ANALISIS KESTABILAN MODEL PERTUMBUHAN KONTINU DAN MODEL PERTUMBUHAN DISKRET
Oleh: SITI MUSLIAH G54101011
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
1
ABSTRAK SITI MUSLIAH. Analisis Kestabilan Model Pertumbuhan Kontinu dan Model Pertumbuhan Diskret. Dibimbing oleh ANNIS D. RAKSANAGARA dan ALI KUSNANTO. Laju perubahan suatu populasi dapat dipengaruhi oleh empat hal yaitu tingkat kelahiran, tingkat kematian, imigrasi dan emigrasi. Laju perubahan suatu populasi dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan pertumbuhan suatu populasi secara eksponensial. Terbatasnya sumber-sumber seperti ruang dan makanan dan juga adanya jumlah populasi yang terlalu padat menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung lingkungan sehingga pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan berhenti jika daya dukung lingkungan tercapai. Berdasarkan waktu, model pertumbuhan populasi dapat dibagi menjadi model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret. Model yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model pertumbuhan kontinu yang disebut sebagai persamaan logistik. Pada model ini, jika populasi awalnya sama dengan nol dan populasi awalnya sama dengan daya dukung lingkungannya yaitu batas atas ukuran populasi yang dapat didukung oleh sumber daya yang tersedia, maka populasi akan tetap konstan. Jika populasi awalnya kurang dari daya dukung lingkungan, maka populasi akan meningkat menuju daya dukung lingkungan. Dan jika populasi awalnya lebih dari daya dukung lingkungan, maka populasi akan semakin menurun dan menuju daya dukung lingkungan. Ada 2 titik tetap yang diperoleh pada model ini yaitu titik tetap tidak stabil yaitu pada saat jumlah populasi sama dengan nol dan titik tetap yang stabil yaitu pada saat jumlah populasi sama dengan daya dukung lingkungan. Selain itu, diperoleh juga solusi yang stabil. Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik yaitu persamaan logistik tak otonom. Pada model ini tingkat pertumbuhan populasi dan daya dukung lingkungannya tergantung pada waktu. Hal ini bisa disebabkan oleh adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju pertumbuhan populasi. Salah satunya yaitu disebabkan oleh pengaruh musim. Oleh karena itu, populasi mengalami fluktuasi. Pada kehidupan nyata, banyak fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini dapat dimodelkan ke dalam persamaan beda. Salah satu model yang dibahas yaitu bentuk analog diskret dari model pertumbuhan eksponensial kontinu. Model ini merupakan model perubahan populasi yang dihitung secara tahunan. Solusi yang telah diperoleh dengan metode pendekatan pada persamaan logistik tak otonom dan pada model pertumbuhan diskret merupakan solusi yang stabil asimtotik.
2
ABSTRACT SITI MUSLIAH. Stability Analysis of Continuous Growth Model and Discrete Growth Model. Under the direction of ANNIS D. RAKSANAGARA and ALI KUSNANTO. Population change rate is influenced by birth rate, death rate, imigration and emigration. It can be modeled into a differential equation which predicts that population grow exponentially. Limited sources such as space and food, also dense number of population have caused population been limited by a carrying capacity of environment. So population growth gradually decrease and finally stop if the carrying capacity has been reached. Based on time, models of population growth are divided into continuous growth model and discrete growth model. In this paper, the continuous growth model known as logistic equation will be discussed. In this model, if the initial population equal to zero or has the same value with its carrying capacity of environment (that is, upper bound of population growth supported by an available resources), so the population will be constant. If the initial population less than carrying capacity, then population will increase to the carrying capacity of environment. And if the initial population exceeds the carrying capacity, so the population will reduce to the carrying capacity. There are two fixed points captured in this model, those are unstable fixed point when the number of population is equal to zero and stable fixed point when the number of population is equal to the carrying capacity of environment. The model also reached a stable solution. Non autonomous logistic equation is one of the logistic equation form. In this model, the population growth rate and carrying capacity of environment depend on time. This is caused by the annual influence to the population growth rate, such as seasonal influence. Therefore, the population become fluctuative. In the real life, there are so many phenomenon of population change that happened discretically. This phenomenon can be modeled into a difference equation. One which is discussed is a discrete analogue form of continuous exponential growth model. This is the population change model counted annually. Solution that has been reached by an approximation method to the non autonomous logistic equation and discrete growth model is an asymptotic stable solution.
3
ANALISIS KESTABILAN MODEL PERTUMBUHAN KONTINU DAN MODEL PERTUMBUHAN DISKRET
SITI MUSLIAH G54101011
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
4
Judul Skripsi : Analisis Kestabilan Model Pertumbuhan Kontinu dan Model Pertumbuhan Diskret Nama : Siti Musliah NRP : G54101011
Menyetujui : Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dra. Annis D. Raksanagara, M.Si. NIP. 132133396
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 131913135
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP. 131473999
Tanggal Lulus:
5
Kupersembahkan karya kecil ini untuk Umi, Bapak, Kakakkakakku, Keponakanku dan Semua yang Kucintai.
6
PRAKATA Bismillahirrahmanirrahim, Alhamdulillah, Puji dan Syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga tercurah kepada Rasulullah SAW, beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya hingga akhir zaman. Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan jazakumullah khairan katsiran, terima kasih banyak kepada: 1. Ibu Dra. Annis D. Raksanagara, M.Si dan Bapak Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing I dan pembimbing II. Dan juga kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. N, MS selaku penguji. Terima kasih atas segala bantuan dan bimbingan yang telah Bapak dan Ibu berikan kepada penulis. Mudahmudahan Allah membalasnya dengan berlipat ganda. Penulis mohon maaf jika selama ini banyak melakukan kesalahan dan kekhilafan. 2. Bapak dan Umi yang selama ini telah begitu sabar menunggu kelulusan penulis. Terima kasih atas semua do’a, dukungan dan kasih sayang yang telah diberikan kepada penulis. Mohon maaf yang sebesar-besarnya jika selama ini telah banyak mengecewakan Umi dan Bapak. A’Budi (terima kasih atas bantuannya), A’Jumul, Teh Elim, Nia, Sarah (semoga kalian bisa lebih dewasa lagi, lebih dekat pada Allah dan semoga kalian semua bisa sukses), keponakanku Jiddan yang lucu dan pintar (semoga menjadi anak yang sholeh) dan juga kepada seluruh keluarga tercinta. 3. Seluruh staf (Ibu Susi, Ibu Ade, dll.) dan dosen Departemen Matematika IPB atas segala bantuan dan dukungannya. 4. Sahabat-sahabat saya yang sangat saya cintai (Lilis, Ika, Awang, Evi, Yana, Atin, Hawa) semoga kita masih bisa bertemu dan berkumpul lagi seperti dulu. Dan juga teman-teman Mahasiswa/i Matematika Angkatan 38 (Devi, Linda, Ami, dll.), Angkatan 39, Angkatan 40 dan Angkatan 41. Ikhwan dan Akhwat di Jurusan, Fakultas dan seluruh IPB, semoga tetap istiqomah. 5. Ikhwan dan Akhwat di DPRa Loji, khususnya Teh Ela yang telah banyak mendukung, afwan kalau saya pernah berbuat salah. Ikhwan dan Akhwat di DPC Ciomas (Ibu Mimin dan suami, Ibu Irma, Mba Khusnul dkk, Eva, Mute dkk), khusus untuk Mute semoga tetap semangat menyelesaikan penelitiannya. 6. Uli, Dwi dan Darwisah yang telah bersedia menjadi pembahas dan juga Yuda yang telah bersedia menjadi notulen. Semoga Allah mempermudah segala urusan kalian. 7. Teman-teman RISMA Al-Ikhlas (Remaja Islam Masjid Al-Ikhlas), semoga kita bisa kompak dan bisa bersama-sama memajukan RISMA Al-Ikhlas. Teman-teman mentor SMP YAPIS Bogor. Semoga tetap semangat. 8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Semoga Allah memberikan sebaik-baik balasan. Penulis berharap karya ilmiah ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan bagi semua orang.
Bogor, Maret 2007
Siti Musliah
7
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor, 30 Juni 1983 sebagai anak keenam dari 6 bersaudara dari pasangan Bapak Mustar dan Ibu Badriah. Pada tahun 1995 penulis menyelesaikan sekolah di SDN Gunung Batu III Bogor dan tahun 1998 penulis menyelesaikan sekolah di SLTPN I Dramaga Bogor. Pada tahun 2001 penulis menyelesaikan sekolah di MAN I Bogor. Dan pada tahun yang sama, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor, Departemen Matematika melalui jalur USMI. Selama perkuliahan penulis pernah menjadi pengurus Himpro Departemen Matematika (GUMATIKA) selama 2 periode kepengurusan (Divisi Jurnalistik dan Divisi Kerohanian). Pada periode 2004/2005 penulis terlibat sebagai pengurus DKM Al-Ghifari IPB Biro Pemberdayaan Muslimah (PMH). Dan pada periode yang sama penulis diterima sebagai Asisten PAI (Pendidikan Agama Islam) IPB. Pada periode 2005/2006 penulis menjadi pengurus DKM Al-Hurriyyah IPB Divisi Keputrian. Selain itu, penulis pernah menjadi mentor di SMP YAPIS Bogor. Kegiatan yang saat ini penulis lakukan adalah mengajar di PLS (Pendidikan Luar Sekolah) daerah Pagelaran Ciomas dan juga mengajar les privat. Selain itu, penulis juga terlibat sebagai pengurus DPRa Loji sampai sekarang.
8
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL............................................................................................................................ix DAFTAR GAMBAR .......................................................................................................................ix DAFTAR LAMPIRAN....................................................................................................................ix PENDAHULUAN Latar Belakang .......................................................................................................................1 Tujuan.....................................................................................................................................1 LANDASAN TEORI ........................................................................................................................1 PEMODELAN Model Pertumbuhan Kontinu .................................................................................................4 Persamaan Logistik Tak Otonom ...........................................................................................4 Model Pertumbuhan Diskret...................................................................................................4 ANALISIS MODEL Pencarian Solusi .....................................................................................................................5 Penentuan Titik Tetap.............................................................................................................7 Analisis Kestabilan.................................................................................................................8 Contoh Kasus .........................................................................................................................9 SIMPULAN ....................................................................................................................................14 DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................................................15 LAMPIRAN....................................................................................................................................16
9
DAFTAR TABEL Halaman 1 Nilai x ( t ) dengan x0 = 5000 untuk t = 0 sampai dengan t = 10 ..............................................10 2 Nilai x ( t ) dengan x0 = 10000 untuk t = 0 sampai dengan t = 10 ............................................10 3 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 5000 untuk n = 0 sampai dengan n = 10 .......................................11 4 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 10000 untuk n = 0 sampai dengan n = 10 .....................................11 5 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 5000 dan h = 0.5 ............................................................................12 6 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 10000 dan h = 0.5 ..........................................................................13
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Bidang fase dari persamaan logistik...............................................................................................8 2 Dinamika populasi x ( t ) terhadap t dengan x0 = 500 .................................................................9 3 Dinamika populasi x ( t ) terhadap t dengan x0 = 1100 ..............................................................10 4 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk x0 = 5000 ...............................................................................11 5 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk x0 = 10000 .............................................................................12 6 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk x0 = 5000 dengan h = 0.5 .....................................................13 7 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk x0 = 10000 dengan h = 0.5 ...................................................13
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Mencari solusi sistem (3.1) ..........................................................................................................16 2 Mencari solusi sistem (3.2) ..........................................................................................................17 3 Pembuktian Teorema ...................................................................................................................19
10
I. PENDAHULUAN pertumbuhan diskret. Model pertumbuhan kontinu pertama kali diusulkan oleh Verhulst seorang matematikawan dari Belgia. Dia menyebut model ini sebagai persamaan logistik. Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik yaitu persamaan logistik tak otonom. Pada model ini tingkat pertumbuhan populasi dan daya dukung lingkungannya tergantung pada waktu. Hal ini bisa disebabkan oleh adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan populasi. Salah satunya yaitu disebabkan oleh pengaruh musim. Pada kehidupan nyata, banyak fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini biasanya dimodelkan dalam bentuk persamaan beda.
