Pengantar Gelombang Nonlinier 1. Ekspansi Asimtotik. Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

Pengantar Gelombang Nonlinier

1. Ekspansi Asimtotik Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

PAM 672 Topik dalam Matematika Terapan Semester Ganjil 2016/2017

Pendahuluan • Metode perturbasi digunakan untuk menentukan solusi aproksimasi, yang ditulis dalam bentuk ekspansi barisan, dari suatu sistem yang mengalami gangguan (perturbed system) yang dicirikan dengan adanya suatu parameter yang bernilai kecil (disebut parameter perturbasi) • Sistem tersebut dapat berupa persamaan aljabar, persamaan diferensial, persamaan beda, dan lain-lain. • Solusi yang diperoleh dari metode perturbasi ini disebut solusi ekspansi asimtotik atau disingkat solusi asimtotik. • Bentuk standar dari ekspansi perturbasi adalah berupa deret pangkat dari parameter perturbasi.

Contoh 1. Gelombang Permukaan Fluida 𝜆 amplitude 𝑎

𝑎 𝜀= ≪1 𝜆

Contoh 2. Difusi pada Kimia atau Biologi

𝐴

𝐵

𝐴

𝐵

Kimia 𝐴 mempunyai koefisien difusi 𝐷𝐴 Kimia 𝐵 mempunyai koefisien difusi 𝐷𝐵

𝐷𝐴 𝜀= ≪1 𝐷𝐵

Contoh 3. Discrete Soliton in Optical Waveguide

𝜖 ≪ 1.

Pengenalan Notasi: 𝑂(. ) • Suatu fungsi 𝑓 𝜀 dikatakan orde dari fungsi 𝑔(𝜀), dinotasikan dengan 𝑓 𝜀 = 𝑂(𝑔(𝜀)) ketika 𝜀 → 𝑎 jika berlaku 𝑓(𝜀) lim = 𝐴, 𝜀→𝑎 𝑔 𝜀 dimana 𝐴 adalah suatu konstanta tak-nol. • Di sini 𝑔(𝜀) disebut sebagai fungsi pengukur (gauge function). • Contoh: a) sin 𝜀 = 𝑂(𝜀) ketika 𝜀 → 0, karena … b) cos 𝜀 = 𝑂(1) ketika 𝜀 → 0, karena … c) cos 𝜀 − 1 = 𝑂(? ) ketika 𝜀 → 0, karena … Semua contoh di atas diperoleh dari deret Taylor masing-masing fungsi [coba!].

Pengenalan Notasi : 𝑜(. ) atau ≪ • Suatu fungsi 𝑓 𝜀 dikatakan jauh lebih kecil dari fungsi 𝑔(𝜀), dinotasikan dengan 𝑓 𝜀 = 𝑜(𝑔(𝜀)) atau 𝑓 𝜀 ≪ 𝑔 𝜀 ketika 𝜀 → 𝑎, jika berlaku 𝑓(𝜀) lim = 0. 𝜀→𝑎 𝑔 𝜀 • Contoh: a) sin 𝜀 = 𝑜(1) ketika 𝜀 → 0, karena … b) cos 𝜀 = 𝑜(𝜀 −1 ) ketika 𝜀 → 0, karena … c) e−𝜀 = 𝑜(? ) ketika 𝜀 → 0, karena …

Pengenalan Notasi : ~ • Suatu fungsi 𝑓 𝜀 dikatakan asimtotik terhadap fungsi 𝑔(𝜀), dinotasikan dengan 𝑓 𝜀 ~ 𝑔(𝜀) bilamana 𝜀 → 𝑎, jika berlaku 𝑓(𝜀) lim = 1. 𝜀→𝑎 𝑔 𝜀 • Contoh: a) sin 𝜀 ~ 𝜀 bilamana 𝜀 → 0, karena … 1 2

b) cos 𝜀 − 1 ~ − 𝜀 2 bilamana 𝜀 → 0, karena … c) e𝜀 − 1 ~ ? bilamana 𝜀 → 0, karena …

