penulis juga akan membahas tentang persamaan Euler untuk nilai ekstrim suatu fungsional, dimana daerah asal fungsional memenuhi suatu syarat batas. Syarat batas tersebut yaitu nilai fungsi-fungsi dalam daerah asal adalah sama pada titik-titik ujung fungsi-fungsi tersebut. Kemudian penulis juga membatasi tentang contoh penerapan persamaan Euler. Contoh persamaan Euler yang akan dibahas hanya berupa persamaan diferensial biasa.

E. Manfaat Penulisan Manfaat dari pembahasan ini adalah dapat memberikan kejelasan tentang nilai ekstrim suatu fungsional, dan dapat memberikan kejelasan tentang persamaan Euler.

F.

Metode Penulisan Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku-buku acuan yang digunakan.


4

G. Sistematika Penulisan Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan. Dalam bab II akan dibahas tentang teori-teori yang menjadi dasar pembahasan dalam bab III, diantaranya adalah fungsi, limit dan kontinuitas, turunan, nilai maksimum dan minimum fungsi satu variabel bebas, integral, fungsi peubah banyak, turunan parsial, nilai maksimum dan minimum fungsi peubah banyak, deret taylor, dan persamaan diferensial biasa. Dalam bab III pertama-tama akan dibahas tentang ruang fungsi, di mana ruang-ruang tersebut penting untuk daerah asal suatu fungsional. Setelah itu akan dibahas tentang pengertian dan contoh-contoh fungsional, diferensial suatu fungsional, dan nilai ekstrim suatu fungsional. Dalam bab IV akan dibahas teorema mengenai syarat perlu untuk suatu nilai ekstrim dari fungsional 𝐽 𝑦 =

𝑏 𝑎

𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦(𝑥)′ 𝑑𝑥. Syarat

perlu itu adalah suatu persamaan diferensial, dimana fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi persamaaan diferensial itu. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler. Dalam bab V berisi tentang kesimpulan dan saran.


BAB II LANDASAN TEORI

A. Fungsi Fungsi merupakan alat untuk menyatakan hubungan antara dua buah variabel atau lebih. Andaikan fungsi sebagai suatu mesin, maka dia akan mengolah masukan menjadi keluaran atau disebut juga hasil menurut aturan fungsi tersebut. Masukan dan keluaran itu haruslah anggota dari himpunan, sehingga sebelum membahas tentang fungsi, akan dibahas himpunan terlebih dahulu. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek-obyek yang dapat didefinisikan dengan tepat dan dapat dibedakan. Obyek-obyek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan tersebut, dan dinotasikan dengan huruf kecil.

Definisi 2.1.1 Himpunan yang tidak mengandung elemen disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅.

Definisi 2.1.2 Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara tepat satu elemen, yang disebut f(x), dalam himpunan B.

5


6

Dalam hal ini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan tidak kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x) adalah nilai f pada x dan dibaca “f dari x”. Daerah hasil (range) f adalah himpunan semua nilai f(x) di mana x berubah sepanjang daerah A. Lambang yang menyatakan suatu bilangan sembarang di daerah asal fungsi f disebut variabel bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut variabel tak bebas. Fungsi disebut juga pemetaan.

B. Limit Dalam limit fungsi, akan dianalisis mengenai perubahan nilai fungsi ketika masukan atau input fungsi itu bergerak mendekat semakain dekat tetapi tidak pernah sampai kepada nilai tertentu. Dituliskan lim f ( x)  L dan dikatakan “limit f(x) ketika x mendekati a x a

sama dengan L”, jika kita dapat membuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a. Limit ini bisa didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.2.2 Jika f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka tertentu yang memuat bilangan a, kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan lim f ( x)  L x a


7

jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan yang berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 bilamana 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿. Cara lain untuk menuliskan baris terakhir definisi ini adalah : jika 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 maka 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀

Dituliskan lim f ( x)  L dan dikatakan bahwa limit-kiri f(x) ketika x x a 

mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri] sama dengan L jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup dekat ke a dan x lebih kecil daripada a.

Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Sisi-Kiri) lim f ( x)  L jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan yang

x a 

berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 bilamana 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎.

Dituliskan lim f ( x)  L dan dikatakan bahwa limit-kanan f(x) ketika x x a 

mendekati a [atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan] sama dengan L jika dapat dibuat f(x) sembarang dekat ke L dengan cara mengambil x cukup dekat ke a dan x lebih besar daripada a.


8

Definisi 2.2.4 (Definisi Limit Sisi-Kanan) lim f ( x)  L jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan yang

x a 

berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian rupa hingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 bilamana 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿.

Dari ketiga definisi sebelumnya, didapat syarat keberadaan limit yaitu sebagai berikut : lim f ( x)  L jika dan hanya jika lim f ( x)  L dan lim f ( x)  L. x a

x a

x a

Hukum Limit : Andaikan bahwa c konstanta dan limit lim f ( x) dan x a

lim f ( x) ada, maka : x a

1. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)

(Hukum Penjumlahan)

2. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)

(Hukum Pengurangan)

3. limcf ( x)  c lim f ( x)

(Hukum Perkalian Konstanta)

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

4. lim f ( x) g ( x)  lim f ( x). lim g ( x) x a

x a

5. lim

f ( x) f ( x) lim x a  g ( x) lim g ( x)

x a

x a

(Hukum Hasil Kali)

(Hukum Hasil Bagi)

x a

n

n   6. lim f ( x)  lim f ( x) , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Hukum x a  x a 

Pemangkatan) 7. lim c  c x a


9

8. lim x  a x a

9. lim x n  a n , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. x a

10. lim n x  n a , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Jika 𝑛 genap, anggap x a

bahwa 𝑎 > 0) 11. lim n f ( x)  n lim f ( x) , dengan 𝑛 bilangan bulat positif. (Jika 𝑛 x a

x a

genap, anggap bahwa lim f ( x)  0 ) x a

Teorema 2.2.1 Jika 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) pada waktu x dekat dengan a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduannya ada untuk x mendekati a maka lim f ( x)  lim g ( x). x a

x a

Bukti : 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) Limit 𝑓 dan 𝑔 ada untuk 𝑥 → 𝑎 , sehingga : lim f ( x)  L dan lim g ( x)  M x a

x a

limg ( x)  f ( x)  M  L (menurut Hukum Pengurangan limit) x a

Akan digunakan metode kontradikisi, sehingga dimisalkan 𝐿 > 𝑀 limg ( x)  f ( x)  M  L , sehingga untuk sembarang 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 x a

sedemikian sehingga 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀 − 𝐿) < 𝜀 (menurut definisi 2.2.2)


10

Ambil 𝜀 = 𝐿 − 𝑀 (karena 𝐿 > 𝑀 dari pernyataan awal), diperoleh 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀 − 𝐿) < 𝐿 − 𝑀

Karena 𝑎 ≤ 𝑎 untuk setiap bilangan a maka diperoleh 0< 𝑥−𝑎 <𝛿 →

𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) − (𝑀 − 𝐿) < 𝐿 − 𝑀

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) < 0 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 → 𝑔 𝑥 < 𝑓(𝑥) Didapat 𝑔 𝑥 < 𝑓(𝑥). Ini bertentangan dengan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥). Oleh karena itu, ketidaksamaan 𝐿 > 𝑀 adalah salah. Oleh karena itu 𝐿 ≤ 𝑀 yaitu lim f ( x)  lim g ( x). x a

x a

Teorema 2.2.2 (Teorema Apit) Jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕(𝑥) pada waktu 𝑥 dekat 𝑎 (kecuali mungkin di 𝑎) dan lim f ( x)  lim h( x)  L maka lim g ( x)  L. x a

x a

x a

Bukti : 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕(𝑥)

Misalkan 𝜀 > 0 diberikan. Karena lim f ( x)  L , maka terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga x a

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 → 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀


11

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 → 𝐿 − 𝜀 < 𝑓 𝑥 < 𝐿 + 𝜀

Karena lim h( x)  L , maka terdapat 𝛿2 > 0 sedemikian sehingga x a

0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 → 𝑕 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 → 𝐿 − 𝜀 < 𝑕 𝑥 < 𝐿 + 𝜀

pilih 𝛿 = min 𝛿1 , 𝛿2 . Jika 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 maka 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 dan 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 , sehingga 𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕 𝑥 < 𝐿 + 𝜀 𝐿 − 𝜀 < 𝑔(𝑥) < 𝐿 + 𝜀 𝑔(𝑥) − 𝐿 < 𝜀

Oleh karena itu, lim g ( x)  L x a

C. Kontinuitas Setelah dibahas mengenai fungsi, limit, dan turunan, selanjutnya akan dibahas mengenai kontinuitas suatu fungsi.

Definisi 2.3.1 Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika lim f ( x)  f (a). x a


12

Definisi ini secara implisit mensyaratkan tiga hal, jika f kontinu di a : 1. f(a) terdefinisi (yaitu a berada di daerah asal f) 2. lim f ( x) ada (sehingga harus memenuhi syarat keberadaan limit) xa

3. lim f ( x)  f (a) x a

Dari ketiga hal tersebut f(x) haruslah terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat a, f(x) mempunyai sifat bahwa perubahan kecil pada x hanya menghasilkan perubahan kecil pada f(x), dan tidak ada celah pada kurvanya. Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tidak dipenuhi, maka f(x) dikatakan tidak kontinu di titik a. Jika f(x) tidak kontinu di titik a, maka f(x) dikatakan diskontinu di a.

Defiinisi 2.3.2 Sebuah fungsi f kontinu dari kanan pada sebuah bilangan a jika lim f ( x)  f (a) dan f kontinu dari kiri pada a jika lim f ( x)  f (a).

x a 

x a

Definisi 2.3.3 Dikatakan f kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.


Teorema 2.3.1 Jika 𝑓 kontinu pada 𝑏 dan lim g ( x)  b , maka lim f ( g ( x))  f (b) . Dengan x a



x a



kata lain, lim f ( g ( x))  f lim g ( x) . x a

x a

Bukti : Fungsi 𝑓 kontinu pada 𝑏, sehingga didapat lim f ( y)  f (b) y b

Ini berarti untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga jika 0  y  b   1 maka f ( y)  f (b)   .

lim g ( x)  b x a

Ini berarti untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga jika 0  x  a   maka g ( x)  b   . Karena 𝑦 = 𝑔(𝑥), maka didapat g ( x)  b   1 . Oleh karena itu, mengakibatkan f ( g ( x))  f (b)   .

Oleh karena itu, untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga Jika 0  x  a   maka f ( g ( x))  f (b)   . Ini berarti lim f ( g ( x))  f (b). x a

13


14

Teorema 2.3.2 Jika 𝑔 kontinu pada 𝑎, dan 𝑓 kontinu pada 𝑔(𝑎), maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔 yang diberikan oleh 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.

Bukti : 𝑔 kontinu pada 𝑎, sehingga didapat : lim g ( x)  g (a) x a

Karena 𝑓 kontinu pada 𝑔(𝑎), maka dengan menerapkan teorema 2.3.1, akan diperoleh lim f ( g ( x))  f ( g (a)). x a

Ini berarti fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎. Karena itu, 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) kontinu pada 𝑎.

D. Turunan Dalam kalkulus diferensial permasalahan yang dibahas adalah tentang bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain. Misalnya antara waktu dan jarak, waktu dan populasi, (dalam kedua hal tersebut perubahan yang dimaksud adalah laju), dan sebagainya. Turunan adalah sebuah limit unik yang berkaitan dengan masalah bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain. Limit unik tersebut adalah sebagai berikut : lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) . h


15

Suatu fungsi f(x) dikatakan terdifirensialkan pada titik 𝑥 = 𝑎 asalkan nilai limit unik pada titik tersebut ada (terdefinisi).

Definisi 2.4.1 Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f ' (a)  lim h0

f ' (a) adalah

f ( a  h)  f ( a ) . h

asalkan limit ini ada.

Jika dituliskan 𝑥 = 𝑎 + 𝑕 , maka 𝑕 = 𝑥 − 𝑎 , dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x mendekati 𝑎. Karena itu, cara setara mendefinisikan turunan adalah f ' (a)  lim x a

Diberikan lim h 0

f ( x)  f ( a ) . xa

sembarang

bilangan

x

yang

bersifat

bahwa

f ( x  h)  f ( x ) ada, maka didapat nilai f ' ( x) pada x, sehingga f ' dapat h

dipandang sebagai suatu fungsi baru, disebut turunan dari f dan didefinisikan sebagai berikut f ' ( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) . h

Terdapat beberapa notasi yang sering digunakan untuk menyatakan 𝑑𝑦 𝑑𝑓

𝑑

turunan, diantaranya adalah 𝑓 ′ 𝑥 , 𝑦 ′ , 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 , 𝐷𝑓 𝑥 , 𝐷𝑥 𝑓(𝑥).


Semua notasi ini mewakili ekspresi limit unik lim h 0

disebut turunan, sehingga lim h 0

𝑑 𝑑𝑥

16

f ( x  h)  f ( x) yang h

𝑑𝑦 𝑑𝑓 f ( x  h)  f ( x) = 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = h

𝑓 𝑥 = 𝐷𝑓 𝑥 = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥).

Definisi 2.4.2 Fungsi f dapat didiferensialkan di a

jika

f ' (a) ada. Fungsi f dapat

didiferensialkan pada selang buka (a,b) [atau (𝑎, ∞) atau (−∞, 𝑎) atau (−∞, ∞)] jika fungsi f dapat didiferensialkan pada setiap bilangan dalam selang tersebut.

Teorema 2.4.1 Jika f dapat didiferensialkan di 𝑎 , maka f kontinu di 𝑎.

Bukti : f dapat didiferensialkan di 𝑎, yaitu : f ' (a)  lim x a

f ( x)  f ( a ) ada. (menurut definisi 2.4.1) xa

Karena 𝑥 ≠ 𝑎 maka 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 =

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎 𝑥−𝑎

Oleh karena itu,  f ( x)  f ( a )  lim f ( x)  f (a)  lim  ( x  a) x a x a xa  

𝑥−𝑎 .


 lim x a

17

f ( x)  f ( a ) . lim ( x  a) (menurut aturan hasil kali) x a xa

= 𝑓′ 𝑎 . 0 = 0

𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑓 𝑎 −𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

lim f ( x)  lim f (a)  f ( x)  f (a) x a

x a

 lim f (a)  lim f ( x)  f (a) (menurut aturan penjumlahan) x a

x a

 f ( a)  0  f ( a )

lim f ( x)  f (a) x a

Karena itu, 𝑓 kontinu di 𝑎 (menurut definisi 2.3.1).

Berikut adalah kemungkinan-kemungkinan di mana fungsi 𝑓 𝑥 gagal memiliki turunan di 𝑥 = 𝑎 di dalam domainnya : Pada umumnya

jika grafik suatu fungsi f mempunyai “pojok” atau

“patahan” di dalamnya, maka grafik fungsi f tidak dapat didiferensialkan pada kondisi tersebut. (saat menghitung f”(a), kita akan menemukan bahwa limit kiri dan limit kanan berlainan sehingga turunan pada titik itu tidak ada) Jika kurva mempunyai garis singgung vertikal saat di 𝑥 = 𝑎 (garis singgung menjadi semakin curam ketika 𝑎 → 0), maka f tidak dapat didiferensialkan di 𝑎. Garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah tegak artinya kemiringan (gradien) garis singgung itu tidak terdefinisi, padahal


18

kemiringan garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah turunan 𝑓 di titik tersebut, sehingga turunannya juga tidak terdefinisi. Pada

sembarang ketidakkontinuan

maka

f

gagal

untuk

dapat

didiferensialkan. (menurut teorema 2.4.1)

Rumus-Rumus Turunan : 1.

𝑑 𝑑𝑥

𝑐 =0

(Turunan Fungsi Konstanta)

2. Jika 𝑛 sembarang bilangan real, maka : 𝑑 𝑑𝑥

𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛 −1

(Aturan Pangkat)

3. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka : 𝑑

𝑑

[𝑐𝑓 𝑥 ] = 𝑐 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

(Aturan Perkalian Konstanta)

4. Jika 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan, maka : 𝑑 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥

𝑑

𝑑

= 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑔(𝑥)

(Aturan Jumlah)


𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥

𝑑

𝑑

= 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑑𝑥 𝑔(𝑥)

(Aturan Selisih)


𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

𝑑

𝑑

= 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 [𝑔 𝑥 ] + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 ] (Aturan Hasil Kali)

7. Jika 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan, maka : 𝑑

𝑓(𝑥)

𝑑𝑥 𝑔(𝑥)

=

𝑔 𝑥

𝑑 [𝑓 𝑑𝑥

𝑥 ]−𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

2

𝑑 [𝑔 𝑑𝑥

𝑥 ]

, 𝑔(𝑥) ≠ 0

(Aturan Hasil Bagi)


19

Sekarang akan dibahas tentang turunan yang lebih tinggi. Jika fungsi 𝑓 dapat diturunkan, maka turunannya yaitu 𝑓’ juga berupa fungsi, sehingga 𝑓’ bisa jadi mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh 𝑓 ′

′

= 𝑓′′.

Fungsi 𝑓′′ yang baru ini disebut turunan kedua dari 𝑓 karena 𝑓’’ merupakan turunan dari turunan 𝑓. Notasi-notasi dari turunan kedua dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah sebagai berikut : 𝑑 𝑑𝑦 𝑑2 𝑦 = 2 = 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝐷2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Turunan ketiga 𝑓’’’ adalah turunan dari turunan kedua : 𝑓 ′′′ = (𝑓 ′′ )′ . Notasi-notasi untuk turunan ketiga adalah : 𝑦 ′′′ = 𝑓 ′′′ 𝑥 =

𝑑 𝑑2 𝑦 𝑑3 𝑦 = = 𝐷3 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Umumnya turunan ke-𝑛 dari 𝑓dinyatakan oleh 𝑓 (𝑛) dan diperoleh dari f dengan cara menurunkan n kali. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka dapat dituliskan : 𝑦 (𝑛) = 𝑓 (𝑛) 𝑥 =

𝑑 (𝑛) 𝑦 = 𝐷(𝑛) 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Kali ini akan dibahas tentang diferensial. Jika 𝑦 𝑥 = 𝑓(𝑥), dengan 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka diferensial 𝑑𝑥 adalah peubah bebas; yakni 𝑑𝑥 dapat diberi nilai sembarang bilangan real. Kemudian diferensial 𝑑𝑦 didefinisikan dalam bentuk 𝑑𝑥 oleh persamaaan 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 Oleh karena itu, 𝑑𝑦 adalah peubah tak bebas, dia tergantung pada nilai 𝑥 dan 𝑑𝑥.


20

Besar dari ∆𝑦 dapat dituliskan sebagai berikut : ∆𝑦 = ∆(𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥) Misalkan 𝑑𝑥 = ∆𝑥, sehingga ∆𝑦 menyatakan besarnya kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) (perubahan tinggi kurva) jika 𝑥 berubah sebesar ∆𝑥 = 𝑑𝑥.

Kemiringan suatu garis singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) di suatu titik adalah turunan 𝑓 ; yakni 𝑓′ di titik tersebut. Sehingga tinggi dari garis singgung adalah 𝑓 ′ (𝑥)∆𝑥. Karena 𝑑𝑥 = ∆𝑥, maka tinggi dari garis singgung adalah 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥. Padahal 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥, sehingga 𝑑𝑦 menyatakan besarnya garis singgung (tinggi garis singgung) jika 𝑥 berubah sebesar ∆𝑥 = 𝑑𝑥.

E. Nilai Maksimum dan Minimum Kali ini akan dibahas tentang salah satu penerapan turunan yaitu masalah pengoptimalan. Di sini akan dicari nilai yang optimum dari suatu fungsi. Pengoptimalan tersebut bisa jadi mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Karena itu, akan dibahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum.

Definisi 2.5.1 Fungsi f mempunyai maksimum mutlak (atau maksimum global) di c jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua x di D, dengan D adalah daerah asal f. Bilangan 𝑓(𝑐) disebut nilai maksimum f pada D. Secara serupa, f mempunyai minimum mutlak di c jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua x di D dan bilangan 𝑓(𝑐) disebut


21

nilai minimum f pada D. Nilai maksimum dan minimum f disebut nilai ekstrim f.

