PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI KRIPTOGRAFI KLASIK MAKALAH

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

KRIPTOGRAFI KLASIK MAKALAH Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Marselinus Junardi Rebu NIM : 103114017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2015

i


CLASSICAL CRYPTOGRAPHY PAPER Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program

By: Marselinus Junardi Rebu NIM : 103114017

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2015

ii


iii


iv


v


HALAMAN PERSEMBAHAN

“I don’t care if you are a good mathematician, or a good athletic, or not good at anything that you think. But I’m gonna come and tell you that you’re awesome the way you are.” -Nick Vujicic-

Ku persembahkan tugas akhir ini untuk: Tuhan Yesus dan Bunda Maria, Kedua orang tua tercinta, Yeremias Djere dan Agustina Todja, Adik-adik yang ku sayangi: Febronia Romana Rebu, Novita Modesta Rebu, dan Apolonius Marianus Rebu.

vi


ABSTRAK Marselinus Junardi Rebu. 2015. Kriptografi Klasik. Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Makalah ini membahas beberapa sandi symetris-key untuk mengenkripsi maupun mendekripsi pesan. Setiap perhitungan pada fungsi enkripsi dan fungsi dekripsi dilakukan menggunakan aritmetika modulo, khususnya modulo . Kriptanalisis, yaitu metode untuk memecahkan sandi, juga dipaparkan dalam tugas akhir ini untuk beberapa sandi. Dalam tugas akhir ini, kunci yang digunakan untuk masing-masing sandi bervariasi, dapat berupa bilangan, pasangan terurut, dan matriks. Kunci-kunci ini harus mempunyai invers agar proses dekripsi dapat dilakukan. Oleh karena itu, kunci yang sulit ditebak akan menghasilkan teks-sandi yang sulit dipecahkan oleh kriptanalis.

vii


ABSTRACT Marselinus Junardi Rebu. 2015. Classical Cryptography. Paper. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma Unyversity, Yogyakarta. This paper discusses some cipher of symetris-key to encrypt and decrypt messages. Every calculation on encryption function and decryption function is performed using modular arithmetic, especially modulo . Cryptanalysis, the method to break the cipher, is also presented in this paper for some cipher. In this paper, the key used for each cipher varies, it can be a number, ordered pairs, or a matrix. These keys must have an inverse in order that decryption process can be performed. Therefore, the key which is difficult to guess will generate ciphertext that is difficult to break by the cryptanalyst.

viii


ix


KATA PENGANTAR Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan rahmatNya yang selalu menyertai sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari banyak tantanga dalam proses penulisan makalah ini, namun dengan penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini bisa diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1.

Ibu MV. Any Herawati, S.Si, M.Si. selaku dosen pembimbing yang selalu sabar dalam membimbing dan memberikan ide serta masukan selama proses penulisan makalah ini.

2.

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. yang telah memberikan banyak masukan mengenai topik tugas akhir, juga selaku dosen pembimbing akademik.

3.

Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

4.

Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D selaku Ketua Program Studi Matematika.

5.

Seluruh Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan pengetahuan

kepada

penulis

x

selama

proses

kuliah.


6.

Kedua orang tuaku, Bapak Yeremias Djere dan Ibu Agustina Todja, yang senantiasa memberikan doa, dukungan, semangat, dan motivasinya. Adikadikku: Febronia Romana Rebu, Novita Modesta Rebu, dan Apolonius Marianus Rebu, yang selalu menjadi motivasi bagi penulis.

7.

Teman-teman Matematika 2010: Arga, Ayu, Celly, Yosi, Tika, Agnes, Roy, Ratri, Yohan, Pandu, Sary, Leny, Astri, dan Dini, terima kasih untuk semangat dan motivasi yang diberikan. Terima kasih juga untuk semua kenangan dalam suka dan duka baik di dalam perkuliahan maupun di luar perkuliahan.

8.

Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Terima kasih banyak atas semua dukungannya. Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah

ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, 20 Februari 2015

Penulis

xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL (BAHASA INDONESIA)…………………………………..i HALAMAN JUDUL (BAHASA INGGRIS)……………….……………………..ii LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING….…………….……………….…..iii HALAMAN PENGESAHAN………………………………………………….…iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………………...…v HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………….vii ABSTRAK………………………………………………………………………..vii ABSTRACT………………………………………………………………...…...viii LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH…………………...ix KATA PENGANTAR…………………………………………………………….x DAFTAR ISI……………………………………………………………………..xii BAB I

PENDAHULUAN……………………………………………………...1

A.

Latar Belakang.……………………………………...………………….1

B.

Rumusan Masalah………………………………………..……………..7

C.

Batasan Masalah…………………………………………………….….8

D.

Tujuan Penulisan……………………………………………………….8

E.

Metode Penulisan……………………………………………………….8

F.

Manfaat Penulisan……………………………………………………...8

G.

Sistematika Penulisan……………………………………………….….9

xii


BAB II

TEORI PEMBAGIAN, TEORI KEKONGRUENAN, MATRIKS DAN FUNGSI……………………………………………………….………11

A.

B.

C.

D.

TEORI PEMBAGIAN………………………………………...………11 1.

Definisi-definisi……………………………………..……………11

2.

Algoritma Pembagian…………………………………………….13

3.

Faktor Persekutuan Terbesar……………………………………..16

4.

Persamaan Diophantine

………...………………….20

TEORI KEKONGRUENAN………………………………………….23 1.

Sifat-sifat Dasar Kekongruenan…………………………………..23

2.

Kekongruenan Linear…………………………………………….31

MATRIKS…………………………………………………………….35 1.

Notasi dan Istilah-istilah Matriks…………………………...……35

2.

Invers Matriks…………………………………………………….36

3.

Determinan secara Umum………………………………………..40

4.

Determinan Matriks (Ekspansi Kofaktor)………………………..43

5.

Rumus untuk

6.

Aritmetika Modulo untuk Matriks…………………..……………50

…………………………………………..…….47

FUNGSI…………………………………….…………………………59

BAB III KRIPTOGRAFI KLASIK…………………………………………….63 A.

Kriptografi………………………………………………………...…..63

B.

Sandi Geser……………………………………………………………70

C.

Sandi Affine…………………………………………………...………76

D.

Sandi Vigenere………………………………………………...………83

E.

Sandi Hill…………………………………………………...…………90

F.

Sandi Playfair……………………………………………..………….106

G.

Sandi Permutasi………………………………………….…………..112

H.

Sandi Vernam……………………………………………..…………115

I.

Kriptanalisis………………………………………………...………..122 1.

Kriptanalisis Sandi Geser…………………………………….....128

xiii


2.

Kriptanalisis Sandi Affine………………………………………137

3.

Kriptanalisis Sandi Vigenere……………………………………143

4.

Kriptanalisis Sandi Hill……………………………………..…..160

BAB IV PENUTUP…………………………………………………………...170 A.

Kesimpulan…………………………………………………………..170

B.

Saran…………………………………………………………………171

DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………..172 LAMPIRAN…………………………………………………………………….174

xiv


BAB I PENDAHULUAN

A.

Latar Belakang Di zaman sekarang yang serba canggih ini kita dapat melakukan suatu hal

dengan mudah, terutama dalam berkomunikasi. Seseorang dapat berkomunikasi dengan siapapun, dimana pun dia berada dan kapanpun. Disaat dua orang (atau lebih) melakukan komunikasi, baik itu secara lisan ataupun secara tertulis, saat itu juga mereka memberitahukan hal-hal yang ada dipikiran mereka ke dalam katakata ataupun simbol-simbol lainnya. Setiap kata ataupun simbol yang diungkapkan itu dinamakan pesan. Isi dari pesan tersebut akan memberikan informasi bagi orang yang melakukan komunikasi. Dalam berkomunikasi, terdapat satu pihak yang akan berusaha lebih dahulu menyampaikan suatu pesan. Pihak ini dinamakan pengirim pesan. Pesan tersebut disampaikan ke pihak lainnya. Pihak lainnya yang menerima pesan dari pengirim pesan dinamakan penerima pesan. Saat ini sudah terdapat berbagai macam penemuan-penemuan dari zaman purbakala, seperti penemuan mumi, prasasti-prasasti, dan lain-lain. Dari hasilhasil penemuan tersebut, terdapat simbol-simbol yang digunakan pada zamannya. Lokasi ditemukannya juga berbeda-beda, terdapat beberapa simbol yang ditemukan pada reruntuhan dinding-dinding bangunan zaman dahulu, ukiranukiran pada batu, dan juga ada yang ditemukan pada dinding-dinding gua.

1


2

Masing-masing simbol tersebut pasti punya arti tertentu sehingga suatu kumpulan simbol-simbol akan membentuk suatu informasi penting. Sebagai contoh pada Gambar 1.1, simbol-simbol pada gambar tersebut menyimpan informasi yang penting yaitu adanya harta karun pada suatu kota rahasia yang tersembunyi, namun informasi dari gambar itu tidak sempurna. Hal ini dikarenakan gambar ini hanya potongan sebagian dari keseluruhan simbol-simbol yang seharusnya.

Gambar 1.1: Potongan Simbol-simbol Lokasi Harta Karun (sumber: film National Treasure 2 – Book of Secrets)

Suatu pesan yang dibuat/diterima tidak selalu boleh dibaca oleh semua orang. Bahkan, meski seorang teman sekalipun belum tentu diperbolehkan untuk membaca suatu pesan yang dibuat/diterima tersebut, terkecuali orang itu dipercaya untuk mengetahui informasi pada pesan tersebut. Dalam kehidupan kita, terdapat pesan-pesan yang berisi informasi-informasi penting dan hanya boleh diketahui oleh orang yang tepat, yaitu penerima pesan. Hal ini supaya informasi yang terkandung dalam pesan tersebut tetap terjaga. Dalam bidang-bidang tertentu pesan tersebut sangatlah penting dan harus sampai di tangan orang yang tepat, apabila diketahui orang yang tidak tepat, dinamakan musuh, dapat berakibat fatal


3

bahkan bisa mengancam nyawanya sendiri. Misalnya di dalam bidang intelijen, perbankan, dan bidang-bidang lainnya. Pesan-pesan yang dimaksud di atas biasa disebut pesan rahasia. Pada permasalahan di atas, musuh yang dimaksud adalah pihak yang selalu berusaha ingin tahu dan mengganggu komunikasi antara pengirim dan penerima pesan. Oleh karena itu, agar pesan tersebut tidak mudah diketahui oleh musuh, pengirim dan penerima pesan harus membuat suatu kesepakatan agar menghasilkan teknik-teknik tertentu dalam menuliskan pesan tersebut. Teknikteknik tersebut bertujuan supaya pesan tidak dengan mudah dapat dibaca oleh musuh begitu juga keamanan data-data dalam pesan tersebut tetap terlindungi dan terjaga kerahasiaannya. Untuk melakukan hal di atas, diperlukan metode-metode dalam mengubah bentuk dari pesan tersebut. Metode tersebut mengubah bentuk dari pesan yang asli dengan cara mengganti setiap huruf, angka, ataupun simbol-simbol dalam pesan tersebut dengan suatu huruf, angka, ataupun simbol tertentu lainnya. Pesan yang asli tersebut biasa disebut teks-asal (plaintext). Setelah mengubah bentuk pesan yang asli maka dihasilkan pesan yang berbeda dengan bentuk pesan yang asli, namun informasi-informasi pada pesan ini tetap sama dengan isi pesan yang aslinya. Perbedaan antara pesan yang asli dengan pesan tersebut adalah terletak pada huruf ataupun simbol yang digunakan pada pesan tersebut. Pesan tersebut biasa disebut teks-sandi (ciphertext). Selain dapat mengubah teks-asal menjadi teks-sandi, metode tersebut juga harus dapat mengubah kembali teks-sandi kembali menjadi teks-asal. Metode ini biasa disebut metode penyandian.


4

Pengubahan kembali bentuk teks-sandi menjadi teks-asal ini bertujuan supaya penerima pesan dapat melihat bentuk asli dari teks-sandi yang diterima. Setelah diubah baru dapat dibaca dan dipahami oleh penerima pesan. Proses untuk mengubah teks-asal menjadi teks-sandi dinamakan enkripsi, sedangkan proses untuk mengubah teks-sandi kembali menjadi teks-asal dinamakan dekripsi. Sejarah dipenuhi dengan contoh-contoh dimana orang berusaha untuk menjaga informasi pada pesan rahasia dari musuh. Para raja dan para jenderal berkomunikasi dengan pasukan mereka menggunakan suatu metode untuk mencegah musuh mempelajari informasi militer yang sensitif. Metode tersebut adalah kriptografi yaitu metode yang membuat pesan tidak dapat dipahami oleh musuh. Bahkan, Julius Caesar dilaporkan menggunakan sebuah sandi sederhana, yang kemudian dinamakan menurut namanya Sandi Caesar. Sandi Caesar mempunyai cara kerja dengan menggeser masing-masing huruf, seperti di bawah ini: Plaintext

Ciphertext Gambar 1.2: Pergeseran Huruf (Hardy, Richman, dan Walker, 2009 : 62)

Untuk proses enkripsi metode ini mempunyai rumus: , dimana:


5

adalah teks-sandi, adalah teks-asal, , yaitu besarnya pergeseran alfabet. Namun sebelumnya, setiap huruf harus dinotasikan dengan bilangan

sampai

,

seperti di bawah ini:

Gambar 1.3: Pasangan Bilangan dan Alfabet yang Bersesuaian (Hardy, Richman, dan Walker, 2009 : bab 4)

Dari rumus untuk proses enkripsi di atas, dapat diperoleh rumus untuk proses dekripsi pada Sandi Caesar yaitu: . Dengan rumus dekripsi di atas, dapat dilakukan pengubahan bentuk pesan dari teks-sandi menjadi teks-asal. Misal “

Alice

ingin

mengirim

pesan

ke

Boby

yang

berbunyi:

”. Dia menggeser tiga tempat untuk masing-masing huruf,

sehingga terjadi perubahan susunan yaitu: dan seterusnya sehingga pada akhirnya

menjadi , menjadi

menjadi ,

menjadi ,

, seperti Gambar 1.2.

Kemudian dilakukan proses enkripsi untuk masing-masing huruf pada pesan tersebut, sehingga dihasilkan seperti berikut:


6

Plaintext

Ciphertext Begitu juga sebaliknya, apabila Boby menerima pesan yang berbentuk: “

”

Untuk mengetahui bentuk asli pesan tersebut, dia harus mendekripsikan pesan tersebut terlebih dahulu. Dengan menggunakan rumus untuk proses dekripsi, Boby dapat melakukan proses dekripsi tersebut. Setelah itu akan diperoleh teksasal dari pesan tersebut yang berbunyi: ”

”

Kriptografi telah menjadi penting sepanjang sejarah. Kriptografi tidak hanya tentang mengenkripsi dan mendekripsi pesan, kriptografi juga tentang pemecahan masalah di dunia nyata yang membutuhkan keamanan informasi. Dalam makalah ini akan dibahas tentang penyandian klasik terutama yang digunakan sebelum munculnya komputer. Sandi-sandi ini terlalu lemah untuk digunakan saat ini, terutama dengan komputer zaman sekarang, tetapi penyandian tersebut memberikan ilustrasi yang baik dari beberapa ide-ide penting kriptologi, seperti tanda tangan digital (digital signature), tanda pengenal (identification), pembuatan kunci (key establishment), berbagi rahasia (secret sharing), perdagangan elektronik (e-commerce), uang elektronik (electronic cash), permainan (games).


7

Sebagai masyarakat yang telah berkembang, kebutuhan akan metodemetode yang lebih canggih terus meningkat. Ketika media menjadi terhubung, permintaan untuk informasi dan layanan elektronik semakin berkembang, dan dengan meningkatnya permintaan muncul peningkatan ketergantungan pada sistem-sistem elektronik. Mengirim informasi yang sensitif melalui internet adalah hal yang umum, seperti nomor kartu kredit. Melindungi data dan sistem-sistem elektronik sangat penting untuk cara hidup zaman sekarang. Oleh karena itu, peranan matematika dibutuhkan dalam memecahkan permasalahan dunia nyata yang membutuhkan keamanan informasi. Makalah ini akan menjelaskan mengenai sandi-sandi yang menjadi dasar dalam memecahkan masalah-masalah tersebut. Sehingga perlu diketahui juga hal-hal di dalam matematika seperti fungsi, vektor, matriks, aritmetika modulo, dan teori-teori bilangan lainnya. B.

Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah: 1.

Macam-macam penyandian klasik dan bagaimana cara menghasilkan teks-sandi dengan menggunakan macam-macam sandi tersebut?

2.

Bagaimana cara menterjemahkan teks-sandi atau menghasilkan kembali teks-asal dengan menggunakan masing-masing sandi di atas?

3.

Bagaimana melakukan kriptanalis untuk beberapa sandi tertentu?


C.

8

Batasan Masalah 1.

Sandi yang dibahas hanya sandi-sandi klasik, yakni pengirim dan penerima pesan mengetahui kunci yang digunakan.

2.

Teorema 2.12 dan Teorema 3.2 (Sandi Hill) tidak dibuktikan.

3.

Kriptanalisis dilakukan hanya pada Sandi Geser, Sandi Affine, Sandi Vigenère, Sandi Hill.

4.

Proses enkripsi hanya dilakukan pada huruf-huruf alfabet, simbolsimbol lainnya seperti: titik, koma, tanda seru, maupun simbol-simbol lainnya tidak ikut dilakukan dalam proses enkripsi.

D.

Tujuan Penulisan Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah untuk memberikan gambaran yang jelas

bagaimana proses mengubah bentuk suatu pesan, baik itu proses enkripsi maupun proses dekripsi, dengan menggunakan sandi-sandi yang berbeda dalam sandisandi klasik. E.

Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku-buku ataupun sumber-sumber lainnya yang berkaitan dengan model yang akan dibahas.

F.

Manfaat Penulisan Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah dapat mengetahui proses-proses dalam

mengubah bentuk suatu pesan, baik itu proses enkripsi maupun proses dekripsi


9

dalam suatu sandi. Selain itu, pembaca dapat juga mengetahui tentang kriptanalisis beberapa sandi.

G.

Sistematika Penulisan BAB I

PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan G. Sistematika Penulisan

BAB II

TEORI PEMBAGIAN, TEORI KEKONGRUENAN, MATRIKS, DAN FUNGSI A. Teori Pembagian B. Teori Kekongruenan C. Matriks D. Fungsi

BAB III KRIPTOGRAFI KLASIK A. Kriptografi B. Sandi Geser C. Sandi Affine


D. Sandi Vigenère E. Sandi Hill F. Sandi Playfair G. Sandi Vernam H. Kriptanalisis BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

10


BAB II TEORI PEMBAGIAN, TEORI KEKONGRUENAN, MATRIKS, DAN FUNGSI

A.

TEORI PEMBAGIAN 1. Definisi-definisi Salah satu sifat penting dari bilangan asli adalah Well Ordering Principle (Sifat Terurut secara Baik). Karena sifat ini tidak dapat dibuktikan dari sifat–sifat aritmetika biasa, maka akan diterima sebagai sebuah aksioma yaitu: setiap himpunan bilangan asli yang tak-kosong mempunyai elemen terkecil. Pernyataan di atas bila disimbolkan adalah sebagai berikut: Jika

dan

, maka terdapat

untuk setiap

sedemikian sehingga

.

Definisi 2.1 (Membagi / Pembagi) Misalkan terdapat

dengan

. Maka b membagi a, ditulis

sedemikian sehingga

ditulis dengan

tidak membagi ,

.

Terdapat beberapa cara untuk menyatakan faktor dari , atau

. Jika

, jika

kelipatan .

11

, yaitu

pembagi

,


12

Contoh 2.1 

karena

 5 | 15

karena

Contoh 2.2 Bilangan bulat 200 mempunyai beberapa pembagi berikut:

Oleh karena itu, sebagai contoh, dapat ditulis ,

,

,

,

.

Berikut ini akan ditunjukkan beberapa sifat dasar pembagi. Teorema 2.1 (Sifat-sifat Membagi) Misalkan

, berlaku: ,

, dan

.

jika dan hanya jika Jika

dan

Jika

dan

.

, maka | | , maka

| |. untuk setiap

.

Bukti: Sifat

:

karena

,

karena

,

karena

. Sifat

:

dapat ditulis sebagai

, dimana

.


, Sifat

: jika

atau

, maka terdapat

Karena

13

,

sedemikian sehingga

mengakibatkan

.

. Bila kedua ruas diambil

nilai mutlaknya, diperoleh: | | berarti | |

Karena Sifat

: bila

|

dan

|

| || |.

sehingga | |

maka

| || |

dan

| |.

, untuk suatu

. Dengan demikian: . Karena

, dapat dikatakan bahwa

.∎

2. Algoritma Pembagian Teorema berikut, yaitu Teorema Pembagian, akan berperan sebagai batu pondasi untuk pembahasan-pembahasan yang selanjutnya. Secara garis besar, teorema tersebut menegaskan bahwa suatu bilangan bulat dapat “dibagi” dengan bilangan bulat positif bahwa sisanya lebih kecil dari

dengan sedemikian cara

. Pernyataan yang lebih rinci untuk

teorema tersebut ada pada Teorema 2.2 berikut. Teorema 2.2 (Algoritma Pembagian) Jika dan

dan

, maka terdapat dengan tunggal bilangan bulat

sedemikian sehingga

Bilangan bulat bulangan bulat

dimana

disebut hasil bagi dalam membagi disebut sisa dalam membagi

dangan .

