Materi 2 Pendugaan Parameter
1. Ilustrasi •
Inferensia Statistika : Mencakup semua metode yang digunakan untuk penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi dengan melakukan pengambilan sampel (sampling)
•
Estimasi / Pendugaan Parameter – Yaitu penentuan nilai suatu parameter populasi berdasarkan nilai dari statistik sampel. – Sedangkan statistik sampel yang digunakan untuk menduga nilai suatu parameter populasi disebut ‘estimator’
•
Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan dari tiap anggota sampel 3. Menghitung nilai statistik sampel 4. Menghubungkan nilai statistik sampel dengan parameter populasi
•
Suatu nilai x, hasil hitung dari contoh yang berukuran n, merupakan nilai dugaan (estimator) bagi parameter populasi µ
2
1
Parameter Populasi
Estimator
Rata-rata, µ
x
Beda Rata-rata 2 populasi, µ1 - µ2
x1 - x2
Simpangan baku, •
s
Penduga Tak Berbias : bila statistik x memiliki nilai yang sama dengan nilai parameter populasi, µx µx = E(x)
•
Penduga Paling Efesien : memiliki nilai ragam /simpangan baku terkecil
1 < 1 x1 merupakan penduga yang lebih efisien dibanding x2 untuk nilai µ •
Margin Kesalahan : Ketika diperoleh nilai penduga bagi suatu nilai parameter, perlu dihitung ‘Margin of Error’ Margin of Error =
1.96 . x
atau
1.96 . sx
dimana, sx = nilai penduga bagi x sx = s/√n dan x = /√n
3
2. Selang Pendugaan •
Suatu selang pendugaan bagi parameter populasi x x1 < x < x2 x1 dan x2 tergantung nilai statistiknya dan juga pada sebaran penarikan sampel Jika simpangan baku x besar, maka selang pendugaan juga harus besar
•
Selang pendugaan yang didasarkan pada tingkat kepercayaan disebut ‘selang kepercayaan’ p (x1 < x < x2 ) = (1 - ) . 100%
untuk 0 < < 1
dimana, (1 - ) = koefesien/derajat kepercayaan = significance level •
Makin besar selang kepercayaan (%) makin yakin bahwa selang tersebut mencakup nilai parameter populasi tersebut. 4
2
3. Selang Pendugaan Rata-Rata µ : Sampel Besar •
Dalam suatu sampel yang berukuran besar, dimana n ≥ 30, digunakan distribusi normal baku z untuk menghitung selang kepercayaan µ Teori Batas Pusat x
•
σ n
=
atau
sx
s
=
n
Dengan sampel besar, x merupakan penduga yang akurat bagi µ
p(-z p(-z
/2 /2
p( x-z
< z < z /2) = 1 x -μ
< /2 .
x -μ σ
n
/2
< z /2) = 1 -
σ n σ
n
dimana z =
< µ < x +z
/2
σ ) = 1/2 . n
µ
x
Jadi, selang kepercayaan bagi µ, adalah :
•
– x±z
/2
– x±z
/2
. .
σ n s n
-
Jika diketahui
z /2
0
z /2
z
Jika tidak diketahui 5
Contoh: Suatu perusahaan penerbitan melakukan penelitian ttg harga buku ‘Pengantar Statistika’ terbitannya yang tersebar di pasaran. Didapatkan 36 sampel dengan rata-rata harga $48.40. Telah diketahui bahwa simpangan baku untuk seluruh buku $4.50. a. Berapa titik penduga untuk rata-rata harga semua buku yang beredar? Dan berapa margin kesalahan untuk penduga tersebut? b. Buat rata-rata harga buku tersebut dengan selang kepercayaan 90%. Penyelesaian: n = 36, x = $48.40, dan = $4.50 Maka,
x =
σ n
=
4.50 36
= $ 0.75
a.
µ = x = $48.40 Margin of error titik µ = 1.96 . x = 1.96 * 0.75 = $ 1.47
b.
p ( x-z
/2
. σ
n
< µ < x+ z
/2
.
σ ) n
= 1-
= 0.9 6
3
= 0.9 = 1 - 0.9 = 0.1 /2 = 0.05 Nilai Z /2 dimana luas daerah di bawah kurva sebelah kiri 0.05 = 1.65 (Tabel Distribusi Normal Z) 1-
/2 = 0.05
µ
Maka, harga buku rata-rata dengan selang kepercayaan 90%, adalah: σ µ = x ± z /2 .
