Pendugaan
Parameter HAZMIRA YOZZA – IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIV. ANDALAS
LOGO
Kompetensi
menyebutkan 2 klp inferensia statistika & ruang lingkupnya
menjelaskan metode pendugaan klasik dan syarat-syarat penduga yang baik pada pendugaan klasik
menduga nilai tengah populasi, selisih nilai tengah dua populasi, proporsi dan selisih dua proporsi
Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Statistika
Statistika Deskriptif
Inferensia Statistika
• Mengumpulkan dan menyajikan data
• Melakukan generalisasi atau menarik kesimpulan mengenai data induk berdasarkan data sampel
• Menerangkan data yang ada di tangan saja
Pendugaan Parameter
Pengujian hipotesis Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Met. Pendugaan Parameter
Pendugaan Klasik yang mendasarkan kesimpulannya semata--mata pada semata informasi yang diperoleh dari sampel acak yang ditarik dari populasi tersebut
Pendugaan Bayes yang menggabungkan pengetahuan subjektif ttg sebaran peluang paraparameter yang tidak diketadiketahui dengan informasi yang didapatkan dari data sampel
.
Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Misal
Θ
adalah parameter populasi yang nilainya akan diduga.
Penduga (Fungsi Keputusan) : Statistik yang digunakan untuk memperoleh nilai dugaan bagi parameter Θ ˆ •dinotasikan dengan Θ •Merupakan fungsi dari sampel acak Nilai dugaan bagi parameter populasi : Nilai bagi suatu penduga • merupakan “realisasi” dari fungsi keputusan atau penduga • dinotasikan dengan θˆ • dihitung dengan menggunakan data sampel. Sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda pula. Himpunan semua kemungkinan nilai dugaan yang dapat diambil oleh suatu penduga disebut sebagai ruang keputusan
Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG IZZATI RAHMI HG
Parameter µ
Penduga
Nilai dugaan (tergantung sampel)
n
X =
∑
Xi
n
i =1
~ X = median
Data : 2,3,5,2→ x = 2.5 Data : 4,2,5,1 → x = 3 : Data : 6,2,5,1 → x = 4.5 ~ X = 2 .5 Data : 2,3,5,2→ Data : 4,2,5,1 → X~ = 3 : ~ Data : 6,2,5,1 → X = 3 . 5
dan lain-lain Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Banyak penduga yang dapat digunakan untuk menduga suatu parameter
Pertanyaan : penduga mana yang terbaik
Syarat penduga terbaik : 1. Tak bias 2. Memiliki keragaman minimum Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Sifat-sifat Penduga Terbaik
1 TAK BIAS
ˆ dikatakan Θ penduga takbias bagi parameter θ ˆ )=θ bila E(Θ
2 MEMILIKI RAGAM MINIMUM diantara semua penduga tak bias
Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Jenis-jenis penduga
PENDUGA TITIK
PENDUGA SELANG
• Hanya memberikan 1 nilai dugaan saja • Ketepatannya dapat ditingkatkan dengan menambah ukuran sampel
• Dugaan berbentuk selang • Diharapkan parameter berada dalam selang tersebut • Selang dinamakan selang dugaan
Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Selang kepercayaan Dugaan selang bagi parameter populasi θ : suatu selang yang berbentuk θˆ1 < θ < θˆ2 θˆ1 dan θˆ2 tergantung pada nilai statistik Θˆ untuk suatu sampel tertentu dan sebaran penarikan sampel dari Θˆ .
