PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005

1

PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER

AZWIRDA AZIZ

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005

2

SURAT PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan da ri penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Desember 2005

Azwirda Aziz NRP. G325010101

3

ABSTRAK AZWIRDA AZIZ . Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner. Dibimbing oleh AUNUDDIN dan ANANG KURNIA. Dalam berbagai kasus seringkali ditemukan pola hubungan antara peubah respon dengan peubah prediktor mengikuti siklus nonlinier, serta bentuk kurvanya sulit untuk ditetapkan atau tidak diketahui karena bentuknya tidak sederhana atau tidak mengikuti fungsi yang secara luas diketahui, sehingga diperlukan metoda yang dapat mengakomodasi penga ruh nonlinier tersebut, dan tanpa memerlukan penetapan bentuk kurva secara a priori. Regresi spline adaptif berganda (RSAB) digunakan untuk tujuan prediksi. Penelitian ini bertujuan untuk penerapan RSAB pada peubah respon biner dalam kasus peramalan resesi berdasarkan peubah finansial dan riil di Indonesia. Hasil penelitian menunjukkan bahwa penerapan model RSAB memperlihatkan hasil yang menjanjikan untuk peramalan resesi di dalam contoh. Sedangkan untuk peramalan resesi di luar contoh, model RSAB dapat membantu tetapi secara umum tidak memberikan hasil yang tepat. Kata kunci: generalized cross-validation, multivariate adaptive regression splines, recursive partitioning, regression analysis, spline functions.

4

PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER

AZWIRDA AZIZ

Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005

5

Judul Tesis Nama NIM Program studi

: Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner : Azwirda Aziz : G325010101 : Statistika :

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc. Ketua

Ir. Anang Kurnia, M.Si. Anggota

Diketahui Ketua Program Studi Statistika

Dr. Ir. Budi Susetyo, M.S.

Tanggal ujian : 6 Desember 2005

Dekan Sekolah Pascasarjana

Prof. Dr.Ir. Syafrida Manuwoto, M.Sc.

Tanggal lulus :

6

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah regresi spline adaptif berganda, dengan judul Penggunaan Regresi Spline Adaptif Berganda untuk Data Respon Biner. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc dan Bapak Ir. Anang Kurnia. M.Si selaku pembimbing. Di samping itu, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Ir.Sutikno M.Si atas bantuanya mendapatkan software MARS serta saran-saran yang diberikan, Bapak Ir. Handy Yunianto di PT Danareksa atas bantuan memperoleh data, Bapak Bagus M.Si, Mas Widyo (BPS) dan teman-teman di STK terutama angkatan 2001 yang banyak membantu penyelesaian tesis ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada suami, ananda, ibu, bapak (alm) dan seluruh keluarga atas segala doa, dorongan serta kasih sayangnya. Tak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah banyak membantu sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Desember 2005

Azwirda Aziz

7

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Batusangkar Propinsi Sumatera Barat pada tanggal 14 April 1958 dari bapak Aziz Arif (alm) dan ibu Rahimah Yasir. Penulis merupakan anak ketiga dari tujuh bersaudara. Tahun 1976 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Padang dan pada tahun 1977 masuk program sarjana IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Pada akhir tahun 1977 penulis memilih Jurusan Statistika dan lulus pada tahun 1981. Pada tahun 1982 sampai tahun 1989 penulis bekerja sebagai Staf Pengajar pada Fakultas Pertanian Universitas Andalas Padang, pada tahun 1989 penulis pindah ke Universitas RIAU Pekanbaru karena mengikuti suami, dan bekerja sebagai Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Pekanbaru sampai tahun 1995. Pada tahun 1995 penulis pindah ke Jakarta dan bekerja sebagai Staf Pengajar Kopertis Wilayah III di Jakarta pada Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi Swadaya Jakarta sampai saat ini. Pada tahun 2001 penulis diterima di Program Studi Statistika Program Pascasarjana IPB. Beasiswa pendidikan diperoleh dari Direktorat Perguruan Tinggi (Dikti) Departemen Pendidikan Nasional.

8

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR TABEL….. ..................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................

ix

PENDAHULUAN Latar Belakang ..................................................................................... Pemasalahan........................................................................................... Tujuan Penelitian....................................................................................

1 2 3

TINJAUAN PUSTAKA................................................................................... Regresi Spline Adaptif Berganda .......................................................... Recursive Partitioning Regression ........................................................ Modifikasi Friedman............................................................................. Pemilihan Model................................................................................... Dekomposisi ANOVA Model RSAB ................................................... Penerapan Model RSAB untuk Data Respon Biner..............................

4 4 7 10 10 13 14

DATA DAN METODA................................................................................... Sumber Data ......................................................................................... Metoda Analisis .................................................................................... HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................................ Pendugaan Model Regresi dengan RSAB............................................ Peubah Prediktor yang Relatif Penting ................................................ Peramalan Resesi dengan RSAB.......................................................... Penerapan Model RSAB untuk Peramalan Resesi Tahun 2004........... Pendugaan Model Regresi dengan Regresi Logistik yang Dimodifikasi.........................................................................................

16 16 17 20 20 22 23 26

SIMPULAN DAN SARAN............................................................................. Simpulan............................................................................................... Saran.....................................................................................................

29 29 29

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................

30

LAMPIRAN.....................................................................................................

32

27

9

DAFTAR TABEL

Halaman 1 Komponen sidik ragam model resesi untuk 3 bulan ke depan....................

21

2 Peringkat peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan lima prediktor ...........................................

22

3 Statistik -statistik peramalan resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di dalam contoh ...................

23

4 Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagY) pada peramalan di dalamcontoh ...........

23

5 6 7 8

Statistik-statistik peramala n resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di luar contoh.......................

25

Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagY) pada peramalan di luar contoh ...............

25

Hasil penerapan model RSAB untuk peramalan resesi tahun 2004 dengan menggunakan lima prediktor .........................................................

27

Hasil penerapan model RSAB untuk peramalan resesi tahun 2004 dengan menggunakan enam prediktor ........................................................

27

10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 2 3 4

Sidik ragam pendugaan model resesi dengan RSAB untuk peramalan di dalam contoh ..............................................................

32

Peringkat peubah prediktor yang relatif penting untuk peramalan resesi di dalam contoh................................................................................

37

Grafik peramalan resesi (Y) dengan RSAB untuk peramalan di dalam contoh .............................................................................................. Grafik peramalan resesi (Y) dengan RSAB untuk peramalan di luar contoh.........................................................................................................

39 40

11

PENDAHULUAN Latar Belakang Regresi spline adaptif berganda (RSAB), atau multivariate adaptive regression splines (MARS) merupakan metoda pemodelan regresi yang fleksibel untuk data berdimensi tinggi. Bentuk model RSAB merupakan perluasan hasil kali fungsi-fungsi basis spline, di mana jumlah fungsi basis beserta parameterparameternya (derajat hasil kali, lokasi knot) ditentukan secara otomatis oleh data dengan menggunakan algoritma recursive partitioning yang dimodifikasi. Recursive Partitioning (RP) sebagai metoda pemodelan regresi memiliki beberapa kekurangan diantaranya: Model RP

menghasilkan himpunan bagian

yang saling lepas dan diskontinu pada batas himpunan bagian, serta Model RP

tidak cukup mampu dalam menduga fungsi linier atau aditif.

Metoda

RSAB mampu mengatasi semua kekurangan yang dimiliki metoda RP dengan menggunakan algoritma RP yang dimodifikasi sehingga diperoleh model yang kontinu dengan turunan yang kontinu (Friedman 1990). Pola hubungan antara

peubah respon dengan peubah prediktor dapat

diduga dengan pemodelan regresi parametrik maupun pemodelan regresi nonparametrik.

Pada pemodelan regresi parametrik selain diperlukan asumsi-

asumsi yang ketat diperlukan pula sejumlah batasan antara lain: (1) model bersifat linier aditif, (2) bentuk fungsional kurva diketahui, dan (3) galat berdistribusi normal. Namun demikian seringkali ditemuka n dalam berbagai kasus di mana pola data atau bentuk kurvanya tidak jelas sehingga secara a priori sulit untuk ditetapkan ke dalam salah satu bentuk fungsi keluarga parametrik. Dalam kasus ini pemodelan regresi parametrik tidak dapat dilakukan karena pende katan ini hanya akan menghasilkan pendugaan model yang tepat jika bentuk fungsional kurva yang sebenarnya mendekati salah satu bentuk fungsional kurva dari keluarga parametrik.

Alternatif lain dapat digunakan untuk menduga bentuk

kurva adalah melalui pendekatan regresi nonparamertik. Pemodelan regresi nonparametrik memiliki kelenturan terutama dalam penentuan bentuk kurva tidak perlu ditetapkan secara a priori, tetapi kurva dibentuk sesuai dengan datanya (data driven).

12

Pemodelan regresi nonparametrik pada umumnya dilakukan dengan proses pemulusan. Regresi spline adaptif berganda merupakan salah satu pemodelan regresi

nonparamertik

yang

menggunakan

potongan-potongan polinomial

(berdasarkan spline) sebagai pemulus, di mana penempatan dan banyaknya knot disesuaikan dengan

perilaku data dengan menggunakan algoritma recursive

partitioning yang dimodifikasi. RSAB secara otomatis dapat membentuk modelmodel dugaan yang akurat baik untuk data respon kontinu maupun data respon biner. Metoda ini mampu menganalisis data yang besar, 50 N jumlah peubah prediktor, 3

n

1000, dengan

20, (Friedman 1990).

Metoda RSAB untuk data respon biner saat ini

masih dalam taraf

pengembangan karena masih memerlukan sejumlah batasan-batasan. Sephton (2001) telah mela kukan penelitian untuk membandingkan model RSAB dengan model probit dalam peramalan resesi di Amerika di mana data resesi berupa data biner.

Hasil yang diperoleh memperlihatkan bahwa model RSAB lebih tepat

dibandingkan dengan model probit pada peramalan di dalam contoh sedangkan pada peramalan di luar contoh hasil peramalan model RSAB relatif sama dengan yang diperoleh model probit. Penerapan regresi spline adaptif berganda di Indonesia relatif masih baru. Sutikno (2002) menerapkan metoda RSAB untuk mengatasi masalah nonlinier pada data iklim (berupa data kontinu), yakni dengan menggunakan beberapa fungsi basis spline. Hasil yang diperoleh memperlihatkan bahwa metoda RSAB lebih baik dari metoda kuadrat terkecil (MKT). Sedangkan penerapan regresi spline adaptif berganda

untuk data respon biner belum pernah diterapkan di

Indonesia.

