MODEL PERTUMBUHAN PENGELUARAN PUBLIK DENGAN PENDEKATAN FUNGSI LOGISTIK
SOFYAN ZUHRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK SOFYAN ZUHRI. Model Pertumbuhan Pengeluaran Publik dengan Pendekatan Fungsi Logistik. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR HASAFAH NUGRAHANI. Pertumbuhan ekonomi pemerintah semakin besar dalam beberapa tahun terakhir. Hal ini terlihat dari peningkatan rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional (G/Y). Beberapa teori telah diajukan untuk menjelaskan tingkat G/Y atau pengeluaran publik perkapita. Antara lain adalah Hukum Wagner dan Pendugaan Pigou. Hukum Wagner adalah proses pertumbuhan eksponensial dari rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional (G/Y). Sementara dugaan pigou menganggap bahwa kelebihan pajak bertindak sebagai rem untuk pasokan barang-barang yang disediakan secara publik. Dalam karya ilmiah ini akan dimodelkan Pertumbuhan ekonomi pemerintah dengan cara mengombinasikan Hukum Wagner dengan dugaan Pigou yang dapat dilihat sebagai persamaan diferensial tidak linear dalam G/Y. Persamaan ini sama dengan persamaan logistik yang dikenal dengan persamaan logistik Verhulst. Persamaan logistik merupakan persamaan yang menggambarkan pertumbuhan populasi dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung lingkungan yang terbatas. Integrasi dari persamaan Verhulst menghasilkan kurva berbentuk S. Setelah kombinasi Hukum Wagner dan dugaan Pigou diaplikasikan untuk beberapa negara maju (Amerika, Italia, Jerman, Perancis, dan Inggris) termasuk Indonesia, persamaan tersebut menghasilkan kurva berbentuk S yang berarti bahwa pada awalnya G/Y akan meningkat sampai pada titik tertentu dan akan konvergen pada suatu titik. Oleh karena itu, data pertumbuhan pengeluaran publik dari beberapa negara maju dan Indonesia sesuai dengan persamaan pertumbuhan pengeluaran publik yang merupakan kombinasi dari Hukum Wagner dan dugaan Pigou.
ABSTRACT SOFYAN ZUHRI. Growth Model of Public Expenditure with Logistic Function Approach. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI. Economic growth can be detected from increasing ratio between public expenditure with national income. Some theories can be applied to explain this ratio level as well as public expenditure per capita, i.e. Wagner’s Law and Pigou’s Conjecture. Wagner’s Law is an exponential model of growth process from ratio between public expenditure with national income. While Pigou’s Conjecture describes that tax excess could act as a brake for public commodity supplies. The economic growth will be modeled in this paper by combining Wagner’s Law and Pigou’s Conjecture. The model is a nonlinear differential equation of the ratio. This equation is also known as Verhulst’s logistic equation. Logistic equation is an equation that describes population growth in an environment with considering environment’s limited support capability. Integration of Verhulst’s equation produces an S-curve. Further more, Wagner’s Law and Pigou’s Conjecture are combined and applied to illustrate the economic growth model of some developed countries (America, Italy, Germany, France, and England) as well as Indonesia. The resulted models are in the form of S-curve described earlier, which tends to increase and converge to a certain level. Therefore, combination of Wagner’s Law and Pigou’s Conjecture is suitable to model the data being observed and can be used to analyze dynamics of public expenditure.
MODEL PERTUMBUHAN PENGELUARAN PUBLIK DENGAN PENDEKATAN FUNGSI LOGISTIK
SOFYAN ZUHRI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011
Judul Skripsi Nama NIM
: Model Pertumbuhan Pengeluaran Publik dengan Pendekatan Fungsi Logistik : Sofyan Zuhri : G54060382
Menyetujui Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 19650820 199003 1 001
Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. NIP. 19631228 198903 2 001
Mengetahui: Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1.
