Mahdhivan Syafwan PAM 123 Pengantar Matematika
APAKAH LOGIKA ITU PENTING ?
http://hukum.kompasiana.com/2012/03/31/dpr-menunda-sementara-kenaikan-bbm-bersubsidi-451248.html
Pasal 7
Ayat 6 : Harga jual eceran BBM bersubsidi tidak mengalami kenaikan.
Ayat 6(a) [tambahan]: Dalam hal harga rata-rata minyak Indonesia (Indonesia Crude Oil Price/ICP) dalam kurun waktu berjalan mengalami kenaikan atau penurunan ratarata sebesar 15 persen dalam enam bulan terakhir dari harga minyak internasional yang diasumsikan dalam APBN Perubahan Tahun Anggaran 2012, maka pemerintah berwenang untuk melakukan penyesuaian harga BBM bersubsidi dan kebijakan pendukungnya
Ketua tim peneliti haruslah berpendidikan S3 atau S2 dengan jabatan minimal Lektor Kepala. Yang diperbolehkan ikut dalam proyek penelitian itu adalah mahasiswa fakultas ekonomi dan mahasiswa fakultas kedokteran angkatan ’88. Suami saya yang tinggal di Bandung sangat romantis. Semua cowok sama aja! Ia tidak bisa menyanyi karena memang tidak bisa menyanyi. Banyak orang yang melakukan sholat, tetapi prilakunya buruk. Sementara itu ada orang yang tidak sholat, tetapi kelakuannya baik dan santun. Jadi sholat itu tidak perlu.
Secara etimologis berasal dari kata ‘logos’ (Yunani) = kata, ucapan, pikiran secara utuh, ilmu pengetahun
Secara terminologis logika = suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect).
Proses berpikir yang terjadi saat menurunkan atau menarik kesimpulan tersebut dinamakan penalaran (reasoning).
Kalimat berarti Kalimat Kalimat takberarti
Kalimat deklaratif (pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak deklaratif
Contoh: 5 habis dibagi 2. (kalimat berarti) Agus habis dibagi 3. (kalimat tak-berarti) Presiden RI pertama adalah Soekarno. (kalimat berarti) 1 adalah presiden pertama bilangan asli. (kalimat tak-berarti)
Kalimat berarti Kalimat Kalimat takberarti
Kalimat deklaratif (pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak deklaratif
Contoh: Apakah pintu itu tertutup? (kalimat tanya->tidak deklaratif) Tutup pintu itu! (kalimat perintah ->tidak deklaratif) Pintu itu tertutup. (kalimat deklaratif) Tolong pintunya ditutup. (kalimat permintaan->tidak deklaratif)
Kalimat berarti Kalimat Kalimat takberarti
Kalimat deklaratif (pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak deklaratif
Contoh: Apakah pintu itu tertutup? (kalimat tanya->tidak deklaratif) Tutup pintu itu! (kalimat perintah ->tidak deklaratif) Pintu itu tertutup. (kalimat deklaratif) Tolong pintunya ditutup. (kalimat permintaan->tidak deklaratif)
Kalimat berarti Kalimat Kalimat takberarti
Kalimat deklaratif (pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak deklaratif
Proposisi = kalimat yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Dasar penalaran dalam penarikan kesimpulan ada dua:
Deduksi Induksi
Deduksi = penarikan kesimpulan merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya (hipotesishipotesisnya)
Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid, bukan benar atau salah.
Contoh argumen deduktif Hipotesis:
Setiap mamalia punya sebuah jantung. Semua kuda adalah mamalia.
Kesimpulan: Setiap kuda punya sebuah jantung.
Induksi
= penalaran yang berangkat dari serangkaian fakta-fakta khusus untuk mencapai kesimpulan umum. Contoh argumen induktif Fakta-fakta:
Kuda Sumba punya sebuah jantung. Kuda Australia punya sebuah jantung. Kuda Amerika punya sebuah jantung. Kuda Inggris punya sebuah jantung.
Kesimpulan: Setiap kuda punya sebuah jantung.
