PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : RAIMUNDUS CIKU KOTEN 111414109

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015


SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : RAIMUNDUS CIKU KOTEN 111414109

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015

i


ii


iii


HALAMAN MOTTO

Orang hebat adalah dia yang mampu dan berani berimajinasi serta menerapkan imajinasinya dalam kehidupan sehari – hari. Hanya ada satu kebenaran diantara banyak kebenaran di dunia ini. Hanya ada satu kebenaran nyata dimana kebenaran lain hanyalah dibenar – benarkan alasannya. The most incomprehensible thing about the universe is that it is comprehensible. (Albert Einstein)

iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya tulis ini saya persembahkan secara khusus buat Kakek dan Nenek terkasih yang sudah menjaga dan membimbing saya sejak kecil serta memotivasi dan memantapkan hobi dan antusiasme yang luar biasa dalam diri saya pada pelajaran matematika. Terkhusus buat Kakek Yohanes Hale Mukin dan Nenek Margaretha Tukan. Karya tulis ini juga saya persembahkan buat keluarga besar saya, Bapa Antonius Fidelius Hada Koten, Mama Bernadethe Dominika Manggota Mukin, Ade Yohanes Hean Koten, Ade Oktavianus Ultimo Koten, dan Ade Wilibrodus Koten, yang telah mendukung saya hingga sejauh ini. Terima kasih buat Bapa dan Mama yang telah berusaha membuka jalan untuk saya lalui dengan baik.

v


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya, Raimundus Ciku Koten dengan ini menyatakan dengan sebenar – benarnya bahwa skripsi yang ditulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya suatu karya ilmiah.

Yogyakarta, 7 November 2015

Raimundus Ciku Koten

vi


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

: Raimundus Ciku Koten

Nomor Induk Mahasiswa

: 111414109

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Yogyakarta, 7 November 2015

Raimundus Ciku Koten

vii


ABSTRAK

Raimundus Ciku Koten, 2015. Sistem Koordinat Kartesius Dalam Geometri Dimensi Empat. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini bertujuan untuk menemukan dan memahami serta menjelaskan keadaan dan gambaran dari Geometri Euclides geometri dimensi empat baik secara umum maupun khusus. Penelitian ini dilakukan dengan metode studi pustaka dari beberapa teori seperti Geometri Euclides, Relativitas Einstein dan Ruang Minkowski. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan metode uji coba akulturasi teori guna mencapai tujuan penelitian yang diinginkan. Pada dasarnya Ruang Minkowski telah dikenal bukan sebagai suatu bentuk geometri dimensi empat. Akan tetapi, menanggapi pandangan Einstein bahwa Ruang Minkowski dapat dipandang sebagai suatu bentuk dari dimensi empat Geometri Euclides peneliti berusaha untuk memahami, memperdalam serta mengkaji kembali pandangan tersebut berdasarkan data-data referensi yang ada. Peneliti menyadari adanya kejanggalan dalam pandangan tersebut. Berdasarkan pemahaman peneliti ini, peneliti berusaha untuk mempertegas pendapat peneliti untuk menunjukkan kejanggalan yang ada secara ilmiah yang dapat dipertanggungjawabkan nilai kebenarannya. Kejanggalan tersebut kemudian diperbaiki dengan cara penataan ulang kajian dimensi empat tersebut berdasarkan proses studi pustaka yang telah dilakukan, yaitu memposisikan Ruang Minkowski sebagai suatu bentuk kejadian khusus dari Geometri Euclides mengenai kerangka acuan inersia. Dalam upaya penataan ulang teori dan anggapan tersebut, peneliti juga menjelaskan gambaran umum keadaan Geometri Euclides dimensi empat sebagai hasil dari uji coba akulturasi teori. Gambaran umum tersebut meliputi elemen khusus geometri dimensi empat: “semesta“, sistem koordinat geometri dimensi empat dan bangun khusus geometri dimensi empat: “semesta tesseract“. Implikasi dari gambaran umum Geometri Euclides dimensi empat ini adalah terjelaskannya keberadaan vektor – vektor orthogonal pada Ruang Euclides yang merupakan hasil atau bentukkan dari vektor – vektor semu sebagai akibat ketidakmampuan dan tidak akuratnya pandangan mata manusia. Dengan kata lain, keorthogonalan vektor – vektor dalam Ruang Euclides merupakan sketsa sederhana yang dapat membantu manusia agar lebih memahami ruang dan elemen – elemennya. Kata Kunci: Geometri Euclides, Ruang Minkowski, Teori Relativitas Einstein, geometri dimensi empat, sistem koordinat kartesius.

viii


ABSTRACT

Raimundus Ciku Koten. 2015. Four Dimensional Geometry in A Cartesian Coordinate System. Thesis. Mathematic Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This study aims to find, understand and explain the situation and the picture of four-dimensional Euclidean Geometry either general or specific. This research was conducted by literature study of several theories such as Euclidean Geometry, Relativity Einstein and Minkowski Space. In addition, this study also uses an acculturation theory test method to achieve the desired objectives. Basically the Minkowski Space when it is known today was not the fourdimension geometry. However, respond to Einstein’s idea that the Minkowski Space can be viewed as a form of a four-dimensional Euclidean Geometry researchers seek to understand, deepen and examine the claims based on available references data. Researches realized in view of the irregularities. Based on this view, researches are trying to reinforce the opinion of researches to demonstrate that there are irregularities scientifically with truth value justifiable. The irregularities can be fixed by means of a four-dimensional rearrangement of the literature study that has been done, with the rearrangement of the study to position Minkowski Space as a form of specific incidents of Euclidean Geometry in the inertial reference frames. In an effort rearrangement theory and assumptions, the researcher also explains the general picture of four-dimensional Euclidean Geometry state as a result of acculturation theory test. The general description includes specific elements of four-dimensional geometry: "universe", a fourdimensional geometries coordinate system and special element form of fourdimensional geometry: "tesseract universe ". The implications of the general description of the four-dimensional Euclidean Geometry is inexplicable presence of orthogonal vector to the Euclidean Space which the result or form of the vectors apparent as a result of incompetence and inaccurate view of the human eye. In other words, orthogonal vectors in Euclidean Space is a simple sketch that can help people to understand the space and its elements better. Keywords: Euclidean Geometry, Minkowski Space, Einstein's Theory of Relativity, four-dimensional geometry, Cartesian coordinate system.

ix


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat dan tuntunan-Nya penulis dapat menyelesaikan penelitian dan penulisan karya ilmiah ini. Karya tulis ini merupakan uraian gagasan yang memberikan penjelasan dan pemahaman mengenai geometri dimensi empat. Ketika matematika sebagai ilmu dasar, akar dari setiap ilmu tidak berkembang, bagaimana ilmu kajiannya yang lain seperti fisika dan astronomi dapat berkembang dengan baik dan pesat jika tidak ada dasar kuat yang mewadahinya. Penulis mencoba mengumpulkan dan menganalisah data-data yang ada mengenai geometri dimensi empat, menjelaskan kembali spacetime secara terperinci dan memberikan gambaran mengenai Geometri Euclides dimensi empat. Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini dapat terselesaikan dengan baik karena bantuan, bimbingan dan dorongan dari teman – teman dan bapak ibu dosen sekalian. Penulis menghaturkan limpah terimakasih kepada: 1. Dr. Yansen Marpaung yang telah menyetujui rancangan penulisan karya ilmiah ini dan membimbing penulis untuk pembahasaan dan representasi gagasan. 2. Dr. Marcellinus Andy Rudhito,S.Pd yang bersedia membimbing penulis dalam pembahasaan dan analisis matematis hingga kajian penulisan ini menjadi padat dan berisi. x


xi

3. Antonius Yudhi Anggoro, M.Si, yang telah memberikan pengarahan dan pertanyaan-pertanyaan logika kritis yang dapat membantu mempertajam analisis penulisan karya ilmiah ini. 4. Beni Utomo, M.Sc, yang telah memberikan masukan-masukan baru dan beberapa pertimbangan nyata guna mempertajam pemahaman pendukung dalam bahasan karya ilmiah ini. 5. Aprianus Paskalis Priska, sahabat dan saudara terbaik yang tak pernah lupa memberikan dorongan semangat dan mendengarkan keluh kesah penulis. 6. Teman – teman Himpunan Keluarga Besar Flobamorata Kampus III Paingan yang bersedia mendukung penulis dalam berbagai hal baik secara langsung maupun tidak langsung. Singkat kata, matematika adalah ilmu dasar dalam kehidupan ini. Pengembangan ilmu matematika adalah sama dengan pengembangan kualitas dan kemajuan peradaban umat manusia. Menyadari segala kekurangan yang dimiliki, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca sekalian demi pengembangan lebih lanjut. Akhir kata, selamat membaca, semoga tulisan ini bermanfaat dan dapat memotivasi pembaca sekalian.


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL …………………………………………………………

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………….

ii

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………….

iii

HALAMAN MOTTO ………………………………………………………..

Iv

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………….

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………….

vi

PERSETUJUAN PUBLIKASI ………………………………………………

vii

ABSTRAK ……………………………………………………….………….

viii

ABSTRACT …………………………………………………………………

ix

KATA PENGANTAR …………………………………………………..…..

x

DAFTAR ISI ………………………………………………………………..

xii

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………….

xiv

DAFTAR ISTILAH ………………………………………………………….

xvi

BAB I : PENDAHULUAN ………………………………………………….

1

A. Latar Belakang ………………………………………………………

1

B. Rumusan Masalah …………………………………………………..

5

C. Batasan Masalah …………………………………………………….

6

D. Tujuan Penelitian ……………………………………………………

6

E. Manfaat Penelitian ………………………………………………….

7

F. Metode Penelitian …………………………………………………...

8

G. Sistematika Penulisan ……………………………………………….

8

BAB II : LANDASAN TEORI ………………………………………………

10

A. Geometri Euclides …………………………………………………..

10

B. Teori Relativitas Einstein ……………………………………………

11

C. Ruang Minkowski …………………………………………………...

12

D. Sistem Koordinat Kartesius ………………………………………….

18

xi


xii

BAB III : RUANG MINKOWSKI BUKAN SEBAGAI GEOMETRI EUCLIDES DIMENSI EMPAT ..................................................... A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi .............................................

21 21

B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat ..........................................

27

C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides ........................................

30

D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein .............................

34

BAB IV : SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA DIMENSI EMPAT ......................................................................... A. Sistem Koordinat Kartesius .................................................................

38 41

B. Koordinat Bidang .................................................................................

47

C. Posisi Titik Semesta .............................................................................

54

D. Bangun Semesta Sederhana .................................................................

65

E. Hubungan Antara Dimensi Empat dan Ruang Euclides ......................

68

BAB V : PENUTUP .......................................................................................

72

A. Kesimpulan .........................................................................................

72

B. Saran ....................................................................................................

74

DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................

75


DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1

Koordinat Kartesius Dimensi Dua .................................................

1

Gambar 1.2

Koordinat Kartesius Dimensi Tiga ................................................

1

Gambar 2.1

Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Tiga ........................

16

Gambar 2.2

Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Dua ........................

16

Gambar 2.3

Tesseract ......................................................................................

17

Gambar 2.4

Garis pada Sumbu X Koordinat Kartesius ……………………….

18

Gambar 2.5

Tingkat Permukaan Nilai Konstan Y …………………………….

19

Gambar 3.1

Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi .......................................

31

Gambar 3.2

Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi ........................

31

Gambar 3.3

Posisi Ruang Euclides dan Ruang Minkowski ..............................

37

Gambar 4.1

Meja Biasa ……………………………………………………….

43

Gambar 4.2

Meja Biasa dengan Keadaan Yang Diinginkan …………………

43

Gambar 4.3

Vektor Arah dalam Kubus ………………………………………

43

Gambar 4.4

Sistem Koordinat Dimensi Empat ………………………………

43

Gambar 4.5

Sistem Koordinat Dimensi Empat .................................................

45

Gambar 4.6

Segitiga 𝐵𝑂𝐶 ................................................................................

45

Gambar 4.7

Sistem Koordinat Dimensi Empat …………………………........

46

Gambar 4.8

Segitiga 𝐵𝑂𝐷 ................................................................................

46

Gambar 4.9

Bidang Koordinat 𝑤𝑥 …………………………………………..

47

Gambar 4.10

Bidang Koordinat 𝑥𝑦 …………………………………………...

47

Gambar 4.11

Bidang Koordinat 𝑦𝑧 …………………………………………...

48

Gambar 4.12

Bidang Koordinat 𝑤𝑧 …………………………………………...

48

Gambar 4.13

Bidang Koordinat 𝑤𝑦 …………………………………………..

48

Gambar 4.14

Bidang Koordinat 𝑥𝑧 …………………………………………...

48

Gambar 4.15

Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ...............

48

Gambar 4.16

Sistem Koordinat dan Bidang Vektornya ....................................

48

Gambar 4.17

Sistem Koordinat dan Vektor Semu ............................................

49

xiii


xiv

Gambar 4.18

Sistem Koordinat dengan Bidang Vektor dan Vektor Semu .......

49

Gambar 4.19

Sistem Koordinat Kartesius dan Bidang Koordinatnya ...............

50

Gambar 4.20

Heksan I .......................................................................................

51

Gambar 4.21

Heksan II ......................................................................................

51

Gambar 4.22

Heksan III ....................................................................................

52

Gambar 4.23

Heksan IV ....................................................................................

52

Gambar 4.24

Heksan V .....................................................................................

52

Gambar 4.25

Heksan VI ....................................................................................

52

Gambar 4.26

Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ...............

53

Gambar 4.27

Segitiga 𝑄𝑂𝑃 ................................................................................

53

Gambar 4.28

Menentukan Posisi Titik …………………..................................

56

Gambar 4.29

Posisi Titik ....................................................................................

57

Gambar 4.30

Posisi Titik ....................................................................................

58

Gambar 4.31 Gambar 4.32 Gambar 4.33

2

Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ .................................................................. 2

Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ .................................................................. 3

Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ .................................................................. 3

58 58 59

Gambar 4.34

Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ ...................................................................