Sang pencipta, Tuhan semesta alam Allah SWT, atas maha karya-Nya yaitu bumi yang sempurna ini; 2. Keluarga tercinta: bapak dan ibu, ibu sebagai pemberi motivasi dan bapak sebagai sumber inspirasi, untuk adik dan kakak-kakak yang selalu memberikan semangat dan doa. 3. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa; 4. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya; 5. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya; 6. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan; 7. Staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Bapak Hery, Bapak Deni, Ibu Ade, Bapak Epul, Bapak Bono dan Ibu Susi atas semangat dan doanya; 8. Sahabat yang selalu memberi semangat: Nia, Apri, Wira, Tami, Arum, Bayu, Adi, Fardan, Dandi, Slamet, dan Supri; 9. Sahabat terbaik yang selalu memberi inspirasi: Yori, Rio, Bayu, Bian, Aan, Dityo, Andre; 10. Keluarga UNO yang selalu mendukung dan mendoakan; 11. Semua teman Matematika 42 yang selalu menjadi contoh yang baik; 12. Semua teman Matematika 43 yang selalu menjadi bagian dari keluarga; 13. Semua teman Matematika 44 yang selalu mendukung agar terus berkembang; 14. Perkumpulan perpustakaan: Ricken, Agnes, Ryu, Peny; 15. Teman satu pembimbing: Arum dan Ace; 16. Gumatika yang telah mengasah pribadi ini menjadi pribadi yang tangguh; 17. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2011 Sofyan Zuhri
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Agustus 1988 sebagai anak keempat dari lima bersaudara, anak dari pasangan Tamin dan Lailah. Pada tahun 2000 penulis lulus dari MI Al-Wathoniyah 1 Jakarta kemudian tahun 2003 lulus dari MTs Al-Wathoniyah 1 Jakarta. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 71 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Pada tahun 2007, penulis memilih Mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan minor komunikasi. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi pengajar matematika di beberapa bimbingan belajar seperti Primagama, Mitra Siswa, Diksastrasia, dan MScollege. Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika, GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai kepala divisi Departemen SOSINKOM tahun 2008/2010. Penulis juga pernah menjadi semi finalis pasanggiri mojang jajaka bogor 2010. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan dan kepanitiaan, antara lain tim acara Matematika Ria dalam acara Pesta Sains se-Indonesia 2008, Tim acara Masa Pengenalan Departemen Matematika 2008, koordinator acara Matematika Ria dalam acara Pesta Sains se-Indonesia 2009. Penulis pernah menjadi MC (master of ceremony) untuk beberapa acara, antara lain Try-Out Pengantar Matematika dan kalkulus, Matematika Ria 2008, pra MPF 2008, Try-Out SNMPTN 2008, dan MC beberapa acara seminar. Penulis juga pernah menjadi anggota Forum Paskibra Madya Jakarta Timur (FPM) 2002.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................. viii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. viii I
II
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .............................................................................................................. 1.2 Tujuan ...........................................................................................................................
1 1
LANDASAN TEORI 2.1 Beberapa Definisi Ekonomi ........................................................................................... 2.2 Teknik Pengintegralan Fraksi Parsial ............................................................................ 2.3 Persamaan Diferensial ................................................................................................... 2.4 Persamaan Logistik ........................................................................................................
2 2 3 3
III PEMBAHASAN 3.1 Model Pertumbuhan Wagner ........................................................................................ 4 3.2 Dugaan Pigou ............................................................................................................... 5 3.3 Simulasi Parameter ....................................................................................................... 6 3.4 Contoh Kasus Negara Maju ............................................................................................ 8 3.5 Pertumbuhan Ekonomi di Indonesia ............................................................................. 10 IV SIMPULAN .......................................................................................................................... 11 DAFTAR PUSTAKA
............................................................................................................ 11
LAMPIRAN ........................................................................................................................ 12
vii
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gambar Kurva G/Y Negara Amerika ..................................................................................... Gambar Kurva G/Y Negara Perancis ..................................................................................... Gambar Kurva G/Y Negara Itali ............................................................................................ Gambar Kurva G/Y Negara Jerman ...................................................................................... Gambar Kurva G/Y Negara Inggris........................................................................................ Gambar Kurva G/Y dengan parameter h>1 ............................................................................ Gambar Kurva G/Y dengan parameter h<0 ............................................................................ Gambar Kurva G/Y dengan perubahan parameter h,k dan t .................................................. Gambar Kurva G/Y Negara Indonesia ...................................................................................