Permasalahan Dalam pemodelan resesi di Indonesia (dalam hal ini data resesi berupa data biner) dengan beberapa kaitannya dengan faktor ekonomi, sebagian besar peubah ekonomi akan mengikuti siklus nonlinier serta bentuk kurvanya tidak diketahui karena bentuknya tidak sederhana atau tidak mengikuti fungsi yang secara luas diketahui, seperti kuadratik, kubik, eksponensial atau logaritma, sehingga dalam hal ini jika digunakan pemodelan regresi parametrik tidak dapat

13

menghasilkan dugaan yang tepat. Berdasarkan pertimbangan tersebut diperlukan metoda yang dapat mengatasi masalah nonlinier serta tidak

memerlukan

penetapan bentuk kurvanya secara a priori yaitu metoda RSAB ( pemodelan nonparametrik). Tujuan Penelitian Penerapan regresi spline adaptif berganda pada peubah respon biner dalam kasus peramalan resesi berdasarkan peubah finansial dan riil di Indonesia

14

TINJAUAN PUSTAKA Regresi Spline Adaptif Berganda Regresi spline adaptif berganda

(RSAB) adalah metoda yang

dikembangkan oleh Friedman pada tahun 1990. Dalam pemodelannya metoda ini menggunakan potongan polinomial sebagai pemulus. Pada pemodelan regresi nonparametrik terdapat beberapa aspek yang perlu diperhatikan. Jika pemodelan menggunakan rataan lokal sebagai pemulus maka pemilihan fungsi pemulus dan parameter pemulus (lebar jendela) perlu mendapat perhatian.

Pemilihan ini

tergantung adanya kurvatur lokal, taraf pemulusan yang diinginkan, dan parameter pemulus yang meminimumkan galat (Scott 1992, diacu dalam Aunuddin 2003). Jika pemodelan

menggunakan

potongan polinomial sebagai pemulus maka

pemilihan fungsi basis, penempatan dan jumlah knot merupakan masalah dalam regresi spline (Hasti & Tibshirani 1990). Dalam pendugaan kurva terdapat hubungan antara pendekatan melalui potongan polinomial dengan rataan lokal sebagai pemulus yaitu untuk penempatan

knot yang telah ditentukan, pendugaan kurva dengan potongan

polinomial juga dapat dilakukan dengan menggunakan rataan lokal. Perbedaan yang mendasar dari kedua pendekatan ini adalah pemulus dengan rataan lokal pada dasarnya sangat ditentukan

oleh parameter pemulus (lebar jendela),

sedangkan pemulus dengan potongan-potongan polinomial secara tidak langsung ditentukan oleh jumlah, penempatan knot serta derajat kekontinuan yang diinginkan pada posisi-posisi knot (Friedman & Silverman 1989). Perimbangan antara fleksibilitas dan kemulusan dugaan kurva dikontrol oleh nilai parameter pemulus atau jumlah knot. Parameter pemulus yang relatif besar atau jumlah knot yang relatif kecil akan menghasilkan dugaan kurva yang sangat mulus sehingga

perilaku data yang rinci tidak terlihat,

parameter pemulus yang relatif

sedangkan

kecil atau jumlah knot yang relatif besar

menghasilkan dugaan kurva yang kasar karena besarnya pengaruh variasi lokal (Friedman & Silverman 1989).

15

Suatu ukuran yang penting dan banyak digunakan untuk mengukur ^

ketepatan keseluruhan kurva

f sebagai penduga bagi kurva f ialah Mean Square

Error (MSE) atau Mean Integrated Square Error (MISE) yang dinyatakan sebagai berikut: ^

^

MSE ( f )

= E { f (x) – f (x) }2

^

^

{f (x) – f (x) }2 dx

MISE ( f ) = E

^

=

E { f (x) – f (x) }2 dx

=

MSE f (x) dx

=

{ E f (x) – f (x) }2 dx +

=

{ bias f (x) }2 dx +

^

^

^

^

var f (x) dx ^

var f (x) dx

…………..(1)

Semakin fleksibel dugaan kurva yang dihasilkan pemulus, maka umumnya bias kuadrat mengecil, sedangkan ragam meningkat. Penentuan nilai parameter atau jumlah knot yang optimum (penentuan fleksibilitas yang optimum) merupakan usaha untuk mencari perimbangan antara besarnya bias dan ragam dugaan kurva (Aunuddin 2003, Friedman & Silverman 1989, Hasti & Tibshirani 1990, Silverman 1986, Scott 1992). Namun demikian perlu diperhatikan bahwa MSE sensitif

terhadap pencilan, sehingga kriteria lain mungkin lebih kekar

(Steinberg et al. 2001). Potongan

polinomial mempunyai sifat fleksibel dan efektif dalam

menangani sifat lokal suatu fungsi atau data. Prosedur pendugaan kurva dengan potongan polinomial yang paling popular didasarkan

pada spline, antara lain

karena mudah ditelusuri secara teori maupun komputasinya serta memiliki fleksibilitas yang besar (Aunuddin 2003, Porier 1973, De Boor 1978).

Fungsi

spline berderajat n adalah suatu fungsi yang kontinu serta memiliki turunan n-1 yang kontinu (Wold 1974). Regresi spline adalah regresi yang terdiri atas beberapa penggal polinom berorde tertentu yang saling bersambung pada titik-titik ikat. Nilai absis dari titik ikat ini disebut knot (Smith 1979). Metoda regresi spline merupakan salah satu

16

alternatif yang dapat digunakan untuk

menangani pola data yang bersifat

nonlinier, di mana pola nonlinier ini sulit untuk diidentifikasi ke salah satu bentuk fungsi nonlinier yang sudah dikenal (misalnya polinom, eksponensial atau logaritma) sedangkan pada pemulusan dengan rataan lokal tidak secara eksplisit memasukkan kondisi nonlinier. Kesulitan utama dalam regresi spline klasik adalah penentuan jumlah dan lokasi knot. Disamping hal tersebut masalah lain pada regresi spline adalah pemilihan fungsi basis yang mencerminkan fungsi spline pada knot-knot tertentu. Fungsi spline yang sering digunakan adalah fungsi spline dengan polinom berderajat

tiga (berordo 4) dan disebut spline kubik.

digunakan karena polinom yang digunakan

Spline kubik

sering

berordo relatif rendah dan

menghasilkan pemulusan yang cukup baik. Kekontin uan sampai turunan kedua polinom-polinom

yang

digunakan

menjamin

kemulusan

fungsi

(Porier

1973,Smith 1979, Hasti & Tibshirani 1990). Formula dari spline kubik adalah :

k

s(x) = â0 + â1 x +â 2 x2 +â 3 x3 +

∑θ j (x- î j) j =1

3 +

…………(2)

dengan: a+ = bagian positif dari a. î j = knot ke j untuk j =1, 2, ……, k Model pada persamaan (2) merupakan suatu kombinasi linier dari k+ 4 fungsi basis yang dikenal sebagai deret berpangkat terbatas (the truncated power series basis), dalam hal ini berpangkat tiga. Fungsi-fungsi basis tersebut adalah 1, x1, x2 , x3, {(x- î j) 3+ } 1k (Friedman 1990, Hasti & Tibshirani 1990). Penyajian unsur -unsur basis model spline pada persamaan (2) disebut juga penyajian dengan fungsi “+”.

Penyajian model spline dengan fungsi ”+”

memungkinkan data untuk dipaskan dengan metoda kuadrat terkecil serta mudah dilakukan pengujian hipotesis. Namun demikian terdapat kelemahan penyajian model spline dengan fungsi “+” yakni masalah singularitas dari matrik rancangan untuk jumlah knot yang besar (Smith 1979). Penetapan fungsi basis lain untuk model spline yang dipandang lebih baik dari segi komputasi untuk jumlah knot yang besar serta telah ditentukan adalah melalui fungsi basis B-spline (Wold 1974). Namun demikian penyajian B-spline

17

sebagai unsur -unsur basis pada model spline sulit untuk diinterpretasikan secara statistika (Smith 1979). Kebaikan regresi spline sangat tergantung pada penempatan dan jumlah knot serta pemilihan fungsi basis. Jumlah knot perlu ditetapkan terlebih dahulu dan penempatannya dapat dilakukan dengan mencoba semua kombinasi knot yang mungkin (Steinberg et al. 2001), ditentukan secara manual dan diduga sebagai parameter dengan menggunakan regresi nonlinier (Smith 1979). Cara ini tidak akan terlalu mengalami kesulitan untuk data dengan satu peubah prediktor dan satu

knot

yang

akan dipilih, tetapi untuk data

dengan peubah prediktor

berdimensi besar atau jumlah knot yang besar hal ini akan menimbulkan kesulitan. Regresi spline adaptif berganda

menentukan lokasi dan jumlah knot

berdasarkan pemilihan peubah pada langkah maju (forward) dan langkah mundur (backward) algoritma recursive partitioning yang dimodifikasi, di mana lokasi dan jumlah knot yang optimum disesuaikan dengan perilaku data. Pada langkah maju model dibangun dengan menambahkan fungsi basis spline

(pengaruh

utama, knot atau interaksi) hingga diperoleh model yang jenuh. Selanjutnya pada langkah mundur model yang diperoleh pada langkah maju, di keluarkan fungsi basis spline yang paling kecil kontribusinya sampai diperoleh perimbangan antara bias dan ragam yang optimum melalui generalized cross validation.

Recursive Partitioning Regression Asal mulanya recursive partitioning regression mucul digunakan dalam program AID (automatic interaction detection) oleh Morgan dan Sonquist pada tahun 1963 (Davis & Anderson 1989, diacu dalam Kudus 1999). Kemudian digunakan

oleh Breiman et al. (1984) dalam bukunya “Classification and

Regression Trees ”. Recursive partitioning (RP) merupakan pendugaan fungsi f (x) dengan cara melalukan pemilahan secara iteratif daerah asal D menjadi himpunan bagian (subregion) yang saling lepas. Pada setiap tahap pemilahan, himpunan-himpunan bagian dipilah berdasarkan salah satu peubah yang dipilih sedemikian rupa sehingga memaksimumkan penurunan jumlah kuadrat sisaan.

18

Model dari recursive partitioning regression adalah : jika x ∈ Rm, maka dengan: x

fˆ (x) = gm (x {a j} 1p )

……… .(3 )

= (x 1, ……., xn) M

{R } m

1

= himpunan bagian yang saling lepas dari daerah D.

Pada umumnya gm merupakan fungsi parametrik yang sederhana dan yang paling sering adalah suatu fungsi konstan : gm (x {a m} ) = a m

………(4)

Dengan menggunakan pengembangkan fungsi basis persamaan (3) dan (4) dapat dinyatakan sebagai :

fˆ (x) =

M

∑ m =1

a m Bm (x)

………….. (5)

dengan: B m fungsi basis yang berbentuk : Bm = I [x ª Rm]

…………(6)

I [.] menunjukkan fungsi indikator yang

mempunyai nilai 1 (satu) jika

pernyataan [x ª Rm] benar dan nol jika salah, {a m} 1M merupakan koefisien (konstanta) yang ditentukan dalam himpunan bagian. Penentuan nilai a m setiap himpunan bagian berdasarkan pada model terbaik bagi data (the best fit of data), di mana nilai am dipilih yang memberikan komponen jumlah kuadrat sisaan terkecil. Tujuan recursive partitioning (RP) tidak hanya menentukan koefisien a m yang memberikan model terbaik bagi data, tetapi juga untuk mendapatkan kumpulan fungsi basis yang terbaik berdasarkan data yang tersedia (Friedman 1990) Secara umum, prosedur RP mempunyai 2 (dua) tahap yang dimulai dari himpunan bagia n yang pertama R1 = D.