1.1 Latar Belakang Populasi adalah kumpulan individu dari suatu spesies yang sama yang menempati suatu tempat tertentu. Laju perubahan suatu populasi dapat dipengaruhi oleh empat hal yaitu tingkat kelahiran, tingkat kematian, imigrasi dan emigrasi. Tingkat kelahiran yaitu tingkat dimana adanya individu baru yang lahir melalui proses reproduksi yang dapat menambah jumlah populasi. Tingkat kematian yaitu tingkat dimana adanya individu yang mati dalam suatu populasi. Imigrasi yaitu masuknya individu baru ke dalam suatu populasi. Emigrasi yaitu keluarnya individu dari suatu populasi. Laju perubahan suatu populasi dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan pertumbuhan suatu populasi secara eksponensial. Terbatasnya sumber-sumber seperti ruang dan makanan dan juga adanya jumlah populasi yang terlalu padat menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung lingkungan sehingga pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan berhenti jika populasi sama dengan daya dukung lingkungan. Berdasarkan dari segi waktu, model pertumbuhan populasi dapat dibagi menjadi model pertumbuhan kontinu dan model
1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Mempelajari model pertumbuhan populasi kontinu dan model pertumbuhan diskret. 2. Mencari solusi dari model-model pertumbuhan populasi tersebut. 3. Analisis kestabilan solusi diskret dari model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret.
II. LANDASAN TEORI eksponensial jika r > 0 dan akan menurun secara eksponensial jika r < 0 . (Hallam and Levin, 1986)
Model Populasi Eksponensial Misalkan x ( t ) menunjukkan ukuran populasi pada waktu t , b menunjukkan jumlah kelahiran per individu per satuan waktu, dan m menunjukkan jumlah kematian per individu per satuan waktu [t , t + ∆t ] , ∆t > 0 .
Definisi 1 [Persamaan Diferensial Biasa] Persamaan diferensial biasa berorde- n adalah suatu persamaan yang mempunyai bentuk umum n F x, y, y ′, y ′′,....., y ( ) = 0 (2.3)
Maka perubahan populasinya adalah sebagai berikut: x ( t + ∆t ) − x ( t ) = bx ( t ) ∆t − mx ( t ) ∆t. (2.1)
(
Bagi persamaan (1) dengan ∆t. Jika ∆t mendekati nol, maka diperoleh dx ( t ) = rx ( t ) , (2.2) dt dengan r = b − m adalah tingkat pertumbuhan intrinsik dari populasi. Model (2.2) menggambarkan populasi akan tumbuh secara
dengan y ′ =
)
2
dy d y , y ′′ = 2 , dan seterusnya. dx dx (Farlow, 1994)
Metode Pemisahan Variabel Langkah 1. Tulis kembali persamaan dy f ( x ) = dx g ( y )
11
(2.4)
dalam bentuk yang terpisah g ( y ) dy = f ( x ) dx.
y′ v′ = . n y 1− n Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan diferensial yang diberikan, sehingga diperoleh v′ + v P ( x) = Q ( x) 1− n yang linear dalam v. (Rice and Strange, 1994)
v′ = (1 − n ) y − n y ′ atau
(2.5)
Langkah 2. Integralkan masing-masing sisi dari persamaan (2.5), untuk memperoleh solusi implisit. ∫ g ( y )dy = ∫ f ( x )dx + c, dengan c adalah suatu konstanta bebas. Langkah 3. Jika mungkin, selesaikan y dalam bentuk solusi implisit untuk memperoleh solusi eksplisit. (Farlow, 1994)
Definisi 4 [Titik Tetap] Diberikan sistem persamaan diferensial dx (2.7) = x& = f ( x ) , x ∈ Rn . dt Titik x∗ disebut titik tetap jika f ( x∗ ) = 0 .
Definisi 2 [Masalah Nilai Awal] Masalah nilai awal untuk suatu persamaan diferensial berorde- n
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap. (Tu,1994) Pelinearan Misalkan x∗ adalah titik tetap, dan misalkan η ( t ) = x ( t ) − x∗ adalah suatu perturbasi
⎛ dy d 2 y dny ⎞ F ⎜ x, y, , 2 ,........, n ⎟ = 0 dx dx dx ⎠ ⎝ mengandung solusi yang akan dicari dari persamaan diferensial tersebut pada suatu interval I yang juga memenuhi syarat awal n y ( x0 ) = y0 y ′ ( x0 ) = y1 y ′′ ( x0 ) = y2
(gangguan) kecil jauhnya dari x∗ . Untuk melihat apakah gangguan tersebut meningkat atau menurun, kita turunkan persamaan diferensial untuk η . Sehingga,
(2.6)
M y ( ) = yn −1 . dengan x0 ∈ I dan y0 , y1 ,...., yn −1 adalah konstanta yang diberikan. (Farlow, 1994) n −1
d ( x − x∗ ) = x&, dt x∗ dengan adalah konstan. η& = x& = f ( x ) = f ( x∗ + η ) .
η& =
(2.8) Maka, (2.9)
Kita gunakan ekspansi Taylor sehingga diperoleh, f ( x∗ + η ) = f ( x ∗ ) + η f ′ ( x ∗ ) + O (η 2 ) , (2.10)
Definisi 3 [Persamaan Diferensial Bernoulli] Suatu persamaan berbentuk dy + P ( x) y = Q ( x) yn dx disebut persamaan diferensial Bernoulli. Catatan bahwa jika n = 0 atau 1, maka persamaan Bernoulli adalah linear. (Rice and Strange, 1994)
dengan
O (η 2 )
menunjukkan
bilangan
kuadrat yang nilainya kecil. Catatan bahwa f ( x ∗ ) = 0 , jika x∗ adalah titik tetap. Oleh karena itu, dari persamaan (2.9) dan (2.10) kita peroleh (2.11) η& = η f ′ ( x∗ ) + O (η 2 ) .
Teorema 1 [Transformasi persamaan Bernoulli ke dalam persamaan linear] Jika n ≠ 0 atau 1, maka persamaan Bernoulli y′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n
Jika f ′ ( x ∗ ) ≠ 0, maka O (η 2 ) diabaikan dan
kita dapat menulis perkiraannya η& = η f ′ ( x∗ ) .
dapat direduksi ke persamaan linear dengan mentransformasi v = y1− n . Bukti: Langkah pertama, kalikan persamaan diferensial dengan y − n , sehingga diperoleh
(2.12)
Persamaan (2.12) merupakan persamaan linear dalam η , dan disebut pelinearan sekitar x∗ . Hal ini menunjukkan bahwa perturbasi η ( t ) meningkat secara eksponensial jika ∗ ∗ f ′ ( x ) > 0 dan menurun jika f ′ ( x ) < 0 .
y − n y ′ + P ( x ) y1− n = Q ( x ) .
Jika
Misalkan v = y1− n , maka
12
f ′ ( x∗ ) = 0 ,
maka
O (η 2 )
tidak
diabaikan dan analisis taklinear diperlukan untuk menentukan kestabilan. Kemiringan pada titik tetap f ′ ( x∗ )
Suatu fungsi dikatakan kontinu sepotongsepotong pada interval tertutup a ≤ t ≤ b jika interval dapat dibagi ke dalam sejumlah hingga subinterval terbuka c
menentukan kestabilannya. Jika ∗ kemiringannya negatif ( f ′ ( x ) < 0 ), maka titik tetap x∗ adalah stabil. Dan jika kemiringannya positif ( f ′ ( x ∗ ) > 0 ), maka titik tetap x∗ adalah tidak stabil. (Strogatz, 1994)
t →c
Definisi 5 [Kestabilan Solusi Dari Persamaan Diferensial Tingkat Satu] Pandang sistem persamaan diferensial tingkat x ′ = f ( x, t ) dengan nilai awal satu
Definisi 8 [Persamaan Beda (difference equations)] Persamaan beda adalah suatu persamaan yang menghubungkan anggota-anggota yang berbeda dari barisan bilangan { y0 , y1 , y2 ,..., yn ,...} dimana nilai yn dari
x ( t0 ) = x0 . Solusinya merupakan fungsi x = x ( t; x0 , t0 )
( t0 ≤ t ) . Untuk mempelajari kestabilan dari x ( t ) pandang solusi yang berdekatan y = y ( t; x0 , t0 ) , y ′ = f ( y, t ) , dengan y ( t0 ) = y0 . Misalkan z (t ) = y (t ) − x (t ) , maka
z ′ = F ( z, t )
barisan tidak diketahui nilainya dan nilai tersebut yang akan dicari. (Farlow, 1994) Definisi 9 [Limit Barisan] ∞ Misalkan {sn }n =1 merupakan barisan bilangan
(*)
real. Kita katakan bahwa sn mendekati limit L (ketika n mendekati tak hingga), jika untuk setiap ε > 0 terdapat suatu bilangan bulat positif N sehingga, sn − L < ε ( n ≥ N ) .
dengan F ( z , t ) = f ( x ( t ) + z , t ) − f ( x ( t ) , t ) Solusi z = 0 dari (*) dikatakan 1. Stabil jika ∀ε > 0
dan
t1 ≥ t0 ,
∃δ ( ε , t1 ) ∋ z ( t ) < ε , ∀t ≥ t1 .
2.
Stabil seragam jika stabil dan δ = δ ( ε ) bebas terhadap t1 .
3.
Stabil asimtotik jika stabil dan akan mengakibatkan z ( t1 ) < δ
Jika sn mendekati limit L kita tulis lim sn = L atau sn → L
n →∞
( n → ∞) .
(Goldberg, 1976)
z ( t ) → 0 untuk t → ∞ .
Definisi 10 [Kekonvergenan Barisan] ∞ Jika barisan bilangan real {sn }n =1 mempunyai
(Grimshow, 1990)
limit
Definisi 6 [Kekontinuan fungsi di Suatu Selang] Kita katakan fungsi f kontinu pada selang
L,
kita
konvergen ke
katakan
L . Jika
bahwa
{sn }n =1 ∞
mempunyai limit, kita katakan bahwa
terbuka ( a, b ) jika f kontinu di setiap titik
( a, b ) .
t →d
(Rice and Strange, 1994)
{sn }n =1 ∞
tidak
{sn }n =1 ∞
adalah divergen.
f kontinu pada selang tertutup [ a, b ]
(Goldberg, 1976)
jika f kontinu pada ( a, b ) , kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b . (Purcell and Varberg, 1987)
Definisi 7 [Fungsi Kontinu Sepotongsepotong (Piecewise Continuous Function)]
13
III. PEMODELAN Model Pertumbuhan Kontinu Terbatasnya sumber-sumber penyokong (ruang, air, makanan, dll) menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung lingkungan. Pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan berhenti jika daya dukung lingkungan tercapai. Model dari pertumbuhan populasi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: dx x⎞ ⎛ = rx ⎜1 − ⎟ (3.1) dt ⎝ K⎠ dengan, dx : laju perubahan populasi x terhadap dt waktu t . x : jumlah populasi suatu spesies pada waktu t. r > 0 adalah konstanta tingkat pertumbuhan intrinsik. K > 0 adalah daya dukung lingkungan (carrying capacity). Model ini pertama kali diusulkan oleh Verhulst (1838) yaitu seorang matematikawan dari Belgia. Verhulst menyebut model ini dengan persamaan logistik yang menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tunggal dengan waktu yang kontinu (Hallam and Levin, 1986).
x ( t ) : jumlah populasi suatu spesies pada waktu t > 0 . r ( t ) ≥ 0 : tingkat pertumbuhan populasi x
K (t ) :
pada waktu t daya dukung
lingkungan
yang
merupakan fungsi kontinu positif (carrying capacity). Model ini dinamakan persamaan logistik tak otonom karena tingkat pertumbuhan intrinsik ( r ) , carrying capacity ( K ) dan jumlah populasi ( x ) merupakan suatu fungsi yang tergantung pada waktu. Hal ini terjadi disebabkan karena adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan populasi tersebut. Salah satunya yaitu adanya pengaruh musim. Model Pertumbuhan Diskret Fenomena-fenomena perubahan populasi yang terjadi secara kontinu dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan laju perubahan populasi tersebut di masa yang akan datang. Seperti pada model (1.1). Tetapi, banyak juga fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini biasanya dimodelkan ke dalam suatu persamaan beda. Hal ini digambarkan oleh persamaan berikut: (3.3) ∆x ( t ) = I k ( x ( t ) ) , t = τ k , k = 1, 2,.....
