PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Ayu Sri Wulandari NIM: 103114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2014

i


DISCRETE FOURIER TRANSFORM AND ITS APPLICATION IN IMAGE DIGITAL COMPRESSION

Thesis Presented As a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

By: Ayu Sri Wulandari Student Number: 103114004

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2014

ii


SKRIPSI

TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT DAN APLIKASII\TYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL

-\

'.Y:d" Disusun oleh:

.*dftffiH"e O NI%$ffi114004

1$ffi3 :-effiS

';.,' ,r!

r;- *a

.\

I

-A,

Telah

oleh:

*t'be"'oocd fsetujui

ffif

, ^11

Pembimbing

Tanggal 26

( Dr.rer.nat. Herrj, Pribawanto S. )

111

Januan2}ll


SKRIPSI

TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT DAN APLIKASINYA PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL Dipersiapkan dan ditulis oleh:

Ayu Sri Wulandari

NIM: 103114004 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tangg al 29

J

anuai

201 5

dan dinyatakan memenuhi syarat.

SUSUNAN PANITIA PENGUJI

t{rdutun *,

Nama Lengkap

Ketua

:

&rl ,fu-rt"L

k. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.

-

Sekretaris : Y. G. Hartono, Ph.D.

Anggota

:

Dr.rer.nat.Herry Pribawanto

S.

Yogyakarta,

2Z

Februari 2015

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma Dekan

f"#tX \'.

'-cvc.xo . Prima Rosa, S.Si,

1V

M.Sc. )


PERTTYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis

ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustak4 sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 26 J anuari 201 5

w

Penulis

I //'

Ayu Sri Wulandari


HALAMAN PERSEMBAHAN

“Don’t limit yourself, many people limit themselves to what they think they can do. You can go as far as your mind lets you. What you believe, remember, you can achieve.” - MARY KAY ASH -

Skripsi ini penulis persembahkan kepada: Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria, Bapak Stefanus Wagiyo (alm) dan Ibu Ch. Sri Nursilowati, Kakak-kakak tersayang (Indah, Aris, Daniel), serta sahabat-sahabat yang selalu berada di sisi saya. Terima kasih atas semua dukungan yang diberikan.

vi


LEMBAR PER}IYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAII T]NTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Saya yang bertanda tangan di bawah

ini, mahasiswi Universitas Sanata Dharma:

Ayu Sri Wulandari

Nama

:

NIM

: 10 3114004

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: Transformasi Fourier Dislcrit dan Aplikasinya pada Kompresi Citra Digital Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma unutk menyimpan, mengalihkan

ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal: 26 Januari 20 I 5

Yang menyatakan J

W1 T t-12 -tr-

t r'l

(Ayu Sri Wulandari)

v1l


ABSTRAK

Tulisan ini membahas tentang Transformasi Fourier Diskrit (TFD) yang merupakan implementasi dari transformasi Fourier. Transformasi Fourier Diskrit mentransformasikan suatu fungsi pada domain ruang/waktu ke domain frekuensi. Transformasi Fourier Diskrit dapat digunakan dalam pemrosesan sinyal atau citra, seperti penyaringan sinyal, dekomposisi spektral, dan kompresi sinyal atau citra. Pada bagian akhir tulisan ini akan dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier diskrit pada kompresi citra digital, khususnya citra beraras keabu-abuan. Dalam bidang matematika, transformasi Fourier Diskrit mentransformasikan suatu vektor menjadi vektor yang lebih sederhana dan apabila diinverskan kembali vektor hasilnya serupa dengan vektor aslinya. Suatu nilai ambang batas mempunyai pengaruh besar dalam pemampatan data menggunakan transformasi Fourier Diskrit. Nilai ambang batas ini akan menentukan nilai-nilai frekuensi yang harus dianggap nol. Apabila nilai ambang batas semakin kecil (mendekati nol), maka hasil pemampatannya serupa dengan data aslinya. Kata kunci: Transformasi Fourier, Transformasi Fourier Diskrit, Kompresi, Sinyal, Citra Digital, Citra Beraras Keabu-abuan.

viii


ABSTRACT

This thesis discusses the Discrete Fourier transform (DFT), which is an implementation of the Fourier transform. Discrete Fourier Transform to transform a function on the domain space/time domain to the domain frequency. Discrete Fourier transform can be used in signal or image processing, such as signal filtering, spectral decomposition, and signal or data compression. In the final section of this thesis will discuss the application of the Discrete Fourier transform on the digital image compression, especially grayscale image. In mathematics, the Discrete Fourier transform to transform a vector into a vector that is more simple and if it is inversed back, it will have similar properties as the original one. A threshold value is significance to the data compression using Discrete Fourier transform. This threshold value will determine the frequency values that should be considered zero. If the threshold is getting smaller (close to zero), then the compression have similar properties as the original one. Key words: Fourier Transform, Discrete Fourier Transform, Compression, Signal, Digital Image, Grayscale Image.

ix


KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus atas segala cinta kasih-Nya yang melimpah sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi untuk memenuhi tugas akhir dalam menempuh gelar Sarjana (S1) di Universitas Sanata Dharma dengan lancar dan baik. Selama penulisan skripsi ini, penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berperan besar dalam bimbingan, dukungan dan bantuannya bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: 1.

Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan penyertaan-Nya selama proses penulisan skripsi ini sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

2.

Bapak Dr.rer.nat. Herry Pribawanto, M.Si., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing, mendampingi, dan memberikan masukan kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.

3.

Bapak Y.G. Hartono, Ph.D., selaku Ketua Program Studi Matematika dan dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing, mendampingi, dan memberikan masukan kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.

4.

Ibu Paulina H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

5.

Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik

6.

Bapak, Ibu, dan Romo, dosen program studi Matematika yang senantiasa memberikan motivasi dan dukungan kepada penulis.

x


7.

Bapak Z. Tukija dan para staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi lainnya yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.

8.

Perpustakaan USD yang telah membantu menyediakan bahan dan fasilitas selama proses penulisan skripsi ini.

9.

Bapak Stephanus Wagiyo (alm) dan Ibu Ch. Sri Nursilowati, selaku orang tua penulis, kakak-kakakku tersayang Indah, Daniel dan Aris dan segenap keluarga atas segala doa dan dukungannya kepada penulis.

10. Sahabat-sahabat terdekatku, Happy adik almamaterku, dan teman-teman prodi Matematika terkhusus angkatan 2010: Arga, Celly, Astri, Agnes, Dini, Leny, Marsel, Pandu, Yosi, Roy, Ratri, Tika, Yohan, Sari; atas doa, semangat dan kebersamaan yang diberikan kepada penulis. 11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan skripsi ini.

Yogyakarta, 26 Januari 2015

Penulis

xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN.......................................................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN.........................................................................

iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN................................

v

HALAMAN PERSEMBAHAN......................................................................

vi

ABSTRAK.......................................................................................................

viii

ABSTRACT.....................................................................................................

ix

KATA PENGANTAR.....................................................................................

x

DAFTAR ISI....................................................................................................

xii

DAFTAR TABEL............................................................................................

xv

DAFTAR GAMBAR.......................................................................................

xvi

BAB I PENDAHULUAN................................................................................

1

1.1. Latar Belakang............................................................................................

1

1.2. Perumusan Masalah.....................................................................................

11

1.3. Pembatasan Masalah....................................................................................

11

1.4. Tujuan Penelitian.........................................................................................

11

1.5. Manfaat Penulisan.......................................................................................

12

1.6. Metode Penulisan........................................................................................

12

1.7. Sistematika Penulisan..................................................................................

12

BAB II LANDASAN TEORI..........................................................................

14

2.1. Aljabar Fungsi.............................................................................................

14

2.1.1. Periode Fungsi...................................................................................

14

2.1.2. Kekontinyuan Fungsi.........................................................................

14

xii


2.1.3. Turunan Fungsi..................................................................................

16

2.1.4. Fungsi Mulus.......................................................................................

17

2.1.5. Bilangan Kompleks............................................................................

18

2.1.6. Konjugat Kompleks............................................................................

18

2.1.7. Fungsi Eksponensial Kompleks.........................................................

19

2.2. Aljabar Matriks............................................................................................

20

2.2.1. Matriks Identitas...............................................................................

20

2.2.2. Invers Matriks....................................................................................

20

2.2.3. Matriks Simetris..................................................................................

22

2.2.4. Matriks Uniter...................................................................................

22

2.2.5. Ruang Hasilkali Dalam dan Norma...................................................

23

2.2.6. Ortogonalitas.....................................................................................

26

BAB III TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT......................................

27

3.1. Deret Fourier...............................................................................................

27

3.2. Transformasi Fourier....................................................................................

37

3.2.1. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier..............................................

41

3.3. Transformasi Fourier Diskrit.......................................................................

48

3.3.1. Definisi Transformasi Fourier Diskrit...............................................

49

3.3.2. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Diskrit...................................

68

3.3.3. Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi............................................

74

3.3.4. Transformasi Fourier Diskrit pada Kompresi Sinyal..........................

84

BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT..................

88

4.1. Citra Diskrit.................................................................................................

88

4.2. Citra Beraras Keabu-abuan.........................................................................

88

4.3. Kompresi Citra Beraras Keabu-abuan..........................................................

89

xiii


BAB V PENUTUP...........................................................................................

96

5.1. Kesimpulan...................................................................................................

96

5.2. Saran............................................................................................................

97

DAFTAR PUSTAKA......................................................................................

98

LAMPIRAN.....................................................................................................

99

xiv


DAFTAR TABEL

Tabel 3.1.............................................................................................................

57

Tabel 3.2..............................................................................................................

58

Tabel 4.1.............................................................................................................

93

Tabel 4.2.............................................................................................................

94

xv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1.........................................................................................................

2

Gambar 1.2.........................................................................................................

2

Gambar 1.3.........................................................................................................

3

Gambar 1.4.........................................................................................................

4

Gambar 1.5.........................................................................................................

5

Gambar 1.6.........................................................................................................

6

Gambar 1.7.........................................................................................................

8

Gambar 1.8.........................................................................................................

8

Gambar 1.9.........................................................................................................

9

Gambar 1.10.......................................................................................................

9

Gambar 1.11........................................................................................................

10

Gambar 1.12........................................................................................................

10

Gambar 2.1.........................................................................................................

16

Gambar 2.2.........................................................................................................

18

Gambar 3.1.........................................................................................................

40

Gambar 3.2.........................................................................................................

48

Gambar 3.3.........................................................................................................

49

Gambar 3.4.........................................................................................................

58

Gambar 3.5.........................................................................................................

59

Gambar 3.6.........................................................................................................

75

Gambar 3.7.........................................................................................................

85

Gambar 3.8.........................................................................................................

86

Gambar 4.1.........................................................................................................

89

xvi


Gambar 4.2.........................................................................................................

90

Gambar 4.3.........................................................................................................

91

Gambar 4.4.........................................................................................................

92

Gambar 4.5.........................................................................................................

94

Gambar 4.6.........................................................................................................

95

xvii


BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah Citra merupakan suatu kombinasi antara titik-titik, garis, bidang dan warna untuk menciptakan sebuah tiruan dari obyek nyata. Citra dapat difungsikan sebagai suatu simbol untuk menyampaikan pesan antar manusia. Dalam kehidupan sehari-hari, citra hanya tampak dalam bentuk dua dimensi dan tiga dimensi. Citra dalam wujud dua dimensi dapat berupa suatu citra digital, sedangkan citra dalam wujud tiga dimensi dapat berupa patung atau ukiran. Citra digital merupakan gambar tiruan dari suatu obyek nyata yang diciptakan oleh perangkat optik seperti kamera, akan tetapi ukuran resolusi dari citra digital sangat besar sehingga akan berdampak dalam penyimpanan dan proses pengiriman gambar. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu dilakukan minimisasi ukuran resolusi yang dikenal dengan kompresi. Kompresi atau pemampatan merupakan proses memadatkan ukuran resolusi suatu data untuk menghasilkan representasi digital yang padat atau mampat namun tetap dapat mewakili kuantitas informasi yang terkandung pada data tersebut. Pada citra digital, kompresi mengarah pada meminimisasi jumlah bit rate untuk representasi digital. Oleh karena itu, data asli yang telah dikompresi akan lebih efisien dalam penyimpanannya dan mempersingkat


2

waktu dalam pertukaran ataupun pengirimannya. Berikut beberapa contoh citra asli dan hasil kompresinya:

Gambar 1.1. Citra asli berukuran 77,9 kilobyte (kiri). Citra terkompresi berukuran 19,11 kilobyte (kanan). (Sumber: https://old.ntchosting.com/multimedia/jpg-image-file-format.html)

Gambar 1.2. Citra asli (kiri) dan citra terkompresi (kanan). (Sumber: http://petapixel.com/2009/12/22/why-higher-iso-leads-to-largerfile-sizes)

Berdasarkan

kandungan

informasi

pada

citra

hasil

kompresi,

pemampatan/kompresi dikelompokkan menjadi dua, yaitu pemampatan tanpa kehilangan (lossless compression) dan pemampatan berkehilangan (lossy compression). 1.

Pemampatan tanpa kehilangan (lossless compression) adalah teknik pemampatan yang mampu memadatkan data sama persis seperti data semula. Maksudnya, tidak ada informasi yang hilang atau harus dikurangi dalam proses untuk mengurangi ukuran besar data. Contohnya,


3

apabila berkas citra digital berukuran 256x256 berwarna polos (setiap pixel berwarna sama) dan tiap pixelnya berukuran 4 byte, tanpa pemadatan, berkas harus disimpan berukuran 4 kali 256x256, sama dengan 262144 byte. Namun, dengan pemadatan, maka data yang perlu disimpan hanya data satu warna tersebut. Jadi, data yang perlu disimpan hanyalah 4 byte ditambah beberapa byte untuk menandakan pengulangan pixel yang sama.

Gambar 1.3. Ilustrasi Lossless Compression JPEG 2000. Gambar asli (atas); Gambar terkompresi 1 berukuran 4990 kilobyte (kiri bawah); Gambar terkompresi 2 berukuran 4184 kilobyte (kanan bawah). (Sumber: http://www.steves-digicams.com/knowledge-center/whateverhappened-to-jpeg2000.html)

2.

Pemampatan

berkehilangan

(lossy

compression)

adalah

teknik

pemampatan dengan memangkas bagian-bagian data yang kurang penting supaya ukuran data bisa dikecilkan. Teknik kompresi ini paling sering digunakan untuk mengompres data multimedia. Teknik ini


4

menghasilkan ratio kompresi yang lebih besar daripada metode lossless. Misal terdapat citra digital asli berukuran 12,249 byte, kemudian dilakukan kompresi dengan JPEG kualitas 30 dan ukurannya menjadi 1,869 byte berarti citra digital tersebut 85% lebih kecil dan ratio kompresinya 15%. Contoh format gambar yang teknik kompresinya menggunakan lossy compression adalah JPEG.