P(θˆ1 < θ < θˆ2 ) = (1 − α )100% Artinya : kita mempunyai peluang 1- α untuk memperoleh suatu sampel acak yang akan menghasilkan suatu selang yang mengandung θ
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Selang kepercayaan
P(θˆ1 < θ < θˆ2 ) = (1 − α )100% Selang kepercayaan (1-)100% bagi θ
Batas bawah kepercayaan
HAZMIRA YOZZA
Derajat kepercayaan
Batas atas kepercayaan
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Selang kepercayaan Selang Kepercayaan (1-)100% bagi θ adalah θˆ1 < θ < θˆ2 Interpretasi : Kita (1- α)100% percaya bahwa parameter yang sesungguhnya θ akan berada dalam selang θˆ1 < θ < θˆ2
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Pernyataan : 1. Kita percaya bahwa rata-rata usia penduduk dunia berada dalam selang 40- 100 2. Kita percaya bahwa rata-rata usia penduduk dunia berada dalam selang 50-60 tahun MANA YANG LEBIH DAPAT DIPERCAYA?? Pernyataan : 1. Kita percaya dengan derajat kepercayaan 95% bahwa rata-rata usia penduduk dunia berada dalam selang 40- 100 2. Kita percaya dg derajat kepercayaan 95% bahwa rata-rata usia penduduk dunia berada dalam selang 50-60 tahun MANA YANG LEBIH DAPAT DIPERCAYA??
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
Company Logo
IZZATI RAHMI HG
Selang dugaan yang baik : Memiliki derajat kepercayaan yang tinggi Selang sempit
Perbesar Ukuran sampel
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Pendugaan Nilai Tengah Populasi Penduga Titik (terbaik)
µˆ = X Ingin diketahui nilaitengah waktu yang diperlukan oleh anak usia 8-10 tahun untuk menyusun puzzle 100 keping. Untuk itu, diambil sampel acak, diperoleh hasil sebagai berikut. 22.8, 29.3, 27.2, 30.2, 24.0, 23.2, 22.9, 30.3, 27.1, 31.2, 27.0, 32.0, 28.6, 24.1, 28.9, 26.8, 26.6, 23.4, 25.1, 26.6, 25.7, 28.1, 31.5, 24.8, 25.2 Dugalah nilai tengah tersebut Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
26.9
Selang kepercayaan bagi nilai tengah populasi (ragam populasi diketahui)
Bila x adalah mean sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam σ X2 yang diketahui, maka selang kepercayaan (1-α) 100 % bagi µX adalah :
x − zα / 2 σ X
n < µ X < x + zα / 2 σ X
n
Sedangkan zα/2 adalah nilai z yang luas daerah di bawah kurva normal baku yang berada di sebelah kanannya adalah α/2.
x − zα / 2 σ X
n < µ X < x + zα / 2 σ X
n
dinamakan selang kepercayaan (1-α) 100 % bagi µX disingkat SK (1-α) 100
%)
Kita percaya dengan derajat kepercayaan (1-α) 100 %) bahwa µX berada dalam selang
x − zα / 2 σ X
n < µ X < x + zα / 2 σ X
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
n Company Logo
IZZATI RAHMI HG
Contoh :
Ingin diketahui nilaitengah waktu yang diperlukan oleh anak usia 8-10 tahun untuk menyusun puzzle 100 keping. Untuk itu, diambil sampel acak, diperoleh hasil sebagai berikut. 22.8, 29.3, 27.2, 30.2, 24.0, 23.2, 22.9, 30.3, 27.1, 31.2, 27.0, 32.0, 28.6, 24.1, 28.9, 26.8, 26.6, 23.4, 25.1, 26.6, 25.7, 28.1, 31.5, 24.8, 25.2 Dugalah selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah waktu menyusun puzzle bila diketahui ragam waktu adalah 9
Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
26.9 IZZATI RAHMI HG
Selang kepercayaan bagi nilai tengah populasi (ragam populasi tidak diketahui)
Bila x dan s2 adalah mean dan ragam dari suatu sampel acak yang diambil dari suatu populasi berbentuk genta yang ragamnya tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1-α) 100 % bagi µX adalah :
x − tα / 2 s
n < µ X < x + tα / 2 s
n
Sedangkan tα/2 adalah nilai t yang luas daerah di bawah kurva t yang berada di sebelah kanannya adalah α/2
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Contoh :
Ingin diketahui nilaitengah waktu yang diperlukan oleh anak usia 8-10 tahun untuk menyusun puzzle 100 keping. Untuk itu, diambil sampel acak, diperoleh hasil sebagai berikut. 22.8, 30.3, 28.9, 28.1,
29.3, 27.1, 26.8, 31.5,
27.2, 31.2, 26.6, 24.8,
30.2, 24.0, 23.2, 22.9, 27.0, 32.0, 28.6, 24.1, 23.4, 25.1, 26.6, 25.7, 25.2
Dugalah selang kepercayaan 90% bagi nilai tengah waktu menyusun puzzle Company Logo
www.themegallery.com
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
26.9;2.81 IZZATI RAHMI HG
Contoh :
Sebuah contoh 100 pemilik mobil di Jakarta menunjukkan bahwa secara rata-rata sebuah mobil menempuh 23500 km per tahun dengan simpangan baku 3900 km. Buatlah selang kepercayaan 99% bagi mean jarak yang ditempuh oleh sebuah mobil per tahun di Jakarta.