59

Gambar 4.35

Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 .................................................................

60

Gambar 4.36 Gambar 4.37

Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 60 Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 61

Gambar 4.38

Grafik 𝑤 = 𝑧 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ..................................................................

Gambar 4.39

4

Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ .................................................................. 4

61 62

Gambar 4.40

Grafik 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ ...................................................................


Grafik 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 62 Grafik 𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4 ................................................................... 62

Gambar 4.43

Perpotongan = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 0 .........................................................


Bidang 𝑦𝑧 ………………………………………………………. 63 Perpotongan = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 0 ......................................................... 63

Gambar 4.46

Bidang W𝑧 ……………………………………………………...

63

Gambar 4.47

Perpotongan Y= 0 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 0 .......................................................

63

Gambar 4.48

Bidang 𝑤𝑥 ………………………………………………………

63

62

63


xv

Gambar 4.49

Perpotongan Bidang 𝑤𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑦𝑧 ………………………………..

64

Gambar 4.50

Garis 𝑧 …..………………………………………………………

64

Gambar 4.51

Perpotongan Bidang 𝑤𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑧 ……………………………….

64

Gambar 4.52

Garis 𝑤 ..………………………..……………………………….

64

Gambar 4.53

Perpotongan Garis 𝑤 𝑑𝑎𝑛 𝑧 …………………………………….

64

Gambar 4.54

Titik 𝑂 (Titik Asal) ..………………………..…………………..

64

Gambar 4.55

Semesta Paralletesse dari Berbagai Sudut Pandang ……………

67

Gambar 4.56

Semesta Rhotesse dari Berbagai Sudut Pandang ……………….

67

Gambar 4.57

Vektor Nyata dan Semu Pada Sistem Dimensi Empat ..................

68

Gambar 4.58

Semesta dan Tatanannya ………………………………………..

70


DAFTAR ISTILAH

Aksioma Basis

Geometri Euclides

Kerangka Acuan Kerangka Inersia Parallethese Proxima Centaury Rhotesse Ruang-waktu

Sistem Koordinat

Tesseract

Titik Dunia

: Suatu pernyataan yang nilai kebenarannya adalah mutlak sebagai suatu kejelasan ataupun asumsi. : Suatu himpunan 𝑆 dari vektor-vektor yang mencakup himpunan dari beberapa vektor yang dapat ditulis sebagai suatu kombinasi linier dari himpunan tersebut dalam 𝑆. : Ranah kajian matematika yang berkaitan dengan studi geometri berdasarkan defenisi dan aksioma yang ditetapkan dalam buku Euclides “The Element”. : Sarana yang digunakan pengamat untuk menentukan posisi dan menggambarkan gerak tubuh. : Sebuah kerangka acuan pada hukum Newton tentang gerak secara terus menerus. : Bangun semesta tesseract yang sisi - sisinya yang berbentuk jajargenjang. : Bintang katai merah yang terletak sejauh 4,2 tahun cahaya (3,97×1013 km) dari Bumi. : Bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya berbentuk belah ketupat. : Suatu dimensi empat yang dibentuk dari gabungan waktu dan ruang tiga dimensi, menggantikan kerangka konseptual mekanika klasik di mana ruang dan waktu ada secara terpisah. : Sebuah sistem untuk mengidentifikasi titik-titik pada bidang atau ruang dengan menggunakan koordinatnya, misalnya koordinat kartesius atau koordinat kutub. : Bangun semesta sederhana yang dibatasi oleh dua belas sisi segi empat. Dalam dimensi ruang waktu, tesseract diartikan sebagai pergerakan balok pada selang waktu tertentu. : Titik pada diagram Minkowski sehubungan dengan dimensi ruang-waktu.

xvi


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Geometri Euclides merupakan geometri yang diperkenalkan dan dikembangkan oleh matematikawan dari Alexandria, Euclides, sekitar tiga ratus tahun sebelum masehi. Menurut Coxeter (1969), Euclides menyusun secara rapi pemahaman

mengenai

geometri

berdasarkan

konsep,

teorema

dan

pembuktiannya sebagai identitas asli dari geometri [𝟏𝟎] . Penyusunan pemahaman geometri yang tertata rapi tersebut diperkenalkan pada masyarakat luas dalam tiga belas buku yang dikenal sebagai Euclid’s Elements. Secara ringkas, pada penataan tersebut Euclides memperkenalkan 10 prinsip utama yang terdiri dari lima postulat dan lima pembuktian sebagai dasar dari The Elements, (Burton, David M. 2011) [𝟓] . Berdasarkan prinsip utama itulah, dapat dilihat dan dipahami bahwa Euclides memfokuskan geometri pada kelima postulat tersebut kemudian dikembangkan menjadi beberapa bagian menurut hubungan sebab akibatnya.

Gambar 1.1 Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Dua

Gambar 1.2 Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Tiga

1


2

Secara matematis dimensi dapat diartikan sebagai jumlah arah perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem. Mengacu pada Geometri Euclides, perubahan yang terjadi dalam suatu sistem tersebut digambarkan pada beberapa sumbu yang membagi sistem menjadi beberapa bagian yang sama. Sebagai contoh, pada geometri dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu 𝑋 dan 𝑌 yang membagi sistem dimensi dua menjadi 4 (empat) bagian yang sama, yaitu: 𝑋𝑂𝑌, 𝑌𝑂(−𝑋), (−𝑋)𝑂(−𝑌), dan (−𝑌)𝑂𝑋, seperti pada Gambar 1.1. Pada geometri dimensi tiga terdiri dari tiga buah sumbu 𝑋, 𝑌 dan 𝑍 yang membagi sistem dimensi tiga menjadi 8 (delapan) bagian yang sama, yaitu: 𝑌𝑋𝑍𝑂, 𝑋𝑍(−𝑌)𝑂, (−𝑌)(−𝑋)𝑍𝑂, (−𝑋)𝑌𝑍𝑂, 𝑌𝑋(−𝑍)𝑂, 𝑋(−𝑍)(−𝑌)𝑂, (−𝑌)(−𝑋)(−𝑍)𝑂, dan (−𝑋)𝑌(−𝑍)𝑂, seperti pada Gambar 1.2. Dari sumbu sumbu yang diberikan tersebut, masing – masing sumbu mewakili ukuran besaran pokok yang sama yaitu panjang sehingga mampu berada dalam satu sistem kajian yang dibentuk dalam satu kesatuan koordinat yang diperkenalkan pertama kali oleh Rene Descartes dan dikenal umum sebagai Koordinat Kartesius. Sejak awal mula munculnya era baru geometri yang ditandai dengan lahirnya Geometri Euclides, geometri mulai berkembang pesat seiring dengan perkembangan jaman. Dari perkembangan tersebut ide – ide dan teori – teori baru mulai bermunculan untuk membantu manusia dalam memaknai hidup dan mengukur segala sesuatu yang ada di bumi bahkan yang ada pada alam semesta. Salah satu ide atau teori tersebut adalah teori mengenai ruang – waktu atau “spacetime”. Teori “spacetime” ini diungkapkan oleh Hermann Minkowski


3

yang melanjutkan Teori Relativitas Einstein, yang secara singkat dimaknai sebagai geometri dimensi empat ruang – waktu. Teori ruang – waktu ini dipandang dan diyakini sebagai bentuk dari dimensi empat Geometri Euclides yang dapat dilihat dari dimensi tiga Geometri Euclides dan waktu yang dijalankan dalam suatu sistem, mengutip Einstein, Albert (1921) …, we can regard the space-time continuum as a “Euclidean” four-dimensional continuum,… [13] Berdasarkan Einstein, dimensi ruang-waktu dapat dianggap sebagai dimensi empat Geometri Euclides jika diteliti lebih mendalam pada pencapaian persamaan jarak yang ada pada dimensi ruang-waktu. Adapun persamaan jarak pada dimensi ruang-waktu adalah 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 − 𝑐 2 𝑑𝑡 2 . Apabila 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan √−1 𝑐𝑡 diberi nilai 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 dan 𝑥4 , maka akan membentuk persamaan jarak seperti yang diharapkan pada dimensi empat Geometri Euclides yaitu: 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑥1 2 + 𝑑𝑥2 2 + 𝑑𝑥3 2 + 𝑑𝑥4 2 . Akan tetapi, jika ditinjau kembali, dapat dipahami bahwa Geometri Euclides berguna untuk menentukan posisi dengan menggunakan panjang, dengan vektor basis panjang tersebut (𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah independent (tidak terikat dengan variabel ataupun konstanta lainnya) sedangkan dalam persamaan jarak dimensi ruang-waktu 𝑡 terikat dengan c (kecepatan cahaya). Andaikan 𝑡 adalah independent sesuai vektor basis lainnya pada Geometri Euclides maka akan memenuhi apa yang menjadi tuntutan Geometri Euclides, akan tetapi dalam hal ini juga akan mengakibatkan tidak terlaksananya dimensi ruang-waktu dikarenakan dalam dimensi ruangwaktu diharuskan keterikatan 𝑡 (waktu) dengan 𝑐 (kecepatan cahaya).


4

Menanggapi fakta yang ada, peneliti mencoba mengikuti alur pemikiran teori tersebut secara keseluruhan dan memahaminya. Dari proses pemahaman tersebut peneliti merasa bahwa terdapat kejanggalan ide atau teori tersebut. Secara hakiki, peneliti tidak menyalahkan teori tersebut tetapi yang menjadi inti dari permasalahannya adalah “Apakah dimensi ruang – waktu benar merupakan geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides? Apakah waktu memang tepat untuk dijadikan subjek pengamatan dalam suatu sistem berpadanan dengan koordinat pada sistem Koordinat Kartesius? Ataukah dimensi ruang – waktu hanyalah merupakan penerapan dari dimensi tiga? Berdasarkan definisi dimensi, dapat dilihat bahwa dimensi menunjukan jumlah arah perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem. Di sisi lain, anggapan bahwa geometri dimensi empat ruang – waktu sebagai geometri dimensi empat menimbulkan pertanyaan karena melibatkan waktu dalam sistem. Dasar jumlah arah pada dimensi yang sering kita gunakan pada Koordinat Kartesius menggunakan besaran pokok panjang yang disimbolkan dalam bentuk sumbu 𝑋, 𝑌, dan 𝑍, sedangkan dimensi ruang – waktu menggabungkan waktu yang memiliki besaran pokok waktu ke dalam koordinat 𝑋, 𝑌, dan 𝑍 tersebut. Menurut peneliti adalah suatu kejanggalan bahwa panjang dan waktu dijadikan subyek pengamatan pada suatu sistem hingga menghasilkan makna geometri dimensi baru dalam Geometri Euclides. Apakah tepat demikian ataukah waktu hanya memberikan gambaran untuk penerapan geometri dimensi tiga saja sehingga geometri dimensi ruang dan waktu yang dianggap sebagai geometri dimensi empat adalah suatu bentuk kesalahan dalam


5

pemahaman teori ruang – waktu? Dalam pengkajian yang lebih mendalam mengenai dimensi, dimensi adalah bagian utama dari geometri yang diteliti. Pengamatan geometri, khususnya dimensi selalu berada pada keadaan statis di mana pada keadaan dinamis yaitu bergerak pada selang waktu tertentu, dianggap dan diyakini sebagai suatu penerapan yang dipelajari pada cabang ilmu fisika. Berdasarkan penalaran – penalaran di atas, peneliti meyakini bahwa waktu tidak dapat dijadikan sebagai bagian dari sistem koordinat untuk menunjukan adanya geometri dimensi baru. Dari keyakinan tersebut, yang menjadi pertanyaan baru adalah seperti apakah bentuk geometri dimensi empat yang dapat dianggap sebagai lanjutan dimensi tiga Geometri Euclides tersebut? Pertanyaan tersebut menjadikan peneliti terinspirasi untuk menemukan jawabannya.

B. Rumusan Masalah Adapun yang menjadi masalah dalam penelitian ini dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Apakah Ruang Minkowski adalah tepat jika dianggap sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan dimensi tiga Geometri Euclides? 2. Seperti apakah sistem geometri dimensi empat dalam bentuk representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat – sifatnya?


6

C. Batasan Masalah Adapun dalam penelitian ini, secara khusus akan dibahas mengenai: 1. Pandangan Ruang Minkowski secara geometris khususnya penggunaan sumbu waktu sebagai sumbu keempat sistem dimensi dalam kaitannya terhadap asumsi Ruang Minkowski sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides. 2. Geometri Euclides, khususnya representasi grafik dalam bentuk sistem Koordinat Kartesius.

D. Tujuan Penelitian Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam melakukan penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menjelaskan secara matematis ketepatan ataupun ketidaktepatan asumsi mengenai Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides Dimensi Empat. 2. Menjelaskan bentuk sistem geometri dimensi empat dalam representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat - sifatnya.


7

E. Manfaat Penelitian Adapun manfaat yang dapat diperoleh dalam melakukan penelitian ini adalah : 1. Dari segi teoritis Penelitian ini diharapkan memberikan gambaran pemahan yang jelas mengenai geometri dimensi empat, baik space-time maupun Geometri Euclides dimensi empat.. 2. Dari segi praktis Penelitian ini diharapkan mampu memberikan jawaban dan penjelasan mengenai asumsi yang tepat akan pemahaman geometri dimensi empat dan dimensi ruang dan waktu. 3. Dari segi peneliti Penelitian ini diharapkan mampu mengasah kemampuan peneliti untuk selalu berpikir kritis dan cepat tanggap terhadap permasalahan faktual yang tengah terjadi dewasa ini. 4. Dari segi pembaca Penelitian ini diharapkan mampu mendorong dan memotivasi pembaca untuk selalu bertanya dan mencari jawaban atas segala sesuatu bukan hanya mengiyakan pendapat sesama yang bahkan tidak dimengerti sendiri alasannya dan bagaimana cara kerja pendapat yang diberikan tersebut.


8

F. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca, mempelajari, mengkaji dan menganalisis materi dari buku – buku ataupun – jurnal yang berkaitan dengan topik skripsi. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan metode uji coba akulturasi teori , yaitu penggabungan ide dari teori – teori yang berkaitan dengan topik skripsi guna menghasilkan sesuatu yang baru dengan maksud pencapaian tujuan skripsi yang ada.