15 16 16 17 17 17 18 19 19
DAFTAR GAMBAR 1 2
Halaman Sifat Fungsi Logistik ............................................................................................................. 13 Solusi Persamaan Pertumbuhan Pengeluaran Publik ............................................................ 13
viii
I
PENDAHULUAN
1. 1 Latar Belakang Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi merupakan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya (Mankiw 2003). Faktor-faktor yang menjadi sumber pertumbuhan ekonomi ada empat, yaitu sumberdaya manusia, sumberdaya alam, pembentukan modal, dan teknologi. Pengeluaran pemerintah berperan dalam pembentukan modal di berbagai bidang seperti sarana dan prasarana. Pembentukan modal di bidang sarana dan prasarana ini sangat penting dalam pertumbuhan ekonomi. Fasilitas publik sangat berpengaruh dalam penanaman modal pihak swasta, karena jika fasilitas publik tidak ada maka pihak swasta tidak berminat untuk menanamkan modalnya. Dengan adanya berbagai fasilitas publik ini akan mendorong pertumbuhan ekonomi dan peningkatan pendapatan (Sukirno 2004). Peningkatan dalam pendapatan berarti peningkatan kemampuan masyarakat untuk membayar pajak. Pajak merupakan salah satu sumber penerimaan negara yang digunakan untuk membiayai pengeluaran pemerintah, sehingga peningkatan pajak berarti peningkatan pengeluaran pemerintah. Kenaikan pengeluaran pemerintah akan menyebabkan kenaikan pertumbuhan ekonomi dan kenaikan pertumbuhan ekonomi akan meningkatkan kemampuan keuangan pemerintah yang diperuntukkan bagi pembangunan Pertumbuhan ekonomi di beberapa negara (seperti di Amerika, Perancis, Jerman, Italia, dan Inggris) cukup tinggi dalam 150 tahun terakhir. Hal ini terlihat dari peningkatan rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional di negara-negara tersebut. Rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional berkisar antara 5% dan 10% di paruh kedua abad ke-19. Pada akhir abad ke-20 rasio
ini berada dalam kisaran antara 35-55% (Florio & Colauti 2005). Beberapa teori telah diajukan untuk menjelaskan rasio antara pengeluaran publik (G) dengan pendapatan nasional (Y) atau yang biasa dinotasikan dengan G/Y atau pengeluaran publik perkapita, antara lain adalah Hukum Wagner dan dugaan Pigou. Hukum Wagner menyatakan dalam suatu perekonomian, apabila pendapatan per kapita meningkat, secara relatif pengeluaran pemerintah pun akan meningkat dan Wagner menyatakan bahwa rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional (G/Y) merupakan proses pertumbuhan eksponensial. Sementara dugaan Pigou menganggap bahwa penyediaan barang publik akan memberi manfaat bagi masyarakat, sebaliknya pajak yang dikenakan akan menimbulkan ketidakpuasan masyarakat. Semakin banyak barang dan jasa publik disediakan pemerintah maka pajak akan meningkat, sehingga kepuasan yang dirasakan oleh masyarakat akan semakin menurun. Oleh karena itu, kelebihan pajak bertindak sebagai rem untuk pasokan barang-barang yang disediakan secara publik. Pertumbuhan ekonomi pemerintah akan dimodelkan dalam karya ilmiah ini dengan cara mengombinasikan Hukum Wagner dengan dugaan Pigou yang dapat dilihat sebagai persamaan diferensial tidak linear dalam G/Y. Persamaan ini sama dengan persamaan logistik yang dikenal dengan persamaan logistik Verhulst. Persamaan logistik merupakan persamaan yang menggambarkan pertumbuhan populasi dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung lingkungan yang terbatas. Integrasi dari persamaan Verhulst menghasilkan kurva berbentuk S. 1.2 Tujuan Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan bahwa teori kombinasi antara Hukum Wagner dengan dugaan Pigou konsisten dengan pengamatan dan dapat digunakan untuk analisis dinamika pengeluaran publik.
II
LANDASAN TEORI
2.1 Beberapa Definisi Ekonomi Definisi Pendapatan Nasional Pendapatan nasional adalah jumlah pendapatan yang diterima oleh faktor-faktor produksi yang digunakan untuk memproduksikan barang dan jasa dalam suatu tahun tertentu. Y=C+I+G+(X–M) dengan Y : Pendapatan nasional C : Konsumsi rumah tangga I : Investasi G : Pengeluaran pemerintah X : Ekspor M : Impor (Sukirno 2004) Sumber-sumber dari pendapatan nasional berasal dari penerimaan dalam negri dan penerimaan pembangunan. Penerimaan dalam negri berasal dari penerimaan pajak langsung, pajak tidak langsung, dan penerimaan bukan pajak. Pajak langsung adalah pajak yang dikenakan langsung pada orang yang harus menanggung dan membayarnya. Pajak tidak langsung adalah pajak yang dikenakan pada orang yang harus menanggung dan membayarkan lewat orang lain, peristiwa, barang, atau jasa. Sebagian besar pendapatan pemerintah berasal dari pajak, terutama pajak yang berasal dari perseroan minyak. (Partadiredja 1981) Definisi Pengeluaran Publik Pengeluaran publik adalah suatu kegiatan perbelanjaan negara untuk menghasilkan barang dan jasa dalam rangka memenuhi kebutuhan dan hak publik, yang akan dilakukan dalam perekonomian pada suatu waktu tertentu (biasanya dalam satu tahun) pada berbagai tingkat pendapatan negara. Sebagai contoh dari pengeluaran publik pemerintah adalah biaya untuk menyediakan fasilitas pendidikan, untuk polisi dan tentara, dan pembelanjaan untuk mengembangkan infrastruktur dalam masyarakat. (Sukirno 2004)