Satu
atau lebih hipotesis bisa jadi salah
Suatu deduksi memberikan Anda alasan untuk yakin pada kesimpulannya jika Anda yakin hipotesisnya. Hipotesis
bisa jadi gagal dalam merumuskan suatu kesimpulan Hipotesisnya mungkin benar, kesimpulannya bisa jadi salah (deduksinya lemah)
Nilai kebenaran Benar atau salah dikatakan sebagai nilai kebenaran dari suatu pernyataan/proposisi.
Kebenaran logis
Kontingensi -> pernyataan yang bisa benar atau bisa salah Tautologi -> pernyataan yang selalu benar secara logika Kontradiksi -> pernyataan yang selalu salah secara logika
Ekivalensi
Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Hari
ini hujan. (kontingensi) Hari ini hujan atau tidak hujan. (tautologi) Hari ini hujan dan tidak hujan. (kontradiksi)
Contoh lain ?
Setelah mencuci piring, Andi pergi ke toko. Sebelum pergi ke toko, Andi mencuci piring.
3 adalah bilangan prima. Tidak benar bahwa 3 bukan prima prima.
Jika terjadi devaluasi, maka banyak timbul pengangguran. ….
Contoh lain?
Suatu
deduksi dikatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya benar bilamana semua hipotesisnya benar. Sebaliknya, suatu deduksi dikatakan tidak valid. Catatan: untuk memeriksa kevalidan suatu deduksi, cukup dibuktikan bahwa konjungsi dari semua hipotesis yang mengakibatkan kesimpulan adalah sebuah tautologi (dipelajari nanti).
Contoh (1) Hipotesis: Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Kesimpulan: Tsunami datang.
Deduksi di atas valid.
Contoh (2) Hipotesis: Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunami datang. Kesimpulan: Air laut surut setelah gempa di laut.
Deduksi di atas tidak valid.
Contoh (1) Hipotesis: Jeruk adalah buah-buahan atau instrumen musik. Jeruk bukan buah-buahan. Kesimpulan: Jeruk adalah instrumen musik.
Deduksi di atas valid meskipun hipotesis dan kesimpulannya mungkin salah secara faktual.
Contoh (2) Hipotesis: London ada di Inggris Jakarta ada di Indonesia. Kesimpulan: Paris ada di Perancis.
Meskipun hipotesis dan kesimpulannya benar secara faktual, deduksi di atas tidak valid karena kesimpulan tidak ada hubungannya dengan hipotesis.
Mahdhivan Syafwan PAM 123 Pengantar Matematika
Untuk kemudahan dan penyederhanaan, proposisi dapat dilambangkan dengan huruf (dalam hal ini kita gunakan huruf besar). Contoh Hipotesis: Es mencair di kutub. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik. Kesimpulan: Permukaan air laut naik.
Misalkan kita gunakan simbolisasi proposisi sbb: A: Es mencair di kutub. B: Permukaan air laut naik.
Maka deduksi di atas, dapat disederhanakan menjadi Hipotesis: A Jika A, maka B Kesimpulan: B
Proposisi
yang disimbolkan dengan suatu huruf tunggal dinamakan dengan proposisi atomik/tunggal.
Dua
atau lebih proposisi tunggal dapat dikombinasikan dengan menggunakan operator logika.
Proposisi
baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition).
Simbol
Nama
Arti
~
negasi
“Tidak benar bahwa …”
Λ
konjungsi
“ … dan …”
V
disjungsi
“ … atau …”
implikasi
“ Jika …, maka …”
biimplikasi
“ … jika dan hanya jika …”
Negasi (ingkaran) dari proposisi P adalah proposisi “Tidak benar bahwa P” dan dilambangkan dengan ~P. Sebagai contoh, perhatikan proposisi-propisisi berikut: 1. 2. 3.
Maya bermukim di Padang. Maya tidak bermukim di Padang. Maya bermukim di suatu kota selain Padang.
Misalkan
proposisi 1 kita simbolkan dengan M. Proposisi 2 dan 3 mempunyai maksud yang sama, yaitu “Tidak benar bahwa Maya bermukim di Padang”. Jadi, kita dapat menyatakan proposisi 2 dan 3 dengan ~M. Bagaimana menyimbolkan pernyataan “Tidak benar bahwa Maya tidak bermukim di Padang”? Jawab: ~~M (ekivalen dengan M).