G. Sistematika Penulisan Tulisan ini mengkaji tentang sistem geometri dimensi empat dalam representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat - sifatnya yang dapat dianggap sebagai lanjutan Geometri Euclides. Tulisan ini terbagi menjadi lima bab. Pada Bab I, akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan. Pada Bab II akan diingatkan dan dijelaskan mengenai konsep – konsep utama yang berkaitan erat dengan pembahasan dan analisis dalam tulisan ini, yaitu meliputi: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein dan Ruang Minkowski. Bagian utama dari tulisan ini adalah terdapat pada Bab III dan Bab IV. Pada Bab III akan dibahas mengenai Ruang Minkowski yang merupakan dimensi ruang – waktu yang dianggap sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides. Selanjutnya, Ruang Minkowski ini akan


9

dijelaskan berdasarkan konsep – konsep ilmu lainnya untuk mengetahui tingkat kebenaran asumsinya sebagai geometri dimensi empat lanjutan Geometri Euclides. Pada Bab IV, akan ditampilkan gagasan baru mengenai geometri dimensi empat dalam bentuk representasi sistem koordinat dan sifat - sifatnya yang dapat dianggap sebagai lanjutan Geometri Euclides. Secara lebih lanjut, pada bab ini akan dibahas mengenai hubungan geometri dimensi empat dan Ruang Euclid. Pada Bab terakhir dalam tulisan ini dicantumkan kesimpulan dari pembahasan dan analisis yang telah di uraikan pada Bab III dan Bab IV serta beberapa saran yang dapat digunakan untuk penelitian lanjutan.


BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa konsep yang sangat diperlukan sebagai landasan teori dalam pembahasan mengenai geometri dimensi empat sebagai lanjutan Geometri Euclides. Pembahasan pada bagian ini dibagi menjadi empat bagian utama, yaitu: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein, Ruang Minkowski dan Sistem Koordinat Kartesius. A. Geometri Euclides Euclid dari Alexandria, Mesir adalah matematikawan kuno yang menghasilkan karya monumental dalam geometri, yaitu “The Elements”. Buku ini memuat geometri dan Teori Bilangan. Pada buku Euclid dibedakan antara aksioma dan postulat, postulat berlaku untuk sains tertentu sedangkan aksioma berlaku umum. Euclid mengemukakan 5 aksioma dan 5 postulat. Aksioma yang dikemukakan Euclid tersebut adalah: 1. Benda – benda yang sama dengan benda yang sama, satu dengan yang lain juga sama. 2. Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, jumlahnya sama. 3. Jika suatu yang sama dikurangi dengan suatu yang sama, sisanya sama. 4. Benda-benda yang berimpit satu sama lain, benda-benda tersebut sama.

10


11

5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya. Postulat – postulat yang dikemukakan Euclid adalah sebagai berikut: 1. Melalui dua titik sebarang dapat dibuat tepat satu garis. 2. Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis. 3. Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran. 4. Semua sudut siku – siku sama. 5. Jika suatu garis memotong dua garis dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku – siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.

B. Teori Relativitas Einstein Teori Relativitas Khusus Einstein membentuk landasan bagi konsep baru tentang ruang – waktu. Einstein menyatakan bahwa semua pengamat yang tidak mengalami percepatan seharusnya diperlakukan sama terhadap apapun, walaupun mereka bergerak (dalam kecepatan konstan) relatif satu terhadap lainnya. Teori ini didasarkan pada dua postulat berikut, yang diajukan Albert Einstein. 1. Postulat pertama (Asas Relativitas) Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya.


12

2. Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya) Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat. Postulat pertama pada dasarnya menegaskan bahwa tidak ada satupun percobaan yang dapat kita gunakan untuk mengukur kecepatan terhadap ruang mutlak, yang dapat kita ukur hanyalah laju relatif. Postulat kedua, adalah sebuah konsekuensi dari foton yang tak bermassa bergerak dengan kecepatan cahaya 𝑐 pada ruang hampa. Postulat kedua menegaskan fakta bahwa laju cahaya adalah sama bagi semua pengamatan, sekalipun mereka dalam gerak relatif.

C. Ruang Minkowski Ruang Minkowski merupakan implikasi dari pandangan teori relativitas ruang dan waktu sehingga disebut juga ruang dimensi ruang – waktu. Teori ini digagaskan Hermann Minkowski. Pada dasarnya Ruang Minkowski ini hanyalah merupakan penerapan Teori Relativitas Einstein pada Geometri Euclides. Ruang dimensi empat ruang – waktu ini dijelaskan oleh Hermann Minkowski sebagai “dunia”. Melalui cara yang sama dengan ruang dimensi tiga yang dijelaskan melalui sumbu – sumbu ruang dimensi tiga, Ruang Minkowski dapat juga dipandang sebagai ruang dimensi empat. Perluasan ruang dimensi tiga menjadi ruang dimensi empat mengakibatkan perpanjangan vektor r dengan komponen – komponen vektornya (𝑥, 𝑦, 𝑧) dapat menjadi vektor dimensi


13

empat dengan komponen – komponen vektornya (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧), di mana t merupakan komponen waktu. Dalam hal untuk mendapati bentuk fisik dimensi yang sama untuk keseluruhan keempat sumbu dalam Ruang Minkowski diperkenalkan suatu koordinat waktu dengan panjang dimensi 𝑥 0 = 𝑐𝑡, di mana c merupakan kecepatan cahaya. Koordinat ruang – waktu dapat dinyatakan dalam notasi sebagai berikut: 𝑥 0 = 𝑐𝑡

𝑥1 = 𝑥

𝑥2 = 𝑦

𝑥3 = 𝑧

Vektor posisi dari suatu titik ruang – waktu adalah, sebagai berikut: 𝑹 = (𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) Dan juga dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑹 = (𝑥 0 , 𝒓), di mana r merupakan komponen ruang vektor R. Untuk mengetahui sifat matematis dari Ruang Minkowski, perlu diketahui elemen garisnya. Terdapat beberapa syarat untuk menentukan elemen garis pada Ruang Minkowski, yakni sebagai berikut: 1. Semua obyek dan peristiwa yang terjadi pada garis cahaya terjadi secara simultan. Karena matahari 8 menit yang lalu dan proxima centaury 4,2 tahun yang lalu terjadi secara bersamaan (isyaratnya sampai terjadi bersamaan), maka jaraknya adalah sama dengan nol. Dengan begitu “jarak” pada garis cahaya adalah sama dengan nol. 2. Jika jarak antara dua obyek yang selang komponen waktunya adalah nol, maka elemen garisnya haruslah tereduksi menjadi elemen garis dalam Ruang Euclides yang bila dinyatakan dalam Koordinat Kartesius menjadi:


𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2

14

… (1)

Berdasarkan kedua syarat di atas, dapat diperoleh dua kemungkinan elemen garis dari Ruang Minkowski yaitu: 𝑑𝑠 2 = 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑟 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑠 2 = −𝑐 2 𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑟 2

… (2)

Di mana 𝑑𝑟 ialah elemen garis dalam Ruang Euclides, 𝑑𝑟 2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 dan kecepatan cahaya ( 𝑐 ) ditambahkan untuk kesetaraan dimensi dari Sistem Internasional. Meskipun demikian sering dinyatakan 𝑐 = 1, sehingga 𝑐 2 𝑑𝑡 2 = 𝑑𝑡 2 dan nampak tidak ada perbedaan. Jika digunakan ketentuan pertama, elemen garis dalam Ruang Minkowski dapat ditulis lengkap menjadi: 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑡 2 − (𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 )

… (3)

Sebagai catatan, dalam menyatakan keempat vektor R dalam hubungan antara ruang dan waktu yang dinyatakan dalam persamaan (2) dan persamaan (3), digunakan bentuk spesifik inersia sebagai bahan acuan. Meskipun representasi dari hubungan komponen – komponen tersebut sesuai, akan tetapi belum tertata dengan baik saat menganggap bahwa vektor R adalah pilihan independent dari bentuk koordinat. Hal ini akan berlaku sama pada vektor r yang dianggap sebagai pilihan independent dari sumbu koordinat. Hubungan dari suatu himpunan vektor basis dapat dinyatakan melalui persamaan berikut: 𝑹 = ∑3𝜇=0 𝑥 0 𝑒𝜇 , di mana 𝑒0 merupakan suatu vektor bagian dari sumbu waktu dan 𝑒𝜇 , 𝜇 = 1,2,3 merupakan suatu himpunan dari vektor bagian vektor orthogonal dalam ruang tiga dimensi. Hal ini dapat diidentifikasi melalui bentuk sederhana


15

vektor bagian, yaitu i, j dan k dari bentuk suatu Koordinat Kartesius dimensi tiga. Perubahan bentuk akan berkorespondensi pada perubahan vektor basis {𝑒𝜇 } dan hal ini dapat tergantikan dengan transformasi koordinat 𝑥 𝜇 sehingga vektor R dibiarkan tanpa perubahan. Vektor R dapat dinyatakan dalam bentuk matriks kolom: 𝑥0 1 𝑹 = (𝑥 2 ) . 𝑥 𝑥3 Vektor posisi R pada ruang – waktu membentuk suatu sistem dimensi empat ruang vektor. Hal ini berguna untuk menggambarkan representasi dari ruang, akan tetapi karena tidak dapat dibuatnya suatu representasi yang baik dari keseluruhan dimensi empat maka dibuatlah suatu batasan pada ruang dua dimensi yang meliputi koordinat (𝑥 0 , 𝑥1 ) atau ruang tiga dimensi yang meliputi (𝑥 0 , 𝑥1 , 𝑥 2 ). Pembatasan representasi ini mungkin cukup mengingat pergerakan dalam satu atau dua dimensi. Representasi secara grafik dari ruang bagian digunakan sebagai acuan yang disebut sebagai Diagram Minkowski dan geometri dimensi empat ruang – waktu dari teori relativitas khusus disebut sebagai Ruang Minkowski.

Gambar 2.1: Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Tiga.

Gambar 2.2: Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Dua.


16

Pada diagram pertama, Gambar 2.1 sumbu 𝑋 dan sumbu 𝑌 yang ditonjolkan, sedangkan pada diagram kedua, Gambar 2.2 hanyalah sumbu 𝑋 yang ditonjolkan. Garis berarah dan sumbu koordinat menegaskan kerelatifan bentuk inersia yang diberikan. Pada kedua diagram, ditunjukkan kerucut cahaya depan dan kerucut cahaya belakang. Kerucut ini menegaskan kerelatifan pada titik ruang – waktu, akan tetapi hal ini sesuai dengan pilihan independen bentuk inersia. Kerucut cahaya depan menunjukan kepastian masa depan seperti yang ditunjukan oleh vektor 𝑹𝐴 . Kerucut cahaya belakang menegaskan kepastian masa lalu. Di samping itu, kerucut cahaya juga menegaskan mengenai titik yang relatif simultan. Vektor 𝑹𝐵 dipresentasikan dengan sebuah titik di mana titik tersebut berasal dari titik asal dan menunjukan bahwa ruang – waktu merupakan bagian dari masa depan dan masa lalu. Secara sederhana, dimensi empat Ruang Minkowski menggunakan Geometri Euclides dan sisipan pemahaman baru mengenai relativitas dari Teori Relativitas Einstein. Dengan gabungan ini, Ruang Minkowski menunjukan dengan jelas ranah kajian Geometri Euclides (∆𝑡 = 0) dan ranah tambahannya ∆𝑡 ≠ 0 pada Ruang Minkowski ini, terlihat hubungan antara geometri dimensi tiga Ruang Euclides dan Relativitas Einstein, yaitu sebagai: 4𝐷 = 3𝐷 + 𝑡. Geometri dimensi empat yang dimaksud di atas adalah Ruang Minkowski yang terdiri dari dimensi tiga Ruang Euclides dan t waktu, vektor tambahan keempat dari Minkowski yang mengacu pada kecepatan


17

cahaya c di mana 𝑐 ≤ 1, dan 𝑣 ≪ 𝑐 sehingga ketika vektor t dimanipulasi dengan c maka akan mengakibatkan kajian sistem yang sama dalam Sistem Internasional dengan ketiga vektor lainnya. Pada Ruang Minkowski telah dikenal suatu bangun yang merupakan bangun khas Ruang Minkowski itu sendiri yaitu Tesseract. Tesseract menurut Ruang Minkowski ini sendiri merupakan pergerakan sebuah bangun kubus pada selang waktu tertentu yang dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 2.3: Tesseract

Pada Gambar 2.3, jika garis putus – putus berarah menunjukan perubahan acuan kubus dari kubus bawah menuju kubus atas, maka dapat dikatakan bahwa Tesseract merupakan gambaran secara utuh dari perubahan tersebut.

D. Sistem Koordinat Kartesius Sebuah sistem koordinat terdiri dari empat elemen dasar, yaitu: titik asal, sumbu, arah positif sumbu dan vektor satuan sumbu.

1. Titik Asal


18

Pada bagian ini, akan ditentukan sebuah titik asal O. Jika diberikan suatu obyek, maka pilihan titik asal biasanya adalah bertepatan dengan suatu titik khusus seperti titik tengah dari perpotongan garis – garis.

2. Sumbu Pada bagian ini akan ditentukan suatu himpunan sumbu koordinat. Himpunan sumbu koordinat yang sederhana dikenal sebagai sumbu kartesius yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z. Pilihan himpunan sumbu ini dapat disesuaikan sesuai dengan obyek fisik yang hendak diamati. Sebagai contoh: ditentukan sumbu X sehingga garis terletak pada sumbu X seperti yang ditunjukkan pada gambar di samping. Setelah itu, setiap titik P dalam ruang S dapat diberi nilai (𝑋𝑃 , 𝑌𝑃 , 𝑍𝑃 )

yang merupakan

Koordinat

Kartesius dari titik P itu sendiri. Kumpulan titik – titik yang memiliki koordinat yang sama

dengan

𝑦𝑃

disebut

permukaan.