Gambar 1.4. Ilustrasi Lossy Compression. Gambar asli berukuran 12 kilobyte (kiri); Gambar terkompresi 85% berukuran 1,8 kilobyte (tengah); Gambar terkompresi 96% berukuran 0.56 kilobyte (kanan). (Sumber:https://onramps.instructure.com/courses/1196409/pages/compressio n-algorithms)

Dari sudut pandang matematis, citra digital merupakan suatu array yang berisi nilai-nilai real maupun komplek yang direpresentasikan dengan deretan bit tertentu. Citra digital dapat didefinisikan sebagai fungsi f (x, y) berukuran M baris dan N kolom (M x N), dengan x dan y adalah koordinat spasial, dan amplitudo f di koordinat (x, y) dinamakan tingkat keabu-abuan dari citra pada titik tersebut (lihat Gambar 1.5) dengan nilai x,y dan f berhingga dan bernilai diskrit.


5

Gambar 1.5. Koordinat citra digital.

Secara matematis, citra digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

 f (0,0)  f (1,0) f ( x, y )       f ( M  1,0)

f (0,1) f (1,1)

 

 f ( M  1,1) 

f (0, N  1)  f (1, N  1)  .    f ( M  1, N  1)

Banyak metode yang dapat digunakan untuk melakukan kompresi, antara lain metode Huffman, RLE (Run Length Encoding), metode ShannonFano, kompresi citra berbasis transformasi, dan sebagainya. Dalam bidang matematika, salah satu teori yang dapat diterapkan untuk melakukan kompresi citra berbasis transformasi adalah Transformasi Fourier Diskrit. Dalam ilmu matematika, analisis Fourier berumur kurang lebih 200 tahun. Pada tahun 1807, Jean Baptiste Fourier mempresentasikan makalahnya tentang teori konduksi panas di Paris Academy. Pemaparan tersebut menjadi


6

awal munculnya analisis Fourier. Terdapat dua masalah lain yang menjadi akar dari munculnya analisis Fourier. Masalah pertama adalah cara untuk mendeskripsikan getaran yang diciptakan oleh senar yang bergetar bila kedua ujungnya diikat dengan kencang. Masalah ini mengarah pada persamaan gelombang, seperti yang telah dirumuskan oleh matematikawan Jean d’Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, dan Joseph-Louis Lagrange. Matematikawan Bernoulli memberikan penyelesaian berbentuk deret trigonometri y  A sin x cos at  B sin 2 x cos 2at  ...

dengan x adalah koordinat spasial dan t adalah variabel waktu. Penyelesaian yang diberikan oleh Bernoulli ini menyerupai bentuk kontinyu dari deret Fourier. Sedangkan, Euler dan Lagrange menDiskritisasi masalah getaran tersebut dengan menggambarkan bahwa senar tersebut terdiri dari partikelpartikel yang terbatas dan partikel-partikel tersebut saling terhubung (Gambar 1.6).

Gambar 1.6. Ilustrari getaran dari senar yang diDiskritisasi.


7

Penyelesaian dari masalah Diskritisasi tersebut ialah dengan mencari sampelsampel dari fungsi yang menggambarkan pergerakan senar tersebut. Lagrange memberikan penyelesaian berbentuk jumlahan fungsi sinus dari berbagai frekuensi yang beragam. Penyelesaiannya ini merupakan dasar transformasi sinus Fourier Diskrit. Masalah kedua yaitu, menentukan orbit dari bendabenda langit. Euler, Lagrange dan Alexis Claude Clairaut membuat pemikiran dasar di mana data yang diambil dari pengamatan diaproksimasi dengan kombinasi linear dari fungsi periodik. Perhitungan koefisien dalam ekspansi trigonometri ini mengarah ke perhitungan yang kemudian akan disebut dengan transformasi Fourier Diskrit. Transformasi Fourier Diskrit dapat diterapkan untuk menganalisis data, dekomposisi spektral, penyaringan sinyal, pemrosesan citra (image processing), seperti kompresi citra, dan lain-lain. Sebagai contoh, pada penelitian terbaru mengenai Trapridge Glacier di daerah teritorial Yukon, Kanada. Pada penelitian tersebut, data yang digunakan berasal dari data yang dikumpulkan dengan sensor-sensor pada hamparan gletser, yang diletakkan 80 meter di bawah permukaan air. Secara khusus, pengukuran kekeruhan (jumlah bahan tersuspensi) air subglacial diambil setiap Δt = 10 menit  0,0069 hari. Bila diplot, data ini menghasilkan kurva bergerigi seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1.7 (waktu meningkat ke kanan dan nilai-nilai kekeruhan diplot pada sumbu vertikal).


8

tingkat kekeruhan t (hari) Gambar 1.7. Grafik dari data asli yang terdiri dari N = 368 data, pengukuran kekeruhan air diambil setiap Δt = 10 menit.

Grafik data asli di atas menunjukkan pola dan ketidakteraturan. Pada skala terbesar dari grafik terlihat suatu pola seperti gelombang dengan periodenya sekitar satu hari. Pada skala waktu yang lebih kecil, data tampaknya terinfeksi dengan osilasi frekuensi tinggi yang sebagian disebabkan karena derau. Kemudian, analisis data kekeruhan tersebut dengan mengurangkan setiap nilai dari data kekeruhan dengan rata-rata dari keseluruhan data kekeruhan.

data asli – rata-rata data

t Gambar 1.8. Grafik data yang setiap data asli dikurangkan dengan rata-rata datanya.

Nilai data yang muncul sebagai fluktuasi nilai rata-rata dari nol. Dengan kumpulan data yang disesuaikan, dari data tersebut dapat diperoleh dekomposisi spektral/frekuensinya dengan menggunakan konsep dari transformasi Fourier Diskrit. Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 1.9.


9

f Gambar 1.9. Grafik spektrum data setelah diterapkan transformasi Fourier Diskrit (sumbu horisontal merupakan frekuensi dan sumbu vertikal merupakan ukuran bobot relatif dari masing-masing frekuensi dalam struktur keseluruhan data kekeruhan). Dari grafik spektrum di atas terlihat bahwa sebagian besar ‘energi’ dalam data berada pada frekuensi yang lebih rendah.

f

Gambar 1.10. Perbesaran dari grafik spektrum data pada frekuensi rendah. Dari gambar 1.7 dapat dilihat bahwa dari data asli muncul ‘derau’. ‘Derau’ yang muncul karena kontribusi semua frekuensi tinggi dalam spektrum, sehingga untuk mengatasi ‘derau’ tersebut dilakukan penyaringan. Istilah dari penyaringan dapat digambarkan dengan sederhana, yaitu menghilangkan semua frekuensi yang tinggi pada spektrum di atas frekuensi yang dipilih.


10

Spektrum baru yang terbentuk direkonstruksi dengan invers dari transformasi Fourier Diskrit, sehingga dapat dihasilkan data yang grafiknya lebih mulus dari data aslinya.

t Gambar 1.11. Grafik dari data asli setelah dilakukan penyaringan (dengan menghilangkan frekuensi di atas 50).

t Gambar 1.12. Grafik mulus dari data asli setelah dilakukan penyaringan (dengan menghilangkan frekuensi di atas 10).

Masalah di atas memberikan ilustrasi tentang penerapan transformasi Fourier Diskrit dalam dekomposisi spektral dan penyaringan sinyal. Dalam tulisan ini, penerapan transformasi Fourier Diskrit yang akan dibahas ialah penerapan transformasi Fourier Diskrit dalam pemrosesan citra, khususnya dalam kompresi pada citra digital


11

1.2. Perumusan Masalah Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut. 1.

Apa yang dimaksud dengan Transformasi Fourier Diskrit dan bagaimana landasan teoritisnya?

2.

Bagaimana penerapan Transformasi Fourier Diskrit pada kompresi citra digital?

3.

Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB untuk kompresi citra digital dengan Transformasi Fourier Diskrit?

1.3. Pembatasan Masalah Penulis akan membatasi beberapa hal untuk uraian masalah yang akan dibahas, yaitu: 1.

Fungsi domain spasial pada citra digital yang akan dibahas dalam tulisan ini merupakan fungsi yang periodik.

2.

Tulisan ini hanya akan membahas penerapan transformasi Fourier Diskrit 2D.

3.

Penerapan transformasi Fourier Diskrit 2D hanya dibatasi pada citra digital beraras keabu-abuan.

1.4. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini adalah mengetahui konsep deret Fourier, transformasi Fourier, transfromasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam kompresi citra digital. Sebagai tambahan, akan dipelajari juga bagaimana algoritma dan pemrogramannya dengan MATLAB. Tulisan ini juga disusun


12

sebagai pemenuhan tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas Sanata Dharma. 1.5. Manfaat Penulisan Manfaat penulisan ini adalah memperoleh pengetahuan mengenai konsep transformasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam kompresi citra digital. Selain itu, dapat juga dibuat algoritma dan pemrograman MATLAB sehingga proses komputasi lebih efektif dan efisien. 1.6. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan pengolahan citra, sinyal, transformasi Fourier Diskrit dan penerapannya dalam kompresi citra. 1.7. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang 1.2. Rumusan Masalah 1.3. Batasan Masalah 1.4. Tujuan Penulisan 1.5. Manfaat Penulisan 1.6. Metode Penulisan 1.7. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Aljabar Fungsi


2.2. Aljabar Matriks BAB III TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT 3.1. Deret Fourier 3.2. Transformasi Fourier 3.3. Transformasi Fourier Diskrit BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT BAB V PENUTUP 5.1. Kesimpulan 5.2. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

13


BAB II LANDASAN TEORI

2.1. Aljabar Fungsi 2.1.1. Periode Fungsi Definisi 2.1 Suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif

p sedemikian sehingga f x  p   f x  untuk semua bilangan riil x di dalam daerah asal f . Bilangan p tersebut disebut periode f . Contoh 2.1 Fungsi f x   sin x mempunyai periode 2 , sebab

f x  2   sin x  2   sin x cos 2   cos x sin 2   sin x , x  ℝ .

2.1.2. Kekontinyuan Fungsi Definisi 2.2 Fungsi f x  dikatakan kontinyu di suatu titik c , jika f c  terdefinisi dan lim f x   f c  . xc


15

Definisi 2.3 Suatu fungsi

f

dikatakan kontinyu pada interval [a,b] jika fungsi

tersebut kontinyu di semua titik pada interval a, b  dan jika

lim f ( x)  f a 

x a 

dan lim f ( x)  f b  . x b

Fungsi f dikatakan kontinyu sepotong-sepotong pada [a,b] jika interval tersebut dapat dibagi menjadi subinterval berhingga dan pada setiap subinterval tersebut f kontinyu. Contoh 2.2 Misal, x 1 2  2   f ( x)   x ln x  1  x  1 ln x  1  5

untuk - 1  x  0, untuk 0  x  1, untuk 1  x  2.

Fungsi f x  merupakan fungsi kontinyu sepotong-sepotong karena fungsi tersebut kontinyu pada setiap subinterval  1, 0, 0,1 dan 1, 2 (lihat Gambar 2.1) .


Gambar 2.1. Grafik dari fungsi sepotong-sepotong interval  1, 2 .

16

f x  pada

2.1.3. Turunan Fungsi Definisi 2.4 Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f ' (dibaca “ f aksen”) yang nilainya di sebarang bilangan x adalah f ' x   lim h 0

f x  h   f x  h

asalkan limit ini ada dan bukan  atau   . Contoh 2.3 Jika f x   x 3  7 x , maka f '  x   lim h 0

f x  h   f x  h

x  h  7x  h x 3

 lim h 0

 lim h 0

3

 7x



h x 3  3x 2 h  3xh 2  h 3  7 x  7h  x 3  7 x h


 lim

3 x 2 h  3 xh 2  h 3  7 h h

 lim

h 3 x 2  3 xh  h 2  7 h

h 0

h 0





 lim 3 x 2  3 xh  h 2  7 h 0

17





 3 x 2  7.

2.1.4. Fungsi Mulus Definisi 2.5 Suatu fungsi f dikatakan mulus pada suatu interval a, b jika f dan

f ' kontinyu pada interval tersebut. Contoh 2.4 Misal,

x 1 2  2   g ( x)   x 2 ln x  1  2 x  1 ln x  1  5 

untuk - 1  x  0, untuk 0  x  1, untuk 1  x  2,

dan 1 2   g ' ( x)  2 x ln x  x  2x  1 ln x  1   x  1 

untuk - 1  x  0, untuk 0  x  1, untuk 1  x  2.

Fungsi g x  merupakan fungsi mulus sepotong-sepotong karena fungsi tersebut kontinyu sepotong-sepotong pada setiap subinterval


 1, 0, 0,1

dan

1, 2

18

dan fungsi turunan g' x  juga kontinyu

sepotong-sepotong pada setiap subinterval tersebut.

Gambar 2.2. Grafik dari fungsi mulus sepotong-sepotong g x  (kiri) dan g' x  (kanan) pada interval  1, 2 .

2.1.5. Bilangan Kompleks Definisi 2.6 Jika z  x  i y menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka

x  Rez merupakan bagian riil dari z dan y  Imz merupakan bagian imajiner dari z . Rez dan Imz merupakan bilangan riil.

2.1.6. Konjugat Kompleks Definisi 2.7 Untuk setiap bilangan kompleks z  x  i y , maka bilangan kompleks z  xi y

disebut sebagai konjugat dari bilangan z .


Contoh 2.5 Misal, z  3  i 5 , maka konjugat kompleksnya adalah z  3 i5.

2.1.7. Fungsi Eksponensial Kompleks Definisi 2.8 Untuk bilangan kompleks z  x  i y didefinisikan e z  e x cos y  i sin y  .

Jika diambil z  i y , y  ℝ, maka e z  e iy  cos y  i sin y , untuk y  ℝ,

yang dikenal juga dengan nama rumus Euler. Lemma 2.1 Untuk semua x, y ℝ berlaku 1. e i  x2   e ix , 2. eix  1 , 3. eix  e ix , 4. e ix e iy  e i  x y  , 5. e ix / e iy  e i  x y  , 6.

 

d ix e  ie ix . dx

19


20

2.2. Aljabar Matriks 2.2.1. Matriks Identitas Definisi 2.9 Matriks persegi yang elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen lainnya 0 disebut sebagai matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan dengan I ,

1 0  0 0 1  0  . I        0 0  1 

2.2.2. Invers Matriks Definisi 2.10 Jika A merupakan matriks persegi, dan jika ada suatu matriks A1 dengan ukuran matriks yang sama dengan A sedemikian sehingga

AA1  A1 A  I , maka A disebut sebagai matriks nonsingular (atau invertible), dan A1 disebut invers dari A . Contoh 2.6

 2  5 3 5 Misal A   dan A1     , maka  1 3 1 2      2  5 3 5 1 0 AA 1     I,  1 3  1 2 0 1 3 5  2  5 1 0 A1 A     I. 1 2  1 3  0 1 Jadi, A merupakan matriks nonsingular.


