ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK NITROGEN DAN HUBUNGANNYA DENGAN PERTUMBUHAN LOGISTIK ALGA

ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK NITROGEN DAN HUBUNGANNYA DENGAN PERTUMBUHAN LOGISTIK ALGA Widowati1, Sutimin2, Hermin Ps3, Tarita Is4 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro 3 Jurusan Biologi FMIPA Universitas Diponegoro Jl. Prof. Soedharto, SH, Kampus Tembalang Semarang E-mail: [email protected]

1,2,4

Abstract. The nitrogen dynamics model related to algae growth is proposed. The form of the model is nonlinear differential equation system. From these model, the stability of the equilibrium point is disscussed. The stability is analized through the eigen values of the Jacobian matrix that is obtained from linearized system. From the simulation results is found that ammonia-nitrogen, nitrite-nitrogen, and nitrate-nitrogen concentration will achieve to a certain value. The changed of ammonia-nitrogen, nitrite-nitrogen, and nitrate-nitrogen concentration are effected by the algae density. If the alga density increase then the ammonianitrogen and nitrite-nitrogen concentrations will increase but the nitrate concentration will decrease. Keywords: dynamics model, nitrogen-concentration, algae, equilibrium point, stability

1. PENDAHULUAN Pemodelan matematika merupakan salah satu bidang matematika yang dapat digunakan untuk merepresentasikan perubahan konsentrasi amoniak, nitrit, dan nitrat pada perairan ke dalam pernyataan matematika. Model dinamik nitrogen untuk sistem pada perairan sungai telah dibahas oleh beberapa peneliti [2, 4]. Kemudian, Buckly, et.al [1] mengkaji masalah optimisasi yang berhubungan dengan perairan dan nitrogen. Selanjutnya, Djambov dan Ruseva [3] mengemukakan masalah pemodelan matematika dari oksidasi homogen nitrogen dalam produksi nitric acid pada tanaman. Model dinamik non-linear yang merepresentasikan dinamika ekosistem dari eutrofikasi pada badan air yang disebabkan oleh nutrien telah dianalisis oleh Misra [5]. Berdasarkan siklus nitrogen, Brown dan Barnwell[2] mengemukakan perubahan konsentrasi amoniak, nitrit, dan nitrat yang melibatkan model eksponensial alga. Dasar dari pembentukan model Brown and Barnwell adalah siklus nitrogen. Dalam siklus nitrogen terdapat

proses-proses dan reaksi-reaksi yang menjelaskan hubungan konsentrasi nitrogen: amonia, nitrit, dan nitrat. Pada proses amonifikasi terjadi penambahan konsentrasi amonia karena adanya nitrogen organik. Nitrogen organik ini biasanya berasal dari organisme akuatik yang telah mati dan limbah yang mengandung asam amino atau protein yang masuk dalam perairan yang kemudian diuraikan oleh sekelompok hewan pengurai. Dalam hal ini diasumsikan bahwa pencemaran perairan diakibatkan masuknya limbah padat yang mengendap di dasar perairan. Pengendapan ini menyebabkan penguraian nitrogen organik ke dalam amonia menjadi lebih lama. Oleh karena itu, dapat diasumsikan bahwa tidak ada peningkatan konsentrasi amonia akibat proses amonifikasi. Jadi dari siklus nitrogen, hanya proses nitrifikasi dan asimilasi anorganik oleh alga yang mempengaruhi model perubahan nitrogen Brown and Barnwell. Sementara itu, Widowati, dkk [8] telah mengkaji pemodelan matematika dan analisis numerik dari perubahan konsentrasi amoniak, nitrit, dan nitrat 145

Jurnal Matematika Vol. 12, No.3, Desember 2009:145-153

melalui eksperimen dilaboratorium dengan sampel berasal dari perairan Polder Tawang Semarang. Selanjutnya pada paper ini, dibahas pengaruh pertumbuhan alga pada perubahan konsentrasi amoniak, nitrit, dan nitrat. Pertimbangan akan keterbatasan cahaya, nutrien, kandungan oksigen, luas permukaan perairan tetap, dan dengan mengasumsikan tidak ada proses migrasi maka dapat dikonstruksi model logistik dari pertumbuhan alga. Hubungan antara model logistik pertumbuhan alga dengan perubahan konsentrasi amoniak, nitrit, dan nitrat direpresentasikan dalam sistem persamaan diferensial tak-linear.

