MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA DAERAH BERDASARKAN MODAL DAN KNOWLEDGE
MUHAMMAD TAUFIK NUSA TAJAU
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Daerah Berdasarkan Modal dan Knowledge adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juni 2008
Muhammad Taufik Nusa Tajau NRP G551060121
ABSTRACT MUHAMMAD TAUFIK NUSA TAJAU. Two-Region Economic Growth Model Based on Capital and Knowledge. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI. The traditional growth theory usually considers only the accumulation of conventional inputs of labor and capital as the primary variables responsible for the growth. It has been proven to be insufficient for explaining the complexity of modern economic growth. This thesis aims to study a two-region economic growth model proposed by Zhang (2005). This model explains the dynamics of economic system based on capital and knowledge accumulation. It also considers relationships between regional growth and regional trade patterns. Each region's production is similar to the standard one-sector growth model. Knowledge accumulation is assumed to be accomplished through learning by doing. Unfortunately, in obtaining the equilibrium solution of the model Zhang made some mistakes. Therefore, this thesis offers some corrections. The analysis done in this thesis includes obtaining equilibrium of the economic system and its feasibility conditions. Some results of simulation study show that knowledge improvement is more effective to increase equilibrium value of economic growth compared to improvement in investment or amenity level. Keywords: economic growth accumulation, equilibrium
model,
capital
accumulation,
knowledge
RINGKASAN MUHAMMAD TAUFIK NUSA TAJAU. Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Daerah Berdasarkan Modal dan Knowledge. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI. Model pertumbuhan Domar menyatakan produksi secara eksplisit sebagai fungsi dari modal/kapital saja (Chiang & Wainwright 2005). Model ini disempurnakan oleh Solow (1956) dengan memasukkan variabel tenaga kerja dalam fungsi produksi secara eksplisit, dengan demikian modal dan tenaga kerja dapat dikombinasikan dalam berbagai proporsi. Pada periode tahun 1927 sampai tahun 1952, produksi perusahaan besi Horndal di Swedia meningkat rata-rata 2% per tahun padahal tidak ada investasi baru (Genberg 1992). Peningkatan produksi dengan investasi tetap ini menimbulkan satu pertanyaan, yakni faktor apakah yang membuat peningkatan produksi tersebut terjadi? Permasalahan ini tidak dapat dijelaskan oleh model pertumbuhan Domar dan Solow, karena model pertumbuhan Domar hanya mencantumkan modal secara eksplisit dalam fungsi produksinya, sedangkan model pertumbuhan Solow secara eksplisit hanya mencantumkan modal dan tenaga kerja dalam fungsi produksinya. Verdoorn (1956) menghubungkan output sekarang (current output) dengan output kumulatif untuk menjelaskan adanya learning by doing yang bisa dijadikan jawaban untuk menjelaskan kasus Horndal. Analisis formal terhadap perubahan knowledge pertama kali dikemukakan oleh Arrow (1962). Zhang (2005) menggunakan konsep akumulasi knowledge melalui learning by doing untuk membangun model pertumbuhan ekonomi dua daerah. Model yang dibuat oleh Zhang merupakan model pertumbuhan ekonomi neoklasik dengan menggunakan suatu komoditas yang difungsikan sebagai numeraire. Penelitian ini bertujuan mengkaji model pertumbuhan ekonomi dua daerah yang diajukan oleh Zhang (2005), termasuk didalamnya menentukan syarat fisibilitas, ekuilibrium sistem dinamik, dan membuat simulasi model tersebut. Kedua daerah diasumsikan oleh Zhang mempunyai iklim dan lingkungan yang bersifat homogen di dalamnya, akan tetapi bisa berbeda antara kedua daerah tersebut, tingkat kenyamanan diasumsikan tetap secara regional, pasar bersifat kompetitif sehingga tenaga kerja dan modal memperoleh produk marginal mereka. Tingkat suku bunga diasumsikan sama di kedua daerah, sedangkan upah bisa berbeda antara dua daerah. Diasumsikan pula bahwa tenaga kerja bebas bergerak antar dua daerah dan mereka memilih tempat tinggal sesuai dengan tempat mereka bekerja. Lebih lanjut diasumsikan bahwa semua tenaga kerja diberdayakan serta seluruh modal dipergunakan. Selain itu pendapatan bersih per kapita diasumsikan hanya digunakan untuk konsumsi dan ditabung. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa Zhang membuat beberapa kesalahan dalam menentukan solusi ekuilibrium model tersebut, yang dalam tesis ini sudah diperbaiki. Dalam membuat simulasi model, langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan besaran parameter dari model untuk kedua daerah, yaitu tingkat kenyamanan daerah, tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas, tingkat
efisiensi pemanfaatan knowledge, tingkat efisiensi akumulasi knowledge, depresiasi kapital dan depresiasi knowledge. Dalam hal ini untuk daerah ke-1 dan daerah ke-2 diberikan nilai parameter yang sama kecuali parameter tingkat kenyamanan daerah dan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas. Kemudian untuk melihat pengaruh perubahan parameter terhadap nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik dilakukan simulasi terhadap perubahan nilai parameter tingkat kenyamanan daerah, tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas, dan nilai parameter tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge. Dari hasil simulasi terhadap model ini dapat disimpulkan bahwa peningkatkan efisiensi pemanfaatan knowledge merupakan cara yang lebih efektif untuk meningkatkan nilai ekuilibrium jumlah penduduk, tingkat produksi, upah, dan pendapatan per kapita suatu daerah dibandingkan perbaikan tingkat kenyamanan dan penurunan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas suatu daerah. Kata kunci: model pertumbuhan ekonomi, akumulasi modal, akumulasi knowledge, ekuilibrium
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB
MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA DAERAH BERDASARKAN MODAL DAN KNOWLEDGE
MUHAMMAD TAUFIK NUSA TAJAU
Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
ii
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Oktober 2007 ini adalah model pertumbuhan ekonomi dua daerah yang memperhatikan unsur perubahan knowledge, dengan judul Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Daerah Berdasarkan Modal dan Knowledge. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan Ibu Ir. Retno Budiarti, MS yang telah membimbing penulis dengan penuh kesabaran dalam penulisan tesis ini. Disamping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Wei-Bin Zhang dari Ritsumeikan Asia Pacific University, Jepang, selaku penulis buku yang digunakan sebagai literatur utama tesis ini yang berkenan berkorespondensi dengan penulis. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah membiayai penelitian ini. Kepada ibu, istri dan mertua yang memberikan motivasi, semangat, kasih sayang, dan do'a penulis menyampaikan penghargaan dan terima kasih. Juga kepada semua pihak yang turut memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini penulis do'akan semoga Allah SWT membalas mereka dengan kebaikan.