21

Teorema 2.1 Jika A adalah matriks invertible, dan jika B dan C merupakan invers dari

A , maka

B  C ; yang berarti, suatu matriks invertible

mempunyai invers tunggal. Bukti: Karena B adalah invers dari A , kita punya BA  I . Kemudian, kalikan kedua ruas dengan C , sehingga diperoleh

BAC  IC BAC  C. Karena C juga merupakan invers dari A , kita punya AC  I . Sehingga, ruas kiri dari persamaan di atas dapat ditulis kembali sebagai

BAC  B AC   BI  B , ini mengakibatkan B  C . Teorema 2.2 Jika A dan B matriks invertible dengan ukuran matriks yang sama, maka AB invertible dan  AB   B 1 A1 . 1

Bukti:



 



Akan ditunjukkan:  AB  B 1 A1  B 1 A1  AB   I .

 AB B 1 A1   ABB 1 A1  AIA1  AA1  I ,

B

1







A1  AB   B 1 A1 A B  B 1 IB  B 1 B  I .


22

2.2.3. Matriks Simetris Definisi 2.11 Matriks persegi A disebut matriks simetris jika

AT  A .

 

Secara aljabar, suatu matriks A  aij simetris jika dan hanya jika

 Aij   A ji

(atau aij  a ji ).

Contoh 2.7

 2  9  2 3 Misal, A   , maka AT    . 3 5   9 5

2.2.4. Matriks Uniter Definisi 2.12 Jika

A

merupakan matriks dengan elemen-elemennya berupa

bilangan kompleks (matriks kompleks), maka transpose konjugat dari A , dinotasikan dengan A* , didefinisikan oleh T

A*  A . Contoh 2.8

i 0 1  i Misal, A    , maka transpose konjugat dari A ialah  2 3  2i i 

2  1  i  A A  i 3  2i  .  0  i  *

T


23

Definisi 2.13 Matriks kompleks persegi A dikatakan uniter jika

A1  A* atau atau A* A  I .

2.2.5. Ruang Hasilkali Dalam dan Norma Definisi 2.14 Hasilkali dalam pada ruang vektor V adalah suatu operasi pada V yang memetakan setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan riil x, y yang memenuhi syarat berikut: i.

x, x  0 dengan x, x  0 jika hanya jika x  0 .

ii.

x, y  y, x untuk semua x, y  V .

iii.

x  y, z   x, z   y, z untuk semua x, y, z  V dan semua skalar  dan  .

Suatu ruang vektor V yang dilengkapi dengan hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam. Definisi 2.15

 x1   y1       x2   y2  Jika diberikan vektor x    dan y    , maka hasilkali dalam       y  x   n  n x dengan y pada ruang vektor ℝ𝑛 adalah


x, y  x T y   x1

x2

24

 y1    y   xn   2     y   n n

 x1 y1  x 2 y 2    x n y n   xi y i . i 1

Contoh 2.9 Jika

  1  2 x    dan y    , 3  5 maka hasilkali dalam dari x dengan y pada ruang vektor ℝ2 adalah

 2 x, y  x T y   1 3    2  15  13 . 5 Definisi 2.16  a11  a1n   b11  b1n      Jika diberikan matriks A       dan B       , a  b   m1  a mn   m1  bmn 

maka hasilkali dalam dari A dan B pada ruang vektor ℝ𝑚 ×𝑛 adalah m

A, B   i 1

n

a j 1

ij

bij .

Contoh 2.10 Jika

 1 4 1 7  dan B    , A   2 3 2 0     maka hasilkali dalam dari A dan B pada ruang vektor ℝ2×2 adalah


25

 1 4  1 7     1  28  4  0  33 . A, B    2 3  2 0 Definisi 2.17 Hasil kali dalam dari dua buah vektor

x  x1 ,, xn  dan

y   y1 , , yn  dengan xi , yi  ℂ pada ruang vektor ℂ adalah n

x, y   xi yi . i 1

Definisi 2.18 Hasilkali dalam dari dua fungsi f dan g di dalam ruang fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan dalam interval a, b adalah b

f , g   f x   g x  dx . a

Definisi 2.19 Suatu ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma jika untuk setiap vektor v  V dikaitkan dengan suatu bilangan riil v yang disebut norma dari v yang memenuhi: 1.

v  0 dengan v  0 jika dan hanya jika v  0 ,

2.

v   v untuk setiap skalar  ,

3. v  w  v  w (ketaksamaan segitiga) untuk semua v, w  V .


26

Definisi 2.20 Jika V suatu ruang hasilkali dalam, maka persamaan

v 

v, v untuk semua v  V ,

mendefinisikan suatu norma pada V . Contoh 2.11

  1 Jika x    , maka x  3

x, x  1  9  10 .

2.2.6. Ortogonalitas Definisi 2.21 Dua vektor x dan y di ℝ𝑛 dikatakan ortogonal jika dan hanya jika

x, y  0 . Contoh 2.12 Vektor-vektor

v1  1, 2, 2, 4 dan v 2   2, 1,  4, 2 merupakan dua vektor yang ortogonal di ℝ4 , sebab

v1  v 2  1   2  2  1  2   4  4  2  2  2  8  8  0 . Contoh 2.13 Fungsi

f t   sin t dan g t   cos t ortogonal di ruang fungsi

   2 L2   ,     f :   ,    R |  f x  dx   sebab -  



f , g   sin t  cost  dt  





1 1 sin 2t  dt   cos2t   0.  2  4 


BAB III TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

Pada bab ini, terdapat tiga subbab yang akan dibahas untuk memahami transformasi Fourier Diskrit, yaitu:  Deret Fourier  Transformasi Fourier  Transformasi Fourier Diskrit 3.1. Deret Fourier Deret Fourier menguraikan suatu sinyal pada

  ,  

ke dalam

komponen-komponen yang bergetar dengan frekuensi-frekuensi berupa bilangan bulat. Berikut akan dibahas mengenai definisi dari deret Fourier dalam bentuk kompleks dan riil. Definisi 3.1 Misal f merupakan suatu fungsi yang bersifat periodik dengan periode A  ℝ.

Maka deret Fourier yang berasosiasi dengan f merupakan deret trigonometri 

f ( x) ~

c e

k  

i 2 kx A

k

dengan A

1 2 c k   f ( x)e i 2 kx A dx . A A 2

(3.1)


28

Simbol ~ berarti bahwa deret Fourier berasosiasi dengan fungsi f . Untuk membuat (3.1) lebih kuat, yaitu nilai ruas kiri dan kanannya sama di setiap titik, maka akan ditunjukkan bahwa nilai koefisien ck benar dan hal tersebut bergantung pada sifat ortogonalitas. Untuk menyatakan sifat ortogonalitas digunakan notasi yang disebut sebagai modular Kronecker delta. Definisi 3.2 Misalkan k bilangan bulat, kita definisikan ˆN k  dengan

 1

jika k  0 atau k kelipatan N ,

 0

lainnya.

ˆN k    Contoh 3.1

Jika diketahui N = 4 dan k = {-3, 0, 1,8}, maka modular Kronecker delta bernilai ˆ4  3  0, ˆ4 0  1, ˆ4 1  0, dan ˆ4 8  1. Teorema 3.1 (Ortogonalitas dari Fungsi Eksponensial Kompleks) i 2 kx Misal j dan k bilangan bulat. Maka fungsi eksponensial kompleks e

memenuhi A 2

e

i 2 jx A 2 i kx A

e

dx  A ( j  k ) .

 A2

Bukti:  Bila j – k = 0 ( j = k), maka  ( j  k )  1 A 2

Akan dibuktikan:

e

 A2


e

dx  A

A


A 2

e

i 2 jx A  2 i kx A

e

 A2

A 2

dx   e i 2

A j  k  x

dx

 A2 A 2

A 2

  e dx   1 dx  x2 A  A

0

 A2

2

 A2

A A 2A   A 2 2 2

 Bila j – k  0 ( j  k), maka  ( j  k )  0 A 2

Akan dibuktikan:

e


e

dx  0

 A2 A 2

e

 A2

i 2 jx A  2 i kx A

e

A 2

dx   ei 2

A j  k  x

dx

 A2 A 2

  2  j  k x   i sin 2  j  k x  dx   cos  A   A   A2  A 2

A 2

 2  j  k x  dx  i  sin 2  j  k x  dx   cos  A   A   A2  A2 A

2 1  2    x 2 sin  j  k x  2  j  k   A   A2 A A

2 1  2  2  j  k x  i x cos 2  j  k   A   A2 A

29


30

A

2 A  2  j  k x   x 2 sin  2  j  k   A   A 2

A

2 A  2  j  k x  i x 2 cos 2  j  k   A   A 2

2   2    sin    j  k x    A    A2 A  2  x  A  2  j  k  2   2      i cos j  k x      A    A2   A



 A x 2  sin   j  k   sin    j  k       2  j  k    0 0  i cos   j  k   cos    j  k 

 i

A x 2 cos   j  k   cos   j  k   2  j  k   0

0 Ortogonalitas pada kasus kontinyu juga dapat dipandang sebagai ortogonalitas dari vektor-vektor dalam suatu ruang fungsi yang didefinisikan dalam interval I. Di dalam ruang vektor L2  A 2 , A 2 fungsi-fungsi bernilai kompleks pada interval  A 2 , A 2, fungsi-fungsi ω k ( x)  e i 2 kx

bersifat ortogonal karena

A

, k ℤ


31

A 2

 ω x ω x  dx

ω j ,ωk 

j

k

 A2 A 2

e



i 2 jx A

e i 2 kx A dx

 A2

 A ( j  k ).

Untuk mencari koefisien ck , diasumsikan bahwa fungsi f dengan periode A merupakan jumlahan dari deret Fourier, sehingga

f ( x) 



c e

i 2 jx A

j

j 

.

Kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan 1 Ae i 2 kx

A

dan asumsikan

pengintegralan suku demi suku terhadap  A 2 , A 2 diperbolehkan, A

A

1 2 f ( x) e i 2 kx A dx   A A 2



1 2 A A



c

j  

j

e i 2  j  k x A dx

2



A

1 2 i 2  j  k  x A c dx  j A A e j   2       j k 

 ck

Dengan sifat ortogonalitas, 1 A dikali integral bernilai nol kecuali saat j  k . Satu-satunya suku yang tersisa dalam deret di ruas kanan bila j  k ialah A

1 2 ck   f ( x) e i 2 kx A dx. A A 2

Contoh 3.2 Perhatikan fungsi berikut


 1 f x      1

jk 0  x   jk    x  0.

Tentukan deret Fourier dari f . Diketahui:

A   , maka A  2 . 2

Maka koefisien dari deret Fouriernya adalah A

1 2 ck   f  x e i 2 k x A dx A A 2



1 2



 e

i k x

dx







1 1 e i k x dx   2 0 2

1  e i k x   2  i k 



0

0

 e

ik x

dx



e i k x  ik

    

0

 e ik  1 1 e ik       i k ik ik ik  



1 2



1  2 2e ik     2  i k ik 

  2i 1  e ik  i  i 1  e ik i1  cosk   k       i  i k k k 0 





jika k ganjil jika k genap.

Sehingga deret Fourier dari f adalah 

 ck e i 2 kx

k  

A





 2i

 2n  1 e

n  

i 2  2 n 1 x 2

.

32


33

Definisi 3.3 Misal f adalah fungsi bernilai riil dengan periode A. Maka deret Fourier yang berasosiasi dengan f merupakan deret trigonometri f x  ~

a0   2kx    2kx    ak cos    bk sin , 2 k 1  A  k 1  A 

dengan A

2 2 a0   f x  dx, A A

(3.2)

2

A

2 2  2kx  ak   f x  cos  dx A A  A 

(3.3)

2

untuk k = 1, 2, ..., dan A

2 2  2kx  bk   f x  sin  dx A A  A 

(3.4)

2

untuk k = 1, 2, ... Contoh 3.3 Misal,

 1 f x     0

jika 0  x  1, lainnya.

Hitung deret Fourier dari f pada interval  2  x  2 . Diketahui:

A  2 , maka A  4 . 2

Maka koefisien deret Fouriernya adalah 2

1

 

2 1 1 1 1 a0   f x  dx  1 dx  x 0  . 4 2 20 2 2


34

Untuk k  1 2 1 1 sin k 2  2 k x   kx   kx  , ak   f x  cos sin  dx   cos  dx    4 2 20 k  2  0 k  4   2  2

1

1

ketika k genap, sin k 2  0 maka ak  0 , sedangkan ketika k  2n  1 ganjil, sink 2   1n , sehingga kita peroleh

ak

n   1  ,  2n  1

k  2n  1, n  0,1,... .

2  2 k x  f  x sin   dx  4 2  4  2

bk 

1

1 1  kx   kx    sin   dx   cos  20  2  k  2 0 1



cos k 2  1  k k



1 cosk 2  1, k

ketika k  4m , bk  0

   1 ketika k  4m  1, bk   4m  1    dengan m  0,1,... . 1 ketika k  4m  2 , bk    2m  1   1  ketika k  4m  3 , bk   4m  3 Jadi, deret Fourier dari f adalah f x  

a0   2kx    2kx    a k cos    bk sin  2 k 1  4  k 1  4 

dengan an , bn yang diberikan di atas.


35

Jika f merupakan suatu fungsi bernilai riil, bentuk riil dari deret Fourier dapat diturunkan dari bentuk kompleksnya dan sebaliknya. Pertama, uraikan bentuk kompleks deret Fourier ke dalam suku-suku positif dan negatif: f x  ~



 ck ei 2 kx

A



k 

1



 ck ei 2 kx A  c0e0   ck ei 2 kx

k 



A

k 1

1



 ck ei 2 kx A  c0   ck ei 2 kx

k 

A

.

(3.5)

k 1

Jika f merupakan fungsi bernilai riil, maka ck  ck karena A

c k

A

1 2   f x ei 2 kx A A

A

2

1 2 dx   f x e i 2 kx A A

A

dx  ck .

2

Oleh karena itu, (3.5) menjadi 



k 1

k 1

f x  ~ c0   ck ei 2 kx A   ck ei 2 kx A . Karena z  z  2 Rez  untuk setiap z  ℂ, persamaan ini dapat ditulis sebagai

  f x  ~ c0  2 Re ck ei 2 kx A  .  k 1 

(3.6)

Hubungan antara ck dan ak , bk  dapat diturunkan dengan menggunakan rumus Euler, sehingga diperoleh: A

A

a 1 2 1 2 c0   f x e 0 dx   f x dx  0 . A A A A 2 2

2


36

A

1 2 ck   f ( x) e i 2 kx A dx A A 2

  2kx  1 2  2kx       f ( x)  cos   i sin   dx A A A  A        2  A

2 12  2kx   2kx      f ( x) cos dx  i  f ( x) sin  dx A A A  A A     2  2 A

A



A bk  1  A ak i   A 2 2 



1A  1  ak  ibk   ak  ibk  , A 2  2

untuk k  1.

Dengan menggunakan persamaan (3.6), kita peroleh   f x  ~ c0  2 Re ck e i 2 kx A   k 1  

   a  ibk a0  2 Re  k 2  k 1  2

  2kx   2kx    cos   i sin     A     A 



a0     2kx   2kx    2kx   2kx     Re  ak cos   bk sin    i ak sin    bk cos    2  k 1   A   A    A   A   



a0    2kx   2kx      ak cos   bk sin    2 k 1   A   A 



a0   2kx    2kx    ak cos    bk sin   , 2 k 1  A  k 1  A 

yang merupakan bentuk riil dari deret Fourier f . Selanjutnya akan ditunjukkan kekonvergenan dari deret Fourier. Sebelum membahas hal tersebut, kita berikan definisi berikut.


