MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI BERDASARKAN FUNGSI STOK UANG MUNAWAR

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI BERDASARKAN FUNGSI STOK UANG

MUNAWAR

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Model Pertumbuhan Ekonomi Berdasarkan Fungsi Stok Uang adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau kutipan dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, November 2011 Munawar NRP G551090241

ABSTRACT MUNAWAR. Economic Growth Model Based on Money Stock Function. Under supervision of ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and FARIDA HANUM. Quantity theory states that the strength or weakness of money value highly depends on the number of money circulation. This thesis analyzes economic growth model based on money stock function, determines equilibrium solution, and makes simulation of the model. This research uses One-Sector Growth (OSG) model, that makes use of two production factors, i.e. capital and human resource. The OSG model is solved with Cobb-Douglass production function. The results of the comparison between simulation and secondary data of national income per capita for the case in Indonesia shows that the appropriate model is the case of the growth model with low elasticity of capital. Keywords: economic growth model, money stock function, equilibrium

RINGKASAN MUNAWAR. Model Pertumbuhan Ekonomi Berdasarkan Fungsi Stok Uang. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan FARIDA HANUM. Pertumbuhan ekonomi mempunyai peranan yang sangat penting di suatu negara. Pertumbuhan ekonomi terjadi apabila ada kenaikan produk nasional bruto atau pendapatan nasional. Menurut Todaro dan Smith (2006), ada tiga faktor utama dalam pertumbuhan ekonomi dalam suatu bangsa, yaitu akumulasi modal, pertumbuhan penduduk, dan kemajuan teknologi. Akumulasi modal akan terjadi apabila sebagian pendapatan ditabungkan (diinvestasikan) kembali dengan tujuan untuk memperbesar output atau pendapatan di kemudian hari. Dalam proses pertukaran dan pembagian kerja, uang memainkan suatu peranan penting di dalam ekonomi modern. Menurut teori kuantitas David Ricardo, perubahan jumlah uang yang beredar akan memengaruhi harga. Jika jumlah uang yang beredar sedikit, harga-harga akan turun sehingga nilai uang naik. Jika jumlah uang yang beredar banyak, harga-harga akan naik sehingga nilai uang turun. Dalam penelitian ini akan dikaji model pertumbuhan ekonomi yang dikembangkan oleh Zhang (2005) dengan memasukkan stok uang sebagai salah satu variabel dari fungsi kekayaan dan pendapatan. Tujuan dari penelitian ini ialah mengkaji model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang, menentukan solusi ekuilibrium dari model tersebut, serta membuat simulasi model tersebut. Metode penelitian yang digunakan adalah perumusan model dengan pendekatan model one-sector growth (OSG), yaitu model pertumbuhan satu sektor yang dikembangkan oleh Zhang (2005), berdasarkan dari model pertumbuhan satu sektor Solow. Sumber data yang digunakan untuk perbandingan simulasi dengan model adalah data sekunder pendapatan nasional per kapita dari tahun 2001 sampai 2006 yang diperoleh dari laporan tahunan Badan Pusat Statistik (BPS) di Indonesia tahun 2009. Langkah-langkah dalam perumusan model adalah sebagai berikut: pertama, fungsi produksi yang digunakan yaitu fungsi produksi Cobb-Douglas. Berdasarkan fungsi produksi tersebut diperoleh suku bunga dan tingkat upah tenaga kerja, dalam hal ini dapat ditentukan oleh pasar. Kedua, didefinisikan fungsi kekayaan dan pendapatan bersih yang siap dibelanjakan. Selanjutnya, fungsi utilitas dimaksimumkan dengan kendala pembiayaan sehingga diperoleh solusi tunggal yaitu tingkat konsumsi dan laju penambahan kekayaan. Model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang dapat dirumuskan dengan model sistem persamaan diferensial taklinear. Akumulasi modal bergantung pada pendapatan, modal awal dan laju peredaran uang. Modal awal biasanya cenderung sama atau tetap dan depresiasi kapital cenderung turun. Jadi semakin banyak pendapatan dan laju peredaran uang semakin kecil, maka akumulasi modal semakin banyak. Selain itu peningkatan penambahan kekayaan dan pengurangan kecenderungan mengonsumsi juga menambah akumulasi modal. Penyelesaian sistem persamaan diferensial taklinear dan penentuan ekuilibrium dalam penelitian dilakukan menggunakan pendekatan numerik.

Simulasi dilakukan dengan 3 kasus berdasarkan perubahan elastisitas modal yaitu rendah, sedang dan tinggi. Berdasarkan hasil simulasi dapat disimpulkan bahwa pertumbuhan modal suatu negara semakin meningkat dan tidak bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal. Laju peredaran uang suatu negara tidak bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal. Pendapatan bersih suatu negara bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal. Semakin tinggi elastisitas modal, maka pendapatan bersih semakin meningkat. Perbandingan dari simulasi dan data menunjukkan bahwa untuk kasus data pendapatan nasional per kapita di Indonesia, model pertumbuhan yang sesuai adalah kasus dengan elastisitas modal rendah. Kata kunci: model pertumbuhan ekonomi, fungsi stok uang, ekuilibrium

© Hak Cipta Milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI BERDASARKAN FUNGSI STOK UANG

MUNAWAR

Tesis sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S.

Judul Tesis : Nama : NRP : Program Studi :

Model Pertumbuhan Ekonomi Berdasarkan Fungsi Stok Uang Munawar G551090241 Matematika Terapan

Disetujui Komisi Pembimbing:

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Ketua

Dra. Farida Hanum, M.Si. Anggota

Diketahui:

Ketua Program Studi Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana IPB

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.

Tanggal Ujian: 18 Oktober 2011

Tanggal Lulus: ……………………….

Tesis ini aku persembahkan untuk: Istriku tercinta Sumiyem; dan anak-anakku yang kusayangi: Asykary Syaiful Aziz Nur Wahid, Muhammad Nur Rohman, Muhammad Nur Latif, Muhammad Ihsanudin, Muhammad Hanafi, Mahmud Al Anshori.

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak Maret 2011 ini adalah model pertumbuhan ekonomi dan stok uang, dengan judul Model Pertumbuhan Ekonomi Berdasarkan Fungsi Stok Uang. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S. dan Dra. Farida Hanum, M.Si. yang telah membimbing dengan penuh kesabaran dalam penulisan tesis ini, serta Bapak Dr.Ir. Hadi Sumarno, M.S. yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Kementerian Agama Republik Indonesia yang telah membiayai penelitian ini. Kepada istriku, anak-anakku, dan seluruh keluarga atas segala doa, motivasi, serta kasih sayangnya. Ucapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada teman-teman dan semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini. Semoga amal dan perbuatan baik mereka dibalas Allah SWT di dunia dan akhirat. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Amiin. Bogor, November 2011 Munawar

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Klaten pada tanggal 5 Maret 1970 dari pasangan Bapak Sedyorejo dan Ibu Ngatiyem. Penulis merupakan putra keempat dari lima bersaudara. Tahun 1990 penulis lulus dari SMA Negeri Karangdowo Klaten Jawa Tengah. Pada tahun yang sama penulis masuk Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Widya Dharma Klaten pada Program Studi Pendidikan Matematika. Setelah mengikuti perkuliahan selama sepuluh semester, pada tahun 1995 penulis dinyatakan lulus. Mulai tahun 1997 penulis diterima dan bekerja sebagai guru di lingkungan Kementerian Agama di MTs Negeri Giriloyo Bantul. Kemudian pada tahun 2007 mutasi di MTs Hasyim Asy’ari Piyungan Bantul Yogyakarta. Pada tahun 2009 penulis mengikuti seleksi beasiswa S2 di Kementerian Agama RI, alhamdulillah penulis berkesempatan mendapatkan beasiswa tersebut. Bulan Juli 2009, penulis mulai mengikuti perkuliahan S2 pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB dan berhasil menyelesaikan studi pada bulan November 2011.

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR TABEL ...................................................................................

xii

DAFTAR GAMBAR ..............................................................................

xiii

DAFTAR LAMPIRAN ...........................................................................

xiv

PENDAHULUAN .................................................................................. 1.1 Latar Belakang........................................................................ 1.2 Tujuan Penelitian .................................................................... 1.3 Manfaat Penelitian ..................................................................

1 1 3 3

TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................... 2.1 Pertumbuhan Ekonomi ........................................................... 2.2 Akumulasi Modal ................................................................... 2.3 Pengertian Pendapatan dan Kekayaan .................................... 2.4 Fungsi Stok Uang ................................................................... 2.4.1 Teori Nilai Uang ........................................................... 2.4.2 Teori Permintaan dan Penawaran Uang ....................... 2.5 Ekuilibrium ............................................................................. 2.6 Fungsi Produksi ...................................................................... 2.7 Model Pertumbuhan Ekonomi Satu Sektor (OSG)................. 2.8 Proportional Error .................................................................

5 5 6 7 10 10 12 14 15 20 23

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DAN FUNGSI STOK UANG 3.1 Asumsi dan Notasi .................................................................. 3.2 Perumusan Model dan Fungsi Produksi ................................. 3.3 Kondisi Ekuilibrium ...............................................................

25 25 26 29

SIMULASI MODEL............................................................................... 4.1 Laju Pertumbuhan Modal ....................................................... 4.2 Laju Peredaran Uang .............................................................. 4.3 Pendapatan Bersih .................................................................. 4.4 Tingkat Suku Bunga dan Upah ............................................... 4.4.1 Tingkat Suku Bunga ..................................................... 4.4.2 Tingkat Upah ................................................................ 4.5 Perbandingan Simulasi dan Data ............................................ 4.6 Menentukan Variabel-Variabel Endogen di saat Ekuilibrium

31 32 33 33 35 35 36 37 41

SIMPULAN DAN SARAN ....................................................................

43

5.1 Simpulan ................................................................................. 5.2 Saran .......................................................................................

43 43

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................

45

LAMPIRAN ............................................................................................

47

DAFTAR TABEL

Halaman 1.

Besaran parameter-parameter dalam model..............................

2.

Besaran variabel data sekunder pendapatan nasional

31

per kapita di Indonesia ..............................................................

37

3.

Besaran variabel data penduga dari simulasi (jutaan Rupiah) ..

41

4.

Besaran variabel-variabel endogen saat ekuilibrium tiga kasus

42

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1.

Hasil simulasi pertumbuhan modal ...........................................

32

2.

Hasil simulasi uang beredar ......................................................

33

3.

Hasil simulasi pendapatan bersih per kapita .............................

34

4.

Hasil simulasi tingkat suku bunga ............................................

35

5.

Hasil simulasi tingkat upah tenaga kerja ..................................

36

6.

Perbandingan simulasi dan data sekunder kasus 1 ...................

38

7.


39

8.


40

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1.

Pembuktian persamaan (2.11) ..................................................

49

2.


50

3.

Pembuktian persamaan (2.21)..................................................

52

4.


53

5.


55

6.


56

7.

Penghitungan proportional error ..............................................

57

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Pertumbuhan ekonomi terjadi apabila ada kenaikan produk nasional bruto

atau pendapatan nasional. Menurut Todaro dan Smith (2006), ada tiga faktor utama dalam pertumbuhan ekonomi dalam suatu bangsa, yaitu akumulasi modal, pertumbuhan penduduk, dan kemajuan teknologi. Akumulasi modal meliputi semua jenis investasi baru yang ditanamkan pada tanah, peralatan fisik, dan modal sumber daya. Akumulasi modal akan terjadi apabila sebagian pendapatan ditabungkan (diinvestasikan) kembali dengan tujuan untuk memperbesar output atau pendapatan di kemudian hari. Ada pelbagai faktor ekonomi dan nonekonomi yang bisa memengaruhi investasi, seperti suku bunga, kebijakan perpajakan, kestabilan politik, dan penegakan hukum (Timothy 2009). Pertumbuhan ekonomi juga berarti perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi bertambah dan kemakmuran suatu negara meningkat dari waktu ke waktu secara terus menerus. Adapun laju atau kecepatan pertumbuhan ekonomi ditentukan oleh tingkat investasi di bidang industri dan akumulasi modal secara keseluruhan di semua sektor. Peningkatan investasi itu sendiri dimungkinkan oleh adanya kelebihan keuntungan sektor modern dari selisih upah, dengan asumsi bahwa “para kapitalis” yang berkecimpung dalam sektor modern tersebut bersedia menanamkan kembali seluruh keuntungannya sebagai modal. Pada abad ke-16 – 17, kekayaan negara identik dengan stok uang (emas dan perak) yang bisa ditumpuk oleh pemerintah di negara bersangkutan. Dengan mengekspor lebih banyak dan membatasi impor, maka perdagangan akan menghasilkan surplus, yang harus dibayar dengan emas dan perak. Makin tinggi jumlah ekspor atas impor atau makin banyak surplus, makin banyak kekayaan berupa emas dan perak yang ditumpuk, berarti makin makmur negara yang