Contoh
lain, misalkan P: x adalah bilangan bulat negatif. Apakah proposisi “x adalah bilangan bulat positif” dapat dinyatakan dengan ~P ? Jawab: Tidak, karena …
Nilai
kebenaran dari ~P berlawanan dengan nilai kebenaran P. P
~P
B
S
S
B
Mahdhivan Syafwan PAM 123 Pengantar Matematika
Buktikan P Q. Bukti. Misalkan P benar.
(argumentasi)
Maka Q benar.
Perhatikan bahwa P Q Q P. Buktikan P Q . Bukti. Misalkan Q salah.
(argumentasi)
Maka P salah.
Perhatikan bahwa ( P Q) P Q. Buktikan P Q . Bukti. Misalkan P benar dan Q salah.
(argumentasi)
Hal ini merupakan suatu kontradiksi. Oleh karena itu mestilah berlaku P Q.
Teorema.
Bilangan bulat berurutan non-negatif a, b, dan c yang memenuhi a2 + b2 = c2 hanyalah 3, 4 dan 5. Pernyataan pada teorema di atas setara dengan: “Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif yang memenuhi a2 + b2 = c2, maka a, b, dan c adalah 3, 4 dan 5”. Bukti.
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif yang memenuhi a2 + b2 = c2 dan a, b, dan c bukan 3, 4 dan 5. Karena a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif, maka dapat ditulis b = a + 1 dan c = a + 2. Karena a2 + b2 = c2, maka
a2 + (a + 1)2 = (a + 2)2 a2 -2a-3 = 0 (a-3)(a+1)=0. Jadi a=3 atau a=-1. Namun hal ini kontradiksi dengan a ≠ 3 dan a bilangan nonnegatif. Dengan demikian teorema di atas terbukti.
Perhatikan bahwa
( P Q) R ( P R) (Q R).
Buktikan ( P Q) R. Bukti. Kasus 1: Misalkan P benar. ...(argumentasi). Maka R benar. Kasus 2: Misalkan Q benar. ...(argumentasi). Maka R benar.
Teorema. Misalkan n bilangan bulat. Maka n2 + n adalah bilangan genap. Bukti. Kasus 1: Misalkan n genap, sehingga dapat ditulis n = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Perhatikan bahwa n2 + n = … = 2(2k2+k). Karena k bilangan bulat, maka 2k2+k juga bilangan bulat. Oleh karena itu n2 + n adalah bilangan genap. Kasus 2: Misalkan n ganjil (lanjutkan!).
Perhatikan bahwa P Q ( P Q) (Q P). Buktikan P Q. Bukti. () Misalkan P benar. ….(argumentasi). Maka Q benar. () Misalkan Q benar. ….(argumentasi). Maka P benar.
Teorema. Misalkan a dan b bilangan bulat tak-nol. Maka a|b dan b|a jika dan hanya jika a = b atau a = -b.
Bukti. () Misalkan a|b dan b|a, yaitu am = b dan bk = a, untuk suatu m dan k bilangan bulat. Dari dua persamaan terakhir diperoleh am = b (bk)m=b b(km)=b. Karena b≠0, maka km=1. Karena k dan m bilangan bulat, maka haruslah k=1 dan m=1 yang mengakibatkan a=b, atau k=-1 dan m=-1 yang mengakibatkan a=-b. () Misalkan a = b. Maka a∙1=b sehingga a|b, dan b∙1=a sehingga b|a. Sekarang misalkan a=-b. Maka a∙(-1)=b sehingga a|b, dan b∙(-1)=a sehingga b|a.
Buktikan (x U ) P( x). Pernyataan di atas ekivalen dengan “Jika x di U, maka P(x) benar”.
Bukti. Ambil sebarang x0 di U. …(argumentasi). Maka P(x0) benar. Bisa juga dengan bukti tak-langsung.
Buktikan (x U ) P( x). Pernyataan di atas ekivalen dengan “Jika x=z0 di U, maka P(x) benar”.
Bukti. Pilih z0=… …(argumentasi). Maka z0 di U. …(argumentasi). Maka P(z0) benar.