37

Definisi 3.4  Limit kiri dan kanan dari f di titik x didefinisikan sebagai berikut. Limit kiri

: f x  0  lim f x  h . h0

Limit kanan: f x  0  lim f x  h . h0

 Fungsi f dikatakan terdiferensial kiri dan kanan di x jika limitnya ada: f ' x  0  lim h 0

f x  h   f x  f x  h   f x  dan f ' x  0  lim . h 0 h h

Teorema 3.2. (Kekonvergenan Deret Fourier) Misal f merupakan fungsi yang periodik dan kontinyu sepotong-sepotong. Jika x adalah titik di mana f terdiferensial kiri dan kanan (tetapi tidak kontinyu). maka deret Fourier dari f di x konvergen ke f x  0  f x  0 . 2

Bukti: Bukti dapat dilihat pada buku Albert Boggess: A First Course in Wavelets with Fourier Analysis, hal.70, tahun 2001 . Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi Fourier.

3.2. Transformasi Fourier Transformasi Fourier merupakan bentuk kontinyu dari deret Fourier. Transformasi Fourier menguraikan suatu sinyal yang terdefinisi pada sebuah


38

interval waktu yang tak berhingga ke dalam suatu komponen dengan frekuensi , di mana  merupakan bilangan riil atau kompleks. Definisi 3.5 Diberikan fungsi f terdefinisi dalam interval (-,) dan mempunyai sifat, 

 f x  dx   ,

(3.7)



maka fˆ dengan fˆ   



 f x  e

 i 2  x

dx ,

(3.8)



fˆ disebut Transformasi Fourier dari f dan

f x  



 fˆ   e

i 2  x

d ,

(3.9)



disebut sebagai invers Transformasi Fourier fˆ (       dan i   1 merupakan satuan imajiner). Contoh 3.4 Diberikan fungsi f x   e

 x Diketahui: x    x Jadi,

x

. Tunjukkan fungsi tersebut memenuhi (3.7).

,x  0 ,x  0

, maka f x   e

x

x  e  x  e

,x  0 ,x  0

.




e

x





dx   e

x

39

dx





0





0

x x  e dx   e dx

 ex

0 



ex

 0

 (e 0  e   )  (e    e 0 )  (1  0)  (0  1) 2

Selain fungsi pada Contoh 3.4, terdapat fungsi-fungsi lainnya yang mempunyai sifat tersebut, misal, fungsi kepadatan peluang, fungsi probabilitas kontinyu, dan sebagainya. Dari sifat fungsi f , maka fungsi fˆ juga memenuhi (3.7), berarti fˆ terdefinisi dengan baik pada (-,). 

fˆ   

 f x  e

 i 2  x

dx



fˆ   



 f x  e

 i 2  x

dx

 



 f x  e

 i 2  x

dx

sifat ketaksamaan segitiga

untuk integral 

 



 f x  e

 i 2  x

dx

 



 f x  dx   .

e

i 2  x



1



Fungsi output transformasi fˆ didefinisikan pada domain frekuensi atau domain transformasi, sedangkan fungsi input f didefinisikan pada


40

domain spasial jika x merupakan koordinat spasial, atau dalam domain waktu jika f adalah fungsi yang bergantung pada waktu spasial. Contoh 3.5 Misal, f x   1 pada interval    x   . Maka transformasi Fourier dari f adalah fˆ   



 f  x e

i 2  x

dx





 e 

 i 2  x

1 dx  e i 2 x  i 2 

 



2 2 1 e  i 2    e i 2   i 2

 

















1 cos 2 2  i sin 2 2  cos 2 2  i sin 2 2  i 2



1 sin 2 2  i 2 sin 2 2  .  i 2 













Gambar 3.1. Grafik fungsi f pada interval   ,   (kiri) dan fungsi fˆ pada interval   ,   (kanan).


41

Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dasar dari transformasi Fourier. 3.2.1. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Untuk membahas sifat-sifat dasar transformasi Fourier akan digunakan notasi alternatif ℱ  f    fˆ   , dengan ℱ menyatakan transformasi Fourier dari f . Operator Fourier ℱ dianggap sebagai pemetaan yang domain dan rangenya merupakan ruang fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada garis bilangan riil. Input dari ℱ adalah sebuah fungsi, katakanlah f , dan menghasilkan output berupa fungsi lain, ℱ  f   fˆ . Sedangkan, invers dari transformasi Fourier menggunakan notasi operator sebagai berikut



ℱ −1 fˆ x   f x  . Teorema 3.3 Misalkan f dan g merupakan fungsi terdiferensial yang terdefinisi pada garis bilangan riil dengan f x   0 untuk x yang semakin membesar

 lim f x   0  .  x     1. Transformasi Fourier dan inversnya bersifat linear, artinya untuk sebarang konstanta c ℱ  f  g   ℱ  f  + ℱ g  dan ℱ cf   c ℱ  f  .








 

42



ℱ −1 fˆ  gˆ  ℱ −1 fˆ + ℱ −1 gˆ  dan ℱ −1 cfˆ  c ℱ −1 fˆ . 2. Transformasi Fourier dari suatu hasilkali f dengan x n diberikan oleh





dn ℱ x f x     i ℱ  f   . d n n

n

3. Invers transformasi Fourier dari suatu hasilkali f dengan  n diberikan oleh







n n d ℱ −1  n fˆ   x    i  ℱ −1 fˆ x  . dx n

4. Transformasi Fourier dari suatu turunan ke- n diberikan oleh

 

ℱ f n     i 2  ℱ  f   n

( f n  menyatakan turunan ke- n dari f ). 5. Invers transformasi Fourier dari suatu turunan ke- n diberikan oleh

 



n ℱ −1 fˆ n  x    i 2 x  ℱ −1 fˆ x  .

6. Transformasi Fourier dari suatu translasi diberikan oleh ℱ  f x  a    e i a ℱ  f   . 7. Transformasi Fourier dari suatu rescaling diberikan oleh ℱ  f bx   

1   ℱ  f   . b b

8. Jika f x   0 untuk x  0 , maka ℱ  f    ℒ  f i 2  , dengan ℒ  f  merupakan transformasi Laplace dari f yang didefinisikan oleh


43



ℒ  f s    f x  e  xs dx . 0

Bukti: 1. Sifat linear dari transformasi Fourier diperoleh dari sifat linear integral: 

ℱ  f  g   =

  f x   g x e

i 2  x

dx





f x  e i 2  x dx 



=





 g x  e

i 2  x

dx



= ℱ  f     ℱ g    . ℱ cf   =



 cf x e

i 2  x

dx





= c  f x  e i 2  x dx 

= c ℱ  f    .





  fˆ    gˆ  e



ℱ −1 fˆ  gˆ x  =

i 2  x

d





=



fˆ   ei 2  x d 





 gˆ  e



= ℱ −1  f  x   ℱ −1 g  x  . ℱ

−1

 

cfˆ x  =

 cfˆ  e



i 2  x

d





= c  fˆ   ei 2  x d 

i 2  x

d


44

= c ℱ −1  f  x  . 2. Transformasi Fourier dari suatu hasil kali f dengan x n , kita punya





ℱ x n f x    



 x f x  e n

i 2  x

dx .



Gunakan persamaan

x n f x  e i 2  x  i 

n





dn f x  e i 2  x , n d

sehingga kita memperoleh





ℱ x n f x     i 

n

 i 

n

  dn  f x  e i 2  x dx  n  d  

dn ℱ  f   . d n

3. Invers transformasi Fourier dari suatu hasil kali f dengan  n , kita punya







ℱ −1  n fˆ      n fˆ  e i 2  x d . 

Gunakan persamaan

 n fˆ  e i 2  x   i n





dn ˆ f  e i 2  x , n dx

sehingga kita memperoleh





n  ˆ  n d ℱ −1  n fˆ   x    i  f  e i 2  x d  n  dx  

  i 

n



dn ℱ −1 fˆ x  . n dx


45

4. Transformasi Fourier dari turunan ke- n f , kita punya





ℱ f n  x    



f n  x  e i 2  x dx .





Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu, 

 u dv  u v



Dengan

dv  f n  x  dx

dan



 

  v du . 

u  e i 2  x , maka

v  f n1 x 

dan

du  i 2 e i 2  x dx , maka diperoleh 



f n  x  e i 2  x dx  e i 2  x f n1 x 





 i 2  f n1 x  e i 2  x dx .

 



Karena f x   0 untuk nilai x yang besar maka kita peroleh 



f

n 

x  e



i 2  x



dx  i 2  f n1 x  e i 2  x dx . 

Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu ( f n  menjadi f n1 ). Kita juga memperoleh faktor i 2 . Dengan mengulang proses tersebut n  1 kali, kita memproleh 



f n  x  e i 2  x dx  i 2 

n





 f x  e

i 2  x

dx



 i 2  ℱ  f   . n

5. Invers transformasi Fourier dari turunan ke- n fˆ , kita punya ℱ

−1





fˆ n    x  





fˆ n    ei 2  x d .



Kemudian integralkan menggunakan rumus integral parsial; yaitu,




 u dv  u v



Dengan

dv  fˆ n    d

 



  v du 

.

u  ei 2  x , maka

dan

46

v  fˆ n1   dan

du  i 2 x ei2  x d , maka diperoleh 



fˆ n    ei 2  x d  ei 2  x fˆ n1  





 

 i 2 x  fˆ n1   ei 2  x d . 

Karena f x   0 untuk nilai x yang besar maka kita peroleh 







fˆ n    ei 2  x d  i 2 x  fˆ n1   ei 2  x d . 

Catatan: Integral parsial mereduksi banyaknya turunan f satu demi satu ( f n  menjadi f n1 ). Kita juga memperoleh faktor  i 2 x . Dengan mengulang proses tersebut n  1 kali, kita memperoleh 



n fˆ n    ei 2  x d   i 2 x 





 fˆ   e

i 2  x

d





n   i 2 x  ℱ −1 fˆ x  .

6. Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai 

ℱ  f x  a   

 f  x  a e

i 2  x

dx .



Misal, s  x  a , sehingga x  s  a dan dx  ds . Kita peroleh ℱ  f s   



 f s e

i 2   s  a 

ds

 



 f s e



i 2  s

e i 2  a ds




 f s e

 e i 2  a

i 2  s

47

ds



  .

 e i 2  a ℱ f

7. Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier, kita mempunyai ℱ  f bx   



 f bx e

i 2  x

dx .



Misal, t  bx , sehingga x 

t dt dan dx  . Kita peroleh b b 

ℱ  f t   



f t e

t i 2    b

 





f t  e

 i 2  t b



dt b

dt b



i 2   t 1   f t  e b dt b 

1   ℱ f  . b b



8. Diketahui: f x   0 untuk x  0 , kita peroleh 

ℱ  f   

 f x  e

i 2  x

dx



0



 f x  e



dx   f x  e i 2  x dx   0 i 2  x

0



  f x  e i 2  x dx 0

Misal, s  i 2  , maka dengan definisi transformasi Laplace diperoleh


48



ℱ  f     f x  e sx dx  ℒ  f s  = ℒ  f  i 2   . 0

Dengan pengetahuan tentang deret Fourier dan transformasi Fourier pada subbab sebelumnya, selanjutnya akan dibahas mengenai transformasi Fourier Diskrit yang merupakan topik utama dari tulisan ini.

3.3. Transformasi Fourier Diskrit Transformasi Fourier dan deret Fourier digunakan untuk menganalisis sinyal-sinyal kontinyu seperti grafik pada Gambar 3.2. Tetapi, sinyal-sinyal yang ada dalam kebanyakan aplikasi saat ini merupakan sinyal Diskrit, Gambar 3.3, seperti sinyal yang berasal dari pemutar CD/DVD.

Gambar 3.2. Sinyal Kontinu


49

Gambar 3.3. Sinyal Diskrit

Berikut definisi dari transformasi Fourier Diskrit. 3.3.1. Definisi Transformasi Fourier Diskrit Berdasarkan pada Definisi 3.5, diasumsikan fungsi yang diberikan itu terbatas (misalnya, f mungkin mewakili gambar yang memiliki batasbatas yang terdefinisi dengan baik) atau, f diasumsikan nol di luar beberapa interval terbatas. Maka, untuk saat ini diasumsikan bahwa f x   0 untuk

x  A 2 , A banyaknya grid. Transformasi Fourier pada fungsi dengan batas tertentu tersebut diberikan oleh

fˆ   



 f x  e

i 2 x

dx 



A 2

 f x  e

i 2 x

dx

(3.10)

 A2

Integral tersebut yang akan diaproksimasi secara numerik. Interval integrasi

 A 2 , A 2

dibagi menjadi N subinterval

dengan panjang x  A N . Diasumsikan N genap, dengan banyaknya grid N+1 sama dengan banyaknya titik yang didefinisikan oleh titik-titik

xn  nx untuk n   N 2 : N 2 . Dengan demikian titik-titik gridnya ialah


x N   2

50

A A , , x0  0, , x N  . 2 2 2

Kemudian, diasumsikan bahwa fungsi f terdefinisi pada titik-titik grid tersebut. Integran dari persamaan (3.10) sebagai

g x   f x  e i 2 x , dan terapkan aturan trapesium untuk mengaproksimasi integral (3.10):

x    A   g x dx  g    2  A 2    2 2 A 2

N 1 2



n   N2 1

  A  g xn   g   .  2  

Diasumsikan g  A 2  g  A 2 , sehingga aproksimasi aturan trapesium dapat ditulis A 2

fˆ     g x dx

 x

N 2



g xn 

n   N2 1

 A2



A N

N 2



f xn  e i 2 xn .

n   N2 1

Aproksimasi dari fˆ   dapat dihitung untuk setiap . Karena aproksimasi fˆ bergantung pada nilai , maka harus ditentukan banyaknya nilai  yang digunakan untuk aproksimasi dan yang mana saja nilai-nilai tersebut.

Dibutuhkan

aproksimasi

nilai-nilai

sampel

f  xn 

untuk

menentukan

fˆ ( ) , dan sebaliknya. Karena N nilai dari f xn  digunakan

dalam aproksimasi aturan trapesium, maka ada N nilai juga untuk  pada aproksimasi fˆ ( ) .