Definisi GDP dan GNP Gross Domestic Product (GDP) atau biasa disebut Produk Domestik Bruto (PDB) adalah nilai barang dan jasa dalam suatu negara yang diproduksikan oleh faktor-faktor produksi milik warga negara tersebut dan juga negara asing. Sedangkan Gross National Product (GNP) atau biasa disebut Produk Nasional Bruto (PNB) adalah seluruh jumlah barang dan jasa yang dihasilkan tiap tahun oleh negara yang bersangkutan diukur menurut harga pasar pada suatu negara. Menurut Partadiredja 1981, besarnya PNB sama dengan besarnya pendapatan nasional dan besarnya PNB sama dengan PDB dikurangi dengan pendapatan netto dari luar negri. – PDB = PNB – ( X – M ) dengan PDB = Produk domestik bruto PNB = Produk nasional bruto X = Nilai ekspor M = Nilai impor (Sukirno 2004) Definisi Elastisitas Elastisitas adalah sebuah ukuran perubahan persentase dalam satu variabel yang diakibatkan oleh perubahan persen dalam variabel lainnya. Jika , maka elastisitas y terhadap x adalah
. Elastisitas harga adalah perubahan dari sebuah harga barang (P) yang mempengaruhi pada jumlah barang yang akan dibeli (Q)
. (Nicholson 2002) 2.2 Teknik Pengintegralan Fraksi Parsial Fraksi parsial adalah teknik pengintegralan suatu fungsi rasional dengan menyatakannya sebagai jumlah dari fraksi yang lebih
3
sederhana. Ada beberapa langkah dalam metode fraksi parsial, yaitu: Langkah 1 Misalkan fungsi rasional dengan P dan Q adalah fungsi polinom. Dapat dinyatakan bahwa f sebagai jumlah fraksi yang lebih sederhana, dengan syarat bahwa derajat P lebih kecil dari derajat Q, fungsi rasional seperti ini disebut proper. Jika f taksejati, yakni deg(P) deg(Q), maka kita harus mengambil langkah pendahuluan dengan membagi Q dengan P sampai sisa R(x) diperoleh sedemikian sehingga deg(R) deg(Q). Hasil pembagiannya adalah sebagai berikut:
dalam menentukan penyelesaian persamaan diferensial yang memenuhi syarat jika maka berlaku disebut masalah nilai disebut syarat awal awal. Nilai untuk suatu penyelesaian . Penyelesaian persamaan diferensial dengan variabel terpisah Bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu dengan variabel-variabel terpisahkan adalah . Untuk memperoleh penyelesaian umum dari persamaan diferensial adalah dengan cara mengintegralkan kedua ruas, sehingga diperoleh
, dengan C konstanta sembarang. dengan S dan R adalah fungsi polinom juga. Langkah 2 Faktorkan penyebut Q(x) sampai tuntas. Dapat ditunjukkan bahwa sebarang polinom Q dapat difaktorkan sebagai hasil kali faktor linier (berbentuk ax+b) dan faktor kuadratik yang tak dapat diuraikan (berbentuk , dengan 4 0). Langkah 3 sebagai Nyatakan fungsi rasional sejati
(Farlow 1994) 2.4 Persamaan Logistik Persamaan logistik merupakan persamaan yang menggambarkan pertumbuhan populasi dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung lingkungan yang terbatas. Bentuk umum persamaan logistik:
jumlah dari fraksi parsial yang berbentuk atau
,
(Stewart 1988) 2.3 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat paling sedikit satu turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Bentuk umum suatu persamaan diferensial tingkat satu adalah , atau , , dengan f adalah fungsi dari dua variabel x dan y. Setiap fungsi yang terturunkan pada suatu selang I yang memenuhi persamaan , untuk setiap adalah penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Permasalahan
Gambar 1 Kurva logistik
4
Sifat-sifat fungsi logistik 1. lim 2. R(t) merupakan fungsi naik 3. Titik belok terjadi pada saat
log
4. (2, 3 & 4 lihat Lampiran 1) Persamaan logistik menghasilkan suatu kurva berbentuk S, yaitu bahwa pada awal adalah serupa dengan eksponensial, proses dapat dilihat terus meningkat sampai titik
III
dapat
(Florio & Colautti 2005)
PEMBAHASAN
3.1 Model Pertumbuhan Wagner Teori Wagner tentang perkembangan pengeluaran pemerintah disebut sebagai Wagner law of increased government activity. Teori ini mengemukakan perkembangan pengeluaran pemerintah yang semakin besar dalam persentase terhadap GNP, di mana teori ini didasarkan pada pengamatan di negaranegara Eropa, US, dan Jepang pada abad ke19. Wagner mengemukakan pendapatnya dalam bentuk Hukum Wagner sebagai berikut. Dalam suatu perekonomian, apabila pendapatan per kapita meningkat, secara relatif pengeluaran pemerintah pun akan meningkat. Permintaan pengeluaran publik merupakan pernyataan dari hukum Wagner yang ditafsirkan sebagai: a. Beberapa barang dapat diberikan secara efisien oleh negara. b. Permintaan terhadap barang-barang dilambangkan dengan Y, terus meningkat dari waktu ke waktu. Hukum Wagner sebagai berikut :
tertentu, kemudian akan konvergen pada titik tertentu. Jadi titik belok akan membagi lintasan R(t) menjadi dua pola: bagian pertama adalah cekung ke atas terhadap sumbu horizontal, dan bagian sesudahnya cekung ke bawah. Pada bagian pertama pertumbuhan dipercepat, pada bagian kedua ini masih positif, tapi melambat. Pada titik tertentu proses konvergen menuju satu titik teretentu.
diformulasikan
= Pengeluaran Pemerintah per kapita = Pendapatan per kapita, yaitu GDP/jumlah penduduk i = 1,2,...n : Jangka waktu (tahun) Pertumbuhan ekonomi dengan populasi stabil di mana N adalah jumlah penduduk,
dapat dinyatakan dengan Hukum Wagner, maka dapat diasumsikan: Y = Y(t) N = N(t) G = G(t) 0. Lintasan G/Y akan lebih mudah dipelajari dengan menggunakan notasi berikut ini: = Laju perubahan dari logaritma pengeluaran publik y = Laju perubahan dari logaritma pendapatan nasional R = Rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional h = Selisih antara laju pengeluaran publik dengan pendapatan nasional yaitu : log
1
log
1
. Dengan menurunkan R terhadap waktu(t)
5
, sehingga diperoleh laju dari lintasan R adalah:
dR = hR dt dengan mengintegralkan ruas kiri dan kanan persamaan tersebut diperoleh solusi yang membentuk fungsi eksponensial. . adalah nilai awal yang diperoleh saat Jika t=0, maka dapat di peroleh C= , sehingga , maka dapat diperoleh Gambar 2 berikut ini.