2. Pembahasan 2.1. Model Matematika dan Titik Kesetimbangan Pada bagian ini diberikan model matematika perubahan konsentrasi nitrogen yang berhubungan dengan pertumbuhan alga. Parameter δ menunjukkan daya tumbuh alga yang dipengaruhi oleh laju pertumbuhan lokal perhari (µ), laju respirasi lokal alga perhari (ρ), dan laju pengendapan lokal alga meter/hari (σ1 ). Misalkan N1(t), N2(t), N3(t) berturut-turut adalah konsentrasi nitrogen: amonia, nitrit, nitrat saat t yang dinyatakan dalam mg/L dan d menyatakan kedalaman (meter) . Konsentrasi amonia, nitrit, dan nitrat tersebut akan mengalami perubahan berdasarkan reaksi nitrifikasi (nitritasi dan nitratasi). Konsentrasi amonia akan mengalami penurunan karena teroksidasi menjadi nitrit dengan laju k1 perhari sehingga menaikkan konsentrasi nitrit. Peningkatan konsentrasi nitrit ini disertai dengan penurunan akibat proses nitratasi yang mengoksidasi nitrit menjadi nitrat dengan laju k2 perhari. Misalkan σ 2 merupakan konstanta menyatakan tingkat sumber bentos dalam g/m2 perhari dan d adalah kedalaman perairan dalam meter, maka

σ2 d

adalah konsentrasi amonia yang diekskresikan bentos yang dipengaruhi oleh kedalaman perairan. Perbandingan konsentrasi amonia dan nitrat yang digunakan oleh alga berdasarkan faktor preferensi amonia (P). Sehingga apabila saat t konsentrasi amonia yang digunakan adalah P bagian, maka konsentrasi nitrat yang digunakan adalah 1-P bagian. Apabila α adalah total nitrogen yang terdapat dalam alga (mg-N/mg-A) dan µ adalah laju pertumbuhan alga maka total asimilasi amonia dan nitrat oleh alga berturut-turut dapat dinyatakan dengan F (t )αµA(t ) (1 − F (t ))αµA(t ) . dan Hubungan antara pertumbuhan alga (A(t)) dan perubahan konsentrasi Amonia, Nitrit, Nitrat diberikan pada gambar [2] berikut.

Gambar 2.1 Hubungan alga, nitrit, dan nitrat

amonia,

Model pertumbuhan alga yang berhubungan dengan perubahan konsentrasi nitrogen-amonia, nitrogennitrit, dan nitrogen-nitrat merupakan sistem persamaan differensial taklinear seperti dibawah ini. Selanjutnya, untuk penyederhanaan penulisan ketergantungan variabel A, N1, N2, N3 terhadap t dihilangkan. dA A  (2.1a) = δA1 −  , dt K 

dN1 σ PN1 = −k1 N1 + 2 − αµA , dt d PN1 + (1 − P) N 3 (2.1b)

mg/L

146

Widowati1, Sutimin2, Hermin Ps3, Tarita Is4(Analisis Kestabilan Model Dinamik Nitrogen dan Hubungannya ...)

dN 2 = k1 N1 − k 2 N 2 , dt

(2.1c)

dN 3 (1 − P) N 3 = k2 N 2 − αµA ,(2.1d) dt PN1 + (1 − P) N 3 dengan A ≥ 0 , N 1 ≥ 0 , N 2 ≥ 0 , N 3 ≥ 0 , σ 2 > 0 , d > 0 , α > 0 , µ > 0, 0 ≤ P ≤ 1 , σ k1 > 0 , k 2 > 0 , dan δ = µ − ρ − 1 , δ >0. d Misalkan titik E(Ae , N1e , N2e , N3e) merupakan titik kesetimbangan untuk alga, amonia, nitrit, dan nitrat pada sistem (2.1) Titik kesetimbangan tersebut dapat dA diperoleh jika memenuhi: =0, dt dN1 dN 2 dN 3 =0, = 0 , dan =0 dt dt dt sehingga sistem persamaan (2.1a-d) pada titik E(Ae , N1e , N2e , N3e) akan menjadi A   (2.2a) δAe 1 − e  = 0 K 