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Pendugaan Selisih Nilai Tengah Dua Populasi Ingin diduga selisih skor bakat anak kelompok pertama dan anak kelompok kedua. Untuk itu, diambil sampel bebas berukuran n1=36 skor bakat anak pertama dan n2=49 skor bakat anak kedua. Diperoleh hasil : Pop 1: skor anak klp-1
Pop 2: skor anak klp-2
n1=36
n2=49
x1 =525
x 2 =614
S1=15
s1=10
Selisih Nilai Tengah Dua Populasi : µ1 − µ 2 Penduga titik bagi
µ1 ^ − µ2 = X1 − X 2 HAZMIRA YOZZA
µ1 − µ 2 : X 1 − X 2
=525-614=-89
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Sampel bebas dan sampel tak bebas
Pengamatan
Tinggi suami
Pengamatan
Tinggi istri
1
172
1
160
2
181
2
157
3
166
3
155
:
:
:
:
50
160
50
160
SAMPEL BERPASANGAN / SAMPEL TAK BEBAS
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Sampel bebas dan sampel tak bebas
Pengamatan
Tinggi laki-laki
Pengamatan
Tinggi perempuan
1
172
1
160
2
181
2
157
3
166
3
155
:
:
:
:
50
160
50
160
SAMPEL BEBAS
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Data berpasangan Data sebelum-sesudah. Data pengamatan yang memiliki karakteristik sama. Data pengamatan-pengamatan yang dipasangkan berdasarkan lokasi Data pengamatan-pengamatan yang dipasangkan berdasarkan waktu
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Kondisi Contoh bebas, diketahui
ragam
Selang kepercayaan (1- )100% bagi µD =(µ1 – µ2) populasi
; Contoh bebas, ragam populasi tidak diketahui, contoh berukuran kecil
(x1 − x2 ) − zα / 2
s12 s 22 s12 s 22 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + tα / 2 + n1 n 2 n1 n 2
(x1 − x 2 ) − tα / 2 db =
Contoh bebas, ragam populasi tidak diketahui, tapi diketahui bahwa ragam kedua populasi sama, contoh berukuran kecil
σ 12 σ 22 σ 12 σ 22 + < µ1 − µ 2 < (x1 − x2 ) + zα / 2 + n1 n2 n1 n2
(s
2 1
[(s
2 1
n1
) (n − 1) + (s 2
1
s
2 2
)
2
n2
) (n 2
2
]
− 1)
1 1 1 1 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + tα / 2 s p + n1 n2 n1 n2
(x1 − x2 ) − tα / 2s p 2 p
n1 + s22 n2
( n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s 22 = n1 + n2 − 2
v = n1 + n2 – 2 Contoh bebas, ragam populasi tidak diketahui, contoh berukuran besar
(x1 − x2 ) − zα / 2
Data berpasangan
d − tα / 2 n
∑d d =
HAZMIRA YOZZA
i =1
n
i
sd n
s12 s 22 s12 s 22 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + zα / 2 + n1 n 2 n1 n 2 sd
< µ D < d − tα / 2
n d − ∑ di ∑ i =1 i =1 2 sd = n −1 n
2
n
2 i
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
Company Logo
IZZATI RAHMI HG
Contoh : Suatu penelitian dilakukan untuk membandingkan pengaruh dua jenis obat tidur yang biasa diberikan kepada penderita insomnia (penyakit sulit tidur). Seratus lima puluh pasien yang memiliki karakteristik yang serupa dibagi menjadi dua kelompok pasien, masing-masing terdiri berukuran 50 dan 100 orang. Kelompok pasien yang pertama diberikan obat jenis baru, sementara kelompok pasien yang kedua diberikan obat biasa diberikan kepada penderita insomnia. Lamanya pasien tidur setelah diberikan obat tersebut dicatat. Untuk pasien pada kelompok pertama, didapatkan mean lamanya waktu tidur adalah 7.82 jam dan simpangan baku 0.24 jam. Dari pasien pada kelompok kedua didapatkan mean lamanya waktu tidur adalah 6.75 dan simpangan baku 0.30 jam. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih mean lamanya waktu tidur pasien yang diberikan obat baru dan obat lama.