51

Hubungan Kebalikan

A  N dan x 

1 N

(3.11)

Hubungan kebalikan mengaitkan antara domain spasial dan domain frekuensi. Dua hubungan kebalikan ini saling bergantung (dependent). Pada domain spasial dengan interval

 A / 2, A / 2

titik-titik grid dinyatakan

dengan xn  nx dan jarak antar titik gridnya Δx. Sedangkan pada domain frekuensi dengan interval   / 2,  / 2 titik-titik grid dinyatakan dengan

k  k dan jarak antar titik gridnya Δ. Diasumsikan terdapat N titik pada kedua domain tersebut. Andaikan semua modus (sinus dan kosinus) memiliki periode bulat pada

 A / 2, A / 2. Gelombang dengan periode terbesar (satu periode penuh pada  A / 2, A / 2) disebut sebagai modus dasar. Gelombang ini juga memiliki frekuensi 1/A periode per satuan panjang. Frekuensi ini merupakan frekuensi terendah pada  A / 2, A / 2 dan dinotasikan dengan  

1 , A

dan ini akan menjadi jarak antar titik grid pada domain frekuensi. Karena terdapat N titik grid pada domain frekuensi   / 2,  / 2 dengan jarak antar titik grid Δ, sama halnya pada domain spasial di mana A  Nx , maka pada domain frekuensi

  N.

Dengan mengkombinasikan dua


pernyataan,  

52

1 dan   N , maka diperoleh hubungan kebalikan A

yang pertama, yaitu   N 

N atau A  N . A

Hubungan kebalikan yang pertama ini menyatakan bahwa jarak interval pada domain spasial berbanding terbalik dengan jarak interval pada domain frekuensi. Dengan kata lain, jika A bertambah, ini mengakibatkan periode pada domain spasial bertambah panjang dan frekuensi Δ menurun, bila Δ menurun maka jarak interval pada domain frekuensi juga menurun. Telah diketahui bahwa pada domain spasial  A / 2, A / 2 dibagi menjadi N subinterval grid dengan jarak antar grid Δx dan A  Nx . Dengan mengkombinasikan dua pernyataan,  

1 dan A  Nx , maka A

diperoleh hubungan kebalikan yang kedua, yaitu 1 1  A  Nx atau x  .  N

Hubungan kebalikan yang kedua ini menyatakan bahwa jarak antar titik-titik grid pada kedua domain berbanding terbalik. Dengan hubungan kebalikan, aturan aproksimasi trapesium sebelumnya dapat diselesaikan dengan langkah yang lebih singkat. Misalkan

f n untuk menotasikan nilai-nilai sampel f xn  untuk n   N 2  1: N 2 . Untuk mengakprosimasi fˆ pada titik-titik grid frekuensi k  k  k A ,

xn k disederhanakan menjadi


xnk  nx k  

53

nA k nk .  N A N

Sehingga, jumlahan dalam aturan trapesium menjadi

fˆ k  

N 2

A N



fn e

i 2 k xn

n   N2 1



N 2

A N



f n e i 2 n k N .

n   N2 1

Oleh karena itu, aproksimasi transformasi Fourier fˆ pada titik-titik grid frekuensi k  k A diberikan oleh k fˆ k   fˆ     A

A 2



f x  e

N

i 2 k x N

 A2



2 1 A f n e i 2 n k N , (3.12)  N n  N2 1   

Fk

untuk k   N 2  1 : N 2 . Fk

pada (3.12) merupakan definisi dari

transformasi Fourier Diskrit. Bila diberikan N nilai sampel f n , maka transformasi Fourier Diskrit memuat N koefisien

1 Fk  N

N 2



n   N2 1

f n e  i 2 n k

N

(3.13)

untuk k   N 2  1 : N 2 . Dari hasil aproksimasi dengan aturan trapesium (3.7), dapat disimpulkan bahwa aproksimasi untuk transformasi Fourier

fˆ  k  diberikan oleh fˆ  k   AFk . Untuk mempermudah penulisan (3.13), dimisalkan,  2   2    i sin  ,  N   N 

 N  e i 2 / N  cos sehingga

 Nnk  e i 2 / N 

 nk

 e i 2 n k / N dan  Nnk  e i 2 / N   e i 2 n k / N . nk


54

Definisi 3.6 Misal N bilangan bulat genap positif dan f n barisan N bilangan kompleks dengan n   N 2  1 : N 2 , maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya adalah 1 Fk  N

N 2



n N2 1

f n  Nnk

(3.14)

untuk k   N 2  1 : N 2 . Misal N bilangan bulat ganjil positif dan f n barisan N bilangan kompleks dengan

n   N  1 2 : N  1 2 , maka bentuk transformasi Fourier

Diskritnya adalah 1 Fk  N

N 1 2



n  N21

f n  Nnk

(3.15)

untuk k   N  1 2 : N  1 2 . Untuk mendefinisikan transformasi Fourier Diskrit dari barisan f n akan digunakan notasi 𝒟{𝑓𝑛 }, dan 𝒟{𝑓𝑛 }𝑘 untuk menunjukkan elemen transformasi ke k, sehingga 𝒟{𝑓𝑛 }𝑘 = 𝐹𝑘 . Terdapat banyak bentuk alternatif untuk mendefinisikan transformasi Fourier Diskrit. Misalnya, bila input TFD merupakan barisan yang bergantung pada waktu akan lebih mudah menggunakan indeks 0 : N  1 . Untuk penerapan lainnya (domain spasial), seperti rekonstruksi citra dari proyeksi, akan lebih mudah untuk menempatkan titik asal di tengah ruang gambar, yang mengarah ke Definisi 3.6.


55

Definisi 3.7 Misal N bilangan bulat positif dan f n barisan N bilangan kompleks dengan n  0 : N  1, maka bentuk transformasi Fourier Diskritnya adalah 1 N

Fk 

N 1



f n  N nk

n0

(3.16)

untuk k  0 : N  1 . Bentuk alternatif TFD (3.16) setara dengan bentuk TFD (3.14). Salah satu keuntungan dari Definisi 3.7 adalah bahwa rumus tersebut tidak bergantung pada genap/ganjilnya N . Secara umum, output dari transformasi Fourier Diskrit, Fk , adalah barisan bernilai kompleks dan juga merupakan barisan dengan periode N yang memenuhi Fk  Fk  N ,  N Fk  N n2 N 1   1 2 N   1  N   1  N 

N

N 2

 n

N 1 2

2 n( k  N )  fn N   N  n   1 2

N

N 2

 n

N 1 2

2  nk  nN  fn N   N  n   1 2

N

N 2

 n

N 1 2

2  f n  N nk   N nN   N n   1 2


 1  N   1  N   1  N 

56

N

N 2

 n

N 1 2

2  f n  Nnk  e i 2n   N  n  1 2

N

N 2

 n

N 1 2

2   nk f n  N 1  N  n 1 2

N

N 2



N n   1 2

2 N  f n  Nnk   Fk  2 N n   1 2  N  n  1

.

2

Dari rumus TFD dapat ditentukan bagian riil dan imajinernya. Bagian riil dinotasikan dengan ReFk  dan bagian imajiner dinotasikan dengan ImFk . Notasi tersebut juga digunakan untuk menunjukkan bagian riil dan

imajiner dari input barisan

f n , yaitu Re f n  dan Im f n  , sehingga

diperoleh Fk sebagai berikut: 1 Fk  N



1 N

1  N

N 2

 n

f n  Nnk

N 1 2

N 2

 Re f  i Im f  e n

n

 i 2 n k / N

n

N 1 2

N 2

  2 n k   2 n k    Re f  i Im f   cos N   i sin N   n

n

N 1 2

n


1  N

N 2

  2 n k   2 n k    Re f n cos   Im f n sin      N   N  

 n

57

N 1 2

  2 n k   2 n k   i  Im f n cos   Re f n sin     N   N   

1 N

i N

N 2

  2 n k   2 n k    Re f n cos   Im f n sin      N   N  

 n

N 1 2

N 2

 n

N 1 2

  2 n k   2 n k    Im f n cos   Re f n sin    .  N   N  

Oleh karena itu, bagian riil dan imajiner dari Fk didefinisikan sebagai berikut. Bentuk Riil dan Imajiner Transformasi Fourier Diskrit ReFk  

ImFk  

1 N 1 N

N 2

 n

N 1 2

N 2

 n

N 1 2

 2 n k   2 n k  Re f n cos   Im f n sin    N   N   2 n k   2 n k  Im f n cos   Re f n sin    N   N 

Contoh 3.6 Perhatikan 12 titik barisan bernilai riil f n yang diberikan dalam Tabel 3.1. n,k -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Re{ f n } 0.7630 -0.1205 -0.0649 0.6133 -0.2697 -0.7216 -0.0993

Im{ f n } 0 0 0 0 0 0 0


2 3 4 5 6

0.9787 -0.5689 -0.1080 -0.3685 0.0293

58

0 0 0 0 0

Tabel 3.1. 12 titik numerik bernilai riil dari f n 1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-1

-1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Gambar 3.4. Bagian riil (kiri) dan bagian imajiner (kanan) dari 12 titik input barisan f n .

Maka transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil f n adalah: Fk 

1 6  f n 12nk , 12 n 5

untuk k  5 : 6 . Transformasi Fourier Diskrit dari barisan bernilai riil f n juga terdiri dari 12 titik barisan Fk yang diberikan dalam Tabel 3.2. n,k -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Re{ Fk } 0.0684 -0.1684 -0.2143 -0.0606 -0.0418 0.0052 -0.0418 -0.0606

Im{ Fk } -0.1093 0.0685 -0.0381 0.1194 -0.0548 0 0.0548 -0.1194


59

3 -0.2143 0.0381 4 -0.1684 -0.0685 5 0.0684 0.1093 6 0.1066 0.0000 Tabel 3.2. 12 titik numerik transformasi Fourier Diskrit barisan f n . 0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15

-0.2

-0.2 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Gambar 3.5. Bagian riil (kiri) dan bagian imajiner (kanan) dari Fk .

Transformasi Fourier Diskrit digunakan karena terdapat suatu masalah yang muncul dalam domain spasial (atau temporal) yang dapat ditransformasi menjadi masalah yang lebih sederhana dalam domain lainnya. Penyelesaian yang diperoleh dari domain kedua harus diubah kembali ke domain aslinya. Untuk mengubahnya, suatu invers transformasi diperlukan. Definisi 3.8 Misal N bilangan bulat positif genap dan Fk adalah barisan bilangan kompleks N dengan k   N 2  1 : N 2 . Maka invers transformasi Fourier Diskritnya adalah fn 

N 2



k  N2 1

Fk  Nnk

(3.17)


60

untuk n   N 2  1 : N 2 . Jika N bilangan bulat positif ganjil dan Fk adalah barisan bilangan kompleks N dengan k   N  1 2  1 : N  1 2 . Maka invers transformasi Fourier Diskritnya adalah fn 

N 1 2



Fk  Nnk

k  N21

(3.18)

untuk n   N  1 2  1 : N  1 2 . Definisi ini bersifat periodik pada barisan f n yang memenuhi f n  f n N ,

 N  f n N k2 N 1   1 2 N   1  N   1  N   1  N 

N

N 2

 k 

N 1 2

2 ( n N ) k  Fk  N   N k   1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2  Fk  Nnk  Nk   N k   1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2  Fk  Nnk   NNk   N  k  1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2  Fk  Nnk  ei 2k   N k   1 2


 1  N   1  N 

61

N

N 2

 k 

N 1 2

2  Fk  Nnk  1  N  k   1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2 N nk  Fk  N   fn 2 N . k   1 2  N  k   1 2

Seperti pada TFD, untuk mendefinisikan invers transformasi Fourier Diskrit dari barisan Fk akan digunakan notasi 𝒟 −1 {𝐹𝑘 }, dan 𝒟 −1 {𝐹𝑘 }𝑛 yang menyatakan elemen ke n dari invers transformasinya, sehingga 𝒟 −1 {𝐹𝑘 }𝑛 = 𝑓𝑛 . Notasi tersebut menunjukkan bahwa TFD dan ITFD merupakan invers satu sama lain, tetapi faktanya belum ditunjukkan. Maka selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operator 𝒟 dan 𝒟 −1 memenuhi hubungan invers 𝒟 −1 {𝒟 𝑓𝑛 }𝑛 = 𝑓𝑛 dan 𝒟{𝒟 −1 𝐹𝑘 }𝑘 = 𝐹𝑘 . Untuk membuktikan rumus invers, membutuhkan sifat ortogonalitas dari fungsi eksponensial. Teorema 3.4 (Ortogonalitas) Jika j dan k bilangan bulat dan N bilangan bulat positif, maka N 1

e n 0

i 2 n j N

e i 2 n k

N

 Nˆn  j  k  .

(3.19)

Bukti: Misalkan  N  ei 2 N . Perhatikan bahwa N bilangan kompleks  Nk untuk

k  0 : N  1 , yang disebut sebagai akar satuan ke-N karena memenuhi


   e k N N



i 2 k N N

62

 ei 2 k  1 ,

dan oleh karena itu z N  1  0 .  Nk adalah salah satu dari akar satuan ke N untuk setiap bilangan bulat k, tetapi barisan  Nk k  berperiode N 

 

kN  N k  

      e    e     cos 2   i sin 2     1   

  Nk   NN



k 

k N

i 2N / N  k  

k N

i 2  k 



k N k N

k  



k 

k  N k  

Sehingga himpunan akar-akar ini dapat ditentukan oleh  N k untuk setiap bilangan bulat N berturut-turut k. Pertama, kita faktorkan polinomial z N  1 seperti berikut





z N  1  z  1 z N 1  z N 2    z  1 N 1

 z  1 z n n 0

Diketahui bahwa  Nk adalah akar dari z N  1  0 , ada dua kasus untuk diperhatikan. Jika dimisalkan z   Nj k di mana j  k bukan kelipatan N, maka z  1 , dan kita mempunyai N 1

z n 0

N 1

n

   N j k n  0 . n 0

Kasus lain, jika j  k kelipatan N maka z   Nj k  1 dan N 1

z n 0

n

N 1

N 1

n 0

n 0

   N j k n  1  N .


63

Sifat ortogonalitas terbukti dari kedua kasus tersebut. Sifat ortogonalitas (Teorema 3.4) juga dapat dibuktikan dengan langkah yang berbeda, yaitu dengan menerapkan deret geometri: N 1

 an  n 0

1 aN . 1 a

Akan dibuktikan: N 1

e

i 2 n j N

e i 2 n k

N

n 0

 N  Nˆn  j  k     0

jika j  k  0 jika j  k  0.

Untuk j  k  0 ,

 e N 1



i 2  j  k  N n

n 0





1  e i 2  j  k  N  1  e i 2  j  k  N 

N

1  e i 2  j  k  1  e i 2  j  k  N

0      1  cos 2  j  k   isin 2  j  k       i 2  j  k  N 1 e

 0.