σ2

PN 1e αµ Ae = 0 d PN 1e + ( 1 − P ) N 3e (2.2b) k1 N1e − k 2 N 2 e = 0 (2.2c) − k1 N1e +

−

( 1 − P ) N 3e αµAe = 0 PN 1e + ( 1 − P ) N 3e (2.2d) Pada persamaan (2.2a), pertumbuhan jumlah sel alga tidak bergantung pada konsentrasi nitrogen: amonia, nitrit, dan nitrat saat t. Sehingga titik kesetimbangan model untuk alga dapat diperoleh secara langsung yaitu saat Ae = 0 dan Ae = K. Selanjutnya solusi kesetimbangan model untuk N1e , N 2e , N 3e dengan laju perubahan nitrogen: amonia, nitrit, dan nitrat saat bernilai nol dapat dicari untuk setiap titik kesetimbangan k 2 N 2e −

147

pada alga. Untuk Ae = 0, titik ini menunjukkan bahwa alga belum tumbuh pada perairan. Pada kasus ini, tidak terdapat titik kesetimbangan E(Ae , N1e , N2e , N3e). Sedangkan, untuk Ae = K, pada kondisi ini konsentrasi alga mencapai jumlah maksimum. Cara untuk mengetahui nilai N1e ,N2e ,dan N3e adalah dengan mensubsitusikan Ae = K pada persamaan (2.2b) dan (2.2d). Subsitusikan Ae = K pada persamaan (2.2b) diperoleh σ PN 1e − k1 N1e + 2 − αµ K = 0 d PN 1e + ( 1 − P ) N 3e (2.3) Dari persamaan (2.2c) didapatkan k 2 N 2 e = k1 N1e (2.4) Subsitusikan Ae = K dan persamaan (2.4) ke (2.2d) diperoleh

k1 N1e −

( 1 − P ) N 3e αµK = 0 PN1e + ( 1 − P ) N 3e

( 1 − P ) N 3e αµK PN1e + ( 1 − P )N 3e Subsitusikan (3.14) pada (3.12) ⇔ k1 N1e =

−

(2.5)

(1 − P )N 3e αµK + σ 2 − PN1e αµK = 0 PN1e + (1 − P )N 3e d PN1e + (1 − P )N 3e

PN1e + (1 − P )N 3e σ αµK = 2 PN1e + (1 − P )N 3e d ⇔ σ 2 = αµKd ⇔

Apabila sumber bentos nilainya dianggap sama dengan αµ Kd , maka nilai N 2e dan

N 3e dapat ditentukan berdasarkan nilai N1e . Dari persamaan (2.4) diperoleh k k 2 N 2 e = k1 N1e ⇔ N 2e = 1 N1e (2.6) k2 dan dari persamaan (2.5) diperoleh ( 1 − P ) N 3e k1 N1e = αµK PN1e + ( 1 − P )N 3e


⇔ k1 N1e ( PN1e + ( 1 − P )N 3e ) = ( 1 − P )N 3eαµK ⇔ k1 PN1e = ( 1 − P )N 3e ( αµK − k1 N1e ) 2

2

k1 PN1e (2.7) (αµK − k1 N1e )(1 − P ) Titik kesetimbangan dari model perubahan nitrogen: amonia, nitrit, dan nitrat, E(Ae , N1e , N2e , N3e) dengan pertumbuhan jumlah sel alga mencapai maksimal K yaitu E(K , N1e , N2e , N3e) dengan k N1e = C , N 2e = 1 C , k2 ⇔ N 3e =

2

k1PC , ( 1 − P )( αµK − k1C ) σ 2 = αµKd , C > 0. N 3e =

dengan

2.2. Analisis Kestabilan Jenis kestabilan dari titik kesetimbangan dapat ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian dari sistem linear. Salah satu metode pelinearan adalah ekspansi Taylor di sekitar titik kesetimbangan. Misalkan dA A  = F ( A, N1 , N 2 , N 3 ) = δA1 −  dt  K (2.8a)

dan

A = A − Ae ,

N 2 = N 2 − N 2e , dan

N1 = N1 − N1e , N 3 = N 3 − N 3e .

