PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Model Matriks. Mahdhivan Syafwan

PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Model Matriks Mahdhivan Syafwan

Life Table vs Model Matriks? Life Table

Model Matriks

Dikotomi antara hidup dan mati

Perbedaan dengan banyak karakteristik: umur, jenis kelamin, status pernikahan, status pekerjaan, kedewasaan, dll.

Hanya memuat peluang mati

Selain memuat peluang mati, juga memuat peluang pindah ke kelompok lain (contoh: orang yang tak bekerja menjadi bekerja) atau peluang menghasilkan sejumlah individu baru (karena reproduksi)

-> menghitung proyeksi populasi • Informasi yang dibutuhkan untuk proyeksi dapat ditulis dengan mudah dalam bentuk matriks (disebut matriks proyeksi populasi). • Model populasi matriks diperkenalkan pada tahun 1940an oleh Bernardelli (1941), Lewis (1942), dan Leslie (1945, 1948). 2

Matriks Leslie

• Misalkan umur maksimum yang dicapai oleh individu dalam suatu populasi adalah 𝐿. • Bagi populasi tersebut menjadi 𝑚 kelas umur. Kelas Umur

Interval Umur

1

[0, 𝐿/𝑚)

2

[𝐿/𝑚, 2𝐿/𝑚)

⋮ 𝑚−1 𝑚

⋮ [ 𝑚 − 2 𝐿/𝑚, 𝑚 − 1 𝐿/𝑚) [ 𝑚 − 1 𝐿/𝑚, 𝐿] 3

Matriks Leslie • Pandang kasus populasi dengan 3 kelas umur : [0,1), 1,2 , [2,3] (misalkan dalam tahun). • Misalkan 𝑛𝑖 (𝑡) menyatakan jumlah individu pada kelas umur ke-𝑖 pada waktu 𝑡. • Definisikan vektor 𝑛1 (𝑡) 𝐧 𝑡 = 𝑛2 (𝑡) , 𝑛3 (𝑡)

yang menyatakan keadaan populasi pada waktu 𝑡 (disebut juga vektor populasi atau vektor distribusi umur).

4

Matriks Leslie • Perhatikan bahwa individu-individu pada kelas umur ke-2 dan 3 pada waktu 𝑡 + 1 adalah mereka yang bertahan hidup dari kelas umur sebelumnya pada waktu 𝑡. Jadi, 𝑛2 𝑡 + 1 = 𝑃1 𝑛1 𝑡 , (1) 𝑛3 𝑡 + 1 = 𝑃2 𝑛2 𝑡 , (2) dimana 𝑃𝑖 menyatakan peluang individu pada kelas ke-𝑖 yang dapat bertahan hidup paling tidak selama setahun (yaitu mencapai kelas umur ke-(𝑖 + 1)). • Individu baru pada kelas ke-1 muncul dari proses kelahiran. Jadi, 𝑛1 𝑡 + 1 = 𝐹1 𝑛1 𝑡 + 𝐹2 𝑛2 𝑡 + 𝐹3 𝑛3 𝑡 , (3) dimana 𝐹𝑖 menyatakan fertilitas per-kapita dari kelas umur ke-𝑖, yaitu rata-rata individu yang lahir dari tiap individu pada kelas ke−𝑖 pada waktu 𝑡. 5

Matriks Leslie • Persamaan (1)-(3) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: 𝐧 𝑡 + 1 = 𝐿𝐧 𝑡 , dimana 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐿 = 𝑃1 0 0 . 0 𝑃2 0 • 𝐿 disebut matriks proyeksi populasi atau juga dikenal dengan matriks Leslie. • Matriks 𝐿 adalah matriks non-negatif dengan entri positif hanya pada baris pertama (fertilitas) dan subdiagonal (peluang hidup). 6

Klasifikasi Model Populasi Matriks 𝟏

𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿𝐧(𝑡)

𝟐

𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿 𝐧(𝑡) 𝐧(𝑡)

𝟑

𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿 𝑡 𝐧(𝑡)

𝟒

𝐧(𝑡 + 1) = 𝐿 𝐧 𝑡 , 𝑡 𝐧(𝑡)