Bogor, Juni 2008
Muhammad Taufik Nusa Tajau
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pelaihari pada tanggal 16 Januari 1976 dari ayah Tamziz dan ibu Ruqayyah. Penulis merupakan putra ketiga dari empat bersaudara. Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri I Pelaihari dan pada tahun yang sama diterima masuk Universitas Lambung Mangkurat (Unlam) Banjarmasin melalui jalur PMDK. Penulis memilih Program Studi Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan IPA FKIP Unlam Banjarmasin. Setelah mengikuti kuliah selama sembilan semester, bulan Pebruari 1999 penulis dinyatakan lulus. Pada periode tahun 2000 sampai 2006, penulis bekerja sebagai guru matematika pada Madrasah Tsanawiyyah Negeri Model Darussalam Martapura, sampai akhirnya ada kesempatan untuk mengikuti seleksi beasiswa S-2 Matematika dan alhamdulillah penulis berkesempatan mendapatkan beasiswa tersebut. Bulan Juli tahun 2006 penulis mulai mengikuti perkuliahan S-2 pada Program Studi Matematika Terapan di IPB dan akhirnya berhasil menyelesaikan studi pada bulan Juni tahun 2008.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ...................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ................................................................................................xi DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................xii PENDAHULUAN...................................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ............................................................................................ 1 1.2 Tujuan Penelitian ........................................................................................ 3 TINJAUAN PUSTAKA............................................................................................. 4 2.1 Pertumbuhan Ekonomi................................................................................ 4 2.2 Model-model Pertumbuhan Ekonomi......................................................... 5 2.3 Ekuilibrium ................................................................................................. 8 2.4 Solusi Optimum .......................................................................................... 8 MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA DAERAH ..................................... 10 3.1 Asumsi, Definisi dan Fungsi..................................................................... 10 3.2 Ekuilibrium Sistem Dinamik .................................................................... 14 3.3 Efek Perubahan Beberapa Parameter dalam Struktur Ekonomi ............... 23 SIMULASI MODEL ................................................................................................ 25 4.1 Efek Perubahan Tingkat Kecenderungan Mengkonsumsi Komoditas ....................................................................................................... 26 4.2 Efek Perubahan Tingkat Kenyamanan Daerah ........................................ 29 4.3 Efek Perubahan Tingkat Efisiensi Pemanfaatan Knowledge ................... 31 SIMPULAN DAN SARAN ..................................................................................... 35 5.1 Simpulan .................................................................................................. 35 5.2 Saran ........................................................................................................ 35 DAFTAR PUSTAKA............................................................................................... 36 LAMPIRAN ............................................................................................................. 37
DAFTAR TABEL Halaman 1
Besaran parameter model ..........................................................................25
2
Nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik ................................................26
3
Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik akibat perubahan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas .......27
4
Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik akibat kenaikan tingkat kenyamanan daerah.............................................30
5
Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik akibat perubahan tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge......................32
xi x
DAFTAR GAMBAR Halaman 1
Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk xj negatif........................21
2
Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk xj positif.........................21
3
Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk xj berbeda tanda.............22
4
Keberadaan titik ekuilibrium yang tunggal dari sistem dinamik.....................25
5
Hubungan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas daerah kej dengan jumlah penduduk daerah ke-j............................................................28
6
Hubungan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas daerah ............29
7
Hubungan tingkat kenyamanan daerah ke-j dengan jumlah penduduk daerah ke-j. ......................................................................................................31
8
Hubungan tingkat kenyamanan daerah ke-j dengan suku bunga. ...................31
9
Efek perubahan parameter terhadap produksi daerah ke-j . ...........................33
10 Efek perubahan parameter terhadap jumlah penduduk daerah ke-j . ..............33 11 Efek perubahan parameter terhadap cadangan modal daerah ke-j . ...............33 12 Efek perubahan parameter terhadap pendapatan per kapita daerah ke-j. ........34
xi
xii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Penghitungan untuk menentukan solusi optimasi fungsi utilitas ............. 38
2
Penghitungan akumulasi knowledge ........................................................ 39
3
Penentuan syarat fisibilitas ....................................................................... 40
4
Penghitungan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik untuk kasus m1 = m2 dengan Mathematica 6.0............................................................. 41
5
Penghitungan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik untuk kasus m1
m2 dengan Mathematica 6.0 ........................................................... 43
6
Kekeliruan-kekeliruan dalam literatur utama (Zhang 2005) ................... 46
7
Korespondensi dengan Wei Bin-Zhang ................................................... 48
xiii xii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembangunan ekonomi adalah suatu proses kenaikan pendapatan total dan pendapatan per kapita dengan memperhitungkan adanya pertambahan penduduk disertai perubahan fundamental dalam struktur ekonomi suatu negara. Salah satu indikator keberhasilan pembangunan ekonomi adalah faktor pertumbuhan ekonomi. Sebuah masyarakat dinilai berhasil melaksanakan pembangunan, bila pertumbuhan ekonomi masyarakat tersebut cukup tinggi. Dengan demikian, yang diukur adalah produktivitas masyarakat atau negara tersebut setiap tahun. Yang dimaksud dengan pertumbuhan ekonomi adalah proses kenaikan kapasitas produksi suatu perekonomian, yang diwujudkan dalam bentuk kenaikan pendapatan nasional. Suatu negara dikatakan mengalami pertumbuhan ekonomi apabila terjadi peningkatan GNP (Gross National Product) riil di negara tersebut. Di samping pertumbuhan ekonomi, perilaku dari sistem dinamik juga sangat penting untuk dikaji. Pertumbuhan ekonomi yang begitu pesat di Eropa pada era 1920-an, yang berjalan sesuai dengan faham kebebasan (laissez faire-laissez passer) seperti keinginan kaum klasik dan neoklasik ternyata hancur pada era 1930-an, yang dikenal sebagai malaise. Setelah itu perekonomian tumbuh dengan pandangan baru (teori developmentalisme), akan tetapi pada tahun 1974 dan 1982 bahkan terjadi resesi yang sangat tajam. Di sinilah pentingnya mempelajari model pertumbuhan ekonomi sehingga bisa dianalisis dan ditentukan besaran-besaran variabel ekonomi yang akan membuat sistem optimal dan stabil. Semua model bergantung pada serangkaian asumsi. Model yang baik hanya memuat asumsi sederhana yang tidak dapat dihindari sehingga hasil akhirnya tidak terlalu sensitif. Asumsi terpenting adalah asumsi yang bergantung kepadanya sensitivitas model, oleh karena itu asumsi terpenting ini harus realistis. Ketika asumsi sebuah model tidak realistis, maka hasil dari model tersebut diragukan kebenarannya.
Domar pada tahun 1948 berasumsi bahwa produksi secara eksplisit merupakan fungsi dari modal/kapital saja. Ketiadaan variabel tenaga kerja/labor dalam fungsi produksi mengakibatkan tenaga kerja selalu dikombinasikan dengan modal dalam proporsi yang tetap (Chiang
& Wainwright
2005). Model
pertumbuhan Domar ini disempurnakan oleh Solow (1956) dengan memasukkan variabel tenaga kerja dalam fungsi produksi secara eksplisit, dengan demikian modal dan tenaga kerja dapat dikombinasikan dalam berbagai proporsi. Pada periode tahun 1927 sampai tahun 1952, produksi perusahaan besi Horndal di Swedia meningkat rata-rata 2% per tahun, padahal tidak ada investasi baru, yakni tenaga kerja dan modalnya tetap (Genberg 1992). Peningkatan produksi dengan tenaga kerja dan modal tetap ini menimbulkan satu pertanyaan, yakni faktor apakah yang membuat peningkatan produksi tersebut terjadi? Permasalahan ini tidak dapat dijelaskan oleh model pertumbuhan Domar dan Solow, karena model pertumbuhan Domar hanya mencantumkan modal secara eksplisit dalam fungsi produksinya, sedangkan model pertumbuhan Solow secara eksplisit hanya mencantumkan modal dan tenaga kerja dalam fungsi produksinya. Verdoorn (1956) menghubungkan output sekarang (current output) dengan output kumulatif untuk menjelaskan adanya learning by doing yang bisa dijadikan jawaban untuk menjelaskan kasus Horndal. Hal ini merupakan kontribusi yang penting karena mampu menunjukkan sebuah indikator dari akumulasi knowledge. Analisis formal terhadap perubahan knowledge pertama kali dikemukakan oleh Arrow (1962). Arrow (1962) mengacu pada kajian Lundberg pada perusahaan besi Horndal di Swedia ini untuk mendukung teorinya tentang perubahan knowledge yang dinamakan 'learning' atau dalam istilah terbaru 'learning by doing'. Learning adalah hasil dari pengalaman yang berlangsung selama aktivitas karena biasanya terjadi melalui upaya untuk menyelesaikan masalah. Arrow (1962) membuat dua asumsi penting, pertama, learning by doing terjadi melalui setiap investasi perusahaan. Peningkatan pada cadangan kapital (capital stock) suatu perusahaan akan mengakibatkan suatu peningkatan dalam stok pengetahuan (stock of knowledge). Kedua, pengetahuan adalah barang publik yang semua perusahaan dapat mengaksesnya tanpa biaya. Dengan kata lain, ketika
sebuah pengetahuan ditemukan, maka pengetahuan tersebut akan keluar dengan seketika ke seluruh sistem ekonomi. Dengan asumsi-asumsi ini, Arrow (1962) menyatakan bahwa fungsi produksi menunjukkan peningkatan return terhadap pengaruh skala (increasing return to scale effect) dalam investasi dan tenaga kerja yang digunakan. Hal ini bersandar pada fakta bahwa setiap input yang baru akan digunakan lebih efektif dibanding input yang lama mereka. Ini hanya dapat dijelaskan oleh satu hal: learning by doing. Dalam penelitian ini akan dikaji model pertumbuhan dua daerah yang diusulkan Zhang (2005) yang memasukkan knowledge sebagai salah satu variabel fungsi produksi.
1.2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1
Mengkaji
model
pertumbuhan
ekonomi
mempertimbangkan akumulasi knowledge. 2
Membuat simulasi model.
dua
daerah
dengan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pertumbuhan Ekonomi Pertumbuhan ekonomi adalah proses kenaikan kapasitas produksi suatu perekonomian yang diwujudkan dalam bentuk kenaikan pendapatan nasional. Pendapatan nasional adalah jumlah pendapatan dari seluruh rumah tangga keluarga di suatu negara sebagai output dari faktor-faktor produksi selama satu tahun. Suatu negara dikatakan mengalami pertumbuhan ekonomi apabila terjadi peningkatan Produk Nasional Bruto (Gross National Product) riil di negara tersebut. Produk nasional bruto meliputi nilai produk berupa barang dan jasa yang dihasilkan oleh penduduk suatu negara selama satu tahun; termasuk hasil produksi barang dan jasa yang dihasilkan oleh warga negara yang berada di luar negeri, tetapi tidak termasuk hasil produksi perusahaan asing yang beroperasi di wilayah negara tersebut. Ada beberapa faktor yang mempengaruhi pertumbuhan ekonomi, namun pada hakikatnya faktor-faktor tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu faktor ekonomi dan faktor nonekonomi. Faktor ekonomi yang mempengaruhi pertumbuhan dan pembangunan ekonomi diantaranya adalah sumber daya alam, sumber daya manusia, dan sumber daya modal. Faktor nonekonomi mencakup kondisi sosio-kultural yang ada di masyarakat, kondisi politik, dan sistem yang berkembang dan berlaku. Sumber daya alam meliputi tanah dan kekayaan alam seperti kesuburan tanah, keadaan iklim/cuaca, hasil hutan, tambang, dan hasil laut. Sumber daya alam tersebut sangat mempengaruhi pertumbuhan industri suatu negara, terutama dalam hal penyediaan bahan baku produksi. Sumber daya manusia meliputi jumlah dan kualitas penduduk. Jumlah penduduk yang besar merupakan pasar potensial untuk memasarkan hasil-hasil produksi, sementara kualitas penduduk menentukan seberapa besar produktivitas yang ada.
