Pendugaan Parameter 1

Topik Bahasan:

Pendugaan Parameter 1 (Selang Pendugaan, Pendugaan

Selang 1 Rata-Rata) Pertemuan ke II

1. Ilustrasi • Statistika Inferensia : Mencakup semua metode yang digunakan untuk penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi dengan melakukan pengambilan sampel (sampling) dan pengolahan datanya. • Estimasi /pendugaan parameter – yaitu penentuan nilai suatu parameter populasi berdasarkan nilai dari statistik sampel. – Sedangkan statistik sampel yang digunakan untuk menduga nilai suatu parameter populasi disebut ‘estimator’ • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. 2. 3. 4.

Menentukan sebuah sampel Mengumpulkan informasi yg diperlukan dari tiap anggota sampel Menghitung nilai statistik sampel Menghubungkan nilai statistik sampel dengan parameter populasi • Suatu nilai x, hasil hitung dari contoh yang berukuran n, merupakan nilai dugaan (estimator) bagi parameter populasi µ

Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

2

1

Parameter Populasi

Estimator

Rata-rata,

x

Beda Rata-rata 2 populasi,

1

-

2

Simpangan baku, σ

x1 - x2 s

• Penduga Tak Berbias : bila statistik x memiliki nilai yang sama dengan nilai parameter populasi, µ µ = E(x) • Penduga Paling Efesien : memiliki nilai ragam /simpangan baku terkecil

σx1 < σx2 

x1 merupakan penduga yang lebih efisien dibanding x2 untuk nilai µ

• Margin Kesalahan : Ketika diperoleh nilai penduga bagi suatu nilai parameter, perlu dihitung ‘Margin of Error’ Margin of Error = ± 1.96 . x

atau

± 1.96 . sx

dimana, sx = nilai penduga bagi σx  sx = s/√n dan σx = σ /√n 3


2. Selang Pendugaan • Suatu selang pendugaan bagi parameter populasi x x1 < x < x2  x1 dan x2 tergantung nilai statistiknya dan juga pada sebaran penarikan sampel Jika simpangan baku σx besar, maka selang pendugaan juga harus besar • Selang pendugaan parameter populasi yang didasarkan pada tingkat kepercayaan disebut ‘selang kepercayaan’ p (x1 < x < x2 ) = (1 - ) . 100%  untuk 0 <

<1

dimana, (1 - ) = koefesien/derajat kepercayaan = significance level • Makin besar selang kepercayaan (%)  makin yakin bahwa selang tersebut mencakup nilai parameter populasi tersebut.


4

2

3. Selang Pendugaan Rata-Rata Populasi: Sampel Besar • Dalam suatu sampel yang berukuran besar, dimana n ≥ 30, digunakan distribusi normal baku z untuk menghitung selang kepercayaan µ  Teori Batas Pusat

σx

=

σ n

atau

sx

s n

=

Dengan sampel besar, x merupakan penduga yang akurat bagi µ

p(-z

/2

< z < z /2) = 1 -

p(-z

/2

<

x-µ σ n

p( x-z /2 .

σ < n

dimana z =

σ

x-µ n

σ /2

< z /2) = 1 µ < x +z

/2 .

σ /2

σ ) = 1n

x

Jadi, selang kepercayaan bagi µ, adalah :

– x± z

/2

– x± z

/2

. .

σ  Jika σ n s n  Jika σ

-

diketahui

z σ /2

0

z

tidak diketahui 5


•

z σ /2

Contoh : Suatu perusahaan penerbitan melakukan penelitian ttg harga buku ‘Pengantar Statistika’ terbitannya yang tersebar di pasaran. Didapatkan 36 sampel dengan rata-rata harga $48.40. Telah diketahui bahwa simpangan baku untuk seluruh buku $4.50. a. Berapa titik penduga untuk rata-rata harga semua buku yang beredar? Dan berapa margin kesalahan untuk penduga tersebut? b. Buat rata-rata harga buku tersebut dengan selang kepercayaan 90%. Penyelesaian : n = 36, x = $48.40, dan σ = $4.50 Maka,

σ

σx = n = a.

4.50 = $ 0.75 36

µ = x = $48.40 Margin of error titik µ = ± 1.96 . x = ± 1.96 * 0.75 = ± $ 1.47

b.

σ

σ

p ( x-z /2 . n< µ < x+ z /2 . ) = 1n


= 0.9 6

3

1-

= 0.9 = 1 - 0.9 = 0.1  /2 = 0.05 Nilai Z /2 dimana luas daerah di bawah kurva sebelah kiri 0.05 = 1.65 (Tabel Distribusi Normal Z)

σ /2 = 0.05

x

Maka, harga buku rata-rata dengan selang kepercayaan 90%, adalah: =x±z

/2

σ n

.

0.95

0

0.05

z

= 48.40 ± (1.65 * 0.75) = 48.40 ± 1.24 = 47.16 s/d 49.64 Atau $ 47.16 < < $ 49.64 Yang berarti bahwa dengan selang/tingkat kepercayaan 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 47.16 s/d $ 49.64

7


4. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan µ • Bila x digunakan untuk menduga µ, maka dengan tingkat kepercayaan (1- ).100%, galat pendugaan maksimum, e adalah:

e= z

/2

. σ

n

atau

e= z

/2

.

s n

• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil, agar galat pendugaan µ tidak melebihi suatu nilai e. Dalam hal ini jumlah sampel n, adalah:

n=

z

/2

.

2

E

adalah simpangan baku populasi, bisa diturunkan dari s sebagai estimatornya.


8

4

5. Selang Kepercayaan Bagi Pendugaan Rata-Rata Populasi Pada Sampel kecil • Dalam suatu sampel yang berukuran kecil, dimana n < 30; simpangan baku σ tidak diketahui; dan distribusi mendekati normal untuk menghitung selang kepercayaan µ digunakan

ditribusi sampel t

σ /2 T =

σ /2

x -µ s n

x -

Tσ /2

0

Tσ /2

T

)100% bagi µ diperoleh sebagai berikut:

• Selang kepercayaan (1 -

p(-T /2 < T < T /2) = 1 P(-T

x-µ

/2

< s n < T /2) = 1 -

p( x-T /2 .

s n

< µ < x +T

/2

.

s n ) = 1-

T /2 adalah nilai T dengan derajat bebas df = n-1 yg di sebelah kanan terdapat daerah seluas /2 9


• Contoh : Dr John ingin memprediksi rata-rata tingkat kolesterol untuk semua orang dewasa di sebuah kota. Ia mengambil 25 laki-laki dewasa sebagai sampel dan menemukan rata-rata tingkat kolesterol sampel tersebut yaitu 186 dengan simpangan baku 12. Jika diasumsikan tingkat kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di kota tersebut terdistribusi normal, tentukan selang kepercayaan 95% untuk ratarata populasi µ.

Penyelesaian

:

n = 25, x = 186, dan s = 12

0.4750

0.4750

0.025

0.025

df = n -1 = 25 -1= 24 Tabel distribusi T df = 24; /2 = 0.025

T = 2.064 -2.064 Selang kepercayaan bagi µ adalah: s s) = p( x-T /2 . n < µ < x +T /2 . n 12 12 = 181.05 < µ < 190.95 < µ < 186 + 2.064 . = 186 – 2.064 . 25 25

x 0

2.064

T

Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di sebuah kota (A) terletak berkisar antara 181.05 s/d 190.95 Pendugaan Parameter ~ Statistika 2

10

5

Pendugaan Parameter 1

Recommend Documents