Tahap pertama atau langkah maju ,

memilah secara iteratif daerah asal D menjadi himpunan bagian yang saling lepas S

{R } , m

2

untuk S

M, di mana S ditentukan sembarang. Tahap kedua atau

langkah mundur, pada tahap ini berlawanan dengan langkah pertama yaitu menghilangkan atau memangkas (S-M) himpunan bagian dari model dengan dua kriteria yaitu evaluasi dugaan model dan jumlah himpunan bagian dalam model. Kedua tahap tersebut mendapatkan sekumpulan himpunan bagian

yang tidak

19

saling tumpang tindih, sehingga dugaan

fˆ (x) mendekati f (x) untuk setiap

himpunan bagian daerah asal. Jika H [ç] merupakan suatu fungsi tangga (step function ) yang berbentuk sebagai berikut: H[ç] =

1 , untuk η ≥ 0   0, untuk lainnya

maka fungsi basis yang dihasilkan pada langkah maju prosedur RP dapat dinyatakan s ebagai berikut: Km

Bm(x) =

∏ k =1

H [skm.(xv(k,m) – tk m)]

…….(7)

dengan: Km = jumlah pilahan himpunan bagian ke- m untuk menghasilkan B m xv(k,m) = peubah prediktor ke v , pilahan ke k dan himpunan bagian ke-m tkm = knot (dari peubah x v(k,m) ) skm = nilainya 1 atau –1 jika knotnya terletak disebelah kanan atau kiri himpunan bagian H [.] = fungsi tangga. Recursive partition merupakan metoda yang menjanjikan khususnya jika pendugaan dengan model piecewise constant pada persamaan (4) digunakan. Model ini dapat memanfaatkan fungsi-fungsi dimensi rendah secara lokal, artinya walaupun fungsi f(x) tergantung pada sejumlah besar peubah prediktor secara global, (berdimensi besar secara global) namun pada ketergantungannya hanya pada

setiap daerah lokal

beberapa peubah prediktor.

Metoda ini

mempunyai kemampuan dalam mendeteksi interaksi antar peubah secara lokal atau menemukan himpunan bagian data yang bermakna. Interpretasi hasilnya lebih mudah dari pada persamaan regresi biasa, karena identifikasi pengaruh dari peubah penjelas dilakukan dalam masing-masing subgrup data bukan dalam keseluruhan data seperti halnya regresi biasa. Walaupun recursive partitioning adalah metoda yang paling dapat menyesuaikan diri untuk pendugaan fungsi partitioning pendahuluan.

memiliki beberapa

peubah ganda, tetapi recursive

kekurangan seperti yang tercantum pada

20

Modifikasi Friedman Regresi spline adaptif berganda (RSAB) merupakan hasil modifikasi Friedman terhadap algoritma recursive partitioning (RP) untuk mengatasi kekurangankekurangan yang dimiliki metoda RP. Beberapa inovasi dilakukan oleh Friedman untuk mengatasi kelemahan metode RP adalah : (a) Mengganti fungsi tangga H [ ± (x - t)] dengan suatu fungsi splines pangkat terbatas [ ± ( x - t)] q+ .di mana q =1 untuk mengatasi diskontinu pada titik knot. (b)

Tidak menghapus fungsi basis induk setelah dipilah, dengan cara demikian parent dan pilahannya masih dapat dipilah lebih lanjut sehingga diperoleh himpunan bagian yang saling tumpang tindih. Hal ini dilakukan untuk mengatasi ketidak mampuan untuk menduga fungsi linier dan aditif.

(c)

Membatasi perkalian pada masing-masing fungsi basis hanya melibatkan peubah-peubah prediktor yang berbeda. Hal ini dilakukan untuk mengatasi ketergantungan pada peubah secara individu dengan pangkat yang lebih tinggi dari q. Dengan modifikasi Friedman fungsi basis pada persamaan (7) da pat

dinyatakan sebagai berikut: Km

Bm(x) =

∏ k =1

[skm.(xv(k,m) – tkm)] +

………….….(8)

dengan : Km = jumlah pilahan himpunan bagian ke- m untuk menghasilkan B m. xv(k,m) = peubah prediktor ke v , pilahan ke k, dan himpunan bagian ke-m. tkm = knot dari peubah xv(k,m) skm = nilainya 1 atau –1 jika knotnya terletak disebelah kanan atau kiri himpunan bagian.

Pemilihan Model Strategi langkah maju pada algoritma RSAB sengaja dibentuk fungsi basis dalam jumlah yang besar. Adapun kreteria pembentukan fungsi basis berdasarkan pada rataan jumlah kuadrat galat (average sum of square of residual, ASR) yang minimum.

Jumlah fungsi basis yang besar menimbulkan dugaan adanya

overfitting , oleh karena

itu perlu

dilanjutkan ke tahap kedua atau langkah

21

mundur yaitu tahap untuk menentukan ukuran fungsi basis yang layak. Pada langkah mundur dilakukan penghapusan fungsi basis yang kontribusinya terhadap nilai dugaan respon kecil sampai diperoleh model yang layak. . Ukuran kontribusi yang digunakan oleh Friedman (1990) pada langkah mundur adalah modifikasi kriteria generalized cross validation (GCV) Craven dan Wahba (1979) yakni: N (1 / N )∑i =1 [ yi − fˆ ( xi )] 2 M ˆ LOF( f M) = GCV (M) = 2

[1 − (C ( M )) / N ]

…… ..….(9)

dengan pembilang persamaan (9) adalah rataan jumlah kuadrat galat, N jumlah pengamatan dan M

jumlah himpunan bagian at au jumlah fungsi basis

(nonkonstan) pada model RSAB. Penyebutnya merupakan penalti fungsi model kompleks. Kriteria GCV adalah rataan jumlah kuadrat galat hasil pengepasan data (sebagai pembilang) dikali suatu penalti (merupakan kebalikan penyebut) ya ng menyebabkan kenaikan ragam sehubungan dengan meningkatnya kompleksitas model (jumlah fungsi basis M). Jika nilai parameter-parameter fungsi basis (jumlah Km , xv(k,m) , lokasi knot tm,dan tanda s km) yang berhubungan dengan model RSAB tidak tergantung pada nilai respon ( y1, y2,…,yN ), maka hanya koefisien (a0, a1,…, a M) yang akan diduga dari data. Akibatnya biaya kompleksitas fungsi adalah: C(M) = trace (B(BT B) -1BT)+1

….……….………………(10)

dengan B adalah matrik data berukuran

M x N dari M fungsi basis

(nonkonstan), Bij =Bi(x j). Dalam hal ini C(M) adalah jumlah fungsi basis pada persamaan (8) yang bebas, dan oleh karena itu C(M) sama dengan parameter

yang

akan

diduga.

jumlah

Dengan memasukkan nilai C(M) ke

persamaan (9) menyebabkan GCV ekivalen dengan GCV yang diusulkan Craven dan Wahba (1979) , Golub et al. (1979) yakni

GCV(ë) =

1 N

(I – A(ë)y

A(ë) = X(XT X + në)y)-1 XT

2

[N1 Trace(I − A(λ )) ]2

..……..(11) …… .…(12)

22

Prosedure RSAB

menggunakan

nilai-nilai respon untuk

membentuk suatu gugus fungsi basis sehingga akan diperoleh feksibilitas model. Dengan cara ini biasanya secara dramatis menurunkan bias dugaan model, tetapi dalam waktu yang bersamaan

meningkatkan ragam karena

parameter (fungsi basis) disesuaikan untuk membantu

penambahan

pengepasan data lebih

baik. Pengurangan bias secara langsung dicerminkan oleh pengurangan rataan jumlah kuadrat galat (pembilang

persamaan 9) tetapi kebalikan penyebut

persamaan (9) tidak lagi mencerminkan peningkatan ragam karena penambahan fungsi basis (parameter) dan juga sifat ketidaklinierannya. Dalam keadaan ini Friedman dan Silverman (1989) menyarankan

menggunakan persamaan (9)

sebagai kriteria ketidaklayakan dugaan model, tetapi dengan suatu penambahan ~ biaya kompleksitas fungsi C ( M ) yang mencerminkan penambahan fungsi basis bersamaan dengan perluasan koefisien (a0, a 1,…, a M) ~ kompleksitas fungsi C ( M ) dapat dinyatakan sebagai : ~ C ( M ) = C(M) + d . M

yang diduga.

Biaya

…………..……….(13)

denga n C(M) seperti yang dinyatakan persamaan (10). d adalah suatu parameter (pemulusan) dari prosedur yang menggambarkan biaya pengoptimuman masingmasing fungsi basis. Makin besar nilai d akan mengakibatkan makin sedikit knot yang ditempatkan dan denga n cara demikian dugaan fungsi lebih mulus. Penentuan nilai d antara lain dapat dilakukan dengan

validasi silang

(Stone 1974, diacu dalam Friedman 1990), bootstrapping (Efron 1983, diacu dalam Friedman 1990) atau menganggapnya sebagai parameter dari prosedur yang dapat mengontrol derajat kemulusan . Berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan Friedman nilai d yang terbaik berada dalam selang 2 d ≤ 4.

Model terbaik

adalah model dengan nilai GCV minimum. Hasil modifikasi algoritma RP adalah model RSAB yang dinyatakan sebagai berkut:

fˆ (x) = ao +

M

Km

m =1

k =1

∑ am ∏ [skm.(x v(k,m)

– tkm)] +

….…….(14)

23

dengan ao adalah koefisien konstanta dari basis fungsi Bo. Koefisien {am } mM=1 ditentukan dengan menggunakan metoda kuadrat terkecil.

Dekomposisi ANOVA model RSAB Model RSAB pada persamaan (14)

tidak banyak diperoleh informasi

mengenai sifat-sifat pendugaan, untuk itu dilakukan dekomposisi ANOVA model RSAB. Dekomposisi ANOVA adalah suatu proses pemecahan jumlah kuadrat total menjadi komponen-komponennya. Dengan diketahui komponen-komponen jumlah kuadrat tersebut

dapat dilakukan pengujian hipotesis, di antaranya

pengujian hipotesis untuk mengetahui apakah suatu fungsi basis atau interaksi antar peubah tertentu perlu dimasukkan pada suatu model atau tidak sehingga akhirnya diperoleh model yang terbaik.

Disamping itu,

dengan melakukan

dekomposisi ANOVA dapat juga diketahui besar keragaman total peubah respon yang dapat dijelaskan

oleh model

yakni

dengan melihat

nilai koefisien

determinasi atau nilai R 2. Untuk memudahkan melihat hubungan antara peubah respon y dengan peubah prediktor x model pada persamaan (14), maka model tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:

fˆ (x) = a0 + ∑ fi(xi) Km=1

+

∑

fij(xi,xj)

Km =2

+

∑

fijk(xi,xj,xk ) +…

…(15)

Km =3

Misalka n V(m) = {v(k,m)} 1Km adalah gugus peubah fungsi basis Bm yang ke m, maka setiap fungsi basis penjumlahan pertama dari persamaan (15) dapat dinyatakan sebagai : f i(xi)

=

∑

a mB m(xi ).

