Analisis Regresi Linier ( Lanjutan )
Outline -
Regresi Berganda
-
Pemeriksaan Regresi : Koef. Determinasi Standar Error Interval Kepercayaan Uji Hipotesis :t test, F test, -
Pelanggaran Asumsi : Multicollinearity Heteroscedasticity Otokorelasi
Regresi Berganda
Apakah Konsumsi hanya dipengaruhi oleh Pendapatan saja? Ada beberapa variabel lain yang berpengaruh, seperti jumlah anggota keluarga, umur anggota keluarga, selera pribadi, dan sebagainya. Bila dianggap variabel lain perlu diakomodasikan dalam menganalisis konsumsi, maka Regresi Sederhana dikembangkan menjadi Regresi Berganda.
MODEL Yi = β 0 + β 1X1i + β 2X2i + β 3X3i + ........+ β kXki + ui i = 1,2,3,......., N (banyaknya observasi)
Contoh Aplikasi: Yi = β 0 + β 1X1 + β 2X2 + β 3X3 + ui Y : Konsumsi X1 : Pendapatan X2 : Umur X3 : Jumlah tanggungan
Pemeriksaan Regresi
Koefisien Determinasi Standard Error Koefisien Interval Kepercayaan Uji Hipotesis:
Uji t Uji F
Pemeriksaan Regresi
Standard Error Prinsip OLS: meminimalkan error. Oleh karena itu, ketepatan dari nilai dugaan sangat ditentukan oleh standard error dari masingmasing penduga. Adapun standard error dirumuskan sebagai berikut:
Se=
∑ Υ− Υ 2 = n−2
SST −SSR = n−2
∑ Υ 2 −b ∑ ΧΥ = MSE n−2
Pemeriksaan Regresi
Oleh karena σ merupakan penyimpangan yang terjadi dalam populasi, yang nilainya tidak diketahui, maka σ biasanya u = diduga berdasarkan data sampel. Adapun penduganya adalah sebagai berikut : 2 i
1/2 2 ∑ u i s = Berdasar formula: error yang minimal akan 2 N −
ui2 =
(Yi − Yˆi ) 2
mengakibatkan standar error koefisien yang minimal pula. Berapa batasannya standar error disebut besar atau kecil?
Pemeriksaan Regresi
Sulit ditentukan secara absolut. Data jutaan rupiah tentunya akan memiliki standar error yang lebih besar dibanding ratusan rupiah. Digunakan dengan membuat rasio dengan koefisien regresi. Rasio inilah yang menjadi acuan pada Ujit.
Interval Kepercayaan β
Apa yang dimaksud Interval kepercayaan? Untuk apa? Formulasi: bj ± tα /2 s.e(bj) atau P(bj tα /2 s.e(bj) ≤ βj ≤ bj + tα /2 s.e(bj))= 1 α
j
Interval Kepercayaan β
j
b1 = 0,1022 dan s.e (b1) = 0,0092. Banyaknya observasi (n) = 10; Banyaknya parameter yang diestimasi (k) = 2; Dengan demikian derajat bebas = 10 – 2 = 8; dan tingkat signifikansi 1α = 95 %. Dari tabel t0,025 dengan derajat bebas = 8, diperoleh nilai t = 2,306. Maka interval kepercayaan untuk β1 adalah : ( 0,1022 ± 2,306 (0,0092) ) atau (0,0810 ; 0,1234) Artinya: Nilai β1 terletak antara 0,0810 dan 0,1234 dengan peluang sebesar 95%.
Uji Hipotesis Uji t
Pengujian koefisien regresi secara individu. H0 : β j = 0 H1 : β j ≠ 0; j = 0, 1, 2........, k koefisien slop. Untuk regresi sederhana: (1) H0 : β 0 = 0 (2) H0 : β 1 = 0 H1 : β 0 ≠ 0 H1 : β 1 ≠ 0; Ujit didefinisikan sebagai berikut:
t =
b j −β j s.ebj
β j akan diuji apakah sama dengan 0
t =
k adalah
bj s. e b j
Ujit
Nilai t dibandingkan dengan nilai t tabel. Bila ternyata, setelah dihitung t > tα /2,df, maka nilai t berada dalam daerah penolakan, sehingga hipotesis nol (β j = 0) ditolak pada tingkat kepercayaan (1α ) x100%. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa β j statistically significance.