Persamaan Logistik Tak Otonom Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik (1.1) yaitu persamaan logistik tak otonom, yang artinya secara eksplisit variabel t muncul dalam persamaan. Modelnya adalah sebagai berikut: ⎡ x (t ) ⎤ dx = r ( t ) x ( t ) ⎢1 − (3.2) ⎥, t > 0 dt ⎣⎢ K ( t ) ⎦⎥ dengan, dx : laju perubahan populasi x pada waktu t . dt
x (τ k + 1) − x (τ k ) = I k ( x (τ k ) ) , k = 1, 2,...
dengan, ∆x ( t ) : perubahan populasi x terhadap waktu t. I k : operator yang terbatas. τ k : waktu ke- k .
IV. ANALISIS MODEL Model (3.1) perubahan populasi dengan waktu yang komponen yang perubahan populasi
menggambarkan laju suatu spesies tunggal kontinu. Ada beberapa mempengaruhi laju tersebut yaitu jumlah
populasi, tingkat pertumbuhan intrinsik
(r)
yang dipengaruhi oleh tingkat kelahiran dan tingkat kematian, dan daya dukung
14
lingkungan
(K )
di California, Lophortyc californicus yang mengalami penurunan pada musim dingin dan musim semi dan kenaikan yang tiba-tiba pada bulan Juni ketika anak-anaknya muncul. (Sladen and Bang, 1969).
yang dipengaruhi oleh
sumber-sumber penyokong yang tersedia. Jika sumber makanan yang tersedia berlimpah maka populasi akan meningkat. Jika hal ini berlangsung terus, maka populasi yang terlalu besar akan menyebabkan terjadinya persaingan antar spesies untuk mendapatkan makanan yang sama. Sehingga lama kelamaan makanan yang tersedia akan menurun dan menyebabkan jumlah populasi menurun. Hal ini bisa mengakibatkan jumlah kematian akan meningkat. Dan jika tingkat produktivitasnya menurun, maka lambat laun pertumbuhan populasi akan lambat bahkan berhenti. Jika jumlah populasi x lebih besar dari daya dukung lingkungan K , maka tingkat pertumbuhan populasi akan menurun dan populasi menuju ke arah daya dukung lingkungan K . Dan jika jumlah populasi x lebih kecil dari K , maka tingkat pertumbuhan populasi akan meningkat dan populasi menuju ke arah daya dukung lingkungan K . Model (3.2) merupakan bentuk variasi dari persamaan logistik (3.1). Pada model (3.1), tingkat pertumbuhan intrinsik dan daya dukung lingkungan merupakan konstanta positif. Sedangkan pada model (3.2), r dan K merupakan suatu fungsi dari waktu. Sehingga, model (3.2) ini dinamakan persamaan logistik tak otonom, karena r dan K tergantung pada waktu. Adanya perbedaan musim yang terjadi pada suatu wilayah atau tempat bisa menjadi salah satu sebab adanya perbedaan tingkat pertumbuhan dan daya dukung lingkungan menurut waktu tertentu. Misalnya saja pada musim kemarau suatu spesies tertentu mengalami kekurangan makanan dan air disebabkan kekeringan. Hal ini bisa menyebabkan angka kematian spesies tersebut menjadi tinggi karena ketergantungan spesies tersebut pada sumber makanan dan air. Tentu saja kondisi ini akan berbeda ketika berada pada musim-musim yang lain. Dimana angka kematian dan angka kelahiran bisa berubahubah sesuai dengan musim tertentu. Dan juga perbedaan musim ini bisa menyebabkan daya dukung lingkungannya berbeda-beda juga. Sehingga menyebabkan populasi tersebut mengalami fluktuasi. Banyak populasi binatang yang mengalami fluktuasi secara musiman dengan penurunan populasi pada musim dingin, titik rendah pada musim semi, kenaikan pada musim panas dan titik yang tinggi pada musim gugur. Misalnya saja populasi burung puyuh
Model (3.1) dan (3.2) menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tanpa adanya pemanenan. Artinya, tidak ada pengaruh dari luar (seperti perburuan, pemancingan, dll) yang mempengaruhi laju perubahan populasi tersebut. Model (3.3) menggambarkan fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Ada beberapa spesies hewan yang biasanya mengalami proses kelahiran dan masa kawin setiap satu tahun sekali, sehingga ukuran populasi hewan tersebut dihitung setiap satu tahun sekali. Oleh karena itu, model ini merupakan model yang sesuai untuk memprediksikan fenomena perubahan populasi yang dihitung secara tahunan. 4.1 Pencarian Solusi A. Mencari Solusi Persamaan (3.1) Solusi dari sistem (3.1) adalah sebagai berikut: Kx0 e rt . x (t ) = K + x0 ( e rt − 1)
[Uraian lebih lengkap lampiran 1].
dapat
dilihat
di
B. Mencari Solusi Persamaan (3.2) Persamaan (3.2) merupakan persamaan logistik tak otonom yang berarti fungsi r dan K tergantung pada waktu. Model (3.2) merupakan salah satu model yang sulit diselesaikan secara eksplisit. Oleh karena itu, untuk mendapatkan solusi dari sistem (3.2) diperlukan adanya suatu metode yaitu dengan menggunakan metode perkiraan. Solusi yang akan diperoleh dari persamaan ini yaitu dalam bentuk diskret. Model (3.2) merupakan tipe-Bernoulli dan persamaan ini dapat diselesaikan jika r dan K adalah kontinu sepotong-sepotong (piecewise continuous) pada R+ = [ 0, ∞ ) yang setiap bagiannya merupakan fungsi konstan. (Hallam and Levin, 1986). Berdasarkan definisi kontinu sepotong-sepotong (Rice and Strange, 1994), maka kita dapat membagi interval [ 0, ∞ ) ke dalam sejumlah hingga subinterval terbuka c < t < d , sehingga fungsi r dan fungsi K kontinu pada tiap subinterval dan fungsi r dan K mempunyai limit hingga
15
buktikan adalah r dan K kontinu pada tiap subinterval terbuka diatas. 1) Untuk interval 0 ≤ t < h ⎛ t ⎞ .h ⎟ = r ( 0.h ) = r ( 0 ) r⎜ h ⎝ ⎠
ketika t mendekati tiap-tiap titik ujung dari interval tersebut, sehingga lim+ r ( t ) dan lim− r ( t ) ada. t →c
t →d
lim K ( t ) dan lim− K ( t ) ada.
t →c +
t →d
Untuk mencari solusi sistem (3.2), fungsi r dan fungsi K didekati dengan fungsi bilangan bulat terbesar, yang merupakan fungsi kontinu sepotong-sepotong. Sehingga t pada t , fungsi r dan K kita ganti menjadi h dengan h > 0 yang menunjukkan ukuran langkah.
⎛ t ⎞ lim+ r ⎜ .h ⎟ = r ( 0.h ) = r ( 0 ) t →0 ⎝ h ⎠ ⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r ( 0.h ) = r ( 0 ) ⎝ h ⎠
t → h−
⎛ t ⎞ .h ⎟ = r ( 0 ) ∴ lim+ r ⎜ t →0 ⎝ h ⎠ ⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r ( 0 ) . h ⎝ ⎠ 2) Untuk interval h ≤ t < 2h ⎛ t ⎞ r⎜ .h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) h ⎝ ⎠
Persamaan (3.2) menjadi ⎛ ⎞ ⎛ t ⎞ r⎜ h ⎟ x (t ) ⎟ ⎜ h ⎛ ⎞ dx t ⎠ ⎟, = x (t ) ⎜ r ⎜ h − ⎝ ⎜ ⎝ h ⎟⎠ dt ⎛ t ⎞ ⎟ K⎜ h⎟ ⎟ ⎜ ⎝ h ⎠ ⎠ ⎝ τ t ∈ ⎡⎣ nh, ( n + 1) h ) , n ∈ Ζ 0 + , n ≠ k h
t → h−
⎛ t ⎞ lim+ r ⎜ .h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) t →h ⎝ h ⎠
(4.1)
t h
⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) ⎝ h ⎠
t → 2 h−
merupakan bilangan bulat terbesar yang
⎛ t ⎞ .h ⎟ = r ( h ) ∴ lim+ r ⎜ t →h ⎝ h ⎠
t kurang dari atau sama dengan . Artinya, h t t = n ↔ n ≤ < n +1 h h
⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r ( h ) . ⎝ h ⎠ dan seterusnya untuk interval-interval berikutnya. Begitu pula pada fungsi K , kita buktikan bahwa fungsi K kontinu pada tiap subinterval. 1) Untuk interval 0 ≤ t < h ⎛ t ⎞ .h ⎟ = K ( 0.h ) = K ( 0 ) K⎜ ⎝ h ⎠ t → 2 h−
nh ≤ t < ( n + 1) h. Jadi, t berada pada interval ⎡⎣ nh, ( n + 1) h ) dengan n ∈ Ζ 0 + . Jika kita uraikan, maka diperoleh beberapa subinterval: ⎧0 ;0 ≤ t < h ⎪1 ; h ≤ t < 2h ⎪⎪ t = n = ⎨2 ; 2h ≤ t < 3h . h ⎪3 ;3h ≤ t < 4h ⎪ ⎪⎩M
⎛ t ⎞ lim+ K ⎜ .h ⎟ = K ( 0.h ) = K ( 0 ) t →0 ⎝ h ⎠ ⎛ t ⎞ lim K ⎜ .h ⎟ = K ( 0.h ) = K ( 0 ) . ⎝ h ⎠ 2) Untuk interval h ≤ t < 2h ⎛ t ⎞ .h ⎟ = K (1.h ) = K ( h ) K⎜ h ⎝ ⎠ t → h−
Lemma. Fungsi r dan K yang didefinisikan seperti diatas adalah fungsi yang kontinu sepotong-sepotong.
⎛ t ⎞ lim K ⎜ .h ⎟ = K (1.h ) = K ( h ) h ⎝ ⎠
t → h+
Bukti: Untuk membuktikan bahwa dengan menggunakan fungsi bilangan bulat terbesar pada fungsi r dan K , akan kita dapatkan fungsi r dan K yang kontinu sepotongsepotong, maka pertama kali yang harus kita
⎛ t ⎞ lim K ⎜ .h ⎟ = K (1.h ) = K ( h ) , h ⎝ ⎠ dan seterusnya untuk interval-interval berikutnya. Jadi, terbukti bahwa fungsi r dan fungsi K kontinu pada tiap-tiap subinterval. t → 2 h−
16
C. Mencari Solusi Persamaan (3.3) Begitu pula untuk persamaan (3.3), kita pilih fungsi x adalah fungsi bilangan bulat terbesar, sehingga τ k pada fungsi x kita
Selanjutnya, kita buktikan bahwa lim+ r ( t ) dan lim− r ( t ) ada. t →c
t →d
t →c
t →d
lim+ K ( t ) dan lim− K ( t ) ada.