Sementara itu, sumber daya modal dibutuhkan manusia untuk mengolah bahan mentah tersebut. Pembentukan modal dan investasi ditujukan untuk menggali dan mengolah kekayaan. Sumber daya modal berupa barang-barang modal sangat penting bagi perkembangan dan kelancaran pembangunan ekonomi karena barang-barang modal juga dapat meningkatkan produktivitas. Sedangkan menurut Todaro (1985), ada tiga faktor utama dalam pertumbuhan ekonomi dari setiap bangsa. Ketiganya adalah akumulasi modal, pertumbuhan penduduk dan kemajuan teknologi. Akumulasi modal (capital accumulation) meliputi semua jenis investasi baru yang ditanamkan pada tanah, peralatan fisik, dan modal sumber daya. Akumulasi modal akan terjadi apabila sebagian dari pendapatan ditabungkan (diinvestasikan) kembali dengan tujuan untuk memperbesar output atau pendapatan di kemudian hari. Pertumbuhan penduduk (angkatan kerja) secara tradisional dianggap sebagai salah satu faktor positif yang memacu pertumbuhan ekonomi. Ini berarti jumlah tenaga kerja yang lebih besar akan menambah jumlah produksi. Pertumbuhan penduduk yang lebih besar berarti ukuran pasar domestik juga akan semakin besar, namun positif atau negatifnya pertambahan penduduk bagi upaya pembangunan ekonomi bergantung pada kemampuan sistem perekonomian yang bersangkutan untuk menyerap dan secara produktif memanfaatkan tambahan jumlah angkatan kerja. Kemajuan teknologi (technological progress) merupakan sumber pertumbuhan ekonomi yang paling penting menurut kebanyakan ekonom terutama kalangan teknokrat. 2.2 Model-model Pertumbuhan Ekonomi Model Pertumbuhan Domar Dasar pemikiran dari model pertumbuhan klasik dari Domar adalah sebagai berikut (Chiang & Wainwright 2005): 1
Setiap perubahan dalam tingkat arus investasi per tahun I(t) akan menghasilkan dua pengaruh; akan mempengaruhi permintaan agregat serta kapasitas produksi ekonomi.
2 Pengaruh permintaan akibat perubahan dalam I(t) beroperasi melalui proses multiplier (penggandaan), yang diasumsikan bekerja seketika itu juga. Jadi kenaikan dalam I(t) akan menaikkan tingkat arus pendapatan per tahun Y(t) sebesar kelipatan dari pertambahan dalam I(t). Multipliernya adalah k = 1/s, di
mana s merupakan konstanta yang menunjukkan kecenderungan menabung marjinal tertentu. Dengan asumsi bahwa I(t) merupakan satu-satunya yang mempengaruhi tingkat arus pendapatan, dapat dinyatakan bahwa
dY dt
dI 1 . dt s
(2.1)
3 Kapasitas pengaruh investasi diukur dengan perubahan tingkat output potensial ekonomi yang mampu diproduksi. Dengan mengasumsikan rasio kapasitas modal yang konstan, dapat ditulis (= suatu konstanta)
K di mana
menunjukkan output produksi per tahun, dan
(2.2)
menunjukkan rasio
kapasitas modal tertentu. Hal ini berarti bahwa dengan persediaan modal K(t) perekonomian secara potensial sanggup memproduksi output tahunan sebesar
K . Dari fungsi produksi ini ( d dt
dK dt
K ) maka d
dK dan
I.
(2.3)
Dalam model Domar, ekuilibrium didefinisikan sebagai situasi di mana faktor-faktor produksi digunakan sepenuhnya. Oleh karena itu untuk mencapai ekuilibrium diperlukan permintaan agregat yang tepat sama dengan output potensial yang dapat dihasilkan dalam satu tahun; yaitu Y
. Akan tetapi, bila
sejak awal mulai dari situasi ekuilibrium, persyaratannya akan berkurang menjadi menyeimbangkan perubahan kapasitas dan permintaan agregat, yakni
dY dt
d . dt
(2.4)
Model Pertumbuhan Solow Dalam model Domar, output dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi dari modal/kapital saja:
K . Tidak adanya input tenaga kerja dalam fungsi
produksi memiliki implikasi bahwa tenaga kerja selalu dikombinasikan dengan modal dalam proporsi yang tetap. Dalam model neoklasik Solow, tenaga kerja dimasukkan sebagai salah satu variabel dari fungsi produksi, sehingga modal dan tenaga kerja dapat dikombinasikan dengan berbagai proporsi. Jadi fungsi produksi menurut Solow (1956) adalah :
Y
F (K , L )
(2.5)
di mana Y adalah output produksi (setelah penyusutan), K adalah modal dan L adalah tenaga kerja, yang kesemuanya digunakan dalam pengertian makro. Diasumsikan bahwa FK dan FL adalah output marjinal yang positif, serta FKK dan FLL adalah negatif (return yang menurun untuk setiap input). Selanjutnya, fungsi produksi F yang digunakan adalah homogen secara linier (return yang konstan terhadap perngaruh skala). Akibatnya dapat ditulis:
Y di mana k
LF (
K , 1) L
(2.6)
L (k )
K . Mengingat asumsi tanda FK dan FKK, pengenalan fungsi L
yang
baru harus dicirikan oleh derivatif pertama yang positif dan derivatif kedua yang negatif. Karena Y bergantung pada K dan L, maka untuk menentukan kedua variabel berikutnya Solow (1956) berasumsi bahwa
.
K
.
L L
dK dt
sY
dL / dt L
(2.7) (2.8)
n.
Simbol s menggambarkan kecenderungan menabung marjinal (konstan), dan n adalah laju pertumbuhan tenaga kerja (konstan). Dengan memperhatikan asumsi tersebut bisa dilihat bahwa (2.7) dan (2.8) tidak menjelaskan bagaimana tingkat K dan L ditentukan, tetapi menjelaskan penentuan tingkat perubahan K dan L. Persamaan (2.6), (2.7) dan (2.8) merupakan model yang lengkap. Untuk memecahkan model ini, pertama akan disederhanakan menjadi satu persamaan dalam satu variabel, yakni dengan mensubstitusikan (2.6) ke dalam (2.7) sehingga diperoleh
.
K Karena k
K L
sL (k )
dan K
kL maka dengan mendiferensialkan K
menggunakan (2.8) diperoleh
.
K
.
Lk
(2.9)
.
kL
.
Lk
kL dan
knL
(2.10)
Dari persamaan (2.9), (2.10) dan dengan menghilangkan L maka diperoleh
.
k
s (k ) nk
(2.11)
Persamaan (2.11), yakni persamaan diferensial dalam variabel k dengan dua parameter s dan n merupakan persamaan dasar dari model pertumbuhan Solow. 2.3 Ekuilibrium Ekuilibrium adalah suatu kumpulan variabel-variabel terpilih yang saling berhubungan (interrelated) dan disesuaikan satu dengan lainnya dengan cara sedemikian rupa, sehingga tidak ada kecenderungan yang melekat (inherent) dalam model tersebut untuk berubah (Chiang & Wainwright 2005). Pernyataan terpilih menunjukkan kenyataan ada variabel yang tidak dimasukkan ke dalam model, sehingga apabila modelnya diperluas dengan memasukkan variabel tambahan maka ekuilibrium pada model semula tidak dapat digunakan lagi. Pernyataan saling berhubungan menunjukkan bahwa untuk dapat mencapai ekuilibrium, semua variabel dalam model harus secara bersamaan dalam keadaan tetap. Sedangkan pernyataan melekat menunjukkan bahwa dalam mendefinisikan ekuilibrium keadaan tetap variabel dalam model hanya didasarkan pada penyeimbangan kekuatan internal dari model tersebut, sedangkan faktorfaktor eksternal dianggap tetap. Pada intinya, ekuilibrium untuk suatu model tertentu adalah suatu keadaan yang mempunyai ciri tidak adanya kecenderungan untuk berubah. 2.4 Solusi Optimum Optimisasi ialah suatu proses untuk mencapai hasil yang ideal atau optimum (nilai efektif yang dapat dicapai). Untuk dapat mencapai nilai optimum, baik minimum atau maksimum tersebut, secara sistematis dilakukan pemilihan nilai variabel yang akan memberikan solusi optimum. Misalkan fungsi f : A nyata), maka x0
(memetakan himpunan A ke himpunan bilangan
A adalah solusi optimum dari fungsi f jika dan hanya jika:
1
x
A , f(x0)
f(x) atau
2
x
A , f(x0)
f(x).
Jika kondisi pertama yang terpenuhi maka x0 adalah solusi minimum dari fungsi f, namun jika kondisi kedua yang terpenuhi maka x0 adalah solusi maksimum dari fungsi f.
Pada umumnya A adalah himpunan bagian dari Ruang Euclid
n
. Bisa juga
ada syarat-syarat tertentu (constraint) berupa persamaan atau ketidaksamaan yang harus dipenuhi oleh elemen dari A. Elemen dari A biasa disebut sebagai solusi yang mungkin (feasible solution), sementara fungsi f biasa disebut sebagai fungsi objektif. Di antara solusi yang mungkin, terdapat solusi yang dapat meminimumkan atau memaksimumkan fungsi objektif, solusi yang demikian ini disebut solusi optimum. Untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi, diberikan Teorema 2.1 dan Teorema 2.2 berikut (Syds?ter & Hammond 2006). Teorema 2.1 Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada interval I dan c
I.
x = c akan menjadi titik maksimum atau minimum dalam I jika f'(c) = 0. Teorema 2.2 c
Jika fungsi f terdiferensialkan dua kali pada interval I dan
I maka berlaku:
1
Jika f'(c) = 0 dan f''(c) < 0 maka c adalah titik maksimum dari f;
2
Jika f'(c) = 0 dan f''(c) > 0 maka c adalah titik minimum dari f;
3
Jika f'(c) = 0 dan f''(c) = 0 maka c bukan titik maksimum atau titik minimum dari f.