Uji Hipotesis
UjiF Diperuntukkan guna melakukan uji hipotesis koefisien (slop) regresi secara bersamaan. H0 : β 2 = β 3 = β 4 =............= β k = 0 H1 : Tidak demikian (paling tidak ada satu slop yang ≠ 0) Dimana: k adalah banyaknya variabel bebas.
Regresi sederhana: H0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 H1 : Tidak demikian (paling tidak ada satu slop yang ≠ 0)
Pengujian: ANOVA (Analysis of Variance).
UjiF
Observasi: Yi = β 0 + β 1 Xi + ei Regresi: Ŷi = b1 + b2 Xi (catatan: Ŷi merupakan estimasi dari Yi). Bila kedua sisi dikurangi maka: Y
Yi − Y = Y − Y + ei
Selanjutnya kedua sisi dikomulatifkan: (Yi − Y ) 2 = 2
∑ ∑ (Y
i
− Y)
∑ (Y − Y + e ) = ∑ (Y − Y ) + ∑ e i
i
i
2
2
2 i
SST SSR SSE SST : Sum of Squared Total SSR: Sum of Squared Regression
Uji F
Sumber Regresi Error Total
Tabel ANOVA Sum of Square df Mean Squares F Hitung SSR k MSR = SSR/k F = MSR SSE nk1 MSE= SSE/(nk1) MSE SST n1
Dimana df adalah degree of freedom, k adalah jumlah variabel bebas (koefisien slop), dan n jumlah observasi (sampel). Bandingkan F Hit dengan Fα(k,nk1)
Asumsiasumsi dasar OLS
Pendugaan OLS akan bersifat BLUE (Best Linier Unbiased Estimate) jika memenuhi 3 asumsi utama, yaitu:
Tidak ada multikolinieritas Tidak mengandung Heteroskedastisitas Bebas dari otokorelasi
BLUE jika:
Penduga bersifat linear Dan efisien ( tak bias dan varians minimum)
Multikolinieritas
Multikolinieritas: adanya hubungan linier antara regressor. Misalkan terdapat dua buah regressor, X1 dan X2. Jika X1 dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari X2, misal : X1 = γ X2, maka ada kolinieritas antara X1 dan X2. Akan tetapi, bila hubungan antara X1 dan X2 tidak linier, misalnya X1 = X22 atau X1 = log X2, maka X1 dan X2 tidak kolinier.
Ilustrasi
Yi = β 0 + β 1X1 + β 2X2 + β 3X3 + ui Y X1 X2 X3
: Konsumsi : Total Pendapatan : Pendapatan dari upah : Pendapatan bukan dari upah
Secara substansi: total pendapatan (X1) = pendapatan dari upah (X2) + pendapatan bukan dari upah (X3). Bila model ini ditaksir menggunakan Ordinary Least Square (OLS), maka β i tidak dapat diperoleh, karena terjadi perfect multicollinearity. Tidak dapatnya β diperoleh karena ( XT X )1, tidak bisa dicari.
Data Perfect Multikolinieritas
X1
X2
X3
12 16 19 23 29
48 64 76 92 116
51 65 82 96 118
Nilainilai yang tertera dalam tabel menunjukan bahwa Antara X1 dan X2 mempunyai hubungan: X2 = 4X1. Hubungan seperti inilah yang disebut dengan perfect multicollinearity.
Akibat Multikolinieritas
Varians besar (dari taksiran OLS) Interval kepercayaan lebar (variansi besar ⇒ Standar Error besar ⇒ Interval kepercayaan lebar) R2 tinggi tetapi tidak banyak variabel yang signifikan dari uji t. Terkadang taksiran koefisien yang didapat akan mempunyai nilai yang tidak sesuai dengan substansi, sehingga dapat menyesatkan interpretasi.
