Onderzoeksopdracht Wiskunde 2014 Bas de Wolf - Bernardo Saniz
SANGAKU’S
1
Inhoudstafel Inleiding
p3
Ontstaan
p3
Bekende Voorbeelden
p4
Soddy’s hexlet Japanse stelling Ford circles Gelijke binnencirkels
p4 p4 p5 p5
Vraagstelling
p5
Werkwijze
p6
Eigen Sangaku
p7
eerste eigen sangaku tweede eigen sangaku derde eigen sangaku
p7 p8 p8
Conclusie
p9
Bronnen
p9
2
Inleiding Verschillende onderwerpen hebben we besproken en beoordeeld op hun capaciteit voor een mooi wiskundig onderzoek. We kregen een aantal suggesties van onderwerp, waaronder sangaku’s. Deze bleken een soort Japans wiskunde-puzzel te zijn. Het onderwerp sprak ons meteen aan, we hebben namelijk allebei een ineteresse in de Japanse cultuur. We kregen 6 lesuren de tijd om te werken aan ons onderzoek. Met het ontstaan, kenmerken, bekende sangaku’s, … hebben we ons bezig gehouden, maar dit was niet het echte onderzoek, eerder het opzoekwerk. Wat we precies hebben onderzocht, kan u verder in de tekst vinden. Veel leesplezier!
Ontstaan Sangaku’s zijn een speciale vorm van meetkunde die uitgevoerd werd in Japan in haar tijd van isolatie. Tussen 1630 en 1850 leidde Japan, uit schrik voor de spreiding van het christendom, een politiek van afscherming van de buitenwereld. In die tijd kende de Japanse cultuur een soort Renaissance, waarbij de vrede en kunsten een enorme bloei meemaakten. Het is in die tijdskader dat Japanners – geleerden, kunstenaars, krijgsheren, mannen, vrouwen en kinderen – wiskundige figuren gingen tekenen op houten tabletten en deze gingen ophangen in shinto- en boeddhistische tempels. De meeste mensen kunnen zich niet voorstellen dat de wiskunde een plaats zou hebben op een godsdienstig plek, toch was het voor de Japanners zo. Volgens het shinto-geloof heeft alles een kami (god of geest) in zich, van de mensen en dieren tot de maan en de rivieren. Deze werden vereerd door geschenken naar de tempels te brengen. Oorspronkelijk waren paarden de meest voorkomende geschenken. Deze waren echter duur, waardoor de armere mensen steeds meer schilderijen van paarden gaven. Uiteindelijk werden allerlei kunstwerken aan te tempels geschonken, en de sangaku’s zijn een vorm hiervan. Deze sangaku’s zijn een mengeling van kunst en wiskunde die een ander manier van denken weergeeft. Door hun isolatie waren de Japanners toen nog niet in contact gekomen met de calculus die wij in het westen sinds Newton kenden. Hierdoor moesten de zij volledig meetkundig te werk gaan. Ondanks deze ‘beperking’ zijn de Japanners er toch in geslaagd ingewikkelde stellingen te bewijzen, en dankzij het visueel methode waarop ze dat deden hebben ze er een kunst van kunnen maken, wat voor ons in het westen vreemd en misschien onmogelijk lijkt. 1 Sangaku’s bestaan uit gekleurde meetkundige figuren die een bepaalde stelling of oefening weergeven. Sommigen hebben kleine aanduidingen of een korte tekst voor uitleg, maar bevatten meestal heel weinig geschreven tekst. In essentie is het dus een afbeelding waaruit een wiskundige stelling gehaald kan worden. Maar, net als de meeste dingen in Japan, werd er ook aandacht besteed aan het esthetische van zo een sangaku, dus zullen wij daar ook een beetje rekening mee moeten houden. Dat zijn de voorwaarden die wij voor onze eigen sangaku’s zullen stellen. 2
1
Wolfram Mathworld, internetarchief, WEINSSTEIN, E., Sangaku Problem, 2014-02-03. FUKAGAWA, H., ROTHMAN, T., Sacred Mathematics/Japanese Temple Geometry Problems, 1989. 2 Wikipedia, internetarchief, unknown author, Sangaku, 2014-02-03.