. dengan

;


14

Bukti: Terdapat dua bagian untuk membuktikannya, yang pertama adalah eksistensi dan yang kedua adalah ketunggalan. {

Perhatikan himpunan dan

|

merupakan suatu bilangan bulat

.

Jika

, maka untuk suatu bilangan bulat .

(b membagi a)

Hasil yang diinginkan dapat diperoleh dengan Asumsikan [Jika

. Karena

.

tak-kosong,

maka ;

dan

; jika karena

maka

]

maka dapat diterapkan Well Ordering Principle untuk menyimpulkan bahwa S mempunyai anggota terkecil, sebut . Berarti terdapat bilangan bulat

sehingga

Akan dibuktikan bahwa sisa Andaikan

, maka

. Maka .

dan

.


berarti

. Tetapi

, berarti

bukan yang terkecil, sedangkan

merupakan anggota terkecil dari

. Muncul kontradiksi. Jadi,

.

Untuk membuktikan ketunggalan dari terdapat bilangan bulat

15

dan

dan

, dimisalkan bahwa

sedemikian sehingga

, dan , Karena misal

, salah satu lebih besar atau sama dengan yang lainnya, . Dari persamaan

persamaan

diperoleh

diperoleh

, sedangkan dari

. Dengan mengurangkan keduanya

maka dihasilkan:

. Di sisi lain, bahwa

Tetapi,

dan , maka

kurang dari . Sebelumnya juga telah dimisalkan . Dengan demikian,

merupakan bilangan bulat, jadi ketidaksamaan ini berlaku

jika dan hanya jika mengakibatkan

. Dengan kata lain,

. Sehingga


16

∎

.

Contoh 2.3 Untuk

dan

, berlaku: dan

untuk

dan

, berlaku: .

3. Faktor Persekutuan Terbesar Definisi 2.2 (Faktor Persekutuan) Suatu bilangan bulat

disebut faktor persekutuan dari bilangan

bulat a dan b jika d membagi a dan b, yaitu: jika

Karena

dan

adalah pembagi setiap bilangan bulat, maka

persekutuan dari

.

adalah faktor

dan . Oleh karena itu, himpunan faktor persekutuan

yang positif adalah tak-kosong. Setiap bilangan bulat membagi nol, karena itu jika persekutuan

, maka setiap bilangan bulat merupakan faktor dan . Dalam hal ini, himpunan faktor persekutuan yang

positif dari salah satu dari

adalah tak-berhingga. Tetapi, apabila setidaknya atau

yang tidak sama dengan nol, maka terdapat

berhingga banyak faktor persekutuan yang positif. Diantaranya, terdapat satu yang terbesar,yang disebut faktor persekutuan terbesar dari

dan .


17

Definisi 2.3 (Faktor Persekutuan Terbesar) Jika a dan b adalah bilangan bulat yang keduanya tak-nol, maka faktor persekutuan terbesar d dari a dan b adalah faktor persekutuan yang paling besar dari a dan b. Faktor persekutuan terbesar dari a dan b ditulis sebagai: . Apabila

, maka a dan b dikatakan relatif prima.

Contoh 2.4 Hitunglah

!

Perhatikan pembagi 24 yaitu: , dan pembagi 32 yaitu: . Dengan demikian, faktor persekutuan dari 24 dan 32 yaitu: . Berdasarkan faktor persekutuan di atas, didapat faktor persekutuan yang terbesar dari 24 dan 32 yaitu 8. Jadi,

.

Teorema berikut akan menunjukkan bahwa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

dapat

dan .

Teorema 2.3 (FPB merupakan Kombinasi Linear) Jika

dan

adalah bilangan bulat yang keduanya bukan nol, maka

terdapat bilangan bulat

dan

sedemikian sehingga


18

.

Bukti: Misalkan himpunan

merupakan semua kombinasi linear positif dari

dan : {

merupakan bilangan bulat .

Akan ditunjukkan bahwa Jika

, maka

jika

, maka

tak-kosong. , dimana , dimana

Menurut Well-Ordering Principle,

; .

mempunyai elemen terkecil, misal

. Dengan demikian, berdasarkan definisi , terdapat bilangan bulat dan

sedemikian sehingga dapat dinyatakan bahwa .

Dengan Algoritma Pembagian, dapat diperoleh bilangan bulat

dan

sedemikian sehingga

dapat

, dimana

. Kemudian

ditulis ke dalam bentuk

. Jika

adalah positif, maka

padahal karena itu,

merupakan anggota . Muncul kontradiksi,

elemen terkecil dari , sehingga

(ingat kembali bahwa atau dengan kata lain

). Oleh . Untuk


membuat dibuktikan

sebagai faktor persekutuan dari

19

dan , maka masih harus

.

Misal, terdapat bilangan bulat dan dimana

. Kemudian

sedemikian sehingga

,

dapat ditulis ke dalam bentuk

. Jika

, maka

merupakan anggota . Muncul kontradiksi, padahal

elemen terkecil dari

(ingat kembali bahwa

, sehingga

atau dengan kata lain

Jika

). Oleh karena itu, .

adalah sembarang faktor persekutuan positif dari bilangan bulat

dan , maka dengan menggunakan sifat disimpulkan bahwa

dalam Teorema 2.1 dapat

, dengan kata lain

dalam Teorema 2.1, didapat

| |

| |

, oleh karena itu

besar dari setiap faktor persekutuan positif dari demikian,

. Dengan sifat

dan

lebih

. Dengan ∎

.

Teorema berikut ini memperkenalkan hubungan antara bilangan bulat yang relatif prima di dalam bentuk kombinasi linear. Teoreme 2.4 (Relatif Prima) Misalkan

, keduanya tidak nol. Maka

dan hanya jika terdapat

dan

sedemikian sehingga

relatif prima jika


20

.

Bukti: Misal

dan

relatif prima, berarti

2.3 menjamin bahwa terdapat Misalkan

. Maka Teorema

yang memenuhi untuk sembarang

. Ini berarti

dan

. Menurut sifat

. , dan dalam Teorema

2.2, maka

. Menurut Sifat Karena

dalam Teorema 2.1, berarti , maka diperoleh

disimpulkan bahwa

dan

atau

.

. Dengan demikian,

relatif prima.

∎

4. Persamaan Diophantine Menurut Teorema 2.3, diketahui bahwa untuk bilangan bulat positif dan , terdapat bilangan bulat

dan

sedemikian sehingga

. Hal ini memunculkan pertanyaan: Dengan bilangan bulat yang telah ditentukan dan

tidak keduanya nol, apakah dapat

ditemukan penyelesaian untuk persamaan


dimana

21

? Persamaan dari bentuk ini disebut persamaan

Diophantine. Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah pasangan bilangan bulat

yang ketika disubstitusikan akan memenuhi

persamaan tersebut, yaitu

.

Teorema berikut akan memberikan syarat perlu dan cukup untuk persamaan

Diophantine

menghasilkan

penyelesaian

bilangan bulat. Teorema 2.5 Persamaan Diophantine hanya jika

mempunyai penyelesaian jika dan

, dimana

.

Bukti: Untuk

berarti terdapat bilangan bulat

sedemikian sehingga

dan

penyelesaian, berarti

. Jika untuk

dan

mempunyai dan

yang bersesuaian,

sehingga

dan dapat dikatakan bahwa Untuk sebaliknya, andaikan bahwa

, berarti

untuk suatu

bilangan bulat . Dengan menggunakan Teorema 2.3, terdapat bilangan bulat

dan

yang memenuhi

dikalikan dengan , maka dapat diperoleh

. Sehingga apabila


22

. Oleh karena itu, persamaan Diophantine penyelesaian tertentu yaitu

dan

mempunyai .

∎


B.

23

TEORI KEKONGRUENAN 1. Sifat-sifat Dasar Kekongruenan Salah satu aplikasi dari algoritma pembagian yang cukup penting adalah arimetika modulo. Arimetika modulo merupakan suatu penerapan metode menghitung yang sering digunakan. Sebagai contoh, jika sekarang adalah September, bulan apakah yang akan muncul

bulan

dari sekarang? Tentu saja jawabannya adalah Oktober, tetapi hal yang menarik adalah jawabannya tidak diperoleh dengan menghitung

bulan

mulai dari September. Daripada melakukan hal yang demikian, dengan mudah mengamati bahwa

, dan dengan menambahkan

bulan terhadap September maka jawabannya adalah Oktober. Dengan cara yang sama, jika sekarang adalah hari Rabu, maka dapat diketahui bahwa

hari yang akan datang adalah hari Jumat. Dalam hal ini,

jawaban dapat diperoleh dengan menulis bahwa cukup dengan menambahkan menghitung sampai

, jadi

hari terhadap hari Rabu daripada harus

hari.

Ketika a = qn + r, dimana adalah sisa dari pembagian

adalah hasil bagi dari

dengan

dengan , dapat ditulis sebagai atau

.

Dengan demikian, karena

,

karena

,

karena

.

dan


24

Secara lebih umum dapat ditulis dalam definisi berikut. Definisi 2.4 (Kongruen) Misalkan kongruen

jika

dan

adalah bilangan bulat positif, dikatakan bahwa

mod , ditulis

. Bilangan bulat positif

Jika

membagi selisih

disebut modulus.

, hal ini menunjukkan bahwa

untuk suatu k anggota bilangan bulat. Ketika dikatakan bahwa ditulis

tak kongruen terhadap

modulo , dan dalam hal ini

.

Dalam definisi 2.4, terdapat

pilihan untuk , dapat dilihat bahwa

setiap bilangan bulat kongruen modulo , ,...,

ke salah satu dari nilai-nilai ,

. Secara khusus,

jika dan hanya jika

Himpunan bilangan bulat { tak-negatif terkecil modulo

Ini karena

atau

.

. yaitu

.

Contoh 2.6 Misal

.

disebut himpunan sisa-sisa

Contoh 2.5 Misal

, dapat

karena .


25

Teorema berikut akan memberikan manfaat dari kongruen modulo di dalam bentuk sisa-sisa pembagian dengan . Teorema 2.6 Untuk bilangan bulat hanya jika

dan

dan

yang berbeda,

jika dan

meninggalkan sisa-sisa tak-negatif yang sama ketika

dibagi dengan .

Bukti: Misal

, berarti

untuk suatu Misalkan sisa dari

bila dibagi dengan ,

.

adalah , yaitu:

, dimana

.

Oleh karena itu,

, Ini menunjukkan bahwa Misal

dan

mempunyai sisa yang sama dengan , yaitu .

meninggalkan sisa yang sama ketika dibagi dengan

berarti dapat ditulis bahwa . Maka

dan

dimana


26

. Ini berarti

. Menurut Definisi 2.4, dapat ditulis ∎

.

Contoh 2.7 Perhatikan bilangan bulat Keduanya (

dan

dengan

, dan

.

) dapat dinyatakan ke dalam bentuk: dan

dengan sisa yang sama yaitu

. Menurut Teorema 2.2, dapat ditulis

bahwa . Begitu juga dengan,

mengakibatkan

dan

mempunyai sisa yang sama ketika dibagi dengan , yaitu: dan

.

Kongruensi dapat dilihat sebagai generalisasi bentuk kesamaan (equality), dalam pengertian bahwa sifatnya terhadap penjumlahan dan perkalian mengingatkan kepada kesamaan biasa. Beberapa sifat dasar kesamaan yang berlaku terhadap kekongruenan muncul dalam teorema berikut.


27

Teorema 2.7 (Sifat-sifat Dasar Kekongruenan) Misalkan

dan

bilangan bulat yang berbeda. Maka berlaku

sifat berikut: . (Sifat Refleksif) Jika

, maka

Jika

dan

.

(Sifat Simetris) , maka

.

(Sifat Transitif) Jika

dan dan

, maka .

Jika

,

maka

dan

.

Bukti: Untuk sifat demikian Untuk sifat untuk suatu

, karena

, berarti

. Dengan

. , andaikan . Dengan mengkalikan

maka dapat ditulis terhadap kedua ruas, maka

diperoleh:

. Karena

, berarti dapat ditulis

.


Untuk sifat

, misalkan bahwa

Maka terdapat

yang memenuhi

28

dan

.

dan

. Ini

berarti

yang dapat ditulis sebagai Untuk sifat

.

, misalkan bahwa

Maka terdapat

dan

yang memenuhi

. dan

. Ini berarti

. Begitu juga,

kedua ruas ditambah Karena

dan

,

menunjukkan bahwa . Oleh karena itu, dari kongruen yaitu:

dan dan

hal

ini

dapat dibagi dengan

dapat ditulis ke dalam bentuk dan

.


Untuk membuktikan sifat sifat

dimana

cukup dengan menggunakan sifat . Sehingga

29

dan dan ∎

Di dalam penerapannya, ketika ingin menghitung

atau

, dan a atau b yang lebih besar dari n, akan lebih mudah dengan menghitung “mod first”. Sebagai contoh, untuk menghitung perhatikan bahwa

dan

, sehingga diperoleh

.

Contoh 2.8 Tentukan,

, dan

! ,

karena

. ,

karena

.

Untuk beberapa materi yang akan datang akan sering dihadapkan dengan masalah dalam menyelesaikan kekongruenan untuk suatu

.

Kunci untuk menyelesaikan masalah yang demikian adalah gagasan tentang invers modulo .


30

Definisi 2.5 (Invers Modulo) Misalkan

. Bilangan

disebut sebagai invers perkalian dari

modulo , jika . Invers perkalian dari

modulo

biasa ditulis

.

Teorema 2.8 (Invers Perkalian Modulo) Bilangan

mempunyai invers perkalian modulo

jika

jika dan hanya

.

Bukti: Andaikan Maka

mempunyai invers modulo , sebut mengakibatkan

ditulis dengan

. Menurut Teorema 2.4, berarti

relatif prima atau

. Dapat dan

.

Misalkan dalam bentuk

, untuk

.

, maka menurut Teorema 2.4 dapat ditulis . Ini berarti

yang mengakibatkan

. Dengan demikian

sehingga adalah invers dari

modulo .

∎


31

Contoh 2.9 Bilangan bulat

mempunyai invers perkalian modulo 26 karena

dan

relatif prima. Invers perkalian tersebut dapat diperoleh dengan menemukan

yang memenuhi kekongruenan .

Kekongruenan ini dapat diselesaikan dengan mencoba penyelesaianpenyelesaian yang mungkin, yaitu diperoleh

. Dengan cara ini akan

sebagai penyelesaian dari kekongruenan tersebut, karena

Dengan demikian,

.

2. Kekongruenan Linear Suatu persamaan yang berbentuk

disebut sebagai

kekongruenan linear, dan penyelesaian untuk pesamaan tersebut adalah suatu bilangan bulat

sedemikian sehingga

menggunakan Definisi 2.4,

. Dengan jika dan hanya jika

. Untuk

elemen-elemen

dari

yang

manakah

sehingga

kekongruenan

berlaku? Dapat dianggap bahwa kekongruenan linear jenis ini harus mempunyai satu penyelesaian, tetapi dengan memeriksa sembilan elemen dari

dapat diperoleh bahwa terdapat tiga penyelesaian; yaitu


dan

. Hal ini karena .

Dengan

, demikian,

telah

, dan ditunjukkan

kekongruenan tersebut mempunyai tiga penyelesaian: dan

32

bahwa ,

.

Beberapa kekongruenan linear tidak mempunyai penyelesaian. Sebagai contoh,

tidak

mempunyai

penyelesaian.

Andaikan

penyelesaiannya, maka dapat terdapat bilangan bulat

merupakan sedemikian

sehingga

. Dapat dilihat, ruas kiri dapat dibagi dengan 3 sedangkan ruas kanan tidak dapat dibagi dengan 3, dengan demikian diperoleh kontradiksi. Kapan suatu kekongruenan dari bentuk

mempunyai penyelesaian di dalam

? Berdasarkan contoh di atas, dapat

dilihat bahwa diperlukan syarat mempunyai penyelesaian, yaitu semua faktor persekutuan dari

dan

harus membagi .

Teorema 2.9 (Kekongruenan Linear) Kekongruenan linear jika dan hanya jika

mempunyai penyelesaian , dimana


33

Bukti: Kekongruenan

dapat ditulis ke dalam bentuk .

Kekongruenan tersebut mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika terdapat

sedemikian sehingga

.

Pada pembahasan yang sebelumnya telah dipelajari mengenai Persamaan Diophantine, dapat dikatakan bahwa persamaan

ekuivalen dengan

persamaan linear Diophantine, yaitu: . Dengan kata lain, kekongruenan tersebut mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika persamaan linear Diophantine

mempunyai

penyelesaian. Menurut Teorema 2.5, dapat disimpulkan bahwa kekongruenan tersebut mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika

,

dimana ∎

.

Akibat 2.10 Kekongruenan linear

mempunyai penyelesaian tunggal

jika dan hanya jika

.

Bukti: Menurut Teorema 2.9, kekongruenan linear penyelesaian

jika dan hanya jika

mempunyai . Karena


34

dan menurut Teorema 2.8, berarti kekongruenan linear mempunyai penyelesaian

.

Untuk menunjukkan ketunggalan dari penyelesaian dimisalkan terdapat

dan

Menurut Teorema 2.7

tersebut, .

,

dapat ditulis sebagai

dan menurut Teorema 2.7

maka

. Dengan menggunakan Teorema 2.7 apabila

.

, kekongruenan di atas berlaku ∎


C.

35

MATRIKS 1. Notasi dan Istilah-istilah Matriks Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan tersebut disebut elemen-elemen. Matriks yang mempunyai (dibaca “

[

],

baris dan

kolom dikatakan berukuran

kali ”). Perhatikan beberapa contoh berikut:

*

[

+,

],

* +,

[ ].

Untuk menyatakan suatu matriks biasanya menggunakan huruf kapital, dan untuk menyatakan elemen-elemen dari matriks tersebut digunakan huruf kecil. Secara lebih umum, suatu matriks berukuran dinyatakan sebagai berikut:

[

].

Matriks di atas dapat dinotasikan dengan dimana dan

dan

[

]

[

atau

. Matriks yang mempunyai

kolom disebut mariks persegi. Elemen-elemen

disebut sebagai diagonal utama dari matriks tersebut.

,

],

baris

,...,


[

36

]

Gambar 2.1: Diagonal Utama Matriks Matriks persegi dengan elemen-elemen diagonal utama dan

yang terletak sepanjang

selain diagonal utamanya disebut matriks identitas.

Matriks identitas dinotasikan dengan .

*

+

Gambar 2.2: Matriks Identitas Simbol

atau

digunakan untuk menyatakan elemen pada baris

dan kolom dari matriks . Sebagai contoh, jika *

maka

,

,

+

, dan

.

2. Invers Matriks Dalam aritmetika biasa, setiap bilangan taknol kebalikan (reciprocal)

(

) dengan sifat

.

mempunyai


Bilangan

kadang disebut invers perkalian

37

. Pembahasan

selanjutnya adalah untuk melihat hasil yang analog ini dalam aritmetika matriks. Definisi 2.6 (Invers Matriks) Jika

merupakan matriks persegi, dan jika terdapat matriks

ukuran yang sama seperti

maka

dengan

sedemikian sehingga

dikatakan invertibel (atau tak singular), dan

dari . Jika tidak terdapat matriks

disebut invers

dengan sifat ini, maka

dikatakan

singular.

Perhatikan bahwa syarat menukar , maka

dan

. Dengan demikian, jika

invertibel dan

syarat dan

tidak berubah dengan

invers dari

invertibel dan

invers dari

juga benar. Karena itu, ketka

berlaku, hal ini benar untuk mengatakan bahwa merupakan invers satu sama lain.

Contoh 2.10: (

Misal

(

) dan

)(

)

(

(

). Maka

*


(

(

)(

)

)

dan

.

(

*

(

Dengan demikian,

38

)

.

invertibel dan masing-masing invers satu

sama lain. Selanjutnya dalam bagian ini akan dibicarakan metode yang umum untuk menghasilkan invers dari suatu matriks invertible. Tetapi, dalam kasus sederhana dari matriks invertibel berukuran

, inversnya dapat

diperoleh menggunakan rumus dalam teorema berikut. Teorema 2.11 (Invers Matriks (

Matriks

)

) adalah invertible jika dan hanya jika

,

dalam kasus dimana invers diberikan dengan rumus

(

)

(

,

Bukti:

MIsal

(

) dan

(

+, maka


(

)(

39

,

(

)

Pembagian dari elemen-elemen matriks di atas dapat dilakukan jika dan hanya jika penyebut tidak sama dengan nol. Berarti,

.

Sehingga dihasilkan (

).

Begitu juga

(

,(

( (

)

) ).

∎


Kuantitas berukuran

40

dalam teorema di atas disebut determinan matriks dan dinotasikan dengan .

Dengan istilah determinan, Teorema (diatas) mengatakan bahwa matriks berukuran

invertibel jika dan hanya jika

.

Contoh 2.11: (

Tentukan invers matriks

).

Karena

, maka

(

)

invertibel dan

( (

,

)

3. Determinan secara Umum Sebelumnya telah diungkit mengenai determinan matriks berukuran yaitu

. Untuk memperluas definisi

terhadap

matriks dengan orde yang lebih tinggi, akan bermanfaat dengan menggunakan penulisan elemen-elemen , dimana |

menjadi

|

....

