REGRESI • Curve Fitting • Regresi Linier • Regresi Eksponensial • Regresi Polynomial
Regresi
1
Curve Fitting: Kasus 1 Diberikan data berupa kumpulan titik-titik diskrit. Diperlukan estimasi / perkiraan untuk mendapatkan nilai dari titik-titik yang berada di antara titik-titik diskrit tersebut
f(x0)
f(x0)
x0
x0 Regresi
2
Curve Fitting: Kasus 2 Dari kumpulan titik yang membentuk data, dapat dibuat sebuah persamaan fungsi sederhana.
Regresi
3
Curve Fitting: Regresi Jika data menunjukkan sebuah derajat kesalahan atau noise, dapat dibuat kurva tunggal untuk merepresentasikan trend data tersebut.
Regresi
4
Curve Fitting: Interpolasi Jika data yang disediakan sudah sangat presisi, pendekatan yang dilakukan adalah dengan membuat kurva atau urutan kurva yang sesuai yang melalui masing-masing titik.
Regresi
5
Regresi Linier Regresi Linier digunakan untuk menentukan fungsi linier yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.
Sebaran data dengan kurva linier Regresi
6
Untuk mendapatkan fungsi linier y=mx+c, dicari nilai m dan c
⎛ N ⎞⎛ N ⎞ N ∑ xn yn − ⎜ ∑ xn ⎟⎜ ∑ yn ⎟ ⎝ n =1 ⎠⎝ n =1 ⎠ m = n =1 2 N N ⎛ ⎞ 2 N ∑ xn − ⎜ ∑ xn ⎟ n =1 ⎝ n =1 ⎠ N
N
N
c=
∑y n =1
N
n
−m
∑x n =1
n
N Regresi
= y − mx
7
Contoh Penyelesaian Regresi Linier Carilah persamaan kurva linier jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut: xn 1 2 3 4 5 6 7
yn 0.5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5.5
N=7
∑x y
= 119.5
2 x = 140 y = 24 . 0 x = 28 ∑ n ∑ n ∑ n
28 x= =4 7 m=
n
n
24 y= = 3.428571 7
7 x119.5 − 28 x 24 = 0.8392857 2 7 x140 − 28
c = y − mx = 3.428571 − 0.8392857 x 4
= 0.0714282
Sehingga persamaan kurva linier :
y = 0.8392857 x + 0.0714282 Regresi
8
Tabel data hasil regresi
kurva
y = 0.8392857 x + 0.0714282
Regresi
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
y 0.910714 1.33036 1.75 2.16964 2.58929 3.00893 3.42857 3.84821 4.26786 4.6875 5.10714 5.52679 5.94643 6.36607 6.78571 7.20536 7.625 8.04464 8.46429 9
Algoritma Regresi Linier 1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N 2. Hitung nilai m dan c dengan menggunakan formulasi dari regresi linier 3. Tampilkan fungsi linier 4. Hitung fungsi linier tersebut dalam range x dan step dx tertentu 5. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi linier tersebut
Regresi
10
Regresi Eksponensial Regresi Eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Regresi Eksponensial merupakan pengembangan dari regresi linier dengan memanfaatkan fungsi logaritmik
y = e ax +b
Untuk fungsi dapat di logaritma-kan menjadi atau
(
ln y = ln e ax +b
)
ln y = ax + b jika z = ax + b maka: z = ln y Regresi
11
Contoh Penyelesaian Regresi Eksponensial Carilah persamaan kurva eksponensial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut: xi 1 2 3 4 5
yi 0.5 1.7 3.4 5.7 8.4
zi = ln y
-0.6931 0.5306 1.2238 1.7405 2.1282
Cari nilai a dan b seperti mencari nilai m dan c pada regresi linier
∑x
n
= 15
∑z
n
= 4.93
∑ xn zn = 21.6425
N=5
2 x ∑ n = 55
Sehingga persamaan kurva eksponensial menjadi:
5 x 21.6425 − 15 x 4.93 a= = 0.685 2 5 x55 − (15)
y=e
4.93 15 b= − 0.685 x = −1.069 5 5 Regresi
0.685 x −1.069
12
Tabel data hasil regresi i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kurva eksponensial
y=e
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
y 0.6811 0.9593 1.3512 1.9031 2.6805 3.7754 5.3175 7.4895 10.5487 14.8574
0.685 x −1.069
Regresi
13
Algoritma Regresi Eksponensial 1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N 2. Ubah nilai y menjadi z dengan z = ln y 3. Hitung nilai a dan b dengan menggunakan formulasi dari regresi linier (seperti mencari m dan c) ax + b 4. Tampilkan fungsi eksponensial y = e 5. Hitung fungsi eksponensial tersebut dalam range x dan step dx tertentu 6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi eksponensial tersebut Regresi
14
Regresi Polynomial Regresi Polynomial digunakan untuk menentukan fungsi polinomial yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Fungsi Pendekatan :
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + .. + an x n Untuk persamaan polinomial orde 2 didapatkan hubungan : n n n ⎧ 2 xi )a1 + ( ∑ xi )a 2 = ∑ yi ⎪na0 + (i∑ i =1 i =1 =1 ⎪ n n n ⎪ n 2 3 ⎨( ∑ xi )a0 + ( ∑ xi )a1 + ( ∑ xi )a 2 = ∑ ( xi yi ) i =1 i =1 i =1 ⎪ i =1 n n n ⎪ n 2 3 4 2 + + = ( x ) a ( x ) a ( x ) a ( x yi ) ∑ ∑ ∑ ∑ i 0 i 1 i 2 i ⎪ i =1 i =1 i =1 15 ⎩ i =1 Regresi
Contoh Penyelesaian Regresi Polinomial Carilah persamaan kurva polinomial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut: xi 0 1 2 3 4 5
yi 2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1
2 x ∑ xi yi = 585.6 ∑ i yi = 2488.8
n=6
∑ xi = 15 ∑ yi = 152.6 x = 2.5 y = 25.433 4 x ∑ x = 55 ∑ x = 225 ∑ i = 979 2 i
3 i
⎡6 15 55 ⎤ ⎧a0 ⎫ ⎧152.6 ⎫ ⎢15 55 225 ⎥ ⎪a ⎪ = ⎪585.6 ⎪ ⎬ ⎢ ⎥⎨ 1 ⎬ ⎨ ⎢⎣55 225 979⎥⎦ ⎪⎩a 2 ⎪⎭ ⎪⎩2488.8⎪⎭ ⎧a0 ⎫ ⎧2.47857 ⎫ sehingga ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨a1 ⎬ = ⎨2.35929 ⎬ 2 y=2.47857+2.35929x+1.86071x ⎪a ⎪ ⎪1.86071 ⎪ Regresi ⎭ ⎩ 2⎭ ⎩
16
Tabel data hasil regresi i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kurva polinomial
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
y 6.69857 10.2041 14.64 20.0062 26.3028 33.5298 41.6871 50.7748 60.7928 71.7411
y=2.47857+2.35929x+1.86071x2
Regresi
17
Algoritma Regresi Polinomial 1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N 2. Hitung nilai-nilai yang berhubungan dengan jumlahan data untuk mengisi matrik normal 3. Hitung nilai koefisien a0, a1,a2 dengan menggunakan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan 2 n 4. Tampilkan fungsi polinomial y = a0 + a1 x + a2 x + .. + an x 5. Hitung fungsi polinomial tersebut dalam range x dan step dx tertentu 6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi polinomial tersebut Regresi
18