Untuk j  k  0 ,

 e N 1

   e    1  N .

i 2  j k  N n

n 0

Karena barisan  Nk

N 1

N 1

0 n

n 0

berperiode

n 0

N , sifat ortogonal berlaku ketika

penjumlahan dalam (3.16) dihitung terhadap setiap N nilai n berturutturut; dengan kata lain, P  N 1

 n P

e i 2 nj N e i 2 n k

N

 NˆN  j  k 


64

untuk setiap bilangan bulat P. Sifat ortogonal transformasi Fourier Diskrit merupakan sebuah hubungan antara vektor-vektor. Dengan demikian jika terdapat N vektor kompleks

  N0    Nk ω k    N2 k      N 1k  N

   ,    

maka N 1

 

ω j , ω k    Nnj  Nnk

*

(definisi hasil kali dalam)

n 0

N

e

N

e  i 2 k

N 1

  e i 2 n j



i 2 k N *

n 0

N 1

  e i 2 n j

N

(definisi  Nnk ) (sifat konjugat kompleks)

n 0

 NˆN ( j  k )

(Teorema 3.3)

Jadi, ω j , ω k  NˆN ( j  k )

dan sembarang

N nilai k berturut-turut menghasilkan himpunan vektor

yang ortogonal. Teorema 3.5 (Invers) Jika f n adalah barisan N bilangan kompleks dan Fk  𝒟 𝑓𝑛 Transformasi Fourier dari barisan f n , maka 𝒟 −1 𝒟 𝑓𝑛

𝑘 𝑛

𝑘

= fn .

adalah


65

Bukti: Diketahui:

fn  𝒟

−1

𝐹𝑘

𝑛



N 2



Fk

1 dan Fk  𝒟 𝑓𝑛 𝑘  N

nk N

k   N 1 2

N 2



f n Nnk .

n   N2 1

Kombinasikan definisi 𝒟 dan 𝒟 −1 , sehingga 𝒟 −1 𝒟 𝑓𝑛

𝑘 𝑛

= 𝒟 −1 𝐹𝑘 

N 2

F

(definisi 𝒟 𝑓𝑛

𝑛

(definisi 𝒟 −1 𝐹𝑘

 Nnk

k

𝑘

)

𝑛

)

k   N2 1

1     k   N2 1  N N 2







1 N 1 N 1 N

N 2



k   N2



j   N2 1



1

nk N

N 2



j   N2 1

j   N2 1

N 2



j   N2 1

N 2

fj

N 2



 f j  N jk   Nnk  

N 2



k   N2 1

N 2

fj



k   N2 1

(definisi Fk )

f j  N jk

(aturan sigma)

 Nnk N jk

(aturan sigma)

 Nk ( n  j )

(aturan pangkat)

   NˆN  n  j 

Penjumlahan n  j  pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya jika j  n , sehingga persamaan terakhir tersebut menjadi 𝒟 −1 𝒟 𝑓𝑛 Dengan

menggunakan

𝑘 𝑛



1 N fn  fn . N

langkah-langkah

yang

sama

membuktikan Teorema 3.5 dapat ditunjukkan bahwa 𝒟 𝒟 −1 𝐹𝑘 𝐹𝑘 .

untuk 𝑛

𝑘

=


𝒟 𝒟 −1 𝐹𝑘

𝑛

𝑘

= 𝒟 𝑓𝑛 1  N

(definisi 𝒟 −1 𝐹𝑘

𝑘

N 2



f n Nnk

(definisi 𝒟 𝑓𝑛

 2    F  nj  nk j N  j  N 1  N  2 

(definisi f n )

N

)

)

N

N

N

2 1 2  nk   F j  Nnj  N j  N N n N2 1  2 1

1  N

𝑘

𝑛

n   N2 1

1 2   N n N2 1

1  N

66

N 2



N 2

Fj



j   N2 1

n   N2 1

N 2

N 2



Fj

j   N2 1



(aturan sigma)

 Nnj Nnk

(aturan sigma)

 Nn  j k 

(aturan pangkat)

n   N2 1

   NˆN ( j  k )

Penjumlahan  j  k  pada persamaan terakhir di atas tidak nol hanya jika j  k dan persamaan terakhir tersebut menjadi 𝒟 𝒟 −1 𝐹𝑘

𝑛

𝑘

=

1 N Fk = 𝐹𝑘 . N

Transformasi Fourier Diskrit (TFD) merupakan pemetaan dari N nilai f n ke N nilai Fk . Oleh karena itu, transformasi Fourier Diskrit dapat dinyatakan sebagai perkalian dari suatu vektor dengan N elemen dengan suatu matriks N  N . Untuk menyatakan transformasi Fourier Diskrit dalam bentuk matriks akan lebih mudah bila menggunakan Definisi 3.7. Definisi 3.9 Jika f menyatakan vektor dari data input,

f   f 0 , f1 , f 2 ,, f N 1  , T


67

dan F menyatakan vektor dari nilai output,

F  F0 , F1 , F2 , , FN 1  , T

maka transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis: F  Wf ,

dengan

  N0  0  N 1 0 W  N N    0  N

 N0  N1  N 2

 N0  N 2  N 4







  N 1 N



 2  N 1 N

   N N 1   N 2 N 1  .     N 1 N 1   N    

 N0

Matriks W (matriks Fourier) merupakan matriks persegi dan matriks nonsingular, yaitu matriks yang mempunyai invers. Matriks ini mempunyai sifat-sifat penting, antara lain: 

Karena

TFD

invertible

(nonsingular),

maka

matriks

tersebut

mempunyai invers yaitu W 1 . 

Matriks W simetris, sehingga WT  W .



Invers dari W merupakan suatu perkalian dari konjugat komplek W sendiri:

W 1  N W. Oleh karena itu, NWW *  I (

*

menyatakan transpose konjugat dan I

merupakan matriks identitas), dan W merupakan matriks uniter terhadap faktor N. Faktor N dapat dimasukkan pada definisi TFD dan invers TFD, dalam kasus WW *  I .


68

Contoh 3.7 1 3  2   2  Diberikan N  3 sehingga 3  e i 2 3  cos .   i sin    i 2 2  3   3 

Matriks Fouriernya adalah 30 1 W  30 3 0 3 

30 30  1  1 1 1 1 2  1 3 3   1 3 32  . 3 1 3 2 31  32 34 

Jika f  1 7 2 maka transformasi Fourier Diskrit f adalah T

1 1 1 F  Wf  1  31 3 1  3 2

1   32   31 

1   1 7  2  7   1 1  7 1  2  2  3 3    3 2 1  7 3 2  2 31  10 3      -1,1667 - i 1,4434 .  -1,1667 + i 1,4434 

Pada subbab selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat dari transformasi Fourier Diskrit 3.3.2. Sifat-sifat Dasar Transformasi Fourier Diskrit Sama halnya dengan deret Fourier dan transformasi Fourier, transformasi Fourier Diskrit memiliki sifat-sifat yang berguna untuk menyelesaikan banyak masalah. Misalnya, suatu masalah tertentu pada suatu domain (domain spasial atau waktu) dapat dirumuskan kembali ke dalam bentuk yang lebih sederhana pada domain frekuensi. Penghubung antara kedua domain tersebut adalah transformasi Fourier Diskrit dan sifatsifat dari transformasi Fourier Diskrit yang menjelaskan bagaimana suatu


69

masalah yang diberikan dimodifikasi dari domain yang satu ke domain yang lainnya. Untuk memaparkan sifat-sifat transformasi Fourier Diskrit akan digunakan rumus TFD (3.14) dan inversnya (3.17). Berikut beberapa sifatsifat dasar dari transformasi Fourier Diskrit. 1. Periodik Barisan-barisan fungsi kompleks Fk dan f n didefinisikan oleh

N titik, sehingga (3.11) dan (3.14) memiliki sifat periodik. Dengan kata lain, (3.11) dan (3.14) berperiode N , yang berarti bahwa N 2

Fk  N n N 1 2

 1  N   1  N   1  N   1  N 

N

N 2

 n

N 1 2

2 n( k  N )  fn N   N  n   1 2

N

N 2

 n

N 1 2

2  f n  N nk  nN   N  n   1 2

N

N 2

 n

N 1 2

2  nk  nN  fn N N   N  n   1 2

N

N 2

 n

N 1 2

2  f n  N nk  e i 2n   N  n   1 2


 1  N   1  N 

N

N 2



N 1 2

n

2  f n  N nk 1  N n   1 2

N

N 2



N 1 2

n

2 N  nk  fn N   Fk  2 N , n   1 2  N n   1 2

dan N

 N  f n N k2 N 1   1 2 N   1  N 

N 2

 k 

N 1 2

2 ( n N ) k  Fk  N   N k   1 2

N

N 2

 k 

 1  N 

 1  N 

 1  N   1  N 

N 1 2

2  Fk  Nnk  Nk   N k   1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2  Fk  Nnk   NNk   N  k   1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2  Fk  Nnk  e i 2k   N  k   1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2  Fk  Nnk  1  N  k   1 2

N

N 2

 k 

N 1 2

2 N nk  Fk  N   fn 2 N k   1 2  N  k   1 2

70


71

berlaku untuk semua n, k  ℤ+. Sifat tersebut diturunkan secara langsung dari pernyataan bahwa





n k  N   N k  







  Nnk   NnN

k  



  Nnk  e i 2nN / N



  Nnk  e i 2n



 k  



 k  





  Nnk  cos 2n   i sin 2n  k  







  Nnk 1 k 



  Nnk



 k  

dan

 



n  N k  N n , k  



  Nnk   NNk



 n , k  



  Nnk  e i 2Nk / N



  Nnk  e i 2k



 n , k  



 n , k  





  Nnk  cos 2k   i sin 2k  n ,k   







  Nnk  1 n ,k  

 

  Nnk

 n , k  

.

2. Linear Salah satu sifat dasar dari TFD adalah linear: transformasi Fourier Diskrit dari kombinasi linear barisan-barisan input TFD adalah sama dengan kombinasi linear TFDnya. Sifat linear memungkinkan untuk memisahkan sinyal-sinyal ke dalam komponen-komponen yang bervariasi (dasar untuk analisis spektral). Sifat linear dapat ditunjukkan dengan cara berikut.


72

Jika f n dan g n merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah

N , dan  dan  adalah bilangan kompleks, maka 𝒟  f n   g n k   𝒟  f n k   𝒟 g n k . Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut: 𝒟  f n   g n k

1  N

N 2

  f

n

  g n  Nnk

n   N2 1

1  N

N 2



fn 

 nk N

n   N2 1

1  N

N 2



g n  Nnk

n   N2 1

  𝒟  f n k   𝒟 g n k . Sifat linearitas juga berlaku untuk invers transformasi Fourier Diskrit, yaitu: Jika Fk dan G k merupakan barisan bernilai kompleks sejumlah N , dan  dan  adalah bilangan kompleks, maka 𝒟 −1  Fk   Gk n   𝒟 −1 Fk n  𝒟 −1 Gk n . Sifat tersebut mengikuti pernyataan berikut: 𝒟

−1

 Fk   G k n

N 2



  F

k

  Gk  Nnk

n   N2 1



N 2



n   N2 1

Fk 

nk N



N 2



Gk  Nnk

n   N2 1

  𝒟 −1 Fk n   𝒟 −1 Gk n . 3. Pergeseran dan Modulasi Dua sifat yang saling berhubungan dan memiliki akibat yang penting adalah pergeseran dan modulasi. Sifat pergeseran menjelaskan


73

akibat dari suatu barisan TFD yang telah digeser (atau ditranslasi). Suatu barisan f n yang telah digeser ke kanan sebesar j satuan dengan menggunakan invers dari transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis sebagai

f n j 

N 2



Fk  Nn  j k

k   N2 1



N 2

 F

k

 N jk  Nnk

k   N2 1

 𝒟 −1 Fk  N jk n . Dari pernyataan terakhir dapat ditulis pernyataan berikut 𝒟 f n j k  Fk  N jk . Dengan kata lain, transformasi suatu barisan yang telah digeser ke kanan sebesar j satuan berakibat merotasi barisan asli koefisien TFD di bidang kompleks; pada faktanya, koefisien awal Fk dirotasi dengan sudut  2jk N . Sifat modulasi atau sifat pergeseran frekuensi memberikan akibat pada modulasi barisan input, yaitu, mengalikan elemen-elemen barisan input f n dengan  Nnj , dengan j suatu bilangan bulat.



𝒟 fn 



nj N k

1  N 1  N

N 2

 f

n

 Nnj  Nnk

n   N2 1

N 2



n   N2 1

f n  Nn k  j 


74

 𝒟  f n k  j  Fk  j . Sifat tersebut menjelaskan bahwa jika suatu barisan input dimodulasi dengan modus cos2 n j  atau sin 2 n j  dengan frekuensi j siklus pada domain maka akan menghasilkan TFD yang digeser sebesar j satuan.

3.3.3. Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan perluasan dari transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi (transformasi Fourier Diskrit), sehingga prinsip-prinsip yang terdapat pada transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi sama dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi. Pembedanya ialah fungsi yang dikenakan pada transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi memiliki 2 variabel bebas. Oleh karena itu, pada subbab ini kita harus memandang input dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi berupa suatu data array yang dinyatakan dalam suatu bidang. Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi, definisi dari transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dimulai dengan penjabaran input. Input yang diberikan dapat berupa suatu bentuk Diskrit (misal, data sampel) atau bentuk kontinyu (fungsi dua variabel). Untuk saat ini diasumsikan bahwa fungsi f terdefinisi pada A A B B  x, y  :   x  ,  y   . 2 2 2 2 


75

Seperti dalam kasus 1 dimensi fungsi f harus diberi sampel untuk dapat diselesaikan secara numerik. Untuk membuat sampel pada daerah tersebut suatu bidang koordinat dibentuk dengan jarak antar titik koordinat seragam yaitu x  A M dalam sumbu horisontal dan y  B M dalam sumbu vertikal. Titik-titik koordinat yang terbentuk (Gambar 3.6) diberikan oleh

xm , yn   mx, ny  dengan m   M 2  1 : M 2 dan n   N 2  1 : N 2 .

Gambar 3.6. (Kiri) Bidang koordinat spasial. (Kanan) Bidang koordinat frekuensi dengan jarak antar titik-titik koordinat m , n  ialah

   M pada sumbu horisontal dan m   M 2  1 : M 2 dan n   N 2  1 : N 2 .

   N

dengan

Fungsi input f dapat disampelkan dengan mencatat nilainya pada titik-titik koordinat tersebut sehingga menghasilkan barisan (array) bilangan dari f mn  f xm , y n  . Sebagai antisipasi penggunaan array f mn sebagai input TFD, kita harus menganggap jika f mn mempunyai periode ganda, yang berarti


76

f m M ,n  f mn dan f m,n N  f mn .