𝟏

𝟐

𝟑

𝟒

7

Proyeksi: Analisis Sederhana Contoh 1. Model linier invarian waktu 0 1 𝐧 𝑡 + 1 = 0.3 0 0 0.5

5 0 𝐧 𝑡 , 0

1 𝐧 0 = 0 . 0

8

Proyeksi: Analisis Sederhana 1 𝐧 0 = 0 . 0

Contoh 2. Pengaruh syarat awal 0 𝐧 𝑡 + 1 = 0.3 0

1 5 0 0 𝐧 𝑡 . 0.5 0

1 𝐧 0 = 1 . 1

1 𝐧 0 = 2 . 3

9

Proyeksi: Analisis Sederhana Contoh 3. Pengaruh perturbasi 0 0.9 5 𝐿 = 0.3 0 0 0 0.5 0

0 𝐿 = 0.27 0

1 0 0.5

5 0 0

10

Empat Pertanyaan Dasar dalam Analisis Demografik 1.

2.

11

Empat Pertanyaan Dasar dalam Analisis Demografik 3.

4.

12

Matriks Leslie dan Life Table • Nilai-nilai parameter pada model matriks berdasarkan klasifikasi umur diturunkan dari life table. • Dalam hal ini, populasi dibedakan atas:  Birth-flow population, yaitu kelahiran terjadi terusmenerus (kontinu) selama interval proyeksi. -> lebih cocok untuk manusia

 Birth-pulse population, yaitu reproduksi terjadi saat musim kawin (yang singkat) dalam interval proyeksi. -> lebih cocok untuk hewan mamalia, burung, dan organisme lainnya yang dipengaruhi oleh lingkungan musiman [tidak dibahas]. 13

Birth-Flow Population: (i) Peluang hidup birth-flow • Misalkan 𝑙(𝑥) menyatakan peluang suatu individu dapat bertahan hidup sejak lahir sampai mencapai umur 𝑥. • Peluang individu dapat bertahan hidup dari umur (secara tepat) 𝑥 ke 𝑥 + 1 adalah 𝑙(𝑥 + 1)/𝑙(𝑥). • Namun dalam hal kelas umur, berlaku 𝑃𝑖 =

𝑖+1 𝑙(𝑥) 𝑑𝑥 𝑖 . 𝑖 𝑙(𝑥) 𝑑𝑥 𝑖−1

• Dengan menggunakan aturan trapesium, 𝑃𝑖 dapat diaproksimasi oleh 𝑙 𝑖 +𝑙 𝑖+1 𝑃𝑖 ≈ . 𝑙 𝑖−1 +𝑙 𝑖 14

Birth-Flow Population: (ii) Fertilitas birth-flow • Perhatikan bahwa 𝑛1 𝑡 + 1 =

𝐹𝑖 𝑛𝑖 (𝑡) . 𝑖

• Misalkan 𝐵(𝑡,𝑡+1) menyatakan jumlah total kelahiran pada interval (𝑡, 𝑡 + 1). • Misalkan 𝑛(𝑥, 𝑡) menyatakan banyaknya individu yang berumur (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥) di waktu 𝑡. [Catat bahwa 𝑥 adalah variabel kontinu] • Pada waktu 𝑡, individu yang berumur 𝑥 bereproduksi (melahirkan) dengan laju 𝑚 𝑥 𝑛(𝑥, 𝑡), dimana 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 adalah rata-rata jumlah keturunan perempuan yang lahir dari seorang perempuan yang berumur 𝑥 pada interval (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥). 15

Birth-Flow Population: (ii) Fertilitas birth-flow • Integralkan terhadap waktu dan umur, diperoleh [jelaskan!] ∞