Latihan Verifikasi ekspresi berikut ini:

Operasi pada O dan o

Tugas (tidak dikumpul)

Barisan Asimtotik a

Ekspansi Asimtotik

Ekspansi Asimtotik Seragam

Ekspansi Asimtotik Seragam

Contoh : Persamaan Aljabar • Pandang persamaan 𝒙𝟐 + 𝟐𝜺𝒙 − 𝟏 = 𝟎, dimana 𝜺 ≪ 𝟏. • Solusi eksaknya adalah 𝑥 = −𝜀 ± 1 + 𝜀 2 . [periksa!] • Ekspansi dari bentuk di atas untuk 𝜀 ≪ 1 adalah 1 2

1 8

𝑥 = −𝜀 ± (1 + 𝜀 2 − 𝜀 4 + ⋯ ). [periksa!]

=

1 2 1 4 1−𝜀+ 𝜀 − 𝜀 +⋯ 2 8 1 1 −1 − 𝜀 − 𝜀 2 + 𝜀 4 − ⋯ 2 8

• Pertanyaan: Bagaimana kita memperoleh solusi deret pangkat tersebut jika kita tidak tahu solusi eksaknya?

(1)

Contoh : Persamaan Aljabar • Asumsikan terdapat solusi deret pangkat dengan bentuk 𝑥 = 𝑥0 + 𝜀𝑥1 + 𝜀 2 𝑥2 + ⋯. Bentuk di atas disebut ekspansi parameter karena 𝜀 adalah parameter. • Substitusikan ekspansi di atas ke pers. (1), kemudian kumpulkan suku-sukunya berdasarkan pangkat 𝜀, diperoleh 𝑥02 − 1 + 𝜀 ? ? ? + 𝜀 2 ? ? ? + ⋯ = 0. • Pada 𝑂 1 [disebut leading-order]: 𝑥02 − 1 = 0 ⇒ 𝑥0 = ±1. • Pada 𝑂 𝜀 : … ⇒ 𝑥1 = −1. [periksa!] • Pada 𝑂 𝜀 2 : 1 2

… ⇒ 𝑥2 = ± . [periksa!]

Contoh : Persamaan Aljabar • Dengan demikian diperoleh solusi deret pangkat yang sama persis dengan hasil yang diperoleh sebelumnya. • Perhatikan bahwa solusi ekspansi asimtotik yang diperoleh valid, sehingga ekspansi tersebut dikatakan seragam.

Metode Multiple Scale • Pandang masalah nilai awal berikut 𝑑 2𝑦 𝑑𝑡 2

+ 2𝜀

𝑑𝑦 𝑑𝑡

+ 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1,

𝑑𝑦 𝑑𝑡

0 = 0, 𝑡 ≥ 0.

• Tentukan solusi asimtotiknya untuk 𝜀 ≪ 1. • Misalkan digunakan ekspansi asimtotik 𝑦 = 𝑦0 𝑡 + 𝜀𝑦1 𝑡 + 𝑂 𝜀 2 . • Pada saat leading order diperoleh 𝑦0 𝑡 = cos 𝑡 . [tunjukkan!] • Pada saat 𝑂 𝜀 diperoleh 𝑦1 𝑡 = sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡 . [tunjukkan!] • Jadi solusi asimtotiknya adalah 𝑦 𝑡 = cos 𝑡 + 𝜀 sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡 + 𝑂 𝜀 2 . • Perhatikan bahwa perbandingan antara suku kedua dengan suku pertama pada ekspansi di atas asimtotik ke 𝜀𝑡 sehingga tidak lagi bernilai kecil ketika 𝑡 = 𝑂(𝜀 −1 ). Jadi solusi asimtotik di atas hanya valid untuk 𝑡 ≪ 𝜀 −1 .