2

bersangkutan (Dayat 2009). Ini bisa terjadi apabila kekayaan yang dimiliki negara tersebut digunakan untuk kepentingan negara dan rakyatnya. Namun, di beberapa negara yang mempunyai pendapatan dan kekayaan yang banyak, kekayaan tersebut tidak digunakan untuk kepentingan negara atau rakyatnya, tetapi digunakan untuk kepentingan pribadi atau golongan dari penguasanya. Dana Moneter Internasional (IMF) dinilai tengah mengubah paradigma tentang penanganan arus modal. Lembaga keuangan itu kini beranggapan bahwa pasar tidak boleh terlalu kebablasan atau liberal sehingga modal asing yang masuk ke emerging market perlu dikendalikan. “Ada perubahan paradigma di IMF saat ini dengan munculnya pernyataan dari Dominique Strauss-Kahn (Managing Director IMF) bahwa ekonomi liberal sudah tidak cocok lagi saat ini,” ujar pengamat ekonomi, Erick Alexander Sugandi. Pengamat ekonomi dari Universitas Indonesia, Firmansyah, mengakui pengaturan kontrol kapital perlu dilakukan mengingat risiko pembalikan modal yang bakal terjadi. Menteri Keuangan Agus DW Martowardojo mengungkapkan bahwa pemerintah memiliki banyak cara untuk memanfaatkan arus modal asing yang masuk atau capital inflow guna memacu perekonomian dalam negeri. Menurut dia, pengelolaan capital inflow akan lebih menyasar ke arah jangka panjang sehingga memberikan dampak positif terhadap pertumbuhan ekonomi (Wachyu 2011). Pertumbuhan ekonomi juga dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu negara sudah makmur dan maju atau belum. Kemajuan dan kemakmuran suatu negara dapat dilihat dari sejauh mana pendapatan dan kekayaan yang dimiliki oleh negara tersebut. Semakin tinggi pendapatan dan bertambahnya kekayaan suatu negara maka semakin tinggi kemajuan dan kemakmuran negara tersebut. Pendapatan per kapita dipergunakan untuk mengukur tingkat kemakmuran penduduk, sebab semakin meningkat pendapatan per kapita, dengan asumsi beban kerja konstan, maka semakin tinggi tingkat kemakmuran penduduk dan juga produktivitasnya. Kenaikan stok modal dapat juga menaikkan produksi, walaupun tidak disertai oleh kenaikan angkatan kerja. Modal fisik dapat menaikkan produktivitas tenaga kerja atau menyediakan secara langsung jasa

3

yang diperlukan dalam proses produksi sehingga investasi dalam modal sumber daya manusia juga dapat memengaruhi pertumbuhan ekonomi. Model pertumbuhan ekonomi telah banyak dimodelkan, antara lain oleh Tajau (2008), Herliani (2009), dan Sugiyantoro (2011). Tajau mengkaji model yang diajukan oleh Zhang dalam tesisnya tentang model pertumbuhan ekonomi dua negara berdasarkan modal dan knowledge. Herliani mengkaji dalam tesisnya tentang model distribusi pertumbuhan ekonomi antarkelompok pada dua negara. Sugiyantoro dalam tesisnya mengkaji model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan. Dalam penelitian ini akan dikaji model pertumbuhan ekonomi yang dikembangkan oleh Zhang (2005) dengan memasukkan stok uang sebagai salah satu variabel dari fungsi kekayaan dan pendapatan. b.

Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah:

1

mengkaji model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang,

2

menentukan solusi ekuilibrium dari model,

3

membuat simulasi model.

c.

Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini, di antaranya sebagai berikut:

1

mengetahui pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang,

2

mengetahui, sesuai atau tidaknya model yang telah dikembangkan oleh Zhang di suatu negara. Apabila model yang dikembangkan telah sesuai, dapat digunakan sebagai salah satu bahan pertimbangan pengambilan kebijakan di suatu negara. Dari hal-hal tersebut di atas, maka pembahasan selanjutnya adalah sebagai

berikut: Bab II tinjauan pustaka yang membahas masalah-masalah dan teori-teori dasar yang melandasi dalam pemodelan pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang, kemudian Bab III dan IV membahas model, penentuan solusi, penentuan ekuilibrium, dan pembuatan simulasi. Bab III dan IV merupakan dasar untuk pengambilan simpulan dan saran pada Bab V.

4

5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Pertumbuhan Ekonomi Pertumbuhan ekonomi suatu negara merupakan indikator bahwa negara

tersebut berkategori miskin, berkembang atau maju, sehingga setiap negara akan berusaha agar pertumbuhan ekonominya dapat tumbuh atau naik setiap tahunnya. Pertumbuhan ekonomi umumnya didefinisikan sebagai kenaikan produk domestik bruto per kapita. Produk domestik bruto (gross domestic product) adalah nilai pasar keluaran total sebuah negara, yang merupakan nilai pasar semua barang jadi dan jasa akhir yang diproduksi selama periode waktu tertentu oleh faktor-faktor produksi yang berlokasi di dalam sebuah negara. Menurut Todaro dan Smith (2006), angka pendapatan nasional bruto per kapita merupakan konsep yang paling sering dipakai sebagai tolak ukur tingkat kesejahteraan ekonomi penduduk di suatu negara. Konsep ini merupakan indikator yang paling umum digunakan untuk mengukur besar-kecilnya aktivitas perekonomian secara keseluruhan. Angka pendapatan nasional bruto adalah nilai tambah atas segenap kegiatan ekonomi yang dimiliki oleh penduduk suatu negara, baik dari aset yang mereka miliki di dalam negeri maupun di luar negeri tanpa dikurangi oleh depresiasi atas stok modal domestik. Pertumbuhan ekonomi diartikan sebagai proses kenaikan output per kapita dalam jangka panjang. Ada tiga aspek yang perlu diperhatikan dalam definisi tersebut, yaitu: (1) proses, (2) output per kapita, dan (3) jangka waktu yang panjang. Pertumbuhan ekonomi adalah suatu proses, bukan suatu gambaran ekonomi pada suatu saat. Dengan demikian pertumbuhan ekonomi merupakan perubahan mendasar untuk bergerak maju menuju suatu kondisi kehidupan yang lebih baik secara keseluruhan dalam jangka panjang. Jadi pertumbuhan ekonomi yang baik diukur berdasarkan pendapatan dan kekayaan negara untuk memperbaiki taraf hidup penduduknya. Tiga komponen pertumbuhan ekonomi

6

yang mempunyai arti penting, yaitu akumulasi modal, pertumbuhan penduduk, dan kemajuan teknologi. Akumulasi modal akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan untuk meningkatkan output dan pendapatan di masa depan. 2.2

Akumulasi Modal Menurut Todaro dan Smith (2006), modal sebagai suatu konsep ekonomi

dipergunakan dalam konteks yang berbeda-beda. Dalam rumusan yang sederhana, definisi modal adalah barang atau uang, yang bersama-sama faktor produksi tanah dan tenaga kerja menghasilkan barang-barang baru. Dalam artian yang lebih luas dan dalam tradisi pandangan ekonomi pada umumnya, modal mengacu kepada aset yang dimiliki seseorang sebagai kekayaan (wealth) yang tidak segera dikonsumsi, melainkan untuk disimpan (saving adalah potential capital), atau dipakai untuk menghasilkan barang/jasa baru (investasi). Dengan demikian, modal dapat berwujud barang dan uang. Tetapi, tidak setiap jumlah uang dapat disebut modal. Sejumlah uang itu menjadi modal kalau ia ditanam atau diinvestasikan untuk menjamin adanya suatu kembalian (rate of return). Dalam arti ini modal juga mengacu kepada investasi itu sendiri yang dapat berupa alatalat finansial seperti deposito, stok barang, ataupun surat saham yang mencerminkan hak atas sarana produksi, atau dapat pula berupa sarana produksi fisik. Kembalian itu dapat berupa pembayaran bunga, ataupun klaim atas suatu keuntungan. Modal yang berupa barang (capital goods), mencakup durable (fixed) capital dalam bentuk bangunan pabrik, mesin-mesin, peralatan transportasi, kemudahan distribusi, dan barang-barang lainnya yang dipergunakan untuk memproduksi barang/jasa baru; dan no-durable (circulating) capital, dalam bentuk barang jadi ataupun setengah jadi yang berada dalam proses untuk diolah menjadi barang jadi. Akumulasi modal (capital accumulation) akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan output dan pendapatan di masa depan. Pabrik-pabrik, mesin, peralatan, dan bahan-bahan baku baru akan meningkatkan stok modal (capital

7

stok) fisik suatu negara (yaitu total nilai riil neto dari semua barang modal produktif secara fisik) dan memungkinkan untuk meningkatkan tingkat output yang ingin dicapai. Sebagai contoh, investasi yang dilakukan petani dalam traktor baru dapat meningkatkan output total dari sayur-sayuran yang dia produksi, tetapi tanpa fasilitas transportasi yang memadai untuk mengangkut produk ekstra ini ke pasar lokal, maka investasinya tidak dapat menambah produksi pangan nasional. Investasi dalam sumber daya manusia dapat memperbaiki kualitas pekerja dan oleh karenanya, mempunyai pengaruh yang sama atau bahkan lebih kuat terhadap produksi seiring dengan meningkatnya jumlah manusia. Sekolah formal, program-program kejuruan dan on-the-job training, serta pendidikan informal bagi masyarakat dan jenis lainnya dapat meningkatkan keterampilan pekerja secara lebih efektif sebagai hasil dari investasi langsung dalam bangunan, peralatan, dan bahan-bahan (misalnya, buku-buku, proyektor film, komputer personal, peralatan ilmu pengetahuan, alat-alat kerja dan lainnya). Selain itu, perbaikan di bidang kesehatan secara signifikan juga dapat meningkatkan produktivitas. Karena itu, konsep investasi di bidang sumber daya manusia dan penciptaan modal manusia (human capital), merupakan fenomena bentuk-bentuk investasi yang bertujuan mengakumulasi modal. 2.3

Pengertian Pendapatan dan Kekayaan Pendapatan adalah penerimaan suatu negara yang bersumber dari pajak dan

sumber lainnya untuk membiayai kepentingan umum. Pendapatan per kapita adalah pendapatan nasional dibagi jumlah penduduk. Kaya adalah mempunyai banyak harta (uang dan sebagainya). Kekayaan adalah perihal (yang bersifat, berciri) kaya; harta (benda) yang menjadi milik orang (Depdikbud 2005). Kekayaan negara identik dengan banyaknya stok uang yang bisa ditumpuk atau dimiliki oleh pemerintah di negara bersangkutan. Dengan mengekspor lebih banyak dan membatasi impor, maka perdagangan akan menghasilkan surplus, yang akan menambah stok uang sehingga pendapatan dan kekayaan negara tersebut akan meningkat.

8

Pandangan bahwa pendapatan dan kekayaan bukanlah tujuan akhir melainkan sarana untuk mencapai tujuan-tujuan yang lainnya sudah muncul sejak zaman Aristoteles. Pemenang Hadiah Nobel untuk bidang ekonomi tahun 1998, Amartya Sen, berpendapat bahwa “kapabilitas untuk berfungsi” adalah yang paling menentukan status miskin-tidaknya seseorang. Sen berkata, “Pertumbuhan ekonomi dengan sendirinya tidak dapat dianggap sebagai tujuan akhir. Pembangunan haruslah lebih memperhatikan peningkatan kualitas kehidupan yang kita jalani dan kebebasan yang kita nikmati. Selanjutnya, Sen memaparkan bahwa tingkat kemiskinan tidak dapat diukur dari tingkat pendapatan atau bahkan dari utilitas seperti pemahaman konvensional; yang paling penting bukanlah apa yang dimiliki seseorang (kekayaan) ataupun kepuasan yang ditimbulkan dari barang-barang tersebut melainkan apakah yang dapat dilakukan oleh seseorang dengan barang-barang tersebut. Yang berpengaruh terhadap kesejahteraan bukan hanya karakteristik komoditas yang dikonsumsi, seperti dalam pendekatan utilitas, tetapi manfaat apa yang dapat diambil oleh konsumen dari komoditi-komoditi tersebut. Contohnya, sebuah buku memiliki nilai yang kecil bagi orang yang buta huruf (Todaro dan Smith 2006). Kualitas kehidupan memang mensyaratkan adanya pendapatan yang lebih tinggi, namun yang dibutuhkan bukan hanya itu. Pendapatan yang lebih tinggi hanya merupakan salah satu dari sekian banyak syarat yang harus dipenuhi. Banyak hal lain yang juga harus diperjuangkan, yakni pendidikan yang lebih baik, peningkatan standar kesehatan dan nutrisi, pemberantasan kemiskinan, perbaikan kondisi lingkungan hidup, pemerataan kesempatan, peningkatan kebebasan individual, dan pelestarian ragam kehidupan budaya (Todaro dan Smith 2006). Pendapatan yang tinggi akan menambah kekayaan, namun kekayaan yang banyak kadang tidak menambah kebahagiaan bagi penduduknya. Kekayaan itu sendiri memungkinkan negara untuk menambah pilihan di dalam pengeluaran untuk belanja, sehingga diperlukan kemampuan untuk mengendalikan segala sesuatu yang lebih jelas. Dengan demikian, peningkatan pendapatan dan kekayaan suatu negara memang diperlukan tetapi yang terpenting adalah peningkatan

9

standar hidup, seperti perbaikan kualitas pendidikan, penambahan penyediaan lapangan pekerjaan, peningkatan kesehatan atau yang lainnya. Di negara berkembang, pertumbuhan ekonomi tidak selalu berbanding lurus dengan penurunan angka pengangguran. Pertumbuhan ekonomi dan angka pengangguran memang saling terkait, namun sangat bergantung pada kondisi dan struktur perekonomian negara bersangkutan. Hal ini berbeda dengan negara kapitalis, yang berbasis tenaga kerja, atau negara-negara maju. Kepala Biro Hubungan Masyarakat Badan Pusat Statistik, M Sairi Hasbullah, mengatakan bahwa ketika pertumbuhan ekonomi melambat, justru bisa saja terjadi penurunan pengangguran. Sebaliknya, ketika ekonomi tumbuh, pengangguran justru bertambah banyak. Sebagai contoh, petani meningkatkan nilai tambah dalam produksi saat mengalami pertumbuhan ekonomi. Implikasi, pengangguran justru bertambah, lantaran penggunaan tenaga kerja dalam sektor pertanian digantikan oleh mesin. Petani yang dulunya hanya memiliki luas lahan satu hektar, semakin kaya ia, semakin ia memperkaya teknologi pertaniannya. Sehingga tidak ada rumus baku yang menyatakan bahwa berapa persen pertumbuhan ekonomi akan diikuti dengan berapa persen penurunan angka pengangguran (Triana 2010). Sejak tahun 1990, Human Development Index (HDI) digunakan untuk memeringkat semua negara dari skala 0 (tingkat pembangunan manusia yang paling rendah) hingga 1 (tingkat pembangunan manusia yang tertinggi) berdasarkan tiga tujuan atau produk akhir pembangunan: masa hidup yang diukur dengan usia harapan hidup, pengetahuan yang diukur dengan kemampuan baca tulis orang dewasa secara tertimbang dan rata-rata tahun bersekolah, serta standar kehidupan yang diukur dengan pendapatan riil per kapita, disesuaikan dengan paritas daya beli dari mata uang setiap negara untuk mencerminkan biaya hidup dan untuk memenuhi asumsi utilitas marjinal yang semakin menurun dari pendapatan. HDI digunakan untuk memeringkat semua negara menjadi tiga kelompok: tingkat pembangunan manusia yang rendah (0,0 hingga 0,499), tingkat pembangunan manusia menengah (0,5 hingga 0,799), dan tingkat pembangunan manusia yang tinggi (0,8 hingga 1,0) (Todaro dan Smith 2006).