Ini disebut determinan

. Determinan matriks

berukuran

juga disebut determinan

, didefinisikan dengan rumus

,


|

41

|

.... Untuk memperluas definisi determinan terhadap matriks akan bermanfaat dengan memeriksa struktur Rumus

dan

.

Determinan dari kedua rumus tersebut merupakan penjumlahan dari hasil kali, masing-masing mempunyai tepat satu elemen dari setiap baris dan satu elemen dari setiap kolom dari matriks tersebut. Oleh karena itu, didefinisikan suatu hasil kali elementer dari matriks sebagai hasil kali

berorde

elemen dari matriks , dimana tidak ada yang berasal

dari dua baris atau kolom yang sama. Dengan demikian, jika

[

],

maka setiap hasil kali elementer dinyatakan dalam bentuk .... dimana indeks kolom membentuk permutasi bilangan bulat { dari

sampai

dan indeks baris dalam urutan asli.

Hasil kali elementer yang dihubungkan dengan tanda

atau –

disebut hasil kali elementer bertanda. Tanda yang mendahului hasil kali elementer berhubungan dengan permutasi dari indeks kolom. Lebih tepatnya, tanda untuk setiap hasil kali elementer dapat ditentukan dengan menghitung jumlah minimum pertukaran (the minimum number of interchanges) dalam permutasi dari indeks kolom yang diperlukan untuk


42

menempatkan indeks-indeks tersebut menjadi urutan aslinya: tanda jika jumlahnya genap dan tanda – jika jumlahnya ganjil. Sebagai contoh, dalam Rumus

:

untuk determinan

, hasil kali elementer

tambah karena permutasi {

menggunakan tanda

dari indeks kolomnya telah sesuai dengan

urutan asli (sehingga jumlah minimum pertukaran yang diperlukan untuk menempatkan indeks tersebut dalam urutan asli adalah , yang adalah bilangan bulat genap). Dengan cara yang sama, hasil kali elementer menggunakan tanda kurang karena permutasi { kolom memerlukan

dari indeks

pertukaran untuk menempatkan mereka dalam

urutan asli. Definisi 2.7: (Determinan) Determinan suatu matriks persegi

dinotasikan dengan

dan

didefinisikan sebagai penjumlahan semua hasil kali elementer bertanda dari matriks .

Determinan matriks

juga dapat ditulis dalam notasi palang tegak

| |

|

|.


Kita akan sebut ini determinan

43

atau determinan orde ke- . Ketika

tidak menyusahkan, Definisi 2.7 dapat dinyatakan dalam notasi ∑ dimana ∑ dan

....

bermaksud untuk mengusulkan bahwa hasil kali

elementer bertanda dijumlahkan terhadap semua kemungkinan permutasi {

darik indeks kolom.

4. Determinan Matriks (Ekspansi Kofaktor) Akan dikembangkan cara untuk menghitung determinan yang berdasarkan determinan dengan orde yang lebih rendah. Definisi 2.8 (Minor dan Kofaktor) Jika

adalah matriks persegi, maka minor dari elemen

minor ke-

dari

) dinotasikan dengan

(juga disebut

dan didefinisikan sebagai

determinan submatriks ketika baris ke- dan kolom ke- dari Bilangan kofaktor ke- dari ).

disebut kofaktor dari elemen

dihapus. (atau


44

Contoh 2.12:

Misal

(

Minor dari elemen

+.

adalah |

|

dan kofaktor yang bersesuaian adalah . Minor dari elemen

adalah |

|

dan kofaktor yang bersesuaian adalah .

Akan ditunjukkan bagaimana determinan bentuk determinan

dapat dinyatakan dalam

. Ingat bahwa determinan

dari matriks

didefinisikan sebagai

.... yang dapat ditulis sebagai


Tetapi, pernyataan dalam tanda kurung adalah kofaktor

,

45

, dan

,

sehingga dapat ditunjukkan bahwa . Dalam kata-kata, rumus ini menyatakan bahwa

dapat diperoleh

dengan mengalikan setiap elemen pada kolom pertama matriks

dengan

kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan. Tidak ada yang spesial tentang kolom pertama, dengan mengelompokkan sukusuku dalam Rumus

, dapat ditunjukkan bahwa terdapat enam rumus:

....

Ini disebut ekspansi kofaktor dari . Sebagai catatan bahwa dalam setiap ekspansi kofaktor, elemen dan kofaktor berasal baris yang sama atau kolom yang sama..


46

Contoh 2.13: Tentukan determinan matriks

berikut dengan ekspansi kofaktor

pada kolom pertama:

|

|

|

|

|

|

|

|

. Ekspansi kofaktor untuk determinan matriks

merupakan

kasus khusus dari teorema berikut, yang dinyatakan tanpa bukti. Teorema 2.12 (Ekspansi Kofaktor) Determinan matriks

berukuran

dapat dihitung dengan

mengalikan elemen-elemen di sembarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang dihasilkan; yaitu untuk setiap

dan

,

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke- )

dan

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- )


47

5. Rumus untuk Pada bagian ini akan digunakan deteminan dalam menghasilkan rumus untuk invers suatu matriks. Dalam ekspansi kofaktor, dihitung dengan mengalikan elemen-elemen di sembarang baris atau kolom

dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali.

Definisi 2.9 (Matriks Kofaktor) Jika

adalah matriks

dan

adalah kofaktor dari

, maka

matriks

(

,

disebut matriks kofaktor dari adjoint dari

. Transpose dari matriks ini disebut

dan dinotasikan dengan

.

Contoh 2.14:

Kofaktor dari matriks

(

+ adalah

Jadi matriks kofaktor dan adjoint secara berturut-turut adalah


(

+ dan

(

48

+.

Sekarang saatnya untuk menurunkan rumus untuk invers matriks invertibel. Teorema 2.13 (Matriks Invers) Jika

adalah matriks invertibel, maka

....

Bukti: Pertama akan ditunjukkan bahwa

. Untuk tujuan ini,

andaikan hasilkali

( (

,

)

Dapat dilihat bahwa elemen pada baris ke- dan kolom ke- dari hasil kali ini adalah . Dalam kasus dimana dari , jadi

, elemen dan kofaktor dari baris yang sama

merupakan ekspansi kofaktor dari

sepanjang baris


tersebut. Dalam kasus dimana

49

, elemen dan kofaktor dari baris yang

berbeda, jadi penjumlahannya adalah nol menurut Teorema 4.3.1 (Anton dan Busby, 2003 : 196). Dengan demikian,

(

Karena

,

invertibel, ini berarti bahwa

.

, jadi persamaan ini

dapat ditulis kembali sebagai

[

yang mana Rumus

]

∎

sekarang berlaku.

Contoh 2.15: Gunakan Rumus

untuk menentukan invers matriks

dalam contoh

sebelumnya.

(

|

|

|

+

|

.


(

50

)

6. Aritmetika Modulo untuk Matriks Tujuan selanjutnya adalah menggeneralisasi perhitungan modular terhadap matriks. Sebuah matriks yang diambil dari elemen-elemen bilangan bulat

adalah mudah, cukup mengambil

untuk

masing-masing elemen. Sebagai contoh,

(

+

(

+.

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian sama mudah. Pertama lakukan penjumlahan, pengurangan, atau perkalian seperti biasanya dan ambil hasil tersebut

, yaitu ambil setiap elemen

.

Contoh 2.16:

Misal

(

) dan

Tentukan

, (

)

(

(

).

, dan

!

)

)

(


(

(

)

(

)

)

(

)(

+

(

.

)

(

(

51

)

.

)

(

)

.

Bekerja dengan matriks menggunakan aritmetika modulo dapat menjadi menantang. Hal ini dikarenakan perhitungan yang dilakukan tidak sama saat bekerja pada lapangan seperti

. Sebelum bekerja pada modulo

matriks, perlu diingat notasi-notasi dasar dan teori di dalam aritmetika modulo. Definisi 2.10 (Kekongruenan Matriks) Andaikan

dan

adalah matriks. Maka

merupakan matriks

yang diperoleh dengan mengurangi (mereduksi) setiap elemen matriks dengan

. Matriks

dan

yang bersesuaian dari mariks dengan matriks

ditulis dengan

disebut kongruen jika elemen-elemen dan

kongruen. Matriks .

kongruen


Perlu diingat, modulo

52

memenuhi semua sifat lapangan, kecuali

satu yaitu tidak semua bilangan mempunyai invers perkalian. Misalkan diberikan

, belum tentu terdapat

yang memenuhi .

Hal pertama yang dapat diamati tentang

adalah bahwa penjumlahan

matriks, perkalian matriks, dan determinan matriks akan bekerja pada seperti halnya pada

. Operasi-operasi matriks ini didefinisikan dalam

istilah-istilah penjumlahan skalar dan perkalian elemen-elemen matriks. Semua operasi-operasi terhadap modulo ini dapat ditunjukkan seperti halnya pada lapangan. Contoh berikut memberikan penjelasan perkalian matriks di

, yang akan menjadi ide dasar dari Sandi Hill pada BAB

III. Contoh 2.17:

Misalkan matriks

*

*

+ dan

+ *

+. Maka

+

[

]

*

*

*

+

+

.


53

Seperti yang telah dikatakan sebelumnya, tidak semua bilangan mempunyai invers perkalian. Ini merupakan perbedaan penting untuk mendekripsi pesan yang terenkripsi menggunakan Sandi Hill, diperlukan untuk menemukan invers dari matriks kunci. Jika ingin menghitung invers matriks, baik itu dengan reduksi baris atau ekspansi kofaktor, maka diperlukan invers perkalian bilangan-bilangan. Namun, dengan menggunakan Teorema 2.8 dapat membantu dalam menentukan invers perkalian di dalam modulo. Berdasarkan teorema tersebut, dapat dilihat jika prima, maka setiap bilangan taknol di dalam perkalian (dan oleh karena itu

Sebagai contoh, di dalam

,

mempunyai invers

adalah lapangan). Tetapi, bila

bilangan prima, maka tidak semua anggota

prima terhadap

adalah bilangan

bukan

mempunyai invers.

hanya

yang relatif

, dan invers-inversnya adalah: ,

,

,

,

, dan

. Sekarang setelah mengetahui invers bilangan, maka dapat melanjutkan ke invers matriks. Definisi 2.11 (Invers) Misal

merupakan matriks dengan elemen-elemen di

disebut invers kiri dari matriks

jika

. Matriks

dan matriks

disebut


invers kanan dari matriks dilakukan di dalam modulo

jika

, dimana semua operasi

. Secara ekuivalensi dapat ditulis dengan

atau matriks

jika

54

. Matriks

disebut invers dari

merupakan invers kiri dan invers kanan dari matriks .

Contoh 2.18: (

Misal

+ matriks yang elemen-elemennya anggota

(

+

(

+

(

+

(

+

(

maka

(

,

+

(

+

+ adalah invers . Dapat diuji dengan melihat

hasil kali kedua matriks dari kiri maupun kanan

akan menghasilkan

matriks identitas, dimana setiap perhitungan menggunakan modulo 26.

(

(

+(

+

+

(

+

.


(

+(

(

55

+

+

(

+

.

Teorema 2.14 (Syarat untuk Invers pada Modulo) Suatu matriks persegi determinan matriks

adalah invertibel pada mempunyai invers di dalam

adalah invertibel, maka matriks

jika dan hanya jika . Jika matriks

tunggal dalam modulo. Jika matriks

mempunyai invers kiri atau invers kanan, maka matriks invers kiri maupun inver kanan tersebut adalah inversnya.

Bukti: Andaikan matriks

adalah invertibel. Maka

dan

jadi determinan

mempunyai invers perkalian.

Sebaliknya, jika determinan

mempunyai invers perkalian, maka

rumus kofaktor untuk invers akan menghasilkan

tanpa menggunakan

sembarang invers perkalian selain invers determinan. Kita belum


membuktikan bahwa invers kanan invers kiri

56

dalam modulo juga merupakan

, jadi kita harus memeriksa bahwa matriks invers yang

diberikan dalam metode ini adalah invers kanan dan kiri . Rumus kofaktor untuk determinan dan invers dari matriks

berukuran

akan digunakan seperti yang dinyatakan dan dibuktikan (Treil, 2009) dengan sedikit perubahan notasi. Misal

merupakan elemen

matriks

merupakan matriks

pada baris ke- dan kolom ke- . Misal

yang dibentuk dengan menghilangkan baris dan kolom dari matriks . (

Misal

).

Untuk setiap baris pada matriks ,

∑

Untuk setiap kolom ,

∑

Misal

adalah matriks yang dibentuk dengan meletakkan kofaktor

dari matriks

pada baris dan kolom . Maka


57

Untuk menunjukkan bahwa ini merupakan invers kiri dengan menghitung

. Elemen

matriks

adalah

∑

Elemen

matriks

, dimana

adalah

∑

yang mana determinan tersebut untuk matriks seperti

dimana kolom

diganti dengan kolom . Matriks ini mempunyai dua kolom yang sama, sehingga determinannya nol. Dengan demikian, semua elemen bukan diagonal utama dari adalah

adalah nol dan semua elemen diagonal utama

. Sehingga

(

(

berarti (

)

,

)

.

merupakan invers kiri dari matriks . Bukti untuk

invers kanan mirip, dan telah diberikan oleh Treil (2009). Ini berarti bahwa matriks yang determinannya mempunyai inverse perkalian modulo

mempunyai invers modulo

.


Misal

merupakan invers kofaktor (

)

setiap invers kanan dari matriks Andaikan matriks

. Setiap invers kiri dan

akan buktikan sama dengan

,

dan Dengan demikian, matriks

.

.

merupakan invers kanan dari matriks . Maka dan

berarti

,

. Hal ini membuktikan bahwa invers dari matriks

terhadap modulo

adalah tunggal. Dengan demikian, setiap invers kiri

atau invers kanan adalah invers, karena sama dengan invers.

.

merupakan invers kiri dari matriks . Maka, dengan

menggunakan operasi pada modulo

Andaikan

58

yang merupakan ∎


D.

59

FUNGSI Definisi 2.12 (Fungsi atau Pemetaan) Fungsi (atau pemetaan)

dari himpunan

memasangkan setiap elemen Himpunan . Jika

adalah aturan yang

dengan tepat satu elemen

disebut domain dari

memasangkan

ke

dan himpunan

ke , maka

disebut peta

.

disebut kodomain dari terhadap .

Untuk mempersingkat penulisan, dapat ditulis dengan berarti bahwa

memetakan

menyatakan bahwa

ke

memetakan

. Ditulis

yang

atau

yang

ke .

Secara simbolis definisi fungsi dapat ditulis .

  

   

bukan fungsi

  

  















bukan fungsi Gambar 2.3: Fungsi



fungsi


60

Definisi 2.13 (Komposisi Fungsi) Misal

dan

himpunan

. Komposisi

ke himpunan

adalah pemetaan dari

yang didefinisikan oleh (

)

untuk semua

.

Komposisi fungsi dapat digambarkan seperti pada Gambar 2.4. Pada pelajaran kalkulus, komposisi dari dan didefinisikan sebagai

g

dengan g ditulis

g

. Ketika fungsi disusun, tanda “lingkaran”

dihilangkan.



 a

 (

Gambar 2.4: Komposisi fungsi

)

dan .

Definisi 2.14 (Fungsi One-to-One) Suatu fungsi

dari himpunan

jika untuk setiap

,

ke himpunan

disebut one-to-one (injektif)

mengakibatkan

Istilah one-to-one memastikan bahwa satu elemen hanya dari satu elemen mengakibatkan

. Dengan kata lain,

.

merupakan peta

adalah one-to-one jika

. Artinya, elemen-elemen yang


berbeda dari

memetakan di elemen-elemen yang berbeda dari

61

. Lihat

Gambar 2.5.













Fungsi

adalah one-to-one





bukan fungsi one-to-one

Gambar 2.5: Fungsi one-to-one

Definisi 2.15 (Fungsi onto) Suatu fungsi elemen

dari himpunan

ke himpunan

dikatakan onto jika setiap

adalah peta dari paling sedikit satu elemen adalah onto jika untuk setiap

sedemikian sehingga

   

Fungsi

  

adalah onto

. Dengan simbol,

, terdapat setidaknya satu

. Lihat Gambar 2.6.

   

  

bukan fungsi onto

Gambar 2.6: Fungsi onto


62

Definisi 2.16 (Fungsi Bijektif) Fungsi jika

dari himpunan

one-to-one dan

ke himpunan

dikatakan bijektif jika dan hanya

onto. Lihat Gambar 2.7

















Gambar 2.7: Fungsi bijektif


BAB III KRIPTOGRAFI KLASIK

A.

KRIPTOGRAFI Definisi dan Konsep Kriptografi/ Istilah-istilah Istiah kriptografi berasal dari bahasa Yunani, kryptos yang berarti “rahasia, tersembunyi”, dan graphos yang berarti “tulisan”. Istilah kriptografi mengarah kepada aktivitas dalam merencanakan cara yang aman untuk berkomunikasi secara rahasia antara dua atau lebih pihak, dan untuk melakukan cara-cara yang dimaksud merupakan tugas dari pihak-pihak tersebut. Pihak-pihak tersebut dapat disebut sebagai kriptografer. Definisi 3.1 (Kriptografi) Kriptografi adalah teknik untuk menyamarkan dan memproteksi pesan. Pesan yang asli disebut teks-asal (plaintext), pesan yang disamarkan disebut teks-sandi (ciphertext).

Persoalan utama di dalam kriptografi adalah bagaimana cara pihak satu, yang disebut “pengirim”, mengirimkan pesan ke pihak lainnya, yang disebut “penerima”, dengan berbagai cara yang dilakukan sehingga tidak ada pihak lain yang dapat mengetahui isi pesan tersebut. Pihak lain yang dimaksud yaitu musuh atau lawan yang ingin tahu isi pesan yang asli. Dalam hal ini, pengirim mengubah teks-asal menjadi bentuk lain yang tidak

63


64

mudah dipahami yang disebut teks-sandi. Proses ini disebut enkripsi. Sedangkan proses yang sebaliknya disebut dekripsi, yaitu proses mengubah teks-sandi menjadi teks-asal. Untuk melakukan enkripsi dan dekripsi diperlukan kunci (key). Kunci ini sangat penting dan rahasia. Enkripsi merupakan proses yang penting dalam kriptografi. Seperti yang telah dijelaskan singkat sebelumnya, enkripsi merupakan suatu proses dimana teks-asal diubah menjadi teks-sandi. Proses ini bertujuan agar isi pesan yang dikirim tidak dapat diketahui oleh orang lain. Untuk melakukan proses ini dibutuhkan sebuah fungsi agar dapat mengubah suatu teks-asal. Fungsi ini biasa disebut fungsi enkripsi. Selain proses enkripsi, salah satu proses terpenting lainnya adalah proses dekripsi. Dekripsi merupakan suatu proses dimana teks-sandi diubah ke dalam teks-asal. Dalam hal ini, teks-sandi yang dihasilkan diubah kembali ke dalam teks-asal. Proses ini bertujuan agar penerima pesan dapat memahami arti sebenarnya dari pesan tersebut. Sama halnya dengan proses enkripsi, proses dekripsi ini juga memerlukan sebuah fungsi agar dapat mengubah kembali pesan tersebut. Fungsi tersebut biasa disebut fungsi dekripsi. Definisi 3.2 (Fungsi Enkripsi dan Fungsi Dekripsi) Fungsi enkripsi merupakan fungsi one-to-one

dimana K merupakan kunci untuk menentukan asal

untuk menghasilkan teks-sandi

yang sesuai dengan teks.


65

Fungsi dekripsi merupakan fungsi one-to-one

dimana K merupakan kunci untuk menentukan sandi

yang sesuai dengan teks-

untuk menghasilkan teks-asal

.

Dua hal yang harus dipenuhi oleh seorang kriptografer, yaitu: a)

Untuk menyediakan metode yang mudah dan murah dalam melakukan enkripsi dan dekripsi pesan untuk penerima.

b) Untuk menjadikan pesan tersebut sulit dan mahal bagi pihak yang tidak berhak menerima dan mendekripsikan teks-sandi.

Ada juga beberapa prinsip yang mendasari kriptografi, yaitu: a)

Confidentiality (kerahasiaan) yaitu layanan agar isi pesan yang dikirimkan tetap rahasia dan tidak diketahui oleh pihak lain.

b) Data Integrity (integritas data atau keutuhan data) yaitu layanan yang mampu

mengenali/mendeteksi

adanya

manipulasi

(penghapusan,

pengubahan atau penambahan) data yang tidak sah (oleh pihak lain). c)

Authentication (keaslian) yaitu layanan

yang

berhubungan

dengan

identifikasi. Baik keaslian pihak-pihak yang terlibat dalam pengiriman data maupun keaslian data/informasi. d) Non-repudiation (anti penyangkalan) yaitu layanan yang dapat mencegah suatu pihak untuk menyangkal aksi yang dilakukan sebelumnya (menyangkal bahwa pesan tersebut berasal dirinya).