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Contoh : Data berikut adalah data masa putar film yang diproduksi dua perusahaan Prsh 1 Prsh 2
103 97
94 82
110 123
87 92
98 175
88
118
Buatlah selang kepercayaan 90% bagi selisih nilai tengah masa putar film yang diproduksi kedua perusahaan film tersebut.
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Contoh : Sebuah perusahaan taksi ingin menentukan apakah akan memilih ban merek A atau B. Untuk itu, perusahaan tersebut melakukan percobaan dengan mengambil 12 ban dari masing-masing merek. Semua ban tersebut dicoba sampai harus diganti dan dicatat waktu tempuh dari masingmasing ban tersebut. Diperoleh hasil sebagai berikut : Merek A : Rata-rata 36300 km dan simpangan baku 5000 km Merek B : Rata-rata 38100 km dan simpangan baku 6100 km
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Contoh : Suatu ujian statistika elementer diberikan kepada 50 mahasiswa perempuan dan 75 mahasiswa lakilaki. Mahasiswa perempuan mencapai nilai ratarata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan mahasiswa laki-laki memperoleh nilai rata-rata 82 dengan simpangan baku 8. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi beda nilai tengah nilai statistika elementer mahasiswa laki-laki dan perempuan.
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Contoh : Slim-Gym menawarkan suatu paket penurunan berat badan. Mereka mengiklankan bahwa program tersebut dapat menurunkan berat badan 10 kg dalam 30 hari. Untuk membuktikan kebenaran pernyataan Slim-Gym tersebut, 12 orang dipilih secara acak, dan dicatat berat badan sebelum program dan berat badan setelah mengikuti program. Diperoleh data sebagai berikut : Orang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sbl
72.2
61.6
96.4
107.9
81.7
123.5
77.0
93.1
78.4
85.4
101.0
90.8
Ssd
63.7
51.9
81.1
91.4
64.6
103.8
66.2
85.1
61.9
63.9
96.1
77.9
Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah penurunan berat badan setelah mengikuti program tersebut.
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
Contoh : Slim-Gym menawarkan suatu paket penurunan berat badan. Mereka mengiklankan bahwa program tersebut dapat menurunkan berat badan 10 kg dalam 30 hari. Untuk membuktikan kebenaran pernyataan Slim-Gym tersebut, 12 orang dipilih secara acak, dan dicatat berat badan sebelum program dan berat badan setelah mengikuti program. Diperoleh data sebagai berikut : Orang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sbl
72.2
61.6
96.4
107.9
81.7
123.5
77.0
93.1
78.4
85.4
101.0
90.8
Ssd
63.7
51.9
81.1
91.4
64.6
103.8
66.2
85.1
61.9
63.9
96.1
77.9
HAZMIRA YOZZA
JUR. MATEMATIKA FMIPA UNAND
IZZATI RAHMI HG