Definisi 2.5.2 Fungsi f mempunyai maksimum lokal (atau maksimum relatif) di c jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) bilamana x dekat c [ini berarti bahwa 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di dalam suatu selang terbuka yang mengandung 𝑐]. Secara serupa, f mempunyai minimum lokal di c jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) bilamana x dekat c.

Teorema 2.5.1 Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 , maka f mencapai nilai maksimum mutlak f(c) dan minimum mutlak f(d) pada suatu bilangan c dan d dalam 𝑎, 𝑏 .

Bukti : Fungsi f kontinu pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 sehingga menurut definisi 2.3.3 fungsi f kontinu pada 𝑎, 𝑏 yaitu kontinu di setiap titik dalam 𝑎, 𝑏 , kontinu kanan di a yaitu lim f ( x)  f (a) , dan kontinu kiri di b yaitu lim f ( x)  f (b) x b 

x a 

Di sini daerah asal fungsi f adalah 𝑎, 𝑏 . Karena f kontinu pada

𝑎, 𝑏

sehingga untuk c di interval

𝑎, 𝑏 didapat

lim f ( x)  f (c). x c

Oleh karena itu, ada 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), dan 𝑓(𝑐) untuk 𝑐 di interval (𝑎, 𝑏). Karena semua bilangan itu merupakan bilangan real, maka menurut sifat-sifat urutan


22

bilangan real terdapat 𝑓(𝑐1 ) di mana 𝑓(𝑐1 ) ≥ 𝑓(𝑐𝑛 ) untuk 𝑛 sepanjang interval 𝑎, 𝑏 dan terdapat 𝑓(𝑐2 ) di mana 𝑓(𝑐2 ) ≤ 𝑓(𝑐𝑛 ) untuk 𝑛 sepanjang interval 𝑎, 𝑏 . Menurut definisi 2.5.1, f memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di daerah asal f yaitu dalam selang tertutup 𝑎, 𝑏 .

Dari teorema di atas dapat dikatakan bahwa jika fungsi itu tidak kontinu atau fungsi itu tidak berada pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 maka fungsi itu bisa jadi tidak mempunyai atau belum tentu mempunyai nilai ekstrim di 𝑎, 𝑏 .

Teorema 2.5.2 (Teorema Fermat) Jika 𝑓 mempunyai maksimum atau minimum lokal di 𝑐 dan jika 𝑓 ′ (𝑐) ada maka 𝑓 ′ 𝑐 = 0.

Bukti : Andaikan f mempunyai maksimum lokal di c, sehingga menurut definisi 2.5.2, 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat ke 0, dengan h positif atau negatif, maka 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑐 + 𝑕) oleh karena itu, 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≤ 0 Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah ketidaksamaannya tetap.


23

Oleh karena itu, jika 𝑕 > 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh : 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≤0 𝑕 Dengan mengambil limit kanan (karena 𝑕 > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini, diperoleh : lim

f (c  h)  f (c )  lim 0 h 0 h (menurut teorema 2.3.1)

lim

f (c  h )  f (c ) 0 h

h 0

h 0 

𝑓 ′ 𝑐 ada, sehingga f ' (c)  lim h 0

f (c  h)  f ( c ) ada. (menurut definisi 2.4.1) h

Oleh karena itu, f ' (c)  lim x 0

f (c  h)  f ( c ) f (c  h )  f (c ) = lim 0 h 0 h h

(menurut syarat keberadaan limit) f ' (c)  lim x 0

f (c  h)  f (c ) 0 h

f ' (c)  0

Sekarang untuk 𝑕 < 0 Kedua ruas ketidaksamaan 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≤ 0 dapat dibagi dengan bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik. Oleh karena itu, jika 𝑕 < 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh : 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≥0 𝑕


24

Dengan mengambil limit kiri (karena 𝑕 < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini, diperoleh : lim

f (c  h)  f (c)  lim 0 h 0 h (menurut teorema 2.3.1)

lim

f (c  h)  f (c ) 0 h

h 0

h 0




f (c  h)  f ( c ) f (c  h)  f (c) = lim 0 h 0 h h


f (c  h)  f (c ) 0 h

f ' (c)  0

Didapat f ' (c)  0 dan f ' (c)  0 sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0.

Andaikan f mempunyai minimum lokal di c. Menurut definisi 2.5.2, 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) jika x cukup dekat ke c. Ini berarti jika ada h cukup dekat ke 0, dengan h positif atau negatif, maka 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑐 + 𝑕) oleh karena itu, 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≥ 0


25

Kedua ruas ketidaksamaan dapat dibagi dengan bilangan positif, sehingga arah ketidaksamaannya tetap. Oleh karena itu, jika 𝑕 > 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh : 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≥0 𝑕 Dengan mengambil limit kanan (karena 𝑕 > 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini, diperoleh : lim

f (c  h )  f ( c )  lim 0 h 0 h (menurut teorema 2.3.1)

lim

f (c  h)  f (c ) 0 h

h 0 

h 0




f (c  h)  f ( c ) f (c  h)  f (c ) = lim 0 h 0 h h


f (c  h)  f (c ) 0 h

f ' (c)  0

Sekarang untuk 𝑕 < 0 Kedua ruas ketidaksamaan 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≥ 0 dapat dibagi dengan bilangan negatif sehingga arah ketidaksamaannya berbalik.


26

Oleh karena itu, jika 𝑕 < 0, dan 𝑕 cukup kecil, dapat diperoleh : 𝑓 𝑐 + 𝑕 − 𝑓(𝑐) ≤0 𝑕 Dengan mengambil limit kiri (karena 𝑕 < 0 ) kedua ruas ketidaksamaan ini, diperoleh : lim

f (c  h)  f ( c )  lim 0 h 0 h (menurut Teorema 2.3.1)

lim

f (c  h)  f (c) 0 h

h 0

h 0 




f (c  h)  f ( c ) f (c  h )  f (c ) = lim 0 h 0 h h


f (c  h)  f (c) 0 h

f ' (c)  0

Didapat f ' (c)  0 dan f ' (c)  0 sehingga 𝑓 ′ 𝑐 = 0.

Definisi 2.5.3 Bilangan kritis dari suatu fungsi f adalah suatu bilangan c di dalam daerah asal f sedemikian sehingga f ' (c)  0 atau f ' (c) = tidak ada.


27

Dalam bentuk bilangan kritis, Teorema Fermat tadi dapat dinyatakan ulang sebagai berikut : Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di c, maka c adalah bilangan kritis f.

Berikut ini adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak, metode ini disebut Metode Selang Tertutup. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi kontinu 𝑓 pada selang tertutup 𝑎, 𝑏 langkah-langkahnya adalah sebagai berikut 1. Cari nilai f pada bilangan kritis f di dalam 𝑎, 𝑏 2. Cari nilai f pada titik-titik ujung selang 3. Yang terbesar di antara nilai dari langkah 1 dan 2 adalah nilai maksimum mutlak ; yang terkecil di antara nilai-nilai ini adalah nilai minimum mutlak.

F. Integral Pertama, akan dibahas tentang antiturunan. Dalam kalkulus diferensial, telah dibahas tentang bagaimana suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain. Kali ini akan dibahas kebalikannya. Misalnya, jika sudah diketahui bagaimana laju pertumbuhan penduduk, maka kali ini dapat dicari kebalikannya yaitu berapa jumlah populasi pada suatu waktu tertentu. Persoalan di sini adalah mencari fungsi F yang merupakan antiturunan dari


28

dari suatu fungsi f yang diketahui. Jika fungsi F itu ada, maka F disebut antiturunan dari f.

Definisi 2.6.1 Fungsi F disebut antiturunan dari f pada interval I jika 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

Teorema 2.6.1 Jika F antiturunan dari f pada interval I, maka antiturunan dari f pada I yang paling umum adalah F(x)+C dengan C konstanta. Bukti :

Andaikan F antiturunan dari f pada interval I sehingga : 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) (menurut definisi 2.6.1) 𝐹 ′ (𝑥) + 0 = 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥

𝐹 𝑥

+0=𝑓 𝑥

𝐹 𝑥

+ 𝑑𝑥 (𝐶) = 𝑓 𝑥 , untuk C adalah konstanta. (menurut Turunan

𝑑

Fungsi Konstanta) 𝑑 𝑑𝑥

𝐹 𝑥 + 𝐶 = 𝑓 𝑥 (menurut aturan penjumlahan )

Oleh karena itu, didapat 𝑑 𝑑 𝐹 𝑥 +𝐶 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

=𝑓 𝑥

Oleh karena itu, 𝐹 𝑥 + 𝐶 juga merupakan antiturunan dari f pada interval I


29

Selanjutnya akan dibahas tentang integral tentu.

Definisi 2.6.2 Jika 𝑓 fungsi kontinu yang didefinisikan untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka kita bagi selang 𝑎, 𝑏 menjadi n selang-bagian berlebar sama ∆𝑥 =

(𝑏−𝑎) 𝑛

. Misalkan

𝑥0 = 𝑎 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 (= 𝑏) berupa titik ujung selang-bagian ini dan pilih titik sampel 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ di dalam selang-bagian. Maka definisi integral tentu 𝑓 dari 𝑎 sampai 𝑏 adalah : b



n

f ( x)dx  lim  f ( x1* )x n 

a

i 1

b

Integral tentu

 f ( x)dx adalah sebuah bilangan, integral tentu tersebut tidak a

tergantung kepada x. Dapat digunakan sembarang huruf di tempat x tanpa mengubah nilai integral. Misalnya :

b

b

b

a

a

a

 f ( x)dx   f (t )dt   f (r )dr

Berikut ini adalah sifat-sifat integral tentu. Andaikan bahwa f dan g adalah fungsi-fungsi kontinu, maka : b

1.

 cdx  c(b  a) , dengan 𝑐 konstanta sembarang. a

2.

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx


b

b

a

a

30

 cf ( x)dx  c  f ( x)dx , dengan 𝑐 konstanta sembarang.

3.

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx

4.

c



5.

b

b

c

a

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

a

b

6. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka

 f ( x)dx  0. a

7. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka

b

b

a

a

 f ( x)dx   g ( x)dx.

8. Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka b

m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a). a

Sekarang, akan dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus. Teorema Dasar Kalkulus ini mengaitkan antara kalkulus diferensial dan kalkulus integral, yaitu hubungan timbal balik antara keduannya. Misalkan 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan didefinisikan fungsi baru 𝑔, yaitu : x

g ( x)   f (t )dt , dengan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Di sini nilai 𝑔 tergantung pada 𝑥 yang a

mana 𝑥 adalah peubah batas atas dalam integral. Jika 𝑥 bilangan tetap, maka x

 f (t )dt adalah a

integral tentu. Namun jika 𝑥 berubah-ubah, maka bilangan


31

x

 f (t )dt

juga akan berubah-ubah menurut 𝑥. Oleh karena itu, dapat

a

didefinisikan bahwa 𝑔(𝑥) adalah fungsi dari 𝑥.

Teorema 2.6.2 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1) Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi 𝑔 yang didefinisikan oleh 𝑥

𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑎

adalah kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏) dan 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

Bukti : Fungsi 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏]. 𝑥

𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑎

Jika 𝑥 dan (𝑥 + 𝑕) berada dalam (𝑎, 𝑏) maka 𝑥+𝑕

𝑔 𝑥+𝑕 −𝑔 𝑥 =

𝑥

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑎

=

𝑥 𝑎

𝑎

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 +

integral tentu; yakni sifat ke 5) =

𝑥 𝑥

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥+𝑕 𝑥

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 −

𝑥 𝑎

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

(menurut

sifat


32

Oleh karena itu, untuk 𝑕 ≠ 0, 𝑔 𝑥 +𝑕 −𝑔 𝑥 𝑕

1

=𝑕

𝑥 𝑥

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

(1)

Kali ini, anggap bahwa 𝑕 > 0. Karena 𝑓 kontinu pada [𝑥, 𝑥 + 𝑕], menurut teorema 2.5.1, terdapat bilangan 𝑢 dan 𝑣 dalam [𝑥, 𝑥 + 𝑕] sedemikian sehingga 𝑓 𝑢 = 𝑚 dan 𝑓 𝑣 = 𝑀, dengan 𝑚 dan 𝑀 adalah nilai minimum dan maksimum mutlak 𝑓 pada [𝑥, 𝑥 + 𝑕]. Menurut sifat integral; yakni sifat 8 didapat : 𝑥+𝑕

𝑚𝑕 ≤

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ≤ 𝑀𝑕 𝑥 𝑥+𝑕

𝑓(𝑢)𝑕 ≤

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑓(𝑣)𝑕 𝑥

Karena 𝑕 > 0, ketaksamaan ini dapat dibagi dengan 𝑕 :

1 𝑓(𝑢) ≤ 𝑕

𝑥+𝑕

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑓(𝑣) 𝑥

Gunakan persamaan 1 untuk menggantikan bagian tengah kesamaan ini : 𝑓(𝑢) ≤

𝑔 𝑥+𝑕 −𝑔 𝑥 𝑕

≤ 𝑓(𝑣)

(2)

Ketaksamaan 2 dapat dibuktikan dalam cara serupa untuk kasus 𝑕 < 0. Sekarang, biarkan 𝑕 → 0. Maka 𝑢 → 𝑥 dan 𝑣 → 𝑥, Karena 𝑢 dan 𝑣 terletak di antara 𝑥 dan 𝑥 + 𝑡. Karena itu, lim f (u)  lim f (u)  f ( x) dan lim f (u)  lim f (u)  f ( x) h 0

ux

h 0

vx


33

karena 𝑓 kontinu di 𝑥. (definisi 2.3.1) Dari persamaan 2 dan teorema 2.2.2 (teorema apit), maka didapat : 𝑔′ 𝑥 = lim

𝑕→0

𝑔(𝑥+𝑕) 𝑕

= 𝑓(𝑥)

(3)

𝑎≤𝑥≤𝑏 Jika 𝑥 = 𝑎 atau 𝑥 = 𝑏 , maka persamaan 3 dapat ditafsirkan sebagai limit sepihak. Menurut teorema 2.4.1, dan definisi 2.3.3, 𝑔(𝑥) kontinu pada [𝑎, 𝑏]

Teorema 2.6.3 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 2) b

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka

 f ( x)dx  F (b)  F (a) dengan

𝐹

a

antiturunan sembarang dari 𝑓, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga 𝐹 ′ = 𝑓

Bukti : Misalkan 𝑔 𝑥 =

𝑥 𝑎

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡. Dari Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1

diketahui bahwa 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥); yakni 𝑔 adalah sembarang antiturunan 𝑓. Jika 𝐹 adalah sembarang antiturunan yang lain dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] maka 𝐹 𝑥 =𝑔 𝑥 +𝐶

(6)

untuk 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (menurut teorema 2.6.1) Tetapi 𝐹 dan 𝑔 keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga dengan mengambil limit kedua ruas persamaan 6 (seraya 𝑥 → 𝑎+ dan 𝑥 → 𝑏 −), dapat dilihat


34

bahwa hal itu juga berlaku jika 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. (definisi 2.3.1, definisi 2.3.3) Jika diberikan 𝑥 = 𝑎 dalam rumus untuk 𝑔(𝑥), maka diperoleh : 𝑎

𝑔 𝑎 =

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0 𝑎

Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan 6 dengan 𝑥 = 𝑏 dan 𝑥 = 𝑎, didapat : 𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 = 𝑔 𝑎 +𝐶 − 𝑔 𝑏 +𝐶 =𝑔 𝑏 −𝑔 𝑎 =𝑔 𝑏 =

𝑏 𝑎

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Setelah dibahas tentang Teorema Dasar Kalkulus, yakni hubungan antara antiturunan dan integral, maka sekarang akan dibahas tentang antiturunan dalam Teorema Dasar Kalkulus tadi, yang disebut juga dengan integral tak tentu. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) bermakna 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) Sebagai contoh, 𝑑

𝑥3

𝑑𝑥

3

𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑥3 3

+ 𝐶 , dengan 𝐶 konstan, ini karena

+ 𝐶 = 𝑥2 .

Berikut ini, akan dibahas mengenai salah satu teknik pengintegralan yaitu integral parsial. Pada turunan, terdapat aturan hasil kali yaitu 𝑑 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑓(𝑥)

𝑑 𝑑 [𝑔 𝑥 ] + 𝑔(𝑥) [𝑓 𝑥 ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Dengan mengintegralkan kedua ruas, akan didapat :


35

[𝑓 𝑥 𝑔′ (𝑥) + 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 ] 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) =

Menurut sifat penjumalahan pada integral, akan didapat : 𝑓 𝑥 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 +

𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi 𝑔 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 −

𝑓 𝑥 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥

Persamaan di atas disebut rumus pengintegralan parsial. Jika 𝑢 = 𝑓(𝑥) dan 𝑣 = 𝑔(𝑥) maka 𝑑𝑢 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥, rumus pengintegralan parsial dapat ditulis menjadi 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −

𝑣 𝑑𝑢

Setelah dibahas mengenai integral; yakni integral tentu dan tak tentu, kali ini akan dijelaskan mengenai salah satu penggunaan integral lebih lanjut yaitu tentang rumus panjang kurva. Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka panjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 adalah 𝐿 =

𝑏 𝑎

1 + [𝑓 ′ 𝑥 ]2 𝑑𝑥.

G. Kalkulus Multivariabel Di bagian ini, akan dibahas pengertian fungsi beberapa variabel, limit, dan kontinuitasnya, derivatif parsial, dan nilai ekstrim untuk fungsi beberapa variabel.


36

Pertama-tama akan dibahas tentang fungsi 2 variabel bebas dan 3 variabel bebas.

Definisi 2.7.1 Suatu fungsi 𝑓 dari dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real (𝑥, 𝑦) di dalam sebuah himpunan 𝐷 sebuah bilangan real unik yang dinyatakan oleh 𝑓(𝑥, 𝑦). Himpunan 𝐷 adalah daerah asal dari 𝑓 dan daerah nilainya adalah himpunan nilai yang digunakan 𝑓, atau dengan kata lain , {𝑓 𝑥, 𝑦 |(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}.

Definisi 2.7.2 Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel dengan daerah asal 𝐷, maka grafik 𝑓 adalah himpunan semua titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) di 𝑅 3 sedemikian sehingga 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan (𝑥, 𝑦) berada di 𝐷.

Sekarang akan dibahas tentang pengertian limit dan kontinuitas fungsi 2 variabel.

Definisi 2.7.3 Misalkan 𝑓 adalah fungsi dua variabel yang daerah asalnya 𝐷 mencakup titiktitik yang sengaja dipilih dekat dengan (𝑎, 𝑏). Maka dikatakan bahwa limit dari 𝑓(𝑥, 𝑦) seraya (𝑥, 𝑦) mendekati (𝑎, 𝑏) adalah 𝐿, dan ditulis lim

( x , y ) ( a ,b )

f ( x, y)  L


37

jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan yang berpadanan 𝛿 > 0 sedemikian sehingga

𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 𝜀 bilamana (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 dan 0 ≤

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿.

Definisi 2.7.4 Fungsi dua variabel 𝑓 disebut kontinu di (𝑎, 𝑏) jika lim

( x , y ) ( a ,b )

f ( x, y)  f (a, b)

Dikatakan 𝑓 kontinu pada 𝐷 jika 𝑓 kontinu di setiap titik (𝑎, 𝑏) dalam 𝐷.

Sekarang akan dibahas untuk fungsi tiga variabel atau lebih.

Definisi 2.7.5 Fungsi tiga variabel, 𝑓, adalah aturan yang memberikan kepada masingmasing rangkap tiga terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) di dalam daerah asal 𝐷 ⊂ 𝑅 3 sebuah bilangan real unik yang dinyatakan oleh 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Definisi 2.7.6 Fungsi 𝑛 variabel adalah aturan yang memberikan sebuah bilangan 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) kepada rangkap 𝑛 bilangan real (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). Himpunan rangkap 𝑛 yang demikian dinyatakan dengan 𝑅 𝑛 .


38

Definisi 2.7.7 Andaikan 𝐚 adalah sembarang titik pada 𝑅 𝑛 , dan 𝐱 adalah variabel-variabel dari fungsi 𝑛 variabel. Jika 𝑓 didefinisikan pada himpunan bagian 𝐷 dari 𝑅 𝑛 , maka lim𝐱→𝐚 𝑓(𝐱) = 𝐿 bermakna bahwa untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat sebuah bilangan terkait 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 − 𝐿 < 𝜀 bilamana 𝐱 ∈ 𝐷 dan 0 < 𝐱 − 𝐚 < 𝛿.