……….. (16)

Km=1 i∈V ( m )

dalam hal ini fi(xi ) merupakan penjumlahan terhadap semua fungsi basis yang hanya meliputi peubah preditor xi dan mencerminkan spline berpangkat satu dari fungsi peubah tunggal.

Selanjutnya untuk setiap fungsi bivariat pada

penjumlahan kedua persamaan (15) dapat dinyatakan sebagai : f i,j(xi,xj )

=

∑

K m= 2 (i , j )∈V ( m )

am Bm(xi,xj).

…..……(17)

24

dengan fij(xi ,xj)

merupakan penjumlahan semua fungsi basis yang meliputi

pasangan peubah preditor xi dan xj yang mencerminkan interaksi antara xi dan xj. Dengan menambahkan fungsi ini dengan kontribusi fungsi peubah tunggal pada persamaan (16) maka diperoleh *

f ij (xi,xj) = fi(xi)

+

f i(xj) + fi,j(xi,xj)

……….(18)

yang menggambarkan kontribusi bivariat bersama dari xi dan xj pada model. Demikian pula untuk setiap fungsi trivariat pada penjumlahan ke 3

dapat

dinyatakan sebagai : f i,jk(xi,xj,xk)

=

∑

amBm(xi,xj,xk).

……………………….(19)

K m =3 (i , j , k )∈V ( m )

yang merupakan penjumlahan semua fungsi basis meliputi pasangan peubah preditor xi ,xj

dan

xk yang mencerminkan interaksi antara xi , xj dan xk. Dengan

menambahkan fungsi ini dengan kontribusi fungsi peubah tunggal persamaan (16) dan fungsi bivariat pada persamaan (17) diperoleh kontribusi bersama ketiga peubah tersebut.

Demikian selanjutnya untuk peubah-peubah fungsi yang

meliputi peubah-peubah prediktor yang lebih banyak dapat digambarkan dengan cara yang sama. Dekomposisi yang dilakukan pada persamaan (15) sama seperti dekomposisi pada analisis ragam, sehingga dekomposisi persamaan (15) disebut sebagai dekomposisi ANOVA model RSAB (Friedman 1990).

Penerapan Model RSAB untuk Data Respon Biner Apabila model MARS pada persamaan (14) diterapkan pada peubah respon berskala biner maka peubah y dalam hal ini diartikan sebagai peluang terjadinya kejadian y sukses atau gagal (peluangnya antara 0 dan 1). Model RSAB pada persamaan (14) dapat memperlihatkan bahwa peubah respon y merupakan fungsi linier

dari fungsi basis, akibatnya apabila model RSAB

tersebut digunakan untuk menduga respon biner maka peubah respon y yang seharusnya bernilai antara 0 dan 1 dapat bernilai negatif atau bernilai lebih besar dari 1. Untuk mengatasi hal ini perlu diadakan konversi

skor model RSAB ke

dalam suatu penempatan kelas untuk memutuskan seberapa jauh suatu skor model RSAB untuk dinyatakan sebagai respon yang bernilai 1 (sukes). Untuk maksud

25

ini perlu dipilih nilai batas (treshold) yang membatasi nilai peubah respons y untuk ditempatkan sebagai sukses atau gagal. (Steinberg et al. 2001) Adanya kelemahan dalam model RSAB untuk data respon biner seperti yang telah disebutkan terdahulu, Friedman (1990) menganjurkan suatu alteratif lain yakni menggunakan analisis regresi logistik dengan peubah-peubah prediktornya merupakan fungsi-fungsi basis yang diperoleh dari metoda RSAB. Friedman melakukan cara ini pada penelitian tentang hubungan komposisi kimia minyak zaitun dengan asal geografis di Portugis,. Adapun jumlah pengamatan yang digunakan pada penelitian tersebut sebanyak 417 pengamatan dan fungsi basis yang diperoleh pada metoda RSAB sebanyak 9. Dugaan model yang dihasilkan dengan cara ini lebih tepa t dibandingkan dengan hanya menggunakan metoda RSAB.

26

DATA DAN METODA Sumber Data Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari CEIC, BPS, BI, dan PT Danareksa. Data yang diamati berupa data bulanan yang meliputi peubah respon (Y) adalah keadaan perekenomian Indonesia. Peubah ini berskala biner di mana Y = 1 apabila perekenomian Indonesia dalam keadaan resesi dan Y = 0 untuk selainnya. Resesi didefinisikan sebagai periode di mana produk domestik bruto (GDP) riil menurun sekurang-kurangnya dua triwulan berturut -turut (Case & Fair 1999).

Peubah prediktor dalam penelitian ini didasarkan pada peubah

yang digunakan dalam penelitian peramalan resesi oleh Sephton (2001) serta disesuaikan dengan ketersediaan data yakni: A. Peubah riil yang terdiri dari: 1. IP adalah perubahan dalam logaritma indeks produksi industri 2. UR adalah perubahan tingkat pengangguran B. Peubah finansial yang terdiri dari: 1. RM adalah perubahan dalam logaritma M2 dibagi Indeks Harga Konsumen (CPI) 2. SP adalah perubahan dalam logaritma Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) 3. FF adalah perubahan tingkat suku bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI) Di Indonesia sejak tahun 1983 sampai 2003 telah terjadi empat kali resesi yakni: 1) Juli 1984 sampai April 1985 2) Februari 1991 sampai Januari 1992 3) Juni 1997 sampai Januari 1999 4) Juni 2001 sampai Februari 2002 Karena kelima peubah prediktor tersebut baru tersedia secara lengkap mulai April 1993 maka dalam penelitian ini data yang dianalisis hanya mencakup April 1993 sampai Desember 2003 yang mencakup 2 kali resesi yakni Juni 1997 sampai Januari 1999 dan Juni 2001 sampai Februari 2002.

27

Metoda Analisis. Peramalan resesi dilakukan pada waktu 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan. Artinya informasi yang diperoleh pada waktu (t-3), (t-6), (t-9), dan (t-12) digunakan untuk peramalan resesi pada waktu t.

Sebagai teladan model

peramalan resesi pada waktu 3 bulan ke depan dinyatakan sebagai berikut: Yt =ƒ (IP t-3 , URt -3, RMt -3, SP t-3 , FFt-3 )+ å t

……...(20)

dengan: Yt

= keadaan perekonomian Indonesia pada waktu t, (Y=1 jika perekonomian Indonesia dalam keadaan resesi dan Y = 0 untuk selainnya)

IPt-3

= perubahan dalam logaritma indeks produksi industri pada waktu t-3

URt -3 = perubahan tingkat pengangguran pada waktu t-3 RM t-3 = perubahan dalam logaritma M2 dibagi Indeks Harga Konsumen pada waktu t-3 SPt-3 = perubahan dalam logaritma Indeks Harga Saham Gabungan pada waktu t-3 FFt-3 = perubahan dalam tingkat suku bunga Sertifikat Bank Indonesia pada waktu t-3 åt

= galat percobaan pada waktu t. Peramalan resesi pada waktu 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan juga

dilakukan dengan menambah prediktor pada model persamaan (20) dengan peubah respon Yt -k, k= 3, 6, 9, dan 12 sebagai peubah prediktor. Analisa data dilakukan dengan bantuan paket program MARS for windows versi 2.0.

Disamping itu untuk perhitungan data dasar dan

analisis regresi

logistik juga digunakan paket program MINITAB release 11.12 dan untuk pembuatan grafik digunakan paket program Eviews versi 3.1 dengan langkahlangkah sebagai berikut : 1. Pembentukan model Pembentukan model regresi dengan metoda RSAB akan diperoleh model : ^

Y = B0 + B1 * BF1 + B2 * BF2 + ….+ Bk * BFk

……………(21)

28

^

dengan:

Y

= peubah respon

B0

= konstanta

B1, B2,…., Bk = koefisien fungsi basis spline ke 1,2,….,k BF1 , BF2,…., BF 3 = fungsi basis ke 1,2, …., k. Pendugaan parameter terlebih dahulu menentukan maksimum fungsi basis, maksimum jumlah interaksi, minimum jumlah pengamatan di antara knot. Untuk mengoptimasi jumlah knot ditentukan

terlebih dahulu derajat

bebasnya. (Freedman 1991, diacu dalam Steinberg et al. 2001) menyarankan derajat bebas knot antara 2 sampai 5, itupun tergantung dari jumlah pengamatan dan peubahnya. Semakin kecil derajat bebas semakin kompleks fungsi yang didapatkan demikian sebaliknya. 2

2

diperoleh juga R , R

Di samping model regresi,

terkoreksi dan peubah prediktor yang terpenting.

Penentuan peubah yang terpenting berdasarkan seberapa besar peubah tersebut memberikan kontribusi terhadap model. Kriteria penentuan peubah prediktor yang relatif penting adalah GCV (general cross validation) . Semakin kecil nilai GCV (semakin besar nilai GCV-1 ) suatu peubah semakin penting peubah tersebut terhadap model yang dibangun. 2. Peramalan resesi Pada peramalan resesi di dalam contoh semua contoh digunakan untuk pengepasan model sedangkan peramalan resesi di luar contoh menggunakan sebanyak 72 persen data yang pertama untuk pengepasan model, model yang diperoleh

digunakan

untuk

meramal

terjadinya

resesi

k periode

mendatang, k = 3, 6, 9, dan 12. Selanjutnya contoh ditambah 1 pengamatan berikutnya untuk pengepasan model dan model yang diperoleh digunakan untuk meramal resesi pada

k periode mendatang, demikian seterusnya

sehingga N-1 contoh digunakan untuk pengepasan model dan model yang diperoleh digunakan untuk meramal resesi k periode mendatang. 3. Mengukur kemampuan model dalam peramalan Untuk mengukur seberapa jauh kemampuan model dalam peramalan di dalam contoh dan peramalan di luar contoh digunakan persentase sukses dalam

peramalan (PS), akar kuadrat tengah galat (AKTG), dan rataan

29

simpangan mutlak (RSM). Untuk menghitung persentase

sukses dalam

peramalan (PS) digunakan batasan ^  1, untuk y > 0.5 y =  , sedangkan untuk menghitung akar kuadrat tengah 0, untuk y^ ≤ 0.5 

galat (AKTG), dan rataan simpangan mutlak (RSM) digunakan batasan  f (.), untuk 0 ≤ y^ ≤ 1  ^  ^ y = 1, untuk y > 1  0, untuk y^ < 0 

Semakin besar nilai PS semakin baik model tersebut dalam peramalan demikian sebaliknya. Semakin kecil AKTG, dan rataan simpangan mutlak RSM semakin baik model tersebut dala m peramalan demikian pula sebaliknya Disamping itu untuk peramalan resesi pada waktu 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan juga digunakan analisis regresi logistik dengan peubah prediktornya merupakan fungsi basis yang dihasilkan oleh metoda RSAB.

30

HASIL DAN PEMBAHASAN.

