REGRESI LINIER GANDA Secara umum, data hasil pengamatan Y bisa terjadi karena akibat variabel-variabel bebas X1, X2, …, Xk. Akan ditentukan hubungan antara Y dan X1, X2, …, Xk sehingga didapat regresi Y atas X1, X2, …, Xk namun masih menunjukkan diagram hubungan yang linier. Penambahan variabel bebas ini diharapkan dapat lebih menjelaskan karakteristik hubungan yang ada, walaupun masih saja ada variabel yang terabaikan. Model regresi linier ganda Y atas X1, X2, …, Xk akan ditaksir oleh : ˆ = a0 + b1X1 + b2X2 + … + bkXk Y a. Persamaan resgresi linier berganda dengan dua variabel bebas ˆ = a0 + b1X1 + b2X2 Y Keterangan : ˆ = variabel terikat (nilai duga Y) Y X1, X2 = variabel bebas a, b1, b2 = koefisien regresi linier berganda a = nilai Y, apabila X1 = X2 = 0 b1 = besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan, jika X1 naik/turun satu satuan dan X2 konstan b2 = besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan, jika X2 naik/turun satu satuan dan X1 konstan Nilai dari koefisien a, b1, b2 dapat ditentukan dengan cara Metode Kuadrat Terkecil : a = Y - b1 X 1 - b2 X 2 2 (∑ x 2 )(∑ x 1 y) − (∑ x 1 x 2 )(∑ x 2 y) b1 = 2 2 (∑ x 1 )(∑ x 2 ) − (∑ x 1 x 2 ) 2 (∑ x 1 )(∑ x 2 y) − (∑ x 1 x 2 )(∑ x 1 y) 2
b2 = Y =
X1 = X2 =
(∑ x 1 )(∑ x 2 ) − (∑ x 1 x 2 ) 2 2
∑Y
∑y
n
∑X
1
n ∑ X2 n
2
2
2
∑x
1
∑x
2
2
=
∑Y
=
∑X
=
∑X
2
∑ x y = ∑ X Y - n. X
- n. Y 2 2
1
2 2
- n. X1
1
2
- n. X 2
∑x 2
2
1
y =
∑x x 1
2
∑X
=
2
1
Y
Y - n. X 2 Y
∑X X 1
2
- n. X1 X 2
b. Persamaan resgresi linier berganda dengan tiga variabel bebas ˆ = a0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 Y Keterangan : ˆ Y = variabel terikat (nilai duga Y) X1, X2, X3 = variabel bebas a, b1, b2, b3 = koefisien regresi linier berganda a = nilai Y, apabila X1 = X2 = X3 = 0 http://muhammadwinafgani.wordpress.com
1
b1
= besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan, jika X1 naik/turun satu satuan dan X2 dan X3 konstan b2 = besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan, jika X2 naik/turun satu satuan dan X1 dan X3 konstan b3 = besarnya kenaikan/penurunan Y dalam satuan, jika X3 naik/turun satu satuan dan X1 dan X2 konstan Nilai dari koefisien a, b1, b2, b3 dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan normal : ∑ Y = a.n + b1 ∑ X1 + b2 ∑ X 2 + b3 ∑ X 3
∑X Y = a∑X ∑X Y = a∑X ∑X Y = a∑X 1
1
2
2
+ b1 ∑ X1 2 + b2 ∑ X1 X 2 + b3 ∑ X1X 3 + b1 ∑ X1 X 2 + b2 ∑ X 2 2 + b3 ∑ X 2X 3
+ b1 ∑ X1 X 3 + b2 ∑ X 2 X 3 + b3 ∑ X 3 2 atau dalam bentuk deviasi dari mean : ∑ x 1 y = b1 ∑ x 1 2 + b2 ∑ x 1 x 2 + b3 ∑ x 1 x 3 3
3
∑ x y = b1 ∑ x x + b2 ∑ x + b3 ∑ x x ∑ x y = b1 ∑ x x + b2 ∑ x x + b3 ∑ x ∑Y − b ∑X − b ∑X − b ∑X a= 2
2
1
2
2
2
3
2
3
1
1
3