Sehingga linearisasi model (2.1a-d) dititik E(Ae , N1e , N2e , N3e) dengan menggunakan deret Taylor adalah sebagai berikut dA ∂F ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) ∂F ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) =A + N1 dt ∂A ∂N1 + ∂F ( Ae , N1e , N 2 e , N 3e ) ∂F ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) + N3 N2 ∂N 2 ∂N 3 (2.9a)

d N1 ∂G ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) ∂G ( Ae , N1e , N 2 e , N 3e =A + N1 dt ∂A ∂N1 + ∂G ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) ∂G ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) + N3 N2 ∂N 2 ∂N 3 (2.9b)

d N2 ∂H ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) ∂H ( Ae , N1e , N 2e , N 3 =A + N1 dt ∂A ∂N1 + ∂H ( Ae , N1e , N 2 e , N 3e ) ∂H ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) N2 + N3 ∂N 3 ∂N 2 (2.9c)

d N3 ∂I ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) ∂I ( Ae , N1e , N 2 e , N 3e ) =A + N1 dt1 ∂A ∂N1 dN1 PN σ = G( A, N1 , N 2 , N 3 ) = −k1 N1 + 2 − αµA dt d PN1 ++( 1 − P )N 3 ∂I ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) ∂I ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) (2.8b) N2 + N3 ∂N 2 ∂N 3 , (2.9d) dN 2 = H ( A, N1 , N 2 , N 3 ) = k1 N1 − k 2 N 2 Kemudian, subsitusikan persamaan (2.8adt d) ke dalam persamaan (2.9a-d) akan (2.8c) menghasilkan dN 3 ( 1 − P )N 3 d A = δ 1 − 2 Ae  A  = I ( A, N1 , N 2 , N 3 ) = k2 N 2 − αµA  dt3   K  dt PN1 + ( 1 − P )N (2.8d)

148


 d N1  − PαµN1e = A + dt  PN1e + ( 1 − P )N 3e   − P( 1 − P )αµAe N 3e  − k1 +  N1 + ( PN1e + ( 1 − P )N 3e )2    P( 1 − P )αµAe N1e  N  2 3  ( PN1e + ( 1 − P )N 3e )  (2.10) d N2 = k1 N1 − k 2 N 2 dt d N 3  − ( 1 − P )αµN 3e  = A+ dt  PN1e + ( 1 − P )N 3e   P( 1 − P )αµAe N 3e  N +  2 1  ( PN1e + ( 1 − P )N 3e ) 

 − P( 1 − P )αµAe N1e  k2 N 2 +  N 2 3  ( PN1e + ( 1 − P )N 3e )  Untuk penyederhanaan, transformasi sistem persamaan (2.10) ke dalam variabel X, Y, dan Z dengan X = P( 1 − P )αµ , Y = PN1e + ( 1− P )N 3e ,  2A  Z = δ 1 − e  , K   sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut dA =ZA dt XAe N 3e d N1 XN1e =− A − k1 N1 − N1 + dt ( 1 − P )Y Y2 XAe N1e N3 (2.11) Y2 d N2 = k1 N1 − k 2 N 2 dt d N3 XN 3e XAe N 3e =− A+ N1 + k 2 N 2 − dt PY Y2 XAe N1e N3 Y2 Sistem persamaan (2.11) diubah dalam bentuk matriks akan menjadi