Himpunan titik – titik dalam ruang S yang memiliki nilai yang sama adalah 𝑌 = 𝑌𝑃 sehingga himpunan titik – titik tersebut adalah: 𝑆𝑌𝑃 = {(𝑋, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝑆 ∋ 𝑌 = 𝑌𝑃 }


19

Gambar 2.5: Tingkat Permukaan Ditetapkan Untuk Nilai Konstan 𝑌𝑝

Himpunan S merupakan suatu bidang, bidang XZ (Gambar 2.5) yang disebut tingkat konstan 𝑌𝑃 . Dengan demikian, koordinat y untuk setiap titik sebenarnya memberikan gambaran sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Y.

3. Arah Positif Sumbu Pilihan ketiga adalah menentukan arah yang positif untuk setiap sumbu koordinat. Akan ditunjukkan pilihan dengan simbol + sepanjang sumbu positif. Secara umum, Koordinat Kartesius yang dilukis dengan bidang XY sesuai dengan bidang kertas. Arah horizontal dari kiri ke kanan diberi nilai sumbu X positif dan vertikal dengan arah dari bawah ke atas diberi nilai sebagai sumbu Y positif. Dalam permasalahan fisika, kita dapat secara bebas memilih sumbu dan arah positif dengan cara apapun, pilihan tersebut disesuaikan dengan cara terbaik dalam menyelesaikan masalah yang ada. Masalah yang sangat sulit menggunakan pilihan konvensional dapat berubah menjadi lebih mudah untuk dipecahkan dengan membuat pilihan yang tepat pada sumbu.


20

4. Vektor Satuan Sumbu Setiap titik P dalam ruang merupakan suatu himpunan yang terdiri dari tiga buah vektor satuan (𝒊𝑝 , 𝒋𝑝 , 𝒌𝑝 ). Besar suatu vektor satuan adalah satu, yaitu: |𝒊𝑝 | = 1, |𝒋𝑝 | = 1, |𝒌𝑝 | = 1 Akan ditetapkan arah dari 𝒊𝑝 semakin meningkat sepanjang sumbu X menuju titik P. Sehingga dapat didefinisikan arah 𝒋𝑝 dan 𝒌𝑝 semakin meningkat sepanjang sumbu koordinat Y dan sumbu koordinat Z secara berturut – turut menuju titik P.


BAB III PENJELASAN MATEMATIS MENGENAI ANGGAPAN RUANG MINKOWSKI SEBAGAI GEOMETRI EUCLIDES DIMENSI EMPAT

Berdasarkan makna Ruang Minkowski dan kejanggalan seperti yang telah dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, berikut akan dibahas penjelasan beberapa sudut pandang lain terhadap Ruang Minkowski guna menunjukan dan memberikan penjelasan matematis terhadap kekeliruan anggapan Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides dimensi empat. . A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi Menurut artinya secara matematis, dimensi dapat didefinisikan sebagai jumlah arah perubahan yang dapat terjadi pada suatu sistem. Dengan kata lain, suatu dimensi n menggambarkan bahwa terdapat n arah dalam perubahannya yang terjadi bersamaan pada suatu sistem. Dalam hal ini banyaknya 𝑛 arah menekankan pada posisi mutlak perubahan itu terjadi pada suatu sistem yang digambarkan dengan pasti melalui vektor yang arahnya terdefinisi dengan jelas. Membahas mengenai sistem dimensi ini, kembali akan kita bahas mengenai Ruang Minkowski yang dipandang sebagai Geometri Euclides dimensi empat karena menggunakan sistem ruang tiga dimensi Geometri Euclides dan waktu t sebagai komponen – komponen vektornya. Mengacu pada sistem SI, komponen – komponen vektor Ruang Minkowski (𝑥 0 , 𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) dioperasikan sedemikian hingga memiliki besaran

21


22

SI yang sama, yaitu dengan menggunakan parameter 𝑐 kecepatan cahaya. Hal ini mengakibatkan besaran SI untuk vektor 𝑡 beralih dari [T] (Time) menjadi [𝐿]

[L] (Long) sebagai akibat bentuk 𝑐𝑡 di mana 𝑐𝑡 = [𝑇] [𝑇] = [𝐿]. Komponen vektor keempat 𝑥 0 ini dapat berlangsung dalam suatu sistem yang sama dengan vektor – vektor lainnya (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) akibat pengaruh parameter 𝑐. Akan tetapi, mengenai permasalahan ini, parameter yang digunakan pada dasarnya merupakan kecepatan sehingga saat dihubungkan terhadap waktu yang pada dasarnya merupakan komponen vektor ke empat yang ditambahkan maka nilai esensial dari waktu 𝑡 tersebut akan berubah sebagai akibat pengaruh penggunaan parameter 𝑐. Tabel Makna Esensial Waktu t. 𝑥 0 , 𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3

: Komponen vektor dimensi empat

𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧

: Komponen vektor dimensi empat

[𝑇], [𝐿], [𝐿], [𝐿]

: Komponen vektor dalam SI

𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧 [𝐿], [𝐿], [𝐿], [𝐿] 𝑡 merupakan bagian dari dimensi [𝐿] 𝑡 merupakan bagian dari dimensi [𝑇]

: Komponen vektor dengan penggunaan parameter pada t : Komponen vektor dalam SI setelah menggunakan parameter pada t : makna t yang diperoleh akibat pengaruh parameter : Makna esensial t

Pada bagian makna t yang diperoleh akibat pengaruh parameter, terlihat jelas bahwa dalam komponen – komponen vektornya memang menggunakan


23

waktu sebagai vektor keempat, akan tetapi pada aplikasinya tidak ada penggunaan waktu yang sebenarnya sebagai akibat pengaruh parameter 𝑐 yang mengubah esensi vektor 𝑡 sebagai waktu menjadi panjang. Karena sangatlah jelas bahwa tidak ada waktu yang merupakan panjang ([𝐿] ≠ [𝑇] dan 𝑡 bukan merupakan bagian dari dimensi [𝑇]). Dalam hal ini, memang terasa benar bahwa kuantitas cara perubahan yang ditampilkan oleh Ruang Minkowski adalah empat yaitu ditunjukkan melalui vektor 𝑥 0 , 𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 dengan 𝑥 0 = 𝑡, 𝑥1 = 𝑥, 𝑥 2 = 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 3 = 𝑧. Akan tetapi, jika dilihat dari arah perubahan yang dapat terjadi pada sistem dimensi tersebut, komponen – komponen yang tersebutkan tidak terjelaskan secara rinci dan tepat mengenai arah pastinya seperti yang dapat dilihat dalam representasi grafik Ruang Minkowski (Lihat Gambar 2.1 dan Gambar 2.2). Selain itu, arah yang tidak pasti tersebut lebih digambarkan oleh 𝑥 0 = 𝑡, seperti yang diungkapkan oleh Minkowski sendiri melalui materi presentasinya saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan Jerman, Cologne, 21 september 1908 dengan nenyatakan bahwa: “The time axis can hence be given a completely arbitrary direction towards the upper half of world, 𝑡 > 0” [22] Pernyataan tersebut di atas menyatakan bahwa sumbu waktu dapat diberikan arah sembarang terhadap setengah bagian atas dunia, dengan dunia merupakan sebutan Minkowski untuk ruangnya. Jika berbicara mengenai arah yang sembarang, tanpa adanya spesifikasi yang jelas, maka akan sangat mudah dalam membuat geometri dimensi empat itu sendiri. Akan tetapi, ketika berbicara


24

mengenai geometri dengan anggapan Ruang Minkowski sebagai lanjutan Ruang Euclides, “Apakah terdapat arah sembarang tanpa memiliki spesifikasi yang jelas dari komponen – komponen vektor yang ditampilkan Euclides?” Tentu saja tidak, ketiga komponen vektor yang ditampilkan oleh Euclides tertata rapi dengan kejelasan arah dan spesifikasi rinci dari ketiga komponen vektor (𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) tersebut (lihat Gambar 1.2). Apabila dipandang sebagai lanjutan Geometri Euclides maka Ruang Minkowski harus dapat terjelaskan menurut hukum dasar Geometri Euclides dan bahkan menambahkan ataupun memperbaikinya bukan menguranginya begitu saja. Pada hakikatnya, mengikuti definisi ruang dan waktu, keduanya adalah independen untuk masing – masing dan hanya dapat berdampingan tetapi tidak dapat bersatu ataupun disatukan. Menyetujui pernyataan Minkowski juga dalam materi presentasinya (Cologne: 1908): “Nobody has ever noticed a place except at a time, or a time except at a place”. [22] Memang benar bahwa tak seorangpun pernah melihat tempat kecuali pada suatu waktu atau waktu pada suatu tempat. Akan tetapi hal tersebut tidaklah berarti bahwa waktu dan ruang dapat dijadikan satu dalam hal sistem tinjauan. Ruang dan waktu dapat berdampingan akan tetapi kedua hal tersebut tidak dapat disatukan atau dianggap sama. Waktu dapat terjadi dalam ruang akan tetapi ruang tidak dapat terjadi dalam waktu (hal ini dikarenakan ruang hanya dapat terjadi dalam selang waktu


25

tertentu, dengan kata lain saat tidak terdapat selang waktu maka tidak terdapat ruang). Disisi lain, ruang dapat ditinjau menurut waktu dan waktu dapat ditinjau menurut ruang. Pendapat tersebut di atas dapat dijadikan pernyataan tautologi sebagai berikut: “Jika waktu terdapat pada suatu sistem maka ruang terdapat pada sistem juga atau jika ruang terdapat pada suatu sistem maka waktu terdapat pada sistem tersebut juga” (𝒕 → 𝑹) ∨ (𝑹 → 𝒕). “Jika Ruang terdapat dalam suatu sistem dan waktu terdapat dalam sistem tersebut juga maka ruang terdapat dalam suatu sistem atau waktu terdapat dalam suatu sistem” (𝑹 ∧ 𝒕) → (𝑹 ∨ 𝒕). Kedua pernyataan tersebut selalu bernilai benar, sehingga untuk pernyataan “ruang dan waktu terjadi dalam suatu sistem (𝒕 ∧ 𝑹 ) adalah selalu bernilai salah. Pernyataan tersebut akan dibuktikan melalui pembuktian berikut:

Pernyataan Pertama 1.

(𝒕 → 𝑹) ∨ (𝑹 → 𝒕)

2.

̅ ∨ 𝒕) (𝒕̅ ∨ 𝑹) ∧ (𝑹

1, ekuivalen

3.

̅ ∨ 𝑹) (𝒕̅ ∨ 𝒕) ∨ (𝑹

2, assosiatif

4.

1∨1

5.

1

Diketahui

4, sifat disjungsi

Jadi, terbukti bahwa pernyataan pertama adalah benar.


26

Pernyataan Kedua 1.

(𝑹 ∧ 𝒕) → (𝑹 ∨ 𝒕)

2.

̅ ∨ 𝒕̅) ∨ (𝑹 ∨ 𝒕) (𝑹

1, ekuivalen

3.

̅ ∨ 𝑹) ∨ (𝒕̅ ∨ 𝒕) (𝑹

2, assosiatif

4.

1∨1

5.

1

Diketahui

4, sifat disjungsi

Jadi, terbukti bahwa pernyataan kedua adalah benar.

Pernyataan Simpulan Tabel kebenaran 𝒕 ∧ 𝑹 𝒕 1 1 0 0

𝑹 1 0 1 0

𝒕∧𝑹 1 0 0 0

Dapat dilihat pada tabel kebenaran diatas bahwa nilai 𝒕 ∧ 𝑹 akan selalu salah kecuali untuk 𝒕 = 𝑹 = 𝟏. Dalam hal ini, untuk 𝒕 = 𝑹 = 𝟏 meskipun bernilai benar, akan mengakibatkan pernyataan kedua yang telah terbukti tautologi bernilai salah. Maka dapat dikatakan bahwa 𝒕 = 𝑹 = 𝟏 juga tidak memenuhi pernyataan yang diharuskan. Dengan kata lain, 𝒕 ∧ 𝑹 selalu bernilai salah. Jadi, terbukti bahwa 𝒕 ∧ 𝑹 bernilai salah. Karena terbukti bahwa 𝒕 ∧ 𝑹 bernilai salah maka dapat disimpulkan bahwa ruang dan waktu tidaklah dapat dijadikan satu atau dianggap sama sebagai satu sistem acuan.


27

Pernyataan tersebut dapat dikatakan sebagai suatu bentuk pernyataan yang selaras dengan pernyataan Stephen Hawking dalam The Grand Design. [17] Stephen Hawking menyatakan bahwa pada kondisi awal mula semesta sesaat sebelum terjadinya Big Bang, yang ada hanyalah ruang tanpa adanya waktu. Jika ada waktu pada kondisi awal mula semesta, pada keadaan sebelum Big Bang, maka apa yang dilakukan oleh waktu? Lebih lanjut dijelaskan bahwa dalam kondisi dimensi empat ruang dan waktu (Ruang Minkowski) dalam hal keadaan Big Bang tentu saja waktu akan memiliki arah kedepan dan kebelakang. Dengan keadaan ini, maka apa yang terjadi saat waktu yang ada sebelum terjadinya Big Bang? Sedangkan ruang maupun semesta belum terbentuk saat belum terjadi Big Bang. Mendalami keadaan tersebut, lebih jauh lagi kita akan mempertanyakan bahwa bagaimana waktu bisa ada jika belum ada pembentukan ruang dan pendukungnya seperti gravitasi dan ruang. Jadi, terbukti bahwa dalam suatu bentuk sistem dimensi waktu tidak dapat dianggap sama dengan vektor ruang lain.