0.95
0
x 0.05
z
n
= 48.40 ± (1.65 * 0.75) = 48.40 ± 1.24 = 47.16 s/d 49.64 Atau $ 47.16 < µ < $ 49.64 Yang berarti bahwa dengan selang/tingkat kepercayaan 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 47.16 s/d $ 49.64
7
4. Galat & Ukuran Sampel Dalam Pendugaan µ •
Bila x digunakan untuk menduga µ, maka dengan tingkat kepercayaan (1- ).100%, galat pendugaan maksimum, e adalah: e=z
•
/2
. σ
n
atau
e=z
/2
.
s n
Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil, agar galat pendugaan µ tidak melebihi suatu nilai e. Dalam hal ini jumlah sampel n, adalah:
n=
z
/2
.
2
E
adalah simpangan baku populasi, bisa diturunkan dari s sebagai estimatornya.
8
4
4. Selang Kepercayaan Bagi Pendugaan µ Pada Sampel kecil •
Dalam suatu sampel yang berukuran kecil, dimana n < 30; simpangan baku tidak diketahui; dan distribusi mendekati normal untuk menghitung selang kepercayaan µ digunakan ditribusi sampel t
T=
x -μ s
/2
n
/2 µ
•
Selang kepercayaan (1 p(-T /2 < T < T /2) = 1 P(-T
/2
<
p( x-T
•
x -μ s
/2
n .
x
)100% bagi µ : -
T /2
0
T /2
T
< T /2) = 1 -
s
< µ < x +T n
/2
.
s n
) = 1-
T /2 adalah nilai T dengan derajat bebas df = n-1 yg di sebelah kanan terdapat daerah seluas /2
9
Contoh: Dr John ingin memprediksi rata-rata tingkat kolesterol untuk semua orang dewasa di sebuah kota. Ia mengambil 25 laki-laki dewasa sebagai sampel dan menemukan rata-rata tingkat kolesterol sampel tersebut yaitu 186 dengan simpangan baku 12. Jika diasumsikan tingkat kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di kota tersebut terdistribusi normal, tentukan selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi µ.
Penyelesaian: n = 25, x = 186, dan s = 12 df = n -1 = 25 -1= 24
0.4750
Tabel distribusi T df = 24; /2 = 0.025
0.4750
0.025
T = 2.064 µ Selang kepercayaan bagi µ adalah: s s -2.064 0 = p( x-T /2 . < µ < x +T /2 . ) n n 12 12 = 186 – 2.064 . < µ < 186 + 2.064 . = 181.05 < µ < 190.95 25 25
0.025
x 2.064
T
Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di sebuah kota (A) terletak berkisar antara 181.05 s/d 190.95 10
5
6. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Rata-Rata 2 Populasi A. Bila 2 buah sampel berukuran n1 dan n2 diambil dari 2 populasi yang besar, dgn µ1 dan µ2, maka beda kedua nilai rata-rata sampel akan mendekati sebaran normal. µx1
– x2 =
µ1 - µ2
Sehingga:
•
z=
dan
x1 – x2 =
σ1 n1
+
σ2 n2
(x1 - x2 ) - (μ1 - μ2 ) (σ1/ n1 ) + (σ 2/ n2 )
Contoh soal: Televisi merek A dengan umur rata-rata 6.5 tahun dan simpangan baku 0.9 tahun. Sedangkan merek B, dengan µ = 6 tahun dan = 0.8 tahun. Berapa peluang bahwa sebuah sampel acak yg terdiri 36 TV merek A memiliki umur 1 tahun lebih lama daripada rata-rata sampel dengan 49 TV merek B? 11
•
Penyelesaian: Populasi A
Populasi B
µ1 = 6.5 1 = 0.9 n1 = 36
µ1 = 6.0 1 = 0.8 n1 = 49
z=
(x1 - x2 ) - (μ1 - μ2 ) (σ1/ n1 ) + (σ 2/ n2 )
Distribusi sampling xA-xB : µxA
– xB
xA – xB
= 6.5 – 6.0 = 0.5 = (0.9/√36) + (0.64/√49) = 0.189
z=
1.0 - 0.5 = 2.65 0.189
Yang ditanyakan adalah P(xA-xB ≥ 1.0)……? P(xA-xB ≥ 1.0) = P(Z ≥ 2.65) = 1 – P(Z < 2.65) Lihat Tabel Z = 1 – 0.9960 = 0.004
0.0040
0.9960 µ = 0.5 0
xA-xB 2.65
Z 12
6
Selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :
•
(x1 - x2 ) ± zα ( 2
Z •
/2
σ1 n1
+
σ2 n2
)
atau
(x1 - x2 ) ± zα (
s1 n1
2
+
s2 n2
)
adalah variabel normal baku yang luas daerah disebelah kanan sebesar /2
Latihan soal: Berdasarkan laporan Biro Statistik USA, pada tahun 1993 pekerja bagian konstruksi gaji rata-rata mingguan $551, sedangkan pekerja bagian manufaktur sebesar $487. Rata-rata gaji mingguan tersebut dihitung dari sampel acak yang masing-masing terdiri dari 500 dan 700 pekerja. Jika diasumsikan simpangan baku populasi masing-masing adalah $66 dan $60, maka: a. Hitunglah nilai penduga bagi (µ1 - µ2) b. Dengan selang kepercayaan 95%, tentukan beda nilai rata-rata gaji mingguan untuk dua populasi di atas !
