KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB

KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA Matematika Industri 1 TIP – FTP – UB

Matematika Industri 1

Pokok Bahasan • • • •

Pendahuluan Kurva-kurva standar Asimtot Penggambaran kurva secara sistematis, jika persamaan kurvanya diketahui • Pencocokan kurva • Metode kuadrat terkecil Matematika Industri 1



Pendahuluan • Tujuan bab ini untuk menemukan metode yang dapat diandalkan untuk membuat hubungan antara dua variabel, dimana nilai-nilai untuk variabel-variabel ini diperoleh dari pengujian atau eksperimen • Kemungkinan adanya kesalahan, bagaimanapun kecilnya




Kurva-kurva Standar • Garis lurus – Persamaannya merupakan suatu persamaan derajat pertama dan dinyatakan dalam bentuk

y  mx  c m menyatakan gradien, dy/dx c menyatakan perpotongan dengan sumbu-y Matematika Industri 1

Kurva-kurva Standar • Kurva derajat dua – Kurva paling sederhana, y=x2 • Parabola yang simetris terhadap sumbu-y dan hanya ada untuk y≥0

– y=ax2 menghasilkan parabola lebih kuncup a>1 dan lebih mekar a<1 – Kurva umum, y=ax2+bx+c, dimana a, b, c menentukan posisi verteks (puncak) dan lebar parabola Matematika Industri 1

Kurva-kurva Standar • Kurva derajat dua (perubahan verteks) – Jika parabola y=x2 dipindahkan sejajar terhadap dirinya sendiri ke suatu posisi verteks (2,3) maka persamaan baru menjadi Y=X2 dengan Y=y-3 dan X=x2, sehingga menjadi y=x24x+7 Matematika Industri 1

Kurva-kurva Standar • Kurva derajat dua – Persamaan y=ax2+bx+c – Jika koefisien dari x2 bernilai negatif, maka parabola akan terbalik – Contoh: • y=-2x2+6x+5


Kurva-kurva Standar • Kurva derajat tiga – Kurva paling sederhana y=x3 yang melalui tiga titik asal – Untuk x positif y bernilai positif dan untuk x negatif y bernilai negatif


Kurva-kurva Standar • Kurva derajat tiga – Persamaan umum

y  px3  qx 2  rx  s – Umumnya dua belokan dan memotong sumbu-x


Kurva-kurva Standar • Lingkaran – Lingkaran paling sederhana berpusat di titik asal dengan jari-jari r, x2+y2=r2 – Memindahkan pusat ke (h,k) menghasilkan X2+Y2=r2, dimana Y=y-k dan X=x-h • (x-h)2+(y-k)2=r2

– Persamaan umum lingkaran • x2+y2+2gx+2fy+c=0 • Pusat (-g, -f) dan jari-jari

g2  f 2 c


Kurva-kurva Standar • Elips – Persamaan sebuah elips x2 y 2  2 1 2 a b

– Dimana • a = setengah sumbu mayor, y=0, x=±a • b = setengah sumbu minor, x=0, y=±b


Kurva-kurva Standar • Hiperbola – Persamaan umum x2 y 2  2 1 2 a b

– Jika y = 0, x = ± a – Jika x = 0, y2 = –b2  kurva tidak memotong sumbu-y – Note: kaki-kaki hiperbola yang saling berlawanan semakin lama akan semakin mendekati dua garis lurus (asimtot). Matematika Industri 1

Kurva-kurva Standar • Hiperbola persegi – Jika kedua asimtotnya saling tegak lurus  hiperbola persegi – Bentuk umum hiperbola persegi diperoleh dengan cara memutar sejauh 45o sehingga asimtotasimtotnya saling berhimpit dengan sumbu x dan sumbu y c xy  c that is y  x Matematika Industri 1

Kurva-kurva Standar • Kurva logaritmik – Jika y=log x x=1, y=log 1=0 sehingga memotong sumbu x di x=1 – Log x tidak memiliki nilai untuk x<0


Kurva-kurva Standar • Kurva eksponensial – Kurva y = ex memotong sumbu y di x=0 • Jika x  , y   • Jika x  −, y  0

– Terkadang disebut sebagai kurva pertumbuhan (growth curve)


Kurva-kurva Standar • Kurva eksponensial – Kurva y = e-x memotong sumbu y di y=1 • Jika x  , y  0 • Jika x  −, y  

– Terkadang disebut sebagai kurva peluruhan (decay curve)


Kurva-kurva Standar • Kurva eksponensial – Persamaan kurva y  a 1  e x 

– Kurva berbentuk terbalik melalui titik asal dan mendekati y=a sebagai asimtotnya bila x  


Kurva-kurva Standar • Kurva hiperbolik – Kombinasi kurva-kurva

y  e x and y  e x – Menghasilkan kurva hiperbolik e x  e x y  cosh x  2 e x  e x y  sinh x  2 Matematika Industri 1

Kurva-kurva Standar • Kurva hiperbolik – Menggambarkan kedua grafik tersebut pada sumbu-sumbu yang sama y=sinh x selalu berada di luar y=cosh x


Kurva-kurva Standar • Kurva trigonometrik – Kurva sinus paling sering muncul dalam praktek (a) y  A sin nx where Period 

360 , amplitude  A n

(b) y  A sin t where 2 Period  , amplitude  A






Asimtot • Penentuan asimtot – Asimtot dari suatu kurva  garis lurus yang dituju oleh kurva itu saat jaraknya semakin jauh dari titik asal – Asimtot  garis singgung pada kurva pada titik tak hingga – Asimtot y=f(x) • Mensubstitusikan y=mx+c ke dalam persamaan yang diketahui dan menyederhanakannya • Menyamakan dengan nol koefisien-koefisien dari kedua pangkat dari x yang paling tinggi • Menghitung nilai-nilai m dan c Matematika Industri 1

Asimtot • Asimtot dari x y  5y  x  0 3 2 (m  1) x  cx  5mx  5c  0 2

3

m  1 and c  0

yx


Asimtot • Asimtot sejajar sumbu x dan asimtot sejajar sumbu y – Untuk kurva y=f(x), asimtot-asimtot yang sejajar dengan sumbu x dapat dicari dengan cara menyamakan koefisien dari pangkat x yang paling tinggi dengan nol. Dengan cara serupa, asimtot-asimtot yang sejajar dengan sumbu y dapat dicari dengan cara menyamakan koefisien dari pangkat y yang paling tinggi dengan nol Matematika Industri 1

Asimtot • Asimtot sejajar sumbu y

x y  5y  x  0 2

3

x 5  0 2

x 5  2.2


Asimtot • Asimtot sejajar sumbu x

(2 x  3) y  x  2  0

2 y 1  0 y  0.5




Penggambaran Kurva secara Sistematis • Simetri – Jika hanya pangkat-pangkat y yang genap saja yang ada, kurva akan simetri terhadap sumbu x – Jika hanya pangkat-pangkat x yang genap saja yang ada, kurva akan simetri terhadap sumbu y

– Jika hanya pangkat-pangkat y yang genap saja yang ada dan juga pangkat-pangkat x yang genap saja yang ada, kurva akan simetri terhadap kedua sumbu Matematika Industri 1

Penggambaran Kurva secara Sistematis • Perpotongan dengan sumbusumbu – Perpotongan dengan sumbu x: substitusikan y=0 dan cari x – Perpotongan dengan sumbu y: substitusikan x=0 dan cari y – Kurva y2+3y-2=x+8 • Memotong sumbu x di x=-10 • Memotong sumbu y di y=2 dan y=-5


Penggambaran Kurva secara Sistematis • Perubahan titik asal – Cari titik asal baru yang memungkinkan penyederhanaan persamaan 4( y  3)  ( x  4) 2 – Jika diubah titik asal dengan memisahkan Y=y+3 dan X=x-4, maka persamaan baru akan menjadi 4Y  X 2

– Sebuah parabola simetris terhadap sumbu y Matematika Industri 1

Penggambaran Kurva secara Sistematis • Asimtot – Asimtot yang sejajar dengan sumbu • Tuliskan persamaan dalam satu baris, yaitu pindahkan penyebutnya • Samakan koefisien dari pangkat y tertinggi dengan nol untuk mencari asimtot yang sejajr sumbu y • Samakan koefisien dari pangkat x tertinggi dengan nol untuk mencari asimtot yang sejajr sumbu x

– Asimtot umum • Substitusi y=mx+c dan samakan koefisien kedua pangkat x tertinggi dengan nol untuk cari m dan c Matematika Industri 1

Penggambaran Kurva secara Sistematis • Nilai besar dan nilai kecil dari x dan y – Jika x atau y kecil, pangkat-pangkat tinggi dari x atau y akan menjadi sangat kecil sehingga hanya pangkat-pangkat yang rendah dari x atau y sajalah yang akan memberikan bentuk pendekatan yang lebih sederhana – Jika x atau y besar, pangkat-pangkat tinggi yang akan lebih dominan sehingga pangkatpangkat yang rendah dapat diabaikan Matematika Industri 1

Penggambaran Kurva secara Sistematis • Titik-titik stasioner – Titik-titik stasioner ada jika dy 0 dx

d2y  0 the stationary point is a maximum 2 dx d2y  0 the stationary point is a minimum 2 dx d2y  0 with a change in sign through the stationary point 2 dx then the point is a point of inflexion Matematika Industri 1

Penggambaran Kurva secara Sistematis • Batasan-batasan – Syarat-syarat perihal daerah nilai mana saja yang mungkin dimiliki oleh x dan y y2  For x <  4

( x  1)( x  3) x4 y 2 is negative (no real y )

For  4  x  1 y 2 is positive For  1  x  3

y 2 is negative (no real y )

For 3  x

y 2 is positive




Pencocokan Kurva • Data-data dari eksperimen biasanya mengandung berbagai jenis kesalahan dan titik-titik yang diplot dari data-data ini akan tersebar di sekitar posisi-posisi sesungguhnya. • Terkecuali jumlah data yang diambil sangat sedikit, asumsi kesalahan bersifat acak (random) sehingga beberapa nilai yang diperoleh akan sedikit lebih tinggi dan beberapa akan sedikit lebih rendah. • Ada kemungkinan garis yang dibentuk sama sekali tidak melalui titik-titik yang diplot, tetapi garis ini tetap yang akan dipakai untuk menentukan relasi antarvariabel


Pencocokan Kurva • Hukum garis lurus y = ax + b – a adalah gradien garis lurus dan b adalah intersep vertikal

• Grafik dari bentuk y = axn, di mana a dan n adalah konstanta log y = log a + n log x

• Grafik dari bentuk y = aenx ln y= nx + ln a Matematika Industri 1



Metode Kuadrat Terkecil • Pencocokan suat garis lurus – Suatu garis lurus y=a+bx dicocokkan terhadap titik-titik (x1,y1), (x2,y2) … (xn,yn) sdrs jumlah dari kuadrat jarak dari garis ini ke titik-titik yang diberikan bernilai minimun Matematika Industri 1

Metode Kuadrat Terkecil • Jika kita ambil satu titik P(xi,yi) • QK  nilai y = a + bx di x=xi, yaitu a + bxi • PQ  selisih antara PK dan QK, yaitu yi – a – bxi PQ2 = (yi – a – bxi)2 • Jumlah S kuadrat selisih untuk n ke-n titik S   ( y i  a  bxi ) 2 i 1


Metode Kuadrat Terkecil • Menentukan nilai a dan b sdrs S minimum S S  0 and 0 a b n

n

i 1

i 1

an  b xi   yi n

n

n

i 1

i 1

i 1

a  xi  b xi2   xi yi


Hasil Pembelajaran • Menggambar kurva-kurva standar • Menentukan persamaan asimtot yang sejajar sumbu-x dan asimtot yang sejajar sumbu-y • Menggambar grafik kurva beserta asimtot, titik stasioner, dan kelengkapan-kelengkapan lainnya • Mencocokkan grafik pada data dengan menggunakan bentuk-bentuk “garis lurus” • Mencocokkan grafik pada data dengan menggunakan metode kuadrat terkecil Matematika Industri 1

KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB

Recommend Documents