BAB III MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA DAERAH 3.1 Asumsi, Definisi dan Fungsi Misalkan sebuah sistem ekonomi terdiri atas dua daerah, masing-masing dengan indeks 1 dan 2. Diasumsikan bahwa iklim dan lingkungan bersifat homogen di dalam kedua daerah tersebut, akan tetapi bisa berbeda antara kedua daerah tersebut. Salah satu komoditas dipilih sebagai numeraire, yakni satuan ukuran uang dalam model makroekonomik abstrak di mana tidak ada mata uang. Tingkat kenyamanan diasumsikan tetap secara regional. Untuk menggambarkan model tersebut, didefinisikan: N
= banyaknya anggota angkatan kerja;
K(t)
= total cadangan modal (capital stocks) pada waktu t;
Z(t)
= tingkat knowledge pada waktu t;
Fj(t)
= tingkat output sektor produksi daerah ke-j pada waktu t;
Kj(t)
= tingkat cadangan modal sektor produksi daerah ke-j pada waktu t;
Nj(t)
= angkatan kerja yang dipekerjakan sektor produksi daerah ke-j pada waktu t;
cj(t)
= tingkat konsumsi per kapita di daerah ke-j pada waktu t;
sj(t)
= tingkat saving per kapita di daerah ke-j pada waktu t;
yj(t)
= pendapatan bersih per kapita di daerah ke-j pada waktu t;
r(t)
= suku bunga pada waktu t;
wj(t)
= tingkat upah di daerah ke-j pada waktu t;
kj(t)
= tingkat cadangan modal per kapita di daerah ke-j.
Fungsi produksi dua daerah dinyatakan sebagai berikut m
F j (t ) = Z j K j N j , m j dengan mj
0, ,
0,
+
1,
j
1, 2
(3.1.1)
adalah parameter efisiensi pemanfaatan knowledge daerah ke-j.
Parameter tersebut mengukur efektivitas setiap daerah dalam menggunakan cadangan knowledge (the knowledge reservoir). Pasar untuk tenaga kerja dan
barang-barang (goods) bersifat kompetitif sehingga tenaga kerja dan modal memperoleh marginal product mereka. Suku bunga dan upah ditentukan oleh pasar, oleh karena itu r(t) dan wj(t) diberikan di setiap titik waktu. Kondisi marginal (marginal condition) dinyatakan dengan:
Fj
r =
Kj
, w
Fj j
N
(3.1.2)
.
j
Diasumsikan tingkat suku bunga besarnya sama di dua daerah sedangkan tingkat upah bisa berbeda antara dua daerah. Pembayaran bunga per kapita diberikan oleh r(t)kj(t). Pendapatan bersih per kapita di daerah ke-j, yj(t), terdiri atas pemasukan dari upah, wj(t), dan pembayaran bunga, r(t)kj(t). Dengan demikian
y j (t ) w j (t ) r (t )k j (t ),
j
1, 2.
(3.1.3)
Diasumsikan bahwa tingkat kegunaan (utility level) perorangan di daerah ke-j, Uj(t), bergantung kepada tingkat konsumsi orang tersebut, cj(t), dan tabungan bersih, sj(t). Fungsi kegunaan (utility function) dinyatakan sebagai berikut U j (t )
A jc j j s j j ,
j
,
j
0,
j
j
1,
j
1, 2
(3.1.4)
dengan A j adalah parameter yang menyatakan tingkat kenyamanan (amenity level) daerah ke-j,
j
komoditas dan
j
adalah kecenderungan daerah ke-j untuk mengkonsumsi adalah kecenderungan daerah ke-j untuk meraih kekayaan.
Pendapatan
bersih
rumah
tangga
(household's
current
income)
didistribusikan antara konsumsi dan tabungan. Kendala pembiayaan diberikan oleh:
cj dengan
k
sj
yj
kj
k
kj,
j
adalah laju depresiasi kapital, 0
1, 2 k
1.
Solusi dari optimasi fungsi utilitas dengan kendala tersebut adalah tunggal, yakni:
cj (lihat Lampiran 1).
j
yj
1
k
k j , sj
j
yj
1
k
kj
Bila dinotasikan 1
d dan y j
k
1
k
kj
yj
dk j
j
maka solusi di
atas dapat ditulis dalam bentuk:
cj
j
, sj
j
j
j
.
(3.1.5)
Akumulasi kekayaan seseorang di daerah ke-j diberikan oleh
.
kj
sj
kj
Dengan mensubstitusikan sj dalam persamaan (3.1.5) ke persamaan terakhir menghasilkan
.
kj
j
k j.
j
(3.1.6)
Karena seseorang dalam memilih tempat tinggal dipengaruhi oleh kondisi lingkungan daerah maka agar seseorang bebas bergerak antara dua daerah, tingkat kegunaan orang tersebut haruslah sama, tidak bergantung dengan daerah mana dia hidup. Oleh karena itu U 1 (t ) U 2 (t ).
(3.1.7)
Persamaan ini merupakan syarat ekuilibrium sementara (temporary equilibrium condition) bagi pasar angkatan kerja antar daerah (interregional labor force markets). Akumulasi Knowledge Dalam bagian ini, hanya diperhatikan learning by doing dalam memformulasikan akumulasi knowledge. Dinamika dari knowledge dinyatakan sebagai berikut:
dZ dt di mana
j
,
F
1 1
Z j
2
Z
1
, dan
z
F2 2
z
(3.1.8)
Z
adalah parameter dan
j
,
z
0. Di sini
j
Fj / Z
j
diinterpretasikan sebagai kontribusi daerah ke-j untuk akumulasi knowledge melalui learning by doing. Diasumsikan kontribusi angkatan kerja daerah ke-j terhadap kreasi/penciptaan knowledge (the knowledge creation) adalah positif dan linear terhadap skala produksi daerah ke-j, Fj. Parameter
j
mengukur return
knowledge terhadap pengaruh skala dari akumulasi knowledge angkatan kerja daerah ke-j. Kontribusi daerah ke-j untuk pertumbuhan knowledge menunjukkan
kenaikan pengaruh skala (increasing scale effects) saat pengaruh skala (decreasing scale effects) saat
j
> 0.
j
j
< 0, dan penurunan
diinterpretasikan sebagai
ukuran dari efisiensi akumulasi knowledge daerah ke-j dan
z
diinterpretasikan
sebagai laju depresiasi knowledge. Untuk melihat terjadinya learning by doing, misalkan knowledge adalah fungsi dari total output produksi selama periode waktu t, yakni: a2
t
Z (t ) a1
F (x )dx
a3 , di mana parameter a1 , a2 , a3
0.
0
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa akumulasi knowledge melalui learning by doing menunjukkan peningkatan return terhadap pengaruh skala dalam kasus a2 > 1, dan penurunan return terhadap pengaruh skala dalam kasus
a2 < 1.
a1 diinterpretasikan sebagai ukuran efisiensi dari learning by doing, sedangkan a3 adalah tingkat knowledge saat t = 0. Dengan mendiferensialkan persamaan di atas terhadap t menghasilkan 1
dZ (t ) dt
a1a2 a2 F (t ) Z (t ) a3
1 1 a2
(lihat Lampiran 2). Persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi
dZ (t ) dt 1
di mana
a1a2 a2 dan
F (t ) Z (t ) a3 1 1 . Dengan asumsi bahwa saat t = 0, a3 mendekati a2
nol dan dengan menggunakan cara ini untuk diterapkan pada daerah ke-1 dan daerah ke-2 kemudian menambah depresiasi knowledge maka dihasilkan persamaan (3.1.8). Dari definisi K, kj dan Nj diperoleh K
k 1N 1
k 2N 2.
(3.1.9)
Persamaan di atas menunjukkan bahwa total cadangan modal sama dengan jumlah dari cadangan modal yang dimiliki oleh dua daerah. Asumsi bahwa tenaga kerja dan cadangan modal semua diberdayakan dinyatakan oleh
N1 + N2 = N, K1 + K2 = K.
(3.1.10)
3.2 Ekuilibrium Sistem Dinamik Sekarang akan dikaitkan syarat bagi keberadaan ekuilibrium dari sistem dinamik, yakni persamaan diferensial (3.1.8) dan (3.1.6). Saat ekuilibrium dk j dt
.
kj
0 dan
dZ dt
kj
j
0 , sehingga dari (3.1.8) dan (3.1.6) didapatkan
F
1 1
,
j
Z
Dengan mensubstitusikan
2
F2
Z
1
j
z
2
Z , j = 1, 2.
(3.2.1)
k j dari persamaan (3.2.1) ke persamaan (3.1.5)
j
menghasilkan j
cj
kj
, sj
k j.