1) Untuk interval 0 ≤ t < h
ganti menjadi
⎛ t ⎞ lim r ⎜ h ⎟ = r (0) t → 0+ ⎝ h ⎠
τk
⎛ t ⎞ h ⎟ = r (0) lim r ⎜ t → h− ⎝ h ⎠
h
h Jadi,
⎛ t ⎞ h ⎟ = K ( h) , lim K ⎜ ⎝ h ⎠ dan seterusnya untuk interval–interval berikutnya dapat kita buktikan bahwa nilai limit kiri dan limit kanannya ada. t → 2 h−
Untuk menyederhanakan penulisan, maka kita tulis: r (n) 2 dx = r ( n) x (t ) − x ( t ) , t ∈ ⎡⎣ nh, ( n + 1) h ) . dt K (n)
lengkap
dapat
τk
berada
pada
interval
Dinotasikan x ( mk ) = x ( mk h ) , sehingga solusi dari sistem (3.3) adalah sebagai berikut: x ( mk + 1) = x ( mk ) + I k ( x ( mk ) ) . (4.5)
Sehingga solusi dari persamaan (3.22) adalah sebagai berikut:
[Uraian lebih lampiran 2].
< mk + 1
x ( ( mk + 1) h ) = x ( mk h ) + I k ( x ( mk h ) ) .
(4.2) dengan, r ( n ) = r ( nh ) dan K ( n ) = K ( nh ) .
K (n)
h
sehingga diperoleh, ⎛⎛ τ ⎞ ⎞ ⎛ τ ⎞ ⎛ τ ⎞ x ⎜⎜ k +1⎟ h⎟ = x⎜ k h⎟ + Ik x⎜ k h⎟ , k = 1,2,... ⎠ ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝⎝ h (4.4) τk Karena = mk , maka h
⎡ r ( nh ) x ( t ) ⎤ dx = x ( t ) ⎢ r ( nh ) − ⎥. dt K ( nh ) ⎦⎥ ⎣⎢
− 1⎤⎦
τk
x (τ k + 1) − x (τ k ) = I k ( x (τ k ) ) .
diperoleh
x (n)
= mk ⇔ mk ≤
Dari persamaan (3.3) ∆x ( t ) = I k ( x ( t ) ) , t = τ k , k = 1, 2,...
t = n , maka dari persamaan (4.1) h
x ( n ) ⎡⎣e
.
⎡⎣ hmk , ( mk + 1) h ) , dengan mk ∈ Ζ . Jika kita uraikan, maka diperoleh ⎧1 ; h ≤ τ k < 2h ⎪ τk ⎪2 ; 2h ≤ τ k < 3h = mk = ⎨ h ⎪3 ;3h ≤ τ k < 4h ⎪⎩ M
⎛ t ⎞ lim K ⎜ h ⎟ = K (h) ⎝ h ⎠
r ( n)h
h
+
t → h+
e
τk
hmk ≤ τ k < ( mk + 1) h.
⎛ t ⎞ lim r ⎜ h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) ⎝ h ⎠
x ( n + 1) =
merupakan bilangan bulat terbesar yang
τk
⎞ h ⎟ = K (0). ⎠ h ≤ t < 2h ⎞ h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) ⎠
r ( n)h
= mk , k = 1, 2,...
Artinya,
t → 2 h−
Karena
h
kurang dari atau sama dengan
⎛ t ⎞ lim K ⎜ h ⎟ = K (0) t → 0+ ⎝ h ⎠ ⎛ t lim K ⎜ t → h− ⎝ h 2) Untuk interval ⎛ t lim r ⎜ t → h+ ⎝ h
τk
4.2 Penentuan titik tetap Titik tetap pada persamaan (3.1) dapat diperoleh dengan menentukan persamaan dx = 0 , sehingga dari persamaan (3.1) dt diperoleh: x⎞ ⎛ rx ⎜1 − ⎟ = 0 ⎝ K⎠
. +1 (4.3) dilihat di
17
2). Dengan cara pelinearan Kestabilan titik tetap pada sistem (3.1) dapat juga ditentukan dengan cara pelinearan. Dari persamaan (3.1), x⎞ ⎛ f ( x ) = rx ⎜1 − ⎟ , dengan titik tetap x∗ = 0 ⎝ K⎠ 2rx . dan x∗ = K . Maka, f ′ ( x ) = r − K • Untuk titik tetap x∗ = 0 ⇒ f ′ ( 0 ) = r .
x =0 K x = 0 atau x = K (4.6) Berdasarkan persamaan (4.6) maka diperoleh 2 titik tetap untuk persamaan (3.1) yaitu x∗ = 0 atau x∗ = K . rx = 0 atau 1 −
4.3 Analisis Kestabilan 4.3.1 Analisis kestabilan titik tetap pada sistem (3.1) 1). Dengan menggunakan gambar Untuk menentukan kestabilan dari titik tetap diatas, kita gambar persamaan (3.1) ke dalam suatu bidang vektor dan arah aliran dari gambar akan kita peroleh jika kita memisalkan x& > 0 dan x& < 0 . * Jika x& > 0 x⎞ ⎛ rx ⎜1 − ⎟ > 0 K ⎝ ⎠ x rx > 0 atau 1 − > 0 K x > 0 atau x
K
•
tetap
Oleh karena itu, x∗ = 0 merupakan titik tetap tidak stabil, karena f ′ ( x ∗ ) > 0 . Dan x∗ = K merupakan f ′ ( x∗ ) < 0 .
titik
tetap
stabil,
karena
Berdasarkan dari 2 cara diatas, dapat disimpulkan bahwa titik tetap x∗ = 0 merupakan titik tetap tidak stabil. Titik tetap x∗ = 0 mempunyai arti bahwa pada titik tersebut tidak ada individu yang bereproduksi (laju perubahannya nol), sehingga populasi akan tumbuh dan akan menjauhi titik tersebut. Titik tetap x∗ = K merupakan titik tetap stabil, artinya jumlah populasi akan selalu mendekati titik tersebut yaitu mendekati daya dukung lingkungan. 4.3.2 Analisis kestabilan solusi pada sistem (3.1) Solusi yang telah diperoleh pada model (3.1) merupakan solusi yang stabil. Hal ini bisa ditunjukkan sebagai berikut: Kx0 ert Kx0 lim x ( t ) = lim = lim rt t →∞ t →∞ t →∞ K x K + x0 ( e − 1) + x0 − rt0 rt e e Kx0 = = K. x K + x0 − 0 ∞ ∞ x (t ) → K Karena (menuju solusi
x&
x
0
Untuk titik x∗ = K ⇒ f ′ ( K ) = −r .
K
Grafik 1 Bidang fase dari persamaan logistik.
keseimbangan yang stabil) ketika t → ∞ , maka solusi x ( t ) adalah stabil.
Arah aliran ke kanan jika x& > 0 dan arah aliran ke kiri jika x& < 0 . Jadi, titik tetap x∗ = 0 merupakan titik tetap tidak stabil, karena arahnya menjauhi titik tersebut. Dan titik tetap x∗ = K merupakan titik tetap stabil karena arahnya menuju titik tersebut. Titik tetap stabil digambarkan dengan bulatan penuh dan titik tetap tidak stabil digambarkan dengan bulatan tidak penuh.
4.3.3 Analisis kestabilan solusi dari sistem (3.2) dan (3.3) Kestabilan dari solusi diskret yang telah diperoleh pada sistem (3.2) dan (3.3) merupakan stabil asimtotik . Hal ini dapat ditunjukkan oleh teorema berikut: Teorema 1. Misalkan syarat berikut terpenuhi:
18
r ( n ) ≥ 0, n ∈ Ζ 0 + , R = sup r ( n ) < ∞ , 0 < K * ≤ inf K (n ), n∈Ζ 0
3) Untuk kasus x0 < K misalkan x0 = 500 , r0 = 0.1, K = 1000
n∈Ζ 0
sup K (n ) < ∞ ,
dx ⎡ 500 ⎤ = 0.1( 500 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ = 25
n∈Ζ 0
I k (x(m k )) = cx(m k ) dengan c > 0. Maka untuk h > 0 memenuhi pertidaksamaan h ≤ ln (1 + c ) / R dan suatu
x (1) = 500 + 25 = 525
solusi x (n ) dari (4.4) yang sesuai untuk x(0 ) > 0 memenuhi pertidaksamaan
Dengan menggunakan program Scilab:
−r( n−j) h
⎛ j−1 ⎞ 1 1 ⎛ n−1 ⎞ n 1−e exp⎜−∑r( n−l) h ≤ exp⎜−∑r( i) h⎟+∑ x( n) x( 0) ⎝ i=0 K n − j ( ) ⎠ j=1 ⎝ l=1 ⎠ (4.7) Bukti: Lihat di lampiran 3
--> function xdot=f(t,x) --> xdot=r*x*(1-x/K); --> endfunction --> t=0:110; --> r=0.1; --> K=1000; --> x=ode (500,0.0,t,f); --> xbasc();plot2d(t,x)
Teorema 2. Misalkan semua asumsi dari Teorema 1 terpenuhi dan misalkan terdapat suatu bilangan L > 0 sehingga ⎫ 1⎧ + ⎨ ∑ r ( n − j ) ⎬ = L, m ∈ Ζ , m ⎩ j =1 ⎭ pada n ∈ Ζ. m
lim
m →∞
Diperoleh grafik sebagai berikut:
seragam
(4.8) Maka solusi x (n ) dari sistem (4.4) menuju ke
x∗ ( n )
ketika
n→∞,
dimana
x∗ ( n )
diberikan sebagai berikut ⎡ ∞ 1 − e− r ( n− j )h ⎛ j −1 ⎞⎤ x∗ ( n ) = ⎢ ∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ⎥ ⎝ l =1 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ j =1 K ( n − j )
−1
sehingga x ( n ) − x∗ ( n ) → 0 ketika n → ∞ .
Grafik 2 Dinamika populasi x ( t ) terhadap t
Bukti: Lihat di lampiran 3
dengan x0 = 500 .
4.4 Contoh Kasus
Berdasarkan grafik diatas dapat kita lihat bahwa ketika x0 < K , jumlah populasi x ( t )
4.4.1 Contoh Kasus pada Model (3.1) Untuk x0 = 0, x0 = K , x0 < K , x0 > K .
akan terus meningkat menuju daya dukung lingkungannya. Tetapi, nilai x ( t ) tidak akan
1) Misalkan r = 0.1, x0 = 0 dan K = 1000 dx 0 ⎤ ⎡ = 0.1( 0 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ =0
melebihi daya dukung lingkungannya. 4) Untuk kasus populasi awal lebih besar dari daya dukung lingkungan ( x0 > K ), misalkan x0 = 1100
2) Misalkan r = 0.1, x0 = 1000 dan K = 1000 dx ⎡ 1000 ⎤ = 0.1(1000 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ =0 Artinya bahwa, jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan (laju perubahan populasi sama dengan nol). Begitu pula jika populasi awalnya x0 = K , maka populasi akan tetap konstan.
dx ⎡ 1100 ⎤ = 0.1(1100 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ = −11 x (1) = 1100 − 11 = 1089. Dari contoh 4 ini dapat kita lihat bahwa jika x0 > K , maka laju perubahannya menjadi negatif sehingga semakin lama populasi akan
19
Tabel 1 Nilai x ( t ) dengan x0 = 5000 untuk
menurun dan akan menuju daya dukung lingkungannya. Hal ini dapat kita lihat pada grafik berikut:
t = 0 sampai dengan t = 10
Dengan menggunakan program scilab: --> function xdot=f(t,x) --> xdot=r*x*(1-x/K); --> endfunction --> t=0:50; --> r=0.1; --> K=1000; --> x=ode (1100,0.0,t,f); --> xbasc();plot2d(t,x) Diperoleh grafik sebagai berikut:
t
r (t )
K (t )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
5000 5010 5020 5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100
dx dt
x (t )
0 1.99 7.1828 12.4428 14.6631 13.6987 11.9987 11.1971 10.8769 10.707 10.4952
5000 5001.99 5009.1728 5021.6156 5036.2787 5049.9774 5061.9761 5073.1732 5084.0501 5094.7571 5105.2523
3) Misalkan r ( t ) = 0.2t , K ( t ) = 10t + 5000, x0 = 10000. Tabel 2 Nilai x ( t ) dengan x0 = 10000 untuk t = 0 sampai dengan t = 10
t
r (t )
K (t )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
5000 5010 5020 5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100
x (t )
dx dt
Grafik 3 Dinamika populasi x ( t ) terhadap
t dengan x0 = 1100 . 4.4.2 Contoh Kasus pada Model (3.2) 1) Misalkan r ( t ) = 0.2t , K ( t ) = 10t + 5000, x0 = 0.