1400
R
1200 1000 800 600 400 200 20
40
60
80
100
Waktu
Gambar 2 Kurva lintasan R, 10, 0.05 Jika kita perhatikan Gambar 2, jelaslah bahwa dalam jangka panjang hukum Wagner, baik secara teoritis maupun empiris, tidak masuk akal, karena kurva tersebut berbentuk fungsi eksponensial yang menunjukkan bahwa G / Y meningkat dari waktu ke waktu tanpa batas. Jika h berubah seiring waktu, proses eksponensial yang sama akan dihasilkan untuk mengatur perubahan dalam arah yang berlawanan dari elastisitas pendapatan pemerintah. Dalam kasus yang lebih umum h dapat bervariasi setiap saat, dan integrasi persamaan diferensial di atas mungkin menghasilkan banyak jenis lintasan.
Berdasarkan penjelasan di atas, jelas mengapa dalam jangka panjang hukum Wagner baik secara teoritis maupun empiris tidak masuk akal. Proses eksponensial menunjukkan bahwa G/Y meningkat dari waktu ke waktu tanpa batas. Hal ini berarti pengeluaran pemerintah selalu lebih besar dari pendapatan, dan untuk mengatasinya pemerintah melakukan pinjaman yang dapat menyebabkan hutang negara akan terus meningkat serta pajak akan semakin mahal. Misal dianggap G = T, di mana T adalah pendapatan pajak. Ketika G/Y>1, yang berarti bahwa pengeluaran pemerintah lebih besar dari pendapatan yang berakibat bahwa G>T, yang menyatakan bahwa pengeluaran lebih besar dari pajak yang diterima pemerintah. Dalam keadaan ini tidak ada cara lain untuk memungut pajak dari pengeluaran publik sendiri, akibatnya adalah meningkatnya hutang, dan ini juga tampaknya tidak masuk akal. Oleh karena itu, diperlukan sesesuatu yang dapat mengendalikan hal tersebut, dan pada hal ini pengendalinya adalah pajak. Pajak bertindak sebagai rem dari rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional. Dengan adanya pajak, pasokan barang-barang yang disediakan secara publik akan terkendali sehingga pengeluaran pemerintah juga akan bisa dikendalikan. 3.2 Dugaan Pigou Dalam dua abad terakhir, proses penurunan pendapatan pemerintah dari sektor selain pajak serta peningkatan tekanan fiskal adalah berbeda menurut negara, tetapi kecenderungan secara keseluruhan adalah sama, yaitu pengeluaran pemerintah kebanyakan berbasis pajak. Oleh karena itu, pada tahap ini akan diabaikan sumber-sumber lain pendapatan pemerintah (selain dari pajak). Diasumsikan lebih lanjut : a. Faktor-faktor produksi disediakan oleh sektor publik adalah memiliki tingkat pengembalian konstan. b. Ada tambahan biaya pajak yang bersifat kuadratik dari T/Y. Dimulai dengan kasus yang paling sederhana, misalkan terdapat sistem ekonomi dengan satu konsumen, satu barang pribadi, dan satu barang publik yang disediakan oleh pemerintah. Jumlah dari barang pribadi adalah x, sementara biaya produksi adalah p. Florio & Colauti (2005) mendefinisikan untuk
6
kelebihan beban pajak adalah setengah dari perubahan jumlah barang pribadi dikalikan dengan pajak rendah, sebagai berikut: 2 Jika pajak hanya dihasilkan dari barang pribadi, maka penerimaan pajak bagi negara adalah , atau di mana adalah tingkat pajak efektif. Jika barang publik disediakan gratis, pendapatan nasional pada harga konsumen adalah di mana p adalah harga konsumen. Sedangkan untuk pajak rendah dp = p = τ di mana τ = T / x adalah pajak untuk suatu unit kecil barang pribadi. Elastisitas harga Marshallian dari permintaan barang pribadi adalah ε = ( dx/dp)/(x/p) atau dx = ε xθ . Maka kdefinisi standar kelebihan beban pajak adalah: dxdp E= 2 ε xθ .θ p E= 2 ε pxθ 2 E= 2 Y εθ 2 E= 2
Tapi karena G = T dan Y = px, rasio agregat kelebihan beban pajak terhadap pendapatan nasional berbentuk kuadrat dalam rasio pengeluaran publik untuk pendapatan nasional itu sendiri:
/
proses dari proses eksponensial yang cekung ke atas menjadi cekung ke bawah pada titik tertentu smpai akhirnya konvergen pada satu titik tertentu. Kemudian dengan substitusi nilai ,
,
maka diperoleh /
2
,
,
di mana α, β adalah parameter. Persamaan di atas adalah persamaan diferensial biasa tidak linear orde pertama yang dapat ditulis sebagai
di mana h=α
, k = βε/2, dan R=G/Y
sehingga persamaan tersebut menjadi
sehingga dapat diperoleh solusinya sebagai berikut:
1 (lihat Lampiran 2) Jika R0 adalah nilai awal saat t=0, maka sehingga 0
/ Kemudian Hukum Wagner dikombinasikan dengan dugaan Pigou, diperoleh persamaan seperti berikut ini: , di mana dalam persamaan tersebut terlihat bahwa Hukum Wagner dikurangi dengan kelebihan beban pajak. Kelebihan beban pajak bertindak sebagai rem yang membalikkan
2
0
3.3 Simulasi Parameter Berdasarkan solusi dari persamaan yang diperoleh, yaitu 1 Dapat dibuat kurva solusi dengan beberapa nilai parameter h dan k.