Pendugaan Model Regresi dengan RSAB Pendugaan model regresi dengan menggunakan metode regresi spline adaptif

berganda

untuk

peramalan resesi 3 (tiga), 6 (enam), 9 (sembilan),

dan 12 (dua belas) bulan ke depan dapat dilihat pada Lampiran 1.

Sebagai

ilustrasi akan dipilih model regresi untuk peramalan resesi 3 bulan ke depan untuk dibahas secara detail. Model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF)

dibentuk dengan kriteria input: Minspan (minimal

banyaknya pengamatan setiap knot) = 6, maksimum interaksi (MI) = 3, maksimum fungsi basis sebesar 30 dan derajat bebas knot 3. Komponen sidik ragamnya disajikan pada Tabel 1. Model regresi yang diperoleh adalah:

Y = -0.0915574 + 8.5224791 * BF1 + 4.9646730 * BF2 - 30.0002308 * BF5 + 21.6349106 * BF7 - 160.5168610 * BF11 + 127.5985794 * BF13 + 32.1795235 * BF15 + 11.9513168 * BF18 + 25.1647320 * BF20 + 25.8606720 * BF21 - 49.5967331 * BF23 + 3.1909525 * BF30 Model resesi tersebut di atas terdiri dari satu intersep dan 12 fungsi basis, meliputi: 7 interaksi level pertama, 2 interaksi level dua, dan 3 interaksi level tiga. Jumlah nilai knot sebanyak 12 di antaranya : 2 nilai untuk peubah RM, SP, dan FF, 5 nilai untuk peubah UR dan 1 nilai untuk peubah IP. Nilai R2 sebesar 79,87 % , R2 terkoreksi sebesar 77,74 %, dan nilai ragam sisaan (mean square error : MSE) sebesar 0.039765. Interpretasi model RSAB terletak pada komponen sidik ragam. Tabel 1 menunjukkan komponen fungsi basis yang membentuk model resesi baik interaksi level pertama maupun interaksi antar peubah. Model tersebut di atas memberikan gambaran bahwa kontribusi peubah

RM (BF1) terhadap model sebesar

8.5222837 bila nilai peubah tersebut > 0.0142760 dan 4.9645502 bila nilai peubah RM < 0.0142760. Sedangkan untuk interaksi tingkat 2 seperti SP dan peubah

31

Tabel 1: Komponen sidik ragam model resesi 3 bulan ke depan Fungsi Parameter Basis 0 1 2 5 7 8 9 11 13 15 18 19 20 21 23 30

Koefisien

Konstanta -0.0917303 max(0, RM-0.0142760) 8.5222837 max(0, 0.0142760-RM) 4.9645502 max(0, UR-0.1683000) -30.9996576 max(0, UR-0.1333000) 21.6338523 max(0, 0.1333 000 - UR ) max(0,FF-0.1000000)*BF8 max(0,UR+0.0175000) -160.6459456 max(0,UR+0.0233000) 127.7056252 max(0,UR-0.0042000) 32.2019992 max(0,0.0146560 -SP)*BF13 11.9515861 max(0,FF+0.6200000)*BF2 max(0,-0.6200000-FF)*BF2 25.1647900 max(0,IP-0.0309340)*BF19 25.8641336 max(0,SP+0.3785550)*BF20 -49.5967906 max(0,RM+0.1637760)*BF9 3.1898490

F-STATISTIK= 37.3697045 P-VALUE = .999201E-15 R-SQUARE = 0.7987306 [MDF,NDF] = [ 12, 113 ]

S.E.

T -rasio

P-value

0.0416181 -2.2040987 1.1003551 7.7450302 0.8175663 6.0723518 2.9157585 -10.6317645 2.5330197 8.5407359

0.0295446 .45610E-11 .173193E -07 .999201E-15 .709433E -13

14.9410566 -10.7519803 12.4699474 10.2410717 3.89 59443 8.2655184 3.3305523 3.5884697

.999201E-15 .999201E-15 .300093E-12 0.0004931

6.5981013 3.8139442 6.5569513 3.9445365 14.0537735 -3.5290729 0.6725104 4.7431967

0.0002234 0.0001391 0.0006042 0.0000062

S.E. OF REGRESS ION = 0.1994111 RESIDUAL SUM OF SQUARE = 4.4934201 REGRESSION SUM OF SQUARE = 17.8319767 ADJ R -SQUARE = 0.7773568

UR (BF18) memberikan arti bahwa fungs i basis ini akan memberikan konstribusi sebesar 11.9515861 bila - 0.0233000.

nilai peubah SP < 0.0146560

dan peubah UR >

Demikian juga dengan interaksi tingkat 3 seperti BF21, fungsi

basis ini akan memberikan konstribusi sebesar 25.8641336 bila nilai peubah IP > 0.0309340, nilai FF > -0.6200000 dan peubah RM < 0.0142760. Model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan Yt -3) sebagaimana tercantum pada Lampiran 1, dibentuk dengan kriteria input: Minspan = 6, MI = 3, maksimum fungsi basis sebesar 30 dan derajat bebas knot 3. Komponen sidik ragam model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan enam prediktor (Lampiran 1) memperlihatkan bahwa penambahan peubah respon Y pada waktu t-3 sebagai peubah prediktor untuk peramalan resesi pada waktu t dapat meningkatkan nilai R2 sekitar 4% (dari 79,87 % menjadi 83,76%) dan meningkatkan R2 terkoreksi sekitar 4% (dari 77,74 % menjadi 82.20%) sedangkan

nilai ragam sisaan (mean square error : MSE) menurun

sekitar 0.00795 (dari 0.039765 menjadi 0.031795684). Hal ini sesuai dengan apa yang dikatakan oleh Dueker 1997, diacu dalam Sephton 2001 yaitu penambahan peubah respon pada waktu ketertinggalan tertentu sebagai peubah prediktor dapat meningkatkan ketepatan peramalan.

32

Peubah Prediktor yang Relatif Penting Peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan lima prediktor disajikan pada Tabel 2.

Tabel 2.

Peringkat peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan lima prediktor. Peringkat

1 2 3 4 5

Peubah

Kepentingan

GCV-1

UR RM FF SP IP

100.0000000 71.9609146 43.0640831 31.2565365 21.1984901

0.1741596 0.1241112 0.0896096 0.0805008 0.0750243

Peubah UR (perubahan tingkat penga nguran pada waktu t-3) pada Tabel 2 merupakan peubah yang relatif penting diantara lima peubah lainnya, dengan nilai tingkat kepentingan 100.00 Hal ini ditunjukkan juga oleh nilai GCV-1 yang terbesar yakni sebesar 0.174 (terkecil untuk nilai GCV) diantara peubah lainnya sedangkan urutan peubah yang tingkat kepentingannya paling rendah adalah peubah IP (perubahan dalam logaritma indeks produksi Industri pada waktu t-3) dengan nilai tingkat kepentingan sebesar 21.198. Hal ditunjukkan juga

ini

oleh nilai GCV-1 yang terkecil yakni sebesar 0.0750243.

Peubah yang relatif penting jika mempunyai pengaruh yang terbesar terhadap kebaikan model dan sebaliknya untuk peubah yang tidak relatif penting. Urutan peubah yang relatif penting untuk model resesi k bulan ke depan lainnya (k= 3 , 6 , 9, dan 12) disajikan pada Lampiran 2. Peubah prediktor yang relatif penting untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan menggunakan enam prediktor adalah peubah RM (Lampiran 2) dengan nilai tingkat kepentingannya sebesar 100.00 dan nilai GCV-1 terbesar yakni sebesar 0.094300, sedangkan peubah UR yang tadinya menempati urutan pertama untuk model resesi 3 bulan ke depan dengan

lima

prediktor sekarang dengan

enam prediktor menempati urutan kedua. Dengan demikian penambahan peubah

33

respon y pada waktu t-3 sebagai peubah prediktor untuk peramalan resesi pada waktu t dapat merubah urutan peubah yang relatif penting terhadap model.

Peramalan Resesi dengan RSAB Statistik -statistik hasil peramalan resesi pada peramalan di dalam contoh yang terdiri dari persentase sukses dalam peramalan (PS), akar kuadrat tengah galat (AKTG), dan rataan simpangan mutlak (RSM) disajikan pada Tabel 3 dan Tabel 4 berikut : Tabel 3. Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di dalam contoh Lag 3 6 9 12

AKTG

RSM

0.180915 0.187720 0.263373 0.193079

0.095586 0.101001 0.147717 0.088092

PS 96.83 95.12 90.00 95.73

Tabel 4. Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagY) pada peramalan di dalam contoh Lag 3 6 9 12

AKTG

RSM

0.162761 0.099807 0.191436 0.155213

0.074453 0.038198 0.089098 0.063653

PS 96.03 100.00 95.00 95.58

Hasil peramalan resesi di dalam contoh dengan menggunakan lima prediktor (Tabel 3) menunjukkan bahwa persentase sukses (PS) tertinggi diperoleh

pada peramalan resesi 3 bulan ke depan

yakni sebesar 96.83 %

sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar 90.00 %. Akar kuadrat tengah galat (AKTG) terkecil diperoleh pada peramalan resesi 3 bulan ke depan yakni sebesar 18.09 % sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar 26.34 %. Hasil peramalan resesi di dalam contoh dengan menggunakan enam prediktor (Tabel 4) menunjukkan PS tertinggi diperoleh pada peramalan resesi 6

34

bulan ke depan yakni sebesar 100.00 % sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar 95.00 %. AKTG terkecil diperoleh

pada peramalan resesi 6 bulan ke depan yakni sebesar 9.98 %

sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar 19.14 %. Tabel 3 dan Tabel 4 menunjukkan bahwa penambahan peubah respon y pada lag 6 dan lag 9 sebagai peubah prediktor dapat meningkatkan ketepatan peramalan di dalam contoh.