x (t ) ⎤ ⎡ dx = ( 0.2t ) x ( t ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 10t + 5000 ⎦ 0 ⎤ ⎡ = ( 0.2 ( 0 ) ) ( 0 ) ⎢1 − ⎥ 5000 ⎣ ⎦ =0 Ini artinya bahwa jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan (laju perubahan populasi sama dengan nol). Jika populasi awalnya x0 = K ( 0 ) , maka populasi
0 -1992 -1916.7948 -779.8136 -237.8987 -33.9594 12.2407 11.1263 10.958 10.5882 10.5969
10000 8008 6101.455 5321.642 5083.743 5049.784 5062.024 5073.151 5084.109 5094.697 5105.294
4) Solusi yang telah diperoleh pada model (3.2) adalah sebagai berikut: x ( ( n + 1) h ) =
akan tetap konstan.
e
r ( nh ) h
x ( nh ) ⎡⎣e
x ( nh )
r ( nh ) h
K ( nh )
2) Misalkan r ( t ) = 0.2t , K ( t ) = 10t + 5000, x0 = 5000.
− 1⎤⎦
. +1
A. Misalkan t ∈ [ 0,10] ⇒ h =
subinterval), maka
20
10 − 0 = 1 (dengan 10 10
3 4 5 6 7 8 9 10
⎧0;0 ≤ t < 1 ⎪1; 1 ≤ t < 2 ⎪ ⎪2; 2 ≤ t < 3 ⎪ ⎪3;3 ≤ t < 4 ⎪4; 4 ≤ t < 5 ⎪ t = n = ⎨5;5 ≤ t < 6 1 ⎪6;6 ≤ t < 7 ⎪ ⎪7;7 ≤ t < 8 ⎪ ⎪8;8 ≤ t < 9 ⎪9;9 ≤ t < 10 ⎪ ⎩10;10 ≤ t < 11
melebihi nilai K ( n ) untuk masing-masing nilai n . Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungannya.
r (1) = 0.2
t = 2 ⇒ r ( 2 ) = 0.4
r ( 2 ) = 0.4
1 ⎛1⎞ t = ⇒ r ⎜ ⎟ = 0.1 2 ⎝2⎠
r ( 0) = 0
1 ⎛ 1⎞ t = 2 ⇒ r ⎜ 2 ⎟ = 0.5 2 ⎝ 2⎠ M
r ( 2 ) = 0.4
5120 5100 5080 x(n+1)
t = 1 ⇒ r (1) = 0.2
⇔
K (1) = 5010
t = 2 ⇒ K ( 2 ) = 5020
K ( 2 ) = 5020
1 ⎛1⎞ t = ⇒ K ⎜ ⎟ = 5005 2 ⎝2⎠
K ( 0 ) = 5000
1 ⎛ 1⎞ t = 2 ⇒ K ⎜ 2 ⎟ = 5025 2 ⎝ 2⎠ M
K ( 2 ) = 5020
x(n+1) 5040
5000
K ( 0 ) = 5000
t = 1 ⇒ K (1) = 5010
5060
5020
b) Misalkan K ( t ) = 10t + 5000 ⇔ K ( nh) = 10n + 5000 (h = 1) t = 0 ⇒ K ( 0 ) = 5000
4980 0
d) Misalkan r ( nh ) = 0.2n, K ( n ) = 10n + 5000, x0 = 10000. Tabel 4 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 10000 untuk n = 0 sampai dengan n = 10
Tabel 3 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 5000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
untuk n = 0 sampai dengan n = 10
0 1 2
0 0.2 0.4
x ( n + 1)
5000 5010 5020
5000 5001.87 5007.7925
15
x ( 0 ) = 5000.
n
K (n)
10
Grafik 4 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk
dan x0 = 5000.
r ( n)
5 n
c) Misalkan r ( nh) = r ( n) = 0.2n, K ( nh) = K ( n) = 10n + 5000
n
5017.788 5029.9951 5042.6221 5054.7533 5066.2316 5077.2142 5087.882 5098.3567
x ( n + 1) untuk masing-masing nilai n tidak
r ( 0) = 0
⇔
5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa, dengan bertambahnya nilai n , maka nilai x ( n + 1) semakin meningkat. Tetapi, nilai
a) Misalkan r ( t ) = 0.2t ⇔ r ( nh ) = r ( n ) = 0.2n (h = 1) t = 0 ⇒ r ( 0) = 0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
21
r ( n) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
K (n)
x ( n + 1)
5000 5010 5020 5030 5040 5050 5060 5070 5080
10000 8470.6601 6905.7135 5910.8941 5397.3175 5172.4472 5093.3505 5075.7384 5079.139
9 10
1.8 2
5090 5100
r ( t ) = 0.2t
5088.2015 5098.4001
Dari tabel 4 diatas dapat kita lihat bahwa pada n = 7 nilai x ( n + 1) saat n = 0 sampai mengalami penurunan dan setelah n = 7 , nilai x ( n + 1) mengalami kenaikan. Hal ini berarti
10000
x(n+1)
8000 6000
r (0) = 0
t = 1 ⇒ r (1) = 0.2
r (1) = 0.2
t = 2 ⇒ r ( 2 ) = 0.4
r ( 2 ) = 0.4
1 ⎛1⎞ ⇒ r ⎜ ⎟ = 0.1 2 ⎝2⎠
r ( 0.5 ) = 0.1
1 ⎛ 1⎞ t = 2 ⇒ r ⎜ 2 ⎟ = 0.5 2 ⎝ 2⎠
r ( 2.5 ) = 0.5
b) Misalkan K ( t ) = 10t + 5000
12000
x(n+1)
4000
(h = 0.5)
t = 0 ⇒ r ( 0) = 0
t=
bahwa, populasi mengalami fluktuasi dan ketika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungannya, maka populasi akan menurun mendekati daya dukung lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya.
⇔ r ( nh ) = 0.2nh
⇔ K ( nh) = 10nh + 5000
t = 0 ⇒ K ( 0) = 5000
K ( 0) = 5000
t = 1 ⇒ K (1) = 5010
K (1) = 5010
t = 2 ⇒ K ( 2) = 5020
K ( 2) = 5020
t = 0.5 ⇒ K ( 0.5) = 5005
K ( 0.5) = 5005
t = 2.5 ⇒ K ( 2.5) = 5025
K ( 2.5) = 5025
c) Misalkan r ( nh ) = 0.2nh, K ( nh ) = 10nh + 5000, x0 = 5000
2000
h = 0.5 ⇒ r ( 0.5n ) = 0.1n
0 0
5
10
15
K ( 0.5n ) = 5n + 5000
n
Grafik 5 Hubungan n dan x ( n + 1) dengan
Tabel 5 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 5000
x ( 0 ) = 10000.
dan h = 0.5 untuk n = 0 sampai dengan n = 20
B. Misalkan h = 0.5 ⇒ t ∈ ⎡⎣ 0.5n, ( n + 1) 0.5 ) Maka, ⎧0;0 ≤ t < 0.5 ⎪1;0.5 ≤ t < 1 ⎪ ⎪2; 1 ≤ t < 1.5 ⎪ ⎪3;1.5 ≤ t < 2 ⎪4; 2 ≤ t < 2.5 ⎪ t = n ⎨5; 2.5 ≤ t < 3 0.5 ⎪6;3 ≤ t < 3.5 ⎪ ⎪7;3.5 ≤ t < 4 ⎪ ⎪8; 4 ≤ t < 4.5 ⎪9; 4.5 ≤ t < 5 ⎪ ⎩10;5 ≤ t < 5.5
a) Misalkan
22
n
r ( 0.5n )
K ( 0.5n )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
5000 5005 5010 5015 5020 5025 5030 5035 5040 5045 5050 5055 5060 5065 5070 5075 5080 5085
x ( ( n + 1) h )
5000 5000.2439 5001.1707 5003.0924 5006.1488 5010.3065 5015.3959 5021.1693 5027.3618 5033.7391 5040.1247 5046.407 5052.5309 5058.4829 5064.2742 5069.9278 5075.4693 5080.9221
18 19 20
1.8 1.9 2
5090 5095 5100
5086.3053 5091.6339 5096.919
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa, dengan bertambahnya nilai n , maka nilai x ( n + 1) semakin meningkat. Tetapi, nilai
x ( n + 1) untuk masing-masing nilai n tidak melebihi nilai K ( n ) untuk masing-masing nilai n . Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungannya.
5045 5050 5055 5060 5065 5070 5075 5080 5085 5090 5095 5100
5315.7683 5207.9264 5142.1159 5104.7386 5085.6679 5077.7684 5076.3073 5078.3401 5082.1513 5086.806 5091.8279 5096.9906
Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa pada saat n = 0 sampai n = 15 nilai x ( n + 1)
5120
mengalami penurunan dan setelah n = 15 , nilai x ( n + 1) mengalami kenaikan. Hal ini
5100 5080 x(n+1)
0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
berarti bahwa, populasi mengalami fluktuasi dan ketika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungannya, maka populasi akan menurun mendekati daya dukung lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya.
5060 x(n+1) 5040 5020 5000 4980
12000
0
5
10
15
20
25
n
10000
Grafik 6 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk
8000 x(n+1)
x ( 0 ) = 5000. d) Misalkan
x(n+1)
6000 4000
r ( nh ) = 0.2nh, K ( nh ) = 10nh + 5000, x0 = 10000
2000
h = 0.5 ⇒ r ( 0.5n ) = 0.1n
0
K ( 0.5n ) = 5n + 5000
0
5
10
15
20
25
n
Tabel 6 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 10000
Grafik 7 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk
dan h = 0.5 untuk n = 0 sampai dengan n = 20
n
r ( 0.5n )
K ( 0.5n )
x ( ( n + 1) h )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
5000 5005 5010 5015 5020 5025 5030 5035 5040
10000 9535.8598 8780.9884 7949.4689 7189.0058 6563.7497 6083.0105 5730.7541 5483.0093
x ( 0 ) = 10000.