7
h
h 0.5
0.2
k
k 0.01
0.02
w ak tu
w ak tu 35
5
50
40
40
30
30
20 20
10
10
30
20
10
10
20
30
4
h
2
2
4
2
4
h 0.8
0.5
k
k 0.05
0.02
w ak tu
w ak tu 35
5
10
35 30
8
25 6
20 15
4
10 2
30
20
10
5
10
20
4
30
2
h
h
1.05
0.5
k
k
0.02
0.09
w ak tu
w ak tu
5
35
50
5 40
4 30
3 20
2
10
1
30
20
10
10
20
30
Gambar 3 Kurva lintasan G/Y dengan nilai parameter h=0.5, k=0.01,0.05, dan 0.09, dan 5
4
2
2
4
Gambar 4 Kurva lintasan G/Y dengan nilai parameter k=0.02, h=-0.2, 0.8, dan 1.05, dan 5
8
Berdasarkan Gambar 3 dapat dilihat bahwa dengan parameter 0.5 dan tiga jenis parameter k yaitu 0.01,0.05, dan 0.09 kurva berbentuk lintasan S, dan dengan beberapa nilai parameter k dapat dilihat bahwa semakin besar nilai parameter k maka kurva akan semakin cepat mencapai kondisi mapan atau konvergen pada satu nilai. Berdasarkan Gambar 4 dapat dilihat bahwa dengan parameter 0.02 dan tiga jenis parameter h yaitu 0.2, 0.8, dan 1.05 kurva berbentuk lintasan S, dan dengan beberapa nilai parameter k dapat dilihat bahwa semakin besar nilai parameter h maka kurva akan semakin cepat mencapai kondisi mapan atau konvergen pada satu nilai. Akan tetapi, untuk nilai parameter h negatif kurva berbentuk lintasan S yang terbalik atau menurun. Oleh karena itu nilai parameter h yang sesuai harus berada pada kisaran 0 sampai 1.
3.4 Contoh Kasus Negara Maju Berikut ini adalah nilai parameter untuk beberapa negara maju (Amerika, Perancis, Italia, Jerman, dan Inggris) yang dikutip dari jurnal Florio dan Colautti (2005). Tabel 1 Nilai R0 dan parameter untuk negara Amerika, Perancis, Italia, Jerman, dan Inggris. Parameter Negara R0 C h K Amerika 4.20 19.00 0.05 0.0013 Perancis 11.00 103.51 0.07 0.0014 Italia 11.10 16.86 0.03 0.0007 Jerman 9.70 36.60 0.05 0.0013 Inggris 7.80 66.25 0.05 0.0002 Berdasarkan Tabel 1 yang dikutip dari jurnal Florio dan Colautti tahun 2005 dapat dibuat kurva solusi lintasan G/Y untuk negara Amerika, Perancis, Italia, Jerman, dan Inggris, seperti yang diberikan pada Gambar 5.
9
Italia
Amerika 40 30
35
G/Y
G/Y 30
20
25 20
10
15 20
40
60
80
100
120
140
50
Waktu
Waktu
Perancis
Jerman
40
35
35
30
30
G/Y
20
20
15
15
10
100
150
100
150
25
G/Y 25
50
100
50
150
Waktu
Waktu Inggris 40 35
G/Y 30 25 20 15 10 50
100
150
Waktu Gambar 5 Kurva lintasan G/Y untuk negara Amerika, Perancis, Italia, Jerman, dan Inggris
10
Pada Gambar 5 kurva yang dihasilkan dari kelima negara tersebut menghasilkan lintasan kurva berbentuk S yang berarti laju dari rasio antara pengeluaran publik dan pendapatan nasional (G/Y) dengan parameter h yang berada pada selang 0
sebesar Rp. 1.964,3 triliun. Oleh karena itu dapat dibuat rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional di Indonesia dengan membagi nilai pengeluaran publik dengan pendapatan nasional. Rasio tersebut sebesar 0.40421524 atau 40.421524% pada tahun 2007 (http://siteresources.worldbank.org/INTINDO NESIA/Resources/2262711168333550999/PER-bahasa.pdf). Setelah memperoleh rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional (G/Y), selanjutnya harus memperkirakan nilai parameter h, k dan K. dalam hal ini ditentukan nilai parameter h sebanyak tiga jenis, yaitu -0.2, 0.2, dan 1.02. untuk nilai parameter k tergantung dari nilai h dan K. karena k=h/K. oleh karena itu cukup menentukan nilai parameter K dan dalam hal ini ditentukan sebesar 42.50. setelah menentukan nilai parameter K, maka dapat diperoleh nilai parameter k=-0.00047059 untuk h = -0.02, k=0.00047059 untuk h = 0.02, dan k= 0.024 untuk h = 1.02. Jika rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional (G/Y) dan semua parameter sudah ditentukan maka dengan menggunakan program Mathematica dapat diperoleh kurva lintasan G/Y tersebut dengan menggunakan persamaan :