Peningkatan peramalan ini dapat dilihat dari

meningkatnya nilai PS sekitar 5% (dari 95.12 % ke 100.00%) dan menurunnya nilai AKTG sekitar 9 % (dari 18.77 % ke 9.98 %) pada peramalan resesi 6 bulan ke depan. Demikian pula pada peramalan resesi 9 bulan

ke depan terjadi

peningkatan nilai PS sebesar 5% (dari 90.00% ke 95.00 %) dan penurunan nilai AKTG sekitar 7% (dari 26.34 % ke 19.14 %), sedangkan pada peramalan resesi 3 bulan dan 12 bulan ke depan nilai PS relatif stabil dan nilai AKTG menurun sekitar 2% ( dari 18.09% ke 16.28%) pada peramalan resesi 3 bulan ke depan, dan sekitar 4% (dari 19.31% ke 15.52%) pa da peramalan resesi 12 bulan ke depan. Apabila dilihat dari besar nilai PS dan AKTG maka dapat dikatakan bahwa model RSAB memperlihatkan hasil yang menjanjikan dalam peramalan resesi pada k (k= 3 , 6 , 9, dan 12) bulan kedepan untuk peramalan di dalam contoh dengan nilai PS berkisar antara 95% sampai 100%, dan nilai AKTG berkisar antara 9.98% % sampai 19.14% Hasil ini sesuai dengan hasil penelitian yang dilakukan oleh Sephton (2001). Demikian pula grafik antara hasil peramalan di dalam contoh da n data sebenarnya (Lampiran 3) menunjukkan bahwa

untuk

peramalan resesi di dalam contoh model RSAB sangat baik dalam pengepasan model terutama pada peramalan

6 bulan ke depan

dengan

enam prediktor

sedangkan pada peramalan resesi k (k = 3, 9, dan 12) bulan ke depan lainnya memperlihatkan sejumlah kesalahan. Statistik -statistik hasil peramalan resesi pada peramalan di luar contoh yang terdiri dari persentase sukses (PS), akar kuadrat tengah galat (AKTG), dan rataan simpangan mutlak (RSM) disajikan pada Tabel 5 dan Tabel 6 berikut :

35

Tabel 5 . Statistik -statistik peramalan resesi (Y) dengan lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) pada peramalan di luar contoh Lag 3 6 9 12

AKTG 0.352816 0.427633 0.532573 0.455967

RSM 0.182835 0.218888 0.360236 0.273738

PS 83.33 75.00 63.89 75.00

Tabel 6. Statistik-statistik peramalan resesi (Y) dengan enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lagY) pada peramalan di luar contoh Lag 3 6 9 12

AKTG 0.395148 0.371758 0.453611 0.464942

RSM 0.191187 0.166903 0.235513 0.287718

PS 83.33 86.11 75.00 75.00

Hasil peramalan resesi pada peramalan di luar contoh dengan menggunakan lima prediktor (Tabel 5) menunjukkan bahwa persentase sukses (PS) tertinggi diperoleh pada peramalan resesi 3 bulan ke depan yakni sebesar 83.33 % sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan

yakni sebesar 63.89 %.

diperoleh

Akar kuadrat tengah galat (AKTG) terkecil

pada peramalan resesi 3 bulan ke

depan yakni sebesar 35.28 %

sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 9 bulan ke depan yakni sebesar 53.26 %. Hasil peramalan resesi di luar contoh dengan menggunakan enam prediktor (Tabel 6) menunjukkan PS tertinggi diperoleh pada peramalan resesi 6 bulan ke depan yakni sebesar 86.11 % sedangkan PS terendah diperoleh pada peramalan resesi 9 dan 12 bulan ke depan yakni sebesar 75.00 %. AKTG terkecil diperoleh pada peramalan resesi 6 bulan ke depan yakni sebesar 37.18 % sedangkan AKTG terbesar diperoleh pada peramalan resesi 12 bulan ke depan yakni sebesar 46.49 %. Tabel 5 dan Tabel 6 menunjukkan bahwa penambahan peubah respon y pada lag 6 dan pada lag 9 sebagai peubah prediktor dapat meningkatkan ketepatan peramalan resesi di luar contoh.

Peningkatan peramalan ini dapat dilihat dari

36

meningkatnya nilai PS sekitar 11% (dari 75.00 % ke 86.11 %) dan menurunnya nilai AKTG sekitar 6% (dari 42.76 % ke 37.18 %) pada peramalan resesi 6 bulan ke depan.

Demikian pula pada peramalan resesi 9 bulan

ke depan terjadi

peningkatan nilai PS sekitar 11% (dari 63.89 % ke 75.00 %) dan penurunan nilai AKTG sekitar 8% (dari 53.26 % ke 45.36 %), sedangkan pada peramalan resesi 3 bulan dan 12 bulan ke depan nilai PS relatif stabil serta nilai AKTG miningkat sekitar 4% (dari 35.28 % ke 39.51 %) pada peramalan resesi 3 bulan ke depan dan relatif stabil pada peramalan resesi 12 bulan ke depan. Apabila dilihat dari besar nilai PS dan AKTG maka dapat dikatakan bahwa model RSAB memperlihatkan hasil yang secara umum tidak tepat dalam peramalan resesi pada k (k= 3 , 6 , 9, dan 12) bulan kedepan untuk peramalan di luar contoh dengan nilai PS berkisar antara 63.89% sampai 86.11% dan AKTG berkisar antara 35.28% sampai 53.25 %. Demikian pula grafik antara hasil peramalan resesi di luar contoh dan data sebenarnya (Lampiran 4) menunjukkan bahwa untuk peramalan di luar contoh pada peramalan resesi 3 bulan ke depan dengan 6 prediktor model RSAB memberikan hasil yang cukup baik dalam peramalan resesi pada bulan agustus 2001 sampai bulan maret 2002 sedangkan pada selang waktu lainnya terlihat sejumlah kesalahan yang relatif besar. Hal ini menunjukkan bahwa metoda RSAB untuk peramalan resesi di luar contoh dianggap dapat membantu, tetapi resesi.

secara umum tidak te pat dalam peramalan

Hasil ini sesuai dengan hasil penelitian yang dilakukan oleh Sephton

(2001) .

Penerapan Model RSAB untuk Peramalan Resesi Tahun 2004 Apabila model RSAB untuk peramalan resesi 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan dengan menggunakan lima prediktor dan enam prediktor seperti yang tercantum pada Lampiran 1 digunakan untuk meramal resesi pada tahun 2004 dengan menggunakan prediktor data bulan Desember 2003 maka diperoleh hasil sebagaimana yang tercantum pada Tabel 7 dan Tabel 8 berikut:

37

Tabel 7: Hasil penerapan model RSAB untuk peramalan resesi tahun 2004 dengan menggunakan lima prediktor Lag 3 6 9 12

Hasil peramalan Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi

Keadaan sebenarnya Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi

Tabel 8: Hasil penerapan model RSAB untuk peramalan resesi tahun 2004 dengan menggunakan enam prediktor Lag Hasil peramalan Keadaan sebenarnya 3 Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi 6 Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi 9 Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi 12 Tidak terjadi resesi Tidak terjadi resesi Hasil penerapan model RSAB untuk peramalan resesi tahun 2004 dengan menggunaka n lima dan enam prediktor data bulan Desember 2003 (Tabel 7 dan Tabel 8) menunjukkan bahwa tidak terjadi resesi tahun 2004. Hasil ini sesuai dengan keadaan perekonomian sebenarnya pada tahun 2004 di mana pada 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan yakni pada bulan Maret, Juni, September, dan Desember tahun 2004 tidak terjadi resesi. Dengan demikian model RSAB seperti yang tercantum pada Lampiran 1 dapat meramal dengan tepat keadaan perekonomian Indonesia tahun 2004 dengan nilai persentase sukses (PS) sebesar 100%. Kalau dilihat lebih lanjut keadaan perekonomian Indonesia pada tahun 2004 memang tidak terjadi pengaruh-pengaruh faktor-faktor eksternal ( misalnya kenaikan harga minyak dunia) yang berarti dan

sering mempunyai akibat yang sangat

mengejutkan bagi ekonomi Indonesia, sehingga model RSAB dapat meramal keadaan perekonomian Indonesia pada tahun 2004 dengan tepat.

Pendugaan Model Regresi dengan Regresi Logistik yang Dimodifikasi Karena keterbatasan data yang tersedia untuk pendugaan model resesi pada k (k = 3, 6, 9, dan 12) bulan ke depan yakni antara 126 sampai 117 observasi, sedangkan jumlah fungsi basis yang diperoleh dari metoda RSAB relatif besar (antara 10 sampai 21), demikian pula struktur matrik dari fungsi basis yang sebagian besar bernilai nol, walaupun tidak ada baris atau kolom matrik

38

fungsi basis yang bernilai nol, pedugaan model dengan analisis regresi logistik yang dimodifikasi diperoleh hasil iterasi yang tidak konvergen. Friedman (1990) melakukan penelitian tentang hubungan komposisi kimia minyak zaitun dengan asal geografis di Portugis menggunakan analisis regresi logistik dengan peubah prediktor merupakan fungsi basis yang dihasilkan metoda RSAB dengan jumlah pengamatan sebesar 417 dan 9 fungsi basis

diperoleh hasil yang konvergen.

Demikian pula pada penelitian Sephton tentang resesi di Amerika jumlah pengamatan yang digunakan sebesar 477

dan jumlah prediktor 6 dan 7,

sedangkan jumlah fungsi basis yang digunakannya tidak dijelaskan

pada

penelitian tersebut. Apabila dibandingkan jumlah pengamatan dan jumlah fungsi basis pada penelitan Friedman maka pengamatan pada penelitian ini jauh lebih kecil sedangkan jumlah fungsi basisnya jauh lebih besar sehingga diperoleh hasil yang tidak konvergen.

Demikian pula apabila dibandingkan dengan jumlah

pengamatan dan jumlah peubah yang digunakan Sephton, maka jumlah pengamatan

yang dilakukan

pada penelitian ini jauh lebih kecil sedangkan

peubah prediktornya sama, kecuali prediktor the yield spread tidak dimasukkan pada peramalan resesi di Indonesia karena peubah tersebut baru tersedia mulai tahun 2003.

39

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan 1. Model RSAB memperlihatkan hasil yang menjanjikan untuk peramalan resesi di dalam contoh. Sedangkan untuk peramalan resesi di luar contoh, model RSA B dapat membantu tetapi secara umum tidak memberikan hasil yang tepat 2. Penerapan model RSAB untuk peramalan resesi 3, 6, 9, dan 12 bulan ke depan pada tahun 2004 memberikan hasil yang tepat yakni tidak terjadi resesi pada tahun 2004 3. Karena keterbatasan data yang tersedia di mana jumlah pengamatan relatif sedikit sedangkan jumlah fungsi basis sebagai prediktor relatif besar, pendugaan model resesi di Indonesia dengan

menggunakan analisis

regresi logistik yang dimodifikasi diperoleh hasil iterasi yang tidak konvergen, sehingga peramalan resesi dengan analisis regresi logistik yang dimodifikasi belum dapat dilakukan.

SARAN 1. Penerapan Model RSAB untuk data respon biner memerlukan sejumlah batasan-batasan. Oleh karena itu untuk menghindari adanya batasanbatasan tersebut serta untuk memperoleh hasil yang lebih tepat perlu dikaji penerapan regresi logistik versi RSAB 3. Untuk menambah ketepatan dalam peramalan resesi

dapat dilakukan

dengan memasukkan gugus peubah finansial dan riil lainnya pada model untuk mengetahui apakah peubah-peubah tersebut menambah informasi yang telah dikandung oleh peubah yang telah dimasukkan dalam analisis penelitian ini. Selanjutnya sangat beralasan untuk menguji apakah data dalam kwartalan lebih teliti dari data bulanan.