10

Indeks pendapatan suatu negara dapat dihitung dengan cara menghitung log natural dari pendapatan saat ini dikurangi dengan log natural 100 (karena diyakini pendapatan per kapita paling rendah dari suatu negara adalah $100) dibagi dengan log jumlah maksimum pendapatan yang dicapai sebuah negara (paritas daya beli) yang dipatok oleh UNDP sebesar $40.000 dikurangi log natural $100. Hasilnya adalah angka indeks yang berkisar antara 0 sampai 1. Sebagai contoh, Negara Armenia, mempunyai pendapatan per kapita tahun 1999 sebesar $2.215, dari pendapatan tersebut, maka indeks pendapatannya dapat dihitung sebagai berikut: log 2.215 −log ⁡ (100) log 40,000 −log ⁡ (100)

= 0,517

Dengan nilai indeks pendapatan yang berada di sekitar pertengahan antara titik minimum dan maksimum (0,517 dekat dengan 0,5), untuk kasus Negara Armenia, mudah untuk melihat bahwa di sini terdapat efek utilitas marjinal yang semakin menurun. Pendapatan sebesar $2.215, yang kurang dari 6% dibandingkan dengan pos tujuan maksimum paritas daya beli sebesar $40.000, sudah cukup untuk menjangkau lebih dari setengah nilai maksimum indeks tersebut. Dari indeks pendapatan tersebut, Armenia merupakan negara dengan tingkat pembangunan manusia menengah (Todaro dan Smith 2006). 2.4

Fungsi Stok Uang Stok adalah persediaan barang keperluan untuk perbekalan (Depdikbud

2005). Jadi fungsi stok uang adalah persediaan uang sebagai saham, modal atau kekayaan yang dimiliki yang berfungsi untuk meningkatkan produksi dan tingkat output yang ingin dicapai. 2.4.1 Teori Nilai Uang Menurut nilainya, uang dibedakan menjadi uang penuh (full bodied money) dan uang tanda (token money). Nilai uang dikatakan sebagai uang penuh apabila nilai yang tertera pada uang tersebut sama nilainya dengan bahan yang digunakan. Dengan kata lain, nilai nominal yang tercantum sama dengan nilai intrinsik yang terkandung dalam uang tersebut. Jika uang itu terbuat dari emas, maka nilai uang

11

itu sama dengan nilai emas yang dikandungnya. Sedangkan yang dimaksud dengan uang tanda adalah apabila nilai yang tertera pada uang lebih tinggi dari nilai bahan yang digunakan untuk membuat uang atau dengan kata lain nilai nominal lebih besar dari nilai intrinsik uang tersebut. Misalnya, untuk membuat uang Rp1.000,00 pemerintah mengeluarkan biaya Rp750,00. Teori nilai uang membahas masalah-masalah keuangan yang berkaitan dengan nilai uang. Nilai uang menjadi perhatian para ekonom, karena tinggi atau rendahnya nilai uang sangat berpengaruh terhadap kegiatan ekonomi. Hal ini terbukti dengan banyaknya teori uang yang disampaikan oleh beberapa ahli. Teori nilai uang terdiri atas dua teori, yaitu teori uang statis dan teori uang dinamis . Teori uang statis Teori uang statis atau disebut juga "teori kualitatif statis" bertujuan menjawab pertanyaan: apakah sebenarnya uang? Dan mengapa uang itu ada harganya? Mengapa uang itu sampai beredar? Teori ini disebut statis karena tidak mempersoalkan perubahan nilai yang diakibatkan oleh perkembangan ekonomi. Teori uang dinamis Teori ini mempersoalkan sebab terjadinya perubahan dalam nilai uang. Teori yang membahas uang dinamis yang terkenal yaitu teori kuantitas dari David Ricardo dan Irving Fisher. Menurut David Ricardo, perubahan jumlah uang yang beredar akan memengaruhi harga. Jika jumlah uang yang beredar sedikit, hargaharga akan turun sehingga nilai uang akan naik. Jika jumlah uang yang beredar banyak, harga-harga akan naik sehingga nilai uang akan turun. Oleh karena itu, menurut teori ini jika jumlah uang yang beredar ditambah dua kali lipat maka harga-harga juga akan naik dua kali lipat sehingga nilai uang akan turun menjadi setengahnya atau sebaliknya. Sedangkan Irving Fisher menyempurnakan teori dari David Ricardo yaitu memasukkan unsur kecepatan peredaran uang, barang dan jasa sebagai faktor yang memengaruhi nilai uang. Menurut Irving Fisher, nilai uang (yang ditunjukkan oleh tinggi rendahnya harga) sangat dipengaruhi oleh

12

jumlah uang yang beredar, kecepatan peredaran uang dan volume perdagangan (Baumol dan Binder 2003). 2.4.2 Teori Permintaan dan Penawaran Uang Menurut Untoro (2007), salah satu teori klasik yang mengupas mengenai permintaan uang adalah teori kuantitas uang (the quantity theory of money). Teori ini membahas permintaan dan sekaligus penawaran akan uang beserta interaksi antara keduanya yang berfokus pada hubungan antara penawaran uang (jumlah uang yang beredar) dengan nilai uang (tingkat harga). Teori kuantitas dari David Ricardo merumuskan hubungan hal tersebut yaitu: 𝑀 = 𝑘𝑃 𝑀, jumlah uang yang beredar, 𝑘, konstanta, dan 𝑃, nilai uang. Selanjutnya teori kuantitas Irfing Fisher menyempurnakan dari teori David Ricardo dengan memasukkan unsur kecepatan peredaran uang dan volume perdagangan yaitu: 𝑀𝑉 = 𝑃𝑇 𝑀, jumlah uang yang beredar, 𝑉, kecepatan peredaran uang, 𝑃, nilai uang, dan 𝑇, volume perdagangan. 𝑉, transaction velocity of circulation adalah variabel yang ditentukan oleh kelembagaan yang ada di dalam masyarakat, dan dalam jangka pendek dapat dianggap konstan. 𝑇, volume transaksi, dalam suatu periode tertentu ditentukan oleh tingkat pendapatan nasional ataupun output masyarakat. 1

𝑀𝑑 = 𝑉 𝑃𝑇. Dengan demikian 𝑀𝑑 , permintaan uang masyarakat adalah sesuatu proporsi tertentu

1 𝑉

dari nilai transaksi (𝑃𝑇). 𝑇 dan 𝑉 menunjukkan variabel-variabel yang

dianggap konstan dalam jangka pendek. Dalam kondisi keseimbangan 𝑀𝑠 , persediaan uang (𝑀𝑑 = 𝑀𝑠 ) diperoleh persamaan yaitu:

13

1

𝑀𝑠 = 𝑉 𝑃𝑇. Dalam jangka pendek tingkat harga umum (𝑃) berubah secara proporsional dengan perubahan uang yang diedarkan pemerintah. Dalam teori ini 𝑇 ditentukan oleh tingkat output ekuilibrium masyarakat (oleh Fisher dan ahli ekonomi klasik disebut full employment, hukum Say atau Say’s Law). Fisher menyatakan bahwa permintaan uang akan timbul dari penggunaan uang dalam proses transaksi, dimana tiap perekonomian sesuai tahapan pertumbuhannya memiliki sistem kelembagaan tersendiri yang menentukan sifat proses transaksi. Faktor kelembagaan akan mengalami perubahan secara gradual dalam jangka panjang, sedangkan dalam jangka pendek kebutuhan akan uang relatif terhadap volume transaksi bisa dianggap konstan. Demikian pula volume transaksi relatif terhadap output masyarakat bisa dianggap mempunyai proporsi yang konstan dalam jangka pendek. Dalam teori Cambridge, menganggap bahwa permintaan uang adalah proporsional dengan tingkat pendapatan nasional. Dengan demikian persamaan permintaan uang adalah 𝑀𝑑 = 𝑘𝑃𝑌 dengan 𝑌 adalah pendapatan nasional riil. Suplai (persediaan) uang (𝑀𝑠 ) ditentukan oleh pemerintah. Dalam kondisi keseimbangan maka: 𝑀𝑠 = 𝑘𝑃𝑌 Dalam kondisi full employment yaitu dimana pendapatan riil tidak bisa naik lagi, maka kenaikan 𝑀𝑠 akan menyebabkan kenaikan 𝑃 (bukan lagi kenaikan 𝑌) secara proporsional (meskipun ada economies of scale). Efek seperti ini juga dijumpai dalam keadaan dimana tidak ada economies of scale: 𝑀𝑠 → 2 𝑀𝑠 𝑀𝑠 = 2 𝑀𝑑 .

14

Dalam kondisi proporsional (tidak ada economies of scale) adalah: 𝑀𝑑 = 𝑘𝑌𝑃 2 𝑀𝑑 = 𝑘𝑌(2𝑃) (𝑇 dan 𝑌 adalah full employment income). 2.5

Ekuilibrium Menurut Chiang dan Wainwright (2005), salah satu definisi ekuilibrium

adalah suatu kumpulan variabel-variabel terpilih yang saling berhubungan dan disesuaikan satu dengan yang lainnya dengan cara sedemikian rupa, sehingga tidak ada kecenderungan yang melekat (inherent) dalam model tersebut untuk berubah. Perkataan terpilih menunjukkan kenyataan bahwa ada variabel yang tidak dimasukkan dalam model. Jadi, ekuilibrium dalam pembahasan ini hanya relevan dengan himpunan variabel-variabel tertentu yang dipilih, dan bila modelnya diperluas untuk memasukkan variabel tambahan, maka ekuilibrium pada model semula tidak dapat digunakan lagi. Perkataan saling berhubungan menyatakan bahwa untuk dapat mencapai ekuilibrium, maka semua variabel dalam model harus secara bersamaan dalam keadaan tetap. Keadaan tetap dari setiap variabel harus cocok dengan variabel lainnya; jika tidak, maka beberapa variabel akan berubah, sehingga akan mengakibatkan variabel lainnya juga berubah dalam reaksi yang berantai, dan karenanya tidak terjadi ekuilibrium. Perkataan melekat menyatakan bahwa dalam kondisi ekuilibrium, keadaan tetap variabel dalam model hanya didasarkan pada penyeimbangan kekuatan internal dari model tersebut, sedangkan faktor-faktor eksternal dianggap tetap. Secara operasional, ini berarti bahwa parameter dan variabel eksogen diperlakukan konstan. Jika faktor eksternal ternyata berubah, maka terjadi ekuilibrium baru atas dasar nilai parameter baru, tetapi dalam kondisi ekuilibrium baru, nilai parameter yang baru juga diasumsikan tetap tidak berubah.

15

Pada pokoknya, ekuilibrium untuk model tertentu adalah suatu keadaan yang mempunyai ciri tidak ada kecenderungan untuk berubah. Kenyataan bahwa ekuilibrium berarti tidak ada kecenderungan untuk berubah dapat mendorong seseorang untuk menarik kesimpulan bahwa suatu ekuilibrium harus berarti adanya suatu keadaan yang ideal atau keadaan yang diinginkan, karena hanya pada keadaan ideal saja tidak ada dorongan terjadinya perubahan. 2.6 Fungsi Produksi Dalam pembahasan fungsi produksi banyak digunakan fungsi homogen derajat pertama sebagaimana diungkapkan oleh Chiang dan Wainwright (2005). Suatu fungsi disebut homogen derajat 𝑟, jika perkalian setiap variabel bebasnya dengan konstanta 𝑗 akan mengubah nilai fungsi dengan proporsi 𝑗 𝑟 , yaitu: 𝑓 𝑗𝑥1 , … , 𝑗𝑥𝑛 = 𝑗 𝑟 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ). Secara umum, 𝑗 dapat berupa sembarang nilai. Namun, agar persamaan di atas mempunyai arti, 𝑗𝑥1 , … , 𝑗𝑥𝑛 tidak boleh terletak di luar domain (daerah asal) fungsi 𝑓. Dalam penerapan ekonomi konstanta 𝑗 biasanya bernilai positif, karena sebagian besar variabel ekonomi tidak boleh bernilai negatif. Apabila 𝑟 = 1, fungsi 𝑓 merupakan fungsi homogen derajat pertama atau sering dinyatakan sebagai fungsi homogen secara linear. Penerapan fungsi homogen secara linear sering digunakan dalam fungsi produksi, misalnya: 𝐹 = 𝑓(𝐾, 𝑁).

(2.1)

Apakah diterapkan pada tingkat mikro atau pun makro, asumsi matematik homogen secara linear akan sama dengan asumsi ekonomi mengenai hasil yang konstan terhadap skala (constant return to scale), karena homogen secara linear berarti bahwa kenaikan semua input (variabel bebas) sebanyak 𝑗 kali lipat akan selalu menaikkan output (nilai fungsi) tepat sebesar 𝑗 kali lipat pula.

16

Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear adalah: Sifat 1: Jika fungsi produksi 𝐹 = 𝑓(𝐾, 𝑁) homogen secara linear , maka rata-rata produk buruh dan rata-rata produk modal dapat dinyatakan sebagai fungsi dari rasio 𝐾

modal – buruh, 𝑘 ≡ 𝑁 saja. Bukti: Untuk membuktikan sifat 1, bagilah setiap variabel bebas fungsi produksi 1

pada (2.1) dengan suatu faktor 𝑗 = 𝑁 . Hal ini akan mengubah output dari 𝐹 𝐹

menjadi 𝑗𝐹 = 𝑁 . Ruas kanan dari (2.1) akan menjadi: 𝑓

𝐾 𝑁

,

𝑁 𝑁

=𝑓

𝐾 𝑁

𝐾

, 1 = 𝑓 𝑘, 1 dengan 𝑘 ≡ 𝑁 .

Karena variabel-variabel 𝐾 dan 𝑁 pada fungsi semula harus diganti secara berturut-turut dengan 𝑘 dan l, sebagai akibatnya ruas kanan menjadi fungsi rasio modal dengan buruh 𝑘 saja, katakan 𝑓(𝑘), yang merupakan fungsi dengan argumen tunggal 𝑘, meskipun dua variabel bebas 𝐾 dan 𝑁 sebenarnya terlibat dalam argumen tersebut. Dengan demikian akan diperoleh: 𝐹 𝑁 𝐹 𝐾

= 𝑓(𝑘) dan 𝐹𝑁

= 𝑁𝐾 =

𝑓(𝑘) 𝑘

(2.2) .

(2.3)

Karena kedua rata-rata produk bergantung pada 𝑘 saja, maka homogen secara 𝐾

linear menerangkan bahwa selama rasio 𝑁 tetap konstan (apapun tingkat absolut 𝐾 dan 𝑁), rata-rata akan menjadi konstan juga. Oleh karena itu, fungsi produksi homogen berderajat satu adalah homogen derajat nol pada variabel-variabel 𝐾 dan 𝑁. Jadi perubahan proporsional yang sama dalam 𝐾 dan 𝑁 (dengan mempertahankan konstanta 𝑘) tidak akan mengubah besaran rata-rata produk.

17

Sifat 2: Bila diberikan fungsi produksi homogen secara linear, maka produk marjinal dapat dinyatakan sebagai fungsi dari 𝑘 saja. Bukti: Untuk mendapatkan produk marjinal, mula-mula dituliskan produk total sebagai 𝐹 yang menurut persamaan (2.2) menjadi: 𝐹 = 𝑁𝑓(𝑘)

(2.4)

Jika 𝑘 didiferensiasikan terhadap 𝐾 dan 𝑁, akan diperoleh: 𝜕𝑘 𝜕𝐾

𝜕

= 𝜕𝐾

𝐾 𝑁

1

𝜕𝑘

=𝑁,

𝜕𝑁

𝜕

= 𝜕𝑁

𝐾 𝑁

=

−𝐾 𝑁2

(2.5)

Kemudian 𝐹 didiferensiasikan terhadap 𝐾 dan 𝑁, sehingga akan diperoleh: 𝜕𝐹 𝜕𝐾

=

𝜕 𝜕𝐾

=𝑁

𝑁𝑓 𝑘 𝜕𝑓 (𝑘) 𝜕𝐾

= 𝑁𝑓 ′ 𝑘 𝜕𝐹 𝜕𝑁

=𝑁 1 𝑁

𝑑𝑓 (𝑘) 𝜕𝑘 𝜕𝐾

𝑑𝑘

= 𝑓 ′ (𝑘)

(aturan rantai) (menurut (2.5))

(2.6)

𝜕

= 𝜕𝑁 [𝑁𝑓 𝑘 ] =𝑓 𝑘 +𝑁

𝜕𝑓 (𝑘)

(aturan hasil kali)

𝜕𝑁 𝜕𝑘

= 𝑓 𝑘 + 𝑁𝑓 ′ (𝑘) 𝜕𝑁 −𝐾

= 𝑓 𝑘 + 𝑁𝑓 ′ (𝑘) 𝑁 2 = 𝑓 𝑘 − 𝑘𝑓 ′ (𝑘).

(aturan rantai) (menurut (2.5)) (2.7)

18

Seperti produk rata-rata, produk marjinal akan tetap sama selama rasio modal buruh dipertahankan konstan. Oleh karena itu, fungsi produksi homogen berderajat satu adalah homogen derajat nol pada variabel-variabel 𝐾 dan 𝑁. Sifat 3 (Dalil Euler): 𝜕𝐹

𝜕𝐹

Bila 𝐹 = 𝑓(𝐾, 𝑁) homogen secara linear, maka 𝐾 𝜕𝐾 + 𝑁 𝜕𝑁 ≡ 𝐹 Bukti: 𝜕𝐹

𝜕𝐹

𝐾 𝜕𝐾 + 𝑁 𝜕𝑁 = 𝐾𝑓 ′ 𝑘 + 𝑁 𝑓 𝑘 − 𝑘𝑓 ′ 𝑘

(menurut (2.6) dan (2.7)) 𝐾

= 𝐾𝑓 ′ 𝑘 + 𝑁𝑓 𝑘 − 𝐾𝑓 ′ 𝑘 ;

𝑘≡𝑁

= 𝑁𝑓 𝑘 = 𝐹

(menurut (2.4))

Hasil ini valid untuk setiap nilai 𝐾 dan 𝑁. Itu sebabnya mengapa sifat 3 dapat ditulis sebagai kesamaan identik. Apa yang dinyatakan oleh sifat 3 adalah bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai suatu penderivatif parsial orde pertama terhadap variabel itu, tanpa memperhatikan besarnya kedua input yang sungguh-sungguh digunakan. Tetapi 𝜕𝐹

𝜕𝐹

hendaknya berhati-hati untuk membedakan antara identitas 𝐾 𝜕𝐾 + 𝑁 𝜕𝑁 ≡ 𝐹 (dalil Euler yang hanya diterapkan pada hasil yang konstan terhadap kasus skala 𝜕𝐹

𝜕𝐹

dari 𝐹 = 𝑓(𝐾, 𝑁)) dengan persamaan 𝑑𝐹 = 𝜕𝐾 𝑑𝐾 + 𝜕𝑁 𝑑𝑁 (diferensial total F, untuk setiap fungsi 𝐹 = 𝑓(𝐾, 𝑁)). Secara ekonomi, sifat 3 berarti bahwa pada kondisi hasil yang konstan terhadap skala, bila setiap faktor input dibayar sesuai dengan jumlah produk marjinalnya, produk total akan sepenuhnya terbagi di antara semua faktor input atau secara ekuivalen keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Karena situasi ini merupakan gambaran ekuilibrium jangka panjang pada persaingan murni, pernah dianggap bahwa hanya fungsi produksi yang homogen secara linear yang akan mempunyai arti ekonomi. Keuntungan ekonomi sebesar nol dalam ekuilibrium jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui

19

masuk dan keluarnya perusahaan, tanpa memperhatikan sifat fungsi produksi khusus yang sungguh-sungguh berlaku. Jadi tidaklah diharuskan untuk mempunyai fungsi produksi yang menjamin pemakaian produk untuk masingmasing keseluruhan pasangan (𝐾, 𝑁). Selanjutnya pada kondisi persaingan tidak sempurna dalam pasar faktor produksi, pemberian balas jasa kepada faktor produksi bisa tidak sama dengan produk marjinal, yang akibatnya dalil Euler menjadi tidak relevan untuk gambaran dalam fungsi produksi. Namun fungsi produksi yang homogen secara linear sering kali sesuai untuk digunakan karena didukung oleh adanya berbagai sifat matematiknya. Fungsi Produksi Cobb-Douglas Salah satu bentuk khusus fungsi produksi yang dipakai secara luas dalam analisis ekonomi adalah fungsi produksi Cobb-Douglas: 𝐹 = 𝐴𝐾 𝛼 𝑁 1−𝛼

(2.8)

dengan 𝐴 adalah konstanta positif dan 𝛼 adalah pecahan positif. Versi umum dari fungsi produksi tersebut yaitu: 𝐹 = 𝐴𝐾 𝛼 𝑁𝛽

(2.9)

dengan 𝛽 adalah pecahan positif lainnya yang dapat sama dengan atau tidak sama dengan 1 − 𝛼. Jika 𝛼 > 𝛽, maka faktor produksi modal mempunyai kemampuan lebih besar daripada tenaga kerja sehingga disebut padat modal, sedangkan untuk 𝛼 < 𝛽, maka faktor produksi tenaga kerja lebih dominan daripada modal sehingga disebut padat karya. Menurut Soekartawi (1994), returns to scale (RTS) perlu diketahui untuk melihat suatu kegiatan produksi. Jika persamaan (2.9) dipakai untuk menjelaskan hal ini maka jumlah besaran elastisitas 𝛼 dan 𝛽 kemungkinannya ada tiga alternatif yaitu: 1. Decreasing return to scale, bila (𝛼+ 𝛽) < 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi melebihi proporsi

20

penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25%, maka produksi akan bertambah sebesar 15%. 2. Constant return to scale, bila (𝛼 + 𝛽) = 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi akan proporsional dengan proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25% , maka produksi akan bertambah sebesar 25%. 3. Increasing return to scale, bila (𝛼 + 𝛽) > 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi kurang dari proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 10%, maka produksi akan bertambah sebesar 20%. Dalam penelitian ini digunakan constant return to scale yakni (𝛼+ 𝛽)=1. Dalam keadaan seperti ini, walaupun input ditambah pada tingkatan tertentu, maka tambahan produksi dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, kalau faktor produksi ditambah dua kali, maka: 𝑄2 = 𝐴(2𝐾)𝛼 (2𝑁)𝛽 = 2𝛼+𝛽 𝐴𝐾 𝛼 𝑁𝛽 = 2𝑄1 dengan 𝑄1 = 𝐴𝐾 𝛼 𝑁𝛽 dan 𝛼+𝛽 =1. Dengan demikian, bila faktor produksi 𝐾 dan 𝑁 ditambah 𝑛 kali, maka produksi juga akan bertambah 𝑛 kali. 2.7

Model Pertumbuhan Ekonomi Satu Sektor (One-Sector Growth) Model pertumbuhan satu sektor adalah model yang dikembangkan oleh

Zhang (2005), berdasarkan dari model pertumbuhan satu sektor Solow. Fungsi produksi yang diberikan adalah: 𝐹(𝑡) = 𝐹 𝐾(𝑡), 𝑁(𝑡)

(2.10)

21

dengan 𝐾 adalah modal pada waktu 𝑡 dan 𝑁 adalah banyaknya tenaga kerja pada waktu 𝑡. Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear adalah: (i) (ii)

𝐹 𝑁

= 𝐹 𝑘, 1 ≡ 𝑓 𝑘 , 𝑘 ≡ 𝐾/𝑁; 𝜕𝐹

𝐹𝐾 = 𝜕𝐾 = 𝑓 ′ 𝑘 > 0;

(iii) 𝐹𝑁 = 𝑓 𝑘 − 𝑘𝑓 ′ 𝑘 > 0; 𝐹𝐾 dan 𝐹𝑁 > 0 atau bernilai positif maksudnya setiap kenaikan modal akan meningkatkan faktor produksi. (iv) Teorema Euler: 𝐾 𝐹𝐾 + 𝑁 𝐹𝑁 = 𝐹 Tujuan produksi adalah memaksimumkan keuntungan yaitu: 𝜋 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝐹 𝑡 − 𝑟 𝑡 𝐾 𝑡 − 𝑧 𝑡 𝑁(𝑡), dengan p(t) harga produksi, r(t) suku bunga, dan z(t) upah buruh. Pada sistem ini, tingkat suku bunga 𝑟 dan tingkat upah 𝑧 ditentukan oleh pasar, diasumsikan harga produksi 𝑝 𝑡 = 1 dan dianggap bahwa 𝐾 dan 𝑁 adalah variabel bebas, maka diperoleh hasil sebagai berikut: 𝑟 = 𝐹𝐾 = 𝑓 ′ 𝑘 ; 𝑧 = 𝐹𝑁 = 𝑓 𝑘 − 𝑘𝑓 ′ (𝑘).

(2.11)

(bukti: lihat Lampiran 1). Berdasarkan sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear dan persamaan (2.11), maka fungsi produksi dapat dinyatakan sebagai: 𝐹 = 𝐾 𝐹𝐾 + 𝑁 𝐹𝑁 = 𝑟𝐾 + 𝑧𝑁.

(2.12)

Pendapatan bersih 𝑌 merupakan penjumlahan dari faktor-faktor produksi dalam perekonomian, yaitu modal dan tenaga kerja yang dinyatakan dengan: 𝑌(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝐾(𝑡) + 𝑧(𝑡)𝑁(𝑡). Berdasarkan persamaan (2.12), maka 𝑌 𝑡 = 𝐹(𝑡).