4.4.3 Contoh Kasus pada Model (3.3) 10 − 0 Misalkan τ k ∈ [ 0,10] ⇒ h = =1 10 (dengan 10 subinterval), maka ⎧0; 0 ≤ τ k < 1 ⎪1;1 ≤ τ < 2 k ⎪ ⎪⎪2; 2 ≤ τ k < 3 mk = ⎨ ⎪3;3 ≤ τ k < 4 ⎪M ⎪ ⎪⎩10;10 ≤ τ k < 11
23
a.
x ( 0 ) = 500
dengan tingkat pertumbuhan 1% per
Misalkan I k ( x ( mk ) ) = 0.04 x ( mk ) , x ( 0 ) = 500.
tahun
x (1) = 1.04 x ( 0 ) = 1.04 ( 500 ) = 520
Misalkan
populasi
awal
( I ( x ( m ) ) = 0.01x ( m ) ) , k
k
k
b.
maka
x ( 2 ) = 1.04 x (1) = 1.04 ( 520 ) = 540.8
jumlah populasi yang akan datang dapat diprediksikan sebagai berikut: x ( mk + 1) − x ( mk ) = 0.01x ( mk )
x ( 3) = 562.432 x ( 4 ) = 584.93
x ( mk + 1) = 1.01x ( mk ) .
x ( 5 ) = 608.33
x (1) = 1.01x ( 0 ) = 1.01( 500 ) = 505
x ( 6 ) = 632.66
x ( 2 ) = 1.01x (1) = 1.01( 505 ) = 510.05
x ( 7 ) = 657.97
x ( 3) = 515.15
x ( 8 ) = 684.29
x ( 4 ) = 520.3
x ( 9 ) = 711.66
x ( 5 ) = 525.5
x (10 ) = 740.13
x ( 6 ) = 530.75 x ( 7 ) = 536.06
Dari dua data diatas dapat kita lihat bahwa populasi akan bertambah dari waktu ke waktu.
x ( 8 ) = 541.42 x ( 9 ) = 546.83 x (10 ) = 552.29
V. SIMPULAN semakin menurun dan menuju daya dukung lingkungan. Begitu pula pada model (3.2), ketika populasi awal nol dan populasi awal sama dengan daya dukung lingkungan awal maka populasi tetap konstan. Ketika populasi awal kurang dari daya dukung lingkungan awal, maka populasi akan meningkat. Tetapi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungan. Dan ketika populasi awal lebih dari daya dukung lingkungan awal, maka populasi akan menurun dan pada waktu tertentu populasi akan meningkat. Berdasarkan analisis kestabilan solusi pada model (3.2) dan (3.3), maka disimpulkan bahwa solusi yang telah diperoleh merupakan solusi yang stabil asimtotik. Hal ini berarti bahwa ketika waktu menuju tak hingga, maka populasi akan menuju nol.
Pada persamaan logistik (3.1), ada 2 titik tetap yang diperoleh. Tetapi hanya satu titik tetap yang stabil yaitu pada saat jumlah populasi sama dengan daya dukung lingkungannya. Hal ini berarti bahwa populasi akan selalu menuju daya dukung lingkungannya. Sedangkan pada persamaan logistik tak otonom, tidak diperoleh titik tetap. Berdasarkan contoh kasus yang telah diperoleh pada model (3.1), ketika populasi awalnya sama dengan nol dan populasi awalnya sama dengan daya dukung lingkungannya, maka populasi akan tetap konstan. Ketika populasi awalnya kurang dari daya dukung lingkungannya, maka populasi akan meningkat menuju daya dukung lingkungan. Dan ketika populasi awalnya lebih dari daya dukung lingkungannya, maka populasi akan
24
DAFTAR PUSTAKA Purcell, J and D.Varberg . 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Erlangga, Jakarta. Rice, J and D. J. Strange. 1994. Ordinary Differential Equations with Applications Third Edition. Brooks /Cole Publishing Company, California.
Akca, H; E. A Al-Zahrani and V. Covachev. 2005. Asymptotic Behavior of Discrete Solutions To Impulsive Logistic Equations. Electronic Journal of Differential Equations. Conference 12. pp 1-8. Farlow, J. 1994. An Introduction To Differential Equations and Their Applications. McGraw-Hill, New York.
Strogatz, H. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Addison-Wesley, Reading Massachussetts Menlo Park, California.
Goldberg, R. 1976. Methods of Real Analysis. John Wiley & Sons, New York.
Sladen, B. K and F. B. Bang. 1969. Biology of Populations. American Elsevier Publishing Company, New York.
Grimshow, R. 1990. Nonlinear Ordinary Differential Equations. Blackwell Scientific, Oxford.
TU, P. N. V. 1994. Dynamical System An Introduction with Application in Economics and Biology. SpringerVerlag, Hiedelberg, Germany.
Hallam, G and S. A. Levin . 1986. Mathematical Ecology An Introduction. Springer-Verlag, Berlin.
25
LAMPIRAN
26
Lampiran 1. Mencari Solusi Sistem (3.1) Persamaan diferensial (3.1) merupakan persamaan diferensial terpisahkan sehingga solusinya dapat diperoleh dengan tekhnik variabel terpisahkan: dx x⎞ ⎛ = rx ⎜1 − ⎟ dt ⎝ K⎠ dx = r dt x⎞ ⎛ x ⎜1 − ⎟ ⎝ K⎠ Dengan mengintegralkan persamaan diatas diperoleh: dx ∫ ⎛ x ⎞ = ∫ r dt x ⎜1 − ⎟ ⎝ K⎠ Ruas kiri dapat dijabarkan menjadi pecahan parsial sebagai berikut: 1
=
K x ( K − x)
x⎞ ⎛ x ⎜1 − ⎟ ⎝ K⎠ K A B = + x ( K − x) x K − x K A( K − x) + Bx = x( K − x) x ( K − x) K = AK + x ( B − A ) A =1
B =1
Jadi,
∫
dx
= r dt x⎞ ∫ ⎛ x ⎜1 − ⎟ ⎝ K⎠ 1 ⎞ ⎛1 ∫ ⎜⎝ x + K − x ⎟⎠dx = ∫ r dt ln x − ln K − x = rt + C
ln
x = rt + C K−x
x = Ce rt K−x
Karena
x positif, maka dapat ditulis K−x
x = Cert K−x x = Ce rt ( K − x ) x = KCe rt − xCe rt KCe rt x (t ) = 1 + Ce rt
Jika t = 0 , maka x ( 0 ) =
KCe0 KC . = 0 1+ C 1 + Ce
27
Jika x ( 0 ) = x0 , dengan x0 adalah populasi awal, maka diperoleh C = Dengan mensubstitusi C =
x0 K − x0
x0 ke dalam persamaan x ( t ) , maka diperoleh K − x0
x (t ) =
Kx0 ert
K + x0 ( e rt − 1)
.
Lampiran 2. Mencari solusi sistem (3.2) dx r (n ) 2 x (s ) = r (n )x(s ) − ds K (n ) ⎡ dx x 2 (s ) ⎤ = r (n )⎢ x(s ) − ⎥ ds K (n ) ⎥⎦ ⎢⎣ Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial terpisahkan sehingga kita dapat memisahkan variable-variabel yang sejenis. dx = r ( n ) ds x2 ( s ) x (s) − K (n) x (t )
t
dx
∫
= ∫ r ( n ) ds
⎡ x ( s ) ⎤ nh x ( s ) ⎢1 − K ( n ) ⎥⎦ ⎣ Ruas kiri dapat dijabarkan menjadi pecahan parsial sebagai berikut: x ( nh )
1
=
K (n ) ⇔ x(s )[K (n ) − x(s )]
⎡ x(s ) ⎤ x(s )⎢1 − ⎥ ⎣ K (n ) ⎦ K (n ) A B = + x(s )[K (n ) − x(s )] x(s ) K (n ) − x(s ) K (n ) A[K (n ) − x(s )] + Bx(s ) = x(s )[K (n ) − x(s )] x(s )[K (n ) − x(s )] K (n ) = A[K (n ) − x(s )] + Bx(s )
K (n ) = AK (n ) − Ax(s ) + Bx(s ) K (n ) = AK (n ) + x(s )[B − A] AK (n ) = K (n ) B− A=0 A =1 B =1 K (n ) 1 1 = + x(s )[K (n ) − x(t )] x(s ) K (n ) − x(s )
Jadi, x (t )
∫
x ( nh )
dx ⎡ x (s) ⎤ x ( s ) ⎢1 − ⎥ ⎣ K (n) ⎦
t
= ∫ r ( n ) ds nh
t ⎡ 1 ⎤ 1 dx + = ⎢ ⎥ ∫ x ( s ) K ( n ) − x ( s ) ⎥ nh∫ r ( n ) ds x ( nh ) ⎢ ⎣ ⎦ x (t )
28
ln x ( s ) − ln ⎡⎣ K ( n ) − x ( s ) ⎤⎦
ln
x (s)
x (t )
= r ( n ) s nh t
x ( nh )
x (t )
= r ( n ) s nh t
K (n) − x ( s)
x ( nh )
x(t ) x(nh ) ln − ln = r (n )t − r (n )nh K (n ) − x(t ) K (n ) − x(nh ) ln
x(t ) K (n ) − x(nh ) . = r (n )t − r (n )nh K (n ) − x(t ) x(nh )
Karena
x ( t ) ⎡⎣ K ( n ) − x ( nh ) ⎦⎤
positif, maka ⎡⎣ K ( n ) − x ( t ) ⎤⎦ x ( nh ) x(t )[K (n ) − x(nh )] = e r (n )t − r (n )nh [K (n ) − x(t )]x(nh ) x(t )[K (n ) − x(nh )] e r (n )t = [K (n ) − x(t )]x(nh ) e r (n )nh
e r (n )nh x(t )[K (n ) − x(nh )] = e r (n )t x(nh )[K (n ) − x(t )] e r (n )nh x(t )K (n ) − e r (n )nh x(t )x(nh ) = e r (n )t x(nh )K (n ) − e r (n )t x(nh )x(t ) e r (n )t x(t )x(nh ) − e r (n )nh x(t )x(nh ) = e r (n )t x(nh )K (n ) − e r (n )nh x(t )K (n )
[
]
[
]
x(t )x(nh ) e r (n )t − e r (n )nh = K (n ) e r (n )t x(nh ) − e r (n )nh x(t )
e
r (n )t
r (n )nh
−e K (n )
=
e
r (n )t
r (n )nh
x(nh ) − e x(t )x(nh )
x(t )
( ) ( ) x (t ) e r ( n )t e r ( n ) nh e x ( nh ) e − = − K ( n ) K ( n ) x ( t ) x ( nh ) x ( t ) x ( nh ) r n t
r n nh
(*)
e r ( n )t e r ( n ) nh e r ( n )t e r ( n ) nh − = − K ( n ) K ( n ) x ( t ) x ( nh )
(1)
(2)
Dan untuk t → ( n + 1) h , diperoleh (1)
e r ( n )t − e r ( n ) nh e r ( n )( n +1) h − e r ( n ) nh e r ( n ) nh + r ( n ) h − e r ( n ) nh = = t → ( n +1) h K ( n) K (n) K (n)
(2)
e() e() e ( )( ) e() e() () e() − = − = − t → ( n +1) h x ( t ) x ( nh ) x ( ( n + 1) h ) x ( nh ) x ( ( n + 1) h ) x ( nh )
lim
r n t
r n n +1 h
r n nh
r n nh + r n h
r n nh
lim
Maka, persamaan (*) menjadi r n n h + r (n )h r n nh r n nh + h ) r n nh e ( ) e ( ) e ( )( −e ( ) − = K (n ) x (( n + 1 ) h ) x ( n h ) ( ) e ( ) e = x (( n + 1 ) h ) r n nh + r n h
r (n )n h + r (n )h
K
−e
(n )
r (n )n h
e ( ) x (n h ) r n nh
+
29
r n nh
e r ( n )nh + r ( n )h e r ( n )nh + r ( n )h − e r ( n )nh e r ( n )nh + K (n ) x (nh )
x ((n + 1 )h ) =
e r ( n )nh e r ( n )h x (nh )e r ( n )nh + r ( n )h − x (nh )e r ( n )nh + e r ( n )nh K (n ) K (n )x (nh ) r ( n )nh r ( n )h e e K (n )x (nh ) = r ( n )nh r ( n )h − x (nh )e r ( n )nh + e r (n )nh K (n ) x (nh )e e =
e r ( n )nh e r ( n )h K (n )x (nh ) e r ( n )nh e r ( n )h x (nh ) − x (nh ) + K (n )
=
(
)
e r (n )h K (n)x(nh) = r ( n )h e x(nh) − x(nh) + K (n) = =
e r (n )h K (n )x(nh ) x(nh ) e r (n )h − 1 + K (n )
[
(
]
)
e x(nh ) r ( n )h x(nh ) e −1 +1 K (n ) r ( n )h
[
]
e r (n )h x(nh ) ∴ x((n + 1)h ) = x(nh ) e r (n )h − 1 +1 K (n ) Kita gunakan notasi x(n ) = x(nh ) , maka