B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat Koordinat Kartesius merupakan salah satu bentuk representasi grafik yang tepat untuk menggambarkan sistem dimensi yang ditampilkan oleh Geometri Euclides. Seperti halnya yang telah diketahui, Koordinat Kartesius menampilkan dengan sangat jelas posisi, jumlah dan arah vektor dari komponen – komponen vektor yang terjelaskan dalam sistem dimensi. Sebagai contoh, sistem koordinat bidang 𝑋𝑌 dan sistem koordinat ruang 𝑋𝑌𝑍, berturut –turut


28

sebagai representasi grafik yang jelas dalam menggambarkan sistem geometri dimensi dua dan sistem geometri dimensi tiga yang ditampilkan oleh Geometri Euclides (lihat Gambar 1.1 dan gambar 1.2). Berbicara mengenai sistem koordinat ini, kembali akan dibahas mengenai sistem dimensi empat Ruang Minkowski yang dianggap sebagai lanjutan dari Geometri Euclides. Berdasarkan penjelasan Minkowski yang luar biasa, jelas kita sadari bahwa Geometri Euclides berada dalam ranah kajian ∆𝑡 = 0. Dengan tanpa mempermasalahkan kelayakan keberadaan 𝑡 dalam suatu sistem seperti ketiga komponen vektor Ruang Euclides, berikut akan dibahas mengenai representasi grafik Ruang Minkowski (lihat Gambar 2.1 dan Gambar 2.2). Melalui sketsa tersebut, terlihat jelas bahwa pada titik asal O atau saat ∆𝑡 = 0 merupakan ranah kajian dari Geometri Euclides yang telah kia ketahui bersama, sedangkan itu untuk bagian yang dinamakan “future” dan “past” masing – masing merupakan keadaan lainnya yang digambarkan Minkowski saat ∆𝑡 > 0 dan ∆𝑡 < 0 sebagai tambahannya dalam upaya melengkapkan penalaran pada Geometri Euclides. Ruang Minkowski hanyalah merupakan penerapan teori relativitas pada Geometri Euclides yang mengakibatkan kelengkapan dari kajian Geometri Euclides itu sendiri, yaitu dari ∆𝑡 = 0 menjadi ∆𝑡 ≠ 0. Dalam artian tersebut di atas maka tentu saja secara pasti terdapat geometri dimensi empat yang sebenarnya yang merupakan lanjutan dari Geometri Euclides, terkhususnya saat


29

benda diam (∆𝑡 = 0) dan tentu saja dimensi empat itu bukanlah merupakan suatu bentuk Ruang Minkowski. Seperti halnya dengan Diagram Minkowski di atas, melalui materi representasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan jerman, Cologne, 21 september 1908, Minkowski menyatakan bahwa: “We now want to introduce this fundamental axiom: “The substance existing at any world-point may always, with the appropriate fixation of space and time, be looked upon as at rest.” The axiom signifies that at every world-point the expression 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2 always has a positive value, or, what comes to the same, that any velocity 𝑣 always proves less than 𝑐. [22] Dengan fokus utama pada ekspresi dunia yang dinyatakan sebagai 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2 , dengan kata lain jika 𝜏 merupakan titik dunia, maka akan diperoleh persamaan elemen titik dalam Ruang Minkowski yang bila dinyatakan dalam Koordinat Kartesius akan menjadi: 𝑑𝜏 2 = 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2 . Berdasarkan persamaan elemen titik dunia tersebut, maka dalam Ruang Minkowski (dimensi empat) akan diperoleh persamaan: 𝑑𝜏 2 = −𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2

Untuk ∆𝑡 = 0

Dan juga persamaan: 𝑑𝜏 2 = 𝑐 2 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2

Untuk ∆𝑡 ≠ 0

Kita ketahui bersama bahwa 𝑑𝜏 2 merupakan titik dunia (dalam bentuk Koordinat Kartesius) dari Ruang Minkowski dimensi empat, akan tetapi untuk ∆𝑡 = 0 hal ini adalah sama dengan titik untuk Ruang Euclides (dimensi tiga),


30

dan untuk ∆𝑡 ≠ 0 tetaplah merupakan dimensi empat Ruang Minkowski. Dengan kata lain bahwa tidak ada dimensi empat dalam keadaan tetap atau diam (∆𝑡 = 0) karena hal ini pada Ruang Minkowski merupakan dimensi tiga Ruang Euclides.

C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides Geometri Euclides merupakan gambaran dan penjelasan bangun – bangun geometri dalam peranan ukuran yang didasari pada definisi – definisi, postulat, aksioma dan teorema – teorema. Membahas Geometri Euclides ini, jika dihubungkan dengan keadaan 𝑡 (time) yang diperkenalkan oleh Minkowski, maka akan terdapat beberapa kerancuan yang dapat dilihat. Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa setiap sistem dimensi memiliki elemen khususnya masing – masing, yaitu dimensi satu adalah garis, dimensi dua adalah bidang dan dimensi tiga adalah ruang. Di mana elemen untuk dimensi nol adalah titik, untuk dimensi satu adalah garis, untuk dimensi dua adalah bidang dan untuk dimensi tiga adalah ruang. Disisi lain, Minkowski menyebutkan elemen khusus dimensi empat sebagai “dunia” seperti yang dipaparkannya pada materi presentasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan Jerman, Cologne, 21 september 1908: “But I respect the dogma that space and time each have an independent meaning. I will call a point of space at a certain point of time, i. e. a system of values x,y,z,t, a world-point.” [22]


31

Berdasarkan pemahaman dan penerimaan Ruang Minkowski sebagai geometri dimensi empat maka hubungan yang terjelaskan sebelumnya dapat digambarkan sebagai berikut:

Dimensi 0

Dimensi 1

Dimensi 2

Dimensi 3

Dimensi 4

Gambar 3.1: Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi

Perhatikan gambar tersebut di atas. Kerancuan yang disinggung sebelumnya dapat dijelaskan sebagai berikut. Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides dimensi empat didefinisikan sebagai pergerakan Ruang Euclides dalam waktu tertentu. Disamping itu, dalam Geometri Euclides tidak digunakan waktu sebagai elemen vektornya akan tetapi dalam sistem dimensinya dapat dilihat seolah – olah bahwa (dengan catatan kita hilangkan makna dari tiap elemen khusus dimensi):

Gambar 3.2: Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi

“titik (sebagai elemen khusus dimensi nol) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk garis. Garis (sebagai elemen khusus dimensi


32

satu) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk bidang. Bidang (sebagai elemen khusus dimensi dua) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk ruang. Ruang (sebagai elemen khusus dimensi tiga) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk dunia. Di mana dunia merupakan elemen khusus dari dimensi empat (perhatikan Gambar 3.2). Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan dalam bentuk pernyataan lain yang rancu sebagai berikut: elemen khusus dimensi nol adalah noktah, elemen khusus dari dimensi satu adalah garis yang dapat dipandang sebagai pergerakan noktah pada waktu tertentu, elemen khusus dari dimensi dua adalah bidang yang dapat dipandang sebagai pergerakan garis pada waktu tertentu, elemen khusus dari dimensi tiga adalah ruang yang dapat dipandang sebagai pergerakan bidang dalam waktu tertentu dan dimensi empat adalah dunia yang dapat dipandang sebagai pergerakan ruang dalam waktu tertentu. Melalui pernyataan tersebut dalam hal dimensi satu, dimensi dua dan dimensi tiga, Geometri Euclides tidak mengajarkan dan membenarkan hal tersebut. Berdasarkan pernyataan di atas, berkaitan dengan komponen t waktu dianggap sebagai suatu kerancuan yang fatal dikarenakan secara definisi titik merupakan simbol dari noktah di mana noktah hanyalah ada di dalam pemikiran kita (abstrak). Dengan simpulan tersebut di atas maka diperoleh bahwa jumlah n dimensi berbanding lurus dan setimbang terhadap jumlah n waktu, dimana mengacu pada definisi sistem dimensi maka ruang–waktu tersebut haruslah


33

memiliki arah yang berbeda. Dilain pihak, berdasarkan fakta kita ketahui bahwa waktu hanyalah memiliki dua arah “future” dan “past”. Berbicara mengenai makna essensial yang dimiliki oleh elemen – elemen khusus dimensi tersebut, berikut akan dijelaskan dan dicontohkan melalui elemen khusus dimensi dua. Dalam Geometri Euclides, elemen khusus dimensi dua adalah bidang dimana bidang yang dimaksud adalah sisi tertutup yang membatasi bangun (kurva) tanpa memiliki luas. Dalam bidang hanya terdapat luas permukaan bidang dan tidak ada luas bidang. Dalam hal komponen vektor t waktu, bidang dapat dipahami sebagai pergerakan garis dalam suatu waktu tertentu. Dalam hal ini, dikarenakan pergerakan garis maka bidang yang dimaksud adalah keseluruhan bidang termasuk permukaan bidang itu sendiri sehingga luas bidang adalah sama dengan luas permukaan bidang itu sendiri. Dari hasil gambaran pemahaman yang kontradiksi ini, terbukti bahwa komponen vektor t hadir sebagai kerancuan yang dapat merusak makna essensial dari elemen dimensi itu sendiri. Berdasarkan penjelasan kerancuan tersebut di atas maka dapat dinyatakan bahwa komponen vektor t waktu hanyalah dapat digunakan sebagai tinjauan tambahan dalam Geometri Euclides, sebagai pelengkap dan arah kejelasan penerapan Relativitas Einstein. Dengan kata lain, Ruang Minkowski tidaklah tepat dijadikan sebagai Geometri Euclides dimensi empat.


34

D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein Matematika merupakan proyeksi dasar, abstraksi pemikiran dan pemahaman manusia mengenai ukuran bumi dan semesta. Secara khusus, dalam penelitian dan pembahasannya fisika menggunakan matematika sebagai alat bantu untuk memahami, menjelaskan dan menganalisis obyek kajian fisika tersebut. Pada teori relativitas terdapat dua postulat yang mendasarinya yang diungkapkan oleh Albert Einstein, yaitu: Postulat pertama (Asas Relativitas) Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya. Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya) Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat.

Postulat pertama menjelaskan bahwa tidak ada acuan inersial (tidak diam) yang istimewa pada ranah kajian fisika yang memiliki bentuk istimewa yang berbeda dari pengamatan kerangka acuan lain. Semua kerangka acuan adalah sama untuk merumuskan hukum fisika. Sedangkan postulat kedua menyatakan bahwa kecepatan cahaya bersifat invariant di mana di dalam ruang hampa kecepatan cahaya yang diukur oleh semua pengamat inersia adalah:


𝑐 = 1√𝜀0 𝜇0 = 3 × 108

35

𝑚 𝑠

yang tidak bergantung pada gerakan sumbernya. Berdasarkan penjelasan singkat tersebut di atas maka dapat disimpulkan bahwa Einstein menyadari posisi relativitas sebagai bagian fisika yang menerapkan dan menggunakan matematika sebagai dasar memahami gejala alam di sekitar kita. Kerangka acuan inersial yang dimaksudkan Einstein di sini adalah geometri (khususnya sistem dimensi), di mana pada postulat pertama akan memberikan makna yang sama dengan pernyataan bahwa: “untuk setiap dimensi n yang bersifat inersial antara satu dengan yang lainnya akan memiliki bentuk persamaan yang sama pada pada hukum – hukum fisika”. Di samping itu, secara lebih lanjut dijelaskan bahwa untuk setiap kerangka acuan tersebut dalam hal fisika sebagai penerapannya maka kerangka acuan tersebut secara pasti akan diamati oleh pengamat. Dalam hal pengamatan ini, ditekankan oleh Einstein bahwa untuk setiap pengamat yang melakukan pengamatan terhadap setiap kerangka acuan tersebut memiliki kecepatan yang sama besar dalam ruang hampa dan tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat itu sendiri. Berbicara mengenai teori relativitas ini, apabila dikaitkan dengan Ruang Minkowski, maka Ruang Minkowski dapat diandang sebagai salah satu ruang terapan teori relativitas pada dimensi tiga. Hal ini dikarenakan pada Ruang Minkowski digunakan Ruang Euclides (𝑥1 𝑥 2 𝑥 3 ) sebagai kerangka acuannya dengan 𝑐 (= kecepatan cahaya) sebagai parameter pengamatannya. Secara jelas


36

hal ini menunjukkan bahwa Ruang Minkowski bukanlah suatu bentuk geometri dimensi empat. Apabila dianggap benar bahwa Ruang Minkowski merupakan suatu geometri dimensi empat maka Ruang Minkowski berhak untuk dipandang sebagai suatu kerangka acuan yang layak diamati. Dalam hal pengamatan kerangka acuan tersebut maka layaklah Ruang Minkowski ini diamati perpindahan, gerak, waktu, dan relativitasnya. Tentu saja apabila hal tersebut dilakukan maka akan terjadi kerancuan, terjadi gerak ganda yang menjadi suatu kemustahilan. Hal ini akan dimisalkan pada saat kita mencoba mengamati gerak suatu kerangka acuan. Anggap dimensi empat Ruang Minkowski sebagai suatu kerangka acuan dan akan diamati geraknya. Kerangka acuan yang berada pada waktu tertentu tidak mungkin digerakkan ataupun diamati pergerakannya dikarenakan setiap pergerakan tentu saja akan bergantung pada waktu. Akan menjadi suatu kemustahilan apabila benda yang berada pada suatu waktu tertentu bergerak dalam waktu tertentu pula. Andaikan hal tersebut mungkin, maka tentu saja kita secara mudah dapat menghitung gerak geometri dimensi empat pada suatu selang waktu tertentu. Sebagai contoh: “Diketahui diketahui suatu titik dunia (dimensi empat) terletak pada 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑧 = 1, 𝑡 = 1 (di mana t = waktu) bergerak dari barat menuju timur pada saat 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 4 sejauh 5 meter. Hitunglah kecepatan titik dunia tersebut!”