(2.13)

22

Pendapatan kotor merupakan penjumlahan dari penghasilan bersih 𝑌(𝑡) dengan modal 𝐾(𝑡), didefinisikan dengan: 𝑌 ∗ (𝑡) = 𝑌(𝑡) + 𝐾(𝑡) Misalkan diberikan batasan anggaran belanja adalah: 𝐶 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝑆 𝑡 = 𝑌 ∗ 𝑡 = 𝑌 𝑡 + 𝐾(𝑡),

(2.14)

dengan 𝛿𝑘 adalah rasio depresiasi kapital, 0 ≤ 𝛿𝑘 < 1. Pendapatan yang siap dibelanjakan 𝑌𝑑 𝑡 adalah didefinisikan sebagai pendapatan kotor dikurangi depresiasi kapital (modal), dinyatakan: 𝑌𝑑 𝑡 ≡ 𝑌 𝑡 + 𝐾 𝑡 − 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 = 𝑟(𝑡)𝐾 𝑡 + 𝑧 𝑡 𝑁 𝑡 + 𝛿𝐾(𝑡) = 𝑌 𝑡 + 𝛿𝐾(𝑡), dengan 𝛿 ≡ 1 − 𝛿𝑘

(2.15)

Pendapatan bersih yang siap dibelanjakan digunakan untuk konsumsi dan simpanan atau tabungan. Pada setiap titik waktu, seseorang mendistribusikan seluruh anggaran untuk konsumsi 𝐶(𝑡) dan simpanan 𝑆(𝑡). Kendala pembiayaan adalah: 𝑌𝑑 𝑡 = 𝐶(𝑡) + 𝑆(𝑡). Utilitas 𝑈 𝑡

(2.16)

untuk konsumen bergantung pada tingkat konsumsi 𝐶(𝑡) dan

tabungan bersih 𝑆(𝑡) yang diberikan oleh persamaan: 𝑈(𝑡) = 𝐶 𝜉 (𝑡)𝑆 𝜆 (𝑡); 𝜉, 𝜆 > 0; 𝜉 + 𝜆 = 1

(2.17)

dengan 𝜉 adalah kecenderungan untuk mengonsumsi barang-barang dan 𝜆 adalah kecenderungan untuk menabung. Solusi dari optimasi fungsi utilitas pada persamaan (2.17) dengan kendala pembiayaan pada persamaan (2.16) adalah tunggal, yaitu: 𝐶 ∗ 𝑡 = 𝜉𝑌𝑑 𝑡 , 𝑆 ∗ (𝑡) = 𝜆𝑌𝑑 𝑡 (bukti: lihat Lampiran 2)

(2.18)

23

Akumulasi modal 𝐾 dinyatakan dengan: 𝐾 𝑡 = 𝑆 𝑡 − 𝐾(𝑡).

(2.19)

Dari persamaan (2.18), (2.15) dan 𝑌(𝑡) = 𝐹(𝑡), diperoleh: 𝑆 𝑡 = 𝜆𝑌𝑑 𝑡 = 𝜆 𝑌 𝑡 + 𝛿𝐾 𝑡 = 𝜆 𝐹 𝑡 + 𝛿𝐾 𝑡 .

(2.20)

Jika persamaan (2.20) disubstitusikan ke persamaan (2.19), maka diperoleh akumulasi modal yang merupakan model dari OSG yaitu: 𝐾 𝑡 = 𝜆𝐹 𝑡 + 𝜆𝛿𝐾 𝑡 − 𝐾 𝑡 = 𝜆𝐹 𝑡 − 𝜉𝑘 𝐾(𝑡)

(2.21)

dengan menggunakan: 𝜉 + 𝜆 = 1; 𝛿 ≡ 1 − 𝛿𝑘 ; 𝜉𝑘 ≡ 𝜉 + 𝜆𝛿𝑘 (bukti: lihat Lampiran 3). 2.8

Proportional Error Misalkan 𝑦𝑖 adalah data sebenarnya ke-𝑖 dan 𝑦𝑖 adalah data yang diperoleh

dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendugaan untuk 𝑦𝑖 . Menurut Nachmias dan Guerrero (2010), proportional error (PE) didefinisikan sebagai berikut: 𝑃𝐸 =

𝑛 𝑖=1 |𝑦 𝑖 −𝑦 𝑖 | 𝑛 𝑦 𝑖=1 𝑖

, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Model secara umum memberikan kecocokan yang baik dengan data apabila nilai PE semakin kecil dan di bawah 10%.

24

25

BAB III MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DAN FUNGSI STOK UANG

3.1

Asumsi dan Notasi Dalam proses pertukaran dan pembagian kerja, uang memainkan peranan

penting di dalam ekonomi modern. Fungsi produksi yang digunakan adalah model one-sector growth (OSG) yang memanfaatkan dua faktor produksi, yaitu modal dan tenaga kerja. Misalkan diasumsikan bahwa permintaan uang per kapita adalah suatu fungsi dari pendapatan uang per kapita, kekayaan uang per kapita, dan tingkat suku bunga. Uang yang dimaksud adalah uang yang dikeluarkan pemerintah yang berbentuk uang giral atau kartal. Pasar uang diasumsikan terjadi pada keadaan ekuilibrium, yaitu permintaan uang per kapita 𝑚𝑑 selalu sama dengan uang yang beredar per kapita, yang dinotasikan: 𝑚𝑑 = 𝐺 𝑦, 𝑤, 𝑟 = 𝑚, 𝑀

dengan 𝑚 = 𝑁 , (dengan 𝑀 adalah stok uang dan 𝑁 adalah banyaknya tenaga kerja) adalah persediaan stok uang per kapita, G suatu fungsi kontinu, y output per kapita, w kekayaan uang per kapita, r tingkat suku bunga (Zhang 2005). Diasumsikan bahwa seluruh penduduk dalam negara tersebut adalah tenaga kerja. Model berikut adalah model pertumbuhan ekonomi berdasarkan stok uang yang dikembangkan oleh Zhang (2005), dengan beberapa modifikasi yang dilakukan untuk menyempurnakan model tersebut. Untuk menggambarkan model tersebut, berikut ini diberikan beberapa definisi umum yang digunakan dalam model: 𝑊(𝑡)

= kekayaan pada waktu t;

𝐾(𝑡)

= total cadangan modal pada waktu t;

𝑁 𝑡

= banyaknya tenaga kerja pada waktu t;

𝐹 𝑡

= tingkat output sektor produksi pada waktu t;

Y 𝑡

= pendapatan bersih pada waktu t;

26

3.2

𝑌𝑑 𝑡

= pendapatan bersih yang siap dibelanjakan pada waktu t;

𝛹 𝑡

= banyak uang yang beredar pada waktu t;

𝑀(𝑡)

= total stok uang pada waktu t;

𝐶 𝑡

= tingkat konsumsi pada waktu t;

𝑃(𝑡)

= tingkat harga atau nilai uang pada waktu t;

𝛿𝑘

= depresiasi kapital, dengan 0 ≤ 𝛿𝑘 < 1.

Perumusan Model dan Fungsi Produksi Misalkan fungsi produksi F didefinisikan dengan fungsi produksi Cobb-

Douglas sebagai berikut: 𝐹 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝐾 𝛼 𝑡 𝑁𝛽 𝑡 ;

𝛼 + 𝛽 = 1, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0

(3.1)

dengan 𝐴 = 1, 𝐾 menyatakan modal, 𝑁 adalah banyaknya tenaga kerja, 𝛼 dan 𝛽 adalah besaran elastisitas terhadap produksi. Output produksi per kapita didefinisikan sebagai berikut: 𝐾

𝑓 𝑡 = 𝑘 𝛼 (𝑡) dengan 𝑘 = . 𝑁

(3.2)

Pada sistem ini, tingkat suku bunga r dan tingkat upah z ditentukan oleh pasar. Berdasarkan persamaan (2.11), diperoleh hasil sebagai berikut: 𝑟 𝑡 = 𝐹𝐾 = 𝑓 ′ (𝑘) = 𝛼𝑘 𝛼 −1 𝑡 ; 𝑧(𝑡) = 𝐹𝑁 = 𝑓 𝑘 − 𝑘𝑓 ′ 𝑘 = 𝑘 𝛼 − 𝑘𝛼𝑘 𝛼−1 = 𝛽𝑘 𝛼 (𝑡).

(3.3)

Analog dengan model sebelumnya pada persamaan (2.13), pendapatan bersih Y adalah sama dengan fungsi produksi F merupakan penjumlahan dari faktor-faktor produksi dalam perekonomian yaitu dari pembayaran bunga 𝑟(𝑡)𝐾(𝑡) dan pembayaran upah 𝑧(𝑡)𝑁(𝑡), yang dinyatakan dengan: 𝑌(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝐾(𝑡) + 𝑧(𝑡)𝑁(𝑡) = 𝐹(𝑡).

(3.4)

Pendapatan kotor 𝑌 ∗ merupakan penjumlahan dari pendapatan bersih dan modal yakni 𝑌 ∗ (𝑡) = 𝑌(𝑡) + 𝐾(𝑡). Kemudian diberikan batasan anggaran belanja yaitu:

27

𝐶 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝑊 𝑡 = 𝑌 ∗ 𝑡 = 𝑌 𝑡 + 𝐾(𝑡),

(3.5)

dengan 𝛿𝑘 adalah rasio depresiasi kapital, 0 ≤ 𝛿𝑘 < 1. Persamaan (3.5) menjelaskan bahwa pendapatan kotor biasanya digunakan untuk konsumsi, membayar depresiasi kapital dan tabungan atau menambah kekayaan. Kekayaan 𝑊(𝑡) diperoleh dari modal 𝐾(𝑡) dan peredaran uang 𝛹 𝑡 , yaitu: 𝑊 𝑡 =𝐾 𝑡 +𝛹 𝑡 dengan 𝛹 𝑡 ≡

𝑀(𝑡) 𝑃(𝑡)

(3.6)

, 𝑀(𝑡) adalah total stok uang dan 𝑃(𝑡) tingkat harga atau

nilai uang. Pendapatan bersih yang siap dibelanjakan 𝑌𝑑 𝑡

didefinisikan sebagai

berikut: 𝑌𝑑 𝑡 = 𝐹 𝐾 𝑡 , 𝑁 𝑡

− 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝛹 𝑡 .

(3.7)

Menurut David Ricardo, kuat atau lemahnya nilai uang sangat bergantung pada jumlah uang yang beredar. Apabila jumlah uang yang beredar berubah menjadi dua kali lipat, maka nilai uang akan menurun menjadi setengah dari semula, dan juga sebaliknya. Berdasarkan teori tersebut, peredaran uang sangat berpengaruh terhadap kekayaan dan pendapatan bersih yang siap dibelanjakan. Pendapatan bersih yang siap dibelanjakan digunakan untuk konsumsi dan menambah kekayaan (semakin banyak simpanan atau tabungan, maka kekayaan juga akan bertambah karena mendapat bunga). Pada setiap titik waktu, seseorang mendistribusikan seluruh anggaran untuk konsumsi 𝐶(𝑡) dan menambah kekayaan 𝑊 (𝑡). Kendala pembiayaan adalah: 𝑌𝑑 𝑡 = 𝐶 𝑡 + 𝑊 𝑡 .

(3.8)

Utilitas 𝑈 𝑡 untuk seseorang, bergantung pada tingkat konsumsi 𝐶(𝑡) dan laju pertumbuhan kekayaan 𝑊 (𝑡), yaitu memenuhi: 𝑈(𝑡) = 𝐶 𝜉 (𝑡)𝑊 𝜆 (𝑡); 𝜉, 𝜆 > 0; 𝜉 + 𝜆 = 1

(3.9)

28

dengan 𝜉 adalah kecenderungan untuk mengonsumsi barang-barang dan 𝜆 adalah kecenderungan untuk menambah kekayaan. Solusi dari optimasi fungsi utilitas pada persamaan (3.9) dengan kendala pembiayaan pada persamaan (3.8) adalah tunggal, yaitu: 𝐶 𝑡 = 𝜉𝑌𝑑 𝑡 ,

𝑊 (𝑡) = 𝜆𝑌𝑑 (𝑡).

(3.10)

(bukti: lihat Lampiran 4) Menurut definisi, akumulasi modal 𝐾 dinyatakan dengan: 𝐾 𝑡 = 𝑊 𝑡 − 𝐾(𝑡).

(3.11)

Dari persamaan (3.4), (3.5), dan (3.11), maka fungsi produksi dinyatakan: 𝐹 𝑡 = 𝐶 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝐾 𝑡

(3.12)

(bukti: lihat Lampiran 5). Terlihat bahwa nilai output produksi digunakan untuk konsumsi 𝐶(𝑡), membayar depresiasi kapital 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 , dan menambah modal 𝐾 𝑡 . Dari persamaan (3.4), (3.7), (3.10) dan (3.12) didapatkan laju pertumbuhan modal yang dianggap merupakan persamaan dari model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang sebagai berikut: 𝐾 = 𝜆 𝑌 − 𝛿𝑘 𝐾 − 𝜉𝛹 .

(3.13)

(bukti: lihat Lampiran 6). Model dari (3.13) menunjukkan bahwa akumulasi modal bergantung pada pendapatan, modal awal dan laju peredaran uang. Modal awal biasanya cenderung sama atau tetap dan depresiasi kapital cenderung turun. Jadi semakin banyak pendapatan dan laju peredaran uang semakin kecil, maka akumulasi modal semakin banyak atau sebaliknya. Stok uang bergantung pada laju peredaran uang, serta semakin banyak uang yang beredar maka stok uang juga akan bertambah banyak dengan asumsi tingkat harga tetap.