Sekarang diasumsikan bahwa barisan input f mn terpisah, artinya fungsi

f mn  g m hn . Dengan asumsi ini, barisan g m dan hn dapat

dinyatakan berdasarkan definisi invers transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi, sehingga M 2



gm 

G j

mj M

N 2

dan hn 

j   M2 1



H k  Nnk ,

(3.20)

k   N2 1

untuk m   M 2  1 : M 2 dan n   N 2  1 : N 2 . Dari (3.20), dapat dilihat bahwa G j dan H k merupakan koefisien TFD dari g m dan hn , yaitu

1 Gj  M

M 2



g m

 mj M

m   M2 1

1 dan H k  N

N 2



hn Nnk ,

n   N2 1

dengan j   M 2  1 : M 2 dan k   N 2  1 : N 2 . Dengan penjabaran secara terpisah di atas, barisan f mn  g m hn dapat dikonstruksikan dari perkalian antara g m dan hn , sehingga   2  2  g m hn    G j  Mmj   H k  Nnk   j   M2 1 k   N2 1  N

M

f mn



M 2



j   M2 1



M 2



j   M2 1

N 2



G j H k  Mmj  Nnk  k   N 1 2

N 2



k   N2 1

F jk

F jk  Mmj  Nnk ,


untuk

m   M 2 1: M 2

dan

77

n   N 2  1 : N 2 . Sekarang kita

memiliki koefisien baru yaitu, F jk , F jk  G j H k . Sama halnya dengan barisan f mn , koefisien F jk juga dapat dikonstruksikan dari perkalian antara G j dan H k , sehingga

 1 F jk  G j H k    M

M 2



g m

 mj M

m   M2 1

1  MN

N 2

M 2



m   M2 1



 1   N

N 2



n   N2 1

 hn N nk  

f mn  M mj  N nk ,

n   N2 1

untuk j   M 2  1 : M 2 dan k   N 2  1 : N 2 . Definisi 3.10 (Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi) Jika diberikan suatu input M  N array f mn , maka

1 F jk  MN

N 2

M 2



m   M2 1



f mn  Mmj  Nnk ,

(3.21)

n   N2 1

untuk j   M 2  1 : M 2 dan k   N 2  1 : N 2 . Definisi 3.11 (Invers transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi) Jika diberikan suatu input M  N array F jk , maka

f mn 

M 2



j   M2

1

N 2



F jk  Mmj  Nnk ,

(3.22)

k   N2 1

untuk m   M 2  1 : M 2 dan n   N 2  1 : N 2 . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (3.21) dan (3.22) berperiodik M pada indeks pertama dan berperiodik N pada indeks kedua dan juga

akan ditunjukkan bahwa (3.21) dan (3.22) saling berinvers satu sama lain.


78

Seperti pada kasus 1 dimensi, sifat invers bergantung pada ortogonalitas.

ω jk dengan

Pertama, akan ditunjukkan ortogonalitas dari vektor

jk ω mn   Mmj  Nnk . Perhatikan hasil kali dalam Diskrit dua modus dengan

frekuensi  j, k  dan  j0 , k 0  ,

ω ,ω jk

j0 k 0

N 2

M 2





m   M2 1



m   M2

j0 k 0 jk ω mn ω mn





n   N2 1 N 2

M 2









1

n   N2

 Mmj  Nnk M mj  N nk . 0

0

1

Dengan sifat perkalian eksponensial (  Na  Nb   Nab ) diperoleh M 2



m   M2 1

N 2



   mj M

nk N

 mj0 M



 nk0 N

N 2

M 2







m   M2 1

n   N2 1

0

0



n   N2 1

M 2





 Mm j  j  Nn k k



m  j  j0  M

m   M2 1

N 2



 Nn k k

0



n   N2 1

 M ˆM  j  j0  N ˆN k  j0 .

Dengan sifat ortogonalitas dua dimensi tersebut, dapat ditunjukkan bahwa (3.20) dan (3.21) berinvers satu sama lain. Misalkan,

f mn  𝒟

−1

F 

jk mn

M 2





j   M2

1

N 2



k   N2

F jk  Mmj  Nnk

1

dan F jk  𝒟  f mn  jk

1  MN

M 2

𝑗𝑘 𝑚𝑛

 𝒟 −1 𝐹𝑗𝑘

𝑚𝑛



m   M2 1 n   N2 1

Sehingga dapat ditunjukkan bahwa, 𝒟 −1 𝒟 𝑓𝑚𝑛



N 2

f mn  Mmj  Nnk .




N 2

M 2

 

79

F jk  Mmj  Nnk

j   M2 1 k   N2 1



 1   MN 

N 2

M 2

 

j   M2 1 k   N2 1

1  MN

1  MN



j0   M2 1

N 2

M 2



f

j0   M2 1 k 0   N2 1



f

j0   M2 1 k 0   N2 1

j0 k 0





M 2

N 2

 M j j  N k k  Mmj  Nnk 0

0

j   M2 1 k   N2 1

N 2

M 2

N 2

M 2

j0 k 0

 mj nk  j0 j  k 0 k  f    j0 k 0 M N   M  N k 0   N2 1  N 2

M 2





 Mj m j  Nk n k 0

0



j   M 1 k   N 1

2  2  

MNˆM  m  j0 ˆN  n  k 0 

Penjumlahan m  j0  dan n  k 0  pada persamaan terakhir di atas tidak bernilai nol tetapi jika m  j0 dan n  k 0 maka persamaan terakhir tersebut menjadi 𝒟 −1 𝒟 𝑓𝑚𝑛 Dengan

𝑗𝑘 𝑚𝑛

menggunakan

ditunjukkan juga 𝒟 𝒟 −1 𝐹𝑗𝑘 𝒟 𝒟 −1 𝐹𝑗𝑘

𝑚𝑛 𝑗𝑘

 𝒟 𝑓𝑚𝑛 1  MN 1  MN 1  MN

1 MN f mn  f mn . MN



langkah-langkah

𝑚𝑛 𝑗𝑘

yang

sama

dapat

 F jk .

𝑗𝑘

N 2

M 2

 

f mn  M mj  N nk

m   M2 1 n   N2 1 N 2

M 2

M

 

m   M2 1 n   N2 1 N 2

M 2



j0   M2

 2   j  M  0  2 1

1

F

k 0   N2

1

j0 k 0

F

k 0   N2 1 N 2

M 2

 

m   M2

1



N 2

n   N2

1

 Mmj  Nnk   M mj  N nk 0

j0 k 0

0

 

 Mmj  Nnk  M mj  N nk 0

0


1  MN

N 2

M 2



F

j0   M2 1 k 0   N2 1

N 2

M 2

j0 k 0





 Mm  j  j  Nn k 0

0 k

80



m   M2 1 n   N2 1

  MNˆM  j0  j ˆN  k 0  k 

Penjumlahan

 j0  j 

dan k 0  k  pada persamaan terakhir di atas tidak

bernilai nol tetapi jika j0  j dan k 0  k maka persamaan terakhir tersebut menjadi 𝒟 𝒟 −1 𝐹𝑗𝑘

𝑚𝑛 𝑗𝑘



1 MN F jk  F jk . MN

Sama halnya dengan transformasi Fourier Diskrit 1 dimensi, transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi juga mempunyai bentuk alternatif, yaitu: Definisi 3.12 Jika diberikan suatu input M  N array f mn , maka 1 F jk  MN

M 1 N 1



m 0

n 0

f mn  Mmj  nnk ,

(3.23)

dengan j  0 : M  1 dan k  0 : N  1. Ada beberapa sifat dalam TFD 2 dimensi yang mengikuti sifat-sifat dasar TFD 1 dimensi, yaitu: Misal 𝒟 merupakan transformasi Fourier Diskrit dua dimensi M  N , maka 1. 𝒟 periodik: 𝒟  f mn j  M ,k  N  𝒟  f mn jk . M

𝒟  f mn j  M ,k  N

N

2 2 1  f mn  Mm j  M  Nn k  N    MN m M2 1 n N2 1


1  MN 1  MN 1  MN 1  MN

N 2

M 2

 

81

f mn  Mmj  M mM  Nnk N nN

m   M2 1 n   N2 1 N 2

M 2

 

f mn  Mmj  Nnk  M mM  N nN

m   M2 1 n   N2 1 N 2

M 2

 

f mn  Mmj  Nnk e i 2 m e i 2 n

m   M2 1 n   N2 1 N 2

M 2

 

f mn  Mmj  Nnk

m   M2 1 n   N2 1

 𝒟  f mn jk . 2. 𝒟

bersifat

𝒟  f mn   g mn jk   F jk   G jk ,

linear:

 dan



konstanta. 𝒟  f mn   g mn jk

M

N

M 2

N 2

2 2 1  f mn   g mn  Mmj Nnk    MN m M2 1 n N2 1

1  MN

   f

mn

m   M2 1 n   N2 1

1  MN

N 2

M 2

 

f mn  M mj  N nk

m   M2 1 n   N2 1

1  MN

M 2

N 2

 

g mn  M mj  N nk

m   M2 1 n   N2 1

  F jk   G jk .

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula:



3. Pergeseran: 𝒟 f mm0 ,nn0



 M m0 j  N n0k F jk .





 F j  j0 ,k k0 .

4. Rotasi: 𝒟 M mj0  N nk0 f mn

jk

jk

 M mj  N nk   g mn  M mj  N nk 


82

Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi merupakan pemetaan dari

M  N nilai f mn ke M  N nilai F jk . Oleh karena itu, transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dapat dinyatakan sebagai perkalian dari suatu matriks dengan M elemen baris dan N elemen kolom dengan matriks M  M dan matriks N  N .

Definisi 3.13 Transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi pada Definisi 3.12 dapat dihitung sebagai F2  WM f 2 WN  , T

di mana

  M0  0 M 1  0 WM   M M    0 M

 M0  M1  M 2

 M0  M 2  M 4





  M 1 M





 2  M 1 M

    

           M 1 M 1  M 

 M0

 M 1 M  2  M 1 M

dan

  N0  0  N 1 0 WN   N N    0  N

 N0  N1  N 2

 N0  N 2  N 4





  N 1 N





 2  N 1 N

   N N 1   N 2 N 1       N 1 N 1   N    

 N0

merupakan matriks Fourier. Contoh 3.8

1 2 5  Hitung transformasi Fourier Diskrit 2-dimensi dari f   . 6 7 11


83

Diketahui: M  2 dan N  3 sehingga

M  2  e i 2 2  e i  cos   i sin   1 dan

 N  3  e i 2 3  cos2 3  i sin2 3  1 2  i 3 2 . Matriks Fouriernya adalah

 20 W2   0  2

 20  1 1    , untuk m  0 : 1 dan j  0 : 1 , dan  21  1  21 

30  W3  30 30 

30 30  1 1 1   1 2  1 3 3   1 3 32  , untuk n  0 : 2 dan k  0 : 2 . 32 3 4  1 32 31 

Berdasarkan definisi 3.13, maka transformasi Fourier Diskrit 2 dimensinya adalah

F2  W2f 2 W3 

T

1 7   6 1  621

1  1 1  1 1 1   1 2 5  1  1    1 3 3 2    1   2 1 2   6 7 11 3  2 1   1 3 3  9 2  721

1  1 1   1 2  1     3 3 5  1121   2 1   1  3 3  16

1  1 1  9 16   1 7 1   1 3 3 2    6   5  5  6  2 1   1 3 3  1 2 1  32 7  93  163   6   16  5  531  632

7  932  1631    5  532  631 

1  32  5,5  i 6,0622  5,5  i 6,0622     0,5  i 0,8660  6   16 0,5  i 0,8660  5,3333  0,9167  i 1,0104  0,9167  i 1,0104  .   0,0833  i 0,1443    2,6667 0,0833  i 0,1443

T


84

3.3.4. Transformasi Fourier Diskrit pada Kompresi Sinyal Bila diberikan suatu sampel sinyal x dengan elemen-elemen

xk  f kt  , 0  k  N  1 untuk beberapa fungsi f yang terdefinisi pada

0,1 , dengan

t  1 N . Berikut tahapan kompresi dengan menggunakan

transformasi Fourier Diskrit: 1.

Tentukan X , Transformasi Fourier Diskrit dari sinyal x .

2.

Tentukan suatu nilai ambang batas (threshold) yang disimbolkan dengan c antara 0  c  1 .

3.

Tentukan M  max 0k  N 1  X k .

4.

~ Definisikan X  ℂ𝑁 dengan komponen

X k , ~  Xk    0,

jika X k  cM , jika X k  cM .

Tahap 2 sampai tahap 4 merupakan tahapan di mana frekuensifrekuensi yang tidak signifikan dieliminasi, yaitu dengan membuat nol setiap koefisien Fourier X yang berada di bawah nilai ambang batas. ~ Vektor X akan menjadi vektor sinyal yang terkompresi. Bila terdapat

banyak elemen-elemen

~ ~ X k  0 , maka X

akan mudah untuk

dikompresi. 5.

~ Tentukan ~ x , invers transformasi Fourier Diskrit dari X . Tahapan ini

merupakan tahapan dekompresi. Vektor ~ x merupakan vektor sinyal yang terkompresi. Vektor ~ x tersebut harus mengaproksimasi x .


85

Untuk mengetahui hasil kompresi tersebut baik atau tidak, hitung kesalahan relatifnya dengan rumus kesalahan relatif 

x~ x x

 100 .

Semakin kecil persentase galat relatif yang diperoleh, maka kompresi citra digital asli yang dihasilkan semakin baik. Contoh 3.9 Misal diberikan fungsi

f t   (t  t 2 ) 2 yang merepresentasikan suatu

sinyal, didefinisikan pada interval tertutup 0,1 dengan N  256 . Grafik fungsi f digambarkan pada Gambar 3.7 (Kiri). Grafik TFD dari f



yang dinyatakan dengan pasangan k , Fk

2

Fk  ,



N dengan  127  k  128 ,

digambarkan pada Gambar 3.7 (Kanan). 0.07 0.06

0.25

0.05 0.04

TFD f

f(t)=(t-(t2))2

0.2

0.03

0.15

0.1 0.02 0.05

0.01 0

0

0.2

0.4

0.6 t

Gambar 3.7. TFD dari f .

0.8

1

0

-100

-50

0 k

50

100

(Kiri) Grafik fungsi f t   (t  t 2 ) 2 dan (Kanan) Grafik


86

Pilih sebuah nilai ambang batas (threshold), misal c  0.001 . Kemudian, hitung M  max 0k 255  Fk , diperoleh M  8.5 . Dengan nilai ambang batas tersebut, maka dapat diperoleh suatu vektor ~ baru, yaitu F , merupakan vektor yang akan menjadi sinyal yang ~ terkompresi. Dari vektor F dengan menggunakan definisi 3.8 diperoleh

~ f , merupakan vektor dari sinyal yang terkompresi.

Kemudian dihitung kesalahan relatifnya dengan rumus

kesalahan relatif 

~ f f f

 100  1,35999661  1,36 %.

Dari tingkat kesalahan relatif tersebut dapat disimpulkan bahwa sinyal hasil kompresi serupa dengan sinyal aslinya. Sinyal asli

Sinyal Terkompresi

0.07

0.07

0.06

0.06

0.05

0.05

0.04

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.01

0.01

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 3.8. Sinyal asli (kiri) dan sinyal terkompresi (kanan). Hasil dari kompresi sinyal dengan transformasi Fourier Diskrit adalah sebagai berikut,


Dari hasil tersebut dapat dihitung besarnya presentase kompresi, yaitu

 resolusi sinyal terkompresi    100 Presentase  1  resolusi sinyal asli    1136   1    100  44,53 %.  2048  Artinya, sinyal asli terkompresi sebesar 44.53%.

87


BAB IV APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT

Pada bab ini akan dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier Diskrit pada kompresi citra digital beraras keabu-abuan. Pertama-tama akan dibahas mengenai citra diskrit dan citra beraras keabu-abuan.