13
•
Penyelesaian:
Diasumsikan: populasi 1 = bagian konstruksi; populasi 2 = bagian manufaktur – n1 = 500, x1 = $551, 1 = $66 – n2 = 700, x2 = $487, 2 = $60 a. Nilai penduga bagi (µ 1 - µ 2) = x1 – x2 = $551 – $487 = $64 b. Tingkat kepercayaan (1- ) = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025 Z /2 = 1.96 maka,
(x1 - x2 ) ± zα ( 2
σ1
n1
+
σ2
n2
) = (551- 487) ± 1.96 (
66 500
+
60 700
)
=64 ± 7.30 = $56.70 sampai $71.30
Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa beda rata-rata gaji mingguan untuk semua pekerja bagian konstruksi dan manufaktur adalah antara $56.70 dan $71.30
14
7
B. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi yang terdistribusi (mendekati) normal, dan 1 = 2 tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :
(x1 - x2 ) ± Tα sp.( 2
sp =
dimana,
1 n1
+
1 n2
)
(n1 - 1)s12 +(n2 - 1)s22 n1 + n2 - 2
sx1 - x2 = sp (
1 n1
+
1 n2
)
Sp = nilai dugaan gabungan simpangan baku dua populasi
s1 dan s2 adalah ragam dari dua sampel T
/2
= nilai T dengan df = n1+ n2 – 2, yang luas daerah di sebelah kanan sebesar /2
T=
(x1 - x2 ) - (μ1 - μ2 ) 1 1 S p( + ) n1 n2 15
•
Contoh:
Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian: – n1 = 15, x1 = 80 miligram, s1 = 5 miligram – n2 = 12, x2 = 77 miligram, s2 = 6 miligram
Jika kedua populasi menyebar normal, dengan simpangan baku populasi adalah sama, tentukan selisih rata-rata antara dua populasi dengan tingkat kepercayaan 95%! Penyelesaian:
Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian: – n1 = 15, x1 = 80 miligram, s1 = 5 miligram – n2 = 12, x2 = 77 miligram, s2 = 6 miligram Pertama, hitung simpangan baku x1 - x2 :
(15 - 1)52 +(12- 1)6 2 (n1 - 1)s12 +(n2 - 1)s22 = = 5.4626 15 + 12- 2 n1 + n2 - 2 1 1 sx1 - x2 = 5.4626 ( + ) = 2.1157 15 12 sp =
16
8
Kedua, tentukan nilai T /2 dari tabel distribusi T : 1- = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025 df = n1 + n2 – 1 = 15 + 12 – 2 = 25 Nilai T dengan df = 25 dan 0.025 luas daerah kanan dibawah kurva distribusi T = 2.060. Sehingga :
(x1 - x2 ) ± Tα sx1-x2 =(80-77) ± 2.060(2.1157) 2
= 3 ± 4.36 = - 1.36 sampai 7.36
17
C. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi yang terdistribusi (mendekati) normal, dan 1 ≠ 2 tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :
(x1 - x2 ) ± Tα ( 2
dimana T bebas (df):
df =
/2
s1 n1
+
s2 n2
)
sx1 - x2 = (
s1 n1
+
s2 n2
)
= nilai T yang luas daerah di sebelah kanan sebesar /2 dan derajat
s12 s22 + n1 n2
2
s12 2 s22 2 n1 n2 + n1 - 1 n2 - 1
dan
T=
(x1 - x2 ) - (μ1 - μ2 ) Sx1 - x2
18
9
7. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Proporsi •
Proporsi populasi, dinotasikan sebagai p menunjukkan rasio jumlah elemen suatu populasi yang memiliki karakteristik tertentu dengan jumlah total elemen populasi tersebut