29

Dari model (3.13), laju pertumbuhan modal selanjutnya dibuat dalam per kapita, karena fungsi 𝐹 masih mengandung variabel 𝑁 (banyaknya tenaga kerja). Padahal angkatan tenaga kerja setiap waktu berbeda. Persamaan (3.3) disubstitusikan ke persamaan (3.4), maka pendapatan bersih per kapita y adalah sebagai berikut: 𝑌(𝑡)

𝑦 𝑡 = 𝑁(𝑡) = 𝑟 𝑡

𝐾 𝑡 𝑁 𝑡

+𝑧 𝑡

𝑁 𝑡 𝑁 𝑡

𝐹(𝑡)

= 𝑁(𝑡) = 𝑓(𝑡),

𝑦 𝑡 = 𝑟 𝑡 𝑘 𝑡 + 𝑧 𝑡 = 𝑓(𝑡), 𝑦 𝑡 = 𝛼𝑘 𝛼−1 𝑘 + 𝛽𝑘 𝛼 = 𝑘 𝛼 = 𝑓 𝑡 .

(3.14)

Dari persamaan (3.13) dan (3.14), maka laju pertumbuhan modal dari model (3.13) dalam per kapita sebagai berikut: 𝑘 = 𝜆 𝑘 𝛼 − 𝛿𝑘 𝑘 − 𝜉 𝑥 dengan 𝑥 =

𝛹 𝑁

.

(3.15)

Persamaan (3.15) dapat dibuat menjadi sistem persamaan diferensial taklinear yaitu: 𝑥=

−𝜆𝛿 𝑘 𝑘 + 𝑥

(3.16)

𝜉

𝑘 = 𝜆𝑘 𝛼 − 𝑥.

(3.17)

Penyelesaian analitik sistem persamaan diferensial taklinear dari persamaan (3.16) dan (3.17) tidaklah mudah, sehingga untuk menyelesaikannya digunakan pendekatan secara numerik yaitu menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica. 3.3

Kondisi Ekuilibrium Selanjutnya akan ditentukan variabel-variabel pada saat ekuilibrium, yaitu

pada saat

𝑑𝑘 𝑑𝑡

= 0 dan

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 0. Kondisi ekuilibrium dari sistem persamaan

diferensial taklinear persamaan (3.16) dan (3.17) adalah sebagai berikut: 𝑑𝑘 𝑑𝑡

= 0 → 𝜆𝑘 𝛼 − 𝑥 = 0

30

𝑥 = 𝜆𝑘 𝛼 𝑑𝑥 𝑑𝑡

=0 →

𝑥 −𝜆𝛿 𝑘 𝑘 𝜉

(3.18)

=0

𝑥 − 𝜆𝛿𝑘 𝑘 = 0 Persamaan (3.18) disubstitusikan ke 𝑥 − 𝜆𝛿𝑘 𝑘 = 0, 𝜆𝑘 𝛼 − 𝜆𝛿𝑘 𝑘 = 0 𝜆𝑘 𝛼 = 𝜆𝛿𝑘 𝑘 𝑘 𝛼−1 = 𝛿𝑘 𝑘=

𝛼 −1

𝛿𝑘 .

(3.19)

Dari persamaan (3.18) dan (3.19), dapat ditentukan nilai-nilai variabel pada saat ekuilibrium. Apabila nilai 𝜆, 𝛼, dan 𝛿𝑘 diketahui, maka nilai 𝑘 dan 𝑥 akan diperoleh. Pembahasan selanjutnya dalam Bab IV adalah simulasi model. Dengan simulasi akan diketahui model mana yang sesuai dengan fenomena pada pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang.

31

BAB IV SIMULASI MODEL

Pada Bab III telah dibahas cara untuk menentukan variabel-variabel endogen di setiap titik waktu dan di saat ekuilibrium. Sedangkan pada bab ini akan dibuat simulasi modelnya melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica. Variabel-variabel yang ada pada sistem dipengaruhi oleh waktu, sehingga setiap saat akan mengalami perubahan. Sebelum membahas saat kondisi ekuilibrium, terlebih dahulu dibahas perubahan variabel-variabel endogen setiap waktu. Untuk menyimulasikan model tersebut, terlebih dahulu ditentukan besaran parameter-parameter seperti dalam Tabel 1 berikut. Tabel 1 Besaran parameter-parameter dalam model Kasus 1 2 3

𝛼 0.25 0.50 0.75

𝛽 0.75 0.50 0.25

𝛿𝑘 0.05 0.05 0.05

𝜉 0.75 0.75 0.75

𝜆 0.25 0.25 0.25

Tabel 1 menunjukkan bahwa jumlah besaran elastisitas modal 𝛼 dengan besaran elastisitas tenaga kerja 𝛽 berbeda-beda pada setiap kasus. Dalam penelitian ini yang akan diteliti ialah pengaruh dari besaran elastisitas modal. Pada kasus 1 besaran elastisitas modal rendah yaitu 𝛼 = 0.25, kasus 2 besaran elastisitas modal sedang yaitu 𝛼 = 0.50, pada kasus 3 besaran elastisitas modal tinggi yaitu 𝛼 = 0.75. Rasio depresiasi kapital 𝛿𝑘 sama dalam setiap kasus yaitu 0.05 atau 5%, sedangkan untuk tingkat kecenderungan konsumsi 𝜉 dan tingkat kecenderungan menambah kekayaan 𝜆 adalah sama dari kasus per kasus yaitu 0.75 dan 0.25. Hal ini berarti tingkat kecenderungan mengonsumsi secara perorangan lebih besar daripada kecenderungan menambah kekayaan. Dalam hal membelanjakan pendapatan setiap orang memang berbeda-beda, namun rata-rata tingkat kecenderungan

orang

untuk

konsumsi

kecenderungan menambah kekayaan.

biasanya

lebih

besar

daripada

32

4.1

Laju Pertumbuhan Modal Modal per kapita 𝑘 dikatakan tumbuh apabila setiap waktu ada kenaikan.

Pertumbuhan modal suatu negara sangat dipengaruhi oleh beberapa parameter. Simulasi dari persamaan (3.16) dan (3.17) berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 1.

Kasus 1 Kasus 2 Kasus 3

Gambar 1 Hasil simulasi pertumbuhan modal. Gambar 1 menunjukkan bahwa grafik laju pertumbuhan modal dari ketiga kasus cenderung naik dan kenaikan awalnya lambat kemudian naik sangat signifikan. Walaupun besaran elastisitas modal diubah dari rendah ke tinggi, grafiknya tidak ada perbedaan dan cenderung berimpit. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa laju pertumbuhan modal berkembang semakin meningkat dari waktu ke waktu dan perubahan besaran elastisitas modal rendah ke tinggi tidak berpengaruh terhadap perkembangan laju pertumbuhan modal. Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa laju pertumbuhan modal semakin meningkat dan peningkatannya tidak bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal.

33

4.2

Laju Peredaran Uang Peredaran uang per kapita 𝑥 suatu negara ditentukan oleh perekonomian

yang terjadi di negara tersebut. Bila perekonomian suatu negara berkembang pesat, maka peredaran uang semakin banyak. Hal ini mengakibatkan stok uang negara akan berkurang. Simulasi dari persamaan (3.16) dan (3.17) berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 2.


Gambar 2 Hasil simulasi uang beredar. Gambar 2 menunjukkan bahwa grafik laju peredaran uang dari ketiga kasus cenderung naik dan kenaikannya sangat signifikan. Walaupun besaran elastisitas modal diubah dari rendah ke tinggi, nampak grafiknya tidak ada perbedaan dan berimpit. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa laju peredaran uang beredar semakin cepat dari waktu ke waktu dan perubahan besaran elastisitas modal rendah ke tinggi tidak berpengaruh terhadap peredaran uang. Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa laju peredaran uang beredar semakin cepat dan peredaran uang tidak bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal. 4.3

Pendapatan Bersih Pendapatan bersih per kapita 𝑦 suatu negara bergantung pada pertumbuhan

modal dan sirkulasi peredaran uang. Semakin tinggi pertumbuhan modal dan

34

semakin banyak uang yang beredar, maka pendapatan per kapita suatu negara juga akan bertambah. Selain itu juga ditentukan oleh upah dan tingkat suku bunga. Untuk mengetahui hal tersebut, simulasi dari persamaan (3.14) berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 3.


Gambar 3 Hasil simulasi pendapatan bersih per kapita. Gambar 3 menunjukkan bahwa grafik pendapatan bersih dari ketiga kasus cenderung naik dan kenaikannya sangat signifikan. Ketika besaran elastisitas modal diubah dari rendah ke tinggi, nampak grafiknya ada perbedaan. Perubahan terjadi pada saat besaran elastisitas modal dari rendah ke tinggi, semakin tinggi besaran elastisitas modal pendapatan bersih semakin naik sangat signifikan. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa pendapatan bersih semakin meningkat dari waktu ke waktu dan perubahan besaran elastisitas modal rendah ke tinggi berpengaruh terhadap pendapatan bersih. Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa pendapatan bersih semakin meningkat dan peningkatannya bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal.

35

4.4

Tingkat Suku Bunga dan Upah Tingkat suku bunga 𝑟 dan tingkat upah 𝑧 untuk tenaga kerja mempunyai

peranan penting dalam perekonomian suatu negara. Tingkat suku bunga yang relatif stabil menunjukkan bahwa negara tersebut mempunyai perekonomian yang mapan. Sedangkan tingkat suku bunga yang masih fluktuatif, menunjukkan bahwa negara tersebut perekonomiannya belum stabil. Semakin tinggi upah tenaga kerja yang diterima, maka kesejahteraan penduduknya juga semakin meningkat. Hal ini berarti tingkat suku bunga dan upah tenaga kerja berpengaruh terhadap kekayaan dan pendapatan per kapita negara tersebut. 4.4.1 Tingkat Suku Bunga Untuk mengetahui simulasi dari persamaan (3.3) berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 4.


Gambar 4 Hasil simulasi tingkat suku bunga.

36

Gambar 4 menunjukkan bahwa grafik tingkat suku bunga dari ketiga kasus cenderung turun, pada awalnya selisih sangat jauh kemudian mendekati sama. Ketika besaran elastisitas modal diubah dari rendah ke tinggi, nampak grafiknya pada awalnya ada perbedaan sangat signifikan kemudian semakin mendekati sama dan cenderung stabil. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa tingkat suku bunga semakin lama semakin turun dan cenderung stabil dari waktu ke waktu dan perubahan besaran elastisitas modal rendah ke tinggi berpengaruh hanya pada awalnya, setelah itu tidak berpengaruh lagi. Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa tingkat suku bunga cenderung turun dan setelah itu stabil. 4.4.2 Tingkat Upah Untuk mengetahui simulasi dari persamaan (3.3) berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 5.


Gambar 5 Hasil simulasi tingkat upah tenaga kerja. Gambar 5 menunjukkan bahwa grafik tingkat upah dari ketiga kasus cenderung naik dan kenaikannya sangat signifikan. Ketika besaran elastisitas modal diubah dari rendah ke tinggi, nampak grafiknya ada perbedaan. Perubahan

37

terjadi pada saat besaran elastisitas modal dari rendah ke tinggi, semakin tinggi besaran elastisitas modal tingkat upah semakin naik sangat signifikan. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa tingkat upah semakin meningkat dari waktu ke waktu dan perubahan besaran elastisitas modal rendah ke tinggi berpengaruh terhadap upah. Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa tingkat upah semakin meningkat dan peningkatannya bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal. 4.5

Perbandingan Simulasi dan Data Untuk membandingkan hasil simulasi dengan keadaan nyata di Indonesia

dilakukan perbandingan terhadap data. Data yang digunakan diperoleh dari laporan tahunan Badan Pusat Statistik (BPS) di Indonesia tahun 2009. Dalam penelitian ini data yang digunakan adalah data pendapatan nasional per kapita dari tahun 2001 sampai 2006. Dalam Tabel 2 diberikan data pendapatan nasional per kapita dalam rupiah berdasarkan laporan tahunan BPS tahun 2009 tersebut. Tabel 2 Besaran variabel data sekunder pendapatan nasional per kapita di Indonesia Tahun Pendapatan per kapita

2001

2002

2003

2004

2005

2006

7.044

7.570

8.135

9.303

11.179

13.195

Sumber: Data BPS Laporan produk domestik bruto per kapita, produk nasional bruto per kapita dan pendapatan nasional per kapita 2000-2009 (jutaan Rupiah).

38

Kasus 1: Besaran elastisitas modal rendah yaitu 𝜶 = 0.25 Perbandingan simulasi dan data pendapatan nasional per kapita di Indonesia berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 6.

Data Simulasi

Gambar 6 Perbandingan simulasi dan data sekunder kasus 1. Gambar 6 menunjukkan bahwa grafik kasus 1 ketika besaran elastisitas modal rendah yaitu 𝛼 = 0.25 antara data sekunder pendapatan nasional per kapita di Indonesia dari tahun 2001 sampai 2006 dan simulasi, awalnya sama dan hasil simulasi berada di bawah data sekunder setelah itu agak menjauh kemudian semakin mendekat.

39

Kasus 2: Besaran elastisitas modal sedang yaitu 𝜶 = 0.50 Perbandingan simulasi dan data sekunder pendapatan nasional per kapita di Indonesia berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 7.

Data Simulasi

Gambar 7 Perbandingan simulasi dan data sekunder kasus 2. Gambar 7 menunjukkan bahwa grafik kasus 2 ketika besaran elastisitas modal sedang yaitu 𝛼 = 0.50 antara data sekunder pendapatan nasional per kapita di Indonesia dari tahun 2001 sampai 2006 dan simulasi, awalnya sama dan hasil simulasi berada di bawah data, kemudian setelah 𝑡 > 4 grafik simulasi di atas data dan semakin menjauh.

40

Kasus 3: Besaran elastisitas modal tinggi yaitu 𝜶 = 0.75 Perbandingan simulasi dan data sekunder pendapatan nasional per kapita di Indonesia berdasarkan Tabel 1 diberikan dalam Gambar 8.