(3.2.2)
j
Persamaan tersebut menjelaskan bahwa saat ekuilibrium, tingkat konsumsi per kapita di daerah ke-j adalah proporsional dengan tingkat cadangan modal per kapita. Persamaan (3.2.2) merupakan koreksi dari solusi yang diberikan oleh Zhang (2005) yang menyatakan bahwa s j
dk j dengan d
1
k
. Untuk
selanjutnya bagian yang dikoreksi tidak akan disebutkan dalam bab ini, akan tetapi dapat dilihat pada Lampiran 6. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.2.2) ke dalam fungsi utilitas (3.1.4) dan kemudian menggunakan persamaan (3.1.7) diperoleh
k1 k2
A2 A1
A
2
1
2
1
2
1
.
(3.2.3)
Keseimbangan (balance) dari permintaan (demand) dan penawaran (supply) diberikan oleh k N1
1 1
dengan
2
j j
k
, j
k 2 N 2 = F1
1, 2. Dari
j
(3.1.3) dan definisi
j
, diperoleh
F2 j
(3.2.4) j
k j dalam persamaan (3.2.1) dan
w
(
j
r )k j ,
j
j
1, 2.
(3.2.5)
Oleh persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) didapatkan K1 N 1 Z m1 /
K2 , r N 2 Z m2 /
, w
Kj N jZ
r
Kj
mj /
N jZ
mj /
.
mj /
maka persamaan di atas dapat ditulis
mj /
, w
Dengan
Z
Kj N jZ
Jika dinotasikan
j
mj /
Z
j
mensubstitusikan
. Fj
(3.2.6) rK j
Kj
ke
persamaan
(3.2.4)
menghasilkan k N1
1 1
2
k 2N 2 =
K
(3.2.7)
dengan K = K1 + K2. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.1.9) dan (3.2.3) ke persamaan (3.2.7) menghasilkan N1 N2
2
(1
1
dengan mendefinisikan
2
(1 dan karena N 1
N1
1
N2
N 1
1 . )A
N1 maka N2 1 )A
(3.2.8)
N maka dapat ditulis
, N2
N 1
.
(3.2.9)
Dengan membagi persamaan pertama dalam persamaan (3.2.5) oleh persamaan kedua kemudian menggunakan persamaan (3.2.3) dan persamaan (3.2.6) ditemukan:
Zm
1
A
(3.2.10)
2
m1 m 2
di mana m
.
Dari persamaan pertama pada persamaan (3.2.6) dan F j Kj
N jZ
mj /
, Fj
N jZ
mj /
Kj
, diperoleh
.
(3.2.11)
Dengan mensubstitusikan Fj dalam persamaan (3.2.11) ke persamaan kedua dalam persamaan (3.2.1) didapatkan m1
1
Z 1N 1
m2
1
2 NZ 1
Dalam persamaan (3.2.12),
2
1 z
0.
(3.2.12)
dan Z adalah fungsi dari
yang masing-masing
didefinisikan oleh persamaan (3.2.8) dan persamaan (3.2.10), oleh karena itu bisa dinotasikan 1
1( )
dengan
N Z x1 1
,
mj
xj
2
2( )
1,
j
j
NZ x 2 1
1, 2,
dan
( )
1
( )
2
( )
z
sehingga untuk selanjutnya persamaan
(3.2.12) di atas ditulis ( )
1
( )
2
( )
z
(3.2.13)
0.
Syarat Fisibilitas Agar solusi model di atas fisibel saat ekuilibrium, maka: 1 wj > 0
maks
N1 N2
2
1 1
3 Z
0 1
(3.2.14)
, 1
2
1
1
1
2
untuk kasus
1
untuk kasus
2
2
0 , telah dijamin oleh syarat (3.2.14).
(lihat Lampiran 3).
1
2
atau
(3.2.15)
Dalam tulisan ini akan dibahas untuk kasus
1
(untuk kasus
2
1
2
,
tinggal dibalik daerah ke-2 dijadikan daerah ke-1), sehingga syarat fisibilitasnya menjadi: maks
dan
, 1
2
1
1
1
2
2
, sehingga ada dua kemungkinan,
yakni:
1
1 2
2
1
1
2
(3.2.16)
1
2
1
1
1
2
yang berarti bahwa
2
2
yang berarti bahwa
2
(3.2.17)
1
2
Dengan memperhatikan syarat (3.2.16), persamaan (3.2.13), (3.2.8) dan (3.2.10), fungsi
( ) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: ( 1/
1 1/ 2
2
/
N
z
,
2
1
tak terdefinisi, lim
1/ 1
lim
1 1/ 1
x1
d d
x2 /m
)A /
2
x2
1
Z
2
dZ d
1
/ 1
2
d d
1
N Z x1 1 1
2
z
,
,
dengan m
dZ d d d
2
(
)(
2
2
Z
1
)
1
1
2
1
1
1
0,
0.
Sebagaimana sulit untuk menilai secara eksplisit tanda dari
lim
,
1 1/ 1
1 1/ 2
dan
d , juga sulit untuk menilai apakah persamaan d
( )= 0
mempunyai solusi. Oleh karena itu terlebih dahulu harus diselesaikan dengan nilai
1
spesifik dari beberapa parameter. Sebagai contoh, jika misalnya jika
2
besar),
lim
1/ 2
> 0 (yang dijamin,
< 0 (yang dijamin, misalnya jika
1
1
kecil),
1/ 1
dan
d > 0 (misalnya jika m > 0, x1 < 0 dan x2 < 0), maka sistem dinamik d
mempunyai sebuah ekuilibrium. Dari pembahasan di atas didapatkan proposisi berikut: 2
Proposisi 1. Asumsikan m 0 dan mempunyai solusi untuk 1/
1/
1
2
1
. Jika persamaan (3.2.13)
maka sistem dinamik mempunyai solusi
2
ekuilibrium. Banyaknya economic equilibrium sama dengan banyaknya solusi dari persamaan (3.2.13). Dengan cara yang serupa didapatkan proposisi berikut 2
Proposisi 2. Asumsikan m 0 dan
1
mempunyai solusi untuk 2
2
1
. Jika persamaan (3.2.13)
maka sistem dinamik mempunyai solusi
2
ekuilibrium. Banyaknya economic equilibrium sama dengan banyaknya solusi dari persamaan (3.2.13). Karena sulitnya menentukan kondisi bahwa persamaan (3.2.13) mempunyai solusi yang bermakna, sebagai ilustrasi akan dianalisis kasus m = 0 dan 2 2
1
. Dari persamaan (3.2.10), diperoleh A 1 . 1A 2
Solusi tunggal
(3.2.18)
adalah positif dan memenuhi (3.2.16) jika 2
/
1
A
min
2 1
, 1
/
1.
(3.2.19)
2
Di bawah syarat (3.2.19), diselesaikan Dengan persamaan (3.2.8) dapat ditentukan
dengan persamaan (3.2.18).
. Perlu dicatat bahwa untuk kasus
m = 0, nilai
dan
bebas terhadap Z. Cara yang sama dengan persamaan
(3.2.13), diperoleh 0
(Z )
01
(Z )
02
(Z )
0, 0
z
Z
(3.2.20)
di mana 1
01 ( Z )
N Z x1 1
,
Perlu dicatat bahwa dalam
02 ( Z )
01
( Z ) dan
2
NZ x 2 1
02
.
( Z ),
dan
diperlakukan
sebagai parameter, sehingga persamaan (3.2.20) memuat satu variabel, yakni Z. 2
Akibat 1 Jika m = 0,
2
dan (3.2.19) terpenuhi, maka:
1
1
jika xj < 0, j = 1, 2, sistem memiliki ekuilibrium tunggal;
2
jika xj > 0, j =1, 2 sistem memiliki ekuilibrium tunggal;
3
jika xj, j =1, 2 berbeda tanda, sistem memiliki satu titik ekuilibrium, atau dua titik ekuilibrium atau tidak memiliki titik ekuilibrium.
Bukti: Persamaan (3.2.20) jika didiferensialkan terhadap Z diperoleh x 1 1N Z x 1 1
d 0 dZ
1
x 2 2 NZ x 2 1
1
.
1) Kasus xj < 0 lim Z
0
0
(Z )
lim Z
0
lim Z
lim
Z
0
(Z )
0
2
N
Z
1 x1
1
Z 2
N
Z
1 x1
NZ x 2 1
z
N
N Z x1 lim Z 1
lim
0.
N Z x1 1
1
Z
d 0 dZ
1
2 x2
z
1
NZ x 2 1
1
Z
1
(3.2.21)
z
N
2 x2
0.
z
0.
(3.2.22)
(3.2.23)
Dari pertidaksamaan (3.2.21), (3.2.22), dan (3.2.23) dapat disimpulkan bahwa fungsi
0
( Z ) adalah fungsi turun pada 0
Z
yang memotong sumbu
Z tepat satu kali, sehingga ada satu titik ekuilibrium. 2) Kasus xj > 0 Dengan cara yang serupa dengan kasus 1, diperoleh lim Z
lim
Z
0
0
( Z ) 0,
d 0 dZ
0, 0 Z
0
0
( Z ) < 0,
, sehingga bisa disimpulkan bahwa fungsi
( Z ) adalah fungsi naik pada 0
yang memotong sumbu Z tepat satu
Z
kali, sehingga ada satu titik ekuilibrium. 3) Kasus xj berbeda tanda, yakni x1 > 0 dan x2 < 0 atau x1 < 0 dan x2 > 0 Dengan cara yang serupa dengan kasus 1, diperoleh lim Z
lim
Z
0
d 0 d 0 bisa positif, negatif atau 0, dan dZ dZ
( Z ) 0,
tunggal pada 0
Z
x1
Z x1
1
1
x1
Z x1
1
1
Z x2
Z
0
( Z ) > 0,
0 memiliki solusi
, yakni
d 0 0 dZ x 1 1N Z x 1 1 1 N x 1 1 Z x1
Z x1
0
x 2 2Z x 2 x2
1
x2
x2
x1 x2 x1
1
x 2 2 NZ x 2 1 1 x 2 2Z x 2 1
2
1
0 0
0
0
2
1 1/ x 1 x 2
2
.