[
x(n + 1) =
]
e r (n )h x(n ) x(n ) e r (n )h − 1 +1 K (n )
[
]
(4.3)
Lampiran 3. Pembuktian Teorema Bukti Teorema 1
● Ketika x(n ) > 0 untuk semua n ∈ Ζ 0 + , kita misalkan y (n ) =
y (n) =
1 1 ⇔ y ( n + 1) = x (n) x ( n + 1)
30
1 pada (4.3), dan diperoleh x(n )
y (n + 1) =
1 = x(n + 1)
1
e
r (n )h r (n )h
⎛ e r (n )h − 1 ⎞ ⎟ x(n ) 1+ ⎜ ⎜ K (n ) ⎟ ⎝ ⎠ = e r (n )h x(n )
x(n )
⎛e − 1 ⎞⎟ x(n ) 1+ ⎜ ⎜ K (n ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ e r (n )h − 1 ⎞ ⎞⎛ ⎞ 1 ⎟ ⎟ x(n )⎟⎜ = ⎜1 + ⎜ ⎜ ⎜ K (n ) ⎟ ⎟⎜ e r (n )h x(n ) ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎝ =
=
1
e r (n )h x(n )
1
e r (n )h x(n ) 1
=
(e ( ) − 1)x(n) r nh
K (n )e r (n )h x(n )
e r (n )h − 1
K (n )e r (n )h e r (n )h
+
=
x(n )
r (n )h
−
1
K (n )e K (n )e r (n )h 1 1 1 = r (n )h + − e x(n ) K (n ) K (n )e r (n )h 1 1 1 = + − 1 K (n ) K (n )e r (n )h e r (n )h y (n ) e
r (n )h
+
+
⎛ e − r (n )h 1 ⎜ + − e r (n )h K (n ) ⎜⎝ K (n ) y (n )
= e − r (n )h y (n ) +
1 − e − r (n )h K (n )
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
● Ketika x ( mk ) > 0 untuk semua mk ∈ Ζ0 + , kita misalkan y ( mk ) = y ( mk ) =
1 , maka diperoleh x ( mk )
1 1 ⇔ y ( mk + 1) = x ( mk ) x ( mk + 1)
1 1 1 1 1 = = = = y (m k ) x(m k + 1) x(m k ) + I k (x(m k )) x(m k ) + c(x(m k )) x(m k )[1 + c] 1 + c jadi, diperoleh
y (m k + 1) =
y (n + 1) = e − r (n )h y (n ) +
1 − e − r (n )h , n ∈ Ζ 0 + , n ≠ mk , K (n )
1 y (m k + 1) = y (m k ), k = 1,2,.... 1+ c Dengan menggunakan induksi matematika akan dibuktikan bahwa (4.4) menunjukkan ⎞ ⎛ n −1 ⎞⎪⎫ ⎞ n −1 1 ⎪⎧ ⎛⎜ n −1 ⎛ n −1 y (n ) ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ ⎠ j =0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭
Bukti: 1.Basis induksi. •> Untuk n ≠ mk *) Untuk n = 0
31
(4.4)
(**)
⎞ ⎛ n −1 ⎞⎫⎪ ⎞ n −1 1 ⎪⎧ ⎛⎜ n −1 ⎛ n −1 y (0 ) ≤ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ ⎞ ⎛ −1 y (0 ) ≤ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ⎠ ⎝ i =0 y (0 ) ≤ y (0 ) e 0 + 0
⎞ ⎛ −1 ⎞⎫⎪ 1 ⎧⎪ ⎛⎜ −1 ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ j =0 K ( j )⎪ ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ ⎩ ⎝ l = j +1 −1
∑
y (0 ) ≤ y (0 ) (benar)
*) Untuk n = 1 diperoleh: ⎛ 1−1 ⎞ ⎛ 1−1 ⎞ ⎫⎪ ⎛ 1−1 ⎞ 1−1 1 ⎧⎪ y (1) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫⎪ ⎛ 0 ⎞ 0 1 ⎧⎪ y (1) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ y (1) ≤ y ( 0 ) exp ( − r ( 0 ) h ) +
1 e0 − e − r ( 0) h K ( 0)
{
}
{
}
y (1) ≤ y ( 0 ) e − r ( 0) h + y (1) ≤ e − r ( 0) h y ( 0 ) +
1 1 − e− r ( 0) h K (0)
1− e ( ) K ( 0)
−r 0 h
y (1) ≤ y (1)
(benar) •> Untuk n = mk
*) Untuk mk = 0 ⎛ mk −1 ⎞ ⎛ mk −1 ⎞ ⎪⎫ ⎛ mk −1 ⎞ mk −1 1 ⎪⎧ y ( mk ) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ − ∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎪⎫ ⎛ −1 ⎞ −1 1 ⎧⎪ y ( 0 ) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ y ( 0 ) ≤ y ( 0 ) e0 + 0 y ( 0) ≤ y ( 0)
(benar) *) Untuk mk = 1 diperoleh: ⎛ 1−1 ⎞ ⎛ 1−1 ⎞ ⎫⎪ ⎛ 1−1 ⎞ 1−1 1 ⎧⎪ y (1) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎪⎫ ⎛ 0 ⎞ 0 1 ⎧⎪ y (1) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ y (1) ≤ y ( 0 ) exp ( −r ( 0 ) h ) + y (1) ≤ y ( 0 ) e − r ( 0) h +
{
1 exp ( 0 ) − exp ( − r ( 0 ) h ) K ( 0)
{
1 e0 − e − r ( 0) h K ( 0)
}
}
32
y (1) ≤ e
− r ( 0) h
y ( 0) +
1 − e− r ( 0) h K ( 0)
(benar) Catatan: dari (4.4) diperoleh
*) y ( n + 1) = e − r ( n) h y ( n ) +
1 − e− r ( n) h K ( n)
Untuk n = 0 ⇒ y (1) = e
− r ( 0) h
y ( 0) +
1 − e− r ( 0) h K ( 0)
1 y ( mk ) 1+ c *) 1 mk = 0 ⇒ y (1) = y ( 0) 1+ c 1 −r m h ≤ e ( k ) , maka y (1) ≤ e − r ( 0) h y ( 0 ) Karena 1+ c y ( mk + 1) =
2. Hipotesis induksi. Anggap benar untuk n = p
∗〉 Untuk n ≠ m k ⎞ ⎛ p −1 ⎞⎫⎪ ⎛ p −1 ⎞ p −1 1 ⎧⎪ ⎛ p −1 Artinya, kita anggap y ( p ) ≤ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ berlaku. ∗〉 Untuk n = m k Artinya, kita anggap ⎞ ⎛ mk −1 ⎞⎫⎪ ⎛ mk −1 ⎞ mk −1 1 ⎪⎧ ⎛ mk −1 y (m k ) ≤ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ berlaku. ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ 3. Langkah induksi. Akan kita tunjukkan bahwa n = p + 1 benar berdasarkan hipotesis induksi.
∗〉 Untuk n ≠ m k . Akan dibuktikan bahwa: p ⎞ ⎛ p ⎞⎫⎪ ⎛ p ⎞ p 1 ⎧⎪ ⎛ y ( p + 1) ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ . ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ Karena menurut hipotesis induksi ⎞ ⎛ p −1 ⎞⎫⎪ ⎛ p −1 ⎞ p −1 1 ⎧⎪ ⎛ p −1 y ( p ) ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ . ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ Maka, dari (4.4) 1 − e − r ( p )h y ( p + 1) = e − r ( p )h y ( p ) + K ( p)
⎡ ⎞⎫⎪⎤ 1 − e − r ( p )h ⎛ p −1 ⎞ ⎞ p −1 1 ⎧⎪ ⎛ p −1 ⎛ p −1 ≤ e − r ( p )h ⎢ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬⎥ + K ( p) ⎢⎣ ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠⎪⎭⎥⎦ ⎝ l= j ⎠ (berdasarkan hipotesis induksi) p −1 1 ⎧ p ⎞ ⎛ p −1 ⎞⎫⎪ 1 − e − r ( p )h ⎛ −1 ⎞ ⎪ ⎛⎜ p −1 = e − r ( p )h y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + e − r ( p )h ∑ ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ + K ( p) j =0 K ( j ) ⎪ ⎝ i =0 ⎠ ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ ⎩ ⎝ l = j +1 p ⎞⎫⎪ 1 − e − r ( p )h ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ p −1 1 ⎪⎧ ⎛ = y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ + K ( p) ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠⎪⎭ ⎝ l= j ⎠
33
p p ⎞ ⎛ p ⎞⎪⎫ ⎞ ⎛ p ⎞⎫⎪ ⎛ p ⎞ p −1 1 ⎪⎧ ⎛ 1 ⎧⎪ ⎛⎜ = y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ + ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ K ( p ) ⎪⎩ ⎝ l = p +1 ⎠ ⎝ l= p ⎠⎪⎭ p ⎞ ⎛ p ⎞⎪⎫ 1 ⎧⎪ ⎛⎜ ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ j =0 K ( j )⎪ ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭ ⎩ ⎝ l = j +1
⎛ p ⎞ = y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ⎝ i =0 ⎠
p
∑
⎛ p ⎞ ∴ y ( p + 1) ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ⎝ i =0 ⎠
p ⎛ p ⎞ ⎞⎫⎪ 1 ⎧⎪ ⎛⎜ ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ j =0 K ( j ) ⎪ ⎝ l= j ⎠ ⎠⎪⎭ ⎩ ⎝ l = j +1 p
∑
∗〉 Untuk n = mk + 1 . Akan dibuktikan bahwa: ⎞ ⎛ mk y (m k + 1) ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ⎠ ⎝ i =0 Karena menurut hipotesis induksi
⎞⎪⎫ ⎞ ⎛ mk 1 ⎧⎪ ⎛⎜ mk ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ j =0 K ( j ) ⎪ ⎠⎪⎭ ⎠ ⎝ l= j ⎩ ⎝ l = j +1 mk
∑
⎞⎫⎪ ⎞ ⎛ mk −1 ⎞ mk −1 1 ⎧⎪ ⎛ mk −1 ⎛ mk −1 y (m k ) ≤ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ . ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠⎪⎭ ⎠ ⎝ l= j Dengan menggunakan pertidaksamaan exp(r (m k )h ) ≤ 1 + c , akan diperoleh exp(r (m k )h ) ≤ 1 + c ⇔
1
e maka, dari (4.4) 1 y (m k + 1) = y (m k ) 1+ c
r (mk )h
≥
1 1 ⇔ ≤ e − r (mk )h 1+ c 1+ c
≤ e − r (mk )h y (m k )
⎡ ⎞⎫⎪⎤ ⎞ ⎛ mk −1 ⎞ mk −1 1 ⎧⎪ ⎛ mk −1 ⎛ mk −1 ≤ e − r (mk )h ⎢ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬⎥ ⎢⎣ ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠ ⎝ l= j ⎠⎪⎭⎥⎦ ⎞⎫⎪ ⎞ ⎛ mk ⎞ mk −1 1 ⎪⎧ ⎛ mk ⎛ mk = y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ ⎠ j =0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠⎪⎭ ⎠ ⎝ l= j ⎞ ⎞⎫⎪ ⎛ mk ⎞ mk 1 ⎧⎪ ⎛ m k ⎛ mk ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ ⎠ j =0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠⎪⎭ ⎝ l= j ⎠ mk −1
( karena ∑
j =0
mk
≤ ∑ ) j =0
⎞⎪⎫ ⎞ ⎛ mk ⎞ ⎛ 1 ⎧⎪ ⎛⎜ mk ∴ y (m k + 1) ≤ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ ⎨exp⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟ − exp⎜⎜ − ∑ r (l )h ⎟⎟⎬ ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎝ i =0 ⎠⎪⎭ ⎠ ⎝ l= j mk
mk
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎫⎪ ⎛ p ⎞ p 1 ⎧⎪ 1) y ( p + 1) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ . ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ ⎛ n −1 ⎞ ⎛ n −1 ⎞ ⎫⎪ ⎛ n −1 ⎞ n −1 1 ⎧⎪ n = p + 1 ⇒ y ( n ) ≤ exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ ⎛ mk ⎞ ⎛ mk ⎞ ⎫⎪ ⎛ mk ⎞ mk 1 ⎧⎪ 2) y ( mk + 1) ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ . ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎩⎪ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪ ⎛ n −1 ⎞ ⎛ n −1 ⎞ ⎪⎫ ⎛ n −1 ⎞ n −1 1 ⎧⎪ n = mk + 1 ⇒ y ( n ) ≤ exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ∑ ⎨exp ⎜ − ∑ r ( l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( l ) h ⎟⎬ ⎝ i =0 ⎠ j = 0 K ( j ) ⎪⎩ ⎝ l = j +1 ⎠ ⎝ l= j ⎠ ⎭⎪
Berdasarkan (1) dan (2), maka (**) terbukti.
