1. Pendugaan Parameter

1. Pendugaan Parameter Di dalam pendugaan parameter terdapat dua jenis pendugaan yaitu : pendugaan parameter ratarata dari sampel dan pendugaan rata-rata dari populasi.

1. Pendugaan Parameter Satu Rata-Rata Dari Sampel dan satu Populasi (Populasi Tidak Terbatas)

n  30

 x   z  2

 s        x   z  n   2

n  30

 s     n 

  s    s  x   t    x   t       2  n1   n   2  n1   n 

Contoh 1. (untuk n<30) Diambil sampel sebanyak 25 dealer mobil merek A, diketahu bahwa rata-rata penjualan sebanyak 4500 unit setiap bulannya dengan simpangan baku (standar deviasi) sebesar 500 unit. Dengan tingkat keyakinan sebesar 90%, buatlah pendugaan parameter.  t 0,10  t0,05 24  1,711 : Jawab : diketahui n  25 , x  4500 , dan   0,10 sehingga t 2

n1

2

 251

 

 500   500  4500  1, 711      4500  1, 711    25   25  4500  1, 711100     4500  1, 711100 

4500 171,1    4500  171,1

4328,9    4671,1 Jadi kisaran penjualan mobil sebesar 4328,9 unit sampai dengan 4671,1 unit.

Statistika By Dahiri, S.Si., M.Sc.| 1

Contoh 2. (untuk n  30 ) Diambil sampel sebanyak 100 dealer mobil merek A, diketahu bahwa rata-rata penjualan sebanyak 4500 unit setiap bulannya dengan simpangan baku (standar deviasi) sebesar 500 unit. Dengan tingkat keyakinan sebesar 90%, buatlah pendugaan parameter. Jawab : diketahui n  100 , x  4500 , dan   0,10 sehingga z  z 0,10  z0,05  z10,05  z0,95  1,65 2

2

(caranya lihat table normal yang nilainya peluangnya 0,95 berada pada titik 1,65).

 500   500  4500  1, 65       4500  1, 65     100   100  4500  1, 65  50     4500  1, 65  50 

4500  82,5    4500  82,5 4417,5    4582,5 Jadi kisaran penjualan mobil sebesar 4417,5 unit sampai dengan 4582,5 unit.

2. Pendugaan Parameter Satu Rata-Rata Dari Sampel dan satu Populasi (Populasi Terbatas)

n  30

  s  N  n    s  N  n  x   z         x   z       2   n   N 1   2   n   N 1 

n  30   s  N  n    s  N  n  x   t    x   t              2  n1   n   N  1   2  n1   n   N  1 

Contoh 3. (untuk n<30) Dari 300 dealer merek A di pulau jawa diambil sampel sebanyak 25 dealer mobil merek A, diketahu bahwa rata-rata penjualan sebanyak 4500 unit setiap bulannya dengan simpangan baku (standar deviasi) sebesar 500 unit. Dengan tingkat keyakinan sebesar 90%, buatlah pendugaan parameter.  t 0,10  t0,05 24  1,711 : Jawab : diketahui n  25 , x  4500 , dan   0,10 sehingga t 2

n1

2

 251

 

 500   300  25   500   300  25  4500  1, 711     300  1     4500  1, 711    25    25   300  1   4500  1, 711100  0,959     4500  1, 711 0,959 

4500 164,085    4500  164,085

Statistika By Dahiri, S.Si., M.Sc.| 2

4335,9151    4664,085 Jadi kisaran penjualan mobil sebesar 4335,9151 unit sampai dengan 4664,085 unit. Contoh 4. (untuk n  30 ) Dari 300 dealer merek A di pulau jawa diambil sampel sebanyak 100 dealer mobil merek A, diketahu bahwa rata-rata penjualan sebanyak 4500 unit setiap bulannya dengan simpangan baku (standar deviasi) sebesar 500 unit. Dengan tingkat keyakinan sebesar 90%, buatlah pendugaan parameter. Jawab : diketahui n  100 , x  4500 , dan   0,10 sehingga z  z 0,10  z0,05  1,65 : 2

2

 500   300  25   500   300  25  4500  1, 65      300  1     4500  1, 65     100    100   300  1   4500  1, 65  50  0,959     4500  1, 65  50  0,959 

4500  79,12    4500  79,12 4420,88    4579,12 Jadi kisaran penjualan mobil sebesar 4420,88 unit sampai dengan 4579,12 unit.

