MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika

MATRIKS Matematika FTP – UB Mas’ud Effendi Matematika

Pokok Bahasan • • • • • •

Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika



Matematika

Transpos Suatu Matriks • Jika sebuah matriks disalingtukarkan antara baris dan kolomnya, maka matriks baru yang terbentuk disebut transpos dari matriks aslinya. Sebagi contoh:

 4 6  4 7 2 A   7 9  then AT    6 9 5    2 5  

Matematika



Matematika

Matriks Khusus • Matriks bujursangkar – Matriks dengan orde m x m – Matriks bujursangkar dikatakan simetrik jika aij=aji  1 A=AT 2 5    2  5 

8

9 

9

4 



– Matriks bujursangkar dikatakan simetrik-miring jika aij= -aji  A=-AT  0 2 5    2   5 

0 9

 9   0 

Matematika

Matriks Khusus • Matriks diagonal – Matriks bujursangkar yang semua elemennya nol kecuali elemen yang berada pada diagonal utamanya

5   0  0 

0 0  2 0 

0

 7 

Matematika

Matriks Khusus • Matriks satuan/identitas (I) – Matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamanya semuanya satu – Hasil kali antara A dengan I akan menghasilkan A A.I=A=I.A 1  I   0  0 

0 0 

1 0  

0 1 

Matematika

Matriks Khusus • Matriks nol – Matriks yang semua elemennya adalah nol dan dinyatakan dengan 0 0  0   0  0 

0 0  0 0  0

 0 

– Maka A.0=0 – Tetapi jika A.B=0, kita tidak dapat mengatakan A=0 atau B=0 Matematika



Matematika

Determinan Suatu Matriks Bujursangkar • Determinan yang memiliki elemen yang sama dengan elemen matriksnya 5 2 1 5 2 1    0 6 3   0 6 3  150 8 4 7 8 4 7  

• Determinan matriks bujursangkar memiliki nilai yang sama seperti nilai determinan matriks transposnya 5 0 8 5 2 1 5 0 8      0 6 3    2 6 4   2 6 4  150 8 4 7 1 3 7 1 3 7    

• Matriks yang determinannya nol disebut matriks singular Matematika

Determinan Suatu Matriks Bujursangkar • Kofaktor – Jika A=(aij) adalah suatu matriks bujursangkar, setiap elemen menghasilkan kofaktor, minor dari elemen dalam determinan beserta ‘tanda tempatnya’ 5 2 1 5 2 1   A   0 6 3   det A  A  0 6 3  150 8 4 7 8 4 7   kofaktor 5  (42  12)  30 2  (0  24)  24 Matematika

Determinan Suatu Matriks Bujursangkar • Adjoin suatu matriks bujursangkar – Misal matriks bujursangkar C dibentuk dari matriks bujursangkar A dimana elemenelemen C secara respektif merupakan kofaktor dari elemen A, maka: A   aij  and Aij is the cofactor of aij then C   Aij  



– Transpos dari C disebut adjoin A, dinotasikan adj A. Matematika

Determinan Suatu Matriks Bujursangkar

Matematika



Matematika

Invers Suatu Matriks Bujursangkar • Jika setiap elemen adjoin matriks bujursangkar A dibagi dengan determinan A, yaitu |A|, maka matriks yang dihasilkan disebut invers A dan dinyatakan dengan A-1.

 1 A 

1 adjA   det A

• Note: jika det A=0 maka invers tidak ada Matematika

Invers Suatu Matriks Bujursangkar

Matematika

Invers Suatu Matriks Bujursangkar • Hasil kali suatu matriks bujursangkar dengan inversnya, dengan urutan manapun faktor-faktornya ditulis, ialah matriks satuan dengan orde matriks yang sama: -1 -1 A.A = A .A = I

Matematika



Matematika

Penyelesaian Set Persamaan Linier • Set n persamaan linier simultan dengan n bilangan tidak diketahui a11x1  a12 x2  a13 x3   a1n xn  b1 a21x1  a22 x2  a23 x3   a2n xn  b2 an1x1  an2 x2  an3 x3 

 ann xn  b1

• Dapat ditulis dalam bentuk matriks:  a11 a  21    an1

a12

a13

a22

a23

an2

an3

a1n  x1   b1   b  a2n  x 2     2  that is A.x = b          ann  xn   bn 

Matematika

Penyelesaian Set Persamaan Linier • Karena: A.x = b then A1.Ax = A1.b that is I.x = A1.b and I.x = x