1
Dengan demikian tidak dapat ditentukan keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk kasus xj berbeda tanda, yakni bisa terdapat satu titik ekuilibrium, dua titik ekuilibrium atau tidak terdapat titik ekuilibrium, bergantung kepada jumlah titik potong fungsi
0
( Z ) terhadap sumbu Z.
Gambar 1, 2, dan 3 berikut memberikan ilustrasi banyaknya titik ekuilibrium dari sistem dinamik sesuai dengan Akibat 1.
0
(Z )
0.005
0.1
0.005
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Z
satu titik ekuilibrium x1 < 0, x2 < 0
Gambar 1 Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk xj negatif. 0
0.015
(Z )
0.010 0.005
0.5 0.005 0.010
1.0
1.5
2.0
2.5
Z
satu titik ekuilibrium x1 > 0, x2 > 0
0.015
Gambar 2 Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk xj positif.
0Z 0Z
0.4
0.20
0.3 0.15 0.10
0.2
0.05
0.1 0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
Z
0.014
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
Z
0.05
(a)
(b)
0Z 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.002
0.004
0.006
0.008
(c)
0.010
0.012
0.014
Z
Gambar 3 Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk xj berbeda tanda; (a) memiliki satu titik ekuilibrium, (b) memiliki dua titik ekuilibrium, (c) tidak memiliki titik ekuilibrium. Dalam kasus m = 0,
2 2
1
, dan (3.2.19) terpenuhi, nilai ekuilibrium
dari peubah-peubah sistem dinamik diberikan melalui langkah berikut: 1
diselesaikan dengan persamaan (3.2.18);
2
diselesaikan dengan persamaan (3.2.8);
3
N j, j
1, 2 diselesaikan dengan persamaan (3.2.9);
4
Z diselesaikan dengan persamaan (3.2.20);
5
r, wj dan Kj diselesaikan dengan persamaan (3.2.6);
6
K diselesaikan dengan persamaan (3.1.10);
7
kj diselesaikan dengan persamaan (3.2.5);
8
cj dan sj diselesaikan dengan persamaan (3.2.2);
9
Fj diselesaikan dengan persamaan (3.1.1);
10 yj diselesaikan dengan persamaan (3.2.3); 11 Uj diselesaikan dengan persamaan (3.1.4). Persyaratan m = 0, berarti bahwa kedua daerah memiliki tingkat penggunaan knowledge yang sama. Syarat
2
1
(yakni
2
1
) berarti bahwa kecenderungan
daerah kedua untuk mendapatkan kekayaan lebih tinggi dibandingkan dengan daerah pertama. Syarat
2 2
1
mengakibatkan bahwa perbedaan prioritas
antara dua daerah tidaklah besar. Karena mj adalah efisiensi penggunaan knowledge daerah ke-j dan
j
menyatakan return terhadap pengaruh skala dari
knowledge dalam akumulasi knowledge, xj bisa diinterpretasikan sebagai ukuran return terhadap pengaruh skala dari knowledge di daerah ke-j. Syarat xj < 0, j = 1, 2, bisa diinterpretasikan bahwa dua daerah menunjukkan kelemahan return terhadap pengaruh skala dari knowledge. Syarat xj > 0, j = 1, 2, menyatakan bahwa kedua daerah memperlihatkan kekuatan return terhadap pengaruh skala dari knowledge. 3.3 Efek Perubahan Beberapa Parameter dalam Struktur Ekonomi Untuk menyederhanakan masalah, misalkan asumsi dalam Akibat 1 terpenuhi. Lebih dari itu diperhatikan dua kasus, xj > 0 dan xj < 0, j = 1, 2, yang menjamin eksistensi tunggalnya titik ekuilibrium dalam sistem dinamik. Untuk melihat dampak perubahan parameter A, A bisa berubah karena perubahan Aj atau
j
. Peningkatan dalam A berarti peningkatan dalam A2 atau
penurunan dalam A1. Dengan mengambil turunan dari persamaan (3.2.8), (3.2.9), r
/
dalam (3.2.6) dan (3.2.18) terhadap A menghasilkan
d dA dr dA d dA
1
2
( 1A
2
1
d dA
0,
1
(1
2
0,
)2
2
)(1
1 dN 1 N 1 dA
1 (1
1 dN 2 N 2 dA
1 d 1 dA
)
1
d ) dA
d dA
A
0,
0, 0.
Karena tingkat kenyamanan daerah ke-2 meningkat, suku bunga berkurang (ditunjukkan oleh
dr dA
0 ) dan beberapa populasi daerah ke-1 berpindah menuju
daerah ke-2 (ditunjukkan oleh
dN 1 dA
0 dan
dN 2 dA
0 ).
BAB IV SIMULASI MODEL Dalam Bab III
telah dijelaskan sifat-sifat sistem dinamik dari model,
khususnya untuk m1 = m2. Sekarang akan dibuat simulasi model untuk menggambarkan sifat-sifat sistem dinamik, baik untuk m1 = m2 ataupun m1
m2.
Untuk mensimulasikan model ini, terlebih dahulu ditentukan besaran parameter model sebagaimana disajikan dalam Tabel 1. Tabel 1 Besaran parameter model
A
j
mj
1
0.6 0.55
0.4 0.06
0.2
2
0.6 0.35
0.2 0.06
0.2
j
j
j
j
k
N
z
0.3 0.06 0.07 100
Parameter-parameter pada Tabel 1 di atas menunjukkan bahwa daerah ke-1 identik dengan daerah ke-2 kecuali dalam hal kecenderungan mengkonsumsi komoditas (
j)
dan tingkat kenyamanan ( A j). Daerah ke-1 lebih tinggi
kecenderungan mengkonsumsi komoditasnya dibanding daerah ke-2, begitu pula daerah ke-1 lebih nyaman lingkungan daerahnya dibanding daerah ke-2. Dengan spesifikasi di atas, dapat ditentukan x1 = -0.342857 dan x2 = -0.342857, ini menunjukkan kelemahan return terhadap pengaruh skala dari knowledge di daerah ke-1 dan daerah ke-2. Menurut Akibat 1 pada Bab III, sistem dinamik memiliki satu titik ekuilibrium, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4. 0Z 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
200 000
400 000
600 000
800 000
Z
Gambar 4 Keberadaan titik ekuilibrium yang tunggal dari sistem dinamik.
Kemudian dengan Akibat 1 pada Bab III, dengan bantuan Software Mathematica 6.0 (Lampiran 4 dan Lampiran 5), dapat ditentukan nilai ekuilibrium variabel-variabel sistem dinamik yang disajikan dalam Tabel 2. Tabel 2 Nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik Variabel
j=1
j=2
Nj
35.06
64.94
wj
4
7.96 10
7.96 104
Kj
5.62 106
1.04 107
k j = sj
7.45 104
2.07 105
cj
9.10 104
1.11 105
Fj
3.99 106
7.39 106
yj
9.55 104
1.24 105
Uj
3.33 104
3.33 104
0.21
0.21
r Z
6.67 105
K
1.60 107
Dari Tabel 2 dapat dapat disimpulkan bahwa pada saat ekuilibrium, 35.06% penduduk memilih tinggal di daerah ke-1, 64.94% tinggal di daerah ke-2, tingkat upah di daerah ke-1 sama dengan tingkat upah di daerah ke-2, total cadangan modal, tingkat produksi, pendapatan per kapita dan tingkat konsumsi daerah ke-1 lebih kecil dari pada daerah ke-2, hal ini menunjukkan bahwa walaupun daerah ke-1 lebih nyaman, namun karena tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditasnya lebih tinggi (tingkat kecenderungan meraih kekayaannya rendah), maka tingkat ekonominya dan jumlah penduduknya menjadi lebih rendah dibandingkan dengan daerah ke-2 yang tingkat kenyamanannya lebih rendah. 4.1 Efek Perubahan Tingkat Kecenderungan Mengkonsumsi Komoditas Untuk melihat dampak yang terjadi apabila daerah ke-j mengurangi tingkat kecenderungannya untuk mengkonsumsi komoditas,
2
dan
1
masing-masing
dikurangi 3.33%, sedangkan parameter yang lain tetap seperti pada Tabel 1.