Untuk 𝑛 = 3, maka 𝐱 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan a= 𝑎, 𝑏, 𝑐 , sehingga definisi di atas menjadi definisi limit untuk fungsi 3 variabel ; yakni : lim

( x , y , z ) ( a ,b , c )

f ( x, y, z )  f (a, b, c)

Yang berarti bahwa nilai 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) mendekati bilangan 𝐿 seraya titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) mendekati titik (𝑎, 𝑏, 𝑐) di sepanjang daerah lintasan dalam daerah asal 𝑓. Definisi persisnya yaitu : Untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat sebuah bilangan terkait 𝛿 > 0 sedemikian 0≤

sehingga

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝐿 < 𝜀

bilamana

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 < 𝛿 dan (𝑥, 𝑦, 𝑧) berada dalam daerah

asal 𝑓.

Definisi 2.7.8 Fungsi 𝑛 variabel 𝑓 disebut kontinu di 𝐚 jika lim𝐱→𝐚 𝑓(𝐱) = 𝐿.


39

Teorema 2.7.1 Jika 𝑓 adalah fungsi 3 variabel yang kontinu pada (𝑘, 𝑙, 𝑚) dan 𝑔 𝑥 , 𝑕 𝑦 , 𝑖(𝑧) adalah fungsi-fungsi dengan satu variabel. lim g ( x)  k , x a

lim h( y)  l , lim i( z )  m , maka y b

z c

lim

( x , y , z ) ( a ,b , c )

f ( g ( x), y( x), z ( x))  f (k , l , m) .

Dengan kata lain lim

( x , y , z )( a ,b ,c )

f ( g ( x), y( x), z ( x))  f  lim g ( x), lim h( y), lim i( z ) . y b z c  x a 

Bukti : Fungsi 𝑓 kontinu pada (𝑘, 𝑙, 𝑚), sehingga didapat lim

( u ,v , w) ( k ,l , m )

f (u, v, w)  f (k , l , m)

Ini berarti untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga jika 0  (u  k ) 2  (v  l ) 2  (w  m) 2   1 maka f (u, v, w)  f (k , l , m)   .

lim g ( x)  k x a

Ini berarti untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿2 > 0 sedemikian sehingga jika 0  x  a   2 maka g ( x)  k   . lim h( y)  l y b

Ini berarti untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿3 > 0 sedemikian sehingga jika 0  y  b   3 maka h( y)  l   . lim i( z )  m z c


40

Ini berarti untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿4 > 0 sedemikian sehingga jika 0  z  c   4 maka i( z )  m   .

0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 Karena 𝛿1 , 𝛿2 , 𝛿3 adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 juga masih merupakan bilangan positif yang sangat kecil, sehingga dapat dituliskan 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 = 𝛿. Jadi dapat dituliskan 0 < 𝑥 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 + 𝑧 − 𝑐 < 𝛿.

 g ( x)  k  h( y)  l  i( z)  m   3 ( g ( x)  k ) 2  (h( x)  l ) 2  (i( z )  m) 2  3 2

Karena 𝜀 adalah bilangan positif yang sangat kecil, maka

3 2 juga masih

merupakan bilangan positif yang sangat kecil.

Karena

𝑢 = 𝑔 𝑥 , 𝑣 = 𝑕 𝑦 , 𝑤 = 𝑖(𝑧)

( g ( x)  k ) 2  (h( x)  l ) 2  (i( z )  m) 2  1 ,

maka sehingga

didapat mengakibatkan

f ( g ( x), h( x), i( x))  f (k , l , m)  

Oleh karena itu, untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga Jika

0< 𝑥−𝑎 + 𝑦−𝑏 + 𝑧−𝑐 <𝛿

f ( g ( x), h( x), i( x))  f (k , l , m)   .

maka


Ini berarti

lim

( x , y , z )( a ,b ,c )

41

f ( g ( x), y( x), z ( x))  f (k , l , m).

Teorema 2.7.2 Jika 𝑔, 𝑕, 𝑖 masing –masing adalah fungsi satu variabel sedemikian sehingga 𝑔 kontinu pada 𝑎, 𝑕 kontinu pada 𝑏, 𝑖 kontinu pada 𝑐, dan 𝑓 kontinu pada (𝑔 𝑎 , 𝑕 𝑏 , 𝑖 𝑐 ), maka fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 , 𝑕 𝑥 , 𝑖(𝑥)) kontinu pada (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Bukti : Mengingat fungsi 𝑔 kontinu pada 𝑎, maka didapat : lim g ( x)  g (a) x a

Fungsi 𝑕 kontinu pada 𝑏, maka didapat : lim h( y)  h(b) y b

Fungsi 𝑖 kontinu pada 𝑐, maka didapat : lim i( z )  i(c) z c

Fungsi 𝑓 kontinu pada (𝑔 𝑎 , 𝑕 𝑏 , 𝑖 𝑐 ), maka dengan menerapkan teorema 2.7.1, akan diperoleh

lim

( x , y , z ) ( a ,b , c )

f ( g ( x), y( x), z ( x))  f ( g (a), h(b), i(c))

Ini berarti fungsi 𝑓(𝑔 𝑥 , 𝑕 𝑥 , 𝑖(𝑥)) kontinu pada (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Setelah membahas limit dan kontinuitas, kali ini akan dibahas tentang pengertian turunan parsial.


42

Definisi 2.7.9 Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 yang didefinisikan oleh 𝑓 𝑥 + 𝑕, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑕→0 𝑕

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = lim

𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑕 − 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑕→0 𝑕

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = lim

Berikut ini adalah notasi-notasi untuk turunan parsial. Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), maka dituliskan 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 =

𝜕𝑓 𝜕 𝜕𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = = 𝑓1 = 𝐷1 𝑓 = 𝐷𝑥 𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 =

𝜕𝑓 𝜕 𝜕𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = = 𝑓2 = 𝐷2 𝑓 = 𝐷𝑦 𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Kemudian, akan dibahas mengenai aturan untuk pencarian turunan parsial dari 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 1. Untuk mencari 𝑓𝑥 , pandang 𝑦 sebagai konstanta dan diferensialkan 𝑓(𝑥, 𝑦) terhadap 𝑥. 2. Untuk mencari 𝑓𝑦 , pandang 𝑥 sebagai konstanta dan diferensialkan 𝑓(𝑥, 𝑦) terhadap 𝑦.

Turunan parsial juga dapat didefinisikan untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, turunan parsialnya terhadap 𝑥 didefinisikan sebagai berikut :


43

𝑓 𝑥 + 𝑕, 𝑦, 𝑧 − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑕→0 𝑕

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = lim

dan ditemukan dengan cara memandang 𝑦 dan 𝑧 sebagai konstanta serta mendiferensialkan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) terhadap 𝑥.

Umumnya, jika 𝑢 adalah fungsi 𝑛-variabel, 𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), turunan parsialnya terhadap variabel 𝑥𝑖 ke-𝑖 adalah 𝜕𝑢 𝑓 𝑥1 , … , 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖+𝑕 , 𝑥𝑖+1 , … , 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥1 , 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛 ) = lim 𝑕→0 𝑥𝑖 𝑕 dan dituliskan 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑖

𝜕𝑓

= 𝜕𝑥 = 𝑓𝑥 𝑖 = 𝑓𝑖 = 𝐷𝑖 𝑓. 𝑖

Setelah dibahas mengenai turunan parsial pertama, kali ini akan kita bahas pengertian mengenai turunan parsial ke dua dan ke tiga. Jika 𝑓 adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 juga fungsi dua variabel. Sehingga dapat ditiinjau turunan parsial dari 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 . Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), digunakan notasi berikut : 𝑥

= 𝑓𝑥𝑥 = 𝑓11 =

𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑧 = 2= 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝑦

= 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓12 =

𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑧 = = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥

(𝑓𝑦 )𝑥 = 𝑓𝑦𝑥 = 𝑓21 =

𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑧 = = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑓𝑥 𝑓𝑥


(𝑓𝑦 )𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 = 𝑓22 =

44

𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑧 = 2= 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Jadi, notasi 𝑓𝑥𝑦 atau

𝜕2𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑥

bermakna bahwa pertama, diferensialkan

terhadap 𝑥 kemudian terhadap 𝑦 sedangkan dalam menghitung 𝑓𝑦𝑥 urutannya dibalik.

Turunan parsial orde 3 atau lebih tinggi dapat juga didiferensialkan. Misalnya, 𝑓𝑥𝑦𝑦

𝜕 𝜕2𝑓 𝜕3𝑓 = = 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥

dan seterusnya.

Untuk selanjutnya, akan dibahas tentang pengertian nilai maksimum dan nilai minimum lokal untuk fungsi beberapa variabel.

Definisi 2.7.9 Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di (𝑎, 𝑏) jika 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑎, 𝑏) ketika (𝑥, 𝑦) dekat (𝑎, 𝑏). [Ini berarti bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑎, 𝑏) untuk semua titik (𝑥, 𝑦) dalam suatu cakram dengan pusat 𝑎, 𝑏 .] Bilangan 𝑓(𝑎, 𝑏) disebut nilai maksimum lokal. Jika 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(𝑎, 𝑏) ketika (𝑥, 𝑦) dekat (𝑎, 𝑏), maka 𝑓(𝑎, 𝑏) disebut nilai minimum lokal.

Fungsi 𝑛-variabel mempunyai maksimum lokal di (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) jika 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑓(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )

ketika

(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )

dekat


45

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ). Bilangan 𝑓(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) disebut nilai maksimum lokal. Jika 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≥ 𝑓(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )

ketika

(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )

dekat

(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ), maka 𝑓(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) disebut nilai minimum lokal.

H. Deret Tak Hingga Pembahasan kali ini dimulai dengan pembahasan tentang pengertian suatu barisan. Sebuah barisan adalah suatu daftar bilangan yang dituliskan dalam suatu urutan tertentu : 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … , 𝑎𝑛 , … Barisan di atas adalah barisan tak hingga, yaitu barisan dengan suku tak hingga banyak. Bila diperhatikan, untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛 terdapat suatu bilangan 𝑎𝑛 yang terkait. Oleh karena itu, sebuah barisan dapat didefinisikan sebagai sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Barisan 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … , 𝑎𝑛 , … dinotasikan sebagai 𝑎𝑛 atau 𝑎𝑛

∞ 𝑛=1

Definisi 2.8.1 Barisan 𝑎𝑛

mempunyai limit 𝐿 dan dituliskan lim a n  L atau 𝑎𝑛 → 𝐿 n 

seraya 𝑛 → ∞ apabila untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat sebuah bilangan bulat 𝑁 sedemikian sehingga 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 apabila 𝑛 > 𝑁. Jika lim a n ada, dikatakan n 


46

bahwa barisan tersebut konvergen. Jika tidak, dikatakan bahwa barisan tersebut divergen.

Sekarang, akan mulai dibahas tentang deret. Jika suku-suku dari suatu barisan tak hingga 𝑎𝑛

∞ 𝑛=1

dijumlahkan, maka akan didapatkan suatu ekspresi

yang berbentuk 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ Ekspresi di atas disebut deret tak hingga, dan dinyatakan dengan lambang ∞ 𝑛=1 𝑎𝑛

atau

𝑎𝑛

Tinjau jumlah parsial pada deret di atas yaitu : 𝑠1 = 𝑎1 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 dan, secara umum, 𝑛

𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 =

𝑎𝑖 𝑖=1

Jumlah-jumlah parsial ini membentuk barisan baru 𝑠𝑛 .

Definisi 2.8.1 Diberikan sebuah deret

∞ 𝑛=1 𝑎𝑛

= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯, misalkan 𝑠𝑛 adalah

jumlah parsial ke-𝑛 dari deret tersebut :


𝑠𝑛 =

∞ 𝑛=1 𝑎𝑛

= 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 .

Jika

barisan

𝑠𝑛

lim s n  s hadir sebagai suatu bilangan real, maka deret

n 

konvergen dan kita tuliskan 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ = 𝑠 atau

konvergen

47

dan

𝑎𝑛 dikatakan 𝑎𝑛 = 𝑠

Bilangan 𝑠 disebut sebagai jumlah dari deret tersebut. Jika tidak, deret tersebut dikatakan divergen.

Definisi 2.8.2 Barisan 𝑎𝑛 adalah terbatas di atas apabila terdapat suatu bilangan 𝑀 sedemikian sehingga 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛 ≥ 1. Barisan 𝑎𝑛 adalah terbatas di bawah apabila terdapat suatu bilangan 𝑚 sedemikian sehingga 𝑚 ≤ 𝑎𝑛 untuk semua 𝑛 ≥ 1. Jika 𝑎𝑛 adalah terbatas di atas dan di bawah, maka 𝑎𝑛 merupakan barisan terbatas.

Telah dibahas mengenai pengertian barisan dan deret tak hingga. Untuk selanjutnya, akan dibahas tentang deret pangkat.

Definisi 2.8.3 Deret pangkat adalah deret yang berbentuk ∞

𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + ⋯ 𝑛=0

dengan 𝑥 adalah suatu variabel dan 𝑐𝑛 adalah konstanta-konstanta yang disebut koefisien dari deret tersebut.


48

Jumlah deret tersebut merupakan suatu fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + … + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ yang daerah asalnya adalah himpunan semua 𝑥 sedemikian sehingga deret konvergen. Secara lebih umum, deret yang berbentuk

∞

𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 (𝑥 − 𝑎) + 𝑐2 (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ 𝑛=0

disebut deret pangkat dalam (𝑥 − 𝑎) atau deret pangkat yang berpusat di 𝑎 atau deret pangkat di sekitar 𝑎.

Jari-jari konvergensi deret pangkat adalah suatu bilangan positif 𝑅 sedemikian sehingga deret tersebut konvergen bila 𝑥 − 𝑎 < 𝑅 dan divergen bila 𝑥 − 𝑎 > 𝑅. Jumlah suatu deret pangkat merupakan suatu fungsi ∞

𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛

𝑓 𝑥 = 𝑛=0

yang daerah asalnya adalah selang konvergensi deret tersebut. Sekarang fungsi tersebut akan diturunkan. Bagaimana cara menurunkan fungsi tersebut dapat dilihat dari teorema berikut ini:


49

Teorema 2.8.1 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 mempunyai jari-jari konvergensi 𝑅 > 0,

Jika deret pangkat

maka fungsi 𝑓 yang didefinisikan oleh ∞

𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎

2

𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛

+⋯= 𝑛=0

dapat diturunkan (dan karenanya kontinu) pada selang (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎

2

+⋯=

∞ 𝑛=1 𝑛𝑐𝑛 (𝑥

− 𝑎)𝑛−1

Jari-jari konvergensi deret pangkat pada persamaan di atas adalah 𝑅.

Bukti : 𝑓(𝑥) kontinu pada setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan real, karena 𝑓(𝑥) berupa polinom. Sehingga 𝑓(𝑥) juga kontinnu pada selang (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅). Setiap suku dari 𝑓(𝑥) juga kontinu pada setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan real, karena dia berupa polinom. Sehingga mereka juga kontinnu pada selang (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅). Karena itu, menurut aturan penjumlahan dan aturan perkalian konstanta pada turunan akan didapat : 𝑓′ 𝑥 =

𝑑 𝑑 𝑑 (𝑐0 ) + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥−𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑 𝑓 𝑥 = 0 + 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥−𝑎 +⋯= 𝑑𝑥

2

+⋯

∞

′

𝑛𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛−1 𝑛=1

Teorema 2.8.2 Jika fungsi 𝑓 mempunyai uraian deret pangkat di 𝑎, yakni jika


𝑓 𝑥 =

∞ 𝑛=0 𝑐𝑛 (𝑥

− 𝑎)𝑛

50

𝑥−𝑎 <𝑅

maka koefisiennya diberikan oleh rumus 𝑐𝑛 =

𝑓 𝑛 𝑛!

(𝑥 − 𝑎)𝑛 .

Bukti : 𝑓(𝑥) dapat diuraikan dalam bentuk deret pangkat sehingga 𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎

2

+ 𝑐3 𝑥 − 𝑎

3

+ 𝑐4 𝑥 − 𝑎

4

+⋯

(1) 𝑥−𝑎 <𝑅 Perhatikan bahwa jika 𝑥 = 𝑎 dimasukkan ke dalam persamaan (1) , maka akan didapat 𝑓 𝑎 = 𝑐0

Menurut teorema 2.8.2 deret pada persamaan (1) dapat diturunkan suku demi suku, sehingga 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 𝑥 − 𝑎

2

+ 4𝑐4 𝑥 − 𝑎

3

+⋯

(2)

𝑥 − 𝑎 < 𝑅. Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (2), sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 𝑐1 .

Turunkan kedua ruas persamaan (2) dan didapat 𝑓 ′ ′ 𝑥 = 2𝑐2 + 2 ∙ 3𝑐3 𝑥 − 𝑎 + 3 ∙ 4𝑐3 𝑥 − 𝑎

2

+⋯

(3)

𝑥 − 𝑎 < 𝑅. Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (3) sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 2𝑐2 .

Sekali lagi, sehingga penurunan deret pada persamaan (3) memberikan


𝑓 ′ ′′ 𝑥 = 2 ∙ 3𝑐3 + 2 ∙ 3 ∙ 4𝑐4 𝑥 − 𝑎 + 3 ∙ 4 ∙ 5𝑐5 𝑥 − 𝑎

2

…

51

(4)

𝑥−𝑎 <𝑅 Substitusi 𝑥 = 𝑎 ke persamaaan (4) sehingga didapat 𝑓 𝑎 = 2 ∙ 3𝑐3 = 3! 𝑐3 .

Sekarang dapat dilihat polanya. Jika dilanjutkan penurunannya dan juga substitusi 𝑥 − 𝑎, maka dapat diperoleh 𝑓 (𝑛 ) 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙∙∙∙ 𝑛𝑐𝑛 = 𝑛! 𝑐𝑛 𝑓 (𝑛 ) 𝑎 = 𝑛! 𝑐𝑛 Oleh karena itu didapat 𝑐𝑛 =

𝑓 (𝑛 ) 𝑎 𝑛!

Sekarang substitusikan rumus 𝑐𝑛 kembali ke dalam deret didapat ∞

𝑓 𝑥 = 𝑛 =0

𝑓𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 𝑛!

=𝑓 𝑎 +

𝑓′ 𝑎 1!

𝑥−𝑎 +

𝑓′ ′ 𝑎 2!

𝑥−𝑎

2

+

𝑓′ ′′ 𝑎 3!

𝑥−𝑎

3

+⋯

Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa jika 𝑓 dapat diturunkan sampai tak hingga kali pada 𝑥 = 𝑎, maka didapat polinomial Taylor sebagai berikut : 𝑓′ 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 + 1!

𝑓′′ 𝑎 𝑥−𝑎 + 2!

𝑥−𝑎

2

𝑓′′′ 𝑎 + 3!

𝑥−𝑎

3

+⋯

Deret di atas disebut deret Taylor dari fungsi 𝑓 di 𝑎 (atau di sekitar 𝑎 atau yang berpusat di 𝑎).

Dalam kasus deret Taylor, jumlah parsialnya adalah


∞

𝑓

𝑇𝑛 𝑥 =

𝑖

𝑛!

𝑖=0

=𝑓 𝑎 +

𝑎

𝑓′ 𝑎 1!

52

(𝑥 − 𝑎)𝑖

𝑥−𝑎 +

𝑓′ 𝑎 2!

𝑥−𝑎

2

+ ⋯+

𝑓 (𝑛 ) 𝑎 𝑛!

𝑥−𝑎

𝑛

𝑇𝑛 adalah polinom berderajat 𝑛 untuk 𝑓 di 𝑎.

Jika dimisalkan 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑇𝑛 𝑥

sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 ,

maka 𝑅𝑛 𝑥 disebut suku sisa dari deret Taylor.

Teorema 2.8.3 Jika 𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 , di mana 𝑇𝑛 adalah polinom berderajat 𝑛 untuk 𝑓 di 𝑎 dan lim Rn ( x)  0 untuk 𝑥 − 𝑎 < 𝑅, maka 𝑓 sama dengan jumlah deret n 

Talor-nya pada selang 𝑥 − 𝑎 < 𝑅.