Metode Multiple Scale • Solusi eksak: 𝑦 = 𝑒 −𝜀𝑡 cos

1 − 𝜀2𝑡 +

𝜀 1−𝜀2

sin

1 − 𝜀2𝑡

• Solusi tersebut berosilasi menurun (decaying oscillation).

.

Metode Multiple Scale • Secara umum metode multiple scale memperkenalkan skala waktu kedua yang ‘lambat’ (second slow timescale) dengan mendefinisikan variabel waktu ‘lambat’ (slow time variable) yang baru, 𝑇 = 𝜀𝑡, sehingga ketika 𝑡 = 𝑂(𝜀 −1 ), 𝑇 = 𝑂(1). • Selanjutnya dicari solusi asimtotik dengan bentuk 𝑦 ≡ 𝑦(𝑡, 𝑇) = 𝑦0 𝑡, 𝑇 + 𝜀𝑦1 𝑡, 𝑇 + 𝑂 𝜀 2 , dimana setiap suku adalah fungsi terhadap 𝑡, untuk menangkap fenomena osilasi, dan 𝑇(= 𝜀𝑡 ), untuk menangkap penurunan yang lambat (slow decay). • Perhatikan bahwa 𝑑𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 =⋯= +𝜀 , 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑇 2𝑦 𝑑2 𝑦 𝜕2𝑦 𝜕2𝑦 𝜕 2 = ⋯ = + 2𝜀 + 𝜀 . 2 2 2 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡𝜕𝑇 𝜕𝑇

Metode Multiple Scale • Dengan demikian diperoleh 2𝑦 𝜕2𝑦 𝜕2𝑦 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 + 2𝜀 +𝜀 + 2𝜀 +𝜀 + 𝑦 = 0, 2 2 𝜕𝑡 𝜕𝑡𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑡 𝜕𝑇 dengan syarat awal

𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑦 0,0 = 1, (0,0) + 𝜀 (0,0) = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑇 • Selanjutnya gunakan ekspansi 𝑦(𝑡, 𝑇) = 𝑦0 𝑡, 𝑇 + 𝜀𝑦1 𝑡, 𝑇 + 𝑂 𝜀 2 . • Pada saat leading order diperoleh solusi 𝑦0 𝑡, 𝑇 = 𝐴0 𝑇 cos 𝑡 + 𝐵0 𝑇 sin 𝑡 , dimana 𝐴0 0 = 1 dan 𝐵0 0 = 0. • Pada saat 𝑂(𝜀) ???

Metode Multiple Scale • Pada saat 𝑂(𝜀):

𝜕 2 𝑦1 𝜕𝑦0 𝜕 2 𝑦0 + 𝑦1 = −2 −2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 𝜕𝑡𝜕𝑇 2 𝜕 𝑦1 𝑑𝐴0 𝑑𝐵0 ⇒ + 𝑦1 = 2 𝐴0 + sin 𝑡 − 2 𝐵0 + cos 𝑡 . [periksa!] 𝜕𝑡 2 𝑑𝑇 𝑑𝑇 • Karena ekspresi di ruas kanan sama bentuknya dengan solusi homogen, maka solusi partikular melibatkan 𝑡 cos 𝑡 dan 𝑡 sin 𝑡. Namun nilai kedua ekspresi terakhir ini semakin membesar ketika 𝑡 membesar, sehingga ekspansi asimtotik tersebut menjadi nonuniform. Suku-suku ini disebut suku-suku sekular. • Agar ekspansi asimtotik tersebut uniform, suku-suku sekular mesti dieliminasi, yaitu dengan membuat 𝐴0 +

𝑑𝐴0 𝑑𝑇

= 0 ⇒ 𝐴0 = 𝑒 −𝑇 dan 𝐵0 +

𝑑𝐵0 𝑑𝑇

= 0 ⇒ 𝐵0 = 0. [periksa!]

• Jadi solusi leading order : 𝑦0 = 𝑒 −𝑇 cos 𝑡 = 𝑒 −𝜀𝑡 cos 𝑡.