4.1. Citra Diskrit Citra diskrit atau citra digital merupakan suatu array yang berisi nilainilai real maupun komplek yang direpresentasikan dengan deretan bit tertentu. Citra digital dapat didefinisikan sebagai fungsi f x, y  berukuran M baris dan N kolom M  N  , dengan x dan y adalah koordinat spasial, dan amplitudo f di koordinat x, y  yang merupakan tingkat keabu-abuan dari citra. Citra diskrit atau digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

 f (0,0)  f (1,0) f      f ( M  1,0)

f (0,1) f (1,1)

 

 f ( M  1,1) 

f (0, N  1)  f (1, N  1)  .    f ( M  1, N  1)

4.2. Citra Beraras Keabu-abuan Citra beraras keabu-abuan dimodelkan sebagai suatu fungsi bernilai riil g x, y  yang terdefinisi pada suatu bidang 2 dimensi, yaitu  . Nilai


89

g x, y  menyatakan intensitas keabu-abuan dari citra di titik x, y  pada bidang  . Citra beraras keabu-abuan juga dapat dinyatakan dengan matriks

M N

yang komponen elemen-elemennya merupakan bilangan bulat.

Berikut matriks dari citra beraras keabu-abuan:

g (0,1)  g (0, N  1)   g (0,0)  g (1,0) g (1,1)  g (1, N  1)  g .         g ( M  1,0) g ( M  1,1)  g ( M  1, N  1) Untuk citra 8-bit, nilai intensitas keabu-abuan bernilai dari 0 sampai 255 = 28  1 . Nilai 0 merepresentasikan hitam murni dan nilai 255 merepresentasikan putih murni.

Gambar 4.1. Contoh citra beraras keabu-abuan.

4.3. Kompresi Citra Beraras Keabu-abuan Tahapan pada kompresi citra beraras keabu-abuan secara garis besar sama seperti tahapan pada kompresi sinyal. Dalam kompresi citra beraras


90

keabu-abuan transformasi Fourier Diskrit yang digunakan ialah transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi. Berikut tahapan kompresi citra beraras keabuabuan: 1.

Inputkan suatu citra yang akan dikompresi ke dalam Matlab dengan perintah imread, misal, z=imread('happy.jpg');.

Kemudian konstruksikan citra asli menjadi citra beraras keabu-abuan dengan zg=im2double(rgb2gray(z));.

Citra Asli

Citra Beraras Keabu-abuan

Gambar 4.2. Citra asli ‘happy.jpg’ (kiri) dan citra beraras keabu-abuan ‘happy.jpg’ (kanan).

2.

Hitung transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dari citra beraras keabuabuan ‘happy.jpg’.

3.

Pilih suatu nilai ambang batas (threshold) antara 0 dan 1. Misal,

c  0.001 . 4.

Tentukan nilai maksimum dari mutlak transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi yang diperoleh pada tahap 2. Sehingga diperoleh,


91

M  229460 . 5.

Membuat nol semua frekuensi dari nilai mutlak transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi yang berada di bawah nilai ambang batas.

6.

Hitung invers transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi dari hasil pada tahap 5. Citra hasil pada tahap ini merupakan citra terkompresi.

7.

Untuk mengetahui besarnya kesalahan dari citra terkompresi, hitung kesalahan relatifnya dengan rumus

kesalahan relatif 

citra beraras keabuan zg  citra terkompresi zc citra beraras keabuan zg ,

 100

sehingga diperoleh, kesalahan relatif  1,93172887  1,93 % .

Dari tingkat kesalahan relatif tersebut dapat disimpulkan bahwa citra kompresi hampir serupa dengan citra aslinya. Citra Asli


Citra Terkompresi

Gambar 4.3. Citra output dari algoritma kompresi citra dengan transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi.

Berikut hasil dari kompresi citra beraras keabu-abuan dengan transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi,


92

Dari hasil tersebut dapat dihitung besarnya persentase kompresi,  resolusi citra terkompresi  Persentase  1    100 resolusi citra keabuan   95472    1    100  95,989.  2380000 

Artinya, citra beraras keabuan terkompresi sebesar 95,99 %. Bila nilai ambang batas c  0.01 , maka hasil kompresinya adalah Citra Asli


Gambar 4.4. Citra output dengan c = 0,01.

Citra Terkompresi


93

Hasil dari kompresi citra beraras keabu-abuan dengan transformasi Fourier Diskrit 2 dimensinya adalah

Kesalahan relatif yang diperoleh sebesar 6,5 % dan persentase kompresi yang diperoleh ialah 3408   Persentase  1    100  99,85 % ,  2380000 

artinya citra beraras keabu-abuan terkompresi sebesar 99,85 %. Dengan langkah yang sama untuk nilai ambang batas yang berbeda diperoleh kesalahan relatif sebagai berikut: c Kesalahan Relatif (%)

10 5

10 4

0,001

0.0036

0,2199

1,9317

0,01

0,05

0,1

0,5

6,4955 15,0256 19,4186 28,8257

Tabel 4.1. Tingkat galat relatif.


94

GRAFIK KESALAHAN RELATIF

kesalahan relatif (dalam %)

30 25 20 15 10 5 0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 0.25 0.3 nilai ambang batas

0.35

0.4

0.45

0.5

Gambar 4.5. Grafik kesalahan relatif. Dari grafik kesalahan relatif (Gambar 4.5), terlihat bahwa semakin besar nilai ambang yang dipilih maka akan semakin besar juga kesalahan relatif yang diperoleh. Sebab dengan nilai ambang batas yang besar, banyak nilai frekuensi-frekuensi yang tidak signifikan (di bawah nilai ambang batas) dibuat nol. Dengan nilai ambang batas yang berbeda juga dapat diperoleh besarnya persentase citra asli yang terkompresi sebagai berikut: c Persentase (%)

10 4

5  10 4

7  10 4

0,001

0,005

0,01

0,05

4,91 50,44

88,66

93,37

95,99

99,72

99,86

99,91

10 4

Tabel 4.2. Persentase citra asli yang terkompresi.


95

persentase citra terkompresi (dalam %)

GRAFIK PERSENTASE CITRA ASLI YANG TERKOMPRESI 100

80

60

40

20

0

0

0.005

0.01

0.015

0.02 0.025 0.03 nilai ambang batas

0.035

0.04

0.045

0.05

Gambar 4.6. Grafik besarnya persentase citra asli yang terkompresi. Dari grafik pada Gambar 4.6, terlihat bahwa semakin besar nilai ambang batas yang dipilih maka semakin besar pula persentase citra beraras keabuabuan yang terkompresi. Tahapan kompresi di atas merupakan algoritma kompresi dengan menggunakan transformasi Fourier Diskrit, khususnya transformasi Fourier Diskrit 2 dimensi.


BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan Dalam bidang ilmu komputer, sinyal atau citra digital pada suatu ruang waktu dapat dikonversikan ke dalam bentuk vektor. Selanjutnya, vektor yang merepresentasikan sinyal atau citra tersebut ditransformasi ke domain frekuensi dengan transformasi Fourier. Implementasi dari transformasi Fourier adalah Transformasi Fourier Diskrit (TFD). Transformasi Fourier

Diskrit dapat

digunakan dalam proses

pemampatan data, baik data berupa suatu sinyal atau citra digital pada suatu domain waktu. Data tersebut terlebih dahulu dikonversikan ke dalam bentuk vektor atau matriks, misalkan x . Kemudian, vektor atau matriks tersebut ditransformasikan ke dalam ruang frekuensi dengan transformasi Fourier Diskrit. Output dari transformasi tersebut berupa vektor atau matriks dengan ukuran yang sama dengan vektor atau matriks aslinya, misalkan X . Elemenelemen yang tidak memiliki pengaruh besar di X dianggap nol, sehingga ~ akan menghasilkan suatu vektor atau matriks baru yaitu X . Kemudian, pada ~ vektor atau matriks X dilakukan inversi dengan invers transformasi Fourier

Diskrit yang menghasilkan suatu vektor atau matriks yang serupa dengan vektor atau matriks aslinya, yaitu ~ x. Nilai

ambang

batas

(threshold)

sangat

berpengaruh

dalam

pemampatan data menggunakan transformasi Fourier Diskrit. Nilai ambang


97

batas ini akan menentukan nilai-nilai frekuensi manakah yang harus dianggap nol. Apabila nilai ambang batas semakin kecil mendekati nol, maka hasil kompresi terhadap sinyal atau citra digital semakin serupa dengan sinyal atau citra digital aslinya dan kesalahan yang dihasilkan dari sinyal atau citra digital pun akan semakin mendekati nol. Dengan nilai ambang batas ini, jumlah bit rate (ukuran resolusi) sinyal atau citra digital yang terkompresi akan menjadi lebih kecil dari sinyal atau citra digital aslinya. Pada contoh aplikasi transformasi Fourier Diskrit terlihat benar bahwa transformasi Fourier Diskrit dapat mentransformasikan suatu vektor menjadi vektor yang lebih sederhana dan apabila diinverskan kembali vektor hasilnya serupa dengan vektor aslinya (tidak mengalami perubahan yang signifikan). Hal ini terlihat pada kesalahan relatif yang dihasilkan.

5.2. Saran Dalam skripsi ini hanya dibahas mengenai aplikasi transformasi Fourier Diskrit pada kompresi citra. Bagi penelitian-penelitian selanjutnya dapat membahas lebih luas mengenai aplikasi lain dari transformasi Fourier Diskrit, seperti penyaringan sinyal.


98

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. & Robert C. Busby. 2003. Contemporary Linear Algebra. New Jersey: Wiley.

Boggess, Albert. & Francis J. Narcowich. 2001. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis (1st ed). New Jersey: Pearson Prentice-Hall.

Briggs, William L. & Van Emden Henson. 1995. The DFT: An Owner's Manual For The Discrete Fourier Transform. Philadelphia: Siam.

Broughton, S. Allen. & Kurt Bryan. 2009. Discrete Fourier Analysis and Wavelets: Application to Signal and Image Processing. Canada: Wiley. Purcell, Edwin J, dkk. 2007. Calculus (9th ed). New Jersey: Pearson Prentice-Hall. Putra, Darma. 2010. Pengolahan Citra Digital. Yogyakarta: Penerbit ANDI. Soemantri, R. 1994. Diktat: Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.


99

LAMPIRAN

Lampiran 1 clc clear all %Algoritma Penyelesaian Contoh 3.6 N=12; n=linspace(-5,6,N); k=n; x=[0.7630,-0.1205,-0.0649,0.6133,-0.2697,-0.7216,-0.0993,0.9787,0.5689,-0.1080,-0.3685,0.0293] for l=1:N for s=1:N omg(s)=exp(-2i*pi*n(s)/N); end X(l)=dot(x,(omg.^k(l)))/N; end X for l=1:N for s=1:N omgi(s)=exp(2i*pi*k(s)/N); end xi(l)=dot(X,conj(omgi.^n(l))); end subplot(221),plot(n,real(x)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(222),plot(n,imag(x)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(223),plot(k,real(X)) axis([-5 6 -1 1]) subplot(224),plot(k,imag(X)) axis([-5 6 -1 1])

Lampiran 2 clc clear all %Algoritma Penyelesaian Contoh 3.8 f=[1 2 5;6 7 11] M=2; N=3; wm=exp(2*i*pi/M); wn=exp(2*i*pi/N); Wm=zeros(M,M);


Wn=zeros(N,N); %Algoritma TFD 2 dimensi for m=1:M for j=1:M Wm(m,j)=(1/M)*wm^(-(m-1)*(j-1)); end end for n=1:N for k=1:N Wn(n,k)=(1/N)*wn^(-(n-1)*(k-1)); end end F=(Wm*f)*transpose(Wn) %Algoritma invers TFD 2 dimensi for m=1:M for j=1:M Wmi(m,j)=(1/M)*wm^((m-1)*(j-1)); end end for n=1:N for k=1:N Wni(n,k)=(1/N)*wn^((n-1)*(k-1)); end end Finv=abs((Wmi*F)*transpose(Wni))*M*N

Lampiran 3 clc clear all tic %Algoritma Penyelesaian Contoh 3.9 N=256; t=linspace(0,1,N); k=linspace(-127,128,N); f=(t-(t.^2)).^2; %Transformasi Fourier Diskrit for m=1:N omg(m)=exp(-2i*pi*m/N); end for l=1:N F(l)=dot(f,(omg.^k(l))); end b=abs(F); y=(b.^2)/N;

100


101

%Algoritma Kompresi c=0.001; M=max(b); p=c*M; for s=1:N if b(s)>=p Ftilda(s)=F(s); else Ftilda(s)=0; end end %Invers Transformasi Fourier Diskrit for a=1:N ftilda(a)=abs(dot(Ftilda,conj(omg.^a)))/N; end Kesalahan_relatif=(norm(f-ftilda)/norm(f))*100;

sp_Ftilda=sparse(Ftilda); sp_ftilda=real(spfun(@ifft,sp_Ftilda)); Sinyal_asli=f; whos 'Sinyal_asli' Sinyal_terkompresi=sp_ftilda; whos 'Sinyal_terkompresi' disp('------------------------------------------------------------------'); disp(' Nilai ambang batas Kesalahan relatif '); disp('------------------------------------------------------------------'); fprintf('%20.5f %35.8f\n',c,Kesalahan_relatif); disp('------------------------------------------------------------------'); subplot(121),plot(t,f) title('Sinyal asli') subplot(122),plot(t,ftilda) title('Sinyal Terkompresi') Waktu_proses_detik=toc


102

Lampiran 4 clc clear all disp('------------------------------------------------------------------'); disp(' ##### KOMPRESI CITRA KEABUAN TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT #####'); disp('------------------------------------------------------------------'); tic %Algoritma mengubah citra warna menjadi citra beraras keabuan z=imread('happy.jpg'); %Membaca citra input sebagai matriks zg=im2double(rgb2gray(z)); %Mengubah citra input menjadi citra beraras keabuan [M,N]=size(zg); %Ukuran matriks dari citra keabuan %Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi Z=fft2(zg); %Algoritma Kompresi Zabs=abs(Z); maks=max(max(Zabs)); c=0.05; b=c*maks; Zc=(Zabs>b).*Z; for m=1:M for n=1:N if Zabs(m,n)>=b Zc(m,n)=Z(m,n); else Zc(m,n)=0; end end end %Invers Transformasi Fourier Diskrit 2 Dimensi zc=real(ifft2(Zc)); kesalahan_relatif=100*(norm(zg-zc)/norm(zg)); Citra_asli=z; whos 'Citra_asli' Citra_keabuan=zg; whos 'Citra_keabuan' Citra_terkompresi=sparse(abs(Zc)); whos 'Citra_terkompresi'


103

disp('------------------------------------------------------------------'); disp(' Nilai ambang batas Kesalahan relatif '); disp('------------------------------------------------------------------'); fprintf('%20.5f %35.8f\n',c,kesalahan_relatif); disp('------------------------------------------------------------------'); figure; subplot(1,3,1), imshow(z), title('Citra Asli') subplot(1,3,2), imshow(zg), title('Citra Beraras Keabu-abuan') subplot(1,3,3), imshow(zc), title('Citra Terkompresi') Waktu_proses_detik=toc

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents