15
BAB III MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DUA SEKTOR
3.1 Asumsi dan Notasi Model pertumbuhan dua sektor ini merupakan model pertumbuhan dengan dua komoditi yang dihasilkan, yaitu barang modal dan barang konsumsi. Kedua barang ini diproduksi dengan modal dan tenaga kerja. Diasumsikan bahwa barang modal dan barang konsumsi merupakan komoditas yang berbeda. Model dikembangkan dalam waktu diskret disajikan dalam suatu barisan periode dan diberi indeks t = 0, 1, 2... di mana waktu 0 menunjukkan dimulainya periode 0 yang mewakili perekonomian pada situasi awal hinggga mengalami pertumbuhan sampai akhir periode t-1. Total populasi N dianggap tetap. Rumah tangga mendistribusikan pendapatan mereka untuk konsumsi dan tabungan. Dalam model pertumbuhan dua sektor ini diasumsikan dan didefinisikan sebagai berikut (Zhang 2007): Kj(t) = modal yang di gunakan sektor j pada periode t Nj(t) = jasa tenaga kerja yang digunakan sektor j dalam periode t Fj(t) = output dari sektor j pada periode t p(t) = harga untuk barang konsumsi pada periode t Y(t) = pendapatan saat ini pada periode t r(t)
= tingkat suku bunga pada periode t
w(t) = tingkat upah pada periode t c(t) = konsumsi komoditas pada periode t s(t)
= tabungan pada periode t.
3.2 Produksi dan Akumulasi Modal Fungsi produksi diberikan F j ( K j (t ), N j (t )) j = i, s, di mana indeks i dan s adalah notasi sektor barang modal dan sektor barang konsumsi, dan Fj adalah output dari sektor j; Kj(t) dan Nj(t) adalah modal dan tenaga kerja yang digunakan dalam sektor j.
16
Dalam pembahasan, fungsi produksi adalah fungsi produksi Cobb-Douglas sebagai berikut: α
β
Fj (t ) = Aj K j j (t ) N j j (t ) , α j , β j > 0, α j + β j = 1 , j= i, s. Dengan menjadikan sebagai besaran per kapita, yaitu f j (t ) ≡
(3.1) F j (t ) N j (t )
, maka
diperoleh α
f j (t ) = Aj k j j (t ) , di mana k j (t ) ≡
K j (t )
(3.2) , j = i ,s. N j (t ) Diasumsikan bahwa tingkat suku bunga dan tingkat upah di dua sektor adalah sama. Harga barang konsumsi dinotasikan p(t), tingkat suku bunga r(t), dan tingkat upah w(t). Kondisi marjinal adalah −βs
r (t ) + δ k = α i Ai ki − βi (t ) = p (t )α s As k s
(t ),
w(t ) = β i Ai kiαi (t ) = β s As p (t ) k sα s (t ).
(3.3)
( Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 1). Total persediaan modal K(t) dialokasikan pada dua sektor. Diasumsikan bahwa tenaga kerja dan persediaan modal dinyatakan oleh
Ki (t ) + K s (t ) = K (t ), Ni (t ) + N s (t ) = N ,
(3.4)
dengan N adalah populasi fixed (tetap), persamaan (3.4) dapat ditulis kembali menjadi
ni (t )ki (t ) + ns (t )ks (t ) = k (t ), ni (t ) + ns (t ) = 1,
(3.5)
dengan k (t ) ≡
K (t ) , N
n j (t ) ≡
N j (t ) N
, j= i, s.
(3.6)
Pendapatan rumah tangga saat ini y(t), diperoleh dari pembayaran bunga, r(t)k(t), dan pembayaran upah w(t) dinyatakan sebagaimana berikut: y (t ) = r (t ) k (t ) + w(t ) .
(3.7)
Pendapatan yang siap dibelanjakan perkapita (percapita disposable income) rumah tangga didefinisikan sebagai jumlah dari pendapatan saat ini (current income) dan kekayaan yang tersedia k(t). yˆ (t ) = y (t ) + k (t ) = (1 + r (t )) k (t ) + w(t ).
(3.8)
17
Pendapatan yang siap dibelanjakan tersebut digunakan untuk menabung dan konsumsi. Konsumen akan mendistribusikan total ketersediaan anggaran untuk menabung s(t) dan mengkonsumsi barang c(t). Batasan anggaran diberikan oleh p (t )c (t ) + s (t ) = yˆ (t ) .
(3.9)
Dengan mengasumsikan bahwa tingkat utilitas U(t), yang konsumen dapatkan adalah tergantung pada tingkat konsumsi komoditas, c(t), dan tabungan, s(t). Fungsi utilitas yang digunakan adalah sebagai berikut:
U (t ) = cξ (t )sλ (t ); ξ , λ > 0; ξ + λ = 1
(3.10)
di mana ξ adalah kecenderungan untuk mengkonsumsi barang, dan λ adalah kecenderungan untuk memiliki modal (menabung). Fungsi utilitas tersebut akan dimaksimumkan dengan batasan anggaran yang diberikan. Sehingga dapat diselesaikan kepuasan optimal konsumen sebagai berikut: p (t )c (t ) = ξ yˆ (t ) ,
s (t ) = λ yˆ (t ).
(3.11)
(Penjabaran perolehan solusi dapat lihat pada Lampiran 2). Dengan menganggap bahwa perubahan modal terhadap waktu adalah diskret sehingga akumulasi modal rumah tangga diberikan: k (t + 1) = s (t ) = λ yˆ (t )
(3.12)
Persamaan (3.12) berarti bahwa kekayaan k pada periode t+1 adalah sama dengan tabungan pada periode t. Output dari sektor barang konsumsi yang dikonsumsi oleh rumahtangga, yaitu,
c(t ) N = Fs (t ) ,
(3.13)
Sedangkan output dari sektor barang modal adalah sama dengan depresiasi persediaan modal dan tabungan bersih, yakni
S (t ) − K (t ) + δ k K (t ) = Fi (t )
(3.14)
di mana S (t ) − K (t ) + δ k K (t ) adalah jumlah dari tabungan bersih dan depresiasi.