Bukti : lim Rn ( x)  0

n 

𝑓(𝑥) = 𝑇𝑛 𝑥 + 𝑅𝑛 𝑥 , maka lim Tn ( x)  lim[ f ( x)  Rn ( x)]

n 

n 

 lim f ( x)  lim Rn ( x) (menurut hukum pengurangan limit) n 

n 

 f ( x)  0  f (x)

Oleh karena itu, f ( x)  Tn ( x).


53

Dalam mencoba menunjukkan lim Rn ( x)  0 untuk fungsi 𝑓 tertentu, biasanya n 

digunakan fakta berikut : Jika 𝑓

𝑛+1

Taylor-nya

(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑑, maka suku sisa 𝑅𝑛 𝑥 dari deret memenuhi

ketaksamaan

𝑅𝑛 𝑥

≤

𝑀 𝑛 +1 !

𝑥−𝑎

𝑛+1

untuk

𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑑, dengan 𝑀 suatu konstanta dan 𝑑 adalah sembarang bilangan positif. Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor.

Sekarang untuk fungsi dengan 3 variabel bebas, Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memiliki turunan parsial sampai tingkat berapapun di sekitar (𝑎, 𝑏, 𝑐), yaitu 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 +

𝑥−𝑎

+ 𝑧−𝑐

+

1 2!

𝜕 𝜕 𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝑥 − 𝑏 𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕 𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝜕𝑧

𝑥−𝑎

𝜕 𝜕 𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 + 𝑦 − 𝑏 𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕 + 𝑧−𝑐 𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝜕𝑧

2

+⋯


54

(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua dan seterusnya)

Andaikan 𝐱 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan 𝐚 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝐡=𝐱−𝐚 𝐡 = 𝑕1 + 𝑕2 + 𝑕3 Jika 𝑓(𝐱) adalah fungsi dengan 3 variabel yang memiliki turunan-turunan parsial hingga pangkat 𝑛 + 1, dan turunan-turunan parsial hingga pangkat 𝑛 + 1 –nya kurang dari atau sama dengan 𝑀 untuk 𝐱 di suatu persekitaran dari 𝐚 maka suku sisa 𝑅𝑛 𝑥 dari deret Taylor-nya memenuhi ketaksamaan 𝑅𝑛 𝐱

≤

𝑀 𝑛+1 !

𝐡

𝑛+1

.

Ketaksamaan di atas disebut ketaksamaan Taylor untuk fungsi 3 variabel.

I. Persamaan Diferensial Biasa Di sini hanya akan dibahas tentang pengertian persamaan diferensial biasa, dan apa yang dimaksud solusi dari persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabelvariabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya (turunan-turunannya) terhadap variabel bebas. Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Beberapa contohnya sebagai berikut ini :


55

Contoh 2.9.1 1. 𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 2. 𝑦 ′′ = 𝑦 𝑑𝑦

3. 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + sin⁡ (𝑥)

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas. Beberapa contohnya sebagai berikut ini :

Contoh 2.9.2 𝜕2𝑢

𝜕2𝑢

1. 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦 2 = 0 2.

𝜕2𝑥 𝜕𝑡 2

𝜕𝑦

+ 𝜕𝑡 + 𝑥𝑦 = sin⁡ (𝑡)

Sedangkan orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. Pada contoh 2.9.1, contoh nomor 1 berorde 1, contoh nomor 2 berorde 2, dan contoh nomor 3 berorde 1 Pada contoh 2.9.2, kedua contoh berorde 2

Definisi 2.9.1 Andaikan persamaan diferensial dalam bentuk 𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑡, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦

𝑛−1

)


56

Solusi dari persamaan diferensial tersebut pada interval 𝛼 < 𝑡 < 𝑏 adalah sebuah fungsi 𝜙 sedemikian sehingga 𝜙 ′ (𝑡), 𝜙 ′′ (𝑡),…, 𝜙 𝑛 (𝑡) ada dan memenuhi 𝜙(𝑡)(𝑛) = 𝑓[𝑡, 𝜙 𝑡 ′ , 𝜙 ′′ 𝑡 , … , 𝜙

𝑛 −1

𝑡 ].

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, manipulasi seluruh persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan hanya menyisakan hubungan antara 𝑥 dan 𝑦. Jika persamaan diferensial berbentuk 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.

Contoh 2.9.1 Diberikan persamaan diferensial 𝑦 ′ = 3𝑥 2 + 1. Akan dicari bahwa 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 + 𝐶, dengan 𝐶 adalah konstan adalah solusinya persamaan diferensial di atas.

Diketahui 𝑦 ′ = 3𝑥 2 + 1, sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas akan didapat : 𝑦=

3 𝑥 2 + 1𝑑𝑥

Oleh karena itu, didapat : 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 + 𝐶, dengan 𝐶 adalah konstan.


BAB III FUNGSIONAL FUNGSI SATU VARIABEL BEBAS

Sebelum memulai pembahasan tentang fungsional yang bergantung pada fungsi satu variabel, akan dibahas mengenai ruang fungsi terlebih dahulu.

A. Ruang Fungsi Pertama-tama akan dibahas mengenai grup, ring, dan lapangan.

Definisi 3.1.1 Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tidak kosong, maka produk Cartesian 𝐴 × 𝐵 dari A dan B adalah himpunan semua pasangan berurutan (𝑎, 𝑏) dari 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵, yaitu : 𝐴×𝐵 =

𝑎, 𝑏 |𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵

Contoh 3.1.1 Jika 𝐴 = 1,2,3 dan 𝐵 = 2,6 , maka 𝐴×𝐵 =

1,2 , 1,6 , 2,2 , 2,6 , 3,2 , 3,6

𝐵×𝐴=

2,1 , 2,2 , 2,3 , 6,1 , 6,2 , 6,3

57


58

Definisi 3.1.2 Misalkan 𝑆 adalah himpunan tidak kosong, maka operasi biner ∗ pada 𝑆 adalah pemetaan ∗: 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 dimana untuk setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 terdapat tunggal 𝑐 ∈ 𝑆 sehingga ∗ 𝑎, 𝑏 = 𝑐 , atau dapat ditulis 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∈ 𝑆.

Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu: 1. Terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan (𝑎, 𝑏) dalam 𝑆 × 𝑆 dikawankan dengan tepat satu nilai 𝑎 ∗ 𝑏. 2. 𝑆 tertutup di terhadap operasi ∗ , yaitu untuk setiap pasangan berurutan (𝑎, 𝑏) dalam 𝑆 × 𝑆 maka 𝑎 ∗ 𝑏 masih dalam 𝑆.

Contoh 3.1.2 Diketahui 𝑍 himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan ∗ dengan aturan 𝑥∗𝑦 =𝑥+𝑦

(operasi

penjumlahan

pada

bilangan

bulat).

Operasi

penjumlahan pada bilangan bulat bersifat tertutup, ini didapat dari sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat. Operasi ∗ terdefinisikan dengan baik karena rumus 𝑥 + 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥, 𝑦) dalam 𝑍 × 𝑍 (ini juga menurut sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat). Oleh karena itu, operasi penjumlahan pada bilangan bulat adalah suatu operasi biner.


59

Definisi 3.1.3 Suatu grup (𝐺,∗) terdiri dari himpunan tidak kosong G yang dilengkapi dengan operasi biner ∗ yang didefinisikan pada G dan memenuhi sifat-sifat berikut : 1. Operasi biner ∗ bersifat tertutup, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺. 2. Operasi biner ∗ bersifat asosiatif, yakni 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧, untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺. 3. Terdapat 𝑒 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥, untuk semua 𝑥 ∈ 𝐺. 𝑒 disebut elemen identitas dari 𝐺. 4. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺, terdapat 𝑥 −1 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ 𝑥 −1 = 𝑥 −1 ∗ 𝑥 = 𝑒. 𝑥 −1 disebut invers dari 𝑥.

Contoh 3.1.3 1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan + didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥 + 𝑦, merupakan suatu grup.

Operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat penjumlahan bilangan real. Rumus 𝑥 + 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥, 𝑦) dalam 𝑅 × 𝑅. Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat : operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat


60

asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 0 sehingga 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 terdapat invers yaitu – 𝑥 sedemikian sehingga 𝑥 + −𝑥 = −𝑥 + 𝑥 = 0. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka (𝑅, +) adalah grup.

2. (𝑅 − 0 ,∙) merupakan suatu grup, dengan 𝑅 − {0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus 𝑥 ∙ 𝑦.

Operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, ini didapat dari sifat perkalian bilangan real. Rumus 𝑥 ∙ 𝑦 akan memberikan hasil tunggal untuk setiap (𝑥, 𝑦) dalam 𝑅 × 𝑅. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat : operasi perkalian pada bilangan real bersifat asosiatif, terdapat unsur identitas yaitu 1 sehingga 𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅 , dan 1

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu 𝑥 sedemikian sehingga 1

1

𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 = 1. Karena keempat sifat grup dipenuhi maka (𝑅 − 0 ,∙) adalah grup.

Definisi 3.1.4 Diberikan suatu grup (𝐺,∗). Grup (𝐺,∗) disebut grup komutatif atau Grup Abelian jika untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥.


61

Contoh 3.1.4 1. (𝑅, +), dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan + didefinisikan sebagai operasi penjumlahan dengan rumus 𝑥 + 𝑦, merupakan suatu grup abelian.

(𝑅, +) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3 Dari sifat-sifat penjumlahan bilangan real didapat bahwa penjumlahan pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +) merupakan grup abelian.

2. (𝑅 − {0},∙), dengan 𝑅 − {0} adalah himpunan semua bilangan real tanpa bilangan 0, dan ∙ didefinisikan sebagai operasi perkalian dengan rumus 𝑥 ∙ 𝑦, merupakan suatu grup abelian.

(𝑅 − {0},∙) merupakan suatu grup, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.3 Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa perkalian pada bilangan real memenuhi sifat komutatif. Oleh karena itu, (𝑅 − {0},∙) merupakan grup abelian.

Definisi 3.1.5 Suatu ring (𝑅, +,∙) adalah himpunan tidak kosong 𝑅 yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) , dan perkalian (∙) sedemikian sehingga memenuhi sifat-sifat berikut :


62

1. (𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, yang juga disebut elemen 0 dalam 𝑅. 2. Terhadap operasi perkalian (∙) : a. Bersifat tertutup, yaitu untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 maka 𝑥. 𝑦 ∈ 𝑅 b. Bersifat asosiatif, yaitu 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 c. Bersifat distributif kanan (operasi (∙) bersifat distributif kanan terhadap operasi (+)), yaitu 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧, untuk semua 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 d. Bersifat distributif kiri (operasi (. ) bersifat distributif kiri terhadap operasi (+)), yaitu

𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧, untuk semua

𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅

Untuk selanjutnya 𝑥 ∙ 𝑦 akan ditulis sebagai 𝑥𝑦.

Contoh 3.1.5 (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring.

(𝑅, +) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0, ini sudah dibuktikan pada contoh 3.1.4. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat tertutup, bersifat asosiatif,


63

dan bersifat distributif kiri maupun kanan. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah suatu ring.

Definisi 3.1.6 Ring (𝑅, +,∙) disebut ring komutatif jika dan hanya jika 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅.

Contoh 3.1.6 (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif.

(R, +,∙) adalah suatu ring, ini sudah dibuktikan pada contoh 3..1.6. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real didapat bahwa operasi perkalian pada bilangan real bersifat komutatif yaitu 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu ring komutatif. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙) adalah suatu ring komutatif.

Definisi 3.1.7 Diberikan suatu ring (𝐹, +,∙). Ring (𝐹, +,∙) disebut lapangan jika : 1. Ring (𝐹, +,∙) adalah ring komutatif.


64

2. Terdapat elemen satuan 1 ∈ 𝐹 sedemikian sehingga 1𝑥 = 𝑥1 = 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹. 3. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐹 yang tidak sama dengan 0 mempunyai invers yaitu 𝑥 −1 sedemikian sehingga 𝑥 −1 𝑥 = 𝑥𝑥 −1 = 1.

Contoh 3.1.7 (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (. ) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu lapangan.

(𝑅, +,∙) adalah suatu ring komutatif, ini sudah dibuktikan dalam contoh 3.1.6. Dari sifat-sifat perkalian bilangan real bilangan real didapat bahwa terdapat 𝑥 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ 𝑅

elemen identitas yaitu 1 sehingga

sehingga 1 adalah elemen satuan dalam lapangan (𝑅, +,∙), dan untuk setiap 1

1

1

𝑥 ∈ 𝑅 kecuali 0 terdapat invers yaitu 𝑥 sedemikian sehingga 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 = 1. Oleh karena itu, (𝑅, +,∙), dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan (+) didefinisikan sebagai operasi penjumlahan, dan (∙) didefinisikan sebagai operasi perkalian, adalah suatu lapangan.

Setelah dibahas mengenai tentang grup, ring, dan lapangan kali ini akan dibahas mengenai ruang linear, ruang metrik, dan ruang bernorma.


65

Definisi 3.1.8 Diberikan suatu himpunan ℛ dan lapangan real 𝑅. Suatu ruang linear atas lapangan real 𝑅 adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dua buah operasi. Operasi yang pertama yaitu operasi penjumlahan (+) yang menghubungkan setiap elemen 𝑥, 𝑦 ∈ ℛ dan dinotasikan 𝑥 + 𝑦. Operasi yang kedua adalah operasi perkalian skalar yang menghubungkan 𝑥 ∈ ℛ dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅 dan dinotasikan 𝛼𝑥.

Kedua operasi tersebut memenuhi aksioma-

aksioma berikut: 1. Jika x dan y adalah elemen-elemen dalam ℛ, maka 𝑥 + 𝑦 berada dalam ℛ (tertutup terhadap penjumlahan) 2. Untuk sembarang bilangan real ∝, jika 𝑥 ∈ ℛ maka ∝ 𝑥 ∈ ℛ 3. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ; 4.

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) ;

5. Terdapat suatu elemen 0 sedemikian sehingga 𝑥 + 0 = 𝑥 untuk setiap 𝑥∈ℛ; 6. Untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga 𝑥 + (−𝑥) = 0 ; 7. 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 ; 8. 𝛼 𝛽𝑥 = 𝛼𝛽 𝑥 ; 9.

𝛼 + 𝛽 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 ;

10. 𝛼 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦.


66

Contoh 3.1.8 Misal 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 , dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+) adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Misal 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 , dan 𝑕 𝑥 adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶 𝑎, 𝑏 . Misal 𝛼, 𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam 𝑅. 1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga lim f ( x)  f (c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. x c

𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga lim g ( x)  g (c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. x c

lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) (menurut hukum penjumlahan x c

x c

x c

limit) lim f ( x)  g ( x)  f (c)  g (c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. x c

lim ( f  g )( x)  ( f  g )(c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut x c

definisi penjumlahan fungsi). Oleh karena itu, 𝑓 + 𝑔 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏]. Jadi, 𝐶[𝑎, 𝑏] tertutup terhadap operasi penjumlahan. 2. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dalam interval [𝑎, 𝑏], sehingga


67

lim f ( x)  f (c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. x c

𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅. limf ( x)   lim f ( x) (menurut hukum perkalian konstanta pada x c

x c

limit) limf ( x)  f (c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. x c

lim f ( x)  (f (c)) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut definisi x c

perkalian bilangan real dengan fungsi) Oleh karena itu, 𝛼𝑓 (𝑥) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏]. Jadi, 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. 3. 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 , dan 𝑕 𝑥

adalah sembarang fungsi kontinu anggota

𝐶 𝑎, 𝑏 . Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 , 𝑔 𝑐 , 𝑕(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1). 𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 = 𝑔 𝑐 + 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat komutatif bilangan real). Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥),

untuk

setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. 4.

𝑓 𝑐 +𝑔 𝑐

+ 𝑕 𝑐 = 𝑓 𝑐 + (𝑔 𝑐 + 𝑕 𝑐 ), untuk setiap 𝑐 dalam

[𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis (𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 ), untuk setiap 𝑥


+𝑕 𝑥 =𝑓 𝑥 +

dalam [𝑎, 𝑏].

5. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏].


68

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) Terdapat fungsi 0, yaitu 𝑦 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui bahwa fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 = (−∞, ∞) sehingga 𝑦 𝑥 = 0 ada dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]). Oleh karena itu, didapat : 𝑦 𝑐 = 0 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. 𝑓 𝑐 + 𝑦 𝑐 = 𝑓 𝑐 + 0 = 𝑓 𝑐 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen identitas dalam penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah elemen 0 dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]. 6. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1) 𝑓 𝑐 + −𝑓 𝑐

= 0, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (invers dalam

penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + −𝑓 𝑥

= 0, untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎, 𝑏]. 7. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1)


69

Terdapat fungsi 𝑗 𝑥 = 1, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui bahwa fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 = (−∞, ∞) sehingga 𝑗 𝑥 = 1 ada dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]). Oleh karena itu, didapat : 𝑗 𝑐 = 1 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. 𝑗 𝑐 . 𝑓 𝑐 = 1 ∙ 𝑓 𝑐 = 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen identitas dalam perkalian bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 1 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah elemen satuan dalam 𝐶[𝑎, 𝑏]. 8. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) 𝛼, 𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅. 𝛼 𝛽𝑓(𝑐) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif perkalian bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝛽𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. 9.

𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) 𝛼, 𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅.


70

𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑐 = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛽𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. 10. 𝑓(𝑥), dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu anggota 𝐶[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓 𝑐 , 𝑔(𝑐) terdefinisi (dari definisi 2.3.1) 𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅. 𝛼 𝑓 𝑐 + 𝑔(𝑐) = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛼𝑔(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛼𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka 𝐶 𝑎, 𝑏 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Definisi 3.1.9 Suatu metrik dalam himpunan S adalah suatu fungsi 𝑑: 𝑆 × 𝑆 → 𝑅 yang memenuhi sifat-sifat berikut : a) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 b) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0, jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦 c) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥), untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆


71

d) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧, 𝑦), untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆

Definisi 3.1.10 Suatu ruang metrik (𝑆, 𝑑) adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan suatu metrik 𝑑 pada himpunan 𝑆.

Contoh 3.1.9 1. (𝑅, 𝑑) dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah jarak antara dua elemen pada 𝑅 yaitu 𝑑 𝑥, 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.

Buktinya adalah sebagai berikut : a)

𝑥 − 𝑦 ≥ 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅. (menurut definisi nilai mutlak bilangan real)

b) Jika diketahui 𝑥 − 𝑦 = 0, maka jika kita memisalkan 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 akan didapat – (𝑥 − 𝑦) ≠ 0. Oleh karena itu, 𝑥 − 𝑦 ≠ 0. Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu 𝑥 − 𝑦 = 0. Karena itu pemisalan 𝑥 − 𝑦 ≠ 0 adalah salah. Oleh karena itu, 𝑥−𝑦 =0 𝑥=𝑦 Jadi, jika 𝑥 − 𝑦 = 0 maka 𝑥 = 𝑦. Kemudian, jika 𝑥 = 𝑦 maka didapat 𝑥 − 𝑦 = 0.


Oleh karena itu, didapat

72

𝑥 − 𝑦 = 0. (dari definisi nilai mutlak

bilangan real) Jadi, jika 𝑥 = 𝑦 maka 𝑥 − 𝑦 = 0. c)

𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅.

d) 𝑥 − 𝑦 =

𝑥 − 𝑧 + (𝑧 − 𝑦) , untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅.

≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅. (dari ketaksamaan segitiga)

Karena memenuhi keempat aksioma maka (𝑅, 𝑑) dengan 𝑅 adalah himpunan semua bilangan real dan 𝑑 adalah jarak antara dua elemen pada 𝑅 yaitu 𝑑 𝑥, 𝑦 : 𝑥 − 𝑦 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 adalah ruang metrik.

2. (𝐶 𝑎, 𝑏 , 𝑑) dengan 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada 𝐶[𝑎, 𝑏]

yaitu

𝑑 𝑓, 𝑔 : 𝑓 − 𝑔 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,

untuk

setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik.

Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang anggota 𝐶 𝑎, 𝑏 . 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1,

𝑓 − 𝑔 (𝑥) akan

mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓 − 𝑔 𝑐 = 𝑓 𝑐 − 𝑔(𝑐) pada suatu bilangan 𝑐 dalam 𝑎, 𝑏 .


73

Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0 , untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) b) Jika diketahui max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0. Jika dimisalkan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 , maka akan didapat – (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, didapat 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], sehingga max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0. Ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0 . Karena itu pemisalan 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≠ 0 adalah salah. Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 =0 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) Jadi, jika max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0 maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, didapat

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Oleh karena itu, max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0. Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0.