p= •
x = jumlah elemen populasi dengan karakteristik tertentu N = jumlah total elemen populasi
Proporsi sampel, dinotasikan sebagai p menunjukkan ratio jumlah elemen suatu sampel yang memiliki karakteristik tertentu dengan jumlah total elemen sampel tersebut
p= •
x N
x n
x = jumlah elemen sampel dengan karakteristik tertentu n = jumlah total elemen sampel
Contoh : Misal terdapat 789654 keluarga di kota Depok, dan 563282 dari keluarga tersebut sudah memiliki rumah sendiri ……… 19
N = ukuran populasi = 789654 x = keluarga yg sudah memiliki rumah sendiri = 563282 Sehingga : Proporsi semua keluarga di Depok yang sudah memiliki rumah sendiri : x 563282 = = 0.71 N 789654 Kemudian, jika diambil sampel acak sebanyak 240 keluarga, dan ternyata ada 158 keluarga yang sudah memiliki rumah, maka : n = ukuran sampel = 240 x = keluarga dari sampel yg sudah memiliki rumah = 158 x 158 p= = = 0.66 n 240 p=
•
Seperti rata-rata x, proporsi sampel p juga merupakan variabel acak yang memiliki distribusi peluang yang disebut distribusi sampling Contoh : Sebuah konsultan memiliki 5 staf. Tabel berikut adalah daftar 5 staf & pengetahuannya ttg Statistika.
20
10
Nama
Mengerti Statistika
Ali
Ya
John
Tidak
Susan
Tidak
Lee
Ya
Tom
Ya
∑ Sampel =
( ) 5 3
Dari populasi ini, proporsi staff yang mengerti statistika : p = 3/5 = 0.60 Jika diambil sampel berukuran 3 dari populasi tersebut, maka akan dihasilkan 10 kemungkinan kombinasi sampel.
5! 10 3 ! (5 - 3) !
Sampel
Proporsi yang Mengerti Statistika ( p )
Ali, John, Susan
1/3 = 0.33
p
f
Ali, John, Lee
2/3 = 0.67
0.33
3
Ali, John, Tom
2/3 = 0.67
0.67
6
1.00
1
Ali, Susan, Lee
2/3 = 0.67
Ali, Susan, Tom
2/3 = 0.67
Ali, Lee, Tom
3/3 = 1.00
∑f = 10 p
P( p)
John, Susan, Lee
1/3 = 0.33
0.33
3/10 = 0.30
John, Susan, Tom
1/3 = 0.33
0.67
6/10 = 0.60
John, Lee, Tom
2/3 = 0.67
1.00
1/10 = 0.10
Susan, Lee, Tom
2/3 = 0.67
∑P( p ) = 10
•
21
Untuk n yang besar (n ≥ 30) sebaran bagi p terdistribusi mendekati normal dengan rata-rata dan simpangan baku :
μp = p dan
p.q q = 1 – p ; σ p bisa diduga dengan n
σp =
P (p1 < p < p2 ) = P (z
/2
/2 ) =
(1 - )
dimana
Z=
sp =
p.q n
p - p σp
Selang kepercayaan bagi p :
p - zα . σ p < p < p + zα . σ p 2
•
2
Contoh :
Berdasarkan laporan Biro Sensus USA, 86% dari seluruh keluarga di New York, memiliki kendaraan roda 4. Jika p adalah proporsi suatu sampel acak berukuran 120 keluarga yang memiliki kendaraan roda 4, tentukan peluang bahwa nilai p adalah antara 0.88 dan 0.92.
22
11
•
Penyelesaian :
Diketahui : p = 0.86 dan q = 1 – 0.86 = 0.14 p adalah proporsi seluruh keluarga yang memiliki kendaraan roda 4 Ditanyakan : P(0.88 < p < 0.92)…?
