MODEL MATEMATIKA (NONLINIER) POPULASI ANJING RABIES DENGAN VAKSINASI
KOMPETENSI MATEMATIKA TERAPAN SKRIPSI
AHMAD FITRI 1008405071
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA BUKIT JIMBARAN 2015
LEMBAR PERSEMBAHAN
Jangan menunggu waktu yang tepat untuk melakukan sesuatu, karena waktu tidak akan pernah tepat bagi mereka yang menunggu (IWAN FALS)
Tulisan ini saya persembahkan kepada: Allah SWT Atas kehendaknya, skripsi ini dapat terselesaikan
Bapak (Alm), Ibu (Alm), Kakak-kakak tercinta, Keluarga, dan Orang terdekat Dukungan, doa, dan cinta kasih dari kalian selalu menyertai dan menyemangati penulis
ii
MODEL MATEMATIKA (NONLINIER) POPULASI ANJING RABIES DENGAN VAKSINASI
KOMPETENSI TERAPAN [SKRIPSI]
Sebagai syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains bidang Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Udayana
Tulisan ini merupakan hasil penelitian yang belum pernah dipublikasikan
AHMAD FITRI 1008405071
iii
LEMBAR PENGESAHAN TUGAS AKHIR Judul
: Model Matematika (Nonlinier) Populasi Anjing Rabies dengan Vaksinasi
Kompetensi
: Matematika Terapan
Nama
: Ahmad Fitri
NIM
: 1008405071
Tanggal Seminar
: 22 Mei 2015
Disetujui oleh:
iv
Judul
: Model Matematika (Nonlinier) Populasi Anjing Rabies dengan Vaksinasi
Nama
: Ahmad Fitri (NIM: 1008405071)
Pembimbing : 1. Ir. Tjokorda Bagus Oka, Ph.D. 2. Drs. I Nyoman Widana, M.Si.
ABSTRAK Virus rabies adalah virus mematikan yang bersifat menular dan dapat menyerang ke semua spesies mamalia terutama anjing. Proses penularan terjadi jika ada interaksi antara anjing yang sehat dengan anjing yang terinfeksi rabies. Rabies di Bali pertama kali muncul pada akhir tahun 2008. Salah satu cara yang dilakukan pemerintah untuk menanggulangi masalah tersebut adalah dengan memberikan vaksin terhadap anjing sehat sehingga tidak mudah tertular rabies. Untuk itu diperlukan suatu model matematika untuk menganalisis perkembangan populasi anjing di Bali. Melalui analisis titik tetap dan kestabilan pada model maka didapatkan tidak hanya nilai persentase pemberian vaksin yang berpengaruh terhadap jumlah populasi anjing rabies, melainkan laju kelahiran dari populasi anjing yang sehat juga berpengaruh. Pada bagian akhir dilakukan simulasi numerik menggunakan metode deret Taylor orde satu untuk mengilustrasikan dan memperkuat hasil analisis. Kata Kunci: Rabies, Vaksinasi, Sistem Persamaan Differensial
v
Nonlinier
Judul
: Model Matematika (Nonlinier) Populasi Anjing Rabies dengan Vaksinasi
Nama
: Ahmad Fitri (NIM: 1008405071)
Pembimbing : 1. Ir. Tjokorda Bagus Oka, Ph.D. 2. Drs. I Nyoman Widana, M.Si.
ABSTRACT Rabies is an infectious fatal virus that can attack all mammals especially dogs. Infection happens when there is interaction between healthy dogs and rabies-infected dogs. In Bali, rabies was first found in late 2008. One of the solutions done by government to the problem is by giving vaccine to healtly dogs, so that they are not easily infected by the virus. Thus, a mathematical model is needed to analyze the development of dogs population in Bali. By using analysis of fixed point and stability on the model, the population of rabies-infected dog population was affected by not only the percentage of vaccination but also the number of healthy dogs birth. Lastly, a numeric simulation by using Taylor’s series 1st order was conducted to illustrate and to strengthen the result of the analysis. Keyword: Rabies, Vaccination, Nonlinear Systems of Differential Equations
vi
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat, kasih karunia, dan bimbingan-Nya sehingga penulisan Tugas Akhir ini dapat terselesaikan dengan judul “Model Matematika (Nonlinier) Populasi Anjing Rabies dengan Vaksinasi”. Penulisan Tugas Akhir ini tidak lepas dari bantuan, saran, bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada: 1.