𝐵(𝑡,𝑡+1) =

𝑡+1

𝑚(𝑥) 0

∞

𝑛(𝑥, 𝑧) 𝑑𝑧𝑑𝑥 ≈ 𝑡

𝑚 𝑥 0

1 ≈ 2 =

1 2

𝑛 𝑥, 𝑡 + 𝑛 𝑥, 𝑡 + 1 2

𝑑𝑥

∞

𝑚𝑖 𝑛𝑖 𝑡 + 𝑛𝑖 𝑡 + 1 𝑖=1 ∞

𝑚𝑖 + 𝑃𝑖 𝑚𝑖+1 𝑛𝑖 𝑡 . 𝑖=1

• Jumlah kelahiran tidak persis sama dengan 𝑛1 (𝑡 + 1), karena beberapa tidak akan dapat bertahan hidup sampai 𝑡 + 1. Secara rata-rata, setiap individu akan dapat bertahan hidup selama setengah interval proyeksi, yaitu dengan peluang 𝑙(0,5). Jadi 𝑚𝑖 + 𝑃𝑖 𝑚𝑖+1 𝐹𝑖 = 𝑙 0,5 . 2 • Jika nilanya tidak diketahui, 𝑙(0,5) dapat diaproksimasi dengan 𝑙 0 +𝑙 1 𝑙 0,5 ≈ . 2

16

Contoh • Diberikan life table dan hasil kelahiran pada suatu populasi sebagai berikut:

a) Hitunglah aproksimasi dari 𝑃𝑖 dan 𝐹𝑖 . b) Buatlah matriks Leslie dari populasi tersebut. 17

Graf Siklus Hidup • Model populasi matriks yang dibahas selama ini adalah model berdasarkan klasifikasi umur (age-classified model). • Sekarang akan dibahas model dengan klasifikasi yang lebih umum, dinamakan model berdasarkan klasifikasi tahapan (stageclassified model). • Untuk memudahkan ‘melihat’ siklus hidup suatu populasi, digunakan graf siklus hidup. 18

Graf Siklus Hidup – Contoh 1

• Graf siklus hidup untuk age-classified model, dimana lebar dari kelas umur sama dengan interval proyeksi. • Matriks proyeksi: 0 𝐹2 𝐹3 𝐹4 𝑃1 0 0 0 𝐿 ≡ 𝐴𝑎 = . 0 0 0 𝑃2 𝑃3 0 0 0 19

Graf Siklus Hidup – Contoh 2

• Graf siklus hidup untuk standard size-classified model • Matriks proyeksi: 𝐴𝑏 =

.

20

Graf Siklus Hidup – Contoh 3

• Graf siklus hidup untuk ikan paus pembunuh. • Simpul (titik) menandakan tahapan: (1) yearling [umur setahun], (2) remaja, (3) betina dewasa, (4) betina pascareproduktif. • Matriks proyeksi: 𝐴𝑐 =? 21

PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Kelahiran dan Pertumbuhan Populasi dari Model Matriks Mahdhivan Syafwan

Solusi Persamaan Proyeksi • Model populasi matriks: 𝐧 𝑡 + 1 = 𝐴𝐧 𝑡 , dimana 𝐧 𝑡 adalah vektor populasi pada waktu 𝑡 dengan 𝑠 buah stage dan 𝐴 adalah matriks proyeksi stage-classified berukuran 𝑠 × 𝑠. • Solusi model tersebut diberikan oleh [jelaskan!]: 𝑠

𝜆𝑖 𝑡 𝐰𝑖 𝐯𝑖∗ 𝐧0 ,

𝐧 𝑡 = 𝑖=1

dimana 𝐧0 adalah vektor populasi pada keadaan awal, 𝜆𝑖 , 𝑤𝑖 , dan 𝑣𝑖∗ berturut-turut adalah nilai eigen, vektor eigen (kanan), dan kompleks konjugat dari transpos vektor eigen kiri dari matriks 𝐴.