μp = p = 0.86
dan
σp =
p.q (0.86)(0.14) = = 0.0317 n 120
p - p 0.88 - 0.86 = = 0.63 σp 0.0317
Untuk p = 0.88
z=
Untuk p = 0.92
p - p 0.92 - 0.86 z= = = 1.89 σp 0.0317
Sehingga, peluang bahwa p antara 0.88 dan 0.92 ditunjukkan dengan luas daerah dibawah kurva normal baku antara z = 0.63 dan z = 1.89
0.2349 p=
µp = 0.86
0.0317
0.92
p
1.89 0 0.63
z
0.88
P(0.88 < p < 0.92) = P(0.63 < z < 1.89) = P(0 < z < 1.89) - P(0 < z < 0.63) = 0.4706 – 0.2357 = 0.2349
•
23
Contoh :
Berdasarkan hasil pooling terhadap 500 wanita, diperoleh informasi bahwa sebanyak 79% dari mereka dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan. Buatlah selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka dengan tingkat kepercayanan 98% ! Penyelesaian :
Diketahui : n = 500, p = 0.79 maka q = 1 – 0.79 = 0.21 p adalah proporsi sampel wanita yang dapat melakukan pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka Ditanyakan : p - zα . σ p < p < p + zα . σ p Maka:
2
2
p.q (0.79)(0.21) = = 0.0182 n 500 Untuk tingkat kepercayaan 98% 1 - = 0.98 = 0.02 /2 = 0.01 Nilai Z dengan /2 = 0.01 adalah 2.33
σ p bisa diduga dengan
sp =
Sehingga, selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang dapat melakukan
pemeriksaan terhadap oli kendaraan mereka dengan tingkat kepercayanan 98% :
p - zα . s p < p < p + zα . s p = 0.79 ± 2.33 (0.0182) = 0.748 s/d 0.832 2
2
24
12
8. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan p •
Bila p digunakan untuk menduga p, maka dengan tingkat kepercayaan (1- ).100%, galat pendugaan maksimum, e adalah: e=z
•
. p.q n
Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil, agar galat pendugaan p tidak melebihi suatu nilai e. Dalam hal ini jumlah sampel n, adalah:
n= •
/2
z α22 p . q E2
Contoh :
Dari 500 orang sampel acak, sebanyak 160 orang menyukai makanan sea food. Jika kita ingin percaya 95%, bahwa nilai dugaan proporsi orang yg menyukai sea food yang dihasilkan berada dalam 0.02 dari nilai proporsi yg sebenarnya, tentukan jumlah ukuran sampel yg diperlukan ! 25
Penyelesaian :
n=
z α22 p . q E
2
diketahui n = 500, p =
x n
=
160 500
= 0.32 q = 1 – 0.32 = 0.68
Untuk tingkat kepercayaan 95% 1 - = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025 Nilai Z dengan /2 = 0.025 adalah 1.96 Maka: 2
n=
zα 2 p . q E2
=
(1.96)2 (0.32)(0.68) = 2090 (0.02)2
26
13
9. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Selisih 2 Proporsi •
Bila p1 dan p2 masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam sampel acak yang berukuran n1 dan n2 serta q1 = 1 - p1 dan q2 = 1 – p2, maka selang kepercayaan (1- ).100% bagi selisih antara p1 - p2 :
(p1 - p2 ) - zα . 2
z= •
p1 .q1 n1
+
p2 .q2 n2
< p1 - p2 < (p1 - p2 ) + zα . 2
p1 .q1 n1
+
p2 .q2 n2
(p1 - p2 ) - (p1 - p2 ) σ p1 - p2
Contoh soal: Suatu polling dilakukan terhadap penduduk kota A dan penduduk di sekitar kota tersebut, untuk mengetahui kemungkinan diajukannya suatu rencana pembangunan TPA sampah. Bila 2400 diantara 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000 penduduk sekitar setuju dengan rencana tsb, tentukan selisih proporsi sebenarnya yang setuju dengan tingkat kepercayaan 90% !
27
Penyelesaian : p1 - p2 = selisih proporsi x1 2400 x 2 1200 p1 = = = 0.48 ; p2 = = = 0.60 n1 5000 n2 2000 Untuk tingkat kepercayaan 90% 1 - = 0.90 = 0.10 /2 = 0.05 Nilai Z dengan /2 = 0.05 adalah 1.65 Maka selisih p1 - p2 dengan tingkat kepercayaan 90% :
(p1 - p2 ) - zα . 2
p1 .q1 n1
(0.48 - 0.60) ± 1.65 - 0.1414 < p1
+
p2 .q2 n2
< p1 - p2 < (p1 - p2 ) + zα .
(0.48) (0.52) 5000
2
+
p1 .q1 n1
+
p2 .q2 n2
(0.60) (0.40) 2000
- p2 < - 0.0986 28
14
29
30
15