18
3.3 Sistem Dinamik Model Dua Sektor Hubungan antara modal perkapita dari sektor barang modal dan sektor barang konsumsi berdasarkan persamaan (3.3) dan berdasarkan asumsi tingkat suku bunga dan tingkat upah di kedua sektor sama akan diperoleh
ks (t ) = α ki (t )
(3.15)
di mana α ≡ βiα s / βsαi . (Penjabaran persamaan dapat lihat pada Lampiran 3). Modal perkapita dari sektor barang konsumsi adalah berproporsi dengan sektor barang modal. Dengan ks (t ) = α ki (t ) dan βi fi = β s pf s diperoleh
p(t ) =
βi Ai k (t )α −α . β sα α As i i
(3.16)
s
s
(Penjabaran perolehan persamaan dapat lihat pada Lampiran 4). Harga barangbarang konsumsi mempunyai hubungan positif dengan tingkat teknologi dari sektor barang modal tetapi mempunyai hubungan negatif dengan sektor barang konsumsi. Berdasarkan persamaan (3.5) dan persamaan (3.15) diperoleh distribusi tenaga kerja sebagai berikut:
ni (t ) =
α ki (t ) − k (t ) , (α − 1)ki (t )
ns (t ) =
k (t ) − ki (t ) . (α − 1)ki (t )
(3.17)
(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 5). Berdasarkan persamaan (3.14) dan s = λ yˆ , didapatkan yˆ (t ) =
ni (t ) f i (t ) + δ k (t )
λ
.
(3.18)
(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 6) Dari persamaan (3.11) yaitu pc = ξ yˆ , serta c = ns f s , dan p = f i ' / f s' , didapatkan yˆ = ns f s f i ' / ξ f s'
ns (t ) fi ' (t )
dari persamaan ini dan persamaan (3.18), didapatkan
λ ks (t ) = ni (t ) fi (t ) + δ k (t ) . ξα s
(3.19)
(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 7) Substitusi ni (t ) = 1 − ns (t ) dan ns (t ) pada persamaan (3.17) ke dalam persamaan (3.19) menghasilkan
19
k (t ) = Φ(ki (t ))ki (t ) ,
(3.20)
di mana 1 + λ0 (1−α)δ / Ai βλ 1 , A0 ≡ λ0 ≡ i . (3.21) > 0 , A≡ βi 1+ λ0 A0 (1+ Aki (t)) α + λ0 β sξ (Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 8) Φ(ki (t)) ≡
dengan persamaan (3.19) dan persamaan (3.20) serta menurut definisi dari A dan A0, dapat diselesaikan ni (t ) = Φ ( ki (t ))(α1 − α 2 kiβi (t )) ,
(3.22)
di mana α1 ≡ λ0 / (α + λ0 ) dan α 2 ≡ αδ / Ai (α + λ0 ) . (Lihat Lampiran 9) Berdasarkan persamaan (3.20) dan persamaan (3.22) masukan ke dalam persamaan (3.18) didapatkan ⎡⎣(α1 − α 2 kiβi (t )) fi (t ) + δ ki (t ) ⎤⎦ Φ ( ki (t )) ŷ(t) = .
λ
(3.23)
(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 10) Substitusikan persamaan (3.20) dan persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.12), sehingga diperoleh Φ ( ki (t + 1)) ki (t + 1) = ⎡⎣ (α1 − α 2 kiβi (t )) f i (t ) + δ ki (t ) ⎤⎦ Φ ( ki (t )) .
(3.24)
(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 11) Pertumbuhan ekonomi dapat digambarkan sebagai fungsi dari ki yaitu
ki (t + 1) − ki (t ) ≡ f(ki(t)) dengan Δt =1 Δt
Pertumbuhan ekonomi dapat diketahui dengan akumulasi modal, untuk mengetahui pergerakan akumulasi modal terlebih dahulu mengetahui pergerakan modal pada sektor barang modal sehingga dari persamaan (3.21) dan persamaan (3.24) dapat dibuat persamaan sebagai berikut ki (t +1) −
[(α1 −α2kiβi (t)) fi (t) + δ ki (t)]A βi (α −α k βi (t)) fi (t) + δ ki (t) ki (t +1) − 1 2 i =0 βi 1+ Aki (t) 1+ Akiβi (t)
(3.25)
(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 12). Fungsi modal ki (t + 1) dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (3.25) secara numerik. Nilai-nilai dari semua variabel pada setiap titik waktu dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.
20
3.4 Kondisi Equilibrium
Ekuilibrium untuk model tertentu adalah suatu keadaan yang mempunyai
ciri tidak adanya kecenderungan untuk berubah. Selanjutnya agar sistem berada dalam kondisi ekuilibrium, jika dipenuhi
ki (t + 1) = ki (t ) = k * .
(3.26)
Substitusi kondisi (3.26) ke persamaan (3.24), sehingga diperoleh persamaan yang memiliki solusi positif unik yaitu 1/ βi
⎛ Aiα1 ⎞ k =⎜ ⎟ ⎝ δ k + Aiα 2 ⎠ * i
.
(3.27)
(Penjabaran perolehan persamaan dapat dilihat pada Lampiran 13). Nilai dari semua variabel pada saat ekuilibrium dapat diselesaikan melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.