Persentase peningkatan/penurunan nilai variabel dihitung dengan prosedur berikut x j (A1 ) x j (A10 )
xj
x j (A10 )
100%
(4.1)
dengan x j (A1 ) adalah nilai ekuilibrium variabel x j dengan paremeter A1 dan
x j (A10 ) adalah nilai ekuilibrium variabel x j dengan paremeter A10 . Persamaan (4.1) akan digunakan untuk mengevaluasi persentase dampak perubahan parameter yang lain. Simbol
digunakan untuk menyatakan bahwa parameter x j
xj
ditingkatkan, sedangkan tanda x j
digunakan untuk menyatakan bahwa
parameter x j diturunkan. Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabelvariabel
sistem
dinamik
akibat
menurunnya
tingkat
kecenderungan
mengkonsumsi komoditas disajikan dalam Tabel 3. Tabel 3 Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik akibat perubahan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas 1
Perubahan variabel
2
j=1
j=2
j=1
j=2
Nj
61.17
-33.03
-80.29
43.35
wj
-15.54
-15.54
32.08
32.08
Kj
21.64
-49.46
-68.66
127.92
k j= s j
-5.62
-9.59
27.77
29.09
cj
-12.34
-9.58
27.77
22.59
Fj
36.13
-43.43
-73.97
89.33
yj
-12.02
-9.59
27.77
23.24
Uj
-9.59
-9.59
27.77
27.77
r
11.91
-16.93
Z
-13.13
26.10
K
-24.53
59.00
Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa penurunan tingkat kecenderungan untuk mengkonsumsi komoditas di daerah ke-1 sebesar 3.33% menyebabkan naiknya tingkat suku bunga sebesar 11.91%, berpindahnya 33.03% penduduk daerah ke-2 menuju daerah ke-1, meningkatnya tingkat produksi daerah ke-1, berkurangnya tingkat upah, pendapatan per kapita dan konsumsi kedua daerah pada saat ekuilibrium dicapai. Sebaliknya penurunan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas di daerah ke-2 sebesar 3.33% menyebabkan berkurangnya tingkat suku bunga sebesar 16.93%, peningkatan tingkat upah, pendapatan per kapita dan konsumsi kedua daerah, berpindahnya 80.28% penduduk daerah ke-1 menuju daerah ke-2, meningkatnya tingkat produksi dan cadangan modal daerah ke-2 pada saat ekuilibrium. Grafik hubungan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas daerah ke-j (
j)
dengan jumlah penduduk daerah ke-j (Nj), dan tingkat suku bunga (r),
disajikan masing-masing dalam Gambar 5 dan Gambar 6. N2
N1 100
80
80 60
60 40
40 20
20
0.50
0.52
0.54
0.56
1
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
2
Gambar 5 Hubungan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas daerah ke-j ( j) dengan jumlah penduduk daerah ke-j (Nj).
r
r 0.35 0.30
0.4
0.25
0.3 0.20 0.15
0.2
0.10
0.1 0.05
0.45
0.50
0.55
0.60
1
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
2
Gambar 6 Hubungan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas daerah ke-j ( j) dengan suku bunga (r). Dari Gambar 5 terlihat bahwa jumlah penduduk di setiap daerah berbanding terbalik dengan tingkat kecenderungan daerah tersebut dalam mengkonsumsi komoditas.
Gambar
6
menyatakan
bahwa
pengurangan
kecenderungan
mengkonsumsi komoditas di daerah ke-1 akan menaikkan tingkat suku bunga, sebaliknya pengurangan kecenderungan mengkonsumsi komoditas di daerah ke-2 justru akan menurunkan tingkat suku bunga. 4.2 Efek Perubahan Tingkat Kenyamanan Daerah Untuk melihat dampak yang terjadi apabila daerah ke-j meningkatkan tingkat kenyamanannya, A1 dan A2 dinaikkan masing-masing sebesar 3.33%, sedangkan parameter yang lain tetap seperti pada Tabel 1. Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel-variabel sistem dinamik akibat perubahan tingkat kenyamanan daerah ke-j disajikan dalam Tabel 4.
Tabel 4 Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik akibat kenaikan tingkat kenyamanan daerah
A1 j=1
j=2
A2 j=1
j=2
Nj
41.63
-22.47
-56.34
30.42
wj
-12.09
-12.09
16.38
16.38
Kj
14.27
-37.45
-43.78
67.93
k j= s j
-10.49
-7.50
14.19
10.51
cj
-10.49
-7.50
14.19
10.51
Fj
24.51
-31.84
-49.19
51.78
yj
-10.49
-7.50
14.19
10.51
Uj
-7.50
-7.50
14.19
14.19
Perubahan variabel
r
8.97
-9.62
Z
-10.18
13.47
K
-19.32
28.76
Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa perbaikan tingkat kenyamanan daerah yang lebih nyaman (daerah ke-1) menyebabkan penurunan semua nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik selain jumlah penduduk, tingkat produksi dan cadangan modal daerah ke-1 serta tingkat suku bunga pada saat ekuilibrium. Sedangkan perbaikan tingkat kenyamanan daerah yang kurang nyaman (daerah ke-2) menyebabkan peningkatan semua nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik selain jumlah penduduk, tingkat produksi dan cadangan modal daerah ke-1 serta tingkat suku bunga pada saat ekuilibrium. Grafik efek perubahan tingkat kenyamanan daerah ke-j (Aj) terhadap jumlah penduduk daerah ke-j (Nj) dan tingkat suku bunga (r) disajikan masing-masing dalam Gambar 7 dan Gambar 8.
N1
N2
80 80 60 60 40
40
20
20
0.45
0.46
Gambar 7
0.47
0.48
0.49
0.50
A1
0.202
0.204
0.206
0.208
0.210
A2
Hubungan tingkat kenyamanan daerah ke-j (Aj) dengan jumlah penduduk daerah ke-j (Nj).
r
r 0.20
0.30 0.25
0.15
0.20 0.10
0.15 0.10
0.05
0.05
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
A1
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
A2
Gambar 8 Hubungan tingkat kenyamanan daerah ke-j (Aj) dengan suku bunga (r). Dari Gambar 7 dapat disimpulkan bahwa nilai ekuilibrium jumlah penduduk daerah ke-j akan semakin besar jika tingkat kenyamanan daerah tersebut juga semakin besar, sedangkan Gambar 8 menunjukkan bahwa nilai ekuilibrium tingkat suku bunga akan turun jika daerah ke-2 (yang tingkat kenyamanannya kurang) meningkatkan kenyamanan daerahnya. 4.3 Efek Perubahan Tingkat Efisiensi Pemanfaatan Knowledge Untuk melihat dampak kenaikan tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge, parameter m1 dan mj dinaikkan sebesar 3.33%, m2 naik sebesar 0.38275%, sedangkan parameter yang lain tetap seperti pada Tabel 1. Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel-variabel sistem dinamik akibat perubahan tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge disajikan dalam Tabel 5.
Tabel 5 Persentase perubahan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik akibat perubahan tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge Perubahan variabel Nj
mj
m1
m2
j=1
j=2
j=1
j=2
j=1
j=2
0.00
0.00 182.42
-98.49
-81.72
44.12
wj
331.87 331.87
66.51
12.15
37.82
44.16
Kj
331.87 331.87 164.12
-99.05
-70.91
139.83
k j= s j
331.87 331.87
97.16
97.16
34.24
34.24
cj
331.87 331.87
97.16
97.16
34.24
34.24
Fj
331.87 331.87 370.27
-98.30
-74.80
107.76
yj
331.87 331.87
97.16
97.16
34.24
34.24
Uj
331.87 331.87
97.16
97.16
34.24
34.24
r
0.00
78.05
-13.37
Z
238.43
52.54
35.31
K
331.87
-6.78
65.94
Dari Tabel 5 dapat dilihat bahwa kenaikan tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge di kedua daerah menyebabkan meningkatnya tingkat produksi, upah, pendapatan per kapita, tingkat saving di kedua daerah tanpa memberikan pengaruh terhadap suku bunga dan perpindahan penduduk. Kenaikan tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge di daerah ke-1 menyebabkan meningkatnya nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik daerah tersebut, kecuali total cadangan modal. Kenaikan tingkat efisiensi pemanfaatan knowledge di daerah ke-2 menyebabkan meningkatnya nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik daerah tersebut, selain tingkat suku bunga. Efek perubahan parameter terhadap tingkat produksi daerah ke-j (Fj), jumlah penduduk daerah ke-j (Nj), cadangan modal daerah ke-j (Kj), dan tingkat pendapatan per kapita daerah ke-j (yj) masing-masing disajikan dalam Gambar 9, 10, 11 dan 12.
35
106
30 Produksi
25 20
Daerah-1
15
Daerah-2
10 5 0 1 asal
1
2
A14
23
A25
m1 6
m7 2
mj8
Perubahan parameter
Gambar 9 Efek perubahan parameter terhadap produksi daerah ke-j (Fj).
Jumlah penduduk
120 100 80 Daerah-1 Daerah-2
60 40 20 0
asal 1
2
1
32
A14
A52
m 61
m2 7
m 8j
Perubahan parameter
Gambar 10 Efek perubahan parameter terhadap jumlah penduduk daerah ke-j (Nj). 50
106
Cadangan modal
45 40 35 30
Daerah-1
25
Daerah-2
20 15 10 5 0
asal 1
12
23
A14
A25
m16
m2 7
mj 8
Perubahan parameter
Gambar 11 Efek perubahan parameter terhadap cadangan modal daerah ke-j (Kj).
Pendapatan per kapita
4 60 10
50 40
Daerah-1
30
Daerah-2 20 10 0
asal 1
1
2
3
2
A14
A2 5
m16
m2 7
mj
8
Perubahan parameter
Gambar 12 Efek perubahan parameter terhadap pendapatan per kapita daerah ke-j (yj).
Dari Gambar 9, 10, 11, dan 12 bisa disimpulkan bahwa peningkatan efisiensi pemanfaatan knowledge lebih efektif untuk meningkatkan nilai ekuilibrium variabel produksi, pendapatan per kapita, dan cadangan modal daerah tersebut dibandingkan pengurangan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas dan perbaikan tingkat kenyamanan daerah.
BAB V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan Dari kajian terhadap model pertumbuhan ekonomi dua daerah dengan mempertimbangkan akumulasi knowledge yang dirumuskan oleh Zhang (2005) dan simulasi yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa: 1
Terdapat kekeliruan dalam penentuan solusi model yang dirumuskan oleh Zhang (2005), kekeliruan yang dimaksud dapat dilihat dalam Lampiran 6, dan korespondensi dengan Zhang ada dalam Lampiran 7.
2
Sistem dinamik mempunyai titik ekuilibrium tunggal dalam kasus ukuran return terhadap pengaruh skala dari knowledge kedua daerah (xj) memiliki tanda yang sama. Bila berbeda tanda, maka sistem dinamik memiliki satu titik ekuilibrium, atau dua titik ekuilibrium atau tidak memiliki titik ekuilibrium sama sekali.
3
Dari simulasi dapat disimpulkan bahwa: Perbaikan tingkat kenyamanan (amenity level) menyebabkan berpindahnya penduduk ke daerah yang lebih nyaman. Berkurangnya kecenderungan mengkonsumsi komoditas di suatu daerah menyebabkan
berpindahnya
penduduk
ke
daerah
tersebut
dan
meningkatnya produksi di daerah tersebut. Peningkatan efisiensi pemanfaatan knowledge suatu daerah lebih efektif untuk meningkatkan nilai ekuilibrium variabel produksi, pendapatan per kapita, dan cadangan modal daerah tersebut dibandingkan pengurangan tingkat kecenderungan mengkonsumsi komoditas dan perbaikan tingkat kenyamanan daerah. 5.2 Saran Perlu perbaikan dan pengembangan model lebih lanjut, misalnya dengan memperhitungkan aspek dinamika penduduk.
DAFTAR PUSTAKA
Arrow KJ. 1962. The economic implication of learning by doing. The Review of Economic Studies. V.29. N.3. pp.155-173. Chiang AC, Wainwright K. 2005. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi. Sudigno S, Nartanto, penerjemah; Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fundamental Methods of Mathematical Economics. Genberg. 1992. The Horndal effect: productivity growth without capital investment at Horndalsverken between 1927 and 1952. Sweden. Uppsala Universitet. Sollow RM. 1956. A contribution to the economic growth. The Quarterly Journal of Economic. Vol 70. No 1. pp.65-94. Syds? ter K, Hammond P. 2006. Essential Mathematics for Economic Analysis. London. Prentice Hall, Inc. Todaro MP. 1985. Ilmu Ekonomi Bagi Negara Sedang Berkembang. Kuhardjo N, penerjemah; Jakarta: Akademika Pressindo. Terjemahan dari: Economic for a Developing World. Verdoorn PJ. 1956. Complementarity and long-range projections. Econometrica. 24. pp.429-450. Zhang WB. 2005. Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in Economics, in “Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences”, vol. 68. Singapore: World Scientific.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penghitungan untuk menentukan solusi optimasi fungsi utilitas Masalah optimasi fungsi utilitas berkendala dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan
U j (t )
Terhadap
cj
sj
yj
kj
kj
sj
yj
dk j
cj
Karena
yj
kj
k
optimasinya bisa dijadikan mengoptimalkan U j (t )
A jc j j s j j k
kj
sj
s j maka
j
masalah
masalah optimasi tanpa kendala, yakni dengan
Aj (
sj) j sjj .
j
Dengan uji turunan pertama terhadap s j diperoleh
dU j (t )
Aj
ds j j
(
j
sj
sj)
j
j
cj
(
j
j
j
1
sj)
j
sjj
(
j
sj)
sj
j
(
sjj
sj
j
Aj
j
j
sj
(1
j
(
j
)
j
1
sj) j sjj
j
0 sehingga diperoleh
1
sj) j sjj
j
j
j
1
j
(
j
j
j
j
j
)s j
j
(
j
j
sj)
j
sj
j
j
j
Uji turunan kedua: d 2U j (t ) ds j
2
Aj
j
Aj
Karena
sj
j
d 2U j (t ) ds j 2 j
1 (
j
j
j
(
j
j
sj) j
sj)
Aj
j
(
j
sj)
j
j
Aj
j
(
j
sj)
j
j
1
2 1
j
sjj
2
sjj 1
sjj sjj
Aj Aj
Aj 1
Aj
j
j
j j
1 (
j
j
( j
j
1
sj) j sjj
j
1
sj) j sjj
2
j
1
sjj
sjj
sj)
j
(
j
1
2
0
< 0 maka fungsi utilitasnya maksimum pada nilai c j
j
j
dan
Lampiran 2 Penghitungan akumulasi knowledge a2
t
Z (t ) a1
F (x )dx
a3 , di mana parameter a1 , a2 , a3
0
dZ (t ) dt
a2 1
t
a1a2 F (t )
F (x )dx 0
Z (t ) a3 a1
a1a2 F (t )
a1a2 F (t ) Z (t ) a3 1
a1
1 a2
1 a2
a1 a2 F (t ) Z (t ) a3
1 1 a2
1
1 a2
1 a2
a2 1
0
Lampiran 3 Penentuan syarat fisibilitas Agar solusi model fisibel maka tingkat upah (wj) di kedua daerah, jumlah penduduk di kedua daerah (Nj), dan tingkat knowledge (Z) adalah positif. 1
Untuk j = 1,2, wj > 0 r
j
0
(
0 , karena kj > 0 maka
r )k j
j
r
j
j
j
maks
, 1
N1 N2
2
i)
ii)
1 )A
2
(1
1
0. Ada dua kemungkinan, yakni
1 0 dan 1
2
0
1
1 0 dan 1
2
2
0
1
1
1
1
2
1
1
1
2
untuk kasus
1
untuk kasus
2
1
2
1 m
3 Z
1
0
A
0
2
Karena
maks
i)
kasus
1
maka
, 1
2
2
,
sehingga
1
0 dan
1
1
1 1 m
2
0 akibatnya Z
2 1
ii)
kasus
1
2
1
A
0
2
,
sehingga
1
0 dan
1
2
2 1 m
2
0 akibatnya Z
2 2
Jadi Z
1 2
0 telah dijamin oleh syarat wj > 0
A
0
Lampiran 4 Penghitungan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik untuk kasus m1 = m2 dengan Mathematica 6.0
Lampiran 5 Penghitungan nilai ekuilibrium variabel sistem dinamik untuk kasus m1 m2 dengan Mathematica 6.0
Lampiran 6 Kekeliruan-kekeliruan dalam literatur utama (Zhang 2005) 1
Halaman 404, dalam persamaan (10.4.11) tertulis s j
sj
dk j , seharusnya
kj
2 Halaman 406, dalam persamaan (10.4.19) ditulis Z m
1
, seharusnya
2
Zm
1
A . Dalam tesis ini
dan
1
diganti dengan
2
1
dan
2
untuk
2
menghindari kesan ada hubungannya dengan 3 Halaman 407, ditulis
( 1/
1
4
N
x2 /m 2
N
z
A /(
1
2
1/ 1
.
/
)
1 /
1
lim
lim
1 1/ 1
d d
2
1
2
1
1
x1 /
N
2
1
2
1
N Z x1 1
z
0 , seharusnya
1
0.
1 1
Halaman 407, ditulis "if
0 ..." seharusnya "if
1/ 2
lim 1 1/ 1
Halaman 408, dalam persamaan (10.4.24) 2
/
1
A
2
min
,
1
2
/
1
A
min
2 1
, 1
d , seharusnya
1
tak terdefinisi dan
Halaman 407, ditulis
ditulis
d , seharusnya
2
)A /
Halaman 407, ditulis
d d
7
2
/
/
1/ 1
6
.
2
1
5
k
x2/
)A /
2
1/ 2
2
1/ 2
( 1/
1
dan
z
/
2 /
1 , seharusnya 1
1. 2
< 0..."
8
9
Halaman 408, dalam persamaan (10.4.25) ditulis 0
(Z )
01
(Z )
02
(Z ) d
0
(Z )
01
(Z )
02
(Z )
Halaman 408, ditulis dan lim Z
0
Z
0
Z
0
0.
0
( Z ) 0 dan
0
( Z ) 0 dan
0
( Z ) 0 dan
0
( ) 0 , seharusnya lim
0
( ) 0 , seharusnya lim
0
( ) 0 , seharusnya lim
Z
0
0
(Z ) 0
Z
0
0
(Z ) 0
0
(Z ) 0
(Z ) 0
11 Halaman 409, ditulis dan lim
z
(Z ) 0
10 Halaman 409, ditulis dan lim
0 , seharusnya
Z
0
(Z ) 0
12 Halaman 409, dalam kasus ke-3 yakni xj berbeda tanda, dinyatakan bahwa terdapat dua titik ekuilibrium atau tidak terdapat titik ekuilibrium, seharusnya dalam kasus xj berbeda tanda bisa terdapat satu titik ekuilibrium, dua titik ekuilibrium atau tidak terdapat titik ekuilibrium. 13 Halaman 410, persamaan (10.4.26) dan seterusnya tidak dicantumkan dalam tesis ini, sebab untuk kasus m = 0,
dZ tak terdefinisi. dA
Lampiran 7 Korespondensi dengan Wei Bin-Zhang