74

c) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥

+ (𝑕 𝑥 −

𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥

+ (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −

𝑕(𝑥) + max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga) Oleh

karena

itu,

max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −

𝑕(𝑥) + max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) .

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶 𝑎, 𝑏 , 𝑑) dengan 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 dan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada 𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓, 𝑔 : 𝑓 − 𝑔 = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik.

Definisi 3.1.11 Andaikan (𝑆, 𝑑) adalah suatu ruang metrik. Maka untuk 𝜀 > 0, persekitaran-𝜀 dari suatu titik 𝑥0 pada 𝑆 adalah himpunan 𝑉𝜀 𝑥0 = {𝑥 ∈ 𝑆: 𝑑(𝑥0, 𝑥) < 𝜀}.


75

Definisi 3.1.12 Andaikan ℛ adalah ruang linear. Suatu pemetaan 𝑥 → 𝑥

dari ℛ ke 𝑅

disebut norma pada ℛ, jika untuk setiap elemen 𝑢 ∈ ℛ memenuhi sifat-sifat berikut : a)

𝑢 ≥0

b)

𝑢 =0↔𝑢=0

c)

𝛼𝑢 = 𝛼

d)

𝑢+𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣

𝑢

Definisi 3.1.13 Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Jika pada ℛ dapat didefinisikan suatu norma, maka ℛ disebut ruang linear bernorma.

Contoh 3.1.10 Misal 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval [𝑎, 𝑏]. Didefinisikan suatu norma 𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. Maka 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah suatu ruang linear bernorma.

Misal 𝑢 𝑥 adalah sembarang anggota 𝐶[𝑎, 𝑏]. 𝑢(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑢(𝑐) pada suatu bilangan 𝑐 dalam 𝑎, 𝑏 .


76

Karena itu, untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑢(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . a)

u = max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) ≥ 0 , untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real)

b) Jika diketahui u = max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0. Jika dimisalkan 𝑢(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], maka akan didapat – (𝑢(𝑥)) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, akan didapat 𝑢(𝑥) ≠ 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], sehingga max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) ≠ 0. Ini

bertentangan

dengan

yang

diketahui

yaitu

u = max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0. Karena itu pemisalan 𝑢(𝑥) ≠ 0 adalah salah. Oleh karena itu, 𝑢(𝑥) = 0 Jadi, jika u = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) = 0 maka 𝑢 𝑥 = 0. Kemudian, jika 𝑢 𝑥 = 0 untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka didapat 𝑢(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Oleh karena itu, max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0. Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) maka u = max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0. c) Misalkan 𝛼 adalah sembarang bilangan real. 𝛼𝑢

= max𝑎≤𝑥≤b ∝ 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. = 𝛼 max 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari sifat-sifat 𝑎≤𝑥≤b

nilai mutlak bilangan real)


77

= 𝛼 𝑢 , untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

u + v = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ≤ max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 ( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ),

d)

untuk setiap 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga) max𝑎≤𝑥≤𝑏 ( 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) )= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢(𝑥) + max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑣(𝑥) , untuk setiap 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, u + v = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥) ≤ max 𝑢(𝑥) + 𝑎≤𝑥≤𝑏

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑣(𝑥) , untuk setiap 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, u + v ≤ u + v , untuk setiap 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

Karena memenuhi keempat aksioma, maka 𝐶[𝑎, 𝑏] dengan norma yang 𝑢 = max𝑎≤𝑥≤b 𝑢(𝑥) , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], adalah suatu ruang linear bernorma.

Andaikan pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka dapat dibuktikan bahwa jarak tersebut adalah suatu metrik. Buktinya adalah sebagai berikut : Karena ℛ merupakan ruang linear bernorma, maka ℛ juga ruang linear sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ ℛ terdapat suatu elemen – 𝑥 sedemikian sehingga


78

𝑥 + (−𝑥) = 0. Oleh karena itu, untuk sembarang 𝑢, 𝑣 ∈ ℛ didapat (𝑢 + (−𝑣)) ∈ ℛ, oleh karena itu didapat (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ. Karena ℛ adalah ruang linear bernorma maka didapat : 1.

𝑢−𝑣 ≥0

2.

𝑢 − 𝑣 = 0 ↔ (𝑢 − 𝑣) = 0, sehingga dapat ditulis : 𝑢−𝑣 =0↔𝑢 =𝑣

Karena (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ maka terdapat − 𝑢 − 𝑣 = (𝑣 − 𝑢) sehingga 𝑢 − 𝑣 + 𝑣 − 𝑢 = 0. 𝑣 − 𝑢 = −(𝑢 − 𝑣) ≥ 0 maka 𝑢 − 𝑣 = 𝑣 − 𝑢 Untuk sembarang 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℛ didapat (𝑢 − 𝑣) ∈ ℛ, (𝑢 − 𝑤) ∈ ℛ, (𝑤 − 𝑣) ∈ ℛ. Karena ℛ adalah ruang linear bernorma, maka didapat

𝑢 − 𝑣 ≥ 0,

𝑢 − 𝑤 ≥ 0, 𝑤 − 𝑣 ≥ 0. Karena itu, akan berlaku kesamaan segitiga. 𝑢−𝑣 =

𝑢 − 𝑤 + (𝑤 − 𝑣) ≤ 𝑢 − 𝑤 + 𝑤 − 𝑣

Oleh karena itu, jika pada suatu ruang linear ℛ bernorma didefinisikan suatu jarak yaitu 𝑑: 𝑢 − 𝑣 , maka jarak tersebut adalah suatu metrik. Karena itu (ℛ, 𝑑) juga meruipakan ruang metrik.

Definisi 3.1.14 Kelas 𝐶 0 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥) yang terdefinisi dan kontinu di interval tertutup 𝑎, 𝑏 .


79

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶 0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai nilai maksimum dari nilai mutlak 𝑦(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, yakni 𝑦

0

= max 𝑦(𝑥) 𝑎≤𝑥≤𝑏

Dalam kelas 𝐶 0 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai berikut : 𝑦 − 𝑧

0

= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) .

Dalam kelas 𝐶 0 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥 dan 𝑧 𝑥 dekat satu sama lain, yakni 𝑧 𝑥

berada di persekitaran-𝜀 dari 𝑦 𝑥

sehingga

𝑦−𝑧

0

< 𝜀, maka

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 𝜀. Jika digambarkan dalam grafik, maka grafik dari 𝑧(𝑥) dalam daerah berlebar 2𝜀 (dari arah vertikal) yang membatasi grafik fungsi 𝑦(𝑥), dengan kata lain 𝑧(𝑥) berada dalam daerah yang dibatasi grafik 𝑦 𝑥 + 𝜀 dan grafik 𝑦 𝑥 − 𝜀. Oleh karena itu, 𝑦 𝑥 − 𝜀 < 𝑧 𝑥 < 𝑦 𝑥 + 𝜀 , untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. −𝜀 < 𝑧 𝑥 − 𝑦 𝑥

< 𝜀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑧 𝑥 − 𝑦(𝑥) < 𝜀, untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 𝜀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.1.11 1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞, ∞) termasuk dalam 𝐶 0 [−3,8], karena fungsi polinom kontinu pada daerah asalnya yaitu 𝑅 = (−∞, ∞). Interval [3,8] berada dalam daerah asal 𝑅 = (−∞, ∞).


80

2. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋} termasuk dalam 𝐶 0 [0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 kontinu pada daerah asalnya yaitu [0,2𝜋]. 3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam 𝐶 0 [0,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥

kontinu pada daerah asalnya yaitu

{𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}. Interval [0,10] termasuk dalam daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}.

Definisi 3.1.15 Kelas 𝐶 1 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi yang terdefinisi di interval tertutup 𝑎, 𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan pertama yang kontinu.

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶 1 𝑎, 𝑏 didefinisikan dengan rumus : 𝑦

1

= max 𝑦(𝑥) + max 𝑦 ′ (𝑥) 𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑎≤𝑥≤𝑏

Dalam kelas 𝐶 1 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦 𝑥

dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai

berikut: 𝑦−𝑧

1

= max 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) + max 𝑦 ′ (𝑥) − 𝑧 ′ (𝑥) 𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑎≤𝑥≤𝑏

Dalam kelas 𝐶 1 𝑎, 𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥)) yakni 𝑦 − 𝑧

1

< 𝜀, jika kedua fungsi itu sendiri

dan turunan pertama dari kedua fungsi itu dekat satu sama lain. Ini berarti bahwa 𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 𝜀 , dan 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 𝜀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.


81

Contoh 3.1.12 1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞, ∞) termasuk dalam 𝐶 1 [−3,8], karena fungsi polinom terdifersialkan pada daerah asalnya yaitu 𝑅 = (−∞, ∞). Fungsi polinom juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada daerah asalnya. Interval [3,8] berada dalam daerah asal 𝑅 = (−∞, ∞). 2. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋} termasuk dalam 𝐶 1 [0,2𝜋], karena 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 terdifirensialkan pada daerah asalnya yaitu [0,2𝜋]. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada [0,2𝜋], yaitu 𝑓′ 𝑥 = cos 𝑥. 3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam 𝐶 1 [1,10], karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 terdiferensialkan pada {𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅} . 𝑓 𝑥 = 𝑥

juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada 1

{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 = 2 𝑥 . Interval [1,10]

berada dalam

{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅}. 4. 𝑓 𝑥 = 𝑥

,dengan

daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk

dalam 𝐶 1 [0,10], karena 𝑓′ 𝑥 = 2

1 𝑥

tidak terdefinisi pada 𝑥 = 0.

Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 = 𝑥 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} merupakan anggota dari 𝐶 0 [0,10], namun bukan anggota dari 𝐶 1 [0,10].


82

2

5. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} termasuk dalam 2

𝐶 1 [0,10], karena 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 3 terdiferensialakan pada {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅}. 2

𝑓 𝑥 = 3 𝑥 3 juga memiliki turunan pertama yang kontinu pada {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} yaitu 𝑓′ 𝑥 = 𝑥. Interval [0,10]

berada dalam

{𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ 𝑅}.

Definisi 3.1.16 Kelas 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 adalah suatu himpunan yang terdiri dari semua fungsi 𝑦(𝑥) yang terdefinisi di interval tertutup 𝑎, 𝑏 yang mana fungsi-fungsi tersebut kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sampai pada turunan ke𝑘, dengan 𝑘 bilangan bulat tidak negatif.

Norma dari fungsi dalam kelas 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 didefinisikan dengan rumus : 𝑦 dimana 𝑦

𝑖

𝑥 =

𝑑 𝑑𝑥

𝑖

𝑘

=

𝑘 𝑖=0 max𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑦(𝑥) dan 𝑦

0

𝑦 𝑖 (𝑥) ,

(𝑥) adalah fungsi 𝑦 𝑥 itu sendiri.

Dalam kelas 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , jarak antara 𝑦(𝑥) dan 𝑧(𝑥) didefinisikan sebagai berikut : 𝑦 − 𝑧

𝑘

=

𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏

𝑦

𝑖

𝑥 − 𝑧 𝑖 (𝑥) .

Dalam kelas 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , 2 fungsi dikatakan dekat satu sama lain (𝑧(𝑥) pada persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥)) ( yakni 𝑦 − 𝑧

𝑘

< 𝜀, jika fungsi-fungsi itu sendiri

dan semua turunan-turunannya sampai turunan ke-k dekat satu sama lain. Ini berarti bahwa


83

𝑦 𝑥 − 𝑧(𝑥) < 𝜀 , 𝑦′ 𝑥 − 𝑧′(𝑥) < 𝜀 , 𝑦" 𝑥 − 𝑧"(𝑥) < 𝜀 , …, dan 𝑦 (𝑘) 𝑥 − 𝑧 (𝑘) (𝑥) < 𝜀 untuk semua 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.1.13 1. Fungsi polinom dengan daerah asal 𝑅 = (−∞, ∞) termasuk dalam 𝐶 𝑘 [−3,8], dengan 𝑘 bilangan bulat tidak negatif. polinom terdifersialkan tak hingga kali

Karena fungsi

pada daerah asalnya yaitu

𝑅 = (−∞, ∞), sehingga turunan-turunan sampai turunan ke 𝑘 akan kontinu. 2. 𝑓 𝑥 = 𝑥

,dengan

daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk

dalam 𝐶 𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 0). Ini karena 𝑓′ 𝑥 = 2 terdefinisi pada 𝑥 = 0. Oleh karena itu, 𝑓′ 𝑥 = 2

1 𝑥

1 𝑥

tidak

tidak dapat

diturunkan. 2

3. 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} tidak termasuk dalam 𝐶 𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 1). Ini karena 𝑓′′ 𝑥 = 2 terdefinisi pada 𝑥 = 0. Sehingga 𝑓′′ 𝑥 = 2

1 𝑥

1 𝑥

tidak

tidak dapat diturunkan.

2

Oleh karena itu, 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 3 ,dengan daerah asal {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ 𝑅} merupakan anggota dari 𝐶 1 [0,10], namun bukan anggota dari 𝐶 𝑘 [0,10] (untuk 𝑘 > 1).


84

Contoh 3.1.14 𝑓 𝑥 =

𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶 0 [−6,6] tapi tidak termasuk dalam 𝐶 1 [−6,6].

Untuk 𝑥 < 0, 𝑓 𝑥 = 0 adalah fungsi kontinu yang terdifensialkan, dan turunannya yaitu 𝑓 ′ (𝑥) = 0 juga kontinu untuk 𝑥 < 0. Untuk 𝑥 > 0, 𝑓 𝑥 = 𝑥 adalah fungsi kontinu yang terdiferensialkan, dan turunannya yaitu 𝑓 ′ (𝑥) = 1 juga kontinu untuk 𝑥 > 0.

Untuk 𝑥 = 0 f ' (0)  lim h 0

f (0  h)  f (0) , asalkan limit ini ada. (menurut definisi 2.4.1) h

Hitung limit kanan terlebih dahulu. lim

h0

f (0  h)  f (0) (0  h)  0 h  lim  lim  lim 1  1 h0 h0 h h0 h h

Sekarang kita hitung limit kiri lim

f (0  h)  f (0) 00 0  lim  lim  lim 0  0 h0 h0 h h0 h h

lim

f (0  h)  f (0) f (0  h)  f (0)  lim h 0 h h

h0

h 0

Oleh karena itu, lim h 0

f (0  h)  f (0) tidak ada. Maka dari itu, 𝑓 𝑥 tidak h

terdiferensialkan pada titik 𝑥 = 0.


85

Untuk 𝑥 = 0, maka 𝑓 0 = 0, sehingga 𝑓 0 terdefinisi. (0 berada pada daerah asal 𝑓(𝑥)) lim f ( x)  lim x  0

x 0 

x 0

lim f ( x)  lim 0  0

x 0

x 0

lim f ( x)  lim f ( x)  0  f (0)

x 0 

x 0

Oleh karena itu, lim f ( x)  f (0) x 0

Maka dari itu , 𝑓 𝑥 kontinu pada 𝑥 = 0. Karena itu, 𝑓(𝑥) termasuk dalam kelas 𝐶 0 [−6,6] tapi tidak termasuk dalam 𝐶 1 [−6,6].

Setiap anggota 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] merupakan anggota dari 𝐶 0 [𝑎, 𝑏], karena setiap anggota dari 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] juga merupakan fungsi kontinu (dari teorema 2.4.1). Oleh karena itu, 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ⊆ 𝐶 0 [𝑎, 𝑏]. Ada anggota 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] yang bukan merupakan 𝐶 0 [𝑎, 𝑏] ( dari contoh 3.1.12, dan 3.1.14). Oleh karena itu, 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 0 [𝑎, 𝑏]. Setiap anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) merupakan anggota dari 𝐶 1 [𝑎, 𝑏], karena setiap anggota dari 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) juga merupakan fungsi yang kontinu dan

memiliki turunan-turunan yang kontinu (dari

teorema 2.4.1). Oleh karena itu, 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] ⊆ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1). Ada anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] (dengan 𝑘 > 1) yang bukan merupakan 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ( dari contoh 3.1.13). Oleh karena itu, 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1).


86

Maka dari itu, didapat : 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 0 [𝑎, 𝑏] (untuk 𝑘 > 1). Sekarang, akan ditunjukkan bahwa kelas 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 bilangan bulat tidak negatif) adalah ruang metrik. Untuk kelas 𝐶 0 [𝑎, 𝑏] sudah dibuktikan pada contoh 3.1.9 Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi pada 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓, 𝑔 : 𝑓 − 𝑔

𝑘

=


𝑓

𝑖

setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik. (dimana 𝑓 𝑔

𝑖

𝑥 =

𝑑 𝑑𝑥

𝑖

𝑔 𝑥 ,𝑓

0

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) , untuk 𝑖

𝑥 =

𝑑

𝑖

𝑑𝑥

(𝑥) adalah fungsi 𝑓 𝑥 itu sendiri, dan 𝑔

𝑓 𝑥 , 0

(𝑥)

adalah fungsi 𝑔 𝑥 itu sendiri)

Buktinya adalah sebagai berikut : Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 (𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). Oleh karena itu,


87

𝑓′(𝑥) dan 𝑔′(𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 = 𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) juga merupakan fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, maksimum mutlak

𝑓 − 𝑔 ′(𝑥) akan mencapai nilai

𝑓 − 𝑔 ′ 𝑑 = 𝑓′ 𝑑 − 𝑔′(𝑑)

pada suatu bilangan 𝑑

dalam 𝑎, 𝑏 . Karena itu , untuk setiap 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏], 𝑓 − 𝑔

′

𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′ (𝑥)

akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu, 𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏

𝑓

𝑖

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) ≥ 0

,

untuk

setiap

𝑓, 𝑔 ∈

𝐶[𝑎, 𝑏]. b) Jika diketahui


𝑓

𝑖

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) = 0.

Karena itu, didapat max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′ (𝑥) + ⋯ +max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥 − 𝑔

𝑘

(𝑥) = 0.


max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≥ 0,

Padahal

𝑔′(𝑥) ≥ 0,… max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥 − 𝑔

𝑘

88

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −

(𝑥) ≥ 0. (tidak mungkin

negatif) Karena

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′ (𝑥) +

⋯ +max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥 − 𝑔

𝑘

(𝑥) = 0.

(ruas kanan sama dengan nol) Maka dari itu,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −

𝑔′ (𝑥) = ⋯ = max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥 − 𝑔 Karena itu, 𝑔

𝑘

𝑘

(𝑥) = 0.

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = (𝑓 ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥

= ⋯ = (𝑓

𝑘

𝑥 −

(𝑥) = 0. (menurut contoh 3.1.10)

Jadi, jika


𝑓

𝑖

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) = 0

maka 𝑓 𝑥 −

𝑔(𝑥) = 0. Jika


𝑓

𝑖

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) = 0 maka 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥).

Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Karena itu, didapat

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam

[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Oleh karena itu, didapat max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 0. 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′(𝑥). Oleh karena itu, 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′ (𝑥) = 𝑓 + 𝑔 ′ (𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].


Didapat

89

𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] (dari

definisi nilai mutlak bilangan real), sehingga max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = 0.

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai

turunan


Jadi,

𝑓

𝑖

ke-𝑘.

𝑓

𝑖

Oleh

karena

itu,

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) = 0. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

jika


yang

maka

akan

didapat

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) = 0.

c) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥) , untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′ 𝑥 − 𝑓′(𝑥) ,

untuk

setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu, 𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏

𝑓

𝑖

𝑓

𝑖

𝑥 −𝑔

𝑖

𝑥

=


𝑔

𝑖

𝑥 −

𝑥 .

d) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].

+ (𝑕 𝑥 −


max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕 𝑥

90

+ (𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 −

𝑕(𝑥) + max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga) Karena itu, max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑕(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) . max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 ′ 𝑥 − 𝑕′ 𝑥

+

(𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) , untuk setiap 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′ 𝑥

+ (𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑕′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑕 𝑥 − 𝑔(𝑥) ,untuk setiap 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga) itu, max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ≤ max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 −

Karena

𝑕′(𝑥) + max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑕′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥) .

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu, 𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏

𝑕

𝑖

𝑥 +

𝑓

𝑖

𝑥 −𝑔


𝑕

𝑖 𝑖

𝑥

≤

𝑥 −𝑔

𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑖

𝑓

𝑖

𝑥 −

𝑥

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk 𝑘 adalah bilangan bulat lebih dari 0, dengan 𝑑 adalah jarak antara dua fungsi


pada 𝐶[𝑎, 𝑏] yaitu 𝑑 𝑓, 𝑔 : 𝑓 − 𝑔

𝑘

=


𝑓

𝑖

91

𝑥 − 𝑔 𝑖 (𝑥) ,

untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] adalah ruang metrik.