Data Simulasi

Gambar 8 Perbandingan simulasi dan data sekunder kasus 3. Gambar 8 menunjukkan bahwa grafik kasus 3 ketika besaran elastisitas modal tinggi yaitu 𝛼 = 0.75 antara data sekunder pendapatan nasional per kapita di Indonesia dari tahun 2001 sampai 2006 dan simulasi, awalnya sama dan hasil simulasi berada di bawah data, kemudian setelah 𝑡 > 4 grafik simulasi di atas data dan semakin menjauh. Untuk mengetahui kasus mana yang sesuai dengan model dari data sekunder pendapatan nasional per kapita di Indonesia dari tahun 2001 sampai 2006, perlu adanya perbandingan simulasi dan data dengan uji kelayakan model yaitu menentukan proportional error (PE). Model secara umum dikatakan baik apabila nilai PE semakin kecil dan di bawah 10%. Berikut Tabel 3 data penduga dari simulasi untuk menentukan proportional error.

41

Tabel 3 Besaran variabel data penduga dari simulasi (jutaan Rupiah) Tahun (t)

2001

2002

2003

2004

2005

2006

Kasus 1

7.044

7.050

7.200

7.750

9.200

12.050

Kasus 2

7.044

7.080

7.380

8.550

12.050

20.650

Kasus 3

7.044

7.065

7.310

8.400

12.300

24.850

Berdasarkan Tabel 2 dan Tabel 3 diperoleh nilai proportional Error (PE) dari masing-masing kasus. Untuk kasus pertama dengan elastisitas modal rendah diperoleh PE = 0.3%, kasus kedua dengan elastisitas modal sedang diperoleh PE = 1%, kasus ketiga dengan elastisitas modal tinggi diperoleh PE = 1.2% (lihat lampiran 7). Berdasarkan PE yang diperoleh, menunjukkan bahwa ketiga kasus dalam model sangat baik dikarenakan semua PE < 10%. Jadi untuk kasus data pendapatan nasional per kapita di Indonesia model yang sesuai adalah kasus pertama karena PE paling kecil. 4.6

Menentukan Variabel-Variabel Endogen di saat Ekuilibrium Sebelumnya telah dibahas variabel-variabel endogen di setiap titik waktu.

Selanjutnya akan dibahas variabel-variabel endogen pada saat ekuilibrium. Untuk menentukan variabel-variabel itu terlebih dahulu ditentukan titik ekuilibrium dari fungsi modal dan peredaran uang dengan menggunakan persamaan (3.18) dan (3.19). Dengan menggunakan software Mathematica, maka dapat ditentukan titik ekuilibriumnya. Sama halnya dengan pembahasan sebelumnya, kali ini juga akan dibahas dalam tiga kasus. Berikut hasil hitungan variabel-variabel endogen pada saat ekuilibrium dengan Mathematica yang disajikan dalam Tabel 4.

42

Tabel 4 Besaran variabel-variabel endogen saat ekuilibrium tiga kasus Kasus

k

1

52884

2

400

3

x

y

𝑦𝑑

0.679 8.68614x106 8.68613x106 5

1.6 x105

159980

w 54.967 405

c

r

z

6.5146x106 0.0125 2.036 119985

0.025

10

1.6 x105 2000 8.68613x106 8.67814x106 1.62 x105 6.5086x106 0.0375 2000

Berdasarkan Tabel 4 terlihat bahwa variabel-variabel endogen per kapita dari tiga kasus pada saat ekulibrium terdapat perubahan-perubahan. Perubahan yang terjadi adalah: 1.

Modal k, peredaran uang x, kekayaan w, dan upah z dari kasus per kasus kenaikannya sangat signifikan. Jadi pada saat ekuilibrium, semakin tinggi elastisitas modal maka nilai variabel-variabel endogen dari modal, peredaran uang, kekayaan, dan upah juga semakin meningkat. Untuk tingkat suku bunga r juga naik, namun kenaikannya hanya kecil.

2.

Sedangkan pada pendapatan bersih y, pendapatan bersih yang siap dibelanjakan 𝑦𝑑 , dan konsumsi c dari kasus per kasus mengalami penurunan kemudian naik.

Terlihat bahwa pendapatan bersih yang siap dibelanjakan lebih kecil daripada pendapatan bersih. Berarti pendapatan bersih yang diperoleh, selain untuk belanja atau konsumsi ada yang digunakan untuk menambah kekayaan. Dalam fenomena kehidupan hal ini wajar, dikarenakan jika pendapatan bersih yang siap dibelanjakan lebih besar daripada pendapatan bersih maka akan terjadi kebangkrutan. Jadi model yang dikembangkan sesuai dengan fenomena di suatu negara.

43

BAB V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Dari kajian atau analisis terhadap model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang dan simulasi yang dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa: 1.

Model pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang dirumuskan dengan sistem persamaan diferensial taklinear.

2.

Pada saat ekuilibrium, solusi variabel-variabel endogen dapat diselesaikan dengan pendekatan numerik. Setiap besaran elastisitas modal yang disimulasikan mempunyai satu titik tetap.

3.

Dari simulasi dapat disimpulkan bahwa: 

Pertumbuhan modal suatu negara semakin meningkat dan peningkatan tidak bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal.



Laju peredaran uang suatu negara tidak bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal.



Pendapatan bersih suatu negara bergantung pada perubahan besaran elastisitas modal. Semakin tinggi elastisitas modal, maka pendapatan bersih semakin meningkat.



Perbandingan dari simulasi dan data sekunder menunjukkan bahwa untuk kasus data pendapatan nasional per kapita di Indonesia, model pertumbuhan yang sesuai adalah kasus dengan elastisitas modal rendah.

5.2 Saran Saran untuk penelitian lanjutan adalah perlu dianalisis lebih mendalam mengenai solusi sistem persamaan diferensial taklinear dan pada saat ekuilibrium dengan penyelesaian analitik terhadap semua variabel-variabel endogen apabila memungkinkan. Perlu juga dibandingkan model lainnya dalam simulasi dengan data real, sehingga dapat diketahui kasus mana yang sesuai dengan model.

44

45

DAFTAR PUSTAKA

[BPS] Badan Pusat Statistik. 2009. Laporan Produk Domestik Bruto per Kapita, Produk Nasional Bruto per Kapita dan Pendapatan Nasional per Kapita 2000-2009 (Rupiah). Jakarta: Badan Pusat Statistik Republik Indonesia. Baumol WJ, Binder AS. 2003. Economic: Principles and Policy. Ed ke-9. Thomson Learning. United State of America. Chiang AC, Wainwright K. 2005. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Ed ke-4. London: McGraw-Hill Companies. [Depdikbud] Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa. 2005. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Ed ke-3. Jakarta: Balai Pustaka. Dayat. 2009. Model Perdagangan Antarnegara Berdasarkan Akumulasi Modal. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Herliani AL. 2009. Model Distribusi Pertumbuhan Ekonomi Antarkelompok pada Dua Negara. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Nachmias CF, Guerrero AL. 2010. Social Statistics for a Diverse Society. Ed ke-6. Singapore: SAGE Pine Forge Press. Soekartawi. 1994. Teori Ekonomi Produksi. Jakarta: Raja Grafindo Persada. Sugiyantoro. 2011. Model Dinamika Pertumbuhan Ekonomi Pedesaan dan Perkotaan. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Tajau MTN. 2008. Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Daerah Berdasarkan Modal dan Knowledge. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

46

Timothy A. Penyelesaian Century Harus Jelas. Media Indonesia 9 Desember 2009:13 (kolom 1-7) Todaro MP, Smith SC. 2006. Pembangunan Ekonomi Jilid 1 Ed. ke-9. Munandar H, Puji AL, penerjemah; Barnadi D, Hardani SSW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Economic Development. Triana N. Ekonomi Tumbuh Tak Berarti Angka Pengangguran Turun. Jurnal Nasional 15 November 2010:9 (kolom2-6). Untoro. 2007. Mengkaji Efektivitas Penggunaan ARIMA dan VAR dalam Melakukan

Proyeksi

Permintaan

Uang

Kuartal

di

Indonesia.

http://isjd.pdii.lipi.go.id/admin/jurnal/101074983.pdf. html [13 Juni 2011]. Wachyu AP. IMF Mulai Tinggalkan Ekonomi Liberal. Koran Jakarta 9 April 2011:1 (kolom 5-6). Zhang WB. 2005. Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in Economics. Singapore: World Scientific.

49

Lampiran 1 Pembuktian persamaan (2.11) Keuntungan dari produksi dirumuskan: 𝜋 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝐹 𝑡 − 𝑟 𝑡 𝐾 𝑡 − 𝑧 𝑡 𝑁(𝑡),

supaya keuntungan maksimum adalah: 𝑑𝜋 𝑑𝐾

= 0 ⇒ 𝑝𝐹𝐾 − 𝑟 = 0 … … … … … … … … … … … … … … . . (1)

𝑑𝜋 𝑑𝑁

= 0 ⇒ 𝑝𝐹𝑁 − 𝑧 = 0 … … … … … … … … … … … … … … . (2)

Dari (1) diperoleh: 𝑟 = 𝑝𝐹𝐾 ,

dan dari (2) diperoleh: 𝑧 = 𝑝𝐹𝑁 .

Jika 𝑝 = 1, maka diperoleh: 𝑟 = 𝐹𝐾 = 𝑓′ 𝑘 ; 𝑧 = 𝐹𝑁 = 𝑓 𝑘 − 𝑘𝑓′(𝑘),

dari sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear yang ke-ii dan iii.

50 59

Lampiran 2 Pembuktian persamaan (2.18) Masalah optimasi fungsi utilitas berkendala dapat dirumuskan sebagai berikut: 𝑈(𝑡) = 𝐶 𝜉 (𝑡)𝑆 𝜆 (𝑡); 𝜉, 𝜆 > 0; 𝜉 + 𝜆 = 1

dengan kendala pembiayaan berikut: 𝑌𝑑 (𝑡) = 𝐶(𝑡) + 𝑆(𝑡).

Karena 𝐶 𝑡 = 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡 , maka masalah optimasinya bisa dijadikan masalah optimasi tanpa kendala, yakni dengan mengoptimumkan: 𝑈(𝑡) = (𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡 )𝜉 𝑆 𝜆 (𝑡). Dengan uji turunan pertama terhadap 𝑆 dan syarat orde pertma, diperoleh: 𝑑𝑈 𝑑𝑆

= −𝜉 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝜉−1 𝜆

𝑆 𝑡 + 𝜆 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝜉 𝜆−1

𝑆

𝑡 = 0,

sehingga diperoleh: 𝜉−1 𝜆

𝑆 𝑡 = 𝜆 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝜉 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡 𝜉 𝑌𝑑 𝑡 −𝑆 𝑡 𝑌𝑑 𝑡 −𝑆 𝑡 𝜉 𝑌𝑑 𝑡 −𝑆 𝑡

=

𝜉−1

=

𝜉

𝜉 𝜆−1

𝑆

𝑡

𝜆 𝑆𝜆−1 𝑡

𝑆𝜆 𝑡

𝜆

𝑆 𝑡

𝜉𝑆(𝑡) = 𝜆(𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡 ) 𝜉𝑆(𝑡) = 𝜆𝑌𝑑 𝑡 − 𝜆𝑆 𝑡 𝜉 + 𝜆 𝑆 𝑡 = 𝜆𝑌𝑑 𝑡

𝑆 ∗ 𝑡 = 𝜆𝑌𝑑 𝑡 … … … … … … … … … … … … … . (1) Persamaan (1) disubstitusikan ke kendala pembiayaan, sehingga diperoleh: 𝐶 𝑡 = 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡 = 𝑌𝑑 𝑡 − 𝜆𝑌𝑑 𝑡 = 1 − 𝜆 𝑌𝑑 𝑡 = 𝜉𝑌𝑑 𝑡

𝐶 ∗ 𝑡 = 𝜉𝑌𝑑 𝑡

51

Uji turunan kedua terhadap 𝑆, diperoleh: 𝑑 2 𝑈(𝑡) 𝑑𝑆 2 (𝑡)

= 𝜉(𝜉 − 1) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

−𝜉𝜆 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝜉−1 𝜆−1

𝑆

Karena

𝑑 2 𝑈(𝑡) 𝑑𝑆 2 (𝑡)

𝑆 𝑡 ) − 𝜉𝜆 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝑡 + 𝜆(𝜆 − 1) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝜉−2 𝜆

= −𝜉𝜆 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡 − 𝜉𝜆 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝜉−2 𝜆

𝑆 𝑡 ) − 2 𝜉𝜆 𝑌𝑑 𝑡 − 𝑆 𝑡

𝜉 𝜆−2

𝑆

𝜉 𝜆−2

𝑆

𝜉−1 𝜆−1

𝑆

𝑡 < 0.

