PENGANTAR DASAR MATEMATIKA REKAYASA, oleh Markoni Hak Cipta © 2014 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283 Telp: 0274-889398; Fax: 0274-889057 E-mail:
[email protected] Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. ISBN: 978-602-262-201-7 Cetakan ke I, tahun 2014
Lampiran
v
KATA PENGANTAR Alat bantu pelajaran khususnya berupa buku ajar merupakan sarana penunjang bagi proses belajar dan mengajar, yang tidak kalah pentingnya dengan sarana yang lain, mudah - mudahan buku ajar ini dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari Matematika Rekayasa yang diberikan di-awal perkuliahan sebagai pengantar dasar pada Fakultas Teknik, khusus di- program studi Teknik Elektro maupun program studi teknik lainnya. Buku ajar ini didasarkan pada handouts, yang penulis berikan dalam perkuliahan pendahuluan Matematika Rekayasa, pada Fakultas Teknik Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon, Buku ajar ini adalah bukan sebuah buku ajar yang sempurna, namun hanya sebuah panduan praktis untuk mempelajari pengantar dasar Matematika Rekayasa, khususnya di program studi Teknik Elektro maupun program studi teknik lainnya, dalam latihan soal-soal yang sederhana serta mengajak berdiskusi dengan para pembaca. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Dr. Ir. H. Saihul Anwar, M.Eng., M.M., Dekan Fakultas Teknik Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon, atas dorongan, dan bantuannya. secara khusus penulis sampaikan juga rasa syukur dan terima kasih kepada istri penulis V. Cucun Nurhatinih, yang senantiasa dan tiada henti-hentinya memberi dorongan dan perhatian, manakala muncul berbagai persoalan yang harus penulis hadapi, yang mengurangi semangat penulis untuk segera meneruskan penulisan buku ajar ini, serta anak penulis, Ferrin & Fella yang selalu menjadi penghibur dalam berkarya, yang secara tidak langsung memberikan inspirasi bagi penulis untuk melanjutkan penulisan buku ajar yang lain. Buku ajar ini membutuhkan review dan penyempurnaan lebih lanjut, karenanya kritik, saran dan tambahan akan selalu berguna terutama penulisan lebih lanjut. Akhir kata Penulis berharap semoga tulisan ini dapat bermanfaat Cirebon, Januari 2014
Penulis Markoni
vi
Pengantar Dasar Matematika Rekayasa
Lampiran
vii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI
v vii
BAB I
HIMPUNAN 1.1 Himpunan Universal dan Himpunan Kosong 1.2 Operasi Himpunan
1 2 3
BAB II
MODEL MATEMATIKA & TEORI FUNGSI 2.1 Model Matematika 2.2 Fungsi sebagai proses in put – out put
7 7 13
BAB III
DERET 3.1 Deret Hitung 3.2 Deret Ukur 3.3 Penerapan Ekonomi
23 23 26 28
BAB IV
BILANGAN KOMPLEKS 4.1 Bentuk Kartesian dan Polar 4.2 Koordinat Kutub
35 35 38
BAB V
TURUNAN 5.1 Rumus – rumus limit 5.2 Turunan 5.3 Diferensial fungsi aljabar 5.4 Nilai Maksimum dan Minimum 5.5 Bentuk Tak tentu 5.6 Persamaan Diferensial
41 41 46 51 60 70 78
viii
BAB VI
Pengantar Dasar Matematika Rekayasa
FUNGSI TRANSENDEN 6.1 Fungsi aljabar 6.2 Fungsi transenden
101 101 103
BAB VII INTEGRAL 7.1 Integrasi 7.2 Integral Parsial 7.3 Kurva Kutub
131 131 136 139
BAB VIII FUNGSI GAMA DAN FUNGSI BETA 8.1 Fungsi Gama 8.2 Fungsi Beta
155 155 160
BAB IX
DERET FOURIER DAN TRANSFORMASI LAPLACE 9.1 Fungsi Periodik 9.2 Deret Fourier 9.3 Transformasi Laplace
167 167 176 181
BAB X
MATRIKS DAN DETERMINAN 10.1 Matriks 10.2 Determinan
185 185 192
BAB XI
ANALISA VEKTOR 11.1 Diferensial Vektor 11.2 Diferensial Parsial Vektor 11.3 Medan Skalar dan Medan Vektor 11.4 Integral Vektor
211 218 220 223 230
PUSTAKA PUSTAKA
235
LAMPIRAN
237 -oo0oo-
Himpunan
1
BAB I HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek. Objek-objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur. Objek-objek suatu himpunan sangat bervariasi; bisa berupa orang-orang tertentu, hewan-hewan tertentu, tanam-tanaman tertentu, benda-benda tertentu, buku-buku tertentu, angka-angka tertentu dan sebagainya. Dalam penyajian secara umum himpunan dilambangkan dengan huruf-huruf besar seperti A, B, C, P, Q, R, X, Y atau Z. Sedangkan objek-objek yang menjadi anggota suatu himpunan dilambangkan dengan huruf-huruf kecil seperti a, b, c, p, q, r, x, y atau z. Penulisan matematis ( Notasi ) :
p A berarti bahwa objek p adalah merupakan anggota ( atau unsur, atau elemen ) dari himpunan A Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan lain B, dengan perkataan lain p A juga p B , maka A disebut himpunan bagian ( subset ) dari B. Notasi :
A B berarti bahwa A merupakan himpunan bagian dari B Dua buah himpunan dikatakan sama atau sederajat apabila semua anggota dari himpunan yang satu juga merupakan anggota-anggota bagi himpunan yang lain, dengan perkataan lain jumlah dan jenis anggotaanggota kedua himpunan tersebut sama.
A B berarti bahwa himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya jika A B serta B A Pernyataan ingkaran atau bantahan terhadap p A, A B dan A B masing-masing dituliskan dengan notasi p A, A B dan A B . Dengan demikian, notasi :
p A
artinya objek p bukan merupakan anggota dari himpunan A.
2
Pengantar Dasar Matematika Rekayasa
A B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B A B artinya himpunan A tidak sama dengan himpunan B Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan dua macam cara, cara daftar dan cara kaidah. Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh objek yang menjadi anggota suatu himpunan ; sebagai contoh :
A 1,2,3,4,5 berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulan positif 1,2,3,4, dan 5 Adapun cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari objek-objek yang menjadi anggota himpunan tersebut ; sebagai contoh :
A
x; 0 x 6
berarti himpunan A beranggotakan objek x , dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam. Untuk himpunan A diatas, penyajiannya secara kaidah dapat pula dituliskan sebagai berikut :
A
x; 1 x 5
berarti himpunan A beranggotakan objek x yang harganya paling sedikit sama dengan satu dan paling banyak sama dengan lima.
1.1. HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN KOSONG Setiap himpunan tertentu dianggap terdiri dari beberapa himpunan bagian yang masing-masing mempunyai anggota. Himpunan ” besar ” tadi dinamakan himpunan universal, atau sering disebut dengan himpunan saja, dan dalam penulisannya dilambangkan dengan notasi U . Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satu anggotapun, biasanya dilambangkan dengan notasi
atau
.
Secara teoretik, himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun. Berdasarkan adanya konsep himpunan universal yang merupakan induk bagi semua himpunan, dan himpunan kosong yang merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan, maka terhadap setiap himpunan tertentu ( misalkan A ) berlaku ketentuan : A U . Guna memperoleh pemahaman yang lebih jelas tentang pengertian-pengertian dasar himpunan, berikut ini disajikan beberapa ilustrasi.