Kesalahan Interpretasi “Interpretasi dari persamaan regresi ganda secara implisit bergantung pada asumsi bahwa variabel-variabel bebas dalam persamaan tersebut tidak saling berkorelasi. Koefisien-koefisien regresi biasanya diinterpretasikan sebagai ukuran perubahan variabel terikat jika salah satu variabel bebasnya naik sebesar satu unit dan seluruh variabel bebas lainnya dianggap tetap. Namun, interpretasi ini menjadi tidak benar apabila terdapat hubungan linier antara variabel bebas” (Chatterjee and Price, 1977).
Ilustrasi
Konsumsi (Y)
Pendapatan (X1)
Kekayaan (X2)
40
50
500
50
65
659
65
80
856
90
110
1136
85
100
1023
100
120
1234
110
140
1456
135
190
1954
140
210
2129
160
220
2267
Ilustrasi
Model: Y = 12,8 – 1,414X1 + 0,202 X2 SE (4,696) (1,199) (0,117) t (2,726) (1,179) (1,721) R2 = 0,982 R2 relatif tinggi, yaitu 98,2%. Artinya? Uji t tidak signifikan. Artinya? Koefisien X1 bertanda negatif. Artinya?
Ilustrasi: Model dipecah
Dampak Pendapatan pada Konsumsi Y = 14,148 + 0,649X1 SE (5,166) (0,037) t (2,739) (17,659) R2 = 0,975 R2 tinggi, Uji t signifikan, dan tanda X1 positif. Dampak Kekayaan pada Konsumsi Y = 13,587 + 0,0635X2 SE (4,760) (0,003) t (2,854) (19,280) R2 = 0,979 R2 tinggi, Uji t signifikan, dan tanda X2 positif. X1 dan X2 menerangkan variasi yang sama. Bila 1 variabel saja cukup, kenapa harus dua?
Mendeteksi Multikolinieritas 1. Membandingkan R2 dan nilai tstat
R2 cukup tinggi (0,7 – 1,0) tetapi ujitnya untuk masing masing koefisien regresinya menunjukkan tidak signifikan. Tingginya nilai R2 merupakan syarat yang cukup (sufficient) akan tetapi bukan merupakan syarat yang penting untuk terjadinya multikorelineartitas, sebab pada R2 yang rendah (<5%) bisa juga terjadi multikolinearitas.
2. Menggunakan Matriks Korelasi antara variabel independent.
Jika korelasi antara variable independent kuat ( > 0.70 ) menjadi dugaan adanya multikolinearitas
3. VIF (Variance Inflation Factor) dan Tolerance Value (TOL) VIF j =
1
; j = 1,2,……,k
1 − R2j k adalah banyaknya variabel bebas
R2j adalah koefisien determinasi antara variabel bebas kej dengan variabel bebas lainnya.
Batas nilai VIF adalah 10. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa kolinieritas tidak ada jika nilai VIF dibawah batas nilai tersebut
VIF ini mempunyai hubungan dengan Tolerance (TOL), dimana hubungannya adalah sebagai berikut:
1 2 TOL j = = 1−R j VIF
Variabel bebas dinyatakan tidak multikolinieritas jika TOL tidak melebihi 0.10
4. Meregresikan variabel independent X dengan variabel independent variabel variabel lain, kemudian dihitung R2 nya yaitu dengan uji F (uji signifikansi).
Jika F* adalah F hitung maka :
Jika F* > F tabel, artinya Ho ditolak; H1 diterima ada multikolinearitas Jika F* < F tabel, artinya Ho diterima; H1 diterima tidak ada multikolinearitas
Mengatasi multikolinieritas
Melihat informasi sejenis yang ada ( teori ekonomi atau penelitian sebelumnya) Kombinasi crosssection dan time series Tidak mengikutsertakan salah satu variabel yang kolinier – –
Banyak dilakukan. Hatihati, karena dapat menimbulkan specification bias yaitu salah spesifikasi kalau variabel yang dibuang merupakan variabel yang sangat penting.
Mentransformasikan variabel : first difference method Mencari data tambahan
Heteroskedastisitas
Variasi Error tidak konstan. Umumnya terjadi pada data cross section. Misal data konsumsi dan pendapatan, atau data keuntungan dan asset perusahaan Pelanggaran homoskedastis membuat penduga OLS tetap tak bias dan konsisten , tetapi tidak lagi efisien
Pola Data Heteroskedastis 120 100 80 60 40 20 0 0
20
40
60
Penyebab
Adanya errorlearning model ( kesalahan jam praktek) Discretionary yang lebih besar untuk kasus income yang besar (konsumsi pendapatan) Teknik pendataan yang semakin baik ( kesalahan – kemajuan teknik )
Data Heteroskedastisitas
Fakta:
hubungan positif antara X dan Y, dimana nilai Y meningkat searah dengan nilai X. semakin besar nilai variabel bebas (X) dan variabel bebas (Y), semakin jauh koordinat (x,y) dari garis regresi (Error/residual makin membesar) besarnya variasi seiring dengan membesarnya nilai X dan Y. Atau dengan kata lain, variasi data yang digunakan untuk membuat model tidak konstan.
Pemeriksaan Heteroskedastisitas 1. Metode Grafik Prinsip: memeriksa pola residual (u 2) i terhadap taksiran Yi.
Langkahlangkah:
Run suatu model regresi Dari persamaan regresi, hitung ui2 Buat plot antara u i2 dan taksiran Yi
Pola Grafik ui 2
,
i
Pengamatan: 1.Tidak adanya pola yang sistematis. 2.Berapapun nilai Y prediksi, residual kuadratnya relatif sama. 3.Variansi konstan, dan data homoskedastis.
Pola Adanya Heteroskedastisitas ui2
ui2
Pola sistematis
i
i
2. Uji Park
Prinsip: memanfaatkan bentuk regresi untuk melihat adanya heteroskedastisitas dimana ui2 adalah suatu fungsi yang menjelaskan Xi Langkahlangkah yang dikenalkan Park: 1. Run regresi Yi = α 0 + β 0Xi + ui 2. Hitung ln ui2
3. Run regresi ln ui2 = α + β ln Xi + vi 4. Lakukan ujit. Bila β signifikan, maka ada heteroskedastisitas dalam data.
Ilustrasi
Sales man
X
Y
Sales man
X
Y
Sales man
X
Y
1
2
10
11
15
80
21
32
180
2
3
15
12
17
90
22
33
185
3
4
20
13
18
95
23
34
190
4
5
25
14
19
100
24
37
205
5
7
35
15
20
105
25
39
215
6
8
40
16
22
120
26
40
220
7
10
50
17
23
125
27
42
230
8
11
60
18
25
135
28
43
235
9
12
65
19
27
145
29
44
240
10
13
70
20
30
160
30
45
245
Y = ratarata bonus (dalam ribuan rupiah) X = ratarata sepatu terjual (dalam unit)
Ilustrasi
Y = 3,1470 + 5,5653 X SE (0,0305) R2 = 0,9992 slope signifikan: Bila sepatu terjual naik 1 unit, maka bonus akan naik Rp.5.563. Apakah ada heteroskedastisitas ?
Run regresi, didapat: ln ui2 = 6,0393 – 2,1116 ln Xi SE (0,0090) R2 = 0,9995
Menurut uji t, β signifikan sehingga dalam model penjualan sepatu vs bonus di atas ada heteroskedastisitas.
3. Uji Goldfeld – Quandt
Metode Goldfeld – Quandt sangat populer untuk digunakan, namun agak merepotkan, terutama untuk data yang besar. Langkahlangkah pada metode ini: Urutkan nilai X dari kecil ke besar Abaikan beberapa pengamatan sekitar median, katakanlah sebanyak c pengamatan. Sisanya, masih ada (N – c) pengamatan Lakukan regresi pada pengamatan 1, dan hitung SSE 1 Lakukan regresi pada pengamatan 2 dan hitung SSE 2. Hitung df Lakukan uji F > F hit = SSE2 / SSE1
BilaF hit > F tabel, kita tolak hipotesis yang mengatakan data mempunyai variasi yang homoskedastis > terjadi hetero
Ilustrasi
Ada 30 pengamatan penjualan sepatu dan bonus. Sebanyak 4 pengamatan yang di tengah diabaikan sehingga tinggal 13 pengamatan pertama (Kelompok I) dan 13 pengamatan kedua (Kelompok II). Regresi berdasarkan pengamatan pada kelompok I: Y = 1,7298 + 5,4199 X R2 = 0,9979 RSS1 = 28192,66 df1 = 11 Regresi berdasarkan pengamatan pada kelompok II: Y = 0,8233 + 5,5110 X R2 = 0,9941 RSS2 = 354397,6 df2 = 11
Ilustrasi
λ=
RSS 2 / df
2
RSS 1 / df 1
= 354397,6/11 = 12,5706 28192,66/11
Dari tabel F, didapat F = 2,82 sehingga λ > F Kesimpukan: ada heteroskedastisitas dalam data
Mengatasi heteroskedastisitas 1. Transformasi dengan Logaritma
Transformasi ini ditujukan untuk memperkecil skala antar variabel bebas. Dengan semakin ‘sempitnya’ range nilai observasi, diharapkan variasi error juga tidak akan berbeda besar antar kelompok observasi. Keuntungan tambahan berupa interpretasi elastisita
Adapun model yang digunakan adalah:
Ln Yj = β0 + β1 Ln Xj + uj
2. Metode Generalized Least Squares (GLS) Perhatikan model berikut : Yj = β 1 + β 2 Xj + uj dengan Var (uj) = σ 1 Masingmasing dikalikan s j
Yj sj
=β1
j
2
Xj uj 1 +β 2 sj sj sj
Maka diperoleh transformed model sebagai berikut : Yi* = β 1* + β 2Xi* + ui*
GLS
Kita periksa dulu apakah ui* homoskedastis ? E(ui* ) = E 2
ui
2
σi
2
=
1 1 E u i = σ i =1 σi σi 2
2
2
2
konstan
Transformasi Oleh karena mencari σ j2 hampir tidak pernah diketahui, maka biasanya digunakan asumsi untuk mendapat nilai σ j2. Asumsi ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan variabel. Ada beberapa jenis, yaitu: 1. Transformasi dengan Asumsi:
1 Xj
σ j2 = E u 2 =σ2 X 2 j j
Akibat transformasi, model menjadi:
Yj Xj
=β0
uj 1 +β 1 Xj Xj
atau dapat ditulis dengan: Y i* = β 0 X* + β 1 + vi
Transformasi
Apakah sudah homoskedastis? Perhatikan bukti berikut: E(vi ) = 2
E
uj
2
Xj
2
1 1 2 2 = E u j = σ X j =σ Xj Xj
2. Transformasi dengan Asumsi:
2
2
2
2
1
Xi
σ j2 = E u 2 =σ2 X j j
3. Transformasi dengan E(Yi), dimana E(Yi) = β 1 + β 2 X2 Asumsi:
σ j2 = E u 2j =σ2 [ E Y j ] 2
konstan
Otokorelasi
Otokorelasi: korelasi antara variabel itu sendiri, pada pengamatan yang berbeda waktu atau individu. Umumnya kasus otokorelasi banyak terjadi pada data time series Kondisi sekarang dipengaruhi waktu lalu. Tapi pada data cross section juga mungkin terjadi E (ui uj) menjadi tidak = 0 Akibat yang ditimbulkan penaksir menjadi tidak efisien
Penyebab
Inersia Bias Spesifikasi : ada variabel penting yang diexclude
Fenomena cobweb
Adanya lag
Mendeteksi Otokorelasi 1. Grafik Pola Autokorelasi
ui
ui
* * * * * * * * * * Waktu/X * * *
* ** * * * ** * ** Waktu/X
Gambar nomor (1) menunjukan adanya siklus, sedang nomor (2) menunjukan garis linier. Kedua pola ini menunjukan adanya otokorelasi.
2. Uji DurbinWatson ( Uji d)
Statistik Uji
N
2 u − u ∑ t t −1
d=
t= 2
N
∑ u t
2
t=1
Dalam Paket Program SPSS/EViews Sudah dihitungkan
Aturan main menggunakan uji Durbin Watson :
Bandingkan nilai d yang dihitung dengan nilai dL dan dU dari tabel ( melihat jumlah observasi dan variabel bebas) dengan aturan berikut :
Bila d < dL ⇒ tolak H0; Berarti ada korelasi yang positif atau kecenderungannya ρ = 1 Bila dL ≤ d ≤ dU ⇒ kita tidak dapat mengambil kesimpulan apaapa Bila dU < d < 4 – dU ⇒ jangan tolak H0; Artinya tidak ada korelasi positif maupun negatif Bila 4 – dU ≤ d ≤ 4 – dL ⇒ kita tidak dapat mengambil kesimpulan apaapa Bila d > 4 – dL ⇒ tolak H0 ; Berarti ada korelasi negatif
Gambar aturan main menggunakan uji DurbinWatson
Tidak tahu Tidak tahu Korelasi positif
0
Tidak ada korelasi
dL dU
Korelasi negatif
4dU
4dL 4
Mengatasi Otokorelasi: Metode Pembedaan Umum (Generalized Differences)
Yt = β0 + β1Xt + ut dan ut = ρ ut1 + vt
Untuk waktu ke t1: Yt1 = β0 + β1Xt1 + ut1
Bila kedua sisi persamaan dikali dengan ρ, maka: ρ Yt1 = ρ β0 + ρ β1Xt1 + ρ ut1 Sekarang kita kurangkan dengan persamaan Model Yt ρ Yt1 = (β0 ρ β0) + β1(Xt ρ Xt1) + (ut ρ ut1) Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai: Yt* = β0 (1 ρ) + β1Xt* + vt Dimana:
Yt* = Yt ρ Yt1 dan Xt* = Xt ρ Xt1
Idealnya kita harus dapat mencari nilai ρ. Tapi dalam banyak kasus, diasumsikan ρ = 1, sehingga: Yt* = Yt Yt1 Xt* = Xt Xt1
Pemilihan Model
1. R2 Adjusted Perhatikan Model: (i) LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; R2 = 80,6% (ii) LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; R2= 87,4%.
Model manakah yang lebih baik ditinjau dari koefisien determinasinya?. Sekarang kita perhatikan kembali formula untuk menghitung R2 2 u ∑ i
SSR SSE R = =1− =1− 2 SST SST ∑ Y i −Y 2
R2 Adjusted
SST sama sekali tidak dipengaruhi oleh jumlah variabel bebas, karena formulasinya hanya memperhitungkan variabel terikat SSE dipengaruhi oleh variabel bebas, dimana semakin banyak variabel bebas, maka nilai SSE cenderung semakin kecil, atau paling tidak tetap. SSE kecil, maka nilai SSR akan besar. Akibat kedua hal tersebut, maka semakin banyak variabel bebas yang dimasukkan dalam model, maka nilai R2 akan semakin besar. 2
2
R =1−
∑ ui / n−k ∑ Y i −Y / n−1
Pemilihan Model 2. Akaike Information Criterion (AIC) AIC=e
2 u 2k/n ∑ i
n
=e
2k/n SSE
n
2k RSS ln AIC= ln n n
Bila kita membandingkan dua buah regresi atau lebih, maka model yang mempunyai nilai AIC terkecil merupakan model yang lebih baik.
Ilustrasi
LABA = 5053,712 + 0,049 KREDIT; SSE = 3,28E+12 LABA = 58260,461 + 0,013 ASET; SSE = 2,1E+12 LABA = 45748,484 + 0,0106 ASET + 0,0081 KREDIT; SSE = 2,17E+12 ln AIC i =
ln AIC ii =
2k RSS 2x2 2,1E12 ln = ln =24 , 5409 n n 50 50
ln AIC iii =
2k RSS 2x2 3,28E12 ln = ln =24 , 9868 n n 50 50
2k RSS 2x3 2,17E12 ln = ln =24 , 6137 n n 50 50
Pemilihan Model 3. Schwarz Information Criterion (SIC) 2
SIC =n
u k/n ∑ i n
=n
k/n SSE
n
k RSS ln SIC = ln n+ ln n n
Sama dengan AIC, model yang mempunyai nilai SIC terkecil merupakan model yang lebih baik.
Ilustrasi
k RSS 2 3,28 E+12 ln SIC i = ln n+ ln = ln50ln =25 , 06 n n 50 50
ln SIC ii =
ln SIC iii =
k RSS 2 2,1E12 ln n+ ln = ln50ln =24 , 62 n n 50 50
k RSS 3 2,17 E+ 12 ln n+ ln = ln50ln =24 , 73 n n 50 50
