ANALISIS KESTABILAN MODEL PENIPISAN SUMBER DAYA HUTAN OLEH PERKEMBANGAN INDUSTRIALISASI Oleh: Khairina Aryaputri 1206 100 041 Pembimbing: Drs. Kamiran, M.Si Drs. M. Setijo Winarko, M.Si
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010
Abstrak Sebuah model matematika nonlinier disusun untuk mempelajari penipisan sumber daya hutan yang disebabkan oleh penekanan populasi dan perluasan industrialisasi, sehingga keseimbangan sumber daya hutan menurun dibandingkan dengan keseimbangan kepadatan penduduk dan industrialisasi yang semakin meningkat. Meskipun rata-rata pertumbuhan populasi (tetap ataupun migrasi) hanya sebagian bergantung pada sumber daya hutan, tetap saja sumber daya hutan berpengaruh sehingga terjadi kepunahan akibat besarnya tekanan populasi yang memperbesar industrialisasi. Dalam Tugas Akhir ini, akan ditentukan analisis kualitatif dari model penipisan sumber daya hutan yang bertujuan mengetahui adanya gangguan atau tidak adanya gangguan melalui analisis stabilitas dari titik setimbang bebas gangguan maupun titik setimbang endemik. Untuk menopang industrialisasi, pengendali pertumbuhannya dibutuhkan untuk memelihara stabilitas ekologi. Kata kunci : Sumber Daya Hutan, Tekanan Penduduk, Industralisasi, Kestabilan.
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Sumber Daya Hutan
INDUSTRI
MANUSIA
PENIPISAN
1.2 Rumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana menganalisis model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan oleh pertumbuhan jumlah populasi dan meningkatnya industrialisasi 2. Bagaimana mensimulasikan kesetimbangan dan kestabilan dari model penipisan sumber daya hutan tersebut 1.3 Batasan Masalah Batasan yang digunakan dalam permasalahan di atas adalah: 1. Rata-rata penekanan populasi dianggap sebanding dengan kepadatan penduduk. 2. Penipisan sumber daya hutan dianggap sebagai akibat dari reaksi populasi dan industrialisasi.
1.4 Tujuan Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Menganalisis model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan adanya peningkatan industrialisasi untuk menjaga keseimbangan ekosistem. 2. Mensimulasikan kestabilan model penipisan sumber daya hutan dengan software Matlab. 1.5 Manfaat Manfaat yang diharapkan pada tugas akhir ini adalah memberikan informasi kepada pihak terkait bahwa penyelesaian bentuk kestabilan yang diberikan dapat direalisasikan untuk menjaga keseimbangan ekosistem.
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model Penipisan Sumber Daya Hutan
(2.1)
Dengan: adalah kepadatan keseluruhan sumber biomasa (hasil hutan) dengan koefisien rata-rata pertumbuhan dan kapasitas adalah kepadatan keseluruhan populasi (baik manusia dan ternak) adalah penekanan kepadatan populasi adalah kepadatan industrialisasi
Sedangkan, koefisien rata-rata penipisan sumber daya hutan secara alami, koefisien rata-rata kematian populasi secara alami, rata-rata pertumbuhan kepadatan populasi, koefisien rata-rata kesesuaian penipisan sumber daya hutan dengan kepadatan populasi, koefisien rata-rata pertumbuhan penekanan populasi, koefisien rata-rata penipisan secara alami, koefisien rata-rata penipisan yang disebabkan oleh membesarnya industrialisasi, koefisien rata-rata penipisan kepadatan sumber daya hutan yang disebabkan oleh industrialisasi, koefisien rata-rata pertumbuhan industrialisasi rata-rata pertumbuhan industrialisasi untuk menekan populasi koefisien rata-rata pengendali industrialisasi secara eksternal yang dilakukan oleh pemerintah
2.2 Diagram kompartemennya:
2.3 Kestabilan Titik tetap Titik Setimbang
Stabil Sifat
Stabil Asimtotis Tidak Stabil
2.4 Stabil Asimtotis Lokal Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan. 2.4.1 Akar-Akar Persamaan Karakteristik Jika J adalah matriks yang berukuran n×n maka vektor tak nol dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi : Jx = x (2.3) Untuk suatu skalar disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai karakteristik matriks J yang berukuran n×n, maka dapat dituliskan kembali persamaan (2.3) sebagai Jx = Ix atau ekuivalen dengan (J - I)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika J - I| = 0. Jika matriks maka (2.3) dapat ditulis
Akar-akar karakteristiknya adalah
2.4.2 Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
Studi Pendahuluan
Menyusun Asumsi Model
Mencari Daerah Penyelesaian dan Titik Setimbang
Titik Setimbang Bebas Gangguan
Titik Setimbang Endemik
Akar-Akar Karakteristik
Analisis Kestabilan
Penarikan Kesimpulan dan Saran
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskripsi dan Asumsi Model Penipisan Sumber Daya Hutan a. Sumber biomassa Sumber biomassa dipengaruhi oleh penipisan sumber biomassa itu sendiri secara alami , akibat kepadatan penduduk , dan akibat industrialisasi . Apabila kepadatan populasi meningkat, dapat memicu pertumbuhan industrialisasi dan pada akhirnya terjadi penipisan sumber biomassa. Sehingga persamaan sumber biomassa yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:
b. Kepadatan populasi Kepadatan populasi dipengaruhi oleh kematian populasi (manusia dan ternak) dan pertumbuhan kepadatan populasi akibat adanya sumber biomassa yang berarti apabila sumber biomassa meningkat, dapat memicu pertumbuhan populasi disekitar sumber biomassa karena populasi memanfaatkan sumber biomassa untuk memenuhi kelangsungan hidupnya. Sehingga persamaan kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:
c. Penekanan kepadatan populasi Penekanan kepadatan populasi dipengaruhi oleh kematian yang dialami populasi itu sendiri , penipisan yang disebabkan membesarnya industrialisasi dan pertumbuhan penekanan populasi . Sehingga persamaan penekanan kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:
d. Industrialisasi Pertumbuhan industrialisasi dipengaruhi oleh sumber biomassa (yang berarti industrialisasi akan meningkat apabila terdapat lahan hutan yang memadai), pertumbuhan sumber industrialisasi itu sendiri dan kegiatan pemerintah sebagai pengendali industrialisasi ( (dalam memberikan ijin atas pengeksploitasian dan pengeksplorasian oleh pihak-pihak yang terkait). Sehingga persamaan kepadatan populasi yang dipengaruhi faktor-faktor di atas adalah:
Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut dapat disusun diagram kompartemen sebagai berikut:
Berdasarkan diagram kompartemen di atas, model penipisan sumber daya hutan yang disebabkan oleh penekanan penduduk dan industrialisasi adalah
Pada persamaan kedua model (4.1), adalah fungsi pertumbuhan populasi yang mempunyai dua bentuk: 1.