3.5 Pertumbuhan ekonomi di Indonesia Seperti yang telah diungkapkan pada bab latar belakang karya ilmiah ini bahwa untuk melihat pertumbuhan ekonomi di suatu negara adalah dengan memodelkan rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional atau G/Y, begitu juga untuk negara Indonesia. Untuk melihat perutmbuhan ekonomi di Indonesia kita harus mengetahu seberapa besar pengeluaran publik negara Indonesia pada setiap tahun dan juga besar dari pendapatan nasional di Indonesia. Berdasarkan data yang diperoleh, kita dapat melihat besarnya pengeluaran publik di Indonesia sebesar Rp. 794 triliun, sedangkan pendapatan nasional di Indonesia berdasarkan data yang diperoleh pada tahun 2007 adalah G/Y 40
G/Y 42.5
G/Y 42.5
42.5
30 42.0
42.5
41.5
42.5
20
10
42.5
41.0
50
100
150
waktu
200
250
20 50
100
150
200
40
60
80
250
waktu
Gambar 6 Kurva lintasan G/Y di Indonesia dengan nilai h= -0.02, 0.02, dan 1.02
waktu
100
120
140
11
Dari Gambar 6 jelas terlihat bahwa lintasan G/Y untuk Negara Indonesia berbentuk S. Hal ini berarti bahwa pertumbuhan ekonomi di Indonesia yang di modelkan dengan menggunakan rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional pada awalnya meningkat terus menerus sampai pada titik tertentu akan konvergen pada niali tertentu yang berarti bahwa mencapai kondisi mapan. Dari tiga jenis nilai parameter h yang digunakan dapat terlihat jelas bahwa untuk
nilai parameter 0
1. Sedangakan untuk parameter h<0 atau negative pertumbuhan ekonomi semakin menurun seiring berjalannya waktu. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa lintasan G/Y berbanding lurus dengan pertambahan 11 nilai parameter h. semakin besar nilai parameter h maka akan semakin cepat juga mencapai kondisi mapan.
SIMPULAN Hukum Wagner menyatakan bahwa rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional (G/Y) merupakan proses pertumbuhan eksponensial, dan berarti G/Y terus meningkat dari waktu ke waktu. Oleh karena itu, dikombinasikan dengan dugaan Pigou yang menyatakan bahwa pajak bertindak sebagai rem untuk hal tersebut. Pada tulisan ini, kecenderungan pengeluaran masyarakat jangka panjang dari lima negara maju (Amerika, Perancis, Italia, Jerman, Inggris) dan juga Indonesia sebagai proses dinamis sederhana yang timbul dari kombinasi Hukum Wagner dan dugaan Pigou, lintasan G/Y dari negara-negara tersebut
berada pada lintasan kurva berbentuk S yang merupakan kurva dari funsi logistik. Begitu juga untuk negara Indonesia, lintasan G/Y berada pada lintasan kurva berbentuk S. Oleh karena itu, kombinasi Hukum Wagner dan dugaan Pigou dapat digunakan untuk analisis dinamika pengeluaran publik. Laju dari rasio antara pengeluaran publik dengan pendapatan nasional (G/Y) berbanding lurus dengan nilai parameter h dan k. Semakin besar nilai parameter h dan k maka semakin cepat pula laju G/Y tersebut dan semakin cepat pula konvergen pada suatu titik tertentu.
DAFTAR PUSTAKA Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their application. Mc Graw-Hill, New York. Florio M, Colauti S. 2005. A Logistic Growth theory of Public Expenditure: A Study of Five Countries Over 100 Years. Public Choise 122: 355-393 Haryanto R. 2005. Analisis Pengeluaran Pemerintah Daerah di Propinsi Jawa Tengah Periode Tahun Anggaran 20002002. Yogyakarta. http://siteresources.worldbank.org/INTINDON ESIA/Resources/2262711168333550999/PER-bahasa.pdf (diakses pada tanggal 17 September 2010) Mankiw NG. 2003. Teori makroekonomi. Ed. Ke-5. Nurmawan I, penerjemah; kristiaji
CW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics. Nicholson W. 2002. Mikroekonomi intermediate. Ed. Ke-8. Mahendra IB, Azis, penerjemah; Jakarta: Erlangga. Partadiredja A. 1981. Pengantar Ekonomika. Semarang: CV Agung Stewart J. 1988. Kalkulus jilid 1. Edisi ke-4. IN Susila dan H Gunawan, penerjemah; N Mahanani dan W Hardani, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth edition. Sukirno S. 2004. Teori Pengantar Makroekonomi. Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.
LAMPIRAN
13
• 1.