40

DAFTAR PUSTAKA Aunuddin. 2003. Pemodelan Regresi Nonparametrik: Kernel dan Spline. Makalah disampaikan pada Konferensi Statistika dan Matematika Masyarakat Islam Asia Tenggara; Bandung, 25-26 Apr 2003, Bandung: FMIPA UNISBA. Breiman L, Friedman JH, Olshen RA, Stone CJ. 1993. Classification and Regression Trees. New York: Chapman and Hall. Case KC, Ray CF. 1999. Prinsip-prinsip Ekonomi Makro. Molan B, penerjemah; Sarwiji B. editor, Jakarta: Pearson Education Asia Pte.Ltd. dan PT Prenhallindo. Terjemahan dari: Principles of Economics. De Boor C. 1979. A Practical Guide to Splines. New York: Springer-Verlag. Friedman JH. 1990. Multivariate Adaptive Regression Splines (with discussion). http://www.salford-systems.com/MARS.pdf [29 Agu 2004]. Friedman JH, Silverman BW. 1989. Flexible parsimonious smoothing and additive modeling. Technometrics 31(1): 3-21. Golub G, Heath M, Wahba G. 1979. Generalized cross -validation as a method for choosing good rigde parameter. Technometrics 21: 215224 Hastie T, Tibshirani RJ. 1990. Generalized Additive Models. New York: Chapman and Hall. Kudus A. 1999. Penerapan metoda regresi berstruktur pohon pada pendugaan masa rawat kelahiran bayi: studi kasus di Rumah Sakit Hasan Sadikin Bandung [Tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Poirier DJ. 1973. Piecewise regression using cubic splines. Journal of American Statistical Association 68: 515-524. Scott DW. 1992. Multivariate Density Estimation : theory, practice, and visualilization. New york: Wiley. Sephton P. 2001, Forecasting recessions: can we do better on MARS ?. Federal Reserve Bank of ST. Louis. http://www.salfordsystems.com/MARS.pdf [29 Agu 2004]. Silverman BW. 1986. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. New York: Chapman and Hall.

41

Smith PL. 1979. Splines as a useful and convenient statistical tool. American Statistician 33: 57-62.

The

Steinberg D, Colla PL, Kerry M. 2001. Mars User Guide, San Diego, CA: Salford Systems. http://www.salford-systems.com [15 Mai 2001] Sutikno . 2002.Penggunaan regresi splines adaptif berganda untuk peramalan indeks ENSO dan hujan bulanan [Tesis]. Bogor: Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Wegman EJ, Wright IW. .1983. Splines in statistics. Journal of the American Statistical Association. 78: 351-363. Wold S. 1994. Splines function in data analysis. Technometrics 16:1-6.

42

Lampiran 1.

Komponen sidik ragam pendugaan model regresi dengan RSAB untuk peramalan resesi di dalam periode contoh

Dengan lima prediktor

6 bulan ke depan FUNGSI

PARAMETER

KOEFISIEN

S.E.

T-RATIO

P-VALUE

0.417109

-9.645340

0.000000

BASIS

0 1 2 3 5 6 7 8 10 12 15 16 18

Konstata -4.023162 max(0, FF + 12.900001) max(0, RM - 0.009448) 6.993083 max(0, 0.009448 - RM) 3.573530 max(0,-0.017500-UR)*BF1 -14.867035 max(0, UR - 0.004200) -145.206353 max(0, 0.004200 – UR) 190.816109 max(0, UR + 0.023300) 144.779297 max(0, UR - 0.168300) -27.245177 max(0, UR -0.133300)* BF1 1.424329 max(0, -0.000000 -FF)*BF7 -9.090749 max(0, FF+0.100000)*BF8 max(0, IP+0.318920)*BF16 2.389108

F-STATISTIC= 40.909825 P-VALUE = 0.000000 R-SQUARED: 0.785069 [MDF,NDF] = [ 10, 112 ]

1.077595 6.489526 0.000000 0.896526 3.985976 0.000120 1.351873 -10.997357 0.000000 15.101261 -9.615512 0.000000 17.654655 10.808260 0.000000 15.082634 9.599073 0.000000 2.957324 -9.212779 0.000000 0.196441 7.250665 0.000000 1.937005 -4.693197 0.000008 0.309018

7.731299

0.000000

S.E. Of REGRESSION= 0.206229 RESIDUAL SUM OF SQUARES= 4.763423 ADJ R-SQUARED: 0.765879 REGRESSION SUM OF SQUARES = 17.399179

Y = -4.017354 + 6.994197 * BF2 + 3.573581 * BF3 - 14.848266 * BF5 - 144.996 262 * BF6 + 190.570648 * BF7 + 144.568878 * BF8 - 27.245781 * BF10 + 1.424390 * BF12 - 9.072726 * BF15 + 2.389116 * BF18;

Lampiran 1 (Lanjutan) 9 bulan ke depan

FUNGSI

PARAMETER KOEFISIEN T-RATIO P-VALUE

BASIS 0 1 2 3 5 8 9 10 12

Konstanta 0.331640 0.083202 max(0, UR + 0.017500) -152.203471 23.034029 max(0, - 0.017500 - UR) 95.978908 27.076842 max(0, UR - 0.004200) 43.714554 5.596727 max(0, UR + 0.023300) 108.416788 20.050326 max(0, 0.009313 - RM) max(0, FF+12.900000)*BF2 -7.517139 2.115839 max(0, UR - 0.168300) -17.829635 4.049832 max(0, UR - 0.133300) 11.726628 3.522317

3.985974 -6.607766 3.544686 7.810736 5.407233

0.000122 0.000000 0.000580 0.000000 0.000000

-3.552793 -4.402562 3.329237

0.000565 0.000025 0.001189

S.E.

43

14 15 16 18 21

max(0, max(0, ma x(0, max(0, max(0,

FF + 12.900000) RM-0.010870)*BF14 0.348199 0.010870 -RM)*BF14 0.034676-IP)*BF16 11.650611 0.045257-IP)*BF8 -134.925161

F-STATISTIC = 17.654016 P-VALUE = 0.000000 R-SQUARED: 0.618267 [MDF,NDF] = [ 10, 109 ]

0.112222

3.102782

0.002442

3.354236 48.104456

3.473402 -2.804837

0.000738 0.005962

S.E. OF REGRESSION = 0.277521 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 8.394937 ADJ R-SQUARED: 0.583246 REGRESSION SUM OF SQUARES = 13.596730

Lampiran 1. (Lanjutan) Y = 0.331971 - 152.059097 * BF1 + 95.918121 * BF2 + 43.694065 * BF3 + 108.292358 * BF5 - 7.512544 * BF9 - 17.830236 * BF10 + 11.727830 * BF12 + 0.348264 * BF15 + 11.649904 * BF18 - 134.913330 * BF21;

12 bulan ke depan

FUNGSI

PARAMETER KOEFISIEN T-RATIO P-VALUE

S.E.

BASIS 0 2 4 5 6 8 10 11 12 15 16 18 19

Konstanta 0.736763 0.055671 max(0, UR + 0.023300) 49.504127 14.082298 max(0, UR - 0.004200) 48.215154 3.818449 max(0, 0.004200 - UR) max(0, UR + 0.017500) -97.411593 16.592426 max(0, IP+0.016745)*BF5 1116.907379 174.608642 max(0, IP+0.016745)*BF5 5.261465 1.274531 max(0, 0.024368 - RM) max(0, RM+0.163776)*BF8 5802.772036 921.963484 max(0, 0.017068-RM)*BF5 -1068.704587 208.668220 max(0, IP+0.318920)*BF15 4564.122470 680.515896 max(0, -0.017500 -UR)*BF11 878.093212 177.101791 max(0, SP+0.378555)*BF18 -2268.248352 446.184924

F-STATISTIC = 39.967203 P-VALUE = 0.000000 R-SQUARED: 0.790378 [MDF,NDF] = [ 10, 106 ]

13.234245 3.515344 12.626895

0.000000 0.000647 0.000000

-5.870847 -6.396633 4.128157

0.000000 0.000000 0.000073

6.293928 -5.121549 6.706857 4.958127 -5.083651

0.000000 0.000001 0.000000 0.000003 0.000002

S.E. OF REGRESSION = 0.207689 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 4.572269 ADJ R-SQUARED: 0.770602 REGRESSION SUM OF SQUARES = 17.239697

Y = 0.736873 + 49.439583 * BF2 + 48.201820 * BF4 - 97.333862 * BF6 - 1116.338135 * BF8 + 5.261751 * BF10 + 5799.752930 * BF12 - 1068.247925 * BF15 + 4562.512695 * BF16 + 877.696777 * BF18 - 2267.597168 * BF19;

Dengan enam prediktor

3 bulan ke depan

44

FUNGSI

PARAMETER KOEFISIEN T-RATIO P-VALUE

S.E.

BASIS 0 1 3 4 6 7 9 30 34 36 38 40 42 43 45

Konstanta -0.264272 max(0, YT - 0.000000) 0.401351 max(0, -0.004752 -IP)*BF1 -2.290998 max(0, FF + 12.900000) max(0, 0.030618 - RM) 4.831362 max(0, RM+0.163776)*BF4 max(0, RM+0.011408)*BF4 0 .551954 max(0, UR + 0.017500) -121.052362 max(0, UR - 0.004200) 24.135286 max(0, UR + 0.023300) 96.847212 max(0, UR -0.168300)*BF7 -10.014383 max(0, UR - 0.133300) 15.377624 max(0, FF - 0.400000) 0.028710 max(0, FF - 0.400000) max(0, -0.101570 -SP)*BF43 2.099682

F-STATISTIC = 53.468344 P-VALUE = 0.000000 R-SQUARED: 0.837642 [MDF,NDF] = [ 11, 114 ]

0.050126 0.055762 0.423471

-5.272165 7.197592 -5.410047

0.000001 0.000000 0.000000

0.841883

5.738759

0.000000

0.073602 14.295823 3.562447 11.940564 1.196080 2.297096 0.007889

7.499163 -8.467673 6.774918 8.110773 -8.372671 6.694376 3.639308

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000412

0.627219

3.347605

0.001105

S.E. OF REGRESSION = 0.178313 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 3.624708 ADJ R -SQUARED: 0.821976 REGRESSION SUM OF SQUARES = 18.700689

Lampiran 1 (Lanjutan) Y = -0.264109 + 0.401518 * BF1 - 2.291340 * BF3 + 4.830683 * BF6 + 0.551904 * BF9 - 120.940559 * BF30 + 24.116007 * BF34 + 96.754333 * BF36 - 10.013285 * BF38 + 15.376651 * BF40

+ 0.028706 * BF42 + 2.099539 * BF45;

6 bulan ke depan FUNGSI BASIS

PARAMETER

KOEFISIEN

S.E.