3
Bekende voorbeelden Sangaku’s bestonden al heel lang en er zouden dus veel voorbeelden moeten zijn. Helaas hebben maar een 800-tal de tand des tijds overleefd. Historici zijn ervan overtuigd dat er minstens 1700 anderen verloren zijn gegaan, jammer genoeg. Gelukkig zijn er nog genoeg om uit te kiezen. Een eerste voorbeeld is Soddy’s hexlet (fig. 1). De stelling is bewezen in 1937 en de definitie gaat als volgt: Soddy's hexlet is a chain of six spheres, labeled S1–S6, each of which is tangent to three given spheres, A, B and C, that are themselves mutually tangent at three distinct points. (For consistency throughout the article, the hexlet spheres will always be depicted in grey, spheres A and B in green, and sphere C in blue.) The hexlet spheres are also tangent to a fourth fixed sphere D (always shown in red) that is not tangent to the three others, A, B and C. Each sphere of Soddy's hexlet is also tangent to its neighbors in the chain; for example, sphere S4 is tangent to S3 and S5. The chain is closed, meaning that every sphere in the chain has two tangent neighbors; in particular, the initial and final spheres, S1 and S6, are tangent to one another.3
Het grappige aan deze stelling is dat hij bewezen is in 1937 terwijl in Japan er al soortgelijke sangaku bestond, gemaakt in 1822.
Figuur 1: Soddy's hexlet
De Japanse stelling (fig. 2) is een geweldig van voorbeeld van een bekend sangaku-probleem. Deze zegt dat als een veelhoek ingeschreven is in een cirkel en verdeeld in driehoeken, de som van de stralen van de in die driehoeken ingeschreven cirkels onafhankelijk is van de verdeling. Omgekeerd geldt ook dat als een veelhoek in driehoeken verdeeld is en de som van de in die driehoeken ingeschreven cirkels is onafhankelijk van de verdeling, dan is de veelhoek omschrijfbaar met een cirkel. De Japanse stelling wordt bewezen met behulp van de stelling van Carnot. In een tempel in Japan hing deze stelling als sangaku-probleem op om de goden te eren in 1800.4 3 4
Figuur 2: Japanse stelling
Wikipedia, internetarchief, unknown author, Soddy’s Hexlet, 2014-04-16. Wolfram Mathworld, internetarchief, WEISSTEIN, E., Japanese Theorem, 2014-04-16. Wikipedia, internetarchief, unknown author, Japanese Theorem for cyclic polygons, 2014-04-16.
4
Ford Circles (fig. 3) zijn drie cirkels die elkaar uitwendig raken en bovendien alle drie eenzelfde lijn raken. De stralen van deze cirkels verhouden zich als volgt: 1 √𝑟(𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑛)
=
1 √𝑟(𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠)
+
1 √𝑟(𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠)
Ze komen erg veel voor in sangaku’s. Een voorbeeld hiervan is een tablet in de Gunma Prefecture met een sangaku-probleem die gaat over de relatie van drie rakende cirkels met eenzelfde straal. Deze specifieke sangaku is gemaakt in 1824.5 Figuur 3: Ford circles
Figuur 4: Equal incircles
The Equal Incircles Theorem of de stelling van gelijke binnencirkels werd voor het eerst opgeschreven als een sangaku en stelt dat de binnencirkels van de gevormde driehoeken van elke lijn, elke tweede lijn, … in deze constructie altijd gelijk zijn (figuur 4), ongeacht de hoek. Dit is een meetkundige stelling hoewel men zou kunnen denken dat ze behoort tot de analyse vanwege de onafhankelijk van de hoek en dus afhangt van een verhouding van de ruimte tussen de lijnen. Deze verhouding wordt afgebeeld op de sinushyperbolicusfunctie of 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 =
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 6 . 2
Vraagstelling Nu we meer wisten over onze onderwerp, was de vraag natuurlijk wat we ermee wilden doen. Na al deze informatie te hebben opgezocht, wilden we natuurlijk zelf proberen om een voorbeeld van deze prachtige soort kunst te maken, maar het moest ook wel origineel blijven. We zouden zelf een sangaku maken, maar eentje die de Japanners vroeger nooit gemaakt zouden kunnen hebben. De vraagstelling die zij geformuleerd hebben is : “Kunnen wij zelf een sangaku maken die oude Japanners niet hadden kunnen maken?”
5 6
Wikipedia, internetarchief, unknown author, Ford Circles, 2014-04-17 Wikipedia, internetarchief, unknown author, Equal Incircles Theorem, 2014-04-16
5
Werkwijze Om dit te beantwoorden moesten we gewoonweg dat doen: een sangaku zelf construeren, verklaren waarom de oude Japenners het niet zouden kunnen, en uitleggen hoe we het gedaan hadden. Dit zou betekenen dat we een stelling in sangaku-vorm zouden moeten zetten die de oude Japanners niet gekend hadden. Het meest voor de hand liggende dat we konden bedenken was functies of afgeleiden daarvan. We hebben vrij snel beslist om dat niet te doen, omdat onze ideeën voor zo een sangaku ofwel te eenvoudig ofwel onmogelijk leken. Vervolgens hebben we aan kansrekenen gedacht, maar dit grafisch voorstellen bleek voor ons veel te moeilijk zonder gebruik te maken van bepaalde functies. Uiteindelijk hebben we voor goniometrische stellingen gekozen omdat de goniometrische termen makkelijk voor te stellen zijn met een rechthoekige driehoek, en de Japanners kenden ze niet. Bovendien dachten we daarbij meteen aan de goniometrische cirkel, en cirkels waren bij de Japanners een heel populair onderwerp voor sangaku’s. We dachten daarom dat dit vlak van de wiskunde geschikt zou zijn voor onze sangaku. De formule die we gebruikt hebben was die voor de sinus van de dubbele hoek 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼. We kozen die formule omdat het vrij simpel is en, naar ons vermoeden, makkelijk grafisch af te beelden. De constructie bleek echter moeilijker dan we dachten. Het eerste probleem was dat we, door onze hedendaagse westerse opvoeding, weinig inzicht hadden in deze vorm van wiskunde. We hadden geen technieken geleerd om formules meetkundig te bewijzen en wisten al zeker niet welke technieken de Japanners vroeger gebruikt zouden hebben. Ze gebruikten destijds niet eens Arabische cijfers voor berekeningen! Het enige wat we hadden was onze kennis van constructies en de definities van sinus, cosinus en tangens. We begonnen driehoeken en cirkels te tekenen en speelden met lengtes van bepaalde zijden en stralen. Na een tijd begonnen we patronen te herkennen die we konden gebruiken voor onze tekeningen. Uiteindelijk, na een aantal uur experimenteren en een heel aantal mislukte pogingen, zijn we erin geslaagd een sangaku te maken voor 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 (fig. 6).
Figuur 6: Sinus van de dubbele hoek
Figuur 7: Cosinus van de dubbele hoek
6
Figuur 8: Tangens van de dubbele hoek
Deze is vrij goed gelukt en na deze formule als sangaku te hebben voorgesteld, vonden we dat de andere dubbele hoek formules (tangens en cosinus van de dubbele hoek, fig. 7, 8) ook een eigen sangaku verdienden, dus die hebben we ook geconstrueerd. De formule voor de cosinus was vrij eenvoudig, omdat ze een beetje op die leek die we al gemaakt hadden. De formule voor de tangens van de dubbele hoek was veruit de moeilijkste om in een sangaku te zetten. Ondanks de moeilijkheden zijn we erin geslaagd ze te maken. De eigenlijk sangaku’s vind je, met uitleg, hieronder. Deze laatste versies zijn allemaal met Geogebra en Adobe Photoshop gemaakt.
Eigen sangaku Eerste sangaku: Onze eerste sangaku stelt de formule 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 voor. De afbeelding wordt als volgt geconstrueerd: Eerst tekenen we een cirkel a met straal 1 en middelpunt A, en een willekeurige hoek α met A als hoekpunt. Vervolgens construeren we de hoek 2α en aan de hand daarvan vormen we een rechthoek ABCD met als dimensies 1 en sin2α. Deze rechthoek delen we dan in twee even grote delen met een horizontale lijn EF. Aan de hand van α tekenen we een tweede cirkel b, met als straal cosα. Hier is maar een deel van de cirkel (rood) afgebeeld om te voorkomen dat de tekening te ingewikkeld zou worden. We construeren vervolgens het lijnstuk [SP] loodrecht op de zijde [AB], door het snijpunt S van de cirkel b en het verlengde van α. Dit lijnstuk heeft als lengte r sinα, en in dit geval is r = cosα. Dus heeft het lijnstuk [SP] als lengte sinα cosα. Overigens geeft [SP] de afstand weer tussen de horizontale zijde van de rechthoek en de middellijn van de rechthoek. Hieruit volgt dat de hoogte van de rechthoek 2sinα cosα is en dus 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