34
Dengan mengganti variabel penjumlahan pada (**), akan diperoleh ⎞ ⎞ n 1 − e − r (n − m )h ⎛ m −1 ⎛ n −1 y (n ) ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ ( ) K n m − ⎠ ⎠ m =1 ⎝ l =1 ⎝ i =0 Ketika y (n ) > 0 untuk semua n ∈ Ζ 0 + , kita dapat mensubstitusikan x(n ) = diperoleh
1 1 ⎛ n −1 ⎞ n 1 − e − r (n − m )h ⎛ m −1 ⎞ exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ ≤ x(n ) x(0) ⎝ i =0 ⎠ m =1 K (n − m ) ⎝ l =1 ⎠
1 , n ∈ Ζ 0 + maka y (n )
(4.7) ∴ Terbukti
Bukti Teorema 2
Ketika x(n ) positif, kita dapat menggunakan y (n ) =
1 , n ∈ Ζ 0 + dan dari teorema 1 diperoleh x(n )
⎞ ⎛ j −1 ⎛ n −1 ⎞ n 1 − e − r (n − j )h y (n ) ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ ⎝ i =0 ⎠ j =1 K (n − j ) ⎠ ⎝ l =1 maka ∞ 1 − e − r (n − j )h ⎞ ⎛ j −1 y (n ) − ∑ exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ j =1 K (n − j ) ⎠ ⎝ l =1
⎞ ∞ 1 − e − r (n − j )h ⎛ j −1 ⎞ ⎛ j −1 ⎛ n −1 ⎞ n 1 − e − r (n − j )h ≤ y (0) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ + ∑ exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ − ∑ exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ ⎝ i =0 ⎠ j =1 K (n − j ) ⎠ j =1 K (n − j ) ⎝ l =1 ⎠ ⎝ l =1 ⎛ n −1 ⎞ = y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ − ⎝ i =0 ⎠
⎞ ⎛ j −1 1 − e − r (n − j )h exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ ( ) − K n j j = n +1 ⎠ ⎝ l =1 ∞
∑
⎞ ⎛ j −1 1 − e − r (n − j )h ⎛ n −1 ⎞ exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ ≤ y (0 ) exp⎜⎜ − ∑ r (i )h ⎟⎟ − j =1 K (n − j ) ⎝ i =0 ⎠ ⎠ ⎝ l =1 ∞
∴ y (n ) − ∑
⎞ ⎛ j −1 1 − e − r (n − j )h exp⎜⎜ − ∑ r (n − l )h ⎟⎟ j = n +1 K (n − j ) ⎠ ⎝ l =1 ∞
∑
dan oleh karena itu ⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r (n− j )h ⎛ n −1 ⎞ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + j =1 K ( n − j ) ⎝ i =0 ⎠ ⎝ l =1 ⎠ ∞
y ( n) − ∑
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r ( n− j )h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ j = n +1 K ( n − j ) ⎝ l =1 ⎠ (4.9) ∞
∑
Kita pilih suatu bilangan ε yang memenuhi 0 < ε < L . Dari asumsi (4.8) yang berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat suatu bilangan bulat positif N = N ( ε ) sehingga, 1 ⎧ n −1 ⎫ ⎨∑ r ( i ) ⎬ − L < ε , n ≥ N n ⎩ i =0 ⎭ L −ε <
1 ⎧ n −1 ⎫ ⎨∑ r ( i ) ⎬ < L + ε n ⎩ i =0 ⎭ n −1
n ( L − ε ) < ∑ r (i ) < n ( L + ε ) i =0
n −1
n ( L − ε ) h < h∑ r ( i ) < n ( L + ε ) h i =0
n −1
n ( L − ε ) h < ∑ r (i ) h < n ( L + ε ) h i =0
Dengan mensubstitusi (4.10) ke (4.9) , maka untuk n ≥ N kita peroleh
35
(4.10)
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r (n− j )h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ j =1 K ( n − j ) ⎝ l =1 ⎠ ∞
y ( n) − ∑
⎛ n −1 ⎞ ≤ y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ⎝ i =0 ⎠
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r ( n− j )h exp ∑ ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ j = n +1 K ( n − j ) ⎝ l =1 ⎠ ∞
⎛ n −1 ⎞ 1 < y ( 0 ) exp ⎜ −∑ r ( i ) h ⎟ + ⎝ i =0 ⎠ K∗
⎛ j −1 ⎞ 1 − e − r ( n − j ) h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ⎝ l =1 ⎠
∑( ∞
j = n +1
)
1 K∗
= y ( 0 ) exp ( −n ( L − ε ) h ) +
1 < y ( 0 ) exp ( − n ( L − ε ) h ) + K∗ = y ( 0 ) e − n ( L −ε ) h +
∞
1 K∗
∞
⎛
j −1
⎞
⎛
j
⎞
j = n +1
⎝
l =1
⎠
⎝
l =1
⎠
∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ − exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ∞
∑ exp ⎡⎣− ( j − 1)( L − ε ) h ⎤⎦ − exp ⎡⎣− j ( L − ε ) h ⎤⎦
j = n +1
∑e(
− j −1)( L − ε ) h
− e− j ( L −ε ) h
j = n +1
(
1 − n ( L −ε ) h e = y ( 0 ) e − n ( L −ε ) h + K∗
)
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r (n− j )h 1 − n ( L −ε ) h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ≤ y ( 0 ) e − n ( L −ε ) h + e K∗ j =1 K ( n − j ) ⎝ l =1 ⎠
(
∞
∴ y ( n) − ∑
)
* Dari (*): 1 −∞ ( L − ε ) h ∞ ( L −ε ) h 1 1 e = y ( 0 ) ∞ ( L −ε ) h + e = y ( 0) 0 + 0 = 0 lim y ( 0 ) e − n( L −ε ) h + e − n( L −ε ) h = y ( 0 ) e −∞ ( L −ε ) h + n →∞ K∗ K∗ K∗ e
(
Karena y ( 0 ) e − n( L −ε ) h +
)
1 − n( L −ε ) h e → 0 ketika n → ∞ , maka K∗
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r ( n− j )h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ → 0 ketika n → ∞ . − K n j ( ) j =1 ⎝ l =1 ⎠ ∞
y ( n) − ∑
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r ( n− j )h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ , j =1 K ( n − j ) ⎝ l =1 ⎠ ∗ n → ∞ dan y ( n ) > 0 untuk semua n ∈ Ζ. ∞
Kita misalkan
y∗ ( n ) = ∑
maka
y ( n ) − y∗ ( n ) → 0
ketika
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa y ∗ ( n ) < ∞ . Dari asumsi (4.8), untuk setiap ε > 0 terdapat suatu bilangan bulat positif N = N ( ε ) , sehingga ⎫ 1⎧m ⎨∑ r ( n − j ) ⎬ − L < ε , m ⎩ j =1 ⎭ L −ε <
m≥N
⎫ 1⎧m ⎨∑ r ( n − j ) ⎬ < L + ε m ⎩ j =1 ⎭ m
m( L − ε ) < ∑ r (n − j) < m( L + ε ) j =1
m
m ( L − ε ) h < h∑ r ( n − j ) < m ( L + ε ) h j =1
m
m ( L − ε ) h < ∑ r ( n − j )h < m ( L + ε ) h j =1
36
(4.11)
⎛
∞
⎞
j −1
∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟.
Selanjutnya, kita perhatikan deret
j =1 ⎝ l =1 Apabila kita uraikan deret ini, maka diperoleh ∞ ⎛ j −1 ⎞ N ⎛ j −1 ⎞ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ = ∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ + ∑ j =1 ⎝ l =1 ⎠ j =1 ⎝ l =1 ⎠
⎠
⎛ j −1 ⎞ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟. j = N +1 ⎝ l =1 ⎠ ∞
∑
Kita catat disini bahwa N adalah bilangan bulat positif dan hingga dan barisan pertama pada persamaan diatas adalah terbatas dan tak negatif untuk semua n ∈ Ζ. Maka terdapat suatu bilangan N ⎛ j −1 ⎞ real positif hingga A yang memenuhi ∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ≤ A untuk semua n ∈ Ζ . j =1 ⎝ l =1 ⎠ Selanjutnya, kita lihat deret berikutnya yaitu ∞ ∞ ⎛ j −1 ⎞ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ < ∑ exp ( − ( j − 1)( L − ε ) h ) ∑ j = N +1 ⎝ l =1 ⎠ j = N +1 = e − ( N +1−1)( L −ε ) h + e − ( N + 2 −1) h + .... + e −∞ ( L −ε ) h =e
− N ( L −ε ) h
=e
− N ( L −ε ) h
+e
− ( N +1)( L − ε ) h
⎡1 + e ⎣
− ( L −ε ) h
+e
+e
− ( N + 2 )( L − ε ) h
−2 ( L − ε ) h
+e
+ ... + 0
−3( L − ε ) h
+ ...⎤⎦
→0 ⎛ j −1 ⎞ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ < e − N ( L −ε ) h . j = N +1 ⎝ l =1 ⎠ Oleh karena itu, ∞ ⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r (n − j )h y∗ ( n ) = ∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ j =1 K ( n − j ) ⎝ l =1 ⎠
Maka,
∞
∑
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r (n − j )h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ + K n − j ( ) j =1 ⎝ l =1 ⎠ N
=∑ <
⎛ j −1 ⎞ 1 − e− r (n − j )h exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ∑ K n − j ( ) j = N +1 ⎝ l =1 ⎠ ∞
⎛ j −1 ⎞ ⎪⎫ 1 ⎪⎧ ∞ ⎛ j −1 ⎞ ⎪⎫ 1 ⎪⎧ N ⎨ ∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ⎬ ⎨∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ⎬ + K∗ ⎩⎪ j =1 K ⎪ j = N +1 ⎝ l =1 ⎠ ⎭⎪ ⎝ l =1 ⎠ ⎭⎪ ∗ ⎩ 1 1 − N ( L −ε ) h ≤ e { A} + K∗ K∗
{
= ∴ y∗ ( n ) ≤
{
{
1 A + e − N ( L −ε ) h K∗
}
}
}
1 A + e − N ( L −ε ) h . K∗
Dengan menggunakan sisi kanan pada (4.11) dan syarat sup n∈Ζ0 K ( n ) < ∞, kita peroleh bahwa lim inf n →∞ y ∗ ( n ) > 0. Jika y ( n ) > 0 untuk semua n dan y ( n ) − y ∗ ( n ) → 0 ketika n → ∞ , kita
peroleh bahwa lim inf n →∞ y ( n ) > 0 dan sup n∈Ζ0 y ( n ) < ∞. Maka x ( n ) memenuhi ⎛ 1 1 ⎞ lim ( x ( n ) − x∗ ( n ) ) = lim ⎜⎜ − ∗ ⎟ = 0. n →∞ n →∞ y ( n ) y ( n ) ⎟⎠ ⎝
Jadi, terbukti bahwa solusinya adalah stabil asimtotik.
37
38