< 0 maka fungsi utilitasnya maksimum pada nilai:

𝐶∗ 𝑡 = 𝜉𝑌𝑑 𝑡 , 𝑆∗ (𝑡) = 𝜆𝑌𝑑 (𝑡)

𝜉−1 𝜆−1

𝑆

𝑡 𝑡 )

𝑡 )

52 59

Lampiran 3 Pembuktian persamaan (2.21) Dari persamaan (2.18), (2,15) dan 𝑌 = 𝐹, diperoleh: 𝑆 𝑡 = 𝜆𝑌𝑑 𝑡 = 𝜆(𝐹 𝑡 + 𝛿𝐾 𝑡 )

Akumulasi modal 𝐾 dinyatakan dengan: 𝐾(𝑡) = 𝑆(𝑡) − 𝐾(𝑡) = 𝜆 𝐹 𝑡 + 𝛿𝐾 𝑡

− 𝐾(𝑡)

= 𝜆𝐹(𝑡) + 𝜆𝛿 − 1 𝐾(𝑡) = 𝜆𝐹(𝑡) + (𝜆 1 − 𝛿𝑘 − 𝜆 + 𝜉 )𝐾(𝑡) = 𝜆𝐹(𝑡) + (𝜆 − 𝜆𝛿𝑘 − 𝜆 − 𝜉)𝐾(𝑡) = 𝜆𝐹(𝑡) − (𝜆𝛿𝑘 + 𝜉)𝐾(𝑡) = 𝜆𝐹(𝑡) − 𝜉𝑘 𝐾(𝑡)

dengan: 𝜉 + 𝜆 = 1; 𝛿 ≡ 1 − 𝛿𝑘 ; 𝜉𝑘 ≡ 𝜉 + 𝜆𝛿𝑘

53

Lampiran 4 Pembuktian persamaan (3.10) Masalah optimasi fungsi utilitas berkendala dapat dirumuskan sebagai berikut: 𝑈 𝑡 = 𝐶 𝜉 𝑡 𝑊 𝜆 (𝑡); 𝜉, 𝜆 > 0; 𝜉 + 𝜆 = 1

dengan kendala pembiayaan berikut: 𝑌𝑑 (𝑡) = 𝐶(𝑡) + 𝑊(𝑡). Karena 𝑊 𝑡 = 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡 , maka masalah optimasinya bisa dijadikan masalah optimasi tanpa kendala, yakni dengan mengoptimumkan: 𝑈(𝑡) = 𝐶 𝜉 (𝑡)(𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡 )𝜆 . Dengan uji turunan pertama terhadap 𝐶, diperoleh: 𝑑𝑈 𝑑𝐶

= 𝜉𝐶 𝜉 −1 (𝑡) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡

𝜆

− 𝜆𝐶 𝜉 (𝑡) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡

𝜆−1

= 0,

sehingga diperoleh: 𝜉𝐶

𝜉−1

(𝑡)(𝑌𝑑 (𝑡) − 𝐶 𝑡 )𝜆 = 𝜆𝐶𝜉 (𝑡)(𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡 )𝜆−1

𝜉 𝐶𝜉−1 (𝑡)

𝐶𝜉 (𝑡) 𝜉

𝐶(𝑡)

=

𝜆−1

=

𝜆 (𝑌𝑑 𝑡 −𝐶 𝑡 )

(𝑌𝑑 (𝑡)−𝐶 𝑡 )𝜆 𝜆

𝑌𝑑 (𝑡)−𝐶 𝑡

𝜉 (𝑌𝑑 (𝑡) − 𝐶 𝑡 ) = 𝜆𝐶(𝑡) 𝜉 𝑌𝑑 (𝑡) − 𝜉𝐶 𝑡 = 𝜆𝐶(𝑡) 𝜉 + 𝜆 𝐶 𝑡 = 𝜉𝑌𝑑 (𝑡); karena 𝜉 + 𝜆 = 1

𝐶 𝑡 = 𝜉 𝑌𝑑 𝑡

… … … … … … … … … … … … … . (1)

Persamaan (1) disubstitusikan ke kendala pembiayaan, sehingga diperoleh: 𝑌𝑑 (𝑡) = 𝐶(𝑡) + 𝑊(𝑡) 𝑌𝑑 (𝑡) = 𝜉 𝑌𝑑 𝑡 + 𝑊(𝑡) 𝑊 𝑡 = 𝑌𝑑 𝑡 − 𝜉 𝑌𝑑 𝑡 𝑊 𝑡 = (1 − 𝜉) 𝑌𝑑 𝑡 𝑊 𝑡 = 𝜆 𝑌𝑑 𝑡

54 59

Uji turunan kedua terhadap 𝐶, diperoleh: 𝑑 2 𝑈(𝑡) 𝑑𝐶 2 (𝑡)

= 𝜉 𝜉 − 1 𝐶 𝜉−2 𝑡 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡

𝜆

− 𝜆𝜉 𝐶 𝜉 −1 (𝑡) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡

−𝜉𝜆 𝐶 𝜉 −1 (𝑡)(𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡 )𝜆−1 + 𝜆(𝜆 − 1)𝐶 𝜉 (𝑡) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡 = −𝜉𝜆 𝐶 𝜉 −2 𝑡 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡 𝜉

− 𝜉𝜆 𝐶 (𝑡) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡

Karena

𝑑 2 𝑈(𝑡) 𝑑𝐶 2 (𝑡)

𝜆−2

𝜆

− 2 𝜉𝜆 𝐶 𝜉 −1 (𝑡) 𝑌𝑑 𝑡 − 𝐶 𝑡

< 0.

< 0 maka fungsi utilitasnya maksimum pada nilai:

𝐶 𝑡 = 𝜉 𝑌𝑑 𝑡 , 𝑊 𝑡 = 𝜆 𝑌𝑑 𝑡

𝜆−2

𝜆−1

𝜆−1

55

Lampiran 5 Pembuktian persamaan (3.12) Dari (3.4), (3.5), dan (3.11), diperoleh: 𝑌(𝑡) = 𝐹(𝑡)

(3.4)

𝐶 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝑊 𝑡 = 𝑌 ∗ 𝑡 = 𝑌 𝑡 + 𝐾(𝑡)

(3.5)

𝐾 𝑡 = 𝑊 𝑡 − 𝐾(𝑡)

(3.11)

Dari persamaan (3.4) dan (3.5) diperoleh: 𝐶 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝑊 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐾(𝑡) 𝐹 𝑡 = 𝐶 𝑡 + 𝑊 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 − 𝐾(𝑡)……………………………….. (1)

Dari persamaan (3.11) diperoleh: 𝑊 𝑡 = 𝐾 𝑡 + 𝐾(𝑡)…………………………………………………(2)

Persamaan (2) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh: 𝐹 𝑡 = 𝐶 𝑡 + 𝐾 𝑡 + 𝐾(𝑡) + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 − 𝐾(𝑡) 𝐹 𝑡 = 𝐶 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝐾 𝑡

56 59

Lampiran 6 Pembuktian persamaan (3.13) Dari persamaan (3.4), (3.7), (3.10), dan (3.12), laju pertumbuhan modal dapat diperoleh: 𝑌(𝑡) = 𝐹(𝑡) 𝑌𝑑 𝑡 = 𝐹 𝐾 𝑡 , 𝑁 𝑡

(3.4) − 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝛹 𝑡

(3.7)

𝐶 𝑡 = 𝜉𝑌𝑑 𝑡

(3.10)

𝐹 𝑡 = 𝐶 𝑡 + 𝛿𝑘 𝐾 𝑡 + 𝐾 𝑡

(3.12)

Dari persamaan (3.12) diperoleh: 𝐾 (𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝐶(𝑡) − 𝛿𝑘 𝐾(𝑡)…………………………………….. (1) Persamaan (3.10) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh: 𝐾 (𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝜉𝑌𝑑 (t) − 𝛿𝑘 𝐾(𝑡) ………………………………….. (2) Persamaan (3.7) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh: 𝐾 = 𝐹 − 𝜉(𝐹 − 𝛿𝑘 𝐾 + 𝛹) − 𝛿𝑘 𝐾 𝐾 = 𝐹 − 𝜉𝐹 + 𝜉𝛿𝑘 𝐾 − 𝜉𝛹 − 𝛿𝑘 𝐾 𝐾 = 1 − 𝜉 𝐹 + 𝜉𝛿𝑘 𝐾 − 𝜉𝛹 − 𝛿𝑘 𝐾 𝐾 = 1 − 𝜉 𝐹 + (𝜉 − 1)𝛿𝑘 𝐾 − 𝜉𝛹 𝐾 = 𝜆𝐹 − 𝜆𝛿𝑘 𝐾 − 𝜉𝛹 𝐾 = 𝜆(𝐹 − 𝛿𝑘 𝐾) − 𝜉𝛹. Dari persamaan (3.4), maka diperoleh akumulasi modal yaitu: 𝐾 = 𝜆 𝑌 − 𝛿𝑘 𝐾 − 𝜉𝛹

64 57 59

Lampiran 7 Penghitungan Proportional Error Kasus 1 dengan 𝜶 = 0.25 Tahun 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Jumlah Rata-rata

𝑏=

Data (𝑥) 7 044 145 7 570 847 8 135 201 9 303 689 11 179 506 13 195 094 56 428 482

𝑛 6𝑖=1 𝑥∗𝑖 𝑦∗𝑖 − 6𝑖=1 𝑥∗𝑖 6𝑖=1 𝑦∗𝑖 2 2 𝑛 6𝑖=1 𝑥∗𝑖 −( 6𝑖=1 𝑥∗𝑖 )

Simulasi (𝑦) 7 044 145 7 050 000 7 200 000 7 750 000 9 200 000 12 050 000 50 294 145

=

9190.360−9188.880 9254.291−9252.536

ln 𝑥 = 𝑥𝑖∗ 15.768 15.840 15.912 16.046 16.230 16.395 96.190 16.032

=

𝑎 = 𝑦∗𝑖 − 𝑏 𝑥∗𝑖 = 15.921 – (0.843)( 16.032)= 2.403

𝑦𝑖∗ = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑖∗ = 2.403 + 0.843 𝑥𝑖∗ 𝑃𝐸 =

6 ∗ ∗ 𝑖=1 | 𝑦 𝑖 − 𝑦𝑖 6 𝑦∗ 𝑖=1 𝑖

|

0.310

= 95.528 = 0.003 = 0.3%

1.480 1.755

ln 𝑦 = 𝑦𝑖∗ 15.768 15.769 15.790 15.863 16.035 16.305 95.528 15.921

= 0.843

𝑥𝑖∗ 𝑦𝑖∗

(𝑥𝑖∗ )2

𝑦𝑖∗

𝑦𝑖∗ - 𝑦𝑖∗

| 𝑦𝑖∗ - 𝑦𝑖∗ |

248.621 249.771 251.239 254.540 260.237 267.319 1531.727

248.621 250.900 253.183 257.472 263.400 268.808 1542.382

15.699 15.760 15.820 15.933 16.088 16.228 95.528

0.069 0.009 -0.031 -0.070 -0.054 0.077

0.069 0.009 0.031 0.070 0.054 0.077 0.310

58 65

Lanjutan Lampiran 7 Penghitungan Proportional Error Kasus 2 dengan 𝜶 = 0.5 Tahun 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Jumlah Rata-rata

𝑏=

Data (𝑥) 7 044 145 7 570 847 8 135 201 9 303 689 11 179 506 13 195 094 56 428 482


Simulasi (𝑦) 7 044 145 7 080 000 7 380 000 8 550 000 12 050 000 20 650 000 62 754 145

=

9281.845−9278.884 9254.291−9252.536

ln 𝑥 = 𝑥𝑖∗ 15.768 15.840 15.912 16.046 16.230 16.395 96.190 16.032

=

2.961 1.755

𝑎 = 𝑦∗𝑖 − 𝑏 𝑥∗𝑖 = 16.077 – (1.687)( 16.032) = - 10.974

𝑦𝑖∗ = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑖∗ = − 10.974 + 1.687 𝑥𝑖∗ 𝑃𝐸 =

6 ∗ ∗ 𝑖=1 | 𝑦 𝑖 − 𝑦𝑖 6 𝑦∗ 𝑖=1 𝑖

|

0.947

= 96.464 = 0.010 = 1%

ln 𝑦 = 𝑦𝑖∗ 15.768 15.773 15.814 15.961 16.305 16.843 96.464 16.077

= 1.687


(𝑥𝑖∗ )2

𝑦𝑖∗


| 𝑦𝑖∗ - 𝑦𝑖∗ |

248.621 249.838 251.632 256.116 264.617 276.151 1546.974

248.621 250.900 253.183 257.472 263.400 268.808 1542.382

15.699 15.760 15.820 15.933 16.088 16.228 95.528

0.069 0.013 -0.006 0.028 0.216 0.615

0.069 0.013 0.006 0.028 0.216 0.615 0.947

66 59

Lanjutan Lampiran 7 Penghitungan Proportional Error Kasus 3 dengan 𝜶 = 0.75 Tahun 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Jumlah Rata-rata

𝑏=

Data (𝑥) 7 044 145 7 570 847 8 135 201 9 303 689 11 179 506 13 195 094 56 428 482


Simulasi (𝑦) 7 044 145 7 065 000 7 310 000 8 400 000 12 300 000 24 850 000 66 969 145 rata2

9299.242−9295.845

ln 𝑥 = 𝑥𝑖∗ 15.768 15.840 15.912 16.046 16.230 16.395 96.190 16.032

3.398

= 9254.291−9252.536 = 1.755 = 1.936

𝑎 = 𝑦∗𝑖 − 𝑏 𝑥∗𝑖 = 16.107 – (1.936)( 16.032) = -14.928

𝑦𝑖∗ = 𝑎 + 𝑏𝑥𝑖∗ = −14.928 + 1.936 𝑥𝑖∗ 𝑃𝐸 =

6 ∗ ∗ 𝑖=1 | 𝑦 𝑖 − 𝑦𝑖 6 𝑦∗ 𝑖=1 𝑖

|

ln 𝑦 = 𝑦𝑖∗ 15.768 15.771 15.805 15.944 16.325 17.028 96.640 16.107

1.142

= 96.640 = 0.012 = 1.2%


(𝑥𝑖∗ )2

𝑦𝑖∗


| 𝑦𝑖∗ - 𝑦𝑖∗ |

248.621 249.804 251.481 255.832 264.950 279.186 1549.874

248.621 250.900 253.183 257.472 263.400 268.808 1542.382

15.699 15.760 15.820 15.933 16.088 16.228 95.528

0.069 0.011 -0.015 0.010 0.237 0.800

0.069 0.011 0.015 0.010 0.237 0.800 1.142

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI BERDASARKAN FUNGSI STOK UANG MUNAWAR

Recommend Documents