37

Seperti pada contoh, diketahui bahwa suatu titik dunia yang dapat diartikan sebagai titik 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,1,1) pada saat 𝑡 = 1𝑠 bergerak pada selang waktu ∆𝑡 = 4 − 0 = 4𝑠 dengan 𝑠 = 5𝑚. Tentuk akan menjadi suatu hal yang sangat mustahil bahwa benda pada saat tertentu (𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑡 = 1𝑠) dapat bergerak selama selang waktu tertentu. Jadi terbukti bahwa Ruang Minkowski bukanlah merupakan bentuk Geometri Euclides dimensi empat, akan tetapi Ruang Minkowski merupakan Ruang pemahaman dan penerapan Teori Relativitas Einstein. Berdasarkan analisah dari beberapa kajian ilmu lain seperti sistem dimensi, sistem koordinat, Teori Relativitas Einstein dan Geometri Euclides seperti yang telah diuraikan di atas maka dapat disimpulkan bahwa Ruang Minkowski adalah teori dan pemahaman yang salah jika dianggap sebagai Geometri Euclides dimensi empat, sebaliknya Ruang Minkowski adalah teori dan pemahaman yang benar jika diposisikan dan dipahami sebagai pelengkap kajian Ruang Euclides. Kelengkapan yang dimaksud ini adalah Ruang Minkowski melengkapi kajian dan bahasan Ruang Euclides dalam hal kerangka acuan geometris yang inersia. Secara lengkap, posisi Ruang Euclides terletak pada saat ∆𝑡 = 0 (benda diam) dan Ruang Minkowki terletak pada saat ∆𝑡 ≠ 0 (benda bergerak dengan kecepatan tetap).

Gambar 3.3: Posisi Ruang Euclides dan Ruang Minkowski pada Dimensi Tiga


BAB IV SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA DIMENSI EMPAT

Berdasarkan pembahasan bab sebelumnya, Ruang Minkowski bukan suatu bentuk Geometri Euclides dimensi empat melainkan suatu bentuk ruang pelengkap dari Ruang Euclides dalam hal kajian kerangka acuan inersia. Diketahui pula bahwa pada Sistem dimensi Geometri Euclides, kajian geometris kerangka acuannya adalah saat keadaan diam (∆𝑡 = 0). Lebih lanjut akan dibahas bentuk sistem Koordinat Kartesius Geometri Euclides dimensi empat dan sifat – sifatnya. Untuk membahas permasalahan ini, maka terlebih dahulu akan dibahas sistem dimensi Geometri Euclides itu sendiri. Sistem dimensi Geometri Euclides adalah bagian kajian Geometri Euclides yang mengkaji sistem dimensi baik dimensi dua maupun dimensi tiga dengan penjabaran dan analisis komponen sifat – sifat umum maupun khusus dari masing – masing sistem dimensi tersebut. Adapun dalam penjabarannya Sistem dimensi Geometri Euclides dibantu oleh sistem koordinat untuk merepresentasikan secara grafis (geometri analitik) komponen sifat umum maupun khusus tersebut agar lebih jelas dan mudah dipahami. Berdasarkan pendalaman dari peneliti, dalam keberadaan Sistem dimensi Geometri Euclides pada setiap sistem dimensi baik geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga, semua sifat berawal dari keberadaan sistem koordinat yang mewakili sistem dimensi tersebut yang didefinisikan sebagai jumlah arah di mana terjadi perubahan dalam suatu sistem.

38


39

Melalui keberadaan sistem koordinat tersebut munculah beberapa definisi yang disepakati ataupun dijabarkan sebagai suatu bentuk umum dari sistem dimensi tersebut. Dengan menggunakan definisi tersebut sebagai dasar kajian, maka dilakukan analisis lanjut yang kemudian digunakan untuk menentukan sifat – sifatnya. Mengikuti pola pikir tersebut di atas, maka pada kajian pembahasan pada bab ini akan dimulai dengan penjabaran bentuk umum dari Geometri Euclides dimensi empat, kemudian akan dilanjutkan dengan analisis lanjut untuk menentukan sifat – sifatnya. Geometri dimensi empat ini merupakan geometri dimensi empat lanjutan dari bagian Geometri Euclides. Sebagai lanjutan dari Geometri Euclides maka geometri dimensi empat ini haruslah sesuai dengan dasar – dasar yang ada pada Geometri Euclides dengan hierarkis yang sesuai dengan Geometri Euclides juga. Secara umum, ketika mendalami Geometri Euclides khususnya dalam kajian sistem dimensi (kajian analitik). Kita sadar bahwa sistem dimensi dimulai dengan sistem koordinat sebagai representasi grafis dari sistem dimensi tersebut. Sebagai contoh, sistem koordinat XY digunakan untuk representasi grafis dari sistem geometri dimensi dua dan sistem koordinat XYZ digunakan untuk representasi grafis dari sistem geometri dimensi tiga. Sistem koordinat yang akan diperkenalkan dan dibahas adalah sistem Koordinat Kartesius. Beranjak dari sistem koordinat tersebut, kemudian dilanjutkan dengan penentuan elemen khusus dimensi tersebut. Seperti pada Sistem dimensi Geometri Euclides, “bidang“ merupakan elemen khusus dari sistem geometri dimensi dua dan “ruang“ merupakan elemen


40

khusus dari sistem geometri dimensi tiga. Ketika sistem koordinat dan elemen khusus telah ditentukan, maka selanjutnya akan dicontohkan suatu ilustrasi penggunaan sistem koordinat dalam menentukan posisi titik. Dalam hal ini, diketahui pula bahwa contoh ilustrasi penggunaan sistem koordinat geometri dimensi dua membentuk garis – garis bayang yang berbentuk persegi panjang dan juga pada sistem koordinat geometri dimensi tiga membentuk garis – garis bayang yang berbentuk balok, di mana kedua bangun tersebut merupakan salah satu bentuk elemen khusus dari masing – masing sistem dimensi. Beranjak dari alur pola pikir dan pendalaman di atas, maka dalam penentuan geometri dimensi empat ini akan dimulai dengan penentuan sistem koordinat dimensi empat itu sendiri (sistem Koordinat Kartesius). Setelah ditemukan dan ditentukan sistem koordinat dimensi empat itu sendiri, maka akan dilanjutkan dengan contoh ilustrasi penggunaan sistem koordinat geometri dimensi empat dalam menentukan posisi titik di mana garis – garis bayang yang terbentuk akan membentuk suatu bangun elemen khusus dimensi empat tersebut. Secara keseluruhan, dari penemuan dan penentuan di atas maka sifat – sifat ataupun bentuk umum dari Geometri Euclides dimensi empat khususnya dalam hal representasi sistem koordinat (Koordinat Kartesius) telah ditampilkan dan terjelaskan.


41

A. Sistem Koordinat Kartesius Sistem koordinat dalam kaitannya dengan sistem dimensi merupakan suatu bentuk wadah ataupun aturan dasar dalam representasi sistem dimensi secara grafis. Pada sistem Koordinat Kartesius, sistem koordinat ini menggunakan teknik yang lebih memperhatikan ukuran panjang dari masing – masing vektor yang ada dalam suatu keseluruhan sistem dimensi tersebut sebagai bagian penting dalam hal penentuan posisi titik yang kemudian dapat dikembangkan menjadi bentuk elemen khusus lainnya. Untuk setiap geometri sistem dimensi baik geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga memiliki perbandingan yang sama dengan jumlah vektor – vektor arah pada sistem koordinatnya. Untuk sistem dua dimensi memiliki dua buah vektor arah pada sistem koordinatnya yaitu vektor x dan vektor y, dan untuk sistem tiga dimensi memiliki tiga buah vektor arah pada sistem koordinatnya yaitu vektor x, vektor y dan vektor z. Di samping hal tersebut di atas, dilihat dari definisinya sistem dimensi dapat dikatakan sebagai jumlah perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem, dimana setiap perubahan tersebut dapat direpresentasikan oleh suatu vektor arah. Oleh sebab itu, untuk mendapatkan ataupun memperoleh bentuk sistem koordinat geometri dimensi empat dibutuhkan empat buah vektor yang berlainan arah. Dimisalkan keempat vektor tersebut adalah 𝑒1 = 𝑥, 𝑒2 = 𝑦, 𝑒3 = 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑒4 = 𝑤. Ketika vektor – vektor arah ditentukan untuk menjadi bagian dari suatu bentuk sistem koordinat geometri dimensi empat yang utuh, permasalahan selanjutnya adalah bentuk tatanan keempat vektor arah tersebut dalam sistem.


42

Merujuk pada sistem Koordinat Kartesius yang telah ada, baik geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga terlihat bahwa setiap vektor arah yang ada membentuk suatu sistem koordinat yang utuh yang membagi sistem tersebut menjadi beberapa bagian sistem yang kongruen. Pada sistem Koordinat Kartesius dimensi dua, sistem dimensi terbagi menjadi empat bagian yang sama dan juga pada sistem Koordinat Kartesius dimensi tiga, sistem dimensi terbagi menjadi delapan bagian yang sama. Oleh sebab itu, dalam hal sistem Koordinat Kartesius dimensi empat, keempat vektor arah 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 𝑑𝑎𝑛 𝑒4 haruslah membentuk suatu ruang sistem yang dapat terbagi menjadi beberapa bagian sistem yang sama. Berdasarkan permasalahan bentukan vektor arah dengan bagian sistem yang sama, peneliti terinspirasi dengan bentukan meja biasa. Seperti yang diketahui bahwa jumlah kaki meja biasa yang berfungsi sebagai tumpuan meja adalah sebanyak empat buah. Jika dianggap kaki meja tersebut sebagai keempat vektor arah tersebut. Keempat kaki meja tersebut jika disilangkan sehingga saling berpotongan pada salah satu titik pusat tertentu maka titik pusat tersebut dapat dikatakan sebagai titik pusat vektor (titik asal). Dalam hal bagian sistem yang kongruen, kondisi ini akan memaksakan keadaan kaki meja sebelum disilangkan haruslah sama panjang dengan panjang dan lebar meja itu sendiri. Dari keadaan tersebut maka terbentuklah suatu bentuk riil dari sistem koordinat kartesius dimensi empat yang disusun dalam suatu bentuk dimensi tiga. Dalam hal representasi inspirasi tersebut di atas ke dalam bentuk matematis, keadaan tersebut dapat direpresentasikan melalui perpaduan suatu bentuk kubus dengan


43

diagonal – diagonal ruangnya. Dengan keadaan diagonal ruang kubus adalah vektor – vektor arahnya dan titik persekutuan diagonal ruang tersebut adalah titik pusat (titik asal) sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat tersebut.

Gambar 4.1: Meja Biasa

Gambar 4.2: Meja Biasa Dengan Keadaan Yang Diinginkan

Gambar 4.4: Sistem Koordinat Dimensi Empat

Gambar 4.3: Vektor Arah Dalam Kubus

Berdasarkan keadaan dan bentuk dari representasi di atas, maka dapat dapat disimpulkan bahwa bentuk terakhir di atas (Gambar 4.4) merupakan bentuk dari suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat. Secara singkat, sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat dapat di definisikan sebagai berikut.


44

Definisi 1: Sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat adalah suatu sistem Koordinat Kartesius yang terbentuk dari empat buah vektor berlainan

arah dengan besaran pokok sama yang terjadi dalam suatu sistem melalui suatu titik asal tertentu. Lebih lanjut, elemen khusus geometri dimensi empat ini dinamakan sebagai “semesta”. Semesta dapat di definisikan sebagai berikut: Definisi 2:

Semesta adalah himpunan dari beberapa ruang berbeda yang terletak dalam suatu sistem yang sama. Lebih lanjut berikut akan ditunjukkan beberapa sifat lain dari sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat. 1. Besar sudut antar vektor yang berdekatan. a. Diketahui: Gambar 4.5 : Sistem Koordinat Geometri Dimensi Empat pada Kubus ABCD.EFGH b. Akan Dicari: ∠𝐵𝑂𝐶 =? c. Penyelesaian:


Gambar 4.5: Sistem Koordinat Geometri Dimensi Empat

Gambar 4.6: Segitiga BOC

No Pernyataan 1 2

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =

√3 2

2

3

4 5 6 7

𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) =

45

Alasan Diketahui pada gambar Diketahui pada gambar

2

√3 √3 ( 2 ) + ( 2 ) − 12

Aturan Cosinus

√3 √3 2( 2 )( 2 )

𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) =

1 3

𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶) = 70.5287793655093 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐶 ) ≈ 70.5 ∠𝐵𝑂𝐶 = 70,50

3 4 5

Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor – vektor yang berdekatan pada sistem koordinat kartesius dimensi empat adalah 70,50 Sifat 2 : Sudut yang dibentuk oleh garis – garis vektor yang berdekatan pada

suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan 70,50 .


46

2. Besar sudut antar vektor yang berhadapan. a. Diketahui: Gambar 4.7 : sistem koordinat geometri dimensi empat pada suatu kubus. b. Akan dicari: ∠𝐵𝑂𝐷 =? c. Penyelesaian:


Gambar 4.8: Segitiga BOD

No Pernyataan 1

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1

2

𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =

3

𝐵𝐷 = √2 2

4

5 6 7 8

𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) =

√3 2

Alasan Diketahui pada gambar Diketahui pada gambar Diketahui pada gambar

2

2 √3 √3 ( 2 ) + ( 2 ) − √2

√3 √3 2( 2 )( 2 )

1 𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) = (− ) 3 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) = 109.4712206344907 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵𝑂𝐷) ≈ 109.5 ∠𝐵𝑂𝐷 = 109,50

Aturan Cosinus

4 5 6


47

Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor – vektor yang berhadapan pada sistem koordinat – wxyz adalah 109,50 Sifat 3 : Besar sudut antar garis – garis vektor yang berhadapan pada suatu

koordinat dimensi empat adalah sama dengan 109,50 .

B. Koordinat Bidang Mengacu pada bentuk sistem bagian yang kongruen, vektor – vektor arah pada sistem tiga dimensi membentuk bidang vektor (bidang koordinat) agar dapat terlihat jelas sistem bagian yang terbentuk tersebut. Dengan kondisi yang sama tersebut, maka akan dilakukan hal yang sama pada vektor – vektor koordinat sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat. Adapun pada suatu sistem koordinat dimensi empat dapat membentuk enam buah bidang koordinat, yaitu: bidang koordinat wx, bidang koordinat xy, bidang koordinat yz, bidang koordinat wz, bidang koordinat wy dan bidang koordinat xz seperti yang ditampilkan pada gambar berikut.