• Solusi: x = A1.b

Matematika

Penyelesaian Set Persamaan Linier

Matematika

Penyelesaian Set Persamaan Linier • Metode eliminasi Gauss untuk penyelesaian set persamaan linier • Diberikan:  a a a a  x  b 11

a  21    an1

12

13

a22

a23

an2

an3

1n

a2n     ann  

   1 x2   b2          xn   bn  1

• Buat matriks augmen B, dimana:  a11  a B   21    an1 

a12 a22

a13 a23

a1n a2n

an2

an3

ann

Matematika

b1   b2    bn  

Penyelesaian Set Persamaan Linier Eliminasi elemen-elemen selain a11 dari kolom pertama dengan mengurangkan a21/a11 kali baris pertama dari baris kedua dan a31/a11 kali baris pertama dari baris ketiga, dst Matriks baru yang terbentuk:  a11 a12   0 c22    0 cn2 

a13 c23

a1n c2n

cn3

cnn

Matematika

b1   d2    dn  

Penyelesaian Set Persamaan Linier • Proses ini kemudian diulangi untuk mengeliminasi ci2 dari baris yang ketiga dan yang berikutnya sampai diperoleh matriks dalam bentuk berikut:  a11   0  0   0 

a1,n2 pn3,n2 0 0

a1,n1 pn2,n1 pn1,n1 0

a1n pn2,n pn1,n pnn

Matematika

b1   q2    qn  

Penyelesaian Set Persamaan Linier • Matriks segitiga yang telah terbentuk dari matriks augmen, kita pisahkan kolom kanan kembali ke posisi semula  a11  0   0   0

a1,n2

a1,n1

pn3,n2 0

pn2,n1 pn1,n1

0

0

a1n  x1   b1   q  pn2,n  x 2     2  pn1,n         pnn   xn   qn 

• Hasil ini memberikan solusi : pnn xn  qn so xn 

qn pnn Matematika

Penyelesaian Set Persamaan Linier

Matematika



Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen • Persamaan dalam bentuk:

A.x  x

• Dimana A adalah matriks bujursangkar dan  adalah bilangan (skalar) yang punya solusi non-trivial, yakni (x  0), untuk x disebut vektor-eigen atau vektor karakterisik A. • Nilai  disebut nilai-eigen, nilai karakteristik atau akar laten dari matriks A. Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen • Dinyatakan sebagai set persamaan yang terpisah:  a11 a  21    an1

a12

a13

a22

a23

an2

an3

a1n  x1   x1   x  a2n  x  2     2          ann  x  n   xn 

• yakni

Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen • Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi:  a11   a  21    an1

• sehingga:

a12

a13

a22 

a23

an2

an3

 x1   0   0 a2n  x  2             ann    xn   0  a1n

 AI .x  0

• Yang berarti, solusi non-trivial: A  I  0

Determinan karakteristik A Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen • Nilai-eigen – Untuk mencari nilai-eigen dari: 4 A  3

1 2 

– Selesaikan persamaan karakteristik |A-λI|=0: 4

1

3

2

0

– sehingga: ( 1)(  5)  0 – Nilai-eigen 1 1; 2  5 Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen • Vektor-eigen – Untuk mencari vektor-eigen dari – Selesaikan persamaan A.x  x – Untuk nilai-eigen  = 1 dan  = 5

4 A  3

1 2 

For  =1  4 1   x1   x1   k   1 and so x   3 x giving eigenvector  3 2  x   x   3k  2 1 2 2        For  =5  x1   4 1   x1  k   5 and so x  x giving eigenvector x   3 2  x  k  2 1 2 2       

Matematika

Hasil Pembelajaran • • • • • • •

Memperoleh transpos suatu matriks Mengenali jenis-jenis matriks khusus Memperoleh determinan, kofaktor, dan adjoin matriks bujursangkar Memperoleh invers matriks non-singular Menggunakan matriks untuk menyelesaikan set persamaan linier dengan matriks invers Menggunakan metode eliminasi Gauss unntuk menyelesaikan set persamaan linier Menentukan nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Referensi • Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika Teknik. Erlangga. Jakarta

Matematika

MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika

Recommend Documents