149

d A     dt  dN  1    dt  = dN  2    dt  dN  3    dt 

 Z    − XN1e  (1− P )Y  0   XN3e   − PY 

0

0

0

XAe N3e Y2

0

XAe N1e Y2

k1

− k2

0

XAe N3e Y2

k2

− k1 −

−

XAe N1e Y2

A     N1     N2     N3  Persamaan karakteristik matriks Jacobian, J, dapat dicari dengan det (J − λI ) = 0 dengan I matriks identitas, sehingga didapatkan J − λI =

Z −λ −

XN1e (1− P )Y

−

0 − k1 −

0

XAe N3e −λ Y2

0

0

k1

− k2 − λ

XN3e PY

XAe N3e Y2

k2

Selanjutnya, melalui perluasan kofaktor baris pertama serta memisalkan XAe N1e XAe N 3e = M1 dan = M3, 2 Y Y2

−


diperoleh persamaan karakteristik matriks J yaitu

Karena λ2 selalu bernilai negatif, sehingga agar nilai λ1 < 0 maka

(Z −λ)(−λ)[λ2 +λ(k1 + k2 + M1 + M3 ) + k1k2 + k2M1 + k1M1 + k2aM1 3>] = 0a1

− 4a2 atau a2 > 0 . 2. Perilaku sistem di sekitar titik (2.12) kesetimbangan E(Ae , N1e , N2e , N3e) Persamaan (2.12) mempunyai penyelesaian tidak stabil jika Z > 0 atau λ1 > 0 atau λ = 0 , λ = Z , dan solusi dari polinomial λ2 > 0 . Apabila λ1 dan λ2 keduanya derajat dua λ2 + a1λ + a2 = 0 dengan bernilai positif maka a1 < 0 dan a1 = k1 + k 2 + M 1 + M 3 (2.13a) a2 > 0 . Apabila λ1 dan λ2 a2 = k1k 2 + k1M 1 + k 2 M 1 + k 2 M 3 (2.13b) berlawanan tanda maka a2 < 0 . dengan menerapkan nilai N1e , N 2 e , dan Dari penjelasan tersebut diatas, kestabilan N 3e pada persamaan (2.13a-b), nilai a1 ≠ 0 titik kesetimbangan E(Ae , N1e , N2e , N3e) dan a2 ≠ 0 . Hal ini terlihat pada ditentukan melalui nilai eigen dari matriks persamaan (2.14a-b) Jacobian sistem yang sudah dilinearisasi. Parameter Z merupakan nilai eigen matriks 1 2 2 2 a1 = −4k1 − k 2 − (−α 2 µ 2 K 2 + 2αµKk1C + PJ, α 2 µsehingga K 2 + 2 Pk 1 C Z) bernilai positif maka jika PCαµK solusi kesetimbangan E(Ae , N1e , N2e , N3e) (2.14a) tidak stabil.  PαµKC k k PC   (1 − P)(k1 + k 2 ) + 1 2  a2 = k1k 2 + 2 K − k C αµ 3. SIMULASI   1   NUMERIK k1 PC  P +  C 2 Pada bagian ini, diberikan simulasi αµK − k1C   untuk menyelidiki perubahan konsentrasi (2.14b) nitrogen-amonia, nitrogen-nitrit, dan Misalkan λ1 dan λ2 masing-masing adalah nitrogen-nitrat yang berhubungan dengan akar-akar dari λ2 + a1λ + a2 = 0 , λ1 dan λ2 pertumbuhan logistik alga. Untuk keperluan simulasi ini data pertumbuhan dapat dinyatakan sebagai alga dan data konsentrasi amonia, nitrit, 2 − a1 + a1 − 4a2 dan nitrat diambil dari Widowati, dkk[6, λ1 = 2 7]. Sedangkan untuk parameter-parameter 2 yang lain, nilainya didapatkan dari Brown, − a − a1 − 4a2 λ2 = 1 L.C and Barnwell, T.O [2]. Penggunaan 2 QUAL2E-Uncas terhadap variasi input Dalam hal ini data parameter pada suatu perairan dapat λ1 dan λ2 adalah akar-akar real dan diperoleh suatu analisis sensitivitas yang 2 berbeda untuk a1 − 4a2 > 0 , menjadi penentu dalam nilai interval setiap parameternya. Tanpa mengurangi λ1 dan λ2 adalah akar-akar real yang keumuman, pada simulasi numerik ini 2 sama untuk a1 − 4a2 = 0 , diambil nilai parameter-parameter dalam λ1 dan λ2 adalah akar-akar bilangan interval tersebut, seperti di bawah ini 2 α = 0,075 kompleks untuk a1 − 4a2 < 0 . µ = 1,047 sehingga σ 1 = 0,64 ρ = 0,15 1. Perilaku sistem di sekitar titik P = 0,06 kesetimbangan E(Ae , N1e , N2e , N3e) dengan δ = 0,737 ; akan stabil jika Z < 0, λ1 < 0 , dan 0,06 N1 (t ) λ2 < 0 . Dalam hal ini, haruslah a1 > 0 . F= , 0,06 N1 (t ) + 0,94 N 3 (t ) 2

150


dan

σ2 d

= 6,18 .

Nilai dari parameter K = 78,64 , k1 = 0,00184 , dan k 2 = 1,6041 dicari menggunakan metode kuadrat terkecil dengan software MAPLE. Dari sini, diperoleh model perubahan konsentrasi amoniak, nitrit, nitrat yang berkaitan dengan pertumbuhan alga sebagai berikut

dipilih C = 21,648 yang merupakan ratarata konsentrasi amonia [6]. Sehingga diperoleh titik kesetimbangan model perubahan konsentrasi amonia, nitrit, dan nitrat, E ( Ae , N1e , N 2e , N 3e ) yaitu

Ae = 78,64 ,

N1e = 21,648 ,

N 2 e = 0,02483 , N 3e = 0,00897 . Sistem persamaan (3.1) yang dilinearisasi di titik kesetimbangan tersebut akan menjadi dA A   dA = 0,737 A1 −  = −0,737 A dt 78 , 64   dt dN1 0,06 N1 d N1 A 0,0837 = −0,00184 N1 + 6,618 − = −0,07806 A − 0,003669 N 1 + 4,7797 N 3 dt 0,06 N1 + 0,94 N 3 dt (3.1) (3.2) dN 2 d N2 = 0,00184 N1 − 1,6041N 2 = 0,00184 N1 − 1,6041 N 2 dt dt dN 3 0,94 N 3 = 1,6041N 2 − 0,0837 A d N3 dt 0,06 N1 + 0,94 N 3 = −4,679.10 − 4 A + dt Solusi kesetimbangan dari model 0,00183 N 1 + 1,6041 N 2 − 4,7797 N 3 logistik pertumbuhan alga adalah A( t ) = 0 dan A( t ) = K . Subsitusi kedua solusi ini Matriks Jacobiannya adalah menghasilkan suatu titik kesetimbangan J= model, (Ae, N1e , N 2e , N 3e ), yaitu pada  − 0,737 0 0 saat konsentrasi alga mencapai batas  maksimal (carrying capacity). Penerapan − 4,7816 0  − 0,07806 nilai dari parameter-parameter yang ada  0 0,00184 − 1,6041 akan diperoleh titik kesetimbangan model  −4 perubahan konsentrasi nitrogen yang 4,7798 1,6041 − 4,6796.10 berkaitan dengan model logistik alga sebagai berikut Nilai eigen dari matriks J adalah Ae = K = 78,64 ; N1e = C ; λ1 = 0; λ2 = −4,783 , k1 λ3 = −0,737; λ4 = −1,604 . Karena semua N 2e = C = 0, 001147 C ; k2 nilai eigen dari matrik Jacobian untuk 2 2 sistem terlinearisasi adalah kurang dari k1 PC 0,001104 C N 3e = = atau samadengan nol maka perilaku solusi (1 − P)(αµK − k1C ) 5,8047 − 0,00173 C model terlinearisasi di sekitar titik Perilaku model dapat dianalisis kesetimbangan adalah stabil. dengan mensubsitusikan konstanta C ke Hubungan antara kepadatan (jumlah dalam titik kesetimbangan E(K, N1e , N 2e , sel) alga dengan amonia, kepadatan alga dengan nitrit, dan kepadatan alga dengan N 3e ). Karena nilai C pada interval nitrat diberikan pada Gambar 3.1. Gambar 0 < C ≤ 47,5 , untuk contoh numerik ini di atas menunjukkan bahwa semakin