66

Definisi 3.3 (Sandi atau Sistem-Kripto) Sandi atau Sistem-Kripto merupakan himpunan-himpunan berhingga dengan: a)

adalah himpunan teks-asal (plaintext)

b)

adalah himpunan teks-sandi (ciphertext)

c)

adalah himpunan kunci (key)

d)

adalah himpunan fungsi enkripsi

e)

adalah himpunan fungsi dekripsi

dan memenuhi syarat sebagai berikut: untuk setiap

, terdapat fungsi enkripsi

dan fungsi dekripsi

yang berhubungan, dimana dan sedemikian sehingga (

)

untuk setiap anggota teks-asal

Syarat tersebut mengatakan bahwa jika teks-asal x di-enkripsi menggunakan

, dan menghasilkan teks-sandi sesudah itu didekripsi menggunakan

,

maka menghasilkan teks-asal yang asli x. Sebagai contoh, Alice dan Boby akan menggunakan cara berikut dengan menggunakan sandi tertentu. Pertama, mereka memilih sembarang kunci

. Hal ini akan selesai ketika mereka berada di tempat yang

sama dan tidak diamati oleh pihak ketiga atau musuh (misal: Oscar), atau kemungkinan lainnya, ketika mereka komunikasi menggunakan jaringan


67

yang aman dan berada di tempat yang berbeda. Kemudian, misalkan Alice ingin menyampaikan pesan kepada Boby di jaringan yang tidak aman. Andaikan bahwa pesan ini merupakan suatu rangkaian

untuk suatu bilangan bulat

. Setiap

, dimana setiap simbol teks-asal

dienkripsi menggunakan fungsi enkripsi

yang telah

ditetapkan oleh kunci K. Oleh karena itu, Alice menghitung , dan menghasilkan rangkaian teks-sandi

yang dikirim menggunakan jaringan aman. Ketika Boby menerima pesan , dia mendekripsikan pesan tersebut menggunakan fungsi dekripsi

, kemudian menghasilkan rangkaian teks-asal

.

Lihat Gambar 3.1 untuk ilustrasi jaringan komunikasi.

Oscar

x Alice

y

x

enkripsi

K

dekripsi

Saluran aman

Key sourse

Gambar 3.1: Jaringan Komunikasi

Boby


68

Terlihat jelas, bahwa hal di atas merupakan kasus dimana setiap fungsi enkripsi

merupakan fungsi injektif (dengan kata lain, one-to-one), apabila

tidak demikian proses dekripsi tidak dapat diselesaikan dengan cara yang sudah jelas. Sebagai contoh, jika

dimana

, maka Boby tidak punya cara untuk mengetahui apakah y

harus didekripsikan menjadi

atau

. Perhatikan, jika

, ini berarti

bahwa setiap fungsi enkripsi merupakan suatu pengubahan urutan (permutation). Berarti, jika himpunan teks-asal dan teks-sandi adalah sama, maka setiap fungsi enkripsi hanya penyusunan ulang (atau mengubah susunan) elemen dari himpunan ini. Andaikan bahwa tidak diketahui informasi mengenai proses enkripsi dan dekripsi, meskipun demikian ada keinginan untuk mengetahui bentuk asli pesan yang telah dienkripsi (teks-sandi). Hal ini disebut memecahkan teks-sandi, dan ilmu untuk memecahkan teks-sandi disebut cryptanalysis (kriptanalisis). Orang yang dapat melakukan hal tersebut disebut cryptanalyst

(kriptanalis).

Sebuah

sandi

dapat

dipecahkan

jika

memungkinkan untuk menghasilkan teks-asal atau kunci berdasarkan tekssandi, atau dapat menghasilkan kunci berdasarkan teks-asal dan teks-sandi. Tentu saja, seseorang tidak dapat melakukan kriptanalisis tanpa memahami kriptografi dan seseorang tidak dapat melakukan kriptografi tanpa memahami kripanalisis; dengan kata lain, kriptografer dan kriptanalis sering dianggap sebagai orang yang sama, yang menggunakan topi yang


69

berbeda. Sebagai contoh, pembuat model sandi yang bagus perlu menguji sandi tersebut terhadap serangan kriptanalisis dan ini berarti bahwa pembuat model tersebut menjadi kripanalis dan mencoba memecahkan sandinya sendiri. Kata kriptologi merupakan istilah yang lebih umum yang digunakan mengenai kriptografi dan kriptanalisa, seperti pada Gambar 3.2.

Kriptografi

Kripanalisis

Gambar 3.2: Bagian-bagian Kriptologi


B.

70

SANDI GESER Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai sandi geser. Pada dasarnya, sandi geser didasarkan pada aritmetika modulo. Tetapi sebelumnya perlu diingat kembali definisi dasar aritmetika modulo (lihat Definisi 2.4). Cara kerja sandi geser adalah dengan mengganti huruf dari teks-asal dengan huruf pada teks-sandi menurut gambar berikut: Plaintext a b c d e f g h i D E F G H I

J

j k l m n o p q r s t u v w x y z

K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Ciphertext Gambar 3.3: Huruf yang bersesuaian dari Sandi Caesar (dengan

pergeseran)

Dengan catatan bahwa teks-sandi diperoleh dengan cara menggeser terlebih dahulu teks-asal ke kanan, dan huruf-huruf alfabet yang berada dibagian akhir menggantikan huruf-huruf yang berada di awal. Seperti dalam gambar di atas, huruf-huruf teks-asal digeser sebanyak tiga ke kanan. Maka akan diperoleh huruf

berada pada posisi huruf , huruf

huruf

berada pada posisi huruf

, huruf

diperoleh huruf huruf

, dan seterusnya sehingga

berada pada posisi huruf , huruf

, dan huruf

berada pada posisi

berada pada posisi

berada pada posisi huruf . Sedangkan tiga huruf

alfabet terakhir yaitu , , dan

berturut-turut berada pada posisi huruf ,

, dan . Dengan demikian dihasilkan teks-sandi seperti dalam Gambar 3.3.


Definisi 3.4 (Sandi Geser modulo Misalkan

71

)

. Untuk suatu

didefinisikan

dan

dimana

dan

.

Dalam definisi di atas, Sandi Geser dinyatakan dalam dikarenakan terdapat

hal ini

huruf di dalam alphabet yang akan digunakan.

Dapat dilihat dengan mudah bahwa Sandi Geser membentuk sistem-kripto seperti yang telah dinyatakan sebelumnya di atas (Definisi 3.3), dengan kata lain, (

)

untuk setiap

.

Untuk mengenkripsi dalam Sandi Geser harus mengatur terlebih dahulu hubungan antara huruf-huruf alfabet dengan anggota himpunan bilangan bulat modulo

sebagai berikut:

A  0, B  1, C  2, D  3, . . . , Z  25, seperti dinyatakan dalam Tabel 3.1 berikut.


72

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Tabel 3.1: Korespondensi antara Alfabet dan

Contoh 3.1 Misalkan kunci yang digunakan dalam Sandi Geser adalah K = 11, dan teksasal adalah: “

”

Untuk melakukan proses enkripsi, pertama-tama adalah dengan mengubah teks-asal dengan anggota-anggota

hasil yang telah ditetapkan pada

Tabel 3.1:

Selanjutnya, masing-masing bilangan di atas ditambahkan dengan menjadi:

Kemudian, diubah kembali setiap bilangan hasil perhitungan ke dalam huruf-huruf alfabet menggunakan Tabel 3.1, sehingga diperoleh teks-sandi sebagai berikut:


“

73

”.

Sebagai catatan, dari contoh di atas teks-asal menggunakan huruf kecil dan teks-sandi menggunakan huruf besar (huruf kapital). Ini bertujuan agar mudah dalam membedakan antara teks-asal dan teks-sandi, dan akan digunakan seterusnya.

Contoh 3.2 Diketahui suatu teks-sandi, dengan K = 3, sebagai berikut “

”

Sama halnya dengan melakukan proses enkripsi, untuk melakukan proses dekripsi pertama teks-sandi diubah ke dalam anggota-anggota

, seperti

pada Tabel 3.1, sehingga diperoleh:

Selanjutnya, masing-masing bilangan tersebut dikurangi dengan 3(mod 26), menjadi:

Setelah itu, diubah kembali ke dalam huruf-huruf alfabet menggunakan Tabel 3.1, sehingga diperoleh teks-asal berbentuk:

Dapat dilihat bahwa teks-asal yang diperoleh tersebut berbunyi:


74

Agar suatu sistem-kripto dapat dipakai dengan praktis, maka harus memenuhi sifat-sifat berikut ini: 1. Setiap fungsi enkripsi

dan setiap fungsi dekripsi

harus dapat

dihitung secara efisien. 2. Kunci

sulit ditentukan oleh pihak ketiga atau musuh.

Sifat kedua berkaitan dengan masalah keamanan sistem-kripto. Sebagai catatan bahwa, jika Oscar (musuh) dapat menemukan

, maka dia

dapat mendekripsi teks-sandi seperti yang akan Boby lakukan dengan menggunakan

. Oleh karena itu, menentukan

setidaknya sama sulitnya

dalam menentukan teks-asal. Ketika diamati, Sandi Geser tidak aman karena sandi ini dapat dianalisa dengan jelas oleh metode pencarian kunci secara menyeluruh (method of exhaustive key search). Hal ini dikarenakan hanya terdapat kemungkinan kunci. Ini mudah dengan mencoba kemungkinan setiap fungsi dekripsi

sampai teks-asal yang “sebenarnya” diperoleh. Seperti

diilustrasikan dalam contoh berikut. Contoh 3.3 Diperoleh suatu teks-sandi yang berbentuk:

dengan mencoba mendekripsi secara berturut-turut menggunakan kunci , , , dan seterusnya. Berikut diperoleh:


75

Pada proses ini dapat ditemukan teks-asal yang merupakan susunan kata “

”

Dengan begitu proses dapat dihentikan, dan dapat disimpulkan bahwa Kunci yang digunakan adalah

.


C.

76

SANDI AFFINE Sandi Geser merupakan kasus khusus dari Sandi Substitusi. Kasus khusus lainnya dari Sandi Substitusi adalah Sandi Affine. Sandi Geser juga dapat dikatakan sebagai kasus khusus dari Sandi Affine. Sandi Geser yang telah dibahas sebelumnya dapat digeneralisasi dan sedikit diperkuat. Dalam Sandi Affine, untuk melakukan proses enkripsi dapat dilihat fungsi enkripsi ke dalam fungsi yang berbentuk ,

dimana

.

Fungsi yang digunakan dinamakan fungsi affine, oleh karena itu penyandian ini dinamakan Sandi Affine. (Perhatikan, ketika

maka sandi tersebut

akan menjadi Sandi Geser.) Bagaimana dengan fungsi dekripsi dalam proses enkripsi sandi tersebut? Agar proses dekripsi dapat terjadi, perlu dipertanyakan kapan suatu fungsi affine adalah fungsi injektif. Dengan kata lain, untuk setiap

,

harus mempunyai penyelesaian tunggal bagi

. Kekongruenan di atas

ekuivalen dengan . Apabila y berubah terhadap

, maka

juga berubah-ubah terhadap

. Karena itu, cukup dengan mempelajari kekongruenan dimana

. Dengan kata lain, dapat dikatakan bahwa


kekongruenan linear

77

mempunyai penyelesaian tunggal.

Menurut Akibat 2.10, dapat dinyatakan kekongruenan tersebut mempunyai penyelesaian tunggal untuk setiap .

di dalam

Apabila

jika dan hanya jika ,

maka

kekongruenan

akan mempunyai (paling sedikit) dua penyelesaian berbeda di dalam

. Dalam hal ini

bukan fungsi

injektif. Oleh karena itu, fungsi tersebut bukan fungsi enkripsi yang valid. Sebagai contoh, untuk

diperoleh

, berarti

bukan fungsi enkripsi yang valid. Hal ini dikarenakan pada proses enkripsi

dan

akan menghasilkan nilai yang sama untuk setiap

. Akibat 2.10 telah menunjukkan bahwa jika kekongruenan linear

mempunyai penyelesaian tunggal di

. Oleh karena itu, jika berubah-ubah terhadap diperoleh dari Nilai

, maka

maka

nilai berbeda modulo 26. sedemikian sehingga

, yaitu . Sedangkan untuk nilai

berupa setiap elemen di

dapat

. Dengan demikian, Sandi Affine mempunyai

kemungkinan kunci. Andaikan bahwa

. Untuk melakukan proses dekripsi,

kita harus menyelesaikan kekongruenan

untuk

.


78

Pembicaraan di atas menunjukkan bahwa kekongruenan linear tersebut akan mempunyai penyelesaian tunggal di

, tetapi itu tidak memberi kita

metode yang efisien untuk mencari penyelesaiannya. Apa yang kita butuhkan adalah algoritma yang efisien untuk melakukan hal ini. Secara kebetulan, beberapa hasil yang lebih lanjut dalam aritmetika modulo memberikan algoritma dekripsi yang efisien yang diinginkan, yaitu diperlukan ide tentang invers perkalian. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa mempunyai invers perkalian modulo . Jika

jika dan hanya jika

mempunyai invers perkalian, maka invers tersebut tunggal dalam

modulo

. Perhatikan, jika

maka

prima, maka setiap elemen tak-nol anggota

. Jika

adalah bilangan

.mempunyai invers perkalian.

Pada bagian selanjutnya, akan dijelaskan algoritma yang efisien untuk menghitung invers perkalian di dalam

untuk setiap

. Tetapi, di dalam

sebagai percobaan dan kesalahan cukup dengan mencari invers perkalian dari elemen-elemen yang relative prima dengan 26: ,

, ,

, ,

, ,

,

,

, dan

.

Semua dapat dibuktikan dengan mudah. Sebagai contoh, . Jadi,

dan

.

Ingat bahwa kekongruenan

ekuivalen dengan

,


79

. Karena

, maka

Kedua ruas dikalikan dengan

mempunyai invers perkalian modulo

.

, diperoleh .

Untuk ruas kiri, dengan menggunakan sifat assosiatif perkalian modulo sehingga . Diperoleh

. Rumus tersebut merupakan rumus

eksplisit untuk . Dengan demikian, diperoleh fungsi dekripsi yaitu: . Jadi, untuk lengkapnya fungsi enkripsi dan fungsi dekripsi dari Sandi Affine ditunjukkan pada definisi berikut ini. Definisi 3.5 (Sandi Affine) Misalkan

dan misalkan {

Untuk

} , didefinisikan dan

dimana

dan

.


80

Contoh 3.4 Misalkan kunci “

digunakan untuk mengenkripsi teks-asal

”. Diperoleh fungsi enkripsinya adalah:

Masing-masing huruf disesuaikan dengan bilangan bulat modulo menurut Tabel 3.1, sehingga diperoleh: 

.

Dengan menggunakan fungsi enkripsi di atas diperoleh:      Dengan demikian, dihasilkan teks-sandi berbentuk:

.

Contoh 3.5 Misalkan kunci yang digunakan seperti pada Contoh 3.4, yaitu Digunakan untuk mendekripsi suatu teks-sandi yang berbentuk “

. ”.


Seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya,

81

. Maka didapat fungsi

dekripsi yaitu:

dimana semua perhitungan dilakukan dalam terlebih dulu diperiksa bahwa

(

)

Dengan perhitungan yang dilakukan di (

. Alangkah lebih baik untuk semua

anggota

.

diperoleh

)

. Sama halnya dengan melakukan proses enkripsi, untuk melakukan proses dekripsi pertama teks-sandi diubah dalam anggota-anggota

, menurut

Tabel 3.1 yaitu:

Kemudian dengan menggunakan fungsi dekripsi di atas, maka dihasilkan:  


   

Dengan demikian diperoleh teks-asal yaitu

. .

82


D.

83

SANDI VIGENÈRE Salah satu pemikiran agar memperoleh perlindungan yang lebih baik pada pesan rahasia adalah dengan menggunakan sandi yang menjamin bahwa huruf-huruf yang sama dari teks-asal yang diberikan saat dienkripsi, tidak selalu menghasilkan huruf yang sama pada teks-sandi. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan rangkaian huruf dengan panjang tertentu yang disebut kata kunci. Misalnya pada sandi Geser maupun sandi Affine, saat sebuah kunci telah dipilih maka setiap huruf dipasangkan secara tunggal ke huruf yang lain. Oleh karena itu, sandi yang demikian disebut monoalfabetik. Berikut ini akan dibahas salah satu sandi yang bukan monoalfabetik, atau biasa dikenal dengan polyalfabetik. Sandi tersebut yaitu Sandi Vigenère. Sandi ini berasal dari nama seorang diplomat Perancis yang melayani Raja Charles IX, yaitu Blaise de Vigenère. Pada abad ke-16, Blaise de Veginere menulis sebuah buku yang berjudul Traite des Chiffres. Dalam buku tersebut diuraikan kriptografi pada saat itu, dan memperkenalkan sistem-kripto polyalfabetik. Dengan menggunakan ide dasar dari sandi Caesar, dia membentuk persegi (square) yang terdiri dari table berikut.

huruf horizontal dan

huruf vertikal. Seperti pada


84

Tabel 3.2: Persegi Vigenère Standar

Baris pertama dalam tabel tersebut merupakan susunan huruf alfabet standar. Huruf tersebut mewakili karakter huruf untuk teks-asal. Setiap baris setelah baris pertama mewakili satu pergeseran ke kiri terhadap baris di atasnya. Huruf-huruf untuk kolom pertama juga merupakan susunan huruf alfabat standar. Huruf tersebut mewakili karakter huruf pada kata kunci yang digunakan. Untuk proses enkripsi perlu dilakukan tiga hal dalam menggunakan tabel tersebut: Letakkan huruf teks-asal pada baris pertama. Letakkan huruf untuk kata kunci pada kolom pertama.


85

Ganti setiap huruf teks-asal dengan huruf pada perpotongan antara kolom yang diawali oleh teks-asal dan baris yang diawali oleh huruf dari kata kunci pada tabel tersebut. Sebagai

contoh,

“

Boby

ingin

mengirim

pesan

yang

berbunyi

” kepada Alice dengan menggunakan Tabel 3.2.

Diandaikan juga bahwa dalam perjanjiannya, Boby dan Alice telah berbagi sebuah kata rahasia, yaitu

. Kata rahasia itu yang disebut kata kunci,

dan digunakan bersama dengan tabel tersebut untuk mengenkripsi pesan. Pertama, Boby menulis kata kunci berulang kali di bawah pesan yang ingin dia kirim. Seperti berikut ini:

Untuk mengenkripsi huruf , Boby menulis huruf

di bawah huruf .

Kemudian dia melihat ke Tabel 3.2 dan menemukan huruf pada perpotongan antara kolom yang diawali dengan huruf

dan baris yang

dimulai dengan huruf , sehingga dia memperoleh . Ini berarti sebagai

. Dengan cara yang sama, dia mengganti

dengan

berada pada perpotongan antara kolom yang diawali dengan yang dimulai dengan

, dan mengenkripsi

dengan

pada perpotongan antara kolom yang diawali dengan

dienkripsi karena dan baris

karena

berada

dan baris yang

dimulai dengan , dan seterusnya sehingga semua teks-asal terenkripsi dan diperoleh: .


Dua buah karakter huruf

86

pada teks-asal tidak lagi dienkripsi

menjadi teks-sandi yang sama. Selain itu, dua buah huruf

juga

menghasilkan teks-sandi yang berbeda. Karena huruf-huruf pada teks-asal tidak selalu dinyatakan ke dalam huruf-huruf teks-sandi yang sama, maka hal tersebut meningkatkan keamanan sistem tersebut secara signifikan. Untuk mendekripsi pesan, Alice harus membalikkan proses tersebut. Misalnya untuk mendekripsi huruf , Alice harus menemukan yang diawali dengan

sehingga dapat dilihat bahwa huruf

kolom yang diawali dengan huruf mendekripsikan dengan

berada pada

. Dengan cara yang sama untuk

, Alice harus menemukan

sehingga diperoleh , karena

pada baris

pada baris yang diawali

berada pada kolom yang diawali

dengan huruf , dan seterusnya. Seperti berikut ini:

Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa juga terdapat tiga hal yang harus dilakukan untuk mendekripsikan pesan rahasia dengan menggunakan Tabel 3.2, yaitu: Letakkan huruf dari kata kunci pada kolom pertama. Letakkan huruf dari teks-sandi pada baris yang diawali dengan huruf dari kata kunci.


87

Gantilah huruf dari teks-sandi dengan huruf pertama pada kolom dimana teks-sandi berada.

Sekarang akan ditunjukkan bagaimana menggunakan modulo

dan

korespondensi dari huruf-huruf pada Tabel 3.1 untuk melakukan proses enkripsi dan dekripsi dari Sandi Vigenère. Ingat bahwa kata kunci rocky diubah terlebih dahulu berdasarkan Tabel 3.1 menjadi

,

, ,

dan

.

Untuk proses enkripsi teks-asal dapat digunakan rumus berikut: , , , , . Sedangkan untuk mengenkripsi huruf letaknya yang lebih besar dari panjang kunci maka rumus yang akan digunakan adalah sebagai berikut: , , dan seterusnya. Demikian rumus yang digunakan untuk proses enkripsi dari sandi Vigenère. Untuk lebih formal dapat dilihat dalam definisi berikut ini. Definisi 3.6 (Sandi Vigenère) Didefinisikan bahwa

. Misalkan

bilangan bulat positif, dimana pada kata kunci dan

. Dengan

dan

merupakan

adalah banyaknya huruf

adalah banyaknya huruf pada teks-asal. Untuk kata


kunci

88

, maka fungsi enkripsi dan fungsi

dekripsi didefinisikan sebagai berikut:

dan

dimana (

)

,

(

)

,

dan

.

Contoh 3.6: Misalkan

dan kata kunci yang digunakan adalah “

Tabel 3.1, kunci ini bersesuaian dengan

”. Menurut . Dimana

teks-asalnya adalah:

dan dienkripsikan menjadi:

Dimana penjumlahan dilakukan di dalam modulo

, kemudian saat diubah

kembali ke dalam huruf-huruf menghasilkan teks-sandi yang berbentuk:

.