Ir. Anak Agung Gede Raka Dalem, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Udayana.
2.
Ir. Komang Dharmawan, M.Math., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana.
3.
Ir. I Putu Eka Nila Kencana, M.T., selaku Pembimbing Akademik (PA) yang telah banyak memberikan motivasi, saran dan bimbingan selama penulis
menimba
ilmu
di
Jurusan
Matematika
FMIPA
Universitas Udayana. 4.
Ir. Tjokorda Bagus Oka, Ph.D., selaku Pembimbing I yang telah banyak memberikan bimbingan selama proses penulisan Tugas Akhir ini.
5.
Drs. I Nyoman Widana, M.Si., selaku Pembimbing II yang senantiasa membantu penulis selama proses penulisan Tugas Akhir ini.
6.
Made Eka Dwipayana, M.Si., yang ikut serta membimbing penulis, memberikan arahan, saran dan literature selama penulisan Tugas Akhir ini.
vii
7.
Luh Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc., Made Susilawati, S.Si., M.Si., dan Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang telah membantu, memberikan kritik dan saran yang membangun penulis dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.
8.
Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika serta pegawai Fakultas MIPA Universitas Udayana yang telah memberikan dukungan, saran dan bekal ilmu selama penulis menjadi mahasiswa.
9.
Kepala Dinas Peternakan dan Kesehatan Hewan Provinsi Bali, yang telah memberikan izin penulis dalam pengumpulan data selama proses penulisan Tugas Akhir ini.
10. Orang tua dan keluarga penulis : Murahwi (Alm), Herna (Alm) dan semua keluarga penulis yang telah memberikan dukungan, doa, dan kasih sayang kepada penulis. 11. Spesial buat Ni Putu Deviyanti yang selalu menyemangati penulis dan memberikan doa selama penulis menjadi Mahasiswa di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana. 12. My brother Agus Fachrur Rozy yang selalu menemani, memberikan dukungan dan doa selama penulisan Tuga Akhir ini. 13. Teman-teman seperjuangan Jurusan Matematika angkatan 2010 yang secara bersama terus memberikan semangat selama proses penulisan Tugas Akhir ini. 14. Semua pihak yang telah memberikan dukungan dalam penyelesaian Tugas Akhir ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
viii
Besar harapan penulis, Tugas Akhir ini dapat berguna bagi para pembaca di Universitas Udayana terutama di Jurusan Matematika. Penulis menyadari penulisan Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun dari berbagai pihak sangat diharapkan dalam penyempurnaann Tugas Akhir ini.
Bukit Jimbaran, Agustus 2015 Penulis
ix
BIODATA ALUMNI
Nama Lengkap
: Ahmad Fitri
NIM
: 1008405071
Jenis Kelamin
: Laki-laki
Tempat, Tanggal Lahir
: Situbondo, 15 Mei 1988
Alamat
: Jln. Kembar Kampus, Gg. Bambu, No. 4, Jimbaran
Agama
: Islam
Tanggal Lulus
: 22 Mei 2015
Tanggal Wisuda
: 25 September 2015
Kompetensi
: Matematika Terapan
IP Kumulatif
:
Predikat Kelulusan
: Sangat Memuaskan
Nilai TOEFL Lokal
: 587
Email
:
[email protected]
Nomor Handphone
: 085236940400
Nama Ayah
: Murahwi (Alm)
Nama Ibu
: Herna (Alm)
Alamat Ayah/Ibu
: Dsn. Semekan Selatan, RT/RW 01/02, Desa. Klata kan, Kec Kendit, Kabupaten. Situbondo, Jawa Timur.
x
DAFTAR ISI LEMBAR JUDUL ............................................................................................... i LEMBAR PERSEMBAHAN ............................................................................. ii LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................... iii LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iv ABSTRAK ...........................................................................................................v ABSTRACT ....................................................................................................... vi KATA PENGANTAR ...................................................................................... vii BIODATA ALUMNI ...........................................................................................x DAFTAR ISI ...................................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................xv BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................1 1.1. Latar Belakang Masalah ......................................................................1 1.2. Rumusan Masalah ...............................................................................3 1.3. Batasan Masalah ..................................................................................3 1.4. Tujuan Penelitian .................................................................................4 1.5. Manfaat Penelitian ...............................................................................4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA..........................................................................5 2.1 Persamaan Diferensial Biasa ...............................................................5 2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Linier .............................6 2.1.2 Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Nonlinier ........................6 2.2 Sistem Persamaan Diferensial .............................................................7 2.2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linier .......................................7 2.2.2 Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier ................................8 2.3 Titik Kesetimbangan ...........................................................................9 2.4 Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan .................................................9 2.4.1 Titik Kesetimbangan Stabil ...................................................10 2.4.2 Titik Kesetimbangan Stabil Asimtotik ..................................10
xi
2.5 Pelinieran ...........................................................................................10 2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................................12 2.7 Jenis Kestabilan .................................................................................14 2.7.1 Nilai Eigen Berupa Bilangan Riil dan Berbeda .....................14 2.7.2 Nilai Eigen Berupa Bilangan Riil dan Sama .........................16 2.7.3 Nilai Eigen Berupa Bilangan Kompleks Konjugat ................18 2.7.4 Nilai Eigen Berupa Bilangan Kompleks Murni .....................19 2.8 Anjing ................................................................................................20 2.8.1
Rabies ....................................................................................21
2.8.2
Anjing Rabies ........................................................................21
2.9 Vaksinasi ...........................................................................................21 2.10 Metode Numerik ................................................................................21 2.10.1 Metode Deret Taylor ..............................................................22 BAB III METODOLOGI PENELITIAN...........................................................24 3.1 Sumber Data ......................................................................................24 3.2 Jenis Penelitian ..................................................................................24 3.3 Kontruksi Model ................................................................................24 3.3.1 Asumsi Dalam Pemodelan .....................................................25 3.3.2 Langkah Perancangan Model ................................................25 3.3.3 Model .....................................................................................26 3.4 Analisis Data .....................................................................................27 3.5 Simulasi Model ..................................................................................27 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ...........................................................28 4.1 Kontruksi Model ................................................................................28 4.1.1 Perumusan Model Nyata ........................................................28 4.1.2 Asumsi Model ........................................................................29 4.1.3 Perumusan Model Matematika ..............................................30 4.2 Pemeriksaan Keberadaan Solusi ........................................................31 4.3 Analisis Stabilitas ..............................................................................32 4.3.1 Titik Kesetimbangan Model ..................................................33
xii
4.3.2 Pelinieran ...............................................................................34 4.3.3 Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan ..................................37 4.4 Nilai Parameter dan Simulasi Numerik .............................................40 BAB V PENUTUP .............................................................................................48 5.1 Kesimpulan ........................................................................................48 5.2 Saran ..................................................................................................48 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................49 LAMPIRAN
xiii
DAFTAR GAMBAR Gambar
Halaman ……..…………………….. 15
2.1 Simpul stabil asimtotik untuk 2.2 Titik sadel dan tidak stabil
………..……………………… 16
2.3 Node stabil asimtotik untuk
…………..…………………... 17
2.4 Node stabil asimtotik untuk semua kemunkinan kemiringan
terhadap ………………………………….. 17 …………………………….. 18
2.5 Fokus stabil asimtotik untuk 2.6 Center stabil untuk
…………………………………………. 19
4.1 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan nilai parameter ( ) ( ) dan ……….……………………. 42 4.2 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan menggunakan nilai
... 43
4.3 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan nilai parameter ( ) ( ) dan ……………………………... 44 4.4 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan menggunakan nilai
.... 45
4.5 Hasil simulasi persamaan (4.1) dengan menggunakan nilai pada bagian (a) dan pada bagian (b) ………………………….. 46
xiv
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Listing Program (Syntax Matlap).
xv