T-RATIO

0 Konstanta 0.025057 0.027668 0.905655 1 max(0, YT - 0.000000) -23.719141 2.786019 -8.513632 2 max(0, FF+12.900001)*BF1 3 max(0, UR+0.195800)*BF1 132.302976 15.485300 8.543779 0.000000 4 max(0, SP+0.378555)*BF3 24.037928 3.759280 6.394290 5 max(0, SP+0.378555)*BF1 -4.319480 0.908919 -4.752328 12 max(0, UR - 0.168300) -42.833940 2.458424 -17.423336 13 max(0, 0.168300 - UR) 14 max(0, UR - 0.133300) 28.941668 1.911525 15.140618 16 max(0, UR + 0.017500) -245.727906 13.895153 -17.684433 18 max(0, UR - 0.004200) 52.568112 3.363139 15.630667 19 max(0, 0.004200 - UR ) 20 max(0, UR + 0.023300) 193.079780 11.178769 17.272008 22 max(0, YT-0.000000)*BF18 -192.200945 20.551392 -9.352210 24 max(0, -0.000000-FF)*BF19 -116.887543 20.367938 -5.738801 26 max(0, -0.016155-RM)*BF18 91.777581 22.579467 4.064648 28 max(0, -0.004752-IP)*BF2 -0.188607 0.035149 -5.365878 31 max(0, RM+0.163776)*BF24 617.853091 103.695052 5.958366 33 max(0, -0.052770-IP)*BF13 -146.680958 27.995686 -5.239413 34 max(0, YT -0.000000)*BF33 52.240823 7.500243 6.965217 35 max(0, SP+0.378555)*BF33 -226.888443 35.447386 -6.400710 36 max(0, FF+12.900001)*BF33 19.086631 2.409389 7.921773 37 max(0, YT-0.000000)*BF14 77.309050 14.469230 5.342997 39 max(0, 0.003205 -RM)*BF2 -0.409200 0.083471 -4.902312 42 max(0, FF+12.900001)*BF22 1.038973 0.084167 12.344169

P-VALUE

0.367274 0.000000

0.000000 0.000007 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000095 0.000001 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000004 0.000000

45

F-STATISTIC = 69.886400 P-VALUE = 0.000000 R-SQUARED: 0.935612 [MDF,NDF] = [ 21, 101 ]

S.E. OF REGRESSION = 0.118865 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 1.427006 ADJ R-SQUARED: 0.922224 REGRESSION SUM OF SQUARES = 20.735595

Y = 0.025265 - 23.580463 * BF1 + 131.540817 * BF3 + 24.018448 * BF4 - 4.315975 * BF5 - 42.836288 * BF12 + 28.946066 * BF14 - 245.113922 * BF16 + 52.437740 * BF18 + 192.594116 * BF20 - 191.219986 * BF22 - 116.449333 * BF24 + 91.837883 * BF26 - 0.188526 * BF28 + 615.617554 * BF31 - 146.815323 * BF33 + 52.158714 * BF34 - 226.083130 * BF35 + 19.072266 * BF36 + 76.714989 * BF37 - 0.408840 * BF39 + 1.038898 * BF42;

Lampiran 1. (Lanjutan) 9 bulan ke depan FUNGSI BASIS 0 1 2 3 5 7 8 9 10 12 14 15 17 19 20 21 23

PARAMETER

KOEFISIEN

S.E.

T-RATIO

P-VALUE

Konstanta 0.322813 0.061848 5.219439 0.000001 max(0, UR + 0.017500) -153.285702 17.111049 -8.958288 0.000000 max(0, - 0.017500 - UR) 95.488945 20.124021 4.745023 0.000007 max(0, UR - 0.004200) 45.783203 4.199832 10.901199 0.000000 max(0, UR + 0.023300) 107.582033 14.892074 7.224114 0.000000 max(0, RM - 0.009313) 4.825534 1.072127 4.500896 0.000017 max(0, 0.009313 - RM) max(0, FF+12.900000)*BF2 -7.481093 1.572487 -4.757491 0.000006 max(0, UR - 0.168300) -42.968089 4.252266 -10.104751 0.000000 max(0, UR - 0.133300) 28.680170 3.306351 8.674267 0.000000 max(0, YT -0.000000)*BF12 -28.586952 3.453751 -8.277073 0.000000 max(0, FF + 12.900000) max(0, 0.010870-RM)*BF15 max(0, 0.047120-IP)*BF17 10.206151 2.219869 4.597636 0.000012 max(0, IP -0.045257)*BF8 -619.636914 143.876290 -4.306734 0.000037 max(0, 0.045257-IP)*BF8 -123.266663 34.418953 -3.581360 0.000518 max(0, FF+12.900000)*BF20 49.958084 10.801326 4 .625181 0.000011

F-STATISTIC = 31.685090 S.E. OF REGRESSION = 0.206065 P-VALUE = 0.000000 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 4.501040 R-SQUARED: 0.795330 ADJ R-SQUARED: 0.770229 [MDF,NDF] = [ 13, 106 ] REGRESSION SUM OF SQUARES = 17.490626

Y = 0.323144 - 153.140854 * BF1 + 107.457237 * BF5 + - 42.968517 * BF10 + + 10.205507 * BF19 + 49.957176 * BF23;

+ 95.428238 * BF2 + 45.762585 * BF3 4.826378 * BF7 - 7.476504 * BF9 28.681248 * BF12 - 28.586790 * BF14 619.627502 * BF20 - 123.254959 * BF21

46

Lampiran 1 (lanjutan) 12 bulan ke depan

FUNGSI PARAMETER KOEFISIEN T-RATIO P-VALUE

S.E.

BASIS 0 Konstanta 0.822569 0.047889 2 max(0, UR + 0.023300) 40.374306 11.796520 4 max(0, UR - 0.004200) 48.862196 3.657964 5 max(0, 0.004200 - UR) 6 max(0, UR + 0.017500) -89.158698 13.846135 8 max(0, IP+0.016745)*BF5 -541.182276 141.496246 12 max(0, RM+0.163776)*BF8 4707.298582 777.507597 13 max(0, SP+0.378555)*BF8 -971.002406 131.968747 -7.357821 0.000000

17.176727 3.422561 13.357757

0.000000 0.000894 0.000000

-6.439248 -3.824711 6.054344

0.000000 0.000226 0.000000

15 16 21 22 23 25 30 33 35 40

-7.251152 8.001763 -4.722473

0.000000 0.000000 0.000007

4.014792 -3.959724

0.000114 0.000139

-5.663299 4.071672 5.887862

0.000000 0.000092 0.000000

max(0, 0.017068-RM)*BF5 -1135.571080 156.605617 max(0, IP+0.318920)*BF15 4186.253266 523.166389 max(0, UR - 0.168300) -16.750659 3.547010 max(0, 0.168300 - UR) max(0, UR - 0.133300) 11.103500 2.765648 max(0, YT - 0.000000)*BF23 -11.414562 2.882666 max(0, IP + 0.066584)*BF24 max(0, - 0.052975-SP)*BF30 409.649300 72.334037 max(0, - 0.101923-SP)*BF22 19.781799 4.858397 max(0, RM -0.009448)*BF39 315.701098 53.618974

F-STATISTIC = 45.329306 P-VALUE = 0.000000 R-SQUARED: 0.861528 [MDF,NDF] = [ 14, 102 ]

S.E. OF REGRESSION = 0.172079 RESIDUAL SUM OF SQUARES = 3.020350 ADJ R-SQUARED: 0.842522 REGRESSION SUM OF SQUARES = 18.791616

Y = 0.822687 + 40.315899 * BF2 + 48.849857 * BF4 - 89.088371 * BF6 - 540.817688 * BF8 + 4705.289063 * BF12 - 970.969177 * BF13 - 1135.512207 * BF15 + 4185.694824 * BF16

47

- 16.751085 * BF21 + 11.104349 * BF23 - 11.414508 * BF25 - 409.757874 * BF33 + 19.791752 * BF35 + 315.686432 * BF40;

48

Lampiran 2. Peringkat peubah prediktor yang relatif penting untuk peramalan resesi di dalam contoh

A. Dengan lima prediktor 6 bulan ke depan Peringkat

Peubah

1 2 3 4 5

Kepentingan

UR FF IP RM SP

gcv-1

100.000000 0.1765 28 98.775330 0.173883

52.294243 41.678291 0.000000

0.097591 0.086752 0.067879

Peubah

Kepentingan

gcv-1

UR FF IP RM SP

100.000000 43.061333 34.949516 34.162498 0.000000

0.197589 0.140597 0.136169 0.135789 0.127623

9 bulan ke depan Peringkat 1 2 3 4 5

12 bulan ke depan Peringkat

Peubah

Kepentingan

gcv -1

1 2 3 4 5

UR IP SP RM FF

100.000000 43.799778 31.383081 30.841305 0.000000

0.195042 0.099591 0.088565 0.088167 0.076933

49

Lampiran 2. (Lanjutan)

B. Dengan enam prediktor 3 bulan ke depan Peringkat

Peubah

Kepentingan

gcv-1

1 2 3 4 5 6

RM UR FF YT IP SP

100.000000 95.035408 94.509018 73.741493 52.628330 17.818817

0.094300 0.090878 0.090525 0.078173 0.068741 0.060073

6 bulan ke depan Peringkat

1 2 3 4 5 6

Peubah

Kepentingan

UR YT FF SP IP RM

100.000000 77.986740 75.028816 48.577171 24.640213 23.746778

gcv-1

0.175294 0.132197 0.127218 0.091254 0.071975 0.071500

9 bulan ke depan Peringkat

Peubah

1 2 3 4 5 6

Kepentingan

UR YT FF RM IP SP

gcv-1

100.000000 58.431885 43.898708 39.797058 38.987503 0.000000

0.215701

0.129589 0.110143 0.105654 0.104820 0.084945

12 bulan ke depan Peringkat

1 2 3 4

Peubah

UR IP RM SP

Kepentingan

100.000000 57.979290 50.841240 34.702873

gcv-1

0.189655 0.108097 0.098554 0.081593

50

5

YT

6

18.289579

FF

0.070907

0.000000

0.066797

51

Lampiran 3 : Grafik peramalan resesi (Y) dengan RSAB untuk peramalan di dalam contoh.

52

Lima prediktor (IP, UR, RM, SP, dan FF) 1.0 Y y duga

3 bulan

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 94

95

96

97

98

99

00

01

02

03

1.0 Y Y duga

6 bulan

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 94 1.0

95

96

97

98

99

Y Y duga

00

01

02

03

02

03

9 bulan

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 94

95

1.0

96

97

98

99

00

01

12 bulan

Y Y duga

0.8

0.6 0.4

0.2 0.0 95

96

97

98

99

00

01

02

03

Enam prediktor (IP, UR, RM, SP,FF, dan Lag Y)

53

1.0

Y Y duga

3 bulan

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 94

1.0

95

96

97

98

99

Y Yduga

00

01

02

03

01

02

03

01

02

03

6 bulan

0.8 0.6

0.4 0.2 0.0 94 1.0

95

96

97 98

99

Y Y duga

00

9 bulan

0.8 0.6

0.4 0.2 0.0 94

95

1.0

96

97

98

99

Y Y duga

00

12 bulan

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 95

96

97

98

99

00

01

02

03

54

Lampiran 4 : Grafik peramalan resesi (Y) dengan RSAB untuk peramalan di luar contoh

55

Lima prediktor (IP, UR, RM, SP,dan FF) 1.0 3 bulan

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

1.0

02:07

03:01

6 bulan

03:07

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

02:07

03:01

1.0 9 bulan

03:07

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

02:07

03:01

03:07

1.0 12 bulan

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

02:07

03:01

03:07

Enam prediktor (IP, UR, RM, SP, FF, dan lag Y)

56

1.0

3 bulan

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

02:07

03:01

1.0 6 bulan

03:07

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

02:07

03:01

1.0 9 bulan

03:07

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

1.0

02:07

03:01

12 bulan

03:07

Y Yduga

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 01:01

01:07

02:01

02:07

03:01

03:07