PENDAHULUAN LATAR BELAKANG Sistem dinamik sering diidentifikasikan pada model matematika dari persamaan kimia, persamaan fisika, dan persamaan biologi yang persamaannya mengandung parameterparameter yang saling berhubungan. Perubahan parameter pada persamaan diferensial dapat menyebabkan perubahan kestabilan dari titik tetap. Perubahan itu juga mempengaruhi keadaan titik tetap. Dengan demikian ada dua hal yang perlu diperhatikan pada bifurkasi yaitu, masalah kestabilan dari titik tetap dan muncul atau hilangnya titik tetap. PERUMUSAN MASALAH Permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah Menentukan Eksistensi Orbit Periodik dari beberapa sistem dinamik dengan menggunakan Bifurkasi Hopf. BATASAN MASALAH Untuk menentukan eksistensi orbit periodik dengan menggunakan bifurkasi Hopf, terdapat batasan masalah , yaitu: Persamaan differensial yang akan dikaji dalam bifurkasi hanya memuat satu parameter. Konsep Bifurkasi Hopf akan dijelaskan secara sederhana, tanpa memberikan bukti dan akan diaplikasikan pada beberapa
sistem dinamik diantaranya sistem kimia kinetik (brusselator) dan sistem Fitz Hugh-Nagumo . TUJUAN Tujuan dari tugas akhir ini adalah : Untuk mengkaji eksistensi orbit periodik dari beberapa sistem dinamik dengan menggunakan Bifurkasi Hopf. Menerapkan atau memberikan contoh – contoh sederhana untuk memperjelas konsep bifurkasi Hopf. MANFAAT Manfaat dari tugas akhir ini adalah mengetahui sifat-sifat atau perilaku dan beberapa sistem dinamik sehingga dapat menginterpretasikan hasil-hasil analisa pada sistem dinamik, khususnya munculnya orbit periodik.
TINJAUAN PUSTAKA Titik Tetap Dari Persamaan Linier Secara singkat tipe-tipe titik tetap sebagai berikut: a. Titik Tetap Pelana (Saddle Point): terjadi jika nilai eigen real ada yang positif dan ada yang negatip. b. Titik Tetap Simpul ( Node Point ): terjadi jika bagian nilai eigen real positif semua atau negatip semua. Spiral: terjadi jika nilai-nilai eigennya komplek yaitu Center: Center terjadi jika nilai eigennya
imajiner murni .
Limit Cycle Limit cycle merupakan orbit periodik terisolasi. Center dan limit cycle merupakan contoh dari orbit periodik . Teorema 2.1 (Finizio/ Ladas, 1998,293) Titik kesetimbangan (0,0) dari sistem (2.9) adalah; Stabil, jika λ 1 danλ 2 adalah real negative atau mempunyai bagian real yang tak positif. Stabil asimtotis, jika λ 1 danλ 2 adalah real dan negative atau mempunyai bagian real yang negatip. Tak stabil, jika salah satu atau keduanya λ 1 danλ 2 real dan positif atau mempunyai bagian real yang positif.
MENUNJUKKAN EKSISTENSI ORBIT PERIODIK DARI SISTEM DINAMIK DENGAN MENGGUNAKAN BIFURKASI HOPF Pada bagian akan dibahas masalah untuk menunjukkan eksistensi orbit periodik dari sistem dinamik tak linear yang memuat parameter dengan menggunakan teorema bifurkasi Hopf disertai dengan beberapa contoh. Teorema tidak akan dibuktikan, tetapi akan dibahas cara-cara atau langkah-langkah untuk mendapatkan orbit periodik. Osilasi Pada Sistem Dinamik Tak Linear Osilasi merupakan fenomena penting yang terjadi didalam sistem dinamik . Suatu sistem dikatakan berisolasi bila sistem tersebut bergerak disekitar titik kesetimbangan nya. Jika
x(t ) penyelesaian suatu sistem dinamik, maka sistem dikatakan berisolasi secara periodik jika
xt(+T=),∀>0 untuk suatu T>0, T ini disebut perioda. Pada bidang fase, penyelesaian periodik digambarkan sebagai trayektori tertutup. Sistem dinamik linear maupun sistem dinamik tak linear akan berisolasi bila mempunyai eigenvalue imajiner murni. Pada sistem linear, orbit periodik mengelilingi titik tetap tertentu dan orbit periodik itu disebut dengan center. Pada sistem tak linear,
osilasi dapat mempunyai amplitudo dan frekwensi yang tetap, serta disekitar orbit periodik terdapat trayektori berupa spiral. Osilasi seperti ini disebut dengan limit cycle. Contoh 3.1 Tunjukkan bahwa sistem berikut mempunyai orbit periodik
() y=ω+xµ−() •
x=µ−ωy 2+ •
dengan
µ
…(3.1)
2
parameter, ωko da"•adalah n turunan sta terhadap n ta t.