yang merupakan pertumbuhan populasi secara logistik dengan angka pertumbuhan intrinsik dan kapasitas pendukung .
2.
sebagai konstanta. Pada kasus ini konstanta pertumbuhan populasi dalam suatu habitat.
adalah migrasi
4.2 Analisis untuk kasus 4.2.1 Daerah Penyelesaian Model
Dari persamaan pertama model (4.1)
Dari persamaan ketiga model (4.1)
Maka
Maka
Dari persamaan kedua model (4.1)
Maka daerah penyelesaian dari model adalah
Maka
4.2.2 Titik Setimbang dari Model Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Titik-titik setimbang diperoleh dari , , dan
sehingga diperoleh
Dalam hal ini ada dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas gangguan dan titik setimbang endemik, yaitu Bebas Gangguan : Endemik
:
4.2.3 Matriks Jacobian Model
Dengan
4.2.4 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Gangguan 4.2.4.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Akar-akar karakteristiknya adalah: Tidak Stabil
4.2.4.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas seperti di bawah ini:
Akar-akar karakteristiknya adalah:
Tidak Stabil
4.2.5 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik 4.2.5.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas seperti di bawah ini:
Akar-akar karakteristiknya adalah:
Stabil
Tidak Stabil
4.2.5.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
BerdasarkanTeorema Liapunov didapat bahwa : a. Saat Stabil jika b. Saat Stabil jika
4.3 Analisis untuk kasus 4.3.1 Daerah Penyelesaian Model
Dari persamaan pertama model (4.1)
Dari persamaan kedua model (4.1)
Dari persamaan ketiga model (4.1)
4.3.2 Titik Setimbang dari Model Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Titik-titik setimbang diperoleh dari , , dan sehingga diperoleh dan Dalam hal ini ada keduanya merupakan titik setimbang endemik
4.3.3 Matriks Jacobian Model
Dengan
4.3.3.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas seperti di bawah ini:
Akar-akar karakteristiknya adalah: Tidak Stabil Stabil
Tidak Stabil Stabil
4.3.3.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Penyederhaan yang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan matriks di atas seperti di bawah ini:
Dengan memasukkan parameter yang ada berikut:
Stabil
dapat dianalisa sebagai
,
4.4 Simulasi 4.4.1 Untuk kasus Pada percobaan pertama diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
,
Pada percobaan kedua diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
4.4.2 Untuk kasus Pada percobaan pertama diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
Pada percobaan kedua diberikan nilai:
Maka akan didapat hasil sebagai berikut:
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan Dari analisis yang dilakukan pada model penipisan sumber daya hutan, maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Persamaan kedua pada model sumber daya hutan, adalah fungsi pertumbuhan populasi yang mempunyai dua bentuk: a. Pada kondisi ini diperoleh titik kesetimbangan bebas gangguan adalah dan sedangkan titik kesetimbangan endemiknya adalah dan b. Pada kondisi ini diperoleh titik kesetimbangan endemiknya, yaitu: dan 2. Pada populasi sumber daya hutan didapat Basic Reproduction Number
5.2 Saran Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan model matematika penipisan sumber daya hutan untuk mengetahui adanya gangguan atau tidak sehingga untuk ke depannya dapat diteliti lebih lanjut pada upaya pengendalian dan pencegahannya.
I
PENDAHULUAN
II
TINJAUAN PUSTAKA
III
METODOLOGI
IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
V
PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
[1] B. Dubey. 2006. Modelling Depletion Of Forestry Resources By Population And Population Pressure Augmented Industrialization. J. Math. Biol. 36 pp 3003-3014 [2] Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth [3] J.B. Shukla, H.I. Freedman, V.N. Pal, O.P. Misra, M. Agarwal, A. Shukla, 1989, Degradation and subsequent regeneration of a forestry resource: a mathematical model, Ecol. Model. 44 pp 219–229. [4] James, J.R. Tweedy, B.G. and Newby, L.C. 1993. Efforts by industry to improve the environmental safety of pesticides. Ann. Rev. of Phytopathol., 31:423-439. [5] J.B. Shukla, H.I. Freedman, V.N. Pal, O.P. Misra, M. Agarwal, A. Shukla, 1989, Degradation and subsequent regeneration of a forestry resource: a mathematical model, Ecol. Model. 44 pp 219–229.