Gambar 4.9: Bidang Koordinat WX

Gambar 4.10: Bidang Koordinat XY


Gambar 4.11: Bidang Koordinat YZ

Gambar 4.12: Bidang Koordinat WZ

Gambar 4.13: Bidang Koordinat WY

Gambar 4.14: Bidang Koordinat XZ

48

Hasil bentukan kondisi ini secara keseluruhan dapat direpresentasikan melalui gambar berikut.

Gambar 4.15: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat

Gambar 4.16: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang Vektornya


Gambar 4.18: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat dan Vektor Semu

49

Gambar 4.17: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang Vektornya dan Vektor Semu

Berdasarkan gambar sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat di atas (Gambar 4.15 – Gambar 4.18), dapat dilihat bahwa perpotongan bidang koordinat membentuk tiga buah koordinat lain yang bukan merupakan sumbu koordinat dimensi empat. Koordinat tersebut adalah koordinat yang saling orthogonal seperti sumbu – sumbu koordinat yang ditampilkan pada sistem Koordinat Kartesius dimensi tiga. Sumbu – sumbu koordinat ini, melalui keadaannya sebagai bentukan dari bidang koordinat pada sistem koordinat geometri dimensi empat maka disebut sebagai sumbu – sumbu koordinat semu. Sumbu semu 𝑥′ merupakan perpotongan antara bidang vektor wy dengan bidang vektor 𝑥𝑧. Sumbu semu 𝑦′ merupakan perpotongan antara bidang vektor 𝑤𝑧 dengan bidang vektor 𝑥𝑦. Sumbu semu 𝑧′ merupakan perpotongan antara bidang vektor 𝑤𝑥 dengan bidang vektor 𝑦𝑧.


50

Definisi 3: Sumbu koordinat maya merupakan sumbu koordinat dalam suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat yang terbentuk dari perpotongan dua buah koordinat bidang pada sistem koordinat tersebut. Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat diketahui bahwa sistem bagian yang terbentuk adalah sebanyak 6 sistem bagian yang sama (masing – masing bagian disebut “heksan”) dengan setiap heksan terdiri dari 4 ruang sistem yang berbeda (masing – masing bagian disebut “heksakuadran”). Seperti pada Gambar 4.19.

Gambar 4.19: Sistem Koordinat Kartesius dan Bidang Koordinatnya

Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat bidang – bidang koordinat yang terbentuk membagi semesta dimensi empat menjadi 6 bagian yang sama dan diberi nama sebagai berikut: 1. Heksan I Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤𝑥, bidang 𝑜. 𝑥𝑦, bidang 𝑜. 𝑦𝑧 dan bidang 𝑜. 𝑤𝑧.


51

2. Heksan II Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤(−𝑦), bidang 𝑜. (−𝑥)(−𝑦), bidang 𝑜. (−𝑥)𝑧 dan bidang 𝑜. 𝑤𝑧. 3. Heksan III Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑦)(−𝑧), bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑧), bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑥) dan bidang 𝑜. (−𝑥)(−𝑦). 4. Heksan IV Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑤)𝑦, bidang 𝑜. 𝑥𝑦, bidang 𝑜. 𝑥(−𝑧) dan bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑧). 5. Heksan V Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. 𝑤(−𝑦), bidang 𝑜. (−𝑦)(−𝑧), bidang 𝑜. 𝑥(−𝑧) dan bidang 𝑜. 𝑤𝑥. 6. Heksan VI Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang 𝑜. (−𝑤)(−𝑥), bidang 𝑜. (−𝑥)𝑧, bidang 𝑜. 𝑦𝑧 dan bidang 𝑜. (−𝑤)𝑦.

Gambar 4.20: Heksan I

Gambar 4.21: Heksan II


Gambar 4.22: Heksan III

Gambar 4.23: Heksan IV

Gambar 4.24: Heksan V

Gambar 4.25: Heksan VI

52

Secara matematis, kondisi tersebut di atas dapat dinyatakan melalui pernyataan berikut. Andaikan titik 𝑃(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah sembarang titik dalam semesta dimensi empat, maka letak titik P dapat ditentukan sebagai berikut: 1. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan I. 2. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan II. 3. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan III. 4. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan IV.


53

5. Jika 𝑤 > 0, 𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, maka titik P terletak pada heksan V. 6. Jika 𝑤 < 0, 𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0, maka titik P terletak pada heksan VI. Sifat 4 : Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat, bidang – bidang koordinat yang ada akan membagi sistem dimensi menjadi enam bagian semesta yang sama. Berikut akan ditentukan besar sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang koordinat yang saling berhadapan. a. Diketahui: Gambar 4.26: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat pada Kubus ABCD.EFGH. b. Akan dicari: ∠𝑄𝑂𝑃 =? c. Penyelesaian:


Gambar 4.27: Segitiga QOP


54

Bukti: No

Pernyataan

1 2 3 4

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 1 √3 2 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝑂𝐷 ≅ 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝑂𝐶 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =

2

5 6 7

1 2 √3 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 = ( ) − ( ) 2 2 1 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑄 2 = 2 √2 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 = 2 2

2

2

8

9 10 11

𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) =

Dalil Phytagoras 5 6

2

√2 √2 ( 2 ) + ( 2 ) − 12 √2 √2 2( 2 )( 2 )

𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) = 0 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑄𝑂𝑃) = 90 ∠𝑄𝑂𝑃 = 900

Alasan Diketahui pada gambar Diketahui pada gambar 1, 2, (s, s, s) 3

Aturan Cosinus 8 9

Jadi, diperoleh bahwa besar sudut pada bidang – bidang yang berhadapan pada sistem koordinat – wxyz adalah 900 Sifat 5 : Sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang koordinat yang saling berhadapan pada suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan 900 .

C. Posisi Titik Semesta. Posisi titik semesta dapat ditentukan jika telah diketahui koordinat – koordinat titik tersebut. Adapun hal terpenting dalam menentukan posisi titik


55

adalah langkah – langkah menentukan posisi titik tersebut. Jika diketahui suatu titik 𝑃(𝑤1 , 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) maka dapat dijelaskan langkah – langkah menentukan posisi titik semesta P tersebut dalam sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat sebagai berikut: 1. Lukislah sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat. 2. Buatlah garis bayang pada sumbu koordinat 𝑤 = 𝑤1 . 3. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑤 = 𝑤1 buatlah garis bayang pada sumbu koordinat 𝑥 = 𝑥1 . 4. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑥 = 𝑥1 buatlah garis bayang pada sumbu koordinat 𝑦 = 𝑦1 . 5. Pada ujung garis bayang sumbu koordinat 𝑦 = 𝑦1 buatlah garis bayang pada sumbu koordinat 𝑧 = 𝑧1 . 6. Buatlah titik pada titik ujung garis 𝑧 = 𝑧1 tersebut. Namailah titik tersebut sesuai dengan nama titik yang diminta. Dalam hal ini adalah 𝑃(𝑤1 , 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )

Adapun langkah – langkah tersebut di atas dapat ditunjukkan melalui sketsa gambar berikut ini.


Gambar 4.28a: Langkah 1

Gambar 4.28b: Langkah 2

Gambar 4.28c: Langkah 3

Gambar 4.28d: Langkah 4

Gambar 4.28e: Langkah 5

Gambar 4.28f: Langkah 6

Gambar 4.28: Menentukan Posisi Titik.

56


57

Cara menentukan posisi tersebut di atas merupakan salah satu cara dari berbagai macam kombinasi cara yang dapat kita gunakan (Gambar 4.28). Selanjutnya, jika berbagai kombinasi cara menentukan posisi titik tersebut dgunakan bersama – sama pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat, maka diperoleh beberapa titik lain sebagai berikut:

𝐴(0,0,0, 𝑧1 )

𝐺(0,0, 𝑦1 , 0)

𝑀(0, 𝑥1 , 0,0)

𝐵(0,0, 𝑦1 , 𝑧1 )

𝐻(0, 𝑥1 , 0, 𝑧1 )

𝑁(0, 𝑥1 , 𝑦1 , 0)

𝐶(0, 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )

𝐼(𝑤1 , 𝑥1 , 0, 𝑧1 )

𝑂(0,0,0,0)

𝐷(𝑤1 , 0,0, 𝑧1 )

𝐽(0, 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )

𝑃(𝑤1 , 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )

𝐸(𝑤1 , 0,0,0)

𝐾(𝑤1 , 𝑥1 , 0,0)

𝐹(𝑤1 , 𝑥1 , 0,0)

𝐿(𝑤1 , 𝑥1 , 𝑦1 , 0)

Gambar 4.29: Posisi Titik


58

Gambar 4.30: Posisi Titik

Secara lebih lanjut, diketahui bahwa dalam geometri analitik dimensi dua, grafik dari persamaan yang memuat 𝑥 dan 𝑦 adalah berbentuk suatu garis, seperti contoh persamaan 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 dan 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2 . Sedangkan, dalam geometri analitik dimensi tiga grafik dari persamaan yang memuat 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah berbentuk suatu bidang, seperti contoh persamaan 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 dan 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3 .


59

Gambar 4.31: Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2

Gambar 4.32:Grafik 𝑥 = 4 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ2

Gambar 4.33:Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ3


Berdasarkan pemikiran tersebut, maka dalam geometri analitik dimensi empat grafik dari persamaan yang memuat 𝑤, 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 haruslah suatu bentuk ruang. Berikut akan dicontohkan persamaan ruang tersebut dalam sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat. Contoh: Berikut ini akan diselidiki dan direpresentasikan himpunan semua titik – titik dalam ℝ4 yang memenuhi syarat berikut: a. 𝑤 = 0 b. 𝑦 = 3 c. 𝑥 = 4 d. 𝑤 − 𝑧 = 0

a. Persamaan 𝑤 = 0 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑤 = 0}, di mana himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat 𝑤 adalah 0, hal ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑥𝑦𝑧.


60

Gambar 4.35 :Grafik 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

b. Persamaan 𝑦 = 3 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑦 = 3}, di mana himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat 𝑦 adalah 3. Hal ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤𝑥𝑧 yang melalui titik 𝑦 = 3.

Gambar 4.36 :Grafik 𝑦 = 3 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

c. Persamaan 𝑥 = 4 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 = 4}, di mana himpunan seluruh titik pada ℝ4 dengan unsur koordinat x adalah 4. Hal ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤𝑦𝑧 yang melalui titik x= 4.


61


d. Persamaan 𝑤 − 𝑧 = 0 menyatakan himpunan {(𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑤)|𝑤 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ}, di mana himpunan seluruh titik pada ℝ4 dari sumbu koordinat 𝑤 dan 𝑧 adalah sama. Hal ini menunjukan bahwa himpunan tersebut tidak lain adalah ruang 𝑤 = 𝑧.

Gambar 4.38:Grafik 𝑤 = 𝑧 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

Lebih lanjut, melalui sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat akan ditunjukan bahwa pada geometri dimensi empat juga berlaku sifat: “untuk setiap elemen khusus dimensi 𝑛 − 1 dapat dipandang sebagai suatu bentuk perpotongan dari dua buah elemen khusus dimensi 𝑛”. Secara sederhana dapat dinyatakan bahwa jika terdapat beberapa persamaan ruang berbeda dalam ℝ4 ,


62

maka perpotongan antara dua buah ruang tersebut akan membentuk sebuah bidang, perpotongan antara dua buah bidang akan membentuk sebuah garis dan perpotongan dua buah garis akan membentuk sebuah titik. Sebagai contoh, akan dicontohkan ilustrasi berikut: Contoh: Diketahui empat buah persamaan ruang dalam ℝ4 adalah 𝑤 = 0, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 dan 𝑧 = 0. Berikut akan ditentukan bidang, garis dan titik perpotongan ruang – ruang tersebut. Ruang – ruang yang dimaksud pada persamaan – persamaan ruang yang diketahui adalah sebagai berikut:

Gambar 4.39: 𝑤 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

Gambar 4.40: 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

Gambar 4.41:Grafik 𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4

Gambar 4.42:Grafik 𝑧 = 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 ℝ4


63

Perpotongan ruang - ruang tersebut akan membentuk bidang seperti pada gambar berikut:

Gambar 4.43: Perpotongan 𝑤 = 0 dan 𝑥 = 0

Gambar 4.44: Bidang 𝑦𝑧

Gambar 4.45: Perpotongan 𝑥 = 0 dan y= 0

Gambar 4.46: Bidang 𝑤𝑧

Gambar 4.47: Perpotongan y= 0 dan z= 0

Gambar 4.48: Bidang 𝑤𝑥


64

Perpotongan bidang - bidang tersebut di atas akan membentuk garis seperti pada gambar berikut:

Gambar 4.49: Perpotongan Bidang 𝑤𝑧 dan 𝑦𝑧

Gambar 4.50: Garis 𝑧

Gambar 4.51: Perpotongan Bidang 𝑤𝑥 dan w𝑧

Gambar 4.52: Garis 𝑤

Perpotongan garis – garis tersebut di atas akan membentuk titik seperti pada gambar berikut:

Gambar 4.53: Perpotongan garis 𝑤 dan 𝑧

Gambar 4.54: Titik O (Titik Asal)


65

Jadi, dapat ditentukan dan ditunjukan bahwa untuk setiap elemen khusus dimensi 𝑛 − 1 dapat dipandang sebagai suatu bentuk perpotongan dari dua buah elemen khusus dimensi 𝑛. D. Bangun Semesta Sederhana Pada bagian ini akan ditunjukkan bangun semesta sederhana yang dapat terbentuk pada geometri dimensi empat. Adapun semesta sederhana tersebut adalah “tesseract”. Tesseract merupakan semesta dimensi empat yang sebutannya diadopsi dari penamaan Minkowski pada bangun dunianya. Hal ini dilakukan karena kemiripan bentuk yang ada antara keduanya. Bangun semesta sederhana ini menunjukan adanya kaitan antara dimensi empat dan dimensi ruang – waktu di mana dimensi ruang – waktu muncul akibat pengaruh bangun lain yang familiar. Bentuk tesseract dapat dijadikan atapun dianggap sebagai suatu bangun dunia dikarenakan kecenderungan penglihatan kita dan memahami sesuatu yang familiar tersebut di benak kita. Ketika melihat tesseract, secara sekilas akibat pengaruh kebiasaan tersebut, teseract dipandang sebagai suatu bangun prisma segiempat yang bergerak menurut selang waktu tertentu. Akan tetapi, dalam arti yang sebenarnya tesseract dapat terbentuk akibat pengaruh empat buah komponen vektor panjang dalam suatu sistem tanpa melibatkan gerak tidaknya bentukan tersebut. Tesseract dapat diartikan sebagai semesta dengan dibatasi oleh dua belas sisi berbentuk segi empat. Semesta – semesta yang tergolong tesseract adalah “paralletese” dan “rhotesse”. Paralletese (parallelogram tesseract) merupakan semesta tesseract


66

yang sisi – sisinya berbentuk jajargenjang, sedangkan rhotesse (rhombus tesseract) merupakan semesta tesseract yang sisi – sisinya berupa belah ketupat. Definisi 4 : Tesseract adalah bangun semesta sederhana yang dibatasi oleh dua belas sisi segi empat. Paralletesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi - sisinya yang berbentuk jajargenjang. Rhotesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya berbentuk belah ketupat.