89

Contoh 3.7: Misalkan suatu teks-sandi yang berbentuk

, sedangkan kata

kunci yang digunakan adalah

. Menurut Tabel 3.1, kata kunci

tersebut bersesuaian dengan

, dan teks-

sandinya bersesuaian dengan

Kemudian teks tersebut didekripsi dengan menggunakan Sandi Vigenère sehingga diperoleh:

. Dapat dilihat bahwa teks-asal tersebut berbunyi:

.


E.

90

SANDI HILL Sejauh ini telah dibicarakan tentang sandi-sandi yang prosesnya yaitu mengganti satu huruf dengan satu huruf. Apabila prosesnya diubah yaitu dengan melakukan penggantian menjadi suatu blok huruf dengan suatu blok huruf, tentu saja suatu sandi akan menjadi lebih rumit. Oleh karena itu lebih sulit bagi musuh untuk memecahkan sandi tersebut. Sebagai contoh, jika ditentukan untuk menggunakan blok-blok yang terdiri dari dua huruf, maka teks-asal dapat dipecah menjadi blok-blok yang terdiri dari dua huruf dan kemudian menggantinya menurut kunci yang telah ditetapkan sebelumnya. Misal, dengan kesepakatan bahwa setiap waktu kita melihat dengan

, setiap kali melihat

Sebagai catatan bahwa terdapat

diganti dengan

diganti

, dan lain-lain.

kemungkinan pasangan

huruf, sehingga apabila dua orang yang ingin mengirim pesan rahasia satu sama lain maka harus setuju dan mengingat semua kemungkinan tersebut. Jika digunakan blok-blok yang terdiri dari tiga huruf, maka terdapat pergantian. Apabila ukuran blok semakin mengingat, maka semakin banyak kemungkinan yang harus diperiksa oleh musuh. Tetapi masalahnya adalah apabila ukuran blok semakin meningkat, maka banyaknya pergantian yang harus disepakati dan diingat oleh kedua pihak juga semakin banyak. Berikut ini akan dibicarakan tentang Sandi Hill, ditemukan pada 1929 oleh Lester S. Hill. Sandi ini akan memberikan gambaran yang lebih ringkas cara untuk mengganti blok-blok huruf dengan blok-blok huruf.


91

Pada bagian ini, diandaikan hanya kasus dimana ukuran blok adalah . ( ) dan teks-sandi

Untuk teks-asal dapat ditulis ke dalam bentuk

( ). Ini dapat ditulis lebih ringkas ke

dapat ditulis ke dalam bentuk

dalam notasi matriks sebagai berikut: ( )

(

* ( ),

dimana semua perhitungan dilakukan di dalam

. Tetapi metode ini dapat

diperluas menjadi sembarang ukuran blok. Untuk bentuk yang lebih umum akan digunakan matriks

yang berukuran

(

yang akan digunakan. Untuk

(

dihitung dengan

(

sebagai matriks kunci

)

dan

, proses enkripsi

), dimana

)

( (

)

Dengan kata lain, dapat ditulis sebagai Dimulai dengan matriks kunci anggotanya adalah elemen dari

).

. yang berukuran

, yang anggota-

. Matriks ini akan berperan sebagai kunci

dalam sandi ini dan tidak boleh jatuh ke tangan musuh atau sandi ini akan dengan mudah dipecahkan. Misalkan matriks tersebut yaitu: (

).


92

Jika Alice (yang berperan sebagai pengirim pesan) ingin mengirim pesan “

” kepada Boby, maka pertama-tama Alice harus mengubah pesan

tersebut menjadi blok-blok yang terdiri dari dua huruf. Sehingga diperoleh blok pertama adalah “

” dan blok kedua adalah “

”. Kemudian, dia

mengubah setiap blok tersebut menjadi vektor dua dimensi dengan anggotaanggotanya di dalam

. Setiap huruf diubah ke dalam bilangan-bilangan

menurut Tabel 3.1. Vektor ke- dari teks-asal dinyatakan dengan karena itu, vektor yang mewakili mewakili

(

adalah

(

adalah

. Oleh

) dan vektor yang

). Untuk menghasilkan teks-sandi atau

melakukan proses enkripsi dengan melakukan perhitungan berikut untuk setiap . Setelah itu vektor-vektor tersebut diubah kembali ke dalam huruf-huruf. Sebagai contoh, (

)(

)

( ( (

* ) )(

( (

(

),

(

).

) *

)


Angka

mewakili huruf

,

mewakili

dihasilkan teks-sandi yaitu

, dan

mewakili

93

, sehingga

. Ingat bahwa metode ini mengganti blok

yang terdiri dari dua huruf dengan blok yang terdiri dari dua huruf seperti yang diinginkan diawal, dan keuntungannya yaitu tidak perlu mengingat kemungkinan tersebut. Alice dan Boby cukup mengetahui matriks

.

Selain proses enkripsi juga harus dipertimbangkan cara untuk proses dekripsinya yaitu: bagaimana cara Boby memperoleh teks-asal berdasarkan teks–sandi yang diberikan? Pembaca yang sudah mempelajari Aljabar Linear akan mengetahui bahwa dapat digunakan matriks invers

untuk

proses dekripsinya. Dengan demikian, teks-sandi dapat didekripsi dengan menggunakan persamaan dan

. Boby yang telah mengetahui matriks

, dia ingin menemukan

penyelesaian persamaan

. Dengan kata lain, dia ingin mencari untuk semua

. Andaikan dapat

ditemukan suatu matriks

dengan anggota-anggotanya dalam

sedemikian

(

sehingga

menggunakan modulo 26. Jika

),

dimana

maka (

)

perhitungan

, sehingga .

Permasalahannya adalah cara menentukan matriks bahwa di dalam Aljabar Linear: jika

semua

tersebut. Perlu diingat

adalah matriks persegi dimana

elemen-elemennya adalah bilangan real, maka terdapat matriks elemen-elemen bilangan real sedemikian sehingga jika determinan matriks

dimana

jika dan hanya

bukan nol, di mana I merupakan matriks identitas


94

(Anton dan Busby, 2003 : 188). Tetapi hal ini harus teliti, perhitungan yang digunakan dalam aljabar linear yang standar tidak sama dengan yang digunakan pada bagian ini. Hal ini dikarenakan semua perhitungan disini dilakukan dengan modulo 26. Tetapi, apakah hal ini memberikan perbedaan? Perhatikan contoh berikut: Contoh 3.8 Andaikan

(

). Maka determinan dari

adalah .

Tetapi, jika terdapat matriks

sedemikian sehingga

, dimana

semua perhitungan berdasarkan modulo 26, maka akan diperoleh (

)(

)

(

)

Jadi, ( Dimana perhitungannya di dalam

)

(

)

,

Sehingga dengan menyelesaikan persamaan

diperoleh

substitusikan hasil tersebut ke dalam persamaan . Tetapi tidak terdapat elemen

anggota

dan

, sehingga diperoleh yang memenuhi


persamaan

95

. Dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat matriks

tersebut. Sekarang keluar ke masalah utama yang lain dari sifat matriks kunci di atas. Andaikan Alice menggunakan matriks

dalam Contoh 3.7 untuk

mengirim pesan yang telah dienkripsi kepada Boby. Jika suatu blok teksasal adalah

untuk menentukan teks-sandi yang bersesuaian, maka Alice

harus menghitung (

)( )

( )

diperoleh teks-sandi yang bersesuaian adalah

. Tetapi, andaikan bahwa teks-asal

. Dalam hal ini dia juga menghitung (

)(

)

(

)

(

)

dihasilkan kembali teks-sandi yang bersesuaian adalah Boby menerima

( ) . Sehingga, jika

sebagai satu blok, maka hal ini akan membingungkan

Boby untuk mengetahui apakah teks-asalnya adalah karena itu, dalam kasus ini matriks

atau

. Oleh

adalah kunci yang buruk untuk

digunakan dalam proses enkripsi. Dengan Contoh 3.7 tersebut, harus dicari cara yang mudah untuk menentukan apakah suatu matriks kunci tertentu menjadi matriks yang baik untuk digunakan dalam proses enkripsi. Berdasarkan masalah-masalah yang telah dibahas sebelumnya dapat disimpulkan bahwa matriks kunci Secara lebih rinci, matriks kunci matriks

sedemikian sehingga

harus memenuhi sifat-sifat tertentu. harus mempunyai sifat bahwa terdapat . Matriks kunci K juga harus


mempunyai sifat bahwa jika dengan elemen-elemen di

dan

96

adalah vektor-vektor yang berbeda

, maka

dan

juga merupakan vektor-

vektor yang berbeda. Teorema berikut mengatakan bahwa dua sifat ini adalah ekuivalen dan terdapat cara yang mudah untuk memeriksa apakah sifat tersebut berlaku atau tidak. Teorema 3.1 Untuk Sandi Hill dengan 26 huruf alfabet, ukuran blok 2, dan matriks kunci (

), pernyataan berikut adalah ekuivalen:

1. 2.

tidak dapat dibagi oleh 2 atau 13. Terdapat matriks B berukuran yang memenuhi

3.

dengan elemen-elemen di

(

).

Matriks K memenuhi sifat bahwa jika

Setiap perhitungan dilakukan di dalam

maka

.

.

Bukti: Strategi untuk membuktikannya yaitu dengan menunjukkan bahwa pernyataan pertama mengakibatkan pernyataan kedua, pernyataan kedua mengkibatkan pernyataan ketiga, dan pernyataan ketiga mengakibatkan pernyataan pertama. Andaikan bahwa Teorema 2.8, terdapat .

tidak dapat dibagi 2 atau 13. Maka menurut sedemikian sehingga


Misalkan

(

97

), maka

(

)(

)

(

*

(

*

(

).

Ini berarti bahwa sifat kedua berlaku. Sekarang, andaikan bahwa sifat kedua berlaku dan akan ditunjukkan bahwa sifat kedua mengakibatkan sifat ketiga berlaku. Andaikan terdapat matriks

sedemikian sehingga

. Jika

, maka

, ini berarti bahwa sifat ketiga dari teorema tersebut berlaku. Untuk bagian terakhir pembuktian ini, diandaikan bahwa bahwa jika

maka

. Misalkan

memenuhi sifat dapat dibagi oleh

2 maka akan muncul kontradiksi. Karena 2 membagi

, berarti

. Ingat semua perhitungan dilakukan dalam

(

)(

)

(

*

. Sehingga,


(

*

( )

dan

(

)(

)

(

*

(

*

( ).

Selain itu juga diperoleh (

Apabila

)( )

( ).

memenuhi sifat ketiga pada teorema tersebut, berarti (

Sehingga

)

(

)

( ).

dan

.

Misalkan (

)(

)

(

(

)

)

98


99

( ).

Hal ini kontradiksi bahwa

memenuhi sifat ketiga. Dengan cara yang

sama, juga dapat diperoleh kontradiksi jika Andaikan Karena

dapat dibagi dengan 13.

dapat dibagi oleh 13. membagi

(

, berarti

)(

)

. Dengan demikian

(

*

(

*

( )

dan

(

)(

)

(

*

(

*

( ).

Selain itu juga diperoleh (

Apabila

)( )

( ).

memenuhi sifat ketiga pada teorema tersebut, berarti


(

Sehingga

)

(

)

dan

100

( ).

.

Misalkan (

)( )

(

(

)

)

( ).

Hal ini juga menyangkal bahwa

∎

memenuhi sifat ketiga.

Dengan demikian Teorema 3.1 telah terbukti. Perhatikan apabila Teorema 3.1 di atas dapat diperumum. Bentuk umum dari teorema tersebut dinyatakan tanpa pembuktian. Teorema 3.2 Untuk Sandi Hill dengan alfabet yang terdiri dari dan matriks kunci elemen di 1.

, dimana

huruf, ukuran blok

adalah matriks

dengan elemen-

. Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen:

Determinan matriks K dan n adalah relative prima.

,


2.

Terdapat suatu matriks B berukuran memenuhi berukuran

3.

101

dengan elemen-elemen di

, dimana I marupakan matriks identitas .

Matriks K memenuhi sifat bahwa jika

Semua perhitungan dilakukan di

maka

.

.

Teorema 3.1 sangat berguna. Oleh karena itu, Alice dan Boby dapat dengan mudah menguji bahwa matriks kunci K yang dipilih akan menjadi salah satu yang terbaik untuk mengenkripsi pesan. Mereka dapat dengan mudah menghitung

dan memastikannya tidak dapat dibagi dengan

2 atau 13. Namun, pada prakteknya terdapat masalah, bagaimana Bob mengetahui teks-asal setelah menerima teks-sandi. Jawaban dari masalah ini berada pada Teorema 3.1 diilustrasikan dengan sebuah contoh. Ingat pada contoh diawal, dimana Alice dan Bob menggunakan matriks (

)

sebagai matriks kunci dan teks-asalnya adalah “ ditunjukkan diawal, teks-sandinya adalah menerima pesan

”. Seperti yang telah . Andaikan bahwa Boby

dan tidak mengetahui pesan yang asli yang dikirim

Alice. Sekarang akan ditunjukkan bagaimana dia akan menemukan teksasal. Pertama dia membuat vektor

dan

dengan mengubah setiap huruf

ke dalam bilangan. Diperoleh,

( )

(

) dan

( )

(

).


Ingat bahwa Boby berusaha untuk menghasilkan bahwa

dan

dan

102

dan dia tahu

. Seperti yang telah dibicarakan

sebelumnya, Boby ingin memperoleh matrks

sedemikian sehingga

. Perhatikan Teorema 3.1, sebenarnya matriks yang demikian dapat (

diperoleh. Jika

) maka

(

), dimana

memenuhi . Di dalam masalah ini,

, dan

dan

. Sehingga

, maka dapat diperoleh nilai . Karena , berarti (

)

. Kemudian,

(

*

(

)

(

).

Jadi, (

)(

)

( (

* )

dan (

)(

)


( (

103

* ).

Kemudian diubah kembali bilangan-bilangan tersebut ke dalam huruf-huruf, sehingga Boby menghasilkan teks-asal yang dikirim Alice, yaitu “

”.

Seperti yang telah dinyatakan di atas, proses enkripsi dalam sandi Hill dilakukan dengan mengalikan matriks kunci

dengan teks-asal. Sedangkan

untuk proses dekripsi dilakukan dengan mengalikan matriks invers

.

Definisi berikut memberikan gambaran matematis mengenai Sandi Hill terhadap

.

Definisi 3.7 (Sandi Hill) Misalkan

adalah bilangan bulat. Misalkan

{matriks invertibel berukuran

Untuk kunci

dan

dengan elemen-elemen di dalam

, didefinisikan

dan

dimana

,

, dan semua operasi dilakukan di dalam

.

Contoh 3.9: Andaikan bahwa menggunakan Sandi Hill dengan kunci

telah dienkripsi dengan


(

104

+.

Pembagian blok-blok huruf menjadi:

Untuk menentukan teks-asal, terlebih dahulu menghitung

(

+

(

Diperoleh

(

+

(

+

(

+

(

:

+

(

+

+.

Kemudian dekripsi setiap blok teks-sandi menggunakan matriks kunci

(

+(

+

(

(

(

+(

+

(

)

+

.

)


(

(

+(

+

+(

+

+(

+

+(

+

+

.

)

+

.

(

(

(

)

(

(

(

.

(

(

(

+

)

+

.

(

(

105

)

+

.

Dengan menggunakan Tabel 3.1 akan dihasilkan huruf-huruf yang bersesuaian untuk setiap blok. Sehingga diperoleh teks-asal yaitu: . Pada blok terdapat huruf yang lebih yaitu . Huruf ini dapat dianggap sebagai huruf semu, jadi huruf tersebut dapat dihilangkan.


F.

106

SANDI PLAYFAIR Sandi Playfair merupakan salah satu sandi blok yang mudah dikenal. Sandi Playfair ditemukan pada tahun 1854 oleh Sir Charles Wheatstone, seorang pelopor telegraf yang juga telah menemukan concertina dan jembatan Wheatstone. Mengapa tidak diberi nama Sandi Wheatstone? Alasannya adalah karena dia telah mempertunjukkan sandi ini kepada temannya, yaitu Baron Playfair. Playfair sangat bersemangat di dalam dukungannya terhadap penemuan ini. Kemudian dia menunjukkan sandi ini kepada Prince Albert dan Lord Palmerston (kemudian dikenal dengan Prime Minister), yang mengusulkan sandi ini digunakan pada Crimean War. Sandi juga digunakan pada Boer War dan selama Perang Dunia I oleh Inggris. Oleh karena itu, pada akhirnya dikenal sebagai Sandi Playfair. Sandi ini menggunakan tabel berukuran

baris dan

kolom, dimana

huruf alfabet dimasukkan ke dalam tabel tersebut. Untuk memasukkan huruf-huruf tersebut dimulai dengan memasukkan huruf-huruf dari kata kunci terlebih dahulu, dan dengan menghilangkan huruf yang muncul berulang kali, kemudian diikuti oleh sisa-sisa huruf lainnya dalam alfabet. Agar tabel tersebut sesuai dengan banyaknya huruf alfabet, maka huruf I dan J dianggap sebagai satu huruf. Selain itu, spasi juga diabaikan. Beberapa pola dapat digunakan dalam memasukkan huruf-huruf tersebut ke dalam tabel, seperti pola baris per baris atau pola spiral. Sebagai contoh, dengan menggunakan kata kunci pada gambar berikut.

maka diperoleh tabel seperti


M

A

R

S

E

K

O

P

Q

L

H

Y

Z

T

I-J

G

X

W

V

N

F

D

C

B

U

107

Tabel 3.3: Tabel Playfair dengan kata kunci MARSELINUS REBU Tabel di atas dibuat berawal dari kiri atas dan searah jarum jam kemudian masuk ke arah tengah. Susunan huruf-huruf pada tabel dapat dibuat secara acak, atau berdasarkan kata kunci pada matriks di atas. Asalkan pengirim dan penerima pesan dapat mengingat kata kunci, dan aturan-aturan yang diberikan beriktu ini. Untuk melakukan proses enkripsi, teks-asal terlebih dahulu dipisahkan ke dalam pasangan-pasangan huruf. Setiap pasangan huruf dari teks-asal kemudian dienkripsi menjadi teks-sandi 1.

Jika

dan

menurut aturan berikut:

berada pada baris yang sama, maka

pasangan huruf di sebelah kanan

dan

dan

merupakan

secara berturut-turut,

dimana kolom pertama dianggap berada di sebelah kanan kolom terakhir. 2.

Jika

dan

berada pada kolom yang sama, maka

merupakan pasangan huruf di bawah

dan

dan


dimana baris pertama dianggap berada di bawah baris terakhir.


3.

Jika

dan

108

berada pada baris dan kolom yang berbeda, maka

dan

adalah pasangan huruf dari dua ujung lainnya berdasarkan segiempat yang dimiliki baris 4.

Jika

dan

dan

sebagai ujung-ujungnya, dimana

berada pada baris

.

, maka huruf semu (misalnya:

dalam teks-asal diantara

dan

berada pada

atau

) disisipkan ke

untuk menghilangkan pasangan

huruf yang sama. 5.

Jika teks-asal mempunyai banyak huruf yang ganjil, sebuah huruf semu ditambahkan di akhir teks-asal.

Contoh 3.10 Andaikan terdapat teks-asal “

”. Kata

kunci yang digunakan adalah

, seperti yang telah

dihasilkan pada Tabel 3.3 di atas. Teks-asal terlebih dahulu dikelompokkan menjadi . Karena ada dua huruf yang sama maka perlu disisipkan huruf

ke dalam

teks-asal, sehingga menjadi . Karena banyak karakter pada teks-asal menjadi ganjil maka diakhir ditambahkan huruf . Perhatikan dua huruf pertama, yaitu kolom yang berbeda.

dan

yang berada pada baris dan


K







L

H







I-J

Dengan demikian

dienkripsi menjadi

. Begitu juga dengan

109

yang

juga berada pada baris dan kolom yang berbeda, dan dienkripsi menjadi

Kemudian

O





L









X





N

yang dienkripsi menjadi K

O

P

. 

L

Dengan demikian secara keseluruhan menjadi

Sehingga dihasilkan teks-sandi yang berbentuk: .

Pengirim pesan menggunakan tabel Playfair dan aturan-aturan yang telah diberikan di atas untuk melakukan proses enkripsi, kemudian penerima akan mengunakan tabel yang sama tetapi dengan aturan-aturan yang sedikit berbeda untuk proses dekripsinya. Berikut adalah aturan-aturan yang harus dilakukan dalam proses dekripsi.


1.

Jika

dan

berada pada baris yang sama, maka

pasangan huruf di sebelah kiri

dan

dan

110

merupakan

secara berturut-turut, dimana

kolom terakhir dianggap berada di sebelah kiri kolom pertama. 2.

Jika

dan

berada pada kolom yang sama, maka

merupakan pasangan huruf di atas

dan

dan


dimana baris terakhir dianggap berada di atas baris pertama. 3.

Jika

dan

berada pada baris dan kolom yang berbeda, maka

dan

adalah pasangan huruf dari dua sudut lainnya berdasarkan segiempat yang dihasilkan oleh berada pada baris

dan

dan

sebagai sudut-sudutnya, dimana

berada pada baris

.

Contoh berikut akan membahas proses proses dekripsi, dengan kata kunci yang sama seperti Tabel 3.3 di atas, yaitu MARSELINUS REBU. Contoh 3.11 Misalkan diterima suatu teks-sandi berbentuk . Diketahui bahwa sandi yang digunakan adalah sandi Playfair dan kata kunci yang digunakan adalah

. Bagaimana taks-asalnya?

Teks-sandi terlebih dahulu dipecahkan menjadi kumpulan pasanganpasangan huruf, sehingga menjadi .


111

Dengan menggunakan aturan-aturan yang ada secara terbalik, dan tabel Playfair yang ditunjukkan dalam Tabel 3.3 diperoleh kumpulan pasanganpasangan yang bersesuaian yaitu: . Dengan mengingat kesepakatan mengenai spasi dan null letter, dapat dilihat dengan jelas bahwa teks-asalnya adalah: .


G.

112

SANDI PERMUTASI Semua sistem-kripto (sandi) yang telah dibicarakan sejauh ini melibatkan substitusi: karakter-karakter teks-asal diganti dengan karakterkarakter teks-sandi yang berbeda. Ide Sandi Permutasi yaitu menjaga karakter-karakter teks-asal tanpa ada perubahan,tetapi mengubah letakletaknya dengan mengatur kembali kerakter tersebut menggunakan permutasi. Permutasi suatu himpunan berhingga bijektif

. Dengan kata lain, fungsi

merupakan suatu fungsi adalah one-to-one (injektif)

dan onto (surjekjif). Ini berarti bahwa, untuk setiap tunggal

sedemikian sehingga

, terdapat elemen

. Hal ini memberikan kita

untuk mendefinisikan invers permutation,

dengan aturan

jika dan hanya jika Maka

.

juga merupakan suatu permutasi dari .

Sandi Permutasi (juga dikenal sebagai Sandi Tranposisi) didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3.8: (Sandi Permutasi) Misalkan dan

merupakan bilangan bulat positif. Misalkan

terdiri dari semua permutasi dari {

kata lain, suatu permutasi) , didefinisikan

. Untuk kunci (dengan


(

113

)

dan ( dimana

),

adalah invers permutasi untuk .i

Sandi ini telah digunakan selama ratusan tahun. Pada kenyataanya, perbedaan antara Sandi Permutasi dan Sandi Substitusi telah ditunjukkan pada awal tahun 1563 oleh Giovanni Porta. Sama seperti Sandi Substitusi, ia lebih sesuai menggunakan karakterkarakter alfabet sebagai ganti terhadap modulo 26, karena tidak terdapat operasi aljabar ditunjukkan dalam proses enkripsi dan dekripsi. Contoh 3.12: Andaikan

dan kunci yang digunakan adalah permutasi

berikut:

1

2

3

4

5

6

3

5

1

6

4

2

Perhatikan bahwa baris pertama bagan di atas adalah daftar nilai-nilai dari , , dan baris kedua adalah daftar nilai-nilai yang sesuaian dari . Maka invers permutasi

dapat dibuat dengan menukar dua baris

tersebut, dan menyusun kembali kolom-kolom tersebut sehingga baris


pertama meningkatkan urutan. Dapat dilihat bahwa permutasi

114

adalah

sebagai berikut: 1

2

3

4

5

6

3

6

1

5

2

4

Sekarang, andaikan telah diberikan teks-asal, yaitu: . Pertama membagi teks-asal menjadi kumpulan-kumpulan yang terdiri dari enam huruf: . Sekarang masing-masing kumpulan enam huruf tersebut disusun kembali menurut permutasi , sehingga menghasilkan:

Dengan demikian, teks-sandinya adalah . Teks-sandi dapat didekripsi dengan cara yang serupa menggunakan invers permutasi

.


H.

115

SANDI VERNAM Sandi yang akan dibicarakan pada bagian ini disebut sandi Vernam, yang memuat nama Gilbert S. Vernam, seorang karyawan American Telephone & Telegraph Company yang bersama dengan Joseph O. Mauborgne, seorang Major General di United States Army, mengusulkan sandi ini pada Perang Dunia I. Vaudenay (2006 : bab 1) membuktikan bahwa sandi Vernam aman melawan kripanalisis. Vaudenay (2006:19) telah membuktikan bahwa Sandi Vernam memberikan perfect secrecy. Sandi ini juga disebut one-time pad, karena kunci yang digunakan untuk mengenkripsi dibuat agar dikenal oleh penggunanya (pengirim dan penerima) dan digunakan tidak lebih dari satu kali. Caranya sangat mudah. Pengirim dan penerima mempunyai kunci yang sama, yang telah memenuhi sifat-sifat berikut: 1. Kunci tersebut harus mempunyai panjang yang sama dengan pesan yang dikirim; 2. Kunci tersebut harus serangkaian karakter huruf yang acak; 3. Kunci tersebut harus tidak pernah digunakan lebih dari sekali. Terhadap hipotesis ini kunci tersebut tidak harus menggunakan fingsi enkripsi yang berbelit-belit, melainkan dapat dengan menggunakan hal-hal yang mudah yaitu penjumlahan atau pengurangan. Definisi 3.9 (Sandi Vernam) Misalkan

merupakan teks-asal yang dikirim. Misalkan merupakan kunci yang terdiri atas bilangan-bilangan yang


116

acak, dengan panjang yang sama dengan teks-asal yang dikirim. Proses enkripsi dilakukan dengan mengganti teks-asal yang dikirim sandi

dengan teks-

, dimana: ,

Sedangkan untuk proses dekripsi dilakukan dengan mengganti teks-sandi dengan teks-asal

, dimana: ,

Sandi ini disebut sandi Vernam.

Contoh 3.13 Andaikan pesan yang akan dikirim adalah kata sembarang huruf yaitu

. Kemudian dipilih

sebagai kunci, yang mempunyai panjang yang

sama dengan pesan yang akan dikirim. Seperti biasa sebagai langkah awal, ubah terlebih dahulu setiap huruf dengan bilangan seperti pada Tabel 3.1. Dengan demikian pesan tersebut dapat dienkripsi dengan menjumlahkan kata 26:

dengan kata

, dimana penjumlahan menggunakan modulo


Sehingga diperoleh teks-sandi yang berbentuk

117

. Untuk menyusun

kembali ke dalam teks-asal, penerima pesan cukup mengurangkan dengan pesan yang diterima.

Sandi ini secara teoritis tidak dapat terpecahkan, seperti yang diilustrasikan pada contoh berikut. Contoh 3.14

Tidak ada dasar yang logis untuk menentukan yang mana dari dua teks-asal di atas yang bersesuaian dengan teks-sandi .

Mengapa

sandi

Vernam

disebut

unbreakable

(tidak

dapat

dipecahkan)? Alasannya berada pada kunci yang terdiri dari sembarang karakter yang acak. Jika seseorang yang tidak mempunyai kunci ingin mendekripsi pesan tersebut, tentu saja akan menjadi lebih sulit. Dia dapat mendekripsi pesan tersebut, tetapi dengan syarat mencoba setiap


kemungkinan dari kunci tersebut. Banyaknya kunci dengan panjang mungkin adalah

, yang mana untuk

118

yang

yang besar memerlukan

kripanalisis mendalam yang tidak dapat dikerjakan dengan mudah. Tetapi, ini bukanlah alasan mengapa sandi ini tidak dapat dipecahkan. Pada kenyataannya, dapat dilihat bahwa dengan kemungkinan yang akan muncul dari perhitungan dengan komputer, keterbatasan perhitungan seperti ini mungkin tidak relevan lagi. Alasan sebenarnya bahwa sandi ini tidak dapat dipecahkan karena pada kenyataannya bahwa dengan kunci yang berubahubah, salah satu teks-asal akan dihasilkan dalam proses analisis dari semua kemungkinan dari teks-asal dengan panjang

,. Selain itu, dengan kunci

yang acak semua teks-asal yang kemungkinan akan sama. Sebagian besar dari kemungkinan dari teks-asal pasti tidak akan berarti, dengan demikian salah satu teks-asal dengan panjang

yang akan mungkin. Dengan kata lain,

jika kata yang terdiri dari 4 huruf dikirim, seperti dalam Contoh 3.12 di atas, kripanalisisnya hanya dengan menguraikan akan memberikan hasil bahwa teks-asalnya adalah

,

,

,

,

, dan sebagainya,

semua mempunyai kemungkinan sama. Contoh 3.15 Jika dicoba untuk mengetahui kripanalisis dari pesan

yang dikirim

dalam Contoh 3.12, harus dicoba semua kunci yang terdiri dari 4 huruf. Diantara kunci-kunci yang mungkin tersebut pasti akan diperoleh yang akan memudahkan proses dekripsi berikut: ,

,


119

, , . Sehingga diperoleh teks-asal berbentuk

.

Tetapi, sangat penting bahwa kunci tidak pernah digunakan dua kali. Tentu saja, pengirim pesan akan membuat kesalahan fatal dengan menggunakan kunci yang sama lagi. Sandi ini akan menjadi terbuka dalam usaha kripanalisis. Untuk mengetahui alasannya, pahami pada contoh berikut. Contoh 3.16 Misalkan pengirim pesan menggunakan kembali kunci mengekripsi kata

untuk

.

Seperti yang telah dilihat, dihasilkan teks-sandi adalah kata Selanjutnya, diandaikan kriptanalis mengetahui bahwa huruf kedua kata (yaitu

dan

membandingkan kata huruf

dan

.

muncul pada

) di tempat yang sama. Dengan , dia menarik kesimpulan bahwa

dikorespondensikan dengan huruf . Dengan demikian kunci pada

posisi kedua yaitu

. Ini bukan informasi yang besar, tetapi ini lebih baik


120

daripada tidak ada. Jika pengirim pesan selalu menggunakan kunci yang sama, secara analog, kriptanalis akan segera mengetahuinya. Contoh ini menunjukkan bagaimana analisis frekuensi dapat membantu kripanalis ketika pengirim pesan melakukan kesalahan buruk dengan menggunakan kunci yang sama beberapa kali. Seperti yang telah disebutkan, pada tidak dapat terpecahakan (unbreakable) itu sendiri pasti terdapat beberapa titik lemah pada sandi ini. Sebaliknya, ia dapat digunakan secara universal, menghasilkan jaminan dan kepuasan. Sesungguhnya, terdapat titik lemah, dan sangat serius. Pertama, berada pada cara menghasilkan kunci, tetapi ini bukanlah masalah yang utama. Kunci yang dihasilkan tersebut harus cukup panjang agar dapat ditukarkan menjadi pesan yang rumit, dihasilkan secara acak, dan kunci tersebut tidak boleh digunakan dua kali. Sebagian besar kunci tersebut diperlukan agar dapat sering dikomunikasikan. Untuk menghasilkan bilangan-bilangan yang acak bukanlah masalah yang mudah dalam ilmu computer. Seperti yang telah dikatakan sebelumnya, ini bukanlah masalah utama dari sandi ini. Masalah utama berada pada kenyataan bahwa, cara untuk dapat berkomunikasi dengan aman menggunakan sandi Vernam ini diperlukan untuk mengirim terlebih dahulu kunci tersebut, melalui jaringan yang benarbenar aman. Dengan kata lain, sebelum dapat berkomunikasi secara rahasia terlebih dahulu harus menyampaikan kunci secara rahasia, namun kunci tersebut mempunyai panjang yang sama dengan pesan yang dikirim.


121

Pada kesimpulannya, sandi yang hanya terjamin secara teoritis, sandi Vernam, sangat sulit untuk dipraktekkan. Pada kenyataannya, sandi ini sangat jarang digunakan. Namun, jika dapat dihasilkan secara acak kunci yang cukup panjang dan kunci dapat dikirim dengan cara yang aman, dengan syarat bahwa tidak ada pihak ketiga yang terlebih dahulu mengetahui kunci tersebut, sandi Vernam dapat digunakan dengan aman dan tanpa ada rasa cemas.


I.

122

KRIPTANALISIS Pada bagian ini, akan dibahas beberapa teknik kriptanalisis. Sebelumnya telah dibahas sedikit mengenai kriptanalis. Kriptanalisis adalah studi mengenai serangan-serangan terhadap sandi dengan tujuan untuk memecahkan sandi tersebut tanpa mengetahui kunci yang digunakan. Asumsi pada umumnya yang sering digunakan yaitu kriptanalis selalu mengetahui sandi yang digunakan. Hal ini menunjuk kepada Prinsip Kerckhoffs yang berbunyi: Dalam memperkirakan keamanan dari sebuah sandi, salah

satunya

harus

selalu

menganggap

musuh

mengetahui metode yang digunakan. Jika musuh tidak mengetahui sandi yang digunakan maka akan membuat tugasnya menjadi lebih sulit. Tetapi, hal tersebut tidak memberikan jaminan perlindungan terhadap suatu sandi. Oleh karena itu, tujuan dalam merencanakan suatu sandi akan menghasilkan jaminan keamanan disaat pengandaian prinsip Kerckhoffs berlaku. Sebagai contoh, teks-sandi berikut dikenalkan oleh Edouard Lucas pada pertemuan French Association for Advancement of Science pada tahun 1891 (Williams, 1998 : 388), berdasarkan pada kriptografi silinder Etienne Bazerie (Kahn, 1976 : 244250). Teks-sandi ini tidak pernah bisa didekripsikan. Oleh karena itu, tekssandi ini sesuai sebagai tantangan yang bagus bagi pembaca yang tertarik:


123

Dalam memecahkan sandi, salah satunya diperlukan dua jenis informasi. Informasi pertama adalah sifat-sifat umum dari sandi tersebut. Sebagai contoh, andaikan diketahui bahwa sandi yang digunakan adalah sandi geser pada 26 huruf alfabet bersesuaian

dengan bilangan-bilangan yang

secara berturut-turut. Jenis informasi kedua adalah hal

penting khusus tentang parameter tertentu yang berhubungan dengan jenis sandi yang digunakan. Sebagai contoh, perlu untuk mengetahui memilih parameter penggeser

pada sandi geser. Begitu seseorang memperoleh

informasi tersebut, dia dapat melakukan proses enkripsi dan dekripsi dengan menggunakan rumus

dan

.

Setiap kali ada fungsi enkripsi baru dari suatu sandi yang dibuat oleh kriptografer dan langsung diikuti oleh adanya upaya percobaan kriptanalisis. Percobaan kriptanalisis ini sering disebut serangan (attack). Terdapat beberapa macam kemungkinan serangan dari kriptanalis pada suatu sandi, tergantung pada apa saja informasi yang mungkin telah dimiliki kriptanalis mengenai sandi tersebut: (1) Serangan ciphertext-only: Kriptanalis hanya mengetahui potonganpotongan teks-sandi

. Tujuannya adalah untuk menemukan teks-asal


yang bersesuaian dan/atau kunci

124

. Sembarang sandi yang mudah

diserang terhadap jenis serangan ini dianggap sepenuhnya tidak aman. (2) Serangan known-plaintext: Pada jenis serangan ini, kriptanalisis tidak hanya mempunyai teks-sandi, tetapi juga mempunyai teks-asalnya. Kriptanalis

mempunyai

potongan-potongan

menghubungkan dengan teks-sandi kunci

teks-asal

dan

. Tujuannya adalah menemukan

yang digunakan dalam mengenkripsi atau fungsi untuk

mendekripsi. Karena itu, teks-sandi lainnya yang menggunakan fungsi enkripsi/kunci yang sama dapat didekripsi dengan mudah. (3) Serangan chosen-plaintext: Kriptanalis memperoleh akses sementara dalam mengenkripsi pesan, sehingga dapat memilih potongan-potongan teks-asal

dan membuat teks-sandi

yang bersesuaian. Pada serangan

ini, selain mengetahui teks-sandi dan teks-asal juga dapat memilih teksasal yang diinginkan. Tujuannya adalah untuk menemukan kunci yang digunakan untuk enkripsi. (4) Serangan chosen-ciphertext: Kriptanalis memperoleh akses sementara dalam mendekripsi pesan, sehingga dapat memilih potongan teks-sandi dan membuat teks-asal menemukan kunci

yang bersesuaian. Tujuannya adalah untuk

yang digunakan.

Sandi yang baik sebaiknya dapat menolak semua jenis serangan ini, sehingga tidak mungkin bagi kriptanalis memperoleh kunci menemukan teks-asal

.

atau


125

Dalam setiap kasus di atas, objek kriptanalis adalah untuk menentukan kunci yang digunakan. Hal ini akan memungkinkan bagi kriptanalis untuk mendekripsi “target” teks-sandi tertentu, dan lebih lanjut lagi untuk mendekripsi sembarang teks-sandi lainnya yang dienkripsi menggunakan kunci yang sama. Bagaimana seorang kriptanalis melakukan kriptanalisis pada suatu sandi? Ada beberapa cara yang dapat digunakan dalam kriptanalisis. Cara yang yang biasanya digunakan adalah analisis frekuensi. Saat ini cara tersebut telah diketahui dengan baik. Diandaikan kriptanalis mengetahui bahasa yang digunakan dalam teks-asal, misal bahasa yang digunakan adalah bahasa Inggris, tanpa tanda baca, dan spasi. (hal ini membuat kriptanalisis menjadi lebih sulit daripada menggunakan tanda baca dan spasi dalam mengenkripsi.) Dalam teks bahasa Inggris yang khas, masing-masing huruf alfabet muncul dengan frekuensi tertentu. Huruf yang paling sering muncul dalam teks-bahasa Inggris adalah . Jika secara acak mengambil sebuah huruf pada sebuah halaman dalam sebuah novel, probabilitas (peluang) huruf akan terpilih adalah sekitar

yang

. Tabel berikut memberikan peluang dari

semua huruf alfabet yang dihitung dari sampel terhadap yang diambil dari koran-koran dan novel-novel.

karakter


Alfabet

Probabilitas

Alfabet

Probabilitas

A

0,082

N

0,067

B

0,015

O

0,075

C

0,028

P

0,019

D

0,043

Q

0,001

E

0,127

R

0,060

F

0,022

S

0,063

G

0,020

T

0,091

H

0,061

U

0,028

I

0,070

V

0,010

J

0,002

W

0,023

K

0,008

X

0,001

L

0,040

Y

0,020

M

0,024

Z

0,001

Tabel 3.4:. Peluang kejadian

126

huruf dalam teks bahasa Inggris

Dengan menggunakan Tabel 3.4, sandi-sandi substitusi dapat dipecahkan. Misal, diperoleh teks-sandi, masing-masing kemunculan huruf dapat dihitung. Jika pesan cukup panjang, frekuensi kemunculan akan membantu dalam memperkirakan bagaimana masing-masing huruf harus dienkripsi. Probabilitas dalam Tabel 3.4 dihasilkan oleh H. J. Beker dan F. C. Piper (1982). Berdasarkan probabilitas tersebut, Beker dan Piper membagi huruf menjadi lima kelompok sebagai berikut: (1)

, mempunyai probabilitas sekitar

(2)

,

,

, , dan

, ,

,

, masing-masing mempunyai probabilitas antara


(3)

, , masing-masing mempunyai probabilitas sekitar

(4)

,

,

,

,

antara (5)

,

,

,

,

,

127

, masing-masing mempunyai probabilitas

dan

, ,

,

, , masing-masing mempunyai probabilitas kurang dari

. Ini juga berguna untuk mempertimbangkan mengenai rangkaian dari dua atau tiga huruf yang berurutan, yang disebut digram dan trigram. Tiga puluh digram yang paling sering muncul yaitu: ,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

,

, ,

, .

Dua belas trigram yang paling sering muncul yaitu: ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, DTH.

Selain dengan cara analisis frekuensi, salah satu cara yang juga sering digunakan dalam kriptanalisis adalah pencarian menyeluruh (exhaustive search). Namun, cara ini memerlukan banyak pencarian. Meskipun terdapat cara lain, analisis frekuensi biasanya lebih efektif digunakan. Secara singkat, serangan dengan analisis frekuensi pada potongan-potongan teks-sandi yang dihasilkan dengan substitusi monoalfabetik dilakukan sebagai berikut:  Hitung frekuensi masing-masing huruf alfabet dalam teks-sandi  Bandingkan frekuensi tersebut dengan frekuensi standar yang diberikan dalam Tabel 3.4  Uji kemungkinan huruf yang bersesuaian, sampai teks-asal yang sebenarnya diperoleh


128

Langkah ketiga akan melibatkan pembuatan dan pengujian hipotesa, dan tidak ada aturan tertentu bagaimana cara melakukannya. 1. Kriptanalisis Sandi Geser Ingat kembali bahwa kriptanalisis mempelajari tentang pembacaan pesan yang telah dienkripsi (teks-sandi) tanpa mengetahui kunci yang digunakan. Karena Sandi Geser mempunya kunci hanya dapat diambil dari

yang tunggal dan

nilai-nilai yang berbeda.

Komputer modern dapat dengan mudah diprogram untuk mencari kunci yang tepat dengan mudah karena mencoba secara mendalam semua nilai . Sebagai contoh, kriptanalis menangkap sebuah pesan berbentuk . Untuk mengetahui teks-asli dari teks-sandi tersebut dapat dilakukan hanya dengan mencoba semua nilai , seperti yang ditunjukkan pada Tabel 3.5 berikut ini..