2
1
2
2
3
3
3
3
n
(∑ X 1 )(∑ Y )
∑x y = ∑X Y 1
1
∑x
2
y =
∑X
∑x
3
y=
∑X Y -
2
∑x
1
∑x
2
∑x
3
2
Y-
2
2
n (∑ X 3 ) 2
= ∑ X2 = ∑ X3 2
=
∑X X
∑x x
3
=
∑X X
1
∑x
2
x3 =
2
n (∑ X 2 ) 2
∑x x 1
n
(∑ X 1 )
2
2
n (∑ X 3 )(∑ Y)
3
= ∑ X1 -
2
n (∑ X 2 )(∑ Y)
1
1
∑X
2
2
-
3
-
X3 -
n (∑ X 1 )(∑ X 2 ) n (∑ X 1 )(∑ X 3 ) n (∑ X 2 )(∑ X 3 ) n
http://muhammadwinafgani.wordpress.com
2
* Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Berganda Kesalahan baku atau selisih taksir standar regresi adalah nilai yang menyaktakan seberapa jauh meyimpangnya nilai regresi tersebut terhadap nilai sebenarnya (nilai observasi). Nilai ini digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan suatu penduga dalam menduga suatu nilai. Jika nilai ini sama dengan 0, maka penduga tersebut memiliki tingkat ketepatan 100%. Kesalahan baku atau selisih taksir standar regresi berganda, dirumuskan :
∑ y − (b ∑ x y + b ∑ x y ) 2
1
Se =
1
2
2
n−m
Keterangan : Se = Kesalahan baku regresi berganda n = jumlah pasangan observasi m = jumlah konstanta dalam persamaan regresi berganda. Untuk koefisien regresi berganda b1 dan b2, kesalahan bakunya dirumuskan : Se Se ; Sb2 = Sb1 = 2 2 2 2 2 2 (∑ X 1 − nX1 )(1 − rY.1 ) (∑ X 2 − nX 2 )(1 − rY.1 ) Keterangan : Sb1 dan Sb2 = Kesalahan baku koefisien regresi berganda b1 dan b2 rY.1 = koefisien korelasi antara X1 dan X2 n ∑ X1 X 2 − ∑ X1 ∑ X 2 rY.1 = 2 2 2 2 (n ∑ X 1 − (∑ X 1 ) )(n ∑ X 2 − (∑ X 2 ) ) * Pendugaan Interval Koefisien Regresi Berganda (Parameter B1 dan B2) Parameter B1 dan B2 sering juga disebut sebagai koefisien regresi parsial. Pendugaan parameter B1 dan B2 menggunakan distribusi t dengan derajat bebas (db) = n – m secara umum, pendugaan B1 dan B2 adalah : Sbi ≤ Bi ≤ bi + t α Sbi ; i = 1, 2 bi - t α 2
;n − m
2
;n − m
* Pengujian Hipotesis Koefisien Regresi Berganda (Parameter B1 dan B2) a. Pengujian Hipotesis Serentak Pengujian hipotesis serentak merupakan pengujian hipótesis koefisien regresi berganda dengan B1 dan B2 serentak atau bersama-sama mempengaruhi Y. Prosedur Pengujian Hipótesis : 1) Menentukan formulasi hipotesis Ho : B1 = B2 = 0 (X1 dan X2 tidak menpengaruhi Y) Ha : B1 ≠ B2 ≠ 0 (X1 dan X2 mempengaruhi Y atau paling sedikit ada X yang mempengaruhi Y) 2) Menentukan taraf nyata (α) dan nilai Ftabel Ftabel ditentukan dengan taraf nyata (α), derajat bebas v1 = k – 1 dan v2 = n – k Ftabel = Fα(v1;v2)
http://muhammadwinafgani.wordpress.com
3
3) Menentukan kriteria pengujian Jika Fhitung ≤ Ftabel, maka Ho diterima Jika Fhitung > Ftabel, maka Ho ditolak 4) Menentukan nilai uji statistik Jumlah Kuadrat Total (JKT) = ∑ y 2 =
∑Y
2
− n.Y 2
Jumlah Kuadrat Regresi (JKR) = b1 ∑ x 1 y + b 2 ∑ x 2 y
= b1 (∑ X 1 Y − n.X1 Y ) + b 2 (∑ X 2 Y − n.X 2 Y ) Jumlah Kuadrat Error (JKE) = JKT – JKR Tabel ANOVA Derajat Bebas
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Regresi (X1, X2)
JKR
k-1
Error
JKE
n–k
Total
JKT
n-1
Rata-Rata Kuadrat JKR k −1 JKE n−k
Fhitung RKR RKE
5) Membuat kesimpulan Menyimpulkan apakah Ho diterima atau ditolak. b. Pengujian hipotesis individual Pengujian hipotesis individual merupakan pengujian hipotesis koefisien regresi berganda dengan hanya satu B (B1 atau B2) yang mempengaruhi Y. Prosedur Pengujian Hipótesis : 1) Menentukan formulasi hipotesis Ho : Bi = 0 (tidak ada pengaruh Xi terhadap Y) Ha : Bi > 0 (ada pengaruh positif Xi terhadap Y) Bi < 0 (ada pengaruh negatif Xi terhadap Y) Bi ≠ 0 (ada pengaruh Xi terhadap Y) 2) Menentukan taraf nyata (α) dengan ttabel ttabel = t(α ; db) ; dengan db = n – k 3) Menentukan kriteria pengujian Kriteria pengujian yang ditentukan sama dengan kriteria pengujian dari pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t 4) Menentukan nilai uji statistik b − Bi ; i = 1, 2 thitung = i Sb i 5) Membuat kesimpulan Menyimpulkan apakah Ho diterima atau ditolak.
http://muhammadwinafgani.wordpress.com
4
SOAL : 1. Berikut ini data mengenai pendapatan, jumlah karyawan, dan luas kamar dari 5 sampel random. Y 20 15 10 5 10 X1 10 5 10 3 2 X2 36 18 54 12 9 Y = pendapatan (Rp juta) X1 = jumlah karyawan X2 =luas kamar (m2) a. Buatlah persamaan regresi linier berganda ! b. Tentukan nilai duga Y, jika X1 = 6 dan X2 = 40 c. Tentukan kesalahan baku regresi bergandanya ! d. Tentukan kesalahan baku koefisien b1 dan b2 ! e. Buatlah pendugaan interval bagi parameter B1 dan B2 pada tingkat keyakinan 95% ! f. Ujilah hipotesis, apakah X1 dan X2 tidak mempengaruhi Y, dengan alternatif paling tidak ada satu yang mempengaruhi Y pada taraf nyata 1% g. Ujilah pendapat bahwa tidak ada pengaruh jumlah karyawan atau luas kamar terhadap pendapatan ! gunakan taraf nyata 5%. 2. Y = panjang badan anak (cm) X1 = berat anak pada waktu lahir (kg) X2 = umur anak (hari) Y X1 X2 57,5 2,75 78 52,8 2,15 69 61,3 4,41 77 67,0 5,52 88 53,5 3,21 67 62,7 4,32 80 56,2 2,31 74 68,5 4,30 94 69,2 3,71 102 a. buatlah persamaan regresi linier bergandanya ! b. Tentukan kesalahan baku regresi dan koefesien regresi bergandanya ! c. Buatlah pendugaan interval bagi parameter B1 dan B2 pada tingkat keyakinan 90% ! d. Ujilah X1 dan X2 secara serentak dan individual terhadap Y ! gunakan α = 1% e. Ramallah panjang badan rata-rata bagi anak yang berumur 100 hari dengan berat badan 3,75kg ! Sumber : Hasan, Iqbal. 2005. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Jakarta : Bumi Aksara.
http://muhammadwinafgani.wordpress.com
5