151

0 0,00183 0

− 0,00183


meningkat kepadatan alga maka konsentrasi nitrogen-amonia dannitrogennitrit semakin besar sedangkan konsentrasi nitrogen-nitrat akan semakin kecil.

4. PENUTUP Perilaku dinamik konsentrasi nitrogen pada perairan yang berkaitan dengan model logistik pertumbuhan alga telah dikaji secara analitik. Perilaku sistem di sekitar titik kesetimbangan akan stabil, bila bagian real nilai eigen dari matriks Jacobian sistem terlinearisasi kurang dari atau samadengan nol. Sedangkan perilaku sistem di sekitar titik kesetimbangan tidak stabil bila terdapat bagian real nilai eigen dari matriks Jacobian sistem terlinearisasi yang lebih besar dari nol. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa konsentrasi nitrogen-amoniak, nitrogennitrit, dan nitrogen-nitrat akan stabil dan menuju ke suatu titik tetap. Perubahan konsentrasi nitrogen-amoniak, nitrogennitrit, dan nitrogen-nitrat dipengaruhi oleh perubahan kepadatan alga. Bila kepadatan (jumlah sel) alga semakin meningkat maka konsentrasi nitrogen-amoniak dan nitrogen-nitrit semakin meningkat pula, namun konsentrasi nitrogen-nitrat semakin menurun. Ucapan Terima Kasih Paper ini merupakan bagian dari hasil Penelitian Fundamental tahun 2009 dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Hibah Penelitian Multi Tahun Nomor: 124.A/H7.2/KP/2009, tanggal 18 Maret 2009. Terima kasih penulis sampaikan kepada Universitas Diponegoro maupun DIKTI yang telah mensupport penelitian ini.

Gambar 3.1. Grafik Hubungan Alga terhadap Amonia, Nitrit, dan Nitrat

5. DAFTAR PUSTAKA [1]. T.N. Buckley, J.M. Miller, and G.D. Farquhar, The mathematics of linked optimisation for water and nitrogen use in a canopy, Silva Fennica , 36, 3, 639–669, 2002. [2]. L.C. Brown and T.O. Barnwell, The Enhanced Stream Water Quality Models Qual2E and Qual2E-Uncas: Documentation and User Manual, Environmental Research Laboratory

152


US Environmental Protection Agency Athens, Georgia, 1987. [3]. P. Djambov and N. Ruseva, Modelling of nitrogen oxide oxidation in nitric acid production, Journal of the University of Chemical Technology and Metallurgy, 41, 1, 41-44, 2006. [4]. KIWE, Korea Water Resources Corporation, Development of Water Quality Management System for the West Tarum Canal (WTC) of Citarum River Basin (CRB) in West Java Province, 2003. [5]. A.K. Misra, Mathematical modeling and analysis of eutrophication of water bodies caused by nutrients, Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 12, 4, 511-524, 2007.

153

[6]. Widowati, Hermin P.S, and Sutimin, Laporan Kemajuan II Penelitian Fundamental, Konstruksi Model Dinamik Nitrogen untuk memprediksi Beban Limbah Maksimum: Studi Kasus Polder Tawang Semarang, Universitas Diponegoro, Semarang, 2009. [7]. Widowati, Hermin P.S, and Sutimin, Mathematical Modeling and Analysis of Ammonia, Nitrite, and Nitrate Concentration: Case Study in Polder Tawang Semarang, Indonesia, Proceedings of the IICMA, Gadjah Mada University, Yogyakarta, 2009, pp 516-570.

ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIK NITROGEN DAN HUBUNGANNYA DENGAN PERTUMBUHAN LOGISTIK ALGA

Recommend Documents