3. Pendugaan Parameter Dua Rata-Rata Populasi (Artinya Terdapat Dua Populasi) 3.1 Kedua variansi :  12 dan  22 diketahui, n  30 , Populasi Tidak terbatas.

   2  2     2  2  X 1  X 2   z   1  2   1  2  X 1  X 2   z   1  2   2   n1 n2   2   n1 n2  Jika Populasi terbatas kita hanya menambahkan faktor koreksi sehingga menjadi :







 X 1  X 2   z  2



  12  22         n1 n2  





 N1  N2    n1  n1        X  X   z   12   22    1 2      1 2   N1  N 2  1





2



n1

n2 

Contoh 5. (populasi tidak terbatas) Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui rata-rata perbedaan penjualan dealer mobil merek A yang berada di pulau Jawa dan Sumatera. Diambil sampel sebanyak 100 dealer mobil merek A di pulau Jawa, diketahui bahwa rata-rata penjualan di pulau Jawa sebanyak 4500 unit setiap bulannya dengan simpangan baku (standar deviasi) sebesar 500 unit. Sedangkan di pulau Sumatera diambil sampel sebanyak 81 dealer, diketaui rata-rata penjualan di Sumatera sebanyak 4000 unit setiap bulannya dengan standar deviasi sebesar 350 unit. Dengan tingkat keyakinan sebesar 90%, buatlah pendugaan parameter. Jawab : Diketahui n1  100 , X 1  4500 ,  12  500 , n2  81 , X 2  4000 ,  22  350 , dan   0,10 sehingga

t  t 0,10  t0,05  1,65 : 2

2

Statistika By Dahiri, S.Si., M.Sc.| 3

 (500)2 (350)2  100 81 

 4500  4000  1, 65   500   1, 65 



  (500)2 (350)2    1  2   4500  4000   1, 65    100 81  

2500  1512,35  1  2   500   1, 65 



2500  1512,35



   

 500   1, 65 63,34   1  2   500   1, 65  63,34   500   104,51  1  2   500   104,51 395, 49  1  2  604,51 Jadi kisaran beda rata-rata penjualan mobil sebesar 395,49 unit sampai dengan 604,51 unit.

3.2 Kedua variansi :  12 =  22 tidak diketahui, Populasi Tidak terbatas.

X

   1 1  X 2   t   S p   2  n1 n2 2   n1 n2



1

    1 1    1  2  X 1  X 2   t n n 2  S p   2  1 2    n1 n2 





; Dengan S p 

X

1

 X2

  

 n1  1 s12   n2  1 s22 n1  n2  2

Jika Populasi terbatas kita hanya menambahkan faktor koreksi sehingga menjadi :    1 1    N1  N 2    n1  n1      1 1    N1  N 2    n1  n1        X  X  z S    z S  



 



2

 

p

  n1

 n2  

 

N1  N 2  1

1

2



1

2



 



2

 

p

  n1

 n2  

N1  N 2  1

 

Kedua variansi :  12   22 tidak diketahui, Populasi Tidak terbatas.



   s2 s2     s2 s2  X 1  X 2   t   1  1   1  2  X 1  X 2   t   1  1   2  v    n1 n2   2  v    n1 n2 







Dengan ; v 

 s12 s22      n1 n2  2

2

2

 s12   s22       n1    n2  n1  1 n2  1

Contoh 6. Seorang petambak ingin mengetahui perbedaan rat-rata berat ikan gurame yang ditempatkan di tambak A(dengan makanan berupa pelet) dan gurame di tambak B yang diberi sisa-sisa makanan rumah tangga. Dari 25 ekor gurame yang berhasil dijaring dari tambak A berat rata-rata mencapai 900 gram dengan simpangan baku 75 gram. Sedangkan 20 ekor gurame dari tambak B berat rataratanya 750 gram dengan simpangan baku 50 gram. Tentukan selang kepercayaann 90% bagi selisih antara rata-rata populasi, bila diasumsikan kedua populasi menyebar menghampiri normal dengan ragam yang sama. Jawab : S p 

t

2

 n1  1 s12   n2  1 s22

n1  n2 2 

n1  n2  2  t 0,10 2

 25202

 25  1 75   20  1 50  2



25  20  2

2

 65,15

 t0,05 43  2,9592

 