Kali ini akan ditunjukkan bahwa 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 adalah bilangan bulat tidak negatif) adalah ruang linear bernorma. Oleh akan ditunjukkan bahwa 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 adalah ruang linear terlebih dahulu. Untuk kelas 𝐶 0 [𝑎, 𝑏] merupakan ruang bernorma sudah dibuktikan pada contoh 3.1.10. Karena itu, sekarang akan dibuktikan bahwa (𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dan diberikan lapangan real 𝑅. Didefinisikan (+) adalah operasi penjumlahan fungsi dengan fungsi, yang didefinisikan dengan 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), dan didefinisikan operasi perkalian bilangan real dengan suatu fungsi, yaitu 𝛼𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥). Maka dari itu, 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , untuk 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0 adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Buktinya adalah sebagai berikut : Misal 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan memiliki turunanturunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). Misal 𝛼, 𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam 𝑅


92

1. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunanturunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0), sehingga f ' (c)  lim

f (c  h)  f (c ) ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] h

f ' ' (c)  lim

f ' (c  h)  f ' ( c ) ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h

h 0

h0

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘 yaitu f

(k )

f ( k 1) (c  h)  f ( k 1) (c) ada, untuk (c)  lim h 0 h

setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. Kekontinuan 𝑓 ′ (𝑥), 𝑓 ′′ (𝑥), … 𝑓

𝑘−1

(𝑥) otomatis terjadi. (dari

teorema 2.4.1) Karena 𝑓

𝑘

(𝑥) juga harus kontinu, maka lim f ( k ) ( x)  f ( k ) (c) , x c

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunanturunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0), sehingga g ' (c)  lim 

g ( c  h)  g ( c ) ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] h

g ' ' (c)  lim 

g ' (c  h)  g ' ( c ) ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h

h 0

h 0


93

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘 yaitu g ( k ) (c)  lim h 0

g ( k 1) (c  h)  g ( k 1) (c) ada, untuk h

setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. Kekontinuan 𝑔′ (𝑥), 𝑔′′ (𝑥), … 𝑔

𝑘−1


teorema 2.4.1) Karena 𝑔

𝑘

(𝑥) juga harus kontinu, maka lim g ( k ) ( x)  g ( k ) (c) , x c

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. ( f  g )' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x) (menurut aturan penjumlahan turunan)

f ( c  h )  f (c )   g (c  h )  g ( c )   ( f  g )' ( x)  lim  lim   , untuk h 0 h  0 h h    

setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. [ f (c  h)  g (c  h)]  [ f (c)  g (c)] , untuk setiap h0 h

( f  g )' (c)  lim

𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] . (menurut hukum penjumlahan limit) ( f  g )' (c)  lim h0

( f  g )(c  h)  ( f  g )(c) , untuk setiap 𝑐 dalam h

[𝑎, 𝑏]. (menurut definisi penjumlahan fungsi) Oleh karena itu, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) terdifensialkan. ( f  g )' ' ( x)  f ' ' ( x)  g ' ' ( x) (menurut

aturan

penjumlahan

turunan) f ' ( c  h)  f ' ( c )   g ' (c  h )  g ' ( c )   ( f  g )' ' ( x)  lim  lim   h0 , h h  h0   

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏].


( f  g )' ' (c)  lim h0

[ f ' (c  h)  g ' (c  h)]  [ f ' (c)  g ' (c)] , h

94

untuk

setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut hukum penjumlahan limit) ( f  g )' (c  h)  ( f  g )' (c) , untuk setiap h0 h

( f  g )' ' (c)  lim

𝑐

dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut definisi penjumlahan fungsi) Oleh karena itu, 𝑓 + 𝑔 ′ (𝑥) terdiferensialkan. Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓 + 𝑔 (𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘 . Kekontinuan

𝑓+𝑔

′

𝑥 , 𝑓+𝑔

′′

𝑥 , … (𝑓 + 𝑔) 𝑘−1 (𝑥)

otomatis terjadi. (dari teorema 2.4.1) Karena 𝑓

𝑘

(𝑥), dan 𝑔

𝑘

(𝑥) kontinu, maka (𝑓 + 𝑔) 𝑘 (𝑥) kontinu

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari aturan penjumlahan turunan dan contoh 3.1.8) Oleh karena itu, fungsi 𝑓 + 𝑔

𝑘

(𝑥), (dengan 𝑘 bilangan bulat

lebih dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). Jadi, 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏], dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0 tertutup terhadap operasi penjumlahan. 2. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunanturunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0), sehingga


f ' (c)  lim

f (c  h)  f (c ) ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] h

f ' ' (c)  lim

f ' (c  h)  f ' ( c ) ada, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h

h 0

h0

95

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘, yaitu f

(k )

f ( k 1) (c  h)  f ( k 1) (c) ada, untuk (c)  lim h 0 h

setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. Kekontinuan 𝑓 ′ (𝑥), 𝑓 ′′ (𝑥), … 𝑓

𝑘−1


teorema 2.4.1) Karena 𝑓

𝑘

(𝑥) juga harus kontinu, maka lim f ( k ) ( x)  f ( k ) (c) , x c

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. 𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅. 𝛼𝑓

′

𝑥 = 𝛼𝑓′(𝑥) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)

(f )' ( x)   lim h0

f (c  h)  f ( c ) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h

  f (c  h)  f (c )   (f )' ( x)  lim    , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h 0 h   

(menurut hukum perkalian konstanta pada limit) (f )(c  h)  (f )(c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h0 h

(f )' ( x)  lim

(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi) Oleh karena itu, (f )( x) terdiferensialkan. 𝛼𝑓

′′

𝑥 = 𝛼𝑓′′(𝑥) (menurut aturan perkalian konstanta turunan)


(f )' ' ( x)   lim h0

96

f ' ( c  h )  f ' (c ) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h

  f ' ( c  h )  f ' (c )   (f )' ' ( x)  lim    , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h 0 h   

(menurut hukum perkalian konstanta pada limit) (f ' )(c  h)  (f ' )(c) , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. h 0 h

(f )' ' ( x)  lim

(menurut definisi perkalian bilangan real dengan fungsi) Oleh karena itu, (f )' ( x) terdiferensialkan. Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari ∝ 𝑓 (𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘 . Kekontinuan 𝛼𝑓

′

𝑥 , 𝛼𝑓

′′

𝑥 , … (𝛼𝑓) 𝑘−1 (𝑥) otomatis terjadi.

(dari teorema 2.4.1) Karena 𝑓

𝑘

(𝑥), dan 𝑔

𝑘

(𝑥) kontinu, maka (𝛼𝑓) 𝑘 (𝑥) kontinu

untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari aturan penjumlahan turunan dan contoh 3.1.8) Oleh karena itu, fungsi 𝛼𝑓

𝑘

(𝑥), (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih

dari 0) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0). Jadi,(𝛼𝑓)(𝑘) 𝑥 = 𝛼𝑓 (𝑘) (𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] . 3. 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 , 𝑕(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘. (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0).


97

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 , 𝑔 𝑐 , 𝑕(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) 𝑓 𝑐 + 𝑔 𝑐 = 𝑔 𝑐 + 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat komutatif bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] 4.

𝑓 𝑐 +𝑔 𝑐

+ 𝑕 𝑐 = 𝑓 𝑐 + (𝑔 𝑐 + 𝑕 𝑐 ),

untuk setiap 𝑐

dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis


+𝑕 𝑥 =𝑓 𝑥 +

(𝑔 𝑥 + 𝑕 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. 5. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) Terdapat fungsi 0, yaitu 𝑦 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui bahwa fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 = (−∞, ∞) dan 𝑦 𝑥 = 0 juga terdiferensialkan pada tingkat berapapun, dan turunan-turunannya yaitu 𝑦 ′ 𝑥 = 𝑦 ′′ 𝑥 = ⋯ = 𝑦

𝑘

(𝑥) = 0 kontinu pada 𝑅 = (−∞, ∞) sehingga 𝑦 𝑥 = 0 ada

dalam seluruh kelas 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏], untuk 𝑘 bilangan bulat tak negatif) Oleh karena itu, didapat : 𝑦 𝑐 = 0 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓 𝑐 + 𝑦 𝑐 = 𝑓 𝑐 + 0 = 𝑓 𝑐 , untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen identitas dalam penjumlahan bilangan real)


98

Karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + 0 = 𝑓 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Fungsi 𝑦 𝑥 = 0 adalah elemen 0 dalam 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. 6. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) 𝑓 𝑐 + −𝑓 𝑐

= 0, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (invers dalam

penjumlahan bilangan real) Karena itu, dapat ditulis 𝑓 𝑥 + −𝑓 𝑥

= 0, untuk setiap 𝑥

dalam [𝑎, 𝑏]. 7. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) Terdapat fungsi 𝑗 𝑥 = 1, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (diketahui bahwa fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah fungsi yang kontinu pada 𝑅 = (−∞, ∞) dan 𝑗 𝑥 = 1

juga terdiferensialkan pada tingkat

berapapun, dan turunan-turunannya yaitu 𝑗 ′ 𝑥 = 𝑗 ′′ 𝑥 = ⋯ = 𝑗

𝑘

(𝑥) = 0 kontinu pada 𝑅 = (−∞, ∞) sehingga 𝑗 𝑥 = 1 ada

dalam seluruh kelas 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏], untuk 𝑘 bilangan bulat tak negatif) Oleh karena itu, didapat : 𝑗 𝑐 = 1 ,untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. 𝑗 𝑐 ∙ 𝑓 𝑐 = 1 ∙ 𝑓 𝑐 = 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (elemen identitas dalam perkalian bilangan real)


99

Oleh karena itu, dapat ditulis 1 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] Fungsi 𝑗 𝑥 = 1 adalah elemen satuan dalam 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] 8. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) 𝛼, 𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅. 𝛼 𝛽𝑓(𝑐) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat asosiatif perkalian bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝛽𝑓(𝑥) = 𝛼𝛽 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. 9. 𝑓(𝑥) adalah sembarang fungsi anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑥) pasti kontinu, maka untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) 𝛼, 𝛽 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅. 𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑐 = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛽𝑓(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis

𝛼 + 𝛽 𝑓 𝑥 = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛽𝑓(𝑥),

untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. 10. 𝑓(𝑥), dan 𝑔(𝑥) adalah sembarang fungsi kontinu dan memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘. (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0).


100

Oleh karena itu, untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] , 𝑓 𝑐 , 𝑔 𝑐 terdefinisi. (dari definisi 2.3.1) 𝛼 adalah sembarang bilangan real dalam lapangan 𝑅. 𝛼 𝑓 𝑐 + 𝑔(𝑐) = 𝛼𝑓 𝑐 + 𝛼𝑔(𝑐), untuk setiap 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan bilangan real) Oleh karena itu, dapat ditulis 𝛼 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 𝛼𝑓 𝑥 + 𝛼𝑔(𝑥), untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].

Karena memenuhi kesepuluh aksioma, maka 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , dengan 𝑘 adalah bilangan bulat lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅.

Setelah ditunjukkan bahwa 𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , dengan 𝑘 adalah bilangan bulat lebih dari 0, adalah ruang linear atas lapangan real 𝑅, kali ini akan dibuktikan bahwa (𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] yaitu

𝑓

𝑘

=


𝑓 𝑖 (𝑥) , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]

adalah ruang linear bernorma. (dimana 𝑓

𝑖

𝑥 =

adalah fungsi 𝑓 𝑥 itu sendiri)

Buktinya adalah sebagai berikut : Misal 𝑓 𝑥 adalah sembarang anggota 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏].

𝑑 𝑑𝑥

𝑖

𝑓(𝑥) dan 𝑓

0

(𝑥)


101

𝑓𝑥) adalah fungsi yang kontinu pada [𝑎, 𝑏], sehingga menurut teorema 2.5.1, 𝑓(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓(𝑐) pada suatu bilangan 𝑐 dalam 𝑎, 𝑏 . Karena itu, untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . 𝑓(𝑥) juga memiliki turunan-turunan yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] sampai turunan ke-𝑘 (dengan 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0) Oleh karena itu, menurut teorema 2.5.1, 𝑓′(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak 𝑓′(𝑑) pada suatu bilangan 𝑑 dalam 𝑎, 𝑏 . Karena itu, untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏], 𝑓′(𝑥) akan mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu bilangan 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘 a) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥

≥ 0, untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai

mutlak bilangan real) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥

≥ 0, untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai

mutlak bilangan real) Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu, 𝑓

𝑘

=


𝑓 𝑖 (𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] (dari

definisi nilai mutlak bilangan real) b) Jika

diketahui

𝑓

𝑘

=


𝑓 𝑖 (𝑥) = 0,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯ +max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥

maka = 0.


max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥

Padahal max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥

≥ 0,

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥

102

≥ 0,…

≥ 0 . (tidak mungkin negatif)

Karena max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯ +max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥

=

0 (ruas kanan sama dengan nol), maka max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥

= max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥

= ⋯ = max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑘) 𝑥

=

0. Karena itu 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 = ⋯ = 𝑓 (𝑘) 𝑥 = 0. 𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏

Jadi, jika

𝑓

𝑖

𝑥

= 0 maka 𝑓 𝑥 = 0

Kemudian, jika 𝑓 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏] maka 𝑓(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai mutlak bilangan real) Oleh karena itu, max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥

= 0.

𝑓 𝑥 = 0, maka 𝑓′ 𝑥 = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. Karena itu, didapat

𝑓′(𝑥) = 0, untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (dari definisi nilai

mutlak bilangan real) Oleh karena itu, max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥

= 0.

Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. Didapat 𝑓

𝑘

=


Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 0 maka 𝑓

𝑘

𝑓

=

𝑖

𝑥

= 0.


c) Misalkan 𝛼 adalah sembarang bilangan real.

𝑓

𝑖

𝑥

= 0.


𝛼𝑓(𝑥)

=


𝛼𝑓

𝑖

𝑥

103

= max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓 𝑥 +

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓′ 𝑥 + ⋯ + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝛼𝑓

𝑘

𝑥 ,

untuk

setiap

𝑓(𝑥) ∈

𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. = α max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝛼 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯ + 𝛼 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓

𝑘

𝑥 , untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏].

(dari sifat-sifat nilai mutlak bilangan real) = 𝛼 ( max 𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + ⋯ + 𝑎≤𝑥≤𝑏

max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 = 𝛼( = 𝛼 𝑓 d)


𝑘

𝑥 ), untuk setiap 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏].

𝑘 𝑖=0 max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑘,

𝑓+𝑔

𝑓

𝑖

𝑥 ), untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏].

untuk setiap 𝑢(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. 𝑖

(𝑥) =


𝑓

𝑖

𝑥 + 𝑔 𝑖 (𝑥)

(menurut aturan penjumlahan turunan) max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 ( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ),

untuk

setiap

𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga) max𝑎≤𝑥≤𝑏 ( 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) )= max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max 𝑓(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔(𝑥) , untuk setiap 𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ≤ max𝑎≤𝑥≤𝑏 ( 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ), untuk setiap 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]. (dari ketaksamaan segitiga)


104

max𝑎≤𝑥≤𝑏 ( 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) )= max𝑎 ≤𝑥≤𝑏 𝑓′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′(𝑥) , untuk setiap 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Karena itu, max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≤ max 𝑓′(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑔′(𝑥) , untuk setiap 𝑎≤𝑥≤𝑏

𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Hal di atas terjadi untuk turunan-turunan dari 𝑓(𝑥) sampai turunan yang ke-𝑘. Oleh karena itu, 𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏

𝑔

𝑖

(𝑥) ≤

𝑓+


𝑓 𝑖 (𝑥) +


𝑔 𝑖 (𝑥)

,untuk

setiap 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏]. Didapat : f+g

k

≤ f

k

+ g k , untuk setiap 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏].

Karena memenuhi keempat aksioma, maka (𝐶 𝑘 𝑎, 𝑏 , 𝑑) untuk 𝑘 bilangan bulat lebih dari 0, dengan norma pada 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] yaitu 𝑘 𝑖=0 max𝑎 ≤𝑥≤𝑏

𝑓

𝑘

=

𝑓 𝑖 (𝑥) , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] adalah ruang linear

bernorma.

B. Fungsional Fungsional adalah salah satu jenis fungsi, di mana variabel bebasnya merupakan fungsi (atau kurva), dengan kata lain fungsional merupakan fungsi dari fungsi.


105

Pada fungsi dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut adalah himpunan titik-titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) dalam 𝑅 3 . Begitu juga untuk fungsional dengan tiga variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut adalah himpunan titik-titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) di 𝑅 3 di mana 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah fungsi-fungsi dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap sebagai titik. 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear ℛ. Pada fungsi dengan 𝑛 variabel bebas, daerah asal untuk fungsi tersebut adalah himpunan titik-titik (𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ) dalam 𝑅 𝑛 . Begitu juga untuk fungsional dengan 𝑛 variabel bebas, daerah asal untuk fungsional tersebut adalah himpunan titik-titik (𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ) di 𝑅 𝑛 di mana 𝑥1 , 𝑥2 , … dan 𝑥𝑛 adalah fungsi-fungsi dengan variabel bebas yang berbeda, yang telah dianggap sebagai titik. 𝑥1 , 𝑥2 , … dan 𝑥3 masing-masing adalah fungsi dalam ruang linear ℛ. Dalam fungsional domain adalah himpunan fungsi sedangkan kodomain adalah himpunan bilangan Real. Berikut ini adalah beberapa contoh fungsional.

Contoh 3.2.1 b

J  y    y ( x)dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 0 𝑎, 𝑏

didefinisikan sebagai suatu

a

fungsional. 𝐽 𝑦 : 𝐶 0 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶 0 𝑎, 𝑏

. 𝑦(𝑥) kontinu di 𝑎, 𝑏 , karena itu

menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk


106

setiap 𝑦(𝑥) dalam 𝐷. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsional.

Contoh 3.2.2 b

J  y    y 2 ( x)dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 0 [𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai suatu a

fungsional. 𝐽 𝑦 : 𝐶 1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶 0 𝑎, 𝑏 . Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom sehingga fungsi itu kontinu di mana saja (di R), karena itu menurut Teorema 2.3.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsi dari fungsi.

Contoh 3.2.3 Jika F adalah fungsi yang kontinu di R, maka b

J  y    F ( y ( x))dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 0 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu a

fungsional. 𝐽 𝑦 : 𝐶 0 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶 0 𝑎, 𝑏 . Fungsi 𝐹 kontinu di 𝑅, karena itu menurut Teorema 2.3.2, F ( y( x)) adalah fungsi kontinu di 𝑎, 𝑏 sehingga menurut Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk


107

setiap 𝑦(𝑥) dalam 𝐷. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsional.

Contoh 3.2.4 b

J  y    [ y ' ( x)]2 dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai suatu a

fungsional. 𝐽 𝑦 : 𝐶 1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶 1 𝑎, 𝑏 . 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 1 𝑎, 𝑏 sehingga 𝑦 ′ 𝑥 ada dan kontinu di [𝑎, 𝑏]. Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom sehingga fungsi itu kontinu di 𝑅, karena itu menurut Teorema 2.3.2, dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥) dalam D. Karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsional.

Contoh 3.2.5 b

J  y    1  [ y ' ( x)]2 dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai a

suatu fungsional. 𝐽 𝑦 : 𝐶 1 → 𝑅 , 𝐷 = 𝑦 𝑥 |𝑦(𝑥) ∈ 𝐶 1 𝑎, 𝑏 . 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 1 𝑎, 𝑏 sehingga 𝑦 ′ 𝑥 ada dan kontinu di [𝑎, 𝑏]. Daerah asal fungsi rasional dalam bentuk di atas adalah himpunan bilangan real; 𝑅. Oleh


108

karena itu, fungsi tersebut kontinu di 𝑅 (karena sembarang fungsi rasional kontinu pada daerah asalnya). Karena itu, menurut teorema 2.3.2, dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥) dalam D. Oleh karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsional.