Lampiran 1 Sifat Fungsi Logistik Fungsi naik
dari persamaan tersebut dapat dilihat fungsi akan selalu positif yang berarti fungsi akan selalu naik. 2. Penentuan titik belok 1
1
2
1 Diperoleh
log
sebagai titik belok
+
-log
Dari persamaan 0 Diperoleh Sementara lim Sehingga
•
Lampiran 2 Solusi Persamaan Misalkan
dengan menggunakan teknik integral fraksi fraksial diperoleh :
1
0
14
saat
0 maka
saat
maka
sehingga
ln
ln ln
ln
ln
ln
ln
ln ln
.
15
Jika menggunakan program mathematica: Input:
DSolve
,
,
Output:
• Lampiran 3 Gambar kurva G/Y dengan Program Mathematica 1. Gambar kurva lintasan G/Y untuk negara Amerika, Perancis, Italia, Jerman, dan Inggris. • Gambar kurva lintasan G/Y untuk Negara Amerika: Input:
US
DSolve 0, 0
4.2 ,
0.05 ,
0.0012916559028674762
Output : {{x[t]→(3871.2.718280.05t)/((821.667+2.64268×10-13 ™) +100. 2.718280.05 t)}} Input: Plot /. US, , 0,150 Output:
30
20
10
20 •
40
60
80
100
120
140
Gambar lintasan G/Y untuk Negara Perancis: Input: france DSolve 0.07 0.001485253554 0, 0 11 , , Output: {{x[t]→(3.50067×10122.718280.07t)/((2.43966×1011+0.0000784654™) +7.42769×1010 2.718280.07 t)}} Input:
16
Plot /. france, , 10,100 Output:
40
30
20
20
•
40
60
80
100
Gambar lintasan G/Y untuk Negara Italia: Input: italy DSolve 0.03 0.0006593406593 0, 0 11.1 , Output: {{x[t]→(1.62162×10102.718280.03t)/((1.10452×109+3.55241×10™) +3.564×108 2.718280.03 t)}} Input: Plot /. italy, , 10,150 Output:
40 35 30 25 20 15 50
•
Gambar kurva lintasan G/Y Negara Jerman: Input: germany DSolve 0.05 9.7 , ,
100
0.001278772379
150
0,
0
Output: {{x[t]→(2.6455×1092.718280.05t)/((2.05072×108+1.57027×10™)
,
17
+6.76599×107 2.718280.05 t)}} Input: Plot /. germany, , 15,150 Output: 35 30 25 20 15 10
50
•
100
150
Gambar kurva lintasan G/Y untuk negara Inggris: Input: inggris DSolve 0.05 0.001170960187 0, 0 9.7 , Output: {{x[t]→(3.31126×1092.718280.05t)/((2.6382×1083.23086×08™) +7.7547×107 2.718280.05 t)}} Input: Plot /. inggris, , 15,150 Output: 40 35 30 25 20 15 10 50
2.
100
Gambar kurva lintasan kurva G/Y dengan nilai h>1: Input: DSolve 0.025833118
150
0,
0
5,
,
,
18
Output: {{x[t]→(5.×1082.71828t)/((8.70834×107+2.80082×10-8™) +1.29166×107 2.71828t)}} Input: Plot /. , , 100,100 Output:
30
20
10
100
50
50
100
3. Gambar kurva lintasan G/Y dengan nilai parameter h<0 Input: DSolve 0.05 0.0012916559028674762 0, 0 5, Output: {{x[t]→-(3871./(-100.-(674.2+2.16839×10-13™) 2.718280.05 t))}} Input: Plot /. , , 100,100 Output: 35 30 25 20 15 10 5 100
4.
50
50
Gambar kurva lintasan G/Y dengan perubahan parameter h,k, dan t : Input:
100
,
19
Manipulate Module fungsi , fungsi First NDSolve 0, /; 0 5, , , , ; Plot /. fungsi, , , , , 1,1 , Output:
, 0,1 ,
, 1,100
h
8
k 0.054
6
T
4
2
5
5.
5
Gambar 9 dengan menggunakan software matematica. Input: indonesia DSolve 0.02 0.00047059 0, 0 40.421524 , , output: {{x[t]→(2.×106 2.718280.02 t)/((2419.59 +7.78199×10-13 ™)+47059. 2.718280.02 t)}} Input: Plot /. indonesia, , 50,250 Output:
42
41
40
39
50
50
100
150
200
250
20
6.
Gambar 10 dengan menggunakan software mathematica. Input: indonesia1 DSolve 0.02 0.00047059 0, 0 40.421524 , , output: {{x[t]→-(2.×106/(-47059.-(2419.59 +7.78199×10-13 ™) 2.718280.02 t))}} Input: Plot[x[t]/.indonesia1,{t,-50,250}] Output: 40
30
20
10
50
7.
50
100
150
200
250
Gambar 11 dengan menggunakan software matematica. Input: indonesia2 DSolve 1.02 0.024 0, 0 40.421524 , output: {{x[t]→(85. 2.718281.02 t)/((0.10284 +3.30759×10-17 ™)+2. 2.718281.02 t)}} Input: Plot[x[t]/.indonesia2,{t,-20,30}] Output: 40
30
20
10
20
10
10
20
30
,