Statistika By Dahiri, S.Si., M.Sc.| 4



 1 1 1  1      1  2   900  750    2,9592  65,15     25 20   25 20 

 900  750    2,9592  65,15  92, 2  1  2  207,8

4. Pendugaan Parameter Satu Proporsi x p n

n  30

n  30    p  p  1     p  p  1    p  p   t    p   t      n n  2    2    

   p  p  1     p  p  1    p  p   z    p   z      n n  2    2    

Jika terbatas maka :

n  30

   p  p  1   p   z     n  2  

 N1  N2    n1  n1    p  p   z N1  N 2  1

 

 

  p  p  1      n 2  



 N1  N2    n1  n1   N1  N 2  1

 

n  30

   p  p  1   p   t     n  2  

 N1  N2    n1  n1    p  p   t N1  N 2  1

 

 

  p  p  1      n 2  



 N1  N 2    n1  n1   N1  N 2  1

 

Contoh 7. Diambil sampel 500 orang yang makan siang di sebuah restoran selama beberapa hari Jumat. Diperoleh informasi bahwa ada 160 orang yang menyukai makanan seafood. Tentukan selang kepercayaan bagi proporsi sesungguhnya orang yang menyukai seafood dengan kepercayaan 95%. x 160  0,32 , z 0,05  z0,025  z10,025  z 0,975  1,96 Jawab : Diketaui p   n 500 2

 0,32  0,32  1   0,32  0,32  1    p  0,32  1,96    0,32  1,96       500 500     0, 28  p  0,36

Statistika By Dahiri, S.Si., M.Sc.| 5

5. Pendugaan Parameter Dua Proporsi

n  30

  p1  p1  1 p2  p2  1     p  p  1 p2  p2  1    p1  p2   p1  p2    z   1 1       n1 n2 n n 1 2  2   2     

 p1  p2    z   n  30

  p1  p1  1 p2  p2  1     p1  p1  1 p2  p2  1     p1  p2   p1  p2    t        n1 n2 n1 n2  2  n1 n2 2    2  n1 n2 2     Jika terbatas maka : 

 p1  p2    t

n  30

p1  p1  1 p2  p2  1     n1 n2 





 p1  p2    z   

2



   z  2

   

 N1  N 2    n1  n1    p

  p1  p1  1 p2  p2  1     n1 n2  N1  N 2  1

1

 p2   p1  p2 

 N1  N 2    n1  n1    

N1  N 2  1

n  30    2  n1  n2 2    

 p1  p2    t

p1  p1  1 p2  p2  1     n1 n2      t   2  n1  n2 2   

 N1  N 2    n1  n1    p

  p1  p1  1 p2  p2  1     n1 n2  N1  N 2  1

1

 p2   p1  p2 

 N1  N 2    n1  n1   N1  N 2  1

 

Contoh 8. Sebuah perusahaan memproduksi minyak goring kemasan botol dan kemasan refill cap Migor. Bagian penjualan mengatakan bahwa omset penjualan kemasan botol lebih besar 20% disbanding penjualan kemasan refill. Hasil ruvei pada beberapa ibu rumah tangga menunjukkan bahwa 50 di antara 200 konsumen minyak cap Migor menyukai kemasan botol dan 20 diantara 200 konsumen menyukai refill. Buatlah selang kepercayaan 92% bagi selisih persentase penjualan minyak cap Migor tersebut. Jawab : apakah selilish 20% yang disebutkan dapat dipercaya? 50 20  0, 25 dan p1   0,10 Diketahu : p1  200 200 z 0,08  z0,04  z10,04  z 0,96  1, 75 2

 0, 25  0, 25  1 0,10  0,10  1   0, 25  0, 25 1 0,10  0,10 1    p1  p2   0, 25  0,10   1, 75         200 200 200 200    

 0, 25  0,10   1, 75 

0,085  p1  p2  0, 215 8,5  p1  p2  21,5 Karena 20% masuk dalam selang interval, maka pernyataan dapat dipercaya.

Statistika By Dahiri, S.Si., M.Sc.| 6