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Perkiraan Teks-asal


129

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Tabel 3.5: Pencarian Menyeluruh dari Sandi Geser

Dengan demikian, tidak salah lagi bahwa

adalah kunci yang tepat

dan pesan tersebut merupakan kata mutiara dari Aristotle yang berbunyi “All men by nature desire to know”. Metode ini sangat tidak menarik dan tidak menyediakan pembaca untuk mempelajari sandi-sandi yang lebih rumit. Analisis frekuensi memberikan hasil pendekatan yang berbeda dan lebih manfaat dalam kriptanalisis Sandi Geser. Setiap huruf atau karakter dalam sebuah bahasa cenderung muncul dengan frekuensi tertentu.


Sebagai contoh, berdasarkan Tabel 3.4, huruf

130

adalah huruf yang lebih

umum dalam alfabet bahasa Inggris dengan kemunculan sekitar Sedangkan huruf , , , dan sekitar

.

paling sedikit muncul dengan kemunculan

. Grafik frekuensi probabilitas huruf-huruf tersebut dapat

dilihat pada Gambar 3.4 dengan data-data yang diambil dari Tabel 3.4.

0.140 0.120 0.100 0.080 0.060 0.040 0.020 0.000 A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U V W X Y Z

Gambar 3.4: Grafik frekuensi probabilitas huruf-huruf dalam bahasa Inggris.

Dengan mengetahui frekuensi-frekuensi ini dapat meningkatkan kemampuan pembaca dalam kriptanalisis teks-sandi. Sebagai contoh, untuk setiap huruf

di teks-asal akan dienkripsi menjadi karakter-

karakter teks-sandi yang sama. Contoh 3.17: Diperoleh teks-sandi dari Sandi Geser dengan asal

untuk suatu teks-


131

adalah . Dapat dilihat pada kedua teks tersebut bahwa setiap huruf

dienkripsi

menjadi huruf

dienkripsi

, huruf

dienkripsi menjadi huruf , huruf

menjadi huruf , begitu juga dengan huruf-huruf lainnya pada teks-asal tersebut akan dienkripsi menjadi huruf-huruf yang sama.

Contoh 3.18: Didapat suatu teks-sandi yang berbentuk

. Dari teks tersebut dapat dilihat frekuensi kemunculan masing-masing huruf pada table berikut: Alfabet

Frekuensi

Alfabet

Frekuensi

A

1

N

2

B

0

O

2

C

3

P

3

D

0

Q

4

E

2

R

1

F

1

S

1

G

8

T

5

H

2

U

5

I

2

V

5


J

2

W

1

K

7

X

0

L

0

Y

0

M

0

Z

0

132

Tabel 3.6: Frekuensi kemunculan alfabet teks-sandi pada Contoh 3.17 Dari table di atas, dapat dilihat bahwa huruf kali). Dengan demikian, huruf

lebih sering muncul (

lebih memungkinkan dipasangkan

terhadap teks-asal . Jika hal ini benar, maka .

Sehingga diperoleh:

. Jika dicoba untuk melakukan proses dekripsi terhadap seluruh pesan tersebut dengan menggunakan kunci

, maka dihasilkan teks-asal

yang diduga yaitu: . Jadi, dari hasil ini dapat dipastikan bahwa teks-asal yang asli telah berhasil diperoleh, yaitu berbunyi:


Perlu diingat bahwa untuk setiap teks yang diberikan, huruf

133

mungkin

atau mungkin bukan huruf yang lebih sering muncul.

Contoh 3.19: Misalkan didapat teks-sandi berbentuk

dan frekuensi masing-masing huruf dapat dilihat dalam table berikut.

Alfabet

Frekuensi

Alfabet

Frekuensi

A

5

N

0

B

0

O

0

C

2

P

0

D

0

Q

2

E

1

R

0

F

3

S

3

G

2

T

1

H

0

U

2

I

0

V

1

J

3

W

4

K

1

X

0

L

6

Y

1

M

0

Z

2

Tabel 3.7: Frekuensi kemunculan alfabet teks-sandi pada Contoh 3.18


Huruf yang lebih sering muncul adalah

sehingga huruf

134

diduga

sebagai hasil enkripsi dari huruf . Dengan demikian dapat dihasilkan

. Tetapi, apabila dilakukan proses dekripsi pada teks-sandi tersebut dengan menggunakan kunci

menghasilkan teks .

Hasil ini tampak jelas memberikan teks-asal yang tidak tepat. Selanjutnya, dapat menghubungkan

dengan huruf kedua yang lebih

umum yaitu . Sehingga dapat diperoleh

. Dari kunci

dihasilkan teks yang asli


135

. Sebagai catatan, beberapa masalah mungkin melibatkan percobaan dan error (kesalahan) yang cukup besar, tetapi frekuensi-frekuensi huruf memberikan metode yang masuk akal dalam proses kriptanalisis. Mari perhatikan bagaimana keempat jenis serangan yang telah diketahui sebelumnya bekerja pada Sandi Geser. (1) Serangan ciphertext-only: Eve hanya mempunyai teks-sandi. Strategi terbaiknya adalah pencarian menyeluruh (exhaustive search), karena hanya terdapat

kemungkinan kunci. Jika pesan

tersebut lebih panjang daripada beberapa huruf, ini tidak mungkin bahwa terdapat lebih dari satu pesan yang berarti yang menjadi teksasal. Jika hasil ini tidak dapat dipercaya, dapat dicoba untuk menemukan beberapa kata yang terdiri dari empat atau lima huruf yang menggeser satu sama lain. Kemungkinan lainnya adalah melakukan perhitungan frekuensi untuk berbagai huruf, jika pesan tersebut cukup panjang. Seperti yang diketahui, huruf muncul pada teks bahasa Inggris. Andaikan huruf

lebih sering lebih banyak

muncul dalam teks-sandi. Maka dapat dianggap bahwa enkripsi dari . Karena

dan

dugaan yang masuk akan untuk

hasil

(menurut Tabel 3.1), maka yaitu:


136

. Tetapi, untuk Sandi Geser metode ini memakan waktu lebih lama daripada pencarian yang menyeluruh, ditambah lagi ia membutuhkan lebih banyak huruf yang dihitung pada pesan tersebut. (2) Serangan known-plaintext: Jika hanya diketahui satu huruf teks-asal dengan huruf teks-sandi yang bersesuaian, maka kunci yang digunakan dapat disimpulkan. Sebagai contoh, jika diketahui dienkripsi menjadi

, maka kunci tersebut adalah

. (3) Serangan chosen-plaintext: Huruf yang dipilih yaitu

sebagai teks-

asal. Teks-sandi akan menjadi kunci yang dicari. Sebagai contoh, jika teks-sandinya adalah

, maka kunci tersebut adalah . Namun,

jika huruf yang dipilih sebagai teks-asal adalah

dan misal teks-

sandinya adalah , maka . (4) Serangan chosen-ciphertext: Dipilih huruf

sebagai teks-sandi.

Teks-asal akan menghasilkan kunci. Teks-asalnya merupakan negatif kunci tersebut. Sebagai contoh, jika teks-asal adalah tersebut adalah sebagai teks-sandi adalah

, kunci

. Namun, jika yang dipilih dan misal teks-asalnya adalah , maka .


137

2. Kriptanalisis Sandi Affine Sebagai ilustrasi sederhana tentang bagaimana kriptanalisis dapat dilakukan menggunakan data statistik. Perhatian pada contoh berikut ini. Contoh 3.20: Misalkan diperoleh teks-sandi dari sebuah sandi Affine seperti berikut:

Analisis frekuensi sandi ini disajikan dalam Tabel 3.8 berikut. Alfabet

Frekuensi

Alfabet

Frekuensi

A

2

N

1

B

1

O

1

C

0

P

2

D

7

Q

0

E

5

R

8

F

4

S

3

G

0

T

0

H

5

U

2

I

0

V

4

J

0

W

0

K

5

X

2

L

2

Y

1

M

2

Z

0

Tabel 3.8: Frekuensi Kemunculan alfabet teks-sandi pada Contoh 3.19

Terdapat

karakter dalam teks-sandi di atas, dan ini cukup untuk

melakukan kriptanalisis suatu Sandi Affine. Karakter yang lebih sering muncul dalam teks-sandi adalah

( kali muncul),

( kali muncul),


,

,

(masing-masing

kali muncul), dan , ,

138

(masing-masing

kali muncul). Sebagai pengandaian pertama, dapat dijadikan hipotesa bahwa dari

merupakan hasil enkripsi dari

, karena

dan

dan

merupakan hasil enkripsi

merupakan huruf yang lebih sering muncul

berturut-turut (menurut Tabel 3.4). Menurut Tabel 3.1 maka diperoleh: dan

.

Perlu diingat bahwa fungsi enkripsi dalam Sandi Affine berbentuk , dimana

dan

merupakan variabel.

Sehingga diperoleh dua persamaan linear dengan dua variabel:

Sistem persamaan ini mempunyai penyelesaian tunggal. Untuk mengetahuinya coba perhatikan perhitungan berikut:

–

Perlu diingat bahwa menggunakan modulo

dan

anggota

dan semua perhitungan

. Sehingga dapat ditulis bentuk ekuivalen,

yaitu: . Dari kekongruenan di atas, diperoleh nilai

karena


139

, Kemudian,

dengan

menggunakan

menggunakan persamaan mensubstitusi nilai

nilai

, maka nilai

yang

diperoleh

dan

dapat dicari dengan cara

sehingga:

. Dengan demikian, diperoleh nilai

. Berarti,

dan

merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Penyelesaian tersebut menjadi kunci yang digunakan pada Sandi Affine dari

teks-sandi

yang

ditangkap.

Namun,

karena

maka kunci ini bukan kunci yang valid. Jadi, hipotesa yang dibuat salah. Hipotesa berikutnya yaitu

merupakan hasil enkripsi

dan

merupakan hasil enkripsi . Dengan cara yang sama dengan hipotesa sebelumnya, diperoleh sistem persamaan linear:

Dengan cara yang sama, diperoleh masih tidak valid karena

. Namun, kunci tersebut . Jadi, hipotesa ini salah.


Namun, jika diambil

sebagai hasil enkripsi

dan

140

sebagai hasil

enkripsi maka

Dihasilkan persamaan

–

Dari hasil tersebut diperoleh

, karena

Nilai disubstitusikan ke persamaan pertama, sehingga diperoleh

. Jadi, dari teks-asal yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa kunci merupakan kunci yang sesuai teks-sandi yang ditangkap. Ini akan menjadikan kunci tersebut valid, karena

. Setelah

itu, dengan menghitung fungsi dekripsi yang bersesuaian dengan , dan kemudian mendekripsikan teks-sandi yang dimiliki. Dari hasil dekripsi tersebut dapat dilihat apakah akan menghasilkan teks yang


141

berarti atau tidak mempunyai arti sama sekali. Ini akan menegaskan kebenaran kunci

yang dihasilkan. Setelah didekripsi teks-sandi

tersebut berbunyi: “

”

Ini menyimpulkan bahwa telah ditemukan kunci

sebagai kunci

yang digunakan dalam enkripsi pesan. Ini akan menegaskan kebenaran kunci

yang dihasilkan. Mari perhatikan bagaimana keempat jenis serangan yang telah

diketahui sebelumnya bekerja. (1) Serangan ciphertext-only: Pencarian menyeluruh akan melewati semua kunci, yaitu

kunci yang akan lebih lama daripada

pencarian menyeluruh dalam kasus Sandi Geser, tetapi akan sangat mudah dilakukan dengan computer. Ketika semua kemungkinan kunci telah dicoba, potongan teks-sandi yang wajar, katakan sekitar karakter, mungkin akan bersesuaian dengan tepat satu teks-asal yang bermakna, dengan demikian mengikuti penentuan kunci tersebut. Ini juga mungkin untuk menggunakan penghitungan frekuensi, meskipun akan membutuhkan teks yang lebih panjang. (2) Serangan known-plaintext: Dengan sedikit keberuntungan, dengan dua huruf teks-asal dan huruf teks-sandi yang bersesuaian diketahui cukup untuk menentukan kunci yang digunakan. Dalam sembarang kasus, banyaknya kemungkinan untuk kunci cukup dengan melakukan


142

mengurangkan. Sebagai contoh, andaikan teks-asal dimulai dengan dan teks-sandi yang bersesuaian adalah berarti bahwa

dipetakan ke

. Dalam bilangan, ini dan

dipetakan ke

. Oleh karena itu, diperoleh persamaan dan

.

Dengan mengurangkan kedua persamaan

– , yang penyelesaiannya adalah tunggal, yaitu

. Dengan

menggunakan persamaan pertama, diperoleh

. (3) Serangan chosen-plaintext: Pilih pertama teks-sandi akan menghasilkan

. dan karakter kedua

.

sebagai teks-asal. Karakter


143

dari kedua persamaan tersebut, maka dapat ditemukan kunci yang diinginkan. (4) Serangan chosen-ciphertext: Pilih

sebagai teks-sandi. Serangan

ini akan menghasilkan fungsi dekripsi dalam bentuk

dimana Kita dapat menyelesaikan

dan

.

dan menghasilkan fungsi dekripsi

Dengan mensubstitusikan nilai

dan

maka

.

Tetapi, mengapa repot-repot melakukan hal demikian? Padahal kita telah mempunyai fungsi dekripsi yang kita inginkan.

3. Kriptanalisis Sandi Vigenère Sampai pada pertengahan abad 19, Sandi Vigenère telah dianggap tak terpecahkan (unbreakable) dan memperoleh gelar le chiffre indèchiffrable („the indecipherable cipher‟ atau „sandi tidak terbaca‟).


144

Tetapi, pada tahun 1863, F. W. Kasiski menemukan sebuah metode untuk kriptanalisis Sandi Vigenère.

Menentukan Panjang Kata-Kunci Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa metode untuk kriptanalisis Sandi Vigenère. Langkah pertama adalah menentukan panjang kata-kunci, yang akan dinotasikan dengan

. Terdapat dua cara

yang dapat digunakan untuk menentukan panjang kata-kunci. Cara pertama disebut Uji Kasiski (Kasiski’s Test) dan cara kedua akan menggunakan indeks koinsiden (index of coincidence). Uji Kasiski telah dikenalkan oleh Friedrich Kasiski pada tahun 1863. Tetapi, nampaknya uji ini telah ditemukan lebih awal oleh Charles Babbage sekitar tahun 1854. Ide utama dibalik serangan Kasiski ini adalah pengamatan yang berulang bagian dari teks-asal dienkripsi dengan bagian yang sama dari kunci harus menghasilkan pola teks-sandi yang identik (serupa). Oleh karena itu, dengan asumsi tidak ada koinsiden (kebetulan), seseorang akan menganggap bahwa bagian teks-asal yang sama bersesuaian dengan teks-sandi yang berulang dienkripsi dengan posisi yang sama dalam kunci yang digunakan. Oleh karena itu, banyaknya simbol antara awal dari pola teks-sandi yang berulang harus merupakan kelipatan panjangkunci (banyaknya karakter dalam kunci). Sebagai contoh, jika teks-sandi yang berulang adalah antara

dan kejadian

(disebut trigram) dan jika banyaknya huruf dalam trigram yang berikutnya, misal, adalah


, dan hal ini bukan kebetulan, maka

145

merupakan kelipatan panjang-

kunci. Karena ini memungkinkan bahwa beberapa bagian-bagian tekssandi yang berulang merupakan kebetulan, suatu metode untuk menganalisis mereka (disebut Kasiski examination) adalah dengan menghitung Faktor Persekutuan Terbesar (

) dari kumpulan semua

jarak antara bagian yang berulang. Kemudian memilih faktor terbesar yang lebih sering terjadi diantara

ini merupakan panjang-kunci yang

memungkinkan. Contoh berikut merupakan ilustrasi Uji Kasiski untuk menentukan panjang-kunci. Contoh 3.21 Andaikan bahwa “

” adalah kunci dan

“

”

adalah teks-asal. Maka berikut merupakan hasil enkripsi Sandi Vigenere.

Perhatikan bahwa

adalah blok yang muncul dua kali, di awal dan di

tengah pada tabel pertama. Jarak antara kejadian kedua adalah . Begitu juga, trigram

pertama dengan

muncul dalam tabel pertama


dan muncul lagi pada tabel kedua setelah karena

, maka

146

karakter. Oleh karena itu,

merupakan panjang-kunci yang

mungkin dengan Kasiski examination, yang pasti benar. Petunjuk selanjutnya mengenai nilai

dapat diperoleh dengan

indeks koinsiden (index of coincidence). Konsep ini telah didefinisikan oleh William Friedman pada tahun 1920 sebagai berikut: Definisi 3.10 (Indeks Koinsiden) Andaikan

merupakan rangkaian dari

Indeks Koinsiden (Index of Coincidence) dari

karakter alfabet.

, dinotasikan

didefinisikan sebagai probabilitas dari dua elemen acak dari

, yang

serupa.

Andaikan frekuensi dari , , , . . . , ,

, . . . ,

. Dua elemen

di dalam

ditulis sebagai

dapat dipilih dengan ( ) cara. Untuk

, terdapat ( ) cara dalam memilih kedua elemen

setiap ,

menjadi . Oleh karena itu, diperoleh rumus: ∑

( )

( )

( )

( )

dengan

( )

(

)

(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )


147

( ) ( )

untuk

, , ,...,

.

Sehingga diperoleh:

∑

Andaikan

merupakan rangkaian teks bahasa Inggris. Dengan

menotasikan probabilitas kejadian yang diharapkan dari huruf-huruf , , ...,

dalam Tabel 3.4 sebagai

,

,...,

. Maka diharapkan

∑

, karena probabilitas dari dua elemen acak yang keduanya probabilitas keduanya diterapkan jika

adalah

adalah

,

, dan seterusnya. Alasan yang sama

adalah teks-sandi yang diperoleh menggunakan suatu


148

sandi monooalfabetik. Dalam hal ini, probabilitas setiap dua elemen acak akan berubah, tetapi kuantitas ∑

tidak akan berubah.

Misal, diawali dengan rangkaian teks-sandi

yang

telah dikonstruksi menggunakan Sandi Vigenère. Definisikan rangkaian bagian (substring) dari

, ditulis sebagai

,

, . . . ,

dengan menuliskan teks-sandi dalam matriks berukuran kolom. Baris-baris dari matriks ini adalah substring

buah , per

dimana

. Disisi lain yang dimiliki adalah:

sehingga diperoleh matriks:

*

Jika

,

,...,

+

dikonstruksikan dengan cara demikian dan

panjang kata-kunci yang sesungguhnya, maka setiap nilai garis besar harus sama dengan kata-kunci, maka substring

. Disisi lain, jika

adalah secara

bukan panjang

akan terlihat lebih acak, karena substring

tersebut akan dihasilkan dengan proses enkripsi geser pada kunci yang berbeda. Perhatikan bahwa rangkaian yang sepenuhnya acak akan mempunyai indeks koinsiden: (

*


Kedua nilai

dan

149

berbeda cukup jauh untuk dapat

menentukan panjang kata-kunci yang tepat dengan metode ini (atau menegaskan perkiraan yang telah dibuat menggunakan uji Kasiski). Dua teknik ini akan digambarkan dengan contoh berikut. Contoh 3.22: Misalkan teks-sandi berikut diperoleh dari suatu Sandi Vigenère

Pertama adalah dengan mencoba uji Kasiski. Teks-sandi muncul di lima tempat dalam teks-sandi, yaitu dimulai pada posisi ,

,

, dan

. Jarak dari kemunculan pertama dengan

keempat kemunculan lainnya secara berturut-turut adalah dan

,

,

,

,

. Faktor persekutuan terbesar dari keempat bilangan bulat

tersebut adalah , sehingga kemungkinan besar merupakan panjang katakunci.


150

Coba perhatikan jika perhitungan indeks koinsiden memberikan kesimpulan yang sama. Untuk

, dengan satu buah

yaitu:

. dan frekuensi untuk masing-masing huruf adalah: Alfabet Frekuensi Alfabet Frekuensi A

19

N

15

B

15

O

7

C

8

P

8

D

7

Q

10

E

26

R

24

F

6

S

9

G

15

T

14

H

17

U

4

I

11

V

10

J

7

W

16

K

10

X

20

L

12

Y

3

M

17

Z

3

yang dimiliki


Maka indeks koinsidennya adalah: ∑

Untuk

, dengan dua buah

yang dimiliki yaitu:

.

. dan frekuensi masing-masing huruf untuk kedua

Alfa bet

Freq

Alfa bet

Freq

Alfa bet

Freq

adalah:

Alfa bet

Freq

A

10

N

7

A

9

N

8

B

8

O

3

B

7

O

4

C

2

P

4

C

6

P

4

D

3

Q

2

D

4

Q

8

E

14

R

11

E

12

R

13

151


F

2

S

5

F

4

S

4

G

8

T

7

G

7

T

7

H

11

U

1

H

6

U

3

I

5

V

5

I

6

V

5

J

4

W

8

J

3

W

8

K

6

X

12

K

4

X

8

L

6

Y

1

L

6

Y

2

M

9

Z

3

M

8

Z

0

152

Maka indeks koinsidennya adalah:

dan (

Sedangkan untuk

, dengan tiga buah

.

yang dimiliki yaitu:

)


153

.

. Dan frekuensi masing-masing huruf untuk ketiga

Alfa bet

Freq

Alfa bet

Freq

Alfa bet

Freq

Alfa bet

Freq

adalah:

Alfa bet

Freq

Alf abet

Freq

A

6

N

2

A

7

N

9

A

6

N

4

B

6

O

6

B

5

O

1

B

4

O

0

C

4

P

4

C

2

P

2

C

2

P

2

D

3

Q

2

D

2

Q

4

D

2

Q

4

E

8

R

7

E

8

R

8

E

10

R

9

F

4

S

2

F

0

S

3

F

2

S

4

G

10

T

1

G

5

T

6

G

0

T

7

H

3

U

2

H

8

U

1

H

6

U

1

I

3

V

4

I

5

V

3

I

3

V

3

J

2

W

7

J

2

W

1

J

3

W

8

K

4

X

5

K

1

X

6

K

5

X

9

L

1

Y

0

L

8

Y

0

L

3

Y

3

M

7

Z

2

M

7

Z

0

M

3

Z

1

Maka indeks koinsidennya adalah: (

)


(

Dengan cara yang sama, untuk koinsiden yaitu:

,

,

)

(

154

)

maka akan diperoleh indeks ,

maka diperoleh indeks koinsiden yaitu:

. Kemudian untuk ,

,

. Karena nilai-nilai indeks koinsiden untuk

,

, dan

berada disekitar

, maka hal ini memberikan petunjuk yang kuat bahwa panjang kata-kunci adalah . Sebagai ilustrasi, untuk ,

, diperoleh

yang merupakan baris-baris dari matriks berikut:

,

,

,


155

. (

)

Menentukan Kata-Kunci Andaikan bahwa panjaang kata-kunci adalah menentukan kunci

, bagaimana cara

yang sebenarnya? Berikut ini

akan digambarkan metode sederhana dan efektif. Misalkan , . . . ,

dan

,

,...,

secara berturut-turut dalam

merupakan panjang

merupakan frekuensi , ⁄

. Dimisalkan juga

. Maka distribusi probabilitas dari

huruf dalam

adalah:

Ingat kembali bahwa

diperoleh dengan enkripsi geser himpunan

bagian dari elemen-elemen teks-asal menggunakan pergeseran

. Oleh

karena itu, diharapkan bahwa distribusi probabilitas setelah pergeseran, yaitu

akan lebih mendekati distribusi probabilitas yang ideal

,

,...,

seperti yang terdapat pada Tabel 3.4, dimana semua indeks dari frekuensi di atas dihitung dalam modulo Andaikan bahwa

. dan didefinisikan kwantitas


156

∑ Jika

, maka akan diduga bahwa ∑

, Sebagai pertimbangan untuk indeks koinsiden. Jika secara signifikan akan kurang dari

, maka

. Teknik ini diharapkan dapat

membantu dalam menentukan nilai

yang tepat untuk setiap

. Contoh 3.23: (Lanjutan) Misalkan panjang kata-kunci telah diketahui yaitu . Kemudian hitung nilai

seperti yang telah dinyatakan di atas, untuk

sebelumnya perlu diketahui bahwa untuk

maka dimiliki lima buah

yaitu:

,

,

. Namun


,

,

. Sehingga untuk

diperoleh

.

.

157


158

. Cara yang sama juga dilakukan untuk

,

,

dan

. Secara

keseluruhan nilai-nilai tersebut dapat dilihat dalam Tabel 3.9 berikut. Nilai

i

1

2

3

4

5

0.035

0.031

0.036

0.037

0.035

0.039

0.028

0.028

0.048

0.061

0.039

0.032

0.040

0.038

0.038

0.045

0.036

0.030

0.042

0.043

0.036

0.033

0.049

0.043

0.042

0.036

0.069

0.044

0.032

0.035

0.044

0.034

0.036

0.033

0.029

0.031

0.042

0.045

0.040

0.046

0.046

0.042

0.037

0.032

0.034

0.037

0.032

0.034

0.043

0.032

0.026

0.047

0.048

0.029

0.042

0.043

0.044

0.034

0.038

0.035

0.032

0.049

0.035

0.031

0.035

0.066

0.035

0.038

0.036

0.045

0.027

0.035

0.034

0.034

0.036

0.035

0.046

0.040

0.045

0.032

0.033

0.038

0.060

0.034

0.034

0.034

0.050

0.033

0.033

0.043

0.040

0.033

0.029

0.036

0.040

0.044

0.037

0.050

0.034

0.034

0.039

0.044

0.038

0.035

0.034

0.031

0.035

0.044

0.047

0.037

0.043

0.038

0.042

0.037

0.033

0.032

0.036

0.037

0.036

0.045

0.032

0.029

0.044

0.072

0.037

0.027

0.031

0.048

0.036

0.037

Tabel 3.9: Daftar Nilai


159

Untuk menguji keakuratan nilai pada tabel di atas dapat dihitung dengan menggunakan program

. Untuk setiap dicari nilai

dekat dengan

tersebut akan menentukan pergeseran-

pergeseran

,

. Pada ,...,

yang

.

Berdasarkan data pada Tabel 3.9, dapat dilihat bahwa kunci yang mungkin digunakan adalah

. Oleh karena itu,

diperoleh kata-kunci yang mungkin digunakan adalah kata-kunci ini diperoleh hasil dekripsinya yaitu:

Untuk lebih tepatnya berbunyi:

. Dengan


160

4. Kriptanalisis Sandi Hill Bagaimana kriptanalis memecahkan kunci suatu Sandi Hill? Pada bagian ini, akan dijelaskan dengan singkat dua metode serangan pada Sandi Hill. Sebagai catatan untuk semua Sandi Hill, jika musuh dapat menemukan matriks kunci

, maka dia dapat mendekripsi semua teks-

asal. Jadi, bagian ini akan fokus terhadap cara musuh menemukan matriks kunci. Dengan menggunakan rumus enkripsi dapat dilihat bahwa . Jika musuh mempunyai bagian teks-asal dan teks-sandi yang bersesuaian (serangan Known-Plaintext) maka musuh akan mengetahui sedikit tentang teks-asal teks-asal

dan teks-sandi

. Jika beruntung, potongan

yang diperoleh dapat menghasilkan matriks berukuran

yang mempunyai invers (modulo ditulis kembali menjadi

). Sehingga

dapat

menghasilkan matriks enkripsi.

Dengan demikian, musuh dengan mudah membalikkan kunci

modulo

dan dapat mengenkripsi seluruh pesan. Pertama akan dijelaskan apa yang disebut serangan choosenplaintext. Andaikan bahwa kriptanalis tidak mengetahui matriks kunci, tetapi dia dapat memilih sembarang teks-asal dan mempunyai cara untuk menentukan teks-sandi yang bersesuaian. Dengan kata lain, dia mempunyai akses terhadap sistem sandi Hill untuk mengenkripsi pesan tersebut, tetapi dia tidak mengetahui cara kerja sistem tersebut. Dalam kasus ini, sandi tersebut sangat mudah untuk dipecahkan. Kriptanalis


dengan mudah memilih untuk mengenkripsi

dan (

memberikan matriks kunci. Perhatikan jika kunci

(

)

(

dan

Jadi, kriptanalis menemukan matriks kunci

161

. Ini akan ), maka

)

.

tersebut.

Dalam penggunaannya, kriptanalis tidak dapat secara khusus memilih teks-asal. Sehingga Sandi Hill akan lebih sulit dipecahkan dengan menggunakan serangan ciphertext-only, tetapi akan lebih mudah dengan menggunakan serangan known-plaintext. Andaikan bahwa kriptanalis telah mengetahui nilai mengetahui

yang digunakan. Kriptanalis juga

pasangan teks-asal dan teks-sandi yang berbeda, yaitu: ,

,...,

,

,...,

dan

untuk (

sedemikian sehingga ) dan

(

, ( ). Jika dua matriks

) didefinisikan berukuran

diperoleh persamaan matriks

dimana matriks

, maka berukuran

merupakan variable kunci. Ditetapkan bahwa matriks mempunyai invers (invertible), sehingga dapat dihitung dengan demikian memecahkan sandi tersebut. Jika

tidak mempunyai


162

invers (not invertible), maka perlu untuk mencoba himpunan pasangan teks-asal dan teks-sandi lainnya. Contoh 3.24: Andaikan suatu teks-asal yaitu Hill dengan

dienkripsi menggunakan Sandi

sehingga menjadi teks-sandi

Dalam kasus ini, diperoleh

.

,

, dan

. Untuk dua pasangan teks-asal dan teks-sandi yang pertama, didapat persamaan matriks (

)

(

) .

Dapat dihitung bahwa: (

)

(

),

Sehingga (

)(

)

(

).

Dari hasil ini kebenarannya dapat diverifikasi dengan cara memasukkan pasangan yang ketiga dari teks-asal dan teks-sandi. Terdapat lebih dari satu potongan informasi yang benar-benar diperlukan musuh. Jika dia hanya mempunyai kerakter teks-asal dan teks-sandi tetapi dia tidak mengetahui ukuran blok mengetahui ukuran kunci teks-sandi

. Dia tidak akan

maupun ukuran matriks dari teks-asal

yang diperlukan untuk menentukan kunci

dan

. Jelas bahwa ini


163

merupakan masalah. Tetapi, terdapat cara untuk memperkirakan unkuran blok yang mungkin, jika pesan tidak terlalu panjang. Karena musuh dapat memperoleh keseluruhan teks-sandi, dia mengetahui jumlah huruf dalam pesan tersebut (kemungkinan blok) dengan banyaknya karekter tersebut pasti merupakan kelipatan ukuran blok tersebut. Jadi, jika dia telah mengetahui

dia mengetahui bahwa pesan

tersebut mempunyai

karakter, maka ukuran blok yang mungkin

terjadi adalah , , , , atau

. Jika ukuran blok adalah , , atau

dia tidak akan mempunyai cukup karakter untuk membuat teks-asal dan teks-sandi

sehingga tidak memungkinkan untuk menemukan kunci

. Dengan demikian ukuran blok yang memungkinkan dia sehingga dapat menghasilkaan kunci adalah

dan

. Jika keduanya gagal

menghasilkan kunci maka dia tahu bahwa dia tidak akan bisa memecahkan sandi tersebut dan tidak akan bisa mengetahui teks-asal. Sebagai contoh, diasumsikan bahwa kriptanalis mengetahui bahwa dienkripsi sebagai

dan

akan diikuti proses di atas untuk menghasilkan ukuran blok adalah

dan

matriks kunci . Contoh 3.25: Kriptanalis

mendapat

pesan

yang

telah

terenkripsi

dan dari pengintaian diketahui bahwa pesan ini adalah

. Kriptanalis juga mengetahui bahwa

pesan yang lainnya juga dikirim pada hari yang sama antara Alice dan


164

Boby menggunakan kunci yang sama dan dia ingin mendekripsi pesan tersebut sebaik mungkin, tetapi dia tidak mempunyai informasi lainnya mengenai pesan yang lainnya. Karena pesan tersebut berukuran , , , atau

, dia tahu bahwa ukuran blok pasti ,

, dan karena dia hanya mempunyai

karakter untuk

melakukannya dan berharap bahwa ukuran blok yang digunakan adalah atau . Jika keduanya gagal kembali kepada pengintaian lainnya. Dimulai dengan ukuran blok . Karena

dienkripsi sebagai

maka

Kemudian matriks berukuran

yang mempunyai invers modulo

dibangun berdasarkan blok-blok teks-asal. Jika diambil dua blok pertama dari teks-asal yaitu

dan

maka dapat dibangun matriks (

Determinan

dari

matriks

).

tersebut

tidak relatif prima terhadap

, berarti

tidak mempunyai


165

invers. Hal ini dapat dilihat dengan apa yang diketahui tentang determinan. Dapat dilihat bahwa elemen-elemen kolom pertama merupakan bilangan genap dan

merupakan faktor dari

Jika berpindah ke blok selanjutnya yaitu berubah, maka matrik

.

dan blok pertama tidak

menjadi (

).

Dengan

relatif prima terhadap

.

Sehingga persamaan menjadi (

)

(

).

Dengan demikian, ( Karena

)

(

)

mempunyai invers modulo

maka tentukan

,

yaitu: (

)

(

)

Setelah ditemukan

(

)

(

)

.

yang demikian maka diperoleh (

)(

)

( (

) )

.

Perlu diuji apakah kunci tersebut merupakan kunci sesuai untuk teks-asal yang dimiliki, dengan cara


(

(

166

)

)

(

)

.

(

) (

Dari proses enkripsi dengan menggunakan kunci dihasilkan teks-sandi yang berbentuk

) . Dari

hasil ini dapat dibuat perbandingan dengan teks-sandi yang didapat. Untuk blok

dan

benar, tetapi untuk blok lainnya teks-sandi tersebut

tidak benar. Dengan demikian disimpulkan bahwa ukuran blok bukan . Cara yang sama dilakukan kembali untuk perhitungan ukuran blok Dengan demikian diperoleh matriks

dan ( dan dihasilkan matriks kunci

) berukuran

(

) dimana

.


167

. ( Seperti

(

)

)

sebelumnya, tiga baris dipilih dari

menghasilkan matriks berukuran

teks-asal

sehingga

yang mempunyai invers. Lihat

pada kolom terakhir, semua elemem-elemennya adalah bilangan genap kecuali

yang berada pada baris terakhir, karena itu baris tersebut yang

akan digunakan. Karena kolom pertama pada baris terakhir merupakan bilangan genap, maka paling sedikit satu bilangan ganjil harus dimiliki pada kolom pertama dari baris-baris yang digunakan. Sehingga dua baris sisanya tidak dapat dipilih dari baris elemen baris

,

, dan

. Selanjutnya, semua

adalah bilangan genap memilih baris ini akan menjadi sia-

sia. Dengan demikian yang akan dipilih harus mempunya baris setidaknya salah satu dari baris

dan

dan

. Akan dicoba dengan

menggunakan baris , , dan , sehingga menghasilkan (

+.

dan |

|

|

|

|

|

. Karena invers. Selanjutnya diperoleh

berarti matriks

mempunyai


(

+

(

168

+

berarti (

+

(

+(

(

+

+

(

+

(

+

(

+

.

Untuk mengetahui apakah pasangan-pasangan blok dari teks-asal dan teks-sandi yang dipilih menghasilkan matriks kunci yang tepat dapat diuji dengan melakukan proses enkripsi pada teks-asal

( (

+

)

(

)

. (

)

(

)


Sehingga menghasilkan teks-sandi yang sama dengan yang dimiliki:

169


BAB IV PENUTUP A.

KESIMPULAN Sandi

digunakan

untuk

melindungi

informasi-informasi

yang

terkandung di dalam suatu pesan. Hal ini dilakukan dengan cara melakukan mengubah bentuk dari pesan tersebut. Untuk mengubah bentuk pesan dilakukan dengan proses enkripsi, dimana suatu teks-asal berubah menjadi teks-sandi. Pada proses enkripsi dibutuhkan suatu fungsi enkripsi

. Oleh

karena itu, untuk mengubah bentuk pesan (teks-asal) tersebut menjadi tekssandi dengan menggunakan suatu fungsi enkripsi

. Dengan melakukan

proses enkripsi pada pesan rahasia dapat membuat musuh kesulitan untuk mengetahui informasi-informasi yang terdapat dalam pesan tersebut (tekssandi). Setelah teks-sandi diterima ditangan penerima pesan yang sah, dia juga harus mengetahui teks-asal dari pesan yang diterima. Untuk itu, dia melakukan proses dekripsi, dimana teks-sandi diubah (kembali) ke dalam teks-asal. Pada proses dekripsi juga dibutuhkan suatu fungsi dekripsi

.

Dengan demikian, untuk mengubah kembali teks-sandi kembali menjadi teks-asal dibutuhkan suatu fungsi dekripsi

.

Agar pesan tetap aman pengirim maupun penerima pesan perlu menerapkan Prinsip Kerckhoffs yang selalu menganggap kriptanalis mengetahui sandi yang digunakan. Seorang kriptanalis yang ingin

170


171

menetahui informasi-informasi pada pesan juga mempunyai cara tersendiri untuk mengetahuinya. Untuk melakukan kriptanalisis, dapat dilakukan dengan empat jenis serangan yaitu: serangan ciphertext-only, serangan known-plaintext, serangan chosen plaintext, serangan chosen ciphertext. Dari keempat jenis serangan tersebut digunakan: Pencarian secara Menyeluruh (exhaustive search), Analisis Frekuensi (frequency analysis), maupun Uji Kasiski (Kasiski Test) dan Indeks Koinsiden (index of coincidence), agar dapat menghasilkan teks-asal. Dari beberapa metode penyandian yang dibahas di depan, Sandi Vernam merupakan sandi yang lebih baik karena sandi ini memberikan perfect secrecy. Selain itu juga karena kunci yang digunakan juga panjang dan hanya satu kali digunakan, sehingga sulit untuk dilakukan kriptanalisis.

B.

SARAN Sandi yang dibahas dalam makalah ini merupakan sandi-sandi yang termasuk dalam sandi simetris-key saja atau secret-key, dimana kunci yang digunakan telah diketahui antara pengirim dan penerima pesan, serta kriptanalisis untuk beberapa sandi. Bagi pembaca yang tertarik dalam kriptografi salah satu pilihannya dapat melanjutkkan makalah ini dengan kriptanalisis dari semua sandi. Selain itu, dapat membahas sandi-sandi yang termasuk dalam kategori public-key serta penerapannya pada komputer zaman sekarang.


DAFTAR PUSTAKA

Anton, H dan Busby, R C. (2003). Contemporary Linear Algebra. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.

Baldoni, M. W., Ciliberto C., dan Cattaneo G. M. P. (2009). Elementary Number Theory, Cryptography, and Codes. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag..

Erickson, M. dan Vazzana, A.(2008). Introduction To Number Theory. Boca Raton, FL: Taylor & Francis Group.

Gallian, J A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (

ed.). Belmont, CA:

Brooks/Cole.

Hardy, D.W., Richman, F., Walker, C.L. (2009). Applied Algebra Codes, Ciphers, and Discrete Algorithms. Boca Raton, FL: Taylor & Francis Group.

Koblitz, N. (1994). A Course in Number Theory and Cryptography (

ed). New

York: Springer-Verlag.

Loepp, S. dan Wootters, W. K. (2006). Protecting Information from Classical Error Correction to Quantum Cryptography. Cambridge: Cambridge University Press.

Mollin, R. A. (2007). An Introduction to Cryptography (

ed). Boca Raton, FL:

Chapman & Hall/CRC.

Ricardo, H. (2010). A Modern Introduction to Linear Algebra. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC.

172


173

Shier, D. R. dan Wallenius, K. T. (1999). Applied Mathematical Modeling. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC.

Stinson, D. R. (2006). Cryptography Theory and Practice (

ed.). Boca Raton,

FL: Chapman & Hall/CRC.

Trappe, W. dan Washington, L. C. (2006). Introduction to Cryptography with Coding Theory. Upper Saddle River, NJ: Pearson.Education, Inc.

Treil, S. (2009). Linear Algebra Done Wrong. Brown University.

Vaudenay, S. (2006). A Classical Introduction To Cryptography: Application for Communication Security. New York: Springer Science+Business Media, Inc.

Yan, S. Y. (2013). Computational Number Theory and Modern Cryptography. Fusionopolis: Higher Education Press.

Williams, H. C. (1998). E´douard Lucas and Primality Testing, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.

Kahn, D. (1976). The Codebreakers: The Story of Secret Writing, Macmillan.


LAMPIRAN Menentukan Nilai

untuk Tabel 3.9

%Program untuk menentukan nilai Mg dalam Kriptanalisis Sandi Vigenere %Created by: Marselinus Junardi Rebu (10 3114 017) clc clear all %Probabilitas masing-masing huruf (pada teks bahasa Inggris) P = [0.082 0.015 0.028 0.043 0.127 0.022 0.020 0.061 0.070 0.002 0.008 0.040 0.024 0.067 0.075 0.019 0.001 0.060 0.063 0.091 0.028 0.010 0.0230 0.001 0.020 0.001]; %Fyi frekuensi kunci) Fy1 = [7 6 6 4 Fy2 = [3 0 0 3 Fy3 = [5 3 1 0 Fy4 = [1 1 1 0 Fy5 = [3 5 0 0

masing-masing huruf di yi(tergantung panjang kata1 2 0 0 1 2 2 0 2 4 0 1 4 3 0 2 1 1 9 5 0 0]; 10 2 3 6 3 0 0 0 2 6 6 1 0 3 7 5 1 1 1 0 0 0]; 3 0 4 2 3 3 0 2 0 5 1 2 4 13 1 2 2 4 0 1 2 0]; 10 0 1 3 4 2 4 4 8 0 0 3 2 3 1 1 0 3 3 4 1 2]; 2 2 7 6 0 0 4 6 5 0 0 1 0 2 0 4 0 1 3 10 0 1];

%Indeks P dan F I = 0:25; G = 0:25; for g = 1:26 for i = 1:26 indeksF(g,i) = mod(I(i)+G(g),26); indeksP(i) = I(i); M1(g,i) = P(i)*Fy1(indeksF(g,i)+1); M2(g,i) = P(i)*Fy2(indeksF(g,i)+1); M3(g,i) = P(i)*Fy3(indeksF(g,i)+1); M4(g,i) = P(i)*Fy4(indeksF(g,i)+1); M5(g,i) = P(i)*Fy5(indeksF(g,i)+1); end end indeksP; indeksF; M1; M2; M3; M4; M5; Mg1 = sum(M1')/sum(Fy1) Mg2 = sum(M2')/sum(Fy2) Mg3 = sum(M3')/sum(Fy3) Mg4 = sum(M4')/sum(Fy4) Mg5 = sum(M5')/sum(Fy5)

174

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI KRIPTOGRAFI KLASIK MAKALAH

Recommend Documents