Fungsional di atas merupakan rumus panjang kurva 𝑦 = 𝑦(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Contoh 3.2.6 Jika fungsi F adalah suatu fungsi 3 variabel yang kontinu, maka b

J  y    F x, y ( x), y ' ( x)dx untuk 𝑦(𝑥) dalam 𝐶 1 𝑎, 𝑏 didefinisikan sebagai a

suatu fungsional. Pada contoh di atas 𝑥 adalah suatu variabel bebas, y’(x) tergantung pada y(x) (keduannya memiliki variabel bebas yang sama yaitu x). 𝐽 𝑦 : 𝐶 1 → 𝑅 , daerah asal 𝐽 𝑦

adalah 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ( y’ ada dan kontinu

pada[𝑎, 𝑏]). Menurut teorema 2.7.2 dan Teorema Dasar Kalkulus bagian 2 akan didapat bilangan real untuk setiap 𝑦(𝑥). Oleh karena itu, dari penjelasan tersebut didapat bahwa 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsi, dan karena 𝑦(𝑥) juga merupakan fungsi maka 𝐽 𝑦 adalah fungsi dari fungsi.


109

Definisi 3.2.1 Fungsional 𝐽 𝑦 dikatakan kontinu pada titik 𝑦 ∈ ℛ jika untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] < 𝜀 bilamana 𝑦 − 𝑦 < 𝛿.

Definisi 3.2.2 Andaikan 𝑉, 𝑊 adalah ruang-ruang linear atas lapangan yang sama 𝐹. Suatu fungsi 𝑇: 𝑉 → 𝑊 disebut suatu transformasi linear dari 𝑉 ke 𝑊 jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅, berlaku : a) 𝑇 𝑥 + 𝑦 = 𝑇 𝑥 + 𝑇(𝑦) b) 𝑇 𝛼𝑥 = 𝛼𝑇(𝑥)

Untuk 𝑉 = 𝑊, transformasi linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉 disebut suatu operator linear pada 𝑉.

Definisi 3.2.3 Andaikan ℛ adalah suatu ruang linear. Fungsional linear adalah fungsi 𝑓: ℛ → 𝑅 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℛ, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅, berlaku : a) 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦) b) 𝑓 𝛼𝑥 = 𝛼𝑓(𝑥)

Jika tidak memenuhi salah satu dari sifat-sifat di atas ataupun tidak memenuhi kedua sifat tersebut, maka fungsional dikatakan fungsional tidak linear.


110

Contoh 3.2.6 1

Akan ditunjukkan bahwa fungsional J  y    3 y ( x)dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam 0

ruang linear ℛ, adalah suatu fungsional linear.

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ ℛ. 1

J  f  g    3[ f ( x)  g ( x)]dx 0

1

J  f  g    3 f ( x)  3g ( x)dx 0

1

1

0

0

1

1

0

0

J  f  g    3 f ( x)dx   3g ( x)dx (menurut sifat penjumlahan integral tentu)

J  f  g    3 f ( x)dx   3g ( x)dx

J  f  g  J[ f ]  J[g] Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilanagan 𝛼 ∈ 𝑅. 1

J f    3[f ( x)]dx 0

1

J f     [3 f ( x)]dx 0

1

J f     3 f ( x)dx (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu) 0

J f   J [ f ]


Karena

memenuhi

kedua

sifat

fungsional

linear,

maka

111

fungsional

1

J  y    3 y ( x)dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam ruang linear ℛ, adalah suatu fungsional 0

linear.

Contoh 3.2.7 1

Akan ditunjukkan bahwa fungsional J  y    3( y ( x)) 2 dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam 0

ruang linear ℛ, adalah fungsional tidak linear.

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ ℛ. 1

J  f  g    3[( f ( x)  g ( x)) 2 ]dx 0

1

J  f  g    3[ f 2 ( x)  2 f ( x) g ( x)  g 2 ( x)]dx 0

1

J  f  g    3 f 2 ( x)  6 f ( x) g ( x)  3g 2 ( x)dx 0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

J  f  g    3 f ( x)dx   6 f ( x)g ( x)dx   3g ( x)dx (menurut sifat penjumlahan integral tentu)

J  f  g    3 f ( x)dx   6 f ( x) g ( x)dx   3g ( x)dx

J  f  g  J[ f ]  J[g]


112

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝛼 ∈ 𝑅. 1

J f    3[(f ( x)) 2 ]dx 0

1

J f     2 [3 f 2 ( x)]dx 0

1

J f    2  3 f 2 ( x)dx (menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu) 0

J f   J [ f ] Karena tidak memenuhi sifat-sifat fungsional linear, maka fungsional 1

J  y    3( y ( x)) 2 dx , untuk 𝑦(𝑥) dalam ruang linear ℛ, merupakan fungsional 0

tidak linear.

Contoh 3.2.8 b

Akan ditunjukkan bahwa fungsional

J h    ( x)h' ( x)dx , untuk 𝑕(𝑥) a

dalam𝐶1 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah suatu fungsional linear.

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶1 [𝑎, 𝑏]. b

J  f  g     ( x)( f ( x)  g ( x))'dx a

b

J  f  g     ( x) f ' ( x)  g ' ( x)dx (menurut aturan jumlah pada turunan) a


113

b

J  f  g     ( x) f ' ( x)   ( x) g ' ( x)dx a

b

b

a

a

J  f  g     ( x) f ' ( x)dx    ( x) g ' ( x)dx (menurut sifat penjumlahan integral tentu)

J  f  g  J[ f ]  J[g]

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝑟 ∈ 𝑅. b

J rf     ( x)[(rf ( x))' ]dx a

b

J rf     ( x)[rf ' ( x)]dx (menurut aturan perkalian konstanta pada turunan) a

b

J rf    r[ ( x) f ' ( x)]dx a

b

J rf   r  [ ( x) f ' ( x)]dx (menurut sifat perkalian konstanta pada integral a

tentu)

J rf   rJ[ f ] Karena memenuhi

kedua sifat

fungsional

linear, maka

b

Fungsional

J h    ( x)h' ( x)dx , untuk 𝑕(𝑥) dalam𝐶1 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu a

fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah suatu fungsional linear.


114

Contoh 3.2.9 Akan ditunjukkan bahwa fungsional b





J h    0 ( x)h( x)  1 ( x)h' ( x)  ...   n ( x)h ( n ) ( x) dx ,

untuk

𝑕(𝑥)

a

dalam𝐶𝑛 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah suatu fungsional linear.

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶𝑛 [𝑎, 𝑏]. b









J  f  g     0 ( x)[ f ( x)  g ( x)]  1 ( x)[( f ( x)  g ( x))' ]  ...   n ( x)[( f ( x)  g ( x)) ( n ) ] dx a

b

J  f  g     0 ( x)[ f ( x)  g ( x)]  1 ( x)[( f ' ( x)  g ' ( x)]  ...   n ( x)[( f ( n ) ( x)  g ( n ) ( x)] dx a

(menurut aturan jumlah pada turunan) b









J  f  g    [ 0 ( x) f ( x)   0 g ( x)]  [1 ( x) f ' ( x)  1 g ' ( x)]  ...  [ n ( x) f ( n ) ( x)   n g ( n ) ( x)] dx a

b

J  f  g    [ 0 ( x) f ( x)  1 f ( x)  ...   n f ( n ) ( x)] [ 0 ( x) g ( x)  1 g ( x)  ...   n g ( n ) ( x)] dx a b



J  f  g     0 ( x) f ( x)   1 f ( x)  ...   n f

(n)

a



b





( x) dx    0 ( x) g ( x)   1 g ( x)  ...   n g ( n ) ( x) dx a

(menurut sifat penjumlahan integral tentu)

J  f  g  J[ f ]  J[g]

Ambil sembarang 𝑓 𝑥 ∈ ℛ dan sembarang bilangan 𝑟 ∈ 𝑅. b





J rf     0 ( x)[rf ( x)]  1 ( x)[rf ( x)]'...   n ( x)[rf ( x)]( n ) dx a

b





J rf     0 ( x)[rf ( x)]  1 ( x)[rf ' ( x)]  ...   n ( x)[rf ( n ) ( x)] dx a


115

(menurut aturan perkalian konstanta pada turunan) b





J rf    r[ 0 ( x) f ( x)]  r[1 ( x) f ' ( x)]  ...  r[ n ( x) f ( n ) ( x)] dx a



b



J rf    r [ 0 ( x) f ( x)]  [1 ( x) f ' ( x)]  ...  [ n ( x) f ( n ) ( x)] dx a

b





J rf   r   0 ( x) f ( x)  1 ( x) f ' ( x)  ...   n ( x) f ( n ) ( x) dx a

(menurut sifat perkalian konstanta pada integral tentu)

J rf   rJ[ f ] Karena

memenuhi b

kedua

sifat

fungsional



linear,



J h    0 ( x)h( x)  1 ( x)h' ( x)  ...   n ( x)h ( n ) ( x) dx ,

maka untuk

fungsional 𝑕(𝑥)

a

dalam𝐶𝑛 [𝑎, 𝑏], dimana 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi tertentu pada 𝐶[𝑎, 𝑏] , adalah suatu fungsional linear.

Definisi 3.2.3 Diberikan suatu ruang linear bernorma ℛ, misalkan 𝜑[𝑕] adalah suatu fungsional yang terdefinisi pada ℛ. Maka 𝜑[𝑕] disebut suatu fungsional linear kontinu jika : 1. 𝜑 𝑕1 + 𝑕2 = 𝜑 𝑕1 + 𝜑(𝑕2 ), untuk setiap 𝑕1 , 𝑕2 ∈ ℛ 2. 𝜑 𝛼𝑕 = 𝛼𝜑(𝑕), untuk setiap 𝑕 ∈ ℛ, dan setiap 𝛼 ∈ 𝑅 3. 𝜑(𝑕) kontinu, untuk setiap 𝑕 ∈ ℛ.


116

Kedua lema di bawah ini akan membahas tentang fungsional linear contoh 3.2.8, dan contoh 3.2.9 jika 𝐽 𝑕 lenyap (𝐽 𝑕 = 0) untuk setiap 𝑕(𝑥) anggota suatu kelas fungsi.

Lema 3.2.1 Jika 𝛼(𝑥) adalah suatu fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan jika 𝑏

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝑎

untuk setiap fungsi 𝑕(𝑥) ∈ 𝐶1 [𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga 𝑕 𝑎 = 𝑕 𝑏 = 0, maka 𝛼 𝑥 = 𝑐 untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏], di mana 𝑐 adalah suatu konstanta.

Bukti : 𝑏 𝑎

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0, untuk 𝛼(𝑥) suatu fungsi tertentu yang kontinu pada

[𝑎, 𝑏]. Andaikan 𝑐 adalah suatu konstanta yang didefinisikan sebagai berikut : b

  ( x)  cdx  0 , dan andaikan juga bahwa a

x

h( x)    ( )  cd , sehingga a

benar bahwa 𝑕(𝑥) berada pada 𝐶1 [𝑎, 𝑏] (menurut Teorema Dasar kalkulus bagian 1) dan memenuhi syarat yaitu 𝑕 𝑎 = 𝑕 𝑏 = 0. Ini karena 𝑕 𝑎 = a

  ( )  cd  0 , dan 𝑕 a

b

  ( x)  cdx  0 ) a

b

𝑏 =

  ( )  cd  0 . (dari syarat sebelumnya yaitu a


𝑏

117

𝑏 ′

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥

𝛼 𝑥 − 𝑐 𝑕 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

− 𝑐𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥

𝑎 𝑏

𝑏

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 −

= 𝑎

𝑐𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

𝑏

𝑏 ′

=

𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥

𝛼 𝑥 𝑕 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐 𝑎

𝑎

𝑏

𝛼 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐 𝑕 𝑏 − 𝑕 𝑎

= 𝑎

= 0 − 𝑐. 0 = 0 Oleh karena itu,

𝑏 𝑎

𝛼 𝑥 − 𝑐 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0.

b

b

a

a

2  [ ( x)  c]h' ( x)dx  [ ( x)  c] dx  0

Oleh karena itu [ ( x)  c]2  0 , sehingga  ( x)  c

Lema 3.2.2 Jika 𝛼(𝑥) dan 𝛽(𝑥) adalah fungsi-fungsi kontinu pada [𝑎, 𝑏], dan jika 𝑏

𝛼 𝑥 𝑕 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑕′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 0 𝑎

untuk setiap fungsi 𝑕(𝑥) ∈ 𝐶1 [𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga 𝑕 𝑎 = 𝑕 𝑏 = 0, maka 𝛽(𝑥) terdiferensialkan , dan 𝛽 ′ 𝑥 = 𝛼(𝑥) untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏].


118

Bukti : x

Tetapkan A( x)    ( )d , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. 0

b

b

a

a

  ( x)h( x)dx   h( x) ( x)dx b

 h( x) A( x)a   A( x)h' ( x)d ( x) (menurut rumus integral parsial) b

a

b

 0  A( x)a   A( x)h' ( x)d ( x) b

a

b

   A( x)h' ( x)d ( x) a

Oleh karena itu, 𝑏

𝑏 ′

−𝐴 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑕′ 𝑥 𝑑𝑥 = 0

𝛼 𝑥 𝑕 𝑥 + 𝛽 𝑥 𝑕 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑎

Menurut lema 3.2.1, akan didapat : 𝛽 𝑥 − 𝐴 𝑥 = 𝑐, dimana 𝑐 adalah konstan. Karena itu, 𝛽 𝑥 + (−𝑐) = 𝐴 𝑥 . Oleh karena itu, menurut definisi 𝐴(𝑥) akan didapat : x

𝛽 𝑥 + (−𝑐) =   ( )d 0

𝛽′ 𝑥 = 𝛼 ′ 𝑥 , untuk setiap 𝑥 dalam [𝑎, 𝑏]. (menurut teorema dasar kalkulus bagian 1)


119

C. Nilai Ekstrim Fungsional Fungsi Satu Variabel Bebas Kali ini, akan dibahas mengenai deferensial dan nilai ekstrim suatu fungsional Sebelum memulai pembahasan mengenai nilai ekstrim suatu fungsional, akan dibahas tentang diferensial suatu fungsional terlebih dahulu. Andaikan 𝐽[𝑦] adalah suatu fungsional yang terdefinisi pada ruang linear bernorma, dan andaikan ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] adalah inkremen-nya. Jika 𝑦 tertentu, ∆𝐽[𝑕] adalah suatu fungsional dari 𝑕. Misalkan ∆𝐽 𝑕 = 𝜑 𝑕 + 𝜀 𝑕 , di mana 𝜑[𝑕] adalah suatu fungsional linear, dan 𝜀 → 0 dan 𝑕 → 0, maka fungsional 𝐽[𝑦] dikatakan dapat terdiferensialkan. Fungsional linear 𝜑[𝑕] tersebut mempunyai selisih dari ∆𝐽[𝑕], yaitu suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1 (fungsional yang tidak linear), yang nilainya sangat kecil relatif terhadap 𝑕 . Fungsional linear 𝜑[𝑕] tadi disebut sebagai diferensial dari 𝐽[𝑕] (karena 𝑦 sudah dianggap tertentu) dan dinotasikan dengan 𝛿𝐽[𝑕]. Kemudian, untuk diferensial dari 𝐽[𝑦] (𝑦 tidak dibuat tertentu) adalah fungsional linear dengan dua argumen 𝑦 dan 𝑕 yaitu 𝛿𝐽[𝑦; 𝑕].

Kali ini, akan dimulai pembahasan tentang nilai ekstrim dari suatu fungsional. Untuk fungsi dengan 𝑛-variabel, misalnya saja 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ). Maka 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑛) dikatakan memiliki ekstrimum relatif pada titik (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) apabila ∆𝐹 = 𝐹 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 − 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) memiliki tanda (positif atau negatif) yang sama untuk setiap titik (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) yang termasuk dalam suatu


120

persekitaran dari (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ). Nilai ekstrim, yakni 𝐹(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) adalah suatu nilai minimum apabila ∆𝐹 ≥ 0 dan suatu maksimum apabila ∆𝐹 ≤ 0. Untuk fungsional, dikatakan bahwa suatu fungsional 𝐽[𝑦] memiliki ekstrimum relatif untuk 𝑦 = 𝑦 jika 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] memiliki tanda yang sama (positif atau negatif) untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 < 𝜀. Karena suatu fungsi bisa berada pada 𝐶0 [𝑎, 𝑏] atau di 𝐶1 [𝑎, 𝑏] (ini karena 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 0 [𝑎, 𝑏]), maka kali ini akan dibahas tentang bagaimana norma untuk fungsi tersebut. Diketahui dari penjelasan di depan tentang kelas-kelas fungsi bahwa pada 𝑦

0

kelas

𝐶0 [𝑎, 𝑏]

suatu

norma

didefinisikan

sebagai

berikut

:

= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥) . Sedangkan untuk kelas 𝐶1 [𝑎, 𝑏] suatu norma

didefinisikan sebagai berikut : 𝑦

1

= max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦(𝑥) + max𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑦 ′ (𝑥) .

Oleh karena itu, akan didapat bahwa Dikatakan bahwa

1

𝑦−𝑦

1

adalah suatu norma lemah dan

<𝜀 → 𝑦−𝑦 0

0

<𝜀

adalah norma

kuat.

Definisi 3.2.4 Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0 [𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1 [𝑎, 𝑏], mempunyai suatu ekstrimum lemah pada 𝑦 jika terdapat 𝜀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 𝜀.

1

<


121

Definisi 3.2.5 Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0 [𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1 [𝑎, 𝑏], mempunyai suatu ekstrimum kuat pada 𝑦 jika terdapat 𝜀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦

0

< 𝜀.

Dari kedua definisi di atas, maka dapat dilihat bahwa suatu ekstrimum kuat juga merupakan suatu ekstrimum lemah. Namun, suatu ekstrimum lemah belum tentu merupakan suatu ekstrimum kuat. Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih kecil. Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang yang lebih besar. (𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 0 [𝑎, 𝑏]) (untuk 𝑘 > 1)

Teorema 3.2.1 Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan 𝐽[𝑦] agar mencapai titik ekstrim relatif untuk 𝑦 = 𝑦 adalah bahwa diferensial untuk 𝑦 = 𝑦 sama dengan 0; yakni 𝛿𝐽 𝑕 = 0


122

untuk 𝑦 = 𝑦.

Bukti : Pertama-tama akan dibuktikan untuk nilai maksimum terlebih dahulu. Andaikan 𝐽[𝑦] mempunyai nilai maksimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 sehingga ∆𝐽 = 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] ≤ 0, untuk 𝑦 pada persekitaran dari 𝑦. Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di 𝑦, didapat ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] sebagai suatu inkremen. ∆𝐽 𝑕 = 𝛿𝐽 𝑕 + 𝜀 𝑕 , di mana 𝜀 → 0 dan 𝑕 → 0. Karena 𝐽[𝑦] mempunyai nilai maksimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 maka ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] ≤ 0 Misalkan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0, untuk 𝑦 = 𝑦 . Ambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽 sehingga 𝛿𝐽 𝑕0 ≠ 0. Oleh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕0 < 0 atau 𝛿𝐽 𝑕0 > 0. Ambil 𝛿𝐽 𝑕0 > 0 sehingga ∆𝐽 𝑕0 = 𝛿𝐽 𝑕0 + 𝜀 𝑕0 > 0. Karena diambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽, maka dapat dituliskan ∆𝐽 𝑕 > 0. Padahal ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] ≤ 0. Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0 adalah salah. Oleh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕 = 0. Kemudian, akan dibuktikan untuk nilai minimum.


123

Andaikan 𝐽[𝑦] mempunyai nilai minimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 sehingga ∆𝐽 = 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] ≥ 0, untuk 𝑦 pada persekitaran dari 𝑦.

Menurut pengertian dari diferensial suatu fungsional di 𝑦, didapat ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] sebagai suatu inkremen. ∆𝐽 𝑕 = 𝛿𝐽 𝑕 + 𝜀 𝑕 , di mana 𝜀 → 0 dan 𝑕 → 0. Karena 𝐽[𝑦] mempunyai nilai minimum relatif pada 𝑦 = 𝑦 maka ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] ≥ 0 Misalkan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0, untuk 𝑦 = 𝑦. Ambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽 sehingga 𝛿𝐽 𝑕0 ≠ 0. OLeh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕0 < 0 atau 𝛿𝐽 𝑕0 > 0 Ambil 𝛿𝐽 𝑕0 < 0 sehingga ada kemungkinan bahwa ∆𝐽 𝑕0 = 𝛿𝐽 𝑕0 + 𝜀 𝑕0 < 0. (karena 𝜀 𝑕0 sangat kecil mendekati 0 ) Karena diambil sembarang 𝑕0 ∈ 𝐷, dengan 𝐷 daerah asal fungsional 𝐽, maka dapat dituliskan ∆𝐽 𝑕 < 0. Padahal ∆𝐽 𝑕 = 𝐽 𝑦 + 𝑕 − 𝐽[𝑦] ≥ 0. Terjadi kontradiksi sehingga pemisalan 𝛿𝐽 𝑕 ≠ 0 adalah salah. Oleh karena itu, 𝛿𝐽 𝑕 = 0.