Mula-mula sistem diubah kedalam sistem koordinat polar ( r , θ ) . Persamaan transformasi untuk sistem koordinat polar adalah
x = r cosθ y = r sinθ
(r ≥
…(3.2) dengan
r= tgθ = …(3.3)
x2 + y2 y x
0, 0 ≤ θ ≤ 2π
)
Substitusi (3.1) kedalam (3.3) diperoleh •
r = µ r − r3 •
θ = ω
…(3.4)
Selanjutnya sistem (3.4) dianalisa dengan mengambil
•
r= 0
sehingga diperoleh titik kesetimbangan
r∗ = 0d µ Titik tetap
r* = 0
tidak tetap
r* =
an tidak stabil ( karena dijauhi orbit spiral ) dan
µ
bersifat stabil ( karena didekati orbit
spiral dari kedua sisi ). Karena
r* = µ
dengan
µ > 0
merupakan orbit periodik (limit cycle), maka orbit periodik bersifat stabil. Bifurkasi Hopf Langkah – langkah untuk mendapatkan bifurkasi Hopf adalah sebagai berikut : Menentukan semua titik tetap ( titik kesetimbangan ) dari sistem dinamik Menentukan eigenvalue dan eigenvektor dari matriks Jacobian sistem yang dihitung pada setiap titik kesetimbangan.
Jika satu atau lebih titik kesetimbangan mempunyai sepasang eigenvalue kompleks , tentukan nilai bifurkasi µ = µ
( )= 0
sehingga α µ
∗
( )≠
, ω µ
∗
∗
0 dan juga hitung syarat
transversal. Sebelum menghitung indeks stabilitas, carilah bentuk normal bifurkasi Hopf dengan mentranslasikan terlebih dahulu titik kesetimbangan ke titik (0,0) sehingga sistem dinamik sekarang mempunyai titik kesetimbangan ( 0,0 ). Contoh – Contoh Bifurkasi Hopf Selanjutnya dibahas dua contoh menentukan eksistensi orbit periodik dengan menggunakan langkah – langkah yang telah dibahas pada bagian 3.2. Contoh 3.2 (Masalah kimia kinetik (Brusselator)) Tunjukkan bahwa sistem berikut mempunyai orbit periodik •
x = F ( x, y, µ ) = A − ( µ − 1) x + x 2 y
…(3.5)
•
y = G( x, y, µ ) = µ x − x 2 y A konstanta, µ parameter
µ A, A
Diperoleh titik tetap
dengan
A≠ 0
Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari titik tetap A,
µ A
Matriks Jacobian dari sistem adalah
µ − 1 A2 µ di A, → J = 2 A − µ − A Akar - akar karakteris tiknya adalah 1 2 1 λ 1, 2 = − A − µ +1 ± A2 − µ + 1 − 4 A2 2 2
(
)
(
)
Bifurkasi Hopf terjadi jika:
A2−µ+=10⇒ Syarat transversal: Pada saat
d=
d { Re [ λ ( µ dµ
) ]}
µ = A2 + 1
=
1 ≠ 0 2
µ = A 2 + 1 nilai eigen imaginer murni, yaitu
λ 1, 2 = ± iA 0 1 sehingga didapatkan vektor eigen 1d a n − 1 A Dari vektor eigen didapatkan matrik: 0 T = 1 A
1 A , T −1 = 1 − 1
A 0
Menentukan bentuk normal bifurkasi Hopf
Translasi titik tetap A, Didapatkan
µ ketitik ( 0,0 ) A
bentuk normal bifurkasi Hopf dengan titik
kesetimbangan
(p,q)=(0,0)
dan
f(p,q)=0
1 1 g ( p, q ) = A + q 2 + 2 pq − 2 Aq 2 + pq 2 − q 3 A A Indeks Stabilitas I=
3 1 ∂ f
+ 3 ∂p
1 6
3 ∂ g 2
+
3 ∂ f
∂ p ∂ q ∂ p∂ q
2
+
2 2 ∂ f ∂ f + + 3 1 6A ∂ p∂ q 2 ∂ q ∂p
3 ∂ g
1
2 2 2 2 2 2 2 ∂ g ∂ g ∂ g ∂ f ∂ g ∂ f ∂ g − + − . + . p= 0,q= 0 2 ∂ p∂ q 2 ∂q ∂ p ∂ q 2 ∂ p 2 ∂ p 2 ∂ q 2 ∂ q 2
2 ∂ f
karena I < 0 maka orbit periodik stabil Dengan Dengan menggunakan Maple 6.0 diperoleh gambar sebagai berikut disaat
µ > 1.01
Contoh 3.3 (Sistem Fitzh Hugh- Nagumo) Tunjukkan sistem berikut mempunyai orbit periodik •
x ≡ F ( x, y , µ ) = x( x − µ )(1 − x ) − y , µ = parameter, •
y ≡ G ( x, y , µ ) = ε
(x −
ε = konstanta
µ y)
...(3.6)
Diperoleh titik tetap (0,0) Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari titik tetap ( 0,0 ) Matriks Jacobian dari sistem di (0,0) Persamaan karakteristik
λ 1, 2 = −
1 (µ − µ ε ) ± 1 2 2
Bifurkasi Hopf terjadi jika: µ
(µ
−ε µ
)2 −
(
4ε 1 − µ
= 0
1 2
Syarat tranversal :d=−+ε≠0 Pada saat µ = 0 diperoleh nilai eigen imajiner murni, yaitu
λ 1, 2 = ± i ε
0 1 − ε 0 n
dengan vektor eigen da
Dari vektor eigen didapatkan matrik: 0 T = − ε
1 , T −1 = 0
1 ε
0 ε
− 1 , 0
Menentukan Bentuk Normal dan bifurkasi Hopf
2
)
Untuk
µ = 0 , ε ≠ 1 sistem persamaan (3.9) menjadi
•
x = x2 − x3 − y •
y= ε x
Dalam bentuk matriks
• x = 0 • y ε
− 1 0
x x 2 − x3 + y 0
Sehingga diperoleh bentuk normal bifurkasi Hopf dengan titik tetap (0,0) dan
f ( p, q ) = 0, g ( p, q ) = q 2 − q 3
Indeks Stabilitas
∴ I =
1 16
{0+
=-
0 + 0 − 6} +
1 16ε
{ 0[ 0 + 0] − 0[ 0 + (6q − 2) ] − 0.0 + 0.(6q − 2)}
6 16
Karena I < 0 maka orbit periodik stabil Dengan menggunakan Maple 6.0 diperoleh gambar sebagai berikut disaat
µ = 0
p = 0 ,q = 0
KESIMPULAN Berdasarkan uraian pada bab III, cara untuk menunjukkan eksistensi orbit periodik dengan menggunakan bifurkasi Hopf pada sistem dinamik .
)
.
)
x = f ( x, y , µ y = g ( x, y , µ adalah ,
Menentukan semua titik kesetimbangan dan eigenvaluenya. Menentukan nilai parameter terjadinya bifurkasi Hopf, yaitu nilai parameter pada saat eigenvalue titik kesetimbangan imaginer murni.
Hitung syarat transversal dan carilah bentuk normal bifurkasi Hopf. Gunakan indeks stabilitas untuk mengetahui bifurkasi Hopf superkritikal atau bifurkasi Hopf subkritikal.