1. Paralletesse. Paralletesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya berbentuk jajargenjang. Adapun, semesta tesseract dapat dilukiskan seperti gambar berikut.


67

Gambar 4.55: Semesta Paralletesse dari Berbagai Sudut Pandang

2. Rhotesse. Rhotesse adalah bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya berbentuk layang – layang. Adapun, semesta tesseract dapat dilukiskan seperti gambar berikut.

Gambar 4.56: Semesta Rhotesse dari Berbagai Sudut Pandang


68

E. Hubungan Antara Dimensi Empat dan Ruang Euclides. Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa dalam semesta empat dimensi keorthogonalan vektor tiga dimensi hanyalah merupakan efek pandangan dari vektor – vektor semu yang dihasilkan oleh vektor – vektor nyata seperti pada gambar berikut.

Gambar 4.57 : Vektor Nyata dan Semu pada Sistem Koordinat Kartesius Dimensi Empat


69

Melalui gambar di atas akan terlihat jelas posisi keberadaan kita, di mana secara essensial vektor arah dalam ruang tiga dimensi kita tidaklah tegak lurus seperti yang dibayangkan oleh Koordinat Kartesius. Akan tetapi hal ini tidak dapat langsung menghukum Euclid dan representasi kartesius sebagai suatu kesalahan semata. Berdasarkan keadaan kita (keadaan kehidupan manusia di bumi) yang tepat cocok dengan keadaan tiga dimensi, maka keadaan tiga dimensi ini dapat dilihat sebagai bagian ruang yang vektor – vektor arahnya lebih kecil daripada derajat siku – siku yang ditampilkan kartesius. Pertanyaan berikutnya adalah apakah keadaan Ruang Euclid dan representasi kartesius adalah suatu kesalahan total? Untuk menjawab pertanyaan tersebut di atas maka marilah kita kembali ikuti analogi ikan mas dan semesta yang dijelaskan oleh Stepphen Hawking dalam The Grand Design. Dalam keadaan ikan mas yang berada di dalam akuarium melengkung, suatu kejadian yang terjadi di luar akuarium seperti pergerakan benda sejauh ukuran panjang tertentu yang melintasi suatu bentuk garis akan ditampilkan dan dipahami ikan mas dan keadaannya sebagai suatu lintasan melengkung. Hal tersebut tidak dapat disalahkan pandangan dan pengetahuan ikan mas tersebut hanya dikarenakan sudut pandangnya dari dalam akuarium. Jika diandaikan ikan mas adalah kita dengan keadaan semesta adalah seperti akuarium, merunut pada keadaan semesta adalah serupa dengan balon gas ( menurut Edington), maka pada dasarnya kita hidup pada posisi yang stabil menguntungkan yaitu kebenaran keberadaan garis (Geometri Euclid) dengan


70

pandangan keluar dari dalam kita adalah berupa garis lengkung (Geometri Non – Euclid). Selesai dari permasalahan garis atau lengkung, akan kita lanjutkan dengan keadaan orthogonal vektor. Keterangan: Diandaikan dalam tatanan dimensi empat, keadaan alam semesta di mana semesta kita bukan satu – satunya semesta (multiverse) dengan universe berbentuk seperti balon gas. Di mana bola hijau dan biru adalah perwakilan untuk setiap semesta dengan bola biru adalah semesta kita sendiri. Gambar 4.58: Semesta dan Tatanannya

Keorthogonalan vektor – vektor arah tiga dimensi adalah pengaruh belum dikenalnya keadaan vektor keempat sehingga keadaan kita akan dipahami seperti vektor – vektor arah yang orthogonal. Dalam keadaan dimensi empat, jika diandaikan kita adalah semesta yang berprilaku seperti analogi ikan mas dan alam semesta, maka kita akan diandaikan terletak pada suatu ruang tertentu pada suatu heksan-kuadran semesta ( suatu bagian ruang dari empat bagian ruang dalam heksan suatu set semesta). Dari keadaan ruang tersebut, jika kita melihat dari keadaan luar, akan lebih cepat dan mudah tersadari bahwa vektor – vektor orthogonal tersebut adalah bentuk semu dari bidang vektor nyata. Akan tetapi ketika kita memposisikan diri kita ada di dalam ruang tersebut maka vektor yang akan tersadari dan kita ketahui adalah sebuah vektor semu tersebut


71

dengan dua buah vektor hasil perimpitan dua vektor nyata yang tidak orthogonal, tetapi diakibatkan pengaruh yang identik dengan keadaan ikan mas dalam akuarium, keadaan vektor – vektor nyata tersebut akan dipandang sebagai cukup dua vektor yang orthogonal. Melalui uraian di atas maka Ruang Euclid bukanlah suatu bentuk ruang yang

salah,

melainkan

suatu

bentuk

representasi

sederhanau

yang

mensketsakan secara simpel bagi kita persamaan dang keadaan tatanan alam semesta. Secara lebih mendalam, dari sudut pandang dalam Ruang Euclid adalah tepat merupakan matematis sederhana, tetapi untuk keadaan semesta dimensi empat adalah hal – hal yang tepat yang layak dipertimbangkan untuk digunakan sebagai wadah untuk memahami tatanan alam semesta.


BAB V PENUTUP

A. KESIMPULAN Berdasarkan pendalaman, pemahaman dan penelitian yang telah dibahas pada pembahasan Bab III dan Bab IV mengenai permasalahan asumsi dimensi ruang dan waktu sebagai dimensi empat lanjutan Geometri Euclides, maka halhal pokok yang dapat disimpulkan peneliti pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Ruang Minkowski tidaklah tepat jika dianggap sebagai dimensi empat melanjutkan geometri Euclides. Kerancuan Ruang Minkowski dalam asumsi sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides dapat ditunjukan pada penjelasannya dari kajian bidang ilmu yang lain. Berdasarkan sudut pandang sistem dimensi kerancuan tersebut muncul kibat keberadaan sumbu – sumbu koordinat yang berbeda besaran dalam suatu sistem dimensi yang sama dan keberadaan arah sumbu koordinat waktu yang belum terspesifikasi dengan jelas. Berdasarkan sudut pandang sistem koordinat melalui kelengkapan sumbu koordinat waktu dapat ditunjukan bahwa Ruang Minkowski hanya tepat jika dianggap sebagai ruang terapan relativitas khusus Einstein dengan kajian waktu yang lebih lengkap dan memadai. Berdasarkan sudut pandang Geometri Euclides, makna essensial dari geometri itu sendiri akibat pengaruh Ruang Minkowski akan menjadi kabur dan tidak sesuai dengan makna essensial Geometri Euclides

72


73

dimensi dua dan tiga. Berdasarkan sudut pandang Teori Relativitas Khusus, keadaan Ruang Minkowski dengan kajian geometri akan terlihat rancu ketika diposisikan sebagai suatu bentuk kerangka acuan yang tidak berbeda dengan kerangka acuan lain yang berdmensi dua dan tiga. Ruang Minkowski merupakan pelengkap ruang Euclides dalam hal kerangka acuan inersia. 2. Elemen khusus dimensi empat lanjutan geometri Euclides disebut sebagai “semesta”. Dimensi empat dapat direpresentasikan secara grafis melalui suatu sistem koordinat dimensi empat yang didefinisikan sebagai suatu sistem koordinat yang terbentuk dari empat buah vektor berlainan arah dengan besaran pokok sama dalam suatu sistem melalui suatu titik persekutuan tertentu. Adapun sifat – sifat yang dimiliki oleh sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat adalah sudut yang dibentuk oleh garis – garis vektor yang berdekatan pada suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan 70,50 , besar sudut antar garis – garis vektor yang berhadapan pada suatu koordinat dimensi empat adalah sama dengan 109,50 , pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat bidang – bidang koordinat yang ada akan membagi sistem dimensi tersebut menjadi enam bagian semesta yang sama dan sudut yang dibentuk oleh bidang – bidang koordinat yang saling berhadapan pada suatu sistem koordinat dimensi empat adalah sama dengan 900 .


74

B. SARAN Berdasarkan hasil penelitian yang telah diperoleh dan dijelaskan pada pembahasan Bab III dan Bab IV mengenai permasalahan asumsi dimensi ruang dan waktu sebagai dimensi empat lanjutan Geometri Euclides, maka hal-hal yang dapat disarankan peneliti pada pembaca sekalian adalah sebagai berikut: 1. Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan sistem koordinat polar, tabung ataupun bola dalam semesta dimensi empat. 2. Pembahasan dimensi empat yang dilakukan ini hanyalah sebatas pada uji coba kebenaran ruang Minkowski sebagai dimensi empat lanjutan geometri Euclides dan memberikan ide ataupun gagasan pembaharuan yang dianggap lebih cocok sebagai dimensi empat lanjutan dari geometri Euclides. Penelitian selanjutnya akan dimungkinkan untuk menunjukkan ruang gerak semesta dalam terapannya melalui kajian astronomis. 3. Dimensi empat yang dibahas dalam tulisan ini bersifat gagasan baru dengan representasi yang dinarasikan dan hanya dapat direpresentasikan secara abstrak. Pemahaman selanjutnya tidak tergantung pada keadaan riil dalam kehidupan sehari – hari dikarenakan kehidupan kita yang masih terbatas pada dimensi tiga. Kajian penelitian lanjutan dapat menggunakan sistem ruang semesta ini sebagai bandingan dengan keadaan yang tak diketahui pada lubang hitam.


DAFTAR PUSTAKA

[1] Addington, A. S. (1920). Spacetime and Gravitation. Cambridge: Cambridge University Press. [2] Africk, Henry. (2013). Elementary College Geometry. New York: New York City College of Technology. [3] Ashton, C. H. (1902). Plane and Solid Analytic Geometry. New York: Charles Scribner’s Sons. [4] Born, Max. (1922). Einstein Theory of Relativity. (Henry L. Brose, Trans.). New York: E. P. Dutton and Company Publishers. [5] Burton, David M. (2011). The History of Mathematics: An Introduction. New York: McGraw – Hill. [6] Cajori, Florian. (1993). A History of Mathematical Notations. New York: Dover Publications Inc. [7] Candy, A. L. (1904). The Elements of Plane and Solid Analytic Geometry. Boston: D. C. Heath and Co., Publishers. [8] Carrol, Sean. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Chicago: Pearson Education, Inc. [9] Clapham, Christopher. (2009). The Concise Oxford Dictionary Of Mathematics. New York: Oxford University Press Inc. [10] Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometri. Toronto: John Wiley & Sons Inc. [11] Donder, T. D. (1927). The Mathematical Theory of Relativity. Massachuesetts: Massachuesetts Institute of Technology. [12] Durell, F. (1911). Plane and Solid Geometry. New York: Charles E. Merill Co. [13] Einstein, Albert. (1921). Relativity: The Special and General Theory. (Robert W. Lawson, Trans.). New York: Henry Holt and Company. [14] Eisenhart, Luther Pfahler. (1960). Coordinate Geometry. New York: Dover Publications Inc. [15] Failor, I. N. (1906). Plane and Solid Geometry. New York: The Century Co. [16] Hart, C. A., & Feldman, D. D. (1912). Plane and Solid Geometry. (J. H. Tanner, Virgil Snyder, Ed.). London: American Book Company.

75


76

[17] Hawking, Stephen W., & Mlodinow, Leonard. (2010). The Grand Design. New York: Bantam Books. [18] Katz, Victor J. (2009). A History of Mathematics: An Introduction. Boston: Pearson Education Inc. [19] Mendelson, E. (1997). Introduction to Mathematical Logic. London: Chapman and Hall. [20] Palmer, C. I., & Taylor, D. P. (1918). Plane and Solid Geometry. (George William Myers, Ed.). New York: Scott, Foresman and Company. [21] Pavlov, D. G. dkk. (2007). Space Time Structure: Algebra and Geometry. Moscow: Russian Hypercomplex Society, Lilia Print. [22] Petkov, V. (Ed.). (2010). Minkowski Spacetime : A Hundred Years Later. New York: Springer. [23] Petkov, Vesselin. (2012). Spaceand Time: Minkowski’s Papers on Relativity. Montreal: Minkowski Institute Press. [24] Prenowitz, Walter. & Jordan, Meyer. (1989). Basic Concepts of Geometry. New York: Ardsley House Publishers. [25] Siceloft, L. P., dkk. (1922). Analytic Geometry. Boston: Ginn and Company. [26] Silberstein, L. (1914). The Theory of Relativity. London: Macmillan and Co. Limited. [27] Smith, J. H. (1876). Elements of Geometry. London: Rivingtons. [28] Smythies, John. (2003). Space, Time and Consciousness. Journal of Consciousness Studies, 10, No. 3, 2003, pp. 47–56. [29] Tuckey, C. O. & Armisted, W. (1953). Coordinate Geometry. New York: Longmans, Green and Co. [30] Wells, W. (1909). Plane and Solid Geometry. Boston: D. C. Heath and Co., Publishers.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents