PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) Interpolasi : • Interpolasi Linier • Interpolasi Kuadratik • Interpolasi Polinomial • Interpolasi Lagrange Regresi : • Regresi Linier • Regresi Eksponensial • Regresi Polinomial
INTERPOLASI Interpolasi digunakan untuk menaksir nilai antara (intermediate value) diantara titik-titik data yang tepat. Metode yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial yang terdiri dari beberapa orde sbb :
Interpolasi Linier (orde 1)
Interpolasi Kuadratik (orde 2)
Interpolasi Kubik (orde 3)
INTERPOLASI LINIER Tujuan : menentukan titik antara dari 2 titik data dengan menggunakan garis lurus.
y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 Sehingga :
y = y1 +
x − x1 ( y2 − y1 ) x2 − x1
Semakin kecil interval P1 & P2 semakin baik hasil interpolasi.
INTERPOLASI LINIER Algoritma interpolasi linier : 1. Tentukan 2 titik P1 dan P2 dg koordinat masingmasing (x1,y1) dan (x2,y2) 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q) 3. Hitung nilai y dengan :
y = y1 +
x − x1 ( y2 − y1 ) x2 − x1
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)
INTERPOLASI LINIER Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi linier serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data : 2 a. ln(1) dan ln(6) y = ln(x) 1.5 b. ln(1) dan ln(4) 1 Jawab (a) : x1 = 1, y1 = ln(1) = 0 0.5 x2 = 6, y2 = ln(6) = 1,791759 0 x=2 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 2 −1 (1,791759) = 0,358352 yˆ = 0 + 6 −1 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 48,4%
7
INTERPOLASI LINIER 2
Jawab (b) :
y = ln(x) 1.5 1 0.5
x1 = 1, y1 = ln(1) = 0 0 x2 = 4, y2 = ln(4) = 1,386294 -0.5 0 1 2 3 4 x=2 2 −1 (1,386294) = 0,462098 yˆ = 0 + 4 −1 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 33,3%
5
6
7
INTERPOLASI KUADRATIK Tujuan : menentukan titik antara dari 3 titik data dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
P2(x2,y2)
Q(x,y) P0(x0,y0)
Bentuk umum persamaan utk interpolasi kuadratik :
P1(x1,y1)
f 2 ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 ) ......... (1)
INTERPOLASI KUADRATIK Bentuk umum tersebut jika ditulis dalam fungsi kuadrat sbb :
f 2 ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 dimana :
a0 = b0 − b1 x0 − b2 x0 x1 a1 = b1 − b2 x0 − b2 x1 a2 = b2 Bagaimana mendapatkan nilai b0, b1 dan b2 ?
INTERPOLASI KUADRATIK Untuk x = x0, persamaan (1) menjadi : b0 = y0 .............. (2) Untuk x = x1 dan substitusi pers. (2) kedalam (1) :
b1 =
y1 − y0 ................. (3) x1 − x0
Untuk x = x2 dan substitusi pers. (2) dan (3) kedalam (1) :
y2 − y1 y1 − y0 − x −x x1 − x0 b2 = 2 1 x2 − x0
................. (4)
INTERPOLASI KUADRATIK Selain menggunakan bentuk umum persamaan (1) dengan nilai b0, b1 dan b2 pada persamaan (2) s/d (4), untuk menghitung nilai y pada interpolasi kuadratik bisa juga menggunakan persamaan sbb :
(x − x1 )(x − x2 ) + y (x − x0 )(x − x2 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) 1 (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + y2 (x2 − x0 )(x2 − x1 )
y = y0
INTERPOLASI KUADRATIK Algoritma interpolasi kuadratik : 1. Tentukan 3 titik input P0(x0,y0), P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (Q) 3. Hitung nilai y dengan : y = y0
(x − x1 )(x − x2 ) + y (x − x0 )(x − x2 ) + y (x − x0 )(x − x1 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) 1 (x1 − x0 )(x1 − x2 ) 2 (x2 − x0 )(x2 − x1 )
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : (x,y)
INTERPOLASI KUADRATIK Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi kuadratik serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), 2 ln(4) dan ln(6) Jawab : 1.5 y = ln(x) x0 = 1, y0 = ln(1) = 0 1 x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294 0.5 x2 = 6, y2 = ln(6) = 1,791759 0 x=2 -0.5 Harga-harga tsb dimasukkan 0 1 2 3 4 5 6 7 kedalam rumus sehingga diperoleh : ŷ = 0.565844 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 18,4%
INTERPOLASI POLINOMIAL Tujuan : menentukan titik antara dari n titik data dg menggunakan pendekatan fungsi polinomial. Metode yang bisa digunakan untuk memperoleh hasilnya adalah interpolasi polinomial beda terbagi Newton (divided difference interpolation polynomial by Newton). Bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton :
f n ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 ) + K + bn ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn −1 )
INTERPOLASI POLINOMIAL dimana :
b0 = y0 b1 = f [ x1 , x0 ]
→ beda terbagi hingga ke 1
b2 = f [ x2 , x1 , x0 ]
→ beda terbagi hingga ke 2
M bn = f [ xn , xn −1 , L, x1 , x0 ] → beda terbagi hingga ke n f […,…] disebut beda terbagi hingga
INTERPOLASI POLINOMIAL Cara menghitung “beda terbagi hingga” : f [ x1 , x0 ] =
y1 − y0 x1 − x0
f [ xi , x j , xk ] =
→
f [ xi , x j ] =
Simbol :
yi − y j
Dfj
xi − x j
f [ xi , x j ] − f [ x j , xk ]
D2fk
xi − xk
f [ xn , xn −1 ,L , x1 , x0 ] =
f [ xn , xn −1 , L, x1 ] − f [ xn −1 , xn −2 , L, x0 ] Dnf0 xn − x0
INTERPOLASI POLINOMIAL Langkah-langkah perhitungan interpolasi polinomial beda terbagi Newton : 1. Tentukan n titik input untuk interpolasi orde n–1. 2. Buat tabel “beda terbagi hingga” untuk mendapatkan koefisien bi 3. Masukkan koefisien bi kedalam bentuk persamaan interpolasi polinomial Newton :
umum
f n ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 (x − x0 )(x − x1 ) + K + bn (x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn −1 )
4. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari dan hitung nilai y dari persamaan interpolasi polinomial Newton tsb.
INTERPOLASI POLINOMIAL Tabel beda terbagi hingga : i
xi
yi
Dfi Df 0 =
D2fi
D3fi
y1 − y0 Df − Df 0 3 D 2 f1 − D 2 f 0 D 2 f0 = 1 D f0 = x1 − x0 x 2 − x0 x 3 − x0
0
x0
y0
1
x1
y2 − y1 Df 2 − Df1 2 y1 Df1 = x − x D f1 = x − x 2 1 3 1
2
x2
3 2 y2 Df 2 = x − x 3 2
3
x3
y3
y −y
INTERPOLASI POLINOMIAL Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab : x0 = 1, y0 = ln(1) = 0 x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294 x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438 x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759
INTERPOLASI POLINOMIAL Tabel beda terbagi hingga : i
xi
yi
Dfi
D2fi
D3fi
0
1
0
0,462098
-0,059739
0,007866
1
4
1,386294 0,223144
-0,020411
2
5
1,609438 0,182322
3
6
1,791759
INTERPOLASI POLINOMIAL Sehingga adalah :
persamaan
interpolasi
polinomialnya
f 3 ( x ) = 0 + 0,462098(x − x0 ) − 0,059739( x − x0 )( x − x1 ) + 0,007866(x − x0 )(x − x1 )( x − x2 )
Masukkan harga-harga x kedalam persamaan : x = 2, x0 = 1, x1 = 4, x2 = 5 Sehingga diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 9,3%
INTERPOLASI LAGRANGE Metode lain utk mendapatkan interpolasi polinomial adalah model interpolasi Lagrange yg menggunakan fungsi polinomial dalam kombinasi deret. Bentuk umum persamaan interpolasi Lagrange : n
y = ∑ yi Li ( x) i =0
dengan : n
Li ( x) = ∏ j =0 j ≠i
x − xj xi − x j
INTERPOLASI LAGRANGE Dari persamaan tersebut dpt dirumuskan beberapa interpolasi orde n sbb : • Interpolasi linier (orde 1) :
y = y0
x − x0 x − x1 + y1 x1 − x0 x0 − x1
• Interpolasi kuadratik (orde 2) :
(x − x1 )(x − x2 ) + y (x − x0 )(x − x2 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) 1 (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + y2 (x2 − x0 )(x2 − x1 )
y = y0
INTERPOLASI LAGRANGE • Interpolasi kubik (orde 3) :
y = y0 L0 + y1L1 + y2 L2 + y3 L3 dimana : L0 =
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )
L1 =
(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 )
L2 =
(x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 )
L3 =
(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 )
INTERPOLASI LAGRANGE Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab : x0 = 1, y0 = ln(1) = 0 x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294 x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438 x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759
INTERPOLASI LAGRANGE i
xi
yi
Li
yiLi
0
1
0
0.4
0
1
4
1,386294
2
2,772589
2
5
1,609438
-2
-3,218876
3
6
1,791759
0.6
1,075056
ŷ=
0,628769
Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 9,3%
INTERPOLASI POLINOMIAL Ada cara lain untuk mendapatkan persamaan polinomial pada interpolasi polinomial, yaitu dengan cara menyusun sistem persamaan linier simultan dari nilai-nilai x dan y yang diketahui. Jika ada n titik data yaitu P1(x1,y1) s/d Pn(xn,yn) maka:
y1 = a0 + a1 x1 + a2 x12 + K + an −1 x1n −1 y2 = a0 + a2 x2 + a2 x22 + K + an −1 x2n −1 y3 = a0 + a1 x3 + a2 x32 + K + an−1 x3n −1 M yn = a0 + a1 xn + a2 xn2 + K + an−1 xnn −1
INTERPOLASI POLINOMIAL Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut adalah nilai-nilai a0, a1, a2, …, an-1 yang merupakan koefisien dari persamaan polinomial sbb :
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an −1 x n −1 Sehingga dengan memasukkan nilai x pada persamaan tersebut akan didapatkan nilai y dari titik yang akan dicari.
INTERPOLASI POLINOMIAL Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut dapat menggunakan metode-metode yang telah dipelajari, seperti metode eliminasi Gauss atau metode eliminasi Gauss Jordan dengan menyusun matriks sbb :
1 1 1 M 1
x1 x2 x3 M xn
x12 L x1n −1 a0 y1 x22 L x2n −1 a1 y2 x32 L x3n −1 a2 = y3 M M M M M xn2 L xnn −1 an −1 yn
INTERPOLASI POLINOMIAL Contoh : Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6) Jawab : x0 = 1, y0 = ln(1) = 0 x1 = 4, y1 = ln(4) = 1,386294 x2 = 5, y2 = ln(5) = 1,609438 x3 = 6, y3 = ln(6) = 1,791759
INTERPOLASI POLINOMIAL Dengan metode Gauss Jordan, Augmented matrix : 1 1 1 1
1 1 1 0 4 16 64 1,386294 B2-B1 5 25 125 1,609438 B3-B1 6 36 216 1,791759 B4-B1
1 0 0 0
1 1 1 0 3 15 63 1,386294 B2/3 4 24 124 1,609438 5 35 215 1,791759
INTERPOLASI POLINOMIAL 1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 B1-B2 1 5 21 0,462098 4 24 124 1,609438 B3-4B2 5 35 215 1,791759 B4-5B1 0 − 4 − 20 − 0,462098 1 5 21 0,462098 0 4 40 − 0,238955 B3/4 0 10 110 − 0,518731
INTERPOLASI POLINOMIAL 1 0 0 0 1 0 0 0
0 − 4 − 20 − 0,462098 B1+4B3 1 5 21 0,462098 B2-5B3 0 1 10 − 0,059739 0 10 110 − 0,518731 B4-10B3 0 0 20 − 0,701053 1 0 − 29 0,760791 0 1 10 − 0,059739 0 0 10 0,078655 B4/10
INTERPOLASI POLINOMIAL 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 20 − 0,701053 B1-20B4 1 0 − 29 0,760791 B2+29B4 0 1 10 − 0,059739 B3-10B4 0 0 1 0,007866 0 0 0 − 0,858363 1 0 0 0,988892 0 1 0 − 0,138394 0 0 1 0,007866
INTERPOLASI POLINOMIAL Sehingga diperoleh persamaan polinomial sbb : y = −0,858363 + 0,988892 x − 0,138394 x 2 + 0,007866 x 3
Untuk x = 2, diperoleh : ŷ = 0,628769 Nilai eksak y = ln(2) = 0,693147 → εr = 9,3%