BAB IV PERSAMAAN EULER

Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu fungsional tertentu; yakni fungsional yang berberntuk 𝐽 𝑦 =

𝑏 𝑎

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝑑𝑥 .

Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim pada suatu fungsi maka fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler. Andaikan 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah suatu fungsi dengan derivatif parsial pertama dan kedua-nya kontinu. Kemudian, di antara semua fungsi 𝑦(𝑥) yang termasuk dalam 𝐶1 [𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵 (nilainya tertentu di titik-titik ujung), akan ditemukan suatu fungsi, apabila fungsional 𝐽𝑦 =

𝑏 𝑎

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝑑𝑥 memiliki suatu ekstrimum lemah.

Berikut ini adalah kurva-kurva yang memungkinkan untuk fungsi 𝑦(𝑥).

Gambar 4.1

124


125

Suatu fungsi yang membuat 𝐽[𝑦] memiliki nilai ekstrim, akan memenuhi suatu persamaaan diferensial. Persamaan diferensial itu disebut persamaan Euler.

Teorema 4.1.1 Andaikan 𝐽 𝑦 adalah suatu fungsional dalam bentuk

𝑏 𝑎

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝑑𝑥, yang

terdefinisi untuk untuk semua fungsi 𝑦(𝑥) ∈ 𝐶1 [𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵. Maka syarat perlu agar 𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum pada fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑥) yaitu bahwa 𝑦(𝑥) memenuhi persamaan Euler berikut ini 𝜕𝐹 𝜕𝑦

𝑑

𝑥, 𝑦, 𝑦′ − 𝑑𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′

𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

= 0.

Bukti : Fungsional 𝐽[𝑦] terdefinisi pada domainnya yaitu 𝐷 = {𝑦 𝑥 ∈ 𝐶1 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵}.

Andaikan 𝑦(𝑥) diberikan suatu inkremen ℎ(𝑥), sehingga agar fungsi (𝑦 𝑥 + ℎ 𝑥 ) tetap memenuhi syarat batas, maka harus dibuat ℎ 𝑎 = ℎ 𝑏 = 0. 𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum pada fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑥). Pertama-tama cari 𝛿𝐽 untuk 𝑦 = 𝑦(𝑥) terlebih dahulu. ∆𝐽 = 𝐽 𝑦 + ℎ − 𝐽 𝑦 = =

𝑏 𝑎 𝑏 𝑎

𝐹 𝑥, (𝑦 + ℎ), (𝑦 ′ + ℎ′ ) 𝑑𝑥 −

𝑏 𝑎

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ 𝑑𝑥

𝐹 𝑥, (𝑦 + ℎ), (𝑦 ′ + ℎ′ ) − 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) 𝑑𝑥

Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝛼, 𝛽, 𝛾) di sekitar (𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 ), yaitu


126

𝐹 𝛼, 𝛽, 𝛾 = 𝐹 𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 +

+ 𝛾 − 𝛾0

+

𝜕 𝜕 𝐹 𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 + 𝛽 − 𝛽0 𝐹 𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 𝜕𝛼 𝜕𝛽

𝛼 − 𝛼0

1 2!

𝜕 𝐹(𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 ) 𝜕𝛾

𝛼 − 𝛼0

+ 𝛾 − 𝛾0

𝜕 𝜕 𝐹 𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 + 𝛽 − 𝛽0 𝐹 𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 𝜕𝛼 𝜕𝛽

𝜕 𝐹(𝛼0 , 𝛽0 , 𝛾0 ) 𝜕𝛾

2

+⋯

(Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)

Deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ) di sekitar (𝑥, 𝑦, 𝑦′) adalah sebagai berikut : 𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕𝑥

+

𝑥−𝑥

+

𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦 ′

+

+

1 2!

𝑥−𝑥

𝜕

𝑦′

+

𝑦+ℎ −𝑦

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ + ℎ′

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕𝑥

+

𝑦+ℎ −𝑦

𝜕 𝑦 +ℎ −𝑦 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ′ 𝜕 𝑦 + ℎ′ ′

′

′

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

2

+⋯


127

𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ + ℎ

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

1 + 2!

+ ℎ′

𝜕 ℎ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

𝜕

𝑦′

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ + ℎ′

𝜕 +ℎ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ′ 𝜕 𝑦 + ℎ′

2

′

+⋯ (Untuk bagian turunan parsial, pangkat dua di sini berarti turunan parsial kedua)

𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ + ℎ

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

1 + 2!

+ ℎ′

𝜕 ℎ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ′ ′ 𝜕 𝑦 +ℎ

𝜕 +ℎ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ′ ′ 𝜕 𝑦 +ℎ ′

+⋯

𝑇1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ + ℎ

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

(polinom taylor berderajat 1 dari 𝐹) Oleh karena itu,

+ ℎ′

𝜕

𝑦′

𝜕 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ + ℎ′

2


𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

= 𝑇1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

Dengan 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

128

+ 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

adalah suku sisa dari deret Taylor; yakni :

𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ 1 = 2!

𝜕 ℎ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦+ℎ

2

𝜕 +ℎ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕 𝑦 ′ + ℎ′ ′

+⋯

Menurut ketaksamaan taylor untuk 𝐹 fungsi dengan 3 variabel akan didapat : 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

≤

𝑀 ( 𝑦 + ℎ − 𝑦 + 𝑦 ′ + ℎ′ − 𝑦′ )2 2!

𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

≤

𝑀 ( ℎ + ℎ′ )2 2!

Sekarang, hitung ∆𝐽 dengan mengaplikasikan deret Taylor dari fungsi 𝐹(𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′ ) di sekitar (𝑥, 𝑦, 𝑦′) Oleh karena itu, didapat : 𝑏

𝐹 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

∆𝐽 =

− 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝑑𝑥

𝑎 𝑏

∆𝐽 =

ℎ 𝑎

𝜕 𝜕 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) + ℎ′ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝜕(𝑦 + ℎ) 𝜕(𝑦 ′ + ℎ′ ) 1 + 2!

𝜕 𝜕 ℎ 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) + ℎ′ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝜕(𝑦 + ℎ) 𝜕(𝑦 ′ + ℎ′ )

+ ⋯ 𝑑𝑥

2


𝑏

∆𝐽 =

ℎ 𝑎

129

𝜕 𝜕 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) + ℎ′ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝑑𝑥 ′ 𝜕(𝑦 + ℎ) 𝜕(𝑦 + ℎ′ ) 1 + 2!

𝑏

ℎ 𝑎

𝜕 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝜕(𝑦 + ℎ)

𝜕 + ℎ′ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝜕(𝑦 ′ + ℎ′ )

2

𝑑𝑥 + ⋯

𝑀

Padahal 𝑅1 𝑥, 𝑦 + ℎ , 𝑦 ′ + ℎ′

≤ 2! ( ℎ + ℎ′ )2 .

Oleh karena itu, untuk ℎ ∈ 𝐷 sedemikian sehingga ℎ → 0, suku-suku yang mempunyai orde lebih dari 1

nilainya sangat kecil relatif

terhadap ℎ . (𝑦 + ℎ) dan (𝑦′ + ℎ′) adalah variabel bebas - variabel bebas dalam fungsional 𝑏 𝑎

𝜕

𝜕

ℎ 𝜕(𝑦 +ℎ) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) + ℎ′ 𝜕(𝑦 ′ +ℎ ′ ) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝑑𝑥 , sehingga dapat dituliskan

𝑦 + ℎ = 𝑦 dan (𝑦′ + ℎ′) = 𝑦′. Oleh karena itu fungsional tersebut menjadi 𝑏 𝑎

𝜕

𝜕

ℎ 𝜕𝑦 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) + ℎ′ 𝜕𝑦 ′ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝑑𝑥 . Fungsional

𝑏 𝑎

𝜕

ℎ 𝜕𝑦 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) +

𝜕

ℎ′ 𝜕𝑦 ′ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) 𝑑𝑥 adalah fungsional linear.

Oleh karena itu diferensial dari 𝐽[𝑦] untuk 𝑦 = 𝑦(𝑥) adalah. 𝑏

𝛿𝐽 = 𝑎

𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ℎ + ′ 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ℎ′ 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Menurut teorema 3.2.1 bahwa syarat perlu agar 𝐽[𝑦] memiliki suatu ekstrimum pada 𝑦 = 𝑦(𝑥) adalah


𝑏

𝛿𝐽 = 𝑎

130

𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ℎ + ′ 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ℎ′ 𝑑𝑥 = 0 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Menurut lema 3.2.2, didapat : 𝜕𝐹

𝑑

𝑥, 𝑦, 𝑦′ − 𝑑𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′

𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

=0

Contoh 4.1.1 Andaikan

𝐷 = 𝑦 ∈ 𝐶 1 0,1 | 𝑦 0 = 0, 𝑦 1 = 1 .

𝐼: 𝐷 → 𝑅, dengan bentuk 𝐼[𝑦] =

1 0

𝑦′ 𝑥 − 1

2

Diberikan

suatu

fungsi

𝑑𝑥.

Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ [0,1], dengan 𝑦 ∈ 𝐷 akan membuat 𝐼[𝑦] mencapai nilai minimum.

Andaikan 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 𝑦′ − 1 2 , sehingga 𝜕𝐹

𝜕𝐹

= 0 dan 𝜕𝑦 ′ = 2(𝑦 ′ − 1)

𝜕𝑦

Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi 𝜕𝐹

𝑑

𝑥, 𝑦, 𝑦′ − 𝑑𝑥

𝜕𝑦 𝑑

2 𝑦 ′ (𝑥) − 1

𝑑𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′

𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

𝑑

= 0 − 𝑑𝑥 2 𝑦′ − 1

= 0, sehingga

= 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1]

Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua ruas. 𝑑 𝑑𝑥

2 𝑦′ − 1

𝑑 2 𝑦′ − 1 𝑑𝑥

= 0, sehingga 𝑑𝑥 =

0 𝑑𝑥


131

2 𝑦 ′ (𝑥) − 1 = 𝑐, dengan 𝑐 konstan 𝑦′ 𝑥 − 1 =

𝑐 2

𝑐 +1 2

𝑦′ 𝑥 =

𝑐

Andaikan 2 + 1 = 𝐴 , sehingga 𝑦′ 𝑥 = 𝐴 𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 =

𝐴𝑑𝑥

𝑦 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵, di mana 𝐴 dan 𝐵 adalah konstan 𝑦 ∈ 𝐷, sehingga 𝑦 memenuhi syarat batas yaitu : 𝑦 0 = 0, dan 𝑦 1 = 1 Oleh karena itu didapat : 𝐴(0) + 𝐵 = 0, dan 𝐴(1) + 𝐵 = 1 didapat : 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 0 Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah 𝑦 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ∈ [0,1]

2

𝑦′ − 1

≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1], sehingga

1 0

𝐼 𝑦 =

𝑦′ 𝑥 − 1

2

𝑑𝑥 ≥ 0, untuk

pembandingan integral tentu). 1

𝐼[𝑦] =

𝑦′ 𝑥 − 1

2

0

=

1 0

=

1 0 𝑑𝑥 0

1−1

2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

semua 𝑦 ∈ 𝐶 1 [0,1] (menurut

sifat


132

=𝑐−𝑐 =0 Karena ∆𝐼[𝑦] ≥ 0, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐷, maka 𝐼[𝑦] akan mencapai minimum mutlak (minimum global) di 𝑦 𝑥 = 𝑥.

Contoh 4.1.2 Andaikan

𝐷 = 𝑦 ∈ 𝐶 1 0,2 | 𝑦 0 = 1, 𝑦 2 = 5 . 2 − 0

𝐽: 𝐷 → 𝑅, dengan bentuk 𝐽[𝑦] =

𝑦′ 𝑥 − 2

2

Diberikan

suatu

fungsi

𝑑𝑥.

Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ∈ [0,2], dengan 𝑦 ∈ 𝐷 akan membuat 𝐽[𝑦] mencapai nilai maksimum.

Andaikan 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = − 𝑦′ − 2 2 , sehingga 𝜕𝐹

𝜕𝐹

= 0 dan 𝜕𝑦 ′ = −2(𝑦 ′ − 2)

𝜕𝑦

Sekarang, persamaan Euler-nya menjadi 𝜕𝐹

𝑑

𝜕𝐹

𝑥, 𝑦, 𝑦′ − 𝑑𝑥

𝜕𝑦 𝑑

𝜕𝑦 ′

−2 𝑦 ′ (𝑥) − 2

𝑑𝑥

𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

𝑑

= 0 − 𝑑𝑥 −2 𝑦′ − 2

= 0, sehingga

= 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,2]

Solusi persamaan diferensial di atas dapat dicari dengan mengintegralkan kedua ruas. 𝑑 𝑑𝑥

−2 𝑦′ − 2

𝑑 −2 𝑦′ − 2 𝑑𝑥

= 0, sehingga 𝑑𝑥 =

0 𝑑𝑥

−2 𝑦 ′ (𝑥) − 2 = 𝑐, dengan 𝑐 konstan


𝑦′ 𝑥 − 2 = −

133

𝑐 2

𝑐 𝑦′ 𝑥 = − + 2 2 𝑐

Andaikan − 2 + 2 = 𝐴 , sehingga 𝑦′ 𝑥 = 𝐴 𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 =

𝐴𝑑𝑥

𝑦 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵, di mana 𝐴 dan 𝐵 adalah konstan 𝑦 ∈ 𝐷, sehingga 𝑦 memenuhi syarat batas yaitu : 𝑦 0 = 1, dan 𝑦 2 = 5 Oleh karena itu didapat : 𝐴(0) + 𝐵 = 1, dan 𝐴(2) + 𝐵 = 5 didapat : 𝐴 = 2 dan 𝐵 = 1 Oleh karena itu, solusi dari persamaan Euler tersebut adalah 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑥 ∈ [0,2]

2

𝑦′ − 2 2 0

≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ [0,2], sehingga

𝑦′ 𝑥 − 2

2

𝑑𝑥 ≥ 0, untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶 1 [0,2] (menurut sifat pembandingan

integral tentu). 𝐽𝑦 =

2 − 0

𝑦 ′ (𝑥) − 2

2

𝑑𝑥 = −

2 − 0

Oleh karena itu, 𝐽 𝑦 = 1

𝐽[𝑦] =

− 𝑦′ 𝑥 − 2 0

2

𝑑𝑥

2 0

𝑦′ 𝑥 − 2

𝑦 ′ (𝑥) − 2

2

2

𝑑𝑥

𝑑𝑥 ≤ 0 , untuk semua 𝑦 ∈ 𝐶 1 [0,2].


=

1 0

=

1 0 𝑑𝑥 0

2−2

2

134

𝑑𝑥

=𝑐−𝑐 =0 Karena ∆𝐽[𝑦] ≤ 0, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐷, maka 𝐽[𝑦] akan mencapai maksimum mutlak di 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 1.


BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan, didapat kesimpulan sebagai berikut: 1. Suatu fungsional 𝐽[𝑦] memiliki ekstremum relatif untuk 𝑦 = 𝑦 jika 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] memiliki tanda yang sama (positif atau negatif) untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦 < 𝜀. Nilai ekstrim kuat pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih besar (luas) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih besar. Nilai ekstrim lemah pada fungsional adalah nilai ekstrim pada ruang yang lebih kecil (sempit) atau dengan kata lain, ketika diambil definisi persekitaran dari 𝑦 pada ruang yang lebih kecil. Ruang yang lebih sempit itu adalah himpunan bagian sejati dari ruang yang lebih besar. (𝐶 𝑘 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 0 [𝑎, 𝑏]) (untuk 𝑘 > 1) Misal, suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0 [𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1 [𝑎, 𝑏]. Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0 [𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1 [𝑎, 𝑏], mempunyai suatu ekstrimum lemah pada 𝑦 jika terdapat 𝜀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦

1

< 𝜀.

135


136

Suatu fungsional 𝐽[𝑦], ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶0 [𝑎, 𝑏] atau ketika 𝑦 dianggap sebagai anggota 𝐶1 [𝑎, 𝑏],

mempunyai suatu

ekstrimum kuat pada 𝑦 jika terdapat 𝜀 > 0, sedemikian sehingga 𝐽 𝑦 − 𝐽[𝑦] memiliki tanda yang sama untuk setiap 𝑦 dalam persekitaran-𝜀 dari 𝑦(𝑥); yakni 𝑦 − 𝑦

0

< 𝜀.

Berikut teorema mengenai nilai ekstrim suatu fungsional : Syarat perlu untuk suatu fungsional yang terdiferensialkan 𝐽[𝑦] agar mencapai titik ekstrim relatif untuk 𝑦 = 𝑦 adalah bahwa diferensial untuk 𝑦 = 𝑦 sama dengan 0; yakni 𝛿𝐽 ℎ = 0 untuk 𝑦 = 𝑦.

Pembuktiannya dibagi dua bagian yang pertama yaitu untuk nilai maksimum kemudian yang kedua untuk nilai minimum. Keduanya memakai metode kontradiksi.

2. Persamaan Euler merupakan syarat perlu tercapainya titik ekstrim suatu fungsional 𝑏 𝑎

tertentu;

yakni

fungsional

yang

berberntuk

𝐽𝑦 =

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝑑𝑥 . Jika suatu fungsional tersebut mencapai titik ekstrim

pada suatu fungsi maka fungsi itu akan memenuhi persamaan Euler.


137

3. Berikut bunyi teorema tentang persamaan Euler : 𝐽𝑦

Andaikan 𝑏 𝑎

adalah

suatu

fungsional

dalam

bentuk

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝑑𝑥, yang terdefinisi untuk untuk semua fungsi 𝑦(𝑥) ∈

𝐶1 [𝑎, 𝑏] dan memenuhi syarat batas yaitu 𝑦 𝑎 = 𝐴, 𝑦 𝑏 = 𝐵. Maka syarat perlu agar 𝐽 𝑦 memiliki suatu ekstrimum pada fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑥) yaitu 𝜕𝐹 𝜕𝑦

𝑦(𝑥)

bahwa 𝑑

𝑥, 𝑦, 𝑦′ − 𝑑𝑥

𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′

memenuhi

𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

persamaan

Euler

berikut

ini

= 0.

Pembuktiannya, pertama dekati fungsi 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′

dengan deret

Taylor. Kemuadian cari diferensial dari fungsional 𝐽[𝑦]. Dengan ketaksamaan Taylor, akan ditemukan fungsional linear 𝛿𝐽 sebagai diferensialnya. Dengan menggunakan teorema tentang nilai ekstrim fungsi; 𝛿𝐽 = 0,

akan ditemukan bentuk persamaan diferensial yang disebut

persamaan Euler.

B. Saran Saran untuk penelitian lebih lanjut yaitu tentang bagaimana persamaan Euler untuk fungsional dengan variabel bebas yaitu fungsi-fungsi beberapa variabel.


DAFTAR PUSTAKA Gelfand, I,M. dan S.V. Fomin. 1963. Calculus of Variations. New Jersey : Prentice-Hall, Inc. Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 1. Jakarta : Erlangga. Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Razali, Muhammad, Mahmud N. Siregar, dan Faridawaty Marpaung. 2010. Kalkulus Diferensial. Bogor : Ghalia Indonesia. Morgan, Frank. 2005. Real Analysis and Applications. USA : American Mathematical Society. Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis Third Edition. New York : John Wiley & Sons, Inc. Waluya, S.B. 2006. Persamaan Diferensial. Yogyakarta : Graha Ilmu. Nugroho, Didit Budi.2001. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya. Yogyakarta : Graha Ilmu. Khuri, Andre I. Advanced Calculus with Applications in Statistics Second Edition. USA : Wiley-Interscience. Gozali, Sumanang Muhtar. 2010. Pengantar Analisis Fungsional. Bandung : Universitas Pendidikan Indonesia. Folland, G.B.

. Higher-Order Derivatives and Taylor's Formula in

Several Variables.

.

http://mathsci.kaist.ac.kr/~nipl/am621/lecturenotes/Euler-Lagrange_equation.pdf

138

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents