KALKULUS TINGKAT LANJUT, oleh A.B. Panggabean Hak Cipta © 2014 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283 Telp: 0274-882262; 0274-889398; Fax: 0274-889057; E-mail:
[email protected] Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. ISBN: 978-602-262-264-2 Cetakan ke I, tahun 2014
BAB I
KATA PENGANTAR
Buku ini diberi nama Kalkulus Lanjutan sebab isinya merupakan lanjutan dari apa yang sudah ditulis dalam buku Kalkulus sebelumnya. Isi buku ini dibagi dalam 5 Bab; BAB I Fungsi Lebih dari Dua Peubah (Variabel) z = f (x,y), BAB II Integral Lipat–Integral Ganda, BAB III Persamaan Diferensial (P.D), BAB IV Banjar dan Deret, BAB V Vektor Analisis, Persamaan Linear Simultan, Determinan. Setiap bab di atas memuat beberapa topik dan setiap topik memuat contoh soal serta penyelesaiannya. Dalam mempelajari Bab V di atas terutama mengenai persamaan linear simultan, pembaca diharapkan sudah memahami matriks dan determinan. Pada tahun 1980 – 2005, penulis mengajar di Fakultas Teknologi Industri Universitas Trisakti, Jakarta. Sesuai dengan kurikulum/silabus kalkulus pada waktu itu, saya mengajarkan bab-bab tersebut kepada mahasiswa jurusan Teknik Elektro dan Teknik Mesin pada semester II. Penulis mengakui bahwa buku ini memiliki banyak kekurangan dan jauh dari sempurna, namun setidaktidaknya pasti dapat membantu para pembaca dalam mempelajari Kalkulus. Terima kasih banyak saya sampaikan kepada penerbit Graha Ilmu Yogyakarta atas kerja sama yang sangat baik, sehingga buku ini dapat diterbitkan.
vi
Kalkulus Tingkat Lanjut
Akhirnya penulis mengharapkan kiranya buku ini dapat menjadi kenang-kenangan bagi cucu penulis Fernando, Fernanda dan Marcella Panggabean yang pada waktu ini masih belajar di Amerika Serikat.
Penulis
Penulis
BAB I
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI
v vii
BAB I
FUNGSI LEBIH DARI DUA PEUBAH (VARIABEL) 1.1 Limit Fungsi Lebih dari Dua Variabel Bebas z = f (x, y) 1.2 Derivatif Parsial 1.3 Diferensial Total Suatu Fungsi 1.4 Diferensiasi Fungsi Implisit 1.5 Bidang Singgung pada Permukaan di Titik P (x1, yt, z1) 1.6 Maksimum dan Minimum
1 2 3 7 10 12 13
BAB II
INTEGRAL LIPAT – INTEGRAL BERULANG 2.1 Mengubah Urutan Integral, Menentukan Batas Integrasi 2.2 Khusus Integral Lipat Tiga 2.3 Menulis Integral Lipat Tiga dengan Integral Berulang 2.4 Mengganti Variabel dalam Integral 2.5 Benda Putar – Koordinat Kutub 2.6 Panjang Busur 2.7 Luas Permukaan Lengkung 2.8 Titik Berat – Moment Inersia
17 21 26 27 28 31 32 32 35
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) 3.1 Persamaan Diferensial Tingkat Pertama dan Derajat Satu 3.2 Persamaan Diferensial yang Dapat Dipisahkan 3.3 Persamaan Diferensial Homogen 3.4 Transformasi Perubah 3.5 Persamaan Diferensial Linear 3.6 Persamaan Bernoulli
41 42 43 44 46 47 48
viii
Kalkulus Tingkat Lanjut
4.7 Faktor Integrasi 3.8 Persamaan Differensial Linear dengan Koefisien Tetapan BAB IV BANJAR DAN DERET 6.1 Banjar dan Limit 6.2 Deret Hitung (DH) 6.3 Konvergen Divergensi Suatu Deret 6.4 Syarat Perlu untuk Konvergen 6.5 Menguji Konvergen – Divergen Suatu Deret 6.6 Deret dengan Suku-suku Bergantian Positif dan Negatif 6.7 Konvergen Mutlak – Konvergen Bersyarat 6.8 Deret Fungsi, Deret Pangkat – Deret Kuasa 6.9 Deret Taylor dengan Sisa (Perluasan Deret Teori Rata-rata) 6.10 Deret Mac. Laurin BAB V
VEKTOR ANALISIS, PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN, DETERMINAN 5.1 Vektor Radius 5.2 Penjumlahan Vektor, Perkalian Skalar dengan Vektor 5.3 Perkalian Skalar (dat Product) Vektor 5.4 Panjang Vektor dan Jarak Dua Vektor 5.5 Proyeksi Sebuah Vektor Terhadap Vektor Lainnya 5.6 Ruang Linear: Garis Lurus dan Bidang Rata 5.7 Vektor Bebas dan Tidak Bebas Linear 5.8 Ruang Vektor (Vector Space) di Rn 5.9 Basis dan Dimensi 5.10 Hasil Kali Vektor 5.11 Persamaan Linear Simultan 5.12 Luas Jajaran Genjang – Volume Pararel Epipedum 5.13 Sifat Determinan 5.14 Kofaktor dan Minor Suatu Determinan 5.15 Uraian Lebih Lanjut Mengenai Matriks 5.16 Perkalian Dua Matriks 5.17 Inversi Matriks (Matriks Kebalikan) 5.18 Matriks Adjoint
DAFTAR PUSTAKA TENTANG PENULIS
49 52 61 61 63 66 67 68 72 75 77 80 82 85 88 89 91 92 95 96 103 107 108 111 113 123 128 131 132 133 135 137 143 145
-oo0oo-
BAB I
FUNGSI LEBIH DARI DUA PEUBAH (VARIABEL) Fungsi yang sudah dibicarakan adalah fungsi dengan dua variabel, ditulis dalam bentuk: 1. Eksplisit 2. Implisit
,
0
Tempat kedudukan (T.K) titik yang memenuhi fungsi ini adalah sebuah kurva (lurus atau lengkung) pada bidang rata (Gambar 1) Akan dipelajari fungsi lebih dari dua variabel, khusus dari tiga variabel yang ditulis dalam bentuk: ,
1. Eksplisit 2. Implisit
, ,
0
Tempat kedudukan (T.K) titik-titik yang memenuhi fungsi ini adalah sebuah permukaan (rata atau melengkung dalam ruang). (Gambar 2)
2
Kalkulus Tingkat Lanjutan
Dapat diperluas sebagai berikut: , , , ,…,
bentuk eksplisit dengan , , , , … , variabel bebas.
, , , ,…, ,…,
0
bentuk implisit
1.1 Limit Fungsi Lebih dari Dua Variabel ,
Secara khusus bagi fungsi Pengertian limit dari ,
Limit
,
dapat dikembangkan pada
adalah L bila x mendekati a dan y mendekati b, jika untuk suatu bilangan
(bagaimanapun kecilnya) dapat ditemukan suatu bilangan pas dengan |
semua y
sebagai berikut:
|
dan |
|
berlaku |
sedemikian sehingga untuk semua ,
|
Contoh: lim cos
lim . lim cos
2 lim sin
lim sin
0
2.1 sin
2
2 1
Dengan cara yang sama dapat diperluas bagi fungsi Soal :
Tentukan limit dari soal di bawah ini (jika ada) 1. lim 2. lim 3. lim 4. lim
Jawab : 1. 0 2. Tidak mempunyai limit 3. 1 4. ∞
, , , ,…,
0 dan