7
Tweede sangaku: Onze tweede sangaku beeldt de formule 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 – 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 af. Deze werd geconstrueerd door eerst, zoals bij de vorige, een cirkel a te nemen met straal 1 en een willekeurige hoek α en zijn dubbele te tekenen. Aan de hand van α hebben we nog een cirkel b getekend met straal cosα. Alleen het belangrijk gedeelte van deze cirkel is weergegeven. Aan de hand van α en b vonden we het lijnstuk AC. Deze heeft een lengte van r cosα, maar r is cosα. Bijgevolg heeft [AC] een lengte van cos2α. Hierna tekenden we nog een cirkel c (waarvan evenals maar een deel van weergegeven wordt) met straal sinα en A als middelpunt. Hierop tekenden we nog een hoek, 90°-α, waarvan de cosinus gelijk aan de sinus van α. [AD] heeft een lengte van cos(90°-α) sinα, wat gelijk is aan sin2α. Bovendien zien we dat [AD] even lang is als [BC], dus is |AB| = |AC| - |AD| en is 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 – 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
Derde sangaku: De laatste formule die wij in sangaku-vorm gezet hebben is 2𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 1−𝑡𝑎𝑛2 𝛼 Helaas konden we de formule niet in deze vorm weergeven. In de plaats daarvan kan uit onze afbeelding de volgende formule gehaald worden, die dan herleid kan worden tot de eerste formule: 𝑡𝑎𝑛2𝛼 − 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 2𝑡𝑎𝑛𝛼 Deze sangaku zijn we begonnen door een rechthoek ABCD te tekenen met als dimensies 1 en wat tan2α zou worden. De hoek die de diagonaal van de rechthoek met de zijde van de rechthoek maken is dan 2α. De helft daarvan is natuurlijk α. Omdat [AB] lengte 1 heeft, geeft [AS] tanα aan. We tekenden aan de hand daarvan een cirkel a met dit als straal en A als middelpunt.Het lijnstuk [ES] die het verlengde van α verbindt met AB en raakt aan a heeft dan een lengte van tan2α. Nu tekenden we een cirkel b met straal tan2α en B als middelpunt om de loodlijn FR op AB te construeren. Als laatste tekenden we een lijn MN evenwijdig aan AB op een afstand 2tanα van AB. 8
Nu kunnen we de formule uit de tekening halen door met oppervlaktes te gaan werken. ABCD heeft een oppervlakte van tan2α. FCDR heeft een oppervlakte van tan2α tan2α en ABNM heeft een oppervlakte van 2tanα. AC is zowel de diagonaal van ABCD als die van AFMT. De driehoeken ABC en ACD zijn dus even groot, en AFT en AMT zijn dat onderling ook. Dit betekent dat BCTF en CDMT ook al even groot zijn, en omdat de driehoeken CNT en CRT ook even groot zijn, hebben BCRF en CDMN ook dezelfde oppervlakte. Op figuur 9 zijn de oppervlakken die even groot zijn in dezelfde kleur weergegeven ter verduidelijking. Zo komen we tot de uitdrukking: 𝑡𝑎𝑛2𝛼 − 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 2𝑡𝑎𝑛𝛼 Die, zoals boven vermeld wordt, herleid kan worden tot de formule die we zochten.
Figuur 9
Conclusie We kunnen inderdaad nu nog altijd nieuwe sangaku’s maken die niet beperkt zijn tot de kennis van de oude japanners. We zijn erin geslaagd om puur meetkundig drie goniometrische formules te bewijzen. Dit toont aan dat deze methode om stellingen te bewijzen niet iets is van verleden tijd, maar een eigen soort wiskunde, die nu nog alytijd even correct is als vroeger, en dat ook zal blijven. Hoewel dit niet veel praktisch nut heeft, aangezien de meeste mensen in het westen precalculus zouden gebruiken om de formules veel eenvoudiger te bewijzen, geeft dit weer dat wiskunde iets universeels is. Het is iets wat altijd klopt, voor alle mentaliteiten en wereldbeelden. Wiskunde kan je daarom ook op veel verschillende manieren benaderen en dit is een van haar krachten. Het beloont creativiteit en kritisch nadenken, omdat er geen vaste methode is kunnen we zoeken naar de makkelijkste oplossing, en als we die niet vinden kunnen we toch meestal de juiste uitkomst bekomen. Dit is wat wij uit dit onderzoek geleerd hebben.
Bronnen http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page http://mathworld.wolfram.com/ Sacred Mathematics/Japanese Temple Geometry by Fukagawa Hidetoshi and Tony Rothman
9