2

Pengaruh Nilai Eigen • Jika semua 𝜆𝑖 < 1, maka jumlah populasi akan menuju ke satu nilai tertentu -> stabil asimtotik. • Jika ada 𝜆𝑖 > 1, maka jumlah populasi akan meningkat -> tidak stabil. • Jika semua 𝜆𝑖 = 1, maka jumlah populasi akan konstan (untuk 𝜆𝑖 bernilai riil) atau harmonik (untuk 𝜆𝑖 bernilai kompleks) -> stabil 3

Tugas Presentasi • • • •

7.2.1 Teorema Perron-Frobenius 7.2.2 Laju pertumbuhan populasi 7.2.3 Matriks imprimitif 7.2.4 Matriks reducible

4

Teorema Ergodic Kuat • Definisi (Populasi Ergodic) Suatu populasi dikatakan ergodic jika prilaku ‘akhirnya’ tidak bergantung dari keadaan awalnya. • Definisi (Matriks non-negatif dan positif)  Suatu matriks dikatakan non-negatif jika semua elemennya bernilai tak-negatif.  Suatu matriks dikatakan positif jika semua elemennya bernilai positif. • Semua matriks proyeksi populasi adalah nonnegatif. [why?] 5

Pembagian Matriks Non-Negatif

Untuk menjelaskan jenis-jenis matriks tersebut, kita perlu terlebih dahulu mendefinisikan beberapa istilah dalam graf siklus hidup. 6

Beberapa Istilah dalam Graf Siklus Hidup • Lintasan • Loop • Self-loop

7

Reducible vs Irreducible

8

Primitif vs Imprimitif

9

Menghitung Irreducibility dan Primitivity secara Numerik

10

Teorema Perron-Frobenius

11

Periode Osilasi • Nilai eigen dari matriks proyeksi yang bernilai kompleks menghasilkan osilasi pada distribusi tahapan (stage) dengan periode yang diberikan oleh 2𝜋 2𝜋 𝜌𝑖 = = . Im(𝜆𝑖 ) 𝜃𝑖 −1 tan Re(𝜆𝑖 ) • Komponen osilasi yang ‘bertahan lama’ bersesuaian dengan 𝜆2 . • Contoh: … 12

Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil • Kita ingin mengukur jarak antara 𝐧(𝑡) dan populasi stabil 𝐰. • Tanpa mengurangi keumuman, 𝐰 dapat diskala sehingga 𝑖 𝑤𝑖 = 1 dan 𝐧(𝑡) 𝐧(𝑡) dapat ditransformasi menjadi 𝐱 𝑡 = . 𝑖 𝑛𝑖 (𝑡)

• Ukuran Keyfitz

1 Δ 𝐱, 𝐰 = 2

|𝑥𝑖 − 𝑤𝑖 | . 𝑖

Jelas bahwa 0 ≤ Δ ≤ 1. • Jarak kumulatif Cohen Misalkan 𝐧 0 = 𝐧0 . Perhatikan bahwa 𝐧(𝑡) 𝜆1𝑡 → 𝑐1 𝐰1 . Cohen mendefinisikan 𝑡

𝐬 𝐴, 𝐧0 , 𝑡 = 𝑖=0

𝐧(𝑖) 𝜆1𝑖

𝑡

− 𝑐1 𝐰1 ,

𝐫 𝐴, 𝐧0 , 𝑡 = 𝑖=0

𝐧(𝑖) 𝜆1𝑖

− 𝑐1 𝐰1 ,

yang berurut-turut menyatakan akumulasi dari selisih antara 𝐧(𝑡) 𝜆1𝑡 dan 𝑐1 𝐰1 dan nilai mutlaknya. 13

Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil • Jarak kumulatif Cohen (lanjutan) Sebagai ukuran dari jarak kumulatif antara populasi awal 𝐧0 dan distribusi limitnya, Cohen mengajukan 𝐷1 =

lim |𝑠𝑖 (𝐴, 𝐧0 , 𝑡)| ,

𝑖

𝐷2 =

𝑡→∞

lim |𝑟𝑖 (𝐴, 𝐧0 , 𝑡)| .

𝑖

𝑡→∞

Selanjutnya Cohen memberikan ekpresi analitik untuk limit pada 𝐴 −1 𝐷1 . Misalkan 𝐵 = 𝐰1 𝐯1 ′ dan 𝑍 = 𝐼 + 𝐵 − , maka 𝜆1

lim 𝐬 𝐴, 𝐧0 , 𝑡 = 𝑍 − 𝐵 𝐧0 .

𝑡→∞

14

Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil

15